2017-2018学年鲁教版七年级数学 基础训练 直角三角形性质应用(习题及答案)

3　直角三角形第1课时　勾股定理及其逆定理基础过关全练知识点1　勾股定理1.(北京朝阳期末)直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,若a=5,c=13,则b 的值为( )A.4B.8C.12D.1442.(河南商丘期中)如图,∠B=∠ACD=90°,AD=13,CD=12,BC=3,则AB的长为( )A.4B.5C.8D.103.【易错题】(山东淄博临淄期末)在平面直角坐标系xOy中,已知等边△ABC的顶点A,B的坐标分别为(-1,0),(1,0),则顶点C的坐标为( )A.(0,1)B.(0,3)或(0,-3)3) D.(0,1)或(0,-1)4.【分类讨论思想】(新疆乌鲁木齐期末)在△ABC中,AB=15,AC=13,BC边上的高AD=12,则BC=( )A.14B.4C.14或4D.9或55.【教材变式·P114T2】【新独家原创】如图,四边形ABCD中,∠B=∠C=90°,M为BC边上的一点,并且DM平分∠ADC,AM平分∠BAD,DM=3 cm,AM=4 cm,则AD= .6.【数学文化】勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠,是用代数思想解决几何问题的重要工具,也是数形结合的纽带之一.如图,秋千静止时,踏板离地的垂直高度BE=1 m,将它往前推6 m至C处时(即水平距离CD=6 m),踏板离地的垂直高度CF=4 m,它的绳索始终拉直,则绳索AC的长是 .7.【方程思想】(山东临沂沂水期中)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,以B为圆心,BC的长为半径画弧,交线段AB于点D,以A为圆心,AD的长为半径画弧,交线段AC于点E,连接CD.(1)若∠A=25°,求∠ACD的度数;(2)若BC=4,CE=3,求AD的长.8.(天津河西期末)如图,将方格纸放入平面直角坐标系中,方格纸中每个小正方形的边长都为1,△ABC的顶点都在格点上,A(2,2).(1)写出△ABC另两个顶点的坐标;(2)求此三角形的周长;(3)△ABC的面积为 .9.【方程思想】某“飞越丛林”俱乐部打造的一款项目的示意图如图所示,BC段和垂直于地面的AB段均由不锈钢管材打造,两段的总长度为26 m,长方形CDEF为一木质平台的横截面.经测量,CD=1 m,AD=15 m,请求出AB段的长度.知识点2　勾股定理的逆定理10.(北京丰台期末)以下列各组数为三边长的三角形中,不是直角三角形的是( )A.3,4,5B.4,5,6C.5,12,13D.6,8,1011.(山东德州庆云期中)如图,在四边形ABCD中,AB=AD=5,∠A=60°,BC=13,CD=12,则∠ADC的度数为 .12.(重庆渝北期末)如图,在△ABC中,BC=8,∠A=45°,点D是AC边上一点,连接BD,若CD=6,BD=10,则AD= .13.如图,△ABC中,D是BC边上的一点,若AB=10,BD=6,AD=8,AC=17,求△ABC的面积.14.(北京海淀期末)如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,A,B,C,D均是网格线的交点.(1)求证:∠ADC=90°;(2)求四边形ABCD的面积.知识点3　互逆命题与互逆定理15.下列命题中是定理且有逆定理的是( )A.对顶角相等B.若两个数相等,则这两个数的绝对值也相等C.两直线平行,同旁内角互补D.如果a=b,那么a2=b216.写出下列命题的逆命题,并判断每对互逆命题的真假:(1)不是对顶角的两个角不相等;(2)内错角相等;(3)互为相反数的两个数的和为零.能力提升全练17.(山东日照中考,9,★★☆)已知直角三角形的三边长a,b,c满足c>a>b,分别以直角三角形的三边为边作三个正方形,把两个较小的正方形放置在最大正方形内,如图,设三个正方形无重叠部分的面积为S1,均重叠部分的面积为S2,则( )A.S1>S2B.S1<S2C.S1=S2D.S1,S2大小无法确定18.(山东济宁中考,9,★★☆)如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长都是一个单位长度,点A,B,C,D,E均在小正方形的顶点上,线段AB,CD交于点F,若∠CFB=α,则∠ABE等于( )A.180°-αB.180°-2αC.90°+αD.90°+2α19.(浙江湖州中考,12,★☆☆)命题“如果|a|=|b|,那么a=b”的逆命题是 .20.【国防教育】(山东东营中考,15,★★☆)某海监局巡航员驾驶一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30 km至B港,然后再沿北偏西30°方向航行40 km至C港,则A,C 两港之间的距离为 km.21.(山东德州乐陵期中,20,★★☆)如图所示的正方形网格中,每个小正方形的边长都为1,△ABC的顶点均在格点上.(1)分别求出边AB、AC、BC的长度,并计算△ABC的周长;(2)判断△ABC的形状,并说明理由.素养探究全练22.【推理能力】【新考向·阅读理解试题】(山东枣庄滕州校级月考)数形结合思想是解决数学问题的一种重要的思想方法,借助这种方法可将抽象的数学问题变直观,从而可以帮助我们快速解题,初中数学里的一些代数公式可以通过表示几何图形面积进行直观推导和解释.(1)图1是一个重要公式的几何解释,请你写出这个公式.(2)如图2,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=a,AC=b,AB=c,以Rt△ABC的三边为边向外作的正方形的面积分别为S1,S2,S3,试猜想S1,S2,S3之间存在的等量关系,直接写出结论.(3)如图3,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=a,AC=b,AB=c,分别以Rt△ABC的各边为直径向外作半圆,S1,S2,S3分别表示所作半圆的面积,那么(2)中的结论是否仍成立?请说明理由.(4)如图4,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,三边长分别为5,12,13,分别以Rt△ABC的三边为直径向上作半圆,求图4中阴影部分的面积.答案全解全析基础过关全练1.C　由勾股定理得b=c2−a2=12,故选C.2.A　∵∠ACD=90°,AD=13,CD=12,∴AC=AD2−CD2=132−122=5,∵∠B=90°,BC=3,∴AB=AC2−BC2=52−32=4.3.B　∵等边△ABC的顶点A,B的坐标分别为(-1,0),(1,0),∴AB=AC=2,OA=1,易知点C在y轴上,∴OC=AC2−OA2=3,∴点C的坐标为(0,3)或(0,-3).故选B.4.C　分两种情况讨论:①当∠ACB<90°时,如图,在Rt△ABD中,AB=15,AD=12,由勾股定理得,BD2=AB2-AD2=152-122=81,∴BD=9,在Rt△ACD中,AC=13,AD=12,由勾股定理得CD2=AC2-AD2=132-122=25,∴CD=5,∴BC=BD+DC=9+5=14.②当∠ACB>90°时,如图,在Rt△ABD中,AB=15,AD=12,由勾股定理得BD2=AB2-AD2=152-122=81,∴BD=9,在Rt △ACD 中,AC=13,AD=12,由勾股定理得CD 2=AC 2-AD 2=132-122=25,∴CD=5,∴BC=BD-DC=9-5=4.故选C.5.答案　5 cm解析　∵∠B=∠C=90°,∴∠B+∠C=180°,∴AB ∥CD,∴∠CDA+∠DAB=180°,∵AM 平分∠DAB,DM 平分∠ADC,∴∠ADM=12∠CDA,∠DAM=12∠DAB,∴∠ADM+∠DAM=12(∠CDA+∠DAB)=90°,∴∠DMA=90°,在Rt △DAM 中,AD=DM 2+A M 2=5 cm.6.答案　152 m 解析　设绳索AC 的长是x m,则AB=x m,∵DE=FC=4 m,BE=1 m,∴AD=AB+BE-DE=x+1-4=(x-3)m,在Rt △ACD 中,由勾股定理得AC 2=AD 2+CD 2,即x 2=(x-3)2+62,解得x=152,即绳索AC 的长是152 m.7.解析　(1)根据作图过程可知BD=BC.∵∠ACB=90°,∠A=25°,∴∠B=65°.∵BD=BC,∴∠BCD=∠BDC=180°−65°2=57.5°,∴∠ACD=90°-∠BCD=90°-57.5°=32.5°.(2)根据作图过程可知AD=AE,BD=BC=4,∴AC=AE+CE=AD+3,AB=AD+4.在Rt△ACB中,由勾股定理得AB2=AC2+BC2,即(AD+4)2=(AD+3)2+42,解得AD=4.5.8.解析　(1)B(-2,-1),C(3,-2).(2)由勾股定理得AB=32+42=5,AC=12+42=17,BC=12+52=26.所以△ABC的周长为5+17+26.(3)由题图得S△ABC=4×5-12×1×5−12×1×4−12×3×4=9.5.9.解析　如图,延长FC交AB于点G,则CG⊥AB,AG=CD=1 m,GC=AD=15 m,设BG=x m,则BC=(26-1-x)m,在Rt△BGC中,∵BG2+CG2=CB2,∴x2+152=(26-1-x)2,解得x=8,∴AB=BG+GA=8+1=9(m),∴AB段的长度为9 m.10.B　A项,∵32+42=25,52=25,∴32+42=52,∴是直角三角形;B项,∵52+42=41,62=36,∴52+42≠62,∴不是直角三角形;C项,∵52+122=169,132=169,∴52+122=132,∴是直角三角形;D项,∵62+82=100,102=100,∴62+82=102,∴是直角三角形.故选B.11.答案　150°解析　如图,连接BD,∵AB=AD=5,∠A=60°,∴△ABD是等边三角形,∴BD=5,∠ADB=60°,∵BC=13,CD=12,∴BD2+CD2=52+122=169,BC2=132=169,∴BD2+CD2=BC2,∴△BDC是直角三角形,且∠BDC=90°,∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=60°+90°=150°.故答案为150°.12.答案　2解析　在△BCD中,CD=6,BD=10,BC=8,∴BC2+CD2=82+62=100,BD2=102=100,∴BC2+CD2=BD2,∴△BCD是直角三角形,且∠C=90°,∵∠A=45°,∴∠ABC=90°-∠A=45°,∴∠ABC=∠A=45°,∴AC=BC=8,∴AD=AC-CD=8-6=2.故答案为2.13.解析　∵BD2+AD2=62+82=102=AB2,∴△ABD是直角三角形,且∠ADB=90°,∴AD⊥BC.在Rt△ACD中,CD=AC2−AD2=172−82=15,∴BC=BD+CD=6+15=21,∴S △ABC =12BC·AD=12×21×8=84,故△ABC 的面积为84.14.解析　(1)证明:连接AC,如图,∵AD 2=12+22=5,CD 2=22+42=20,AC 2=52=25,∴AD 2+CD 2=AC 2,∴△ADC 是直角三角形,且∠ADC=90°.(2)由题意得四边形ABCD 的面积=△ADC 的面积+△ABC 的面积=12×5×2+12×5×1=5+52=152.15.C A 项,逆命题为相等的角为对顶角,错误,逆命题为假命题;B 项,逆命题为绝对值相等的两个数相等,错误,逆命题为假命题;C 项,逆命题为同旁内角互补,两直线平行,是平行线的判定定理,正确;D 项,逆命题为如果a 2=b 2,那么a=b,错误,逆命题为假命题.故选C.16.解析　(1)不是对顶角的两个角不相等,此命题是假命题,它的逆命题是不相等的两个角不是对顶角,此逆命题为真命题.(2)内错角相等,此命题为假命题,它的逆命题为相等的角为内错角,此逆命题为假命题.(3)互为相反数的两个数的和为零,此命题为真命题,它的逆命题为和为零的两个数互为相反数,此逆命题为真命题.能力提升全练17.C　∵直角三角形的三边长a,b,c满足c>a>b,∴该直角三角形的斜边长为c,∴c2=a2+b2,∴c2-a2-b2=0,∴S1=c2-a2-b(c-a)=ab+b2-bc,∵S2=b(a+b-c)=ab+b2-bc,∴S1=S2.故选C.18.C　如图,过B点作BG∥CD,连接EG,∵BG∥CD,∴∠ABG=∠CFB=α.∵BG2=12+42=17,BE2=12+42=17,EG2=32+52=34,∴BG2+BE2=EG2,∴△BEG是直角三角形,且∠GBE=90°,∴∠ABE=∠GBE+∠ABG=90°+α.故选C.19.答案　如果a=b,那么|a|=|b|解析　把命题的题设和结论互换就得到原命题的逆命题,故答案为如果a=b,那么|a|=|b|.20.答案　50解析　如图,由题意得∠DAB=60°,∠FBC=30°,AD∥EF,∴∠DAB=∠ABE=60°,∴∠ABC=180°-∠ABE-∠FBC=90°,在Rt△ABC中,AB=30 km,BC=40 km,由勾股定理可得AC=AB2+B C2=302+402=50(km),∴A,C两港之间的距离为50 km.故答案为50.21.解析　(1)由勾股定理得AB=22+32=13,AC=12+82=65,BC=42+62 =52,∴△ABC的周长=AB+AC+BC=13+65+52.(2)△ABC是直角三角形.理由:∵AB=13,AC=65,BC=52,∴AB2+BC2=13+52=65,AC2=65,∴AB2+BC2=AC2,∴△ABC是直角三角形.素养探究全练22.解析　(1)(a+b)2=a2+2ab+b2.(2)S1+S2=S3.(3)成立.理由如下:由题可知,S2=12π=πb28,S3=12π=πc28,S1=12π=πa28,∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=a,AC=b,AB=c,∴a2+b2=c2,∴πa28+πb28=π(a2+b2)8=πc28,∴S1+S2=S3.(4)根据(3)的结论可知,两个以直角边为直径的半圆面积和等于以斜边为直径的半圆面积,∴阴影部分的面积=直角三角形ABC的面积,∴阴影部分的面积=5×12÷2=30.。

七年级直角三角形（难度系数0.62）一、单选题（共20题；共40分）1.有一个三角形两边长为3和4，要使三角形为直角三角形，则第三边长为（）A. 5B.C. 5或D. 不确定【答案】C【考点】勾股定理2.图中字母所代表的正方形的面积为144的选项为（）A. B. C. D.【答案】 D【考点】勾股定理的应用3.如图所示，在△ABC中，D为AB的中点，BE⊥AC，垂足为点E，若DE=4，AE=6，则BE的长度是（）A. 10B. 2C. 8D. 2【答案】 D【考点】直角三角形斜边上的中线，勾股定理4.如图所示，A是斜边长为m的等腰直角三角形，B，C，D都是正方形。

则A，B，C，D的面积的和等于( )A. 94m2 B. 52m2 C. 114m2 D. 3m2【答案】A【考点】勾股定理，等腰直角三角形5.将一根长24cm的筷子置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为h，则h的取值范围是（）A. 12cm≤h≤19cmB. 12cm≤h≤13cmC. 11cm≤h≤12cmD. 5cm≤h≤12cm【答案】C【考点】勾股定理6.如图，AC＝BC，AE＝CD，AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，AE＝7，BD＝2，则DE的长是（）A. 7B. 5C. 3D. 2【答案】B【考点】直角三角形全等的判定7.如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点得△ABC，则AC边上的高是（）．A. 310√5 B. 32√2 C. 45√5 D. 35√5【答案】 D【考点】勾股定理8.以a．b．c为边的三角形是直角三角的为（）A. a=2，b=3，c=4B. a=1，b= ，c=2C. a=4，b=5，c=6D. a=2，b=2，c=【答案】B【考点】勾股定理的逆定理9.下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中不能构成直角三角形的是（）A. 3，4，5B. √3，√4，√5C. 6，8，10D. 9，12，15 【答案】B【考点】勾股定理的逆定理10.下列各组长度的线段能构成直角三角形的一组是( )A. 30,40,50B. 7,12,13C. 5,9,12D. 3,4,6【答案】A【考点】勾股定理的逆定理11.如图，以直角三角形a，b，c为边，向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1＋S2＝S3图形个数有( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】 D【考点】勾股定理，勾股定理的应用12.如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=25°，点D为斜边AB上的中点，DE⊥CD交AC于点E，则∠AED的度数为（）A. 105°B. 110°C. 115°D. 125°【答案】C【考点】直角三角形斜边上的中线13.如图，一根长5米的竹竿AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为4米，如果竹竿的顶端A沿墙下滑1米，竹竿底端B外移的距离BD（）A. 等于1米B. 大于1米C. 小于1米D. 以上都不对【答案】A【考点】勾股定理的应用14.如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为S 1、S 2、S 3；如图2，分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇形，面积分别为S 4、S 5、S 6。

七年级三角形的有关证明（难度系数0.2）一、单选题（共10题；共20分）1.如图，过边长为1的等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，Q 为BC 延长线一点，当PA=CQ 时，连结PQ 交AC 于D ，则DE 的长为（ ）A. 12B. 13C. 23D. 25【答案】 A【考点】平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质 2.如图，点E 是BC 的中点，AB ⊥BC ， DC ⊥BC ， AE 平分∠BAD ， 下列结论：①∠AED =90° ②∠ADE =∠CDE ③DE =BE ④AD ＝AB ＋CD ， 四个结论中成立的是（ ）A. ①②④B. ①②③C. ②③④D. ①③④【答案】 A【考点】全等三角形的判定与性质，角平分线的性质3.如图在△ABC 中，P 、Q 分别是BC 、AC 上的点，作PR ⊥AB ，PS ⊥AC ，垂足分别是R 、S ，若AQ=PQ ，PR=PS,AB=AC ，下面三个结论：①AS=AR ；②PQ ∥AB ；③△BRP ≌△CSP ，其中正确的是（ ）A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③【答案】 D【考点】角的平分线，全等三角形的判定与性质4.如图，在第1个△A1BC中，∠B=30°，A1B=CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2=A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3=A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以A n为顶点的底角度数是（）A. （12）n•75° B. （12）n﹣1•65° C. （12）n﹣1•75° D. （12）n•85°【答案】C【考点】等腰三角形的性质5.如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：①∠AED=90° ②∠ADE=∠CDE ③DE=BE④AD=AB+CD，四个结论中成立的是（）A. ①②④B. ①②③C. ②③④D. ①③【答案】A【考点】全等三角形的判定与性质，角平分线的性质6.若等腰三角形的两条边长分别为7cm和14cm，则它的周长为（）A. 28B. 35C. 28或35D. 21或28【答案】B【考点】等腰三角形的判定与性质7.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，BC=1．M、N分别是AB、AC上的任意一点，求MN+NB的最小值为（）A. 1.5B. 2C. √32 + 34D. √3【答案】A【考点】含30度角的直角三角形，轴对称的应用-最短距离问题8.在下列四组条件中，能判定△ABC ≌△DEF 的是（ ）A. AB=DE ， BC= EF ， ∠A=∠DB. ∠A=∠D ， ∠C=∠F ， AC= DEC. ∠A=∠E ， ∠B=∠F ， ∠C=∠DD. AB=DE ， BC= EF ， △ABC 的周长等于△DEF 的周长【答案】 D【考点】三角形全等的判定9.如图，已知∠AOB 是直角，∠AOC 是锐角，ON 平分∠AOC ，OM 平分∠BOC ，则∠MON 是（ ）A. 45ºB. 45º+12∠AOCC. 60°－12∠AOCD. 不能计算【答案】 A【考点】角平分线的性质10.等腰三角形的底角为15，腰长a 为，则此等腰三角形的底长为（ ）A. √3−12aB. 1+√32aC. √6−√22aD. √6+√22 a 【答案】D【考点】等腰三角形的性质，锐角三角函数的定义，特殊角的三角函数值二、填空题（共8题；共17分）11.如图，在数轴上方作一个4×4的方格(每一方格的边长为1个单位)，依次连结四边中点A ，B ，C ，D 得到一个正方形，点A 落在数轴上，用圆规在点A 的左侧的数轴上取点E 使AE=AB ．若点A 在原点右侧且到原点的距离为1个单位，则点E 表示的数是________。

七年级直角三角形（难度系数0.6）一、单选题（共15题；共30分）1.如图，将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，则下列说法正确的个数有（）①DF平分∠BDE；②△BFD是等腰三角形；；③△CED的周长等于BC的长.A. 0个；B. 1个；C. 2个；D. 3个.【答案】C【考点】翻折变换（折叠问题），等腰直角三角形2.下列命题中，正确个数是（）①若三条线段的比为1：1：√2，则它们组成一个等腰直角三角形；②两条对角线相等的平行四边形是矩形；③对角线互相垂直的四边形是菱形；④有两个角相等的梯形是等腰梯形；⑤一条直线与矩形的一组对边相交，必分矩形为两个直角梯形。

A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个【答案】A【考点】菱形的判定，矩形的判定，等腰直角三角形3.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，若BC=7，则AE的长为（）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】D【考点】直角三角形全等的判定，角平分线的性质4.如图3，AD是△ABC的高，AD＝BD，DE＝DC，∠BAC＝75°，则∠ABE的度数是（）A. 10°B. 15°C. 30°D. 45°【答案】B【考点】垂线，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形5.如图，在等腰直角△ABC中，∠B＝90°，将△ABC绕顶点A逆时针方向旋转60°后得到△AB’C’则∠BAC’ 等于（）A. 60°B. 105°C. 120°D. 135°【答案】B【考点】旋转的性质，等腰直角三角形6.如图，桌面上竖直放置一等腰直角三角板ABC，若测得斜边AB在桌面上的投影DE为8cm，且点B距离桌面的高度为3cm，则点A距离桌面的高度为（）A. 6.5cmB. 5cmC. 9.5cmD. 11cm【答案】B【考点】全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形7.如图，已知AB=AD，∠BAD=∠CAE，则增加以下哪个条件仍不能判断△BAC≅△DAE的是（）A. AC=AEB. BC=DEC. ∠B=∠DD. ∠C=∠E【答案】B【考点】直角三角形全等的判定8.如图：有一块含有45°的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上，如果∠1=20°，那么∠2的度数是（）A. 30°B. 25°C. 20°D. 15°【答案】B【考点】平行线的性质，等腰直角三角形9.下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（）A. 3，4，5B. 7，24，25C. 1，√2，√3D. 2，3，4【答案】 D【考点】勾股定理的逆定理10.△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边上的中线，过点C作CF⊥AE，垂足为点F，过点B作BD⊥BC 交CF的延长线于点D，BD=2cm，则△ABE的面积为（）A. 2cm2B. 4cm2C. 6cm2D. 8cm2【答案】B【考点】全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形11.下列说法：①两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等．②角的对称轴是角平分线③两边对应相等的两直角三角形全等④成轴对称的两图形一定全等⑤到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确的有（）个．A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A【考点】直角三角形全等的判定，线段垂直平分线的性质，轴对称的性质，轴对称图形12.如图，设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，黑、白两个甲壳虫同时从点A出发，以相同的速度分别沿棱向前爬行，黑甲壳虫爬行的路线是AA1→A1D1→……，白甲壳虫爬行的路线是AB→BB1→……，并且都遵循如下规则：所爬行的第n＋2与第n条棱所在的直线必须是既不平行也不相交（其中n是正整数）．那么当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2015条棱分别停止在所到的正方体顶点处时，它们之间的距离是（）．A. 0B. 1C. √2D. √3【答案】C【考点】勾股定理，探索数与式的规律，有理数的除法13.如图，在5×5的方格中，有一个正方形ABCD，假设每一个小方格的边长为1个单位长度，则正方形的边长为（）A. √12B. √13C. √14D. √15【答案】B【考点】勾股定理14.下列几组数能作为直角三角形的三边长的是（）A. 2，2，√8B. √3，2，√5C. 9，12，18D. 12，15，20【答案】A【考点】勾股定理的逆定理15.如图为正方形网格，则∠1+∠2+∠3=（）A. 105°B. 120°C. 115°D. 135°【答案】 D【考点】全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形二、填空题（共16题；共20分）16.RtΔABC中，∠C=900，AC=3，BC=2，将此三角形绕点A旋转，当点B落在直线BC 上的点D处时，点C落在点E处，此时点E到直线BC的距离为________．【答案】2413【考点】三角形的面积，勾股定理，相似三角形的判定与性质，旋转的性质17.如图，△ABC中，∠BAC=90°，点G是△ABC的重心，如果AG=4，那么BC的长为 ________【答案】12【考点】三角形的角平分线、中线和高，直角三角形斜边上的中线18.如图，每个小正方形的边长为1，在△ABC中，点D为AB的中点，则线段CD的长为__.【答案】√262【考点】直角三角形斜边上的中线，勾股定理的逆定理19.小强想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面上还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高度是________米.【答案】12【考点】勾股定理的应用20.如图所示的方格中，∠1+∠2+∠3=________度．【答案】135°.【考点】全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形21.如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放:含30°角的直角三角板的斜边与含45°角的直角三角板一直角边重合，含45°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含30°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是________．【答案】135°【考点】平行线的性质，等腰直角三角形22.如图∠C=∠D=900，要使△ABC≌△BAD需要添加的一个条件是________.【答案】∠CAB=∠DBA（答案不唯一）【考点】直角三角形全等的判定23.Rt△ABC中，∠C是直角，O是角平分线的交点，AC=3，BC=4，AB=5，O到三边的距离r=________．【答案】1【考点】角平分线的性质，勾股定理的逆定理24.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F，若BF=AC，则∠ABC=________度．【答案】45【考点】全等三角形的性质，直角三角形全等的判定25.如图，在等边△ABC中，AD平分∠BAC交BC与点D，点E为AC边的中点，BC=8；在AD上有一动点Q，则QC+QE的最小值为________．【答案】4 √3【考点】等边三角形的性质，勾股定理，轴对称的应用-最短距离问题26.已知⊙O的直径CD为4，AC⌢的度数为80°，点B是AC⌢的中点，点P在直径CD上移动，则BP+AP 的最小值为________．【答案】2 √3【考点】勾股定理，垂径定理，轴对称-最短路线问题27.如图，四边形BCDE是正方形，数轴上点A表示的实数是________．【答案】1﹣√2【考点】实数在数轴上的表示，勾股定理28.如图，数轴上点A所对应的数是________．【答案】﹣√5【考点】实数在数轴上的表示，勾股定理29.如图，△ABC和△DBC是两个具有公共边的全等三角形，AB=AC=6cm，BC=4cm，将△DBC沿射线BC平移一定的距离得到△D1B1C1，连接AC1，BD1．如果四边形ABD1C1是矩形，那么平移的距离为________．【答案】14cm【考点】全等三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，平移的性质30.已知一个直角三角形的两条直角边的差为2，两条直角边的平方和为8，则这个直角三角形的面积是________【答案】1【考点】勾股定理31.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，以B为圆心BC为半径画弧交AD于点E，如果点F是弧EC的中点，联结FB，那么tan∠FBC的值为________【答案】13【考点】勾股定理三、解答题（共8题；共40分）32.如图所示，有两个长度相等的滑梯（即BC=EF）左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，求∠ABC+∠DFE的度数。

七年级直角三角形（难度系数0.52）一、单选题（共21题；共42分）1.如图，在△ABC中，AB=AC=5，P是BC边上除B、C点外的任意一点，则代数式AP2+PB•PC等于（）A. 25B. 15C. 20D. 30【答案】A【考点】勾股定理2.图1为一个长方体，AD=AB=10，AE=6，M，N为所在棱的中点，图2为图1的表面展开图，则图2中MN的长度为（）A. 11√2B. 10√2C. 10D. 8【答案】A【考点】勾股定理3.如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：①∠AED＝90°；②∠ADE＝∠CDE；③DE＝BE；④AD＝AB＋CD，四个结论中成立的是( )A. ①②④B. ①②③C. ②③④D. ①③【答案】A【考点】直角三角形全等的判定4.一块木板如图所示，已知AB＝4，BC＝3，DC＝12，AD＝13，∠B＝90°，木板的面积为（）A. 60B. 30C. 24D. 12【答案】C【考点】勾股定理的应用5.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A. 三内角之比为1：2：3B. 三边长的平方之比为1：2：3C. 三边长之比为3：4：5D. 三内角之比为3：4：5【答案】D【考点】勾股定理的逆定理6.图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2的正方体，则图1中正方形顶点A、B在围成的正方体中的距离是（）A. 0B. 1C. √2D. √3【答案】C【考点】勾股定理7.如图，在四边形ABCD中，∠B＝135°，∠C＝120°，AB=2√3，BC=4−2√2，CD＝4√2，则AD边的长为（）．A. 2√6B. 4√6C. 4+√6D. 2+2√6【答案】 D【考点】勾股定理8.在△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，则下列条件中：①a=10,b=8,c=6；②a2=3,b2=4,c2=5；③a2=(b+c)(b-c)；④∠A=2∠B=2∠C。

鲁教版七年级三角形测试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1、如图，在等腰三角形ABC中，∠ABC=120°，点P是底边AC上一个动点，M，N分别是AB，BC的中点，若PM+PN的最小值为2，则△ABC的周长是（）A．2B．2+C．4D．4+22、如图，直线AB∥CD，P是AB上的动点，当点P的位置变化时，三角形PCD的面积将（）A．变大 B．变小 C．不变 D．变大变小要看点P向左还是向右移动3、如图，有三条公路，其中AC与AB垂直，小明和小亮分别沿AC，BC同时出发骑车到C 城，若他们同时到达，则下列判断中正确的是（）A．小亮骑车的速度快B．小明骑车的速度快C．两人一样快D．因为不知道公路的长度，所以无法判断他们速度的快慢4、下列定理中，没有逆定理的是（）A．等腰三角形的两个底角相等B．对顶角相等C．三边对应相等的两个三角形全等D．直角三角形两个锐角的和等于90°5、下列命题中是真命题的是（）A．两直线平行，同位角相等B．对顶角相等，两直线平行C．两直线平行，同旁内角相等D．两直线平行，内错角互补6、正方形ABCD中，E、F两点分别是BC、CD上的点．若△AEF是边长为的等边三角形，则正方形ABCD的边长为（）A． B． C． D．27、如图：在菱形ABCD中，AC=6，BD=8，则菱形的边长为（）A．5 B．10 C．6 D．88、衢州市新农村建设推动了农村住宅旧貌变新颜，如图为一农村民居侧面截图，屋坡AF、AG分别架在墙体的点B、点C处，且AB=AC，侧面四边形BDEC为矩形．若测得∠FAG=110°，则∠FBD=（）A．35° B．40° C．55° D．70°9、下列命题中，是假命题的是（）A．互余两角的和是90°B．全等三角形的面积相等C．相等的角是对顶角D．两直线平行，同旁内角互补10、以下命题中，真命题的是（）A．同位角相等B．两边和一角对应相等的两个三角形全等C．等腰三角形底边中点到两腰的距离相等D．面积相等的两个三角形全等11、如图所示为农村一古老的捣碎器，已知支撑柱AB的高为0.3米，踏板DE长为1.6米，支撑点A到踏脚D的距离为0.6米，原来捣头点E着地，现在踏脚D着地，则捣头点E上升了（）A．1.2米B．1米C．0.8米D．1.5米12、在△ABC中，下列条件：（1）∠A：∠B：∠C=3：4：5；（2）a：b：c=3：4：5；（3）a=16，b=63，c=64；（4）a2=3，b2=4，c2=5，其中能判别△ABC是直角三角形的条件有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个13、如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）A．CD、EF、GHB．AB、EF、GHC．AB、CF、EFD．GH、AB、CD14、以下各组数为边长的三角形中，能组成直角三角形的是（）A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，615、如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6 cm、BC＝8 cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为 ( )A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．10 cm16、在△ABC中，AB=12，AC=10，BC=9，AD是BC边上的高．将△ABC按如图所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为EF，则△DEF的周长为（）A．9.5 B．10.5 C．11 D．15.517、如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，AB的中点，连接BD．若BD平分∠ABC，则下列结论错误的是（）A．BC=2BE B．∠A=∠EDA C．BC=2AD D．BD⊥AC18、如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠A=50°，∠ADE=60°，则∠C的度数为（）A．50° B．60° C．70° D．80°19、如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于（）A．50° B．60° C．70° D．80°20、如图，三角形被遮住的两个角不可能是（）A．一个锐角，一个钝角B．两个锐角C．一个锐角，一个直角D．两个钝角21、如图，数学老师让同学们数一数图中共有多少个三角形，你认为图中共有三角形（）A． 4个 B． 6个 C． 8个 D． 10个22、一位同学用三根木棒拼成图形如下，则其中符合三角形概念的是（）A． B． C． D．23、下列长度的三条线段能组成三角形的是( )A．1cm，2cm，3.5cmB．4cm，5cm，9cmC．5cm，8cm，15cmD．6cm，8cm，9cm24、若一个三角形三个内角度数的比为1︰2︰3，那么这个三角形是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形25、在如图所示的图形中，三角形的个数共有（）A ．1个 B．2个 C． 3个 D．4个26、如图是一个等边三角形木框，甲虫P在边框AC上爬行（A，C端点除外），设甲虫P 到另外两边的距离之和为d，等边三角形ABC的高为h，则d与h的大小关系是（）A．d＞hB．d＜hC．d=hD．无法确定27、如图，已知等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数为（）A．45° B．60° C．55° D．75°28、如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（）A． B． C． D．不能确定29、如图，点B、C、E在同一条直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是（）A．△ACE≌△BCD B．△BGC≌△AFC C．△DCG≌△ECF D．△ADB≌△CEA30、若图1中的线段长为1，将此线段三等分，并以中间的一段为边作等边三角形，然后去掉这一段，得到图2，再将图2中的每一段作类似变形，得到图3，按上述方法继续下去得到图4，则图4中的折线的总长度为（）A．2 B．C．D．31、如图，在图1中，互不重叠的三角形共有4个，在图2中，互不重叠的三角形共有7个，在图3中，互不重叠的三角形共有10个，…，则在第n个图形中，互不重叠的三角形共有个 ____________（用含n的代数式表示）．32、如图所示，在边长为2的正三角形ABC中，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，点P为线段EF上一个动点，连接BP、GP，则△BPG的周长的最小值是．33、如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为．34、如图，把直角三角形ABC的斜边AB放在定直线l上，按顺时针方向在l上转动两次，使它转到△A″B″C″的位置．若BC=1，AC=，则顶点A运动到点A″的位置时，点A两次运动所经过的路程．（计算结果不取近似值）35、将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的段直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为_______．36、如图，△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H．（1）△ABH���三条高是_______，这三条高相交于点______；（2）点A到点B的距离是______的长度，点A到BH的距离是______的长度；（3）＝______＝________＝______．37、如图，已知点D、E、F分别是AB、BC、CD的中点，S△DEF=cm2，则S△ABC= cm2．38、如图，等边三角形ABC的边长是6cm，BD是中线，延长BC至E，使CE=CD，连接DE，则DE的长是cm．39、我们把两个三角形的重心之间的距离叫做重心距，在同一个平面内有两个边长相等的等边三角形，如果当它们的一边重合时，重心距为2，那么当它们的一对角成对顶角时，重心距为．40、如图，△ABC和△FPQ均是等边三角形，点D、E、F分别是△ABC三边的中点，点P 在AB边上，连接EF、QE．若AB=6，PB=1，则QE= ．41、如图，正三角形ABC的边长是2，分别以点B，C为圆心，以r为半径作两条弧，设两弧与边BC围成的阴影部分���积为S，当≤r＜2时，S的取值范围是．42、补全下列各题解题过程．如图，E点为DF上的点，B为AC上的点，∠1=∠2，∠C=∠D，求证DF∥AC．证明：∵∠1=∠2（已知）∠2=∠3∠1=∠4 （）∴∠3=∠4（等量代换）∴_DB__∥_____ ( )∴∠C=∠ABD ( )∵∠C=∠D ( 已知 )∴∠D=∠ABD( )∴DF∥AC( )43、阅读理解如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分；…；将余下部分沿∠B n A n C的平分线A n B n+1折叠，点B n与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，∠BAC是△ABC的好角．小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形．情形一：如图2，沿等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合；情形二：如图3，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合．探究发现（1）△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角？（填“是”或“不是”）．（2）小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，请探究∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系．根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为．应用提升（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15°、60°、105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角．请你完成，如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．44、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，AB=5，将△ABC沿AB边所在直线向右平移3个单位，记平移后的对应三角形为△DEF（1）求DB的长；（2）求此时梯形CAEF的面积．45、如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，AD与BE相交于点F，且AE=CD，．（1）求证：AD=BE；（2）求∠BFD的度数．46、已知四边形ABCD是正方形，O为正方形对角线的交点，一动点P从B开始，沿射线BC 运动，连接DP，作CN⊥DP于点M，且交直线AB于点N，连接OP，ON．（当P在线段BC上时，如图1：当P在BC的延长线上时，如图2）（1）请从图1，图2中任选一图证明下面结论：①BN=CP；②OP=ON，且OP⊥ON；（2）设AB=4，BP=x，试确定以O、P、B、N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系．47、如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF=EC．（1）证明：△AEF≌△DCE；（2）若DE=4cm，CD=6cm，求矩形ABCD的周长．48、在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE．（1）求证：△BEC≌△DFA；（2）连接AC，当CA=CB时，判断四边形AECF是什么特殊四边形？并证明你的结论．49、如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，A，C，D三点在同一直线上，连接BD，AE，并延长AE交BD于F．（1）求证：△ACE≌△BCD；（2）直线AE与BD互相垂直吗？请证明你的结论．50、请阅读下列解题过程：已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2-b2c2=a4-b4，试判断△ABC的形状．解：∵a2c2-b2c2=a4-b4，A∴c2（a2-b2）=（a2+b2）（a2-b2），B∴c2=a2+b2，C∴△ABC为直角三角形．D问：（1）在上述解题过程中，从哪一步开始出现错误： ______；（2）错误的原因是： ________；（3）本题正确的结论是： _________．51、如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3（1）求证：BN=DN；（2）求△ABC的周长．52、如图，已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，∠EFB=60°，DC=EF．（1）求证：四边形EFCD是平行四边形；（2）若BF=EF，求证：AE=AD．53、如图，AB∥CD，AB=CD，点E、F在BC上，且BE=CF．（1）求证：△ABE≌△DCF；（2）试证明：以A、F、D、E为顶点的四边形是平行四边形．54、在平面内，分别用3根、5根、6根…火柴首尾依次相接，能搭成什么形状的三角形呢？通过尝试，列表如下所示，问：（1）4根火柴能搭成三角形吗？（2）8根、12根火柴能搭成几种不同形状的三角形？并画出它们的示意图．55、如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，BE、CE相交于点E．证明：∠E＝∠A．56、如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC 上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．（1）如图1，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；（2）如图2，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；（3）若点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由．57、（1）操作发现：如图①，D是等边△ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边△DCF，连接AF．你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．（2）类比猜想：如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？（3）深入探究：Ⅰ．如图③，当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与点B不重合）连接DC，以DC为边在BC上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′与AB有何数量关系？并证明你探究的结论．Ⅱ．如图④，当动点D在等边△边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论．58、已知：如图，点D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F，且DE=DF．求证：△ABC是等腰三角形．59、数学课上，同学们探究下列命题的准确性：（1）顶角为36°的等腰三角形具有一种特性，即经过它的某一顶点的一条射线可把它分成两个小等腰三角形．为此，请你解答：如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，射线BD平分∠ABC交AC于点D．求证：△DAB与△BCD都是等腰三角形；（2）在证明了该命题后，有同学发现：下面两个等腰三角形也具有这种特性．请你在下列两个三角形中分别画出一条射线，把它们分别分成两个小等腰三角形，并在图中标出所画小等腰三角形两个底角的度数；（3）接着，同学们又发现：还有一些既不是等腰三角形也不是直角三角形的三角形也具有这种特性，请你画出两个具有这种特性的三角形示意图（要求两三角形不相似，而且既不是等腰三角形也不是直角三角形，并标出每一个小等腰三角形各内角的度数）．60、如图，点E，F在BC上，BE=CF，∠A=∠D，∠B=∠C，AF与DE交于点O．（1）求证：AB=DC；（2）试判断△OEF的形状，并说明理由．。

鲁教版1 直角三角形的判定这样用◎杨大为1. 求线段的长度例1 如图1，已知△ABC 中，AC =6，AB =8，BC =10，AD 是BC 边上的高，求AD 的长．解：因为AC 2+AB 2=62+82=102=BC 2，所以△ABC 是直角三角形，且∠BAC =90°. 根据三角形的面积公式，得21AC ·AB =21AD ·BC ，即6×8=10AD ，所以AD =4.8．2. 求角度 例2 如图2，四边形ABCD 中，AB =AD =2，BC =3，CD =1，∠A =90°，求∠ADC 的度数．解：连接BD .因为∠A =90°，AB =AD =2，所以∠ADB =45°.由勾股定理，得BD 2=AD 2+AB 2=22+22=8. 因为BD 2+CD 2=8+12=32=BC 2，所以△BCD 为直角三角形，且∠CDB =90°.所以∠ADC =∠ADB +∠CDB =45°+90°=135°．3. 求面积例3 如图3，在△ABC 中，AB =5 cm ，BC =26 cm ，AD 是BC 边上的中线，AD=12 cm ，求△ABC 的面积．解：因为AD 是BC 边上的中线，BC =26 cm ，所以BD =CD = 13 cm.因为AB 2+AD 2=52+122=132=BD 2，所以△ABD 是直角三角形，且∠BAD =90°.所以S △ABC =S △ABD +S △ACD =2S △ABD =2×21AB ·AD =2×21×5×12=60（cm 2）．牛刀小试：如图4，四边形ABCD 中，AB =12，BC=13，CD= 4，ＡD ＝3，AD ⊥CD ，求这个图形的面积． 牛刀小试参考答案:解：连接AC.因为AD ⊥CD ，所以∠D=90°.在Rt △ADC 中，根据勾股定理，得AC 2=AD 2 +CD 2=32+42=25．所以AC =5．在△ABC 中，因为AC 2 +AB 2=52+122=169，BC 2=132=169，所以AC 2+AB 2=BC 2．所以△ABC 是直角三角形．所以所求图形的面积＝S △ABC －S △ADC =21AC·AB-21CD·AD=21×5×12-21×3×4=30-6=24． 图1图2 C D B A 图3 C D B A。

3　直角三角形第2课时　HL定理基础过关全练知识点4　“斜边、直角边”(或“HL”)1.(湖南怀化通道期中)若两个直角三角形满足下列条件中的一个,则能证明这两个直角三角形全等的是( )①一个锐角和斜边对应相等;②斜边和一条直角边对应相等;③有两条边相等;④两个锐角对应相等.A.①②B.②③C.③④D.①②③④2.【易错题】(山东菏泽单县期末)如图,已知AB=DC,BE⊥AD于点E,CF⊥AD于点F,添加下列条件中的一个,就可以判定Rt△ABE≌Rt△DCF的是( )①∠B=∠C;②AB∥CD;③BE=CF;④AF=DE.A.①②B.①②③C.①③④D.①②③④3.(吉林长春榆树期末)如图所示,已知在△ABC中,∠C=90°,AD=AC,DE⊥AB交BC于点E,连接AE.若∠B=28°,则∠AEC=( )A.28°B.59°C.60°D.62°4.(山东枣庄薛城月考)如图,AC=BC,AE⊥CD于点E,AE=CD,BD⊥CD于点D,AE=7,BD=2,则DE的长是( )A.2B.5C.7D.95.【易错题】(上海徐汇校级期末)如图,△ABC中,AB=AC,BD⊥AC于点D,CE⊥AB 于点E,BD和CE交于点O,连接AO并延长,交BC于点F,则图中全等的直角三角形有 对.6.(山东东营垦利期末)如图,已知∠A=∠D=90°,点E、F在线段BC上,DE与AF交于点O,且AB=CD,BE=CF.求证:Rt△ABF≌Rt△DCE.7.【教材变式·P117随堂练习T2】(山东菏泽鄄城期末)如图,在△ABC中,AB=AC,D 为AB边的中点,DE⊥AC于点E,DF⊥BC于点F,DE=DF.求证:△ABC是等边三角形.能力提升全练8.(湖南株洲中考,15,★★☆)如图所示,点O在一块直角三角板ABC上(其中∠ABC=30°),OM⊥AB于点M,ON⊥BC于点N,若OM=ON,则∠ABO= 度.9.(山东济南天桥期末,15,★★☆)如图,∠C=90°,AC=10,BC=5,AX⊥AC,点P,Q分别是线段AC和射线AX上的动点,且AB=PQ,当AP= 时,△ABC与△APQ全等.10.【一题多解】(山东德州德城月考,24,★★☆)如图,AC⊥BC,AD⊥BD,AD=BC.CE ⊥AB,DF⊥AB,垂足分别是E,F,那么CE=DF吗?11.(山东济南莱芜期末,23,★★☆)如图所示,CE⊥AB于点E,CD⊥AD于点D,CD=CE,BE=FD.(1)求证:BC=FC;(2)若AC=5,AD=4,求四边形ABCF的面积.素养探究全练12.【推理能力】【一线三等角模型】在△ABC中,AB=AC,DE是过点A的直线,BD ⊥DE于点D,CE⊥DE于点E.(1)若B、C在DE的同侧(如图①所示),且AD=CE,求证:AB⊥AC;(2)若B、C在DE的两侧(如图②所示),且AD=CE,AB与AC垂直吗?若垂直,请给出证明;若不垂直,请说明理由.答案全解全析基础过关全练1.A　①有斜边和一个锐角对应相等,可以利用AAS证明全等,故①符合题意;②有斜边和一条直角边对应相等,可以利用HL证明全等,故②符合题意;③有两条边相等,但并没有表明哪两条边相等,有可能是一个直角三角形的斜边与另一个直角三角形的一条直角边相等,此时两个三角形不全等,故③不符合题意;④有两个锐角对应相等,无法证明两个三角形全等,故④不符合题意.综上,①②正确.故选A.2.D　∵BE⊥AD,CF⊥AD,∴∠AEB=∠CFD=90°,又∵AB=DC,∴添加①,可利用AAS判定Rt△ABE≌Rt△DCF;添加②,可得∠A=∠D,可利用AAS判定Rt△ABE≌Rt△DCF;添加③,可利用HL判定Rt△ABE≌Rt△DCF;添加④,可得AE=DF,可利用HL判定Rt△ABE≌Rt△DCF.故选D.3.B　在△ABC中,∠C=90°,AD=AC,DE⊥AB交BC于点E,且AE=AE,∴Rt△CAE≌Rt△DAE(HL),∴∠CAE=∠DAE=12∠CAB,∵∠B+∠CAB=90°,∠B=28°,∴∠CAB=90°-28°=62°,∴∠AEC=90°-12∠CAB=90°-31°=59°.故选B.4.B　∵AE⊥CD于点E,BD⊥CD于点D,∴∠AEC=∠D=90°,在Rt△AEC与Rt△CDB中,AC=CB, AE=CD,∴Rt△AEC≌Rt△CDB(HL),∴CE=BD=2,CD=AE=7,∴DE=CD-CE=7-2=5.故选B.5.答案　6解析　∵BD⊥AC,CE⊥AB,∴∠ADB=∠AEC=90°,∵AC=AB,∠CAE=∠BAD,∴△AEC≌△ADB(AAS),∴CE=BD,∵AC=AB,∴∠CBE=∠BCD,∵∠BEC=∠CDB=90°,∴△BCE≌△CBD(AAS),∴BE=CD,∴AD=AE,又∵AO=AO,∴Rt△AOD≌Rt△AOE(HL),∴∠OAD=∠OAE,∵∠DOC=∠EOB,∠ODC=∠OEB,CD=BE,∴△COD≌△BOE(AAS),∴OB=OC,∵AB=AC,∠OAD=∠OAE,∴CF=BF,AF⊥BC,又∵OF=OF,AF=AF,∴△ACF≌△ABF(SSS),△COF≌△BOF(SSS).综上所述,共有6对全等的直角三角形.6.证明　∵BE=CF,∴BE+EF=CF+EF,即BF=CE,∵∠A=∠D=90°,∴△ABF与△DCE都为直角三角形,在Rt△ABF和Rt△DCE中,BF=CE, AB=DC,∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL).7.证明　∵D为AB的中点,∴AD=BD.∵DE⊥AC,DF⊥BC,∴∠AED=∠BFD=90°.在Rt△ADE和Rt△BDF中,AD=BD, DE=DF,∴Rt△ADE≌Rt△BDF(HL),∴∠A=∠B,∴CA=CB,∵AB=AC,∴AB=BC=AC,∴△ABC是等边三角形.能力提升全练8.答案　15解析　∵OM⊥AB,ON⊥BC,∴∠OMB=∠ONB=90°,在Rt△OMB和Rt△ONB中,OB=OB, OM=ON,∴Rt△OMB≌Rt△ONB(HL),∴∠OBM=∠OBN,又∵∠ABC=30°,∴∠ABO=15°.9.答案　5或10解析　∵AX⊥AC,∴∠PAQ=90°,∴∠C=∠PAQ=90°,分两种情况:①当AP=BC=5时,在Rt△ABC和Rt△QPA中,AB=QP, BC=PA,∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL);②当AP=CA=10时,在Rt△ABC和Rt△PQA中,AB=PQ, AC=PA,∴Rt△ABC≌Rt△PQA(HL).综上所述,当AP=5或10时,△ABC与△APQ全等.10.解析　CE=DF.理由如下:解法一:【三角形全等法】在Rt △ABC 和Rt △BAD 中,AB =BA ,BC =AD ,∴Rt △ABC ≌Rt △BAD(HL),∴AC=BD,∠CAB=∠DBA.在△ACE 和△BDF 中,∠CAE =∠DBF ,∠AEC =∠BFD =90°,AC =BD ,∴△ACE ≌△BDF(AAS),∴CE=DF.解法二:【面积法】同“解法一”可证Rt △ABC ≌Rt △BAD(HL),∴S △ABC =S △ABD ,∴12AB·CE=12AB·DF,∴CE=DF.11.解析　(1)证明:∵CE ⊥AB,CD ⊥AD,∴∠CDF=∠CEB=90°,在△CBE 和△CFD 中,BE =FD ,∠CEB =∠CDF ,CE =CD ,∴△CBE ≌△CFD(SAS),∴BC=FC.(2)在Rt △ACD 中,∵AC=5,AD=4,∴CD=52−42=3,∵AC=AC,CD=CE,∴Rt △ACD ≌Rt △ACE(HL),∴S △ACD =S △ACE ,∵△CBE ≌△CFD,∴S △CBE =S △CFD .∴S 四边形ABCF =S 四边形AECD =2S △ACD =2×12×4×3=12.素养探究全练12.解析　(1)证明:∵BD ⊥DE,CE ⊥DE,∴∠ADB=∠AEC=90°.在Rt △ABD 和Rt △CAE 中,AB =CA ,AD =CE ,∴Rt△ABD≌Rt△CAE(HL),∴∠DBA=∠EAC.∵∠DAB+∠DBA=90°,∴∠DAB+∠EAC=90°,∴∠BAC=180°-(∠DAB+∠EAC)=90°,∴AB⊥AC.(2)AB⊥AC.证明如下:同(1)可证得Rt△ABD≌Rt△CAE,∴∠DAB=∠ECA,∵∠CAE+∠ECA=90°,∴∠CAE+∠DAB=90°,即∠BAC=90°,∴AB⊥AC.。

《三角形》精练精析一、填空题1．如果三角形的一个角等于其它两个角的差，则这个三角形是______三角形．2．已知△ABC中，AD⊥BC于D，AE为∠A的平分线，且∠B=35°，∠C=65°，则∠DAE的度数为_____ ．3．三角形中最大的内角不能小于_____，两个外角的和必大于_____? ．4．三角形ABC中，∠A=40°，顶点C处的外角为110°，那么∠B＝_____?．5．锐角三角形任意两锐角的和必大于_____．6．三角形的三个外角都大于和它相邻的内角，则这个三角形为?_____ 三角形．7．在三角形ABC中，已知∠A＝80°，∠B＝50°，那么∠C的度数是．8．已知∠A=12∠B=3∠C，则∠A= ．9．已知，如图7-1，∠ACD＝130°，∠A＝∠B，那么∠A的度数是．???10．如图7-2，根据图形填空：（1）AD是△ABC中∠BAC的角平分线，则∠?????? ＝∠??????＝∠??????? ．（2）AE是△ABC中线，则???????? ＝???????? ＝??????? ．（3）AF是△ABC的高，则∠?????? ＝∠?????? ＝90°．图7-1 图7-211．如图7-3所示，图中有 个三角形， 个直角三角形．12．在四边形的四个外角中，最多有???????????? 个钝角，最多有????????????? 个锐角，最多有?????? 个直角．13．四边形ABCD 中，若∠A +∠B =∠C +∠D ，若∠C =2∠D ，则∠C ＝?????????? ．14．一个多边形的每个外角都为30°，则这个多边形的边数为??????? ；一个多边形的每个内角都为135°，则这个多边形的边数为????????? ．15．某足球场需铺设草皮，现有正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形、正十边形6种形状的草皮，请你帮助工人师傅选择两种草皮来铺设足球场，可供选择的两种组合是????????????? ．16．若一个n 边形的边数增加一倍，则内角和将????????????? ．17．在一个顶点处，若此正n 边形的内角和为?????????? ，则此正多边形可以铺满地面．18．如图7-4，BC ⊥ED 于O ，∠A =27°，∠D =20°，则∠B = ，∠ACB = ．19．如图7-5，由平面上五个点A 、B 、C 、D 、E 连结而成，则∠A +∠B +∠C +∠D +∠E = ． 20．以长度为5cm 、7cm 、9cm 、13cm 的线段中的三条为边，能够组成三角形的情况有 种，分别是 ．二、选择题?21．已知三角形ABC 的三个内角满足关系∠B ＋∠C =3∠A ，则此三角形图7-4（????? ）．?? ? A．一定有一个内角为45°??? B．一定有一个内角为60°??? C．一定是直角三角形??? D．一定是钝角三角形?22．如果一个三角形的三个外角之比为2：3：4，则与之对应的三个内角度数之比为（????? ）．??? A．4：3：2????????????? B．3：2：4??? C．5：3：1????????????? D．3：1：5?23．三角形中至少有一个内角大于或等于（????? ）．??? A．45°????? B．55°???? C．60°????? D．65°?24．如图7-6，下列说法中错误的是（????? ）．??? A．∠1不是三角形ABC的外角?? B．∠B<∠1＋∠2??? C．∠ACD是三角形ABC的外角??? D．∠ACD>∠A+∠B25．如图7-7，C在AB的延长线上，CE⊥AF于E，交FB于D，若∠F=40°，∠C=20°，则∠FBA的度数为（????? ）．??? ?? A．50°? B．60°? C．70°? D．80°26．下列叙述中错误的一项是（???? ）．??? A．三角形的中线、角平分线、高都是线段．??? B．三角形的三条高线中至少存在一条在三角形内部．??? C．只有一条高在三角形内部的三角形一定是钝角三角形．??? D．三角形的三条角平分线都在三角形内部．27．下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（???? ）．图7-7??? A．1，5，7?? B．3，4，7? C．7，4，1?? D．5，5，528．如果三角形的两边长为3和5，那么第三边长可以是下面的（???? ）．??? A．1???????? B．9???????? C．3???????? D．1029．三条线段a＝5，b＝3，c的值为整数，由a、b、c为边可组成三角形（???? ）．??? A．1个???? B．3个????? C．5个????? D．无数个30．四边形的四个内角可以都是（）．A．锐角????????????????????? ?B．直角C．钝角???????????????????????????????? D．以上答案都不对31．下列判断中正确的是（????? ）．A．四边形的外角和大于内角和B．若多边形边数从3增加到n（n为大于3的自然数），它们外角和的度数不变C．一个多边形的内角中，锐角的个数可以任意多D．一个多边形的内角和为1880°32．一个五边形有三个角是直角，另两个角都等于n，则n的值为（????? ）．A．108°??? B．125°??? C．135°??? D．150°33．多边形每一个内角都等于150°，则从此多边形一个顶点发出的对角线有（）．A．7条???? B．8条????? C．9条??? D．10条34．如图7-9，三角形ABC 中，D 为BC 上的一点，且S △ABD =S △ADC ，则AD 为（???? ）． A ．高????????????? B ．角平分线C ．中线??????????D ．不能确定35．如图7-10，已知∠1＝∠2，则AH 必为三角形ABC 的（???? ）． A ．角平分线?????????? B ．中线C ．一角的平分线????D ．角平分线所在射线36．现有长度分别为2cm 、4cm 、6cm 、8cm 的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数为（????? ）．A ． 1 ??B ． 2??C ． 3??D ． 437．如图7-11，三角形ABC 中，AD 平分∠BAC ，EG ⊥AD ，且分别交AB 、AD 、AC 及BC 的延长线于点E 、H 、F 、G ，下列四个式子中正确的是（???? ）38．如图7-12，在三角形ABC 中，∠1＝∠2，G 为AD 的中点，延长BG 交AC 于E ．F 为AB 上的一点，CF ⊥AD 于H ．下列判断正确的有（?????? ）．（1）AD 是三角形ABE 的角平分线．（2）BE 是三角形ABD 边AD 上的中线．（3）CH 为三角形ACD 边AD 上的高． A ．1个? B ．2个? C ．3个?? D ．0个三、解答题39．如图，在三角形ABC 中，∠B ＝∠C ，D 是BC 上一点，且FD ⊥BC ，DE ⊥AB ，∠AFD ＝140°，你能求出∠EDF 的度数吗？40．如图，有甲、乙、丙、丁四个小岛，甲、乙、丙在同一条直线上，而且图7-9 图 图7-11图7-12乙、丙在甲的正东方，丁岛在丙岛的正北方，甲岛在丁岛的南偏西52°方向，乙岛在丁岛的南偏东40°方向．那么，丁岛分别在甲岛和乙岛的什么方向？41．如图，已知三角形ABC的三个内角平分线交于点I，IH⊥BC于H，试比较∠CIH和∠BID的大小．42．如图，在三角形ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，BC=16，AD＝3，BE=4，CF=6，你能求出三角形ABC的周长吗？43．如图，在三角形ABC中，AD是BC边上的中线，三角形ABD的周长比三角形ACD的周长小5，你能求出AC与AB的边长的差吗？44．已知等腰三角形的周长是16cm．（1）若其中一边长为4cm，求另外两边的长；??? （2）若其中一边长为6cm，求另外两边长；??? （3）若三边长都是整数，求三角形各边的长．45．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，试问BE与DF平行吗？为什么？46．某同学在计算多边形的内角和时，得到的答案是1125°，老师指出他少加了一个内角的度数，你知道这个同学计算的是几边形的内角和吗？他少加的那个内角的度数是多少？47．把边长为2cm的正方形剪成四个一样的直角三角形，如图所示．请用这四个直角三角形拼成符合下列条件的图形：（1）不是正方形的菱形；（2）不是正方形的长方形；（3）梯形；（4）不是长方形、菱形的的平行四边形．48．下面是数学课堂的一个学习片段，阅读后，请回答下面的问题：学习等腰三角形有关内容后，张老师请同学们交流讨论这样一个问题．“已知等腰三角形ABC的角A等于30°，请你求出其余两角”．同学们经过片刻的思考与交流后，李明同学举手说: “其余两角是30°和120°”；王华同学说：“其余两角是75°和75°．” 还有一些同学也提出了自己的看法…（1）假如你也在课堂中, 你的意见如何? 为什么？（2）通过上面数学问题的讨论, 你有什么感受？（用一句话表示）49．如图，凸六边形ABCDEF的六个角都是120°，边长AB＝2cm，BC=8cm，CD＝11cm，DE＝6cm，你能求出这个六边形的周长吗？参考解析：一、填空题1．直角?2．15°3．60°，180°????????????????4．70°5．90°?????????????????????????????6．锐角7．∠C＝180°－80°－50°＝50°．8．设∠A的度数为x．则∠B＝2x，∠C＝x．???? 所以x＋2x＋x＝180°，解得x＝54°．??? 所以∠A＝54°．9．∠A＝∠B＝∠ACD＝65°．10．（1）BAD，CAD，BAC；??? （2）BE，CE，BC；??? （3）AFB，AFC．11．解：有5个三角形，分别是△ABD，△ADE，△CDE，△ADC，△ABC；有4个直角三角形，分别是△ABD，△ADE，△CDE，△ADC．12．3，2，4?????????13．120°?????14．12，815．正三角形和正四边形、正三角形和正六边形、正四边形和正八边形中任选两种即可．16．增加（n－4）×180°??17．360°或720°或180°18．解：因为∠BED＝∠A＋∠D=47°，??? 所以∠B＝180°－90°－47°＝43°．??? 所以∠BCD＝27°＋43°＝70°．??? 所以∠ACB＝180°－70°＝110°．19．解：连结BC，如图，??? 则∠DBC＋∠ECB＝∠D+∠E．??? 所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝∠A+∠B+∠C+∠DBC＋∠ECB＝180°．20．解：有3种．分别以长为5cm，7cm，9cm；7cm，9cm13cm；5cm，9cm，13cm的线段为边能组成三角形．二、选择题21．A?? 22．C?? 23．C??? 24．D??? 25．C 26．C??? 27．D??? 28．C??? 29．C? 30．B?? 31．B???? 32．C??? 33．C??34．C（点拨：可能会错选A或B．有的同学一看到面积就认为与高相关，故错选A；有的同学认为平分内角必平分三角形的面积，故错选B．其实，因为△ABD 与△ACD同高h，又S△ABD=S△ADC，即BD×h=·CD×h，所以，BD=CD，由此可知，AD为三角形ABC中BC边的中线．）35．D（点拨：可能会错选A或选C．错选A的同学，只注重平分内角而忽视了三角形的角平分线为一线段这一条件；而错选C的同学，实质上与错选A的同学犯的是同一个错误，显然这里“角平分线”与“一角的平分线”是一个意思，因为前提条件是说“AH必为三角形ABC的”．）36．A（点拨：由三角形的三边关系知：若长度分别为2cm、4cm、6cm，不可以组成三角形；若长度分别为4cm、6cm、8cm，则可以组成三角形；若长度分别为2cm、4cm、8cm，则不可以组成三角形；若长度分别为2cm、6cm、8cm，则不可以组成三角形．即分别为2cm、4cm、6cm、8cm的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数为1，故应选A．）37．C（点拨：因为EG⊥AD，交点为H，AD平分∠BAC，所以在直角三角形AHE中，∠1＝90°－，在三角形ABC中，易知∠BAC＝180°－（∠2＋∠3），?所以∠1＝90°－［180°－（∠2＋∠3）］=（∠3+∠2）．? 又因为∠1是三角形EBG的外角，所以∠1＝∠2＋∠G．??? 所以∠G＝∠1－∠2＝（∠3+∠2）－∠2＝（∠3－∠2）．??）38．A（点拨：由∠1＝∠2，知AD平分∠BAE，但AD不是三角形ABE内的线段，所以（1）不正确；同理，BE虽然经过三角形ABD边AD的中点G，但BE不是三角形ABD内的线段，故（2）不正确；由于CH⊥AD于H，故CH是三角形ACD边AD上的高，（3）正确．应选A．）三、解答题39．解析：要想求∠EDF的度数，我们可以利用平角定义，只要能求出∠EDB 即可．而∠EDB在三角形BDE中，只要能求出∠B就可以利用三角形内角和求∠EDB．而∠B又等于∠C，题中告诉了三角形DFC的一个外角∠AFD＝140°，所以我们能得出∠C的度数．??? 解：因为∠AFD是三角形DCF的一个外角．??? 所以∠AFD=∠C+∠FDC．??? 即140°＝∠C＋90°．??? 解得∠C＝50°．??? 所以∠B＝∠C＝50°．??? 所以∠EDB＝180°－90°－50°＝40°．??? 所以∠FDE＝180°－90°－40°＝50°．40．解析：我们可以用字母代替甲、乙、丙、丁，用角度代表方向．把题中数据与图形一一对应，利用各方向的关系可求出丁岛分别在甲岛和乙岛的方向．??? 解：设甲岛处的位置为A，乙岛处的位置为B，丙岛处的位置为D，丁岛处的位置为C．如图：??? 因为丁岛在丙岛的正北方，??? 所以CD⊥AB．??? 因为甲岛在丁岛的南偏西52°方向，??? 所以∠ACD＝52°．??? 所以∠CAD＝180°-90°-52°＝38°．??? 所以丁岛在甲岛的东偏北38°方向．??? 因为乙岛在丁岛的南偏东40°方向，??? 所以∠BCD=40°．??? 所以∠CBD＝180°-90°-40°＝50°．??? 所以丁岛在乙岛的西偏北50°方向．41．解析：利用角平分线的性质解．解：因为AI、BI、CI为三角形ABC的角平分线，??? 所以∠BAD=∠BAC，∠ABI=∠ABC，∠HCI=∠ACB．??? 所以∠BAD＋∠ABI+∠HCI=∠BAC+∠ABC+∠ACB＝（∠BAC+∠ABC+∠ACB）＝×180°＝90°．??? 所以∠BAD＋∠ABI＝90°－∠HCI．??? 又因为∠BAD＋∠ABI＝∠BID，90°－∠HCI＝∠CIH，??? 所以∠BID＝∠CIH．??? 所以∠BID和∠CIH是相等的关系．42．解析：本题已知一边长和三条高，我们可以利用三角形的面积公式求得另外两边长，三边相加即可得到三角形的周长．??? 解：由三角形面积公式可得S△ABC＝BC×AD＝AC×BE，即16×3＝4×AC，所以AC＝12．??? 由三角形面积公式可得S△ABC＝BC×AD＝AB×CF，即16×3＝6×AB．??? 所以AB＝8．??? 所以三角形ABC的周长为16+12+8＝36．43．解析：本题要求AC与AB的边长的差，且AC与AB的长度都不知道，不少同学感到无从下手．其实，只要我们仔细分析分析题中条件：三角形ABD 的周长比三角形ACD的周长小5，即AC-AB+CD-BD=5，又AD是BC边上的中线，所以BD=CD．所以AC-AB=5．??? 解：AC-AB=5．44．解析：在第（1）和第（2）问中，没有说明所给边长是腰长还是底边长，因此我们要进行分类讨论．在第（3）问中，只给出了三边长都是整数，而此三角形又是等腰三角形，所以其最长边小于8cm，我们可以用列表法一一列出各组边长．??? 解：（1）如果腰长为4cm，则底边长为16-4-4＝8cm．三边长为4cm，4cm，8cm，不符合三角形三边关系定理．所以应该是底边长为4cm．所以腰长为（16-4）÷2＝6cm．三边长为4cm，6cm，6cm，符合三角形三边关系定理，所以另外两边长都为6cm．??? （2）如果腰长为6cm，则底边长为16-6-6＝4cm．三边长为4cm，6cm，6cm，符合三角形三边关系定理．所以另外两边长分别为6cm和4cm．??? 如果底边长为6cm，则腰长为（16-6）÷2＝5cm．三边长为6cm，5cm，5cm，符合三角形三边关系定理，所以另外两边长都为5cm．??? （3）因为周长为16cm，且三边都是整数，所以三角形的最长边不会超过8cm且是等腰三角形，我们可用列表法，求出其各边长如下：??? 7cm，7cm，2cm；6cm，5cm，5cm；6cm，6cm，4cm，共有这三种情况．45．解析：要想BE与DF平行，就要找平行的条件．题中只给出了∠A＝∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC．那么我们是利用同位角相等呢还是利用同旁内角互补？经过仔细观察图形我们知道∠BFD是三角形ADF的外角，则∠BFD＝∠A+∠ADF．而∠ADF是∠ADC的一半，∠ABE是∠ABC的一半，所以我们选择用同旁内角互补来证平行．??? 解：BE与DF平行．理由如下：??? 由n边形内角和公式可得四边形内角和为（4-2）×180°＝360°．??? 因为∠A＝∠C=90°，??? 所以∠ADC+∠ABC=180°．??? 因为BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，??? 所以∠ADF＝∠ADC，∠ABE＝∠ABC．??? 因为∠BFD是三角形ADF的外角，??? 所以∠BFD＝∠A+∠ADF．??? 所以∠BFD＋∠ABE＝∠A+∠ADC＋∠ABC＝∠A+（∠ADC+∠ABC）＝90°＋90°＝180°．??? 所以BE与DF平行．46．解析：我们发现1125°不能被180°整除，所以老师说少加了一个角的度数．我们可设少加的度数为x，利用整除求解．??? 解：设少加的度数为x．??? 则1125°＝180°×7-135°．??? 因为0°<x<180°，??? 所以x＝135°．??? 所以此多边形的内角和为1125°+135°＝1260°．??? 设多边形的边数为n，??? 则（n－2）×180°＝1260°，解得n＝9．??? 所以此多边形是九边形，少加的那个内角的度数是135°．47．解析：题中告诉了我们按要求拼成．??? 解：如图：48．解析：本题首先要求考生在阅读数学课堂的一个学习片断后，对两名学生的说法提出自己的看法，这时考生应抓住题中条件“等腰三角形ABC的角A等于30°”这个不确定条件进行分析研究．当∠A是顶角时，设底角是α，∴30°+α+α=180°，α=75°，∴其余两底角是75°和75°．当∠A是底角时，设顶角是β，∴30°+30°+β=180°，β=120°，∴其余两角是30°和120°．由此说明李明和王华两同学都犯了以偏概全的答题的错误．??? 对于第（2）问应在第（1）问的解答的基础上，可总结出“根据图形位置关系，实施分类讨论思想方法解多解型问题”，“考虑问题要全面”等．小结：三角形的中线、角平分线、高（线）是三角形中三条十分重要的线段，初学者常因不能准确理解其概念的实质内涵，而出现这样或那样的错误，现举例分析如下，以达到亡羊补牢或未雨绸缪的目的．49．解析：要求六边形的周长，必须先求出边EF和AF的长．由六边形ABCDEF 的六个角都是120°，可知六边形的每一个外角的度数都是60°，如图4，如果延长BA，得到的∠PAF=60°，延长EF，得到的∠PFA=60°，两条直线相交形成三角形APF，在三角形APF中，∠P的度数为180°－60°－60°＝60°，因此三角形APF是等边三角形．同样的道理，我们分别延长AB、DC，交于点G，那么三角形BGC为等边三角形．分别延长FE、CD交于点H，则三角形DHE也是等边三角形．所以∠P=∠G=∠H=60°．所以三角形GHP也是等边三角形．于是我们得到三角形APF、三角形BGC、三角形DHE、三角形GHP 四个等边三角形．于是就把多边形的问题转化为和等边三角形有关的问题．利用等边三角形的三边相等的性质，可以轻松的求出AF和EF的长，从而求出六边形ABCDEF的周长．解：如图4，分别作直线AB、CD、EF的延长线使它们交于点G、H、P．因为六边形ABCDEF的六个角都是120°，所以六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°．所以三角形APF、三角形BGC、三角形DHE、三角形GHP都是等边三角形．所以GC=BC=8cm，DH=DE＝6cm．所以GH=8＋11＋6＝25cm，FA=PA=PG-AB-BG=25-2-8＝15cm，EF=PH-PF-EH=25-15-6＝4cm．所以六边形的周长为2＋8+11+6+4+15＝46cm．小结：本题解题的关键是利用多边形和三角形的关系，通过添加辅助线，利用六边形构造出等边三角形，从而利用转化的思想，把多边形问题转化为和三角形有关的问题，利用三角形的性质、定理来解答多边形的问题．方程思想是我们学习数学的重要思想方法之一．用方程思想求解数学问题时，应从题中的已知量与未知量的关系入手，找出相等关系，运用数学符号语言将相等关系转化为方程，再通过解方程，使问题得到解决．方程思想应用非常广泛．我们不但能用方程思想解决代数问题，而且还能够解决有关的几何问题．。

9月14日测试1.下列长度的三条线段能组成三角形的是( ) (A)3,4,7 (B)4,5,9 (C)4,5,8 (D)3a,3a,6a(a>0)2.在△ABC 中,∠A=60°,∠B=40°,则∠C 等于( ) (A)100° (B)80° (C)60° (D)40°3.下面四个图形中,线段BD 是△ABC 的高的是( )4.已知等腰三角形两边长分别为6 cm 、2 cm,则这个三角形的周长是( )(A)14 cm (B)10 cm (C)14 cm 或10 cm (D)12 cm5.如图,已知AE=CF,∠A=∠C,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ADF ≌△CBE 的是( ) (A)∠D=∠B (B)AD=CB (C)BE=DF(D)∠AFD=∠CEB6.若一个三角形的两边长分别为5和8,则下列长度:①14;②10;③3;④2.其中,可以作为第三边长的是(填序号) 7.已知AB与CD 相交于点O ，OA=OB ，OD=OC ，BC 与AD 平行吗？请说明理由。

8.如图，AB=AD,∠B=∠D,∠BAD=∠CAE,△ABC 和△ADE 全等吗？为什么？9. 如图，点E 在AB 上，AC=AD ，∠CAB=∠DAB ，CE 与DE 相等吗？∠CBE 与∠DBE 相等吗？请说明理由。

10.如图，△ADB ≌△EDB ，△BDE ≌△CDE ，点B ，E ，C 在一条直线上（1）BD 是∠ABE 的平分线吗？为什么？ （2）DE 与BC 垂直吗？为什么？11.如图，已知点B ，E ，C ，F 在一条直线上，AB=DF ，AC=DE ，BE=CF,找出一对全等三角形，并说明理由12.如图，AB=AD ，AC=AE ，∠BAE=∠DAC ，△ABC 与△ADE 全等吗？为什么？13.如图，已知△ABC ≌△A 1B 1C 1，D 与D 1分别是BC ，B 1C 1上的一点，BD=B 1D 1且，AD 与A 1D 1相等吗？为什么？14.如图，已知点D ，B 在线段AE 上，AD=BE ，AC=DF ，AC ∥DF ，△ABC 与△DEF 全等吗？说明理由。

3.2 一定是直角三角形吗一、选择题1．若c b a ,,为三角形的三边，则下列各项中不能构成直角三角形的是（ ）．A ．25,24,7===c b aB ．12,13,5===c b aC ．3,2,1===c b aD ．5,7,4===c b a2．若ABC ∆的三边之比为2:3:1::=c b a ，则这个三角形是（ ）．A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．以上都不对3．若三角形三边c b a ,,满足222233bc ac ab b a b a +=+++，则ABC ∆的形状是（ ）．A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角形二、填空题1．如果三角形的三边长a 、b 、c 满足222c b a =+，那么这个三角形是_______三角形．2．满足222c b a =+的三个_______数，称为勾股数．3．三角形三边之比是8：15：17，那么按角分类它是_______三角形．4．除3，4，5外，再找出5组勾股数：_______，_______，______，______，______．5．若三角形三边长为45，53，28，则此三角形是__________．6．在ABC ∆中，若222BC AB AC =+，则._______=∠+∠C B7．一个三角形的三个内角之比为1：1：2，则这个三角形三边之比为___________． 8．ABC ∆的二边分别为5，12，另一边C 为奇数，且c b a ++是3的倍数，则C 应为___________，此三角形为___________三角形．9．一个三角形的三边之比为3：4：5，这个三角形的形状是___________．10．三边长分别为6，8，10的三角形最大边上的高为__________．11．三角形的两边为3和5，要使它成为直角三角形，则第三边长为_________．12．已知一个三角形的三边分别为k k k 13,12,5（k 为自然数），则这个三角形为_________三角形．13．已知如果ABC ∆的三边分别为40，41，9，那么这个三角形是___________．14．如图，已知CD AD ⊥于13,12,3,4,====AB BC CD AD D ，则.___________,_____,===∆∆A B C D ABC ACD S S S 四边形15．已知ABC ∆的三边分别是)1(1,2,122>+-n n n n ，则这个三角形是________．16．2222,2,n m c mn b n m a +==-=（n m ,是自然数，且n m >），则以c b a ,,为边的三角形是__________三角形．17．设b a >，若b a b a -+,是某个三角形较小的两条边，当第三边等于__________时，它是个直角三角形．三、解答题1．下面三组数分别是一个三角形的三边长a 、b 、c ，3，4，5 6，8，10 8，15，17（1）这三组数都满足222c b a =+吗？（2）分别以每组数为三边作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？2．判断由线段a 、b 、c 组成的三角形是不是直角三角形．（1）a ＝7，b ＝24，c ＝25；（2）a ＝1.5，b ＝2，c ＝2.5（3）.32,1,45===c b a 3．已知：在ABC ∆中，BC BC AB ,10,13== 边上的中线12=AD ，你能说明AB 边和AC 边存在什么样的关系吗？4．在ABC ∆中，7,90=︒=∠AC C cm ，24=BC cm ，求：（1）ABC ∆的面积；（2）斜边AB ；（3）高CD 。

平面直角坐标系（习题） 巩固练习1.如图，小明用手盖住的点的坐标可能是（）A．(2，3) B．(2，-3) C．(-2，3) D．(-2，-3) 2.平面直角坐标系中有一点P(a，b)，如果ab=0，那么点P 的位置在（）A．原点B．x 轴上C．y 轴上D．坐标轴上3.在坐标平面内，有一点P(a，b)，若ab>0，那么点P 的位置在（）A．第一象限B．第二象限 C．第一象限或第三象限D．第二象限或第四象限4.若点A(a，b)在第三象限，则点C(-a+1，3b-5)在第象限．5.在平面直角坐标系中，如果a<0，b>0，那么点(0，a)在；点(b，0)在．6.若点A(n-3，m-1)在x 轴上，点B(2n+1，m+4)在y 轴上，则点C(m，n)在第象限．7.若过A(4，m)，B(n，-3)两点的直线与y 轴平行，且AB=2，则m=，n=_ ．8.若点A(m，n)与点B(-3，-2)在同一条垂直于y 轴的直线上，点A 到y轴的距离为4，则m= ，n= ．9.如图，正方形ABCD 在平面直角坐标系中，其中三个顶点的坐标分别为(2，3)，(-3，-1)，(2，-1)，则第四个顶点的坐标为．10.已知点P(4，-3)，它到x 轴的距离为，到y 轴的距离为，到原点的距离为．11.点M 在y 轴的左侧，距离x 轴4 个单位长度，距离y 轴3 个单位长度，则点M 的坐标为．12.点P(3，-2)关于x 轴的对称点的坐标是，关于y 轴的对称点的坐标是，关于原点的对称点的坐标是．13.点P(-2a-1，a-1)在y 轴上，则点P 关于x 轴的对称点的坐标为．14.若点P 先向左平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位得到P′(-1，3)，则点P 的坐标是．15.如图，△ABC 内部任意一点P(a，b)平移后的对应点为P′(a+4，b+1)，若将△ABC 作同样的平移得到△A′B′C′，则A′，B′，C′的坐标分别为、、．16. 作图：在平面直角坐标系中，将坐标是(2，0)，(2，2)，(0，2)，(0，3)，(2，5)，(3，5)，(2，2)，(5，3)，(5，2)， (3，0)，(2，0)的点用线段依次连接起来形成一个图案． 回答下列问题：（1）每个点的纵坐标保持不变，横坐标分别乘以-1，顺次连接这些点，所得图案与原图案的位置关系是 ； （2）每个点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘以-1，顺次连接这些点，所得图案与原图案的位置关系是 ．17. 如图是小刚画的一张脸，如果用(0，2)表示左眼，用(2，2)表示右眼，那么嘴的位置可以表示成 ．18. 如图，若 OA =OC =4，则点 A 的坐标是，点 C的坐标是．O 60°思考小结1. 坐标特征：2. 若 a ，b 同号，则点 P (a ，b )在第象限，若 a ，b 异号，则点 P (a ，b )在第 象限．3. 点(x ，y )向左平移 a 个单位后的坐标为；点(x ，y )向下平移 b 个单位后的坐标为 ； 点(x ，y )先向上平移 a 个单位，再向右平移 b 个单位后的坐标为 ． 4. 在如图所示的平面直角坐标系中，四边形 ABCD 各个顶点的坐标分别是 A (-3，1)，B (3，3)，C (4，-3)，D (-2，-2)．（1）这是一个不规则的四边形，所以要求面积准备采用 （填“公式法”或“割补法”或“转化法”）；（2）四边形 ABCD 的面积为 ．2 23 【参考答案】巩固练习 1. B 2. D 3. C 4. 四5. y 轴负半轴上；x 轴正半轴上6.四7. -1 或-5，4 8. 4 或 -4，-2 9. (-3，3) 10. 3，4，511. (-3，4)或(-3，-4)12. (3，2)，(-3，-2)，(-3，2)13. (0， 3)214. (1，2)15. (1，3)，(0，0)，(5，2)16. 作图略 （1）关于 y 轴对称；（2）关于 x 轴对称 17. (1，0)18. ( 2 ， 2 )，(2， 2 ) 思考小结1. 略2. 一或三，二或四3. (x -a ，y )；(x ，y -b )；(x +b ，y +a )4. （1）割补法；（2）27.5。

直角三角形性质应用（习题）1.如图，在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4= ．l2.如图，在△ABC 中，∠C=45°，点D在AB 上，点E在BC 上．若AD=DB=DE，AE=1，则A C 的长为．ACDPB EC B A第2题图第3题图3.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AB=6，BC=3，BD 平分∠ABC，交A C 于点D，P 是B D的中点，则C P 的长为．4.如图，△ABC 是等边三角形，D 为BC 边上一点，DE⊥AB 于点E，DF⊥AC 于点F．若DE+DF=3，则△ABC 的周长为AAB DC FEB M C第4题图第5题图5.如图，在△ABC 中，CF⊥AB 于点F，BE⊥AC 于点E，M 为BC 的中点．若E F=7，BC=10，则△EFM 的周长为．6.如图，直线l1∥l2∥l3，且l1 与l3 之间的距离为，l2 与l3 之间的距离为 1．若点A，B，C 分别在直线l1，l2，l3 上，且AC ⊥BC，AC=BC，AC 与直线l2 交于点D，则B D 的长为．Al1l2C l37.如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AD∥BC，BD 交AC 于点E，∠CBE =1∠ABE ，F 是DE 的中点．若BC=1，AF=4，则AC 2的长为．A DFEB C8.如图，在四边形ABCD 中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=5，AD= 5A ，则B D 的长为．EDDAOB CC B第8题图第9题图9.如图，Rt△ABC 中，∠ACB=90°，以斜边A B 为边向外作正方形A BDE，且正方形对角线交于点O，连接O C．若A C=2，BC=4，则O C= ．10.如图，在正方形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，点E 是边AB 上一点，连接DE，过点A 作AF⊥DE 于点F，连接O F，若D F=3，OF= ，则A F= ．A DBEAB C D第10 题图第11 题图11.如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=2，AB= ，以点B 为直角顶点，在△ABC 的同侧作等腰直角三角形ABD，点O 是A D 中点，连接O C，则O C 的长为．思考小结本讲我们梳理了直角有关的性质，直角与其他特征组合搭配，往往会出现一些固定的结构和用法，为我们解题提供思路．例如：直角与边长的平方搭配，我们往往想到勾股定理．请根据特征补全下列图形．①直角+中点（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）CA D B②直角+特殊角（由特殊角构造直角三角形）CA B③弦图结构【参考答案】1. 42.3.4. 6 35. 176.7.8.9. 310. 111.2 2。

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《三角形》精练精析一、填空题1．如果三角形的一个角等于其它两个角的差,则这个三角形是______三角形．2．已知△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，AE 为∠A 的平分线，且∠B =35°，∠C =65°，则∠DAE 的度数为_____ ．3．三角形中最大的内角不能小于_____,两个外角的和必大于_____ ．4．三角形ABC 中，∠A =40°，顶点C 处的外角为110°，那么∠B ＝_____ ．5．锐角三角形任意两锐角的和必大于_____．6．三角形的三个外角都大于和它相邻的内角，则这个三角形为 _____ 三角形．7．在三角形ABC 中，已知∠A ＝80°，∠B ＝50°，那么∠C 的度数是 ．8．已知∠A =∠B =3∠C ，则∠A = ．9．已知,如图7—1，∠ACD ＝130°，∠A ＝∠B ，那么∠A 的度数是 ．10．如图7—2，根据图形填空：(1）AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分线，则∠ ＝∠ ＝∠ ．(2）AE 是△ABC 中线,则 ＝ ＝ ．(3)AF 是△ABC 的高，则∠ ＝∠ ＝90°．11．如图7-3所示，图中有 个三角形， 个直角三角形．12．在四边形的四个外角中，最多有 个钝角,最多有 个锐角，最多有 个直角．13．四边形ABCD 中，若∠A +∠B =∠C +∠D ，若∠C =2∠D ，则∠C ＝ ．14．一个多边形的每个外角都为30°，则这个多边形的边数为 ；一个多边形的每个内角都为135°，则这个多边形的边数为 ．15．某足球场需铺设草皮，现有正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形、正十边形6种形状的草皮,请你帮助工人师傅选择两种草皮来铺设足球场，可供选择的两种组合是 ．16．若一个n 边形的边数增加一倍，则内角和将 ．17．在一个顶点处，若此正n 边形的内角和为 ,则此正多边形可以铺满地面．18．如图7—4，BC ⊥ED 于O ，∠A =27°，∠D =20°，则∠B = ，∠ACB = ．1219．如图7-5，由平面上五个点A、B、C、D、E连结而成，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ．20．以长度为5cm、7cm、9cm、13cm的线段中的三条为边,能够组成三角形的情况有种，分别是．二、选择题21．已知三角形ABC的三个内角满足关系∠B＋∠C=3∠A,则此三角形（）．A．一定有一个内角为45°B．一定有一个内角为60°C．一定是直角三角形D．一定是钝角三角形22．如果一个三角形的三个外角之比为2：3：4，则与之对应的三个内角度数之比为（）．A．4：3：2 B．3：2：4C．5:3：1 D．3:1：523．三角形中至少有一个内角大于或等于（）．A．45°B．55°C．60°D．65°24．如图7-6,下列说法中错误的是（）．A．∠1不是三角形ABC的外角B．∠B〈∠1＋∠2C．∠ACD是三角形ABC的外角D．∠ACD>∠A+∠B25．如图7-7,C在AB的延长线上，CE⊥AF于E,交FB于D，若∠F=40°，∠C=20°，则∠FBA 的度数为（）．A．50°B．60°C．70°D．80°26．下列叙述中错误的一项是（）．A．三角形的中线、角平分线、高都是线段．B．三角形的三条高线中至少存在一条在三角形内部．C．只有一条高在三角形内部的三角形一定是钝角三角形．D．三角形的三条角平分线都在三角形内部．27．下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（）．A．1,5，7 B．3，4，7 C．7，4，1 D．5，5，528．如果三角形的两边长为3和5，那么第三边长可以是下面的（ )．A．1 B．9 C．3 D．1029．三条线段a＝5,b＝3，c的值为整数，由a、b、c为边可组成三角形（）．A．1个B．3个C．5个D．无数个30．四边形的四个内角可以都是（）．A．锐角B．直角C．钝角D．以上答案都不对31．下列判断中正确的是( ）．A．四边形的外角和大于内角和B．若多边形边数从3增加到n（n为大于3的自然数），它们外角和的度数不变C．一个多边形的内角中，锐角的个数可以任意多D．一个多边形的内角和为1880°32．一个五边形有三个角是直角，另两个角都等于n，则n的值为（）．A．108°B．125°C．135°D．150°33．多边形每一个内角都等于150°,则从此多边形一个顶点发出的对角线有()．A．7条B．8条C．9条D．10条34．如图7—9,三角形ABC中，D为BC上的一点，且S△ABD=S△ADC，则AD为（ )．A．高B．角平分线C．中线D．不能确定35．如图7-10,已知∠1＝∠2，则AH必为三角形ABC的( )．A．角平分线B．中线C．一角的平分线D．角平分线所在射线36．现有长度分别为2cm、4cm、6cm、8cm的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数为（）．A． 1B． 2 C． 3 D． 437．如图7-11，三角形ABC中，AD平分∠BAC，EG⊥AD,且分别交AB、AD、AC及BC的延长线于点E、H、F、G，下列四个式子中正确的是（）38．如图7-12,在三角形ABC中，∠1＝∠2,G为AD的中点，延长BG交AC于E．F为AB上的一点，CF⊥AD于H．下列判断正确的有（）．（1）AD是三角形ABE的角平分线．（2）BE是三角形ABD边AD上的中线．（3）CH为三角形ACD边AD上的高．A．1个B．2个C．3个D．0个三、解答题39．如图,在三角形ABC中，∠B＝∠C，D是BC上一点，且FD⊥BC，DE⊥AB，∠AFD＝140°，你能求出∠EDF的度数吗？40．如图，有甲、乙、丙、丁四个小岛,甲、乙、丙在同一条直线上，而且乙、丙在甲的正东方，丁岛在丙岛的正北方，甲岛在丁岛的南偏西52°方向，乙岛在丁岛的南偏东40°方向．那么,丁岛分别在甲岛和乙岛的什么方向？41．如图，已知三角形ABC的三个内角平分线交于点I,IH⊥BC于H，试比较∠CIH和∠BID的大小．42．如图,在三角形ABC中,AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，BC=16,AD＝3，BE=4，CF=6，你能求出三角形ABC的周长吗？43．如图，在三角形ABC中,AD是BC边上的中线，三角形ABD的周长比三角形ACD的周长小5，你能求出AC与AB的边长的差吗？44．已知等腰三角形的周长是16cm．（1）若其中一边长为4cm，求另外两边的长；（2）若其中一边长为6cm,求另外两边长;（3）若三边长都是整数，求三角形各边的长．45．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC,试问BE与DF平行吗？为什么？46．某同学在计算多边形的内角和时,得到的答案是1125°，老师指出他少加了一个内角的度数，你知道这个同学计算的是几边形的内角和吗？他少加的那个内角的度数是多少?47．把边长为2cm的正方形剪成四个一样的直角三角形，如图所示．请用这四个直角三角形拼成符合下列条件的图形:（1）不是正方形的菱形;(2）不是正方形的长方形；（3）梯形；（4)不是长方形、菱形的的平行四边形．48．下面是数学课堂的一个学习片段，阅读后,请回答下面的问题：学习等腰三角形有关内容后，张老师请同学们交流讨论这样一个问题．“已知等腰三角形ABC的角A等于30°, 请你求出其余两角”．同学们经过片刻的思考与交流后，李明同学举手说：“其余两角是30°和120°”；王华同学说：“其余两角是75°和75°．” 还有一些同学也提出了自己的看法…（1）假如你也在课堂中, 你的意见如何? 为什么?（2）通过上面数学问题的讨论, 你有什么感受？（用一句话表示）49．如图，凸六边形ABCDEF的六个角都是120°，边长AB＝2cm,BC=8cm，CD＝11cm，DE＝6cm，你能求出这个六边形的周长吗？参考解析：一、填空题1．直角2．15°3．60°，180°4．70°5．90°6．锐角7．∠C＝180°－80°－50°＝50°．8．设∠A的度数为x．则∠B＝2x，∠C＝x．所以x＋2x＋x＝180°，解得x＝54°．所以∠A＝54°．9．∠A＝∠B＝∠ACD＝65°．10．（1）BAD，CAD，BAC；(2)BE，CE，BC;（3）AFB，AFC．11．解:有5个三角形，分别是△ABD，△ADE，△CDE，△ADC，△ABC；有4个直角三角形，分别是△ABD，△ADE，△CDE，△ADC．12．3,2,413．120°14．12，815．正三角形和正四边形、正三角形和正六边形、正四边形和正八边形中任选两种即可．16．增加（n－4)×180°17．360°或720°或180°18．解：因为∠BED＝∠A＋∠D=47°，所以∠B＝180°－90°－47°＝43°．所以∠BCD＝27°＋43°＝70°．所以∠ACB＝180°－70°＝110°．19．解：连结BC，如图，则∠DBC＋∠ECB＝∠D+∠E．所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝∠A+∠B+∠C+∠DBC＋∠ECB＝180°．20．解：有3种．分别以长为5cm，7cm，9cm；7cm，9cm13cm；5cm，9cm，13cm的线段为边能组成三角形．二、选择题21．A22．C23．C24．D25． C 26．C 27．D 28．C 29．C 30．B 31．B 32．C 3 3．C34．C(点拨：可能会错选A或B．有的同学一看到面积就认为与高相关，故错选A；有的同学认为平分内角必平分三角形的面积，故错选B．其实，因为△ABD与△ACD同高h，又S△ABD=S△ADC，即BD×h=·CD×h，所以，BD=CD,由此可知，AD为三角形ABC中BC边的中线．）35．D(点拨:可能会错选A或选C．错选A的同学，只注重平分内角而忽视了三角形的角平分线为一线段这一条件；而错选C的同学,实质上与错选A的同学犯的是同一个错误，显然这里“角平分线"与“一角的平分线”是一个意思，因为前提条件是说“AH必为三角形ABC的”．)36．A（点拨：由三角形的三边关系知：若长度分别为2cm、4cm、6cm，不可以组成三角形;若长度分别为4cm、6cm、8cm,则可以组成三角形；若长度分别为2cm、4cm、8cm,则不可以组成三角形；若长度分别为2cm、6cm、8cm,则不可以组成三角形．即分别为2cm、4cm、6cm、8cm的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数为1，故应选A．）37．C（点拨：因为EG⊥AD，交点为H，AD平分∠BAC，所以在直角三角形AHE中，∠1＝90°－，在三角形ABC中,易知∠BAC＝180°－（∠2＋∠3），所以∠1＝90°－［180°－(∠2＋∠3）］=(∠3+∠2）．又因为∠1是三角形EBG的外角,所以∠1＝∠2＋∠G．所以∠G＝∠1－∠2＝（∠3+∠2）－∠2＝(∠3－∠2）．）38．A（点拨:由∠1＝∠2，知AD平分∠BAE,但AD不是三角形ABE内的线段,所以（1）不正确;同理，BE虽然经过三角形ABD边AD的中点G，但BE不是三角形ABD内的线段，故（2)不正确；由于CH⊥AD于H，故CH是三角形ACD边AD上的高，（3)正确．应选A．）三、解答题39．解析：要想求∠EDF的度数,我们可以利用平角定义，只要能求出∠EDB即可．而∠EDB在三角形BDE中，只要能求出∠B就可以利用三角形内角和求∠EDB．而∠B又等于∠C,题中告诉了三角形DFC的一个外角∠AFD＝140°，所以我们能得出∠C的度数．解：因为∠AFD是三角形DCF的一个外角．所以∠AFD=∠C+∠FDC．即140°＝∠C＋90°．解得∠C＝50°．所以∠B＝∠C＝50°．所以∠EDB＝180°－90°－50°＝40°．所以∠FDE＝180°－90°－40°＝50°．40．解析:我们可以用字母代替甲、乙、丙、丁，用角度代表方向．把题中数据与图形一一对应，利用各方向的关系可求出丁岛分别在甲岛和乙岛的方向．解：设甲岛处的位置为A，乙岛处的位置为B，丙岛处的位置为D，丁岛处的位置为C．如图:因为丁岛在丙岛的正北方,所以CD⊥AB．因为甲岛在丁岛的南偏西52°方向，所以∠ACD＝52°．所以∠CAD＝180°-90°—52°＝38°．所以丁岛在甲岛的东偏北38°方向．因为乙岛在丁岛的南偏东40°方向,所以∠BCD=40°．所以∠CBD＝180°—90°—40°＝50°．所以丁岛在乙岛的西偏北50°方向．41．解析：利用角平分线的性质解．解:因为AI、BI、CI为三角形ABC的角平分线，所以∠BAD=∠BAC，∠ABI=∠ABC，∠HCI=∠ACB．所以∠BAD＋∠ABI+∠HCI=∠BAC+∠ABC+∠ACB＝（∠BAC+∠ABC+∠ACB)＝×180°＝90°．所以∠BAD＋∠ABI＝90°－∠HCI．又因为∠BAD＋∠ABI＝∠BID，90°－∠HCI＝∠CIH，所以∠BID＝∠CIH．所以∠BID和∠CIH是相等的关系．42．解析:本题已知一边长和三条高，我们可以利用三角形的面积公式求得另外两边长，三边相加即可得到三角形的周长．解：由三角形面积公式可得S△ABC＝BC×AD＝AC×BE，即16×3＝4×AC，所以AC ＝12．由三角形面积公式可得S△ABC＝BC×AD＝AB×CF，即16×3＝6×AB．所以AB＝8．所以三角形ABC的周长为16+12+8＝36．43．解析：本题要求AC与AB的边长的差，且AC与AB的长度都不知道，不少同学感到无从下手．其实,只要我们仔细分析分析题中条件：三角形ABD的周长比三角形ACD的周长小5，即AC-AB+CD—BD=5,又AD是BC边上的中线，所以BD=CD．所以AC-AB=5．解：AC-AB=5．44．解析:在第（1）和第（2）问中,没有说明所给边长是腰长还是底边长，因此我们要进行分类讨论．在第（3)问中，只给出了三边长都是整数，而此三角形又是等腰三角形，所以其最长边小于8cm,我们可以用列表法一一列出各组边长．解:（1)如果腰长为4cm,则底边长为16-4-4＝8cm．三边长为4cm,4cm,8cm，不符合三角形三边关系定理．所以应该是底边长为4cm．所以腰长为（16-4）÷2＝6cm．三边长为4cm,6cm,6cm，符合三角形三边关系定理，所以另外两边长都为6cm．（2）如果腰长为6cm，则底边长为16—6—6＝4cm．三边长为4cm，6cm，6cm，符合三角形三边关系定理．所以另外两边长分别为6cm和4cm．如果底边长为6cm，则腰长为（16-6）÷2＝5cm．三边长为6cm,5cm，5cm,符合三角形三边关系定理，所以另外两边长都为5cm．（3)因为周长为16cm,且三边都是整数，所以三角形的最长边不会超过8cm且是等腰三角形，我们可用列表法,求出其各边长如下：7cm，7cm，2cm；6cm，5cm,5cm；6cm，6cm,4cm，共有这三种情况．45．解析：要想BE与DF平行,就要找平行的条件．题中只给出了∠A＝∠C=90°，BE平分∠ABC,DF平分∠ADC．那么我们是利用同位角相等呢还是利用同旁内角互补？经过仔细观察图形我们知道∠BFD是三角形ADF的外角,则∠BFD＝∠A+∠ADF．而∠ADF是∠ADC的一半,∠ABE 是∠ABC的一半，所以我们选择用同旁内角互补来证平行．解：BE与DF平行．理由如下：由n边形内角和公式可得四边形内角和为（4—2)×180°＝360°．因为∠A＝∠C=90°，所以∠ADC+∠ABC=180°．因为BE平分∠ABC，DF平分∠ADC,所以∠ADF＝∠ADC，∠ABE＝∠ABC．因为∠BFD是三角形ADF的外角，所以∠BFD＝∠A+∠ADF．所以∠BFD＋∠ABE＝∠A+∠ADC＋∠ABC＝∠A+（∠ADC+∠ABC）＝90°＋90°＝180°．所以BE与DF平行．46．解析：我们发现1125°不能被180°整除，所以老师说少加了一个角的度数．我们可设少加的度数为x，利用整除求解．解：设少加的度数为x．则1125°＝180°×7—135°．因为0°〈x<180°,所以x＝135°．所以此多边形的内角和为1125°+135°＝1260°．设多边形的边数为n，则（n－2）×180°＝1260°，解得n＝9．所以此多边形是九边形，少加的那个内角的度数是135°．47．解析：题中告诉了我们按要求拼成．解：如图：48．解析：本题首先要求考生在阅读数学课堂的一个学习片断后，对两名学生的说法提出自己的看法，这时考生应抓住题中条件“等腰三角形ABC的角A等于30°”这个不确定条件进行分析研究．当∠A是顶角时，设底角是α,∴30°+α+α=180°，α=75°，∴其余两底角是75°和75°．当∠A是底角时,设顶角是β，∴30°+30°+β=180°，β=120°，∴其余两角是30°和120°．由此说明李明和王华两同学都犯了以偏概全的答题的错误．对于第（2)问应在第（1）问的解答的基础上,可总结出“根据图形位置关系,实施分类讨论思想方法解多解型问题”，“考虑问题要全面”等．小结：三角形的中线、角平分线、高(线）是三角形中三条十分重要的线段,初学者常因不能准确理解其概念的实质内涵,而出现这样或那样的错误,现举例分析如下,以达到亡羊补牢或未雨绸缪的目的．49．解析:要求六边形的周长，必须先求出边EF和AF的长．由六边形ABCDEF的六个角都是120°，可知六边形的每一个外角的度数都是60°，如图4，如果延长BA,得到的∠PAF=60°，延长EF,得到的∠PFA=60°，两条直线相交形成三角形APF，在三角形APF中,∠P的度数为180°－60°－60°＝60°,因此三角形APF是等边三角形．同样的道理，我们分别延长AB、DC，交于点G，那么三角形BGC为等边三角形．分别延长FE、CD交于点H，则三角形DHE也是等边三角形．所以∠P=∠G=∠H=60°．所以三角形GHP也是等边三角形．于是我们得到三角形APF、三角形BGC、三角形DHE、三角形GHP四个等边三角形．于是就把多边形的问题转化为和等边三角形有关的问题．利用等边三角形的三边相等的性质，可以轻松的求出AF和EF 的长，从而求出六边形ABCDEF的周长．解：如图4，分别作直线AB、CD、EF的延长线使它们交于点G、H、P．因为六边形ABCDEF的六个角都是120°,所以六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°．所以三角形APF、三角形BGC、三角形DHE、三角形GHP都是等边三角形．所以GC=BC=8cm,DH=DE＝6cm．所以GH=8＋11＋6＝25cm，FA=PA=PG—AB-BG=25—2-8＝15cm，EF=PH-PF-EH=25—15—6＝4cm．所以六边形的周长为2＋8+11+6+4+15＝46cm．小结：本题解题的关键是利用多边形和三角形的关系,通过添加辅助线,利用六边形构造出等边三角形，从而利用转化的思想,把多边形问题转化为和三角形有关的问题，利用三角形的性质、定理来解答多边形的问题．鲁教版七年级数学三角形测试题方程思想是我们学习数学的重要思想方法之一．用方程思想求解数学问题时，应从题中的已知量与未知量的关系入手,找出相等关系，运用数学符号语言将相等关系转化为方程,再通过解方程,使问题得到解决．方程思想应用非常广泛．我们不但能用方程思想解决代数问题，而且还能够解决有关的几何问题．.。

鲁教版七年级数学上第三章勾股定理3.2一定是直角三角形吗练习题【基础训练】1.下列各组线段能构成直角三角形的一组是( )(A)30,40,50 (B)7,12,13 (C)5,9,12 (D)3,4,62.已知三角形的三边长分别为5,13,12,则三角形的面积为( )(A)30 (B)60 (C)78 (D)不能确定3.五根小木棒,其长度分别为7,15,20,24,25,现将他们摆成两个直角三角形,其中正确的是( )4.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且(a+b)(a-b)=c2,则( )(A)∠A为直角 (B)∠C为直角(C)∠B为直角 (D)△ABC不是直角三角形5.如图,正方形网格中的△ABC,若小方格边长为1,则△ABC的形状为( )(A)直角三角形(B)锐角三角形(C)钝角三角形(D)以上答案都不对6.若一个三角形的三边之比为3∶4∶5,且周长为 24 cm,则它的面积为 cm2.7.如图,在△ABC中,点D是BC边上的点,已知AB=15,AD=12,AC=20, BD=9,求CD的长.【综合训练】8.如图,每个小正方形的边长为1,A,B,C是小正方形的顶点,则∠ABC的度数为( )(A)90° (B)60° (C)45° (D)30°9.已知△ABC中,AB=4,BC=3,那么当AC2= 时,△ABC是直角三角形.10.如图,在边长为1的正方形组成的网格中,有AB,CD,EF,GH四条线段,端点都在格点上,你能选取其中三条线段能组成一个直角三角形吗?请说明理由.11.如图,在△ABC中,AC=4 cm,BC=10 cm,BC边上的中线AD=3 cm,求△ABD的面积.12.如图所示的一块地,∠ADC=90°,AD=12 m,CD=9 m,AB=39 m,BC=36 m,求这块地的面积.【提高训练】13.分析下列各组勾股数:当n=2时,a=2×2=4,b=22-1=3,c=22+1=5;当n=3时,a=2×3=6,b=32-1=8,c=32+1=10;当n=4时,a=2×4=8,b=42-1=15,c=42+1=17;…根据你发现的规律写出:(1)当n=10时的勾股数;(2)用含n的代数式表示符合上述特点的勾股数,并加以说明.。

鲁教版数学七年级上册第一章《三角形》单元测试题一、选择题：1、以下列各组线段的长为边，能组成三角形的是（）A．2、4、7 B．3、5、2 C．7、7、3 D．9、5、32、一个三角形的两边长分别为2和5，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最大值是（）A. 11B. 12C. 13D. 143、如图中三角形的个数为( )A. 3 个B. 4 个C. 5 个D. 6 个4、如图，△ABC≌△DEF，AC∥DF，则∠C的对应角为（）A．∠F B．∠B C．∠AEF D．∠D5、如图，AB＝AD，BC＝CD，点E在AC上，则全等三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对6、在下列各图的△ABC中，正确画出AC边上的高的图形是（）A.B.C. D.7、如图，已知AB=AC，AD=AE，欲说明△ABD≌△ACE，需补充的条件是( )A. ∠B=∠CB.∠D=∠EC. ∠1=∠2D.∠CAD =∠28、如图，和相交于点，已知，以“”为依据说明≌还需添加（）A.AB=CDB.∠A=∠CC.OB=ODD. ∠AOB=∠COD9、如图,AD是△ABC的中线,点E是AD的中点,连接BE、CE,若△ABC 的面积是8,则阴影部分的面积为( )A.2B.4C.6D.810、如图，∠ACE是△ABC的外角，∠ACD＝∠A，∠B＝50°，则∠BCD的度数为（）A．130°B．120°C．110°D．100°11、下列各组条件中，能判定△ABC≌△DEF的是（）A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D B．∠A＝∠D，∠C＝∠F，AC＝EF C．AB＝D E，BC＝EF，△ABC的周长＝△DEF的周长D．∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F12．如图，△ABC中，∠A＝30°，将△ABC沿DE折叠，点A落在F处，则∠FDB+∠FEC的度数为（）A．140°B．60°C．70°D．80°二、填空题：13．长为9，6，5，4的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有_______种．14.如果△ABC≌△DEF，若AB＝DE，∠B＝50°，∠C＝70°，则∠D＝．15．如图，已知线段AB、CD相交于点O，且∠A＝∠B，若有△AOC≌△BOD，需补充一个条件是_____．16、如图，△ABC≌△A'B'C'，其中∠A=36°，∠C'=24°，则∠B=____ ．17、如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝°．18、如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，△ABO≌△ADO，下列结论：①AC⊥BD；②CB=CD；③△ABC≌△ADC；④DA=DC．其中不正确结论的序号是______ ．三、解答题：19、如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AD=CF，AB=DE，BC=EF．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若∠A=60°，∠B=88°，求∠F的度数．20.如图，四边形ABCD中，∠ABC +∠D =180°，AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD．试说明：（1）△CBE ≌△CDF；（2）AB +DF =AF．21、已知BD、CE是△ABC的高，点P在BD的延长线上，BP=AC，点Q在CE上，CQ=AB．判断线段AP和AQ的关系，并证明．22、如图，点C是线段AB上除点A、B外的任意一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交DC于M，连接BD 交CE于N，连接MN．（1）求证：AE = BD；（2）求证：MN∥AB。