[精品]2019高考数学二轮复习第6讲平面向量专题突破练理

【高效整合篇】一．考场传真1. 【2019年全国高考新课标（I ）】已知两个单位向量a ，b 的夹角为60，(1)=+-c ta t b ，若0⋅=b c ，则t =_____.2.【2019年普通高等学校统一考试江苏卷】设D 、E 分别是ABC ∆的边AB ，BC 上的点，12AD AB =，23BE BC =. 若12DE AB AC λλ=+（12,λλ为实数），则12λλ+的值是 .3. 【2019年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）】已知点()()1,3,4,1A B -，则与AB 向量同方向的单位向量为（ ）（A ）3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，- （B ）4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，- （C ）3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， （D ）4355⎛⎫- ⎪⎝⎭， 4. 【2019年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）】 已知,a b 是单位向量，0=⋅若向量c 满足1,c a b c --=则的取值范围是（ ）A ．⎤⎦B ．⎤⎦C ．1⎡⎤⎣⎦D ．1⎡⎤⎣⎦5. 【2019年高考新课标Ⅱ数学卷】 已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD ⋅ =_______.若非零向量,a b 满足32a b a b ==+，则,a b 夹角的余弦值为7.【2019年全国高考统一考试天津数学卷】在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E为CD 的中点.若·1AC BE =, 则AB 的长为 . 8.【2019年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）】设12,e e 为单位向量，非零向量12,,b xe ye x y R =+∈、 若12,e e 的夹角为6π，则||||x b 的最大值等于_______.9.【2019年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）】设a 是已知的平面向量且≠0a ，关于向量a 的分解，有如下四个命题： ①给定向量b ，总存在向量c ，使=+a b c ； ②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使λμ=+a b c ； ③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使λμ=+a b c ；④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使λμ=+a b c ； 上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4二．高考研究1. 考纲要求:掌握向量的加法和减法，掌握实数与向量的积，解两个向量共线的充要条件，解平面向量基本定，解平面向量的坐标概念，掌握平面向量的坐标运算，掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处有关长度、角度和垂直问题，掌握向量垂直的条件。

2019年高考真题理科数学解析分类汇编6 平面向量1.【2019高考重庆理6】设,x y ∈R ，向量(,1),(1,),(2,4)a x b y c ===-且c b c a //,⊥+（A （B （C ）（D ）10 【答案】B【解析】因为c b c a //,⊥，所以有042=-x 且042=+y ，解得2=x ，2-=y ，即)2,1(),1,2(-==b a ，所以)1,3(-=+b a 10=+，选B. 2.【2019高考浙江理5】设a ，b 是两个非零向量。

A.若|a+b|=|a|-|b|，则a ⊥bB.若a ⊥b ，则|a+b|=|a|-|b|C.若|a+b|=|a|-|b|，则存在实数λ，使得b=λaD.若存在实数λ，使得b=λa ，则|a+b|=|a|-|b| 【答案】C【解析】利用排除法可得选项C 是正确的，∵|a ＋b|＝|a|－|b|，则a ，b 共线，即存在实数λ，使得a ＝λb ．如选项A ：|a ＋b|＝|a|－|b|时，a ，b 可为异向的共线向量；选项B ：若a ⊥b ，由正方形得|a ＋b|＝|a|－|b|不成立；选项D ：若存在实数λ，使得a ＝λb ，a ，b 可为同向的共线向量，此时显然|a ＋b|＝|a|－|b|不成立． 3.【2019高考四川理7】设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使||||a ba b =成立的充分条件是（ ） A 、a b =- B 、//a b C 、2a b = D 、//a b 且||||a b = 【答案】C 【解析】A.||||b b a a =为既不充分也不必要条件；B.可以推得||||a ba b =||||b a =为必要不充分条件；C ．为充分不必要条件；D 同B.[点评]本题考查的是向量相等条件⇔模相等且方向相同.学习向量知识时需注意易考易错零向量，其模为0且方向任意.4.【2019高考辽宁理3】已知两个非零向量a ，b 满足|a+b|=|a -b|，则下面结论正确的是(A) a ∥b (B) a ⊥b (C){0,1,3} (D)a+b=a -b 【答案】B【解析】一、由|a+b|=|a -b|，平方可得a ⋅b=0, 所以a ⊥b ，故选B二、根据向量加法、减法的几何意义可知|a+b|与|a -b|分别为以向量a ，b 为邻边的平行四边形的两条对角线的长，因为|a+b|=|a -b|，所以该平行四边形为矩形，所以a ⊥b ，故选B【点评】本题主要考查平面向量的运算、几何意义以及向量的位置关系，属于容易题。

2019高考数学(理)二轮练习讲议－平面向量的应用【2018年高考会这样考】1、考查利用向量方法解决某些简单的平面几何问题、2、考查利用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题、【复习指导】复习中重点把握好向量平行、垂直的条件及其数量积的运算，重视平面向量表达出的数形结合的思想方法，体验向量在解题过程中的工具性特点、基础梳理1、向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题、(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(3)求夹角问题，利用夹角公式cos θ＝(θ为a 与b 的夹角)、a ·b|a ||b |x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 2＋y 22、平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决、(2)物理学中的功是一个标量，这是力F 与位移s 的数量积、即W ＝F ·s ＝|F ||s |cos θ(θ为F 与s 的夹角)、一个手段实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标运算、两条主线(1)向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观与形象，向量本身是一个数形结合的产物，在利用向量解决问题时，要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合、(2)要注意变换思维方式，能从不同角度看问题，要善于应用向量的有关性质解题、双基自测1、(人教A 版教材习题改编)某人先位移向量a ：“向东走3 km”，接着再位移向量b ：“向北走3 km”，那么a ＋b 表示( )、 A 、向东南走3 kmB 、向东北走 km22C 、向东南走3 km D 、向东北走 km33解析　要求a ＋b ，可利用向量和的三角形法那么来求解，如下图，适当选取比例尺作＝a ＝“向东走3 km”，＝b ＝“向北走3 km”，那么＝＋＝a ＋b .OA → AB → OB → OA → AB → ||＝(km)，OB → 32＋322又与的夹角是45°，所以a ＋b 表示向东北走 km.OA → OB → 2答案　B2、平面上有四个互异点A 、B 、C 、D ，(＋－2)·(－)＝0，那么△DB → DC → DA → AB → AC → ABC 的形状是( )、A 、直角三角形B 、等腰直角三角形C 、等腰三角形D 、无法确定解析　由(＋－2)·(－)＝0，得[(－)＋(－]·(－)DB → DC → DA → AB → AC → DB → DA → DC → DA → AB → AC → ＝0，所以(＋)·(－)＝0.AB → AC → AB → AC → 所以||2－||2＝0，∴||＝||，AB → AC → AB → AC → 故△ABC 是等腰三角形、答案　C3、(2018·银川模拟)向量a ＝(cos θ，sin θ)，b ＝(，－1)，那么3|2a －b |的最大值，最小值分别是( )、A 、4,0B 、16,0C 、2,0D 、16,4解析　设a 与b 夹角为θ，∵|2a －b |2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝8－4|a ||b |cos θ＝8－8cos θ，∵θ∈[0，π]，∴cos θ∈[－1,1]，∴8－8cos θ∈[0,16]，即|2a －b |2∈[0,16]，∴|2a －b |∈[0,4]、答案　A4．在△ABC 中，向量与满足·＝0且·＝，那么AB → AC → (AB → |AB →|＋AC → |AC → |)BC → AB → |AB → |AC → |AC → |12△ABC 为( )、A 、等边三角形B 、直角三角形C 、等腰非等边三角形D 、三边均不相等的三角形解析　由·＝0知△ABC 为等腰三角形，AB ＝AC .(AB → |AB → |＋AC → |AC → |)BC →由·＝知，〈，〉＝60°，所以△ABC 为等边三角形，应选A.AB → |AB → |AC →|AC → |12AB → AC → 答案　A5、(2018·武汉联考)平面直角坐标系xOy 中，假设定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足·＝4，那么点P 的轨迹方程是OP → OA → ______________________________________、解析　由·＝4，得(x ，y )·(1,2)＝4，OP → OA → 即x ＋2y ＝4.答案　x ＋2y －4＝0考向一　平面向量在平面几何中的应用【例1】►(2017·辽宁)平面上O ，A ，B 三点不共线，设＝a ，＝b ，那么OA → OB → △OAB 的面积等于( )、 |a |2|b |2－ a ·b 2|a |2|b |2＋ a ·b 2C. D.12|a |2|b |2－ a ·b 212|a |2|b |2＋ a ·b 2[审题视点] 由数量积公式求出OA 与OB 夹角的余弦，进而得正弦，再由公式S ＝ab sin θ，求面积、12解析　∵cos∠BOA ＝，a ·b|a ||b |那么sin∠BOA ＝，1－ a ·b 2|a |2|b |2∴S △OAB ＝|a ||b |121－ a ·b 2|a |2|b |2＝.12|a |2|b |2－ a ·b 2答案　C平面向量的数量积是解决平面几何中相关问题的有力工具：利用|a |可以求线段的长度，利用cos θ＝(θ为a 与b 的夹角)可以求角，利用a ·b|a ||b |a ·b ＝0可以证明垂直，利用a ＝λb (b≠0)可以判定平行、【训练1】 设a ，b ，c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a 与b 不共线，a ⊥c ，|a |＝|c |，那么|b ·c |的值一定等于( )、A 、以a ，b 为邻边的平行四边形的面积B 、以b ，c 为邻边的平行四边形的面积C 、以a ，b 为两边的三角形的面积D 、以b ，c 为两边的三角形的面积解析　∵|b ·c |＝|b ||c ||cos θ|，如图，∵a ⊥c ，∴|b ||cos θ|就是以a ，b 为邻边的平行四边形的高h ，而|a |＝|c |，∴|b ·c |＝|a |(|b ||cos θ|)，∴|b ·c |表示以a ，b 为邻边的平行四边形的面积、答案　A考向二　平面向量与三角函数的交汇【例2】►A ，B ，C 的坐标分别为A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，α∈.(π2，3π2)(1)假设||＝||，求角α的值；AC → BC → (2)假设·＝－1，求的值、AC → BC → 2sin2α＋sin 2α1＋tan α[审题视点] 首先求出向量、的坐标，第(1)问利用两个向量的模相等建立AC → BC → 角α的三角方程进行求解；第(2)问利用向量与数量积的坐标运算化简条AC → BC → 件，得到角α的三角函数值，把所求式子化简，寻找两个式子之间的关系、解　(1)∵＝(cos α－3，sin α)，＝(cos α，sin α－3)，AC → BC → ∴2＝(cos a －3)2＋sin 2α＝10－6cos α，AC → 2＝cos 2α＋(sin α－3)2＝10－6sin α，BC → 由||＝||，可得2＝2，即10－6cos α＝10－6sin α，得sin AC → BC → AC → BC → α＝cos α.又∵α∈，∴α＝.(π2，3π2)5π4(2)由·＝－1，AC → BC → 得(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1，∴sin α＋cos α＝.①23又＝＝2sin αcos α.2sin2α＋sin 2α1＋tan α2sin2α＋2sin αcos α1＋sin αcos α由①式两边分别平方，得1＋2sin αcos α＝，49∴2sin αcos α＝－.∴＝－.592sin2α＋sin 2α1＋tan α59解决平面向量与三角函数的交汇问题的关键，准确利用向量的坐标运算化简条件，将其转化为三角函数中的有关问题解决、【训练2】 向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)、(1)假设a ∥b ，求tan θ的值；(2)假设|a |＝|b |,0＜θ＜π，求θ的值、解　(1)因为a ∥b ，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ，于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝.14(2)由|a |＝|b |知，sin 2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5，所以1－2sin 2θ＋4sin 2θ＝5.从而－2sin 2θ＋2(1－cos 2θ)＝4，即sin 2θ＋cos 2θ＝－1，于是sin ＝－.(2θ＋π4)22又由0＜θ＜π知，＜2θ＋＜，π4π49π4所以2θ＋＝或2θ＋＝.因此θ＝或θ＝.π45π4π47π4π23π4考向三　平面向量与平面解析几何交汇【例3】►(2018·兰州模拟)平面上一定点C (2,0)和直线l ：x ＝8，P 为该平面上一动点，作PQ ⊥l ，垂足为Q ，且(＋)·(－)＝0.PC → 12PQ → PC → 12PQ → (1)求动点P 的轨迹方程；(2)假设EF 为圆N ：x 2＋(y －1)2＝1的任一条直径，求·的最值、PE → PF → [审题视点] 第(1)问直接设动点P 的坐标，先把向量之间的关系化简，然后代入向量坐标，化简整理即得轨迹方程；第(2)问先利用圆的性质化简向量数量积，将其转化为动点P 与定点N 的距离的最值，最后代入点的坐标将其转化为函数的最值求解、解　(1)设P (x ，y )，那么Q (8，y )、由(＋)·(－)＝0，得|PC |2－|PQ |2＝0，PC → 12PQ → PC → 12PQ → 14即(x －2)2＋y 2－(x －8)2＝0，化简得＋＝1.14x 216y 212所以点P 在椭圆上，其方程为＋＝1.x 216y 212(2)因·＝(－)·(－)＝(－－)·(－)＝(－)2－2＝PE → PF → NE → NP → NF → NP → NF → NP → NF → NP → NP → NF → 2－1，NP → P 是椭圆＋＝1上的任一点，设P (x 0，y 0)，那么有＋＝1，即x 216y 212x 2016y 2012x ＝16－，又N (0,1)，所以2＝x ＋(y 0－1)204y 203NP →202＝－y －2y 0＋17＝－(y 0＋3)2＋20.132013因y 0∈[－2，2]，所以当y 0＝－3时，2取得最大值20，故·的33NP → PE → PF → 最大值为19；当y 0＝2时，2取得最小值－1)2＝13－，(此时x 0＝0)，故·3NP → 33PE → 的最小值为12－4.PF → 3平面向量与平面解析几何交汇的题目，涉及向量数量积的基本运算，数量积的求解以及轨迹、直线和圆、直线和椭圆中最值等问题，解决此类问题应从向量的坐标运算入手，这也是解决解析几何问题的基本方法——坐标法、【训练3】 点P (0，－3)，点A 在x 轴上，点Q 在y 轴的正半轴上，点M 满足·＝0，＝－，当点A 在x 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程、PA → AM → AM → 32MQ → 解　设M (x ，y )为所求轨迹上任一点，设A (a,0)，Q (0，b )(b ＞0)，那么＝(a,3)，＝(x －a ，y )，＝(－x ，b －y )，PA → AM → MQ → 由·＝0，得a (x －a )＋3y ＝0.①PA → AM → 由＝－，AM → 32MQ → 得(x －a ，y )＝－(－x ，b －y )＝，32(32x ，32 y －b )∴Error!∴Error!把a ＝－代入①，得－＋3y ＝0，x 2x 2(x ＋x 2)整理得y ＝x 2(x ≠0)、 14难点突破12——高考中平面向量与其他知识的交汇问题平面向量是高中数学的重要知识，是高中数学中数形结合思想的典型表达、近几化，又保持与其他知识交汇的命题思路，呈现出“综合应用，融会贯通”的特色，充分彰显平面向量的交汇价值、【一】平面向量与命题的交汇【例如】►(2017·陕西)设a ，b 是向量，命题“假设a ＝－b ，那么|a |＝|b |”的逆命题是()、A 、假设a ≠b ，那么|a |≠|b |B 、假设a ＝－b ，那么|a |≠|b |C 、假设|a |≠|b |，那么a ≠－bD 、假设|a |＝|b |，那么a ＝－b 【二】平面向量与函数【例如】►(2017·北京)假设a ，b 是非零向量，且a ⊥b ，|a |≠|b |，那么函数f (x )＝(x a ＋b )·(x b －a )是()、A 、一次函数且是奇函数B 、一次函数但不是奇函数C 、二次函数且是偶函数D 、二次函数但不是偶函数▲平面向量与线性规划(教师备选)【例如】►(2017·福建)O是坐标原点，点A(－1,1)、假设点M(x，y)为平面OA→OM→区域Error!上的一个动点，那么·的取值范围是()、A、[－1,0]B、[0,1]C、[0,2]D、[－1,2]。

高考侧重考查正、余弦定理与其他知识(如三角函数、平面向量等)的综合应用，试题一般为中档题，各种题型均有可能出现．预测高考仍将以正、余弦定理的综合应用为主要考点，重点考查计算能力及应用数学知识分析、解决问题的能力．1．向量的基本概念(1)既有大小又有方向的量叫做向量． (2)零向量的模为0，方向是任意的，记作0. (3)长度等于1的向量叫单位向量． (4)长度相等且方向相同的向量叫相等向量．(5)方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共线向量．零向量和任一向量平行． 2．共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使b ＝λa . 3．平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.4．两向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，在平面上任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫作a 与b 的夹角．5．向量的坐标表示及运算 (1)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 a ±b ＝(x 1±x 2，y 1±y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)．(2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)． 6．平面向量共线的坐标表示 已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，当且仅当x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a 与b 共线． 7．平面向量的数量积 设θ为a 与b 的夹角．(1)定义：a ·b ＝|a ||b |cos θ.(2)投影：a ·b|b |＝|a |cos θ叫做向量a 在b 方向上的投影．8．数量积的性质 (1)a ⊥b ⇔a ·b ＝0；(2)当a 与b 同向时，a ·b ＝|a |·|b |；当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a |·|b |；特别地，a ·a ＝|a |2； (3)|a ·b |≤|a |·|b |； (4)cos θ＝a ·b |a |·|b |.9．数量积的坐标表示、模、夹角 已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2) (1)a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；(2)|a |＝x 21＋y 21；(3)a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0； (4)cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22.【误区警示】1．两向量夹角的范围是[0，π]，a ·b >0与〈a ，b 〉为锐角不等价；a ·b <0与〈a ，b 〉为钝角不等价． 2．点共线和向量共线，直线平行与向量平行既有联系又有区别． 3．a 在b 方向上的投影为a ·b |b |，而不是a ·b|a |.4．若a 与b 都是非零向量，则λa ＋μb ＝0⇔a 与b 共线，若a 与b 不共线，则λa ＋μb ＝0⇔λ＝μ＝0.高频考点一 平面向量的概念及运算例1．【2017课标1，理13】已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2 b |= .【答案】【解析】利用如下图形，可以判断出2a b 的模长是以2为边长的菱形对角线的长度，所以.【变式探究】已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________. 解析：基本法：∵a ∥b ，∴a ＝λb 即(m,4)＝λ(3，－2)＝(3λ，－2λ)∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3λ，4＝－2λ，故m ＝－6. 速解法：根据向量平行的坐标运算求解： ∵a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，a ∥b ∴m ×(－2)－4×3＝0 ∴－2m －12＝0，∴m ＝－6. 答案：－6【变式探究】(1)已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( ) A ．(－7，－4) B ．(7,4) C ．(－1,4) D ．(1,4)【举一反三】向量的三角形法则要保证各向量“首尾相接”；平行四边形法则要保证两向量“共起点”，结合几何法、代数法(坐标)求解．(2)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( ) A.AD →B.12AD →C.BC →D.12BC →解析：基本法一：设AB →＝a ，AC →＝b ，则EB →＝－12b ＋a ，FC →＝－12a ＋b ，从而EB →＋FC →＝⎝⎛⎭⎫－12b ＋a ＋⎝⎛⎭⎫－12a ＋b ＝12(a ＋b )＝AD →，故选A.基本法二：如图，EB →＋FC →＝EC →＋CB →＋FB →＋BC →＝EC →＋FB →＝12(AC →＋AB →)＝12·2AD →＝AD →. 答案：A高频考点二 平面向量数量积的计算与应用例2．（2018年全国I 卷理数）设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为的直线与C 交于M ，N 两点，则=A. 5B. 6C. 7D. 8 【答案】D【解析】根据题意，过点（–2，0）且斜率为的直线方程为，与抛物线方程联立，消元整理得：，解得，又，所以，从而可以求得，故选D.【变式探究】已知向量BA →＝⎝⎛⎭⎫12，32，BC →＝⎝⎛⎭⎫32，12，则∠ABC ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°解析：基本法：根据向量的夹角公式求解．∵BA →＝⎝⎛⎭⎫12，32，BC →＝⎝⎛⎭⎫32，12，∴|BA →|＝1，|BC →|＝1，BA →·BC →＝12×32＋32×12＝32，∴cos ∠ABC ＝cos 〈BA →，BC →〉＝BA →·BC →|BA →|·|BC →|＝32.∵0°≤〈BA →，BC →〉≤180°，∴∠ABC ＝〈BA →，BC →〉＝30°.速解法：如图，B 为原点，则A ⎝⎛⎭⎫12，32∴∠ABx ＝60°，C ⎝⎛⎭⎫32，12∠CBx ＝30°，∴∠ABC ＝30°.答案：A【变式探究】(1)向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2【举一反三】当向量以几何图形的形式(有向线段)出现时，其数量积的计算可利用定义法；当向量以坐标形式出现时，其数量积的计算用坐标法；如果建立坐标系，表示向量的有向线段可用坐标表示，计算向量较简单．【考点定位】平面向量的应用、线性规划.7. 【2014高考北京卷理第10题】已知向量a 、b 满足1||=a ，)1,2(=b ，且0b a =+λ（R λ∈），则||λ= .【答案】5【解析】当0=+b a λ，则a b λ-=，于是，因为)1,2(=b ，所以5||=b ，又因为1||=a ，所以5||=λ. 【考点定位】平面向量的模8. 【2014高考湖北卷理第11题】设向量(3,3)a =，(1,1)b =-，若，则实数λ= .【答案】3±【解析】 因为，，因为，所以，解得3±=λ.【考点定位】平面向量的坐标运算、数量积10. 【2014江西高考理第15题】已知单位向量1e 与2e 的夹角为α，且1cos 3α=，向量与123b e e =-的夹角为β，则cos β= .【解析】因为所以【考点定位】向量数量积及夹角11. 【2014辽宁高考理第5题】设,,a b c 是非零向量，已知命题P ：若0a b ∙=，0b c ∙=，则0a c ∙=；命题q ：若//,//a b b c ，则//a c ，则下列命题中真命题是（ ）A ．p q ∨B ．p q ∧C ．D ．()p q ∨⌝【答案】A【解析】由题意可知，命题P 是假命题；命题q 是真命题，故p q ∨为真命题. 【考点定位】命题的真假12. 【2014全国1高考理第15题】已知C B A ,,为圆O 上的三点，若，则与的夹角为_______．【答案】090．【解析】由，故,,O B C 三点共线，且O 是线段BC 中点，故BC 是圆O 的直径，从而，因此与的夹角为090【考点定位】平面向量基本定理13. 【2014全国2高考理第3题】设向量a,b 满足|a+b |=|a-b ，则a ⋅b = ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 【答案】A【解析】因为=10，，两式相加得：228a b +=r r ，所以1a b ⋅=r r，故选A.【考点定位】本小题主要考查平面向量的模、平面向量的数量积等平面向量 14. 【2014高考安徽卷理第15题】已知两个不相等的非零向量,,两组向量和均由2个和3个排列而成.记，min S 表示S 所有可能取值中的最小值.则下列命题的是_________（写出所有正确命题的编号）.①S 有5个不同的值.②若,⊥则min S .③若,∥则min S 无关.>，则0min >S .⑤若，则a 与b 的夹角为4π，∴2cos 1θ=，∴3πθ=，故⑤错误.所以正确的编号为②④【考点定位】平面向量的运算、平面向量的数量积.15. 【2014四川高考理第7题】平面向量(1,2)a =，(4,2)b =，c ma b =+（m R ∈），且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m =（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2 【答案】 D.【解析】 由题意得：，选D.法二、由于OA ，OB 关于直线y x =对称，故点C 必在直线y x =上，由此可得2m = 【考点定位】向量的夹角及向量的坐标运算.16. 【2014浙江高考理第8题】记，，设,a b 为平面向量，则（ ）A. B.C. D. 【答案】Ｄ【解析】根据向量运算的几何意义，即三角形法则，可知与{}min ,a b 的大小不确定，由平行四边形法则及余弦定理可知，所对的角大于或等于90︒，故，故选Ｄ【考点定位】向量运算的几何意义. 17. 【2014重庆高考理第4题】已知向量，且，则实数k =（ ）9.2A - .0B .C 3 D.152【答案】C 【解析】因为所以又因为，所以，，所以，，解得：3k =故选C.【考点定位】平面向量的坐标运算、平面向量的数量积.19. 【2014大纲高考理第4题】若向量,a b 满足：则b = （ ）A ．2BC ．1D ．2【答案】B ．【解析】把①代入②得故选B ．【考点定位】1.向量垂直的充要条件；2. 平面向量的数量积运算． 20. 【2014高考陕西第18题】在直角坐标系xOy 中，已知点，点),(y x P 在ABC∆三边围成的区域（含边界）上（1）若；（2）设，用y x ,表示n m -，并求n m -的最大值.【答案】（1）；（2），1.【解析】（1）因为所以即得所以||22OP =（2）即两式相减得：令y x t -=，由图可知，当直线y x t =+过点(2,3)B 时，t 取得最大值1，故m n -的最大值为1.【考点定位】平面向量的线性运算、线性规划.学+科网21.【2014高考上海理科第16题】如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则的不同值的个数为（ ）（A ）1 (B)2 (C)4 (D)8 【答案】A【解析】如图，AB 与上底面垂直，因此i AB BP ⊥(1,2,)i =，．【考点定位】数量积的定义与几何意义． 22.【2014高考上海理科第14题】已知曲线C ：，直线l ：x=6.若对于点A （m ，0）,存努力的你，未来可期!拼搏的你，背影很美！ 在C 上的点P 和l 上的点Q 使得，则m 的取值范围为 . 【答案】[2,3]【解析】由知A 是PQ 的中点，设(,)P x y ，则，由题意20x -≤≤，26m x -=，解得23m ≤≤．【考点定位】向量的坐标运算．。

专题六 平面向量本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分,考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题,共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．(2019·漳州质量监测)已知向量a,b 满足|a|＝1,|b|＝3,且a,b 夹角为π6,则(a ＋b)·(2a－b)＝( )A.12 B ．－32 C ．－12 D.32 答案 A解析 (a ＋b)·(2a－b)＝2a 2－b 2＋a·b＝2－3＋1×3×32＝12.故选A. 2．(2019·全国卷Ⅱ)已知AB →＝(2,3),AC →＝(3,t),|BC →|＝1,则AB →·BC →＝( ) A ．－3 B ．－2 C ．2 D ．3 答案 C解析 ∵BC →＝AC →－AB →＝(3,t)－(2,3)＝(1,t －3),|BC →|＝1,∴12＋t －32＝1,∴t ＝3,∴BC →＝(1,0),∴AB →·BC →＝2×1＋3×0＝2.故选C.3．(2019·桂林二模)已知向量AB →与AC →的夹角为60°,且|AB →|＝2,|AC →|＝4,若AP →＝AB →＋λAC →,且AP →⊥BC →,则实数λ的值为( )A.45 B ．－45 C ．0 D ．－25 答案 C解析 ∵AP →⊥BC →,∴AP →·BC →＝0,即(AB →＋λAC →)·(AC →－AB →)＝0,∴λAC →2＋(1－λ)AB →·AC →－AB →2＝0,∵AB →·AC →＝2×4×cos60°＝4,AB →2＝4,AC →2＝16,∴16λ＋4(1－λ)－4＝0,∴λ＝0.故选C.4．(2019·潍坊二模)在等腰梯形ABCD 中,AB →＝2DC →,点E 是线段BC 的中点,若AE →＝λAB →＋μAD →,则λ＋μ＝( )A.52B.54C.12D.14 答案 B解析 取AB 的中点F,连接CF,则四边形AFCD 是平行四边形,所以CF ∥AD,且CF ＝AD因为AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12BC →＝AB →＋12(FC →－FB →)＝AB →＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－12AB →＝34AB →＋12AD →,∴λ＝34,μ＝12,λ＋μ＝54,故选B.5．(2019·全国卷Ⅰ)已知非零向量a,b 满足|a|＝2|b|,且(a －b)⊥b,则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6 答案 B解析 由(a －b)⊥b,可得(a －b)·b＝0,∴a·b＝b 2. ∵|a|＝2|b|,∴cos 〈a,b 〉＝a·b |a|·|b|＝b 22b 2＝12.∵0≤〈a,b 〉≤π,∴a 与b 的夹角为π3.故选B.6．(2019·娄底模拟)已知△ABC 中,AB ＝2,AC ＝3,∠A ＝60°,AD ⊥BC 于D,AD →＝λAB →＋μAC →,则λμ＝( )A ．3B ．6C ．2 3D ．3 2 答案 B解析 ∵BC →＝AC →－AB →,AD →⊥BC →,∴(λAB →＋μAC →)·(－AB →＋AC →)＝0,∴－λAB →2＋μAC →2＋(λ－μ)AB →·AC →＝0,∴λ＝6μ,∴λμ＝6.故选B.7．(2019·呼和浩特质量检测)设a,b 均是非零向量,且|a|＝2|b|,若关于x 的方程x 2＋|a|x ＋a·b ＝0有实根,则a 与b 的夹角的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π答案 B解析 ∵关于x 的方程x 2＋|a|x ＋a·b＝0有实根,∴|a|2－4a·b≥0,∴a·b≤|a|24,∴cos 〈a,b 〉＝a·b |a||b|≤|a|24|a||b|＝12,又0≤〈a,b 〉≤π,∴π3≤〈a,b 〉≤π.故选B.8．(2019·内江模拟)若|a|＝1,|b|＝2,|a ＋2b|＝13,则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.π2 D.2π3 答案 D解析 ∵|a|＝1,|b|＝2,|a ＋2b|＝13, ∴(a ＋2b)2＝a 2＋4b 2＋4a·b＝1＋16＋4a·b＝13,∴a·b＝－1,∴cos 〈a,b 〉＝a·b |a||b|＝－12.又0≤〈a,b 〉≤π, ∴a,b 的夹角为2π3.故选D.9．(2019·四川一诊)在△ABC 中,AB ＝3,AC ＝2,∠BAC ＝120°,点D 为BC 边上一点,且BD →＝2DC →,则AB →·AD →＝( )A.13B.23 C ．1 D ．2 答案 C解析 因为AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13CB →＝AC →＋13AB →－13AC →＝13AB →＋23AC →,所以AB →·AD →＝13AB →2＋23AB →·AC →＝3＋23×3×2cos120°＝1.故选C.10．(2019·益阳市高三期末)在△ABC 中,M 为AC 的中点,BC →＝CD →,MD →＝xAB →＋yAC →,则x ＋y ＝( ) A ．1 B.12 C.13 D.32答案 B解析 如图,∵M 为AC 中点,BC →＝CD →,∴MD →＝MC →＋CD →＝12AC →＋BC →＝12AC →＋(AC →－AB →)＝－AB →＋32AC →.又MD →＝xAB →＋yAC →,且AB →,AC →不共线, ∴根据平面向量基本定理得,x ＝－1,y ＝32,∴x ＋y ＝12.故选B.11．(2019·大兴区第一学期期末)已知i,j,k 为共面的三个单位向量,且i ⊥j,则(i ＋k)·(j＋k)的取值范围是( )A ．[－3,3]B ．[－2,2]C ．[2－1,2＋1]D ．[1－2,1＋2]答案 D解析 由i ⊥j 得i·j＝0,又i,j 为单位向量,则|i ＋j|＝i 2＋j 2＋2i·j＝2, 则(i ＋k)·(j＋k)＝i·j＋(i ＋j)·k＋k 2＝(i ＋j)·k＋1＝|i ＋j|cos 〈i ＋j,k 〉＋1＝2cos 〈i ＋j,k 〉＋1, 由－1≤cos〈i ＋j,k 〉≤1,则(i ＋k)·(j＋k)的取值范围是[1－2,1＋2]．故选D.12．(2019·武汉市二月调研)在△ABC 中,AB →·AC →＝0,|AB →|＝4,|BC →|＝5,D 为线段BC 的中点,E 为线段BC 垂直平分线l 上任一异于D 的点,则AE →·CB →＝( )A.72B.74 C ．－74 D ．7 答案 A 解析 如图所示,|AC →|＝|BC →|2－|AB →|2＝3,AE →·CB →＝(AD →＋DE →)·CB →＝AD →·CB →＋DE →·CB →＝AD →·CB →＝12(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝12(AB →2－AC →2)＝72.故选A.第Ⅱ卷 (非选择题,共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13．(2019·全国卷Ⅲ)已知a,b 为单位向量,且a·b＝0,若c ＝2a －5b,则cos 〈a,c 〉＝________. 答案 23解析 由题意,得cos 〈a,c 〉＝a·2a －5b|a|·|2a－5b|＝2a 2－5a·b|a|·|2a －5b|2＝21×4＋5＝23. 14．(2019·郴州市高三第一次质检)如图所示,已知点G 是△ABC 的重心,过点G 作直线分别交AB,AC 两边于M,N 两点,且AM →＝xAB →,AN →＝yAC →,则3x ＋y 的最小值为________．答案4＋233解析 ∵G 是△ABC 的重心, ∴AG →＝13AC →＋13AB →,又AM →＝xAB →,AN →＝yAC →, ∴AG →＝13x AM →＋13y AN →,∵M,G,N 三点共线,∴13x ＋13y ＝1,∴3x ＋y ＝(3x ＋y)⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋13y ＝1＋13＋x y ＋y 3x ≥43＋213＝4＋233. 15．(2019·河南省八市重点高中第二次联合测评)已 知非零向量a,b 满足|2a ＋b|＝|a ＋2b|＝3|a|,则a,b 的夹角为________．答案2π3解析 ∵|2a ＋b|＝|a ＋2b|,∴(2a ＋b)2＝(a ＋2b)2,即4a 2＋4a·b＋b 2＝a 2＋4a·b＋4b 2,∴a 2＝b 2,∴|a|＝|b|. 又|a ＋2b|＝3|a|,∴(a ＋2b)2＝3a 2, ∴a 2＋4a·b＋4b 2＝3a 2, ∴a 2＋4a 2cos 〈a,b 〉＋4a 2＝3a 2. 又a≠0,∴1＋4cos 〈a,b 〉＋4＝3, ∴cos 〈a,b 〉＝－12.又0≤〈a,b 〉≤π,∴〈a,b 〉＝2π3.16．(2019·江苏省镇江市高三期末)已知△ABC 是边长为2的等边三角形,点D,E 分别是边AB,BC 的中点,连接DE 并延长到点F,使得DE ＝3EF,则AF →·BC →的值为________．答案 13解析 DE ＝3EF,∴AF →＝AE →＋EF →＝AE →＋13DE →＝AE →＋16AC →＝12AB →＋12AC →＋16AC →＝12AB →＋23AC →,BC →＝AC →－AB →,∵△ABC 是边长为2的等边三角形, ∴AB →·AC →＝2×2×12＝2,∴AF →·BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋23AC →·(AC →－AB →)＝－16AB →·AC →－12AB →2＋23AC →2＝－16×2－12×4＋23×4＝13.三、解答题(本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(2019·连云港二模)已知向量a ＝(1,cos2x －3sin2x),b ＝(－1,f(x)),且a ∥b.(1)将f(x)表示成x 的函数并求f(x)的单调递增区间； (2)若f(θ)＝65,π3＜θ＜π2,求cos2θ的值．解 (1)∵向量a ＝(1,cos2x －3sin2x),b ＝(－1,f(x)),且a ∥b,∴1×f(x)＋(cos2x －3sin2x)＝0,即f(x)＝－cos2x ＋3sin2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.令2kπ－π2≤2x－π6≤2kπ＋π2,求得kπ－π6≤x≤kπ＋π3,故函数f(x)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ－π6，kπ＋π3,k ∈Z.(2)若f(θ)＝65,π3＜θ＜π2,即f(θ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π6＝65,∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π6＝35.∵2θ∈⎝⎛⎭⎪⎫2π3，π,2θ－π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，5π6, ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2θ－π6＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫2θ－π6＝－45,∴cos2θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2θ－π6＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π6cos π6－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π6sin π6＝－45×32－35×12＝－43＋310.18．(本小题满分12分)(2019·佳木斯一中调研)已知向量a,b 满足：|a|＝2,|b|＝4,a·(b－a)＝2.(1)求向量a 与b 的夹角；(2)若|ta －b|＝22,求实数t 的值． 解 (1)设向量a 与b 的夹角为θ, ∵|a|＝2,|b|＝4,∴a·(b－a)＝a·b－a 2＝|a||b|cosθ－a 2＝42cosθ－2＝2, ∴cosθ＝22,∵0≤θ≤π,∴θ＝π4. (2)∵|ta －b|＝22,∴t 2a 2－2ta·b＋b 2＝2t 2－8t ＋16＝8, 即t 2－4t ＋4＝0,解得t ＝2.19．(本小题满分12分)(2019·泰安模拟)如图所示,在△ABO 中,OC →＝14OA →,OD →＝12OB →,AD 与BC 相交于点M,设OA →＝a,OB →＝b.试用a 和b 表示向量OM →.解 设OM →＝ma ＋nb,则AM →＝OM →－OA →＝ma ＋nb －a ＝(m －1)a ＋nb, AD →＝OD →－OA →＝12OB →－OA →＝－a ＋12b.又∵A,M,D 三点共线,∴AM →与AD →共线． ∴存在实数t,使得AM →＝tAD →, 即(m －1)a ＋nb ＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12b . ∴(m －1)a ＋nb ＝－ta ＋12tb.∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝－t ，n ＝t2，消去t 得m －1＝－2n,即m ＋2n ＝1.①又∵CM →＝OM →－OC →＝ma ＋nb －14a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋nb,CB →＝OB →－OC →＝b －14a ＝－14a ＋b.又∵C,M,B 三点共线,∴CM →与CB →共线． ∴存在实数t 1,使得CM →＝t 1CB →,∴⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋nb ＝t 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－14a ＋b , ∴⎩⎪⎨⎪⎧m －14＝－14t 1，n ＝t 1，消去t 1得4m ＋n ＝1.②由①②得m ＝17,n ＝37,∴OM →＝17a ＋37b.20．(本小题满分12分)(2019·河南段考)已知a,b,c 是同一平面内的三个向量,其中a ＝(1,－2)． (1)若|c|＝25,且c ∥a,求c 的坐标；(2)若|b|＝1,且a ＋b 与a －2b 垂直,求a 与b 的夹角θ的余弦值． 解 (1)设c ＝(x,y),则由c ∥a 和|c|＝25,可得⎩⎪⎨⎪⎧1·y＋2·x＝0，x 2＋y 2＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－4.∴c ＝(－2,4)或c ＝(2,－4)．(2)∵a ＋b 与a －2b 垂直,∴(a ＋b)·(a－2b)＝0, 即a 2－a·b－2b 2＝0,∴a·b＝3, ∴cosθ＝a·b |a||b|＝355.21．(本小题满分12分)(2019·辽宁六校协作体模拟)如图,在同一个平面内,向量OA →,OB →,OC →的模分别为1,1,2,OA →与OC →的夹角为α,且tanα＝7,OB →与OC →的夹角为45°.若OC →＝mOA →＋nOB →(m,n ∈R),求m ＋n 的值．解 解法一：∵tanα＝7,α∈[0,π], ∴cosα＝210,sinα＝7210, ∵OA →与OC →的夹角为α,∴210＝OA →·OC →|OA →||OC →|,∵OC →＝mOA →＋nOB →,|OA →|＝|OB →|＝1,|OC →|＝2, ∴210＝m ＋nOA →·OB →2,① 又∵OB →与OC →的夹角为45°, ∴22＝OB →·OC →|OB →||OC →|＝mOA →·OB →＋n 2,② 又cos ∠AOB ＝cos(45°＋α)＝cosαcos45°－sinαsin45°＝210×22－7210×22＝－35, ∴OA →·OB →＝|OA →||OB →|cos ∠AOB ＝－35,将其代入①②得m －35n ＝15,－35m ＋n ＝1,两式相加得25m ＋25n ＝65,所以m ＋n ＝3.解法二：过点C 作CM ∥OB,CN ∥OA,分别交线段OA,OB 的延长线于点M,N, 则OM →＝mOA →,ON →＝nOB →, 由正弦定理,得 |OM →|sin45°＝|OC →|sin 135°－α＝|ON →|sinα,∵|OC →|＝2,由解法一知,sinα＝7210,cosα＝210,∴|OM →|＝2sin45°sin 135°－α＝1sin45°＋α＝54,|ON →|＝2sinαsin 135°－α＝2×7210sin45°＋α＝74, 又OC →＝mOA →＋nOB →＝OM →＋ON →,|OA →|＝|OB →|＝1,∴m ＝54,n ＝74,∴m ＋n ＝3.22．(本小题满分12分)(2019·安徽淮北、宿迁一模)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,向量m ＝(b,a ＋c),n ＝(a －c,a －b),且满足m ∥n.(1)求角C 的大小；(2)若c ＝3,sinC ＋sin(A －B)＝2sin2B,求△ABC 的面积．解 (1)因为m ∥n,所以有b(a －b)－(a －c)(a ＋c)＝0,整理得ab ＝a 2＋b 2－c 2,由余弦定理得cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12.又因为C ∈(0,π),所以C ＝π3. (2)由sinC ＋sin(A －B)＝2sin2B,得 sin(A ＋B)＋sin(A －B)＝4sinBcosB, 整理得2cosB(sinA －2sinB)＝0.当cosB ＝0时,因为B ∈(0,π),所以B ＝π2.在Rt △ABC 中,tanC ＝ca ＝3,解得a ＝1,此时△ABC 的面积为S ＝12ac ＝32.当sinA －2sinB ＝0时,由正弦定理得a ＝2b, 将其代入c 2＝a 2＋b 2－ab,得c 2＝3b 2, 解得b ＝1.此时S ＝12absinC ＝32.综上所述,△ABC 的面积为32.。

第六章 平面向量及其应用综合复习训练学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设O 为ABC 的内心，13AB AC ==，10BC =，(),AO mAB nAC m n =+∈R ，则m n += （ ）.A ．1336B ．1318C ．518D ．5362．已知向量()()1,1,2,3a b =-= ，则b 在a上的投影向量的坐标为（ ）A ．11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭3．已知向量()2,0a =r，b λ⎛= ⎝ ，若向量b 在向量a上的投影向量1,02c ⎛⎫ ⎪⎝=⎭ ，则b = （ ）ABCD ．14．已知非零向量a ，b ，c ，则“a c b c ⋅=⋅ ”是“a b = ”的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要5．已知ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，若1,30a b A ===︒，则B =（ ）A ．30︒B ．30︒或150︒C ．60︒D ．60︒或120︒6．已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，设22(sin sin )sin (2sin B C A B C +=+，2sin 0A B -=，则角B 等于（ ）A ．30︒B ．60︒C ．45︒D ．150︒7．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．已知 ()sin sin sin cos 0B A C C -+=，2a c ==，b 为（ ）ABC ．2D．8．ABC 中，()()()2,5,cos ,sin ,,R AB m m AC m ααα=+=∈，若对任意的实数,t AB t AC AB AC -≥- 恒成立，则BC 边的最小长度是（ ）．ABCD．二、多选题9．若ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3a =，b ，1c =，则（ ）A ．ABC 为锐角三角形B ．ABCC ．O 为ABC 的外心，则143OA OC ⋅=- D ．设3AG AC =，则BG =10．ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为ABC 的面积，且2a =，AB AC ⋅=，下列选项正确的是（ ）A ．π6A =B ．若2b =，则ABC 只有一解C ．若ABC 为锐角三角形，则b取值范围是(4⎤⎦D ．若ABC 为锐角三角形，则ABC的面积的取值范围(211．在OAB 中，点121,,,n P P P -⋯分别是AB 上的n 等分点，其中*N ,4n n ∈≥，则（ ）A ．3221n n n n OP OP OP OP ----⋅=⋅B ．2312n n n OP OP OP ---=+C ．1111n n OP OA OB n n -=+++D ．1212(1)||n OP OP OP n OA OB -++⋯+=-+12．设Ox ，Oy 是平面内相交成60︒角的两条数轴，21,e e分别是与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量.若12OP xe ye =+ ，则把有序实数对(,)x y 叫做向量OP在斜坐标系Oxy 中的坐标，记作(,)OP x y = .则下列说法正确的是（ ）A ．若(2,1)OP =，则||OP = B ．若1(2,1),1,2AB BC ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭ ，则A ，B ，C 三点共线C ．若12(3,2),(2,3)OP OP ==- ，则12OP OP ⊥D ．若(2,0),(0,3),(4,1)OA OB OC === ，则四边形OACB三、填空题13．已知ABC 的边4AC =，且321tan tan A B+=，则ABC 的面积的最大值为 ．14．在ABC 中，已知向量AB 与AC 满足0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭，且0AB AC ⋅= ，则角B = .15．若3AB =，2AC CB =，平面内一点P ，满足PA PC PB PC PA PB ⋅⋅= ，sin PAB ∠的最大值是 ．16．已知,,A B C 为圆O 上的三点，若1()2AO AB AC =+ ，则AB与AC 的夹角为．四、解答题17．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知24cos cos a bc A ac B =+．(1)求sin sin AC的值．(2)若BD 是ABC ∠的平分线．（i ）求证：2BD BA BC DA DC =⋅-⋅；（ii ）若1a =，求BD AC ⋅的最大值．18．如图，设,Ox Oy 是平面内相交成60︒角的两条数轴，21,e e分别是与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量．若向量12OP xe ye =+ ，则把有序数对(,)x y 叫做向量OP在坐标系Oxy 中的坐标． 设1223OP e e =+ ，(1)求||OP的模长；(2)设2OQ e me =+ ，若//OP OQ ，求实数m 的值；(3)若1112OA x e y e =+ ，2122OB x e y e =+ ，有同学认为“OA OB ⊥”的充要条件是“12120x x y y +=”，你认为是否正确？若正确，请给出证明，若不正确，请说明理由．19．已知C 为OAB 所在平面内一点，满足0,2OA OB OC OA OB OC ++===，且OAB 的面积为(1)求cos AOB ∠的值;(2)求OA OC ⋅的值;(3)若点P 是线段AC 上一点，过点P 分别向,BA BC 作垂线，垂足分别为E ，F ，求PB PE PB PF ⋅+⋅的最小值．20．在①cos cos 2B bC a c =-；②11tan tan A B +=；③设ABC 的面积为S ，且2223()3b a c +-=．这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上．并加以解答．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且_____，b =(1)若4a c +=，求ABC 的面积；(2)求ABC 周长的范围(3)若ABC 为锐角三角形，求b ca+的取值范围．21．已知向量a 与b的夹角为30,2a ︒= .(1)求a b + 的值；(2)若b =，求a 在b 上的投影向量c的坐标.参考答案：1．B【分析】取BC 的中点E ，连AE ，则OE 为内切圆的半径，利用面积关系求出OE ，得1318AO AE = ，再根据()12AE AB AC =+ 得13133636AO AB AC =+，由平面向量基本定理求出,m n 可得答案.【详解】取BC 的中点E ，连AE ，因为13AB AC ==，10BC =，所以AE BC ⊥，12AE ==，所以ABC 的内心O 在线段AE 上，OE 为内切圆的半径，因为ABC AOB AOC BOC S S S S =++ ，所以()1122AE BC OE AB AC BC ⋅=⋅++，所以()11121013131022OE ⨯⨯=⋅++，得10OE 3=，所以10261233AO AE OE =-=-=，所以1318AO AE =，又()12AE AB AC =+ ，所以13133636AO AB AC =+，又已知AO mAB nAC =+ ，所以1336m n ==，所以1318m n +=.故选：B.【点睛】关键点点睛：利用面积关系求出内切圆半径,进而得到13133636AO AB AC =+是本题解题关键.2．D【分析】利用b 在a上的投影向量的定义求解.【详解】因为()()21,12,3231,||2a b a ⋅=-⋅=-+== ，所以b 在a上的投影向量的坐标为()1111,1,222a b a aa ⋅⎛⎫⋅=-=- ⎪⎝⎭．故选：D ．3．D【分析】利用b 在a上的投影向量的定义求解.【详解】解：由已知可得，b 在a上的投影向量为()2,0222a b a a a a a λλλ⋅⋅===⨯，又b 在a上的投影向量1,02c ⎛⎫ ⎪⎝=⎭，所以12λ=.所以1b ==== ，D 正确．故选：D.4．B【分析】根据向量数量积的运算性质及充分条件、必要条件得解.【详解】若a c b c ⋅=⋅ ，可得()0a b c -⋅= ，即a b - 与c 垂直即可，得不出a b =，若a b =时，a c b c ⋅=⋅ 显然成立，所以“a c b c ⋅=⋅ ”是“a b =”的必要不充分条件，故选：B 5．D【分析】利用正弦定理求出sin B ，从而求出B .【详解】由正弦定理sin sin a b A B =，得1sin 30︒=sin B =，又0150B ︒<<︒，所以60B =︒或120B =︒.故选：D 6．A【分析】先利用正弦定理角化边，整理后利用余弦定理求出角A2sin 0A B -=求出角B .【详解】由正弦定理可得22()(2b c a bc +=+，整理得222+=b c a ，由余弦定理222cos 2b c a A bc +-===，又()0,πA ∈，所以3π4A =，3π2sin 04B -=，得1sin 2B =，又()0,πB ∈，所以π6B =或5π6B =（πA B +>，舍去）故选：A.7．C【分析】利用三角恒等变换可得cos sin 0A A -=，进而可求得A ，由余弦定理得222π224b b =+- ，可求b 的值.【详解】由sin sin (sin cos )0B A C C -+=，可得sin()sin sin sin cos 0A C A C A C +--=，所以cos sin sin sin 0A C A C -=，因为sin 0C ≠，所以cos sin 0A A -=，所以tan 1A =，因为(0,π)A ∈，所以π4A =，在ABC 中，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，所以222π224b b =+- ，所以2440b b -+=，解得2b =.故选：C.8．C【分析】设AD t AC =，得到AB t AC DB CB -=≥ 恒成立，得出AC BC ⊥，根据题意，结合勾股定理，得到BC =.【详解】设AD t AC =，如图所示，因为对任意的实数t ，都有AB t AC AB AC -≥-恒成立，由AB t AC AB AD DB CB -=-=≥恒成立，则AC BC ⊥，因为()()2,5,cos ,sin AB m m AC αα=+= ，所以AB = ，≥=当且仅当1m =-时，等号成立．故选：C ．【点睛】关键点点睛：设AD t AC =，得到AB t AC DB CB -=≥ 恒成立，得出AC BC ⊥，是解决本题的关键.9．BD【分析】对于A ：计算cos A 的正负即可；对于B ：直接用面积公式计算即可；对于C ：利用余弦定理求出B ，利用正弦定理求出外接圆半径，再直接利用向量的定义计算OA OC ⋅即可；对于D ：先表示出1233BG BC BA =+，然后两边同时平方计算.【详解】对于A：222cos 02b c a A bc +-===<，A 为ABC 中的角，故A 为钝角，ABC 为钝角三角形，A 错误；对于B：sin A ===，则11sin 122ABC S bc A ==´´，B 正确；对于C ：2229171cos 262a cb B ac +-+-===，B 为ABC 中的角，则π3B =，所以2π3AOC ∠=，设ABC 的外接圆半径为R ，由正弦定理2sin aR A =得2sin a R A ===所以17cos 26OA OC OA OC AOC ⎛⎫⋅=⋅∠=-=- ⎪⎝⎭，C错误；对于D ：因为3AG AC =，则()11123333BG BA AG BA AC BA BC BA BC BA =+=+=+-=+ ，所以22221214433999BG BC BA BC BA BC BA⎛⎫=+=++⋅ ⎪⎝⎭144119913199929=⨯+⨯+⨯⨯⨯=，所以BG =D 正确.故选：BD.10．ABD【分析】利用平面向量数量积公式及三角形面积公式可判定A ，直接解三角形可判定B ，利用角的范围结合正弦定理可判定C ，利用正弦定理将边化角，再由面积公式、三角恒等变换公式及正弦函数的性质求出ABC S 的范围，即可判断D.【详解】对于A，因为AB AC ⋅=，所以1cos sin 2bc A bc A =，则tan A =，因为()0,πA ∈，所以π6A =，故A 正确；对于B ，因为2b a ==，则π6B A ==，2π3C =，故ABC 只有一解，故B 正确；对于C ，若ABC 为锐角三角形，则π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π0,2C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则π02ππ0π62B B ⎧<<⎪⎪⎨⎪<--<⎪⎩，则ππ32B <<，即sin B ⎫∈⎪⎪⎭，由正弦定理可知()sin 4sin 4sin a Bb B A==∈，故C 错误；对于D ，由正弦定理可知24πsin sin sin sin 6a b c A B A ====，所以4sin b B =，4sin c C =，所以111sin 4sin 4sin 4sin sin 222ABC S bc A B C B C==⨯⨯⨯= π4sin sin 6B B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ππ4sin sin cos cos sin 66B B B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭14sin cos2B B B ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭22sin cos B B B =+)sin 21cos 2B B =-sin 22B B =+π2sin 23B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭因为ππ32B <<，所以ππ2π2333B <-<，即πsin 23B ⎤⎛⎫-∈⎥ ⎪⎝⎭⎦，所以(2ABC S ∈+ ，故D 正确.故选：ABD.11．BD【分析】本题重点是研究线段AB 的n 等分点，A 选项是两向量与同一条向量的数量积，易联想到这两向量31,n n OP OP -- 在同一条向量2n OP -上的投影向量的大小，结合图形，易判断A是错误的，再利用中线向量的性质可判断2312n n n OP OP OP ---=+是正确的， C 选项中通过向量的加法运算和共线运算，发现共线向量的比例明显有错误， 而D 选项，依次利用同一条向量在两个三角形中的加法法则可得，11OP OA AP =+ ，111n OP OB BP OB AP -=+=-，相加得1112n OP OA OB AP AP -=++-，再利用累加法可计算得到结果是正确.【详解】选项A ：323232cos n n n n n n OP OP OP OP P OP ------⋅=⋅∠，212121cos n n n n n n OP OP OP OP P OP ------⋅=⋅∠，由图易知，两向量31,n n OP OP -- 在2n OP -上的投影向量的大小是332121cos cos n n n n n n OP P OP OP P OP ------∠≠∠，所以A 是错误的.选项B ：由于2n P -是13n n P P --的中点，所以有2312n n n OP OP OP ---=+，即B 是正确的．选项C ：()111111n n n n n OP OA AP OA AB OA OB OA OA OB n n n n-----=+=+=+-=+ ，所以C 是错误的.选项D ：因为11OP OA AP =+ ，111n OP OB BP OB AP -=+=- ，所以1112n OP OA OB AP AP -=++-，22OP OA AP =+ ，222n OP OB BP OB AP -=+=- ，所以2222n OP OA OB AP AP -=++- ，⋅⋅⋅，11n n OP OA AP --=+ ，111n n OP OB BP OB AP --=+=-，所以1112n n OP OA OB AP AP --=++- ，即由上面n 1-个等式相加得：()()1212(1)n OP OP OP n OA OB -++⋯+=-+，所以1212(1)n OP OP OP n OA OB -++⋯+=-+，所以D 是正确的.故选：BD 12．ABD【分析】根据向量新定义利用数量积的运算律求解模长即可判断A ，根据向量运算得2AB BC =- 即可判断B ，根据数量积运算律求得11502OP OP ⋅=-≠ 判断C ，先通过向量模的运算求得四边形OACB 的边长，再结合余弦定理和勾股定理利用三角形面积公式求解即可判断D.【详解】对于A ，由题意得122OP e e =+，故()222222121122112224444cos 60OP e e e e e e e e e e =+=+⋅+=+⋅︒+ 14411172=+⨯⨯⨯+=，故||OP =正确；对于B ，由题意得121212,2AB e e BC e e =+=-- ，所以2AB BC =-，所以A ，B ，C 三点共线.正确；对于C ，由题意得11211232,23OP e e OP e e =+=-，所以()()22111212112215322365665116022OP OP e e e e e e e e ⋅=+-=-⋅-=-⨯⨯⨯-=-≠ ，故1OP 与2OP 不垂直，错误；对于D ，因为(2,0),(0,3),(4,1)OA OB OC ===，所以(2,1),(4,2)AC BC ==- 12OA e = ，所以2,3OA OB ==== ，AC OP == ，BC ==== ，OC ==== ，所以222OB BC OC +=，即OB BC ⊥，所以132OBC S =⨯⨯= OAC 中，由余弦定理知，222cos 2OA AC OC OAC OA AC +-∠===⋅sin OAC ∠===11sin 222OAC S OA AC OAC =⨯⨯⨯∠=⨯=所以四边形OACB 的面积为OBC OAC S S +==正确.故选：ABD13．2+【分析】首先利用三角函数商的关系以及三角恒等变换得2sin sin (sin cos )C B A A =-，再利用正弦定理得24(sin cos )c A A =-，从而得到π(,π)4A ∈，再利用三角形面积公式结合降幂公式得π24S A =-+，最后根据三角函数的图象与性质即可得到最值．【详解】由题意，设ABC 中角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，则有4b =，由321tan tan A B+=，可得3cos 2cos 1sin sin A BA B +=，整理得3cos sin 2sin cos sin sin As B A B A B +=，所以cos sin 2sin()sin sin A B A B A B ++=，因为πA B C ++=，所以cos sin 2sin sin sin A B C A B +=，所以2sin sin (sin cos )C B A A =-.由正弦定理可得2(sin cos )4(sin cos )c b A A A A =-=-，所以2(sin cos )0c A A =->，则sin cos A A >．若π,π2A ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则sin 0cos 0A A >≤,，显然sin cos A A >成立，若π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos 0A >，则πtan 1tan 4A >=，则有ππ,42A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，综上，π,π4A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ABC 的面积21sin 4(sin cos )sin 4sin 4cos sin 2S bc A A A A A A A ==-=-，所以1cos2π42sin22)24A S A A -=⨯-=-+，因为π,π4A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π3π9π2(,444A +∈，当π3π242A +=，即5π8A =时，ABC 的面积S取得最大值2+，故答案为：2+14．4π/45︒【分析】依题意可得AB AC ⊥，设角A 的平分线交BC 于D ，即可得到AD BC ⊥，从而得到ABC 为等腰直角三角形，即可得解.【详解】设角A 的平分线交BC 于D ，因为0AB AC ⋅= ，故AB AC ⊥，即π2CAB ∠=，又AB AB表示与AB同向的单位向量，AC AC表示与AC 同向的单位向量，设AB AE AB=，AC AF AC=（如图所示），AE AF AG +=，因为1AE AF == ，故四边形AEGF 为正方形，所以AG 为角A 的平分线，故G 在AD 上.因为0AB AC BC AB AC⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭，故AD BC ⊥，故AB AC =.综上，ABC 为等腰直角三角形且π2CAB ∠=，所以π4B =.故答案为：π415．12/0.5【分析】由向量的数量积定义和条件易得APC BPC ∠=∠，利用三角形的角平分线定理可得2PA PB =,设PB x =，求出x 的取值范围，借助于余弦定理得到cos PAB ∠的解析式，由基本不等式求得∠PAB 的范围，由正弦函数的图象即得sin PAB ∠的最大值.【详解】如图，由PA PC PB PCPA PB⋅⋅= 和向量的数量积定义可得，||cos ,||cos ,PC PA PC PC PB PC 〈〉=〈〉 ，即得APC BPC ∠=∠，从而2PA ACPB BC==，设PB x =，则2PA x =，由PA PB AB +>，PA PB AB -<可得13x <<由余弦定理，22943cos 22344x x x PAB x x +-∠==+≥=⨯⨯当且仅当344x x =时，即x =时，等号成立，因0πPAB <∠<，则π06PAB <∠≤，故10sin 2PAB <∠≤.故答案为：12.【点睛】思路点睛：本题主要考查向量的数量积定义和余弦定理、基本不等式的综合应用,属于难题.解题的思路在于对向量等式的理解和转化，以及三角形中角平分线定理的运用，通过余弦定理将所求角∠PAB 与三角形的三边联系起来，借助于基本不等式求得cos PAB ∠的范围.16．90【分析】根据向量等式可知BC 为圆O 的直径，由直径所对圆心角为90 可得结论.【详解】由1+2AO AB AC = （）可得,AO AB AC AO -=- 即,BO OC =故,,O B C 三点共线，且O 是线段BC 中点，即BC 是圆O 的直径，从而90BAC ∠= ，即AB与AC 的夹角为90 .故答案为：90 .17．(1)12(2)（i ）证明见解析；（ii 【分析】（1）根据正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简，即可得答案；（2）（i ）在ABD △和BCD △中，分别应用正余弦定理，得出线段之间的等量关系，结合角平分线以及分式的性质，即可证明结论；（ii ）利用（i ）的结论以及基本不等式即可求得答案.【详解】（1）因为24cos cos a bc A ac B =+，由正弦定理可得24sin sin sin cos sin sin cos A B C A A C B =+，2sin (sin cos cos sin )sin sin()sin C B A B A C A B C =+=+=，且,(0,π)A C ∈，则sin ,sin 0A C >，所以sin 1sin 2A C =.（2）（i ）在ABC 中，由正弦定理可得si n si n AD ABABD ADB=∠∠①，由余弦定理可得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅∠②，.在BCD △中，由正弦定理可得sin sin CD BC CBD CDB=∠∠③，由余弦定理可得2222cos BC CD BD CD BD CDB =+∠-⋅⋅ ④.因为BD 是ABC ∠的平分线，则ABD CBD ∠=∠，所以sin sin ABD CBD ∠=∠.因为πADB CDB ∠+∠=，所以sin sin ADB CDB ∠=∠，cos ADB cos DB 0∠+∠=C ，①÷③，得AD ABCD BC=⑤，所以AD AB AC BC AB =+，CD BC AC BC AB =+，CD ⨯②＋AD ⨯④，得222()()CD AB AD BC CD AD AD CD CD AD BD ⋅⋅⋅⋅++⋅+=+2CD AD AC AC BD =⋅⋅+⋅所以22222CD AB AD BC BC AB AB BC BD CD AD CD ADAC AB AC++=-=+⋅-⋅⋅⋅⋅⋅BA BC DA DC =⋅-⋅，得证．（ii ）由（1）可得sin 1sin 2A C =，则22c a ==，即1,2BC AB ==，由⑤式（或由角平分线定理）知，2AD ABCD BC==，所以23AD AC =，13DC AC =，所以由（i ）知22229BD AC =-，所以22229BD AC +=，因为2229BD AC AC +≥⋅2AC ⋅≤，解得BD AC ⋅≤当且仅当1,BD AC ==时，取得等号，所以BD AC ⋅18．(1)||OP =(2)32m =(3)充要条件为1212122111022x x y y x y x y +++=【分析】（1）利用向量的线性运算两边平方可求||OP；（2）设OP OQ λ=，可得121223()e e e me λ+=+ ，可求实数m 的值；（3）由OA OB ⊥，可得11122122()()0x e y e x e y e +⋅+= ，运算可知不正确.【详解】（1）因为1223OP e e =+ ，所以两边平方得22221212121()(23)49121312192OP e e e e e e =+=++⋅=+⨯= ，故||OP =u u u r（2）因OP OQ∥，由共线定理，存在唯一的实数λ，有OP OQλ=则121223()e e e me λ+=+ ，故23m λλ=⎧⎨=⎩，所以32m =；（3）不正确证明：因为OA OB ⊥ ，所以0OA OB ⋅=，即11122122()()0x e y e x e y e +⋅+= ，则有22121122121221121212122111022x x e y y e x y e e x y e e x x y y x y x y ++⋅+⋅=+++= ，所以“OA OB ⊥ ”的充要条件是“1212122111022x x y y x y x y +++=”,所以“OA OB ⊥”的充要条件是“12120x x y y +=”是不正确的.19．(1)14-(2)14-(3)254【分析】（1）利用平面向量数量积公式及运算律计算夹角即可；（2）根据同角三角函数的平方关系结合（1）的结论、三角形面积公式得4,2OA OB ==，由平面向量数量积得2OA OB ⋅=- ，再在等式0OA OB OC ++=两边同乘以OA 计算即可；（3）利用（1）（2）的结论及数量积运算律可得AB BC == 由条件可判定O 为ABC的重心，根据面积关系得PE PF += ，利用投影的意义及基本不等式计算最值即可.【详解】（1）由0OA OB OC ++=得OC OA OB -=+ ，两边平方可得:2222OC OA OA OB OB =+⋅+ ，又2OA OB OC == ，所以2222OA OA OA OB OB =+⋅+ ，即22OA OB OB ⋅=-，即222cos 4cos OA OB AOB OB AOB OB ⋅∠=∠=- ，所以1cos 4AOB ∠=-；（2）因为()0,πAOB ∠∈，所以sin AOB ∠==，又1sin 2OAB S OA OB AOB =⋅⋅⋅∠=所以4,2OA OB == ，则cos 2OA OB OA OB AOB ⋅=∠=-，在等式0OA OB OC ++=两边同乘以OA ，有()22420OA OB OA OC OA OC OA +⋅+⋅=+-+⋅=，所以14OA OC ⋅=-；（3）因为()2222224AB OB OAOB OA OB OA =-=-⋅+=，同理得224BC =，即有AB BC == 由0OA OB OC ++=得点O 是ABC 的重心，所以3ABC OAB S S ==又12ABC PAB PBC S S S =+=⨯即有PE PF += 所以222()4524PE PF PB PE PB PF PE PF +⋅+⋅=+≥=，(当且仅当PE PF == )，所以PB PE PB PF ⋅+⋅ 的最小值为254.【点睛】思路点睛：第一问利用等量关系同时平方消去OC，利用数量积公式计算即可；第二问利用三角形面积公式先计算OA OB ⋅ ，再在等式0OA OB OC ++=两边同乘以OA 计算即可；第三问利用重心的性质结合面积公式推出PE PF += ，再根据投影的意义及基本不等式计算即可.20．(2)((3)2⎫+⎪⎪⎭【分析】（1）选①，结合正弦定理，两角和与差的三角函数公式，三角形内角和和诱导公式可求角B ；选②，首先“切化弦”，结合两角和与差的三角函数公式，可求角B ；选③，根据余弦定理，可求角B ；再根据余弦定理和三角形的面积公式，求三角形的面积.（2）先用余弦定理，得到a c +和ac 的关系，再利用基本（均值）不等式，求a c +的取值范围，最后得a b c ++的范围.（3）结合正弦定理，先把b ca+表示成角A 的三角函数，根据三角形是锐角三角形，确定角A 的取值范围，利用三角函数的单调性，求b ca+的取值范围.【详解】（1）选①，由正弦定理得cos sin cos 22sin sin B b BC a c A C==--，整理得sin cos 2sin cos sin cos B C A B C B =-，即2sin cos sin cos cos sin sin()sin A B B C B C B C A =+=+=，因为sin 0A ≠，所以1cos 2B =，又0πB <<，故π3B =.选②，因为11cos cos cos sin cos sin tan tan sin sin sin sin A B A B B A A B A B A B++=+=sin()sin sin sin sin sin A B CA B A B +==，所以sin sin sin C A B =又sin 0C ≠，故tan B =0πB <<，故π3B =.选③，因为2223()3b a c +-=，即222()sin 3B a c b =+-，22232a c b B ac+-=⋅，3cos B B =，所以tan B =0πB <<，故π3B =.由余弦定理得22222cos ()22cos b a c ac B a c ac ac B =+-=+--，即21124222ac ac =--⨯，解得43ac =，所以ABC 的面积114sin sin 2233S ac B π==⨯⨯=（2）由余弦定理得22222cos ()22cos b a c ac B a c ac ac B =+-=+--，即22112()22()32a c ac ac a c ac =+--⨯=+-所以243()a c ac +=-.因为20(2a c ac a c +⎛⎫<≤== ⎪⎝⎭当且仅当时取“”）.所以220432()a c a c +⎛⎫<-≤⎝+ ⎪⎭所以a c <+≤.所以ABC 周长a b c ++的范围为(.（3）由（1）知π3B =，23+=A C π，由正弦定理得：sin sin sin b c B C a A ++==1cos 111sin 22tan 2A A A +=++，在锐角ABC 中，π02A <<，π02C <<，即2π0π32A <-<，所以ππ62A <<，即ππ1224A <<，又ππtantanπππ34tan tan()2ππ12341tan tan 34-=-===+⋅所以2tan12A<<，所以b ca +的取值范围是2⎫⎪⎪⎭.21．(2).【分析】（1）利用数量积性质，将所求转化为向量数量积计算即可；（2）根据投影向量公式直接求解可得.【详解】（1）因为向量a 与b的夹角为30,2a ︒= ，所以2cos303a b ⋅=⨯︒=，所以a b +=== （2）由投影向量公式可得：答案第17页，共17页33224a b b b c b b b ⋅=⋅=⨯== .。

基础过关1.已知a,b为非零向量,则“a·b>0”是“a与b的夹角为锐角”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.已知点A(0,1),B(1,-2),向量=(4,-1),则||=()A.13B.4C.3D.3.已知向量a=(1,1),b=(-1,2),若(a-b)∥(2a+t b),则t=()A.0B.C.-2D.-34.在△ABC中,若+=4,则=()A.-B.-+C.-D.-+5.已知|a|=2,|b|=1,a,b的夹角θ=60°,则(b-a)·(b+2a)=()A.-6B.6C.-7+D.-7-6.已知向量a=(2m+1,3),b=(2,m),若a,b平行且方向相反,则|a+b|等于()A.B.或C.D.7.在△ABC中,BC=4,(+)·=0,则·=()A.4B.-4C.-8D.88.已知向量a,b满足|a-b|=3且b=(0,-1),若向量a在向量b方向上的投影为-2,则|a|=()A.2B.2C.4D.129.已知△ABC中,AB=10,AC=6,BC=8,M为AB边的中点,则·+·=()A.0B.25C.50D.10010.已知|a|=2,|b|=3,a与b的夹角为,且a+b+c=0,则|c|=.11.在平行四边形ABCD中,|+|=|-|,=2,=,||=3 且·=7,则平行四边形ABCD的面积为.12.已知向量a=(1,0),b=(1,1),若(a+λb)⊥b(λ为实数),则|a+λb|=.能力提升13.如图X6-1,在△ABC中,=,=,若=λ+μ,则λ+μ=()图X6-1A.B.-C.D.-14.若平面向量a,b满足a⊥(2a+b),|a-b|=|a|,则a,b的夹角θ为()A.30°B.60°C.120°D.150°15.已知等边三角形ABC的边长为1,D,E是边BC上的两个三等分点,则·=.16.已知非零单位向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则a与b-a的夹角θ为.限时集训(六)基础过关1.B[解析]∵a·b>0等价于a与b的夹角是锐角或<a,b>=0,∴“a·b>0”是“a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件,故选B.2.D[解析]设点C(x,y),∵点A(0,1),B(1,-2),向量=(4,-1),∴=(x,y-1)=(4,-1),∴解得∴C(4,0),∴=(3,2),||==.故选D.3.C[解析]由题意可得a-b=(2,-1),2a+t b=(2-t,2+2t),因为(a-b)∥(2a+t b),所以2(2+2t)=-(2-t),所以t=-2,故选C.4.C[解析]由题意得+=4=4(+),所以=-,故选C.5.A[解析](b-a)·(b+2a)=b2+a·b-2a2=1+2×1×cos60°-8=-6,故选A.6.A[解析]因为a,b平行,所以(2m+1)m-3×2=0,解得m=-2 或m=.当m=时,a,b方向相同,不合题意,所以m=-2,故a=(-3,3),b=(2,-2),a+b=(-1,1),|a+b|=.故选A.7.D[解析]设BC的中点为M,∵(+)·=2·=0,∴⊥,则·=(+)·=·+·=||||cos 0°+0=8,故选D.8.A[解析]由|a-b|=3,得|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2=9,所以a·b===.由向量a在向量b方向上的投影为-2,得==-2,即|a|2=4,所以|a|=2,故选A.9.C[解析]由题可知△ABC为直角三角形,所以CM=AB=5,所以·+·=·(+)=·2=2=50.故选C.10.[解析]由a+b+c=0得c=-(a+b),∴|c|=|-(a+b)|,两边平方得|c|2=|-(a+b)|2,∴|c|2=a2+2a·b+b2=22+2×2×3cos+32=7,∴|c|=.11.3[解析]将|+|=|-|两边平方化简可得·=0,故平行四边形ABCD为矩形.以A为坐标原点,以AB所在直线为x轴,以AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系,如图所示.设AD的长度为y(y>0),则E(2,y),F3,,由·=7得2×3+y·=7,所以y=,故平行四边形ABCD的面积S=3×=3.12.[解析]∵(a+λb)⊥b,∴(a+λb)·b=0,∴a·b+λb2=0,即1+2λ=0,得λ=-,∴a+λb=a-b=,-,∴|a+λb|=.能力提升13.D[解析]在△ABC中,∵=,=,∴=+=+=+(-)=+×=+(-)=-+,又=λ+μ,∴λ=-,μ=,∴λ+μ=-+=-.故选D.14.C[解析]∵a⊥(2a+b),∴a·(2a+b)=0,∴2a2+a·b=0,a·b=-2a2.把|a-b|=|a|两边平方得a2-2a·b+b2=21a2,∴-2a·b+b2=20a2,∴b2=16a2,即|b|=4|a|,∴cos θ===-,得θ=120°.故选C.15.[解析]如图所示,因为等边三角形ABC的边长为1,D,E是边BC上的两个三等分点,所以=+,=+,所以·=+·+=+×+=.16.[解析]由|a+b|=|a-b|结合三角形法则和平行四边形法则知a⊥b,∴a·b=0,则(b-a)2=b2-2b·a+a2.∵a,b为非零单位向量,∴(b-a)2=2,即|b-a|=.∵a·(b-a)=a·b-a·a=-1=|a||b-a|cos θ,∴cos θ==-,又θ∈[0,π],∴θ=.。

地地道道的达到第6讲平面向量1. (1) [ 2018·全国卷Ⅰ]在△ ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则=()A.-B.-C.+D.+(2) [ 2018·全国卷Ⅲ]已知向量a=(1,2),b=(2, - 2), c=(1,λ) . 若 c∥(2 a+b),则λ=.[试做]命题角度向量的线性运算①察看各向量的地点;②找寻相应的三角形或多边形;③运用三角形法例或平行四边形法例找关系;④用好平面向量的基本定理和共线定理.2. (1) [ 2017·全国卷Ⅱ]已知△ ABC是边长为2 的等边三角形 , P为平面ABC内一点 , 则·(+)的最小值是 ()A.- 2B.-C.-D.- 1(2) [ 2018·全国卷Ⅱ] 已知向量, 知足|a|=1, ·1, 则a·(2 ) ()a b a b=- a-b =A. 4B. 3C. 2D. 0 [试做]地地道道的达到命题角度数目积公式及应用①依据需要 , 灵巧变形数目积公式求解.②利用数目积与共线定理能够解决垂直、平行、夹角问题.③成立坐标系 , 利用平面向量的坐标运算解题.小题 1 平面向量的线性运算1 (1) 已知 (2,), (1, 2), 若 a ∥( 2),则()a=m b= - a+ b m=A .- 4B .4C .0D .- 2(2) 在△ ABC 中 , 点 D 是边 BC 上随意一点 , M 是线段 AD 的中点 , 若存在实数 λ 和 μ , 使得=λ +μ , 则 λ +μ= ( )A .B .-C .2D .- 2[ 听课笔录 ]【考场点拨】向量的线性运算问题的两点注意:(1) 注意尽可能地将向量转变到同一个平行四边形或三角形中 , 采用从同一极点出发的 基本向量或首尾相接的向量 , 运用向量加﹑减法运算及数乘运算来求解 .(2) 注意结论的使用 : O 为直线 AB 外一点 , 若点 P 在直线 AB 上 , 则有=α +β ( α+β =1); 若点 P 知足 = , 则有 = +.【自我检测】地地道道的达到 1. 已知向量 a=( m ,1), b=(1, m ), 则“ m=1”是“ a ∥b ”的 ( )A . 充分不用要条件B . 必需不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不用要条件2. 已知 O 是正三角形 ABC 的中心 , 若 =λ +μ , 此中 λ , μ ∈R,则 的值为 ( )A .-B .-C .-D . 23 已知 (3, - 2 ), (1, 2) 是同一平面内的两个向量 , 且该平面内的任一直量 c 都能够唯. a= m b= m-一的表示成 c=λ a+μ b ( λ , μ 为实数 ), 则实数 m 的取值范围是 ( )AB ∪... - ∞,2). - ∞ -2)∪(2, +∞)C (D (, 4. 如图 M2- 6- 1 所示 , 在正方形 ABCD 中 , P 为 DC 边上的动点 , 设向量 =λ +μ , 则 λ +μ的最大值为.图 M2-6-1小题 2 平面向量的数目积及应用2 (1) 已知向量 a 与 b 的夹角是 , 且 |a|= 1, |b|= 2, 若 ( a+λ b ) ⊥ a , 则实数 λ = ( )A .B .-C .D .-地地道道的达到(2) 已知在△中 , 2,2 , 动点 P 位于线段AB 上, 则当 · 取最小值时 , 向量OAB OA=OB= AB=与 的夹角的余弦值为.[ 听课笔录 ]【考场点拨】平面向量数目积问题难点打破 :(1) 借“底”数字化 , 要先选用一组适合的基底 , 这是把平面向量“数化”的基础 ;(2) 借“系”坐标化 , 数形联合 , 成立适合的平面直角坐标系 , 将向量的数目积运算转变为坐标运算 .【自我检测】1. 已知两个单位向量 a , b 的夹角为 , 则 (2 a+b ) ·(a-b ) =( )A .1B .- 1C .D .-2 已知向量 , b 知足(1, ),|b|= 1, |a+b|= , 则 , b 的夹角 α 为 (). a a=aA .B .C .D .3. 已知菱形 ABCD 的一条对角线 BD 的长为 2, 点 E 知足 = , 点 F 为 CD 的中点 . 若· =-2,则 · =.4. 若平面向量 e 1, e 2 知足 |e 1|=| 3e 1+e 2|= 2, 则 e 1 在 e 2 方向上投影的最大值是.地地道道的达到第 6讲平面向量典型真题研析1. (1)A (2) [ 分析 ] (1) 由于 AD 为中线 , E 为 AD 的中点 , 因此= + = + =×( + )+( - )= -.(2) 由已知得 2a+b=(4,2), 由 c ∥(2 a+b ) 可得 = , 因此 λ = .2 (1)B (2)B [ 分析 ] (1) 成立如下图的平面直角坐标系 , 则 (0,0), (2,0), (1, ) . 设.A B CP ( x , y ), 则·( +) =( -x , -y ) ·[(2 -x , -y ) +(1 -x ,-y )] =( x , y ) ·(2 x- 3,2 y- ) =x (2 x- 3) +y (2 y-) 2 2 3 2 22 2 - ≥ - , 当且仅当 x= ,y= 时,等号成立 ,点在= x - x+ y - y=+平面 ABC 内部 , 此时 ·(+) 获得最小值 , 最小值为 - .(2) a ·(2 a-b ) =2|a| 2-a · b=2- ( - 1) =3. 考点考法研究小题 1例 1 (1)A(2)B [ 分析 ] (1) 依据题意 , a=(2, m ), b=(1, - 2),则 a+2b=(4, m-4),若 a ∥(a+2b ), 则有 4m=2( m-4), 即 m-4=2m ,地地道道的达到解得 m=-4. 应选A.(2) 由于点D在边BC上 , 因此存在t ∈R,使得=t=t (-) .由于 M是线段 AD的中点,因此= (+) = ( -+t -t) =- ( t+ 1)+ t,又=λ+μ, 因此λ=- ( t+ 1), μ= t ,因此λ +μ=- . 应选B.【自我检测】1. A [ 分析 ]向量a=(m,1),b=(1, m),2若 a∥ b,则 m=1,解得 m=±1,因此“ m=1”是“ a∥b”的充分不用要条件.应选 A.2. C [ 分析 ]延伸CO交AB于点D.∵==×(+)=(-+ -)=-,∴λ = ,μ =- ,∴ =- .3. B [ 分析 ]由题意可知,平面内的任一直量 c 都能够独一的表示成c=λ a+μ b, ∴a, b是一组基底 ,∴a, b不共线 ,则 3( m-2) ≠- 2m,解得 m≠,故 m的取值范围是∪.应选B.4.3 [分析] 以 A为坐标原点, AB, AD所在直线分别为x, y 轴成立平面直角坐标系(图略), 设正方形 ABCD的边长为2,则 C(2,2), B(2,0), D(0,2), P( x,2), x∈[0,2],∴ =(2,2), =(2, - 2), =( x,2) . ∵ =λ +μ,∴∴∴λ μ+ =.令 f ( x) =(0 ≤x≤2),∵f( x) 在 [0,2]上单一递减,∴f( x) max=f (0) =3, 故λ+μ的最大值为3.小题 2例 2 (1)B(2) -[ 分析 ] (1)由于|a|=1,|b|=2,且向量a与b的夹角为, 因此a· b=|a| ·|b| cos =1.由于 (a+λ b)⊥ a,因此(a+λ b)· a= a2+λa· b=+λ =0,因此λ =-.(2)由于 OA=OB=2, AB=2 ,因此∠ OAB=,因此·=·(+) =|| 2+|| ·|| cos=| | 2- ||=-, 当且仅当 ||=时,·获得最小值-, 此时||==,因此向量与的夹角的余弦值为=-.【自我检测】1. C [ 分析 ] (2a+b)·( a-b ) =2a2-a · b-b 2=2- 1×1×cos - 1= .2. C [ 分析 ] 由题得 |a|= =2, ∵|a+b|= ,2 2 ·2 3, 4 1 2 2×1·cos α 3,∴a+ a b+b = ∴+ + ×=∴cos α=- .∵α ∈[0, π ], ∴α=π.3.- 7 [分析] 成立如下图的平面直角坐标系, 设C( t ,0)( t> 0),则A( -t ,0), B(0, - 1), D(0,1),E ,F,∴( ,1),=, ( ,1),= .= t = -t∵·=- 2,∴- t 2+ =- 2,解得 t 2=5, ∴·=- t 2+ =- 7.4.- [分析] 由|e |=| 3e +e |= 2,可得1 1 2∴4=36+6|e1|·|e2| cos <e1, e2>+,∴e1在e2方向上的投影为|e 1| cos <e1, e2>==-≤ -×2=-, 当且仅当|e 2|=, 即|e2|= 4时,等号成立.[ 备选原因 ] 例 1 考察向量的模 , 经过转变为二次函数的形式求最值 ; 例 2 进一步加强平面向量数目积的运算 , 是对例题的增补加强.例 1 [ 配例 1 使用 ]已知点A(4,3)和点B(1,2),点O为坐标原点,则|+t| ( t ∈R)的最小值为()A 5B 5. .C. 3D.[分析]D 由题意得=(4,3), =(1,2), 则| +t |= = ,联合二次函数的性质可得, 当t=- 2 时 , | +t | 获得最小值,此时| +t |= = .例 2 [配例 2使用] 已知腰长为 2 的等腰直角三角形 ABC中, M为斜边 AB的中点,点 P 为该平面内一动点 , 若| |= 2,则( ·+4) ·的最小值为.[答案]48 -32[分析] 成立如下图的平面直角坐标系, 则 ( ,- ), ( ,-), (0, ).A -B M -设 P(2cosθ ,2sinθ ),则=( - - 2cosθ, - - 2sinθ ),=(- 2cosθ, -- 2sin θ),=( - 2cosθ, - 2sinθ ),=( - 2cosθ, - - 2sinθ ),∴(·+4)·=8(sinθ +2)2,∴当 sinθ =-1时,上式获得最小值, 最小值为48- 32.。

第6讲平面向量1.(1)［2018 •全国卷I ］在厶ABC 中 ,AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点贝U =()m % 1 r -AH-AC1 . 3 . -AB-ACA 4-4B .4-43.1. -AB -AC 1.3. -AH -ACC 4 +4D . 4 +(2)［2014 •全国卷I ］设DEF 分别为△ ABC 勺三边 BCCAAB 的中点，则 + =()A ■-AD -gcD •阮B. c ?(3)［2018 •全国卷川］已知向量 a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,入)，若 c // (2a+b ),则入= ________ . ［试做］ __________________________________________________________________________________:匚，命题角度 平面向量的线性运算解题策略：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或平行四边形 ；③运用法则找关系；④用好平面向量基本定理和向量共线定理 •2.【引•全国卷】(1)［2018 •全国卷 n ］已知向量 a ,b 满足|a|= 1,a • b=-1,则 a • (2a-b )=( )A 4B . 3C. 2D.0⑵［2013 •全国卷n ］已知正方形 ABC 啲边长为2,E 为CD 中点 则'• = _______ .［试做］_ _________________________________________________________________________________【荐•地方卷】［2017 • 山东卷］已知e 1,e 2是互相垂直的单位向量，若.e 1-e 2与8 +入e 2的夹角为60° ,则实 数入的值是 __________ .:° '命题角度 平面向量数量积的公式及应用①定义法：②坐标法：③将向量数量积的几何意义转化为一个向量在另一个向量上的投影与另 一向量模的积考点考法探究核g 点全面掙升顼5L 考诜*屈里爰丁小题1平面向量的线性运算G3l (1)已知DE,F分别是△ ABC的边BCCAAB的中点，且必=^必訪,曲=c,则有下列各式1 1 1 1 1-# -e —t- -e -*①'■ = c- b；②=a+ b；③• =- a+ b；④「+ + =0.其中正确的等式有()A 1个 B. 2个C 3个D 4个⑵在△ ABC中，点D是边BC上任意一点，M是线段AD的中点若存在实数入和卩，使得f =入乙二+卩,贝y入+卩=( )1 1A B.-C 2 D- 2［听课笔记］【考场点拨】高考中向量线性运算的关注点：(1) 解决向量的线性运算问题时应关注两点：①尽可能地将向量转化到同一个平行四边形或三角形中(注意已知条件);②选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量(2) 向量共线有两个常用结论：①向量a=(X1,y1),b=(X2,y2)平行，坐标满足的关系为X1y2-X2y1=0；②若0为直线AB外一点，点P在直线AB上，则有=八门+3 ；且a +3 =1.【自我检测】1. 下列各组向量中可以作为基底的是()Ae1=(0,0),e2=(1,2)1 3B.e1=(2,-3),e2=，-C e1=(3,5),e2=(6,10)D e1=(-1,2),e2=(5,7)A2. 已知O是正△ ABC的中心若厂。

专题06 平面向量【训练目标】1、 理解向量的概念及相关的特殊向量的概念；2、 掌握向量的线性运算（加法，减法，数乘）；3、 掌握向量的共线和垂直的充要条件（几何表示，坐标表示），并能熟练的使用向量的共线定理。

4、 掌握向量的坐标运算，特别是坐标运算的解题思想；5、 掌握向量的数量积公式及数量积的运算律。

【温馨小提示】一般情况下，高考会考一道向量题目，当然还有一些可能会在其它题目中以条件的形式给出，纯向量题目比较简单，本专题涉及题型面广，能帮助大家拿下这5分。

【名校试题荟萃】1、（吉林省汪清县第六中学2019届高三上学期第二次月考数学（理）试题）已知向量a ，b 满足1=a ，+=a b )1=-b ，则a ，b 的夹角等于（ ）A ．3πB ．6π C ．23π D ．56π 【答案】A2、（山东省新泰二中2019届高三上学期12月月考数学（理）试卷）在ABC ∆中，2CM MB =，0AN CN +=，则（ ） A. B. C. D.【答案】A【解析】由2CM MB =可知点M 是线段BC 上靠近点B 的三等分点，0AN CN +=可知点N 是线段AC 的中点，结合图像可知：。

3、（山东省新泰二中2019届高三上学期12月月考数学（文）试卷）已知点O 是边长为1的等边ABC △的中心，则等于（ ）A ．19B ．19-C ．6-D ．16-【答案】D 【解析】由于点O 是边长为1的正三角形的中心，则两两的夹角都是120，且模长均为3，则；4、（湖南省浏阳一中、株洲二中等湘东六校2019届高三12月联考数学（理）试题）已知向量)2,1(=，，则ABC ∆的面积为（ ）A.53B.4C.23D.2 【答案】D5、（黑龙江省哈尔滨市第六中学2019届高三12月月考数学（理）试题）设向量a r ，b r满足||2a =r ，，则|2|a b +=r r（ ）A ． 6B ．． D ． 【答案】D 【解析】解法一：将3a b +=两边平方，根据数量积的运算性质求出a b ⋅，再代入计算即可；解法二：可以,a b 为边作出平行四边形，由于，则2a b +是以,b a b +为边的平行四边形的对角线，再根据勾股定理可求得结果。