新编北京各区一模数学试题分类汇编--平面向量(含解析)

高考数学真题汇编---平面向量学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一．选择题（共10小题）1．（2017•新课标Ⅱ）设非零向量，满足|+|=|﹣|则（）A．⊥B．||=||C．∥D．||＞||2．（2017•新课标Ⅲ）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若=λ+μ，则λ+μ的最大值为（）A．3 B．2C．D．23．（2017•新课标Ⅱ）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则•（+）的最小值是（）A．﹣2 B．﹣C．﹣D．﹣14．（2017•浙江）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC与BD交于点O，记I1=•，I2=•，I3=•，则（）A．I1＜I2＜I3B．I1＜I3＜I2C．I3＜I1＜I2D．I2＜I1＜I35．（2016•新课标Ⅲ）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120°6．（2016•新课标Ⅱ）已知向量=（1，m），=（3，﹣2），且（+）⊥，则m=（）A．﹣8 B．﹣6 C ．6 D．87．（2016•天津）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则•的值为（）A．﹣B．C．D．8．（2016•山东）已知非零向量，满足4||=3||，cos＜，＞=．若⊥（t+），则实数t的值为（）A．4 B．﹣4 C．D．﹣9．（2016•四川）在平面内，定点A，B，C，D满足==，•=•=•=﹣2，动点P，M满足=1，=，则||2的最大值是（）A．B．C．D．10．（2016•四川）已知正三角形ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M 满足||=1，=，则||2的最大值是（）A．B．C．D．二．填空题（共20小题）11．（2017•山东）已知向量=（2，6），=（﹣1，λ），若，则λ=．12．（2017•新课标Ⅲ）已知向量=（﹣2，3），=（3，m），且，则m=．13．（2017•新课标Ⅰ）已知向量=（﹣1，2），=（m，1），若向量+与垂直，则m=．14．（2017•新课标Ⅰ）已知向量，的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|=．15．（2017•山东）已知，是互相垂直的单位向量，若﹣与+λ的夹角为60°，则实数λ的值是．16．（2017•江苏）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0，6），点P在圆O：x2+y2=50上．若≤20，则点P的横坐标的取值范围是．17．（2017•北京）已知点P在圆x2+y2=1上，点A的坐标为（﹣2，0），O为原点，则•的最大值为．18．（2017•江苏）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα=7，与的夹角为45°．若=m+n（m，n∈R），则m+n=．19．（2017•天津）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若=2，=λ﹣（λ∈R），且=﹣4，则λ的值为．20．（2016•新课标Ⅱ）已知向量=（m，4），=（3，﹣2），且∥，则m=．21．（2016•上海）在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（0，﹣1），P是曲线y=上一个动点，则•的取值范围是．22．（2016•新课标Ⅰ）设向量=（m，1），=（1，2），且|+|2=||2+||2，则m=．23．（2016•山东）已知向量=（1，﹣1），=（6，﹣4），若⊥（t+），则实数t的值为．24．（2016•新课标Ⅰ）设向量=（x，x+1），=（1，2），且⊥，则x=．25．（2016•浙江）已知平面向量，，||=1，||=2，=1，若为平面单位向量，则||+||的最大值是．26．（2016•上海）如图，已知点O（0，0），A（1，0），B（0，﹣1），P是曲线y=上一个动点，则•的取值范围是．27．（2016•江苏）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，•=4，•=﹣1，则•的值是．28．（2016•北京）已知向量=（1，），=（，1），则与夹角的大小为．29．（2016•上海）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为正八边形A1A2…A8的中心，A1（1，0）任取不同的两点A i，A j，点P满足++=，则点P落在第一象限的概率是．30．（2016•浙江）已知向量，，||=1，||=2，若对任意单位向量，均有|•|+|•|≤，则•的最大值是．三．解答题（共1小题）31．（2017•山东）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=3，= =3，求A和a．﹣6，S△ABC高考数学真题汇编---平面向量参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．【分析】由已知得，从而=0，由此得到．【解答】解：∵非零向量，满足|+|=|﹣|，∴，解得=0，∴．故选：A．2．【分析】如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，先求出圆的标准方程，再设点P的坐标为（cosθ+1，sinθ+2），根据=λ+μ，求出λ，μ，根据三角函数的性质即可求出最值．【解答】解：如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，则A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），∵动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，设圆的半径为r，∵BC=2，CD=1，∴BD==∴BC•CD=BD•r，∴r=，∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=，设点P的坐标为（cosθ+1，sinθ+2），∵=λ+μ，∴（cosθ+1，sinθ+2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ），∴cosθ+1=λ，sinθ+2=2μ，∴λ+μ=cosθ+sinθ+2=sin（θ+φ）+2，其中tanφ=2，∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，∴1≤λ+μ≤3，故λ+μ的最大值为3，故选：A．3．【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．【解答】解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，则A（0，），B（﹣1，0），C（1，0），设P（x，y），则=（﹣x，﹣y），=（﹣1﹣x，﹣y），=（1﹣x，﹣y），则•（+）=2x2﹣2y+2y2=2[x2+（y﹣）2﹣]∴当x=0，y=时，取得最小值2×（﹣）=﹣，故选：B．4．【分析】根据向量数量积的定义结合图象边角关系进行判断即可．【解答】解：∵AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，∴AC=2，∴∠AOB=∠COD＞90°，由图象知OA＜OC，OB＜OD，∴0＞•＞•，•＞0，即I3＜I1＜I2，故选：C．5．【分析】根据向量的坐标便可求出，及的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出cos∠ABC的值，根据∠ABC的范围便可得出∠ABC 的值．【解答】解：，；∴；又0°≤∠ABC≤180°；∴∠ABC=30°．故选：A．【分析】求出向量+的坐标，根据向量垂直的充要条件，构造关于m的方程，解得答案．【解答】解：∵向量=（1，m），=（3，﹣2），∴+=（4，m﹣2），又∵（+）⊥，∴12﹣2（m﹣2）=0，解得：m=8，故选：D．7．【分析】由题意画出图形，把、都用表示，然后代入数量积公式得答案．【解答】解：如图，∵D、E分别是边AB、BC的中点，且DE=2EF，∴•========．故选：C．【分析】若⊥（t+），则•（t+）=0，进而可得实数t的值．【解答】解：∵4||=3||，cos＜，＞=，⊥（t+），∴•（t+）=t•+2=t||•||•+||2=（）||2=0，解得：t=﹣4，故选：B．9．【分析】由==，可得D为△ABC的外心，又•=•=•，可得可得D为△ABC的垂心，则D为△ABC的中心，即△ABC为正三角形．运用向量的数量积定义可得△ABC的边长，以A为坐标原点，AD所在直线为x轴建立直角坐标系xOy，求得B，C的坐标，再设P（cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），由中点坐标公式可得M的坐标，运用两点的距离公式可得BM的长，运用三角函数的恒等变换公式，结合正弦函数的值域，即可得到最大值．【解答】解：由==，可得D为△ABC的外心，又•=•=•，可得•（﹣）=0，•（﹣）=0，即•=•=0，即有⊥，⊥，可得D为△ABC的垂心，则D为△ABC的中心，即△ABC为正三角形．由•=﹣2，即有||•||cos120°=﹣2，解得||=2，△ABC的边长为4cos30°=2，以A为坐标原点，AD所在直线为x轴建立直角坐标系xOy，可得B（3，﹣），C（3，），D（2，0），由=1，可设P（cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），由=，可得M为PC的中点，即有M（，），则||2=（3﹣）2+（+）2=+==，当sin（θ﹣）=1，即θ=时，取得最大值，且为．故选：B．10．【分析】如图所示，建立直角坐标系．B（0，0），C．A．点P的轨迹方程为：=1，令x=+cosθ，y=3+sinθ，θ∈[0，2π）．又=，可得M，代入||2=+3sin，即可得出．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．B（0，0），C．A．∵M满足||=1，∴点P的轨迹方程为：=1，令x=+cosθ，y=3+sinθ，θ∈[0，2π）．又=，则M，∴||2=+=+3sin≤．∴||2的最大值是．也可以以点A为坐标原点建立坐标系．解法二：取AC中点N，MN=，从而M轨迹为以N为圆心，为半径的圆，B，N，M三点共线时，BM为最大值．所以BM最大值为3+=．故选：B．二．填空题（共20小题）11．【分析】利用向量共线定理即可得出．【解答】解：∵，∴﹣6﹣2λ=0，解得λ=﹣3．故答案为：﹣3．12．【分析】利用平面向量数量积坐标运算法则和向量垂直的性质求解．【解答】解：∵向量=（﹣2，3），=（3，m），且，∴=﹣6+3m=0，解得m=2．故答案为：2．13．【分析】利用平面向量坐标运算法则先求出，再由向量+与垂直，利用向量垂直的条件能求出m的值．【解答】解：∵向量=（﹣1，2），=（m，1），∴=（﹣1+m，3），∵向量+与垂直，∴（）•=（﹣1+m）×（﹣1）+3×2=0，解得m=7．故答案为：7．14．【分析】根据平面向量的数量积求出模长即可．【解答】解：【解法一】向量，的夹角为60°，且||=2，||=1，∴=+4•+4=22+4×2×1×cos60°+4×12=12，∴|+2|=2．【解法二】根据题意画出图形，如图所示；结合图形=+=+2；在△OAC中，由余弦定理得||==2，即|+2|=2．故答案为：2．15．【分析】根据平面向量的数量积运算与单位向量的定义，列出方程解方程即可求出λ的值．【解答】解：【方法一】由题意，设=（1，0），=（0，1），则﹣=（，﹣1），+λ=（1，λ）；又夹角为60°，∴（﹣）•（+λ）=﹣λ=2××cos60°，即﹣λ=，解得λ=．【方法二】，是互相垂直的单位向量，∴||=||=1，且•=0；又﹣与+λ的夹角为60°，∴（﹣）•（+λ）=|﹣|×|+λ|×cos60°，即+（﹣1）•﹣λ=××，化简得﹣λ=××，即﹣λ=，解得λ=．故答案为：．16．【分析】根据题意，设P（x0，y0），由数量积的坐标计算公式化简变形可得2x0+y0+5≤0，分析可得其表示表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域，联立直线与圆的方程可得交点的横坐标，结合图形分析可得答案．【解答】解：根据题意，设P（x0，y0），则有x02+y02=50，=（﹣12﹣x0，﹣y0）•（﹣x0，6﹣y0）=（12+x0）x0﹣y0（6﹣y0）=12x0+6y+x02+y02≤20，化为：12x0﹣6y0+30≤0，即2x0﹣y0+5≤0，表示直线2x﹣y+5=0以及直线上方的区域，联立，解可得x0=﹣5或x0=1，结合图形分析可得：点P的横坐标x0的取值范围是[﹣5，1]，故答案为：[﹣5，1]．17．【分析】设P（cosα，sinα）．可得=（2，0），=（cosα+2，sinα）．利用数量积运算性质、三角函数的单调性与值域即可得出．【解答】解：设P（cosα，sinα）.=（2，0），=（cosα+2，sinα）．则•=2（cosα+2）≤6，当且仅当cosα=1时取等号．故答案为：6．18．【分析】如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由与的夹角为α，且tanα=7．可得cosα=，sinα=．C．可得cos（α+45°）=．sin（α+45°）=．B．利用=m+n（m，n∈R），即可得出．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由与的夹角为α，且tanα=7．∴cosα=，sinα=．∴C．cos（α+45°）=（cosα﹣sinα）=．sin（α+45°）=（sinα+cosα）=．∴B．∵=m+n（m，n∈R），∴=m﹣n，=0+n，解得n=，m=．则m+n=3．故答案为：3．19．【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用、表示出，再根据平面向量的数量积列出方程求出λ的值．【解答】解：如图所示，△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2，=2，∴=+=+=+（﹣）=+，又=λ﹣（λ∈R），∴=（+）•（λ﹣）=（λ﹣）•﹣+λ=（λ﹣）×3×2×cos60°﹣×32+λ×22=﹣4，∴λ=1，解得λ=．故答案为：．20．【分析】直接利用向量共线的充要条件列出方程求解即可．【解答】解：向量=（m，4），=（3，﹣2），且∥，可得12=﹣2m，解得m=﹣6．故答案为：﹣6．21．【分析】设P（cosα，sinα），α∈[0，π]，则=（1，1），=（cosα，sinα+1），由此能求出•的取值范围．【解答】解：∵在平面直角坐标系中，A（1，0），B（0，﹣1），P是曲线y=上一个动点，∴设P（cosα，sinα），α∈[0，π]，∴=（1，1），=（cosα，sinα+1），=cosα+sinα+1=，∴•的取值范围是[0，1+]．故答案为：[0，1+]．22．【分析】利用已知条件，通过数量积判断两个向量垂直，然后列出方程求解即可．【解答】解：|+|2=||2+||2，可得•=0．向量=（m，1），=（1，2），可得m+2=0，解得m=﹣2．故答案为：﹣2．23．【分析】根据向量的坐标运算和向量的数量积计算即可．【解答】解：∵向量=（1，﹣1），=（6，﹣4），∴t+=（t+6，﹣t﹣4），∵⊥（t+），∴•（t+）=t+6+t+4=0，解得t=﹣5，故答案为：﹣5．24．【分析】根据向量垂直的充要条件便可得出，进行向量数量积的坐标运算即可得出关于x的方程，解方程便可得出x的值．【解答】解：∵；∴；即x+2（x+1）=0；∴．故答案为：．25．【分析】由题意可知，||+||为在上的投影的绝对值与在上投影的绝对值的和，由此可知，当与共线时，||+||取得最大值，即．【解答】解：||+||=，其几何意义为在上的投影的绝对值与在上投影的绝对值的和，当与共线时，取得最大值．∴=．故答案为：．26．【分析】设出=（x，y），得到•=x+，令x=cosθ，根据三角函数的性质得到•=sinθ+cosθ=sin（θ+），从而求出•的范围即可．【解答】解：设=（x，y），则=（x，），由A（1，0），B（0，﹣1），得：=（1，1），∴•=x+，令x=cosθ，θ∈[0，π]，则•=sinθ+cosθ=sin（θ+），θ∈[0，π]，故•的范围是[﹣，1，]，故答案为：[﹣1，]．27．【分析】由已知可得=+，=﹣+，=+3，=﹣+3，=+2，=﹣+2，结合已知求出2=，2=，可得答案．【解答】解：∵D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，∴=+，=﹣+，=+3，=﹣+3，∴•=2﹣2=﹣1，•=92﹣2=4，∴2=，2=，又∵=+2，=﹣+2，∴•=42﹣2=，故答案为：28．【分析】根据已知中向量的坐标，代入向量夹角公式，可得答案．【解答】解：∵向量=（1，），=（，1），∴与夹角θ满足：cosθ===，又∵θ∈[0，π]，∴θ=，故答案为：．29．【分析】利用组合数公式求出从正八边形A1A2…A8的八个顶点中任取两个的事件总数，满足++=，且点P落在第一象限，则需向量+的终点落在第三象限，列出事件数，再利用古典概型概率计算公式求得答案．【解答】解：从正八边形A1A2…A8的八个顶点中任取两个，基本事件总数为．满足++=，且点P落在第一象限，对应的A i，A j，为：（A4，A7），（A5，A8），（A5，A6），（A6，A7），（A5，A7）共5种取法．∴点P落在第一象限的概率是，故答案为：．30．【分析】根据向量三角形不等式的关系以及向量数量积的应用进行计算即可得到结论．【解答】解：由绝对值不等式得≥|•|+|•|≥|•+•|=|（+）•|，于是对任意的单位向量，均有|（+）•|≤，∵|（+）|2=||2+||2+2•=5+2•，∴|（+）|=，因此|（+）•|的最大值≤，则•≤，下面证明：•可以取得，（1）若|•|+|•|=|•+•|，则显然满足条件．（2）若|•|+|•|=|•﹣•|，此时|﹣|2=||2+||2﹣2•=5﹣1=4，此时|﹣|=2于是|•|+|•|=|•﹣•|≤2，符合题意，综上•的最大值是，法2：由于任意单位向量，可设=，则|•|+|•|=||+||≥||+|=||=|+|，∵|•|+|•|≤，∴|+|≤，即（+）2≤6，即||2+||2+2•≤6，∵||=1，||=2，∴•≤，即•的最大值是．法三：设=，=，=，则=+，=﹣，|•|+|•|=||+||=||≤||，由题设当且仅当与同向时，等号成立，此时（+）2取得最大值6，第21页（共22页）由于|+|2+|﹣|）2=2（||2+||2）=10，于是（﹣）2取得最小值4，则•=，•的最大值是．故答案为：．三．解答题（共1小题）31．【分析】根据向量的数量积和三角形的面积公式可得tanA=﹣1，求出A和c的值，再根据余弦定理即可求出a．【解答】解：由=﹣6可得bccosA=﹣6，①，由三角形的面积公式可得S△ABC=bcsinA=3，②∴tanA=﹣1，∵0＜A＜180°，∴A=135°，∴c==2，由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA=9+8+12=29∴a=第22页（共22页）。

2022届北京市第一次普通高中高三学业水平合格性考试数学试题一、单选题1．已知集合{2,1,0,2},{0,1,2}A B =--=，则A B =（ ） A ．{2,1}-- B ．{2,0}- C ．{0,1} D ．{0,2}【答案】D【分析】根据集合的交集运算，可求得答案. 【详解】集合{2,1,0,2},{0,1,2}A B =--=, 故{0,2}A B ⋂=， 故选：D2．在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)-，则z =（ ） A ．2i + B ．2i - C ．12i + D ．12i -【答案】D【分析】利用复数的几何表示即得.【详解】∵复数z 对应的点的坐标是(1,2)-， ∴z =12i -. 故选：D.3．()sin 45-︒=（ ）A B ．C ．12D ．12-【答案】B【分析】利用诱导公式求得正确答案.【详解】()sin 45sin 45-︒=-︒=. 故选：B4．已知函数2(),f x x x =∈R ，则（ ） A ．()f x 是奇函数B ．()f x 是偶函数C ．()f x 既是奇函数又是偶函数D ．()f x 既不是奇函数也不是偶函数【答案】B【分析】由函数奇偶性的定义即可判断答案.【详解】由题意，()()()22R,x f x x x f x ∈-=-==，即函数为偶函数. 故选：B.5．sin cos θθ=（ ）A ．1sin 22θB ．1cos 22θC ．sin 2θD ．cos2θ【答案】A【分析】利用二倍角公式即得.【详解】由二倍角公式可得，sin cos θθ=1sin 22θ.故选：A.6．函数()y f x =的图象如图所示，则不等式()0f x >的解集为（ ）A ．(1,0)-B ．()0,1C ．(1,2)D ．(2,3)【答案】C【分析】结合图象确定正确选项.【详解】由图象可知，当()1,2x ∈时，()0f x >. 故选：C7．某天甲地降雨的概率为0.2，乙地降雨的概率为0.3．假定这一天甲、乙两地是否降雨相互之间没有影响，则两地都降雨的概率为（ ） A ．0.24 B ．0.14 C ．0.06 D ．0.01【答案】C【分析】根据相互独立事件概率计算公式，计算出正确答案. 【详解】依题意，两地都降雨的概率为0.20.30.06⨯=. 故选：C8．下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递减的是（ ） A ．()f x x = B ．1()f x x=C ．2()log f x x =D ．()sin f x x =【答案】B【分析】根据基本初等函数的单调性即可求解.【详解】()f x x =在(0,)+∞上单调递增，故A 不符题意； 1()f x x=在(0,)+∞上单调递减，故B 符合题意；2()log f x x =在(0,)+∞上单调递增，故C 不符题意；()sin f x x =在(0,)+∞上不单调，故D 不符题意.故选：B.9．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC 是等腰直角三角形．若14,3AB AC AA ===，则该直三棱柱的体积为（ ）A ．6B ．12C ．18D ．24【答案】D【分析】根据棱柱的体积计算公式，可直接求得答案.【详解】因为在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC 是等腰直角三角形，14,3AB AC AA ===，则BAC ∠ 为直角， 故可得：11111114432422AB BC B A C A C V S AA AB AC AA -=⋅=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯= , 故选：D10．已知向量(1,0),(1,1)a b ==，则a b ⋅=（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】B【分析】由平面向量数量积的坐标运算即可求得答案. 【详解】11011a b →→⋅=⨯+⨯=. 故选：B.11．“四边形ABCD 为矩形”是“四边形ABCD 为平行四边形”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【分析】利用充分条件与必要条件的定义判断即可. 【详解】若四边形ABCD 是矩形，则它是平行四边形，反之,若四边形ABCD 为平行四边形，四边形ABCD 不一定是矩形，所以“四边形ABCD 为矩形”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充分不必要条件. 故选：A.12．函数2()log (3)f x x =-的定义域为（ ） A ．(3,)+∞ B ．(0,)+∞C ．(3),-∞D ．(,0)-∞【答案】A【分析】由真数大于0可得. 【详解】由30x ->，得3x >. 故选：A13．如图，已知四边形ABCD 为矩形，则AB AD +=（ ）A ．BDB ．DBC ．ACD ．CA【答案】C【分析】根据向量加法的平行四边形法则求得正确答案. 【详解】根据向量加法的平行四边形法则可知AB AD AC +=. 故选：C14．甲、乙两个学习小组各有5名同学，两组同学某次考试的语文、数学成绩如下图所示，其中“+”表示甲组同学，“”表示乙组同学．从这两个学习小组数学成绩高于80分的同学中任取一人，此人恰为甲组同学的概率是（ ） A ．0.25 B ．0.3C ．0.5D ．0.75【答案】C【分析】利用古典概型概率计算公式，计算出所求概率. 【详解】根据图象可知，两个小组高于80分的同学各有2人，所以从中任取一人，此人恰为甲组同学的概率是21222=+. 故选：C15．设m ，n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中的真命题为（ ）A ．若,m n αα∥∥，则m n ∥B ．若,m n αα⊥⊥，则m n ∥C ．若,m m αβ∥∥，则αβ∥D ．若,m m αβ⊂∥，则αβ∥【答案】B【分析】在正方体中取直线和平面可排除ACD ，由线面垂直的性质可得B 正确. 【详解】在正方体ABCD EFGH -中，记底面ABCD 为α，EF 为m ，EH 为n ，显然A 不正确；记底面ABCD 为α，EF 为m ，平面CDHG 为β，故排除C ；记底面ABCD 为α，EF 为m ，平面ABFE 为β，可排除D ；由线面垂直的性质可知B 正确. 故选：B16．在ABC 中，1,2,60a c B ===︒，则b =（ ） A ．1 B ．2 C 2D 3【答案】D【分析】根据由余弦定理，可得2222cos b a c ac B =+-，代入数据即得.【详解】由余弦定理，得2222212cos 1221232b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=， ∴ 3b =故选：D.17．已知a ，b 是实数，且a b >，则（ ） A ．a b -<- B ．22a b <C ．11a b> D ．||||a b >【答案】A【分析】根据不等式的性质确定正确答案.【详解】由于a b >，所以a b -<-，A 选项正确.221,1,,a b a b a b ==-==，BD 选项错误.112,1,a b a b==<，C 选项错误. 故选：A18．已知0,0x y >>，且1xy =，则x y +的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【分析】由基本不等式即可求得答案.【详解】因为,0x y >，所以2x y +≥=，当且仅当1x y ==时取“=”. 故选：B.19．已知函数()2x f x =，[0,)x ∈+∞，则()f x （ ） A ．有最大值，有最小值 B ．有最大值，无最小值 C ．无最大值，有最小值 D ．无最大值，无最小值【答案】C【分析】根据指数函数的知识确定正确选项.【详解】()2xf x =在[)0,∞+上是增函数，所以最小值为()0f ，没有最大值. 故选：C20．对于正整数n ，记不超过n 的正奇数的个数为()K n ，如(1)1K =，则(2022)K =（ ） A ．2022 B ．2020 C ．1011 D ．1010【答案】C【分析】根据题意求出正奇数的个数即可. 【详解】由题意，不超过2022的正奇数有202210112=个. 故选：C. 二、填空题21．计算：lg 2lg5+=___________． 【答案】1【详解】lg2lg5lg101+==. 故答案为122．某校举行演讲比赛，五位评委对甲、乙两位选手的评分如下：甲 8.1 7.9 8.0 7.9 8.1 乙 7.9 8.0 8.1 8.5 7.5记五位评委对甲、乙两位选手评分数据的方差分别为22,S S 甲乙，则：2S 甲______2S 乙（填“>”，“=”或“<”）． 【答案】<【分析】计算出22,S S 甲乙，由此确定正确答案. 【详解】甲的得分平均值为8.17.98.07.98.18.05++++=，()2210.040.1455S =⨯=甲. 乙的得分平均值为7.98.08.18.57.58.05++++=，()22210.520.120.5255S =⨯+⨯=乙， 所以22S S <甲乙. 故答案为：<23．对于温度的计量，世界上大部分国家使用摄氏温标（℃），少数国家使用华氏温标（℉），两种温标间有如下对应关系：根据表格中数值间呈现的规律，给出下列三个推断： ①25℃对应77℉； ②20-℃对应4-℉；③存在某个温度，其摄氏温标的数值等于其华氏温标的数值． 其中所有正确推断的序号是_____________． 【答案】①②③【分析】根据条件可得 1.832y x =+，然后逐项分析即得. 【详解】设摄氏温标为x ℃，对应的华氏温标为y ℉,根据表格数据可知.,.,.,503268328632181818100200300---===---∴.32180y x -=-，即 1.832y x =+， ∴25℃x =时，77℉y =，20℃x =-时，4℉y =-，故①②正确；由.1832y x x =+=，可得40x =-，即摄氏温标40-℃对应的华氏温标为40-℉，故③正确.故答案为：①②③. 三、双空题24．已知函数()2,0,0,x x f x x <⎧⎪=≥则(1)f -=________；方程()1f x =的解为________．【答案】 －2 1【分析】根据分段函数的性质求解即可. 【详解】(1)f -=2×(－1)＝－2；x ＜0时，f (x )＜0，故f (x )＝1＞0时，x ≥01=，解得x ＝1. 故答案为：－2；1. 四、解答题25．已知函数2()1f x x mx =++（m 是常数）的图象过点(1,2)． (1)求()f x 的解析式；(2)求不等式()21f x x <+的解集． 【答案】(1)2()1f x x =+； (2)(0,2).【分析】（1）把点代入解析式可得0m =，即得； （2）利用一元二次不等式的解法即得. (1)由题意，(1)22f m =+=， 所以0m =．所以()f x 的解析式为2()1f x x =+． (2)不等式()21f x x <+等价于220x x -<． 解得02x <<．所以不等式()21f x x <+的解集为(0,2)．26．已知函数()sin 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．(1)写出()f x 的最小正周期； (2)求()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值．【答案】(1)2π (2)12【分析】（1）根据解析式写出最小正周期；（2）根据正弦函数的单调性判断函数在区间上的单调性，从而求出最值. (1)()f x 的最小正周期为：221T ππ==. (2) 因为02x π≤≤，所以336x πππ-≤-≤．当36x ππ-=，即2x π=时，()f x 取得最大值12．27．阅读下面题目及其解答过程． 如图，已知正方体1111ABCD A B C D -．（Ⅰ）求证：1AC BD ⊥；（Ⅱ）求证：直线1D D与平面1AB C 不平行．解：（Ⅰ）如图，连接11,BD B D ．因为1111ABCD A B C D -为正方体，所以1D D ⊥平面ABCD ．所以①___________． 因为四边形ABCD 为正方形， 所以②__________． 因为1D D BD D⋂=，所以③____________． 所以1AC BD ⊥．（Ⅱ）如图，设ACBD O =，连接1B O ．假设1//D D 平面1AB C ． 因为1D D ⊂平面11D DBB ，且平面1AB C平面11D DBB =④____________，所以⑤__________． 又11//D D B B，这样过点1B 有两条直线11,B O B B 都与1D D 平行，显然不可能．所以直线1D D与平面1AB C 不平行．以上题目的解答过程中，设置了①~⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个符合推理，请选出符合推理的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A”或“B”）． 空格序号 选项 ①A ．1D D AC⊥ B ．1D D BD⊥②A ．AB BC ⊥ B ．AC BD ⊥ ③A ．1BD ⊥平面1ABC B ．AC ⊥平面11D DBB④A ．1B OB ．1B B⑤ A ．11//D D B OB ．1D D与1B O为相交直线【答案】（Ⅰ）①A ②B ③B ；（Ⅱ）④A ⑤A【分析】结合线面垂直、线面平行的知识对“解答过程”进行分析，从而确定正确答案. 【详解】要证明1AC BD ⊥，可通过证明AC ⊥平面11D DBB 来证得，要证明AC ⊥平面11D DBB ，可通过证明1,D AC A BD D C ⊥⊥来证得， 所以①填A ，②填B ，③填B.平面1AB C 与平面11D DBB 的交线为1B O ，所以④填A ， 由于1//D D 平面1AB C ，因为1D D ⊂平面11D DBB ，且平面1AB C 平面111D DBB B O =，根据线面平行的性质定理可知，11//D D B O ，所以⑤填A.28．给定集合(,0)(0,)D =-∞+∞，()f x 为定义在D 上的函数，当0x <时，24()4xf x x =+，且对任意x D ∈，都有___________．从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，补充在横线处，使()f x 存在且唯一确定．条件①：()()1f x f x -+=； 条件②：()()1f x f x -⋅=； 条件③：()()1f x f x --=． 解答下列问题：（1）写出(1)f -和(1)f 的值；（2）写出()f x 在(0,)+∞上的单调区间；（3）设()()()g x f x m m =-∈R ，写出()g x 的零点个数． 【答案】答案详见解析【分析】判断条件③不合题意.选择条件①②、则先求得当0x >时，()f x 的表达式，然后结合函数的解析式、单调性、零点，对（1）（2）（3）进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意()f x 的定义域为(,0)(0,)D =-∞+∞， 当0x <时，24()4xf x x =+. 对于条件③，对任意x D ∈，都有()()1f x f x --=，以x -替换x ，则()()1f x f x --=，这与()()1f x f x --=矛盾，所以条件③不合题意. 若选条件①，当0x >时，0x -<，()()224411144x xf x f x x x -=--=-=+++. （1）()()44491,11145145f f --==-=+=++. （2）对于函数()()2404xh x x x =≠+， 任取120x x <<，()()()()()()221221121222221212444444444x x x x x x h x h x x x x x +-+-=-=⨯++++()()22121122221244444x x x x x x x x +--=⨯++()()()()12212122124444x x x x x x x x ---=⨯++ ()()()()122122124444x x x x xx --=⨯++，其中210x x ->，当122x x <<-时，1240x x ->，()()()()12120,h x h x h x h x ->>， 所以()h x 在(),2-∞-上递减.当1220x x -<<<时，1240x x -<，()()()()12120,h x h x h x h x -<<， 所以()h x 在()2,0-上递增.所以在区间(),0∞-，()()()20,10h h x h x -≤<-≤<.同理可证得：()h x 在()0,2上递增，在()2,+∞上递减，()()()02,01h x h h x <≤<≤. 当0x >时，()()24114xf x h x x =+=++， 由上述分析可知，()f x 在()0,2上递增，在()2,+∞上递减.且()12f x <≤. （3）()()()0,g x f x m m f x =-==，由（2）的分析可画出()f x 的大致图象如下图所示，所以，当1m <-或01m ≤≤或2m >时，()g x 的零点个数是0； 当1m =-或2m =时，()g x 的零点个数是1； 当10m -<<或12m <<时，()g x 的零点个数是2．若选条件②，当0x >时，0x -<，由()()1f x f x -⋅=得()()2144x f x f x x+==--，（1）()()441451,114544f f -+-==-==-+-. （2）对于函数()()2404xh x x x =<+， 根据上述分析可知：()h x 在(),2-∞-上递减，在()2,0-上递增， 且在区间(),0∞-，()()()20,10h h x h x -≤<-≤<. 对于()()2404x f x x x+=>-，任取120x x <<，()()2222122112122144441444x x x x f x f x x x x x ⎛⎫++++-=-=- ⎪--⎝⎭()2212121212414x x x x x x x x -+-=⋅()()12212112414x x x x x x x x ---=⋅()()122112414x x x x x x --=⋅.其中210x x ->.当1202x x <<<时，()()()()12121240,0,x x f x f x f x f x -<-<<，()f x 递增；当122x x <<时，()()()()12121240,0,x x f x f x f x f x ->->>，()f x 递减.所以()f x 的增区间为()0,2，减区间为()2,+∞.且()()21f x f ≤=-. （3）()()()0,g x f x m m f x =-==，结合上述分析画出()f x 的大致图象如下图所示，所以当0m ≥时，()g x 的零点个数是0；当0m <时，()g x 的零点个数是2．【点睛】利用函数的单调性的定义求函数的单调性，主要是计算出()()12f x f x -的符号.求解函数零点问题，可利用分离参数法，结合函数图象来进行求解.。

【解析分类汇编系列二：北京2013（一模）数学理】4平面向量1.（2013届北京朝阳区一模理科）（3）已知向量()()3,4,6,3OA OB =-=-，()2,1OC m m =+.若//AB OC ，则实数m 的值为A ．3-B ．17-C ．35-D ．35【答案】A(3,1)AB OB OA =-=,因为//AB OC ，所以3(1)20m m +-=，解得3m =-，选A.2．（2013届北京海淀一模理科）若向量,a b 满足||||||1==+=a b a b ，则⋅a b 的值为（ ）A ．12-B ．12C ．1-D ．1【答案】A由题意知a a b =+ ，即2222a a a b b =+⋅+ ，所以2122b a b ⋅=-=- ，选A.3．（2013届东城区一模理科）已知ABCD 为平行四边形，若向量AB = a ，AC =b ，则向量BC为（ ）A ．-a bB ．a +bC ．-b aD ．--a b【答案】C因为=BC AC AB - ，所以=BC b a -，选C.4．（2013届东城区一模理科）已知向量OA ，AB ，O 是坐标原点，若AB k OA = ，且AB方向是沿OA 的方向绕着A 点按逆时针方向旋转θ角得到的，则称OA经过一次(,)k θ变换得到AB.现有向量=(1,1)OA 经过一次11(,)k θ变换后得到1AA ，1AA 经过一次22(,)k θ变换后得到12A A ，…，如此下去，21n n A A -- 经过一次(,)n n k θ变换后得到1n n A A -.设1(,)n n A A x y -= ，112n n θ-=，1cos n n k θ=，则y x -等于（ ）A ．1112sin[2()]211sin1sin sin 22n n --- B ．1112sin[2()]211cos1cos cos 22n n --- C ．1112cos[2()]211sin1sin sin 22n n --- D ．1112cos[2()]211cos1cos cos 22n n --- 【答案】B 根据题意，111111111,2cos cos1k θθ-====，所以一次（θ1，k 1）变换就是将向量逆时针旋转1弧度，再将长度伸长为原来的倍，即由逆时针旋转1弧度而得，且=设向量逆时针旋转1弧度，所得的向量为=（x'，y'）则有•=，所以'cos1sin1'sin1cos1x y =-⎧⎨=+⎩，即向量逆时针旋转1弧度，得到向量=（cos1﹣sin1，sin1+cos1），再将的模长度伸长为原来的倍，得到=（cos1﹣sin1，sin1+cos1）=（1﹣，+1）因此当n=1时，=（x ，y ）=（1﹣，+1），即sin11cos1sin11cos1x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，由此可得y ﹣x=+1﹣（1﹣）=。

2018-2021年北京高三数学一模、二模汇编：平面向量章节综合一．选择题（共32小题）1．（2019•东城区二模）已知向量与不共线，且＝+m（m≠1），+．若A，B，C三点共线，n满足的条件为（）A．m+n＝1B．m+n＝﹣1C．mn＝1D．mn＝﹣12．（2020•东城区二模）平面直角坐标系中，已知点A，B，C的坐标分别为（0，1），（1，0），（4，2），那么D点的坐标为（）A．（3，3）B．（﹣5，1）C．（3，﹣1）D．（﹣3，3）3．已知O，A，B是平面内的三个点，直线AB上有一点C+＝，则＝（）A．2﹣B．﹣+2C．﹣D．﹣+4．（2020•朝阳区一模）如图，在△ABC中，点D，．若（x，y∈R），则x+y＝（）A．B．C．D．5．在△ABC中，若，则cos B等于（）A．B．C．D．6．（2021•东城区二模）在平行四边形ABCD中，已知＝（2，2），＝（﹣1，5），E为CD的中点＝（）A．（﹣2，4）B．（﹣2，3）C．（﹣1，4）D．（﹣1，3）7．（2020•丰台区一模）已知向量，满足∥，则x＝（）A．1B．﹣1C．4D．﹣48．（2020•延庆区一模）已知向量＝（1，k），＝（k，2），若与方向相同，则k等于（）A．1B．±C．﹣D．9．（2020•通州区一模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（cosα，sinα），＝（）A．1B．C．2D．与α有关10．（2020•房山区一模）已知向量＝（1，﹣），＝（﹣2，m），若与共线，则|（）A．B．C．D．211．（2019•西城区二模）设向量，满足||＝2，|，＜，＞＝60°，则||＝（）A．2 B．2 C．D．1212．（2019•昌平区二模）在平行四边形ABCD中，AB∥CD，，则＝（）A．﹣3B．2C．3D．413．（2019•房山区一模）已知为单位向量，且的夹角为，，则＝（）A．2B．1C．D．14．（2020•东城区二模）已知向量＝（0，5），＝（4，﹣3），＝（﹣2，﹣1），那么下列结论正确的是（）A．﹣与为共线向量B．﹣与垂直C．﹣与的夹角为钝角D．﹣与的夹角为锐角15．（2021•海淀区一模）已知，是单位向量，＝+2，若⊥|＝（）A．3B．C．D．16．（2020•密云区一模）已知平面向量＝（4，2），＝（x，3），∥，则实数x的值等于（）A．6B．1C．D．﹣17．（2019•丰台区二模）已知点P是边长为2的正方形ABCD所在平面内一点，若，则的最大值是（）A．B．C．D．18．（2021•房山区一模）在矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，若+n，则m﹣n的值为（）A．﹣B．﹣1C．1D．19．（2018•丰台区二模）在△ABC中，D为AB中点，E为CD中点，设＝，＝，若+μ，则的值是（）A．B．C．2D．420．（2018•顺义区一模）已知点A（0，﹣1），B（2，0），O为坐标原点，点P在圆，则λ+μ的最小值为（）A．﹣3B．﹣1C．1D．321．（2021•延庆区一模）设D为△ABC所在平面内一点，，则（）A．B．C．D．22．（2021•丰台区二模）已知向量＝（﹣1，2），＝（2，m），若∥，则m＝（）A．﹣4B．C．D．423．（2021•海淀区二模）向量，，在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，若为与，则＝（）A．1.5B．2C．﹣4.5D．﹣324．（2021•东城区一模）宽与长的比为≈0.618的矩形叫做黄金矩形．它广泛的出现在艺术、建筑、人体和自然界中，令人赏心悦目．在黄金矩形ABCD中﹣1，AB＞BC的值为（）A．B．C．4D．25．（2021•西城区一模）在△ABC中，C＝90°，AC＝4，点P是AB的中点，则＝（）A．B．4C．D．626．（2020•海淀区校级三模）边长为2的正方形ABCD，对角线的交点为E，则（+）•＝（）A．0B．1C．2D．427．已知正△ABC的边长为4，点D为边BC的中点，点E满足的值为（）A．B．﹣1C．1D．328．（2019•朝阳区二模）在同一平面内，已知A为动点，B，C为定点，，BC＝1，P为BC中点．过点P作PQ⊥BC交AC所在直线于Q，则在（）A．B．C．D．29．（2018•顺义区二模）已知O是正△ABC的中心．若＝，其中λ，μ∈R，则（）A．B．C．D．230．（2018•西城区一模）已知O是正方形ABCD的中心．若＝，其中λ，μ∈R，则＝（）A．B．﹣2C．D．31．（2021•西城区二模）在平面直角坐标系xOy中，点A（1，1），B（2，1），C（2，2），P是圆M：x2+（y﹣4）2＝2上一点，Q是△ABC边上一点，则的最大值是（）A．B．12C．D．1632．（2020•平谷区一模）设直线l过点A（0，﹣1），且与圆C：x2+y2﹣2y＝0相切于点B，那么＝（）A．±3B．3C．D．1二．填空题（共28小题）33．（2020•通州区一模）已知向量，，其中m∈R．若共线．34．（2021•西城区二模）已知向量＝（m，1），＝（3，m），若与方向相反，则m等于．35．（2021•通州区一模）设向量，是两个不共线的向量，已知，＝，＝2﹣k，C，D三点共线，则＝（用，表示）；实数k＝．36．（2019•朝阳区一模）在平面内，点A是定点，动点B|＝||＝1，，则集合{P|＝+，1≤λ≤2}所表示的区域的面积是．37．（2021•朝阳区二模）已知向量＝（2，m），＝（﹣1，2），且+2＝，则m＝．38．（2019•大兴区一模）已知向量＝（1，k），＝（9，k﹣6），若∥，则k＝．39．（2019•朝阳区一模）已知平面向量＝（2，﹣1），＝（1，x）．若∥，则x＝．40．（2021•北京三模）在△ABC中，∠ABC＝，BC＝4，E为AC上一点，且，λ∈（0，1），则＝．41．（2021•顺义区二模）设向量＝（m，3），＝（1，2），＝（1，﹣1），若（﹣）⊥，则实数m＝．42．（2021•海淀区一模）已知点O（0，0），A（1，2），B（m，0）（m＞0），则cos＜，＞＝，若B是以OA为边的矩形的顶点，则m＝．43．（2020•海淀区二模）已知点A（2，0），B（1，2），C（2，2），，O为坐标原点，则＝，与夹角的取值范围是．44．（2020•怀柔区一模）在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝2AB＝2，则＝．45．（2020•西城区一模）若向量满足，则实数x的取值范围是．46．（2020•平谷区二模）如图，矩形ABCD中，AB＝2，O为AB的中点．当点P在BC边上时，的值为；当点P沿着BC，CD与DA边运动时，的最小值为．47．（2018•昌平区二模）向量，在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则向量，；向量，所张成的平行四边形的面积是．48．（2019•延庆区一模）如图，正方形ABCD中，E为DC的中点，若．49．（2018•房山区一模）如图，两块全等的等腰直角三角板拼在一起形成一个平面图形，若直角边长为2，则λ+μ＝．50．（2021•房山区二模）已知单位向量，的夹角为60°，﹣k与，则k＝．51．（2020•大兴区一模）已知向量＝（﹣1，1），＝（2，t），若∥，则t＝．52．（2019•丰台区一模）已知平面向量＝（1，﹣3），＝（﹣2，m），且∥，那么m＝．53．（2021•门头沟区二模）△ABC外接圆圆心为O，且2++＝，则＝．54．（2021•朝阳区一模）已知向量＝（，1），＝（x，y）（xy≠0），且||＝1，•，则向量的坐标可以是．（写出一个即可）55．（2020•房山区二模）已知正方形ABCD的边长为，若＝3，则•的值为．56．（2020•石景山区一模）已知向量＝（，），＝（，），则∠ABC＝．57．（2021•平谷区一模）已知在直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝1，那么等于；若AM是BC边上的高，点P在△ABC内部或边界上运动，那么．58．（2019•河北区二模）如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC＝90°，若＝x+y（x，y∈R）．59．（2021•怀柔区一模）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，CD＝1（a＞0），P为线段AD上一个动点，设＝x，•，对于函数y＝f（x）给出下列四个结论：①当a＝2时，函数f（x）的值域为[1；②∀a∈（0，+∞），都有f（1）＝1成立；③∀a∈（0，+∞），函数f（x）的最大值都等于4；④∃a∈（0，+∞），函数f（x）的最小值为负数．其中所有正确结论的序号是．60．（2020•门头沟区一模）已知两点A（﹣1，0），B（1，0），若直线x﹣y+a＝0上存在点P（x，y）满足•，则实数a满足的取值范围是．2018-2021年北京高三数学一模、二模汇编：平面向量章节综合参考答案与试题解析一．选择题（共32小题）1．（2019•东城区二模）已知向量与不共线，且＝+m（m≠1），+．若A，B，C三点共线，n满足的条件为（）A．m+n＝1B．m+n＝﹣1C．mn＝1D．mn＝﹣1【分析】由题意可得，再根据两个向量共线的性质可得，由此可得结论．【解答】解：由题意可得，∴，故有，∴mn＝7，故选：C．【点评】本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，属于中档题．2．（2020•东城区二模）平面直角坐标系中，已知点A，B，C的坐标分别为（0，1），（1，0），（4，2），那么D点的坐标为（）A．（3，3）B．（﹣5，1）C．（3，﹣1）D．（﹣3，3）【分析】设D（x，y），由四边形ABCD为平行四边形，得，由此能求出D点的坐标．【解答】解：设D（x，y），∵点A，B，C的坐标分别为（0，（1，（3，且四边形ABCD为平行四边形，∴，∴（x，2），解得x＝3，y＝3，∴D点的坐标为（3，3）．故选：A．【点评】本题考查点的坐标的求法，考查平面向量的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．已知O，A，B是平面内的三个点，直线AB上有一点C+＝，则＝（）A．2﹣B．﹣+2C．﹣D．﹣+【分析】由已知可得＝﹣，＝﹣，代入已知式子化简可得．【解答】解：由向量的运算法则可得＝﹣，＝﹣，代入已知式子+＝，可得：（﹣）+（﹣，可得：+＝7，可得：＝2﹣．故选：A．【点评】本题考查平面向量基本定理，属基础题．4．（2020•朝阳区一模）如图，在△ABC中，点D，．若（x，y∈R），则x+y＝（）A．B．C．D．【分析】在△CDE中，，因为，．通过转化的思想，将用和表示，求出x 和y的值，计算即可．【解答】解：△ABC中，点D，．＝＝＝，又∵（x，∴，∴x+y＝．故选：B．【点评】本题主要考查平面向量的基本定理，属基础题，解题时需认真审题，注意向量线性运算的合理性．5．在△ABC中，若，则cos B等于（）A．B．C．D．【分析】直接利用向量的线性运算求出三角形的三边关系，进一步利用余弦定理求出结果．【解答】解：在△ABC中，利用三角形法则：，所以：，整理得：，所以：2a＝3c＝2b，所以：．故选：A．【点评】本题考查的知识要点：向量的线性运算和余弦定理的应用．6．（2021•东城区二模）在平行四边形ABCD中，已知＝（2，2），＝（﹣1，5），E为CD的中点＝（）A．（﹣2，4）B．（﹣2，3）C．（﹣1，4）D．（﹣1，3）【分析】＝＝，代入坐标即可求解．【解答】解：＝＝＝（﹣5，1）＝（﹣2．故选：A．【点评】本题主要考查了向量加减的坐标表示，属于基础题．7．（2020•丰台区一模）已知向量，满足∥，则x＝（）A．1B．﹣1C．4D．﹣4【分析】根据向量平行坐标的关系，可得等式，解出参数．【解答】解：因为∥，则x＝﹣2×2，故选：D．【点评】本题考查向量平行，属于基础题．8．（2020•延庆区一模）已知向量＝（1，k），＝（k，2），若与方向相同，则k等于（）A．1B．±C．﹣D．【分析】根据平面向量的共线定理与坐标表示，列方程求出k的值．【解答】解：向量＝（1，＝（k，若与方向相同，则，解得k＝．故选：D．【点评】本题考查了平面向量的共线定理与坐标表示应用问题，是基础题．9．（2020•通州区一模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（cosα，sinα），＝（）A．1B．C．2D．与α有关【分析】根据题意，求出向量、的坐标，进而可得+的坐标，由向量模的公式以及和角公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，A（cosα，．则＝（cosα，＝（cos（α+））），则有+＝（cosα+cos（α+））），故|+|2＝[cosα+cos（α+）]2+[sinα+sin（α+）]2＝4+2cosαcos（α+）+7sinαsin（α+＝2，则|+|＝；故选：B．【点评】本题考查向量模的计算，涉及向量的坐标计算以及向量模的计算，属于基础题．10．（2020•房山区一模）已知向量＝（1，﹣），＝（﹣2，m），若与共线，则|（）A．B．C．D．2【分析】根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得m＝（﹣）×（﹣2）＝1，即可得＝（﹣2，1）；由向量模的计算公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，向量，﹣），＝（﹣5，若与共线）×（﹣6）＝1，则，1）；则||＝＝；故选：B．【点评】本题考查向量平行的坐标表示，注意向量平行的坐标计算公式即可，属于基础题．11．（2019•西城区二模）设向量，满足||＝2，|，＜，＞＝60°，则||＝（）A．2 B．2 C．D．12【分析】直接利用向量的模以及数量积的运算法则求解即可．【解答】解：向量，满足|，||＝1，＜，，则|+2|2＝＝4+2×，则|+2．故选：B．【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量的模的求法，考查计算能力．12．（2019•昌平区二模）在平行四边形ABCD中，AB∥CD，，则＝（）A．﹣3B．2C．3D．4【分析】利用已知条件表示所求数量积的两个向量，然后利用数量积的运算法则求解即可．【解答】解：在平行四边形ABCD中，AB∥CD，，＝＝（4，＝＝（8，则＝4×0+（﹣7）（﹣3）＝3．故选：C．【点评】本题考查平面向量的数量积的运算，向量的加减运算的求法，考查计算能力．13．（2019•房山区一模）已知为单位向量，且的夹角为，，则＝（）A．2B．1C．D．【分析】直接利用向量的数量积的运算法则化简求解即可．【解答】解：为单位向量，且，，可得|||＝1，解得＝2．故选：A．【点评】本题考查平面向量的数量积的应用，是基本知识的考查．14．（2020•东城区二模）已知向量＝（0，5），＝（4，﹣3），＝（﹣2，﹣1），那么下列结论正确的是（）A．﹣与为共线向量B．﹣与垂直C．﹣与的夹角为钝角D．﹣与的夹角为锐角【分析】根据题意，求出向量（﹣）的坐标，进而由向量平行、垂直的判断方法分析可得答案．【解答】解：根据题意，向量，5），，﹣3），，﹣4），则﹣，8），又由＝（﹣2，有（﹣5）×（﹣1）≠（﹣2）×7﹣）与，＝（﹣2，﹣1）﹣）•，则（﹣垂直；故选：B．【点评】本题考查向量平行、垂直的判断，涉及向量的坐标计算，属于基础题．15．（2021•海淀区一模）已知，是单位向量，＝+2，若⊥|＝（）A．3B．C．D．【分析】由向量垂直得＝＝＝0，从而＝﹣1，由此能求出||．【解答】解：∵，是单位向量，＝，⊥，∴＝＝＝0，∴＝﹣6，||＝＝＝＝．故选：C．【点评】本题考查向量的模的求法，考查向量垂直的性质、向量的模等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16．（2020•密云区一模）已知平面向量＝（4，2），＝（x，3），∥，则实数x的值等于（）A．6B．1C．D．﹣【分析】利用向量共线的充要条件，列出方程求解即可．【解答】解：向量＝（4，＝（x，若∥，可得12＝2x，解得x＝2．故选：A．【点评】本题考查向量共线定理的应用，基本知识的考查．17．（2019•丰台区二模）已知点P是边长为2的正方形ABCD所在平面内一点，若，则的最大值是（）A．B．C．D．【分析】由平面向量的和与差的模的最值得：由﹣﹣＝＝，由，则||＝1，即点P在以点C为圆心，1为半径的圆周上运动，由点与圆的有关性质得：||的最大值＝2+1，得解．【解答】解：由﹣﹣＝＝，由，则||＝1，即点P在以点C为圆心，4为半径的圆周上运动，由点与圆的有关性质得：||的最大值+1，故选：C．【点评】本题考查了平面向量的和与差的模的最值，属中档题．18．（2021•房山区一模）在矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，若+n，则m﹣n 的值为（）A．﹣B．﹣1C．1D．【分析】利用数形结合以及已知条件结合三角形法则即可求解．【解答】解：如图所示，由已知可得＝＝＝，又，所以m＝，所以m﹣n＝，故选：A．【点评】本题考查了平面向量基本定理以及三角形法则，考查了学生的运算能力，属于基础题．19．（2018•丰台区二模）在△ABC中，D为AB中点，E为CD中点，设＝，＝，若+μ，则的值是（）A．B．C．2D．4【分析】用表示出，得出λ，μ的值即可得出答案．【解答】解：∵D为AB中点，E为CD中点，∴＝+＝+＝，∴λ＝，μ＝，∴＝．故选：B．【点评】本题考查了平面向量的基本定理，属于基础题．20．（2018•顺义区一模）已知点A（0，﹣1），B（2，0），O为坐标原点，点P在圆，则λ+μ的最小值为（）A．﹣3B．﹣1C．1D．3【分析】设P（，），用α表示出λ，μ，根据三角恒等变换得出λ+μ的函数解析式，从而得出答案．【解答】解：设P（，），则，∴λ＝﹣sinα，∴λ+μ＝﹣sinα+，其中sinφ＝，∴λ+μ的最小值为﹣1．故选：B．【点评】本题考查了平面向量的基本定理，属于中档题．21．（2021•延庆区一模）设D为△ABC所在平面内一点，，则（）A．B．C．D．【分析】根据向量的加法法则进行求解转化即可．【解答】解：由题意可知，D为△ABC所在平面内的一点，则有①，②，因为，代入①中可得③，由②③可得，．故选：B．【点评】本题考查了平面向量加法法则的基本运算，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．22．（2021•丰台区二模）已知向量＝（﹣1，2），＝（2，m），若∥，则m＝（）A．﹣4B．C．D．4【分析】由题意利用两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，求得m的值．【解答】解：∵向量＝（﹣1，＝（2，若∥，则﹣m﹣6＝0，求得m＝﹣4，故选：A．【点评】本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．23．（2021•海淀区二模）向量，，在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，若为与，则＝（）A．1.5B．2C．﹣4.5D．﹣3【分析】利用已知条件表示，然后求解向量的数量积即可．【解答】解：建立坐标系如图，＝（﹣1，＝（﹣2，＝（﹣4﹣2，1﹣3）•（1．故选：D．【点评】本题考查向量的数量积的求法与应用，是基础题．24．（2021•东城区一模）宽与长的比为≈0.618的矩形叫做黄金矩形．它广泛的出现在艺术、建筑、人体和自然界中，令人赏心悦目．在黄金矩形ABCD中﹣1，AB＞BC的值为（）A．B．C．4D．【分析】由黄金矩形ABCD的定义，可得AB，再由勾股定理和向量数量积的定义，计算可得所求值．【解答】解：由黄金矩形的定义，可得AB＝2﹣8，在矩形ABCD中，cos∠CAB＝＝＝，则•＝||•cos∠CAB＝4××，故选：C．【点评】本题考查黄金矩形的定义，以及向量数量积的定义和运用，考查运算能力，属于基础题．25．（2021•西城区一模）在△ABC中，C＝90°，AC＝4，点P是AB的中点，则＝（）A．B．4C．D．6【分析】利用向量的数量积以及向量的线性运算即可求解．【解答】解：在△ABC中，C＝90°，则•，因为点P是AB的中点，所以＝（+），所以＝•[（+2+•＝5＝||5＝．故选：C．【点评】本题主要考查平面向量数量积的运算，考查运算求解能力，属于基础题．26．（2020•海淀区校级三模）边长为2的正方形ABCD，对角线的交点为E，则（+）•＝（）A．0B．1C．2D．4【分析】利用向量的平行四边形法则，以及向量的数量积求解即可．【解答】解：边长为2的正方形ABCD，对角线的交点为E，+＝，所以（+＝＝＝4．故选：D．【点评】本题考查平面向量的数量积的求法与应用，是基本知识的考查，基础题．27．已知正△ABC的边长为4，点D为边BC的中点，点E满足的值为（）A．B．﹣1C．1D．3【分析】由二倍角公式得：tan∠BED＝＝，所以cos∠BEC＝＝﹣，由平面向量数量积的性质及其运算得：＝||||cos∠BEC＝××（﹣）＝﹣1，得解．【解答】解：由已知可得：EB＝EC＝，又tan∠BED＝＝，所以cos∠BEC＝＝﹣，所以＝||cos∠BEC＝×）＝﹣1，故选：B．【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算及二倍角公式，属中档题．28．（2019•朝阳区二模）在同一平面内，已知A为动点，B，C为定点，，BC＝1，P为BC中点．过点P作PQ⊥BC交AC所在直线于Q，则在（）A．B．C．D．【分析】先建系，再由到角公式得：＝tan，化简得：x2+（y﹣）＝，则x2，则﹣≤x ＜0，再由在方向上投影的几何意义可得解．【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系，则B（﹣，C（，P（0，设A（x，y），设直线AB，AC的斜率分别为k3，k2，由到角公式得：＝tan，化简得：x2+（y﹣）＝，则x2，则﹣≤x＜5，由在方向上投影的几何意义可得：在方向上投影为|DP|＝|x|，则在方向上投影的最大值是，故选：C．【点评】本题考查了到角公式及平面向量数量积的运算，属中档题．29．（2018•顺义区二模）已知O是正△ABC的中心．若＝，其中λ，μ∈R，则（）A．B．C．D．2【分析】O是正△ABC的中心，可得，由＝，可得+＝，可得1+λ＝μ＝﹣λ﹣μ⇒2λ＝﹣μ即可得的值．【解答】解：∵O是正△ABC的中心，∴，由＝，可得+＝，∴（4+μ）++（﹣λ﹣μ）＝．∴1+λ＝μ＝﹣λ﹣μ⇒7λ＝﹣μ∴则的值为﹣，故选：C．【点评】本题主要考查平面向量的基本定理，即平面内任一向量都可由两不共线的向量唯一表示出来．属中档题30．（2018•西城区一模）已知O是正方形ABCD的中心．若＝，其中λ，μ∈R，则＝（）A．B．﹣2C．D．【分析】根据平面向量加减运算的三角形法则求出λ，μ即可得出答案．【解答】解：＝＝＝+＝，∴λ＝1，μ＝﹣，∴＝﹣2．故选：B．【点评】本题考查了平面向量的基本定理，属于中档题．31．（2021•西城区二模）在平面直角坐标系xOy中，点A（1，1），B（2，1），C（2，2），P是圆M：x2+（y﹣4）2＝2上一点，Q是△ABC边上一点，则的最大值是（）A．B．12C．D．16【分析】设P（x1，y1），Q（x2，y2），＝x1x2+y1y2，当x1＞0时，有可能取得最大值．当点P不动时时，x2与y2尽可能大，即x2＝y2＝2时，即点Q与C重合时，有最大值2（x1+y1）．令x1＝cosθ，y1＝4+sinθ，θ∈（﹣，）．再利用三角函数的单调性即可得出最大值．【解答】解：设P（x1，y1），Q（x4，y2），∴＝x1x8+y1y2，当x4＞0时，有可能取得最大值．当点P不动时时，x2与y5尽可能大，即x2＝y2＝3时，即点Q与C重合时，1+y1）．令x8＝cosθ，y1＝4+sinθ，）．∴＝2（x1+y3）＝2（cosθ+2+）+5，∵θ∈（﹣，），∴θ＝时）取得最大值1，∴的最大值12．故选：B．【点评】本题考查了数量积运算性质、三角函数求值、圆的参数方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．32．（2020•平谷区一模）设直线l过点A（0，﹣1），且与圆C：x2+y2﹣2y＝0相切于点B，那么＝（）A．±3B．3C．D．1【分析】过点A（0，﹣1）的直线l与圆C：x2+y2﹣2y＝0相切于点B，可得＝0．因此＝•（+）＝+＝＝﹣r2，即可得出【解答】解：由圆C：x2+y2﹣5y＝0配方为x2+（y﹣8）2＝1C（6，1）．∵过点A（0，﹣8）的直线l与圆C：x2+y2﹣4y＝0相切于点B，∴＝0；∴＝•（++＝＝﹣r6＝3；故选：B．【点评】本题考查了直线与圆相切性质、向量的三角形法则、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二．填空题（共28小题）33．（2020•通州区一模）已知向量，，其中m∈R．若共线6．【分析】因为共线，即，根据两向量平行的坐标表示列式求解即可．【解答】解：若共线，即，∵，，∴1×m＝﹣2×（﹣8），∴m＝6．故答案为：6．【点评】本题考查平面向量共线的坐标表示，属于基础题，较简单．34．（2021•西城区二模）已知向量＝（m，1），＝（3，m），若与方向相反，则m等于．【分析】根据题意可设，k＜0，从而得出，然后解出m的值即可．【解答】解：∵与方向相反，∴设，k＜0，∴（3，m）＝（km，∴，且k＜0．故答案为：．【点评】本题考查了共线向量基本定理，向量坐标的数乘运算，考查了计算能力，属于基础题．35．（2021•通州区一模）设向量，是两个不共线的向量，已知，＝，＝2﹣k，C，D三点共线，则＝﹣+4（用，表示）；实数k＝8．【分析】根据平面向量的线性运算用、表示向量，根据向量共线定理列方程求出k的值．【解答】解：因为向量，是两个不共线的向量，且，＝，所以＝﹣＝﹣，又＝2，且B，C，所以﹣1×（﹣k）﹣4×2＝0，解得k＝8．故答案为：﹣+4；6．【点评】本题考查了平面向量的线性运算和共线定理应用问题，是基础题．36．（2019•朝阳区一模）在平面内，点A是定点，动点B|＝||＝1，，则集合{P|＝+，1≤λ≤2}所表示的区域的面积是3π．【分析】把所给等式平方，得到的范围，即P点的轨迹为圆环，得解．【解答】解：由，得＝λ8+1，∵1≤λ≤7，∴2≤λ2+7≤5，∴||，∴P点轨迹为以A为圆心的圆环，其面积为：5π﹣2π＝4π，故答案为：3π．【点评】此题考查了向量模的几何意义，难度不大．37．（2021•朝阳区二模）已知向量＝（2，m），＝（﹣1，2），且+2＝，则m＝﹣4．【分析】根据向量的运算性质计算即可．【解答】解：∵＝（2，＝（﹣1，且+5＝，∴+2，m）+4（﹣1，m+4）＝，∴m+4＝0，解得：m＝﹣8，故答案为：﹣4．【点评】本题考查了向量的坐标运算，是基础题．38．（2019•大兴区一模）已知向量＝（1，k），＝（9，k﹣6），若∥，则k＝．【分析】利用向量共线定理即可得出．【解答】解：∵∥，∴k﹣6﹣9k＝8，解得k＝﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．39．（2019•朝阳区一模）已知平面向量＝（2，﹣1），＝（1，x）．若∥，则x＝﹣．【分析】根据即可得出2x+1＝0，解出x即可．【解答】解：∵；∴2x+1＝4；∴．故答案为：．【点评】考查向量坐标的概念，以及平行向量的坐标关系．40．（2021•北京三模）在△ABC中，∠ABC＝，BC＝4，E为AC上一点，且，λ∈（0，1），则＝﹣4．【分析】根据余弦定理求出AC的长度，判断△ABC是直角三角形，利用向量数量积的定义进行计算即可．【解答】解：∵∠ABC＝，BC＝4，∴AC8＝BC2+AB2﹣3AB•BC cos＝16+4﹣7×，满足BC2＝AB4+AC2，即△ABC是直角三角形，则AB⊥AC，＝•（+•+•＝﹣，故答案为：﹣2【点评】本题主要考查平面向量数量积的计算，根据条件判断三角形是直角三角形是解决本题的关键，是基础题．41．（2021•顺义区二模）设向量＝（m，3），＝（1，2），＝（1，﹣1），若（﹣）⊥，则实数m＝2．【分析】根据题意，求出﹣的坐标，由向量垂直的判断方法可得（﹣）•＝m﹣1﹣1＝0，解可得m的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，向量，3），，2），，﹣6），则﹣＝（m﹣1，若（﹣）⊥﹣）•，解可得m＝2，故答案为：3【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及向量垂直的坐标表示方法，属于基础题．42．（2021•海淀区一模）已知点O（0，0），A（1，2），B（m，0）（m＞0），则cos＜，＞＝，若B是以OA为边的矩形的顶点，则m＝5．【分析】对于第一空：求出、的坐标，计算可得、的模以及•的值，由向量夹角公式计算可得答案，对于第二空：分析可得⊥，求出的坐标，由向量数量积的计算公式可得•＝（m﹣1）+2×（﹣2）＝0，解可得m的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，点O（0，A（1，B（m，则＝（6，＝（m，则|，||＝m，•＝m，故cos＜，＞＝＝，若B是以OA为边的矩形的顶点，而与不垂直⊥，又由＝（m﹣1，则有•，解可得m＝5，故答案为：，5．【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题．43．（2020•海淀区二模）已知点A（2，0），B（1，2），C（2，2），，O为坐标原点，则＝1，与夹角的取值范围是[0，]．【分析】根据题意，分析可得﹣＝＝（1，0），进而可得|﹣|＝1，即可得||＝1，据此分析可得P 是以A为圆心，半径为1的圆，则设P（2+cosα，sinα），与夹角为θ，即可得向量、的坐标，由数量积的计算公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，A（2，B（1，C（7，则﹣＝＝（1，则|﹣|＝1，又由，则|，P是以A为圆心，则设P（7+cosα，与夹角为θ，0≤θ≤π）；则＝（2+cosα，＝（6，则||＝，|，•＝5+2cosα＝＝＝（）＝（+），又由+≥2，即cosα＝﹣1时，则有cosθ＝（+）≥，则0≤θ≤，即与夹角的取值范围是[0，]；故答案为：2，[0，]．【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题．44．（2020•怀柔区一模）在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝2AB＝2，则＝﹣1．【分析】先在△ABC中，利用余弦定理，算出，确定△ABC是以A为直角的直角三角形，然后＝，结合平面向量数量积的运算法则求解即可．【解答】解：由于∠ABC＝60°，BC＝2AB＝2，根据余弦定理可知，AC6＝AB2+BC2﹣7AB•BC•cos∠ABC＝，∴，△ABC为直角三角形，∴＝．故答案为：﹣4．【点评】本题考查平面向量在几何中的应用，熟练运用平面向量的加减法和数量积运算是解题的关键，考查学生的分析能力和计算能力，属于基础题．45．（2020•西城区一模）若向量满足，则实数x的取值范围是（﹣3，1）．【分析】先利用向量数量积的坐标运算得出，再解关于x的不等式即可．【解答】解：因为：向量；∴＝x2+2x；∴⇒x2+2x＜7⇒﹣3＜x＜1；故实数x的取值范围是：（﹣5，1）．故答案为：（﹣3，3）．【点评】本题考查向量数量积的坐标运算，不等式的解法，属于基础题目．46．（2020•平谷区二模）如图，矩形ABCD中，AB＝2，O为AB的中点．当点P在BC边上时，的值为2；当点P沿着BC，CD与DA边运动时，的最小值为﹣2．【分析】利用斜率的数量积直接求解的值；利用，判断P所在的位置，求解最小值即可．【解答】解：矩形ABCD中，AB＝2，O为AB的中点．当点P在BC边上时，＝||；当点P沿着BC，CD与DA边运动时，，＝||，P应该在线段AD上，此时|cos∠POB＝2×（﹣7）＝﹣2；故答案为：2；﹣3．【点评】考查斜率的数量积的求法与应用，考查转化思想以及观察图形的能力，是基本知识的考查．47．（2018•昌平区二模）向量，在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则向量，；向量，所张成的平行四边形的面积是3．【分析】如图所示，建立直角坐标系，不妨取＝（2，1），＝（1，2），利用向量夹角公式、数量积运算性质、平行四边形面积计算公式即可得出．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系，不妨取＝（2，＝（1，则＝＝＝．向量，所张成的平行四边形的面积S＝•＝×＝5×．故答案分别为：，3．【点评】本题考查了向量夹角公式、数量积运算性质、平行四边形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．48．（2019•延庆区一模）如图，正方形ABCD中，E为DC的中点，若0．【分析】运用平面向量基本定理可解决此问题．【解答】解：根据题意，＝+＝+，＝+∴＝7＝﹣∴＝2﹣∴＝2﹣）＝6∴λ＝2，μ＝﹣2∴λ+μ＝4故答案为0．【点评】本题考查平面向量基本定理的简单应用．49．（2018•房山区一模）如图，两块全等的等腰直角三角板拼在一起形成一个平面图形，若直角边长为2，则λ+μ＝1+．【分析】用表示出，得出λ，μ的值即可得出答案．【解答】解：∵∠DEB＝∠ABC＝45°，∴AB∥DE，过D作AB，AC的垂线DM，则AN＝DM＝BM＝BD•sin45°＝，∴DN＝AM＝AB+BM＝2+，∴＝＝+，∴λ＝，μ＝，∴λ+μ＝1+．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量的基本定理，属于基础题．50．（2021•房山区二模）已知单位向量，的夹角为60°，﹣k与，则k＝．【分析】利用向量垂直、向量数量积公式直接求解．【解答】解：∵两个单位向量，的夹角为60°，与垂直，∴（）•＝＝1×6×cos60°﹣k×1＝0，解得k＝．故答案为：．【点评】本题考查实数值的求法，考查向量垂直、向量数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．51．（2020•大兴区一模）已知向量＝（﹣1，1），＝（2，t），若∥，则t＝﹣2．【分析】由向量平行的充要条件可得：﹣1×2﹣1×t＝0，解之即可．【解答】解：∵向量＝（﹣1，＝（2，且∥，∴﹣5×2﹣1×t＝7，解得t＝﹣2故答案为：﹣2【点评】本题考查平行向量与共线向量，属基础题．52．（2019•丰台区一模）已知平面向量＝（1，﹣3），＝（﹣2，m），且∥，那么m＝6．【分析】根据两个向量平行的坐标表示可得．【解答】解：∵∥，∴1×m﹣（﹣3）×（﹣3）＝0．故答案为：6．【点评】本题考查了平面向量共线的坐标表示．属基础题．53．（2021•门头沟区二模）△ABC外接圆圆心为O，且2++＝，则＝0．【分析】画出图形，结合已知条件判断两个向量的关系，然后求解即可．【解答】解：如图，△ABC外接圆圆心为O++＝，可知＝＝2＝，所以△ABC是直角三角形，AB⊥AC，则＝6．故答案为：0．【点评】本题考查向量的数量积的求法，数形结合的应用，是基础题．54．（2021•朝阳区一模）已知向量＝（，1），＝（x，y）（xy≠0），且||＝1，•，则向量的坐标可以是（，）．（写出一个即可）【分析】利用已知条件画出图形，判断向量的坐标的位置，即可写出结果．【解答】解：向量＝（，＝（x，且|，•＜0，可知向量，向量，）．故答案为：（，）．【点评】本题考查向量的数量积的应用，点的坐标的求法，是基础题．55．（2020•房山区二模）已知正方形ABCD的边长为，若＝3，则•的值为．【分析】通过向量的三角形法则一步步代入数量积求解即可．【解答】解：如图：∵正方形ABCD的边长为，若＝3，则•＝（+＝（+）•（﹣）＝﹣2﹣•＝﹣（+）4+（+）•＝﹣（+2•+•+＝﹣[+7+×＝．故答案为：．【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．56．（2020•石景山区一模）已知向量＝（，），＝（，），则∠ABC＝．【分析】运用向量的数量积的坐标表示可得可得•，由向量的模公式可得||＝||，再由cos∠ABC＝，计算即可得到所求值．【解答】解：向量＝（，），，），可得•＝×+×＝，||＝|＝1，可得cos∠ABC＝＝，由0≤∠ABC≤π，可得∠ABC＝．故答案为：．【点评】本题考查向量的数量积的坐标表示和模的公式，考查夹角的求法，以及化简整理的运算能力，属于基础题．57．（2021•平谷区一模）已知在直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝1，那么等于﹣1；若AM是BC边上的高，点P在△ABC内部或边界上运动，那么0．【分析】由题意画出图形，分析P在内部或边界上时的不同情况，数形结合可得的最大值为0．【解答】解：如图，由AB＝1，BC＝2，故∠ABC＝60°，。

2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编专题09平面向量一、选择题1．(2022年全国乙卷理科·第3题)已知向量,a b 满足||1,||3,|2|3a b a b ==-=，则a b ⋅= ()A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】C 解析：∵222|2|||44-=-⋅+a b a a b b ，又∵||1,||3,|2|3,==-=a b a b∴91443134=-⋅+⨯=-⋅a b a b ， ∴1a b ⋅= 故选：C ．【题目栏目】平面向量\平面向量的概念与线性运算\向量的线性运算 【题目来源】2022年全国乙卷理科·第3题2．(2022新高考全国II 卷·第4题)已知向量(3,4),(1,0),t ===+a b c a b ，若,,<>=<>a c b c ，则t =( )A ．6-B ．5-C ．5D ．6【答案】C解析：()3,4c t =+,cos ,cos ,a c b c =,即931635t tc c+++=,解得5t =． 故选C ．【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用 【题目来源】2022新高考全国II 卷·第4题3．(2022新高考全国I 卷·第3题)在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n ==，，则CB =( )A ．32m n -B ．23m n -+C ．32m n +D ．23m n +【答案】B 解析：因点D 在边AB 上，2BD DA =，所以2BD DA =，即()2CD CB CA CD -=-，所以CB =3232CD CA n m -=-23m n =-+． 故选：B ． 【题目栏目】平面向量\平面向量的基本定理【题目来源】2022新高考全国I 卷·第3题4．(2020年新高考I 卷(山东卷)·第7题)已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范用是 ( )A ．()2,6-B ．(6,2)-C ．(2,4)-D ．(4,6)-【答案】A解析：AB 的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-， 结合向量数量积的定义式，可知AP AB ⋅等于AB 的模与AP 在AB 方向上的投影的乘积， 所以AP AB ⋅的取值范围是()2,6-，故选：A ． 【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用 【题目来源】2020年新高考I 卷(山东卷)·第7题5．(2020新高考II 卷(海南卷)·第3题)在ABC 中，D 是AB 边上的中点，则CB =( )A ．2CD CA +B ．2CD CA -C ．2CD CA - D ．2CD CA +【答案】C解析：()222CB CA AB CA AD CA CD CA CD CA -=+=+=+-= 【题目栏目】平面向量\平面向量的概念与线性运算\向量的线性运算 【题目来源】2020新高考II 卷(海南卷)·第3题6．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第6题)已知向量a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b ⋅=-，则cos ,=+a a b ( )A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．1935【答案】D 解析：5a =，6b =，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-=．()22222526367a b a ba ab b +=+=+⋅+=-⨯+=，因此，()1919cos ,5735a a ba ab a a b⋅+<+>===⨯⋅+． 故选：D ．【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第6题7．(2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第3题)已知()2,3AB =，()3,AC t =，1BC =，则AB BC ⋅=( )【答案】C【解析】∵()2,3AB =，()3,AC t =，∴()1,3BC AC AB t =-=-,∴()22131BC t =+-=，解得3t =，即()1,0BC =，则AB BC ⋅=()()2,31,021302⋅=⨯+⨯=．【点评】本题考查平面向量数量积的坐标运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法，利用转化与化归思想解题．本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．学生易在处理向量的法则运算和坐标运算处出错，借助向量的模的公式得到向量的坐标，然后计算向量数量积．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第3题8．(2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第7题)已知非零向量a ，b 满足2a b =，且()a b b -⊥，则a 与b 的夹角为( )A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π【答案】B 解析：()()222,0,a b b a b b a b b a b b b-⊥∴-⋅=⋅-=∴⋅==，所以221cos ,22ba b a b a bb⋅===⋅，所以,3a b π=．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的垂直问题【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第7题9．(2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第4题)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比为512510.618-≈，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美 人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512．若某人满足上述两个黄金 分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是( )A ．165cmB ．175cmC ．185cmD ．190cm【答案】 答案：B解析：如图，0.618,0.618,0.618c aa b c d d b==∴==，26c <，则42.070.618c d =<，68.07a c d =+<，110.150.618ab =<，所以身高178.22h a b =+<，又105b >，所以0.61864.89a b =>，身高64.89105169.89h a b =+>+=，故(169.89,178.22)h ∈，故选B ．【题目栏目】平面向量\线段的定比分点问题【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第4题10．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第4题)已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b( )A ．4B ．3C ．2D ．0【答案】B解析：2(2)2||213⋅-=-⋅=+=a a b a a b ，故选B ．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第4题11．(2018年高考数学课标卷Ⅲ(理)·第6题)在ABC ∆中,AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =( )A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC + D ．1344AB AC + c d ab 头顶咽喉肚脐足底【答案】A解析：在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，()11312244EB AB AE AB AD AB AB AC AB AC =-=-=-+=-，故选A ． 【题目栏目】平面向量\平面向量的基本定理 【题目来源】2018年高考数学课标卷Ⅲ(理)·第6题12．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题)在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为 ( )A ．B ．CD ．【答案】A【解析】法一：以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如下图则，，，，连结，过点作于点 在中，有即所以圆的方程为 可设由可得 ABCD 1AB =2AD =P C BD AP AB AD λμ=+λμ+3252A AB x AD y ()0,0A ()1,0B ()0,2D ()1,2C BD C CE BD ⊥E Rt BDC ∆225BD AB AD =+=1122ACD S BC CD BD CE =⨯⨯=⨯⨯△1125125225CE CE ⨯⨯=⇒=C ()()224125x y -+-=25251,2P θθ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭AP AB AD λμ=+()25251,2sin ,255θθλμ⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭所以，所以 其中， 所以的最大值为，故选A ．法二：通过点作于点，由，，可求得又由，可求得由等和线定理可知，当点的切线(即)与平行时，取得最大值又点到的距离与点到直线的距离相等，均为而此时点到直线251551sin 5λθμθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩2552cos 55λμθθ+=++()2sin θϕ=++25sin ϕ=5cos ϕ=λμ+3C CE BD ⊥E 1AB =2AD =22125BD =+1122ACD S CD CB BD CE =⨯⨯=⨯⨯△55CE =P FH DB λμ+A BD C BD 55A FH 2525256522r +=+=所以，所以的最大值为，故选A ． 另一种表达：如图，由“等和线”相关知识知，当点在如图所示位置时，最大，且此时若，则有，由三角形全等可得，知，所以选A ．法三：如图，建立平面直角坐标系设，即圆的方程是，若满足即 ， ，所以，设 ，即，655325AFAB ==λμ+3P λμ+AG x AB y AD =+x y λμ+=+2AD DF FG ===3,0x y ==()()()()0,1,0,0,2,1,,A B D P x y 5()22425x y -+=()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=AP AB AD λμ=+21x y μλ=⎧⎨-=-⎩,12x y μλ==-12x y λμ+=-+12x z y =-+102x y z -+-=点在圆上，所以圆心到直线的距离， ，解得，所以的最大值是，即的最大值是，故选A ． 法四：由题意，画出右图．设与切于点，连接．以为原点，为轴正半轴，为轴正半轴建立直角坐标系则点坐标为．∵，．∴．切于点．∴⊥．∴是中斜边上的高． 即在上．∴点的轨迹方程为．设点坐标，可以设出点坐标满足的参数方程如下：而，，． ∵ ∴，． 两式相加得：(),P x y ()22425x y -+=d r ≤21514z -≤+13z ≤≤z 3λμ+3BD C E CE A AD x AB y C (2,1)||1CD =||2BC =22125BD +=BD C E CEBDCERt BCD△BD12||||222||5||||55BCD BC CD S EC BD BD ⋅⋅⋅====△C 255P C P 224(2)(1)5x y -+-=P 00(,)x y P 0022552155x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩00(,)AP x y =(0,1)AB =(2,0)AD =(0,1)(2,0)(2,)AP AB AD λμλμμλ=+=+=0151cos 25x μθ==+02155y λθ==(其中，) 当且仅当，时，取得最大值3． 【考点】平面向量的坐标运算；平面向量基本定理【点评】(1)应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．【题目栏目】平面向量\平面向量的基本定理 【题目来源】2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题13．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题)已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是 ( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【命题意图】本题主要考查等边三角形的性质及平面向量的线性运算﹑数量积，意在考查考生 转化与化归思想和运算求解能力 【解析】解法一：建系法连接，，，．，∴∴ ∴，∴ ∴最小值为 解法二：均值法2225151552552()())552sin()3λμθθθϕθϕ+=++=+++=++≤5sin 5ϕ=25cos 5ϕ=π2π2k θϕ=+-k ∈Z λμ+ABC ∆P ABC ()PA PB PC ⋅+2-32-43-1-OP ()0,3OA =()1,0OB =-()1,0OC =2PC PB PO +=()(),,3PO PA x y x y⋅=--⋅--222233324PO PA x y y x y ⎛⎫⋅=+-=+-- ⎪ ⎪⎝⎭34PO PA ⋅≥-()322PA PC PB PO PA ⋅+=⋅≥-32-∵，∴由上图可知：；两边平方可得∵ ，∴ ∴ ，∴最小值为解法三：配凑法 ∵∴∴最小值为【知识拓展】三角形与向量结合的题属于高考经典题，一般在压轴题出现，解决此类问题的通 法就是建系法，比较直接，易想，但有时计算量偏大． 【考点】 平面向量的坐标运算，函数的最值【点评】平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：一是“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式我解集，方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题 14．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第3题)已知向量13(,22BA =,31()22BC =,则ABC ∠= ( ) A ．30︒ B ．45︒C ．60︒D ．120︒【答案】A【解析】由题意,得133132222cos 112BA BC ABC BA BC⨯⋅∠===⨯⋅,所以30ABC ∠=︒,故选A. 【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算 【题目来源】2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第3题15．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第3题)已知向量(1,)(3,2)a m b =-，=，且()a b b ⊥+，则m = ( )A ．8-B ．6-C ．6D ．82PC PB PO +=()2PA PC PB PO PA ⋅+=⋅OA PA PO =-()()2232PA PO PA PO =+-⋅()()222PA POPA PO +≥-⋅322PO PA ⋅≥-()322PA PC PB PO PA ⋅+=⋅≥-32-2PC PB PO +=()()()()()222232222PO PA PO PAPO PA AOPA PC PB PO PA +--+-⋅+=⋅==≥-32-【答案】D【解析】由()a b b ⊥+可得：()0a b b +=，所以20a bb，又(1,)(3,2)a m b =-，= 所以2232+(3(2))0m -+-=，所以8m ，故选D ．【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算 【题目来源】2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第3题16．(2015高考数学新课标1理科·第7题)设D 为ABC 所在平面内一点3BC CD =，则( )A ．1433AD AB AC =-+ B ．1433AD AB AC =- C ．4133AD AB AC =+ D ．4133AD AB AC =- 【答案】A解析：由题知11()33AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-==1433AB AC -+，故选A ． 考点：平面向量的线性运算【题目栏目】平面向量\平面向量的基本定理 【题目来源】2015高考数学新课标1理科·第7题17．(2014高考数学课标2理科·第3题)设向量a,b 满足，|a -，则a b=( )A ．1B ．2C ．3D ．5【答案】A解析：因为222||()210,a b a b a b a b +=+=++⋅=222||()26,a b a b a b a b -=-=+-⋅= 两式相加得：228,a b +=所以1a b ⋅=，故选A ． 考点：(1)平面向量的模；(2)平面向量的数量积 难度：B备注：常考题【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2014高考数学课标2理科·第3题 二、多选题18．(2021年新高考Ⅲ卷·第10题)已知O 为坐标原点，点()1cos ,sin P αα，()2cos ,sin P ββ-，()()()3cos ,sin P αβαβ++，1,0A ，则 ( )A ．12OP OP =B ．12AP AP =C ．312OA OP OP OP ⋅=⋅D ．123OA OP OP OP ⋅=⋅ 【答案】AC106⋅解析:A ：1(cos ,sin )OP αα=，2(cos ,sin )OP ββ=-，所以221||cos sin 1OP αα=+，222||(cos )(sin )1OP ββ=+-，故12||||OP OP =，正确； B ：1(cos 1,sin )AP αα=-，2(cos 1,sin )AP ββ=--，所以222221||(cos 1)sin cos 2cos 1sin 2(1cos )4sin 2|sin|22AP αααααααα=-+-++-==，同理222||(cos 1)sin 2|sin|2AP βββ=-+，故12||,||AP AP 不一定相等，错误；C ：由题意得：31cos()0sin()cos()OA OP αβαβαβ⋅=⨯++⨯+=+，12cos cos sin (sin )cos()OP OP αβαβαβ⋅=⋅+⋅-=+，正确；D ：由题意得：11cos 0sin cos OA OP ααα⋅=⨯+⨯=，23cos cos()(sin )sin()OP OP βαββαβ⋅=⨯++-⨯+22cos cos sin sin cos sin sin cos cos sin αβαββαββαβ=--- cos cos2sin sin 2cos(2)αβαβαβ=-=+，错误；故选AC ．【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用 【题目来源】2021年新高考Ⅲ卷·第10题 三、填空题19．(2022年全国甲卷理科·第13题)设向量a ，b 的夹角的余弦值为13，且1a =，3b =，则()2a b b +⋅=_________． 【答案】11解析：设a 与b 的夹角为θ，因为a 与b 的夹角的余弦值为13，即1cos 3θ=，又1a =，3b =，所以1cos 1313a b a b θ⋅=⋅=⨯⨯=，所以()22222221311a b b a b b a b b +⋅=⋅+=⋅+=⨯+=． 故答案为：11．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的夹角问题 【题目来源】2022年全国甲卷理科·第13题20．(2021年新高考全国Ⅲ卷·第15题)已知向量0a b c ++=，1a =，2b c ==，a b b c c a ⋅+⋅+⋅=_______．【答案】92-解析:由已知可得()()()22222920a b ca b c a b b c c a a b b c c a ++=+++⋅+⋅+⋅=+⋅+⋅+⋅=，因此，92a b b c c a ⋅+⋅+⋅=-．故答案为：92-．【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用【题目来源】2021年新高考全国Ⅲ卷·第15题21．(2021年高考全国乙卷理科·第14题)已知向量()()1,3,3,4a b ==，若()a b b λ-⊥，则λ=__________．【答案】35解析：因为()()()1,33,413,34a b λλλλ-=-=--，所以由()a b b λ-⊥可得，()()3134340λλ-+-=，解得35λ=．故答案为：35．【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设()()1122,,,a x y b x y ==，121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=，注意与平面向量平行的坐标表示区分．【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算 【题目来源】2021年高考全国乙卷理科·第14题22．(2021年高考全国甲卷理科·第14题)已知向量()()3,1,1,0,a b c a kb ===+．若a c ⊥，则k =________．【答案】103-． 解析：()()()3,1,1,0,3,1a b c a kb k ==∴=+=+,(),33110a c a c k ⊥∴⋅=++⨯=，解得103k =-, 故答案为：103-． 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量()()1122,,,p x y q x y ==垂直的充分必要条件是其数量积12120x x y y +=．【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用 【题目来源】2021年高考全国甲卷理科·第14题23．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第14题)设,a b 为单位向量，且||1a b +=，则||a b -=______________．3【解析】因为,a b 为单位向量，所以1a b ==所以()2222221a b a b a a b b a b +=+=+⋅+=+⋅=解得：21a b ⋅=- 所以()22223a b a b a a b b -=-=-⋅+=3【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题． 【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用 【题目来源】2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第14题24．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题)已知单位向量a →,b →的夹角为45°，k a b →→-与a →垂直，则k =__________． 【答案】22解析：由题意可得：211cos 452a b →→⋅=⨯⨯=， 由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即：2202k a a b k →→→⨯-⋅=-=，解得：22k =． 2． 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题25．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题)已知a ，b 为单位向量，且·=0a b ，若25c a b =-，则cos ,a c 〈〉=___________．【答案】23． 【解析】因为25c a b =-，·=0a b ，所以225=2a c a a b ⋅=-⋅，222||4||455||9c a a b b =-⋅+=，所以||3c =，所以cos ,a c 〈〉=22133a c a c ⋅==⨯⋅． 【点评】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的夹角问题 【题目来源】2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题26．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第13题)已知向量()1,2a =，()2,2b =-，()1,c λ=，若()//2c a b +，则λ= ． 【答案】12解析：依题意可得()()()22,42,24,2a b +=+-=，又()1,c λ=，()//2c a b + 所以4210λ⨯-⨯=，解得12λ=． 【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算【题目来源】2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第13题27．(2017年高考数学新课标Ⅲ卷理科·第13题)已知向量,的夹角为,,,则__________． 【答案】【解析】法一:所以．法二(秒杀解法):利用如下图形,可以判断出的模长是以为边长的菱形对角线的长度,则为法三:坐标法依题意,可设,,所以 所以．【考点】平面向量的运算【点评】平面向量中涉及到有关模长的问题,用到的通法是将模长进行平方,利用向量数量积的知识进行a b 60︒2a =1b =2a b +=23222|2|||44||4421cos 60412a b a a b b +=+⋅+=+⨯⨯⨯+=|2|23a b +=2a b +23()2,0a =13,22b ⎛= ⎝⎭()((22,033a b +=+=()2223323a b +=+=解答,很快就能得出答案;另外,向量是一个工具型的知识,具备代数和几何特征,在做这类问题时可以使用数形结合的思想,会加快解题速度．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的模长问题 【题目来源】2017年高考数学新课标Ⅲ卷理科·第13题28．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题)设向量(),1a m =，()1,2b =，且222a b a b +=+，则m = ．【答案】2m =-【解析】由已知得：()1,3a b m +=+∴()22222222213112a b a b m m +=+⇔++=+++，解得2m =-．【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算 【题目来源】2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题29．(2015高考数学新课标2理科·第13题)设向量a ，b 不平行，向量a b λ+与2a b +平行，则实数λ=_________． 【答案】12解析：因为向量a b λ+与2a b +平行，所以2a b k a b λ+=+（），则12,k k λ=⎧⎨=⎩，所以12λ=．考点：向量共线．【题目栏目】平面向量\平面向量的概念与线性运算\平面向量的共线问题【题目来源】2015高考数学新课标2理科·第13题30．(2014高考数学课标1理科·第15题)已知A,B,C 是圆O 上的三点,若,则与的夹角为______． 【答案】 解析:∵,∴O 为线段BC 中点,故BC 为的直径, ∴,∴与的夹角为．考点:(1)平面向量在几何中的应用(2)向量的夹角(3)化归与转化思想 难度:B备注:高频考点【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2014高考数学课标1理科·第15题31．(2013高考数学新课标2理科·第13题)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD⋅＝________．1()2AO AB AC =+AB AC 0901()2AO AB AC =+O 090BAC ∠=AB AC 090【答案】2解析：由题意知：2211402222AE BD AD AD AB AB ⋅=-⋅-=--= 考点：(1)5．1．2向量的线性运算；(2)5．3．1平面向量的数量积运算 难度： A备注：高频考点【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2013高考数学新课标2理科·第13题32．(2013高考数学新课标1理科·第13题)已知两个单位向量,a b 的夹角为60°，(1)c ta t b =+-，若0b c •=，则t =_____． 【答案】 2解析：•b c =[(1)]t t •+-b a b =2(1)t t •+-a b b =112t t +-=112t -=0，解得t =2． 考点: (1)5．3．1平面向量的数量积运算．难度：Ａ备注：高频考点【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2013高考数学新课标1理科·第13题。

北京市石景山区2023届高三一模数学试题一、单选题1．已知集合{}22A x x =-≤≤，{}220B x x x =+-≤，则A B ⋃=（ ）A ．[]22-,B ．[]2,1-C ．[]0,1D ．[]0,22．在复平面内，复数z 对应的点的坐标为()2,1--，则iz=（ ） A ．12i -- B ．2i -- C ．12i -+ D ．2i -3．已知双曲线()222104x y b b-=>的离心率是2，则b =（ ）A．12 B ．C D4．下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的是（ ） A ．()sin f x x =B ．()2xf x =C ．()3f x x x =+ D ．()()1e e 2x xf x -=-5．设0x >，0y >，则“2x y +=”是“1xy ≤”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件6．已知数列{}n a 满足：对任意的,m n *∈N ，都有m n m n a a a +=，且23a =，则10a =（ ） A ．43B ．53C ．63D ．103【答案】B【分析】根据对任意的,m n *∈N ，有m n m n a a a +=，且23a =，求得48,a a 的值，即可得10a 的值.【详解】对任意的,m n *∈N ，都有m n m n a a a +=，且23a =，所以222249a a a a ===，则2444881a a a a ===，所以510283813a a a ==⨯=.故选：B.7．若函数()()πsin 0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则ϕ的值是（ ）A ．π3B ．π6C ．π4D ．π12【答案】A【分析】根据正弦型函数的对称性可得对称中心π,03⎛⎫⎪⎝⎭，即可求得最小正周期T ，从而可求ω的值，结合图象代入已知点坐标即可得ϕ的值.【详解】由图可知()2π0,3f m f m ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以π,03⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心，由图象可得最小正周期T 满足：1πππ2362T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，则2ππT ω==，又0ω>，所以2ω=， 则由图象可得π2π6k ϕ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，Z k ∈，所以ππ3k ϕ=+，Z k ∈，又π02ϕ<<，所以π3ϕ=.故选：A.8．在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v （单位：/km s ）与燃料的质量M （单位：kg ），火箭（除燃料外）的质量m （单位：kg ）的函数关系是2000ln 1M v m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．当燃料质量与火箭质量的比值为0t 时，火箭的最大速度可达到0/v km s ．若要使火箭的最大速度达到02/v km s ，则燃料质量与火箭质量的比值应为（ ） A ．202t B ．200t t +C ．02tD ．2002t t +【答案】D【分析】根据对数运算法则可求得()200022000ln 12v t t =++，由此可得结果.【详解】由题意得：()002000ln 1v t =+，9．已知直线l :220kx y k --+=被圆C :()22125x y ++=所截得的弦长为整数，则满足条件的直线l 有（ ） A ．6条 B ．7条 C ．8条 D ．9条10．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 为正方形ABCD 所在平面内一动点，给出下列三个命题：①若点P 总满足11PD DC ⊥，则动点P 的轨迹是一条直线；②若点P 到直线1BB 与到平面11CDD C 的距离相等，则动点P 的轨迹是抛物线； ③若点P 到直线1DD 的距离与到点C 的距离之和为2，则动点P 的轨迹是椭圆. 其中正确的命题个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C【分析】根据正方体中的线面垂直以及线线垂直关系，即可确定满足满足11PD DC ⊥的动点P 的轨迹，从而可判断①；利用线线关系将点线距离转化为点点距离，结合圆锥曲线的定义即可判断动点P 的轨迹，即可得判断②③，从而可得答案. 【详解】对于①，如图在正方体1111ABCD A B C D -中，连接11,BD CD ，在正方体中，因为四边形11CDD C 为正方形，所以11DC CD ⊥， 又BC ⊥平面11CDD C ，1DC ⊂平面11CDD C ，所以1BC DC ⊥， 又11,,CD BC C CD BC ⋂=⊂平面1BCD ，所以1DC ⊥平面1BCD ，平面1BCD ⋂平面ABCD BC =，P ∈平面ABCD ，点P 总满足11PD DC ⊥， 所以P ∈平面1BCD ，所以P BC ∈，则动点P 的轨迹是一条直线，故①正确；对于②，1BB ⋂平面ABCD B =,P ∈平面ABCD ，则点P 到直线1BB 等于P 到B 的距离， 又P 到平面11CDD C 的距离等于P 到DC 的距离，则P 到B 的距离等于P 到DC 的距离，由抛物线的定义可知，动点P 的轨迹是抛物线，故②正确；对于③，点P 到直线1DD 的距离等于P 到D 的距离，所以P 到D 的距离与到点C 的距离之和为2，即2PD PC DC +==，则点P 的轨迹为线段DC ，故③不正确. 所以正确的命题个数是2. 故选：C.二、填空题11．向量()2sin ,cos a θθ=，()1,1b =，若//a b ，则tan θ=_________. 【答案】12##0.5【分析】根据平面向量的坐标平行运算得cos 2sin θθ=，利用同角三角函数的商数关系θ【详解】向量(2sin a θ=，()1,1b =，若//a b ，则2sin sin 2sin θθ=.12．若nx⎛⎝的展开式中含有常数项，则正整数n 的一个取值为_________.13．项数为(),2k k k *∈≥N 的有限数列{}n a 的各项均不小于1-的整数，满足123123122220k k k k k a a a a a ----⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+=，其中10a ≠.给出下列四个结论：①若2k =，则22a =；②若3k =，则满足条件的数列{}n a 有4个； ③存在11a =的数列{}n a ；④所有满足条件的数列{}n a 中，首项相同. 其中所有正确结论的序号是_________.一列举得数列{}n a ，即可判断②.【详解】由于有限数列{}n a 的各项均不小于1-的整数，所以1n a ≥-，*N ,Z n n a ∈∈，又因为123123122220k k k k k a a a a a ----⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+=，所以()()123231112312222222121k k k k k k k k a a a a a -------⋅=-⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+≤++++=-所以1111112k a -⎛⎫-≤≤-< ⎪⎝⎭，且10a ≠，1a 为整数，所以11a =-，故③不正确，④正确；当2k =时，得1220a a +=，所以11a =-，则22a =，故①正确；当3k =时，得123420a a a ++=，因为11a =-，所以2324a a +=，则23245a a =-≤， 所以2512a -≤≤，2a 为整数，则2a 的可能取值为1,012-,,，对应的3a 的取值为6,4,2,0， 故数列{}n a 可能为1,1,6--；1,0,4-；1,1,2-；1,2,0-，共4个，故②正确. 故答案为：①②④.【点睛】思路点睛：项数为(),2k k k *∈≥N 的有限数列{}n a 的性质入手1n a ≥-，*N ,Z n n a ∈∈从各项1n a ≥-，结合不等式放缩，确定1a 的范围，从而得1a 的值，逐项验证即可.三、解答题14．如图，在ABC 中，42AC =，π6C =，点D 在边BC 上，1cos 3ADB ∠=.(1)求AD 的长；(2)若ABD △的面积为2AB 的长. 【答案】(1)3AD = (2)3AB =15．某高校“植物营养学专业”学生将鸡冠花的株高增量作为研究对象，观察长效肥和缓释肥对农作物影响情况.其中长效肥、缓释肥、未施肥三种处理下的鸡冠花分别对应1,2,3三组.观察一段时间后，分别从1,2,3三组随机抽取40株鸡冠花作为样本，得到相应的株高增量数据整理如下表.假设用频率估计概率，且所有鸡冠花生长情况相互独立.(1)从第1组所有鸡冠花中随机选取1株，估计株高增量为(]7,10厘米的概率； (2)分别从第1组，第2组，第3组的所有鸡冠花中各随机选取1株，记这3株鸡冠花中恰有X 株的株高增量为(]7,10厘米，求X 的分布列和数学期望EX ；(3)用“1k ξ=”表示第k 组鸡冠花的株高增量为(]4,10，“0k ξ=”表示第k 组鸡冠花的株高增量为(]10,16厘米，1,2,3k =，直接写出方差1D ξ，2D ξ，3D ξ的大小关系.（结论不要求证明）)1125=)29100=所以21112936012310025100505EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. （3）132D D D ξξξ<< 理由如下： ()()1129111,04040P P ξξ====，所以22112911292929291131910,10404040404040401600E D ξξ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯==-⨯+-⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()()2220111,04022P P ξξ=====，所以22221111111140010,10222222241600E D ξξ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯==-⨯+-⨯==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()()3325531,04088P P ξξ=====，所以223353555531537510,108588888641600E D ξξ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯==-⨯+-⨯==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 所以132D D D ξξξ<<.16．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面PAD 为等腰直角三角形，且π2PAD ∠=，点F 为棱PC 上的点，平面ADF 与棱PB 交于点E .(1)求证：//EF AD ；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，求平面PCD 与平面ADFE 所成锐二面角的大小.条件①：2AE条件②：平面PAD ⊥平面ABCD ； 条件③：PB FD ⊥.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)证明见解析 (2)π3【分析】（1）根据条件可以证明//AD 平面PBC ，再利用线面平行的性质定理即可证明出结论；（2）选条件①②可以证明出,,AB AD AP 两两垂直，建立空间直角坐标系A xyz -，求出相应坐标，再求出两平面的法向量，进而求出结果;选条件①③或②③同样可以证明求解.【详解】（1）证明：因为底面ABCD 是正方形，所以//AD BC ，BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC ,所以//AD 平面PBC ，又因为平面ADF 与PB 交于点E .AD ⊂平面ADFE ，平面PBC ⋂平面,ADFE EF =所以//EF AD . （2）选条件①②侧面PAD 为等腰直角三角形，且π,2PAD ∠= 即2PA AD ==，PA AD ⊥平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PA ⊂平面PAD , 则PA ⊥平面ABCD ，又ABCD 为正方形， 所以,,PA AB PA AD AB AD ⊥⊥⊥.以点A 为坐标原点，,,AB AD AP 分别为x 轴,y 轴,z 轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0),(0,0,2),(2,2,0),(2,0,0),(0,2,0)A P C B D 因为2AE =，所以点E 为PB 的中点，则(1,0,1)E 从而：(2,2,2),(0,2,0),(1,0,1)PC AD AE =-==， 设平面ADFE 的法向量为：(,,)n x y z =， 则020n AE x z n AD y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩，令1x =，可得(1,0,1)n =-设平面PCD 的法向量为：(,,)n a b c =，则 2202220n PD b c n PC a b c ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩， 令1b =，可得(0,1,1)n = 所以1cos ,2PB n PB n PB n⋅== 则两平面所成的锐二面角为π3选条件①③侧面PAD 为等腰直角三角形，且,2PAD π∠=即2,PA AD PA AD ==⊥,AD AB PA AB A ⊥⋂=，且两直线在平面内，可得AD ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，则AD PB ⊥.，所以PAB 为等腰三角形，所以点，所以PAB 为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，且AD ABCD ，，所以PAB 为等腰三角形，所以点17．已知椭圆C :()222210x y a b a b+=>>过点(，且离心率为12.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点()1,1P -且互相垂直的直线1l ,2l 分别交椭圆C 于M ,N 两点及,S T 两点.求PM PN PS PT的取值范围.18．已知函数()()e 1sin xf x m x m =--∈R .(1)当1m =时，（ⅰ）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（ⅱ）求证：0,2πx ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，()0f x >.(2)若()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上恰有一个极值点，求m 的取值范围.1m 时，所以)e x x m =-1m 时，f 时，(f x 'x 与y =-0f x，因此π2⎫⎪⎭上恰有一个极小值点，19．若无穷数列{}n a 满足以下两个条件，则称该数列为τ数列. ①11a =，当2n ≥时，122n n a a --=+；②若存在某一项5m a ≤-，则存在{}1,2,,1k m ∈⋅⋅⋅-，使得4k m a a =+（2m ≥且m *∈N ）. (1)若20a <，写出所有τ数列的前四项；(2)若20a >，判断τ数列是否为等差数列，请说明理由； (3)在所有的τ数列中，求满足2021m a =-的m 的最小值.【答案】(1)τ数列的前四项为：1,1,1,1--；1,1,1,5-；1,1,3,3--；1,1,3,7- (2)τ数列为首项为1公差为4的等差数列，理由见解析 (3)m 的最小值为1517【分析】（1）先根据条件①去绝对值可得1n n a a -=-或14n n a a -=+，由20a <得21a =-，再根据条件逐个列举即可；（2）由条件①知，当2n ≥时，1n n a a -=-或14n n a a -=+，由20a >得25a =，利用反证法假设τ数列中存在最小的正整数i （3i ≥），使得1i i a a -=-，根据单调性结合条件②可知假设不成立，即可得结论；（3）先根据条件②可得()431506n b n n =-+≤≤必为数列{}n a 中的项，再结合条件①可得31n n a b -=分析即可．【详解】（1）由条件①知，当2n ≥时，1n n a a -=-或14n n a a -=+， 因为20a <，由条件①知21a =-，所以τ数列的前四项为：1,1,1,1--；1,1,1,5-；1,1,3,3--；1,1,3,7-. （2）若20a >，τ数列是等差数列由条件①知，当2n ≥时，1n n a a -=-或14n n a a -=+， 因为20a >，所以25a =假设τ数列中存在最小的正整数i （3i ≥），使得1i i a a -=-， 则1231,,,,i a a a a -单调递增，由11a =则1231,,,,i a a a a -均为正数，且125i a a -≥=.所以15i i a a -=-≤-.由条件②知，则存在 {}1,2,3,,1k i ∈-，使得41k i a a =+≤-此时与1231,,,,i a a a a -均为正数矛盾，所以不存在整数i （3i ≥），使得1i i a a -=-，即14n n a a -=+. 所以τ数列为首项为1公差为4的等差数列. （3）由2021m a =-及条件②, 可得1,5,9,,2017,2021-----必为数列{}n a 中的项，记该数列为{}n b ，有()431506n b n n =-+≤≤，不妨令n j b a =，由条件①，143j j a a n +=-=-或1447j j a a n +=+=-+均不为141n b n +=--； 此时243j a n +=-+或41n +或47n -或411n -+，均不为141n b n +=-- 上述情况中，当143j a n +=-，241j a n +=+时，32141j j n a a n b +++=-=--= 结合11a =，则有31n n a b -=.由5062021b =-，得350611517m =⨯-=即为所求.四、双空题20．抛物线C ：24x y =的焦点坐标为_________，若抛物线C 上一点M 的纵坐标为2，则点M 到抛物线焦点的距离为_________.21．设函数()33,,x x x af x x x a ⎧-≤=⎨->⎩，①若0a =，则()f x 的最大值为_________；②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是_________.。

北京市顺义区2023届高三一模数学试题一、单选题1．已知集合{}2,1,0A =--，{}31B x x =-<≤-，则A B =I （ ）A ．{}1-B ．{1,0}-C ．{2,1}--D ．{2,0}-2．在复平面内，复数z 对应的点的坐标为(1,1)-，则i z ⋅=（ ）A ．1i +B ．1i --C ．1i -D ．1i-+【答案】A【分析】根据题意，结合复数的运算，代入计算，即可得到结果.【详解】因为复数z 对应的点的坐标为(1,1)-，则1i z =-所以()i i 1i i+1z ⋅=⨯-=故选:A3．412x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为( )A ．24-B ．6-C ．6D ．244．若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足11225,2,16a b a b b ====，则{}n a 的公差为（ ）A ．1B ．1-C ．2-D ．2【答案】A【分析】根据等差等比数列的通项公式转化为首项与公比，公差的关系求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q222a b ==Q 11a d b q ∴+=⋅，又11a b =112a d a q ∴+=⋅=又()44335111216b b q a q a q q q =⋅=⋅=⋅⋅==Q 2q ∴=，11,1a d ==故选：A5．函数()e e x x f x -=-的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】分析给定函数()f x 的奇偶性、单调性即可判断作答.【详解】函数()e e x x f x -=-定义域为R ，()e e (e e )()x x x x f x f x ---=-=--=-，函数()f x 是R 上的奇函数，函数()f x 的图象关于y 轴对称，选项A ，D 不满足；因为函数e x y =在R 上单调递增，e x y -=在R 上单调递减，则函数()f x 在R 上单调递增，选项C 不满足，B 满足.故选：B6．若双曲线2222:1(0)x y C a b a b -=>>的离心率为e ，则e 的取值范围是（ ）A ．(1,2)B ．)+∞C ．D ．(2,)+∞7．已知α，β∈R ，则“存在k ∈Z 使得(21)πk αβ=++”是“cos cos 0αβ+=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口．Peukert 于1898年提出蓄电池的容量C （单位：Ah ），放电时间t （单位：h ）与放电电流I （单位：A ）之间关系的经验公式：n C I t =⋅，其中n 为Peukert 常数．为测算某蓄电池的Peukert 常数n ，在电池容量不变的条件下，当放电电流20A I =时，放电时间20h t =；当放电电流50A I =时，放电时间5h t =．若计算时取lg 20.3≈，则该蓄电池的Peukert 常数n 大约为（ ）A ．1.67B ．1.5C ．2.5D ．0.49．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，动点P 在棱11A B 上，动点Q 在线段1BC 上、若1,A P BQ λμ==，则三棱锥1D APQ -的体积（ ）A ．与λ无关，与μ有关B ．与λ有关，与μ无关C ．与,λμ都有关D ．与,λμ都无关【答案】D【分析】根据1111//C D A B 得出11//A B 平面11ABC D ，所以点P 到平面11ABC D 的距离也即11A B 到平面11ABC D 的距离，得到点P 到平面1AQD 的距离为定值，而底面1AQD 的面积也是定值，并补随BQ 的变化而变化，进而得到答案.【详解】因为1111ABCD A B C D -为正方体，所以1111//C D A B因为11C D ⊂平面11ABC D ，11A B ⊄平面11ABC D ，所以11//A B 平面11ABC D ，，10．已知点A ，B 在圆22:16O x y +=上，且||4AB =，P 为圆O 上任意一点，则AB BP⋅的最小值为（ ）A ．0B ．12-C ．18-D ．24-则π3AOB ∠=，设()(2,23,2,2A B -所以()(4,0,4cos 2,4sin AB BP α==-u u u r u u u r所以()44cos 216cos AB BP αα⋅=-=u u u r u u u r即AB BP ⋅u u u r u u u r的最小值为24-故选：D.【点睛】方法点睛：向量数量积问题常用方法一是利用基底法，结合平面向量基本定理及数量积的定义求解；二是利用坐标法，结合图形建立坐标系，求出向量的坐标，进而求其数量积.二、填空题11．函数1()lg(1)1f x x x =++-的定义域为______________．12．已知圆22:280M x y x +--=，点A 、B 在圆M 上，且(0,2)P 为AB 的中点，则直线AB 的方程为_____________．13．若存在x ∈R 使得220x x m ++≤，则m 可取的一个值为_____________．【答案】1（(],1-∞内的任一值均可）【分析】根据题意可知：函数2()2f x x x m =++有零点，则440m ∆=-≥，解之即可，在所得到的范围内任取一个值即可求解.【详解】因为存在x ∈R 使得220x x m ++≤，也即函数2()2f x x x m =++有零点，则有440m ∆=-≥，解得：1m £，所以m 可取(,1]-∞内的任意一个值，取1m =，故答案为：1.（(],1-∞内的任一值均可）14．如果函数()f x 满足对任意s ，(0,)t ∈+∞，有()()()f s t f s f t +<+，则称()f x 为优函数．给出下列四个结论：①()ln(1)(0)g x x x =+>为优函数；②若()f x 为优函数，则(2023)2023(1)f f <；③若()f x 为优函数，则()f x 在(0,)+∞上单调递增；④若()()f x F x x=在(0,)+∞上单调递减，则()f x 为优函数．其中，所有正确结论的序号是______________．三、解答题15．已知函数()sin cosf x A x x x=-的一个零点为π6．(1)求A和函数()f x的最小正周期；(2)当π0,2x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，若()f x m≤恒成立，求实数m的取值范围．16．为调查A ，B 两种同类药物在临床应用中的疗效，药品监管部门收集了只服用药物A 和只服用药物B 的患者的康复时间，经整理得到如下数据：康复时间只服用药物A 只服用药物B 7天内康复360人160人8至14天康复228人200人14天内未康复12人40人假设用频率估计概率，且只服用药物A 和只服用药物B 的患者是否康复相互独立．(1)若一名患者只服用药物A 治疗，估计此人能在14天内康复的概率；(2)从样本中只服用药物A 和只服用药物B 的患者中各随机抽取1人，以X 表示这2人中能在7天内康复的人数，求X 的分布列和数学期望：(3)从只服用药物A 的患者中随机抽取100人，用“100()P k ”表示这100人中恰有k 人在14天内未康复的概率，其中0,1,2,,100k =L ．当100()P k 最大时，写出k 的值．（只需写出结论）数学期望为61360121252525EX =⨯+⨯+⨯=；（3）只服用药物A 的患者中，14天内未康复的概率为12160050=，100100100149()C 5050kkkP k -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0,1,2,,100k =L令100100100100()(1)()(1)P k P k P k P k ≥+⎧⎨≥-⎩，即100199110010010011011100100149149C C 50505050149149C C 50505050k k k kk k k k k kk k -+-+----⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩，解得：515010150k k ⎧≥⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，因为N k ∈，所以2k =.17．如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形，112AB BC AD ===，90BAD ABC ∠=∠=︒，E 是PD 的中点．(1)求证：直线CE ∥平面PAB ；(2)已知，点M 在棱PC 上，且二面角M AB D --的大小为30︒，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求CMCP的值．条件①：平面PAD ⊥平面ABCD ；条件②：PC PD =．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．），）①：平面PAD⊥平面ABCDAD中点O，因为侧面PAD为等边三角形，PO⊥平面ABCD，OC⊥平面AD，点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系则取AD中点O，因为侧面PAD为等边三角形，18．已知函数2()(2)e (1),2x a f x x x a =---∈R ．(1)当2a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；(2)求函数()f x 的单调区间．【答案】(1)3y x =-(2)答案见解析【分析】(1)当2a =时，求出函数()f x 的导函数()f x '，利用导数的几何意义求出0x =处的切线的斜率，利用点斜式求出切线方程；(2)对a 进行分类讨论，由此求得()f x 的单调区间．【详解】（1）当2a =时，2()(2)e (1)x f x x x =---，所以()(1)e 2(1)x f x x x '=---又因为02(0)(02)e (01)=3f =----，0(0)(01)e 2(01)=1k f '==---，所以()f x 在(0(0))f ，处的切线方程为30y x +=-，即3y x =-（2）由题意知，()f x 的定义域为R()(1)e (1)(1)(e )x x f x x a x x a '=---=--①当0a ≤时，e 0x a ->，则当1x <时()0f x '<，当1x >时()0f x '>，所以()f x 在(,1)-∞上单调递减，在()1,∞+上单调递增；②当0a >时，由()0f x '=得=1x 或=ln x a ，（i ）若e a =，则()(1)(e e)0x f x x '=--≥，所以()f x 在R 上单调递增，（ii ）若0<e a <，则ln 1a <，所以当<ln x a 或>1x 时()0f x '>，当ln 1a x <<时()0f x '<，所以()f x 在(ln ,1)a 上单调递减，在(,ln )a -∞和()1,∞+上单调递增，（iii ）若e a >，则ln 1a >，所以当<1x 或>ln x a 时()0f x '>，当1ln x a <<时()0f x '<，所以()f x 在()1,ln a 上单调递减，在(,1)-∞和()ln ,a ∞+上单调递增，综上所述，当0a ≤时，()f x 的单调递减区间是(,1)-∞，单调递增区间是()1,∞+；当0<e a <时，()f x 的单调递减区间是(ln ,1)a ，单调递增区间是(,ln )a -∞和()1,∞+；当e a =时，()f x 的单调递增区间是(),-∞+∞，无单调递减区间；当e a >时，()f x 的单调递减区间是()1,ln a ，单调递增区间是(,1)-∞和()ln ,a ∞+．19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点⎛ ⎝．(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线:(0)l y kx t t =+≠与椭圆C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若以,OA OB 为邻边的平行四边形OAPB 的顶点P 在椭圆C 上，求证：平行四边形OAPB 的面积是定值．20．已知12:,,,n A a a a L 为正整数数列，满足12n a a a ≥≥≥L ．记12n S a a a =+++L ．定义A 的伴随数列{}(11)k T k n ≤≤+如下：①10T =；②1(1)k k k k T T a k n λ+=+≤≤，其中1,0,(1,2,,)1,0k k k T k n T λ≤⎧==⎨->⎩L ．(1)若数列A ：4，3，2，1，直接写出相应的伴随数列{}(15)k T k ≤≤；(2)当2n ≥时，若22S n =-，求证：11n n a a -==；(3)当2n ≥时，若22S n =-，求证：10n T +=．【答案】(1){}0,4,1,1,0-；(2)见解析；(3)见解析.【分析】（1）依题意，可直接写出相应的伴随数列；（2）讨论2n =，3n ≥两种情况，利用反证法即可求解；（3）讨论2n =，3n ≥两种情况，当3n ≥时，由（2）的结论，12,,,n a a a L 中至少有两个1，利用反证法可得1a m ≤，根据{}(11)i T i n ≤≤+的定义即可证明.【详解】（1）因为数列A ：4，3，2，1，12n a a a ≥≥≥L ，所以12344,3,2,1a a a a ====.因为1,0,(1,2,,)1,0k k k T k n T λ≤⎧==⎨->⎩L ，所以10T =，2111104T T a a λ=++==，3222241T T a a λ=-+==，4333311a T T a λ=-+=-=，5444410T T a a λ=-=+=+.故数列A 的伴随数列为{}0,4,1,1,0-.（2）当2n =时，222S n =-=，显然有11n n a a -==；当3n ≥时，只要证明12n n a a -+=.用反证法，假设13n n a a -+≥，则1222n a a a -≥≥≥≥L ，从而()1222321n S a a a n n =+++≥-+=-L ，矛盾.所以12n n a a -+=.再根据12,,,n a a a L 为正整数，可知11n n a a -==.故当2n ≥时，11n n a a -==.（3）当2n =时，222S n =-=，有11n n a a -==，此时30110T =+-=，命题成立；当3n ≥时，由（2）的结论，12,,,n a a a L 中至少有两个1，现假设12,,,n a a a L 中共有()2m m ≥个1，即111,2,n n n m n m a a a a --+-====⎧⎨≥⎩L 则1a m ≤.因为若11a m ≥+，则()1212121n S a a a m n m m n =+++≥++--+=-L ，矛盾.所以1a m ≤.根据{}(11)i T i n ≤≤+的定义可知，21T a m =≤，3120T a a m ≤=-≤，四、双空题21．在ABC V 中，sin cos a B A =，a =2b =，则A =___________，c =_____________．。

专题07 平面向量1．【2022年全国乙卷】已知向量a ⃑=(2,1)，b ⃑⃑=(−2,4)，则|a ⃑−b ⃑⃑|（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】D 【解析】 【分析】先求得a ⃑−b ⃑⃑，然后求得|a ⃑−b ⃑⃑|. 【详解】因为a ⃑−b ⃑⃑=(2,1)−(−2,4)=(4,−3)，所以|a ⃑−b ⃑⃑|=√42+(−3)2=5. 故选：D2．【2022年全国乙卷】已知向量a ⃑,b ⃑⃑满足|a ⃑|=1,|b ⃑⃑|=√3,|a ⃑−2b ⃑⃑|=3，则a ⃑⋅b ⃑⃑=（ ） A ．−2 B ．−1 C ．1 D ．2【答案】C 【解析】 【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可. 【详解】解：∵|a ⃗−2b ⃑⃗|2=|a ⃗|2−4a ⃗⋅b ⃑⃗+4|b ⃑⃗|2， 又∵|a ⃗|=1,|b ⃑⃗|=√3,|a ⃗−2b ⃑⃗|=3, ∴9=1−4a ⃗⋅b ⃑⃗+4×3=13−4a ⃗⋅b ⃑⃗， ∴a ⃗⋅b ⃑⃗=1 故选：C.3．【2022年新高考1卷】在△ABC 中，点D 在边AB 上，BD =2DA ．记CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=m ⃑⃑⃗，CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=n ⃑⃗，则CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=（ ） A ．3m ⃑⃑⃗−2n ⃑⃗ B ．−2m ⃑⃑⃗+3n ⃑⃗C ．3m ⃑⃑⃗+2n ⃑⃗D ．2m ⃑⃑⃗+3n ⃑⃗【答案】B 【解析】【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出． 【详解】因为点D 在边AB 上，BD =2DA ，所以BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2DA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，即CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2(CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)， 所以CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑= 3CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−2CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=3n ⃑⃑−2m ⃑⃑⃑ =−2m ⃑⃑⃗+3n ⃑⃗． 故选：B ．4．【2022年新高考2卷】已知向量a ⃑=(3,4),b ⃑⃑=(1,0),c ⃑=a ⃑+tb ⃑⃑，若<a ⃑,c ⃑>=<b ⃑⃑,c ⃑>，则t =（ ） A ．−6 B ．−5 C ．5 D ．6【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得 【详解】解：c ⃗=(3+t,4),cos 〈a ⃗,c ⃗〉=cos 〈b,c ⃗〉,即9+3t+165|c⃗|=3+t|c ⃗|,解得t =5,故选：C5．【2022年北京】在△ABC 中，AC =3,BC =4,∠C =90°．P 为△ABC 所在平面内的动点，且PC =1，则PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑的取值范围是（ ） A ．[−5,3] B ．[−3,5]C ．[−6,4]D ．[−4,6]【答案】D 【解析】 【分析】依题意建立平面直角坐标系，设P (cosθ,sinθ)，表示出PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得； 【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则C (0,0)，A (3,0)，B (0,4)，因为PC =1，所以P 在以C 为圆心，1为半径的圆上运动， 设P (cosθ,sinθ)，θ∈[0,2π]，所以PA⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(3−cosθ,−sinθ)，PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(−cosθ,4−sinθ)， 所以PA⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(−cosθ)×(3−cosθ)+(4−sinθ)×(−sinθ) =cos 2θ−3cosθ−4sinθ+sin 2θ=1−3cosθ−4sinθ=1−5sin (θ+φ)，其中sinφ=35，cosφ=45，因为−1≤sin (θ+φ)≤1，所以−4≤1−5sin (θ+φ)≤6，即PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑∈[−4,6]； 故选：D6．【2022年全国甲卷】已知向量a ⃑=(m,3),b ⃑⃑=(1,m +1)．若a ⃑⊥b ⃑⃑，则m =______________．【答案】−34##−0.75 【解析】 【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可. 【详解】由题意知：a ⃑⋅b ⃑⃑=m +3(m +1)=0，解得m =−34.故答案为：−34.7．【2022年全国甲卷】设向量a ⃑，b ⃑⃑的夹角的余弦值为13，且|a ⃑|=1，|b ⃑⃑|=3，则(2a ⃑+b ⃑⃑)⋅b ⃑⃑=_________． 【答案】11 【解析】 【分析】设a ⃑与b ⃑⃑的夹角为θ，依题意可得cosθ=13，再根据数量积的定义求出a ⃑⋅b ⃑⃑，最后根据数量积的运算律计算可得． 【详解】解：设a ⃑与b ⃑⃑的夹角为θ，因为a ⃑与b ⃑⃑的夹角的余弦值为13，即cosθ=13， 又|a ⃑|=1，|b ⃑⃑|=3，所以a ⃑⋅b ⃑⃑=|a ⃑|⋅|b ⃑⃑|cosθ=1×3×13=1， 所以(2a ⃑+b ⃑⃑)⋅b ⃑⃑=2a ⃑⋅b ⃑⃑+b ⃑⃑2=2a ⃑⋅b ⃑⃑+|b ⃑⃑|2=2×1+32=11． 故答案为：11．8．【2022年浙江】设点P 在单位圆的内接正八边形A 1A 2⋯A 8的边A 1A 2上，则PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑12+PA 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑2+⋯+PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑82的取值范围是_______． 【答案】[12+2√2,16] 【解析】 【分析】根据正八边形的结构特征，分别以圆心为原点，A 7A 3所在直线为x 轴，A 5A 1所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，即可求出各顶点的坐标，设P(x,y)，再根据平面向量模的坐标计算公式即可得到PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗12+PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗22+⋯+PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗82=8(x 2+y 2)+8，然后利用cos22.5∘≤|OP|≤1即可解出． 【详解】以圆心为原点，A 7A 3所在直线为x 轴，A 5A 1所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示：则A 1(0,1),A 2(√22,√22),A 3(1,0),A 4(√22,−√22),A 5(0,−1),A 6(−√22,−√22),A 7(−1,0),A 8(−√22,√22)，设P(x,y),于是PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗12+PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗22+⋯+PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗82=8(x 2+y 2)+8，因为cos22.5∘≤|OP|≤1，所以1+cos45∘2≤x 2+y 2≤1，故PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗12+PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗22+⋯+PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗82的取值范围是[12+2√2,16].故答案为：[12+2√2,16]．1．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））在直角坐标系xOy 中的三点(),3M m ，()4,N n ，()2,2E -，若向量OM 与ON 在向量OE 方向上的投影相等，则m 与n 的关系为（ ）A ．7m n +=B ．3m n -=C ．m n =D ．m n =-【答案】A 【解析】 【分析】根据向量在向量上的投影的定义列式可求出结果. 【详解】(),3OM m =,(4,)ON n =,(2,2)OE =-,向量OM 在向量OE 方向上的投影为||OM OE OE ⋅==向量ON 在向量OE 方向上的投影为8||ON OE OE ⋅=，=7m n +=. 故选：A.2．（2022·山东潍坊·三模）已知a ，b 是平面内两个不共线的向量，AB a b λ=+，AC a b μ=+，λ，μ∈R ，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是（ ）A ．1λμ-=B ．2λμ+=C ．1λμ=D ．1λμ= 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量共线的充要条件有AB mAC =且R m ∈，即可得答案. 【详解】由A ，B ，C 三点共线的充要条件是AB mAC =且R m ∈，所以1m mμλ=⎧⎨=⎩，故1λμ=.故选：C3．（2022·江苏苏州·模拟预测）在ABC 中，π3A =，点D 在线段AB 上，点E 在线段AC 上，且满足22,2AD DB AE EC ====，CD 交BE 于F ，设AB a =，AC b =，则AF BC ⋅=（ ）A ．65B ．175C ．295D ．325【答案】B 【解析】 【分析】根据平面共线向量的性质，结合平面向量数量积的运算性质、平面向量数量积的定义、平面向量的加法的几何意义进行求解即可. 【详解】设DF DC λ=，EF EB μ=，因为11111()(),33333AF AD DF AB DC AB DA AC AB AB AC AB AC λλλλλ-=+=+=++=+-+=+11111()(),22222AF AE EF AC EB AC EA AB AC AC AB AC AB μμμμμ-=+=+=++=+-+=+所以有21531152λλμμμλ-⎧⎧==⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨-⎪⎪==⎪⎪⎩⎩，因此AF BC ⋅=2212121()()55555+-+=-+-⋅AB AC AB AC AB AC AC AB ，因为π3A =，3AB =，4AC =，所以AF BC ⋅=1211179163455525⋅=-⨯+⨯-⨯⨯⨯=AF BC ，故选：B4．（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心三模（文））若(2,3a =-，(2sin ,2cos)66b ππ=，下列正确的是（ ） A ．//()b a b -B ．()b a b ⊥-C ．a 在b 方向上的投影是12-D ．()a b a b +⊥-（）【答案】C 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示判断A ，根据向量垂直的坐标表示判断BC ，根据向量的投影的定义判断C. 【详解】由已知(2,3a =-，(1,3)b =，所以(((2,3=1,a b -=---，((()2,3=3,0a b+=-+， 因为1(10⨯-≠，所以b ab -，不平行，A 错， 因为(10⨯-≠，所以b a b -，不垂直，B 错，因为a 在b 方向上的投影为2211cos ,=21a b a a b b ⋅⨯-==-+，C 对，因为(13+00⨯-⨯≠，所以a b a b +-，不垂直，D 错， 故选：C.5．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（理））若向量a ，b 满足1a =，2b =，()235a a b ⋅+=，则a 与b 的夹角为（ ）A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 【答案】B 【解析】 【分析】根据数量积的运算律得到a b ⋅，再根据cos a b a bθ⋅=⋅计算可得；【详解】解：因为1a =，2b =，()235a a b ⋅+=，所以2235a a b +⋅=，即2235a a b +⋅=，所以1a b ⋅=，设a 与b 的夹角为θ， 则1cos 2a b a bθ⋅==⋅，因为[]0,θπ∈，所以3πθ=； 故选：B6．（2022·北京·潞河中学三模）已知菱形ABCD 的边长为,60a ABC ∠=，则DB CD ⋅=（ ） A ．232a -B ．234a -C ．234aD ．232a【答案】A 【解析】 【分析】将,DB CD 分别用,BA BC 表示，再根据数量积的运算律即可得出答案. 【详解】解：,DB DA AB BC BA CD BA =+=--=，则()22221322DB CD BC BA BA BC BA BA a a a ⋅=--⋅=-⋅-=--=-.故选：A.7．（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）已知向量(,3)a m =，(1,)b m =，若a 与b 反向共线，则3a b -的值为（ ）A ．0B ．48C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】由向量反向共线求得m =3a b -. 【详解】由题意23m =，得m =又a 与b 反向共线，故m =3(23,6)a b -=-， 故3=43a b -. 故选：C.8．（2022·山东淄博·三模）如图在ABC 中，90ABC ∠=︒，F 为AB 中点，3CE =，8CB =，12AB =，则EA EB ⋅=（ ）A ．15-B ．13-C ．13D ．15【答案】C 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法求出平面向量的数量积； 【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系， 则(12,0)A ，(0,0)B ，(0,8)C ，(6,0)F ， 又3CE =，8CB =，12AB =，则10CF ， 即310CE FC =，即710FE FC =， 则()()9286,67710100,8,55BE BF FC ⎛⎫=+=+-= ⎪⎝⎭， 则,552851EA ⎛⎫=-⎪⎝⎭，928,55EB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 则25281355951EA EB ⎛⎫⎛⎫⋅=⨯-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；故选：C ．9．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为三角形的欧拉线，设点,,O G H 分别为任意ABC 的外心､重心､垂心，则下列各式一定正确的是（ ）A ．12OG OH =B ．23OH GH =C ．23AO AHAG +=D ．23BO BHBG +=【答案】D 【解析】 【分析】根据三点共线和长度关系可知AB 正误；利用向量的线性运算可表示出,AG BG ，知CD 正误. 【详解】,,O G H 依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，12OG GH ∴=，13OG OH ∴=，32OH GH =，A 错误，B 错误；()112333AO AHAG AO OG AO OH AO AH AO +=+=+=+-=，C 错误； ()112333BO BHBG BO OG BO OH BO BH BO +=+=+=+-=，D 正确. 故选：D.10．（2022·江苏·南京外国语学校模拟预测）已知,,OA OB OC 均为单位向量，且满足102OA OB OC ++=，则AB AC ⋅的值为（ ） A ．38B ．58C ．78D ．198【答案】B 【解析】 【分析】通过向量的线性运算进行化简求值即可. 【详解】()2,32AO OB OC AB OB OC =+=+，同理23AC OB OC =+()()2274(),,32238AO OB OC OB OC AB AC OB OC OB OC =+∴⋅=-⋅=++2291566136688OB OC OB OC =++⋅=+-=． 故选：B.11．（2022·辽宁沈阳·三模）已知椭圆()22:40C x y m m +=>的两个焦点分别为12,F F ，点P是椭圆上一点，若12PF PF ⋅的最小值为1-，则12PF PF ⋅的最大值为（ ） A ．4 B ．2C ．14D ．12【答案】D 【解析】 【分析】设00(,)P x y ，求出焦点坐标，利用向量的坐标运算得出12PF PF ⋅，再根据椭圆的范围利用二次函数求最值即可得解. 【详解】设00(,)P x y ，由()22:40C x y m m +=>可知1(F ，2F ，100(,)PF x y ∴=---，0023(,)2PF x y =--， 22222012000033311(4)44442x m m PF PF x y x m x m ∴⋅=-++=-++-=-，0m x -≤≤00x ∴=时，12PF PF ⋅的最小值为112m -=-，解得2m =.当0x =12PF PF ⋅的最大值为312142⨯-=.故选：D12．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（理））非零向量,a b 满足2a b a b a +=-=，则a b -与a 的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出a b ⋅，再利用向量夹角公式计算作答. 【详解】由a b a b +=-得：22()()a b a b +=-，即222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+，解得0a b ⋅=，因此，22()1cos ,2||||2||a b a a a b a b a a b a a -⋅-⋅〈-〉===-，而,[0,π]a b a 〈-〉∈，解得π,3a b a 〈-〉=，所以a b -与a 的夹角为3π. 故选：B13．（2022·浙江省江山中学模拟预测）在ABC 中，E ，F 分别为,AC BC 的中点，点D 是线段AF （不含端点）内的任意一点，AD mAB nAE =+，则（ ） A ．(0,1)m ∈ B ．(0,2)n ∈ C ．2n m = D ．1m n +=【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的线性运算的定义和平面向量基本定理确定,m n 的关系和范围. 【详解】因为点D 是线段AF （不含端点）内的任意一点， 所以可设(01)AD AF λλ=<<， 因为E ，F 分别为,AC BC 的中点，所以11112222AF AB BF AB BC AB AC AB AE =+=+=+=+，所以2AD AB AE λλ=+，又AD mAB nAE =+，所以10,22m λ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，()0,1n λ=∈，2n m =，32m n λ+=， 所以A ，B ，D 错误，C 正确， 故选：C.14．（2022·安徽·合肥一中模拟预测（文））已知向量(1,0)a =，(1,1)b =，向量a b 与a 垂直，则实数λ的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．1- D ．1【答案】C 【解析】 【分析】由题得()0λ+⋅=a b a 化简即得解. 【详解】 因为ab 与a 垂直，所以()20,0λλ+⋅=∴+⋅=a b a a a b ， 所以1+(10)0,1λλ⨯+=∴=-. 故选：C.15．（2022·海南华侨中学模拟预测）已知不共线的平面向量,,a b c 两两所成的角相等，且1,4,7a b a b c ==++=，则c =（ ）A B ．2 C ．3 D ．2或3【答案】D 【解析】 【分析】 先求出23πθ=，转化2()7a b c a b c ++=++=，列方程即可求出. 【详解】由不共线的平面向量a ，b ，c 两两所成的角相等，可设为θ，则23πθ=.设|c |=m. 因为147a b a b c ==++=，，，所以27a b c ++=， 即2222227a a b b b c a c c +⋅++⋅+⋅+=，所以2222221214cos424cos 21cos 7333m m m πππ+⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+= 即2560m m -+=，解得：2m =或3. 所以|c |=2或3 故选：D16．（2022·贵州贵阳·模拟预测（理））已知()1,2a =，()2,1b =-，()1,c λ=，且()c a b ⊥+，则λ=______． 【答案】3- 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示计算可得． 【详解】由题意()()3,1a b +=，又()c a b ⊥+，则()()()1,3,130c a b λλ⋅+=⋅=+=，故3λ=-． 故答案为：3-．17．（2022·河北·沧县中学模拟预测）已知向量,a b 的夹角为23π，4a =，3b =，则a b +=___________．【解析】 【分析】根据2222a b a a b b +=+⋅+求解即可. 【详解】 21cos43632a b a b π⎛⎫⋅==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭， 则()222222426313a b a a b b +=+⋅+=+⨯-+=， 则13a b +=．18．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（文））已知向量||1b =，向量(1,3)a =，且|2|6a b -=，则向量,a b 的夹角为___________.【答案】2π##90 【解析】 【分析】由|2|6a b -=两边平方，结合数量积的定义和性质化简可求向量,a b 的夹角 【详解】因为(1,3)a =，所以(21+a =因为|2|6a b -=，所以2222+26a ab b -=，又||1b =，所以426b -⋅+=，所以0a b ⋅=， 向量,a b 的夹角为θ,则cos 0a b θ⋅= 所以cos 0θ=，则2πθ=.故答案为：2π. 19．（2022·陕西·交大附中模拟预测（理））已知在平行四边形ABCD 中，11,,2,622DE EC BF FC AE AF ====AC DB ⋅值为__________． 【答案】94##2.25【解析】 【分析】由向量加法的几何意义及数量积运算律有22D AC DB C CB ⋅=-，再由1313AE BC DC AF DC BC⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩结合数量积运算律，即可得结果. 【详解】由题设可得如下图：,AC AD DC DB DC CB =+=+，而AD CB =-，所以22D AC DB C CB ⋅=-， 又11,,2,622DE EC BF FC AE AF ==== 所以1313AE AD DE BC DC AF AB BF DC BC ⎧=+=+⎪⎪⎨⎪=+=+⎪⎩，则22222143921639BC BC DC DC DC BC DC BC ⎧+⋅+=⎪⎪⎨⎪+⋅+=⎪⎩，故228()29DC BC -=，可得2294DC BC -=，即94AC DB =⋅. 故答案为：9420．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）设,a b 为不共线的向量，满足,342(,R)c a b λμλμλμ=++=∈，且c a c b c --==，若3a b -=，则()22()⋅⋅-a ba b 的最大值为________． 【答案】324【解析】 【分析】采用建系法，令,,a OA b OB c OC ===，将各个点用坐标表示，然后表达出OAB 面积的最大值，进而求得()22()⋅⋅-a b a b 的最大值；【详解】令,,a OA b OB c OC ===，又因为c a c b c --==， 即==OC CA CB ，则点C 为OAB 的外心，因为3-==a b AB ， 设33,0,,0,(0,)22⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B AC m ，不妨取0m >则点()00,O x y 在圆2229:()4+-=+C x y m m 上， 由OC OA OB λμ=+，代入坐标，()00000033,,,22λμ⎛⎫⎛⎫---=--+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x m y x y x y ，解得003(),211-+=⋅-=----mx y m μλμλλμλμ，联立342+=u λ和2229:()4+-=+C x y m m ，解得12λ⎫<⎪⎭m，故0()1μλλμ+=+--m y m622λ=≤-+ ⎪⎝⎭，1λ=-时取“=”. 故01||92=⋅≤OABSAB y ，于是 ()22222max max(||||)()||||1cos a b a b OA OB AOB ⎡⎤⎡⎤⋅-⋅=⋅⋅-∠⎣⎦⎣⎦ ()2222maxmax||||sin 4324OAB OA OB AOB S ⎡⎤=⋅⋅∠==⎣⎦△.故答案为：324 【点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．。

2023年北京市海淀区高三一模考试数学试卷1. 已知集合，则( )A. B. C.D.2. 若，其中i 是虚数单位，则( )A.B. 1C.D. 33. 在等差数列中，，，则( )A. 9B. 11C. 13D. 154. 已知抛物线的焦点为F ，点P 在该抛物线上，且P 的横坐标为4，则( )A. 2B. 3C. 4D. 55. 若，则( )A.B. 1C. 15D. 166. 已知直线与圆交于A ，B 两点，且为等边三角形，则m 的值为( )A. B. C.D.7.在中，，的平分线交BC 于点若，则( )A.B.C. 2D. 38. 已知二次函数，对任意的，有，则的图象可能是( )A.B. C. D.9. 已知等比数列的公比为q 且，记、则“且”是“为递增数列”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10. 刘老师沿着某公园的环形道周长大于按逆时针方向跑步，他从起点出发、并用软件记录了运动轨迹，他每跑1km ，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．已知刘老师共跑了11km，恰好回到起点，前5km的记录数据如图所示，则刘老师总共跑的圈数为( )A. 7B. 8C. 9D. 1011. 不等式的解集为_________.12. 已知双曲线的渐近线方程为，则它的离心率为________.13. 已知函数若在区间上单调递减，则的一个取值可以为_________.14. 设函数①当时，_________；②若恰有2个零点，则a的取值范围是_________.15. 在中，，D是边AC的中点，E是边AB上的动点不与A，B重合，过点E作AC的平行线交BC于点F，将沿EF折起，点B折起后的位置记为点P，得到四棱锥如图所示．给出下列四个结论：①平面PEF；②不可能为等腰三角形；③存在点E，P，使得；④当四棱锥的体积最大时，其中所有正确结论的序号是_________.16. 如图，直三棱柱中，，，，D是的中点．证明：平面BCD；求直线CD与平面所成角的正弦值．17. 在中，求；若的面积为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求a的值．条件①：；条件②：；条件③：注：如果选择的条件不符合要求，第问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．18. 网购生鲜蔬菜成为很多家庭日常消费的新选择．某小区物业对本小区三月份参与网购生鲜蔬菜的家庭的网购次数进行调查，从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取10户，分别记为A组和B组，这20户家庭三月份网购生鲜蔬菜的次数如下图：假设用频率估计概率，且各户网购生鲜蔬菜的情况互不影响从一单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中随机抽取1户，估计该户三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的概率；从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取1户，记这两户中三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数为X，估计X的数学期望；从A组和B组中分别随机抽取2户家庭，记为A组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，为B组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，比较方差与的大小．结论不要求证明19. 已知椭圆：的左、右顶点分别为，上、下顶点分别为，，四边形的周长为求椭圆E的方程；设斜率为k的直线l与x轴交于点P，与椭圆E交于不同的两点M，N，点M关于y轴的对称点为、直线与y轴交于点若的面积为2，求k的值．20. 已知函数当时，求曲线在点处的切线方程；求的单调区间；若存在，使得，求a的取值范围．21. 已知数列给出两个性质：①对于中任意两项，在中都存在一项，使得；②对于中任意连续三项，均有分别判断以下两个数列是否满足性质①，并说明理由：有穷数列：；无穷数列：若有穷数列满足性质①和性质②，且各项互不相等，求项数m的最大值；若数列满足性质①和性质②，且，求的通项公式．答案和解析1.【答案】A【解析】解：因为集合，所以故选：分析：求交集可得答案.2.【答案】B【解析】解：由题设，故，，所以故选：B分析：利用复数乘法及相等求a，b，即可得结果.3.【答案】C【解析】解：设等差数列的公差为d，则，则故选：分析：设等差数列的公差为d，求出2d的值，即可得出，即可得解.4.【答案】D【解析】解：抛物线的准线方程为，因为点P在抛物线上，P的横坐标为4，抛物线的焦点为F，所以等于点P到直线的距离，所以，故选：分析：直接根据抛物线焦半径公式计算得到答案.5.【答案】C【解析】解：因为，令得，，令得，，所以，故选：分析：利用赋值法结合条件即得.6.【答案】D【解析】解：圆的圆心为，半径，若直线与圆O交于A，B两点，且为等边三角形，则圆心O到直线的距离，又由点到直线的距离公式可得，解得，故选：分析：根据圆的方程求出圆心坐标以及半径，由等边三角形的性质可得到圆心到直线的距离d，结合点到直线的距离公式列出方程求出m的值即可.7.【答案】B【解析】解：设，因为，，所以，又AD是的平分线，所以，，，又，所以，，所以故选：分析：设，由角平分线定理求得，然后由向量的线性运算可用，表示出，从而求得，，得出结论.8.【答案】A【解析】解：因为对任意的，有，令，则，所以，排除C，即，设二次函数，所以，，由可得，则，所以任意的恒成立，则，，故排除故选：分析：令中，则，排除C，又由可得，任意的恒成立，则，，排除B ，即可得出答案.9.【答案】B【解析】解：由题设且，要为递增数列，只需在上恒成立，当，不论取何值，总存在，不满足要求;当，，则，不满足要求;，总存在，不满足要求;当，，则，不满足;，若，，显然，即，不满足;，则在上恒成立，满足.所以为递增数列有且综上，“且”是“为递增数列”的必要不充分条件.故选：B分析：由等比数列及已知，要为递增数列只需在上恒成立，讨论、，，结合的符号，再根据充分必要性的定义即可得答案.10.【答案】B【解析】解：设公园的环形道的周长为t ，刘老师总共跑的圈数为x ，，则由题意，所以，所以，因为，所以，又，所以，即刘老师总共跑的圈数为故选：B分析：利用环形道的周长与里程数的关系建立不等关系求出周长的范围，再结合跑回原点的长度建立方程，即可求解.11.【答案】或【解析】解：根据分式不等式解法可知等价于，由一元二次不等式解法可得或所以不等式的解集为或故答案为：或分析：将分式不等式转化成整式不等式，再利用一元二次不等式解法即可求得结果.12.【答案】2【解析】解：由题意，得13.【答案】不唯一【解析】解：由，因为在区间上单调递减，且，所以有，因此的一个取值可以为，故答案为：分析：根据正弦型函数的单调性进行求解即可.14.【答案】【解析】解：当时，所以，所以，令，可得当时，，所以或，当或时，方程在上有唯一解，当或时，方程在上的解为或，当时，，所以当时，，当时，方程在上无解，综上，当时，函数有两个零点，，当时，函数有两个零点，1，当时，函数有三个零点，，，当时，函数有两个零点，，因为恰有2个零点，所以或，所以a的取值范围是故答案为：分析：由分段函数解析式先求，再求的值，结合零点的定义分段求零点，由条件求a 的取值范围.15.【答案】①③【解析】解：①因为，平面PEF，平面PEF，所以平面PEF，故①正确;②因为是等腰直角三角形，所以PEF也是等腰直角三角形，则，因为，，所以，且当时，≌，所以，此时是等腰三角形，故②错误;③因为，且，，且平面PCF，平面PCF，所以平面PCF，平面ABC，所以平面平面PEF，且平面平面，如图，过点P作，连结DM，则平面ABC，平面ABC，所以，若，，平面PDM，平面PDM，所以平面PDM，平面PDM，所以，如图，，延长MD，交AB于点N，则和都是等腰直角三角形，则，点N到直线AC的距离等于，这样在翻折过程中，若能构成四棱锥，则，设，则，则，则存在点E，P，使得，故③正确;④当底面ACFE的面积一定时，平面平面PEF时，即平面ABC时，四棱锥的体积最大，设，，，得舍或，当，，函数单调递增，当，，函数单调递减，所以当时，函数取得最大值，此时，故④错误;故答案为：①③分析：根据线面平行的判断定理，判断①证明≌，即可判断②利用垂直关系转化，结合反证法，即可判断③表示四棱锥的体积后，利用导数计算最值，即可判断④点睛：思路点睛：本题考查几何体的线线，线面位置关系，以及动点问题，和导数相联系的最值问题，本题的关键是第三问，需在变化过程中找到位置关系，建立不等式，即可判断.16.【答案】解：证明：在直三棱柱中，平面ABC，且，以点C为坐标原点，CA、CB、所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则点、、、，、、，所以，，，则，，又因为，CB、平面BCD，因此，平面解：设平面的法向量为，，则，取，可得，所以，，，因此，CD与平面所成角的正弦值为【解析】分析：以点C为坐标原点，CA、CB、所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明出，，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立;利用空间向量法可求得直线CD与平面所成角的正弦值.17.【答案】解：因为，由正弦定理得，，又，所以，得到，又，所以，又，所以，得到，所以选条件①由知，，根据正弦定理知，，即，所以角C有锐角或钝角两种情况，存在，但不唯一，故不选此条件.选条件②因为，所以，又，得到，代入，得到，解得，所以，由余弦定理得，，所以选条件③因为，所以，由，得到，又，由知，所以又由正弦定理得，，得到，代入，得到，解得，所以，由余弦定理得，，所以【解析】分析：利用正弦定理：边转角，再利用正弦的二倍角公式，即可求出结果;条件①，由，角C可以是锐角或钝角，不满足题设中的条件，故不选①条件②，利用条件建立，边b与c的方程组，求出b与c，再利用余弦定理，即可求出结果;条件③，利用正弦定理，先把角转边，再结合条件建立，边b与c的方程组，求出b与c，再利用余弦定理，即可求出结果;18.【答案】解：设“该户三月份网购生鲜蔬菜次数大于20”为事件C，在A组10户中超过20次的有3户，由样本频率估计总体概率，则由样本频率估计总体概率，一单元参与网购家庭随机抽取1户的网购生鲜蔬菜次数超过20次概率为，二单元参与网购家庭随机抽取1户的网购生鲜蔬菜次数超过20次概率为，X的可能取值为0，1，2，所以，，，，依题可知，，的可能取值为0，1，2，且，服从超几何分布，，，，，，，因为，，所以，，，所以，【解析】分析：根据古典概型的概率公式即可求出;由题可知，X的可能取值为0，1，2，再分别求出对应的概率，由期望公式即可求出;根据方差公式计算可知，19.【答案】解：由，得，即，由四边形的周长为，得，即，所以椭圆的方程为设直线l的方程为，，，则，，联立方程组，消去y得，，，得，，，直线MN的方程为，令，得，又因为，所以，的面积，得，经检验符合题意，所以k的值为【解析】分析：由短轴长，即四边形的周长得a，b的值，得椭圆的方程;设直线l的方程为，由题，，与椭圆联立方程，得，，表示出的面积，解得k的值.20.【答案】解：当时，，则，得，，所以曲线在点处的切线方程为由，则，当时，恒成立，此时在R上单调递减;当时，令，解得，此时与的变化情况如下：x-0+↘极小值↗由上表可知，的减区间为，增区间为，综上，当时，的减区间为，无增区间;当时，的减区间为，增区间为将在区间上的最大值记为，最小值记为，因为存在，，使得，所以，使得成立，即或，当时，，若，使得成立，只需，由可知在区间上单调或先减后增，故为与中的较大者，所以只需当或即可满足题意，即只需或，解得或，综上所述，a的取值范围是【解析】分析：当时，求出函数的导数，求出曲线在点处切线的斜率，然后求解切线的方程即可;先求出函数的导数，分和两种情况讨论即可得到单调区间;将题中条件转化为若，使得成立，再结合函数放缩得到若，使得成立，再根据中的单调情况可知为与中的较大者，从而得到当或即可满足题意，进而求解即可.点睛：关键点点睛：函数不等式恒成立问题，要进行适当转化.解答小问的关键在于转化为若，使得成立，再结合函数放缩得到若，使得成立，再根据中的单调情况求解即可得到a的取值范围.21.【答案】解：不满足.令，则不是数列n中的项，故有穷数列不满足性质①满足.对于任意，，有，由于，令即可，故无穷数列满足性质①对于有穷数列，记其非零项中绝对值最大的一项为，绝对值最小的一项为，故令时，存在一项，又是数列非零项中绝对值最大的，所以，即再令时，存在一项，又是数列非零项中绝对值最小的，所以，即，又，所以数列所有非零项的绝对值均为1，又数列的各项均不相等，所以其至多有0，，1共3项，所以，构造数列，，1，其任意两项乘积均为0，，1之一，满足性质①其连续三项满足，满足性质②又其各项均不相等，所以该数列满足条件，此时，综上，m的最大值为首先证明：当，时，数列满足，且，，2，因为对于任意数列的连续三项，，，总有，即或，不论是哪种情形，均有当时，，即当时，，亦有，又，故性质得证.考虑，，三项，有或，若，则，此时令，有，由性质知不存在k 使得，且，故只有，此时，因为，所以令时，，由性质知，只有或，当时，，，此时令，，，但，即，由性质知不存在k 使得，所以，即，从而，经验证，数列满足条件，下面证这是唯一满足条件的数列，假设是第一个不满足上述通项公式的项，，当，时，只能为，令，，则，但，由性质，不存在k 使得，当，时，只能为，则，令，，则，但，由性质，不存在k使得，故不存在不满足上述通项公式的项，综上，数列的通项公式为【解析】分析：令，代入求解即可判断对于任意，，直接相乘得到即可判断;对于有穷数列，记其非零项中绝对值最大的一项为，绝对值最小的一项为，令时，得到再令时，得到，从而得到数列至多有0，，1共3项，再构造数列，，1，证明其满足性质①和性质②，进而即可求得项数m的最大值;首先证明：当，时，数列满足，且，，2，，再考虑，，三项，结合性质得到，从而，最后经验证，数列满足条件，再通过反证法证明这是唯一满足条件的数列即可.点睛：与数列的新定义有关的问题的求解策略：①通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；②遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决．。

2020北京各区一模数学试题分类汇编—平面向量1.（2020海淀一模）已知非零向量a b ， 满足a a b ，则1()2a b b -⋅=__. 2.（2020西城一模）若向量()()221a x b x ==，，，满足3a b ⋅<，则实数x 的取值范围是____________.3.（2020西城一模）设,a b 为非零向量，则“a b a b +=+”是“a 与b 共线”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.（2020东城一模）设向量a ，b 不平行，向量a b λ+与2a b +平行，则实数λ=_________．（2020丰台一模）已知向量(),2a x =，()2,1b =-，满足//a b ，则x =（ ）A. 1B. 1-C. 4D. 4-（2020朝阳区一模）如图，在ABC 中，点D ，E 满足2BC BD =，3CA CE =.若DE x AB y AC =+(,)x y R ∈，则x y +=（ ）A. 12-B. 13- C. 12 D. 13（2020石景山一模）已知向量1,22BA ⎛= ⎝⎭，31,22BC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，则ABC ∠=______.（2020怀柔一模）在ABC ∆中，60ABC ∠=，22BC AB ==，E 为AC 的中点，则AB BE ⋅=___________.（2020怀柔一模）已知1a =，则“()a a b ⊥+”是“1a b ⋅=-”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件（2020密云一模）已知平面向量()4,2a →=，(),3b x →=，//a b →→，则实数x 的值等于（ ）A. 6B. 1C. 32D. 32-（2020顺义区一模）设非零向量a ，b 满足()2a b a -⊥，则“a b =”是“a 与b 的夹角为3π”的（ ） A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件（2020延庆一模）已知向量()()1,,,2,a k b k ==若a 与b 方向相同，则k 等于( )A. 1B.C.D.。

2023年北京市朝阳区高三一模考试数学试卷1. 已知集合，集合，则( )A. B. C. D.2. 若，则( )A. B. C. D.3. 设，若，则( )A. 5B. 6C. 7D. 84. 已知点，若直线上存在点P，使得，则实数k 的取值范围是( )A. B.C. D.5. 已知函数，则“”是“”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 过双曲线的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为若为坐标原点，则该双曲线的离心率为( )A. B. C. 2 D. 或27.在长方体中，与平面相交于点M，则下列结论一定成立的是( )A. B. C. D.8. 声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到的声音多为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的是( )A. 的一个周期为B. 的最大值为C. 的图象关于直线对称D. 在区间上有3个零点9. 如图，圆M为的外接圆，，，N为边BC的中点，则( )A. 5B. 10C. 13D. 2610. 已知项数为的等差数列满足，若，则k的最大值是( )A. 14B. 15C. 16D. 1711. 若复数，则________.12. 函数的值域为________.13. 经过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于A，B两点，若，则为坐标原点的面积为______.14. 在中，，，若，则________；当________写出一个可能的值时，满足条件的有两个．15. 某军区红、蓝两方进行战斗演习，假设双方兵力战斗单位数随时间的变化遵循兰彻斯特模型：，其中正实数，分别为红、蓝两方初始兵力，t为战斗时间；，分别为红、蓝两方t时刻的兵力;正实数a，b分别为红方对蓝方、蓝方对红方的战斗效果系数；和分别为双曲余弦函数和双曲正弦函数．规定当红、蓝两方任何一方兵力为0时战斗演习结束，另一方获得战斗演习胜利，并记战斗持续时长为给出下列四个结论：①若且，则；②若且，则；③若，则红方获得战斗演习胜利；④若，则红方获得战斗演习生利．其中所有正确结论的序号是________.16. 如图，在三棱柱中，平面ABC，D，E分别为AC，的中点，，求证：平面BDE；求直线DE与平面ABE所成角的正弦值；求点D到平面ABE的距离．17. 设函数，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得存在．求函数的解析式；求在区间上的最大值和最小值．条件①：；条件②：的最大值为；条件③：的图象的相邻两条对称轴之间的距离为注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组条件分别解答，按第一组解答计分．18. 某地区组织所有高一学生参加了“科技的力量”主题知识竟答活动，根据答题得分情况评选出一二三等奖若干，为了解不同性别学生的获奖情况，从该地区随机抽取了500名参加活动的高一学生，获奖情况统计结果如下：获奖人数性别人数一等奖二等奖三等奖男生200101515女生300252540假设所有学生的获奖情况相互独立．分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名，求抽到的2名学生都获一等奖的概率；用频率估计概率，从该地区高一男生中随机抽取1名，从该地区高一女生中随机抽取1名，以X表示这2名学生中获奖的人数，求X的分布列和数学期望EX；用频率估计概率，从该地区高一学生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为；从该地区高一男生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为；从该地区高一女生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为，试比较与的大小．结论不要求证明19. 已知函数求的单调区间；若对恒成立，求a的取值范围；证明：若在区间上存在唯一零点，则20. 已知椭圆经过点求椭圆E的方程及离心率；设椭圆E的左顶点为A，直线与E相交于M，N两点，直线AM与直线相交于点问：直线NQ是否经过x轴上的定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，说明理由．21. 已知有穷数列满足给定正整数m，若存在正整数s，，使得对任意的，都有，则称数列A是连续等项数列．判断数列，1，0，1，0，1，是否为连续等项数列？是否为连续等项数列？说明理由；若项数为N的任意数列A都是连续等项数列，求N的最小值；与数列都是连续等项数列，且，求的值．答案和解析1.【答案】C【解析】略2.【答案】A【解析】略3.【答案】A【解析】略4.【答案】D【解析】略5.【答案】C【解析】略6.【答案】B【解析】略7.【答案】C【解析】略8.【答案】D【解析】略9.【答案】C【解析】略10.【答案】B【解析】略11.【答案】【解析】略12.【答案】【解析】略13.【答案】2【解析】略14.【答案】答案不唯一【解析】略15.【答案】①②④【解析】略16.【答案】解：在三棱柱中，因为平面ABC，所以又D，E分别为AC，的中点，则，所以因为，所以又，所以平面由知，，又平面ABC，所以平面因为平面ABC，所以所以DA，DB，DE两两垂直.如图建立空间直角坐标系，则，，，所以，，设平面ABE的一个法向量为，则即令，则，于是设直线DE与平面ABE所成角为，则，所以直线DE与平面ABE所成角的正弦值为因为直线DE与平面ABE所成角的正弦值为，所以点D到平面ABE的距离为【解析】略17.【答案】解：选条件②③其中，根据条件②可知，函数的最大值为又，所以根据条件③可知，函数的最小正周期为，所以所以由，得，则，所以当，即时，取得最小值，最小值为当，即时，取得最大值，最大值为【解析】略18.【答案】解：设事件A为“分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名，抽到的2名学生都获一等奖”，则随机变量X的所有可能取值为0，1，记事件B为“从该地区高一男生中随机抽取1名，该学生获奖”，事件C为“从该地区高一女生中随机抽取1名，该学生获奖”.由题设知，事件B，C相互独立，且估计为，估计为所以，，所以X的分布列为X012P故X的数学期望【解析】略19.【答案】解：因为，所以①若，则，所以在区间上单调递增.②若，令，得当时，，所以在区间上单调递减;当时，，所以在区间上单调递增.综上，当时，的单调递增区间为当时，的单调递减区间为，单调递增区间为①若，当时，，，则在区间上单调递增.所以所以符合题意.②若，则由可知在区间上单调递减，所以当时，综上，a的取值范围为若在区间上存在唯一零点，则，且即欲证：只需证：只需证：，即证：由知，在区间上恒成立，所以在区间上恒成立.所以所以【解析】略20.【答案】解：因为椭圆过点所以，得所以椭圆E的方程为因为，，所以所以椭圆的离心率直线NQ过定点理由如下：由得显然，设，，则，直线AM的方程为令，得，则所以直线NQ的斜率为，且所以直线NQ的方程为令，则所以直线NQ过定点【解析】略21.【答案】解：数列A是连续等项数列，不是连续等项数列.理由如下：因为，所以A是连续等项数列.因为，，，为，1，0，，，，为1，0，1，，，，为0，1，0，，，，为1，0，1，，所以不存在正整数s，，使得所以A不是连续等项数列.设集合，则S中的元素个数为因为在数列A中，，所以若，则所以在，，，，这个有序数对中，至少有两个有序数对相同，即存在正整数s，，使得，所以当项数时，数列A一定是连续等项数列.若，数列0，0，1不是连续等项数列.若，数列0，0，1，1不是连续等项数列.若，数列0，0，1，1，0不是连续等项数列.若，数列0，0，1，1，0，不是连续等项数列.若，数列0，0，1，1，0，，1不是连续等项数列.若，数列0，0，1，1，0，，1，不是2一连续等项数列.若，数列0，0，1，1，0，，1，，不是连续等项数列.若，数列0，0，1，1，0，，1，，，0不是连续等项数列.所以N的最小值为所以存在两两不等的正整数i，j，使得，，，，，，，，，，，下面用反证法证明假设，因为，，，，所以，，，中至少有两个数相等.不妨设，则，，，，所以A是连续等项数列，与题设矛盾.所以所以【解析】略。

2019北京高三一模数学---平面向量分类汇编1.2019东城一模理（12）已知向量=a ，向量b 为单位向量，且1⋅=a b ，则2-b a 与2b 夹角为 .2.2019西城一模理3.2019海淀一模理(11)已知向量a =（1，-2），同时满足条件①a ∥b ，②a b a +<的一个向量b 的坐标为4.2019朝阳一模理14．在平面内，点A 是定点，动点C B ,满足||||1AB AC ==，0AB AC ⋅=，则集合{=+,12}|P AP AB AC λλ≤≤所表示的区域的面积是 ．5.2019丰台一模理9．已知平面向量(13)=-，a ，(2,)m =-b ，且∥a b ，那么m =____． 12．若ABC △的面积为3A π=，则AB AC =____． 6.2019石景山一模理6. 已知平面向量(,2),(1,),a k b k k ==∈R ，则k =a 与b 同向的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 7.2019怀柔一模理7．已知是两个非零向量，则“”是“且”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8.2019延庆一模理11. 如右图，正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AB AC AE λμ=+，则λμ+的值为_____.9.2019平谷一模理6.设a 、b 是非零向量，则“|a −b |=|a |+|b |”是a ∥b 的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 14. 如图，在菱形ABCD 中，∠B=π3，AB=4（1）若P 为BC 的中点，则PA ̅̅̅̅□PB ̅̅̅̅=a b ,=a b =a b a b̅̅̅̅+PB̅̅̅̅|的最小值为（2）点P在线段BC上运动，则|PA。

【解析分类汇编系列五：北京2013高三（一模）文数】4：平面向量1．（2013届北京市朝阳区一模数学文）已知向量()()3,4,6,3OA OB =-=-u u u r u u u r，()2,1OC m m =+u u u r.若//AB OC u u u r u u u r ，则实数m 的值为 A ．15 B ．3- C ．35- D ．17- B(3,1)AB OB OA =-=u u u r u u u r u u u r,因为//AB OC u u u r u u u r ，所以3(1)20m m +-=，解得3m =-，选B.2．（2013届北京东城区一模数学文科）已知ABCD 为平行四边形,若向量AB =u u u r a ,AC =u u u rb ,则向量BC u u u r为（ ）A ．-a bB ．a +bC ．-b aD ．--a bC因为=BC AC AB -u u u r u u u r u u u r ，所以=BC b a -u u u r r r，选C.3．（2013届房山区一模文科数学）在正三角形ABC 中,3AB =,D 是BC 上一点,且3BC BD =u u u r u u u r,则B A AD ⋅=u u u r u u u r（ ） A ．152B ．92C ．9D ．6A 因为3BC BD=u u u r u u u r ，所以13BD BC=u u u r u u u r。

所以2221115B B ()33cos120332A AD A AB BD AB AB BC ⋅=⋅+=+⋅=+⨯=o u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，选A.4．（2013届北京市延庆县一模数学文）已知1||=a ρ,2||=b ρ,向量a ρ与b ρ的夹角为ο60,则=+||b a ρρ______.因为a ρ与b ρ的夹角为ο60，所以1cos601212a b a b ⋅=⋅=⨯⨯=o r r r r 。

4.（2012年海淀一模理4）已知向量=(1)=(1)x x ，a b ，，-，若2-a b 与b 垂直，则=a （ C ）A B ．2 D ．47．（2012年东城一模理7））在直角梯形ABCD 中，已知BC ∥AD ，AB AD ⊥，4AB =，2BC =，4AD =，若P 为CD 的中点，则PA PB ⋅的值为（ D ）A ．5-B ．4-C ．4D ．54．（2012年丰台一模理4）已知向量(sin ,cos )a θθ=，(3,4)b =，若a b ⊥，则tan 2θ等于（ A ） A.247 B.67 C.2425- D.247- 7．（2012年密云一模理7）在ABC ∆中，点P 是BC 上的点. 2BP PC =,AB+AC AP λμ=,则（ C ）A. 2,1λμ==B. 1,2λμ==C. 12,33λμ==D. 21,33λμ== 6．（2012年门头沟一模理6）在ABC ∆所在平面内有一点O ，满足20OA AB AC ++=， 1OA OB AB ===，则→→•CB CA 等于（ C ）C.3D.322.（2012年朝阳一模理2）已知平面向量,a b 满足()=3a a +b ⋅，且2,1a b ，则向量a 与b 的夹角为（ C ） A. 6π B. 3π C. 32π D. 65π 9.（2012年石景山一模理9）设向量)cos 3,1(),1,(cos θθ==b a ，且b a //，则θ2cos = ．答案：31-。

2．（2012年房山一模理2）如果(1,)a k =，(,4),b k =那么“∥b ”是“2k =-”的（ B ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8．（2012年房山一模理8）如图，边长为1的正方形ABCD的顶点A,D分别在x轴、y轴正半轴上移动，则⋅的最大值是（ A ）A.2+B.12C.πD.4。

7B Unit 1 Dream homes 第一课时Comic &Welcome to the unit 主备人：审核人：班级：__________姓名：_______ 【教学目标】 1.谈论学生自己的理想居所. 2.识别不同国家的标志性建筑. 3.认知不同国家及其首都的英语表达方式. 【学习重点、难点】 国家及其首都 【学习过程】 课前预习 1．学习单词： dream palace capital 2. 在文中找出下列短语： （1）想要住在宫殿里_______________________________ （2）住在餐馆隔壁 ________________________________ （3）最大的那个____________________________________ （4）了解不同国家的家园_____________________________ （5）写他们的理想家园_______________________________ (6) 日本的首都 ___________________________________ 课堂学习研讨 Step 3. Presentation Group work: The students work in groups of four to collect as many names of countries as they can. List the words on the blackboard. Step4. Presentation Show the students some pictures of places of interest in the world. Teach the students the names of these places. Step 5. Practice Ask the students to finish P7, A. Read these words in pairs. Step 6. Presentation Show the students a photo of Tiananmen Square and ask them where it is. Step 7. Practice Matching: ask the students to finish a matching game: Ask the students to finish P7, B. Then ask the students to read the sentences loudly. Step 8. Presentation Ask the students something about Eddie and Hobo. Tell them that they are living in Beijing now. Today they are talking about where to live. Look at two pictures first.Show the students two pictures. One is a picture of a palace and the other is a picture of a restaurant. Step 9. Reading Step 10. Acting Explain dream,n(c)pl dreams 做了一个坏梦_____ ______ ______ _________ vt. dream a dream vi. dream of/about梦见鬼 __________________ dream of/about doing 梦见住在宫殿里____________________ 2.palace,n(c),pl.palaces the Summer Palace_______ the Palace Museum_____________ 3.capital, n(c),pl.capitals …的首都/省会 the capital of… 美国的首都是什么?___________________________? 4. next to prep.同义词_________ 他家住在你隔壁吗？ ________he live _____ _______ _______ ? ________his house _____ _______ ______? 宫殿隔壁的公园 ___________________________________ 5.the biggest one(restaurant) ___________________最新的成员 ____________________反思与心得课堂检测一．根据句意、首字母或中文提示，拼写单词。