2015年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理科)第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的． (1）【2015年四川,理1】设集合{|(1)(2)0}A x x x =+-<，集合{|13}B x x =<<，则A B =( ）(A ）{}1|3x x -<< (B){}|11x x -<< （C ）{}|12x x << (D){}|23x x << 【答案】A【解析】∵{|12}A x x =-<<，{|13}B x x =<<,{|13}A B x x ∴=-<<,故选A ． （2）【2015年四川，理2】设i 是虚数单位,则复数32i i-=（ ）（A)i - (B ）3i - (C ）i （D)3i 【答案】C【解析】3222ii i i 2i i i i-=--=-+=,故选C ．（3）【2015年四川,理3】执行如图所示的程序框图，输出S 的值是( ）（A ）3 （3 (C ）12- （D ）12【答案】D【解析】易得当1,2,3,4k =时时执行的是否，当5k =时就执行是的步骤，所以51sin 62S π==，故选D ．(4）【2015年四川,理4】下列函数中,最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( )（A ）cos(2)2y x π=+ （B ）sin(2)2y x π=+ (C)sin 2cos2y x x =+ （D ）sin cos y x x =+【答案】A 【解析】显然对于A ，cos(2)sin 22y x x π=+=-，为关于原点对称,且最小正周期是π,符合题意，故选A ．（5）【2015年四川，理5】过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A ，B两点,则||AB =（ ) （43（B ）23 （C)6 (D ）43【答案】D【解析】由题意可知双曲线的渐近线方程为3y x =，且右焦点(2,0),则直线2x =与两条渐近线的交点分别为A 3),B (2,23)-，∴||43AB =D ．（6）【2015年四川，理6】用数字0,1,2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ）（A ）144个 (B ）120个 （C)96个 (D ）72个 【答案】B【解析】这里大于40000的数可以分两类：①当5在万位时，个位可以排0、2、4三个数中的一个，十位百位和千位没有限制∴有133472C A =种；②当4在万位时，个位可以排0、2两个数中的一个，十位百位和千位没有限制，∴有132448C A =种, 综上所述：总共有72+48=120种，故选B ．(7）【2015年四川,理7】设四边形ABCD 为平行四边形，6AB =，4AD =．若点M ，N 满足3BM MC =，2DN NC =，则AM NM ⋅=（ )（A ）20 （B)15 （C ）9 （D)6【答案】C【解析】这里可以采用最快速的方法，把平行四边形矩形化，因此，过B 建立直角坐标系，可得到()0,6A ，()3,0M ，()4,2N ,∴()3,6AM =-，()1,2NM =--，∴3129AM NM ⋅=-+=,故选C ．（8）【2015年四川，理8】设a ,b 都是不等于1的正数，则“331a b >>"是“log 3log 3a b <”的（ ）(A ）充要条件 （B ）充分不必要条件 (C)必要不充分条件 （D)既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】由已知条件333a b >>可得1a b >>．当1a b >>时，33log log 0a b >>．∴3311log log a b<，即log 3log 3a b <．∴“333a b >>"是“log 3log 3a b <”的充分条件．然而取1133a b =<<=则log 30log 3a b <<,满足log 3log 3a b <，却不满足1a b >>．∴“333a b >>"是“log 3log 3a b <”的不必要条件．综上“333a b >>”是“log 3log 3a b <”的充分不必要条件，故选B ．(9)【2015年四川，理9】如果函数()()()()212810,02f x m x n x m n =-+-+≥≥在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，则mn的最大值为（ ）（A)16 (B ）18 （C ）25 （D ）812【答案】B【解析】()()'28f x m x n =-+-,由于()f x 单调递减得:∴()0f x '≤，∴()280m x n -+-≤在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立．设()()28g x m x n =-+-，则一次函数()g x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为非正数．∴只须在两个端点处102f ⎛⎫'≤ ⎪⎝⎭和()20f '≤即可．即()()128022280m n m n ⎧-+-≤⎪⎨⎪-+-≤⎩①②，由②得:()1122m n ≤-．∴()211121218222n n mn n n +-⎛⎫≤-≤= ⎪⎝⎭．mn 当且仅当3,6m n ==时取到最大值18．经验证，3,6m n ==满足条件①和②,故选B ．（10）【2015年四川,理10】设直线l 与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，与圆()()22250x y r r -+=> 相切于点M ，且M 为线段AB 的中点． 若这样的直线l 恰有4条,则r 的取值范围是( ）（A ）()1,3 (B ）()1,4 （C ）()2,3 (D ）()2,4 【答案】D【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，()5cos ,sin M r r θθ+，则21122244y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩,()()()1212124y y y y x x +-=-，当直线l 有两条．当直线l 的斜率存在时,可得：()()1212121222sin 4sin AB y y r y y x x k x x r θθ--=-⇒==-， 又∵sin 0sin 5cos 5cos MC r k r θθθθ-==+-，∴1cos sin AB MC k k θθ=-=-, ∴2cos 22sin sin cos r r θθθθ=-⇒=-> 由于M 在抛物线的内部，∴()()()2sin 45cos 204cos 204212r r r θθθ<+=+=+⨯-=，∴sin r θ<2sin 164r r r r θ==<<⇒<，因此，24r <<，故选D ．第II 卷（共100分）二、填空题:本大题共5小题，每小题5分(11）【2015年四川，理11】在()521x -的展开式中,含2x 的项的系数是 ． 【答案】—40【解析】由题意可知2x 的系数为：22352(1)40C ⨯⨯-=-．（12）【2015年四川,理12】°°sin15sin 75+的值是 ．【解析】()sin15sin 75sin15cos15154560︒+︒=︒+︒=︒+︒︒==． （13）【2015年四川，理13】某食品的保鲜时间y (单位：小时）与储藏温度x (单位:°C ）满足函数关系kx b y e +=( 2.718e =为自然对数的底数，k ，b 为常数）．若该食品在°0C 的保鲜时间是192小时，在°23C 的保鲜时间是48小时,则该食品在°33C 的保鲜时间是________小时． 【答案】24【解析】0+192k b e ⨯= ①，2248k b e ⨯+= ②，∴221142k k e e ==⇒=②①，∴当33x =时，33k b e x += ③，∴()3331248192k k xe e x ====⇒=③①．(14）【2015年四川，理14】如图,四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形,它们所在的平面相互垂直，动点M 在线段PQ上，E ，F 分别为AB ，BC 中点，设异面直线EM 与AF 所成的角为θ，则cos θ的最大值为 ．【答案】25【解析】以AB 为x 轴，AD 为y 轴,AQ 为z 轴建立空间直角坐标系,并设正方形边长为2，则()0,0,0A ，()2,1,0F ，()1,0,0E ，()0,,2M m ，∴()2,1,0AF =，()1,,2EM m =-∴cos 5AF EM AF EMθ⋅==⋅令[]()0,2)f m m =∈()f m '=[]0,2m ∈,()0f m '∴<max 2()(0)5f m f ∴==，从而max2cos 5θ=． (15）【2015年四川，理15】已知函数()2x f x =，()2g x x ax =+（其中a R ∈)．对于不相等的实数1x ，2x ,设()()1212f x f x m x x -=-，()()1212g x g x n x x -=-，现有如下命题:（1） 对于任意不相等的实数1x ，2x ，都有0m >； （2） 对于任意a 的及任意不相等的实数1x ，2x ,都有0n >； （3） 对于任意的a ，存在不相等的实数1x ，2x ，使得m n =； （4) 对于任意的a ，存在不相等的实数1x ，2x ，使得m n =-．其中的真命题有_______（写出所有真命题的序号）． 【答案】(1) （4）【解析】(1）设1x ，2x ，∵函数2xy =是增函数，∴1222x x >，120x x ->,则1212()()f x f x m x x -=-=12x 1222x x x -->0,所以正确;（2）设12x x >,则120x x ->,∴()()22121122121212g x gx x ax x ax n x x a x x x x -+--===++-- 不妨我们设121,2,3x x a =-=-=-，则60n =-<，矛盾,所以(2)错．A（3)∵m n =，由(1)（2）可得：()()()()12121212f x f xg x g x m n x x x x --===--，化简得到,()()()()1212f x f x g x g x -=-,也即()()()()1122f x g x f x g x -=-,令()()()22x h x f x g x x ax =-=--，即对于任意的a 函数()h x 在定义域范围内存在有两个不相等的实数根1x ，2x ．则()2'2ln 2x h x x a =--,2()2ln 2x h x x a '=--，显然当a →-∞时，()'0h x >恒成立,即()h x 单调递增，最多与x 轴有一个交点,不满足题意，所以错误．（4）同理可得()()()()1122f x g x g x f x +=+，设()()()22x h x f x g x x ax =+=++，即对于任意的a 函数()h x 在定义域范围内存在有两个不相等的实数根1x ，2x ,从而()h x 不是恒为单调函数．()'2ln 22x h x x a =++，()()2''2ln 220x h x =+>恒成立,∴()'h x 单调递增，又∵x →-∞时，()'0h -∞<，x →+∞时，()'0h +∞>．所以()h x 为先减后增的函数，满足要求，所以正确．三、解答题：本大题共6题，共75分． （16）【2015年四川，理16】(本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和12n n S a a =-，且1a ，21a +，3a 成等差数列．(Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式;（Ⅱ）记数列1{}n a 的前n 项和n T ，求得使1|1|1000n T -<成立的n 的最小值．解：（Ⅰ)当2n ≥时有，11112(2)n n n n n a S S a a a a --=-=---，则12n n a a -=(2)n ≥,12n n aa 2n ,∴数列{}n a 是以1a 为首项，2为公比的等比数列．又由题意得21322a a a +=+，1112224a a a ∴⋅+=+，∴12a =，∴2n n a =*()n N ∈(Ⅱ）由题意得112n n a =，∴111[1()]11221()12212n nn n i i T =-===--∑,则2111-=()22n nT -=（），又1091111,210242512==,即11110241000512<<111000n T ∴-<成立时,n 的最小值为10n =． （17）【2015年四川,理17】（本小题满分12分）某市A ，B 两所中学的学生组队参加辩论赛,A 中学推荐3名男生，2名女生,B 中学推荐了3名男生，4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队． (Ⅰ）求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率;（Ⅱ）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛,设X 表示参赛的男生人数，求X 得分布列和数学期望．解：(Ⅰ)设事件A 表示“A 中学至少有1名学生入选代表队”,可以采用反面求解：33343366199()11100100C C P A C C =-⋅=-=（Ⅱ)由题意，知1,2,3X =,3133461(1)5C C P X C ===；2233463(2)5C C P X C ===；1333461(3)5C C P X C === 因此期望为：131()1232555E X =⋅+⋅+⋅=．（18）【2015年四川,理18】(本小题满分12分)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中,设BC 的中点为M ，GH 的中点为N ．（Ⅰ）请将字母标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）；(Ⅱ）证明:直线//MN 平面BDH ;（Ⅲ)求二面角A EG M --的余弦值． 解:（Ⅰ)如下图所示：(Ⅱ)如答图所示，连接BD ,AC 相交于点O ,连接MO∵M 、O 分别为线段BC 、BD 的中点，∴////MO CD GH 且1122MO CD GH NH ===∴四边形QMNH 为平行四边形，∴//OH MN ,又∵OH ⊂平面BDH ，∴//MN 平面BDH (Ⅲ）连接EG ,过点M 作MP AC ⊥于点P ，过点P 作PQ EG ⊥于点Q ，连接MQ ,由三垂线定理可得EG MQ ⊥,∴PQM ∠为二面角A EG M --的平面角，设正方体棱长为4a ，则4PQ BC a ==， ∴2MC a =,∵45MCP ∠=︒，MP =,所以tan MP PQM PQ ∠===，所以cos PQM ∠=，所以cos cos A EG M MLK <-->=∠=（19）【2015年四川，理19】（本小题满分12分)如图，,,,A B C D 为平面四边形ABCD 的四个内角．(Ⅰ）证明:1cos tan 2sin A AA-=；（Ⅱ)若180o A C +=,6AB =,3BC =，4CD =，5AD =,求tan tan tan tan 2222A B C D+++．解：（Ⅰ)证明:2sin 2sin 1cos 22tan 2sin cos 2sin cos 222A A A A A A A A-===⋅． （Ⅱ)∵180o A C +=，∴()()cos cos 180cos ,sin sin 180sin C A A C A A =︒-=-=︒-=，∴1cos 1cos 1cos 1cos 2tantan 22sin sin sin sin sin A C A C A A A C A A A---++=+=+=，∵180o A C +=,∴180o B D += 同理可得2tan tan 22sin B D B +=，∴11tan tan tan tan 22222sin sin A B C D A B ⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭连接BD ，设BD x =,在ABD ∆和CBD ∆中分别利用余弦定理及180o A C +=可得:cos cos A C =-， 即22222265342234x x +-+-=-⋅⋅,解得22477x =，从而得3cos 7A =，sin A =同理可得，1cos 19B =， sin B =∴11tan tan tan tan 2()2222sin sin A B C D A B +++=+==． （20）【2015年四川，理20】（本小题满分13分)如图，椭圆2222:1x y E a b+=，过点(0,1)P 的动直线l 与椭圆相交于,A B 两点．当直线l 平行于x 轴时,直线l 被椭圆E 截得的线段长为 (Ⅰ）球椭圆E 的方程;（Ⅱ)在平面直角坐标系xoy 中,是否存在与点P 不同的定点Q ，使得QA PAQB PB=恒成立?若存在，求出点Q 的坐标;若不存在，请说明理由．CAECA EEACE解：(Ⅰ）由题知椭圆过点()2,1．因此可得：2222222211c e a a b a b c⎧==⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪⎪=+⎩，解得：2a =，2b c ==．∴椭圆E 的方程为：22142x y +=．(Ⅱ)假设存在满足题意的定点Q ．当直线l 平行于x 轴时，则1QA PA QBPB==，,A B 两点关于y 轴对称，∴Q 点在y 轴上．不妨设()0,Q a ，当直线l 垂直于x 轴时，()()0,2,0,2A B -， 212212QA PA a QBPBa --===++，解得2a =或1a =(舍去，否则Q 点就是P 点），∴P 点的坐标为()0,2．下面我们证明对于一般的直线:1l y kx =+，()0,2Q 也满足题意． ∵QA PA QBPB=，∴由角平分线定理可知，y 轴为AQB ∠的角平分线．所以QA QB k k =-．设()11,A x y ，()22,B x y ,则111y kx =+,221y kx =+，联立：22124y kx x y =+⎧⎨+=⎩,消去y 可得，()2212420k x kx ++-=, 由韦达定理可得,122412k x x k +=-+，122212x x k -=+， ∴11111211QA y kx k k x x x --===-，22222211QB y kx k k x x x --===-，两式相加得,121212112+2220QA QB x xk k k k k k x x x x ⎛⎫++=-=-=-= ⎪⎝⎭，即QA QB k k =-,从而,假设成立，即存在与点P 不同的定点Q ,使得QA PAQB PB=恒成立． （21)【2015年四川，理21】(本题满分14分)已知函数()()222ln 22f x x a x x ax a a =-++--+，其中0a >．（Ⅰ）设()g x 是()f x 的导函数，讨论()g x 的单调性；(Ⅱ）证明:存在()0,1a ∈，使得()0f x ≥在区间()1,+∞内恒成立，且()0f x =在区间()1,+∞内有唯一解．解：（Ⅰ)∵()()222ln 22f x x a x x ax a a =-++--+,∴求导可得，()2'2ln 222af x x x a x=---+-，即()()22ln 2220,0ag x x x a a x x==---+->>∴()()()222222'20,0x x a a g x a x x x x -+-=++=>>, 对于多项式2x x a -+，(1）当140a ∆=-≤,即14a ≥时,20x x a -+≥恒成立．此时，()'0g x ≥恒成立，所以()g x 恒单调递增．(2）当104a <<时,一元二次方程20x x a -+=有两个实数根,设为12,x x ． 那么求根可得：111410,22a x --⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，21141,122a x +-⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭①令()'0g x >,即()200x x a x -+<>,解得:10x x <<，2x x >．所以()g x 在()10,x ,()2,x +∞，时单调递增．②令()'0g x <,即()200x x a x -+<>，解得：12x x x <<,所以()g x 在()12,x x ，时单调递减． 综上所述:当14a ≥时，()g x 在()0,+∞上单调递增． 当104a <<时，()g x在)+∞上单调递减．(Ⅱ)∵()0,1a ∈,∴由（Ⅰ）可知()()'f x g x =在()1,+∞内单调递增．又1x +→时，()()1lim ''1222240x f x f a a a +→==--+-=-<， 当x →+∞时，显然()()lim ''0x f x f →+∞=+∞>．而()'f x 在()1,+∞是单调递增的，因此在()1,+∞内必定存在唯一的0x 使得()00002'2ln 2220af x x x a x =---+-= ……………．． ① ∴当01x x <<时，()'0f x <,当0x x >时，()'0f x >，∴()f x 在0(1,)x 上单调递减，在0(,)x +∞上单调递增,∴()()0min f x f x =． 由已知条件()0f x =在区间()1,+∞内有唯一解,∴必有()()0min 0f x f x ==． 即()()22000002ln 220f x x a x x ax a a =-++--+= ………………………． ② 由①式得到000ln 2a x x a x =+-+带入②式化简得:()()2232000025220a x x a x x +---=，即()()200220xx a x a -+-=,注意这里的a 比较容易解出,因此我们可以用0x 表示a ，解得：2x a =,2002a x x =- (1）当01(,1)22x a =∈时，带入①式可得,22ln 230a a --=…………………．． ③即讨③是否有解．令()22ln 23h a a a =--，()()212'20a h a a a-=-=< ∴()h a 在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减．又∵()11302h a h ⎛⎫<=-< ⎪⎝⎭,∴③式无解．（2）当2002a x x =-时，∵01a <<,∴012x <<,把2002a x x =-带入①式可得, 20022ln 60x x --= ………………．．④即讨论④是否有解．又设2000()22ln 6h x x x =--，()()2000002212'4x h x x x x -=-=，∵()01,2x ∈, ∴()0'0h x >恒成立,∴0()h x 在()1,2上单调递增．∴()(1)4h x h >=-,()()222ln 20h x h <=->． ∴()h x 与x 轴有交点，从而20022ln 60x x --=在()1,2上有解． 从而命题得证！。
