同角三角函数基本关系式

同角三角函数的两个基本关系式

同角三角函数是指在一个角度上的正弦、余弦和正切的比值关系。这三个函数在数学中有很重要的应用，特别是在三角学和几何学中。

第一个基本关系式是正弦函数的定义：在一个角度上，正弦函数的值等于对边与斜边的比值。用数学符号表示，正弦函数可以表示为sin(θ) = opposite/hypotenuse，其中θ代表角度，opposite代表对边的长度，hypotenuse代表斜边的长度。

第二个基本关系式是余弦函数的定义：在一个角度上，余弦函数的值等于邻边与斜边的比值。用数学符号表示，余弦函数可以表示为cos(θ) = adjacent/hypotenuse，其中θ代表角度，adjacent代表邻边的长度，hypotenuse代表斜边的长度。

这两个基本关系式可以帮助我们计算任意给定角度上的正弦和余弦值。它们是通过比较三角形的不同边的长度与斜边的长度来定义的。这些定义为我们提供了一种准确计算角度上三角函数值的方法，在解决各种问题时非常有用。

同角三角函数的基本关系式

倒数关系:

商的关系：

平方关系：

tanα·cotα＝1

sinα·cscα＝1

cosα·secα＝1

sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα

cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα

sin2α＋cos2α＝1

1＋tan2α＝sec2α

1＋cot2α＝csc2α

诱导公式

sin（－α）＝－sinα

cos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα

sin（π/2－α）＝cosα

cos（π/2－α）＝sinα

tan（π/2－α）＝cotα

cot（π/2－α）＝tanα

sin（π/2＋α）＝cosα

cos（π/2＋α）＝－sinα

tan（π/2＋α）＝－cotα

cot（π/2＋α）＝－tanα

sin（π－α）＝sinα

cos（π－α）＝－cosα

tan（π－α）＝－tanα

cot（π－α）＝－cotα

sin（π＋α）＝－sinα

cos（π＋α）＝－cosα

tan（π＋α）＝tanα

cot（π＋α）＝cotα

sin（3π/2－α）＝－cosα

cos（3π/2－α）＝－sinα

tan（3π/2－α）＝cotα

cot（3π/2－α）＝tanα

sin（3π/2＋α）＝－cosα

cos（3π/2＋α）＝sinα

tan（3π/2＋α）＝－cotα

cot（3π/2＋α）＝－tanα

sin（2π－α）＝－sinα

cos（2π－α）＝cosα

tan（2π－α）＝－tanα

cot（2π－α）＝－cotα

sin（2kπ＋α）＝sinα

cos（2kπ＋α）＝cosα

同角三角函数的关系式及诱导公式

一、基础知识

（一） 同角三角函数的基本关系式：①平方关系1cos sin 22=+αα；②商式关系

αα

αtan cos sin =；③倒数关系1cot tan =αα; （二） 正弦余弦的诱导公式：απ

±⋅2k )(Z k ∈与α的三角函数关系是“奇变偶不变,符

号看象限”;

注：1、诱导公式的主要作用是将任意角的三角函数转化为 0~ 90角的三角函数;

2、主要用途：

a) 已知一个角的三角函数值,求此角的其他三角函数值①要注意题设中角的范围,②用三角函数的定义求解会更方便；

b) 化简同角三角函数式；

证明同角的三角恒等式;

二、题型剖析

1、化简求值

例1：化简1())

cos(])1sin[(])1cos[(sin απαπαπαπ+⋅++--⋅-k k k k Z k ∈ 2α

ααα4266sin sin cos sin 1--- 解：1当k 为偶数时,原式=α

αααcos sin )cos (sin --⋅-=－1；当k 为奇数时同理可得,原式=－1,故当Z k ∈时,原式=-1;

2原式=()()()αααααααα22222

2222sin 1sin ]cos sin 3cos sin [cos sin 1-⋅-++-=3 思维点拨1分清k 的奇偶,决定函数值符号是关键；

2平方降次是化简的重要手段之一;

练习：变式2()z n n n ∈⎪⎭

⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛--απαπ414cos 414sin 化简 解：原式=⎥⎦⎤⎢⎣

⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡

同角三角函数的基本关系与诱导公式

一、基础知识：

1．同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1； (2)商数关系：sin αcos α

＝tan α. （3）倒数关系：1cot tan =⋅αα

2．诱导公式

公式一：sin(α＋2k π)＝sin α，cos(α＋2k π)＝cos_α，απαtan )2tan(=+k

其中k ∈Z .

公式二：sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tan α. 公式三：sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α.

公式四：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos_α.

公式五：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos_α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α. 公式六：sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π2＋α＝cos_α，cos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π2＋α＝－sin_α. 诱导公式可概括为k ·π2

±α的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指π2

的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则函数名称变为相应的余名函数；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指：把α看成锐角．．．．时原．

函数值的符号作为结果的符号． 二、方法与要点

一个口诀

1、诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．

2、四种方法

在求值与化简时，常用方法有：

(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α

化成正、余弦． (2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化． （ααcos sin +、ααcos sin -、ααcos sin 三个式子知一可求二）

同角三角函数的基本关系

倒数关系:

tanα ²cotα=1

sinα ²cscα=1

cosα ²secα=1

商的关系：

sinα/cosα=tanα=secα/cscα

cosα/sinα=cotα=cscα/secα

平方关系：

sin^2(α)+cos^2(α)=1

1+tan^2(α)=sec^2(α)

1+cot^2(α)=csc^2(α)

平常针对不同条件的常用的两个公式

sin² α+cos² α=1

tan α *cot α=1

一个特殊公式

（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=sin（a+θ）*sin（a-θ）

证明：（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=2 sin[(θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] *2 cos[(θ+a)/2] sin[(a-θ)/2]

=sin（a+θ）*sin（a-θ）

坡度公式

我们通常半坡面的铅直高度h与水平高度l的比叫做坡度（也叫坡比），用字母i表示，

即i=h / l,坡度的一般形式写成l : m形式，如i=1:5.如果把坡面与水平面的夹角记作

a(叫做坡角），那么i=h/l=tan a.

锐角三角函数公式

正弦：sin α=∠α的对边/∠α的斜边

余弦：cos α=∠α的邻边/∠α的斜边

正切：tan α=∠α的对边/∠α的邻边

余切：cot α=∠α的邻边/∠α的对边

二倍角公式

正弦

sin2A=2sinA²cosA

余弦

1.Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)

2.Cos2a=1-2Sin^2(a)

3.Cos2a=2Cos^2(a)-1

同角三角函数的8个公式大全

同角三角函数的8个公式包括3个倒数关系公式，2个商数关系公式，3个平方关系公式。接下来给大家分享同角三角函数的8个公式及三角函数的基本公式，供参考。

同角三角函数的8个公式

倒数关系公式

①tanαcotα=1

②sinαcscα=1

③cosαsecα=1

商数关系公式

tanα=sinα/cosα

cotα=cosα/sinα

平方关系公式

①sin2α+cos2α=1

②1+tan2α=sec2α

③1+cot2α=csc2α

三角函数的基本公式

三角函数的半角公式

sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)

cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)

tan(α/2)=±√((1-cosα)/((1+cosα))

三角函数的万能公式

sin(α)=[2tαn(α/2)]/[1+tαn2(α/2)]

cos(α)=[1-tαn2(α/2)]/[1+tαn2(α/2)]

tαn(α)=[2tαn(α/2)]/[1-tαn2(α/2)]

三角函数倍角公式

Sin2A=2SinA*CosA

Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1

tan2A=(2tanA)/(1-tanA^2)

三角函数的概念同角三角函数的基本关系式和诱导公式三角函数是数学中研究角和三角形的重要分支之一、它是用来描述角的位置、大小和比较角度之间关系的函数。三角函数常用于解决与几何形体、物体运动、电流与电压等相关的问题。在解决这些问题时，我们需要理解三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式和诱导公式。

1.概念

角是以其中一点为顶点，以两条射线为边的图形。三角函数是角的函数。常见的三角函数有正弦函数(sin)、余弦函数(cos)、正切函数(tan)和余切函数(cot)。这些三角函数可以表示角度的大小和位置，并且它们在数学中有非常重要的应用。

2.同角三角函数的基本关系式

同角三角函数是指在同一个角中，不同三角函数之间的关系。常见的同角三角函数关系式有：

(1) 正弦函数和余弦函数的关系：sin^2θ + cos^2θ = 1

这个关系式可以由勾股定理推导得出。在单位圆中，θ角对应的直

角三角形的斜边长为1，根据勾股定理可得到上述关系式。

(2) 正切函数和余切函数的关系：tanθ = sinθ / cosθ，cotθ = cosθ / sinθ

这个关系式说明，正切函数和余切函数可以分别由正弦函数和余弦函数表示。

(3) 正切函数和余切函数的关系：sinθ = 1 / cscθ，cosθ = 1 / secθ

这个关系式说明，正弦函数和余弦函数可以分别由余切函数和正切函数表示。

这些基本关系式可以帮助我们在计算过程中简化和转化表达式，使得计算更加方便。

3.诱导公式

诱导公式指的是通过基本关系式可以推导出其他三角函数之间的关系式。常见的诱导公式有：

三角函数之间的关系公式

1. 同角三角函数的基本关系：

倒数关系：tanα•cotα＝1 sinα•cscα＝1 cosα•secα＝1

商的关系：sinα/cosα＝tanα＝secα/cscαcosα/sinα＝cotα＝csc α/secα

平方关系：sin^2(α)＋cos^2(α)＝1 1＋tan^2(α)＝sec^2(α) 1＋cot^2(α)＝csc^2(α)

平常针对不同条件的常用的两个公式：sin²α+cos²α=1 tan α*cot α=1

2. 一个特殊公式：（sina+sinθ）*（sina+sinθ）=sin（a+θ）*sin （a-θ）

证明：（sina+sinθ）*（sina+sinθ）=2 sin[(θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] *2 cos[(θ+a)/2] sin[(a-θ)/2] =sin（a+θ）*sin（a-θ）

3. 锐角三角函数公式

正弦：sin α=∠α的对边/∠α的斜边

余弦：cos α=∠α的邻边/∠α的斜边

正切：tan α=∠α的对边/∠α的邻边

余切：cot α=∠α的邻边/∠α的对边

4. 二倍角公式

正弦sin2A=2sinA•cosA

余弦1.Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a) =2Cos^2(a)-1 =1-2Sin^2(a) 2.Cos2a=1-2Sin^2(a)

3.Cos2a=2Cos^2(a)-1

正切tan2A=（2tanA）/（1-tan^2(A)）

5. 三倍角公式

sin3α=4sinα•sin(π/3+α)sin(π/3-α)

同角三角函数的基本关系式及诱导公式

一、基本知识：

（1）同角三角函数的基本关系式：平方关系：sin 2α+cos 2α=1，

1tan sec 22=-αα，

1cot csc 22=-αα，

商式关系：sin α cos α

=tan α， αα

αcot sin cos =， 倒数关系：tan αcot α=1，

α

αcos 1sec = α

αsin 1csc =

（2）诱导公式：函数名称不变，符号看象限。

二、例题分析：

例1 化简 sin(2π-α)tan(π+α)cot(-α-π) cos(π-α)tan(3π-α)

． 解 原式=

（-sin α）tan α［-cot(α+π) ］ (-cos α)tan(π-α)= (-sin α)tan α(-cot α) (-cos α)(-tan α) = sin α·cos α sin α cos α

=1 ． 例2 若sin θcos θ= 18 ，θ∈(π4 ，π2

)，求cos θ－sin θ的值．

解 (cos θ－sin θ)2=cos 2θ+sin 2θ－2sin θcos θ=1－ 14 = 34

． ∵θ∈(π4 ，π2

)，∴ cos θ＜sin θ． ∴cos θ－sin θ= － 32

． 变式1 条件同例， 求cos θ+sin θ的值．

变式2 已知cos θ－sin θ= －

32 ， 求sin θcos θ，sin θ+cos θ的值．

例3 已知tan θ=3．求（1）

α

αααsin 3cos 5cos 2sin 4+-；（2）cos 2θ+sin θcos θ的值．

同角三角函数的基本关系与诱导公式

一、基础知识

1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1； (2)商数关系：tan α＝sin α

cos α

.

平方关系对任意角都成立，而商数关系中α≠k π＋π

2(k ∈Z)．

2．诱导公式

诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限.“奇”“偶”指的是“k ·π

2＋α(k ∈Z )”中

的k 是奇数还是偶数.“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k 是奇数，则正、余弦互变；若k 为偶数，则函数名称不变.“符号看象限”指的是在“k ·π

2＋α(k ∈Z )”中，将α看

成锐角时，“k ·π

2

＋α(k ∈Z )”的终边所在的象限.

二、常用结论

同角三角函数的基本关系式的几种变形 (1)sin 2α＝1－cos 2α＝(1＋cos α)(1－cos α)； cos 2α＝1－sin 2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. (2)sin α＝tan αcos α⎝⎛⎭⎫α≠π

2＋k π，k ∈Z .

考点一 三角函数的诱导公式

[典例] (1)已知f (α)＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin ⎝⎛⎭

⎫3π2－αcos (－π－α)tan (π－α)，则f ⎝⎛⎭⎫－25π

3的值为________． (2)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝23，则sin ⎝

⎛⎭⎫α－2π

3＝________. [解析] (1)因为f (α)＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin ⎝⎛⎭

⎫3π

2－αcos (－π－α)tan (π－α) ＝

第26讲 同角三角函数的基本关系及诱导公式

【基础知识回顾】

1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1；

(2)商数关系：tan α＝sin αcos α. 平方关系对任意角都成立，而商数关系中α≠k π＋π

2(k ∈Z )．

2．诱导公式

3. 诱导公式的作用是把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，转化的一般步骤如下：

即：去负—脱周—化锐的过程．上述过程体现了转化与化归的思想方法．

4、三角形中的三角函数关系式 sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ； cos(A ＋B )＝cos(π－C )＝－cos C ； tan(A ＋B )＝tan(π－C )＝－tan C ； sin ⎝⎛⎭⎫A 2＋B 2＝sin ⎝⎛⎭

⎫π2－C 2＝cos C 2；

cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋B 2＝cos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π2－C 2＝sin C 2.

1、α是第三象限角，且sin -

2

α=，则tan α=（ ）

A ．B

C ．-

3

D ．

3

【答案】B

【解析】因为α是第三象限角，且sin -2

α=，

所以1cos 2α=-

，所以sin tan cos α

αα

=

=B 。 2、已知

()()

sin 2

2sin 3cos 5

πααα-=

+-，则tan α（ ） A ．6- B ．6

C ．23

-

D ．

23

【答案】B 【解析】化简

()()

sin sin 2

2sin 3cos 2sin 3cos 235

tan tan παααααααα-=

==+-++

所以t 6an α=，故选B 。