项目8.图乘法计算静定结构位移1

q B x A x ′ A l B x x P=1 A
C l
C 虚拟状态（ 虚拟状态（力） 实际状态（位移、变形） 实际状态（位移、变形） 8.5.3
解：
1. 逐杆建立坐标系，并分别写出实际状态 的各杆内力方程。
qx 2 AB段： M = − , N P = 0 , QP = qx P 2
ql 2 BC段： M P = − , N P = −ql , QP = 0 2
四、图乘的分段和分块叠加
1. 常见图形的面积和形心 凸抛物线： S = n hl , xc = n + 1 l
n +1 2(n + 2) (短）
凹抛物线：
1 1 S= hl , xc = l n +1 n+2
(短）
2. 折线分段图乘与变截面分段图乘
3. 复杂图形分块图乘（面积和形心位置难确定）
五、图乘法计算位移举例 图乘法计算位移举例
• 例8-6 求承受均布荷载的简支梁的跨中挠度。 求承受均布荷载的简支梁的跨中挠度。
（思考：能否整块图乘？） 思考 ）
求悬臂梁自由端挠度（多种荷载分块） 例8-7 求悬臂梁自由端挠度
1 MMP ds = A y0 ∆B = ∫ EI EI 1 1 3 2 l • ql • l • = 4 EI 3 ql 4 (↓ ) （错在哪 ） = 错在哪?!） 4 EI
例8-8 求伸臂梁悬臂端转角（跨内外分段、分块）
EI=45kNm
例8-9 求三类刚架的位移与广义位移（相对位移）
后两类略
4
结论： 结论 ⑴ 对于浅梁，轴力和剪力影响所占比重不大。 ⑵ 轴力项和剪力项通常可略去，仅取弯矩项。
计算图示桁架下弦中点C的挠度 的挠度。 例2. 计算图示桁架下弦中点 的挠度。已知各杆弹 性模量 E = 2.1× 108 kPa，截面面积 A = 12cm 2 。
思考： 思考：虚拟状态（单位荷载）的选取
3。荷载作用下位移计算的步骤： 。荷载作用下位移计算的步骤：
沿拟求位移的位置和方向虚设相应的单位荷载； ⑴ 沿拟求位移的位置和方向虚设相应的单位荷载； 由静力平衡条件， ⑵ 由静力平衡条件，求出结构虚内力 N Q M 由静力平衡条件，计算实际荷载下结构的内力— ⑶ 由静力平衡条件，计算实际荷载下结构的内力 —N,Q,M 代入如上公式，计算∆。 ⑷ 代入如上公式，计算 。
4。各类结构的位移计算公式 各类结构的位移计算公式
● 梁和刚架 ● 桁架
MM P 仅取一项） ∆ = ∑∫ ds （仅取一项） EI
NN P NN P ∆ = ∑∫ ds = ∑ l EA EA ● 组合结构 ∆ = ∑ MM P ds（梁式杆） ∑ N N P l（链杆） + ∫ EI EA
● 拱
∆ = ∑∫
MM P NN P ds + ∑ ∫ ds EI EA
同梁） ● 微弯曲杆（同梁）
5。荷载作用下位移计算举例（积分法） 。荷载作用下位移计算举例（积分法） 举例
求刚架（折杆）自由端A点的竖向位移 挠度） 点的竖向位移（ 例1. 求刚架（折杆）自由端 点的竖向位移（挠度） ∆AY（E、I、A=常数）。 常数）。 、 、 常数
2 h 2 2 E h 2 5 ql = 1 + + 8 EI 15 l 25 G l
4
（续）
1 1 1 + 750 + 500 其中，设 h/l =1/10，取G = 0.4E，k = 1.2 5 ql = 8 EI
平均切应变： 平均切应变：
QP QP γ0 = k , dη = γ 0 ds = k ds GA GA
弯曲应变： 弯曲应变：
MP κ= EI
MP , dθ = κds = ds EI
2。直杆在荷载作用下计算弹性位移一般公式： 。直杆在荷载作用下计算弹性位移一般公式：
MM P NN P kQ QP ∆ = ∑∫ ds + ∑ ∫ ds + ∑ ∫ ds EI EA GA
8.1.3 计算结构位移的目的
(1) 刚度要求 在工程上，吊车梁允许的挠度 跨度； 在工程上，吊车梁允许的挠度< 1/600 跨度； 高层建筑的最大位移< 1/1000 高度； 高层建筑的最大位移 高度； 最大层间位移< 层高。 最大层间位移 1/800 层高。 铁路工程技术规范规定: 铁路工程技术规范规定 桥梁在竖向活载下， 桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁 最大挠度 < 1/700 和1/900跨度 跨度
（续）
2. 在A点加一竖向单位荷载作为虚拟状态，并 点加一竖向单位荷载作为虚拟状态， 点加一竖向单位荷载作为虚拟状态 写出该状态内力方程。 写出该状态内力方程。 AB段： 段
M = −x , N = 0 , Q = 1
BC段： M = −l , N = −1 , Q = 0 段 3. 代入位移计算公式： 代入位移计算公式：
求桁架如下位移： D点水平位移 DB间距改变 CD高差改变 CE杆转角 CD杆与CE杆相对转角（夹角 夹角DCE改变量 改变量） 夹角 改变量
*例4. 试求图示简支梁在中点 的竖向位移 ，并比 例 试求图示简支梁在中点C的竖向位移 的竖向位移∆， 弯曲变形与剪切变形对位移的影响（ 较 弯曲变形与剪切变形对位移的影响（梁的截面 为矩形： × ）。 为矩形：b×h）。
项目8 图乘法计算 项目8 静定结构位移
教学目标 了解结构位移产生的原因及分类； 1. 了解结构位移产生的原因及分类； 理解计算结构位移的单位荷载法； 2. 理解计算结构位移的单位荷载法； 掌握计算结构位移的 计算结构位移的图乘法 3. 掌握计算结构位移的图乘法
济南大学： 建筑力学》 济南大学：《建筑力学》
应取自直线图） （竖标 y0应取自直线图） 二、图乘法的计算公式
MMP 1 ∆ = ∑∫ d s = ∑ (±) A y 0 EI EI
பைடு நூலகம்
公式推导示意图
三、图乘法公式的推导
B M ( x)M ( x) 1 B MMP i k ds = ∫A EI ds = ∫A ∫A M i M k dx EI EI 1 B = ∫A ( x tanα ) M k dx EI B 1 tanα ∫ xM k dx = A EI 1 tanα ( Ax0 ) = EI 1 A( x0 tanα ) = EI 1 A y0 = （ A 与 y0 同侧为正、异侧为负） 同侧为正、异侧为负） EI B
∆ AV MM P NN P kQ QP = ∑∫ ds + ∑ ∫ ds + ∑ ∫ ds EI EA GA
（续）
l qx 2 dx ql 2 dx = ∫ (− x) − 2 EI + ∫0 (−l ) − 2 EI + 0 l l dx dx + ∫ (−1)(−ql ) + ∫ k (+1)(qx) 0 EI 0 GA 5 ql 4 ql 2 kql 2 5 ql 4 8 I 4 kEI = + + = 1 + 5 Al 2 + 5 GAl 2 8 EI EA 2GA 8 EI l
q A x
l/2
P=1 B
l/2
A x
l/2
C
C
l/2
B
实际位移状态
虚拟力状态
答案： 答案
∆ CV
5ql 4 = 384 EI
任务8.4： 任务8.4：例8-2，8-3 8.4
任务8.6 图乘法 （维利沙金,1925） 任务
一、图乘法的应用条件： 图乘法的应用条件：
● 直杆 ● EI不变 不变 ● 至少有一个直线弯矩图
第七章： 第七章：杆及结构的变形计算
任务8.1 任务8.1 结构位移概念
位移的概念： 位移的概念： 结构在荷载、温度变化、 结构在荷载、温度变化、支座移动与制造误差等各种因素作用 下发生变形，因而结构上各点的位置会有变动。 下发生变形，因而结构上各点的位置会有变动。这种位置的变 动称为位移。 动称为位移。 位移分类： 位移分类： 截面的移动----线位移；截面的转动----角位移。 线位移；截面的转动 角位移。 截面的移动 线位移 角位移 线位移又分为：水平位移和竖向位移 线位移又分为：水平位移和竖向位移。 按位置变化的参照物分： 按位置变化的参照物分：绝对位移和相对位移 作图说明
N 微元内力虚功： 微元内力虚功： Q
M
dWi = N dλ + Q dη + Mdθ
单位荷载法及其位移计算公式
●
虚拟力——单位荷载（最简） 单位荷载（最简） 虚拟力 单位荷载 P=1 或 M=1 或 广义单位力（成对） 广义单位力（成对） 总外力虚功： 总外力虚功： P∆ + ∑ R c 总内力虚功： 总内力虚功：
●
虚力原理
位移状态：真实的位移（拟求）； 位移状态：真实的位移（拟求）； 力状态：虚拟的平衡力系（加单位荷载）。 力状态：虚拟的平衡力系（加单位荷载）。
●
微元分析（计算变形体内力虚功） 微元分析（计算变形体内力虚功）
广义力： 、 广义位移： 、 、 广义力：N、Q 、M ；广义位移：dλ、dη、dθ 广义虚力： 广义虚力： 、 、
●
∑∫
+∑∫
+∑∫
●
位移计算的一般公式： 位移计算的一般公式：
∆ = ∑ ∫ N dλ + ∑ ∫ Q dη + ∑ ∫ Mdθ − ∑ R c
荷载作用下的位移计算
1。假设材料是线弹性的（满足虎克定律） 。假设材料是线弹性的（满足虎克定律） 轴向应变： 轴向应变：
NP NP ε= , dλ = εds = ds EA EA