12-第12讲函数的连续性解读

函数的连续性与间断点一、函数的连续性1． 增量：变量x 从初值1x 变到终值2x ，终值与初值的差叫变量x 的增量，记作x ∆，即x ∆＝1x －2x 。

（增量可正可负）。

例1 分析函数2x y =当x 由20=x 变到05.20=∆+x x 时，函数值的改变量。

2．函数在点连续的定义定义１：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果自变量x 的增量x ∆=0x x -趋向于零时，对应的函数增y ∆＝)()(0x f x f -也趋向于零，则称函数y ＝)(x f 在点0x 处连续。

定义２：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果函数)(x f 当0x x →时的极限存在，即)()(lim 00x f x f x x =→，则称函数y ＝)(x f 在点0x 处连续。

定义3：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果对任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得对于适合不等式δ<-0x x 的一切x ，所对应的函数值)(x f 都满足不等式：ε<-)()(0x f x f ，则称函数y ＝)(x f 在点0x 连续。

注：1、上述的三个定义在本质上是一致的，即函数)(x f 在点0x 连续，必须同时满足下列三个条件：（1） 函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义（函数y ＝)(x f 在点0x 有定义），（2） )(lim 0x f x x →存在；（3）)()(lim 00x f x f x x =→。

3．函数y ＝)(x f 在点0x 处左连续、右连续的定义：（1）函数y ＝)(x f 在点0x 处左连续⇔)(x f 在(]00,x x δ-内有定义，且)()(lim 000x f x f x x =-→（即)()0(00x f x f =-）。

（2）函数y ＝)(x f 在点0x 处右连续⇔)(x f 在[)δ+00,x x 内有定义，且)()(lim 000x f x f x x =+→（即)()0(00x f x f =+）。

函数的连续性图第九节 函数的连续性和间断点有了极限的概念，我们就可以来讨论函数的一种重要特性——连续性。

首先，我们应注意到连续性也是客观现实的反映，是从许多自然现象的观察中抽象出来的一种共同特性。

如气温T 随时间t 的变化而连续变化，铁棒长度l 随着温度u 的变化而连续变化等。

它们的共同特性是：一方面在变化，另一方面是在逐渐变化的。

可在很短一段时间内，T 的变化很小；同样当温度u 变化很小时，l 的变化也很小。

这些现象反映在数学上就是自变量有一个微小的变化时，函数的变化也是微小的。

下面我们就专门来讨论这种概念。

一、函数的连续性1. 预备知识改变量：设变量u 从它的一个初值1u 变到终值2u ，终值与初值的差21u u -，就叫u 的改变量，记作21u u u ∆=-。

改变量也叫增量。

注意：①1u ，2u 并不是u 可取值的起点和终点，而是u 变化过程中从1u 变到2u 。

②u ∆可正可负。

③u ∆是一个整体记号，不是某个量∆与变量u 的乘积。

2. 函数()y f x =在0x x =处连续的定义 定义1 当自变量x 在点0x 的改变 量x ∆为无穷小时，相应函数的改变量 ()()()()000y f x x f x f x f x ∆=+∆-=- 也是同一过程中的无穷小量，即0lim 0x y ∆→∆=，则称()f x 在0x 处连续，见图1-37.定理1 ()f x 在0x 处连续的充要条 件是()()00lim x x f x f x →=。

证明 由定义1，()()()()()()00000lim 0lim 0lim lim 0lim .x x x x x x x x x y f x f x f x f x f x f x ∆→→→→→∆=⇔-=⎡⎤⎣⎦⇔-=⇔= 由定理1，我们可将定义1改写为以下定义2. 定义2 如果0ε∀>，0δ∃>，当0x x δ-<时，有()()0f x f x ε-<，则()f x 在0x 处连续。

第12讲-函数与数学模型一、考情分析1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律；2.结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义；3.收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型，体会人们是如何借助函数刻画实际问题的，感悟数学模型中参数的现实意义.二、知识梳理1.指数、对数、幂函数模型性质比较2.几种常见的函数模型[微点提醒]1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢.2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性.三、经典例题考点一利用函数的图象刻画实际问题【例1】某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是()A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【解析】由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在减少，则A选项错误.规律方法 1.当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选出符合实际情况的答案. 2.图形、表格能直观刻画两变量间的依存关系，考查了数学直观想象核心素养.考点二已知函数模型求解实际问题【例2】为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层，体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝k3x＋5(0≤x≤10，k为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值.【解析】 (1)当x ＝0时，C ＝8，∴k ＝40， ∴C (x )＝403x ＋5(0≤x ≤10)， ∴f (x )＝6x ＋20×403x ＋5＝6x ＋8003x ＋5(0≤x ≤10). (2)由(1)得f (x )＝2(3x ＋5)＋8003x ＋5－10.令3x ＋5＝t ，t ∈[5，35]， 则y ＝2t ＋800t －10≥22t ·800t －10＝70(当且仅当2t ＝800t ，即t ＝20时等号成立)，此时x ＝5，因此f (x )的最小值为70.∴隔热层修建5 cm 厚时，总费用f (x )达到最小，最小值为70万元. 规律方法 1.求解已知函数模型解决实际问题的关注点. (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数. (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.2.利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验. 考点三 构造函数模型求解实际问题【例3－1】活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v (单位：千克/年)是养殖密度x (单位：尾/立方米)的函数.当x 不超过4尾/立方米时，v 的值为2千克/年；当4<x ≤20时，v 是x 的一次函数，当x 达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v 的值为0千克/年. (1)当0<x ≤20时，求函数v 关于x 的函数解析式；(2)当养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值. 【解析】(1)由题意得当0<x ≤4时，v ＝2，当4<x ≤20时，设v ＝ax ＋b ， 显然v ＝ax ＋b 在(4，20]内是减函数， 由已知得⎩⎨⎧20a ＋b ＝0，4a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－18，b ＝52，所以v ＝－18x ＋52.故函数v ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，0<x ≤4，－18x ＋52，4<x ≤20.(2)设年生长量为f (x )千克/立方米，依题意，由(1)得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0<x ≤4，－18x 2＋52x ，4<x ≤20.当0<x ≤4时，f (x )为增函数，故f (x )max ＝f (4)＝4×2＝8；当4<x ≤20时，f (x )＝－18x 2＋52x ＝－18(x 2－20x )＝－18(x －10)2＋252，f (x )max ＝f (10)＝12.5. 所以当0<x ≤20时，f (x )的最大值为12.5.故当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米. 【例3－2】 一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22. (1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？【解析】 (1)设每年砍伐面积的百分比为x (0<x <1)， 则a (1－x )10＝12a ，即(1－x )10＝12，解得x ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12110.故每年砍伐面积的百分比为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12110.(2)设经过m 年剩余面积为原来的22，则a (1－x )m ＝22a ，把x ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12110代入，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12m10＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212，即m 10＝12，解得m ＝5. 故到今年为止，该森林已砍伐了5年.规律方法 1.指数函数、对数函数模型解题，关键是对模型的判断，先设定模型，将有关数据代入验证，确定参数，求解时要准确进行指、对数运算，灵活进行指数与对数的互化.2.实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车计价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解.但应关注以下两点：①分段要简洁合理，不重不漏；②分段函数的最值是各段的最大(或最小)值中的最大(或最小)值. [方法技巧]1.解函数应用问题的步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题. 以上过程用框图表示如下：2.解应用题思路的关键是审题，不仅要明白、理解问题讲的是什么，还要特别注意一些关键的字眼(如“几年后”与“第几年后”，学生常常由于读题不谨慎而漏读和错读，导致题目不会做或函数解析式写错，故建议复习时务必养成良好的审题习惯.3.在解应用题建模后一定要注意定义域，建模的关键是注意寻找量与量之间的相互依赖关系.4.解决完数学模型后，注意转化为实际问题写出总结答案.四、 课时作业11．（2020·南昌市新建一中高一期中）夏季山上气温从山脚起每升高100米，降低0.7℃，已知山顶气温是14.1℃，山脚下气温是26℃，那么山顶相对山脚的高度是 （ ） A ．1500米B ．1600米C ．1700米D ．1800米2．（2020·北京四中高三月考）截至2019年10月，世界人口已超过75亿.若按千分之一的年增长率计算，则两年增长的人口就可相当于一个（ ）A ．新加坡（570万）B ．希腊（1100万）C ．津巴布韦（1500万）D ．澳大利亚（2500万）3．（2020·江苏省高一期末）人们通常以分贝（符号是dB ）为单位来表示声音强度的等级，强度为x 的声音对应的等级为()()210lg10xf x dB -=.喷气式飞机起飞时，声音约为140dB ，一般说话时，声音约为60dB ，则喷气式飞机起飞时的声音强度是一般说话时声音强度的（ ）倍. A ．73B ．7310C ．8D ．8104．（2020·北京高一期末）当强度为x 的声音对应的等级为()f x 分贝时，有0()10lgxf x A =（其中0A 为常数）.装修电钻的声音约为100分贝，普通室内谈话的声音约为60分贝.则装修电钻的声音强度与普通室内谈话的声音强度的比值为（ ） A ．53B ．5310C ．410D ．4e5．（2020·陕西省高一期末）在一定的储存温度范围内，某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储存温度x （单位：C ）之间满足函数关系e kx b y +=（ 2.71828e =⋅⋅⋅为自然对数的底数，k ，b 为常数），若该食品在0C 时的保鲜时间为120小时，在30C 时的保鲜时间为15小时，则该食品在20C 时的保鲜时间为( ) A ．60小时B ．40小时C ．30小时D ．20小时6．（2020·山西省高三其他（理））在桥梁设计中，桥墩一般设计成圆柱型，因为其各向受力均衡，而且在相同截面下，浇筑用模最省. 假设一桥梁施工队在浇筑桥墩时，采用由内向外扩张式浇筑，即保持圆柱高度不变，截面半径逐渐增大，设圆柱半径关于时间的函数为()R t ，若圆柱的体积以均匀速度c 增长，则圆柱的侧面积的增长速度与圆柱半径（ ） A ．成正比，比例系数为c B ．成正比，比例系数为2c C ．成反比，比例系数为cD ．成反比，比例系数为2c7．（2020·天津高三一模）某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（ ）． A ．2p q+ B ．(1)(1)2p q ++C ．pqD 18．（2020·北京高三月考）春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了（ ） A ．10天B ．15天C ．19天D ．2天9．（2020·浙江省高三二模）5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2log 1S C W N ⎛⎫=+⎪⎝⎭.它表示：在受噪声干挠的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W 、信道内信号的平均功率S 、信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中S N 叫做信噪比.按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比SN从1000提升至2000，则C 大约增加了（ ）A ．10%B ．30%C ．50%D ．100%10．（2020·江西省临川一中高一开学考试）一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一周岁生日开始，每年到银行储蓄a 元一年定期，若年利率为r 保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁生日时不再存入，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为()A ．17(1)a r +B ．17[(1)(1)]ar r r +-+C ．18(1)a r +D ．18[(1)(1)]ar r r+-+11．（2020·四川省乐山沫若中学高一月考）2019年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策，其政策的主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）=收入-个税起征点-专项附加扣除；（3）专项附加扣除包括：①赡养老人费用，②子女教育费用，③继续教育费用，④大病医疗费用等，其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用：每月扣除2000元，②子女教育费用：每个子女每月扣除1000元，新的个税政策的税率表部分内容如下：现有李某月收入为18000元，膝下有一名子女在读高三，需赡养老人，除此之外无其它专项附加扣除，则他该月应交纳的个税金额为（ ） A ．1800B ．1000C ．790D ．56012．（多选题）（2019·全国高一课时练习）（多选）某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1％，而这种溶液最初的杂质含量为2％，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少13，则使产品达到市场要求的过滤次数可以为（参考数据：lg 20.301≈，lg30.477≈）（ ） A ．6B ．9C ．8D ．713．（多选题）如图，某池塘里的浮萍面积y （单位：)2m 与时间t （单位：月）的关系式为(ty ka k R =∈，且0k ≠；0a >，且1)a ≠．则下列说法正确的是（ ）A ．浮萍每月增加的面积都相等B ．第6个月时，浮萍的面积会超过230mC ．浮萍面积从22m 蔓延到264m 只需经过5个月D ．若浮萍面积蔓延到24m ，26m ，29m 所经过的时间分别为1t ，2t ，3t ，则1322t t t +=14．（2020·湖南省宁乡一中高一开学考试）某市每年春节前后,由于大量的烟花炮竹的燃放,空气污染较为严重．该市环保研究所对近年春节前后每天的空气污染情况调查研究后发现,每天空气污染的指数．f （t ），随时刻t （时）变化的规律满足表达式()[]31320248f t lg t a a t ⎛⎫=+-++∈ ⎪⎝⎭，，，其中a 为空气治理调节参数,且a ∈（0，1）．(1)令318x lg t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,求x 的取值范围；(2)若规定每天中f （t ）的最大值作为当天的空气污染指数,要使该市每天的空气污染指数不超过5,试求调节参数a 的取值范围．15．（2020·湖南省长郡中学高三月考（文））某蛋糕店每天制作生日蛋糕若干个，每个生日蛋糕成本为50元，每个蛋糕的售价为100元，如果当天卖不完，剩余的蛋糕作垃圾处理.现搜集并整理了100天生日蛋糕的日需求量（单位：个），得到如图所示的柱状图.100天记录的各需求量的频率作为每天各需求量发生的概率.（1）若该蛋糕店某一天制作生日蛋糕17个，设当天的需求量为，则当天的利润（单位：元）是多少？（2）若蛋糕店一天制作17个生日蛋糕. ①求当天的利润（单位：元）关于当天需求量的函数解析式；②求当天的利润不低于600圆的概率.（3）若蛋糕店计划一天制作16个或17个生日蛋糕，请你以蛋糕店一天利润的平均值作为决策依据，应该制作16个还是17个生日蛋糕？16．（2020·山东省高一期末）2019年是我国脱贫攻坚关键年.在扶贫工作中，为帮助尚有90万元无息贷款没有偿还的某小微企业尽快脱贫，市政府继续为其提供30万元无息贷款，用以购买某种生产设备.已知该设备每生产1万件产品需再投入4万元的生产资料费，已知一年内生产该产品x 万件的销售收入为()R x 万元，且2242,05()324132,5x x x R x x x ⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩，企业在经营过程中每月还要支付给职工3万元最低工资保障. （Ⅰ）写出该企业的年利润W （万元）关于年产量x （万件）的函数解析式； （Ⅱ）当年产量为多少万件时，企业获得的年利润最大？并求出最大利润； （Ⅲ）企业只依靠生产并销售该产品，最早在几年后能偿还所有贷款？17．（2020·全国高一专题练习）某水果批发商销售进价为每箱40元的苹果，假设每箱售价不低于50元且不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱.（1）求平均每天的销售量y （箱）与销售单价x （元/箱）之间的函数关系式.（2）求该批发商平均每天的销售利润w （元）与销售单价x （元/箱）之间的函数关系式. （3）当每箱苹果的售价为多少元时，每天可以获得最大利润？最大利润是多少？。

数学基本知识：函数的连续性函数的连续性由实数的性质我们已经知道其具备有连续性，即连续地布满整个数轴。

在此，我们需进一步将连续性具体落实到函数中去，即讨论函数的连续性问题。

一）函数的点连续定义若函数f(x)在点x0的某个领域内有定义，且成立lim[x→x0] f(x) = f(x0)，则称函数f(x)在点x0处连续，x0点被称为函数f(x)的一个连续点。

显然，所谓的函数点连续就是此点上的函数值等于函数在此点上的极限。

如果这个关系仅对于函数的左（右）极限成立（即lim[x→x0-] f(x) = f(x0)（lim[x→x0+] f(x) = f(x0)）），则称此为左（右）连续。

左右连续性在讨论闭区间的端点连续性和点的非连续特性时起着非常重要的作用。

如果函数f(x)在区间内各点连续，则称此函数在区间X上（点）连续。

注意，这里所谓的区间上（点）连续其实仅是此区间上的各点连续性而已。

若区间X含端点，则其端点的连续性将以其左或右连续性来定义。

二）函数的区间连续（一致连续）定义若函数f(x)在区间X上有定义，且∀ε>0,∃δ,∀x1∈X,∀x2∈X,|x1-x2|显然，一致性连续是整个区间内函数的连续特性，而非个别点的连续性。

三）不连续点（间断点）的类型不连续点虽然其上函数都是非连续的，但其不连续的类型有所不同，简单分类如下：1）第一类间断点函数在间断点上的左右极限存在，但此等式lim[x→x0-] f(x) = lim[x→x0+] f(x) = f(x0)不成立。

如果成立lim[x→x0-] f(x) =lim[x→x0+] f(x) ≠ f(x)，则此间断点称为可去间断点，即可以通过重新定义x0点上的函数f(x0)使之连续。

如果lim[x→x0-] f(x) ≠ lim[x→x0+] f(x)，则此间断点称为跳跃间断点。

2）第二类间断点凡是函数在间断点上的单侧极限不存在的，都属此类。

如果单侧极限趋于无穷，则称为无穷间断点。

函数连续性的概念函数连续性的定义如下：设函数f(x)在区间[a,b]上有定义，如果对于该区间上的任意一点x，当x无限接近其中一点c时，f(x)也无限接近f(c)，则称函数f(x)在点c处连续。

此外，如果函数f(x)在区间[a,b]上的每一点都连续，则称函数f(x)在该区间上连续。

从定义可见，函数连续性有两个要素：首先，函数在其中一点按照极限的方式进行定义；其次，函数在极限运算之下保持平滑。

再详细研究连续性的概念之前，我们先了解一下极限的定义。

设函数f(x)在点c的其中一去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得满足0<，x-c，<δ的x都有，f(x)-L，<ε，其中L 是一个实数，那么我们称函数f(x)在点c处的极限为L。

对于连续函数来说，极限和函数值是完全一致的，即函数在其中一点的极限值就是该点的函数值。

这也是连续函数的一个重要性质之一对于一个函数在其中一点c上的连续性，有一些基本定理可以帮助我们判断：1.定理1：多项式函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数都是连续函数。

2.定理2：若函数f(x)和g(x)在点c上连续，则f(x)+g(x)、f(x)-g(x)、f(x)g(x)、f(x)/g(x)（其中g(c)≠0）也在该点连续。

3.定理3：复合函数的连续性。

若函数f(x)在点c上连续，g(x)在f(c)上连续，则复合函数g(f(x))在点c上连续。

4.定理4：闭区间上连续函数的有界性。

若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则该函数在该区间上有界。

5.定理5：闭区间上连续函数的最值。

若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则该函数在该区间上存在最大值和最小值。

6.定理6：介值定理。

若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续且f(a)≠f(b)，则对于[k1,k2]，其中k1介于f(a)和f(b)之间，k2介于f(b)和f(a)之间，存在x∈[a,b]，使得f(x)=k。

第四章函数的连续性1. 教学框架与内容教学目标①掌握函数连续性概念．②掌握连续函数的局部性质和闭区间上连续函数的整体性质．③掌握初等函数的连续性．教学内容①函数在一点和在区间上连续的定义，可去间断点，跳跃间断点，第二类间断点等间断点的分类．②连续函数的局部保号性，局部有界性，四则运算；闭区间上连续函数的最大最小值定理，有界性定理，介值性定理，反函数的连续性，一致连续性．③初等函数的连续性．2. 重点和难点①用较高的分析方法、技巧证明函数的连续性.②一致连续性和非一致连续性的特征, 如何判别函数是否一致连续．③用初等函数的连续性计算极限．3. 研究性学习选题● 连续函数介值性的应用，特别是方程根的问题, 举例说明应用.● 一致连续性的判定通过自学和小组讨论，写出对函数一致连续性的理解.4. 综合性选题，写学习笔记■ 函数极限性质、连续函数局部性质、连续函数整体性质的内在联系.5. 评价方法◎课后作业，计20分.◎研究性学习布置的两个选题合计30分.●闭区间上连续函数的性质（计15分）● 一致连续性（计15分）◎学习笔记计20分.◎小测验(第三章与第四章) 计30分§1 连续函数概念一、函数在一点的连续性回顾函数在一点的极限0lim ()x x f x A →=，可以有三种情况:1) 0()f x 无定义，如000sin()limx x x x x x →--.2) 0()f x 存在但0()f x A ≠，如00()1xx x f x x x x ≠⎧=⎨+=⎩.3) 0()f x A =，如()1f x x =+, 00lim ()()x x f x f x →=.从图形上看，函数3)的图像为一条连绵不断的曲线，这种函数我们就称为连续函数.下面我们就给出这种函数的定义.定义1 设函数f 在某0()U x 内有定义，若00lim ()()x x f x f x →=，则称f 在0x 处连续.例 1 1) ()21f x x =+在2x =处连续.2) 1sin 0()00x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续.结论1 若f 在0x 处连续, 则f 在0x 处存在极限(0()f x ).注 1 若要f 在0x 处连续，不仅要求f 在0x 处存在极限,而且要求极限就是函数值0()f x .而以前我们讨论函数f 在0x 处的极限,其与f 在0x 处是否有定义或f 在0x 处的值为多少均无关.定义2(εδ-) 设f 在某0(,')U x δ内有定义，若任0ε>,0δ∃>(')δδ<，使得对任意0(,)x U x δ∈, 有0()()f x f x ε-<，则称f 在0x 处连续.记0x x x ∆=-，称为x 自变量在0x 处的增量(或称作改变量,可正也可负)，相应地, 函数y 在00()y f x =处的函数值增量，记为0000()()()()y y y f x f x f x x f x ∆=-=-=+∆-.定义3 f 在0x 处连续0lim 0x y ∆→⇔∆=.注 2 ()f x 在0x 处连续00lim ()()(lim )x x x x f x f x f x →→⇔==.由此可见,f 在0x 处连续0lim x x →⇔与对应法则f 可交换次序，又由左右极限,f 在0x 处连续00lim ()()x x f x f x →⇔=;0lim ()lim ()()x x x x f x f x f x +-→→⇔==;0lim ()()x x f x f x +→⇔=且00lim ()()x x f x f x -→=.(⇔f 在0x 处右、左连续).定义4 设函数f 在0()U x +(或0()U x -)内有定义，若00lim ()()x x f x f x +→=(或00lim ()()x x f x f x -→=).则称f 在0x 处右(左)连续.结论2 f 在0x 处连续⇔f 在0x 处右、左连续.例2 已知2,0,(),0,,0,x x f x A x x B x +>⎧⎪==⎨⎪-<⎩讨论()f x 在0x =处的连续性及左右连续性.二、间断点及其分类定义5 设函数f 在某00()U x 内有定义，若f 在0x 处无定义或f 在0x 处有定义但不连续，则称点0x 为f 的间断点或不连续点.若f 在0x 处不连续，则对极限必有如下情形:1) 0lim ()x x f x A →=，而f 在0x 处无定义或有定义,但00lim ()()x x f x A f x →=≠.2) 左右极限都存在但不相等，称0|lim ()lim ()|x x x x f x f x α+-→→=-为f 在0x 处的跳跃度.3) 左右极限至少有一个不存在.下面我们对间断点进行分类.1、第一类间断点------函数在此点的左右极限均存在1) 可去间断点 若00lim ()lim ()x x x x f x f x A -→+→== (此时0lim ()x x f x A →=存在，0()A f x ≠或0()f x 无意义)，则称0x 为f 的可去间断点.例3 1) 1,0,()0,0,x f x x ≠⎧=⎨=⎩在0x =处.2) sin ()xf x x=在0x =处.对可去间断点，其最大的特征是0lim ()x x f x A →=存在，因而可重新定义f 在0x 处的函数值，使新的函数f 在0x 处连续.例4 对sin ()x f x x =, 定义sin ,0,()1,0,xx f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 则()f x 在0x =处的连续.2) 跳跃间断点 若f 的左右极限都存在但不相等,则称0x 为f 的跳跃间断点. 例5 (1)()[]f x x =，在x n =处，跳跃度为1，在R 上任一点处都是右连续的.(2) 函数 1,0()0,01,0x x f x x x x +>⎧⎪==⎨⎪-<⎩在0x =处间断，为跳跃间断点.2、第二类间断点-----f 在此点处至少有一单侧极限不存在 例6 Dirichlet 函数()D x 在R 上任一点处间断且都是第二类间断.例7 1) 求2(1)()(1)x x f x x x -=-的间断点类型.2) 举例定义在R 上且在1x =，2x =处间断的函数.思考 有无在R 上定义但仅在1x =，2x =处连续的函数?3) 考察,;(),,x x f x x x ⎧=⎨-⎩为有理数为无理数的间断点.例8 设函数f 是区间I 上的单调函数，证明: 若0x I ∈为f 的间断点， 则0x 必为f 的第一类间断点. (单调函数的间断点必为第一类间断点)三、区间上的连续函数若函数f 是区间I 上的每一点都连续，则称f 为I 上的连续函数，而对于闭区间的端点，函数在此点连续，是指在该点的左(右)连续，如f 在[,]a b 上连续df ⇔在(,)a b 上连续且在x a =,x b =处分别是右、左连续的.例9()f x =1,1x =-处分别是右、左连续的，在(1,1)x ∈-上连续，从而()f x =[1,1]-上连续.分段连续 若f 是[,]a b 上仅有有限个第一类间断点，则称f 在[,]a b 上分段连续.例10 []y x =在任一个有限区间上分段函数.例11 证明: Riemann 函数1,(,),()0,0,1p x p q q q R x x ⎧=⎪=⎨⎪=⎩既约或无理数,在(0,1)内任何无理点均连续，但在任何有理点均不连续.例12 确定,,a b c 的值，使2111,0()0011x ax bx c x x f x x x -≤-⎧⎪++<≠⎪=⎨=⎪⎪≥⎩在R 上连续.练习 设f 为R 上的连续函数, 常数0>c . 记,();()(),();,().c f x c F x f x f x c c f x c -<-⎧⎪=≤⎨⎪>⎩若若若 证明: F 在R 上连续 (一般称F 为f 的截断函数) .习 题1. 用定义证明下列函数在其定义域上连续.2)1x2. 指出下列函数的间断点并说明类型.1)1ln x2) sin x x 3) [sin ]x 4) 112121xx -+5) sgn(sin )x 6) []x x 7) 1arctan x8) 1x e -3. 确定,,a b c 的值,使()f x 连续, 其中21101()0011x ax bx c x f x x x -≤-⎧⎪++<<⎪=⎨=⎪⎪≥⎩.4. 如何补充定义使函数f 连续.1) 24()2x f x x -=- 2) 3tan sin ()x xf x x -=5. 若f 在0x 处连续, 则||f 在0x 处连续. 反之呢? 又2f 呢？6. 若偶函数()f x 在x a =处连续，则f 在x a =-处也连续.(0)a ≠.7. 构造满足下列条件的R 上定义的函数1) 仅在1,2x =处不连续的函数; 2) 仅在1,2x =处连续的函数; 3) 仅在1()x n N n=∈处间断的函数. 8. 若对任何0ε>,f 在[,]a b εε+-上连续,则f 在(,)a b 上连续.9. 设()sin f x x =,,0,(),0,x x g x x x ππ-≤⎧=⎨+>⎩, 求证: (())f g x 在0x =处连续,而g 在0x =处间断.10. 设f 为R 上的单调函数,定义)0()(+=x f x g .证明:g 在R 上每一点都右连续.§2 连续函数性质一、连续函数的局部性质若函数f 在0x 处连续，则f 在0x 处有极限且极限等于函数值，由函数极限性质，有(复习极限性质,然后估计那些性质会减少或有什么不同) 定理 (局部有界性) 若函数f 在0x 处连续，则f 在0()U x 内有界.定理 (局部保号性) 若函数f 在0x 处连续,且0()0f x >(或0<)，则对任何正数00()r f x <<(或00()r f x <<-), 存在0()U x , 使得对一切0()x U x ∈有()f x r >(或()f x r <-).注 1 一般可取01()2r f x =. 定理 (四则运算) 若函数f 和g 在0x 处连续，则f g +、f g ⋅、fg0(()0)g x ≠均 在0x 处连续.例1 1) ()f x c =，()f x x =连续，从而 多项式函数 1110()n n n n P x a x a x a x a --=++⋅⋅⋅++， 有理函数()()P x Q x (P 、Q 为多项式) 在其定义域上连续. 2) sin x 、cos x 连续，从而tan x 、cot x 在其定义域上连续.定理 (复合函数连续性) 若函数f 在0x 处连续，g 在00()u f x =连续，则复合函数g f 在0x 处连续.注 2 定理4可简写成 00lim (())(lim ())((lim ))(())x x x x x x g f x g f x g f x g f x →→→===.注 3 由上章变量代换法则定理,当内层函数f 0x x →时极限为a 而0()a f x ≠ 或()f x 在0x 无意义(即0x 为f 的可去间断点)，又外层函数g 在u a =连续， 仍有上述定理结论成立，即 0lim (())(lim ())x x x x g f x g f x →→=.例2 1) 21limsin(1)x x →-; 2) x3) 0x →; 4) 0lim x x x a →, (0,1)a a >≠.二、反函数的连续性定理 若函数f 在[,]a b 上严格单调且连续，则反函数1f -在其定义域[(),()]f a f b (或[(),()]f b f a )上连续.例 3 由sin y x =在[,]22ππ-上严格单调且连续，则其反函数sin y arc x =在[1,1]-上连续. 类似地可证1ny x =，q py x =在[0,]+∞上连续.思考 反函数在其定义域上连续能否推出函数本身连续? 三、有限闭区间上连续函数的性质 (整体性质)设f 为闭区间[,]a b 上的连续函数，下面我们讨论f 在[,]a b 上的整体性质. 1、最值性定义1 设f 为定义在数集D 上的函数，若存在0x D ∈,使得对一切x D ∈,有0()()f x f x ≥(或0()()f x f x ≤) ，则称f 在D 上有最小(大)值, 0()f x 称为f 在D 上有最小(大)值, 而0x 相应地称为最小(大)值点.注4 一般而言,函数在其定义域上未必有最大值、最小值(即使f 在D 上有界)，如 ()f x x =，(0,1)x ∈，-----上下确界存在.又如1,(0,1),()2,0,1.x g x x x ⎧∈⎪=⎨⎪=⎩ 在[0,1]上无最大、最小值.定理 (最值定理) 若函数f 在闭区间上[,]a b 上的连续，则f 在[,]a b 上存在最大值和最小值，即存在01,[,]x x a b ∈，使得10()()()f x f x f x ≤≤ [,]x a b ∀∈.推论 (有界性定理) 若函数f 在闭区间上[,]a b 上的连续，则f 在[,]a b 上有界. [分析 注4中两个例子为什么无界？]练习 举例说明最值定理的条件仅是充分的,易见最值点存在也未必唯一.在中学二次函数2y ax bx c =++常遇到方程20ax bx c ++=根的问题，一般找一个值0>，一个值0<(作图解释) .这实际上就是应用了连续函数的介值性. 2、介值性定理(介值性定理) 若函数f 在闭区间[,]a b 上连续且()()f a f b ≠，若μ为介于()f a 与()f b 之间的任一实数(()()f a f b μ<<，或()()f b f a μ<<) ，则至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()f ξμ=.推论 (根的存在性定理) 若函数f 在闭区间[,]a b 上连续,且()f a 与()f b 异号， 则至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()0f ξ=. 注 5 介值性定理与根的存在性定理是等价的.注 6 由介值性定理，若f 在[,]a b 上的连续，()()f a f b <，则f 在[,]a b 上能取到 区间[(),()]f a f b 之间的一切值，则([,])[(),()]f a b f a f b ⊃.特别地，若f 在[,]a b 上的最大值M 、最小值m ，则([,])[,]f a b m M =.结论 若f 是闭区间I 上连续且不恒为常数，则值域()f I 亦为一个闭区间.例4 证明: 方程cos x x x =在0到2π之间有实根.例5 证明: 若0r >，n 为正整数，则存在唯一正数0x 使得0n x r =(0x 称为r 的n 次正根，记作0x =).例6 设f 在[,]a b 上的连续，([,])[,]f a b a b ⊂，证明：存在0[,]x a b ∈，使得0()f x x =.注 对上述问题的根的存在性，一般可构造函数使得函数在适当区间上连续， 且在端点处的值异号，而对唯一性，一般可利用函数严格单调性说明. 练习 若f 在[0,2]a 上的连续,(0)(2)f f a =，证明: 存在点0[0,]x a ∈, 使00()()f x f x a =+.3、一致连续性----整体性质 1) 连续性定义中δ对0x 的依赖性 例7 考察函数1()f x x=在(0,1]上的连续性.例8 考察函数1()f x x=在[1,)+∞上的连续性.2) 一致连续性定义定义 设f 定义在区间I 上的函数，若对任给的0ε>，存在()0δδε=>，使得对任何',''x x I ∈，只要'''x x δ-<，就有(')('')f x f x ε-<，则称函数f 定义在I 上一致连续.注 7 若固定0''x x =，则易见f 在I 上一致连续，则f 在I 上必连续(一致连续性 定义中存在的δ与0x I ∈的选择无关).注 8 直观上说，f 在I 上一致连续⇔不论两点',''x x 在I 中什么位置，只要'''x x δ-<，就有(')('')f x f x ε-<.例9 1) 验证函数()f x ax b =+ (0)a ≠在R 上一致连续.2) 验证函数1()sin f x x=在(,1)c (01)c <<上一致连续.思考 c 能否等于0?注 9 用定义确定一致连续性时，关键是确定δ的存在，我们一般从(')('')f x f x - 入手，放大此式，除因子'''x x -外，其余不含',''x x , 再解出'''x x -. 例10 验证()ln f x x =在[1,)+∞上一致连续.例11 若函数f 在有限区间(,)a b 上一致连续，则f 在(,)a b 上必有界.3) 一致连续性的否定f 在I 上不一致连续012121200,,,, :()()x x I x x f x f x εδδε⇔∃>∀∃∈-<-≥.例12 1) 证明函数1()sin f x x=在(0,1)内非一致连续. 2) 证明函数1()f x x=在(0,1)内非一致连续. 3) 验证函数2()f x x =在[1,)+∞上非一致连续.4) Lipschitz 连续与一致连续性定义 设函数f 定义在区间I 上，若存在0L >,使得在I 上12,x x I ∀∈, 有1212()()f x f x L x x -≤-,则称f 在I 上Lipschitz 连续(或称f 在I 上满足Lipschitz 条件)，而L 称为Lipschitz 常数.定理 若函数f 在区间I 上Lipschitz 连续，则f 在I 上一致连续.例13 ()sin f x x =在R 上一致连续，()f x =[,)a +∞ (0)a >上一致连续.思考 a 能否等于0? 如果能, 0a =时怎么处理? 5) 一致连续函数的判定定理 (一致连续性) 函数f 在闭区间[,]a b 上连续，则f 在[,]a b 上一致连续. 例14 f 在(,)a b 上一致连续⇔f 在(,)a b 上连续且(0),(0)f a f b ++存在. 由此说明1()f x x=在(0,1)内非一致连续.思考 上述结论对无穷区间是否成立? 即设()f x 在[,)a +∞上的连续函数，则f 在[,)a +∞上一致连续⇔lim ()x f x →∞存在且为有限值?例15 f 在I 上一致连续{},{},0()()0n n n n n n x y I x y f x f y ⇔∀⊂-→⇒-→.6) 一致连续函数的性质定理 若f 、g 在区间I 上一致连续，则||f 、f g +仍为一致连续.又若I 为有限区间，则f g ⋅也是一致连续.例16 当I [,)a =+∞，举例说明乘积f g ⋅在I 上未必一致连续.思考* 一致连续函数的复合是否仍然一致连续?例17* 设区间1I 的右端点为1c I ∈，区间2I 的左端点也为2c I ∈，用一致连续性定义证明：若f 在1I 、2I 上分别一致连续，则f 在12I I I =一致连续.特别地，若f 在[,]a c 、[,]c b 上连续，则f 在[,]a b 上一致连续(而这是显然的，关键在于1I 、2I 可能为无限区间) ， 由此可得()f x =[0,)+∞上必一致连续.思考 若f 在[,)a c 、[,]c b 上连续，是否仍然有f 在[,]a b 上(一致)连续?习 题1. 求极限: 1) x x x tan )(lim 4-→ππ; 2) 1121lim 21+--++→x x x x x2. 设f ,g 在区间I 上连续, 记()max{(),()}, ()min{(),()}F x f x g x G x f x g x == 证明: F 和G 也都在I 上连续.3. 设0≠x 时, )()(x g x f ≡, 而)0()0(g f ≠. 证明: f 与g 两者中至多有一个在0=x 连续.4. 设f ,g 在点0x 连续, 证明:1) 若)()(00x g x f >, 则存在);(0δx U , 使在其内有)()(x g x f >; 2) 若在某)(00x U 内有)()(x g x f >, 则)()(00x g x f ≥.5. 证明：若f 在[,]a b 上连续,且对任何[,]x a b ∈,()0f x ≠,则f 在[,]a b 上 恒正或恒负.6. 证明: 方程sin x a x b =+(,0)a b >在(0,]a b +内至少一个实根. 7． 设f 在],[b a 上连续,12,,...,[,]n x x x a b ∈.证明:存在],[b a ∈ξ,使得121()[()()()]n f f x f x f x nξ=++⋅⋅⋅+8．设f 为],[b a 上的增函数,其值域为)](),([b f a f .证明: f 在],[b a 上连续. 9. 证明: 奇次多项式必有实根,而偶次多项式必有最大值或最小值.10．设f 在),[+∞a 上连续, 且)(lim x f x +∞→存在, 证明: f 在),[+∞a 上有界, 又f 在),[+∞a 上必有最大值或最小值吗?11. 证明: 2()f x x =在[,]a b (,)a b R ∀∈上一致连续,而在(,)-∞+∞上不一致连续.12. 证明: ()f x =[1,)+∞上一致连续. 13．证明: x x f cos )(=在),0[+∞上一致连续. 14．证明: x x f =)(在),0[+∞上一致连续.§3 初等函数的连续定理 基本初等函数在其定义域上连续. 定理 任何初等函数在其定义域上连续.例1 求()ln(2)f x x =-的连续区间和间断点.例2 利用函数的连续性求下列极限1) 20ln(1)lim cos x x x →+ 2) 0lim x +→3) sec tan 0lim(1tan )x x x x ⋅→+ 4) sin x →∞习 题1. 求下列极限:1) )1ln(15cos lim 20x x x e x x -+++→;2) )(lim x x x x x -+++∞→;3) )111111(lim 0xx x x x x x +--+++→; 4) 1lim++++∞→x xx x x ;5) x x x cot 0)sin 1(lim +→.习题课一、连续性概念 设f 在某0x 的某邻域内有定义f 在0x 处连续d⇔0ε∀>，0δ∃> ，0x x δ-<，0()()f x f x ε-<.0lim ()()x x f x f x →⇔=.000(0)(0)()f x f x f x ⇔+=-=.(其中000(0)lim (),(0)lim ()x x x x f x f x f x f x +-→→+=-=).⇔f 在0x 处左、右连续.00{}(),n n x U x x x ⇔∀⊂→，有0()()n f x f x →.f 在,a b 〈〉处连续⇔f 在(,)a b 上连续，而在端点处，若端点属于,a b 〈〉，则要求相应的单侧连续性二、连续函数的性质 1. 局部性质1) 若f 在0x 处连续，则f 在0x 处局部有界.2) 若f 在0x 处连续，0()f x c <，则00,(,):()<x U x f x c δδ∃>∀∈. 3) 若f 、g 在0x 处连续，则f g +、f g ⋅、fg0(()0)g x ≠在0x 处连续. 4) 若()f x 在0x x =连续,()g u 在0()u f x =连续,则(())g f x 在0x x =处连续. 2. 闭区间上连续函数性质1) 若f 在[,]a b 上连续，则f 在[,]a b 上有界.2) 若f 在[,]a b 上连续，则f 在[,]a b 上有最大值和最小值.3) 若f 在[,]a b 上连续，12,[,]x x a b ∈,12x x <,12()()f x f x ≠，则对任何12((),())c f x f x ∈或21((),())c f x f x ∈，必存在(,)a b ξ∈，使得()f c ξ=.4) 若f 在[,]a b 上的连续，且()()0f a f b ⋅<, 则方程()0f x =必在(,)a b 上 至少有一个根.5) 设f 在[,]a b 上严格递增(或减) 连续函数，则其反函数在其定义域[(),()]f a f b (或[(),()]f b f a )上连续.6) f 在[,]a b 上连续f ⇔在[,]a b 上一致连续 7) 任何初等函数在其定义域上都是连续的. 三、一致连续函数的性质f 在I 上一致连续1212120,0,,,:()()dx x I x x f x f x εδδε⇔∀>∃>∀∈-<-<.1、判定1) 必要条件 若f 在有限区间I 上一致连续, 则f 在I 上有界连续.(证明：1、用极限方法 2、用延拓)2) 充分条件 若f 在I 上Lipschitz 连续，则f 在I 上一致连续. 3) 充要条件a) f 在I 上一致连续{},{},0()()0n n n n n n x y I x y f x f y ⇔⊂-→⇒-→ b) f 在(,)a b 上一致连续⇔f 在(,)a b 上连续且(0),(0)f a f b ++存在且都为有限值c) 12,], [,I a b I b c =<=> (,a c 可为∞)f 在12,I I 上一致连续⇔f 在12I I I =上一致连续2、性质1) 若f 、g 在I 上一致连续，则f g +、f 在I 上一致连续. 此时, 若f 、g 还是有界的(或I 为有限区间), 则f g ⋅在I 上一致连续. 2) 设f 在(,)a +∞上连续，且lim (),(0)x f x f a →+∞+存在，则f 在(,)a +∞上一致连续，但反之未必. 3) f 在(,)-∞+∞上…4) 若f 在I 上一致连续，J I ⊂，则f 在J 上一致连续. 5) 若f 在(,)a b 上单调有界连续，则f 在(,)a b 上一致连续.3、一致连续的否定四、间断点的分类若单调函数具有介值性,则其必连续. (单调函数仅有第一类间断点)五、一些例子例1 若对任意0ε>，f 在[,]a b εε+-上连续，能否推出f 在(,)a b 上连续， 一致连续呢？例2 若f 在0x 处连续，则2||,f f 在0x 也连续，又若2||,f f 都在I 上连续， 则f 在I 上是否连续?思考 若3f 在I 上连续，则f 在I 上是否连续?例3 举出定义在[0,1]分别符合下列要求的函数1) 只在11,23和14不连续的函数，2) 只在11,23和14连续的函数，3) 只在1n(1,2,3,)n =⋅⋅⋅上间断的函数，4) 只在0x =右连续，而在其它点不连续的函数.例4 讨论复合函数g f 与f g 的连续性, 设1)21)(,sgn )(x x g x x f +==; 2) x x x g x x f )1()(,sgn )(2-==.例5 设f 、g 在区间I 上连续，记()max{(),()}F x f x g x =，()min{(),()}G x f x g x =证明：,F G 也都在I 上连续.例6 设f 在区间[,]a b 上连续，记()max{(),}F x f t a t x =≤≤，()min{(),}G x f t a t x =≤≤证明：,F G 也都在[,]a b 上连续.例7 若f 在[,]a b 上连续且对任何[,]x a b ∈,()0f x ≠, 则f 在[,]a b 上恒正 或恒负.例8 若f 在[,]a b 上连续且对任何[,]x a b ∈,()0f x ≠,则存在0c >, 使得 f 在[,]a b 上()0f x c ≥>或()0f x c ≤-<.例9 若f 在(,)a b 上连续,lim ()lim ()0x a x bf x f x +-→→⋅<，则存在(,)a b ξ∈，使得 ()0f ξ=.(或lim (), lim ()x a x bf x f x +-→→=+∞=-∞)例10 若f 在(,)a b 上连续，a c d b <<<，()()k f c f d =+，则1) 存在(,)a b ξ∈，使2()k f ξ=，2) 存在(,)a b ξ∈，使()()()()m n f mf c nf d ξ+=+ (,0)m n >.例11 若f 在[,]a b 上连续，12n a x x x b <<<⋅⋅⋅<<，则1) 1[,]n x x ξ∃∈，使11()[()()]n f f x f x nξ=+⋅⋅⋅+， 2) 1[,]n x x ξ∃∈，使11()()()n n f f x f x ξλλ=+⋅⋅⋅+.其中 12,,0n λλλ⋅⋅⋅≥ 满足121n λλλ++⋅⋅⋅+=，例12 设f 在[0,1]上连续，(0)(1)f f =，证明：对任何正数n ，存在[0,1]ξ∈,使得 1()()f f nξξ=+.例13 设f 在[,]a b 上单调递增,值域为[(),()]f a f b ,求证:f 在[,]a b 上连续.例14 设f 在区间I 上连续，证明1) 若对任何的有理数r I ∈有()0f r =，则在I 上()0f x =，2) 若对任意两个有理数12,r r 且12r r <，有12()()f r f r <，则f 为严格增函数.例15 f 在[0,)+∞上连续，满足0()f x x ≤≤，[0,)x ∈+∞，设10a ≥， 1()n n a f a +=，1,2,3,n =⋅⋅⋅，证明1) {}n a 为收敛数列; 2) 设lim n n a t →∞=，则有()f t t =; 3) 若条件改为0()f x x <<，(0,]x ∈+∞，则0t =.例16 设f 在0x =处连续，且对任何,x y R ∈有()()()f x y f x f y +=+ 证明： 1) f 在R 上连续; 2) ()(1)f x f x =⋅.例17 设f 在R 上连续且lim (),lim ()x x f x A f x B →-∞→+∞==，求证：()f x 在R 上 一致连续.例18 设f 在R 上连续有渐近线y kx b =+,求证:()f x 在R 上一致连续.例19 设f 在R 上连续, g 在R 上一致连续且lim ()()0x f x g x →∞-=，求证： ()f x 在R 上一致连续.。

函数的连续性问题(讲解)连续性是函数学中一个十分重要的概念，它涉及到极限、导数等多个知识点的运用。

本文将结合数学公式和图形，讲解函数连续性的相关问题。

什么是函数的连续性函数的连续性是指当自变量取一个接近某一值时，函数值也随之接近一个确定的值，换言之，函数在该点附近的图像不会出现突变。

换一种说法，如果一个函数在某个点的左侧、右侧和该点处的值都存在并相等，那么这个函数就是在该点的连续的。

函数的间断点具体来说，如果一个函数在某个点的值不存在，或者存在但和左右两侧的值不相等，那么这个点就是函数的间断点。

常见的间断点有可去间断点和跳跃间断点。

可去间断点是指，在函数的某个点上左极限、右极限存在，并且相等，但是函数本身在该点的值会“跳跃”，例如$f(x)=\frac{\sin(x)}{x}$在$x=0$处的函数值即为可去间断点。

跳跃间断点是指，在函数的某个点上左极限和右极限都存在，但是值不相等，例如$f(x)=[x]$在整数处的函数值即为跳跃间断点。

连续函数与间断函数函数有时可以用连续函数和间断函数的形式表示。

如果一个函数在定义域内的所有点处都是连续的，那么这个函数就是连续函数。

反之，如果一个函数在定义域内至少有一个点是不连续的，那么这个函数就是间断函数。

应用举例举个例子，我们可以来看一下函数$f(x)=\frac{\sin(x)}{x}$的连续性。

首先，我们可以求这个函数在$x=0$处的极限。

因为$\lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x}=1$，所以$f(0)$的定义为$1$。

由于$f(x)$在$x=0$处的极限存在并且等于$f(0)$，因此$f(x)$是在$x=0$处连续的。

再举个例子，我们可以来看一下函数$g(x)=\frac{1}{x}$在$x=0$处的连续性。

因为$\lim_{x\to 0} \frac{1}{x}$不存在，因此$g(x)$在$x=0$处不连续。

总结本文简单讲解了函数的连续性问题，包括连续性的具体定义、间断点的分类、连续函数和间断函数的区别，以及应用举例。

第十二讲s i n ()y A x ωϕ=+的图像★知识要求一、五点作图法：sin y x =图像的五个特征点：3(0,0),(,1),(,0),(,1),(2,0)22ππππ-。

二、由sin y x =的图象变换出()(0,1,,1)n 0si A y A A x ωϕωω>≠>≠=+的图象一般有两个途径：途径一：平移变换→周期变换→振幅变换。

先将函数sin y x =的图象沿x 轴向左(0ϕ>)或向右(0ϕ<)平移||ϕ个单位，再将图象上各点的横坐标伸长(01ω<<)或缩短(1ω>)到原来的1ω倍，便得()sin y x ωϕ=+的图象，再把所得图像的纵坐标伸长(1A >)或缩短(01A <<)到原来的A 倍，得到(n )si y A x ωϕ=+的图象。

途径二：周期变换→平移变换→振幅变换。

先将函数sin y x =的图象上各点的横坐标伸长(01ω<<)或缩短(1ω>)到原来的1ω倍，再沿x 轴向左(0ϕ>)或向右(0ϕ<)平移||ϕω个单位，便得()sin y x ωϕ=+的图象，再把所得图像的纵坐标伸长(1A >)或缩短(01A <<)到原来的A 倍，得到(n )si y A x ωϕ=+的图象。

★典型例题【例1】把函数sin ()y x x =∈R 的图象上所有的点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是( C ) A ．sin(2)3y x π=-,x ∈R B ．sin()26x y π=+,x ∈RC ．sin(2)3y x π=+,x ∈RD ．2sin(2)3y x π=+,x ∈R【例2】已知函数2sin()(0,0)6()x f x πωϕϕπω-+<<>=为偶函数，且函数()y f x =图象的两相邻对称轴间的距离为2π，⑴求()8f π的值；⑵将函数()y f x =的图象向右平移6π个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求()g x 的单调递减区间。