[精选PPT]弹性力学9
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弹性力学第九章
b 2 ~ q( ) , 及扭应力 xy （合成扭矩 M xy） b ~ q ( ), 横向切应力 zx , zy （合成横向剪力Fsy ,Fsx ）
挤压应力
z ~ q.
第九章 薄板弯曲问题
所以 zx , zy 为次要应力，σ z 为更次要 应力。略去它们引起的形变，即得 zx 0, zy 0 . (a)
(1)具有一定的刚度，横向挠度 ； (2) 在中面位移中,w 是主要的，而纵向位 移u,v很小，可以不计；
(3)在内力中，仅由横向剪力 Fs 与横向荷
载 q 成平衡，纵向轴力的作用可以不 计。
第九章 薄板弯曲问题
计算假定
本章研究小挠度薄板的弯曲问题。
根据其内力和变形特征，提出了3个计 算假定(kirchhoff)： 1. 垂直于中面的线应变 z 可以不计。
第九章 薄板弯曲问题
⑶ 从计算假定1、2，得出 z zx zy 0,
故中面法线在薄板弯曲时保持不伸
缩，并且成为弹性曲面的法线。
第九章 薄板弯曲问题
3.中面的纵向位移可以不计，即
(u, v) z 0 0.
(9-3)
(c)
u v v u , y , xy , 由于 x x y x y
第九章 薄板弯曲问题
2. 将 u ，v 用 w 表示。
得
应用几何方程及计算假定2， zx 0, zy 0,
u w v w 0, 0. z x z y
w w u z f1 ( x, y ), v z f 2 ( x, y ). x y
故
( x , y , xy ) z 0 0.
因此，中面在变形后，其线段和面积 在 xy 面上的投影形状保持不变。
挤压应力
z ~ q.
第九章 薄板弯曲问题
所以 zx , zy 为次要应力，σ z 为更次要 应力。略去它们引起的形变，即得 zx 0, zy 0 . (a)
(1)具有一定的刚度，横向挠度 ； (2) 在中面位移中,w 是主要的，而纵向位 移u,v很小，可以不计；
(3)在内力中，仅由横向剪力 Fs 与横向荷
载 q 成平衡，纵向轴力的作用可以不 计。
第九章 薄板弯曲问题
计算假定
本章研究小挠度薄板的弯曲问题。
根据其内力和变形特征，提出了3个计 算假定(kirchhoff)： 1. 垂直于中面的线应变 z 可以不计。
第九章 薄板弯曲问题
⑶ 从计算假定1、2，得出 z zx zy 0,
故中面法线在薄板弯曲时保持不伸
缩，并且成为弹性曲面的法线。
第九章 薄板弯曲问题
3.中面的纵向位移可以不计，即
(u, v) z 0 0.
(9-3)
(c)
u v v u , y , xy , 由于 x x y x y
第九章 薄板弯曲问题
2. 将 u ，v 用 w 表示。
得
应用几何方程及计算假定2， zx 0, zy 0,
u w v w 0, 0. z x z y
w w u z f1 ( x, y ), v z f 2 ( x, y ). x y
故
( x , y , xy ) z 0 0.
因此，中面在变形后，其线段和面积 在 xy 面上的投影形状保持不变。
弹性力学课件
研究对象
弹性力学的研究对象主要是弹性 体，即在外力作用下能够发生变 形，当外力去除后又能恢复到原 来形状的物体。
弹性体基本假设与约束条件
基本假设
弹性体在变形过程中，其内部各点间 距离的变化是微小的，且这种变化不 影响物体的整体形状和大小。
约束条件
弹性体的变形受到外部约束条件的限 制，如支撑、连接等，这些约束条件 对弹性体的变形和内力分布产生影响 。
2
例题2
无限大平板受均布载荷作用下的应力分 析。利用弹性力学理论求解无限大平板 在均布载荷作用下的应力分布，并讨论 平板厚度对应力分布的影响。
3
例题3
圆柱体受内压作用下的应力分析。通过 解析法或数值法求解圆柱体在内压作用 下的应力分布，并讨论不同材料属性和 几何参数对应力分布的影响。
03
弹性体变形协调方程与几何方程
3
讨论
通过对比各向同性和各向异性材料的力学行为， 加深对材料本构关系的理解。
05
平面问题求解方法与应用举例
平面问题定义及分类
平面应力问题
长柱形物体受平行于横截面的外力作用，横截面尺寸远小于轴向 尺寸。
平面应变问题
平面或板状物体受平行于中面的外力作用，中面尺寸远大于厚度。
平面问题的简化
忽略体力，将空间问题简化为平面问题。
各向异性材料本构关系简介
各向异性假设
材料在各个方向上具有不同的力学性质。
本构关系特点
应力与应变之间的关系复杂，需要考虑材料的方 向性。
典型各向异性材料
纤维增强复合材料、层合板等。
典型例题解析与讨论
1 2
例题一
求解各向同性材料在简单拉伸条件下的应力和应 变。
例题二
分析各向异性材料在复杂应力状态下的力学行为 。
弹性力学的研究对象主要是弹性 体，即在外力作用下能够发生变 形，当外力去除后又能恢复到原 来形状的物体。
弹性体基本假设与约束条件
基本假设
弹性体在变形过程中，其内部各点间 距离的变化是微小的，且这种变化不 影响物体的整体形状和大小。
约束条件
弹性体的变形受到外部约束条件的限 制，如支撑、连接等，这些约束条件 对弹性体的变形和内力分布产生影响 。
2
例题2
无限大平板受均布载荷作用下的应力分 析。利用弹性力学理论求解无限大平板 在均布载荷作用下的应力分布，并讨论 平板厚度对应力分布的影响。
3
例题3
圆柱体受内压作用下的应力分析。通过 解析法或数值法求解圆柱体在内压作用 下的应力分布，并讨论不同材料属性和 几何参数对应力分布的影响。
03
弹性体变形协调方程与几何方程
3
讨论
通过对比各向同性和各向异性材料的力学行为， 加深对材料本构关系的理解。
05
平面问题求解方法与应用举例
平面问题定义及分类
平面应力问题
长柱形物体受平行于横截面的外力作用，横截面尺寸远小于轴向 尺寸。
平面应变问题
平面或板状物体受平行于中面的外力作用，中面尺寸远大于厚度。
平面问题的简化
忽略体力，将空间问题简化为平面问题。
各向异性材料本构关系简介
各向异性假设
材料在各个方向上具有不同的力学性质。
本构关系特点
应力与应变之间的关系复杂，需要考虑材料的方 向性。
典型各向异性材料
纤维增强复合材料、层合板等。
典型例题解析与讨论
1 2
例题一
求解各向同性材料在简单拉伸条件下的应力和应 变。
例题二
分析各向异性材料在复杂应力状态下的力学行为 。
第9章---弹性力学变分原理
§9-2 应变能与余应变能 热力学定律——导出应变能的表达式
物体在外荷载作用下的功能转换：
弹性力学的 变分原理
可逆过程——外荷载对物体所做的功全部转化为物体的
动能和物体因变形引起的应变能(内能)。
不可逆过程——外荷载对物体所做的功, 一部分转化为
物体的动能和应变能,另一部分转化为热能、声能等被耗散。
y y ( x) y( x) x [a, b]
(9-4)
§9-1 变分法的预备知识 二、函数的变分
弹性力学的 变分原理
通常函数要满足一定的边界条件, 函数的变分应满足齐 次边界条件
y(a) ya , y(b) yb
y(a) 0, y(b) 0
导数的变分
( y) y ( x) y( x) (y ) y ( x) y( x) ( y) (y)
应变能密度是应力分量的函数，而应力分量又是位 置 x、y、z的函数，因此，应变能密度是一个泛函。
泛函的一般形式
I [ y( x)] f ( x, y, y)dx
a
b
§9-1 变分法的预备Hale Waihona Puke 识 二、函数的变分函数的微分
弹性力学的 变分原理
dy y( x)dx
是增量的一阶小量！
函数的变分
热力学定律——导出应变能的表达式
弹性力学的变分原理
(σ u) il,iul il il ( σ ) u σ : ε
代(11-12a)
V ( σ f ) udv σ : εdv
V V
σ : εdv
若以广义虎克定律代入，得应力分量的应变能密度
§9-1 变分法的预备知识 一、函数与泛函
弹性力学ppt课件
弹性力学ppt课件•弹性力学基本概念与原理•弹性力学分析方法与技巧目录•一维问题分析与实例讲解•二维问题分析与实例讲解•三维问题分析与实例讲解•弹性力学在工程领域应用探讨01弹性力学基本概念与原理弹性力学定义及研究对象定义弹性力学是研究弹性体在外力作用下产生变形和内力分布规律的科学。
研究对象弹性体，即在外力作用下能够发生变形，当外力去除后又能恢复原状的物体。
弹性体基本假设与约束条件基本假设连续性假设、完全弹性假设、小变形假设、无初始应力假设。
约束条件几何约束（物体形状和尺寸的限制）、物理约束（物体材料属性的限制）。
单位面积上的内力，表示物体内部的受力状态。
应力物体在外力作用下产生的变形程度，表示物体的变形状态。
应变物体上某一点在外力作用下的位置变化。
位移应力与应变之间存在线性关系，位移是应变的积分。
关系应力、应变及位移关系虎克定律及其适用范围虎克定律在弹性限度内，物体的应力与应变成正比，即σ=Eε，其中σ为应力，ε为应变，E为弹性模量。
适用范围适用于大多数金属材料在常温、静载条件下的力学行为。
对于非金属材料、高温或动载条件下的情况，需考虑其他因素或修正虎克定律。
02弹性力学分析方法与技巧0102建立弹性力学基本方程根据问题的具体条件和假设，建立平衡方程、几何方程和物理方程。
选择适当的坐标系和坐标…针对问题的特点，选择合适的坐标系，如直角坐标系、极坐标系或柱坐标系，并进行必要的坐标系转换。
求解基本方程采用分离变量法、积分变换法、复变函数法等方法求解基本方程，得到位移、应力和应变的解析表达式。
确定边界条件和初始条件根据问题的实际情况，确定位移边界条件、应力边界条件以及初始条件。
验证解析解的正确性通过与其他方法（如数值法、实验法）的结果进行比较，验证解析解的正确性和有效性。
030405解析法求解思路及步骤将连续体离散化为有限个单元，通过节点连接各单元，建立单元刚度矩阵和整体刚度矩阵，求解节点位移和单元应力。
弹性力学：09 空间问题的解答
4. 位移势函数的引用 (对应于无旋位移场)
为简单起见，不计体力
(
G)
x
G2u
Fx
0
(
G)
y
G2v
Fy
0
1 2u 0 1 2 x
1 2v 0 1 2 y
(
G)
z
G2w
Fz
0
1 2w 0 1 2 z
现假设位移是有势的，即：位移在某一方向
的分量可以用位移势函数ψ（x,y,z)在该方向的
问题描述： 设有半空间体，其比重为p，在水平边界面上
受均布压力q的作用，试用位移法求位移分量和应力分量。
并假设在z = h 处w =0。
q
1. 由于任意铅直平面都是对称面，假设
u 0,v 0, w w(z) (1)
x
R
y
z
e u v w d w e 0, e 0, e d2 w (2) z x y z d z x y z d z2
通过与平面问题 及极坐标中同样的分 析，可见，由径向位 移引起的形变分量为：
由于对称，各点
环向位移为零，由径
向位移产生的应变为
u
,
u
,
z
u z
1. 轴对称问题和球对称问题的基本方程
由轴向位移w产生的 应变为
z
w z
,
z
w
迭加得到几何方程
u
,
u
z
w, z
z
u z
w
1. 轴对称问题和球对称问题的基本方程
在球对称问题中，应力、应变、位移等分 量都只是径向坐标ρ的函数。
球对称问题
1. 轴对称问题和球对称问题的基本方程
弹性力学ppt课件
应变定义
物体在外力作用下产生的 形变，表示物体尺寸和形 状的变化。
应力与应变关系
应力与应变之间存在一一 对应关系，通过本构方程 来描述。
广义胡克定律及应用
1 2
广义胡克定律 又称作弹性本构关系，表示应力与应变之间的线 性关系。
广义胡克定律的应用 用于计算弹性体在复杂应力状态下的应力和应变， 是弹性力学中的重要基础。
弹性力学ppt课件
contents
目录
• 弹性力学概述 • 弹性力学基本原理 • 线性弹性力学问题求解方法 • 非线性弹性力学问题简介 • 弹性力学实验方法与技术应用 • 弹性力学在相关领域拓展应用
01 弹性力学概述
弹性力学定义与研究对象
弹性力学定义
弹性力学是研究弹性体在外力和其他 外界因素作用下产生的变形和内力， 从而在变形与外力之间建立一定关系 的科学。
有限元法在弹性力学中应用
有限元法基本原理
将连续体离散化为有限个单元，每个单元用简单的函数近似表示，通 过变分原理得到有限元方程。
有限元法求解过程
包括网格划分、单元分析、整体分析、边界条件处理和求解有限元方 程等步骤。
有限元法的优缺点
有限元法可以求解复杂几何形状、非均质材料和非线性问题，但存在 网格划分和计算精度等问题。
布。
弹性模量和泊松比测定实验
拉伸法
通过对标准试件进行拉伸实验，测量试件的应力和应变，从 而计算得到弹性模量和泊松比。
压缩法
通过对标准试件进行压缩实验，测量试件的应力和应变，进 而计算弹性模量和泊松比，适用于脆性材料的测量。
弯曲法
通过对梁式试件进行三点或四点弯曲实验，测量试件的挠度 和应力，从而推算出弹性模量，特别适用于细长构件的测量。
弹性力学PPT课件
符号规定: 正面：截面上的外法线
z
C
z
沿坐标轴的正方向
zx
zy
正面上的应力以沿坐标 轴的正方向为正，沿坐
yx y
yz P
xzxy x zy
x
xz xy
zx
yz
标轴的负方向为负。
yx y 负面：截面上的外法线 B 沿坐标轴的负方向
A
z
O
负面上的应力以沿坐标 y轴的负方向为正，沿坐
（不考虑位置, 把应力当作均匀应力）标轴的正方向为负。
材料力学：虽然也考虑这几个方面的的条件，但不是 十分严格。
一般地说, 由于材料力学建立的是近似理论, 因此 得出的是近似的解答。但对于细长的杆件结构而言, 材料力学力解答的精度是足够的, 符合工程的要求。
--
4
© 2006.Wei Yuan. All rights reserved.
q
例如：
M(x) y
Ⅱ
A
F p
P
limF p
ΔV0 A
Ⅰ
o
y
x
p: 极限矢量,即物体在截面mn上的、在P点的应力。 方向就是F的极限方向。
应力分量：，
量纲：N/m2=kg∙m/s2∙m2=kg/m∙s2 即：L-1MT-2
--
17
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PA=x, PB=y , PC=z x, y, z, xy, xz, yx, yz, zx, zy,
x
C z
yx y
yzP
A
zx
xzxy x a
zy
zy x
b xz
xy zx
z
弹性力学第九章 薄板弯曲问题
NORTHEASTERN UNIVERSITY
§9－3 薄板横截面上的内力
（1）应力分量 x
由公式（9－4）知， x 合成的主矢量为零；
对中面合成的弯矩
2
M x 2 z xdz
把（9－4）代入上式
M x
1
E
2
2w x2
2w y2
2 z2dz
§9－1 有关概念及计算假定
计算假定：
薄板的小挠度弯曲理论，三个计算假定。
（1）垂直于中面方向的正应变可以不计。即
z 0
由几何方程可得
y
w 0, w w x, y
z
0
x
b
/2 /2
z 图9－1
也就是说，在中面的任意一根法线上，薄板全厚度内所有各点都 具有相同的位移，其值等于挠度。
M yx
2 2
z yxdz
E 3
121
2w xy
M xy
Fsy
2
2
yz
dz
12
E 3 1 2
2w y
（d） （e） （f）
弹性力学简明教程
NORTHEASTERN UNIVERSITY
§9－3 薄板横截面上的内力
zx 0, yz 0
这里与梁的弯曲相同之处，也有 不同之处，梁的弯曲我们只考虑横截 面，板的弯曲有两个方向，要考虑两 个横截面上的应力。
弹性力学简明教程
NORTHEASTERN UNIVERSITY
§9－1 有关概念及计算假定
结合第一假定，可见中面的法线在薄板弯曲时保持不伸缩，并且成 为弹性曲面的法线。
河海大学弹性力学徐芝纶版 第九章ppt
d 2ur 2 dur 2 2 2 ur 0 dr r dr r
d 1 d 2 [ 2 ( r ur )] 0 dr r dr
积分：
1 d 2 ' ( r ur ) A 2 r dr d ( r 2ur ) A' r 2 dr r 2ur Ar3 B ur Ar B / r
对于球对称问题，求解方程成为
d 2 u r 2 dur E (1 ) 2 ( 2 2 ur ) f r 0 (1 )(1 2 ) dr r dr r
§9-2 半空间体受重力及均布压力
如图：
x o(y ) g p
fx fy 0 f z g
z
由于对称（任一铅直平面都是对称面），故可假设：
1 2 ui [2(1 ) ξ i ξ k,ki ] 2G
代入无体力的平衡方程中
G ui ( G)u j , ji 0
2
运算后得到： 4i 0
ζ ij δij ξ k,k (1 ) (ξi,j ξ j,i ) ξ k,kij
2 2
从而有：
G ui (λ G)uj,ji 0
2
1 2 λG ψ ,i ψ ,jji 0 2 2G 1 2 λG 2 ψ ,i ψ ,i 0 2 2G 2 ψ ,i 0
ψ c,c为任意常数
2
特别的，取Ｃ＝０，则
2 0
此时
ζ ij λ θ ij 2Gεij 1 1 2 而 ui ,i ,ii 2G 2G 1 1 1 1 ij (ui , j u j ,i ) ( ,ij , ji ) ,ij 2 2G 2 2G
《弹性理论》课件
弹性力学的基本原理
深入研究弹性力学的基本原理，包括胡克定律和应力-应变关系的核心概念。
普适性弹性原理
探索普适性弹性原理对不同材料和结构的适用性，了解其在工程和科学中的 重要性。
弹性体力学的基本方程
探索弹性体力学的基本方程，了解如何模拟和预测材料在受力下的变形行为。
弹性形变和应力状态的关系
揭示弹性形变和应力状态之间的关系，探讨材料在受力时的应变分布和应力 分布。
影响弹性的因素
深入了解影响材料弹性的因素，包括温度、湿度、应力等影响材料弹性的外 界因素。
材料的弹性对传感器的影响
探究材料弹性对传感器性能的影响，了解弹性材料在传感器应用中的重要性。
弹性模量与温度的变化关系
研究材料弹性模量与温度之间的变化关系，揭示不同温度条件下材料弹性性 能的变化规律。
材料的弹性与压力的关系
端午节公式的推导
详细推导端午节公式，展示弹性理论的数学推导过程，理解公式背后的物理原理。
弹性模量的计算方法
了解不同材料的弹性模量计算方法，探索模量对材料性能的影响和应用。
性材料的分类
介绍不同性材料的分类方法和特征，了解材料性质与弹性行为的关联。
非线性弹性参数的确定
探索非线性弹性参数的确定方法，了解对复杂材料进行弹性分析的技术挑战。
探索在桥梁建设中应用弹性力学分析的关键技术和方法，优化桥梁结构的设计和安全性。
建筑结构设计的弹性力学
深入了解弹性力学在建筑结构设计中的应用，构建稳定且具有弹性的建筑。
弹性本构模型
详细讲解弹性本构模型的原理和应用，用数学模型描述材料的弹性力学行为。
《弹性理论》PPT课件
探索弹性理论的奥秘，从基本概念到实际应用，带您一起领略弹性力学的精 髓和魅力。
弹性力学(徐芝纶版)PPT演示课件
绪论
第二节
弹性力学中的几个基本概念
例：正的应力
切应力的 互等性：
yz zy
zx xz
xy yx
E 24
第一章
绪论
第二节
弹性力学中的几个基本概念
材料力学(mechanics of materials)
弹性力学(theory of elasticity )：研究的范围更广，如 叶轮、地基，堤坝、桥梁等实体。（非杆状物体）
E
7
第一章
绪论
第一节 弹性力学的内容
E
8
第一章
绪论
第一节 弹性力学的内容
E
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第一章
绪论
第一节 弹性力学的内容
E
10
第一章
E
16
第一章
绪论
第一节 弹性力学的内容
思考题
1. 弹性力学和材料力学相比，其研究对象有什么区别？
2. 弹性力学和材料力学相比，其研究方法有什么区别？ 3. 试考虑在土木、水利工程中有哪些非杆件和杆系的结构？
E 17
第一章
绪论
第二节
弹性力学中的几个基本概念
§ 1－ 2
外力
弹性力学中的几个基本概念
—其他物体对研究对象（弹性体）的作用力。
—截面上某一点处，单位截面面积上的内力值。
F p A0 A lim
量纲：ML-1T -2 .
x 向正应力， x 轴的面上沿 表示： σ x —垂直于
xy
y x 轴的面上沿 —垂直于
向切应力。
符号：应力成对出现，坐标面上的应力以正面正向，负面负 向为正；正面负向，负面正向为负。
E 23
第一章
弹性力学基础教学课件PPT
弹性力学基础教学课 件
目录
• 引言 • 弹性力学基本概念 • 弹性力学基本方程 • 弹性力学问题解法 • 弹性力学应用实例 • 总结与展望
01
引言
课程简介
弹性力学基础是一门介绍弹性力学基本原理和方法的课程，旨在为学生提供解决 工程问题中弹性力学问题的能力。
本课程将介绍弹性力学的基本概念、基本原理、基本方法以及在工程实践中的应 用，帮助学生建立对弹性力学的基本认识，培养其解决实际问题的能力。
弹性力学基本方程
平衡方程
静力平衡方程
描述了弹性体在力的作用下保持平衡的状态，表达了物体内 部各点的应力与外力之间的关系。
运动平衡方程
在考虑了物体运动的情况下，描述了弹性体在力的作用下保 持运动的平衡状态，涉及到速度和加速度。
几何方程
应变与位移关系
描述了物体在受力变形过程中，位移 与应变之间的关系。
应变与速度关系
描述了物体在受力变形过程中，速度 与应变之间的关系。
本构方程
弹性本构方程
描述了弹性体在受力变形过程中，应力与应变之间的关系，涉及到弹性模量和泊松比等 参数。
塑性本构方程
描述了塑性体在受力变形过程中，应力与应变之间的关系，涉及到屈服准则和流动法则 等参数。
04
弹性力学问题解法
总结词
弹性梁的弯曲问题
总结词
实际工程应用
详细描述
在建筑工程、机械工程和航空航天工程等领域，弹性梁的弯曲问题具有广泛的应用。例如，在桥梁和建筑结构中， 梁是主要的承载构件，其弯曲变形会影响结构的稳定性和安全性。通过掌握弹性力学的基本原理和方法，可以更 加准确地分析梁的弯曲问题，优化梁的设计和计算。
弹性薄板的弯曲问题
越广泛。未来可以进一步研究和发展更加高效、精确的数值计算方法，
目录
• 引言 • 弹性力学基本概念 • 弹性力学基本方程 • 弹性力学问题解法 • 弹性力学应用实例 • 总结与展望
01
引言
课程简介
弹性力学基础是一门介绍弹性力学基本原理和方法的课程，旨在为学生提供解决 工程问题中弹性力学问题的能力。
本课程将介绍弹性力学的基本概念、基本原理、基本方法以及在工程实践中的应 用，帮助学生建立对弹性力学的基本认识，培养其解决实际问题的能力。
弹性力学基本方程
平衡方程
静力平衡方程
描述了弹性体在力的作用下保持平衡的状态，表达了物体内 部各点的应力与外力之间的关系。
运动平衡方程
在考虑了物体运动的情况下，描述了弹性体在力的作用下保 持运动的平衡状态，涉及到速度和加速度。
几何方程
应变与位移关系
描述了物体在受力变形过程中，位移 与应变之间的关系。
应变与速度关系
描述了物体在受力变形过程中，速度 与应变之间的关系。
本构方程
弹性本构方程
描述了弹性体在受力变形过程中，应力与应变之间的关系，涉及到弹性模量和泊松比等 参数。
塑性本构方程
描述了塑性体在受力变形过程中，应力与应变之间的关系，涉及到屈服准则和流动法则 等参数。
04
弹性力学问题解法
总结词
弹性梁的弯曲问题
总结词
实际工程应用
详细描述
在建筑工程、机械工程和航空航天工程等领域，弹性梁的弯曲问题具有广泛的应用。例如，在桥梁和建筑结构中， 梁是主要的承载构件，其弯曲变形会影响结构的稳定性和安全性。通过掌握弹性力学的基本原理和方法，可以更 加准确地分析梁的弯曲问题，优化梁的设计和计算。
弹性薄板的弯曲问题
越广泛。未来可以进一步研究和发展更加高效、精确的数值计算方法，