2.5角平分线的性质

第十二章角平分线的性质教学目标1.学会尺规作图—画角平分线，并运用三角形全等的判定方法证明；2.学会用角平分线的性质定理进行推理证明，培养学生的推理能力；3.学会用角平分线的判定定理进行推理证明，拓宽学生几何证明的思路；4.通过对角平分线相关知识的探究，培养学生逻辑推理能力，增强学生的严谨性.教学重难点重点：角平分线的画法、角平分线的性质及判定.难点：角平分线的性质及判定.教学工具多媒体教学过程环节一创设情景【情景引入】在纸上任意画一个角，用剪刀剪下，用折纸的方法，如何确定角的平分线？(1)在准备好的角上标好字母A，O，B；(2)把∠AOB对折，使得这个角的两边重合；(3)折痕就是∠AOB的角平分线.动手操作通过探究角平分线的画法，培养学生的几何直观能力，增强学生思考问题的严谨性环节二探究新知问题：1.如何用尺规作出已知角的平分线？作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.（2）分别以点M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.（3）画射线OC，射线OC即为所求.2.你从平分角的作图中得到什么启发？归纳出角的平分线的画法，明确作图的理论依据是三角形全等的条件“SSS”公理.3.作一个平角∠AOB的平分线，并反向延长这条角平分线.思考并积极回答通过探究角平分线的画法，培养学生的几何直观能力，增强学生思考问题的如图，任意作一个角∠AOB，作出∠AOB 的平分线OC.在OC上任意取一点P，过点P画出OA，OB的垂线，分别记垂足为D，E，测量PD.PE并作比较，你得到什么结论?在OC上再取几个点试一试.4.你能归纳出角的平分线的性质吗？角的平分线上的点到角的两边的距离相等.5.你能用三角形全等证明这个结论吗？要证明PD=PE，只要证明它们所在的△OPD≌△OPE，而△OPD≌△OPE的条件由已知容易得到它满足公理（AAS）. 动手操作思考并积极回答思考并积极回答严谨性通过探究角平分线的性质定理及判定定理，培养学生的逻辑推理能力，增强学生思考问题的严谨性环节三应用新知【典型例题】例1：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA垂学生思考、交流想法.通过典型例题的处理，加深学生对角平足分别为D，E，F.∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD=PE.同理PE=PF∴PD=PE=PF即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.1.想一想：点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？由上面可知：PD=PE=PF在Rt△PDA和Rt△PF A中，PD=PF，P A=P A∴Rt△PDA≌Rt△PF A（HL）∴∠P AD=∠P AF∴P A平分∠BAC三角形的三条角平分线交于一点.例2：如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处500m.这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1:20000）? 思考并积极回答分线的性质定理及判定定理的理解，培养学生的逻辑推理能力通过典型例题的处理，加AB:500=1: 20 000AB=2.5cm角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 深学生对角平分线的性质定理及判定定理的理解，培养学生的逻辑推理能力环节四巩固新知【随堂练习】1.如图，在直线MN上求作一点P，使点P到射线OA和OB的距离相等.思考并积极回答通过课堂练习，加深学生对角平分线的性质定理及判定定理的理解，培养学生的逻辑推理能力如上右图，作∠AOB的角平分线，与MN交于点，点P即为所求.2.如图，△ABC的∠ABC的外角的平分线BD与∠ACB的外角的平分线CE相交于点P.求证:点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等.证明:∵△ABC的∠ABC的外角的平分线BD与∠ACB的外角的平分线CE相交于点P，作PF⊥AC，PG⊥BC，PH⊥AB，∴PF=PG，PG=PH∴PF=PG=PH，∴点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等. 思考并积极回答通过课堂练习，加深学生对角平分线的性质定理及判定定理的理解，培养学生的逻辑推理能力.环节五课【课堂小结】回顾本节通过小结让学堂小结课所讲的内容生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.环节六布置作业布置作业：习题12.3第1～5题. 课后完成练习通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.。

证明角平分线的性质教案证明角平分线的性质教案1一、教学目标1.了解推理、证明的格式，掌握平行线判定公理和第一个判定定理.2.会用判定公理及第一个判定定理进行简单的推理论证.3.通过模型演示，即“运动—变化”的数学思想方法的运用，培养学生的“观察—分析”和“归纳—总结”的能力.二、学法引导1.教师教法：启发式引导发现法.2.学生学法：独立思考，主动发现.三、重点·难点及解决办法(一)重点在观察实验的基础上进行公理的概括与定理的推导.(二)难点判定定理的形成过程中逻辑推理及书写格式.(三)解决办法1.通过观察实验，巧妙设问，解决重点.2.通过引导正确思维，严格展示推理书写格式，明确方法来解决难点、疑点.四、课时安排l课时五、教具学具准备三角板、投影胶片、投影仪、计算机.六、师生互动活动设计1.通过两组题，复习旧知，引入新知.2.通过实验观察，引导思维，概括出公理及定理的推导，并以练习进行巩固.3.通过教师提问，学生回答完成归纳小结.七、教学步骤(-)明确目标教学建议1、教材分析(1)知识结构：由平行线的画法，引出公理(同位角相等，两直线平行).由公理推出：内错角相等，两直线平行.同旁内角互补，两条直线平行，这两个定理.(2)重点、难点分析：本节的重点是：公理及两个判定定理.一般的定义与第一个判定定理是等价的.都可以做判定的方法.但平行线的定义不好用来判定两直线相交还是不相交.这样，有必要借助两条直线被第三条直线截成的角来判定.因此，这一个判定公理和两个判定定理就显得尤为重要了.它们是判断两直线平行的依据，也为下一节，学习-平行线的性质打下了基础.本节内容的难点是：理解由判定公理推出判定定理的证明过程.学生刚刚接触用演绎推理方法证明几何定理或图形的性质，对几何证明的意义还不太理解.有些同学甚至认为从直观图形即可辨认出的性质，没必要再进行证明.这些都使几何的入门教学困难重重.因此，教学中既要有直观的演示和操作，也要有严格推理证明的板书示范.创设情境，不断渗透，使学生初步理解证明的步骤和基本方法，能根据所学知识在括号内填上恰当的公理或定理.2、教学建议在平行线判定公理的教学中，应充分体现一条主线索：“充分实验—仔细观察—形成猜想—实践检验—明确条件和结论.”教师可演示教材中所示的教具，还可以让每个学生都用三角板和直尺画出平行线.在此过程中，注意角的变化情况.事实充分，学生可以理解，如果同位角相等，那么两直线一定会平行.公理后，有些同学可能会意识到“内错角相等，两直线也会平行”.教师可组织学生按所给图形进行讨论.如何利用已知和几何的公理、定理来证明这个显然成立的事实.也可多叫几个同学进行重复.逐步使学生欣赏到数学证明的严谨性.另一个定理的发现与证明过程也与此类似.教学设计示例1一、教学目标1.了解推理、证明的格式，掌握平行线判定公理和第一个判定定理.2.会用判定公理及第一个判定定理进行简单的推理论证.3.通过模型演示，即“运动—变化”的数学思想方法的运用，培养学生的“观察—分析”和“归纳—总结”的能力.二、学法引导1.教师教法：启发式引导发现法.2.学生学法：独立思考，主动发现.三、重点·难点及解决办法(一)重点在观察实验的基础上进行公理的概括与定理的推导.(二)难点判定定理的形成过程中逻辑推理及书写格式.(三)解决办法1.通过观察实验，巧妙设问，解决重点.2.通过引导正确思维，严格展示推理书写格式，明确方法来解决难点、疑点.四、课时安排l课时五、教具学具准备三角板、投影胶片、投影仪、计算机.六、师生互动活动设计1.通过两组题，复习旧知，引入新知.2.通过实验观察，引导思维，概括出公理及定理的推导，并以练习进行巩固.3.通过教师提问，学生回答完成归纳小结.七、教学步骤(-)明确目标掌握平行线判定公理和第一个判定定理及运用其进行简单的推理论证.(二)整体感知以情境设计，引出课题，以模型演示，引导学生观察，、分析、总结，讲授新知，以变式训练巩固新知，在整节课中，较充分地体现了逻辑推理.(三)教学过程创设情境，引出课题师：上节课我们学习了平行线、平行公理及推论，请同学们判断下列语句是否正确，并说明理由(出示投影).1.两条直线不相交，就叫平行线.2.与一条直线平行的直线只有一条.3.如果直线、都和平行，那么、就平行.学生活动：学生口答上述三个问题.【教法说明】通过三个判断题，使学生回顾上节所学知识，第1题在于强化平行线定义的前提条件“在同一平面内”，第2题不仅回顾平行公理，同时使学生认识学习几何，语言一定要准确、规范，同一问题在不同条件下，就有不同的结论，第3题复习巩固平行公理推论的同时提示学生，它也是判定两条直线平行的方法.师：测得两条直线相交，所成角中的一个是直角，能判定这两条直线垂直吗?根据什么?学生：能判定垂直，根据垂直的定义.师：在同一平面内不相交的两条直线是平行线，你有办法测定两条直线是平行线吗?学生活动：学生思考，如何测定两条直线是否平行?教师在学生思考未得结论的情况下，指出不能直接利用手行线的定义来测定两条直线是否平行，必须找其他可以测定的方法，有什么方法呢?学生活动：学生思考，在前面复习-平行公理推论的情况下，有的学生会提出，再作一条直线，让，再看是否平行于就可以了.师：这种想法很好，那么，如何作，使它与平行?若作出后，又如何判断是否与平行?学生活动：学生思考老师的提问，意识到刚才的回答，似是而非，不能解决问题.师：显然，我们的问题没有得到解决，为此我们来寻找另外一些判定方法，就是今天我们要学习的(板书课题).[板书]2.5(1).【教法说明】由垂线定义可以来判断两线是否垂直，学生自然想到要用平行线定义来判断，但我们无法测定直线是否不相交，也就不能利用定义来判断.这时，学生会考虑平行公理推论，此时教师只须简单地追问，就让学生弄清问题未能解决，由此引入新课内容.探究新知，讲授新课教师给出像课本第78页图2–20那样的两条直线被第三条直线所截的模型，转动，让学生观察，转动到不同位置时，的大小有无变化，再让从小变大，说出直线与的位置关系变化规律.【教法说明】让学生充分观察，在教师的启发式提问下，分析、思考、总结出结论.图1学生活动：转动到不同位置时，也随着变化，当从小变大时，直线从原来在右边与直线相交，变到在左边与相交.师：在这个过程中，存在一个与不相交即与平行的位置，那么多大时，直线呢?也就是说，我们若判定两条直线平行，需要找角的关系.师：下面先请同学们回忆平行线的画法，过直线外一点画的平行线 .学生活动：学生在练习本上完成，教师在黑板上演示(见图1).师：由刚才的演示，请同学们考虑，画平行线的过程，实际上是保证了什么?图2学生：保证了两个同位角相等.师：由此你能得到什么猜想?学生：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两条直线平行.师：我们的猜想正确吗?会不会有某一特定的时刻，即使同位角不等，而两条直线也平行呢?教师用计算机演示运动变化过程.在观察实验之前，让学生看清角和角(如图2)，而后开始实验，让学生充分观察并讨论能得出什么结论.学生活动：学生观察、讨论、分析.总结了，当时，不平行，而无论取何值，只要，、就平行.图3教师引导学生自己表达出结论，并告诉学生这个结论称为公理.[板书]两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成：同位角相等，两直线平行.即：∵ (已知见图3)，∴ (同位角相等，两直线平行).【教法说明】通过实际画图和用计算机演示运动—变化过程，让学生确信公理的正确.尝试反馈，巩固练习(出示投影).图41.如图4，，，吗?2. ，当时，就能使 .【教法说明】这两个题目旨在巩固所学的判定公理，对于第2题是已知结论，找出使它成立的题设，这是证明问题时应掌握的一种思考方法，要求学生逐步学会执因导果和执果索因的思考方法，教师在教学时要注意逐渐培养学生的这种数学思想.(出示投影)直线、被直线所截.图51.见图5，如果，那么与有什么关系?2. 与有什么关系?3. 与是什么位置关系的一对角?学生活动：学生观察，思考分析，给出答案：时，，与相等，与是内错角.师：与满足什么条件，可以得到 ?为什么?学生活动：，因为，通过等量代换可以得到 .师：时，你进而可以得到什么结论?学生活动： .师：由此你能总结出什么正确结论?学生活动：内错角相等，两直线平行.师：也就是说，我们得到了判定两直线平行的另一个方法：[板书]两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：内错角相等，两直线平行.【教法说明】通过教师的启发、引导式提问法，引导学生自己去发现角之间的关系，进而归纳总结出结论，主要采用探讨问题的方式，能够培养学生积极思考、善于动脑分析的良好学习习惯.师：上面的推理过程，可以写成∵ (已知)，(对顶角相等)，∴ .[∵ (已证)]，∴ (同位角相等，两直线平行).【教法说明】这里的推理过程可以放手让学生试着说，这样才能使中国学习联盟胆尝试，培养他们勇于进取的精神.教师指出：方括号内的“∵”，就是上面刚刚得到的“∴”，在这种情况下，方括号内这一步可以省略.尝试反馈，巩固练习(出示投影)1.如图1，直线、被直线所截.(1)量得，，就可以判定，它的根据是什么?(2)量得，，就可以判定，它的根据是什么?2.如图2，是的延长线，量得 .(1)从，可以判定哪两条直线平行?它的根据是什么?(2)从，可以判定哪两条直线平行?它的根据是什么?图1 图2学生活动：学生口答.【教法说明】这组题旨在巩固公理和判定方法的掌握，使学生熟悉并会用于解决简单的说理问题.变式训练，培养能力(出示投影)1.如图3所示，由，可判断哪两条直线平行?由，可判断哪两条直线平行?2.如图4，已知，，吗?为什么?图3 图4学生活动：学生思考后回答问题.教师给以指正并启发、引导得出答案.【教法说明】这组题不仅让学生认识变式图形，加强识图能力，同时培养学生的发散思维，也就是培养学生从多角度、全方位考虑问题，从而得到一题多解.提高了学生的解题能力.(四)总结扩展2.结合判一定理的证明过程，熟悉表达推理证明的要求，初步了解推理证明的格式.八、布置作业课本第97页习题2.2A组第4、5、6(1)(2)题.证明角平分线的性质教案2一、教学目标【知识与技能】了解角的平分线的性质,能利用三角形全等证明角的平分线的性质，会利用角的平分线的性质进行证明与计算。

初中数学班别：初中数学角平分线的性质姓名：角平分线的性质讲之篇【教学目标】1、掌握角平分线的性质以及角平分线性质的应用，会用直尺圆规作一个已知角的平分线；2、通过作图直观地理解角平分线的性质定理，经历探究角的平分线的性质的过程，领会其应用方法．3、培养学生的观察、分析、归纳能力，探究精神和创新意识．【教法指导】本节课是在学习了全等三角形的基础上进行的，角平分线的性质是证明线段相等的重要手段，角平分线的判定为证明两个角相等提供了一种新的证明方法.重点是领会角的平分线的性质定理，难点是角的平分线的性质定理的实际应用．【教学过程】☆知识回顾☆议一议：下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC．将点A放在角的顶点，AB 和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线．你能说明它的道理吗？要说明AC是∠DAC的平分线，其实就是证明∠CAD=∠CAB．∠CAD和∠CAB分别在∠CAD和∠CAB中，那么证明这两个三角形全等就可以了．证明：☆探索新知☆如图，将∠AOB的两边对折，再折个直角三角形（以第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得到什么结论？你能利用所学过的知识，说明你的结论的正确性吗？实践感知，互动交流，得出结论，“从实践中可以看出，第一条折痕是∠AOB的平分线OC，第二次折叠形成的两条折痕PD、PE是角的平分线上一点到∠AOB两边的距离，这两个距离相等．”【总结】角平分线的性质：__________________________．已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD∠OA，PE∠OB，垂足分别是D、E 求证：PD=PE．证明：【探究】从实践中可知：角平分线上的点到角的两边距离相等，将条件和结论互换，可得以下的命题：__________________________________________证明如下：已知：PD∠OA，PE∠OB，垂足分别是D、E，PD=PE．求证：点P在∠AOB的平分线上．证明：【归纳】角平分线的判定定理：_______________________________________☆尝试应用☆例1 如图，BE∠AC 、CF∠AB 于点E 、F ，BE 与CF 交于点D ，DE=DF ，连结AD 。

2.5 角平分线的性质说课稿各位领导、老师：大家好！1.在纸上任意画一个∠BAC如上图今天我说课的内容是青岛版数学教科书八年级上册第二章第5节课“角的平分线的性质”。

六个方面简述我对这堂课的理解及认识。

教材分析本节课是在学生学习了角平分线的概念和全等三角形、轴对称图形的基础上进行教学的，它主要学习角平分线的性质定理及其逆定理角平分线的画法。

同时角平分线的性质为证明线段或角相等开辟了新的思路，是今后作图、计算、证明的重要工具，为初三的学习作铺垫，具有承前启后的作用，因此本节课在教材中占有非常重要的地位。

目标分析知识技能掌握基本的证明方法和基本的作图技能；数学思考进一步发展空间观念；经历借助图形思考问题的过程，初步建立几何直观。

体会通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理加以证明的过程，在多种形式的数学活动中，发展合情推理与演绎推理的能力。

能独立思考，体会数学的基本思想和思维方式。

问题解决1．初步学会在具体的情境中从数学的角度发现问题和提出问题，并综合运用数学知识和方法等解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力。

2．在与他人合作和交流过程中，能较好地理解他人的思考方法和结论。

3．能针对他人所提的问题进行反思，初步形成评价与反思的意识。

情感态度1．积极参与数学活动，对数学有好奇心和求知欲。

2．感受成功的快乐，体验独自克服困难、解决数学问题的过程，有克服困难的勇气，具备学好数学的信心。

3．在运用数学表述和解决问题的过程中，认识数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点，体会数学的价值。

4．敢于发表自己的想法、勇于质疑，养成认真勤奋、独立思考、合作交流等学习习惯，形探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。

能用尺规完成作一个角的平分线的基本作图知识与技能掌握作已知角的平分线的方法和角平分线性质定理及其逆定理。

过程与方法在经历角平分线的性质定理的推导过程中。

青岛版数学八年级上册2.5《角平分线的性质》教学设计一. 教材分析《角平分线的性质》是青岛版数学八年级上册第2.5节的内容。

本节课主要学习了角平分线的性质，包括：一个角的平分线与这个角的对边相交，交点对着的角是相等的；一个角的平分线上的点到这个角的两边的距离是相等的。

这些性质对于学生理解角的平分线具有重要意义，也为后续学习三角形和其他多边形的性质打下基础。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了角的概念、垂线的性质等知识。

他们具备一定的观察、思考、推理能力，但对于角的平分线的性质的理解还需加强。

因此，在教学过程中，教师需要注重引导学生通过观察、操作、推理等方式发现和证明角平分线的性质，提高他们的数学思维能力。

三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握角平分线的性质，能够运用角平分线的性质解决一些简单的问题。

2.过程与方法目标：培养学生通过观察、操作、推理等方法发现和证明数学结论的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养他们勇于探索、严谨求实的数学精神。

四. 教学重难点1.教学重点：角平分线的性质。

2.教学难点：如何引导学生发现和证明角平分线的性质。

五. 教学方法1.引导发现法：教师通过提出问题、引导学生观察、操作、推理等方式，让学生自主发现和证明角平分线的性质。

2.讲解法：教师对角平分线的性质进行详细的讲解，帮助学生理解和掌握。

3.实践操作法：学生通过画图、测量等实践操作，加深对角平分线性质的认识。

六. 教学准备1.教具：三角板、直尺、圆规、多媒体设备等。

2.学具：学生每人准备一份学习资料，包括三角板、直尺、圆规等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾已学的角的概念、垂线的性质等知识，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）教师利用多媒体展示角平分线的定义和性质，引导学生观察、思考，发现角平分线的性质。

3.操练（10分钟）教师提出问题，引导学生运用角平分线的性质进行解答。

角平分线的性质与判定1、角平分线：把一个角为两个相同的角的射线叫该角的平分线；2、角平分线的性质定理：角平分线上的点到的距离相等：①平分线上的点；②点到边的距离；3、角平分线的判定定理：到角的两边的距离相等的点一、角平分线的性质定理例1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝11cm，BD＝7cm，那么点D 到直线AB的距离是cm．变式1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的一条角平分线．若AC＝6，AB＝10，则点D到AB边的距离为（）A．2B．2.5C．3D．4二：角平分线的性质定理的逆定理例1．如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于点D，若BD＝CD．求证：AD平分∠BAC．三、常见题型（一）利用角平分线的性质求线段长度例1．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E．求证：△DBE的周长等于AB．变式1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足是点E，AC＝DE+BD．（1）求∠BAD的度数；（2）若△DBE的周长为4cm，则AB＝．变式2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC 上，且BD＝DF．（1）求证：CF＝EB；（2）试判断AB与AF，EB之间存在的数量关系．并说明理由．（二）利用角平分线的性质求角度问题例1．如图，已知∠1＝∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，P A＝PC．求证：∠PCB+∠BAP＝180°．变式1.已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．（1）若连接AM，则AM是否平分∠BAD？请你证明你的结论；（2）线段DM与AM有怎样的位置关系？请说明理由．（3）CD、AB、AD间？直接写出结果（三）利用角平分线解决与面积有关的问题例1.如图，BD是△ABC的角平分线，△ABC的面积为60，AB＝15，BC＝9，求△ABD的面积．变式1 如图，已知△ABC的周长是22，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，△ABC的面积是多少？(四)角平分线性质定理的逆定理应用例1.如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF求证：AD平分∠BAC．变式1.如图，△ABC中，P是角平分线AD，BE的交点．求证：点P在∠C的平分线上．(五)角平分线性质定理的实际应用例1.已知：如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个塔台，若要求它到三条公路的距离都相等，试问：（1）可选择的地点有几处？（2）你能画出塔台的位置吗？变式1．如图：某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个公园，要使公园到三条公路的距离相等，应在何处修建？（使用尺规作图，保留作图痕迹）并证明你的观点．。

《角的平分线的性质》教学设计教学目标（一）知识技能1．掌握作已知角的平分线的方法。

2．会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”。

（二）数学思考在探究作已知角的平分线的方法和角平分线的过程中，发展几何直觉。

（三）解决问题1．提高综合运用三角形全等的有关知识解决问题的能力。

2．初步了解角平分线的两个性质在生产、生活中的应用。

（四）情感态度在探讨作已知角的平分线的方法及角平分线的性质的过程中，培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，逐步培养学生的理性精神。

教学重点：角平分线的性质及其应用。

教学难点：灵活应用两个性质解决问题。

教学过程一．创设情境，引入新课拿出课前准备好的折纸与剪刀，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，看到了什么？二．新课探究思考：如何使用尺规作已知角的平分线？画法：1.以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点M,交OB于点N。

2.分别以M，N为圆心，大于1/2MN的长度为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点C。

3.作射线OC。

师演示后学生动手画角的平分线把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么？分析：第一次对折后的折痕是这个角的平分线，再折一次，又会出现两条折痕，而且这两条折痕是等长的，利用这种方法我们可以做无数次，所以这种等长的折痕可以折出无数对。

由此你能得出什么样的结论。

（演示折纸过程）如图所示的折痕PD、PE。

画一画：按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕，并度量所画PD、PE是否等长？师投影出下面两个图形，让学生评一评，哪一个是对的？结论：同学乙的画法是正确的，同学甲画的是过角平分线上一点作角平分线的垂线，而不是过角平分线上一点作两边的垂线段，所以他的画法不符合要求。

问题1：如何用文字语言叙述所画图形的性质？[生]角平分线上的点到角的两边的距离相等。

问题2：能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话。

角的平分线的性质教学设计流程安排教学过程设计[活动1]如图，将∠AOB的两边对折，再折个直角三角形（以第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得到什么结论？你能利用所学过的知识，说明你的结论的正确性吗？学生实验：通过折纸的方法作角的平分线教师与学生一起动手操作，。

展示学生作品。

体验角平分线的简易作法，并为角平分线的性质定理的引出做铺垫，为下一步设置问题墙。

通过折纸及作图过程，由学生自己去发现结论．教师要有足够的耐心，要为学生的思考留有时间和空间．建立模型师生行为设计意图[活动2]对这种可以折叠的角可以用折叠方法的角平分线，对不能折叠的角怎样得到其角平分线？有一个简易平分角的仪器（如图），其中AB=AD,BC=DC,将A 点放角的顶点，AB和AD沿AC 画一条射线AE,AE就是∠BAD 的平分线，为什么？教师课件展示实验过程学生将实物图抽象出数学图形学生独立运用三角形全等的方法证明AE是∠BAD的平分线。

本次活动中，教师重点关注：(1)学生是否能从简易角平分仪中抽象出两个三角形；(2)学生能否运用三角形全等的条件证明两个三角形全等，从而说明线段AE是∠BAD的平分线。

说明用其他实验的方法可以将一个角平分。

培养学生的抽象思维能力和运用三角形全等的知识解决问题的能力。

让学生体验成功这个提问设置为例1的出现做好铺垫，同时例1的证明又验证了学生猜想的正确性，使学生获得成功的体验．将实际问题转化为数学问题，从而顺利解决．[活动3] 问题(1)从上面的探究中，可以得出作已知角的平分线的方法。

已知什么？求作什么？(2)把简易平分角的仪器放在角的两边.且平分角的仪器两边相等,从几何角度怎么画?(3) 简易平分角的仪器BC=DC,从几何角度如何画教师提问,学生与老师一起完成探究过程.从实验中抽象出几何模型,明确几何作图的基本思路和方法.培养学生运用直尺和圆规作已知角的平分线的能力.让学生体验成功(4)OC与简易平分角的仪器中,AE是同一条射线吗? (5)你能说明OC是∠AOB的平分线吗?(6)归纳角平分线的作法学生独立说明,学生相互讨论,交流,归纳后教师归纳展示作法.探究新知师生行为设计意图[活动4](1)在已画好的角的平分线OC 上任意找一点P,过P点分别作OA、OB的垂线交OA、O于D、E。

二 由角平分线想到的辅助线口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

角平分线具有两条性质：a 、对称性；b 、角平分线上的点到角两边的距离相等。

对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。

①从角平分线上一点向两边作垂线；②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。

通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。

至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。

与角有关的辅助线（一）、截取构全等几何的证明在于猜想与尝试，但这种尝试与猜想是在一定的规律基本之上的，希望同学们能掌握相关的几何规律，在解决几何问题中大胆地去猜想，按一定的规律去尝试。

下面就几何中常见的定理所涉及到的辅助线作以介绍。

如图1-1，∠AOC=∠BOC ，如取OE=OF ，并连接DE 、DF ，则有△OED ≌△OFD ，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。

例1． 如图1-2，AB//CD ，BE 平分∠BCD ，CE 平分∠BCD ，点E 在AD 上，求证：BC=AB+CD 。

图1-1BDBC分析：此题中就涉及到角平分线，可以利用角平分线来构造全等三角形，即利用解平分线来构造轴对称图形，同时此题也是证明线段的和差倍分问题，在证明线段的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法来证明，延长短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段。

但无论延长还是截取都要证明线段的相等，延长要证明延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等，进而达到所证明的目的。

简证：在此题中可在长线段BC 上截取BF=AB ，再证明CF=CD ，从而达到证明的目的。

这里面用到了角平分线来构造全等三角形。

另外一个全等自已证明。

此题的证明也可以延长BE 与CD 的延长线交于一点来证明。

自已试一试。