2 2
椭圆关于X轴对称； 椭圆关于Y轴对称； 椭圆关于原点对称；
故，坐标轴是椭圆的对称轴， 原点是椭圆的对称中心
o
x
三、椭圆的顶点 2 2
在
x y 2 1(a b 0) 2 a b
y B2(0,b) o B1(0,-b)
中，令 x=0，得 y=？，说明椭圆与 y轴的交点？ 令 y=0，得 x=？说明椭圆与 x轴的交点？ *顶点：椭圆与它的对称轴 的四个交点，叫做椭圆的 顶点。 *长轴、短轴：线段A1A2、 B1B2分别叫做椭圆的长轴 和短轴。
标准方程
x2 y 2 2 1(a b 0) 2 a b
y 2 x2 2 1(a b 0) 2 a b
图
象
范
围
|x|≤ a,|y|≤ b
（
|x|≤ b,|y|≤ a
对 称 性 顶点坐标 焦点坐标 半 轴 长 焦 距
关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称。
a ,0
x2 y 2 轴上，所以，椭圆的标准方程为 1 c 3 9 4 ． e 2 （2）由已知， a 20 ， a 5
c ∴ a 10 ， 6 ，∴ b2 102 62 64
2 2
，
y 2 x2 x y 1 1 或 所以椭圆的标准方程为 100 64 100 64
(
c,0)
）,(0,
b)
（
b ,0
）,(0,
(0,
c)
a)
长半轴长为a,短半轴长为b.
焦距为2c;
a,b,c关系 离 心 率
a2=b2+c2
e c a
例1 已知椭圆方程为16x2+25y2=400.
它的长轴长是： 10 。短轴长是： 8 。
焦距是：
6
。
离心率等于：
3 5
。
4) 焦点坐标是： (3, 0) 。顶点坐标是：(5, 0) (0, __。
A1
o B2(0,-b)
A2 x
课后作业：P42 3、4、5
小知识 与《几何原本》齐名的《圆锥曲线论》
公元前三世纪产生了具有完整体系的欧 几里得的《几何原本》。半个世纪以后，古 希腊的另一位数学家阿波罗尼斯又著《圆锥 曲线论》（8卷）—以其几乎将圆锥曲线的全 部性质网罗殆尽而名垂史册。 在解析几何之前的所有研究圆锥曲线的著 作中，没有一本达到象《圆锥曲线论》那样 对圆锥曲线研究得如此详尽的程度。 解析几何是由费尔马和笛卡尔分别创立的。 自从有了解析几何，圆锥曲线的研究才开辟 了新的纪元。
一、椭圆的范围
x2 y2 x2 y2 由 2 1 2 1和 2 1 2 a b a b
即
x a和 y b
o
y
说明：椭圆位于四条
直线所构成的矩形 中。
x
二、椭圆的对称性
x y 2 1(a b 0) 在 2 a b
中，把x , y换成-x ,-y，方程 不变, 说明： y
复习巩固：
1.椭圆的定义:
在同一平面内，到两定点F1、F2的距离和为常数 （大于|F1F2 |）的点的轨迹叫做椭圆。
2.椭圆的标准方程是：
x2 y 2 2 1(a b 0) 2 a b
y x 2 1(a b 0) 2 a b
2
2
3.椭圆中a,b,c的关系是:
a2=b2+c2
外切矩形的面积等于：
80
。
练习1：
已知椭圆的方程为x2+a2y2=a2 (a>0且 a
1 )
当0<a<1时
它的长轴长是：
短轴长是： 焦距是：
当a>1时：
;
; ; 。 。
。
。 。 。
离心率等于:
焦点坐标是： 顶点坐标是： 外切矩形的面积等于：
;
; ;
;
。
例2．过适合下列条件的椭圆的标准方程： Q （1）经过点 P(3, 0) 、 (0, 2) ， 焦点在X轴上。 3 （2）长轴长等于 20 ,离心率等于 5 ． 解:（1）由题意， a 3 b 2 ,又∵长轴在 x
．
例3.已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上， 长轴是短轴的三倍，且椭圆经过点P（3，0）， 求椭圆的方程。
x 2 答案： y 1 9
分类讨论的数学思想
2
x y 1 9 81
2
2
小结：基本元素
{1}基本量：a、b、c、e（共四个量） {2}基本点：顶点、焦点、中心（共七个点） {3}基本线：对称轴（共两条线） 请考虑：基本量之间、 基本点之间、基本线 之间以及它们相互之 间的关系（位置、数 量之间的关系） y B1(0,b)
A1
A2 x
a、b分别叫做椭圆的长半 轴长和短半轴长。
离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：
四、椭圆的离心率
[1]离心率的取值范围： 因为 a > c > 0，所以0<e <1
y
c e 叫做椭圆的离心率。 a
O
x
[2]离心率对椭圆形状的影响： 1）e 越接近 1，c 就越接近 a，从而 b就越小，椭圆就 越扁 2）e 越接近 0，c 就越接近 0，从而 b就越大，椭圆就 越圆 3）特例：e =0，则 a = b，则 c=0，两个焦点重合， 椭圆方程变为（？）
