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26.1.3二次函数y=ax2+c的图像

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二次函数y=ax2的图象和性质PPT精品课件

二次函数y=ax2的图象和性质PPT精品课件
22.1.2二次函数y=ax2的 图象和性质
2021/3/1
1
温故而知新 对于函数的图象和性质，我们并不陌生。请同学们 回忆：我们是如何研究一次函数的图象和性质的？
（1）画函数的图象（用描点法）
（2）由函数的图象得到函数的图象特征和性质
（3）从哪些方面来概括一次函数的图象特征和 性质？
①函数图象的形状 ②函数图象的位置，即图象经过哪些象限。 ③函数随自变量的增大如何变化。
y
在对称轴的右侧， －4 －2
y随x的增大而减小。
－2
不试同归点纳：a<a 0要时越，大，抛
－4
物y线=a的x开2的口图越像小．
－6
24x
y 1 x2 2
特征
2021/3/1
－8
y x2 y2x2 11
我来归纳： 函数 y ax 2的图象及其性质：
1函数 yax2的图象是一条抛物
2.当a0时，图象开口向下；
1函数 yax2的图象是一条抛物
2.当a0时，图象开口向上；
且a越大，图象开口就；越小
3对称轴 y轴 ;是
4抛物线的顶点是原点y； x2
5在对称轴的左侧， y 2x2
8
6
y随x的增大而减小；
在对称轴的右侧， y随x的增大而增大。
4
y 1 x2 2 2
－4 －2
2021/3/1
24
9
5、画出函数y x2 ,y 1x2 ,y 2 x2
yx2的图象上 y1， ， y2，y则 3的大小关 系是
A、y1y2y3，B、y1y3y2,
C、y y 2021/3/1 3
2
y1，D、y2
y1y3
14
4.y=kx2与y=kx－2(k≠ 0)在同一坐标系中， 可能是（ B）

九年级数学下第26章二次函数26.1二次函数及其图象2二次函数y=ax2的图象习题新人教

九年级数学下第26章二次函数26.1二次函数及其图象2二次函数y=ax2的图象习题新人教

•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月27日星期日2022/3/272022/3/272022/3/27 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/272022/3/272022/3/273/27/2022 •3、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。 2022/3/272022/3/27March 27, 2022
x＞ 0时 ， y随 x的 增 大 而 增 大 ， x＜ 0时 ， y随 x的 增 大 而 减 小 .
2.a＜0⇔开口向下⇔有最大值⇔
x＞ 0时 ， y随 x的 增 大 而 减 小 ， x＜ 0时 ， y随 x的 增 大 而 增 大 .
知识点 2 求二次函数y=ax2的解析式
【例2】(2013·山西中考)如图是我省某地一座抛物线形拱桥,
(1)求此抛物线的解析式. (2)过点P作CB所在直线的垂线,垂足为点R, 求证:PF=PR.
【解析】(1)由题意可得:点A的坐标为(2,-1),
∵抛物线的顶点为坐标原点O,
∴可设抛物线的解析式为:y=ax2, 将点A(2,-1)代入可得:4a=-1,解得a=- 1 ,
4
∴抛物线的解析式为y=- 1 x2.
【例1】函数 ym2xm 2m 4 是关于x的二次函数,求:
(1)满足条件的m的值. (2)m为何值时,抛物线有最低点?求出这个最低点,这时当x为何 值时,y随x的增大而增大? (3)m为何值时,抛物线的开口方向向下?这时当x为何值时,y随x 的增大而减小?
【解题探究】(1)函数是二次函数的条件是自变量的最高次数

26.1.2二次函数y=ax2的图象和性质

26.1.2二次函数y=ax2的图象和性质

y
Q(0,b)
(-,+) o (-,-)
(+,+)
P(a,0)
x (+,-)
3. 点的位置及其坐标特征: ①.各象限内的点: ③.对称于坐标轴的两点: y
C(m,n) M(a,b)
②.各坐标轴上的点: ④.对称于原点的两点:
N(a,-b) A(x,y)
o
x
D(-m,-n) B(-x,y)
试学活动一
二次函数y=ax 二次函数y=ax2的图象和性质
y
x
平面直角坐标系: 一. 平面直角坐标系 1. 有关概念: 2. 平面内点的坐标:
你还记得有关 y 平面直角坐标 P (a,b) b 系的相关知识 吗? a o
(纵轴) 第二象限 第一象限 第三象限 第四象限
x(横轴)
3. 点的位置及其坐标特征: ①.各象限内的点: ②.各坐标轴上的点:
y=－ 2 3 x
2
试学活动二
2
，
的图象。
x
y= 1 2 x y=x2 2
... ... ... ...
-4 -3 8 4.5
-2 -1 2 0.5
0 0 0 0 0 0
1 0.5 0.5 0.5 1
− 2 3
2 2 1 2 1.5 1.5
3 4.5 1.5 4.5 2
− 8 3
4 8 2 8 3 -6
y = 2x2
y = − x2
2 y = − x2 3
二次函数y=ax2的图象形如物体抛射时 所经过的路线，我们把它叫做抛物线。 抛物线。 抛物线 这条抛物线关于y轴 这条抛物线关于 轴 这条抛物线关于y轴 这条抛物线关于 轴 这条抛物线关于y轴 这条抛物线关于 轴 对称， 轴就是它的 对称，y轴就是它的 对称， y轴就是它的 对称，y轴就是它的 对称， 对称， 轴就是它的 对称轴。 对称轴。轴就是它的 对称轴。 对称轴。 对称轴。 对称轴。 对称轴与抛物线 抛物线的交点 对称轴与抛物线的交点 对称轴与抛物线的交点 叫做抛物线的顶点。 叫做抛物线的顶点

26.1.3二次函数及其图象(3)

26.1.3二次函数及其图象(3)

总结
(1) 抛物线 y a( x h) 的图象可由 y ax 的图象左右平
2
2
移得到, h 0 ,向右平移, h 0 ,向左平移,平移
h个单位.
(2)抛物线 y a( x h)的性质：
2
① a 0时,开口向上；a 0 时，开口向下； ②对称轴是直线 x
h；
③顶点坐标是 ( h,0).
练习二
1.在同一直角坐标系内画出下列二次函数的图象：
1 2 y x , 2
1 y ( x 2) 2 , 2
y
1 ( x 2) 2 . 2
观察三条抛物线的相互关系,并分别指出它们的开口方
1 2 y ( x h ) 向及对称轴、顶点的位置.你能说出抛物线 2
的开口方向及对称轴、顶点的位置吗？
一、复习 用描点法画出函数 向、对称轴与顶点坐标. 图象， 并根据图象指出抛物线
yx
yx
2
2
的开口方
对于二次函数y ax
a>0时 顶点坐标 对称轴 位置
（0，0）
y轴 在x轴的上方 （除顶点外） 向上
2
a< 0时
（0，0）
y轴 在x轴的下方 （除顶点外） 向下
开口方向 当x=0时,y最小值=0。 当x=0时,y最大值=0 最值
2.抛物线y=
B．向下平移1个单位； D．向右平移1个单位．
2x2 向上平移5个单位,会得到哪条抛物线. 向下平移3.4个单位呢? 3、把抛物线y= 2x2-4x+2化成y= a(x-h)2的形式,并指出 抛物线的开口方向,对称轴,顶点坐标;函数有最大值 还是最小值?是多少?
点，当x=
，与y轴交点坐标 直线x=3

九年级数学下册 第二十六章 反比例函数26.1 反比例函数26.1.3 二次函数y=a(x-h)2+

九年级数学下册 第二十六章 反比例函数26.1 反比例函数26.1.3 二次函数y=a(x-h)2+

y 3x2
向、对称轴和顶点坐标分 别是什么?
与y=-3x²有关
y3x12 y3x122
二次函数y=-3(x-1)2+2与
y=-3(x-1)2-2的图象可
以看作是抛物线y=-3x2
先沿着x轴向右平移1个
单位,再沿直线x=1向上
(或向下)平移2个单位后
得到的.
对称轴仍是平行于
y轴的直线(x=1).
x=1
【例 2】要修建一个圆形喷水池，在池
y
中心竖直安装一根水管，在水管的顶端
安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱
在与池中心的水平距离为1m处达到最高，
高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水
管应多长？
解析：如图建立直角坐标系，点（1，3）
是顶点，设抛物线的解析式为
y=a(x-1)2 +3（0≤x≤3），
∵点（3，0）在抛物线上，
系，水在空中划出的曲线是抛物线y=-(x-2)2+4（单位：米）
的一部分，则水喷出的最大高度是( )
A．4米
B．3米
C．2米
D．1米
【解析】选A. 抛物线的
y (米)
顶点坐标为（2,4），
所以水喷出的最大高度
是4米.
x (米)
4.（温州·中考）已知二次函数的图象如图所示，关于该 函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是( ) A.有最小值0，有最大值3 B.有最小值-1，有最大值0 C.有最小值-1，有最大值3 D.有最小值-1，无最大值 【解析】选C．因为图象顶点的纵 坐标为－１，最高值为３．故选Ｃ．
26.1.3 二次函数y=a(xh)2+k的图象
第2课时
1.会画y=a(x-h)2+k的图象； 2.了解y=a(x-h)2+k的图象与y=ax2的关系，能结合图 象理解y=a(x-h)2+k的性质.

26.1.3二次函数y=a(x-h)2的图象

26.1.3二次函数y=a(x-h)2的图象

（5）将函数y=3（x－4）2的图象沿x轴对折后得到的函 数解析式是 y=－3（x－4）2 ；将函数y=3（x－4）2的 图象沿y轴对折后得到的函数解析式是 y=3（x+4）2 ； （6）把抛物线y=a（x-4）2向左平移6个单位后得到抛 物线y=- 3（x-h）2的图象，则 a= -3 ，h= -2 .若 抛物线y= a（x-4）2的顶点A，且与y轴交于点B，抛 物线y= - 3（x-h）2的顶点是M，则SΔMAB= 144 . （7）将抛物线y=2x2－3先向上平移3单位，就得到函 数 y=2x2 的图象，在向 右 平移 3 个单 位得到函数y= 2（x-3）2的图象. （8）函数y=（3x+6）2的图象是由函数
y
1 2 x 2
答：形状相同，位置不同。 想一想：三条抛物线 三个图象之间通过沿x轴平 有什么关系？ 移可重合。
x=-1
1 y ( x 1) 2 2
x=1
1 y ( x 1) 2 2
y
1 2 x 2
观察回答：二次函数 的平移.gsp 1 y ( x 1) 函数的 图象,开口方向 下 ，对称轴 2 1 (-1,0) y ( x 1) 图象,开口方 是 x=-1 ，顶点是 ；函数的 2 （ 向 下 ，对称轴是 x=1 ，顶点是 1，0） 。
例3 在同一平面直角坐标系内 1 2 y ( x 1) 与 y 1 ( x 1) 2 画出 2 2 的图象．
1 1 2 例题2：参照下表画出函数y = - (x + 1) 与y = - (x - 1)2 的图象 2 2
x
1 y ( x 1) 2 2
1 y ( x 1) 2 2
y 3x 2

26.1.3二次函数y=ax2+c(用)的图像

26.1.3二次函数y=ax2+c(用)的图像
抛物线y=x2
函数的上下移动
原则：上加下减
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
y=x2+1
y=x2
y=x2－1
x
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
把抛物线y=2x2+1向上平移5个单位,会得到那 条抛物线?向下平移3.4个单位呢? (1)得到抛物线y=2x2+6
(2)得到抛物线y=2x2－2.4
x=0时,y最小=0
x=0时,y最大=0
抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的,一般说来, |a|越大, 抛物线的开口就越小. |a|越小, 抛物线的开口就越大.
练习1: 1．二次函数y＝x2的图象是____，它的开口 向_____，顶点坐标是_____；对称轴是 ______，在对称轴的左侧，y随x的增大而 ______，在对称轴的右侧，y随x的增大而 ______，函数y＝x2当x＝______时， y有最 ______值，其最______值是______。
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 y
y=x2+1 y=x2－1
抛物线y=x2－1: 开口向上, 对称轴是y轴,
顶点为(0, －1).
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
抛物线y=x2+1,y=x2－1与抛物线y=x2的关系:
向上平移 抛物线 y=x2+1 1个单位 抛物线y=x2 向下平移 抛物线 y=x2－1 1个单位 y
或y=－３x2＋１
函数y=ax2 (a≠0)和函数y=ax2+c (a≠0) 相同 的图象形状 ，只是位置不同；当 c>0时，函数y=ax2+c的图象可由y=ax2 c 上 的图象向 平移 个单位得到，当c<0 时，函数y=ax2+c的图象可由y=ax2的图 |c| 象向 平移 个单位得到。 下 y

26.1.2二次函数y=ax2的图像课件

26.1.2二次函数y=ax2的图像课件
2,-3). (1)求a的值，并写出这个二次函数的解析 式.
(2)说出这个二次函数的顶点坐标、对称轴、 开口方向和图像的位置.
2.若抛物线y=ax2 （a ≠ 0），过点（-1，3）。
（1）则a的值是
；
（2）对称轴是
，开口
。
（3）顶点坐标是
，顶点是抛物线上的
。
抛物线在x轴的
方（除顶点外）。
驶向胜利 的彼岸
26.1.2二次函数y=ax2的图像
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
回顾知识:
一、正比例函数y=kx（k ≠ 0）其图象是什么。
正比例函数y=kx（k ≠ 0）其图象是一条经过原点 的直线。 二、一次函数y=kx+b（k ≠ 0）其图象又是什么。
一次函数y=kx+b（k ≠ 0）其图象也是一条直线。
三、反比例函数 y k（k ≠ 0）其图象又是什么。
y 2 x2 3
二次函数y=ax2的图象形如物体抛射时 所经过的路线，我们把它叫做抛物线。
对称这对轴对这对对这对条称对称与条称称条称抛，称轴抛抛，轴抛，y物轴。物轴物y。物轴y线。线轴就线线就关的就是关关是于交是它于于它y点它的轴y轴的y轴的 叫做抛物线的顶点。
1、观察右图， 并完成填空。
x
反比例函数 y k（k ≠ 0）其图象是双曲线。
x
二次函数y=ax²+ bx+c（a ≠ 0） 其图象又是什么呢？。
二次函数y=ax2的图像
画出下列函数的图象。
(1)y 1 x2 2
(2)y 2x2 (3)y 2 x2
3
y x2
y 1 x2 2
y x2
y 2x2
（2）因为 4 2(1)2 ，所以点B（-1 ，-4）

26.1.2(修改)二次函数y=ax2的图象和性质--

26.1.2(修改)二次函数y=ax2的图象和性质--

性质：a>0，图象开 口向上，顶点是抛 物线的最低点，a越 大开口越小，反之 越大
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
函数y=－ 像相比,有什么共同点和不同点? 开口向下，顶点是原点，对称轴是y轴， 共同点: 顶点是抛物线的最高点 除顶点外,图像都在x轴下方
不同点: 开口大小不同
y=x2
y x2பைடு நூலகம்
二次函数y=ax2的性质
1、抛物线y=ax2的顶点是 原点，对称轴是y轴。
y x2
2、当a>0时，抛物线y=ax2在x轴的上方
（除顶点外），它的开口向上，并且向 上无限伸展；a越大，抛物线的开口越小 当a<0时，抛物线y=ax2在x轴的下方 （除顶点外），它的开口向下，并且向 下无限伸展。a越大，抛物线的开口越大。
二次函数y=ax2的性质
y＝ax2 图象 a ＞0
O
a ＜0
O
开口
开口向上
开口向下
对称性
顶点 增减性
a的绝对值越大，开口越小 关于y轴对称 顶点坐标是原点（0，0） 顶点是最高点 在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减 顶点是最低点
耐心填一填
1、函数y=4x2的图象的开口 向上 ,对称轴 是 y轴 ,顶点是 (0,0); 2、函数y=－3x2的图象的开口 向下 ,对称轴 (0,0) 是 y轴 ,顶点是 ___ 顶点是抛物线的最 高 点
画函数y=x2的图像
解: (1) 列表 (2) 描点 (3) 连线 x … -3 -2 -1 0 y … 9 4 1 0
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 1
y
2 4

3.二次函数y=ax2+c的图像和性质

3.二次函数y=ax2+c的图像和性质
二次函数y=3x2-1的 图象形状与y=3x2 一样,仍是抛物线.
y 3x 2 1
y 3x 2
y=3x2-1是由y=3x2 向下平移 一个单位得到的
结论： y=3x2-1是由y=3x2向下平移一个单位得到 的。
二次函数y=-3x2-1 的图象与二次函数 y=-3x2的图象呢?
y 3x 2 1
y 3x 2
二次函数y= -3x2－1的 图象形状与y= -3x2 一样,仍是抛物线. y= -3x2－1是由y= -3x2 向下平移一个单位得到的
结论：y= -3x2－1是由y= -3x2向下平移一个单位得到的。
k>0 上移
y=ax2 k<0 下移 y=ax2+k
二次函数y=ax2+c的性质
位置
开口方向 增减性 最值 开口大小
当x=0时,最小值为0.
a 越大,开口越小.
当x=0时,最大值为0.
a 越小,开口越大.
议一议
10
我思，我进步
驶向胜利 的彼岸
在同一坐标系中作出二次函数y=2x² +1的图象与二次 函数y=2x² 的图象. 二次函数y=2x² +1的图象与二次函数y=2x² 的图象有什 么关系?它们是轴对称图形吗?它的开口方向、对称轴 和顶点坐标分别是什么?作图看一看．
九年级数学(下)第二十六章 二次函数
• 二次函数y=ax2与y=ax2+c图象和性质
二次函数y=ax2
y ax2
的性质
1.抛物线y=ax2的 顶点是原点,对称 轴是y轴. 3.当a>0时,在对称轴 的左侧,y随着x的增大 而减小；在对称轴右 侧,y随着x的增大而增 大.当x=0时函数y的值 最小.当a<0时，在对 称轴的左侧,y随着x的 增大而增大；在对称 轴的右侧,y随着x增大 而减小,当x=0时,函数 y的值最大.

二次函数y=ax2的图像和性质.ppt

二次函数y=ax2的图像和性质.ppt

y=x
2
1 1
2
3 …
y=x y= 2 …
4 9 …
o
注意： 注意：列表时自变量 取值要均匀和对称。 用光滑曲线连结时要 取值要均匀和对称。 自左向右顺次连结
23.2二次函数y=ax 2 的图象和性质
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沪科版九年级数学 要点回顾 分组讨论 内容解析 课堂练习 小结作业
y=x2 二次函数形如物体抛射 时所经过的路线， 时所经过的路线，我们 把它叫做抛物线 抛物线。 把它叫做抛物线。 y=-x2
背景音乐 23.2二次函数y=ax 2 的图象和性质 < >
沪科版九年级数学 要点回顾 分组讨论 内容解析 课堂练习 小结作业
下面是两个同学画的 y=0.5x2 和 y=-0.5x2的图 正确?为什么 为什么? 象,你认图2 23.2二次函数y=ax 2 的图象和性质
23.2二次函数的图像和性质 23.2二次函数的图像和性质
课前热身
学习难点 学习目标 学习重点
理解二次函数y=ax2的概念
学习目标 学习重点 学习难点
掌握二次函数y=ax2的图象和 掌握二次函数 2的性质的概念和 会用二次函数y=ax 概念和 会用二次函数 掌握二次函数y=ax 性质 性质解决实际应用问题 性质解决实际应用问题
背景音乐
）
查看答案
23.2二次函数y=ax 2 的图象和性质
<
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沪科版九年级数学 要点回顾 分组讨论 内容解析 课堂练习 小结作业
抛物线y=2x2的顶点坐标是 0，0） , 抛物线 （ ， ） 轴 对称轴是 y轴 ，在 对称轴的右 侧， y随着 的增大而增大；在 对称轴的左 侧， 随着x的增大而增大 随着 的增大而增大； y随着 的增大而减小，当x= 随着x的增大而减小 随着 的增大而减小， 0 时， 函数y的值最小， 函数 的值最小，最小值是 0 ,抛物 的值最小 抛物 除顶点外）。 轴的 线y=2x2在x轴的 上 方（除顶点外）。

26.1.3(第五课时)二次函数y=a(x-h)^2+ k的图象与性质___课件

26.1.3(第五课时)二次函数y=a(x-h)^2+ k的图象与性质___课件

y
y 3x 1 2
2
y 3x 2
y 3x 1 2
2
y 3x 1
2
X=1 对称轴仍是平行于y轴的直线 (x=1);增减性与y= -3x2类似.
二次函数y=-3(x-1)2+2与 y=-3(x-1)2-2的图象和抛物 线y=-3x² ,y=-3(x-1)2有什 么关系? 它的开口方向,对 称轴和顶点坐标分别是什 么? 2
y 3x 1 2
对称轴仍是平行于y轴的直线 (x=-1);增减性与y= -3x2类似.
先想一想,再总结二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质.
y 3x 1 2
2
顶点分别是 (-1,2)和(-1,-2)..
y 3x 1
2
2
y 3x
x=1
2
二次函数y=-3(x+1)2+2 与y=-3(x+1)2-2的图象 可以看作是抛物线y=-3x2 先沿着x轴向左平移1个 单位,再沿直线x=-1向上 (或向下)平移2个单位后 得到的.
对称轴仍是平行于y轴的直线 (x=-1);增减性与y= -3x2类似.
先想一想,再总结二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质.
y=3x2 y=3x2
向右
向右
y=3(x-1)2 y=3(x-1)2
向上
向下
y=3(x-1)2+2 y=3(x-1)2-2
2 向右 y=-3x 2 向右 y=-3x 2 向左 y=-3x 2 向左 y=-3x
y 3x 1
2
2
y 3x
x=1
2
二次函数y=-3(x+1)2+2 与y=-3(x+1)2-2的图象 可以看作是抛物线y=-3x2 先沿着x轴向左平移1个 单位,再沿直线x=-1向上 (或向下)平移2个单位后 得到的.

26.1.3_二次函数y=ax2+k的图象和性质

26.1.3_二次函数y=ax2+k的图象和性质

1、把抛物线y=-2x2向上平移3个单位长度，得 y=-2x2+3 到的抛物线是
2、把抛物线y=-x2-2向下平移5个单位，得到的 y=-x2-7 抛物线是 3、一条抛物线向上平移2.5个单位后得到抛物 2，原抛物线是 y=0.5x2-2.5 线y=0.5x
4、说出下列函数图象的性质：
1 2 (1) y x 2 2
y
y
1 2 x 2
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
想一想
抛物线y=ax2+k 中的a决定什么？ 怎样决定的？k决定什么？它的对称 轴是什么？顶点坐标怎样表示？
总结
2+k有如 一般地抛物线y=ax
下性质：
1、当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下，
2、对称轴y轴（或x=0），
2.函数y=3x2+5与y=3x2的图象的不同之处是( C)
A.对称轴
B.开口方向
C.顶点
D.形状
3.已知抛物线y=2x2–1上有两点(x1，y1 ) ,(x1，y1 )
且x1＜x2＜0，则y1 ＜ y2(填“＜”或“＞”)
4、在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和 二次函数y=ax2+c的图象大致是如图中的（ ）
在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象： y=0.5x2，y=0.5x2+2 , y=0.5x2-2
观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开 口方向、对称轴及顶点。 你能说出抛物线y=0.5x2+k的开口方向、对 称轴及顶点吗？它与抛物线y=0.5x2有什么 关系？
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
3、顶点坐标是（0，k）， 4、|a|越大开口越小，反之开口越大。
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（3）抛物线y=-3x2+5的开口 下 ，对称轴是 y轴 ， 顶点坐标是 (0,5) ，在对称轴的左侧，y随x的增大 而 增大 ，在对称轴的右侧，y随x的增大而 减小 ， 当x= 0 时，取得最 大 值，这个值等于 5 。 （4）抛物线y=7x2-3的开口 上 ，对称轴是 y轴 ， 顶点坐标是 (0,-3) ，在对称轴的左侧，y随x的增大 而 减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而 增大， 当x= 0 时，取得最 小 值，这个值等于 -3 。
例2. 在同一直角坐标系中,画出二次函数y=x2+1和y=x2 －1的图像
解: 列表
描点 连线
x … -3 -2 y=x2+1 … 10 5
-1 2 0
0 1
1 2 0
2 5 3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3 … 10 … 8 …
y=x2-1
…
8
3
-1
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
y
y=x2+1 y=x2－1
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
顶点为(0, －1).
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
抛物线y=x2+1,y=x2－1与抛物线y=x2的关系:
向上平移 抛物线 y=x2+1 1个单位 抛物线y=x2 向下平移 抛物线 y=x2－1 1个单位 y
抛物线y=x2
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
y=x2+1
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
上加下减
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
10
y
8
y=x2+1
y=x2 y=x2-2
5
4
y
2
y=-x2+3
5
6
4
-10
-5
O
-2
x
10
2
y=-x2 y=-x2-2
-4
-10 -5
O
-2
x
10
-6
-8
当a>0时，抛物线y=ax2+c的开口 向上 ，对称轴 是 y轴 ，顶点坐标是(0,c)，在对称轴的左侧，y随x的 增大而 减小，在对称轴的右侧,y随x的增大而 增大， 当x= 0 时，取得最 小 值，这个值等于 c ； 当a<0时,抛物线y=ax2+c的开口 向下 ，对称轴 是y轴 ，顶点坐标是(0,c)，在对称轴的左侧，y随x的 增大而 增大，在对称轴的右侧,y随x的增大而 减小， 当x= 0 时，取得最 大 值，这个值等于 c 。
(1)函数y=4x2+5的图象可由y=4x2的图象 向上 平移 5 个单位得到；y=4x2-11的图象 下 平移 11个单位得到。 可由 y=4x2的图象向 (2)将函数y=-3x2+4的图象向 下 平移 4 个单位可得 y=-3x2的图象；将y=2x2-7的图象向 上平移 7 个 单位得到可由 y=2x2的图象。将y=x2-7的图象 向上 平移 9 个单位可得到 y=x2+2的图象。
y=ax2 (a≠0) 图 象
O
a>0 y
O
a<0 y x
x
开口方向 向上 向下 顶点坐标 (0 ,0) (0 ,0) 对称轴 y轴 y轴 当x<0时, 当x<0时， 增 y随着x的增大而增大。 y随着x的增大而减小。 减 当x>0时， 当x>0时， y随着x的增大而减小。 y随着x的增大而增大。 性 x=0时,y最小=0 x=0时,y最大=0 极值 抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的,一般说来, |a|越大,抛物线的开口就越小.
5、在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和 二次函数y=ax2+c的图象大致是如图中的（ B ）
y
y
y
y
o
x
o
x
o
x
o
x
A
B
C
D
y=ax2+c (a≠0) 开口方向
顶点坐标 对称轴 增 减 性 极值
a>0 向上 (0 ,c) y轴
当x<0时， y随着x的增大而减小。 当x>0时， y随着x的增大而增大。
把抛物线y=2x2+1向上平移5个单位,会得到那 条抛物线?向下平移3.4个单位呢? y=2x2+c与y=-2x2+c.gsp (1)得到抛物线y=2x2+6 (2)得到抛物线y=2x2－2.4
函数y=ax2 (a≠0)和函数y=ax2+c (a≠0) 相同 的图象形状 ，只是位置不同；当 c>0时，函数y=ax2+c的图象可由y=ax2 c 上 个单位得到，当 的图象向 平移 c<0 时，函数y=ax2+c的图象可由y=ax2的图 |c| 象向 平移 个单位得到。 下 y
y=x2
函数的上下移动
y=x2－1
x
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
观察抛物线y=-x2+2,y=-x2－1与抛物线y=-x2的关 系:二次函数y=-x2+c的图象.gsp 抛物线y=-x2 向上平移 抛物线 y=-x2+2 抛物线y=-x2
2个单位 向下平移 抛物线 y=-x2－1 1个单位
x
(1) 抛物线y=x2+1,y=x2－1的开口方向、对称轴、顶点 各是什么? (2)抛物线y=x2+1,y=x2－1与抛物线y=x2有什么关系? （1）抛物线y=x2+1: 开口向上, 对称轴是y轴, 顶点为(0,1).
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 y
y=x2+1 y=x2－1
抛物线y=x2－1: 开口向上, 对称轴是y轴,
a<0 向下 (0 ,c) y轴
当x<0时, y随着x的增大而增大。 当x>0时， y随着x的增大而减小。
x=0时,y最小= C
x=0时,y最大=C
抛物线y=ax2 +c (a≠0)的图象可由y=ax2的图象通过上 下平移|c|个单位得到.

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