2017届二轮复习 (一)选择题的解法 学案 (全国通用) (1)

2017选择题解题方法专题数学选择题，具有概括性强，知识覆盖面广，小巧灵活，且有一定的综合性和深度等特点，同学们能否迅速、准确、全面、简捷地解好选择题，对于能否进入最佳状态，以至于整个考试的成败起着举足轻重的作用．解答选择题的基本策略是准确、迅速．准确是解答选择题的先决条件，选择题不设中间分，一步失误，造成错选，全题无分，所以应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏，确保准确；迅速是赢得时间获取高分的必要条件，对于选择题的答题时间，应该控制在不超过40分钟左右，速度越快越好，高考要求每道选择题在1～3分钟内解完，要避免“超时失分”现象的发生．高考中的数学选择题一般是容易题或中档题，个别题属于较难题，当中的大多数题的解答可用特殊的方法快速选择．解选择题的基本思想是既要看到各类常规题的解题思想，但更应看到选择题的特殊性，数学选择题的四个选择支中有且仅有一个是正确的，因而，在解答时应该突出一个“选”字，尽量减少书写解题过程，要充分利用题干和选择支两方面提供的信息，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速智取，这是解选择题的基本策略．数学选择题的求解，一般有两种思想，一是从题干出发考虑，探求结果；二是题干和选择支联合考虑或从选择支出发探求是否满足题干条件．由于选择题提供了备选【答案】，又不要求写出解题过程，因此出现了一些特有的解法，在选择题求解中很适合. 下面结合典型试题，分别介绍几种常用方法．方法1 直接法直接法就是从题设条件出发，通过正确的运算、推理或判断，直接得出结论再与选项对照，从而作出选择的一种方法．运用此种方法解题需要扎实的数学基础．例1 有三个命题：①垂直于同一个平面的两条直线平行；②过平面α的一条斜线l 有且仅有一个平面与α垂直；③异面直线a ，b 不垂直，那么过a 的任一个平面与b 都不垂直．其中正确命题的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】：D【变式探究】已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ＞0，π，x ＝0，0，x ＜0，则f {}f[f （－3）]的值等于( )A ．0B ．πC ．π2D ．9【答案】：C【解析】：由f {}f[f （－3）]＝f{f(0)}＝f{π}＝π2可知，选C 。

方法一 选择题的解法高考数学选择题主要考查对基础知识的理解、基本技能的熟练程度、基本计算的准确性、基本方法的正确运用、考虑问题的严谨、解题速度的快捷等方面，注重多个知识点的小型综合，渗透各种数学思想和方法，能充分考查灵活应用基础知识、解决数学问题的能力．选择题是属于“小灵通”题，其解题过程“不讲道理”，所以解答选择题的基本策略是：充分地利用题干和选择支两方面的条件所提供的信息作出判断．先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，先排除后求解，对于具有多种解题思路的，宜选最简解法等．解题时应仔细审题、深入分析、正确推演、谨妨疏漏．初选后认真检验，确保准确．解数学选择题的常用方法，主要分直接法和间接法两大类．直接法是解答选择题最基本、最常用的方法，但高考的题量较大，如果所有选择题都用直接法解答，不但时间不允许，甚至有些题目根本无法解答，因此，我们还要研究解答选择题的一些技巧．总的来说，选择题属小题，解题的原则是：小题巧解，小题不能大做． 【方法要点展示】 方法一 直接法直接法就是从题干给出的条件出发，进行演绎推理，直接得出结论．这种策略多用于一些定性的问题，是解选择题最常用的策略．这类选择题是由计算题、应用题、证明题、判断题改编而成的，可直接从题设的条件出发，利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则等通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论，然后与选择支对照，从而作出相应的选择．例1【山东省枣庄市2017届高三上学期期末】设,a b R ∈，函数()()01f x ax b x =+≤≤，则()0f x >恒成立是20a b +>成立的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．即不充分也不必要条件 思路分析：利用充要条件的定义进行判断即可. 【答案】A 【解析】由(0)00(1)00f b f a b >>⎧⎧⇒⎨⎨>>⎩⎩，，＋，所以20a b +>成立，而仅有20a b +>，无法推出(0)0f >和(1)0f >同时成立，所以()0f x >恒成立是20a b +>成立的充分不必要条件，故选A ．点评：本题直接利用定义，由()0f x >可得(0)00(1)00f b f a b >>⎧⎧⇒⎨⎨>>⎩⎩，，＋，从而可得结论，反之不成立. 例2 【河北唐山市2017届高三年级期末】已知1tan 2θ=，则tan 24πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．7 B ．7- C.17 D ．17-思路分析：由tan 24πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭可利用两角和的正切公式展开得tantan 24tan(2)41tan tan 24θθθπ-π-=π+，只须求出tan 2θ的值，利用倍角公式即可.【答案】D【解析】因为22122tan 42tan 21tan 31()2θθθ⨯===--，所以tan tan 24tan(2)41tan tan 24θθθπ-π-=π+＝41134713-=-+，故选D ．点评：根据已知单角的三角函数值求和角（或差角）的三角函数，通常将结论角利用条件角来表示，有时还需借助同角三角函数间的基本关系化为相关角的三角函数后，再利用两角和与差的三角函数公式即可求解．例3【中原名校豫南九校2017届第四次质量考评，6】已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，n S 是其前n 项和，若236 a a a ，，成等比数列，且1017a =-，则2nnS 的最小值是（ ） A ．12- B ．58- C.38- D ．1532-思路分析：求解数列中的最大项或最小项的一般方法：先研究数列的单调性，可以用11n n n n a a a a +-≥⎧⎨≥⎩或11n n n n a a a a +-≤⎧⎨≤⎩也可以转化为函数最值问题或利用数形结合求解. 【答案】A点评：1.应用数列的通项公式是解这类题的基础.2.适当应用数列的性质可使解题简洁.【规律总结】直接法是解答选择题最常用的基本方法．直接法适用的范围很广，只要运算正确必能得出正确的答案．平时练习中应不断提高用直接法解选择题的能力，准确把握题目的特点．用简便的方法巧解选择题，是建立在扎实掌握“三基”的基础上的，否则一味求快则会快中出错． 【举一反三】1. 【广东湛江市2017届高三上学期期中调研考试】已知12F F 、是双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左、右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，211sin 4MF F∠=，则双曲线E 的离心率为（ ）A．3B ．53 C.2 D ．3【答案】A【解析】由题意可知，21b MF a =，所以2212122221sin 242b MF b aMF F b MF a b a a∠====++，即2232b a =，2223()2c a a -=，2235c a =，所以2225,3c e e a ===，故选A. 2. 【湖南省五市十校教研教改共同体2017届高三12月联考】在矩形中ABCD 中，2AB AD =，在CD 上任取一点P ，ABP ∆的最大边是AB 的概率是（ ）．AB1 D1【答案】D方法二 特例法特例检验(也称特例法或特殊值法)是用特殊值(或特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条件，得出特殊结论，再对各个选项进行检验，从而做出正确的选择．常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．特例检验是解答选择题的最佳方法之一，适用于解答“对某一集合的所有元素、某种关系恒成立”，这样以全称判断形式出现的题目，其原理是“结论若在某种特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真”，利用“小题小做”或“小题巧做”的解题策略．例4【广东省汕头市2017届高三上学期期末】已知定义在R 上的函数)(x f 满足)()(x f x f -=，且当)0,(-∞∈x 时，0)(')(<+x xf x f 成立，若)2()2(1.01.0f a ⋅=，)2(ln )2(ln f b ⋅=，)81log )81(log 22f c ⋅=，则c b a ,,的大小关系是（ ）A ．c b a >>B ．a b c >> C. b a c >> D ．b c a >> 思路分析：利用()2f x x =-，显然符合条件，由3x -的单调性即可求得结论.【答案】B【解析】：令()2f x x =-,()()3g x xf x x ==- ，()2'30g x x ∴=-<恒成立, ()g x ∴在R 上单调递减函数，因为0.121log 30ln 2128=-<<<<，所以0.121(log )(ln 2)(2)8F F F >>，即a b c >>，故选B ． 点评：构造新函数()()3g x xf x x ==-，通过已知函数()x f 的奇偶性，判断()g x 的各种性质，可得()g x 在R 上是递减函数，因此只需比较自变量的大小关系，通过分别对各个自变量与临界值1,0作比较，判断出三者的关系,即可得到函数值得大小关系．例5【2016高考新课标3】在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若AB BC ⊥，6AB =，8BC =，13AA =，则V 的最大值是（ ）（A ）4π （B ）92π（C ）6π （D ）323π【答案】B【解析】要使球的体积V 最大，必须球的半径R 最大．由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半径取得最大值32，此时球的体积为334439()3322R πππ==，故选B ． 点评：立体几何是的最值问题通常有三种思考方向：（1）根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；（2）将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解；（3）建立函数，通过求函数的最值来求解． 例6函数()()2ax bf x x c +=+的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）（A ）0a >，0b >，0c < （B ）0a <，0b >，0c > （C ）0a <，0b >，0c < （D ）0a <，0b <，0c <思路分析：利用()()2ax bf x x c +=+，利用特点验证法即可求得结论.【答案】C点评：函数图象的分析判断主要依据两点：一是根据函数的性质，如函数的奇偶性、单调性、值域、定义域等；二是根据特殊点的函数值，采用排除的方法得出正确的选项.本题主要是通过函数解析式判断其定义域，并在图形中判断出来，另外，根据特殊点的位置能够判断,,a b c 的正负关系.【规律总结】特例法是解答选择题最常用的基本方法．特例法适用的范围很广，只要正确选择一些特殊的数字或图形必能得出正确的答案．平时练习中应不断提高用特例法解选择题的能力，准确把握题目的特点．用简便的方法巧解选择题，是建立在特值有代表性的基础上的，否则会因考虑不全面而得不到正确的答案． 【举一反三】1. 【山东潍坊2017届高三上学期期中联考，4】函数()f x =）A ．[0 )+∞，B ．( 2]-∞， C.[]0 2， D ．[0 2)， 【答案】D【解析】因为当2x =时，由()ln 520x -=，分母为零，所以函数的定义域为2x ≠，故选D.2. 已知O 是锐角△ABC 的外接圆圆心，∠A ＝60°，cos B sin C ·AB →＋cos C sin B·AC →＝2m ·AO →，则m 的值为( )A.32B. 2 C ．1D.12【答案】A【解析】如图，当△ABC 为正三角形时，A ＝B ＝C ＝60°，取D 为BC 的中点，AO →＝23AD →，则有13AB →＋13AC →＝2m ·AO →，∴13(AB →＋AC →)＝2m ×23AD →，∴13·2AD →＝43mAD →，∴m ＝32，故选A.方法三 排除法(筛选法)数学选择题的解题本质就是去伪存真，舍弃不符合题目要求的选项，找到符合题意的正确结论．筛选 法(又叫排除法)就是通过观察分析或推理运算各项提供的信息或通过特例，对于错误的选项，逐一剔除，从而获得正确的结论．例7【广西柳州市2017届高三10月模拟，9】如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球1O 、2O ，这两个球相外切，且球1O 与正方体共顶点A 的三个面相切，球2O 与正方体共顶点1B 的三个面相切，则两球在正方体的面11AAC C 上的正投影是（ ）【答案】B【解析】由三视图得球1O 与正方体左面切点的投影在棱1AA 上，可排除C,D ，由于112211AO OO O B AB ++>,所以两个圆有交点，有重叠，可排除A,故选B点评：三视图问题的常见类型及解题策略：(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．例8【山西运城2017届高三上学期期中】已知向量(2,)a m = ，(,2)b m =，若//a b ，则实数m 等于（ ）A ．2-B ．2C ．2-或2D ．0【答案】C【解析】由于两个向量平行，可能同向，也可能异向故m 的值应该有两个，故选C. 点评：对于平面向量的线性运算以及平面向量基本定理，最主要要记住一些常见易错的点. 例9【山西大学附属中学2017级上学期11月模块诊断】函数1()sin(ln)1x f x x -=+的图象大致为（ ）思路分析：根据函数性质如奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点进行排除. 【答案】B点评：(1)运用函数性质研究函数图像时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.(2)在运用函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去f “”，即将函数值的大小转化自变量大小关系【规律总结】排除法(筛选法)是解答选择题最常用的基本方法．直接法适用的范围很广，只要知道选项中的部分答案的知识必能得出正确的答案．平时练习中应不断提高用直接法解选择题的能力，准确把握题目的特点．排除法(筛选法)的方法巧解选择题，是建立在扎实掌握一定“三基”的基础上的，否则也是无法准确地得到正确答案． 【举一反三】1. 【山东潍坊2017届高三上学期期中联考，7】函数223xx x y e -=的图象大致是（ ）【答案】A【解析】因为223xx xy e -=有两个零点0,3x x ==，所以排除B ，当0.1x =时0y <，排除C,x →+∞时0y →，排除D,故选A.2.下列四个命题中正确的命题序号是（ ）①向量,a b共线的充分必要条件是存在唯一实数λ，使a b λ= 成立.②函数11()()y f x y f x =-=-与的图像关于直线1x =对称.③sin cos 2([0,])y y θθθπ-=∈成立的充分必要条件是|2|y ≤④已知U 为全集，则x A B ∉ 的充分条件是()()U U x C A C B ∈ . A ．②④ B ．①②C ．①③D ．③④【答案】D方法四 图解法(数形结合法)在解答选择题的过程中，可先根据题意，作出草图，然后参照图形的作法、形状、位置、性质，综合 图象的特征，得出结论，习惯上也叫数形结合法．例10 【山东潍坊2017届高三上学期期中联考】若变量 x y ，满足约束条件11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =+的最小值为（ ）A ．3-B ．2- C.1- D ．1思路分析：根据题目所给的意思画出可行域，利用直线的截距进行求解. 【答案】A【解析】画出约束条件11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩表示的可行域如图，由图知，当直线2y x z =-+平移经过点()1,1A --时标函数2z x y =+的最小值为：2113z =-⨯-=-，故选A.考点：1、可行域的画法；2、最优解的求法.点评：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.例11【广东省佛山市2017届高三教学质量检测（一）】已知函数()32f x x ax bx c =+++，()232g x x ax b =++（ a b c ，，是常数），若()f x 在()0 1，上单调递减，则下列结论中：①()()010f f ⋅≤；②()()010g g ⋅≥；③23a b -有最小值. 正确结论的个数为（ ）A ．0B ．1 C.2 D ．3 【答案】C【解析】由题意，得()232f x x ax b '=++，若函数()f x 在(0,1)上单调递减，则(0)0(1)0f f '≤⎧⎨'≤⎩，即320b a b ≤⎧⎨++≤⎩，所以()()01(32)0g g b a b ⋅=⋅++≥，故②正确；不妨设32()235f x x x x =--+，则()()015(1235)0f f ⋅=⋅--+>，故①错；画出不等式组0320b a b ≤⎧⎨++≤⎩表示的平面区域，如图所示，令23z a b =-，则2133z b a =-，①当33z ->-，即9z <时，抛物线2133zb a =-与直线230a b ++=有公共点，联立两个方程消去b 得2690a a z ++-=，2(3)0z a =+≥，所以09z ≤<；当33z-≤-，即9z ≥时，抛物线与平面区域必有公共点，综上所述，0z ≥，所以23z a b =-有最小值，故③正确，故选C ．点评：利用图解法解决线性规划问题的一般步骤：(1)作出可行域；(2)作出目标函数的等值线(等值线是指目标函数过原点的直线)；(3)求出最终结果．在可行域内平行移动目标函数等值线，从图中能判定问题有唯一最优解，或者是有无穷最优解，或是无最优解．例12【湖北省荆州市2017届高三上学期第一次质量检】已知函数()()2ln 1,23f x x g x x x =-=-++，用{}min ,m n 表示,m n 中最小值，设()()(){}min ,h x f x g x =，则函数()h x 的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C. 3 D ．4分析：根据题意作出()f x 和()g x 的图像，问题转化为两个函数的交点问题即可. 【答案】C 【解析】试题解析：作出函数()f x 和()g x 的图象如图，两个图象的下面部分图象，由()2230g x x x =-++=，得1x =-，或3x =，由()ln 10f x x =-=，得x e =或1x e=，∵()0g e >，∴当0x >时，函数()h x 的零点个数为3个，故选：C ．点评：本题以分段函数图像为载体，考查数形结合思想，意在考查考生的化归与转化能力.难度较大.【规律总结】图解法(数形结合法)是解答选择题最常用的基本方法．直接法适用的范围很广，只要把握图形的性质必能得出正确的答案．平时练习中应不断提高用直接法解选择题的能力，准确把握题目的特点．用图解法(数形结合法)的方法巧解选择题，是建立在扎实函数图像的基础上的，否则会因为图像的把握不准而不能得到正确的结论．【举一反三】1. 【山西大学附属中学2017级上学期11月模块诊断，4】如图为某几何体的三视图，则其体积为（） A.243π+ B.243π+ C.43π+ D.43π+【答案】D2. 【广西柳州市2017届高三10月模拟】设定义域为R 的函数|1|251,0,()44,0x x f x x x x -⎧-≥⎪=⎨++<⎪⎩若关于x 的方程22()(21)()0f x m f x m -++=有7个不同的实数解，则m =（ ）A ．6B ．4或6C ．6或2D ．2 【答案】D【解析】由图可知方程22(21)0t m t m -++=有两个不等实根，其中一根为4，另一根在(0,4)；由224(21)4026m m m m -+⨯+=⇒==或，又当2m =时，另6m =一根为1，满足题意；当时，另一根为9，不满足题意；所以选D.。

选择题的解法选择题是高考数学试卷中的三大题型之一．它的基本特点是：(1)知识覆盖面广，题型灵活多变，经常出现一些数学背景新颖的创新题．这些创新题目注重基础性，增强综合性，体现时代气息；在注重考查基础知识、技能、方法的同时，加大了对能力考查的力度，考潜能，考应用，体现着高考数学命题改革的导向作用．(2)绝大多数选择题题目属于低中档题．因为主要的数学思想和教学方法能通过它得到充分的体现和应用，并且因为它还有相对难度(如思维层次，解题方法的优劣选择，解题速度的快慢等)，所以使之成为具备较佳区分度的基本题型之一．(3)选择题不要求书写解题过程，不设中间分，因此一步失误，就会造成错选，导致全题无分．(4)选择题的分数一般占总分的40％左右．选择题得分率的高低及解题速度的快慢直接影响着每位考生的情绪和全卷的成绩．因此，准确、快速是解选择题的策略．准确是解高考选择题的先决条件，这要求考生要仔细审题，认真分析，合理选择解题方法，正确推演或判断，谨防疏漏，确保准确；快速是结合高考数学单项选择题的结构，题目本身提供的条件、特征或信息，以及不要求书写解题过程的特点，灵活选用简单、合理的解法或特殊化法，避免繁琐的运算、作图或推理，避免“小题大做”，给解答题(特别是中高档题)留下充裕的时间，争取得高分．具体说来，就是要突出解题方向的探索、解题思路的分析、解题方法的选择以及解题思维过程的展示和解题回顾反思等环节；熟练掌握各种基本题型的一般解法，在此基础上逐步掌握解选择题的解题思路、常用方法、规律及相关技巧；注重提高口算、心算和笔算的能力，做到“基本概念理解透彻，基本联系脉络清晰，基本方法熟练掌握，基本技能准确无误”，达到“既然会解，就要解对”的地步，而且需要思维清晰、敏捷、通畅，解法合理、简捷．为此，研究和探索选择题的解题思路、常用方法与技巧就显得非常必要和重说明：因为有些试题可用多种解法，所以统计的分值有重复现象．其中表格为（全国卷）：第一讲 直解对照法直解对照法是直接从题设的条件出发，利用已知条件、相关的概念、性质、公式、公理、定理、法则等知识，通过严谨推理、准确运算、合理验证，直接得出正确结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，从而确定正确选择支的方法. 【调研1】如果函数()y f x =的导函数．．．的图像如下图，给出下列判断： ① 函数()y f x =在区间1(3,)2--内单调递增；② 函数()y f x =在区间1(,3)2-内单调递减；③ 函数()y f x =在区间(4,5)内单调递增； ④ 当2x =时，函数()y f x =有极小值；⑤ 当12x =-时，函数()y f x =有极大值；则上述判断中正确的是（ ） A. ① ③ B. ③ ④ C. ③ D. ① ③ ⑤ 答案：Ｂ解析:根据原函数()y f x =与导函数()y f x '=的图像间的关系，并列表得：【误点警示】本例是一道甄别个性品质的好题，具有较强的迷惑性，有利高校选拔.求解本例时，易出现审题偏差以及原函数与导函数的单调区间、极值等相混淆，误判命题②、⑤.求解这类题目最直接、最有效的方法是利用表格，分析整理相关信息.【调研2】已知第I 象限的点()P a b ，在直线210x y +－＝上，则11a b+的最小值为（ ）A.3+B.4+C.D.2+答案：Ｄ分析：本例涉及不等式与直线以及初中数学等相关知识，具有一定的综合性.求解过程中，需去掉其数学形式，还原其数学本质：将本例转化为“已知21(0,0)a b a b +=>>，求11a b+的最小值”，转化为条件最值问题求解.解析：11112()(2)33b a a b a b a b a b +=++=++≥+＝3+2b a a b =时取等号）【方法点拨】因导数工具的引入与广泛运用，利用均值不等式求最值的高考要求已大大降低；但若能掌握一些关于利用均值不等式求最值的技巧，对提高解题的速度与准确程度很有帮助.利用均值不等式求最值有以下四个常用技巧：技巧①：等分相拆 如求函数2(1)y x x =-（01x <<）的最大值时，要保证和为定值以及等号成立，2x 只能等分相拆．．．．成11422x x ⨯⨯，而不能拆1613344x x ⨯⨯或912233x x ⨯⨯等形式； 技巧②：平方升次 如求函数2(1)y x x =-（01x <<）的最大值时，无法直接构造和为定值，但可以尝试两边平方后再构造和为定值；技巧③：分离常数 如求函数2101a S a =-（1a >）的最值时，可以先强行分离常数：2101a S a =-210(1)20(1)101a a a -+-+=-1010(1)201a a =+-+-，再利用均值不等式求解； 技巧④：常数活用 如本例中“活用常数1”：111111()1()(2)a b a b a b a b+=+⨯=++.（文科）【调研3】二次函数2(1)(21)1y a a x a x =+-++,当1a =，2，3，…，n ，…时，其图像在x 轴上截得的弦长依次为1d ，2d ，…，n d ,…，则12n d d d ++为（ ）A.1(1)n n ⋅+ B.(1)nn n ⋅+ C.11n + D.1n n +答案：Ｄ解析：设二次函数2(1)(21)1y a a x a x =+-++与x 轴的分布交点为1(,0)x ，2(,0)x ，则令0y =得2(1)(21)10a a x a x +-++=∴(1)[(1)1]0ax a x -+-=，解之得11x a =，211x a =+ ∴弦长1211||1a d x x a a =-=-+令1,2,3,a n =……，得 12111111(1)()()122311n d d d n n n +++=-+-++-=-++……＝1nn +【方法探究】（理科）【调研3】二次函数2(1)(21)1y a a x a x =+-++,当1a =，2，3，…，n ，…时，其图像在x 轴上截得的弦长依次为1d ，2d ，…，n d ,…，则12lim()n n d d d →∞++的值是（ ）A.4B.3C.2D.1 答案：Ｄ分析：本例应先找出弦长表达式，再求和12n d d d ++，最后求极限，次序井然，不容马虎.解析：设二次函数2(1)(21)1y a a x a x =+-++与x 轴的分布交点为1(,0)x ，2(,0)x ，则令0y =得2(1)(21)10a a x a x +-++=∴(1)[(1)1]0ax a x -+-=，解之得11x a =，211x a =+ ∴弦长1211||1a d x x a a =-=-+ 令1,2,3,a n =……，得12111111(1)()()122311n d d d n n n +++=-+-++-=-++……∴121lim()lim(1)11n n n d d d n →∞→∞+++=-=+…. （文理科）【方法探究】本例求弦长很容易想到利用韦达定理，走“设而不求”的道路；但就本题而言直接求根的这种“原始手段”反而更为简便.至于何时用“设而不求”求弦长，何时直接求根再求弦长，这个问题比较辩证，应具体问题，具体分析.一般地说，方程根比较容易解出时，应首先考虑直接求根.1.我国的《洛书》记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，……，9填入33⨯的方格内，使三行、三列、二对角钱的三个数之和都等于15，如图所示：一般地，连续的正整数1，2，3，……，2n 填入n n ⨯个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n 阶幻方. 记n 阶幻方的对角线上数的和为n N ，如上图的幻方记为315N =，那么10N 的值为（ ） A.505 B.506 C.504 D.5072.在∆ABC 中，3sin 463cos 41A B A B +=+=cos sin ，，则∠C 的大小为（ ） A.π6B.56πC.ππ656或 D.ππ323或 3.定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()2(x f x f =-，且在[－3，－2]上是减函数，βα,是钝角三角形的两个锐角，则下列不等式关系中正确的是（ ）Ａ.(sin )(cos )f f αβ> Ｂ.(cos )(cos )f f αβ< Ｃ.(cos )(cos )f f αβ> Ｄ.(sin )(cos )f f αβ< （文科）4.设命题p ：在直角坐标平面内，点)cos ,(sin ααM 与(1,2)N αα+-（a R ∈），在直线02=-+y x 的异侧；命题q ：若向量a ，b ，满足0>⋅，则与的夹角为锐角．以下结论正确的是（ ）．A.“q p 或”为真，“q p 且”为真 B.“q p 或”为真，“q p 且”为假”C.“q p 或”为假，“q p 且”为真D.“q p 或”为假，“q p 且”为假（理科）4.已知函数323,1()11,1x x x f x x ax x ⎧+->⎪=-⎨⎪+≤⎩在点1x =处连续,则[(1)]f f -＝( ) A.11 B.3- C.3 D.11-【参考答案】1.答案： A解析: 由n 阶幻方的定义可知：十阶幻方是将1，2，3，……，100填入1010⨯表格中，每行、每列、每条对角线上的数的和相等故10100(1100)210N +=⨯＝505.点评：本题看似复杂，关键在于善抓住有效信息：n 阶幻方的定义. 2.答案：Ａ解析：由3sin 463cos 41A B A B +=+=⎧⎨⎩cos sin 平方相加得21)sin(=+B A又∵A ∠、B ∠、C ∠是△ABC 的内角，即()C A B π∠=-∠+∠∴1sin 2C =，即6C π=或56π. 若C =56π，则A B +=π6∵13cos 4sin 0A B -=> ∴1cos 3A <又∵1312< ∴3A π∠>，56C π∠≠ 故6C π∠= 点评：本题要注意充分挖掘题目条件，隐含条件cos A <13比较隐蔽，极易误选为C .3.答案：D 解析：∵()y f x =是偶函数，且在[3,2]--上是减函数 ∴()y f x =在[2,3]上是增函数 又∵(2)(2)()f x f x f x -=-= ∴()y f x =是以周期2T =的周期函数.故()y f x =在[0,1]上是增函数∵,αβ是钝角三角形的两个锐角 ∴2παβ+<，即022ππαβ<<-<∴sin sin()2παβ<- 即sin cos αβ<又∵0sin cos 1αβ<<< ∴(sin )(cos )f f αβ<（文科）4.答案：Ｂ解析：判断复合命题q p 或、q p 且的关键是准确判断命题p 与命题q 的真假.∵sin cos )24πααα+=+< ∴sin cos 20αα+-< 又∵||||||||||a b a b a b -≤±≤+ ∴1232αα++-≥>，即1220αα++-->故点)cos ,(sin ααM 与(1,2)N αα+-在直线02=-+y x 的异侧，命题p 为真命题.又∵向量a 和向量b 共线也有0a b ⋅> ∴命题q 为假命题. 从而有“q p 或”为真，“q p 且”为假”，所以本题的答案为Ｂ. （理科）4.答案：D解析：3322222323(1)(3)(1)3111x x x x x x x x x x x x x x x +--++--++-===++--- ∵ 函数3231()111x x x f x x ax x ⎧+->⎪=-⎨⎪+≤⎩在点1x =处连续∴ 11lim ()lim ()x x f x f x +-→→=，即51a =+ ∴4a =∴ (1)4(1)13f -=⨯-+=- [(1)]4(3)1f f -=⨯-+=-第二讲 概念辨析法从题设条件出发，通过对数学概念的辨析，少量运算或推理，直接选择出正确结论，我们称这种方法为概念辨析法．这类题目常涉及一些似是而非、很容易混淆的概念或性质，这需要同学们在平时注意辨析有关概念，准确区分相应概念的内涵与外延，同时在审题时需加小心，准确审题以保证正确选择.一般说来，这类题目运算量小，侧重判断，下笔容易，但稍不留意则易掉入命题者设置的陷阱.【调研1】已知b a bx ax x f +++=3)(2是偶函数，定义域为[1,2]a a -，则1()2f ＝（ ） Ａ.1324a b +Ｂ.133122b + Ｃ.1312Ｄ.无法确定 答案：Ｃ分析：本例主要考查函数奇偶性概念，破题的关键在于明确函数定义域必须关于原点对称，从而确定a 的值.解析：∵b a bx ax x f +++=3)(2是偶函数∴0b =，且定义域为]2,1[a a -关于原点对称，即12a a -=- ∴ 13a =∴21()13f x x =+ 22[,]33x ∈- 故113()212f = 【技巧点拨】函数奇偶性是函数五大性质之一，求解与奇偶性相关的题目，注意以下结论，提高解题速度. ①.函数奇偶性是整体性质，其定义域必须关于原点对称，从而有函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件.②.二次函数2()f x ax bx c =++为偶函数的充要条件是0b =，一次函数()f x ax b =+为奇函数的充要条件是0b =；③.若奇函数()y f x =在原点有定义，则其函数图像必过原点，即(0)0f =； ④.偶（奇）函数在对称区间单调性相同（反）.【调研2】已知集合{ }M =长方体、{ }N =正四棱柱、{ }P =直四棱柱，下列式子正确的是 ( ) A.MN N = B.P M M = C.M N N = D.()M P N N =答案：Ｃ分析：本例涉及直四棱柱、正四棱柱以及长方体的概念，有一定的迷惑性.求解本例的关键是理清正四棱柱、长方体的内涵与外延，明确相互关系. 解析：四棱柱的概念如下图用集合语言表示为：{ }{ }⊆正四棱柱长方体{ }⊆直四棱柱，即N M P ⊆⊆ ∴M MN =、P M P =、()M P N M =，从而排除Ａ、Ｂ、Ｄ.【方法探究】本例是以四棱柱相关概念为内核，以集合为形表，有一定的新颖性和迷惑性.集合与向量一样，都是重要的数学语言，在各省市高考卷和各地高考模拟卷中，常常出现以其他板块知识为内核，集合语言进行包装，改头换面，有一定的新意和灵活度.如以下两例分别是由集合和向量进行包装：①集合{()|22}M x y x y =-≤，，{()|1}P x y x y =-≥-，，{()|1}S x y x y =+≥，，若T=MP S ，点(,)E x y T ∈，则y x z 32+=的最大值为_ __.②已知在平面直角坐标系中，(0,0)O ，(2,1)M -，(1,1)N -，(1,1)Q ，(2,3)T ，动点(,)P x y 满足不等式2OP OM ⋅≤，1OP ON ⋅≥-，1OP OQ ⋅≥，则w OP OT =⋅的最大值为_____.以上两题看似毫不相干，但都是由线性规划“变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则y x z 32+=的最大值为__________”进行包装而来.求解这类题目的关键是“去掉数学形式、理解数学本质”.（文科）【调研3】如图, 已知正六边形123456PP P P P P ，下列向量的数量积中最大的是（ ） A.1213PP PP ⋅ B.1214PP PP ⋅ C.5121PP PP ⋅ D.1216PP PP ⋅ 答案：A 分析：求解本例的关键是中有理清各对向量的模长与夹角.解析：设边长为a ，在正六边形123456PP P P P P1315||||3PP PP a ==、 14||2PP a =、1213,6PP PP π<>=1214,3PP PP π<>=、1215,2PP PP π<>=和12162,3PP PP π<>=∴ 21213121312133||||cos ,cos62PP PP PP PP PP PP a a π⋅=⋅⋅<>=⨯=； 2121412141214||||cos ,2cos 3PP PP PP PP PP PP a a a π⋅=⋅⋅<>=⨯⨯= 121512151215||||cos ,2cos02PP PP PP PP PP PP a a π⋅=⋅⋅<>=⨯⨯=和2121612161216121621||||cos ,||||cos 032PP PP PP PP PP PP PP PP a π⋅=⨯⋅<>=⨯⨯=-< ∴数量积中最大的是1213PP PP ⋅. 【方法探究】本例主要考查向量夹角及数量积的概念，求解过程中注意利用正六边形的几何性质，同时注意向量的方向，准确找出相应向量的夹角.本例可以简化以上求解过程，由12162,3P P P P π<>=和1215,2PP PP π<>=直接排除Ｃ、Ｄ，只需比较1213PP PP ⋅与1214PP PP ⋅即可. （理科）【调研3】下列随机变量ξ的分布列不属于二项分布的是（ ）A.某事业单位有500名在职人员，人事部门每年要对他们进行年度考核，每人考核结论为优秀的概率是0.25．假设每人年度考核是相互独立的，ξ为考核结论为优秀的人数；B.某汽车总站附近有一个加油站，每辆车出汽车总站后，再进加油站加油的概率是0.12且每辆车是否加油是相互独立的.某天出汽车总站有50辆汽车，ξ为进站加油的汽车数；C.某射手射中目标的概率为p ，设每次射击是相互独立的.ξ为从开始射击到击中目标所需要的射击次数；D.某周内，每次下载某网站数据后被病毒感染的概率为0.5.ξ表示下载的n 次数据后被病毒感染的次数． 答案：Ｃ分析：如何识别二项分布？关键在于紧扣二项分布的概念，抓三点判断：①.每次实验只有两类对立的结果；②.n 次相同事件相互独立；③.每次实验的某一结果的概率是恒定的.解析：选项Ａ：每人考核结论只有“优秀”、“不优秀”两个对立结果，且每人考核结论为优秀是相互独立，并且概率为常数0.25，所以随机变量ξ服从二项分布；选项Ｂ：每辆车出汽车总站后，只有进站加油和不进站两个结果，同时每辆车进站加油的概率为常数0.12，而且相互独立的，所以随机变量ξ服从二项分布；选项C：在一次又一次的射击中，第一次射中我们关注的事件A，随机变量ξ表示第一次击中目标时射击的次数，显然随机变量ξ服从几何分布，不服从二项分布.选项Ｄ：同选项Ａ、Ｂ，可判断随机变量ξ服从二项分布.【技巧点拨】三类特殊分布及判定技巧二项分布、几何分布与正态分布是中学数学的三大特殊分布，在实际中有着广泛的应用.《2006年理科数学考试大纲》对这三种特殊分布仅要求到“了解”层次，但近年的高考试卷中多有涉及，甚至在2006(,)B n p，则(,)B n p，每次实验只有两类对立的结(2)n次相同事件，相互独1.若,,||||1a b R a b∈+>成立的充分不必要条件．．．．．．．是（）A.1||≥+ba B.11||||22a b≥≥且 C.1≥a D.1b<-2.有下列命题（1）若a b>，则22ac bc>；（2）直线10x y--=的倾斜角为045，纵截距为1；（3）直线1l11y k x b=+与直线2l11y k x b=+平行的充要条件是12k k=且12b b≠；（4）当0x>且1x≠时，1lg2lgxx+≥；（5）到坐标轴距离相等的点的轨迹方程为0x y-=；其中真命题的个数是（）Ａ.0 Ｂ.1 Ｃ.2 Ｄ.33.函数ln(1)(1)y x x =->的反函数是（ ）A.1()1()x f x e x R -=+∈B.1()101()x f x x R -=+∈C.1()101(1)x f x x -=+>D.1()1(1)x f x e x -=+>4.函数xx x xx x f cos sin 21)(24++++=的最大值为M ，最小值为m ，则m M +的值为（ ）A .1B .2C .3D .4 【参考答案】1.答案：Ｄ解析：根据充分不必要条件的概念知，本题等价于“,,a b R ∈||||1a b +>⇐（ ）”.2.答案：B 解析：（1）当C ＝0时，不等式22ac bc >不成立；（2）重点考查直线倾斜角、截距等概念，10x y --=的倾斜角为045，纵截距应为－1，这是易错点； （3）小题是教材结论，本命题为真命题； （4）小题考查均值不等式成立条件，1lg 2lg x x+≥的成立条件应为lg 0x >，即1x >； （5）小题是由教材第69页变化而来，显然为假命题. 3.答案：A 解法一 ：回归概念∵ ln (1)y x =- ∴ 1yx e =+ 兑换x 、y 得1x y e =+又∵1x > ∴ln(1)y x =-的值域为R. ∴函数ln(1)(1)y x x =->的反函数为1()1()x f x e x R -=+∈. 解法二 ：特值排除∵ 函数ln(1)(1)y x x =->过点(2,0)A ，1(1,1)B e+- ∴ 函数ln(1)(1)y x x =->的反函数1()y fx -=过点(0,2)A '、1(1,1)B e'-+，排除B 、C 、D.点拨：反函数问题是中学数学的重要概念，也是历届高考的热点.在求解以选择题的形态出现的“求某函数的反函数”问题时，注意运用结论“()f a b =⇔1()a f b -=” 快速求解. 4.答案：Ｂ解析：∵ xx x xx y cos sin 224+++=是奇函数，奇函数的最大值与最小值的和等于0∴x x x x x x f cos sin 21)(24++++=是由奇函数x x x xx y cos sin 224+++=的图象向上平移1个单位得到的 ∴xx x xx x f cos sin 21)(24++++=的最大值M 与最小值m 的和等于2 点拨：本题主要考查函数奇偶性的灵活运用，函数不具有奇偶性，但局部具有奇偶性时，再如求解“已知53()sin 5f x ax bx cx d x =++++（,,,a b c d 为常数）且30f =-，则(2f ＝__________”，可类比本题处理技巧，请同学们自己动手完成.。

专题一 选择题的解题技巧一、学习目标：1、学会应用直接法和间接法解决高考选择题，2. 掌握解答选择题的间接法和其它解题技巧。

二、学习重点：学会应用直接法和间接法解决高考选择题。

三、学习难点：灵活应用直接法和间接法解决高考选择题。

[题型分析·高考展望] 选择题是高考试题的三大题型之一，其特点是：难度中低，小巧灵活，知识覆盖面广，解题只要结果不看过程.解选择题的基本策略是：充分利用题干和选项信息，先定性后定量，先特殊再一般，先排除后求解，避免“小题大做”。

主要方法：直接法、特例法、排除法、数形结合法、估算法、正则反法、构造法等。

四、学习过程： 方法一 直接法直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密地推理和准确地运算，从而得出正确的结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，作出相应的选择.涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法.例1、设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，线段BF 与双曲线的一条渐近线交于点A ，若FA →＝2AB →，则双曲线的离心率为( )A.6B.4C.3D.2变式练习1、焦点在x 轴上的椭圆方程为 ()222210x y a b a b +=>>，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为3b，则椭圆的离心率为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．23方法二 特例法特例法是从题干(或选项)出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置，进行判断.特殊化法是“小题小做”的重要策略，适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题，特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊数列等. 例2、（2017年市调研12）若函数()()x a x e x f xcos sin +=在⎪⎭⎫⎝⎛ 2,4ππ上单调递增，则实数a 取值范围是(A) (],1-∞ (B) (),1-∞ (C) [)1,+∞ (D) ()1,+∞变式2、（区二模12）抛物线x y 42=的焦点为F ，点A,B 在抛物线上，且π32=∠AFB ，弦AB 的中点M 在准线l 上的射影为'M ,则ABMM '的最大值为（ ）A. 334B. 332C.33D. 3方法三 排除法排除法也叫筛选法或淘汰法，使用排除法的前提条件是答案唯一，具体的做法是采用简捷有效的手段对各个备选答案进行“筛选”，将其中与题干相矛盾的干扰项逐一排除，从而获得正确答案. 例3 (1)函数f (x )＝2|x |－x 2的图象为( )变式3函数f (x )＝sin x －13－2cos x －2sin x(0≤x ≤2π)的值域是( )A.⎣⎡⎦⎤－22，0 B.[－1，0] C.[－2，－1] D.⎣⎡⎦⎤－33，0方法四 数形结合法根据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形，借助几何图形的直观性作出正确的判断，习惯上也叫数形结合法，有些选择题可通过命题条件中的函数关系或几何意义，作出函数的图象或几何图形，借助于图象或图形的作法、形状、位置、性质等，综合图象的特征，得出结论.例4、（2017年区二模理9）偶函数()x f 满足()(),11+=-x f x f 且在[]10,∈x 时，()x x f =，且在关于x 的方程()xx f -=10在[]40,∈x 上解的个数是（ ）A.2B.3C.4D.5变式4、（2016市调研理12）已知ABC ∆的三个顶点A ，B ，C 的坐标分别为()()()0,1,2,0,0,2-，O 为坐标原点，动点P 满足CP =1OP OB OA ++的最小值是（ ）（A ）31- （B ）111- （C ）31+ （D ）111+方法五 估算法由于选择题提供了唯一正确的选项，解答又无需过程.因此，有些题目不必进行准确的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法.估算法的关键是确定结果所在的大致范围，否则“估算”就没有意义.估算法往往可以减少运算量，但提升了思维的层次。

第1讲 选择题的解法技巧题型概述选择题注重基本知识与基本技能的考查，侧重于解题的灵活性和快捷性，以“小”“巧”著称，试题层次性强，一般按照由易到难的顺序排列，能充分体现学生灵活运用知识的能力． 解题策略：充分利用题设和选择支两方面所提供的信息作出判断，一般有两种思路：一是从题干出发考虑探求结果；二是从题干和选择支联合考虑或从选择支出发探求是否满足题干条件；先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，先排除后求解，一定要小题巧解，避免小题大做． 方法一 直接法直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密地推理和准确地运算，从而得出正确的结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，作出相应的选择．涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法．例1 (1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝26，B ＝2A ，则cos A 的值为( ) A.63 B.263 C.66D.68(2)某班有6位学生与班主任老师毕业前夕留影，要求班主任站在正中间且女生甲、乙不相邻，则排法的种数为( ) A ．96 B ．432 C ．480D ．528解析 (1)在△ABC 中，a sin A ＝bsin B ，∴3sin A ＝26sin B ＝26sin 2A ＝262sin A cos A， ∴c os A ＝63. (2)当甲、乙在班主任两侧时，甲、乙两人有3×3×2种排法，共有3×3×2×24种排法；当甲乙在班主任同侧时，有4×24种排法，因此共有排法3×3×2×24＋4×24＝528(种)． 答案 (1)A (2)D思维升华 涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法．只要推理严谨，运算正确必能得出正确的答案．平时练习中应不断提高用直接法解选择题的能力，不能一味求快导致快中出错．跟踪演练1 (1)数列{a n }满足a 1＝2，a n ＝a n ＋1－1a n ＋1＋1，其前n 项积为T n ，则T 10等于( )A.16 B ．－16C ．6D ．－6(2)(2015·四川)执行如图所示的程序框图，输出S 的值为( )A ．－32B. 32C ．－12D.12答案 (1)D (2)D 解析 (1)由a n ＝a n ＋1－1a n ＋1＋1⇒a n ＋1＝1＋a n 1－a n ，所以a 2＝－3，a 3＝－12，a 4＝13，a 5＝2，a 6＝－3，…，由此可知数列{a n }的项具有周期性，且周期为4，第一周期内的四项之积为1，则a 9＝a 1＝2，a 10＝a 2＝－3，所以数列{a n }的前10项之积为1×1×2×(－3)＝－6.(2)每次循环的结果依次为：k ＝2，k ＝3，k ＝4，k ＝5＞4，∴S ＝sin 5π6＝12.故选D.方法二 特例法从题干(或选项)出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置，进行判断．特殊化法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可使用．特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等．例2 (1)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －a 2，x ≤0，x ＋1x＋a ，x >0.若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为( ) A ．[－1,2] B ．[－1,0] C ．[1,2]D ．[0,2](2)已知等比数列{a n }满足a n >0，n ＝1,2,3，…，且a 5·a 2n －5＝22n(n ≥3)，当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1等于( ) A ．n (2n －1) B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)2解析 (1)若a ＝－1，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0，x ＋1x－1，x >0，易知f (－1)是f (x )的最小值，排除A ，B ；若a ＝0，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤0，x ＋1x，x >0，易知f (0)是f (x )的最小值，故排除C.D 正确．(2)因为a 5·a 2n －5＝22n(n ≥3)，所以令n ＝3，代入得a 5·a 1＝26， 再令数列为常数列，得每一项为8， 则log 2a 1＋log 2a 3＋log 2a 5＝9＝32. 结合选项可知只有C 符合要求． 答案 (1)D (2)C思维升华 特例法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题，但用特例法解选择题时，要注意以下两点： 第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理；第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解．跟踪演练2 (1)已知O 是锐角△ABC 的外接圆圆心，∠A ＝60°，cos B sin C ·AB →＋cos C sin B·AC →＝2m ·AO →，则m 的值为( ) A.32B. 2 C ．1D.12(2)如图，在棱柱的侧棱A 1A 和B 1B 上各有一动点P 、Q 满足A 1P ＝BQ ，过P 、Q 、C 三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为( )A ．3∶1B ．2∶1C ．4∶1 D.3∶1答案 (1)A (2)B解析 (1)如图，当△ABC 为正三角形时，A ＝B ＝C ＝60°，取D 为BC 的中点，AO →＝23AD →，则有13AB →＋13AC →＝2m ·AO →， ∴13(AB →＋AC →)＝2m ×23AD →，∴13·2AD →＝43mAD →，∴m ＝32，故选A. (2)将P 、Q 置于特殊位置：P →A 1，Q →B ，此时仍满足条件A 1P ＝BQ (＝0)， 则有11111——.3ABC A B C C AA B A ABC V V V ＝＝故选B.方法三 排除法排除法就是充分运用选择题中单选题的特征，即有且只有一个正确选择项这一信息，从选择项入手，根据题设条件与各选择项的关系，通过分析、推理、计算、判断，对选择项进行排除，将其中与题设矛盾的干扰项逐一排除，从而获得正确结论的方法．一般选择支与题干或常识矛盾，选择支互相矛盾时用排除法．例3 (1)(2015·课标全国Ⅱ)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位：万吨)柱形图．以下结论不正确的是()A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关(2)已知函数f (x )＝x (1＋a |x |)．设关于x 的不等式f (x ＋a )<f (x )的解集为A ，若[－12，12]⊆A ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1－52，0)B ．(1－32，0)C ．(1－52，0)∪(0，1＋32)D ．(－∞，1－52)解析 (1)从2006年，将每年的二氧化硫排放量与前一年作差比较，得到2008年二氧化硫排放量与2007年排放量的差最大，A 选项正确；2007年二氧化硫排放量较2006年降低了很多，B 选项正确；虽然2011年二氧化硫排放量较2010年多一些，但自2006年以来，整体呈递减趋势，即C 选项正确；自2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，D 选项错误，故选D.(2)当x ＝0时，有f (a )<f (0)＝0，由[－12，12]⊆A ，当x ＝－12，a ＝－12时，有f (a )＝－12×(1－12×|－12|)＝－38<0，排除B 、D ，当x ＝12，a ＝12时，有f (a )＝12×(1＋12×|12|)＝58>0，排除C ，所以选择A. 答案 (1)D (2)A思维升华 排除法适应于定性型或不易直接求解的选择题．当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的予以否定，再根据另一些条件在缩小选项的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的答案．跟踪演练3 (1)设函数()212log ,0,log (),0,x x f x x x >⎧⎪⎨-<⎪⎩＝若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)(2)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的最小正周期是π，若将其图象向右平移π3个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f (x )的图象( ) A ．关于直线x ＝π12对称B ．关于直线x ＝5π12对称C ．关于点(π12，0)对称D ．关于点(5π12，0)对称答案 (1)C (2)B解析 (1)取a ＝2验证满足题意，排除A 、D ，取a ＝－2验证不满足题意，排除B.∴正确选项为C.(2)∵f (x )的最小正周期为π，∴2πω＝π，ω＝2，∴f (x )的图象向右平移π3个单位后得到g (x )＝sin[2(x －π3)＋φ]＝sin(2x －2π3＋φ)的图象，又g (x )的图象关于原点对称，∴－2π3＋φ＝k π，k ∈Z ，φ＝2π3＋k π，k ∈Z .又|φ|<π2，∴|2π3＋k π|<π2，∴k ＝－1，φ＝－π3，∴f (x )＝sin(2x －π3)，当x ＝π12时，2x －π3＝－π6，∴A，C 错误，当x ＝5π12时，2x －π3＝π2，∴B 正确，D 错误．方法四 数形结合法根据命题条件中的函数关系或几何意义，作出函数的图象或几何图形，将数的问题(如解方程、解不等式、判断单调性、求取值范围等)与某些图形结合起来，利用图象的直观性，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到解决，这种方法称为数形结合法．例4 若直角坐标平面内的两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数y ＝f (x )的图象上；②P ，Q 关于原点对称，则称点对[P ，Q ]是函数y ＝f (x )的一对“友好点对”(注：点对[P ，Q ]与[Q ，P ]看作同一对“友好点对”)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2xx ，－x 2－4x x，则此函数的“友好点对”有( ) A ．0对 B ．1对 C ．2对D ．3对解析 根据题意，将函数f (x )＝－x 2－4x (x ≤0)的图象绕原点旋转180°后，得到的图象所对应的解析式为y ＝x 2－4x (x ≥0)，再作出函数y ＝log 2x (x >0)的图象，如图所示．由题意，知函数y ＝x 2－4x (x >0)的图象与函数f (x )＝log 2x (x >0)的图象的交点个数即为“友好点对”的对数．由图可知它们的图象交点有2个，所以此函数的“友好点对”有2对．答案 C思维升华 数形结合法是依靠图形的直观性进行分析的，用这种方法解题比直接计算求解更能抓住问题的实质，并能迅速地得到结果．使用数形结合法解题时一定要准确把握图形、图象的性质，否则会因为错误的图形、图象得到错误的结论．跟踪演练4 (1)已知非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，向量a ，b 的夹角为120°，且|b |＝2|a |，则向量a 与c 的夹角为( ) A ．60° B ．90° C ．120°D ．150°(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，x ＋，x >0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]答案 (1)B (2)D解析 (1)如图，因为〈a ，b 〉＝120°，|b |＝2|a |，a ＋b ＋c ＝0，所以在△OBC 中，BC 与CO 的夹角为90°，即a 与c 的夹角为90°.(2)函数y ＝|f (x )|的图象如图所示．①当a ＝0时，|f (x )|≥ax 显然成立．②当a >0时，只需在x >0时，ln(x ＋1)≥ax 成立．比较对数函数与一次函数y ＝ax 的增长速度．显然不存在a >0使ln(x ＋1)≥ax 在x >0上恒成立．③当a <0时，只需x <0，x 2－2x ≥ax 成立，即a ≥x －2成立，∴a ≥－2. 综上所述：－2≤a ≤0.故选D. 方法五 构造法构造法是一种创造性思维，是综合运用各种知识和方法，依据问题给出的条件和结论给出的信息，把问题作适当的加工处理，构造与问题相关的数学模式，揭示问题的本质，从而沟通解题思路的方法．例5 已知函数f (x )是定义在R 上的可导函数，且对于∀x ∈R ，均有f (x )>f ′(x )，则有( ) A ．e 2 018f (－2 018)<f (0)，f (2 018)>e 2 018f (0) B ．e 2 018f (－2 018)<f (0)，f (2 018)<e 2 018f (0) C ．e 2 018f (－2 018)>f (0)，f (2 018)>e 2 018f (0) D ．e2 018f (－2 018)>f (0)，f (2 018)<e 2 018f (0)解析 构造函数g (x )＝f xex ，则g ′(x )＝f xx－x f xx 2＝f x －f xex，因为∀x ∈R ，均有f (x )>f ′(x )，并且e x>0， 所以g ′(x )<0， 故函数g (x )＝f xex在R 上单调递减，所以g (－2 018)>g (0)，g (2 018)<g (0)， 即f －e－2 018>f (0)，fe2 018<f (0)，也就是e 2 018f (－2 018)>f (0)，f (2 018)<e 2 018f (0)．答案 D思维升华 构造法求解时需要分析待求问题的结构形式，特别是研究整个问题复杂时，单独摘出其中的部分进行研究或者构造新的情景进行研究．跟踪演练5 (1)(2015·课标全国Ⅱ)设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )＜0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(0,1) B ．(－1,0)∪(1，＋∞) C ．(－∞，－1)∪(－1,0)D ．(0,1)∪(1，＋∞)(2)若四面体ABCD 的三组对棱分别相等，即AB ＝CD ，AC ＝BD ，AD ＝BC ，给出下列五个命题： ①四面体ABCD 每组对棱相互垂直； ②四面体ABCD 每个面的面积相等；③从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180°； ④连接四面体ABCD 每组对棱中点的线段相互垂直平分；⑤从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长． 其中正确命题的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5答案 (1)A (2)B解析 (1)因为f (x )(x ∈R )为奇函数，f (－1)＝0，所以f (1)＝－f (－1)＝0.当x ≠0时，令g (x )＝f x x ，则g (x )为偶函数，且g (1)＝g (－1)＝0.则当x ＞0时，g ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫f x x ′＝xfx －f xx 2＜0，故g (x )在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数．所以在(0，＋∞)上，当0＜x ＜1时，g (x )＞g (1)＝0⇔f xx＞0⇔f (x )＞0；在(－∞，0)上，当x ＜－1时，g (x )＜g (－1)＝0⇔f xx＜0⇔f (x )＞0.综上，得使f (x )＞0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)，选A.(2)构造长方体，使三组对棱恰好是长方体的三组平行面中异面的对角线，在此背景下，长方体的长、宽、高分别为x 、y 、z . 对于①，需要满足x ＝y ＝z ，才能成立；因为各个面都是全等的三角形(由对棱相等易证)，则四面体的同一顶点处对应三个角之和一定恒等于180°，故②成立，③显然不成立；对于④，由长方体相对面的中心连线相互垂直平分判断④成立；从每个顶点出发的三条棱的长恰好分别等于各个面的三角形的三边长，⑤显然成立．故正确命题有②④⑤. 方法六 估算法由于选择题提供了唯一正确的选项，解答又无需过程，因此，有些题目不必进行准确的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法．估算法往往可以减少运算量，但是加强了思维的层次．例6 (1)图中阴影部分的面积S 是h 的函数(0≤h ≤H )，则该函数的大致图象是( )(2)已知三棱锥S —ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积是( ) A.36 B.26 C.23D.22解析 (1)由题图知，随着h 的增大，阴影部分的面积S 逐渐减小，且减小得越来越慢，结合选项可知选B.(2)容易得到△ABC 的面积为34，而三棱锥的高一定小于球的直径2，所以V <13×34×2＝36，立即排除B 、C 、D ，答案选A. 答案 (1)B (2)A思维升华 估算法一般包括范围估算，极端值估算和推理估算．当题目从正面解析比较麻烦，特值法又无法确定正确的选项时(如难度稍大的函数的最值或取值范围、函数图象的变化等问题)常用此种方法确定选项．跟踪演练6 (1)已知x 1是方程x ＋lg x ＝3的根，x 2是方程x ＋10x＝3的根，则x 1＋x 2等于( ) A ．6 B ．3 C ．2D ．1(2)(2015·湖北)在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≤12”的概率，p 2为事件“xy ≤12”的概率，则( )A ．p 1<p 2<12B ．p 2<12<p 1C.12<p 2<p 1 D ．p 1<12<p 2答案 (1)B (2)D解析 (1)因为x 1是方程x ＋lg x ＝3的根，所以2<x 1<3，x 2是方程x ＋10x＝3的根，所以0<x 2<1，所以2<x 1＋x 2<4.故B 正确．(2)在直角坐标系中，依次作出不等式⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ≤1，0≤y ≤1，x ＋y ≤12，xy ≤12的可行域如图所示：依题意，p 1＝S △ABOS 四边形OCDE ，p 2＝S 曲边多边形OEGFC S 四边形OCDE， 而12＝S △OEC S 四边形OCDE， 所以p 1<12<p 2.故选D.。

技巧——巧解客观题的10大妙招(一)选择题的解法选择题是高考试题的三大题型之一，全国卷12个小题.该题型的基本特点：绝大部分选择题属于低中档题目，且一般按由易到难的顺序排列，注重多个知识点的小型综合，渗透各种数学思想和方法，能充分考查灵活应用基础知识解决数学问题的能力.解数学选择题的常用方法，主要分直接法和间接法两大类.直接法是解答选择题最基本、最常用的方法，但高考的题量较大，如果所有选择题都用直接法解答，不但时间不允许，甚至有些题目根本无法解答，因此，我们还要研究解答选择题的一些技巧，总的来说，选择题属小题，解题的原则是：小题巧解，小题不能大做.方法一 直接法直接从题设的条件出发，利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则，通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”作出相应的选择，从而确定正确选项的方法.涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法.【例1】 数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝13，且对任意正整数m ，n ，都有a m ＋n ＝a m ·a n ，若S n ＜a 恒成立，则实数a 的最小值为( )A.12B.23C.32D.2解析 对任意正整数m 、n ，都有a m ＋n ＝a m ·a n ，取m ＝1，则有a n ＋1＝a n ·a 1⇒a n ＋1a n＝a 1＝13.故数列{a n }是以13为首项，以13为公比的等比数列，则S n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n 1－13＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ＜12， 由于S n ＜a 对任意n ∈N *恒成立，故a ≥12，即实数a 的最小值为12.答案 A探究提高 直接法适用的范围很广，只要运算正确必能得出正确的答案.平时练习中应不断提高用直接法解选择题的能力，准确把握题目的特点.用简便的方法巧解选择题是建立在扎实掌握“三基”的基础上的，否则一味求快则会快中出错.【训练1】 (2015·湖南卷)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2，0)，则|P A →＋PB→＋PC →|的最大值为( ) A.6 B.7 C.8 D.9解析 由A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上，且AB ⊥BC ，∴AC 为圆直径，故P A →＋PC→＝2PO→＝(－4，0)，设B (x ，y )，则x 2＋y 2＝1且x ∈[－1，1]，PB →＝(x －2，y )，所以P A →＋PB →＋PC →＝(x －6，y ).故|P A →＋PB→＋PC →|＝－12x ＋37，∴x ＝－1时有最大值49＝7，故选B.答案 B方法二 特例法从题干(或选项)出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置进行判断.特殊化法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可使用，特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊数列等.适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题.【例2】 (1)如图，在棱柱的侧棱A 1A 和B 1B 上各有一动点P ，Q 满足A 1P ＝BQ ，过P ，Q ，C三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为( )A.3∶1B.2∶1C.4∶1D.3∶1(2)已知定义在实数集R 上的函数y ＝f (x )恒不为零，同时满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )，且当x ＞0时，f (x )＞1，那么当x ＜0时，一定有( )A.f (x )＜－1B.－1＜f (x )＜0C.f (x )＞1D.0＜f (x )＜1解析 (1)将P 、Q 置于特殊位置：P →A 1，Q →B ，此时仍满足条件A 1P ＝BQ (＝0)，则有V C －AA 1B ＝V A 1－ABC ＝V ABC －A 1B 1C 13. (2)取特殊函数.设f (x )＝2x ，显然满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )(即2x ＋y ＝2x ·2y )，且满足x ＞0时，f (x )＞1，根据指数函数的性质，当x ＜0时，0＜2x ＜1，即0＜f (x )＜1.答案 (1)B (2)D探究提高 特例法解选择题时，要注意以下两点：第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理；第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解.【训练2】 等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为( )A.130B.170C.210D.260解析 取m ＝1，依题意a 1＝30，a 1＋a 2＝100，则a 2＝70，又{a n }是等差数列，进而a 3＝110，故S 3＝210.答案 C方法三 排除法数学选择题的解题本质就是去伪存真，舍弃不符合题目要求的选项，找到符合题意的正确结论.筛选法(又叫排除法)就是通过观察分析或推理运算各项提供的信息或通过特例，对于错误的选项，逐一剔除，从而获得正确的结论.【例3】 函数f (x )＝(1－cos x )sin x 在[－π，π]上的图象大致为( )解析 由函数f (x )为奇函数，排除B ；当0≤x ≤π时，f (x )≥0，排除A ；又f ′(x )＝－2cos 2 x ＋cos x ＋1，f ′(x )＝0，则cos x ＝1或cos x ＝－12，结合x ∈[－π，π]，求得f (x )在(0，π]上的极大值点为2π3，靠近π，排除D.答案 C探究提高 (1)对于干扰项易于淘汰的选择题，可采用筛选法，能剔除几个就先剔除几个.(2)允许使用题干中的部分条件淘汰选项.(3)如果选项中存在等效命题，那么根据规定——答案唯一，等效命题应该同时排除.(4)如果选项中存在两个相反的或互不相容的判断，那么其中至少有一个是假的.(5)如果选项之间存在包含关系，要根据题意才能判断.【训练3】 (1)方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负根的充要条件是( )A.0＜a ≤1B.a ＜1C.a ≤1D.0＜a ≤1或a ＜0(2)已知f (x )＝14x 2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ，则f ′(x )的图象是( )解析 (1)当a ＝0时，x ＝－12，故排除A 、D.当a ＝1时，x ＝－1，排除B.(2)f (x )＝14x 2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ＝14x 2＋cos x ，故f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 2＋cos x ′＝12x －sin x ，记g (x )＝f ′(x )，其定义域为R ，且g (－x )＝12(－x )－sin(－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －sin x ＝－g (x )，所以g (x )为奇函数，所以排除B ，D 两项，g ′(x )＝12－cos x ，显然当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3时，g ′(x )＜0，g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3上单调递减，故排除C.选A. 答案 (1)C (2)A方法四 数形结合法根据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形，借助几何图形的直观性作出正确的判断，这种方法叫数形结合法.有的选择题可通过命题条件的函数关系或几何意义，作出函数的图象或几何图形，借助于图象或图形的作法、形状、位置、性质，得出结论，图形化策略是以数形结合的数学思想为指导的一种解题策略.【例4】 函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内的零点的个数为( )A.0B.1C. 2D.3解析 由题意可知f (x )的定义域为(0，＋∞).在同一直角坐标系中画出函数y 1＝|x －2|(x ＞0)，y 2＝ln x (x ＞0)的图象，如图所示：由图可知函数f (x )在定义域内的零点个数为2.答案 C探究提高 图形化策略是依靠图形的直观性进行研究的，用这种策略解题比直接计算求解更能简捷地得到结果.运用图解法解题一定要对有关函数图象、方程曲线、几何图形较熟悉，否则，错误的图象反而会导致错误的选择.【训练4】 过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( ) A.33B.－33C.±33D.－ 3解析 由y ＝1－x 2，得x 2＋y 2＝1(y ≥0)，其所表示的图形是以原点O 为圆心，1为半径的上半圆(如图所示).由题意及图形，知直线l 的斜率必为负值，故排除A ，C 选项.当其斜率为－3时，直线l 的方程为3x ＋y －6＝0，点O 到其距离为|－6|3＋1＝62＞1，不符合题意，故排除D 选项.选B.答案 B方法五 估算法由于选择题提供了唯一正确的选择支，解答又无需过程.因此，有些题目不必进行准确的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法.估算法往往可以减少运算量，但是加强了思维的层次.【例5】 已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5⎝⎛⎭⎪⎫π2＜θ＜π，则tan θ2等于( ) A.m －39－m B.m －3|9－m | C.－15 D.5 解析 由于受条件sin 2θ＋cos 2θ＝1的制约，m 一定为确定的值进而推知tan θ2也是一确定的值，又π2＜θ＜π，所以π4＜θ2＜π2，故tan θ2＞1.所以D 正确.答案 D探究提高 估算法的应用技巧：估算法是根据变量变化的趋势或极值的取值情况进行求解的方法.当题目从正面解析比较麻烦，特值法又无法确定正确的选项时(如难度稍大的函数的最值或取值范围、函数图象的变化等问题)常用此种方法确定选项.【训练5】已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于()A.1B. 2C.2－12 D.2＋12解析由俯视图知正方体的底面水平放置，其正视图为矩形，以正方体的高为一边长，另一边长最小为1，最大为2，面积范围应为[1，2]，不可能等于2－1 2.答案 C1.解选择题的基本方法有直接法、排除法、特例法、估算法、验证法和数形结合法.但大部分选择题的解法是直接法，在解选择题时要根据题干和选择支两方面的特点灵活运用上述一种或几种方法“巧解”，在“小题小做”、“小题巧做”上做文章，切忌盲目地采用直接法.2.由于选择题供选答案多、信息量大、正误混杂、迷惑性强，稍不留心就会误入“陷阱”，应该从正反两个方向筛选、验证，既谨慎选择，又大胆跳跃.3.作为平时训练，解完一道题后，还应考虑一下能不能用其他方法进行“巧算”，并注意及时总结，这样才能有效地提高解选择题的能力.(二)填空题的解法填空题是高考试题的第二题型.从历年的高考成绩以及平时的模拟考试可以看出，填空题得分率一直不是很高.因为填空题的结果必须是数值准确、形式规范、表达式最简，稍有毛病，便是零分.因此，解填空题要求在“快速、准确”上下功夫，由于填空题不需要写出具体的推理、计算过程，因此要想“快速”解答填空题，则千万不可“小题大做”，而要达到“准确”，则必须合理灵活地运用恰当的方法，在“巧”字上下功夫.填空题的基本特点是：(1)具有考查目标集中、跨度大、知识覆盖面广、形式灵活、答案简短、明确、具体，不需要写出求解过程而只需要写出结论等特点；(2)填空题与选择题有质的区别：①填空题没有备选项，因此，解答时不受诱误干扰，但同时也缺乏提示；②填空题的结构往往是在正确的命题或断言中，抽出其中的一些内容留下空位，让考生独立填上，考查方法比较灵活；(3)从填写内容看，主要有两类：一类是定量填写型，要求考生填写数值、数集或数量关系.由于填空题缺少选项的信息，所以高考题中多数是以定量型问题出现；另一类是定性填写型，要求填写的是具有某种性质的对象或填写给定的数学对象的某种性质，如命题真假的判断等.方法一 直接法对于计算型的试题，多通过直接计算求得结果，这是解决填空题的基本方法.它是直接从题设出发，利用有关性质或结论，通过巧妙地变形，直接得到结果的方法.要善于透过现象抓本质，有意识地采取灵活、简捷的解法解决问题.【例1】 设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为________.解析 设P 点在双曲线右支上，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，故|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，则|PF 2|＜|F 1F 2|，得∠PF 1F 2＝30°，由2a sin 30°＝4a sin ∠PF 2F 1， 得sin ∠PF 2F 1＝1，∴∠PF 2F 1＝90°，在Rt △PF 2F 1中，2c ＝（4a ）2－（2a ）2＝23a ，∴e ＝c a ＝ 3.答案 3 探究提高 直接法是解决计算型填空题最常用的方法，在计算过程中，我们要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填空题的关键.【训练1】 (1)设θ为第二象限角，若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12，则sin θ＋cos θ＝________. (2)(2015·全国Ⅱ卷)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论中不正确的是( )A.逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关解析 (1)∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12，∴tan θ＝－13， 即⎩⎪⎨⎪⎧3sin θ＝－cos θ，sin 2θ＋cos 2θ＝1，又θ为第二象限角， 解得sin θ＝1010，cos θ＝－31010.∴sin θ＋cos θ＝－105.(2)从2006年起，将每年的二氧化硫排放量与前一年作差比较，得到2008年二氧化硫排放量与2007年排放量的差最大，A 选项正确；2007年二氧化硫排放量较2006年降低了很多，B 选项正确；虽然2011年二氧化硫排放量较2010年多一些，但自2006年以来，整体呈递减趋势，即C 选项正确；自2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，D 选项错误.故选D.答案 (1)－105 (2)D方法二 特殊值法当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以从题中变化的不定量中选取符合条件的恰当特殊值(特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)进行处理，从而得出探求的结论.【例2】 (1)若f (x )＝12 015x －1＋a 是奇函数，则a ＝________.(2)如图所示，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP ＝3，则AP →·AC →＝________.解析 (1)因为函数f (x )是奇函数，且1，－1是其定域内的值，所以f (－1)＝－f (1)，而f (1)＝12 014＋a ，f (－1)＝12 015－1－1＋a ＝a －2 0152 014.故a －2 0152 014＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12 014，解得a ＝12.(2)把平行四边形ABCD 看成正方形，则点P 为对角线的交点，AC ＝6，则AP →·AC→＝18.答案 (1)12 (2)18探究提高 求值或比较大小等问题的求解均可利用特殊值代入法，但要注意此种方法仅限于求解结论只有一种的填空题，对于开放性的问题或者有多种答案的填空题，则不能使用该种方法求解.【训练2】 如图，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，过点M的直线与直线AB 、AC 分别交于不同的两点P 、Q ，若AP→＝λAB →，AQ →＝μAC →，则1λ＋1μ＝________. 解析 由题意可知，1λ＋1μ的值与点P 、Q 的位置无关，而当直线PQ 与直线BC重合时，则有λ＝μ＝1，所以1λ＋1μ＝2.答案 2方法三 图象分析法对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，通过数形结合，往往能迅速作出判断，简捷地解决问题，得出正确的结果.韦恩图、三角函数线、函数的图象及方程的曲线等，都是常用的图形.【例3】 (1)已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3)时，f (x )＝|x 2－2x ＋12|.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________.(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |（0＜x ≤10），－12x ＋6（x ＞10），若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是________.解析 (1)函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有互不相同的10个零点，即函数y ＝f (x )，x ∈[－3，4]与y ＝a 的图象有10个不同交点.在坐标系中作出函数y ＝f (x )在[－3，4]上的图象，f (－3)＝f (－2)＝f (－1)＝f (0)＝f (1)＝f (2)＝f (3)＝f (4)＝12，观察图象可得0＜a ＜12.(2)a ，b ，c 互不相等，不妨设a ＜b ＜c ， ∵f (a )＝f (b )＝f (c )，如图所示，由图象可知，0＜a ＜1， 1＜b ＜10，10＜c ＜12. ∵f (a )＝f (b )， ∴|lg a |＝|lg b |. 即lg a ＝lg 1b ，a ＝1b .则ab ＝1.所以abc ＝c ∈(10，12). 答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 (2)(10，12)探究提高 图解法实质上就是数形结合的思想方法在解决填空题中的应用，利用图形的直观性并结合所学知识便可直接得到相应的结论，这也是高考命题的热点.准确运用此类方法的关键是正确把握各种式子与几何图形中的变量之间的对应关系，利用几何图形中的相关结论求出结果.【训练3】 设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤0，2，x ＞0.若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则函数y ＝g (x )＝f (x )－x 的零点个数为________.解析 由f (－4)＝f (0)，得16－4b ＋c ＝c . 由f (－2)＝－2，得4－2b ＋c ＝－2. 联立两方程解得b ＝4，c ＝2.于是，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2，x ≤0，2，x ＞0.在同一直角坐标系中，作出函数y ＝f (x )与函数y ＝x 的图象，知它们有3个交点，即函数g (x )有3个零点. 答案 3 方法四 构造法构造型填空题的求解，需要利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，从而简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题得到简捷的解决，它来源于对基础知识和基本方法的积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感，构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型，使问题快速解决.【例4】 如图，已知球O 的球面上有四点A ，B ，C ，D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝2，则球O 的体积等于________.解析如图，以DA，AB，BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O的直径，所以|CD|＝（2）2＋（2）2＋（2）2＝2R，所以R＝62，故球O的体积V＝4πR33＝6π.答案6π探究提高构造法实质上是化归与转化思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向，通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型，从而转化为自己熟悉的问题.本题巧妙地构造出正方体，而球的直径恰好为正方体的体对角线，问题很容易得到解决.【训练4】已知a＝ln12 013－12 013，b＝ln12 014－12 014，c＝ln12 015－12 015，则a，b，c的大小关系为________.解析令f(x)＝ln x－x，则f′(x)＝1x－1＝1－xx.当0＜x＜1时，f′(x)＞0，即函数f(x)在(0，1)上是增函数.∵1＞12 013＞12 014＞12 015＞0，∴a＞b＞c.答案a＞b＞c方法五综合分析法对于开放性的填空题，应根据题设条件的特征综合运用所学知识进行观察、分析，从而得出正确的结论.【例5】已知f(x)为定义在R上的偶函数，当x≥0时，有f(x＋1)＝－f(x)，且当x∈[0，1)时，f(x)＝log2(x＋1)，给出下列命题：①f(2 013)＋f(－2 014)的值为0；②函数f(x)在定义域上为周期是2的周期函数；③直线y＝x与函数f(x)的图象有1个交点；④函数f(x)的值域为(－1，1).其中正确的命题序号有________.解析根据题意，可在同一坐标系中画出直线y＝x和函数f(x)的图象如下：根据图象可知①f(2 013)＋f(－2 014)＝0正确，②函数f(x)在定义域上不是周期函数，所以②不正确，③根据图象确实只有一个交点，所以正确，④根据图象，函数f(x)的值域是(－1，1)，正确.答案①③④探究提高对于规律总结类与综合型的填空题，应从题设条件出发，通过逐步计算、分析总结探究其规律，对于多选型的问题更要注重分析推导的过程，以防多选或漏选.做好此类题目要深刻理解题意，捕捉题目中的隐含信息，通过联想、归纳、概括、抽象等多种手段获得结论.【训练5】给出以下命题：①双曲线y22－x2＝1的渐近线方程为y＝±2x；②命题p：“∀x∈R＋，sin x＋1sin x≥2”是真命题；③已知线性回归方程为y^＝3＋2x，当变量x增加2个单位，其预报值平均增加4个单位；④已知22－4＋66－4＝2，55－4＋33－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2－2－4＝2，依照以上各式的规律，得到一般性的等式为nn－4＋8－n（8－n）－4＝2(n≠4).则正确命题的序号为________(写出所有正确命题的序号).解析①由y22－x2＝0可以解得双曲线的渐近线方程为y＝±2x，正确.②命题不能保证sin x，1sin x为正，故错误；③根据线性回归方程的含义正确；④根据验证可知得到一般性的等式是正确的.答案①③④1.解填空题的一般方法是直接法，除此以外，对于带有一般性命题的填空题可采用特例法，和图形、曲线等有关的命题可考虑数形结合法.解题时，常常需要几种方法综合使用，才能迅速得到正确的结果.2.解填空题不要求求解过程，从而结论是判断是否正确的唯一标准，因此解填空题时要注意如下几个方面：(1)要认真审题，明确要求，思维严谨、周密，计算有据、准确；(2)要尽量利用已知的定理、性质及已有的结论；(3)要重视对所求结果的检验.规范——解答题的7个解题模板及得分说明1.阅卷速度以秒计，规范答题少丢分高考阅卷评分标准非常细，按步骤、得分点给分，评阅分步骤、采“点”给分.关键步骤，有则给分，无则没分.所以考场答题应尽量按得分点、步骤规范书写.2.不求巧妙用通法，通性通法要强化高考评分细则只对主要解题方法，也是最基本的方法，给出详细得分标准，所以用常规方法往往与参考答案一致，比较容易抓住得分点.3.干净整洁保得分，简明扼要是关键若书写整洁，表达清楚，一定会得到合理或偏高的分数，若不规范可能就会吃亏.若写错需改正，只需划去，不要乱涂乱划，否则易丢分.4.狠抓基础保成绩，分步解决克难题(1)基础题争取得满分.涉及的定理、公式要准确，数学语言要规范，仔细计算，争取前3个解答题及选考不丢分.(2)压轴题争取多得分.第(Ⅰ)问一般难度不大，要保证得分，第(Ⅱ)问若不会，也要根据条件或第(Ⅰ)问的结论推出一些结论，可能就是得分点.模板1三角变换与三角函数图象性质类考题x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值与最小值.解 (1)f (x )＝cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3cos 2x ＋34＝cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x －3cos 2x ＋34＝12sin x cos x －32cos 2x ＋34＝14sin 2x －34(1＋cos2x )＋34＝14sin 2x －34cos 2x ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上是增函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝14，所以函数f (x )在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值为14，最小值为－12.模板2 三角变换与解三角形类考题【训练2】 (2016·东北四校联考)已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且a ＋b ＝3c ，2sin 2C ＝3sin A sin B . (1)求角C ；(2)若S △ABC ＝3，求边c .解 (1)∵2sin 2C ＝3sin A sin B ，∴sin 2C ＝32sin A sin B ， 由正弦定理得c 2＝32ab ，∵a ＋b ＝3c ，∴a 2＋b 2＋2ab ＝3c 2， 由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝2c 2－2ab 2ab ＝3ab －2ab 2ab ＝12. ∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.(2)∵S △ABC ＝3，∴S △ABC ＝12ab sin C ，∵C ＝π3，∴ab ＝4，又c 2＝32ab ，∴c ＝ 6.模板3 数列的通项、求和类考题【训练3】 (2016·石家庄一模)已知等差数列{a n }中，2a 2＋a 3＋a 5＝20，且前10项和S 10＝100.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n ·2a n }的前n 项和.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋a 3＋a 5＝4a 1＋8d ＝20，10a 1＋10×92d ＝10a 1＋45d ＝100， 解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.(2)由(1)可知a n ·2a n ＝(2n －1)·22n －1，所以S n ＝1×21＋3×23＋5×25＋…＋(2n －3)×22n －3＋(2n －1)×22n －1，① 4S n ＝1×23＋3×25＋5×27＋…＋(2n －3)×22n －1＋(2n －1)×22n ＋1，② ①－②得：－3S n ＝2＋2×(23＋25＋…＋22n －1)－(2n －1)×22n ＋1. ∴S n ＝2＋2×（23＋25＋…＋22n －1）－（2n －1）×22n ＋1－3＝2＋2×8（1－4n －1）1－4－（2n －1）×22n ＋1－3＝－6＋2×8（1－4n －1）＋（6n －3）×22n ＋19＝109＋（6n －5）·22n ＋19.模板4 概率与统计类考题注：年份代码1－7分别对应年份2008－(Ⅰ)由折线图看出，可用线性回归模型拟合(Ⅱ)建立y关于t的回归方程(系数精确到满分解答得分说明解题模板①根据公式求：第一步确【训练4】 (2015·全国Ⅱ卷)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频数分布表.A 地区用户满意度评分的频率分布直方图B 地区用户满意度评分的频数分布表 地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；B地区用户满意度评分的频率分布直方图(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：解(1)如图所示.通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值；B地区用户满意度评分比较集中，而A地区用户满意度评分比较分散.(2)A地区用户的满意度等级为不满意的概率大.记C A表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”；C B表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”.由直方图得P(C A)的估计值为(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6，P(C B)的估计值为(0.005＋0.02)×10＝0.25.所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大.模板5立体几何类考题解题模板∥BC ，TN ＝12BC 证第一步 找线【训练5】(2015·北京卷)如图，在三棱锥V－ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC，且AC＝BC＝2，O，M分别为AB，VA的中点.(1)求证：VB∥平面MOC；(2)求证：平面MOC⊥平面VAB；(3)求三棱锥V－ABC的体积.(1)证明因为O，M分别为AB，VA的中点，所以OM∥VB，又因为VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC，所以VB∥平面MOC.(2)证明因为AC＝BC，O为AB的中点，所以OC⊥AB.又因为平面VAB⊥平面ABC，且OC⊂平面ABC，平面VAB∩平面ABC＝AB，所以OC⊥平面VAB.又OC⊂平面MOC，所以平面MOC⊥平面VAB.(3)解在等腰直角三角形ACB中，AC＝BC＝2，所以AB＝2，OC＝1，所以等边三角形VAB的面积S△VAB＝ 3.又因为OC⊥平面VAB.所以三棱锥C－VAB的体积等于13·OC·S△VAB＝33，又因为三棱锥V－ABC的体积与三棱锥C－VAB的体积相等，所以三棱锥V－ABC的体积为3 3.模板6解析几何中的探索性考题【训练6】 如图，O 为坐标原点，双曲线C1：x a 21－y b 21＝1(a 1＞0，b 1＞0)和椭圆C 2：y 2a 22＋x 2b 22＝1(a 2＞b 2＞0)均过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，1，且以C 1的两个顶点和C 2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.(1)求C 1，C 2的方程；(2)是否存在直线l ，使得l 与C 1交于A ，B 两点，与C 2只有一个公共点，且|OA →＋OB→|＝|AB →|？证明你的结论. 解 (1)设C 2的焦距为2c 2，由题意知，2c 2＝2，2a 1＝2，从而a 1＝1，c 2＝1.因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，1在双曲线x 2－y 2b 21＝1上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫2332－1b 21＝1.故b 21＝3.由椭圆的定义知 2a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＋（1－1）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＋（1＋1）2 ＝2 3.于是a 2＝3，b 22＝a 22－c 22＝2，故C 1，C 2的方程分别为x 2－y 23＝1，y 23＋x 22＝1.(2)不存在符合题设条件的直线.①若直线l 垂直于x 轴，因为l 与C 2只有一个公共点，所以直线l 的方程为x ＝2或x ＝－ 2.当x ＝2时，易知A (2，3)，B (2，－3)，所以 |OA→＋OB →|＝22，|AB →|＝2 3.此时，|OA →＋OB →|≠|AB →|.当x ＝－2时，同理可知，|OA→＋OB →|≠|AB →|.②若直线l 不垂直于x 轴，设l 的方程为y ＝kx ＋m . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2－y 23＝1，得(3－k 2)x 2－2kmx －m 2－3＝0. 当l 与C 1相交于A ，B 两点时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，从而x 1＋x 2＝2km 3－k 2，x 1x 2＝m 2＋3k 2－3.于是y 1y 2＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝3k 2－3m2k 2－3.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，y 23＋x 22＝1，得(2k 2＋3)x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0.因为直线l 与C 2只有一个公共点，所以上述方程的判别式 Δ＝16k 2m 2－8(2k 2＋3)(m 2－3)＝0. 化简，得2k 2＝m 2－3，因此OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝m 2＋3k 2－3＋3k 2－3m 2k 2－3＝－k 2－3k 2－3≠0， 于是OA →2＋OB →2＋2OA →·OB →≠OA →2＋OB →2－2OA →·OB →， 即|OA→＋OB →|2≠|OA →－OB →|2，故|OA →＋OB →|≠|AB →|. 综合①，②可知，不存在符合题设条件的直线.模板7 导数与函数类考题【训练7】(2016·成都二诊)设函数f(x)＝ln x＋mx，m∈R.(1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；(2)讨论函数g(x)＝f′(x)－x3零点的个数；(3)若对任意b＞a＞0，f（b）－f（a）b－a＜1恒成立，求m的取值范围.解(1)由题设，当m＝e时，f(x)＝ln x＋ex，则f′(x)＝x－ex2，∴当x∈(0，e)，f′(x)＜0，f(x)在(0，e)上单调递减，当x∈(e，＋∞)，f′(x)＞0，f(x)在(e，＋∞)上单调递增，∴x＝e时，f(x)取得极小值f(e)＝ln e＋ee＝2，∴f(x)的极小值为2.(2)由题设g(x)＝f′(x)－x3＝1x－mx2－x3(x＞0)，令g(x)＝0，得m＝－13x3＋x(x＞0).设φ(x)＝－13x3＋x(x≥0)，则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)，当x ∈(0，1)时，φ′(x )＞0，φ(x )在(0，1)上单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )＜0，φ(x )在(1，＋∞)上单调递减.∴x ＝1是φ(x )的唯一极值点，且是极大值点，因此x ＝1也是φ(x )的最大值点. ∴φ(x )的最大值为φ(1)＝23.又φ(0)＝0，结合y ＝φ(x )的图象(如图)，可知①当m ＞23时，函数g (x )无零点；②当m ＝23时，函数g (x )有且只有一个零点；③当0＜m ＜23时，函数g (x )有两个零点；④当m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点.综上所述，当m ＞23时，函数g (x )无零点；当m ＝23或m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点；当0＜m ＜23时，函数g (x )有两个零点.(3)对任意的b ＞a ＞0，f （b ）－f （a ）b －a ＜1恒成立，等价于f (b )－b ＜f (a )－a 恒成立.(*)设h (x )＝f (x )－x ＝ln x ＋m x －x (x ＞0)，∴(*)等价于h (x )在(0，＋∞)上单调递减.由h ′(x )＝1x －mx 2－1≤0在(0，＋∞)上恒成立，得m ≥－x 2＋x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14(x ＞0)恒成立，∴m ≥14(对m ＝14，h ′(x )＝0仅在x ＝12时成立)，∴m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞.回扣——回扣教材，查缺补漏，清除得分障碍1.集合与常用逻辑用语1.集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性.[回扣问题1]集合A＝{a，b，c}中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是()A.等腰三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形答案 A2.描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素.如：{x|y ＝lg x}——函数的定义域；{y|y＝lg x}——函数的值域；{(x，y)|y＝lg x}——函数图象上的点集.[回扣问题2]若集合A＝{x∈R|y＝lg(2－x)}，B＝{y∈R|y＝2x－1，x∈A}，则∁R(A∩B)＝()A.RB.(－∞，0]∪[2，＋∞)C.[2，＋∞)D.(－∞，0]答案 B3.遇到A∩B＝∅时，你是否注意到“极端”情况：A＝∅或B＝∅；同样在应用条件A∪B＝B⇔A∩B＝A⇔A⊆B时，不要忽略A＝∅的情况.[回扣问题3]集合A＝{x|ax－1＝0}，B＝{x|x2－3x＋2＝0}，且A∪B＝B，则实数a＝________.答案0，1，1 24.对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n，2n－1，2n－1，2n－2.[回扣问题4]集合A＝{1，2，3}的非空子集个数为()。

第三篇 选择题限时强化训练测试三1. 【河南豫北名校联盟2017届高三上学期精英对抗赛】函数()f x =的定义域为（ ） A ． (1,0)(0,1]- B ．(1,1]- C ．(4,1]-- D ． (4,0)(0,1]-【答案】A【解析】由1x =-得10x +=，0x =得lg10=，所以函数()f x 的定义域为(1,0)(0,1]-，故选A.【用到方法】特值法.2. 【山东潍坊2017届高三上学期期中联考】函数()()()4ln 1f x kx x x x =+->，若()0f x >的解集为() s t ，，且() s t ，中只有一个整数，则实数k 的取值范围为（ ） A ．1142 ln 2ln 33⎛⎫-- ⎪⎝⎭， B ．114( 2 ]ln 2ln33--， C.141( 1]ln332ln 2--，D ．141,1ln 332ln 2⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】B【用到方法】图像法.3. 【云南大理2017届高三上学期第一次统测】欧阳修在《卖油翁》中写到：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径2百米，中间有边长为1百米的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是（ ） A ．14π B ．12π C ．1π D ．2π【答案】C【解析】根据几何概型的求解方法可知，用正方形的面积除以圆的面积即为所求概率，所以ππ144===圆正方形S S P ，故选C. 【用到方法】直接法.4. 【山东枣庄2017届高三上学期期末】《 九章九术》是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早一千多年.例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，若12A A AB ==，当阳马11B A ACC -体积最大时，则堑堵111ABC A B C -的体积为（ ）A ．83B C.2 D ．【答案】C【用到方法】数形结合.5. 【云南大理2017届高三上学期第一次统测】已知双曲线2212x y -=与不过原点O 且不平行于坐标轴的直线l 相交于,M N 两点，线段MN 的中点为P ，设直线l 的斜率为1k ，直线OP 的斜率为2k ，则12k k =（ ） A ．12 B ．12- C ．2 D ．-2 【答案】A【用到方法】直接法.6. 【安徽“皖南八校”2017届高三第二次联考】如图，四棱锥P ABCD -中，PAB ∆为正三角形，四边形ABCD 为正方形且边长为2，PAB ABCD ⊥平面平面，四棱锥P ABCD -的五个顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是（ ）A ．27 B ．73π C.28π D ．283π【答案】D273R ==,所以球的表面积是22843R ππ=，选D. 【用到方法】数形结合法7. 【广东2017届高三上学期阶段性测评】执行如图所示的程序框图，若[][] 0 4x a b y ∈∈，，，，则b a -的最小值为（ ）A ．2B ．3 C.4 D ．5 【答案】A【解析】程序框图的功能为求分段函数21 04 0x x y x x x +<⎧=⎨-≥⎩，，的函数值，如图可知[]2 a b ∈，，当0 2a b ==，或 2 4a b ==，时符合题意，∴2b a -≥.选A.【用到方法】直接法，数形结合法8. 【广东汕头2017届高三上学期期末】某单位为了了解用电量y 度与气温C x ︒之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表由表中数据得回归直线方程y bx a =+中3b =-，预测当气温为2C ︒时，用电量的度数是（ ）A ．70B ．68 C. 64 D ．62 【答案】A【解析】由题意，得2016124134x +++==，14284462374y +++==，代入回归直线方程，得37313a =-⨯+，所以76a =，所以376y x =-+，当2x =时，327670y =-⨯+=，故选A ．【用到方法】直接法9. 【湖南郴州市2017届高三第二次教学质量监测】已知实数x ，y 满足不等式组21010x x y m x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，若目标函数2z x y =-+的最大值不超过4，则实数m 的取值范围是（ ）A．( B．⎡⎣C．⎡⎤⎣⎦D．⎡⎣【答案】D【解析】在直角坐标系内画出不等式组21010x x y m x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩所表示的可行域（如下图所示），因为目标函数2z x y =-+的斜率20k =>，因此其仅在点2211(,)22m m C -+处取处最大值，所以有221(1)42m m +--+≤，解得m ≤≤，故选D.【用到方法】数形结合法10. 【山东潍坊2017届高三上学期期中联考】如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为AB ，AD 上的点，且32 43AM AB AN AD ==，，连接AC ，MN 交于P 点，若AP AC λ=，则λ的值为（ ）A BCMA ．35B ．37 C.613D ．617【答案】D【解析】因为()++AP AC AB AD AB AD λλλλ===，又3243AM AB AN AD ==，，所以4332AP AM AN λλ=+，而,,P M N 三点共线，43132λλ+=，43132λλ+=，λ=617，故选D. 【用到方法】数形结合法.11. 【四川凉山州2017届高三上学期一诊】设向量(cos ,sin )a x x =-，(cos(),cos )2b x x π=--，且a tb =，0t ≠，则sin 2x 的值等于（ ）A ．1B ．1-C ．1±D ．0【答案】C【用到方法】直接法12. 【贵州遵义2017届高三上学期期中联考】已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率，则该双曲线的标准方程为（ ） A ．22184x y -= B ．221168x y -= C ．2211612x y -= D ．221128x y -= 【答案】A【用到方法】数形结合法.。

于极值点偏移问题，前文已多次提到其解题策略是将多元问题（无论含参数或不含参数）转化为一元问题，过程都需要构造新函数. 那么，关于新函数的选取，不同的转化方法就自然会选取不同的函数.★ 已知函数()e xf x ax =-有两个不同的零点1x ，2x ，其极值点为0x ． （1 ）求a 的取值范围；（2）求证：1202x x x +<；（3）求证：122x x +>；（4）求证：121x x <． 解：（1）()e x f x a '=-，若0a ≤，则()0f x '>，()f x 在R 上单调递增，()f x 至多有一个零点，舍去；则必有0a >，得()f x 在(),ln a -∞上递减，*在()ln ,a +∞上递增，要使()f x 有两个不同的零点，则须有()ln 0e f a a <⇒>．（严格来讲，还需补充两处变化趋势的说明：当x →-∞时，()f x →+∞；当x →+∞时，()f x →+∞）．（3）由所证结论可以看出，这已不再是()f x 的极值点偏移问题，谁的极值点会是1呢？回到题设条件：（ii ）构造函数()()()2G x g x g x =--，则()()()()()()()()2222222e 1e 12e e 12x x x x G x g x g x x x x x x x x --'''=+---=+-⎛⎫=-- ⎪ ⎪-⎝⎭*（4）（i ）同上；（ii ）构造函数()()1G x g x g x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则 ()()()()()1122222111e 1e 111e e 1x xx x G x g x g x x x x x x x x x x ⎛⎫'''=+ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪-⎝⎭=+⋅⎛⎫ ⎪⎝⎭-=-⋅ 当01x <<时，10x -<，但因式1e e x x x -的符号不容易看出，引进辅助函数()1e e x x x x ϕ=-，则()11e 1e x x x x ϕ⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭，当()0,1x ∈时，()0x ϕ'>，得()x ϕ在()0,1上递增，有()()10x ϕϕ<=，则()0G x '>，得()G x 在()0,1上递增，有()()10G x G <=，即()()101g x g x x ⎛⎫<<< ⎪⎝⎭； （iii ）将1x 代入（ii ）中不等式得()()1211g x g x g x ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，又21x >，111x >，()g x 在()1,+∞上递增，故211x x <，121x x <． 点评：虽然做出来了，但判定因式()222e e 2x xx x ---及1e e x x x -的正负时，均需要辅助函数的介入，费了一番功夫，虽然()g x 的极值点是1，理论上可以用来做（3）、（4）两问，但实践发现略显麻烦，我们还没有找到理想的函数．再次回到题设条件：()()0e e ln ln ln ln x f x ax a x a x x x a =⇔=>⇔=+⇔-=，记函数()ln h x x x =-，则有()()12ln h x h x a ==．接下来我们选取函数()h x 再解（3）、（4）两问．（3）（i ）()11h x x'=-，得()h x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，有极小值()11h =，又当0x +→时，()h x →+∞；当x →+∞时，()h x →+∞，由()()12h x h x =不妨设1201x x <<<．【点评】用函数()ln h x x x =-来做（3）、（4）两问，过程若行云流水般，格外顺畅．这说明在极值点偏移问题中，若函数选取得当，可简化过程，降低难度．注1：第（2）问也可借助第（4）问来证：将11ln ln x x a =+，22ln ln x x a =+相加得()12120ln 2ln 2ln 2x x x x a a x +=+<=．注2：在第（ii ）步中，我们为什么总是给定1x 的范围？这是因为1x 的范围()0,1较2x 的范围()1,+∞小，以第（3）问为例，若给定()1,x ∈+∞，因为所构造的函数为()()()2H x h x h x =--，这里0x >，且20x ->，得02x <<，则当2x ≥时，()H x 无意义，被迫分为两类：①若22x ≥，则1222x x x +>≥，结论成立；②当()1,2x ∈时，类似于原解答．而给字()0,1x ∈，则不会遇到上述问题．当然第（4）问中给定1x 或2x 的范围均可，请读者自己体会其中差别．【思考】练习1：（查看热门文章里极值点偏移（1））应该用哪个函数来做呢？ 提示：用函数ln x y x =来做212e x x >，用函数ln y x ax =-来做122x x a +>．*练习2 ：（安徽合肥2017高三第二次质量检测）已知()ln()f x x m mx =+-（1）求()f x 的单调区间；（2）设1m >, 1x ，2x 为函数()f x 的两个零点，求证120x x +<.提示：将()0f x =，两边取对数转化为指数方程处理.【招式演练】★已知函数1()ln ()f x a x a R x=--∈有两个零点1212,()x x x x <， 求证：112231a x x e -<+<-.只要证：1121232a x x x x e -++<-即证：1122a x x e -+<，即证：1212a x e x -<-，由()h x 的单调性知，只需证：1121()()(2e )a h x h x h x -=>-，*同理构造函数1()()(2),(0,1)a H x h x h e x x -=--∈，利用单调性证明，下略. ★已知()ln f x x x =的图像上有,A B 两点，其横坐标为1201x x <<<，且12()()f x f x =.（1）证明：1221x x e<+<； （2）证明：1221x x e<+<.又构造函数：1()()(1),(0)2g x f x f x x =--<<， 则1112()ln ln(1)2,()01(1)x g x x x g x x x x x -'''=+-+=-=>--， 故()g x '在1(0,)2上单调递增，由于0x →时，()g x '→-∞，且1()ln(1)0g e e '=->，故必存在01(0,)x e ∈，使得0()0g x '=，故()g x 在0(0,)x 上单调递减，在01(,)2x 上单调递增，又0x →时，()0g x →，且1()02g =，故()0g x <在1(0,)2x ∈上恒成立，也即()(1)f x f x <-在1(0,)2x ∈上恒成立，令1x x =，有121()()(1)f x f x f x =<-，*再由211,1(,1)x x e -∈，且()f x 在1(,1)e 上单调递增，故211x x <-，即证：121x x +<成立.综上：即证1221x x e<+<成立.从而()(1)h t h t >-对1(0,)2t ∈恒成立，同理得出：121t t +>.综上：即证121t t e <+<成立，也即原不等式121x x e<<. *★已知函数()()ln f x x mx m R =-∈．（1）若曲线()y f x =过点()1,1P -，求曲线()y f x =在点P 处的切线方程；（2）求函数()f x 在区间[]1,e 上的最大值；（3）若函数()f x 有两个不同的零点1x ， 2x ，求证： 212x x e ⋅>．【答案】（1）1y =-；（2）当1m e ≤时， ()max 1f x me =-，当11m e<<时， ()max ln 1f x m =--，当1m ≥时， ()max f x m =-；（3）证明见解析.试题解析：（1）因为点()1,1P -在曲线()y f x =上，所以1m -=-，解得1m =． 因为()1'10f x x=-=，所以切线的斜率为0， 所以切线方程为1y =-．（2）因为()11'mx f x m x x-=-=， ①当0m ≤时， ()1,x e ∈， ()'0f x >，所以函数()f x 在()1,e 上单调递增，则()()max 1f x f e me ==-；②当1e m ≥，即10m e<≤时， ()1,x e ∈， ()'0f x >， 所以函数()f x 在()1,e 上单调递增，则()()max 1f x f e me ==-；③当11e m <<，即11m e<<时，函数()f x 在11,m ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在1,e m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减， 则()max 1ln 1f x f m m ⎛⎫==--⎪⎝⎭；* ④当101m<≤，即1m ≥时， ()1,x e ∈， ()'0f x <， 函数()f x 在()1,e 上单调递减，则()()max 1f x f m ==-．综上，当1m e ≤时， ()max 1f x me =-； 当11m e<<时， ()max ln 1f x m =--； 当1m ≥时， ()max f x m =-．令121x x =，则1t >，于是()21ln 1t t t ->+， 令()()21ln 1t f t t t -=-+（1t >），则()()()()222114'011t f t t t t t -=-=>++，故函数()f t 在()1,+∞上是增函数，所以()()10f t f >=，即()21ln 1t t t ->+成立，所以原不等式成立． 所以()()10f t f >=，即()21ln 1t t t ->+成立，所以原不等式成立．*【方法点晴】本题主要考查导数与切线的问题，考查导数与极值、最值的问题，考查构造函数法证明不等式的方法.第一问涉及求函数的参数，只需代入点的坐标解方程即可，涉及切线问题利用导数和斜率的对应关系易得.第二问求函数在某个区间上的最大值，需要对m 进行分类讨论，分类的依据是导数的零点是否在定义域内.第三问要证明不等式，先将其转化为同一个参数t ，然后利用导数求其最小值来求.。

第三篇 选择题限时强化训练测试一1. 【广东省汕头市2017届高三上学期期末】圆0138222=+--+y x y x 的圆心到直线01=-+y ax 的距离为1，则=a （ ）A ．34-B ．43- C ．3 D ．2 【答案】A【解析】由题意，知圆心为(1,4)1=，解得43a =-，故选A ．【用到方法】直接法.2. 【山西大学附属中学2017级上学期11月模块诊断，7】已知,x y 满足2303301x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，2z x y =+的最大值为m ，若正数,a b 满足a b m +=，则14a b+的最小值为（ ）A. 9B. 32C.34D.52【答案】B 【解析】试题分析：如图画出不等式组所表示的平面区域（阴影部分）.设2z x y =+，显然z 的几何意义为直线20x y z +-=在y 轴上的截距.由图可知，当直线过点M 时，直线在y 轴上截距最大，即目标函数取得最大值.由230330x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得(3,0)M ；所以z 的最大值为2306⨯+=，即6m =.所以 6a b +=.故1411414()()(5)66b a a b a b a b a b+=++=++13(562≥+=.当且仅当4b a a b =，即2=4b a =时等号成立. 【用到方法】数形结合.3. 【广西柳州市2017届高三10月模拟】设a ，b ，c 均为正数，且122log a a =，121()log 2b b =，21()log 2c c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c a b << B ．c b a <<C ．a b c <<D ．b a c <<【答案】C【解析】画图可得01a b c <<<<，选C.【用到方法】图像法.4.已知函数32()f x x bx cx d =+++（b 、c 、d 为常数），当(0,1)x ∈时取极大值，当(1,2)x ∈时取极小值，则221()(3)2b c ++-的取值范围是 （ ）A.B. C. 37(,25)4 D. (5,25)【答案】D【用到方法】1.图像法.2.特值法.5. 【广东湛江市2017届高三上学期期中调研考试】已知12F F 、是双曲线()2222:10,0x y E a b a b -=>>的左、右焦点，点M 在E 上，1MF 与x轴垂直，211sin 4MF F ∠=，则双曲线E 的离心率为（ ） A B ．53 C.2 D ．3【答案】A【解析】由题意可知，21b MF a =，所以2212122221sin 242b MF b aMF F b MF a b a a∠====++，即2232b a =，2223()2c a a -=，2235c a =，所以2225,3c e e a === A.【用到方法】直接法.6. 【湖北省荆州市2017届高三上学期第一次质量检】设222ln sin ln cos ln sin cos ln ,ln ,ln ln ln ln x y z b b b αααα===，若,42αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0,1b ∈，则,,x y z 的大小关系为( )A ．x y z >>B ．y x z >> C. z x y >> D ．x z y >> 【答案】A【用到方法】构造函数法7．【湖南省五市十校教研教改共同体2017届高三12月联考，10】函数22ln 1x y x x=+在[]2,2-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】函数为偶函数，所以只需研究(0,2]上图像：因为2x =时ln 2104y +=>，所以去掉A,D;因为223ln 112ln ()x x y x x x--''=+=，所以当120x e -<<时0y '>，所以去掉C,选B. 【用到的方法】1.排除法；2.特值法.8.【广东省惠州市2016届高三第一次调研】下列命题中的假命题是（ ）．（A ）0lg ,=∈∃x R x （B ）0tan ,=∈∃x R x （C ）02,>∈∀x R x （D ）0,2>∈∀x R x【答案】D【解析】对选项D ，由于当0x =时，20x =，故选D ．【用到方法】1.特值法.9. 【广东郴州市2017届高三第二次教学质量监测试卷】已知,x y R ∈，i 是虚数单位.若x yi +与31ii++互为共轭复数，则x y +=（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】D【用到的方法】直接法.10. 【广东郴州市2017届高三第二次教学质量监测试卷】已知某三棱锥的三视图如图所示，正视图和俯视图都是等腰直角三角形，则该三棱锥中最长的棱长为（ ）A ．．．2 【答案】A【解析】如图，该三回旋曲图所表示的几何体为三棱锥A BCD -，显然最长棱为AB ，且AB = A.【用到的方法】数形结合法.11. 【河北唐山市2017届高三年级期末】已知O 为坐标原点，F 是双曲线()2222:10,0x y a b a b Γ-=>>的左焦点，,A B 分别为Γ的左、右顶点，P 为Γ上一点，且PF x ⊥轴， 过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ，直线 BM 与y 轴交于点N ，若2OE ON =，则 Γ的离心率为 （ ） A ．3 B ．2 C.32 D ．43【答案】A【解析】易证得MFAEOA ∆∆，则||||||||M F E O F A O A =，即||||||()||||EO FA EO c aMF OA a⋅⋅-==；同理MFBNOB ∆∆，||||||()||||NO FB NO c a MF OB a⋅⋅+==，所以||()EO c a a ⋅-||()NO c a a ⋅+=，又2OE ON =，所以2()c a a c -=+，整理，得3ca=，故选A ．【用到的方法】数形结合.12.【宁夏银川九中高三年级期中试卷数学】已知函数)(x f 是奇函数，当0>x 时，)10()(≠>=a a a x f x 且 , 且3)4(log 5.0-=f ，则a 的值为（ ）3 A. 3 B. 3 C. 9 D.2【答案】A【用到的方法】直接法.。

1方法三 解答题的解法数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型，通常是高考的把关题和压轴题，具有较好的区分层次和选拔功能．目前的高考解答题已经由单纯的知识综合型转化为知识、方法和能力的综合型解答题．在高考考场上，能否做好解答题，是高考成败的关键，因此，在高考备考中学会怎样解题，是一项重要的内容．从历年高考看这些题型的命制都呈现出显著的特点和解题规律，从阅卷中发现考生“会而得不全分”的大有人在，针对以上情况，本节就具体的题目类型，来谈一谈解答数学解答题的一般思维过程、解题程序和答题格式，即所谓的“答题模板”．“答题模板”就是首先把高考试题纳入某一类型，把数学解题的思维过程划分为一个个小题，按照一定的解题程序和答题格式分步解答，即化整为零．强调解题程序化，答题格式化，在最短的时间内拟定解决问题的最佳方案，实现答题效率的最优化． 【常见答题模板展示】 模板一 三角函数的图像与性质试题特点：通过升、降幂等恒等变形，将所给三角函数化为只含一种函数名的三角函数(一般化为sin()(0,0)y A x k A ωϕω=++≠≠，然后再研究三角函数的性质，如单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值等．求解策略：观察三角函数中函数名称、角与结构上的差异，确定三角化简的方向．例1【湖北省荆州市2017届高三上学期第一次质量检】已知函数()213sin cos cos 2f x x x x =--. (Ⅰ)求函数()f x 的对称中心； (Ⅱ)求()f x 在[]0,π上的单调区间. 【规律总结】答题模板第一步：三角函数式的化简，一般化成()sin y A x ωϕ=+的形式或()cos y A x ωϕ=+的形式． 如：()sin 216f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. 第二步：根据()f x 的表达式求其周期、最值．第三步：由sin ,cos x x 的单调性，将“x ωϕ+”看作一个整体，转化为解不等式问题． 第四步：明确规范表述结论．第五步：反思回顾．查看关键点、易错点及解题规范. 【举一反三】1. 【天津六校2017届高三上学期期中联考】已知函数3()2sin cos()32f x x x π=++.2（Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[0,]2π上的最大值及最小值.模板二 三角变换与解三角形试题特点：题中出现边与角的关系或者给定向量的关系式，利用正、余弦定理或利用向量的运算，将向量式转化为代数式，再进行有关的三角恒等变换解三角形．求解策略：（1）利用数量积公式、垂直与平行的主要条件转化向量关系为三角问题来解决．（2）利用正、余弦定理进行三角形边与角的互化．例2 【安徽省“皖南八校”2017届高三第二次联考】在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，ABC∆的面积为S ，若22233a b c S +-=. （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）若3c =32S =，求a b +的值. 【规律总结】答题模板第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标注出来，然后确定转化的方向． 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化． 第三步：求结果．第四步：回顾反思，在实施边角互化的时候应注意转化的方向，一般有两种思路：一是全部转化为边之间的关系；二是全部转化为角之间的关系，然后进行恒等变形.【举一反三】【云南大理州2017届第一次统测】在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且3cos ,24A C A ==． （1）求sinB 的值；（2）若4a =，求ABC ∆的面积S 的值． 模板三 离散型随机变量的分布列、期望与方差试题特点：主要考查古典概型、几何概型，等可能事件的概率计算公式，互斥事件的概率加法公式，对立事件的概率减法公式，相互独立事件的概率乘法公式，事件在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率计算公式等五个基本公式的应用及离散型随机变量的分布列和数学期望、方差等内容．求解策略：（1）搞清各类事件类型，并沟通所求事件与已知事件的联系．（2）涉及“至多”、“至少”问题时要考虑是否可通过计算对立事件的概率求解．（3）注意识别特殊的二项分布．（4）在概率与统计的综合问题中，能利用统计的知识提取相关信息用于解题．3例3.【贵州省遵义市2017届高三上学期第一次联考（期中）】2016年巴西奥运会的周边商品有80%左右为“中国制造”,所有的厂家都是经过层层筛选才能获此殊荣．甲、乙两厂生产同一产品，为了解甲、乙两厂的产品质量，以确定这一产品最终的供货商，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品共98件中分别抽取9件和5件，测量产品中的微量元素的含量（单位：毫克）．下表是从乙厂抽取的5件产品的测量数据： 编号 12345x169 178 166 175 180 y7580777081（1）求乙厂生产的产品数量：（2）当产品中的微量元素x y 、满足：175x ≥，且75y ≥时，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量：（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数的分布列及数学期望．【规律总结】答题模板第一步：确定离散型随机变量的所有可能值． 第二步：求出每个可能值的概率． 第三步：画出随机变量的分布列． 第四步：求期望和方差．第五步：反思回顾．查看关键点、易错点及解题规范．如本题可重点查看随机变量的所有可能值是否正确；根据分布列性质检查概率是否正确. 【举一反三】【河南省新乡市2017届高三上学期第一次调研】甲、乙两位数学老师组队参加某电视台闯关节目，共3关，甲作为嘉宾参与答题，若甲回答错误，乙作为亲友团在整个通关过程中至多只能为甲提供一次帮助机会，若乙回答正确，则甲继续闯关，若某一关通不过，则收获前面所有累积奖金．约定每关通过得到奖金2000元，设甲每关通过的概率为34，乙每关通过的概率为12，且各关是否通过及甲、乙回答正确与否均相互独立．（1）求甲、乙获得2000元奖金的概率；（2）设X 表示甲、乙两人获得的奖金数，求随机变量X 的分布列和数学期望()E X ． 模板四 立体几何中位置关系的证明及空间角的计算问题试题特点：立体几何解答题主要分两类：一类是空间线面关系的判定和推理证明，主要是证明平行和垂直；4另一类是空间几何量(空间角、空间距离、几何体体积与面积)的计算． 求解策略：（1）利用“线线⇔线面⇔面面”三者之间的相互转化证明有关位置关系问题：①由已知想未知，由求证想判定，即分析法与综合法相结合来找证题思路；②利用题设条件的性质适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一．（2）空间几何量的计算，常用方法是依据公理、定理以及性质等经过推理论证，作出所求几何量并求之．一般解题步骤是“作、证、求”．例4【广东省佛山市2017届高三教学质量检测（一）】如图，四棱锥P ABCD -中，PAD △为正三角形，AB CD ∥，2AB CD =，90BAD ∠=︒，PA CD ⊥，E 为棱PB 的中点.（1）求证：平面PAB ⊥平面CDE ；（2）若直线PC 与平面PAD 所成角为45︒，求二面角A DE C --的余弦值. 【规律总结】答题模板 第一步：根据条件合理转化．第二步：写出推证平行或垂直所需的条件，条件要充分． 第三步：写出所证明的结论．第四步：建立空间直角坐标系，写出特殊点坐标． 第五步：求(或找)两个半平面的法向量．第六步：求法向量12,n n 的夹角或12cos ,n n (若为锐二面角则求12cos ,n n )． 第七步：将法向量的夹角转化为二面角的夹角． 第八步：反思回顾，查看关键点、易错点及解题规范． 【举一反三】【河南省豫北名校联盟2017届高三上学期精英对抗赛】如图，在三棱柱111ABC A B C -中，G 为ABC ∆的重心，113BE BC =. （1）求证：GE ∥平面11ABB A ；（2）若侧面11ABB A ⊥底面ABC ，160A AB BAC ∠=∠=︒，12AA AB AC ===，求直线1A B 与平面PE DCA51B GE 所成角θ的正弦值.模板五 数列通项公式及求和问题试题特点：数列解答题一般设两到三问，前面两问一般为容易题，主要考查数列的基本运算，最后一问为中等题或较难题，一般考查数列的通项和前n 项和的求法、最值等问题．如果涉及递推数列，且与不等式证明相结合，那么试题难度大大加强．求解策略：（1）利用数列的有关概念求特殊数列的通项与前n 项和．（2）利用转化与化归思想(配凑、变形)将一般数列转化为等差、等比数列(主要解决递推数列问题)．（3）利用错位相减、裂项相消等方法解决数列求和．（4）利用函数与不等式处理范围和最值问题．例5【山西大学附属中学2017级上学期11月模块诊断】 已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足)()1(42*∈+=N n a n nS n n ．11=a（Ⅰ）求n a ； (Ⅱ)设n n a n b =，数列}{n b 的前n 项和为n T ，求证：47<n T ． 【规律总结】答题模板 第一步：令，由()n n S f a =求出1a .第二步：令2n ≥，构造1n n n a S S -=-，用n a 代换1n n S S -- (或用1n n S S --代换n a ，这要结合题目特点)，由递推关系求通项． 第三步：验证当时的结论是否适合当2n ≥时的结论．如果适合，则统一“合写”；如果不适合，则应分段表示． 第四步：写出明确规范的答案．第五步：反思回顾．查看关键点、易错点及解题规范．本题的易错点，易忽略对n ＝1和n ≥2分两类进行讨论，同时忽视结论中对二者的合并. 【举一反三】【贵州遵义市2017届高三第一次联考】在公差不为零的等差数列{}n a 中，已知23a =，且137a a a 、、成6（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，记292n nb S =，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 模板六 圆锥曲线中的探索性问题试题特点：主要考查圆锥曲线的基本概念、标准方程及几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系，涉及弦长、中点、轨迹、范围、定值、最值等问题与探索存在性问题．本模板就探索性问题加以总结求解策略：突破解答题，应重点研究直线与曲线的位置关系，要充分运用一元二次方程根的判别式和韦达定理，注意运用“设而不求”的思想方法，灵活运用“点差法”解题，要善于运用数形结合思想分析问题，使数与形相互转化，根据具体特征选择相应方法．例6【河南省豫北名校联盟2017届高三年级精英对抗赛】已知点P 是椭圆C 上任一点，点P 到直线1:2l x =-的距离为1d ，到点(1,0)F -的距离为2d ，且2122d d =.直线l 与椭圆C 交于不同两点A B 、（,A B 都在x 轴上方），且180OFA OFB ∠+∠=. （1）求椭圆C 的方程；（2）当A 为椭圆与y 轴正半轴的交点时，求直线l 方程； （3）对于动直线l ，是否存在一个定点，无论OFA ∠如何变化，直线l 总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由.【规律总结】答题模板 第一步：假设结论存在．第二步：以存在为条件，进行推理求解．第三步：明确规范表述结论．若能推出合理结果，经验证成立即可肯定正确；若推出矛盾，即否定假设． 第四步：反思回顾．查看关键点，易错点及解题规范．常常容易忽略0∆>这一隐含条件以及忽略直线AB 与x 轴垂直的情况.7【2017届湖南师大附中高三上学期月考三】如图，抛物线21:8C y x =与双曲线()22222:10,0x y C a b a b-=>>有公共焦点2F ，点A 是曲线12,C C 在第一象限的交点，且25AF =.（Ⅰ）求双曲线2C 的方程；（Ⅱ）以1F 为圆心的圆M 与双曲线的一条渐近线相切，圆()22:21N x y -+=.已知点()1,3P ，过点P 作互相垂直且分别与圆M 、圆N 相交的直线1l 和2l ，设被圆M 截得的弦长为s ，2l 被圆N 截得的弦长为t .试探索ts 是否为定值？请说明理由.模板七 函数的单调性、最值、极值问题试题特点：给定函数含有参数，常见的类型有32()f x ax bx cx d =+++，2()ln f x ax bx c d x =+++，2()()x f x ax bx c e =++⋅，根据对函数求导，按参数进行分类讨论，求出单调性、极值、最值.求解策略：（1）求解定义域；（2）求导（含二次函数形式的导函数）；（3）对二次函数的二次项系数、△判别式、根的大小进行讨论.例7【广东省佛山市2017届高三教学质量检测（一）】设函数()ln ax f x e x λ=+，其中0a <，10eλ<<，e是自然对数的底.（1）求证：函数()f x 有两个极值点；（2）若0e a -≤<，求证：函数()f x 有唯一零点. 【规律总结】答题模板 第一步：确定函数的定义域． 第二步：求函数()f x 的导数()'f x ． 第三步：求方程'()0f x =的根．第四步：利用'()0f x =的根和不可导点的x 的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列出表格．8第五步：由()'f x 在小开区间内的正、负值判断()f x 在小开区间内的单调性；求极值、最值． 第六步：明确规范地表述结论．第七步：反思回顾．查看关键点、易错点及解题规范．常常容易易忽视定义域，对a 不能正确分类讨论. 【举一反三】【湖北省荆州市2017届高三上学期第一次质量检】已知函数()()ln xe f x a x x x=+-，e 为自然对数的底数.(Ⅰ)当0a >时，试求()f x 的单调区间； (Ⅱ)若函数()f x 在1,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭上有三个不同的极值点，求实数a 的取值范围. 模板八 含参不等式的恒成立问题试题特点：主要包括等式恒成立问题和不等式恒成立问题．求解策略：(1)对于可化为二次函数型的等式与不等式恒成立问题，可借助图象列不等式(组)求解．(2)通过移项，等式或不等式左右两边的函数图象易画，可画图求解．(3)将等式或不等式转化为某含待求参数的函数的值域或最值问题求解．例8【中原名校豫南九校2017届第四次质量考评】已知函数()()21ln f x a x x =++. （1）当0a ≥时，解关于x 的不等式()2f x a >；（2）若对任意()4 2a ∈--，及[]1 3x ∈，时，恒有()2ma f x a ->成立，求实数m 的取值范围.【规律总结】答题模板第一步：将问题转化为形如不等式()f x a ≥ (或()f x a ≤)恒成立的问题． 第二步：求函数()f x 的最小值()min f x 或最大值()max f x . 第三步：解不等式()min f x a ≥ (或()max f x a ≤)．第四步：明确规范地表述结论．第五步：反思回顾．查看关键点、易错点及答题规范．如本题重点反思每一步转化的目标及合理性，最大或最小值是否正确.【举一反三】【云南大理州2017届第一次统测，21】（本题满分12分） 设函数()()()ln 1ln 1G x x x x x =+--． （1）求()G x 的最小值；9（2）记()G x 的最小值为e ，已知函数()()()112210x a f x a e a a x++=+-+>，若对于任意的()0,x ∈+∞，恒有()0f x ≥成立，求实数a 的取值范围.10。

专题一 选择、填空题常用的10种解法抓牢小题，保住基本分才能得高分________________________________________________________________________ 原那么与策略：1.基本原那么：小题不用大做．2.基本策略：充分利用题干和选项所提供的信息作出判断．先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，选择题可先排除后求解．解题时应仔细审题、深入分析、正确推演运算、谨防疏漏． 题型特点：1.高中低档题，且多数按由易到难的顺序排列.2.注重基本知识、基本技能与思想方法的考查.3.解题方法灵活多变不唯一.4.具有较好的区分度，试题层次性强.方法一 定义法所谓定义法，就是直接利用数学定义解题，数学中的定理、公式、性质和法那么等，都是由定义和公理推演出来的．简单地说，定义是对数学实体的高度抽象，用定义法解题是最直接的方法．一般地，涉及圆锥曲线的顶点、焦点、准线、离心率等问题，常用定义法解决．[例1] 如图，F 1，F 2是双曲线C 1：x 216－y 29＝1与椭圆C 2的公共焦点，点A 是C 1，C 2在第一象限的公共点．假设|F 1A |＝|F 1F 2|，那么C 2的离心率是( )A.56B.23C.25D.45解析：由双曲线C 1的方程可得|F 1F 2|＝216＋9＝10， 由双曲线的定义可得|F 1A |－|F 2A |＝216＝8， 由可得|F 1A |＝|F 1F 2|＝10， 所以|F 2A |＝|F 1A |－8＝2.设椭圆的长轴长为2a ，那么由椭圆的定义可得2a ＝|F 1A |＋|F 2A |＝10＋2＝12. 所以椭圆C 2的离心率e ＝2c 2a ＝1012＝56.应选A.答案：A[增分有招] 利用定义法求解动点的轨迹或圆锥曲线的有关问题，要注意动点或圆锥曲线上的点所满足的条件，灵活利用相关的定义求解．如[本例]中根据双曲线的定义和条件，分别把A 到两个焦点的距离求出来，然后根据椭圆定义求出其长轴长，最后就可根据离心率的定义求值．[技法体验]1．(2017·广州模拟)如果P 1，P 2，…，P n 是抛物线C ：y 2＝4x 上的点，它们的横坐标依次为x 1，x 2，…，x n ，F 是抛物线C 的焦点，假设x 1＋x 2＋…＋x n ＝10，那么|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P n F |＝( )A ．n ＋10B ．n ＋20C ．2n ＋10D ．2n ＋20解析：由题意得，抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为(1,0)，准线为x ＝－1，由抛物线的定义，可知|P 1F |＝x 1＋1，|P 2F |＝x 2＋1，…，|P n F |＝x n ＋1，故|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P n F |＝x 1＋x 2＋…＋x n ＋n ＝n ＋10，选A. 答案：A2．(2016·高考浙江卷)设双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2.假设点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，那么|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________． 解析：借助双曲线的定义、几何性质及余弦定理解决．∵双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，∴|F 1F 2|＝4，||PF 1|－|PF 2||＝2.假设△F 1PF 2为锐角三角形，那么由余弦定理知|PF 1|2＋|PF 2|2－16>0，可化为(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|>16①.由||PF 1|－|PF 2||＝2，得(|PF 1|＋|PF 2|)2－4|PF 1||PF 2|＝4.故2|PF 1||PF 2|＝|PF 1|＋|PF 2|2－42，代入不等式①可得(|PF 1|＋|PF 2|)2>28，解得|PF 1|＋|PF 2|>27.不妨设P 在左支上，∵|PF 1|2＋16－|PF 2|2>0，即(|PF 1|＋|PF 2|)·(|PF 1|－|PF 2|)>－16，又|PF 1|－|PF 2|＝－2，∴|PF 1|＋|PF 2|<8.故27<|PF 1|＋|PF 2|<8. 答案：(27，8)方法二 特例法特例法，包括特例验证法、特例排除法，就是充分运用选择题中单选题的特征，解题时，可以通过取一些特殊数值、特殊点、特殊函数、特殊数列、特殊图形、特殊位置、特殊向量等对选项进行验证的方法．对于定性、定值的问题可直接确定选项；对于其他问题可以排除干扰项，从而获得正确结论．这是一种求解选项之间有着明显差异的选择题的特殊化策略． [例2] (2016·高考浙江卷)实数a ，b ，c ( )A ．假设|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2＋c |≤1，那么a 2＋b 2＋c 2<100 B ．假设|a 2＋b ＋c |＋|a 2＋b －c |≤1，那么a 2＋b 2＋c 2<100 C ．假设|a ＋b ＋c 2|＋|a ＋b －c 2|≤1，那么a 2＋b 2＋c 2<100 D ．假设|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2－c |≤1，那么a 2＋b 2＋c 2<100 解析：结合特殊值，利用排除法选择答案． 对于A ，取a ＝b ＝10，c ＝－110， 显然|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2＋c |≤1成立， 但a 2＋b 2＋c 2>100，即a 2＋b 2＋c 2<100不成立． 对于B ，取a 2＝10，b ＝－10，c ＝0， 显然|a 2＋b ＋c |＋|a 2＋b －c |≤1成立， 但a 2＋b 2＋c 2＝110，即a 2＋b 2＋c 2<100不成立．对于C ，取a ＝10，b ＝－10，c ＝0，显然|a ＋b ＋c 2|＋|a ＋b －c 2|≤1成立， 但a 2＋b 2＋c 2＝200，即a 2＋b 2＋c 2<100不成立． 综上知，A ，B ，C 均不成立，所以选D. 答案：D[增分有招] 应用特例排除法的关键在于确定选项的差异性，利用差异性选取一些特例来检验选项是否与题干对应，从而排除干扰选项．[技法体验]1．函数f (x )＝cos x ·log 2|x |的图象大致为( )解析：函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f (12)＝cos 12log 2|12|＝－cos 12，f (－12)＝cos(－12)·log 2|－12| ＝－cos 12，所以f (－12)＝f (12)，排除A ，D ；又f (12)＝－cos 12＜0，故排除C.综上，选B. 答案：B2．E 为△ABC 的重心，AD 为BC 边上的中线，令AB →＝a ，AC →＝b ，过点E 的直线分别交AB ，AC 于P ，Q 两点，且AP →＝m a ，AQ →＝n b ，那么1m ＋1n＝( )A ．3B ．4C ．5D.13解析：由于题中直线PQ 的条件是过点E ，所以该直线是一条“动〞直线，所以最后的结果必然是一个定值．故可利用特殊直线确定所求值．法一：如图1，PQ ∥BC ，那么AP →＝23AB →，AQ →＝23AC →，此时m ＝n ＝23，故1m ＋1n＝3.应选A.法二：如图2，取直线BE 作为直线PQ ，显然，此时AP →＝AB →，AQ →＝12AC →，故m ＝1，n ＝12，所以1m ＋1n ＝3.应选A. 答案：A方法三 数形结合法数形结合法，包含“以形助数〞和“以数辅形〞两个方面，其应用分为两种情形：一是代数问题几何化，借助形的直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是几何问题代数化，借助于数的精确性阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．[例3] (2017·安庆模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋1|，－7≤x ≤0ln x ，e －2≤x ≤e，g (x )＝x 2－2x ，设a 为实数，假设存在实数m ，使f (m )－2g (a )＝0，那么实数a 的取值范围为( ) A ．[－1，＋∞)B ．[－1,3]C ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)D ．(－∞，3]解析：∵g (x )＝x 2－2x ，a为实数，∴2g (a )＝2a 2－4a .∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋1|，－7≤x ≤0ln x ，e －2≤x ≤e ，作出函数f (x )的图象可知，其值域为[－2,6]，∵存在实数m ，使f (m )－2g (a )＝0，∴－2≤2a2－4a ≤6，即－1≤a ≤3， 应选B.答案：B[增分有招] 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，如[本例]中求解，可通过作出图象，数形结合求解．[技法体验]1．(2017·珠海摸底)|a |＝|b |，且|a ＋b |＝3|a －b |，那么向量a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．120°解析：通解：设a 与b 的夹角为θ，由可得a 2＋2a ·b ＋b 2＝3(a 2－2a ·b ＋b 2)，即4a ·b ＝a 2＋b 2，因为|a |＝|b |，所以a ·b ＝12a 2，所以cos θ＝a ·b |a |·|b |＝12，θ＝60°，选C.优解：由|a |＝|b |，且|a ＋b |＝3|a －b |可构造边长为|a |＝|b |＝1的菱形，如图，那么|a ＋b |与|a －b |分别表示两条对角线的长，且|a ＋b |＝3，|a －b |＝1，故a 与b 的夹角为60°，选C. 答案：C2．点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线的焦点F 的距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( ) A ．(14，1)B ．(14，－1)C ．(1,2)D ．(1，－2)解析：如图，因为点Q (2，－1)在抛物线的内部，由抛物线的定义可知，|PF |等于点P 到准线x ＝－1的距离．过Q (2，－1)作x ＝－1的垂线QH ，交抛物线于点K ，那么点K 为点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到准线x ＝－1的距离之和取得最小值时的点．将y ＝－1代入y 2＝4x 得x ＝14，所以点P 的坐标为(14，－1)，选B.答案：B方法四 待定系数法要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫作待定系数法，其理论依据是多项式恒等——两个多项式各同类项的系数对应相等．使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决．待定系数法主要用来解决所求解的数学问题具有某种确定的数学表达式，例如数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等．[例4] (2017·天津红桥区模拟)椭圆C 的焦点在y 轴上，焦距等于4，离心率为22，那么椭圆C 的标准方程是( )A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 216＝1 C.x 24＋y 28＝1 D.x 28＋y 24＝1 解析：由题意可得2c ＝4，故c ＝2，又e ＝2a ＝22，解得a ＝22，故b ＝222－22＝2，因为焦点在y 轴上，应选C. 答案：C[增分有招] 待定系数法主要用来解决已经定性的问题，如[本例]中椭圆的焦点所在坐标轴，设出标准方程，根据列方程求解．[技法体验]1．假设等差数列{a n }的前20项的和为100，前45项的和为400，那么前65项的和为( ) A ．640 B ．650 C ．660 D ．780解析：设等差数列{a n}的公差为d ，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 20a 1＋20×192d ＝10045a 1＋45×442d ＝400⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9245d ＝1445，那么前65项的和为65a 1＋65×642d ＝65×9245＋65×642×1445＝780.答案：D2．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π)的部分图象如下图，那么f (π4)的值为( )A. 2 B ．0 C ．1D. 3解析：由题图可知，A ＝2，34T ＝11π12－π6＝34π，∴T ＝2πω＝π，∴ω＝2，即f (x )＝2sin(2x ＋φ)，由f (π6)＝2sin(2×π6＋φ)＝2得2×π6＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝π6＋2k π，k ∈Z ，又0＜φ＜π，∴φ＝π6，∴f (x )＝2sin(2x ＋π6)，∴f (π4)＝2sin(2×π4＋π6)＝2cos π6＝3，应选D. 答案：D方法五 估值法估值法就是不需要计算出代数式的准确数值，通过估计其大致取值范围从而解决相应问题的方法．该种方法主要适用于比较大小的有关问题，尤其是在选择题或填空题中，解答不需要详细的过程，因此可以猜测、合情推理、估算而获得，从而减少运算量． [例5] 假设a ＝20.5，b ＝log π3，c ＝log 2sin 2π5，那么( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．b >c >a解析：由指数函数的性质可知y ＝2x在R 上单调递增，而0<0.5<1，所以a ＝20.5∈(1,2)．由对数函数的性质可知y ＝log πx ，y ＝log 2x 均在(0，＋∞)上单调递增，而1<3<π，所以b ＝log π3∈(0,1)；因为sin 2π5∈(0,1)，所以c ＝log 2sin 2π5<0.综上，a >1>b >0>c ，即a >b >c .应选A. 答案：A[增分有招] 估算，省去很多推导过程和比较复杂的计算，节省时间，是发现问题、研究问题、解决问题的一种重要的运算方法．但要注意估算也要有依据，如[本例]是根据指数函数与对数函数的单调性估计每个值的取值范围，从而比较三者的大小，其实质就是找一个中间值进行比较．[技法体验]函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋1⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，其图象与直线y ＝－1相邻两个交点的距离为π.假设f (x )>1对于任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，π3恒成立，那么φ的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π3D.⎝⎛⎦⎥⎤π6，π2解析：因为函数f (x )的最小值为－2＋1＝－1，由函数f (x )的图象与直线y ＝－1相邻两个交点的距离为π可得，该函数的最小正周期为T ＝π，所以2πω＝π，解得ω＝2.故f (x )＝2sin(2x ＋φ)＋1.由f (x )>1，可得sin(2x ＋φ)>0.又x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，π3，所以2x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，2π3.对于选项B ，D ，假设取φ＝π2，那么2x ＋π2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，7π6，在⎝⎛⎭⎪⎫π，7π6上，sin(2x ＋φ)<0，不合题意；对于选项C ，假设取φ＝π12，那么2x ＋π12∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，3π4，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0上，sin(2x ＋φ)<0，不合题意．选A. 答案：A方法六 反证法反证法是指从命题正面论证比较困难，通过假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立的证明方法．反证法证明问题一般分为三步：(1)反设，即否定结论；(2)归谬，即推导矛盾；(3)得结论，即说明命题成立． [例6] x ∈R ，a ＝x 2＋32，b ＝1－3x ，c ＝x 2＋x ＋1，那么以下说法正确的是( )A ．a ，b ，c 至少有一个不小于1B ．a ，b ，c 至多有一个不小于1C ．a ，b ，c 都小于1D ．a ，b ，c 都大于1解析：假设a ，b ，c 均小于1，即a <1，b <1，c <1，那么有a ＋b ＋c <3，而a ＋b ＋c ＝2x 2－2x ＋72＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋3≥3.显然两者矛盾，所以假设不成立．故a ，b ，c 至少有一个不小于1.选A. 答案：A[增分有招] 反证法证明全称命题以及“至少〞“至多〞类型的问题比较方便．其关键是根据假设导出矛盾——与条件、定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾．如[本例]中导出等式的矛盾，从而说明假设错误，原命题正确．[技法体验]如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，那么( ) A ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形C ．△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形D ．△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形解析：由条件知△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0，那么△A 1B 1C 1是锐角三角形． 假设△A 2B 2C 2是锐角三角形，那么由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ sin A 2＝cos A 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A 1，sin B 2＝cos B 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B 1，sin C 2＝cos C 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A 2＝π2－A 1，B 2＝π2－B 1，C 2＝π2－C 1，所以A 2＋B 2＋C 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 1，即π＝3π2－π，显然该等式不成立，所以假设不成立．易知△A 2B 2C 2不是锐角三角形，所以△A 2B 2C 2是钝角三角形．应选D. 答案：D方法七 换元法换元法又称辅助元素法、变量代换法．通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元．理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化．换元法经常用于三角函数的化简求值、复合函数解析式的求解等． [例7] 正数x ，y 满足4y －2yx＝1，那么x ＋2y 的最小值为________．解析：由4y －2y x ＝1，得x ＋2y ＝4xy ，即14y ＋12x ＝1，所以x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫14y ＋12x ＝1＋x 4y ＋y x ≥1＋2x 4y ×y x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x 4y ＝y x ，即x ＝2y 时等号成立.所以x ＋2y 的最小值为2.答案：2[增分有招] 换元法主要有常量代换和变量代换，要根据所求解问题的特征进行合理代换．如[本例]中就是使用常数1的代换，将条件改写为“14y ＋12x ＝1”，然后利用乘法运算规律，任何式子与1的乘积等于本身，再将其展开，通过构造基本不等式的形式求解最值．[技法体验]1．(2016·成都模拟)假设函数f (x )＝1＋3x＋a ·9x，其定义域为(－∞，1]，那么a 的取值范围是( ) A ．a ＝－49B ．a ≥－49C ．a ≤－49D ．－49≤a <0解析：由题意得1＋3x ＋a ·9x≥0的解集为(－∞，1]，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋a ≥0的解集为(－∞，1]．令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，那么t ≥13，即方程t 2＋t ＋a ≥0的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋13＋a ＝0，所以a ＝－49.答案：A2．函数y ＝cos 2x －sin x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值为________．解析：y ＝cos 2x －sin x ＝－sin 2x －sin x ＋1.令t ＝sin x ，又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，22，∴y ＝－t 2－t ＋1，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，22. ∵函数y ＝－t 2－t ＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，22上单调递减， ∴t ＝0时，y max ＝1. 答案：1方法八 补集法补集法就是问题涉及的类别较多，或直接求解比较麻烦时，可以通过求解该问题的对立事件，求出问题的结果，那么所求解问题的结果就可以利用补集的思想求得．该方法在概率、函数性质等问题中应用较多．[例8]某学校为了研究高中三个年级的数学学习情况，从三个年级中分别抽取了1,2,3个班级进行问卷调查，假设再从中任意抽取两个班级进行测试，那么两个班级不来自同一年级的概率为________．解析：记高一年级中抽取的班级为a 1，高二年级中抽取的班级为b 1，b 2， 高三年级中抽取的班级为c 1，c 2，c 3.从已抽取的6个班级中任意抽取两个班级的所有可能结果为(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，c 1)，(a 1，c 2)，(a 1，c 3)，(b 1，b 2)，(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 1，c 3)，(b 2，c 1)，(b 2，c 2)，(b 2，c 3)，(c 1，c 2)，(c 1，c 3)，(c 2，c 3)，共15种．设“抽取的两个班级不来自同一年级〞为事件A ，那么事件A 为抽取的两个班级来自同一年级． 由题意，两个班级来自同一年级的结果为(b 1，b 2)，(c 1，c 2)，(c 1，c 3)，(c 2，c 3)，共4种． 所以P (A )＝415，故P (A )＝1－P (A )＝1－415＝1115.所以两个班级不来自同一年级的概率为1115.答案：1115[增分有招] 利用补集法求解问题时，一定要准确把握所求问题的对立事件．如[本例]中，“两个班级不来自同一年级〞的对立事件是“两个班级来自同一年级〞，而高一年级只有一个班级，所以两个班级来自同一年级的可能性仅限于来自于高二年级，或来自于高三年级，显然所包含基本事件的个数较少．[技法体验]1．(2016·四川雅安中学月考)命题“∃x 0∈R ，使2x 20＋(a －1)x 0＋12≤0”是假命题，那么实数a的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－1,3) C ．(－3，＋∞)D ．(－3,1)解析：依题意可知“∀x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12＞0”为真命题，所以Δ＝(a －1)2－4×2×12＜0，即(a ＋1)·(a －3)＜0，解得－1＜a ＜3.应选B. 答案：B2．函数f (x )＝ax 2－x ＋ln x 在区间(1,2)上不单调，那么实数a 的取值范围为________． 解析：f ′(x )＝2ax －1＋1x.(1)假设函数f (x )在区间(1,2)上单调递增，那么f ′(x )≥0在(1,2)上恒成立，所以2ax －1＋1x≥0，得a ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x 2.①令t ＝1x ，因为x ∈(1,2)，所以t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1， 设h (t )＝12(t －t 2)＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋18，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，显然函数y ＝h (t )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减，所以h (1)＜h (t )＜h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即0＜h (t )＜18. 由①可知，a ≥18.(2)假设函数f (x )在区间(1,2)上单调递减，那么f ′(x )≤0在(1,2)上恒成立，所以2ax －1＋1x≤0，得a ≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x 2.②结合(1)可知，a ≤0.综上，假设函数f (x )在区间(1,2)上单调，那么实数a 的取值范围为(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，＋∞. 所以假设函数f (x )在区间(1,2)上不单调，那么实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18 方法九 分离参数法分离参数法是求解不等式有解、恒成立问题常用的方法，通过分离参数将问题转化为相应函数的最值或范围问题求解，从而避免对参数进行分类讨论的繁琐过程．该种方法也适用于含参方程有解、无解等问题的解决．但要注意该种方法仅适用于分离参数后能够求解相应函数的最值或值域的情况．[例9] 假设不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，那么a 的最小值是________．解析：由于x >0，那么由可得a ≥－x －1x 在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上恒成立，而当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时，⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －1x max ＝－52，∴a ≥－52，故a 的最小值为－52.答案：－52[增分有招] 分离参数法解决不等式恒成立问题或有解问题，关键在于准确分离参数，然后将问题转化为参数与函数最值之间的大小关系．分离参数时要注意参数系数的符号是否会发生变化，如果参数的系数符号为负号，那么分离参数时应注意不等号的变化，否那么就会导致错解．[技法体验]1．(2016·长沙调研)假设函数f (x )＝x 3－tx 2＋3x 在区间[1,4]上单调递减，那么实数t 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，518 B ．(－∞，3]C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫518，＋∞ D ．[3，＋∞)解析：f ′(x )＝3x 2－2tx ＋3，由于f (x )在区间[1,4]上单调递减，那么有f ′(x )≤0在[1,4]上恒成立，即3x 2－2tx ＋3≤0在[1,4]上恒成立，那么t ≥32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 在[1,4]上恒成立，因为y ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 在[1,4]上单调递增，所以t ≥32⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋14＝518，应选C.答案：C2．(2016·湖南五校调研)方程log 12(a －2x)＝2＋x 有解，那么a 的最小值为________．解析：假设方程log 12(a －2x )＝2＋x 有解，那么⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋x ＝a －2x 有解，即14⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋2x＝a 有解，∵14⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋2x≥1，故a 的最小值为1.答案：1方法十 构造法构造法是指利用数学的基本思想，经过认真的观察，深入的思考，构造出解题的数学模型，从而使问题得以解决．构造法的内涵十分丰富，没有完全固定的模式可以套用，它是以广泛抽象的普遍性与现实问题的特殊性为基础，针对具体问题的特点采取相应的解决办法，其基本的方法是借用一类问题的性质，来研究另一类问题的相关性质．常见的构造法有构造函数、构造方程、构造图形等．[例10] m ，n ∈(2，e)，且1n 2－1m 2<ln mn，那么( )A ．m >nB ．m <nC ．m >2＋1nD ．m ，n 的大小关系不确定解析：由不等式可得1n 2－1m2<ln m －ln n ，即1n 2＋ln n <1m2＋ln m .设f (x )＝1x2＋ln x (x ∈(2，e))，那么f ′(x )＝－2x 3＋1x ＝x 2－2x3.因为x ∈(2，e)，所以f ′(x )>0，故函数f (x )在(2，e)上单调递增． 因为f (n )<f (m )，所以n <m .应选A. 答案：A[增分有招] 构造法的实质是转化，通过构造函数、方程或图形等将问题转化为对应的问题来解决．如[本例]属于比较两个数值大小的问题，根据数值的特点，构造相应的函数f (x )＝1x2＋ln x .[技法体验]1．a ＝ln 12 014－12 014，b ＝ln 12 015－12 015，c ＝ln 12 016－12 016，那么a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b解析：令f (x )＝ln x －x ，那么f ′(x )＝1x －1＝1－xx.当0＜x ＜1时，f ′(x )＞0，即函数f (x )在(0,1)上是增函数．∵1＞12 014＞12 015＞12 016＞0，∴a ＞b ＞c .答案：A2．如图，球O 的面上有四点A ，B ，C ，D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝2，那么球O 的体积等于________．解析：如图，以DA ，AB ，BC 为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O 的半径为R ，那么正方体的体对角线长即为球O 的直径，所以CD ＝22＋22＋22＝2R ，所以R ＝62，故球O 的体积V ＝4πR33＝6π.答案：6π。