2018-2019版数学新导学笔记选修2-2人教A全国通用版讲义：第二章 推理与证明2.2.2

章末复习学习目标 1.理解导数的几何意义，并能解决有关切线的问题.2.能熟练应用求导公式及运算法则.3.掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值，并能应用其解决一些实际问题.4.了解定积分的概念及其简单的应用．1．导数的概念(1)定义：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx，称为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数．(2)几何意义：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数是函数图象在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，表示为f ′(x 0)，其切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 2．基本初等函数的导数公式 (1)c ′＝0. (2)(x α)′＝αx α－1.(3)(a x )′＝a x ln a (a >0)． (4)(e x )′＝e x .(5)(log a x )′＝⎝⎛⎭⎫ln x ln a ′＝1x ln a (a >0，且a ≠1)． (6)(ln x )′＝1x .(7)(sin x )′＝cos x . (8)(cos x )′＝－sin x . 3．导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )． (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )． (3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 4．复合函数的求导法则 (1)复合函数记法：y ＝f (g (x ))． (2)中间变量代换：y ＝f (u )，u ＝g (x )． (3)逐层求导法则：y x ′＝y u ′·u x ′.5．函数的单调性、极值与导数 (1)函数的单调性与导数在某个区间(a ，b )内，如果f ′(x )>0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递增；如果f ′(x )<0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递减． (2)函数的极值与导数①极大值：在点x ＝a 附近，满足f (a )≥f (x )，当x <a 时，f ′(x )>0，当x >a 时，f ′(x )<0，则点a 叫做函数的极大值点，f (a )叫做函数的极大值；②极小值：在点x ＝a 附近，满足f (a )≤f (x )，当x <a 时，f ′(x )<0，当x >a 时，f ′(x )>0，则点a 叫做函数的极小值点，f (a )叫做函数的极小值． (3)求函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最值的步骤 ①求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值；②将函数y ＝f (x )的极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值． 6．微积分基本定理如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么ʃb a f (x )d x ＝F (b )－F (a )． 7．定积分的性质(1)ʃb a kf (x )d x ＝k ʃb a f (x )d x (k 为常数)．(2)ʃb a [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝ʃb a f 1(x )d x ±ʃb a f 2(x )d x .(3)ʃb a f (x )d x ＝ʃc a f (x )d x ＋ʃb c f (x )d x (其中a <c <b )．1．f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率．( × ) 2．函数f (x )＝sin(－x )的导数是f ′(x )＝cos x ．( × )3．若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续且恒正，则ʃb a f (x )d x >0.( √ )类型一 导数几何意义的应用例1 设函数f (x )＝13x 3＋ax 2－9x －1(a >0)，直线l 是曲线y ＝f (x )的一条切线，当l 的斜率最小时，直线l 与直线10x ＋y ＝6平行． (1)求a 的值；(2)求f (x )在x ＝3处的切线方程． 考点 求函数在某点处的切线方程题点 求曲线的切线方程解 (1)f ′(x )＝x 2＋2ax －9＝(x ＋a )2－a 2－9， f ′(x )min ＝－a 2－9，由题意知－a 2－9＝－10，∴a ＝1或－1(舍去)． 故a ＝1.(2)由(1)得a ＝1， ∴f ′(x )＝x 2＋2x －9， 则k ＝f ′(3)＝6，f (3)＝－10.∴f (x )在x ＝3处的切线方程为y ＋10＝6(x －3)， 即6x －y －28＝0.反思与感悟 利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出．常见的类型有两种：一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q (x 1，y 1)，由y 0－y 1x 0－x 1＝f ′(x 1)和y 1＝f (x 1)，求出x 1，y 1的值，转化为第一种类型．跟踪训练1 直线y ＝kx ＋b 与曲线y ＝x 3＋ax ＋1相切于点(2,3)，则b ＝ . 考点 求曲线在某点处的切线方程 题点 曲线的切线方程的应用 答案 －15解析 由题意知f (2)＝3，则a ＝－3.f (x )＝x 3－3x ＋1，f ′(x )＝3x 2－3，f ′(2)＝3×22－3＝9＝k ， 又点(2,3)在直线y ＝9x ＋b 上， ∴b ＝3－9×2＝－15.类型二 函数的单调性、极值、最值问题 例2 设a 为实数，函数f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R . (1)求f (x )的单调区间与极值；(2)求证：当a >ln 2－1且x >0时，e x >x 2－2ax ＋1. 考点 利用导数研究函数的单调性题点利用导数证明不等式(1)解由f(x)＝e x－2x＋2a，x∈R，知f′(x)＝e x－2，x∈R.令f′(x)＝0，得x＝ln 2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞)，f(x)在x＝ln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2a＝2(1－ln 2＋a)．(2)证明设g(x)＝e x－x2＋2ax－1，x∈R，于是g′(x)＝e x－2x＋2a，x∈R.由(1)知当a>ln 2－1时，g′(x)取最小值为g′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)>0.于是对任意x∈R，都有g′(x)>0，所以g(x)在R内单调递增．于是当a>ln 2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0)．而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>0，即e x－x2＋2ax－1>0，故e x>x2－2ax＋1.反思与感悟本类题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性，求函数的极值和证明不等式，考查运算能力、分析问题、解决问题的能力．跟踪训练2已知函数f(x)＝x ln x.(1)求f(x)的最小值；(2)若对所有x≥1都有f(x)≥ax－1，求实数a的取值范围；(3)若关于x的方程f(x)＝b恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．考点函数极值的综合应用题点函数零点与方程的根解 (1)f (x )的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋ln x ， 令f ′(x )>0，解得x >1e ，令f ′(x )<0，解得0<x <1e，故f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上单调递增， 故f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫1e ＝1e ln 1e ＝－1e . (2)∵f (x )＝x ln x ，当x ≥1时，f (x )≥ax －1恒成立， 等价于x ln x ≥ax －1(x ≥1)恒成立， 等价于a ≤ln x ＋1x(x ≥1)恒成立，令g (x )＝ln x ＋1x ，则a ≤g (x )min (x ≥1)恒成立；∵g ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x 2，∴当x ≥1时，g ′(x )≥0，∴g (x )在[1，＋∞)上单调递增，∴g (x )min ＝g (1)＝1， ∴a ≤1，即实数a 的取值范围为(－∞，1]．(3)若关于x 的方程f (x )＝b 恰有两个不相等的实数根， 即y ＝b 和y ＝f (x )在(0，＋∞)上有两个不同的交点， 由(1)知当0<x <1e时，f (x )<0，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上单调递增，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫1e ＝1e ln 1e ＝－1e； 故当－1e <b <0时，满足y ＝b 和y ＝f (x )在(0，＋∞)上有两个不同的交点，即若关于x 的方程f (x )＝b 恰有两个不相等的实数根，则－1e <b <0.类型三 定积分及其应用例3 求由曲线y ＝sin x 与直线x ＝－π2，x ＝54π，y ＝0所围成的图形的面积．考点 利用定积分求曲线所围成图形面积 题点 需分割的图形的面积求解 解 所求面积S ＝5π4ππ22sin d =sin d x x x x---⎰⎰＋ʃπ0sin x d x5π4πsin d x x -⎰＝－(－cos x )0π2|-＋(－cos x )|π0－(－cos x )5π4π|＝1＋2＋⎝⎛⎭⎫1－22＝4－22.反思与感悟 由定积分求曲边梯形面积的方法步骤 (1)画出函数的图象，明确平面图形的形状． (2)通过解方程组，求出曲线交点的坐标． (3)确定积分区间与被积函数，转化为定积分计算．(4)对于复杂的平面图形，常常通过“割补法”来求各部分的面积之和．跟踪训练3 如图所示，直线y ＝kx 将抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形的面积分为相等的两部分，求k 的值．考点 利用定积分求曲线所围成图形面积 题点 已知曲线所围成图形的面积求参数解 抛物线y ＝x －x 2与x 轴的两交点的横坐标分别为x 1＝0，x 2＝1，所以抛物线与x 轴所围图形的面积S ＝ʃ10(x －x 2)d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 22－x 331＝12－13＝16.抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标分别为x 1′＝0，x 2′＝1－k ， 所以S 2＝ʃ1－k 0(x －x 2－kx )d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫1－k 2x 2－x 331－k 0 ＝16(1－k )3， 又知S ＝16，所以(1－k )3＝12，于是k ＝1－312＝1－342.1.如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)等于( )A ．－1B ．0C ．2D ．4考点 导数的几何意义的应用 题点 导数的几何意义解析 ∵直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，∴f (3)＝1.又点(3,1)在直线l 上， ∴3k ＋2＝1，从而k ＝－13，∴f ′(3)＝k ＝－13.∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )， 则g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0. 2．函数F (x )＝ʃx 0t (t －4)d t 在[－1,5]上( ) A ．有最大值0，无最小值 B ．有最大值0，最小值－323C ．有最小值－323，无最大值D ．既无最大值也无最小值 考点 微积分基本定理的应用 题点 微积分基本定理的综合应用 答案 B解析 F ′(x )＝()ʃx0t (t －4)d t ′＝x 2－4x ，令F ′(x )＝0，解得x ＝0或4，当F ′(x )>0时，x >4或x <0，当F ′(x )<0时，0<x <4. ∴F (x )在[0,4]上单调递减，在[－1,0]和[4,5]上单调递增． 又F (0)＝0，F (－1)＝－73，F (4)＝－323，F (5)＝－253，所以当x ＝0时，F (x )取最大值0，当x ＝4时，F (x )取最小值－323.故选B.3．函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图，则函数y ＝ax 2＋32bx ＋c3的单调递增区间是( )A ．(－∞，2] B.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ C ．[－2,3]D.⎣⎡⎭⎫98，＋∞考点 函数极值的综合应用 题点 函数极值在函数图象上的应用解析 不妨取a ＝1，又d ＝0，∴f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ，∴f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c . 由题图可知f ′(－2)＝0，f ′(3)＝0， ∴12－4b ＋c ＝0,27＋6b ＋c ＝0， ∴b ＝－32，c ＝－18.∴y ＝x 2－94x －6，y ′＝2x －94，当x >98时，y ′>0，即单调递增区间为⎣⎡⎭⎫98，＋∞，故选D.4．体积为16π的圆柱，当它的半径为 时，圆柱的表面积最小． 考点 利用导数求几何模型的最值问题 题点 利用导数求面积的最值问题 答案 2解析 设圆柱底面半径为r ，母线长为l . ∴16π＝πr 2l ，即l ＝16r2.则S 表面积＝2πr 2＋2πrl ＝2πr 2＋2πr ×16r 2＝2πr 2＋32πr ，由S ′＝4πr －32πr 2＝0，得r ＝2.∴当r ＝2时，圆柱的表面积最小． 5．已知函数f (x )＝e x ＋bx过点(1，e)．(1)求y ＝f (x )的单调区间； (2)当x >0时，求f (x )x的最小值；(3)试判断方程f (x )－mx ＝0(m ∈R 且m 为常数)的根的个数． 考点 函数极值的综合应用 题点 函数零点与方程的根解 (1)由函数f (x )＝e x ＋bx 过点(1，e)，得e 1＋b ＝e ，即b ＝0，∴f (x )＝e xx (x ≠0)，f ′(x )＝e x (x －1)x 2，令f ′(x )>0，得x >1，令f ′(x )<0，得0<x <1或x <0，y ＝f (x )的单调递增区间是(1，＋∞)，单调递减区间是(－∞，0)，(0,1)． (2)设g (x )＝f (x )x ＝e xx 2，x >0，g ′(x )＝e x (x 2－2x )x 4，令g ′(x )＝0，解得x ＝2或x ＝0(舍去)，当x ∈(0,2)时，g ′(x )<0， 当x ∈(2，＋∞)时，g ′(x )>0，∴g (x )在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增， ∴f (x )x 的最小值为g (2)＝e 24. (3)方程f (x )－mx ＝0(m ∈R 且m 为常数)等价于m ＝f (x )x ＝g (x )，g ′(x )＝e x (x 2－2x )x 4，易知当x <0时，g ′(x )>0.结合(2)可得函数g (x )在区间(0,2)上单调递减，在(－∞，0)，(2，＋∞)上单调递增． 原问题转化为y ＝m 与y ＝g (x )的交点个数，其图象如图，当m ≤0时，方程f (x )－mx ＝0(m ∈R 且m 为常数)的根的个数为0； 当0<m <e 24时，方程f (x )－mx ＝0(m ∈R 且m 为常数)的根的个数为1；当m ＝e 24时，方程f (x )－mx ＝0(m ∈R 且m 为常数)的根的个数为2；当m >e 24时，方程f (x )－mx ＝0(m ∈R 且m 为常数)的根的个数为3.1．利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．明确“过点P (x 0，y 0)的曲线y ＝f (x )的切线方程”与“在点P (x 0，y 0)处的曲线y ＝f (x )的切线方程”的异同点．2．借助导数研究函数的单调性，经常同三次函数，一元二次不等式结合，融分类讨论、数形结合于一体．3．利用导数求解优化问题，注意自变量中的定义域，找出函数关系式，转化为求最值问题．4．不规则图形的面积可用定积分求解，关键是确定积分上、下限及被积函数，积分的上、下限一般是两曲线交点的横坐标.一、选择题1．已知函数f (x )＝－a πsin πx ，且lim h →0f (1＋h )－f (1)h ＝2，则a 的值为( ) A ．2B ．－2C ．2πD ．－2π 考点 导数的概念题点 导数的概念的简单应用答案 A解析 ∵lim h →0 f (1＋h )－f (1)h＝2， ∴f ′(1)＝2，f (x )＝－a πsin πx ， f ′(x )＝－a cos πx ，∴－a cos π＝2，∴a ＝2，故选A.2．设曲线y ＝f (x )在某点处的导数值为0，则过曲线上该点的切线( )A ．垂直于x 轴B ．垂直于y 轴C ．既不垂直于x 轴也不垂直于y 轴D ．方向不能确定考点 导数的几何意义的应用题点 导数的几何意义答案 B解析 ∵曲线y ＝f (x )在某点处的导数值为0，∴切线的斜率为0，故选B.3．若函数f (x )的导数是f ′(x )＝－x (ax ＋1)(a <0)，则函数f (x )的单调递减区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤1a ，0B.(]－∞，0，⎣⎡⎭⎫1a ，＋∞C.⎣⎡⎦⎤0，－1a D ．(－∞，0]，⎣⎡⎭⎫－1a ，＋∞ 考点 利用导数求函数的单调区间题点 利用导数求不含参数函数的单调区间答案 C解析 ∵f ′(x )＝－x (ax ＋1)(a <0)，令f ′(x )<0，即－x (ax ＋1)<0，解得0<x <－1a，故选C. 4．由曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π2所围成的平面区域的面积为( ) A ．π2(sin cos )d x x x -⎰ B ．20π4(sin cos )d x x x -⎰ C ．π20(cos sin )d x x x -⎰ D ．20π4(cos sin )d x x x -⎰考点 定积分的几何意义及性质题点 定积分的几何意义答案 D解析 如图所示，两个阴影部分面积相等，所以两个阴影面积之和等于0<x <π4阴影部分面积的2倍，故选D.5.设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )·f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)C ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)考点 函数极值的综合应用题点 函数极值在函数图象上的应用答案 D解析 由函数的图象可知，f ′(－2)＝0，f ′(2)＝0，并且当x <－2时，f ′(x )>0，当－2<x <1，f ′(x )<0，函数f (x )有极大值f (－2)．又当1<x <2时，f ′(x )<0，当x >2时，f ′(x )>0，故函数f (x )有极小值f (2)，故选D.6．已知a ≤1－x x＋ln x 对任意x ∈⎣⎡⎦⎤12，2恒成立，则a 的最大值为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3考点 利用导数求函数中参数的取值范围题点 利用导数求恒成立问题中参数的取值范围答案 A解析 令f (x )＝1－x x＋ln x ， ∴f ′(x )＝1x ⎝⎛⎭⎫1－1x ， 当x ∈⎣⎡⎭⎫12，1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x ∈(1,2]时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，∴f (x )≥f (1)＝0，则a ≤0，即a 的最大值为0.7．若函数f (x )＝13x 3－⎝⎛⎭⎫1＋b 2x 2＋2bx 在区间[3,5]上不是单调函数，则函数f (x )在R 上的极大值为( )A.23b 2－16b 3 B.32b －23 C ．2b －43 D ．0考点 函数在某点处取得极值的条件题点 含参数求极值问题答案 C解析 f ′(x )＝x 2－(2＋b )x ＋2b ＝(x －b )(x －2)，∵函数f (x )在区间[3,5]上不是单调函数，∴3<b <5，由f ′(x )>0，得x <2或x >b ，由f ′(x )<0，得2<x <b ，故f (x )在(－∞，2)上单调递增，在(2，b )上单调递减，在(b ，＋∞)上单调递增，∴函数f (x )的极大值为f (2)＝2b －43. 二、填空题8．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为 ．考点 求函数在某点处的切线斜率或切点坐标题点 求函数在某点处的切点坐标答案 (－2,15)解析 y ′＝3x 2－10，令y ′＝2，解得x ＝±2.又∵点P 在第二象限内，∴x ＝－2，此时y ＝15，∴点P 的坐标为(－2,15)．9．已知曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成的封闭区域的面积为a 3，则a ＝ . 考点 利用定积分求曲线所围成图形面积题点 已知曲线所围成图形的面积求参数答案 3123解析 由题意得a 3＝ʃa 0x d x ＝ ⎪⎪⎪2332x a 0＝2332a ， 即32a ＝23，解得a ＝3123. 10．已知定义在区间(－π，0)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调递减区间是 ． 考点 利用导数求函数的单调区间题点 利用导数求不含参数函数的单调区间答案 ⎝⎛⎭⎫－π2，0解析 f ′(x )＝x cos x ，当x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0时，f ′(x )<0， ∴f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫－π2，0. 11．若函数f (x )＝x x 2＋a(a >0)在[1，＋∞)上的最大值为33，则实数a 的值为 ． 考点 导数在最值问题中的应用题点 已知最值求参数 答案 3－1解析 f ′(x )＝a －x 2(x 2＋a )2，令f ′(x )＝0，得x ＝±a ， 当x >a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当－a <x <a 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．若a ≥1，即a ≥1，则当x ∈[1，＋∞)时，f (x )max ＝f (a )＝a 2a ＝33， 解得a ＝32<1，不合题意，∴a <1， 且当x ∈[1，＋∞)时，f (x )max ＝f (1)＝11＋a ＝33， 解得a ＝3－1，满足a <1.三、解答题12．求抛物线y ＝－x 2＋4x －3与其在点(0，－3)和点(3,0)处的切线所围成的图形的面积． 考点 求函数在某点处的切线方程题点 曲线的切线方程的应用解 如图，∵y ′＝－2x ＋4，∴y ′|x ＝0＝4，y ′|x ＝3＝－2.∴在点(0，－3)处的切线方程是y ＝4x －3，在点(3,0)处的切线方程是y ＝－2(x －3)． 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝4x －3，y ＝－2x ＋6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝3， 得交点坐标为⎝⎛⎭⎫32，3.所以由它们围成的图形面积为S ＝33222302[(43)(43)]d [2(3)(43)]d x x x x x x x x ---+-+----+-⎰⎰ ＝33222302d (69)d x x x x x +-+⎰⎰＝x 33320|＋⎝⎛⎭⎫x 33－3x 2＋9x 332|＝94. 13．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫x 22－kx ln x ＋x 24. (1)若f (x )在定义域内单调递增，求实数k 的值；(2)若f (x )的极小值大于0，求实数k 的取值范围．考点 利用导数研究函数的极值题点 已知极值求参数解 (1)依题意可知f ′(x )＝(x －k )(ln x ＋1)，令f ′(x )＝0，可得x 1＝k ，x 2＝1e. 若x 1≠x 2，则在x 1，x 2之间存在一个区间，使得f ′(x )<0，不满足题意．因此x 1＝x 2，即k ＝1e. (2)当k <1e时，若k >0，则f ′(x )在⎝⎛⎭⎫k ，1e 上小于0，在⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上大于0，若k ≤0，则f ′(x )在⎝⎛⎭⎫0，1e 上小于0，在⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上大于0， 因此x ＝1e 是极小值点，f ⎝⎛⎭⎫1e ＝k e －14e 2>0，解得k >14e ，∴14e <k <1e. 当k >1e时，f ′(x )在⎝⎛⎭⎫1e ，k 上小于0，在(k ，＋∞)上大于0， 因此x ＝k 是极小值点，f (k )＝k 24(1－2ln k )>0， 解得k <e ，∴1e<k < e. 当k ＝1e时，f (x )没有极小值点，不符合题意． 综上可得，实数k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫14e ，1e ∪⎝⎛⎭⎫1e ，e .四、探究与拓展14．设函数f (x )＝ln x ＋m x (m ∈R )，若对任意的b >a >0，f (b )－f (a )b －a<1恒成立，则实数m 的取值范围是 ．考点 数学思想方法在导数中的应用题点 转化与化归思想在导数中的应用答案 ⎣⎡⎭⎫14，＋∞ 解析 对任意的b >a >0，f (b )－f (a )b －a<1恒成立， 等价于f (b )－b <f (a )－a 恒成立．设函数h (x )＝f (x )－x ＝ln x ＋m x－x ， 则h (x )在(0，＋∞)上是单调减函数，即h ′(x )＝1x －m x2－1≤0在(0，＋∞)上恒成立， 得m ≥－x 2＋x ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14(x >0)恒成立， 得m ≥14， 所以实数m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫14，＋∞. 15．已知函数f (x )＝ln x －a (x －1)，a ∈R .(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)当x ≥1时，f (x )≤ln x x ＋1恒成立，求实数a 的取值范围．考点 利用导数求函数中参数的取值范围题点 利用导数求恒成立问题中参数的取值范围解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－ax x， 若a ≤0，则f ′(x )>0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增，若a >0，则由f ′(x )＝0，得x ＝1a， 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，f ′(x )>0， 当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0，∴f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减． ∴当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，当a >0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减． (2)f (x )－ln xx ＋1＝x ln x －a (x 2－1)x ＋1， 令g (x )＝x ln x －a (x 2－1)，x ≥1，g ′(x )＝ln x ＋1－2ax ，令F (x )＝g ′(x )＝ln x ＋1－2ax ，F ′(x )＝1－2ax x， ①若a ≤0，F ′(x )>0，g ′(x )在[1，＋∞)上单调递增， g ′(x )≥g ′(1)＝1－2a >0，∴g (x )在[1，＋∞)上单调递增，g (x )≥g (1)＝0，从而f (x )－ln x x ＋1≥0，不符合题意． ②若0<a <12，当x ∈⎝⎛⎭⎫1，12a 时，F ′(x )>0， ∴g ′(x )在⎝⎛⎭⎫1，12a 上单调递增， 从而g ′(x )>g ′(1)＝1－2a >0，∴g (x )在⎣⎡⎭⎫1，12a 上单调递增，g (x )≥g (1)＝0，从而f (x )－ln x x ＋1≥0，不符合题意． ③若a ≥12，F ′(x )≤0在[1，＋∞)上恒成立， ∴g ′(x )在[1，＋∞)上单调递减，g ′(x )≤g ′(1)＝1－2a ≤0， 从而g (x )在[1，＋∞)上单调递减，∴g (x )≤g (1)＝0，f (x )－ln x x ＋1≤0， 综上所述，实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，＋∞.。

§1.7　定积分的简单应用学习目标　1.会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积.2.能利用定积分解决物理中的变速直线运动的路程、变力做功问题．学会用数学工具解决物理问题，进一步体会定积分的价值．知识点一　定积分在几何中的应用思考　怎样利用定积分求不分割型图形的面积？答案　求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上、下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可．梳理　(1)当x ∈[a ，b ]时，若f (x )>0，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积S ＝ʃf (x )d x .ba(2)当x ∈[a ，b ]时，若f (x )<0，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积S ＝－ʃf (x )d x .ba (3)当x ∈[a ，b ]时，若f (x )>g (x )>0，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )和曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )所围成的平面图形的面积S ＝ʃ[f (x )－g (x )]d x .(如图)ba 知识点二　变速直线运动的路程思考　变速直线运动的路程和位移相同吗？答案　不同．路程是标量，位移是矢量，路程和位移是两个不同的概念．梳理　(1)当v (t )≥0时，求某一时间段内的路程和位移均用d t 求解．21()t t t ⎰v (2)当v (t )<0时，求某一时间段内的位移用d t 求解，这一时段的路程是位移的相反数，21()t t t ⎰v 即路程为－d t .21()t t t ⎰v 做变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v ＝v (t )(v (t )≥0)在时间区间[a ，b ]上的定积分，即s ＝ʃv (t )d t .ba 知识点三　变力做功问题思考　恒力F 沿与F 相同的方向移动了s ，力F 做的功为W ＝Fs ，那么变力做功问题怎样解决？答案　与求曲边梯形的面积一样，物体在变力F (x )作用下运动，沿与F 相同的方向从x ＝a到x ＝b (a <b )，可以利用定积分得到W ＝ʃF (x )d x .b a梳理　如果物体在变力F (x )的作用下做直线运动，并且物体沿着与F (x )相同的方向从x ＝a移动到x ＝b (a <b )，那么变力F (x )所做的功为ʃF (x )d x .b a1．曲线y ＝x 3与直线x ＋y ＝2，y ＝0围成的图形面积为ʃx 3d x ＋ʃ(2－x )d x .(　√　)10212．在求变速直线运动的路程时，物体运动的速度一定为正．(　×　)3．在计算变力做功时，不用考虑力与位移的方向．(　×　)类型一　利用定积分求面积命题角度1　求不分割型图形的面积例1　由曲线y 2＝x ，y ＝x 2所围图形的面积S ＝________.考点　利用定积分求曲线所围成图形面积题点　不需分割的图形的面积求解答案　13解析　由Error!得交点的横坐标为x ＝0及x ＝1.因此，所求图形的面积为S ＝S 曲边梯形OABC －S 曲边梯形OABD＝ʃd x －ʃx 2d x 10x 10＝Error!－Error!＝－＝.1010231313反思与感悟　求由曲线围成图形面积的一般步骤(1)根据题意画出图形．(2)找出范围，确定积分上、下限．(3)确定被积函数．(4)将面积用定积分表示．(5)用微积分基本定理计算定积分，求出结果．跟踪训练1　求由抛物线y ＝x 2－4与直线y ＝－x ＋2所围成的图形的面积．考点　利用定积分求曲线所围成图形面积题点　不需分割的图形的面积求解解　由Error!得Error!或Error!所以直线y ＝－x ＋2与抛物线y ＝x 2－4的交点坐标为(－3,5)和(2,0)，设所求图形面积为S ，根据图形可得，S ＝ʃ(－x ＋2)d x －ʃ(x 2－4)d x 2－32－3＝Error!－Error!2－32－3＝－＝.252(－253)1256命题角度2　分割型图形面积的求解例2　求由曲线y ＝，y ＝2－x ，y ＝－x 所围成的图形的面积．x 13考点　利用定积分求曲线所围成图形面积题点　需分割的图形的面积求解解　画出图形，如图所示．解方程组Error!Error!Error!得交点坐标分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)，所以S ＝ʃd x ＋ʃd x 10[x －(－13x )]31[(2－x )－(－13x )]＝ʃd x ＋ʃd x10(x ＋13x )31(2－23x )＝Error!＋Error!1031＝＋＋6－×9－2＋＝.23161313136反思与感悟　两条或两条以上的曲线围成的图形，一定要确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分上、下限，若积分变量选x 运算较烦琐，则积分变量可选y ，同时要更换积分上、下限．跟踪训练2　求由曲线y ＝x 2，直线y ＝2x 和y ＝x 所围成的图形的面积．考点　利用定积分求曲线所围成图形面积题点　需分割的图形的面积求解解　由Error!和Error!解出O ，A ，B 三点的横坐标分别是0,1,2.故所求的面积S ＝ʃ(2x －x )d x ＋ʃ(2x －x 2)d x 1021＝Error!＋Error!1021＝－0＋－＝.12(4－83)(1－13)76类型二　定积分在物理中的应用例3　一点在直线上从时刻t ＝0 s 开始以速度v ＝t 2－4t ＋3(v 的单位：m/s)运动，求：(1)该点在t ＝4 s 时的位置；(2)该点前4 s 走过的路程．考点　利用定积分求路程问题题点　利用定积分求路程问题解　(1)在t ＝4 s 时，该点的位移为ʃ(t 2－4t ＋3)d t ＝Error!＝，即在t ＝4 s 时，该点与出发404043点的距离为 m.43(2)因为v (t )＝t 2－4t ＋3＝(t －1)(t －3)，所以在区间[0,1]及[3,4]上，v (t )≥0，在区间[1,3]上，v (t )≤0，所以走过的路程s ＝ʃ(t 2－4t ＋3)d t ＋＋ʃ(t 2－4t ＋3)d t ＝ʃ(t 2－4t ＋3)10|ʃ31(t 2－4t ＋3)d t |4310d t －ʃ(t 2－4t ＋3)d t ＋ʃ(t 2－4t ＋3)d t ＝4(m)，即前4 s 走过的路程为4 m.3143反思与感悟　(1)求变速直线运动的物体的路程(位移)方法①用定积分计算做直线运动物体的路程，要先判断速度v (t )在时间区间内是否为正值，若v (t )>0，则运动物体的路程为s ＝ʃv (t )d t ；若v (t )<0，则运动物体的路程为s ＝ʃ|v (t )ba b a |d t ＝－ʃv (t )d t ；ba ②注意路程与位移的区别．(2)求变力做功的方法步骤①首先要明确变力的函数式F (x )，确定物体在力的方向上的位移；②利用变力做功的公式W ＝ʃF (x )d x 计算；ba ③注意必须将力与位移的单位换算为牛顿与米，功的单位才为焦耳．跟踪训练3　一弹簧在弹性限度内，拉伸弹簧所用的力与弹簧伸长的长度成正比．若20 N 的力能使弹簧伸长3 cm ，则把弹簧从平衡位置拉长13 cm(在弹性限度内)时所做的功W 为( )A. JB ．5 J16930C. JD ．6 J 15930考点　利用定积分求变力做功问题题点　定积分在弹力做功中的应用答案　A解析　设拉伸弹簧所用的力为F N ，弹簧伸长的长度为x m ，则F ＝kx .由题意知20＝0.03k ，得k ＝，2 0003所以F ＝x .由变力做功公式，2 0003得W ＝ʃx d x ＝Error!＝(J)，0.130 2 00030.13016930故把弹簧从平衡位置拉长13 cm 时所做的功为 J.169301．由曲线y ＝x 2与直线y ＝2x 所围成的平面图形的面积为( )A.B.4383C.D.16323考点　利用定积分求曲线所围成图形面积题点　不需分割的图形的面积求解答案　A解析　如图，画出曲线y ＝x 2和直线y ＝2x 的图象，则所求面积S 为图中阴影部分的面积．解方程组Error!得Error!Error!所以A (2,4)，O (0,0)．所以S ＝ʃ2x d x －ʃx 2d x 2020＝x 2＝4－＝.|20－13x 3|20(83－0)432．一物体在力F (x )＝3x 2－2x ＋5(力的单位：N ，位移单位：m)的作用下沿与力F (x )相同的方向由x ＝5 m 运动到x ＝10 m ，则F (x )做的功为( )A ．925 JB ．850 JC ．825 JD ．800 J考点　利用定积分求变力做功问题题点　定积分在弹力做功中的应用答案　C解析　依题意F (x )做的功是W ＝ʃF (x )d x ＝ʃ(3x 2－2x ＋5)d x 105105＝(x 3－x 2＋5x )|＝825(J)．1053．由曲线y ＝与直线x ＝1，x ＝2，y ＝1所围成的封闭图形的面积为________．1x 考点　利用定积分求曲线所围成图形面积题点　不需分割的图形的面积求解答案　1－ln 2解析　因为函数y ＝在[1,2]上的积分为S 2＝ʃd x ＝ln x |＝ln 2，1x 211x 21所以围成的封闭图形的面积S 1等于四边形ABCD 的面积减去S 2的面积，即S 1＝1－ln 2.4．一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，则汽车在1分钟内行驶的路程为________ m.考点　利用定积分求路程问题题点　利用定积分求路程问题答案　900解析　由速度—时间曲线得v (t )＝Error!所以汽车在1分钟内行驶的路程为ʃ3t d t ＋ʃError!＋Error!10060101006010＝150＋750＝900 m.5．求由抛物线y ＝x 2－1，直线x ＝2，y ＝0所围成的图形的面积．考点　利用定积分求曲线所围成图形面积题点　需分割的图形的面积求解解　作出草图如图所示，所求图形的面积为图中阴影部分的面积．由x 2－1＝0，得抛物线与x 轴的交点坐标是(－1,0)和(1,0)，因此所求图形的面积为S ＝ʃ|x 2－1|d x ＋ʃ(x 2－1)d x 1－121＝ʃ(1－x 2)d x ＋ʃ(x 2－1)d x 1－121＝Error!＋Error!1－121＝－＋－(1－13)(－1＋13)(13×23－2)(13－1)＝.83对于简单图形的面积求解，我们可直接运用定积分的几何意义，此时(1)确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标；(2)确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差．这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了．注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负或为零；而平面图形的面积总是非负的．一、选择题1.用S表示图中阴影部分的面积，则S的值是( )c aA．ʃf(x)d xc aB．|ʃf(x)d x|b ac bC．ʃf(x)d x＋ʃf(x)d xc b b aD．ʃf(x)d x－ʃf(x)d x考点　利用定积分求曲线所围成图形面积题点　需分割的图形的面积求解答案　D解析　∵x∈[a，b]时，f(x)<0，x∈[b，c]时，f(x)>0，c b b a∴阴影部分的面积S＝ʃf(x)d x－ʃf(x)d x.2．一物体以速度v＝(3t2＋2t)m/s做直线运动，则它在t＝0 s到t＝3 s时间段内的位移是( ) A．31 m B．36 mC．38 m D．40 m考点　利用定积分求路程问题题点　利用定积分求路程问题答案　B3030解析　S＝ʃ(3t2＋2t)d t＝(t3＋t2)|＝33＋32＝36(m)，故选B.3．一物体在力F(x)＝4x－1(单位：N)的作用下，沿着与力F相同的方向，从x＝1运动到x＝3处(单位：m)，则力F(x)所做的功为( )A．8 J B．10 J C．12 J D．14 J考点　利用定积分求变力做功问题题点　定积分在弹力做功中的应用答案　D3131解析　由变力做功公式有W＝ʃ(4x－1)d x＝(2x2－x)|＝14(J)，故选D.4．由直线x ＝0，x ＝，y ＝0与曲线y ＝2sin x 所围成的图形的面积等于( )2π3A ．3 B. C ．1 D.3212考点　利用定积分求曲线所围成图形面积题点　不需分割的图形的面积求解答案　A解析　直线x ＝0，x ＝，y ＝0与曲线y ＝2sin x 所围成的图形如图所示，2π3其面积为S ＝＝－2cos x 2π302sin d x x 2π30|＝－2cos －(－2cos 0)＝1＋2＝3，故选A.2π35．由y ＝x 2，y ＝x 2及x ＝1围成的图形的面积S 等于( )14A.B.1213C. D ．114考点　利用定积分求曲线所围成图形面积题点　不需分割的图形的面积求解答案　C解析　y ＝x 2，y ＝x 2，x ＝1所围成的图形如图所示，14S ＝ʃx 2d x －ʃx 2d x 101014＝ʃx 2d x 1034＝Error!＝.10146．由直线y ＝x ，曲线y ＝x 3围成的封闭图形的面积为( )A.B.1434C.D.1243考点　利用定积分求曲线所围成图形面积题点　需分割的图形的面积求解答案　C解析　由直线y ＝x ，曲线y ＝x 3围成的封闭图形如图，所以由直线y ＝x ，曲线y ＝x 3围成的封闭图形的面积为2ʃ(x －x 3)d x ＝，故选C.10127．由曲线y ＝与直线y ＝2x －1及x 轴所围成的封闭图形的面积为( )x A. B.121112C. D.16512考点　利用定积分求曲线所围成图形面积题点　需分割的图形的面积求解答案　D解析　联立曲线y ＝与直线y ＝2x －1，构成方程组x Error!解得Error!联立直线y ＝2x －1，y ＝0构成方程组，解得Error!∴曲线y ＝与直线y ＝2x －1及x 轴所围成的封闭图形的面x 积为S ＝ʃd x －10x 112(21)d x x-⎰312120122|()|3x x x =--＝＋－＝.231412512二、填空题8．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋(t 的251＋t 单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是________．考点　利用定积分求路程问题题点　利用定积分求路程问题答案　4＋25ln 5解析　由v (t )＝7－3t ＋＝0，可得t ＝4，因此汽车从刹车到停止一共行驶了251＋t (t ＝－83舍去)4 s ，此期间行驶的距离为ʃv (t )d t ＝ʃd t ＝Error!＝4＋25ln 5.4040(7－3t ＋251＋t )409．由曲线y ＝e x ，y ＝e －x 及x ＝1所围成的图形的面积为____________．考点　利用定积分求曲线所围成图形面积题点　不需分割的图形的面积求解答案　e ＋－21e 解析　如图，所围成的图形的面积为ʃ(e x －e －x )d x 10＝(e x ＋e －x )|10＝e ＋e －1－2＝e ＋－2.1e 10.如图，已知点A ，点P (x 0，y 0)(x 0>0)在曲线y ＝x 2上，若阴影部分的面积与△OAP 的(0，14)面积相等，则x 0＝________.考点　导数与积分几何意义的应用题点　导数与积分几何定义的应用答案　64解析　由题意知×x 0×＝1214020d ,x x x即x 0＝x ，181330解得x 0＝或x 0＝－或x 0＝0.6464∵x 0>0，∴x 0＝.6411．若两曲线y ＝x 2与y ＝cx 3(c >0)围成图形的面积是，则c ＝________.23考点　利用定积分求曲线所围成图形的面积题点　已知曲线所围成图形的面积求参数答案　12解析　由Error!得x ＝0或x ＝.1c ∵当0<x <时，x 2>cx 3，1c ∴S ＝＝Error!1230(-)d c x cx x 10c ＝－＝＝.13c 314c 3112c 323∴c 3＝，∴c ＝.1812三、解答题12．求由抛物线y 2＝8x (y >0)与直线x ＋y －6＝0及y ＝0所围成图形的面积．考点　利用定积分求曲线所围成图形的面积题点　需分割的图形的面积求解解　如图所示，由Error!得Error!所以抛物线y 2＝8x (y >0)与直线x ＋y －6＝0的交点坐标为(2,4)．方法一　(选y 为积分变量)S ＝ʃd y 40(6－y －18y 2)＝Error!4＝24－8－×64＝.124403方法二　(选x 为积分变量)S ＝ʃ()d x ＋ʃ(6－x )d x 208x 62＝Error!＋Error!2062＝＋163[(6×6－12×62)－(6×2－12×22)]＝.40313.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与直线y ＝0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为，求a 的值．274考点　利用定积分求曲线所围成图形面积题点　已知曲线所围成图形的面积求参数解　由题图知方程f (x )＝0有两个实根，其中有一个实根为0，于是b ＝0，所以f (x )＝x 2(x ＋a )．有＝ʃ[0－(x 3＋ax 2)]d x ＝－Error!＝，274－a 0－a 0a 412所以a ＝±3.又－a >0，即a <0，所以a ＝－3.四、探究与拓展14.如图，在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为________．考点　利用定积分求曲线所围成图形面积题点　不需分割的图形的面积求解答案　2e2解析　∵S 阴＝2ʃ(e －e x )d x ＝2(e x －e x )|＝2，1010S 正方形＝e 2，∴P ＝.2e215.已知S 1为直线x ＝0，y ＝4－t 2及y ＝4－x 2所围成图形的面积，S 2为直线x ＝2，y ＝4－t 2及曲线y ＝4－x 2所围成图形的面积(t 为常数)．(1)若t ＝，求S 2；2(2)若t ∈(0,2)，求S 1＋S 2的最小值．考点　利用定积分求曲线所围成图形面积题点　需分割的图形的面积求解解　(1)当t ＝时，S 2＝222(4)]d x x --＝＝(－1)．432(2)当t ∈(0,2)时，S 1＝ʃ[(4－x 2)－(4－t 2)]d x t 0＝Error!＝t 3.t 023S 2＝ʃ[(4－t 2)－(4－x 2)]d x 2t ＝Error!＝－2t 2＋t 3.2t 8323所以S ＝S 1＋S 2＝t 3－2t 2＋.4383S ′＝4t 2－4t ＝4t (t －1)，令S ′＝0，得t ＝0(舍去)或t ＝1，当0<t <1时，S ′<0，S 单调递减，当1<t <2时，S ′>0，S 单调递增，所以当t ＝1时，S min ＝2.。

§合情推理与演绎推理．合情推理学习目标.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.了解合情推理在数学发现中的作用．知识点一归纳推理思考()铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电．()统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体．以上属于什么推理？答案属于归纳推理．梳理()定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．()特征：由部分到整体，由个别到一般的推理．知识点二类比推理思考科学家对火星进行研究，发现火星与地球有许多类似的特征：()火星也是绕太阳公转、绕轴自转的行星；()有大气层，在一年中也有季节更替；()火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存，等等．由此，科学家猜想：火星上也可能有生命存在．他们使用了什么样的推理？答案类比推理．梳理()定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．()特征：由特殊到特殊的推理．知识点三合情推理思考归纳推理与类比推理有何区别与联系？答案区别：归纳推理是由特殊到一般的推理；而类比推理是由个别到个别的推理或是由特殊到特殊的推理．联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真可假．梳理()定义：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．通俗地说，合情推理就是合乎情理的推理．()推理的过程―→―→―→．类比推理得到的结论可作为定理应用．(×)．由个别到一般的推理为归纳推理．(√)．在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．(×)类型一归纳推理例()观察下列等式：＋＝×，。

1．3.3函数的最大(小)值与导数(二)学习目标 1.理解极值与最值的关系，并能利用其求参数的范围.2.能利用导数解决一些简单的恒成立问题．知识点用导数求函数f(x)最值的基本方法(1)求导函数：求函数f(x)的导函数f′(x)；(2)求极值嫌疑点：即f′(x)不存在的点和f′(x)＝0的点；(3)列表：依极值嫌疑点将函数的定义域分成若干个子区间，列出f′(x)与f(x)随x变化的一览表；(4)求极值：依(3)的表中所反应的相关信息，求出f(x)的极值点和极值；(5)求区间端点的函数值；(6)求最值：比较极值嫌疑点和区间端点的函数值后，得出函数f(x)在其定义域内的最大值和最小值.类型一由极值与最值关系求参数范围例1若函数f(x)＝3x－x3在区间(a2－12，a)上有最小值，则实数a的取值范围是() A．(－1，11) B．(－1,4)C．(－1,2] D．(－1,2)考点利用导数求函数中参数的取值范围题点最值存在性问题答案 C解析由f′(x)＝3－3x2＝0，得x＝±1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：由此得a2－12<－1<a，解得－1<a<11.又当x∈(1，＋∞)时，f(x)单调递减，且当x ＝2时，f (x )＝－2.∴a ≤2. 综上，－1<a ≤2.反思与感悟 函数在开区间内存在最值，则极值点必落在该区间内．跟踪训练1 若函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在(0,1)内有最小值，则实数b 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(－∞，1) C ．(0，＋∞)D.⎝⎛⎭⎫0，12 考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 最值存在性问题 答案 D解析 由题意得，函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 的导数f ′(x )＝3x 2－6b 在(0,1)内有零点， 且f ′(0)<0，f ′(1)>0，即－6b <0，且(3－6b )>0， ∴0<b <12，故选D.类型二 与最值有关的恒成立问题例2 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－23与x ＝1处都取得极值．(1)求a ，b 的值及函数f (x )的单调区间；(2)若对x ∈[－1,2]，不等式f (x )<c 2恒成立，求实数c 的取值范围． 考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 利用导数求恒成立中参数的取值范围 解 (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ， 得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，因为f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，f ′⎝⎛⎭⎫－23＝43－43a ＋b ＝0， 解得a ＝－12，b ＝－2，所以f ′(x )＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)，令f ′(x )＝0，得x ＝－23或x ＝1，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－23，(1，＋∞)；单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－23，1.(2)由(1)知，f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋c ，x ∈[－1,2]，当x ＝－23时，f ⎝⎛⎭⎫－23＝2227＋c 为极大值， 因为f (2)＝2＋c ，所以f (2)＝2＋c 为最大值． 要使f (x )<c 2(x ∈[－1,2])恒成立，只需c 2>f (2)＝2＋c ， 解得c <－1或c >2.故实数c 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)． 引申探究若本例中条件不变，“把(2)中对x ∈[－1,2]，不等式f (x )<c 2恒成立”改为“若存在x ∈[－1,2]，不等式f (x )<c 2成立”，结果如何？解 由典例解析知当x ＝1时，f (1)＝c －32为极小值，又f (－1)＝12＋c >c －32，所以f (1)＝c －32为最小值．因为存在x ∈[－1,2]，不等式f (x )<c 2成立， 所以只需c 2>f (1)＝c －32，即2c 2－2c ＋3>0，解得c ∈R .故实数c 的取值范围为R .反思与感悟 分离参数求解不等式恒成立问题的步骤跟踪训练2 (1)已知函数f (x )＝2x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －3对一切x ∈(0，＋∞)，f (x )≥g (x )恒成立，则a 的取值范围是________． 考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 利用导数求恒成立中参数的取值范围 答案 (－∞，4]解析 由2x ln x ≥－x 2＋ax －3， 得a ≤2ln x ＋x ＋3x.设h (x )＝2ln x ＋3x ＋x (x >0)．则h ′(x )＝(x ＋3)(x －1)x 2，当x ∈(0,1)时，h ′(x )<0，h (x )单调递减， 当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增． ∴h (x )min ＝h (1)＝4. ∴a ≤4.(2)设L 为曲线C ：y ＝ln xx 在点(1,0)处的切线．①求L 的方程；②证明：除切点(1,0)之外，曲线C 在直线L 的下方． 考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 恒成立中的证明问题 ①解 设f (x )＝ln xx ，则f ′(x )＝1－ln xx 2，所以f ′(1)＝1，所以L 的方程为y ＝x －1.②证明 设g (x )＝x －1－f (x )，除切点外，曲线C 在直线L 的下方等价于∀x >0且x ≠1，g (x )>0. g (x )满足g (1)＝0，且g ′(x )＝1－f ′(x )＝x 2－1＋ln x x 2.当0<x <1时，x 2－1<0，ln x <0， 所以g ′(x )<0，故g (x )在(0,1)上单调递减； 当x >1时，x 2－1>0，ln x >0， 所以g ′(x )>0，故g (x )在(1，＋∞)上单调递增； 所以，∀x >0且x ≠1，g (x )>g (1)＝0. 所以除切点外，曲线C 在直线L 的下方.1．函数f (x )＝x e －x ，x ∈[0,4]的最大值是( )A ．0 B.1e C.4e 4 D.2e 2考点 利用导数求函数的最值精心整理 提升自我题点 利用导数求不含参数函数的最值 答案 B解析 f ′(x )＝e －x －x e －x ＝e －x (1－x )，∴当0≤x ≤1时，f ′(x )≥0，f (x )单调递增， 当1≤x ≤4时，f ′(x )≤0，f (x )单调递减， ∴当x ＝1时，f (x )max ＝f (1)＝1e .故选B.2．函数f (x )＝x ln x 的最小值为( ) A ．e 2 B ．－e C ．－e －1D ．－103考点 利用导数求函数的最值 题点 利用导数求不含参数函数的最值 答案 C解析 ∵f (x )＝x ln x ，定义域是(0，＋∞)， ∴f ′(x )＝1＋ln x ， 令f ′(x )>0，解得x >1e ，令f ′(x )<0，解得0<x <1e，∴函数在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上单调递增， 故当x ＝1e 时，函数取最小值－1e，故选C.3．已知函数f (x )＝e x －x ＋a ，若f (x )>0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1，＋∞) B ．(－∞，－1) C ．[－1，＋∞)D ．(－∞，－1]考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 利用导数求恒成立中参数的取值范围 答案 A解析 f ′(x )＝e x －1， 令f ′(x )>0，解得x >0， 令f ′(x )<0，解得x <0，故f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增， 故f (x )min ＝f (0)＝1＋a ， 若f (x )>0恒成立，则1＋a >0，解得a >－1，故选A.4．已知函数f (x )＝x 3－3x 2＋2，x 1，x 2是区间[－1,1]上任意两个值，M ≥|f (x 1)－f (x 2)|恒成立，则M 的最小值是________．考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 利用导数求恒成立中参数的取值范围 答案 4解析 f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)， 当－1≤x <0时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 当0<x ≤1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，所以当x ＝0时，f (x )取得极大值，也为最大值，f (0)＝2， 又f (－1)＝－2，f (1)＝0， 所以f (x )的最小值为－2， 对[－1,1]上任意x 1，x 2， |f (x 1)－f (x 2)|≤f (x )max －f (x )min ＝4，所以M ≥|f (x 1)－f (x 2)|恒成立，等价于M ≥4，即M 的最小值为4.5．已知函数f (x )＝ax 4ln x ＋bx 4－c (x >0)在x ＝1处取得极值－3－c ，其中a ，b ，c 为常数． (1)试确定a ，b 的值； (2)讨论函数f (x )的单调区间；(3)若对任意x >0，不等式f (x )≥－2c 2恒成立，求实数c 的取值范围． 考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 利用导数求恒成立中参数的取值范围解 (1)由f (x )在x ＝1处取得极值－3－c 知f (1)＝b －c ＝－3－c ，得b ＝－3. 又f ′(x )＝4ax 3ln x ＋ax 4·1x ＋4bx 3＝x 3(4a ln x ＋a ＋4b )，由f ′(1)＝0，得a ＋4b ＝0，a ＝－4b ＝12. (2)由(1)知f ′(x )＝48x 3ln x (x >0)． 令f ′(x )＝0，得x ＝1.当0<x <1时，f ′(x )<0，f (x )为减函数； 当x >1时，f ′(x )>0，f (x )为增函数．因此，f (x )的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，＋∞)．(3)由(2)知f (1)＝－3－c 既是极小值，也是(0，＋∞)内的最小值，要使f (x )≥－2c 2(x >0)恒成立，只需－3－c ≥－2c 2，即2c 2－c －3≥0. 从而(2c －3)(c ＋1)≥0，解得c ≥32或c ≤－1.故实数c 的取值范围为(－∞，－1]∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞.1．若函数在开区间内存在最值，则极值点必落在已知区间内．2．已知不等式在某一区间上恒成立，求参数的取值范围：一般先分离参数，再转化为求函数在给定区间上的最值问题求解；若不能分离，则构造函数，利用函数的性质求最值.一、选择题1．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴切于(1,0)点，则f (x )在[－1,1]上的最大值、最小值分别为( ) A ．0，－4 B.427，－4 C.427，0 D ．2,0考点 利用导数求函数的最值 题点 利用导数求不含参数函数的最值 答案 B解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝0，f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ p ＋q ＝1，3－2p －q ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝－1. 则f (x )＝x 3－2x 2＋x ，f ′(x )＝3x 2－4x ＋1， 令f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝13，由f ⎝⎛⎭⎫13＝427，f (－1)＝－4，f (1)＝0， ∴f (x )max ＝427，f (x )min ＝－4. 2．已知a ，b 为正实数，函数f (x )＝ax 3＋bx ＋2在[0,1]上的最大值为4，则f (x )在[－1,0]上的最小值为( ) A ．0 B.32 C ．－2D ．2考点 利用导数求函数的最值 题点 利用导数求含参数函数的最值答案 A解析 因为a ，b 为正实数， 所以f (x )＝ax 3＋bx ＋2是增函数，函数f (x )＝ax 3＋bx ＋2在[0,1]上的最大值f (1)＝a ＋b ＋2＝4，a ＋b ＝2. 在[－1,0]上的最小值为f (－1)＝－(a ＋b )＋2＝0.3．若关于x 的不等式x 3－3x ＋3＋a ≤0恒成立，其中－2≤x ≤3，则实数a 的最大值为( ) A ．1 B ．－1 C ．－5D ．－21考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 利用导数求恒成立问题中参数的取值范围 答案 D解析 若关于x 的不等式x 3－3x ＋3＋a ≤0恒成立， 则a ≤－x 3＋3x －3在[－2,3]上恒成立， 令f (x )＝－x 3＋3x －3，x ∈[－2,3]， 则f ′(x )＝－3x 2＋3＝－3(x ＋1)(x －1)， 令f ′(x )>0，解得－1<x <1， 令f ′(x )<0，解得x >1或x <－1，故f (x )在[－2，－1)上单调递减，在(－1,1)上单调递增，在(1,3]上单调递减， 而f (－2)＝－1，f (－1)＝－5，f (1)＝－1，f (3)＝－21， 故a ≤－21，故a 的最大值是－21.4．当x ∈(0,3)时，关于x 的不等式e x －x －2mx >0恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－∞，e －12B.⎝⎛⎭⎫e －12，＋∞ C ．(－∞，e ＋1)D ．(e ＋1，＋∞)考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 利用导数求恒成立问题中参数的取值范围 答案 A解析 当x ∈(0,3)时，关于x 的不等式e x －x －2mx >0恒成立， 即为2m ＋1<e xx 在(0,3)上的最小值，令f (x )＝e xx ，则f ′(x )＝e x (x －1)x 2，当0<x <1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当1<x <3时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 可得f (x )在x ＝1处取得最小值e ，即有2m ＋1<e ，可得m <e －12.5．若函数f (x )＝－x 3－3x 2＋1在[a ，＋∞)上的最大值为1，则a 的取值范围是( ) A ．[－3，＋∞) B ．(－3，＋∞) C ．(－3,0)D ．[－3,0]考点 导数在最值问题中的应用 题点 已知最值求参数 答案 D解析 ∵f (x )＝－x 3－3x 2＋1， ∴f ′(x )＝－3x 2－6x ，令f ′(x )＝－3x 2－6x ＝0，解得x ＝0或x ＝－2， 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由f (x )＝1，得－x 3－3x 2＋1＝1， 解得x ＝0或x ＝－3. 当x >0时，f (x )<f (0)＝1， 当x <－3时，f (x )>f (－3)＝1，又f (x )＝－x 3－3x 2＋1在[a ，＋∞)上的最大值为1， ∴a 的取值范围为[－3,0]．6．关于函数f (x )＝(2x －x 2)e x 的命题： ①f (x )>0的解集是{x |0<x <2}； ②f (－2)是极小值，f (2)是极大值； ③f (x )没有最小值，也没有最大值． 其中正确的命题是( ) A ．①② B ．①②③ C ．②③D ．①③考点 导数在最值问题中的应用 题点 最值与极值的综合应用 答案 A解析 ①由于e x >0，所以f (x )>0， 即需2x －x 2>0解得{x |0<x <2}，①正确．②因为f (x )＝(2x －x 2)e x 的定义域是R ， f ′(x )＝(2－2x )e x ＋(2x －x 2)e x ＝(2－x 2)e x ， 令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝ 2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以f (－2)是极小值，f (2)是极大值，②正确． ③由图象(图略)知f (2)为最大值，无最小值，③错误．7．若函数f (x )＝x 3－3x 在(a,6－a 2)上有最大值，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－7，－1) B ．(－7，－1] C ．(－7，－2)D ．(－7，－2]考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 最值存在性问题 答案 D解析 由题意知f (x )＝x 3－3x ， 所以f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)， 当x <－1或x >1时，f ′(x )>0； 当－1<x <1时，f ′(x )<0， 故x ＝－1是函数f (x )的极大值点，f (－1)＝－1＋3＝2，令x 3－3x ＝2，解得x ＝2，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a <6－a 2，a <－1，6－a 2>－1，6－a 2≤2，解得－7<a ≤－2. 二、填空题8．已知f (x )＝－x 2＋mx ＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f (x )的极大值，则m 的取值范围是________．考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 最值存在性问题 答案 [－4，－2]解析 f ′(x )＝m －2x ，令f ′(x )＝0，得x ＝m2.由题意得m2∈[－2，－1]，故m ∈[－4，－2]．9．已知e 是自然对数的底数，若函数f (x )＝e x 的图象始终在函数g (x )＝x －a 图象的上方，则实数a 的取值范围是________． 考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 利用导数求恒成立问题中参数的取值范围 答案 (－1，＋∞)解析 由题意知f (x )－g (x )＝e x －x ＋a >0，对一切实数x 恒成立， 令h (x )＝e x －x ＋a ，则h (x )min >0， ∵h ′(x )＝e x －1， 令h ′(x )＝0得x ＝0，当x <0时，h ′(x )<0，则h (x )在(－∞，0)上单调递减， 当x >0时，h ′(x )>0，则h (x )在(0，＋∞)上单调递增， ∴当x ＝0时，h (x )取得极小值，即最小值为h (0)＝1＋a ， ∴1＋a >0，即a >－1.10．已知函数f (x )＝ax 3－3x ＋1，且对任意x ∈(0,1]，f (x )≥0恒成立，则实数a 的取值范围是________．考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 利用导数求恒成立问题中参数的取值范围 答案 [4，＋∞)解析 当x ∈(0,1]时，不等式ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x －1x 3. 设g (x )＝3x －1x3，x ∈(0,1]，则g ′(x )＝3x 3－(3x －1)·3x2x 6＝－6⎝⎛⎭⎫x －12x 4. 令g ′(x )＝0，得x ＝12.当x 变化时，g ′(x )，g (x )的变化情况如下表：因此g (x )的最大值等于极大值g ⎝⎛⎭⎫12＝4，则实数a 的取值范围是[4，＋∞)．11．已知函数f (x )＝ax －ln x ，g (x )＝e x －ax ，其中a 为正实数，若f (x )在(1，＋∞)上无最小值，且g (x )在(1，＋∞)上是单调递增函数，则实数a 的取值范围为________． 考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 最值存在性问题 答案 [1，e]解析 ∵f (x )＝ax －ln x (x >0)， ∴f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x ，若f (x )在(1，＋∞)上无最小值， 则f (x )在(1，＋∞)上单调， ∴f ′(x )≥0在(1，＋∞)上恒成立， 或f ′(x )≤0在(1，＋∞)上恒成立，∴a ≥1x 或a ≤1x ，而函数y ＝1x 在(1，＋∞)上单调递减，∴当x ＝1时，函数y 取得最大值1， ∴a ≥1或a ≤0，而a 为正实数，故a ≥1，① 又∵g (x )＝e x －ax ，∴g ′(x )＝e x －a ，∵函数g (x )＝e x －ax 在区间(1，＋∞)上单调递增， ∴g ′(x )＝e x －a ≥0在区间(1，＋∞)上恒成立， ∴a ≤(e x )min 在区间(1，＋∞)上恒成立． 而e x >e ，∴a ≤e.② 综合①②，a ∈[1，e]． 三、解答题12．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )．(1)若函数f (x )在x ＝－1和x ＝3处取得极值，试求a ，b 的值；(2)在(1)的条件下，当x ∈[－2,6]时，f (x )<2|c |恒成立，求实数c 的取值范围． 考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 利用导数求恒成立问题中参数的取值范围 解 (1)f ′(x )＝3x 2－2ax ＋b ，∵函数f (x )在x ＝－1和x ＝3处取得极值， ∴－1,3是方程3x 2－2ax ＋b ＝0的两根．∴⎩⎨⎧－1＋3＝2a 3，－1×3＝b3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－9.(2)由(1)知f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋c ，令f ′(x )＝3x 2－6x －9＝0，得x ＝－1或x ＝3. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：而f (－1)＝c ＋5，f (3)＝c －27，f (－2)＝c －2， f (6)＝c ＋54，∴当x ∈[－2,6]时，f (x )的最大值为c ＋54， 要使f (x )<2|c |恒成立，只需c ＋54<2|c |. 当c ≥0时，c ＋54<2c ，∴c >54； 当c <0时，c ＋54<－2c ，∴c <－18.故实数c 的取值范围是(－∞，－18)∪(54，＋∞)．13．已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋a e x，若当x ∈[0,2]时，f (x )≥1e 2恒成立，求a 的取值范围． 考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 利用导数求恒成立问题中参数的取值范围 解f ′(x )＝－ax 2＋(2a －1)x ＋1－ae x＝－(ax ＋1－a )(x －1)e x.当a ＝0时，令f ′(x )＝0，得x ＝1.在(0,1)上，有f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；在(1,2)上，有f ′(x )<0，函数f (x )单调递减． 又f (0)＝0，f (2)＝2e 2，故函数f (x )的最小值为f (0)＝0，结论不成立．当a ≠0时，令f ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝1－1a .若a <0，则f (0)＝a <0，结论不成立． 若0<a ≤1，则1－1a≤0.在(0,1)上，有f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；在(1,2)上，有f ′(x )<0，函数f (x )单调递减．只需⎩⎨⎧f (0)≥1e2，f (2)≥1e 2，得到⎩⎨⎧a ≥1e2，a ≥－15，所以1e2≤a ≤1.若a >1，则0<1－1a <1，函数在x ＝1－1a处有极小值，只需⎩⎨⎧f ⎝⎛⎭⎫1－1a ≥1e2，f (2)≥1e 2，得到⎩⎨⎧2a －1≥11ea--，a ≥－15.因为2a －1>1，11ea--<1，所以a >1.综上所述，a 的取值范围是a ≥1e 2.四、探究与拓展14．设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为( )A ．1 B.12 C.52 D.22考点 利用导数求函数的最值 题点 利用导数求不含参数函数的最值 答案 D解析 由题意画出函数图象如图所示， 由图可以看出|MN |＝y ＝t 2－ln t (t >0)．y ′＝2t －1t ＝2t 2－1t ＝2⎝⎛⎭⎫t ＋22⎝⎛⎭⎫t －22t.当0<t <22时，y ′<0，可知y 在⎝⎛⎭⎫0，22上单调递减； 当t >22时，y ′>0，可知y 在⎝⎛⎭⎫22，＋∞上单调递增．故当t ＝22时，|MN |有极小值也是最小值． 15．已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围． 考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 已知最值求参数解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－a .若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增． 若a >0，则当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，f ′(x )>0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0.所以f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减． 综上，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增， 当a >0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增， 在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减． (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值；当a >0时，f (x )在x ＝1a 处取得极大值且为最大值，最大值为f ⎝⎛⎭⎫1a ＝ln ⎝⎛⎭⎫1a ＋a ⎝⎛⎭⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1.因此f ⎝⎛⎭⎫1a >2a －2等价于ln a ＋a －1<0.令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增，g (1)＝0. 于是，当0<a <1时，g (a )<0；当a >1时，g (a )>0. 因此，a 的取值范围是(0,1)．。

§1.4生活中的优化问题举例学习目标 1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．知识点生活中的优化问题(1)生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．(2)利用导数解决优化问题的实质是求函数最值．(3)解决优化问题的基本思路：上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程．1．生活中常见到的收益最高，用料最省等问题就是数学中的最大、最小值问题．(√) 2．解决应用问题的关键是建立数学模型．(√)类型一几何中的最值问题例1请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．点E，F在边AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)．某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．考点利用导数求几何模型的最值问题题点 利用导数求几何体体积的最值问题解 ∵V (x )＝(2x )2×(60－2x )×22 ＝2x 2×(60－2x )＝－22x 3＋602x 2(0<x <30)．∴V ′(x )＝－62x 2＋1202x ＝－62x (x －20)．令V ′(x )＝0，得x ＝0(舍去)或x ＝20.∵当0<x <20时，V ′(x )>0；当20<x <30时，V ′(x )<0.∴V (x )在x ＝20时取极大值也是唯一的极值，故为最大值． ∴底面边长为2x ＝202(cm)，高为2(30－x )＝102(cm)， 即高与底面边长的比值为12. 引申探究本例条件不变，若要求包装盒的侧面积S (cm 2)最大，试问x 应取何值？解 ∵AE ＝x ，∴HE ＝2x .∵EF ＝60－2x ，∴EG ＝22EF ＝22(60－2x )＝2(30－x )． ∴S 侧＝4×HE ×EG ＝4×2x ×2(30－x )＝8x (30－x )＝－8x 2＋240x＝－8(x －15)2＋8×152.∴当x ＝15时，S 侧最大为1 800 cm 2.反思与感悟 面积、体积(容积)最大，周长最短，距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验． 跟踪训练1 (1)已知圆柱的表面积为定值S ，当圆柱的容积V 最大时，圆柱的高h 的值为________．考点 利用导数求几何模型的最值问题题点 利用导数求几何体体积的最值问题(2)将一段长为100 cm 的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，当正方形与圆形面积之和最小时，圆的周长为________ cm.考点 利用导数求几何模型的最值问题题点 利用导数求面积的最值问题答案 (1)6πS 3π (2)100π4＋π解析 (1)设圆柱的底面半径为r ，则S 圆柱底＝2πr 2，S 圆柱侧＝2πrh ，∴圆柱的表面积S ＝2πr 2＋2πrh .∴h ＝S －2πr 22πr， 又圆柱的体积V ＝πr 2h ＝r 2(S －2πr 2)＝rS －2πr 32， V ′(r )＝S －6πr 22， 令V ′(r )＝0，得S ＝6πr 2，∴h ＝2r ，∵V ′(r )只有一个极值点，∴当h ＝2r 时圆柱的容积最大．又r ＝S 6π，∴h ＝2S 6π＝6πS 3π. 即当圆柱的容积V 最大时，圆柱的高h 为6πS 3π. (2)设弯成圆的一段铁丝长为x (0<x <100)，则另一段长为100－x .设正方形与圆形的面积之和为S ，则正方形的边长a ＝100－x 4，圆的半径r ＝x 2π. 故S ＝π⎝⎛⎭⎫x 2π2＋⎝⎛⎭⎫100－x 42(0<x <100)．因此S ′＝x 2π－252＋x 8＝x 2π－100－x 8， 令S ′＝0，则x ＝100π4＋π. 由于在(0,100)内，函数只有一个导数为0的点，则问题中面积之和的最小值显然存在，故当x ＝100π4＋πcm 时，面积之和最小． 类型二 实际生活中的最值问题 命题角度1 利润最大问题例2 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝a x －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利。

滚动训练二(§1.3～§1.4)一、选择题1．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)()A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点考点函数极值的应用题点函数极值在函数图象上的应用答案 C解析f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值，f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值，由题图易知有两个极大值点，两个极小值点．2．若函数f(x)＝x3－ax2－x＋6在(0,1)内单调递减，则实数a的取值范围是() A．[1，＋∞) B．a＝1C．(－∞，1] D．(0,1)考点利用导数求函数的单调区间题点已知函数单调性求参数(或其范围)答案 A解析∵f′(x)＝3x2－2ax－1，又f(x)在(0,1)内单调递减，∴不等式3x2－2ax－1≤0在(0,1)内恒成立，∴f′(0)≤0，且f′(1)≤0，∴a≥1.3.已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是()A．f(b)>f(c)>f(d)B．f(b)>f(a)>f(e)C．f(c)>f(b)>f(a)D．f(c)>f(e)>f(d)考点 利用导数研究函数的单调性 题点 比较函数值的大小 答案 C解析 依题意得，当x ∈(－∞，c )时，f ′(x )>0， 因此，函数f (x )在(－∞，c )上是增函数， 由于a <b <c ，所以f (c )>f (b )>f (a )．4．函数f (x )＝x ＋2cos x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上取最大值时的x 值为( ) A ．0 B.π6 C.π3D.π2考点 利用导数求函数的最值 题点 利用导数求不含参数函数的最值 答案 B解析 由f ′(x )＝1－2sin x ＝0，得sin x ＝12，又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以x ＝π6， 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6时，f ′(x )>0； 当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π2时，f ′(x )<0， 故当x ＝π6时取得最大值．5．已知函数f (x )＝x 2(ax ＋b )(a ，b ∈R )在x ＝2处有极值，其图象在点(1，f (1))处的切线与直线3x ＋y ＝0平行，则函数f (x )的单调递减区间为( ) A ．(－∞，0) B ．(0,2) C ．(2，＋∞)D ．(－∞，＋∞)考点 利用导数求函数的单调区间 题点 利用导数求含参数函数的单调区间 答案 B解析 ∵f (x )＝ax 3＋bx 2，∴f ′(x )＝3ax 2＋2bx ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ×22＋2b ×2＝0，3a ＋2b ＝－3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－3，令f ′(x )＝3x 2－6x <0，则0<x <2.6．已知f (x )＝x ＋bx 在(1，e)上为单调函数，则实数b 的取值范围是( )A ．(－∞，1]∪[e 2，＋∞)B ．(－∞，0]∪[e 2，＋∞)C ．(－∞，e 2]D ．[1，e 2]考点 利用导数求函数的单调区间 题点 已知函数的单调性求参数(或其范围) 答案 A解析 若b ≤0，则函数在(0，＋∞)上为增函数，满足条件，若b >0，则函数的导数f ′(x )＝1－b x 2＝x 2－bx2，由f ′(x )>0得x >b 或x <－b ，此时函数单调递增， 由f ′(x )<0得－b <x <b ，此时函数单调递减， 若函数f (x )在(1，e)上为单调递增函数， 则b ≤1，即0<b ≤1，若函数f (x )在(1，e)上为单调递减函数， 则b ≥e ，即b ≥e 2， 综上b ≤1或b ≥e 2，故选A.7．已知函数f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数f ′(x )的图象如图所示，则该函数的图象是( )考点 函数的单调性与导数的关系题点 根据导函数的图象确定原函数图象 答案 B解析 从导函数的图象可以看出，导函数值先增大后减小，x ＝0时最大，所以函数f (x )的图象的变化率也先增大后减小，在x ＝0时变化率最大．A 项，在x ＝0时变化率最小，故错误；C 项，变化率是越来越大的，故错误；D 项，变化率是越来越小的，故错误．B 项正确． 8．当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－5，－3] B.⎣⎡⎦⎤－6，－98 C ．[－6，－2]D ．[－4，－3]考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 利用导数求恒成立问题中参数的取值范围 答案 C解析 当x ＝0时，ax 3－x 2＋4x ＋3≥0变为3≥0恒成立，即a ∈R . 当x ∈(0,1]时，ax 3≥x 2－4x －3，a ≥x 2－4x －3x 3，∴a ≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2－4x －3x 3max . 设φ(x )＝x 2－4x －3x 3，φ′(x )＝(2x －4)x 3－(x 2－4x －3)3x 2x 6＝－x 2－8x －9x 4＝－(x －9)(x ＋1)x 4>0，∴φ(x )在(0,1]上递增，φ(x )max ＝φ(1)＝－6， ∴a ≥－6.当x ∈[－2,0)时，a ≤x 2－4x －3x 3，∴a ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2－4x －3x 3min .仍设φ(x )＝x 2－4x －3x 3，φ′(x )＝－(x －9)(x ＋1)x 4.当x ∈[－2，－1)时，φ′(x )<0，当x ∈(－1,0)时，φ′(x )>0.∴当x ＝－1时，φ(x )有极小值，即为最小值． 而φ(x )min ＝φ(－1)＝1＋4－3－1＝－2，∴a ≤－2.综上知－6≤a ≤－2. 二、填空题9．若函数f (x )＝x 3＋32x 2＋m 在区间[－2,1]上的最大值为92，则m ＝________.考点 导数在最值问题中的应用 题点 已知最值求参数 答案 2解析 f ′(x )＝3x 2＋3x ＝3x (x ＋1)． 由f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝－1. 又f (0)＝m ，f (－1)＝m ＋12，f (1)＝m ＋52，f (－2)＝－8＋6＋m ＝m －2，∴当x ∈[－2,1]时，最大值为f (1)＝m ＋52，∴m ＋52＝92，∴m ＝2.10.已知函数f (x )的导函数f ′(x )是二次函数，如图是f ′(x )的大致图象，若f (x )的极大值与极小值的和等于23，则f (0)的值为________．考点 利用导数研究函数的极值 题点 已知极值求参数 答案 13解析 ∵其导函数的函数值应在(－∞，－2)上为正数，在(－2,2)上为负数，在(2，＋∞)上为正数，由导函数图象可知，函数在(－∞，－2)上为增函数，在(－2,2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数，∴函数在x ＝－2时取得极大值，在x ＝2时取得极小值，且这两个极值点关于点(0，f (0))对称， 由f (x )的极大值与极小值之和为23，得f (－2)＋f (2)＝2f (0)，∴23＝2f (0)，则f (0)的值为13. 11．已知函数f (x )＝x e x ＋c 有两个零点，则c 的取值范围是________． 考点 函数极值的综合应用 题点 函数零点与方程的根 答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，1e 解析 ∵f ′(x )＝e x (x ＋1)，∴易知f (x )在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，且f (x )min ＝f (－1)＝c －e －1，由题意得c －e －1<0，得c <e －1. 三、解答题12．某品牌电视生产厂家有A ，B 两种型号的电视机参加了家电下乡活动，若厂家对A ，B 两种型号的电视机的投放金额分别为p ，q 万元，农民购买电视机获得的补贴分别为110p ，25ln q 万元，已知A ，B 两种型号的电视机的投放总额为10万元，且A ，B 两种型号的电视机的投放金额均不低于1万元，请你制定一个投放方案，使得在这次活动中农民得到的补贴最多，并求出最大值．(精确到0.1，参考数据：ln 4≈1.4) 考点 利用导数求解生活中的最值问题 题点 利用导数求解最大利润问题解 设B 型号电视机的投放金额为x 万元(1≤x ≤9)，农民得到的补贴为y 万元，则A 型号的电视机的投放金额为(10－x )万元，由题意得 y ＝110(10－x )＋25ln x ＝25ln x －110x ＋1,1≤x ≤9， ∴y ′＝25x －110，令y ′＝0得x ＝4.由y ′>0，得1≤x <4，由y ′<0，得4<x ≤9， 故y 在[1,4)上单调递增，在(4,9]上单调递减，∴当x＝4时，y取得最大值，且y max＝25ln 4－110×4＋1≈1.2，这时，10－x＝6.即厂家对A，B两种型号的电视机的投放金额分别为6万元和4万元时，农民得到的补贴最多，最多补贴约1.2万元．13．设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t>0)．(1)求f(x)的最小值h(t)；(2)若h(t)<－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围．考点利用导数求函数中参数的取值范围题点利用导数求恒成立问题中参数的取值范围解(1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t>0)，∴当x＝－t时，f(x)有最小值f(－t)＝h(t)＝－t3＋t－1.(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，由g′(t)＝－3t2＋3＝0得t＝1或t＝－1(舍去)．当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：∴当t∈(0,2)时，g(t)max＝g(1)＝1－m.∵h(t)<－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，∴g(t)max＝1－m<0，∴m>1.故实数m的取值范围是(1，＋∞)．四、探究与拓展14．已知函数f(x)＝2ln x＋ax2(a>0)．若当x∈(0，＋∞)时，f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是________．考点利用导数求函数中参数的取值范围题点利用导数求恒成立问题中参数的取值范围答案[e，＋∞)解析f(x)≥2即a≥2x2－2x2ln x.令g (x )＝2x 2－2x 2ln x ， 则g ′(x )＝2x (1－2ln x )．由g ′(x )＝0得x ＝12e 或0(舍去)， 当0<x <12e 时，g ′(x )>0； 当x >12e 时，g ′(x )<0，∴当x ＝12e 时，g (x )取最大值g (12e )＝e ，∴a ≥e. 15．已知函数f (x )＝ln(x ＋1)＋axx ＋1(a ∈R )． (1)当a ＝1时，求函数f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)讨论函数f (x )的极值；(3)求证：ln(n ＋1)>1－112＋2－122＋3－132＋…＋n －1n 2(n ∈N *)．考点 利用导数研究函数的单调性 题点 构造法的应用(1)解 当a ＝1时，f (x )＝ln(x ＋1)＋xx ＋1，所以f ′(x )＝1x ＋1＋(x ＋1)－x (x ＋1)2＝x ＋2(x ＋1)2， 所以f ′(0)＝2， 又f (0)＝0，所以函数f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝2x . (2)解 f ′(x )＝1x ＋1＋a (x ＋1)－ax(x ＋1)2＝x ＋1＋a(x ＋1)2(x >－1)． 令x ＋1＋a ＝0，得x ＝－a －1. 若－a －1≤－1，即a ≥0，则f ′(x )>0恒成立，此时f (x )无极值．若－a －1>－1，即a <0， 当－1<x <－a －1时，f ′(x )<0， 当x >－a －1时，f ′(x )>0，此时f (x )在x ＝－a －1处取得极小值， 极小值为ln(－a )＋a ＋1.(3)证明 当a ＝－1时，由(2)知，f (x )min ＝f (0)＝0， 所以ln(x ＋1)－x x ＋1≥0，即ln(x ＋1)≥xx ＋1.令x ＝1n (n ∈N *)，则ln ⎝⎛⎭⎫1n ＋1≥1n1n ＋1＝11＋n ， 所以ln n ＋1n ≥11＋n.又因为11＋n －n －1n 2＝1n 2(n ＋1)>0，所以11＋n >n －1n2，所以ln n ＋1n >n －1n2，所以ln 21＋ln 32＋ln 43＋…＋ln n ＋1n >1－112＋2－122＋3－132＋…＋n －1n 2，即ln(n ＋1)>1－112＋2－122＋3－132＋…＋n －1n 2.。

§2.2　二项分布及其应用2.2.1　条件概率学习目标　1.理解条件概率的定义.2.掌握条件概率的计算方法.3.利用条件概率公式解决一些简单的实际问题．知识点一　条件概率100件产品中有93件产品的长度合格，90件产品的质量合格，85件产品的长度、质量都合格．令A ＝{产品的长度合格}，B ＝{产品的质量合格}，AB ＝{产品的长度、质量都合格}．思考1　试求P (A )，P (B )，P (AB )．答案　P (A )＝，P (B )＝，P (AB )＝.931009010085100思考2　任取一件产品，已知其质量合格(即B 发生)，求它的长度(即A 发生)也合格(记为A |B )的概率．答案　事件A |B 发生，相当于从90件质量合格的产品中任取1件长度合格，其概率为P (A |B )＝.8590思考3　P (B )，P (AB )，P (A |B )间有怎样的关系．答案　P (A |B )＝.P (AB )P (B )梳理　条件设A ，B 为两个事件，且P (A )>0含义在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率记作P (B |A )读作A 发生的条件下B 发生的概率计算公式①缩小样本空间法：P (B |A )＝n (AB )n (A )②公式法：P (B |A )＝P (AB )P (A )知识点二　条件概率的性质1．任何事件的条件概率都在0和1之间，即0≤P (B |A )≤1.2．如果B 和C 是两个互斥事件，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )．1．若事件A ，B 互斥，则P (B |A )＝1.(　×　)2．事件A 发生的条件下，事件B 发生，相当于A ，B 同时发生．(　√　)类型一　求条件概率命题角度1　利用定义求条件概率例1　现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．考点　条件概率的定义及计算公式题点　直接利用公式求条件概率解　设第1次抽到舞蹈节目为事件A ，第2次抽到舞蹈节目为事件B ，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB .(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个，总的事件数n (Ω)＝A ＝30.26根据分步乘法计数原理，有n (A )＝A A ＝20，1415所以P (A )＝＝＝.n (A )n (Ω)203023(2)因为n (AB )＝A ＝12，所以P (AB )＝＝＝.24n (AB )n (Ω)123025(3)方法一　由(1)(2)，得在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率P (B |A )＝＝＝.P (AB )P (A )252335方法二　因为n (AB )＝12，n (A )＝20，所以P (B |A )＝＝＝.n (AB )n (A )122035反思与感悟　利用定义计算条件概率的步骤(1)分别计算概率P (AB )和P (A )．(2)将它们相除得到条件概率P (B |A )＝，这个公式适用于一般情形，其中AB 表示P (AB )P (A )A ，B 同时发生．跟踪训练1　某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )A ．0.8B ．0.75C ．0.6D ．0.45考点　条件概率的定义及计算公式题点　直接利用公式求条件概率答案　A解析　设某天的空气质量为优良是事件B ，随后一天的空气质量为优良是事件A ，故所求概率为P (A |B )＝＝＝0.8.P (AB )P (B )0.60.75命题角度2　缩小基本事件范围求条件概率例2　集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，甲、乙两人各从A 中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率．考点　条件概率的定义及计算公式题点　利用缩小基本事件空间求条件概率解　将甲抽到数字a ，乙抽到数字b ，记作(a ，b )，甲抽到奇数的情形有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共15个．在这15个中，乙抽到的数比甲抽到的数大的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,6)，共9个，所以所求概率P ＝＝.91535引申探究1．在本例条件下，求乙抽到偶数的概率．解　在甲抽到奇数的情形中，乙抽到偶数的有(1,2)，(1,4)，(1,6)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，共9个，所以所求概率P ＝＝.915352．若甲先取(放回)，乙后取，若事件A ：“甲抽到的数大于4”；事件B ：“甲、乙抽到的两数之和等于7”，求P (B |A )．解　甲抽到的数大于4的情形有：(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共12个，其中甲、乙抽到的两数之和等于7的情形有：(5,2)，(6,1)，共2个．所以P (B |A )＝＝.21216反思与感悟　将原来的基本事件全体Ω缩小为已知的条件事件A ，原来的事件B 缩小为AB .而A 中仅包含有限个基本事件，每个基本事件发生的概率相等，从而可以在缩小的概率空间上利用古典概型公式计算条件概率，即P (B |A )＝，这里n (A )和n (AB )的计数是基于n (AB )n (A )缩小的基本事件范围的．跟踪训练2　5个乒乓球，其中3个新的，2个旧的，每次取一个，不放回地取两次，则在第一次取到新球的条件下，第二次取到新球的概率为________．考点　条件概率的定义及计算公式题点　利用缩小基本事件空间求条件概率答案　12解析　设第1次取到新球为事件A ，第2次取到新球为事件B ，则P (B |A )＝＝＝.n (AB )n (A )3×24×312类型二　条件概率的性质及应用例3　把外形相同的球分装在三个盒子中，每盒10个．其中，第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B ；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A 的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B 的球，则在第三个盒子中任取一个球．如果第二次取出的是红球，则称试验成功，求试验成功的概率．考点　条件概率的性质及应用题点　条件概率性质的简单应用解　设A ＝{从第一个盒子中取得标有字母A 的球}，B ＝{从第一个盒子中取得标有字母B 的球}，R ＝{第二次取出的球是红球}，W ＝{第二次取出的球是白球}，则容易求得P (A )＝，P (B )＝，P (R |A )＝，71031012P (W |A )＝，P (R |B )＝，P (W |B )＝.124515事件“试验成功”表示为AR ∪BR ，又事件AR 与事件BR 互斥，故由概率的加法公式，得P (AR ∪BR )＝P (AR )＋P (BR )＝P (R |A )P (A )＋P (R |B )P (B )＝×＋×＝0.59.1271045310反思与感悟　当所求事件的概率相对较复杂时，往往把该事件分成两个(或多个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )便可求得较复杂事件的概率．跟踪训练3　在某次考试中，要从20道题中随机抽出6道题，若考生至少能答对其中4道题即可通过，至少能答对其中5道题就获得优秀．已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率．考点　条件概率的性质及应用题点　条件概率性质的简单应用解　记事件A 为“该考生6道题全答对”，事件B 为“该考生答对了其中5道题，另一道答错”，事件C 为“该考生答对了其中4道题，另2道题答错”，事件D 为“该考生在这次考试中通过”，事件E 为“该考生在这次考试中获得优秀”，则A ，B ，C 两两互斥，且D ＝A ∪B ∪C ，E ＝A ∪B ，可知P (D )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝＋＋＝，P (AD )＝P (A )，P (BD )＝P (B )，C 610C 620C 510C 110C 620C 410C 210C 62012 180C 620P (E |D )＝P (A |D )＋P (B |D )＝＋＝＋＝.P (A )P (D )P (B )P (D )210C 62012 180C 6202 520C 62012 180C 6201358故获得优秀成绩的概率为.13581．已知P (B |A )＝，P (AB )＝，则P (A )等于( )1238A. B. C. D.31613163414考点　条件概率的定义及计算公式题点　直接利用公式求条件概率答案　C解析　因为P (B |A )＝，所以P (A )＝＝＝.P (AB )P (A )P (AB )P (B |A )3812342．市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到的一个甲厂的合格灯泡的概率是( )A ．0.665B ．0.564C ．0.245D ．0.285考点　条件概率的定义及计算公式题点　直接利用公式求条件概率答案　A解析　记事件A 为“甲厂产品”，事件B 为“合格产品”，则P (A )＝0.7，P (B |A )＝0.95，∴P (AB )＝P (A )·P (B |A )＝0.7×0.95＝0.665.3．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )等于( )A. B. C. D.18142512考点　条件概率的定义及计算公式题点　利用缩小基本事件空间求条件概率答案　B解析　P (A )＝＝，P (AB )＝＝，C23＋C22C2525C22C25110P (B |A )＝＝.P (AB )P (A )144．假定生男、生女是等可能的，一个家庭中有两个小孩，已知有一个是女孩，则另一个小孩是男孩的概率是________．考点　条件概率的定义及计算公式题点　利用缩小基本事件空间求条件概率答案　23解析　一个家庭的两个小孩只有4种可能：{男，男}，{男，女}，{女，男}，{女，女}，由题意可知这4个基本事件的发生是等可能的，所求概率P ＝.235．抛掷红、蓝两枚骰子，记事件A 为“蓝色骰子的点数为4或6”，事件B 为“两枚骰子的点数之和大于8”，求：(1)事件A 发生的条件下事件B 发生的概率；(2)事件B 发生的条件下事件A 发生的概率．考点　条件概率的定义及计算公式题点　直接利用公式求条件概率解　抛掷红、蓝两枚骰子，事件总数为6×6＝36，事件A 的基本事件数为6×2＝12，所以P (A )＝＝.123613由于3＋6＝6＋3＝4＋5＝5＋4>8,4＋6＝6＋4＝5＋5>8，5＋6＝6＋5>8,6＋6>8.所以事件B 的基本事件数为4＋3＋2＋1＝10，所以P (B )＝＝.1036518事件AB 的基本事件数为6.故P (AB )＝＝.63616由条件概率公式得(1)P (B |A )＝＝＝.P (AB )P (A )161312(2)P (A |B )＝＝＝.P (AB )P (B )16518351．条件概率：P (B |A )＝＝.P (AB )P (A )n (AB )n (A )2．概率P (B |A )与P (AB )的区别与联系：P (AB )表示在样本空间Ω中，计算AB 发生的概率，而P (B |A )表示在缩小的样本空间ΩA 中，计算B 发生的概率．用古典概型公式，则P (B |A )＝，P (AB )＝.AB 中样本点数ΩA 中样本点数AB 中样本点数Ω中样本点数一、 选择题1．某班学生考试成绩中，数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%.已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是( )A ．0.2B ．0.33C ．0.5D ．0.6考点　条件概率的定义及计算公式题点　直接利用公式求条件概率答案　A解析　记“数学不及格”为事件A ，“语文不及格”为事件B ，P (B |A )＝＝＝0.2，P (AB )P (A )0.030.15所以数学不及格时，该生语文也不及格的概率为0.2.2．将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A ＝{两个点数互不相同}，B ＝{出现一个5点}，则P (B |A )等于( )A. B. C. D.135181614考点　条件概率的定义及计算公式题点　利用缩小基本事件空间求条件概率答案　A解析　出现点数互不相同的共有6×5＝30(种)，出现一个5点共有5×2＝10(种)，所以P (B |A )＝＝.1030133．7名同学站成一排，已知甲站在中间，则乙站在末尾的概率是( )A. B. C. D.14151617考点　条件概率的定义及计算公式题点　利用缩小基本事件空间求条件概率答案　C解析　记“甲站在中间”为事件A ，“乙站在末尾”为事件B ，则n (A )＝A ，6n (AB )＝A ，5所以P (B |A )＝＝.A55A66164．盒中装有6件产品，其中4件一等品，2件二等品，从中不放回地取两次，每次取1件，已知第二次取得一等品，则第一次取得二等品的概率为( )A. B. C. D.310351225考点　条件概率的定义及计算公式题点　直接利用公式求条件概率答案　D解析　设“第二次取得一等品”为事件A ，“第一次取得二等品”为事件B ，则P (AB )＝＝，P (A )＝＝，所以P (B |A )＝＝×＝.C12×C14C16×C15415C14×C13＋C12×C14C16×C1523P (AB )P (A )41532255．在区间(0,1)内随机投掷一个点M (其坐标为x )，若A ＝Error!，B ＝Error!，则P (B |A )等于( )A. B. C. D.12141334考点　条件概率的定义及计算公式题点　直接利用公式求条件概率答案　A解析　P (A )＝＝.∵A ∩B ＝Error!，12112∴P (AB )＝＝，∴P (B |A )＝＝＝.14114P (AB )P (A )1412126．甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A 为“三个人去的景点不相同”，B 为“甲独自去一个景点”，则概率P (A |B )等于( )A. B. C. D.49291213考点　条件概率的定义及计算公式题点　利用缩小基本事件空间求条件概率答案　C解析　由题意可知．n (B )＝C 22＝12，n (AB )＝A ＝6.133所以P (A |B )＝＝＝.n (AB )n (B )612127．已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为( )A. B. C. D.310297879答案　D解析　方法一　设事件A 为“第1次抽到的是螺口灯泡”，事件B 为“第2次抽到的是卡口灯泡”，则P (A )＝，P (AB )＝×＝，则所求概率为P (B |A )＝＝＝.31031079730P (AB )P (A )73031079方法二　第1次抽到螺口灯泡后还剩余9只灯泡，其中有7只卡口灯泡，故第2次抽到卡口灯泡的概率为＝.C17C1979二、填空题8．某种元件用满6 000小时未坏的概率是，用满10 000小时未坏的概率是，现有一个此3412种元件，已经用过6 000小时未坏，则它能用到10 000小时的概率为________．考点　条件概率的定义及计算公式题点　直接利用公式求条件概率答案　23解析　设“用满6 000小时未坏”为事件A ，“用满10 000小时未坏”为事件B ，则P (A )＝，P (AB )＝P (B )＝，所以P (B |A )＝＝＝.3412P (AB )P (A )1234239．如图，四边形EFGH 是以O 为圆心、1为半径的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，则(1)P (A )＝________；(2)P (B |A )＝________.考点　条件概率的定义及计算公式题点　直接利用公式求条件概率答案　(1)　(2)2π14解析　正方形的面积为2，圆的面积为π.(1)∵A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，∴P (A )＝.2π(2)∵B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，∴P (AB )＝，∴P (B |A )＝＝.12πP (AB )P (A )1410．设某种动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率 0.4，现有一个20岁的这种动物，则它能活到25岁的概率是________．考点　条件概率的定义及计算公式题点　直接利用公式求条件概率答案　0.5解析　设该动物活到20岁为事件A ，活到25岁为事件B ，则P (A )＝0.8，P (B )＝0.4，又P (AB )＝P (B )，所以P (B |A )＝＝＝＝0.5.P (AB )P (A )P (B )P (A )0.40.811．有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取两瓶，若取得的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率为________．考点　条件概率的性质及应用题点　条件概率性质的简单应用答案　67解析　设事件A 为“其中一瓶是蓝色”，事件B 为“另一瓶是红色”，事件C 为“另一瓶是黑色”，事件D 为“另一瓶是红色或黑色”，则D ＝B ∪C 且B 与C 互斥．又P (A )＝＝，C12C13＋C22C25710P (AB )＝＝，C12C11C2515P (AC )＝＝，C12C12C2525故P (D |A )＝P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )＝＋＝.P (AB )P (A )P (AC )P (A )67三、解答题12．从1～100共100个正整数中，任取一数，已知取出的一个数不大于50，求此数是2或3的倍数的概率．考点　条件概率的性质及应用题点　条件概率性质的简单应用解　设事件C 为“取出的数不大于50”，事件A 为“取出的数是2的倍数”，事件B 为“取出的数是3的倍数”．则P (C )＝，且所求概率为2P (A ∪B |C )＝P (A |C )＋P (B |C )－P (AB |C )＝＋－P (AC )P (C )P (BC )P (C )P (ABC )P (C )＝2×＝.(25100＋16100－8100)335013．坛子里放着5个大小、形状都相同的咸鸭蛋，其中有3个是绿皮的，2个是白皮的．如果不放回地依次拿出2个鸭蛋，求：(1)第1次拿出绿皮鸭蛋的概率；(2)第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋的概率；(3)在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率．考点　条件概率的定义及计算公式题点　直接利用公式求条件概率解　设“第1次拿出绿皮鸭蛋”为事件A ，“第2次拿出绿皮鸭蛋”为事件B ，则第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋为事件AB .(1)从5个鸭蛋中不放回地依次拿出2个鸭蛋的总基本事件数为n (Ω)＝A ＝20.25又n (A )＝A ×A ＝12，1314于是P (A )＝＝＝.n (A )n (Ω)122035(2)因为n (AB )＝3×2＝6，所以P (AB )＝＝＝.n (AB )n (Ω)620310(3)由(1)(2)，可得在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率为P (B |A )＝＝＝.P (AB )P (A )3103512四、探究与拓展14．先后掷两次骰子(骰子的六个面上分别是1,2,3,4,5,6点)，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x ，y ，记事件A 为“x ＋y 为偶数”，事件B 为“x ，y 中有偶数且x ≠y ”，则概率P (B |A )＝________.考点　条件概率的定义及计算公式题点　直接利用公式求条件概率答案　3解析　根据题意，事件A 为“x ＋y 为偶数”，则x ，y 两个数均为奇数或偶数，共有2×3×3＝18个基本事件．∴事件A 发生的概率为P (A )＝＝，而A ，B 同时发生，基本事件有“2＋4”，2×3×36×612“2＋6”，“4＋2”，“4＋6”，“6＋2”，“6＋4”，共6个，∴事件A ，B 同时发生的概率为P (AB )＝＝，66×616∴P (B |A )＝＝＝.P (AB )P (A )16121315．甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品．(1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率．考点　条件概率的性质及应用题点　条件概率性质的简单应用解　(1)从甲箱中任取2个产品的事件数为C ＝28，这2个产品都是次品的事件数为28C ＝3，所以这2个产品都是次品的概率为.23328(2)设事件A 为“从乙箱中取一个正品”，事件B 1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件B 2为“从甲箱中取出1个正品，1个次品”，事件B 3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事件B 1，事件B 2，事件B 3彼此互斥．P (B 1)＝＝，P (B 2)＝＝，C25C28514C15C13C281528P (B 3)＝＝，C23C28328所以P (A |B 1)＝，69P (A |B 2)＝，P (A |B 3)＝.5949所以P (A )＝P (B 1)P (A |B 1)＋P (B 2)P (A |B 2)＋P (B 3)P (A |B 3)＝×＋×＋×＝.5146915285932849712。

§3.1数系的扩充和复数的概念3．1.1数系的扩充和复数的概念学习目标1.了解引进虚数单位i 的必要性，了解数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．知识点一复数的概念及代数表示思考为解决方程x 2＝2在有理数范围内无根的问题，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x 2＋1＝0在实数系中无根的问题呢？答案设想引入新数i ，使i 是方程x 2＋1＝0的根，即i·i ＝－1，方程x 2＋1＝0有解，同时得到一些新数． 梳理(1)复数①定义：把集合C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }中的数，即形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位．a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部．②表示方法：复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，这一表示形式叫做复数的代数形式．(2)复数集①定义：全体复数所成的集合叫做复数集．②表示：通常用大写字母C 表示．知识点二两个复数相等的充要条件在复数集C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }中任取两个数a ＋b i ，c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，我们规定：a ＋b i 与c ＋d i 相等的充要条件是a ＝c 且b ＝d .知识点三复数的分类(1)复数(a ＋b i ，a ，b ∈R )⎩⎨⎧ 实数(b ＝0)虚数(b ≠0)⎩⎪⎨⎪⎧ 纯虚数(a ＝0)非纯虚数(a ≠0)(2)集合表示：1．若a ，b 为实数，则z ＝a ＋b i 为虚数．(×)2．复数z ＝b i 是纯虚数．(×)3．若两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．(√)类型一复数的概念例1(1)给出下列几个命题：①若z ∈C ，则z 2≥0；②2i －1虚部是2i ；③2i 的实部是0；④若实数a 与a i 对应，则实数集与纯虚数集一一对应；⑤实数集的补集是虚数集．其中真命题的个数为()A ．0B ．1C ．2D ．3(2)已知复数z ＝a 2－(2－b )i 的实部和虚部分别是2和3，则实数a ，b 的值分别是________．考点复数的概念题点复数的概念及分类答案(1)C(2)±2，5解析(1)令z ＝i ∈C ，则i 2＝－1<0，故①不正确．②中2i －1的虚部应是2，故②不正确．④当a ＝0时，a i ＝0为实数，故④不正确，∴只有③，⑤正确．(2)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a2＝2，b －2＝3，∴a ＝±2，b ＝5. 反思与感悟(1)复数的代数形式：若z ＝a ＋b i ，只有当a ，b ∈R 时，a 才是z 的实部，b 才是z 的虚部，且注意虚部不是b i ，而是b .(2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分．(3)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．跟踪训练1下列命题：①若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数；②若(x 2－4)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±2；③实数集是复数集的真子集．其中正确说法的个数是()A ．0B ．1C ．2D ．3考点复数的概念题点复数的概念及分类答案B解析对于复数a ＋b i(a ，b ∈R )，当a ＝0且b ≠0时，为纯虚数．对于①，若a ＝－1，则(a ＋1)i 不是纯虚数，故①错误．对于②，若x ＝－2，则x 2－4＝0，x 2＋3x ＋2＝0，此时(x 2－4)＋(x 2＋3x ＋2)i ＝0，不是纯虚数，故②错误．显然，③正确．故选B.类型二复数的分类例2求当实数m 为何值时，z ＝m2－m －6m ＋3＋(m 2＋5m ＋6)i 分别是(1)虚数；(2)纯虚数． 考点复数的概念题点由复数的分类求未知数解(1)复数z 是虚数的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧m2＋5m ＋6≠0，m ＋3≠0⇔m ≠－3且m ≠－2. ∴当m ≠－3且m ≠－2时，复数z 是虚数．(2)复数z 是纯虚数的充要条件是 ⎩⎪⎨⎪⎧ m2－m －6m ＋3＝0，m2＋5m ＋6≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2或m ＝3，m ≠－3且m ≠－2⇔m ＝3. ∴当m ＝3时，复数z 是纯虚数．引申探究1．若本例条件不变，m 为何值时，z 为实数．解由已知得，复数z 的实部为m2－m －6m ＋3， 虚部为m 2＋5m ＋6.复数z 是实数的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧ m2＋5m ＋6＝0，m ＋3≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2或m ＝－3，m ≠－3⇔m ＝－2. ∴当m ＝－2时，复数z 是实数．2．已知i 是虚数单位，m ∈R ，复数z ＝m2－m －6m ＋3＋(m 2－2m －15)i ，则当m ＝________时，z 为纯虚数． 答案3或－2 解析由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ m2－m －6m ＋3＝0，m2－2m －15≠0，解得m ＝3或－2.反思与感悟利用复数的概念对复数分类时，主要依据实部、虚部满足的条件，可列方程或不等式求参数． 跟踪训练2当实数m 为何值时，复数lg(m 2－2m －7)＋(m 2＋5m ＋6)i 是(1)纯虚数；(2)实数．考点复数的分类题点由复数的分类求未知数解(1)复数lg(m 2－2m －7)＋(m 2＋5m ＋6)i 是纯虚数，则⎩⎨⎧lg (m 2－2m －7)＝0，m 2＋5m ＋6≠0，解得m ＝4. (2)复数lg(m 2－2m －7)＋(m 2＋5m ＋6)i 是实数， 则⎩⎪⎨⎪⎧m2－2m －7>0，m2＋5m ＋6＝0，解得m ＝－2或m ＝－3. 类型三复数相等例3(1)已知x 0是关于x 的方程x 2－(2i －1)x ＋3m －i ＝0(m ∈R )的实根，则m 的值是________．考点复数相等题点由复数相等求参数答案112解析由题意，得x 20－(2i －1)x 0＋3m －i ＝0，即(x 20＋x 0＋3m )＋(－2x 0－1)i ＝0， 由此得⎩⎪⎨⎪⎧x20＋x0＋3m ＝0，－2x0－1＝0⇒m ＝112. (2)已知A ＝{1,2，a 2－3a －1＋(a 2－5a －6)i}，B ＝{－1,3}，A ∩B ＝{3}，求实数a 的值．考点复数相等题点由复数相等求参数解由题意知，a 2－3a －1＋(a 2－5a －6)i ＝3(a ∈R )， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ a2－3a －1＝3，a2－5a －6＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4或a ＝－1，a ＝6或a ＝－1，所以a ＝－1. 反思与感悟(1)在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a ，b ，c ，d ∈R ，即当a ，b ，c ，d ∈R 时，a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d .若忽略前提条件，则结论不成立．(2)利用该条件把复数的实部和虚部分离出来，达到“化虚为实”的目的，从而将复数问题转化为实数问题来求解．跟踪训练3复数z 1＝(2m ＋7)＋(m 2－2)i ，z 2＝(m 2－8)＋(4m ＋3)i ，m ∈R ，若z 1＝z 2，则m ＝________.考点复数相等题点由复数相等求参数答案5解析因为m ∈R ，z 1＝z 2，所以(2m ＋7)＋(m 2－2)i ＝(m 2－8)＋(4m ＋3)i. 由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋7＝m2－8，m2－2＝4m ＋3，解得m ＝5.1．若x i －i 2＝y ＋2i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i 等于()A ．－2＋iB ．2＋iC ．1－2iD ．1＋2i考点复数相等题点由复数相等求参数答案B解析由i2＝－1，得x i－i2＝1＋x i，则由题意得1＋x i＝y＋2i，根据复数相等的充要条件得x＝2，y＝1，故x＋y i＝2＋i.2．若复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i为实数，则实数m的值为()A．－1B．2C．1D．－1或2考点复数的分类题点由复数的分类求未知数答案D解析因为复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i为实数，所以m2－m－2＝0，解得m＝－1或m＝2.3．下列几个命题：①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等；②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等；③1－a i(a∈R)是一个复数；④虚数的平方不小于0；⑤－1的平方根只有一个，即为－i；⑥i是方程x4－1＝0的一个根；⑦2i是一个无理数．其中真命题的个数为()A．3B．4C．5D．6考点复数的概念题点复数的概念及分类答案B解析命题①②③⑥正确，④⑤⑦错误．4．已知复数z＝a2＋(2a＋3)i(a∈R)的实部大于虚部，则实数a的取值范围是________________．考点复数的概念题点复数的概念及分类答案(－∞，－1)∪(3，＋∞)解析由已知可得a2>2a＋3，即a2－2a－3>0，解得a>3或a<－1，因此，实数a的取值范围是{a|a>3或a<－1}．5．若log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)>1，则实数x的值是________．考点复数的概念题点由复数的分类求未知数答案－2解析由题意知⎩⎨⎧log2(x 2－3x －2)>1，log 2(x 2＋2x ＋1)＝0，得x ＝－2.1．对于复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，可以限制a ，b 的值得到复数z 的不同情况．2．两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的充要条件进行判断.一、选择题1．设a ，b ∈R ，“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的()A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件考点复数的概念题点复数的概念及分类答案B解析因为a ，b ∈R ，当“a ＝0”时“复数a ＋b i 不一定是纯虚数，也可能b ＝0，即a ＋b i ＝0∈R ”． 而当“复数a ＋b i 是纯虚数”，则“a ＝0”一定成立．所以a ，b ∈R ，“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的必要不充分条件．2．以－5＋2i 的虚部为实部，以5i ＋2i 2的实部为虚部的新复数是() A ．2－2iB ．－5＋5i C ．2＋iD.5＋5i 考点复数的概念题点求复数的实部和虚部答案A解析设所求新复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 由题意知复数－5＋2i 的虚部为2，复数5i ＋2i 2＝5i ＋2×(－1)＝－2＋5i 的实部为－2，则所求的z ＝2－2i.故选A.3．若(x ＋y )i ＝x －1(x ，y ∈R )，则2x ＋y 的值为()A.12B ．2C ．0D ．1 考点复数相等题点由复数相等求参数答案D解析由复数相等的充要条件知，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝0，x －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1， ∴x ＋y ＝0.∴2x ＋y ＝20＝1. 4．下列命题中：①若x ，y ∈C ，则x ＋y i ＝1＋i 的充要条件是x ＝y ＝1；②纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集；③若(z 1－z 2)2＋(z 2－z 3)2＝0，则z 1＝z 2＝z 3.正确命题的个数是()A ．0B ．1C ．2D ．3考点复数的概念题点复数的概念及分类答案A解析①取x ＝i ，y ＝－i ，则x ＋y i ＝1＋i ，但不满足x ＝y ＝1，故①错；②③错，故选A.5．若sin2θ－1＋i(2cos θ＋1)是纯虚数，则θ的值为()A ．2k π－π4(k ∈Z )B ．2k π＋π4(k ∈Z ) C ．2k π±π4(k ∈Z ) D.k 2π＋π4(k ∈Z ) 考点复数的概念题点由复数的分类求未知数答案B解析由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧sin2θ－1＝0，2cos θ＋1≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ θ＝k π＋π4，θ≠2k π±3π4(k ∈Z )，∴θ＝2k π＋π4，k ∈Z . 6．若复数z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ－45＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－35i 是纯虚数(i 为虚数单位)，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4的值为() A ．7B ．－17C ．－7D ．－7或－17考点复数的概念题点由复数的分类求未知数答案C解析∵复数z ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos θ－45＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－35i 是纯虚数， ∴cos θ－45＝0，sin θ－35≠0， ∴sin θ＝－35，∴tan θ＝－34， 则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan θ－11＋tan θ＝－34－11－34＝－7. 7．已知关于x 的方程x 2＋(m ＋2i)x ＋2＋2i ＝0(m ∈R )有实数根n ，且z ＝m ＋n i ，则复数z 等于()A ．3＋iB ．3－iC ．－3－iD ．－3＋i考点复数相等题点由复数相等求参数答案B解析由题意知n 2＋(m ＋2i)n ＋2＋2i ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ n2＋mn ＋2＝0，2n ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝－1. ∴z ＝3－i ，故选B.二、填空题8．设m ∈R ，m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m ＝________.考点复数的概念题点由复数的分类求未知数答案－2 解析由⎩⎪⎨⎪⎧ m2＋m －2＝0，m2－1≠0即m ＝－2. 9．已知z 1＝(m 2＋m ＋1)＋(m 2＋m －4)i ，m ∈R ，z 2＝3－2i.则m ＝1是z 1＝z 2的______条件．考点复数相等题点由复数相等求参数答案充分不必要解析当z 1＝z 2时，必有m 2＋m ＋1＝3，m 2＋m －4＝－2，解得m ＝－2或m ＝1，显然m ＝1是z 1＝z 2的充分不必要条件．10．已知复数z ＝m 2(1＋i)－m (m ＋i)(m ∈R )，若z 是实数，则m 的值为________．考点复数的概念题点由复数的分类求未知数答案0或1解析z ＝m 2＋m 2i －m 2－m i ＝(m 2－m )i ，所以m 2－m ＝0，所以m ＝0或1.11．复数z ＝(a 2－2a －3)＋(|a －2|－1)i 不是纯虚数，则实数a 的取值范围是________________．考点复数的概念题点由复数的分类求未知数答案(－∞，－1)∪(－1，＋∞)解析若复数z ＝(a 2－2a －3)＋(|a －2|－1)i 是纯虚数，则a 2－2a －3＝0，|a －2|－1≠0，解得a ＝－1，∴当a ≠－1时，复数z ＝(a 2－2a －3)＋(|a －2|－1)i 不是纯虚数．12．已知log 12(m ＋n )－(m 2－3m )i ≥－1，且n ∈N *，则m ＋n ＝________.考点复数的概念题点由复数的分类求未知数答案1或2解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ log 12(m ＋n )≥－1，①－(m 2－3m )＝0.②由②，得m ＝0或m ＝3. 当m ＝0时，由12log (m ＋n )≥－1，得0<n ≤2，∴n ＝1或n ＝2. 当m ＝3时，由12log (m ＋n )≥－1，得0<n ＋3≤2，∴－3<n ≤－1，即n 无自然数解．∴m ，n 的值分别为m ＝0，n ＝1或m ＝0，n ＝2.故m ＋n 的值为1或2.三、解答题13．实数m 为何值时，复数z ＝m (m ＋2)m －1＋(m 2＋2m －3)i 分别是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．考点复数的概念题点由复数的分类求未知数解(1)要使z 是实数，m 需满足m 2＋2m －3＝0，且m (m ＋2)m －1有意义，即m －1≠0，解得m ＝－3. (2)要使z 是虚数，m 需满足m 2＋2m －3≠0，且m (m ＋2)m －1有意义，即m －1≠0，解得m ≠1且m ≠－3. (3)要使z 是纯虚数，m 需满足m (m ＋2)m －1＝0，m －1≠0，且m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0或m ＝－2.四、探究与拓展14．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，如果(x ＋y )＋(x ＋3)i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪3x ＋2yi －y1，求实数x ，y 的值． 考点复数相等题点由复数相等求参数解由定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪3x ＋2yi －y1＝3x ＋2y ＋y i ，故有(x ＋y )＋(x ＋3)i ＝3x ＋2y ＋y i.因为x ，y 为实数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3x ＋2y ，x ＋3＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝0，x ＋3＝y ，得x ＝－1，y ＝2.15．已知集合M ＝{(a ＋3)＋(b 2－1)i,8}，集合N ＝{3i ，(a 2－1)＋(b ＋2)i}满足M ∩N ⊆M ，且M ∩N ≠∅，求整数a ，b 的值．考点复数相等题点由复数相等求参数解由题意，得(a ＋3)＋(b 2－1)i ＝3i ，①或8＝(a 2－1)＋(b ＋2)i ，②或(a ＋3)＋(b 2－1)i ＝(a 2－1)＋(b ＋2)i.③由①，得a ＝－3，b ＝±2，由②，得a ＝±3，b ＝－2，③中，a ，b 无整数解，不符合题意．综上，a ＝－3，b ＝2或a ＝－3，b ＝－2或a ＝3，b ＝－2.。

2．1.2演绎推理学习目标 1.理解演绎推理的意义.2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系．知识点一演绎推理思考分析下面几个推理，找出它们的共同点．(1)所有的金属都能导电，铀是金属，所以铀能够导电；(2)一切奇数都不能被2整除，(2100＋1)是奇数，所以(2100＋1)不能被2整除．答案问题中的推理都是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理叫演绎推理．梳理演绎推理的概念知识点二三段论思考所有的金属都能导电，铜是金属，所以铜能导电，这个推理可以分为几段？每一段分别是什么？答案分为三段．大前提：所有的金属都能导电．小前提：铜是金属．结论：铜能导电．梳理三段论的基本模式1．演绎推理的结论一定正确．(×)2．在演绎推理中，大前提描述的是一般性原理，小前提描述的是大前提里的特殊情况，结论是根据一般性原理对特殊情况做出的判断．(√)3．大前提和小前提都正确，推理形式也正确，则所得结论是正确的．(√)类型一演绎推理与三段论例1将下列演绎推理写成三段论的形式．①平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；②等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的两底角，则∠A＝∠B；③通项公式为a n＝2n＋3的数列{a n}为等差数列．考点“三段论”及其应用题点三段论的应用解①平行四边形的对角线互相平分，大前提菱形是平行四边形，小前提菱形的对角线互相平分．结论②等腰三角形的两底角相等，大前提∠A，∠B是等腰三角形的两底角，小前提∠A＝∠B. 结论③在数列{a n}中，如果当n≥2时，a n－a n－1为常数，则{a n}为等差数列，大前提当通项公式为a n＝2n＋3时，若n≥2，则a n－a n－1＝2n＋3－[2(n－1)＋3]＝2(常数)，小前提通项公式为a n＝2n＋3的数列{a n}为等差数列．结论反思与感悟用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系．有时可省略小前提，有时甚至也可把大前提与小前提都省略，在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．跟踪训练1下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是()A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数考点“三段论”及其应用题点三段论的结构答案 B解析对于A，小前提与大前提间逻辑错误，不符合演绎推理三段论形式；对于B，符合演绎推理三段论形式且推理正确；对于C，大小前提颠倒，不符合演绎推理三段论形式；对于D，大小前提及结论颠倒，不符合演绎推理三段论形式．类型二演绎推理的应用命题角度1证明几何问题例2如图，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：ED＝AF，写出三段论形式的演绎推理．考点演绎推理的综合应用题点演绎推理在其他方面的应用证明因为同位角相等，两直线平行，大前提∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，小前提所以FD∥AE. 结论因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，大前提DE∥BA，且FD∥AE，小前提所以四边形AFDE为平行四边形．结论因为平行四边形的对边相等，大前提ED和AF为平行四边形AFDE的对边，小前提所以ED＝AF. 结论反思与感悟(1)大前提的正确性：几何证明往往采用演绎推理，它往往不是经过一次推理就能完成的，常需要几次使用演绎推理，每一个推理都暗含着大、小前提，前一个推理的结论往往是下一个推理的前提，在使用时不仅要推理的形式正确，还要前提正确，才能得到正确的结论．(2)大前提可省略：在几何证明问题中，每一步都包含着一般原理，都可以分析出大前提和小前提，将一般原理应用于特殊情况，就能得出相应结论．跟踪训练2已知：在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点，如图所示，求证：EF∥平面BCD.考点演绎推理的综合应用题点演绎推理在其他方面的应用证明因为三角形的中位线平行于底边，大前提点E，F分别是AB，AD的中点，小前提所以EF∥BD. 结论若平面外一条直线平行于平面内一条直线，则直线与此平面平行，大前提EF ⊄平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，EF ∥BD ， 小前提 所以EF ∥平面BCD .结论命题角度2 证明代数问题例3 设函数f (x )＝e xx 2＋ax ＋a ，其中a 为实数，若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围．考点 演绎推理的综合应用 题点 演绎推理在函数中的应用解 若函数对任意实数恒有意义，则函数定义域为R ， 大前提 因为f (x )的定义域为R ， 小前提 所以x 2＋ax ＋a ≠0恒成立．结论所以Δ＝a 2－4a <0，所以0<a <4. 即当0<a <4时，f (x )的定义域为R . 引申探究若本例的条件不变，求f (x )的单调递增区间． 解 ∵f ′(x )＝x (x ＋a －2)e x(x 2＋ax ＋a )2，由f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2－a . ∵0<a <4，∴当0<a <2时，2－a >0. ∴在(－∞，0)和(2－a ，＋∞)上，f ′(x )>0. ∴f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(2－a ，＋∞)． 当a ＝2时，f ′(x )≥0恒成立， ∴f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)． 当2<a <4时，2－a <0，∴在(－∞，2－a )和(0，＋∞)上，f ′(x )>0， ∴f (x )的单调递增区间为(－∞，2－a )，(0，＋∞)．综上所述，当0<a <2时，f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(2－a ，＋∞)； 当a ＝2时，f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)；当2<a <4时，f (x )的单调递增区间为(－∞，2－a )，(0，＋∞)．反思与感悟 应用演绎推理解决的代数问题(1)函数类问题：比如函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性等．(2)导数的应用：利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和最值，证明与函数有关的不等式等． (3)三角函数的图象与性质．(4)数列的通项公式、递推公式以及求和，数列的性质． (5)不等式的证明．跟踪训练3 已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)，证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．考点 演绎推理的综合应用 题点 演绎推理在函数中的应用 证明 方法一 (定义法)任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，且x 1<x 2， f (x 2)－f (x 1)＝2x a ＋x 2－2x 2＋1－1xa －x 1－2x 1＋1＝2x a -1xa ＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝1xa (21x x a -－1)＋(x 1＋1)(x 2－2)－(x 1－2)(x 2＋1)(x 2＋1)(x 1＋1)＝1x a (21x x a-－1)＋3(x 2－x 1)(x 2＋1)(x 1＋1).因为x 2－x 1>0，且a >1，所以21x x a->1，而－1<x 1<x 2，所以x 1＋1>0，x 2＋1>0， 所以f (x 2)－f (x 1)>0，所以f (x )在(－1，＋∞)上为增函数． 方法二 (导数法)f (x )＝a x ＋x ＋1－3x ＋1＝a x ＋1－3x ＋1.所以f ′(x )＝a x ln a ＋3(x ＋1)2.因为x >－1，所以(x ＋1)2>0，所以3(x ＋1)2>0.又因为a >1，所以ln a >0，a x >0， 所以a x ln a >0，所以f ′(x )>0.所以f (x )＝a x ＋x －2x ＋1在(－1，＋∞)上是增函数．1．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180° B ．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人C ．由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12⎝⎛⎭⎫a n －1＋1a n －1(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式考点 演绎推理的含义与方法 题点 判断推理是否为演绎推理 答案 A解析 A 是演绎推理，B ，D 是归纳推理，C 是类比推理．2．指数函数y ＝a x (a >1)是R 上的增函数，y ＝2|x |是指数函数，所以y ＝2|x |是R 上的增函数．以上推理( ) A ．大前提错误 B ．小前提错误 C ．推理形式错误 D ．正确考点 “三段论”及其应用题点 小前提或推理形式错误导致结论错误 答案 B解析 此推理形式正确，但是，函数y ＝2|x |不是指数函数，所以小前提错误，故选B. 3．把“函数y ＝x 2＋x ＋1的图象是一条抛物线”恢复成三段论，则大前提：____________； 小前提：____________； 结论：____________. 考点 “三段论”及其应用 题点 三段论的结构答案 二次函数的图象是一条抛物线 函数y ＝x 2＋x ＋1是二次函数 函数y ＝x 2＋x ＋1的图象是一条抛物线4．设m 为实数，利用三段论证明方程x 2－2mx ＋m －1＝0有两个相异实根． 考点 演绎推理的综合应用 题点 演绎推理在其他方面中的应用证明 因为如果一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的判别式Δ＝b 2－4ac >0，那么方程有两个相异实根．大前提方程x 2－2mx ＋m －1＝0的判别式 Δ＝4m 2－4(m －1)＝4m 2－4m ＋4 ＝(2m －1)2＋3>0，小前提 所以方程x 2－2mx ＋m －1＝0有两个相异实根．结论1．应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果前提是显然的，则可以省略．2．合情推理是由部分到整体，由个别到一般的推理或是由特殊到特殊的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理．3．合情推理与演绎推理是相辅相成的，数学结论、证明思路等的发现主要靠合情推理；数学结论、猜想的正确性必须通过演绎推理来证明.一、选择题1．《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是() A．类比推理B．归纳推理C．演绎推理D．一次三段论考点演绎推理的含义与方法题点判断推理是否为演绎推理答案 C解析这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次三段论，属演绎推理形式．2．对于三段论“因为对数函数y＝log a x是减函数(大前提)，又y＝ln x是对数函数(小前提)，所以y＝ln x 是减函数(结论)”，下列说法正确的是()A．大前提错误导致结论错误B．小前提错误导致结论错误C．推理形式错误导致结论错误D．以上都不对考点“三段论”及其应用题点大前提错误导致结论错误答案 A解析“y＝log a x是减函数”错误，故大前提错误．3．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数．以上推理() A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确考点“三段论”及其应用题点小前提或推理形式错误导致结构错误答案 C解析由于函数f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数．故小前提不正确．4．在证明f (x )＝2x ＋1为增函数的过程中，有下列四个命题： ①增函数的定义是大前提； ②增函数的定义是小前提；③函数f (x )＝2x ＋1满足增函数的定义是大前提； ④函数f (x )＝2x ＋1满足增函数的定义是小前提． 其中正确的命题是( ) A ．①④ B ．②④ C ．①③D ．②③考点 “三段论”及其应用 题点 三段论的结构 答案 A解析 根据三段论特点，过程应为：大前提是增函数的定义；小前提是f (x )＝2x ＋1满足增函数的定义；结论是f (x )＝2x ＋1为增函数，故①④正确．5．推理过程“大前提：________，小前提：四边形ABCD 是矩形．结论：四边形ABCD 的对角线相等．”应补充的大前提是( ) A ．正方形的对角线相等 B ．矩形的对角线相等 C ．等腰梯形的对角线相等 D ．矩形的对边平行且相等 考点 “三段论”及其应用 题点 三段论的结构 答案 B解析 由三段论的一般模式知选B.6．若a >0，b >c >0，则下列不等式中不成立的是( ) A ．－a ＋b >－a ＋c B ．ab －ac >0 C.1b >1cD.3b >3c考点 演绎推理的综合应用 题点 演绎推理在其他方面的应用 答案 C解析 在A 中，b >c 两边同时加－a ，不等号方向不变，不等式成立； 在B 中，b >c 两边同时乘a ，因为a >0，所以不等号方向不变，不等式成立； 在C 中，若b ＝2，c ＝1，则1b <1c ，不等式不成立；易知D 中不等式成立．7．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 都成立，则( )A ．－1<a <1B ．0<a <2C ．－12<a <32D ．－32<a <12考点 演绎推理的综合应用 题点 演绎推理在其他方面的应用 答案 C解析 由题意知，(x －a )⊗(x ＋a )＝(x －a )[1－(x ＋a )]＝－x 2＋x ＋a 2－a ， ∴－x 2＋x ＋a 2－a <1.即x 2－x －a 2＋a ＋1>0对任意实数x 都成立， 则Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)<0， ∴4a 2－4a －3<0，解得－12<a <32.二、填空题8．在求函数y ＝log 2x －2的定义域时，第一步推理中大前提是当a 有意义时，a ≥0；小前提是log 2x －2有意义；结论是__________________________． 考点 “三段论”及其应用 题点 三段论的结构答案 y ＝log 2x －2的定义域是[4，＋∞) 解析 由大前提知log 2x －2≥0，解得x ≥4. 9．有一段演绎推理： 大前提：整数是自然数； 小前提：－3是整数； 结论：－3是自然数．这个推理显然错误，则错误的原因是______错误．(填“大前提”“小前提”“结论”) 考点 “三段论”及其应用 题点 大前提错误导致结论错误 答案 大前提10．以下推理过程省略的大前提为：________. 因为a 2＋b 2≥2ab ，所以2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab . 考点 “三段论”及其应用 题点 三段论的结构答案 若a ≥b ，则a ＋c ≥b ＋c解析 由小前提和结论可知，是在小前提的两边同时加上了a 2＋b 2，故大前提为：若a ≥b ，则a ＋c ≥b ＋c .11．已知在三边不等的三角形中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中a 为最大边，若想得到A为钝角的结论，则三边a ，b ，c 应满足的条件是a 2________b 2＋c 2.(填“>”“<”“＝”) 考点 演绎推理的综合应用 题点 演绎推理在其他方面的应用 答案 >解析 由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc <0，知b 2＋c 2－a 2<0，故a 2>b 2＋c 2.12．若不等式ax 2＋2ax ＋2<0的解集为∅，则实数a 的取值范围为__________． 考点 演绎推理的综合应用 题点 演绎推理在其他方面的应用 答案 [0,2]解析 ∵不等式ax 2＋2ax ＋2<0无解， 则不等式ax 2＋2ax ＋2≥0的解集为R . ∴当a ＝0时，2≥0，显然成立，当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4a 2－8a ≤0，解得0<a ≤2. ∴a 的取值范围为[0,2]． 三、解答题13．下面给出判断函数f (x )＝1＋x 2＋x －11＋x 2＋x ＋1的奇偶性的解题过程： 解 由于x ∈R ，且f (x )f (－x )＝1＋x 2＋x －11＋x 2＋x ＋1·1＋x 2－x ＋11＋x 2－x －1 ＝(1＋x 2)－(x －1)2(1＋x 2)－(x ＋1)2＝2x －2x ＝－1. ∴f (－x )＝－f (x )，故函数f (x )为奇函数． 试用三段论加以分析． 考点 “三段论”及其应用 题点 三段论的应用解 判断奇偶性的大前提“若定义域关于原点对称，且f (－x )＝－f (x )，则函数f (x )是奇函数；若定义域关于原点对称，且f (－x )＝f (x )，则函数f (x )是偶函数”．在解题过程中往往不用写出来，上述证明过程就省略了大前提．解答过程就是验证小前提成立，即所给的具体函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )． 四、探究与拓展14.如图，设平面α∩β＝EF ，AB ⊥α，CD ⊥α，垂足分别是点B ，D ，如果增加一个条件，就能推出BD ⊥EF ，这个条件不可能是下面四个选项中的( )精品资料 值得拥有精品资料 值得拥有11A ．AC ⊥βB ．AC ⊥EFC ．AC 与BD 在β内的射影在同一条直线上D ．AC 与α，β所成的角相等考点 演绎推理的综合应用题点 演绎推理在其他方面的应用答案 D解析 只要能推出EF ⊥AC 即可说明BD ⊥EF .当AC 与α，β所成的角相等时，推不出EF ⊥AC ，故选D.15．已知y ＝f (x )在(0，＋∞)上有意义，单调递增且满足f (2)＝1，f (xy )＝f (x )＋f (y )．(1)求证：f (x 2)＝2f (x )；(2)求f (1)的值；(3)若f (x )＋f (x ＋3)≤2，求x 的取值范围．考点 演绎推理的综合应用题点 演绎推理在函数中的应用(1)证明 因为f (xy )＝f (x )＋f (y )，所以f (x 2)＝f (x ·x )＝f (x )＋f (x )＝2f (x )．(2)解 因为f (1)＝f (12)＝2f (1)，所以f (1)＝0.(3)解 因为f (x )＋f (x ＋3)＝f (x (x ＋3))≤2＝2f (2)＝f (4)，且函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x ＋3>0，x (x ＋3)≤4，解得0<x ≤1.所以x 的取值范围为(0,1]．。

§2.3数学归纳法学习目标 1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．知识点数学归纳法对于一个与正整数有关的等式n(n－1)(n－2)…(n－50)＝0.思考1验证当n＝1，n＝2，…，n＝50时等式成立吗？答案成立．思考2能否通过以上等式归纳出当n＝51时等式也成立？为什么？答案不能，上面的等式只对n取1至50的正整数成立．梳理(1)数学归纳法的定义一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：①(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；②(归纳递推)假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．这种证明方法叫做数学归纳法．(2)数学归纳法的框图表示1．与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法．(×)2．数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1.(×)3．数学归纳法的两个步骤缺一不可．(√)类型一用数学归纳法证明等式例1用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2，其中n∈N*.考点用数学归纳法证明等式证明 (1)当n ＝1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，左边＝右边，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立， 即1×4＋2×7＋3×10＋…＋k (3k ＋1)＝k (k ＋1)2， 那么当n ＝k ＋1时，1×4＋2×7＋3×10＋…＋k (3k ＋1)＋(k ＋1)[3(k ＋1)＋1] ＝k (k ＋1)2＋(k ＋1)[3(k ＋1)＋1]＝(k ＋1)(k 2＋4k ＋4)＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1]2， 即当n ＝k ＋1时等式也成立．根据(1)和(2)可知等式对任何n ∈N *都成立．反思与感悟 用数学归纳法证明恒等式时，一是弄清n 取第一个值n 0时等式两端项的情况；二是弄清从n ＝k 到n ＝k ＋1等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；三是证明n ＝k ＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝n ＝k ＋1证明目标的表达式变形． 跟踪训练1 求证：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ∈N *)．考点 用数学归纳法证明等式 题点 利用数学归纳法证明等式 证明 (1)当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝11＋1＝12，左边＝右边．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立， 即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，则当n ＝k ＋1时，⎝⎛⎭⎫1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋⎝⎛⎭⎫12k ＋1－12k ＋2 ＝⎝⎛⎭⎫1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋⎝⎛⎭⎫12k ＋1－12k ＋2 ＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12(k ＋1). 即当n ＝k ＋1时，等式也成立．综合(1)，(2)可知，对一切n ∈N *，等式成立．例2 求证：1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n >56(n ≥2，n ∈N *)．考点 用数学归纳法证明不等式 题点 利用数学归纳法证明不等式证明 (1)当n ＝2时，左边＝13＋14＋15＋16＝5760，故左边>右边，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，命题成立， 即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k >56，则当n ＝k ＋1时，1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2＋13(k ＋1)＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋⎝⎛⎭⎫13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1>56＋⎝⎛⎭⎫13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1.(*) 方法一 (分析法) 下面证(*)式≥56，即13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1≥0， 只需证(3k ＋2)(3k ＋3)＋(3k ＋1)(3k ＋3)＋(3k ＋1)(3k ＋2)－3(3k ＋1)(3k ＋2)≥0， 只需证(9k 2＋15k ＋6)＋(9k 2＋12k ＋3)＋(9k 2＋9k ＋2)－(27k 2＋27k ＋6)≥0， 只需证9k ＋5≥0，显然成立． 所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立． 方法二 (放缩法)(*)式>⎝⎛⎭⎫3×13k ＋3－1k ＋1＋56＝56，所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由(1)(2)可知，原不等式对一切n ≥2，n ∈N *均成立． 引申探究把本例改为求证：1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋1n ＋n >1124(n ∈N *)．证明 (1)当n ＝1时，左边＝12>1124，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，不等式成立，即1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1k ＋k >1124， 则当n ＝k ＋1时，1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＝1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1>1124＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1， ∵12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝2(k ＋1)＋(2k ＋1)－2(2k ＋1)2(k ＋1)(2k ＋1)＝12(k ＋1)(2k ＋1)>0， ∴1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1>1124＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1>1124，∴当n ＝k ＋1时，不等式成立．由(1)(2)知对于任意正整数n ，不等式成立． 反思与感悟 用数学归纳法证明不等式的四个关键(1)验证第一个n 的值时，要注意n 0不一定为1，若n >k (k 为正整数)，则n 0＝k ＋1.(2)证明不等式的第二步中，从n ＝k 到n ＝k ＋1的推导过程中，一定要用到归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设．(3)用数学归纳法证明与n 有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小，对第二类形式往往要先对n 取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n 值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明．(4)用数学归纳法证明不等式的关键是由n ＝k 时成立得n ＝k ＋1时成立，主要方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等．跟踪训练2 在数列{a n }中，已知a 1＝a (a >2)，a n ＋1＝a 2n2(a n －1)(n ∈N *)，用数学归纳法证明：a n >2(n ∈N *)．考点 用数学归纳法证明不等式 题点 利用数学归纳法证明不等式 证明 ①当n ＝1时，a 1＝a >2，命题成立；②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，命题成立，即a k >2，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1－2＝a 2k2(a k －1)－2＝(a k －2)22(a k －1)>0， ∴当n ＝k ＋1时，命题也成立． 由①②得，对任意正整数n ，都有a n >2.类型三 归纳—猜想—证明例3 已知数列{a n }满足关系式a 1＝a (a >0)，a n ＝2a n －11＋a n －1(n ≥2，n ∈N *)，(1)用a 表示a 2，a 3，a 4；(2)猜想a n 的表达式(用a 和n 表示)，并用数学归纳法证明． 考点 数学归纳法证明数列问题 题点 利用数学归纳法证明数列通项问题 解 (1)a 2＝2a1＋a，a 3＝2a 21＋a 2＝2×2a 1＋a 1＋2a 1＋a ＝4a1＋3a ，a 4＝2a 31＋a 3＝2×4a 1＋3a 1＋4a 1＋3a ＝8a1＋7a .(2)因为a 1＝a ＝20a1＋(20－1)a ，a 2＝21a1＋(21－1)a ，…，猜想a n ＝2n －1a1＋(2n －1－1)a. 下面用数学归纳法证明． ①当n ＝1时，因为a 1＝a ＝20a1＋(20－1)a ，所以当n ＝1时猜想成立．②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时猜想成立， 即a k ＝2k －1a1＋(2k －1－1)a， 所以当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2a k1＋a k ＝2k a 1＋(2k －1－1)a 1＋2k －1a1＋(2k －1－1)a ＝2k a1＋(2k －1－1)a ＋2k －1a ＝2k a1＋2×2k －1a －a＝2(k＋1)－1a1＋[2(k＋1)－1－1]a，所以当n＝k＋1时猜想也成立．根据①与②可知猜想对一切n∈N*都成立．反思与感悟“归纳—猜想—证明”的一般步骤跟踪训练3考察下列各式2＝2×13×4＝4×1×34×5×6＝8×1×3×55×6×7×8＝16×1×3×5×7你能做出什么一般性的猜想？能证明你的猜想吗？考点用数学归纳法证明等式题点等式中的归纳，猜想、证明解由题意得，2＝2×1,3×4＝4×1×3,4×5×6＝8×1×3×5,5×6×7×8＝16×1×3×5×7，…，猜想：(n＋1)(n＋2)(n＋3)…2n＝2n·1·3·5·…·(2n－1)，下面利用数学归纳法进行证明．(1)当n＝1时，猜想显然成立；(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，猜想成立，即(k＋1)(k＋2)(k＋3)…2k＝2k·1·3·5·…·(2k－1)，那么当n＝k＋1时，(k＋1＋1)(k＋1＋2)(k＋1＋3)·…·2(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)·…·2k·(2k＋1)·2＝2k·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)·2＝2k＋1·1·3·5·…·(2k＋1)＝2k＋1·1·3·5·…·[2(k＋1)－1]所以当n＝k＋1时猜想成立．根据(1)(2)可知对任意正整数猜想均成立.1．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，由此推算：当n ≥2时，有( ) A ．f (2n )>2n ＋12(n ∈N *)B ．f (2n )>2(n ＋1)＋12(n ∈N *)C ．f (2n )>2n ＋12(n ∈N *)D ．f (2n )>n ＋22(n ∈N *)考点 利用数学归纳法证明不等式 题点 不等式中的归纳、猜想、证明 答案 D解析 f (4)>2改写成f (22)>2＋22；f (8)>52改写成f (23)>3＋22；f (16)>3改写成f (24)>4＋22；f (32)>72改写成f (25)>5＋22，由此可归纳得出：当n ≥2时，f (2n )>n ＋22(n ∈N *)．2．用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a 2n ＋1＝1－a 2n ＋21－a(a ≠1)”．在验证n ＝1时，左端计算所得项为( ) A ．1＋a B ．1＋a ＋a 2 C ．1＋a ＋a 2＋a 3D ．1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4考点 数学归纳法定义及原理 题点 数学归纳法第一步：归纳奠基 答案 C解析 将n ＝1代入a 2n＋1得a 3，故选C.3．若命题A (n )(n ∈N *)在n ＝k (k ∈N *)时成立，则有n ＝k ＋1时命题成立．现知命题对n ＝n 0(n 0∈N *)时成立，则有( ) A ．命题对所有正整数都成立B ．命题对小于n 0的正整数不成立，对大于或等于n 0的正整数都成立C ．命题对小于n 0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n 0的正整数都成立D ．以上说法都不正确 考点 数学归纳法定义及原理题点 数学归纳法第二步：归纳递推 答案 C解析 由已知，得n ＝n 0(n 0∈N *)时命题成立，则n ＝n 0＋1时命题成立， 在n ＝n 0＋1时命题成立的前提下，又可推得，n ＝(n 0＋1)＋1时命题也成立， 依此类推，可知选C.4．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)的过程如下：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1，则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1.所以当n ＝k ＋1时，等式也成立．由此可知对于任何n ∈N *，等式都成立． 上述证明，错误是________． 考点 数学归纳法定义及原理 题点 数学归纳法第二步：归纳递推 答案 未用归纳假设解析 本题在由n ＝k 成立证明n ＝k ＋1成立时， 应用了等比数列的求和公式，而未用上归纳假设，这与数学归纳法的要求不符． 5．用数学归纳法证明：121×3＋223×5＋…＋n 2(2n －1)(2n ＋1)＝n (n ＋1)2(2n ＋1)(n ∈N *)． 考点 用数学归纳法证明等式 题点 利用数学归纳法证明等式 证明 ①当n ＝1时，左边＝121×3＝13，右边＝1×(1＋1)2×(2×1＋1)＝13，左边＝右边，等式成立．②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，等式成立． 即121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＝k (k ＋1)2(2k ＋1)， 当n ＝k ＋1时，左边＝121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝k (k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝k (k ＋1)(2k ＋3)＋2(k ＋1)22(2k ＋1)(2k ＋3)＝(k ＋1)(2k 2＋5k ＋2)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝(k ＋1)(k ＋2)2(2k ＋3)，右边＝(k ＋1)(k ＋1＋1)2[2(k ＋1)＋1]＝(k ＋1)(k ＋2)2(2k ＋3)，左边＝右边，等式成立． 即对所有n ∈N *，原式都成立．在应用数学归纳法证题时应注意以下几点：(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1.(2)递推是关键：正确分析由n ＝k 到n ＝k ＋1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障；(3)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明.一、选择题1．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n (n －3)条时，第一步应验证n 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4考点 数学归纳法定义及原理 题点 数学归纳法第一步：归纳奠基 答案 C解析 由凸多边形的性质，应先验证三角形，故选C.2．某个命题与正整数有关，如果当n ＝k (k ∈N *)时，该命题成立，那么可推得当n ＝k ＋1时，该命题也成立．现在已知当n ＝5时，该命题成立，那么可推导出( ) A ．当n ＝6时命题不成立 B ．当n ＝6时命题成立 C ．当n ＝4时命题不成立 D ．当n ＝4时命题成立考点 数学归纳法定义及原理 题点 数学归纳第二步：归纳递推 答案 B3．设S k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ，则S k ＋1为( )A ．S k ＋12k ＋2B ．S k ＋12k ＋1＋12k ＋2C ．S k ＋12k ＋1－12k ＋2D ．S k ＋12k ＋2－12k ＋1考点 数学归纳法定义及原理 题点 数学归纳法第二步：归纳递推 答案 C解析 因式子右边各分数的分母是连续正整数， 则由S k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，①得S k ＋1＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12(k ＋1).②由②－①，得S k ＋1－S k ＝12k ＋1＋12(k ＋1)－1k ＋1＝12k ＋1－12(k ＋1). 故S k ＋1＝S k ＋12k ＋1－12(k ＋1). 4．一个与正整数n 有关的命题中，当n ＝2时命题成立，且由n ＝k 时命题成立，可以推得n ＝k ＋2时命题也成立，则( ) A ．该命题对于n >2的自然数n 都成立 B ．该命题对于所有的正偶数都成立 C ．该命题何时成立与k 取值无关 D ．以上答案都不对考点 数学归纳法定义及原理 题点 数学归纳法第二步：归纳递推 答案 B解析 由n ＝k 时命题成立，可以推出n ＝k ＋2时命题也成立，且使命题成立的第一个正偶数n 0＝2.故对所有的正偶数都成立．5．设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足：“当f (k )≥k 2成立时，总可推出f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立”，那么，下列命题总成立的是( ) A ．若f (3)≥9成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k 2成立B ．若f (5)≥25成立，则当k ≤5时，均有f (k )≥k 2成立C ．若f (7)<49成立，则当k ≥8时，均有f (k )<k 2成立D ．若f (4)＝25成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立考点 数学归纳法定义及原理题点 数学归纳法的定义答案 D解析 对于D ，∵f (4)＝25≥42，∴当k ≥4时，均有f (k )≥k 2.6．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n 3a n ＋1(n ∈N *)，依次计算a 2，a 3，a 4，归纳推测出a n 的通项表达式为( )A.24n －3B.26n －5C.24n ＋3D.22n －1 考点 数学归纳法证明数列问题题点 利用数学归纳法证明数列通项问题答案 B解析 结合题意，得a 1＝2，a 2＝27，a 3＝213，a 4＝219，…，可推测a n ＝26n －5，故选B. 7．用数学归纳法证明等式(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)(n ∈N *)的过程中，从n ＝k 到n ＝k ＋1左端需要增乘的代数式为( )A ．2k ＋1B.2k ＋1k ＋1 C ．2(2k ＋1)D.2k ＋3k ＋1考点 数学归纳法定义及原理题点 数学归纳法的第二步：归纳递推答案 C解析 当n ＝k ＋1时，左端为(k ＋2)(k ＋3)…[(k ＋1)＋(k －1)]·[(k ＋1)＋k ]·(2k ＋2)＝(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )(2k ＋1)·2，∴应增乘2(2k ＋1)．二、填空题8．用数学归纳法证明“对于足够大的自然数n ，总有2n >n 3”时，验证第一步不等式成立所取的第一个值n 0最小应当是________．考点 数学归纳法定义及原理题点 数学归纳法第一步：归纳奠基答案 109．证明：假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即2＋4＋…＋2k ＝k 2＋k ，那么2＋4＋…＋2k ＋2(k ＋1)＝k 2＋k ＋2(k ＋1)＝(k ＋1)2＋(k ＋1)，即当n ＝k ＋1时等式也成立．因此对于任何n ∈N *等式都成立．以上用数学归纳法证明“2＋4＋…＋2n ＝n 2＋n (n ∈N *)”的过程中的错误为_________． 考点 数学归纳法定义及原理题点 数学归纳法第二步：归纳递推答案 缺少步骤归纳奠基10．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，n ∈N *，用数学归纳法证明f (2n )>n 2时，f (2n ＋1)－f (2n )＝________________________________________________________________________. 考点 数学归纳法定义及原理题点 数学归纳法第二步：归纳递推答案 12n ＋1＋12n ＋2＋…＋12n ＋1三、解答题11．用数学归纳法证明⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19⎝⎛⎭⎫1－116·…·⎝⎛⎭⎫1－1n 2＝n ＋12n(n ≥2，n ∈N *)． 考点 用数学归纳法证明等式题点 利用数学归纳法证明等式证明 (1)当n ＝2时，左边＝1－14＝34， 右边＝2＋12×2＝34， 所以左边＝右边，所以当n ＝2时等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时等式成立，即⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19⎝⎛⎭⎫1－116·…·⎝⎛⎭⎫1－1k 2＝k ＋12k， 那么当n ＝k ＋1时，⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19⎝⎛⎭⎫1－116·…·⎝⎛⎭⎫1－1k 2⎣⎡⎦⎤1－1(k ＋1)2＝k ＋12k ⎣⎡⎦⎤1－1(k ＋1)2 ＝k ＋12k ·k (k ＋2)(k ＋1)2 ＝k ＋22(k ＋1)＝(k ＋1)＋12(k ＋1)， 即当n ＝k ＋1时，等式成立．综合(1)(2)知，对任意n ≥2，n ∈N *，等式恒成立．12．用数学归纳法证明：122＋132＋142＋…＋1n 2<1－1n(n ≥2，n ∈N *)． 考点 用数学归纳法证明不等式题点 利用数学归纳法证明不等式证明 (1)当n ＝2时，左式＝122＝14， 右式＝1－12＝12. 因为14<12，所以不等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式成立，即122＋132＋142＋…＋1k 2<1－1k， 则当n ＝k ＋1时，122＋132＋142＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2<1－1k ＋1(k ＋1)2＝1－(k ＋1)2－k k (k ＋1)2＝1－k 2＋k ＋1k (k ＋1)2<1－k (k ＋1)k (k ＋1)2＝1－1k ＋1， 所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．综上所述，对任意n ≥2的正整数，不等式都成立．四、探究与拓展13．用数学归纳法证明“34n ＋1＋52n ＋2(n ∈N *)能被14整除”时，当n ＝k ＋1时，34(k ＋1)＋1＋52(k ＋1)＋2应变形为________________．考点 数学归纳法定义及原理题点 数学归纳法第二步：归纳递推答案 34×(34k ＋1＋52k ＋2)－52k ＋2×14×4 解析 34(k ＋1)＋1＋52(k＋1)＋2＝34×34k ＋1＋52×52k ＋2＝34×34k ＋1＋34×52k ＋2＋52×52k ＋2－34×52k ＋2＝34×(34k ＋1＋52k ＋2)－52k ＋2×(34－52)＝34×(34k ＋1＋52k ＋2)－52k ＋2×14×4. 14．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1－na n (n ∈N *)．(1)计算a 1，a 2，a 3，a 4；(2)猜想a n 的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．考点 数学归纳法证明数列问题题点 利用数学归纳法证明数列通项问题解 (1)计算得a 1＝12；a 2＝16；a 3＝112；a 4＝120.(2)猜想：a n ＝1n (n ＋1).下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，猜想显然成立．②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，猜想成立， 即a k ＝1k (k ＋1)，那么，当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝1－(k ＋1)a k ＋1， 即S k ＋a k ＋1＝1－(k ＋1)a k ＋1.又S k ＝1－ka k ＝kk ＋1，所以kk ＋1＋a k ＋1＝1－(k ＋1)a k ＋1，从而a k ＋1＝1(k ＋1)(k ＋2)＝1(k ＋1)[(k ＋1)＋1]， 即n ＝k ＋1时，猜想也成立．故由①和②可知猜想成立．。

章末复习学习目标 1.整合本章知识要点.2.进一步理解合情推理与演绎推理的概念、思维形式、应用等.3.进一步熟练掌握直接证明与间接证明.4.理解数学归纳法，并会用数学归纳法证明问题．1．合情推理(1)归纳推理：由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理：由特殊到特殊的推理．(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．2．演绎推理(1)演绎推理：由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．3．直接证明和间接证明(1)直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：①综合法是从已知条件推出结论的证明方法；②分析法是从结论追溯到条件的证明方法．(2)间接证明的一种方法是反证法，是从结论反面成立出发，推出矛盾的方法．4．数学归纳法数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学命题．证明时，它的两个步骤缺一不可，它的第一步(归纳奠基)是证当n＝n0时结论成立；第二步(归纳递推)是假设当n＝k时结论成立，推得当n＝k＋1时结论也成立．1．归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．(×)2．“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．(√)3．综合法是直接证明，分析法是间接证明．(×)4．反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．(×)类型一 合情推理与演绎推理 例1 (1)观察下列等式：⎝⎛⎭⎫sin π3－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π3－2＝43×1×2； ⎝⎛⎭⎫sin π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 4π5－2 ＝43×2×3； ⎝⎛⎭⎫sin π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π7－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 6π7－2＝43×3×4； ⎝⎛⎭⎫sin π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π9－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 8π9－2＝43×4×5； …… 照此规律，⎝⎛⎭⎫sin π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 2n π2n ＋1－2＝________. 考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在数对(组)中的应用 答案 43n (n ＋1)解析 第一个等式中1＝3－12，2＝3＋12；第二个等式中，2＝5－12，3＝5＋12；第三个等式中，3＝7－12，4＝7＋12.由此可推得第n 个等式等于43×2n ＋1－12×2n ＋1＋12＝43n (n ＋1)．(2)根据图(1)的面积关系：S △P A ′B ′S △P AB ＝P A ′P A ·PB ′PB ，可猜想图(2)有体积关系：V 三棱锥P －A ′B ′C ′V 三棱锥P －ABC＝________.考点 类此推理的应用题点 平面几何与立体几何之间的类比 答案P A ′P A ·PB ′PB ·PC ′PC解析 题干两图中，与△P AB ，△P A ′B ′相对应的是三棱锥P －ABC ，P －A ′B ′C ′；与△P A ′B ′两边P A ′，PB ′相对应的是三棱锥P －A ′B ′C ′的三条侧棱P A ′，PB ′，PC ′.与△P AB 的两条边P A ，PB 相对应的是三棱锥P －ABC 的三条侧棱P A ，PB ，PC .由此，类比题图(1)的面积关系，得到题图(2)的体积关系为V 三棱锥P －A ′B ′C ′V 三棱锥P －ABC＝P A ′P A ·PB ′PB ·PC ′PC .(3)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．考点 演绎推理的综合应用 题点 演绎推理在其他方面的应用 答案 1和3解析 由题意可知丙不拿2和3.若丙拿1和2，则乙拿2和3，甲拿1和3，满足题意； 若丙拿1和3，则乙拿2和3，甲拿1和2，不满足题意． 故甲的卡片上的数字是1和3.反思与感悟 (1)用归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅根据一系列有限的特殊事例，所得出的一般结论不一定可靠，其结论的正确与否，还要经过严格的理论证明． (2)进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．(3)演绎推理是由一般到特殊的推理，其结论不会超出前提所界定的范围，所以其前提和结论之间的联系是必然的．因此，在演绎推理中，只要前提及推理正确，结论必然正确． 跟踪训练1 (1)如图是由火柴棒拼成的图形，第n 个图形由n 个正方形组成．通过观察可以发现：第4个图形中有________根火柴棒；第n 个图形中有________根火柴棒． 考点 归纳推理的应用 题点 归纳推理在图形中的应用 答案 13 3n ＋1解析 设第n 个图形中火柴棒的根数为a n ，可知a 4＝13. 通过观察得到递推关系式a n －a n －1＝3(n ≥2，n ∈N *)， 所以a n ＝3n ＋1.(2)若数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，则有性质“若S m ＝S n (m ，n ∈N *且m ≠n )，则S m ＋n ＝0.”类比上述性质，相应地，当数列{b n }为等比数列时，写出一个正确的性质：________________. 考点 类比推理的应用题点 等差数列与等比数列之间的类比答案 数列{b n }为等比数列，T m 表示其前m 项的积，若T m ＝T n (m ，n ∈N *，m ≠n )，则T m ＋n ＝1解析 由等差数列的运算性质类比推理到等比数列的运算性质时， 加减运算类比推理为乘除运算． 累加类比为累乘，由此，等差数列{a n }的性质类比到等比数列{b n }中为： 数列{b n }为等比数列，T m 表示其前m 项的积， 若T m ＝T n (m ，n ∈N *，m ≠n )， 则T m ＋n ＝1.类型二 综合法与分析法例2 试用分析法和综合法分别推证下列命题：已知α∈(0，π)，求证：2sin 2α≤sin α1－cos α.考点 分析法和综合法的综合应用 题点 分析法和综合法的综合应用 证明 方法一 分析法 要证2sin 2α≤sin α1－cos α成立，只需证4sin αcos α≤sin α1－cos α，∵α∈(0，π)，∴sin α>0， 只需证4cos α≤11－cos α，∵1－cos α>0， ∴4cos α(1－cos α)≤1，可变形为4cos 2α－4cos α＋1≥0， 只需证(2cos α－1)2≥0，显然成立． 方法二 综合法 ∵11－cos α＋4(1－cos α)≥4，当且仅当cos α＝12，即α＝π3时取等号，∴4cos α≤11－cos α.∵α∈(0，π)，∴sin α>0， ∴4sin αcos α≤sin α1－cos α，∴2sin 2α≤sin α1－cos α.反思与感悟 分析法和综合法是两种思路相反的推理方法：分析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点．分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综合法条件清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件．跟踪训练2 设a ，b 是两个正实数，且a ≠b ，求证：a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2. 考点 分析法及应用 题点 分析法解决不等式问题证明 要证a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2成立，即需证 (a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)>ab (a ＋b )成立， 即需证a 2－ab ＋b 2>ab 成立． 只需证a 2－2ab ＋b 2>0成立， 即需证(a －b )2>0成立．而由已知条件可知，a ≠b ，所以a －b ≠0， 所以(a －b )2>0显然成立． 即a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2. 类型三 反证法例3 若x ，y 都是正实数，且x ＋y >2，求证：1＋x y <2与1＋yx <2中至少有一个成立．考点 反证法及应用 题点 反证法的应用证明 假设1＋x y <2和1＋yx <2都不成立，则有1＋x y ≥2和1＋yx ≥2同时成立．因为x >0且y >0，所以1＋x ≥2y 且1＋y ≥2x ，两式相加，得2＋x ＋y ≥2x ＋2y ，所以x ＋y ≤2. 这与已知x ＋y >2矛盾． 故1＋x y <2与1＋y x<2中至少有一个成立．反思与感悟 反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题；涉及“都是……”“都不是……”“至少……”“至多……”等形式的命题时，也常用反证法． 跟踪训练3 已知：ac ≥2(b ＋d )．求证：方程x 2＋ax ＋b ＝0与方程x 2＋cx ＋d ＝0中至少有一个方程有实数根． 考点 反证法及应用 题点 反证法的应用证明 假设两方程都没有实数根，则Δ1＝a 2－4b <0与Δ2＝c 2－4d <0，有a 2＋c 2<4(b ＋d )，而a 2＋c 2≥2ac ，从而有4(b ＋d )>2ac ，即ac <2(b ＋d )，与已知矛盾，故原命题成立． 类型四 数学归纳法例4 已知在数列{a n }中，a 1＝－23，其前n 项和S n 满足a n ＝S n ＋1S n ＋2(n ≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，猜想S n 的表达式，并用数学归纳法加以证明． 考点 数学归纳法证明数列问题 题点 数学归纳法证明数列通项问题 解 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝S n ＋1S n ＋2.∴S n ＝－1S n －1＋2(n ≥2)．则有S 1＝a 1＝－23，S 2＝－1S 1＋2＝－34，S 3＝－1S 2＋2＝－45，S 4＝－1S 3＋2＝－56，由此猜想：S n ＝－n ＋1n ＋2(n ∈N *)．下面用数学归纳法证明：(1)当n ＝1时，S 1＝－23＝a 1，猜想成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时猜想成立， 即S k ＝－k ＋1k ＋2成立，那么当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝－1S k ＋2＝－1－k ＋1k ＋2＋2 ＝－k ＋2k ＋3＝－(k ＋1)＋1(k ＋1)＋2.即当n ＝k ＋1时猜想成立．由(1)(2)可知，对任意正整数n ，猜想均成立．反思与感悟 (1)用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型，其关键点在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始n 0是多少．(2)由n ＝k 到n ＝k ＋1时，除等式两边变化的项外还要利用当n ＝k 时的式子，即利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明． 跟踪训练4 观察下列四个等式： 第一个式子 1＝1 第二个式子 2＋3＋4＝9 第三个式子 3＋4＋5＋6＋7＝25 第四个式子 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49 (1)按照此规律，写出第五个等式；(2)请你做出一般性的猜想，并用数学归纳法证明． 考点 利用数学归纳法证明等式 题点 等式中的归纳、猜想、证明 解 (1)第5个等式：5＋6＋7＋…＋13＝81. (2)猜想第n 个等式为n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2. 下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，左边＝1，右边＝(2－1)2＝1， 猜想成立．②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，猜想成立， 即有k ＋(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋(3k －2)＝(2k －1)2. 那么当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋(3k －2)＋(3k －1)＋3k ＋(3k ＋1) ＝k ＋(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋(3k －2)＋(2k －1)＋3k ＋(3k ＋1) ＝(2k －1)2＋(2k －1)＋3k ＋(3k ＋1) ＝4k 2－4k ＋1＋8k ＝(2k ＋1)2 ＝[2(k ＋1)－1]2. 右边＝[2(k ＋1)－1]2，即当n ＝k ＋1时，猜想也成立． 根据①②知，猜想对任意n ∈N *都成立.1．数列5,9,17,33，x ，…中的x 等于( ) A ．47 B ．65 C ．63D ．128考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在数对(组)中的应用 答案 B解析 5＝22＋1,9＝23＋1,17＝24＋1,33＝25＋1， 归纳可得：x ＝26＋1＝65.2．在平面直角坐标系中，方程x a ＋yb ＝1表示x ，y 轴上的截距分别为a ，b 的直线，类比到空间直角坐标系中，在x ，y ，z 轴上截距分别为a ，b ，c (abc ≠0)的平面方程为( ) A.x a ＋y b ＋zc＝1 B.x ab ＋y bc ＋zca ＝1 C.xy ab ＋yz bc ＋zxca＝1 D ．ax ＋by ＋cz ＝1考点 类比推理的应用题点 平面几何与立体几何之间的类比 答案 A解析 ∵在平面直角坐标系中，方程x a ＋yb ＝1表示的图形是一条直线，具有特定性质：“在x轴，y 轴上的截距分别为a ，b ”．类比到空间直角坐标系中，在x ，y ，z 轴上截距分别为a ，b ，c (abc ≠0)的平面方程为x a ＋y b ＋zc ＝1.故选A.3．若a >0，b >0，则有( ) A.b 2a >2b －a B.b 2a <2b －a C.b 2a ≥2b －a D.b 2a≤2b －a 考点 综合法及应用题点 利用综合法解决不等式问题 答案 C解析 因为b 2a －(2b －a )＝b 2－2ab ＋a 2a ＝(b －a )2a ≥0，所以b 2a≥2b －a .4．用反证法证明命题：“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实数C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根 考点 反证法及应用 题点 如何正确进行反设 答案 A解析 方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根的反面是方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根，故选A. 5．用数学归纳法证明：12×4＋14×6＋16×8＋…＋12n (2n ＋2)＝n 4(n ＋1)(n ∈N *)． 考点 用数学归纳法证明等式 题点 利用数学归纳法证明等式解 (1)当n ＝1时，左边＝12×1×(2×1＋2)＝18，右边＝14×(1＋1)＝18.左边＝右边，所以等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立， 即有12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k (2k ＋2)＝k 4(k ＋1)，则当n ＝k ＋1时，12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k (2k ＋2)＋12(k ＋1)[2(k ＋1)＋2] ＝k 4(k ＋1)＋14(k ＋1)(k ＋2)＝k (k ＋2)＋14(k ＋1)(k ＋2)＝(k ＋1)24(k ＋1)(k ＋2) ＝k ＋14(k ＋2)＝k ＋14[(k ＋1)＋1].所以当n ＝k ＋1时，等式也成立，由(1)(2)可知，对于一切n ∈N *，等式都成立．1．归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明．2．演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式．也是公理化体系所采用的推理形式，另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性．3．直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法．直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用，间接证法的一种方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法．4．数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时，它的两个步骤缺一不可．它的第一步(归纳奠基)当n ＝n 0时，结论成立．第二步(归纳递推)假设当n ＝k 时，结论成立，推得当n ＝k ＋1时，结论也成立．数学归纳法是在可靠的基础上，利用命题自身具有的传递性，运用有限的步骤(两步)证明出无限的命题成立．一、选择题1．证明命题：“f (x )＝e x ＋1e x 在(0，＋∞)上是增函数”．现给出的证法如下：因为f (x )＝e x ＋1e x ，所以f ′(x )＝e x －1e x .因为x >0，所以e x >1,0<1e x <1.所以e x －1e x >0，即f ′(x )>0.所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数，使用的证明方法是( ) A ．综合法 B ．分析法 C ．反证法 D ．以上都不是考点 综合法及应用题点 利用综合法解决函数问题 答案 A解析 这是从已知条件出发利用已知的定理证得结论的，是综合法，故选A. 2．若a <b <0，则下列不等式中成立的是( ) A.1a <1b B ．a ＋1b >b ＋1aC ．b ＋1a >a ＋1bD.b a <b ＋1a ＋1考点 分析法及应用题点分析法解决不等式问题答案 C解析取a＝－2，b＝－1，验证可知C正确．3．我们把1,4,9,16,25，…这些数称为“正方形点数”，这是因为这些数量的点可以排成一个正方形，如图所示，则第n个正方形点数是()A．n(n－1) B．n(n＋1)C．(n＋1)2D．n2考点归纳推理的应用题点归纳推理在图形中的应用答案 D解析由题意可知第n个正方形点数为n2.4．在数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…中，第25项为()A．25 B．7C．6 D．8考点归纳推理的应用题点归纳推理在数对(组)中的应用答案 B解析由所给的数列规律知，第25项为7.5．已知{b n}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{a n}为等差数列，a5＝2，则{a n}的类似结论为()A．a1a2a3…a9＝29B．a1＋a2＋…＋a9＝29C．a1a2…a9＝2×9 D．a1＋a2＋…＋a9＝2×9考点类比推理的应用题点等差数列与等比数列之间的类比答案 D解析由等差数列的性质a1＋a9＝a2＋a8＝…＝2a5可知D正确．6．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取()A．2 B．3C．5 D．6考点数学归纳法定义及原理题点数学归纳法第一步：归纳奠基答案 C解析当n取1,2,3,4时，2n>n2＋1不成立，当n＝5时，25＝32>52＋1＝26，即第一个能使2n>n2＋1成立的n值为5，故选C.7．已知a＋b＋c＝0，则ab＋bc＋ca的值()A．大于0 B．小于0C．不小于0 D．不大于0考点综合法及应用题点综合法的应用答案 D解析因为(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)＝0，又因为a2＋b2＋c2≥0，所以2(ab＋bc＋ca)≤0，即ab＋bc＋ca≤0.8．某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则()A．2号学生进入30秒跳绳决赛B．5号学生进入30秒跳绳决赛C．8号学生进入30秒跳绳决赛D．9号学生进入30秒跳绳决赛考点演绎推理的综合应用题点演绎推理在其他方面的应用答案 B解析进入立定跳远决赛的有8人，根据成绩应是1号至8号．若a>63，则同时进入两决赛的不是6人，不符合题意；若61≤a≤63，则同时进入两决赛的有1,2,3,5,6,7号，符合题意；若a＝60，则同时进入两决赛的不是6人，不符合题意；若a ≤59，则同时进入两决赛的有1,3,4,5,6,7号，符合题意． 综上可知，5号进入30秒跳绳决赛． 二、填空题9．已知正三角形内切圆的半径是高的13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是____________________． 考点 类比推理的应用题点 平面几何与立体几何之间的类比 答案 正四面体的内切球的半径是高的14解析 原问题的解法为等面积法，即正三角形的面积S ＝12ah 1＝3×12ar ⇒r ＝13h 1(其中a 是正三角形的边长，h 1是高，r 是内切圆半径)．类比，用等体积法，V ＝13Sh 2＝4×13R ·S ⇒R ＝14h 2(其中S 为底面正三角形的面积，h 2是高，R是内切球的半径)． 10．已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，6＋a b＝6ab，a ，b 均为正实数，由以上规律可推测出a ，b 的值，则a ＋b ＝________. 考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在数对(组)中的应用 答案 41解析 由题意归纳推理得6＋a b＝6ab，b ＝62－1＝35，a ＝6. ∴a ＋b ＝6＋35＝41.11．完成反证法证题的全过程．题目：设a 1，a 2，…，a 7是由数字1,2，…，7任意排成的一个数列，求证：乘积p ＝(a 1－1)(a 2－2)…(a 7－7)为偶数．证明：假设p 为奇数，则________均为奇数．① 因为7个奇数之和为奇数，故有(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)为________．② 而(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)＝(a 1＋a 2＋…＋a 7)－(1＋2＋…＋7)＝________.③ ②与③矛盾，故p 为偶数． 考点 反证法及应用 题点 反证法的应用答案 a 1－1，a 2－2，…，a 7－7 奇数 0解析 由假设p 为奇数可知，(a 1－1)，(a 2－2)，…，(a 7－7)均为奇数，故(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)＝(a 1＋a 2＋…＋a 7)－(1＋2＋…＋7)＝0为奇数，这与0为偶数相矛盾． 三、解答题12．用综合法或分析法证明：(1)如果a ，b >0，则lg a ＋b 2≥lg a ＋lg b 2；(2)6＋10>23＋2.考点 分析法和综合法的综合应用 题点 分析法和综合法的综合应用 证明 (1)当a ，b >0时，有a ＋b2≥ab ， ∴lg a ＋b2≥lg ab ，∴lg a ＋b 2≥12lg(ab )＝lg a ＋lg b 2.(2)要证6＋10>23＋2， 只需证(6＋10)2>(23＋2)2， 即260>248，这是显然成立的， ∴原不等式成立．13．求证：不论x ，y 取何非零实数，等式1x ＋1y ＝1x ＋y 总不成立．考点 反证法及应用 题点 反证法的应用证明 假设存在非零实数x ，y 使得等式1x ＋1y ＝1x ＋y 成立．于是有y (x ＋y )＋x (x ＋y )＝xy ， 即x 2＋y 2＋xy ＝0， 即⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＋34y 2＝0. 由y ≠0，得34y 2＞0.又⎝⎛⎭⎫x ＋y22≥0， 所以⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＋34y 2＞0. 与x 2＋y 2＋xy ＝0矛盾，故原命题成立．四、探究与拓展14．设S ，V 分别表示表面积和体积，如△ABC 的面积用S △ABC 表示，三棱锥O －ABC 的体积用V O －ABC 表示，对于命题：如果O 是线段AB 上一点，则|OB →|·OA →＋|OA →|·OB →＝0.将它类比到平面的情形时，应该有：若O 是△ABC 内一点，有S △OBC ·OA →＋S △OCA ·OB →＋S △OBA ·OC →＝0.将它类比到空间的情形时，应该有：若O 是三棱锥A －BCD 内一点，则有__________． 考点 类比推理的应用题点 平面几何与立体几何之间的类比答案 V O －BCD ·OA →＋V O －ACD ·OB →＋V O －ABD ·OC →＋V O －ABC ·OD →＝0 15．给出下列等式：1＝1， 1－4＝－(1＋2)， 1－4＋9＝1＋2＋3， 1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)，……(1)写出第5个和第6个等式，并猜想第n (n ∈N *)个等式； (2)用数学归纳法证明你猜想的等式． 考点 利用数学归纳法证明等式 题点 等式中的归纳、猜想、证明(1)解 第5个等式为1－4＋9－16＋25＝1＋2＋3＋4＋5， 第6个等式为1－4＋9－16＋25－36＝－(1＋2＋3＋4＋5＋6)． 猜想第n 个等式为12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1n 2＝(－1)n －1·(1＋2＋3＋…＋n )．(2)证明 ①当n ＝1时，左边＝12＝1，右边＝(－1)0×1＝1，左边＝右边，猜想成立．②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，猜想成立，即12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1k 2＝(－1)k －1·k (k ＋1)2，则当n ＝k ＋1时，12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1k 2＋(－1)k (k ＋1)2＝(－1)k －1·k (k ＋1)2＋(－1)k (k＋1)2＝(－1)k (k ＋1)·⎣⎡⎦⎤(k ＋1)－k 2＝(－1)k ·(k ＋1)[(k ＋1)＋1]2， 故当n ＝k ＋1时，猜想也成立由①②可知，对于任意n ∈N *，猜想均成立．。