博弈论chapter3

第3章 完全信息动态博弈假设博弈的标准表述为。

如果博弈的参与人集合{}，全部参与人的策略空间和支付函数都是公共信息，则称G 为完全信息（Complete Information ）博弈。

本章和第2章介绍的都是完全信息博弈。

{n n u u u S S S G ,,,;,,,2121L L =}n ,,2,1L n S S S ,,,21L n u u u ,,,21L 第2章介绍的是只有一个阶段的博弈，即全部参与人独立地选择策略，然后实现支付，这样博弈就结束了。

在本章介绍的动态博弈中，或者同一个参与人前后有多次决策，或者不同的参与人的决策有先后顺序。

完全信息动态博弈分类为完美信息博弈和不完美信息博弈。

下面我们仅就最简单的2参与人2阶段博弈描述完全和完美信息动态博弈的定义。

定义（完全和完美信息博弈）：假设完全信息博弈的标准表述为{}2121,;,u u S S G =，博弈的行动顺序为：（1）参与人1选择可行策略11S s ∈；（2）参与人2观察到，然后选择可行策略11S s ∈22S s ∈； （3）参与人1和2实现支付()()212211,,,s s u s s u我们称这种博弈是完美信息（Perfect Information ）博弈，因为决策有严格的先后顺序，而且参与人在每次决策之前，对自己和其他参与人以前的决策都有完整的记忆。

下面我们就上述2参与人2阶段博弈介绍求解动态博弈常用的倒推法（Backward Induction ）。

在第（2）阶段，给定参与人1的策略11S s ∈，参与人2的最优策略反应为：()(){}222121*2:,max arg S s s s u s s ∈=在第（1）阶段，理性的参与人1可以准确地预测到参与人2的最优策略反应，于是参与人1的最优策略选择就是：()1*2s s ()[]{}111*211*1:,max arg S s s s s u s ∈= 这样在第（2）阶段，参与人2的最优策略就是：()*1*2*2s s s =这样得到的互为最优策略反应组合()()21*2*1,,S S s s ∈称为博弈G 的Nash 均衡，这种均衡也称为倒推法均衡（Backward Induction Outcome ）。

1．工资和就业的决定假设工资水平w 和就业水平L 由工会和企业共同决定。

工会的效用函数为，u 是w 和L 的增函数，进一步假设工会的无差异曲线凸向原点。

厂商的利润函数为(L w u ,)()()wL L R L w −=,π其中，是收入函数，满足，()L R ()0'≥L R ()∞=0'R ，()0'=∞R ，进一步假设。

工资和就业的决定过程分为三个阶段：()0"<L R （1）工会提出工资要求w ；（2）企业观察到w 并且接受w ，然后决定就业量L ； （3）双方实现支付和()L w u ,()L w ,π，博弈结束。

在上述博弈的第2阶段，企业的规划问题为()(){}wL L R L w L L −=≥≥0max ,max π这个问题的一阶条件为()0'*=−w L R假设由一阶条件所决定的企业最优反应函数为()w L L *=，它是一个单调递减函数。

假设有两个工资水平，根据一阶条件21w w <()()2211''L R w w L R =<=因为，所以。

在第1阶段，工会能够估计到企业的最优反应函数为，于是工会的规划问题为()0"<L R 21L L >()w L L *=()[]w L w u w *0,max ≥这个问题的一阶条件为()[]()[]()[]()************,,,0dww dL w L w u L w L w u w w L w u w d ∂∂+∂∂== 于是在Nash 均衡()**,L w 条件下，企业的最优反应函数()w L L *=与工会的无差异曲线相切()()[]()[]()()**,*********,,L w u u dw w dL w L w u Lw L w u w dw w dL ==∂∂∂∂−= 上式的左端为企业最优反应函数的斜率，右端为工会无差异曲线的斜率。

但企业的等利润线在()**,L w 点上的斜率为()()()()()∞→−=∂∂∂∂−==*******,',,**w L R L L w LL w w dw w dL L w ππππ 如果以w 为纵坐标以L 为横坐标，企业的等利润线在()**,L w 点上的斜率就为0。

这个博弈的Nash 均衡()**,L w 不是Pareto 最优的。

假设Pareto 最优的工资和就业为()****,L w ，则工会的无差异曲线和企业的等利润线将在点()****,L w 处相切。

工会的无差异曲线和企业的等利润线在点()**,L w 处的斜率不相等，所以工会的无差异曲线和企业的等利润线在点()**,L w 处相交，所以Nash 均衡()**,L w 不是Pareto 最优的工资就业组合。

下面的第一个图描述了Nash 均衡()**,L w 条件下的工会无差异曲线和企业等利润线，图中的阴影区域是Pareto 改进的机会。

下面的第二个图描述了Pareto 最优的工资和就业组合，Pareto 最优的工资和就业路径应该是工会无差异曲线和企业等利润线的切点的连线。

Nash均衡Pareto最优的工资和就业路径2. 序贯的讨价还价参与人1和2就如何分不属于他们的1块钱进行讨价还价，用()t t s s −1,代表在第t 次讨价还价中参与人提出来的分配方案，s 代表参与人1获得的分额，s −1代表参与人2获得的分额。

考虑资金的时间价值，贴现因子为()1,0∈δ。

可以把贴现因子理解为r+=11δ 其中，r 为利息率。

贴现因子就是时期末的1块钱按利息率计算的时期初的现值。

讨价还价分三个阶段进行：（1a ）参与人1提出分配方案()111,s s −； （1b ）参与人2接受或者拒绝分配方案()111,s s −。

如果参与人2接受分配方案，则按照分配方案瓜分1块钱，博弈结束；如果参与人2拒绝分配方案，则博弈进入第2阶段。

()111,s s −()111,s s −（2a ）参与人2提出分配方案()221,s s −；（2b ）参与人1接受或者拒绝分配方案()221,s s −。

如果参与人1接受分配方案，则按照分配方案瓜分1块钱，博弈结束；如果参与人1拒绝分配方案(221,s s −))(221,s s −，则博弈进入第3阶段。

（3）两人按照一个外生给定的分配方案()s s −1,瓜分1块钱，博弈结束。

从上面的游戏规则可以看出，建议让对手拿小的份额，等价于让自己拿大的份额，最小化对手的支付等价于最大化自己的支付。

在博弈的（2a ）阶段，参与人2知道如果参与人1不接受自己提出的方案，那么参与人1在第3阶段最多可以得到支付s ；第3阶段的s 在第2阶段的现值为(221,s s −)s δ，这就是能够让参与人1接受的最小分额。

于是参与人2提出的最优分配方案是()()s s s s δδ−=−1,1,*2*2。

整个博弈的倒推法最优策略可以用下表描述：阶段（t ）建议方 最优分配方案建议()**1,t t s s −1 参与人1 ()()()()()s s s s s s δδδδδδ−−−=−=−1,11,11,*2*2*1*12参与人2()()()s s s s s s δδδδ−=−=−1,1,1,*3*3*2*23()()s s s s −=−1,1,*3*3我们还可以把前两阶段的博弈无限重复，内生地决定()s s −1,。

考虑把第3阶段的规则修改为：（3）重复步骤（1a ）。

试想参加一个分配不属于自己的钱的博弈，对任何人来说都是有价值的。

在Nash 均衡的意义上，假设这样的博弈对于参与人1和2可以实现的价值为()**1,s s −。

对于参与人1来说，每次重复博弈的时候，博弈对于参与人1和2的价值为()**1,s s −；如果本轮博弈没有结束，到新一轮博弈开始的时候，博弈对于参与人1和2的价值还是()**1,s s −。

如果参与人1在步骤（1a ）提出建议()()()()()*****1*11,1,111,s s s s s s −=−−−=−δδδδ上面第二个等号是根据上面的倒推法，如果参与人2不接受建议()()()**1,11s s δδδδ−−−，则在下一次博弈两人最多可以实现的价值为()**1,s s −，所以理性的参与人2肯定接受参与人1的建议。

根据第二个等号的两端，可以解出Nash 均衡的分配方案为()⎟⎠⎞⎜⎝⎛++=−δδδ1,111,**s s我们将通过下面的例子介绍不完美信息（Imperfect Information ）博弈。

在不完美信息博弈中，某些参与人对其他参与人目前或者以前的决策没有完整的信息。

不完美信息博弈的一种常见情形，是在某个阶段某些参与人必须同时独立决策，在决定自己的策略选择之前，不可能观察到其他参与人在本阶段的策略选择。

不完美信息博弈的倒推法均衡称为子博弈精炼均衡（Subgame Perfect Outcome ）。

3. 雇员间的竞争（Tournament ）考虑一个雇主和两个雇员之间的博弈。

雇员2,1=i 的生产函数为i i i e y ε+= 其中，y 为以货币度量的产出，e 为雇员的努力程度，ε为独立同分布的噪声，ε的均值为零分布密度为()εf 。

对于雇主，雇员的产出y 可以观察，但雇员的努力程度e 不可观察。

雇员的支付为2,1=i ()()i i i i i e g w e w u −=,其中，w 是雇员获得的工资收入，()e g 是付出努力程度e 给雇员带来的负效用，假设和。

如果不受雇于目前的雇主，每个雇员都能够从其他地方获得工作机会，其他工作机会可以实现的最高效用为。

雇主的支付函数为()0'>e g ()0">e g a U L H w w y y −−+=21π 其中，w 是由雇主确定的工资水平，产出大的雇员获得工资H w w =，产出小的雇员获得工资，。

博弈的行动顺序为：L w w =H L w w ≤<0（1）雇主宣布雇员可以争取的工资水平；L H w w ,（2）雇员观察到，分别独立地决定努力程度；L H w w ,21,e e （3）雇员实现产出，雇主根据产出水平决定工资；雇主和雇员分别实现支付21,y y 21,w w 21,,u u π。

雇员获得高工资的概率为2,1=i H w ()()()()()()()[]()∫∫∞−∞=∞−∞=−+−=−+>=−+>=+>+=>==jjjj i j j jj j i j j i ij j i j j i i j i H i d f e e F d f e e P e e P e e P y y P w w P εεεεεεεεεεεεεε1其中，，第二个等号运用了连续概率空间的Bayes 公式。