平行线的性质1
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平行线的基本概念与性质平行线作为几何学的基础概念之一,在数学中扮演着重要的角色。
本文将深入探讨平行线的基本概念和性质,使读者对平行线有更深入的理解。
一、平行线的基本概念平行线是指在同一个平面上,永远不相交的两条直线。
简单来说,这意味着无论如何延长或缩短这两条线,它们也不会相交。
平行线可以用符号“∥”来表示,比如AB ∥ CD,表示直线AB与直线CD是平行的。
二、平行线的判定方法在几何学中,我们有多种方法来判定两条直线是否平行。
1. 直线与直线之间的角度:如果两条直线之间的内角、外角或对顶角相等,那么这两条直线是平行的。
这个原理被称为“同位角定理”。
2. 轴线的夹角:如果两条直线被同一条直线所切割,而且这两个切割线所形成的内角或外角相等,那么被切割的两条直线是平行的。
3. 平行线的垂直线:如果两条直线都与同一条直线垂直相交,那么这两条直线是平行的。
三、平行线的性质平行线有一些重要的性质,下面将介绍其中的一些。
1. 任意一条直线与平行线的交点所形成的对应角相等。
如果一个交点A将直线l和m相交,那么角A对应的角分别位于直线l和m上,并且这两个角相等。
2. 夹在平行线之间的直线是平行线。
如果一条直线与另外两条平行线相交,那么这两条平行线之间的夹角与该直线所夹的两条直线的夹角相等。
3. 平行线的平行线仍然是平行线。
也就是说,如果AB ∥ CD,那么在AB上取一点E,在CD上取一点F,连接EF,则EF与AB、CD 都平行。
四、平行线的应用平行线在实际生活中有广泛的应用。
例如,在建筑设计中,建筑师需要保证墙面平行,以确保建筑的稳定性和美观性。
此外,在航空、航海等领域,准确判定平行线也是十分重要的。
五、总结平行线作为几何学中的基本概念,具有重要的理论和应用价值。
通过本文的介绍,我们了解了平行线的基本概念、判定方法和性质,并了解了平行线在实际生活中的应用。
深入理解和掌握平行线的相关知识,对于学习和应用几何学都非常重要。
初中数学平行线的性质知识点归纳摘抄初中数学平行线的性质知识点归纳摘抄在同一平面内,永不相交的两条直线互为平行线。
虽然平行线在平面内定义,但也适用于立体几何。
平行线的性质性质1 两条平行线被第三条直线所截,同位角相等。
简单说成:两直线平行,同位角相等。
性质2 两条平行线被第三条直线所截,内错角相等。
简单说成:两直线平行,内错角相等。
性质3 两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补。
简单说成:两直线平行,同旁内角互补。
同时垂直于两条平行线,并且夹在这两条平行线间的线段的长度,叫做着两条平行线的距离。
额外补充的是,在高等数学中的平行线的定义是相交于无限远的两条直线为平行线,因为理论上是没有绝对的平行的!初中数学知识点总结:平面直角坐标系下面是对平面直角坐标系的内容学习,希望同学们很好的掌握下面的内容。
平面直角坐标系平面直角坐标系:在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴,组成平面直角坐标系。
水平的数轴称为x轴或横轴,竖直的数轴称为y轴或纵轴,两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
平面直角坐标系的要素:①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合三个规定:①正方向的规定横轴取向右为正方向,纵轴取向上为正方向②单位长度的规定;一般情况,横轴、纵轴单位长度相同;实际有时也可不同,但同一数轴上必须相同。
③象限的规定:右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限。
相信上面对平面直角坐标系知识的讲解学习,同学们已经能很好的掌握了吧,希望同学们都能考试成功。
初中数学知识点:平面直角坐标系的构成对于平面直角坐标系的构成内容,下面我们一起来学习哦。
平面直角坐标系的构成在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系,简称为直角坐标系。
通常,两条数轴分别置于水平位置与铅直位置,取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。
水平的数轴叫做X轴或横轴,铅直的数轴叫做Y轴或纵轴,X轴或Y轴统称为坐标轴,它们的公共原点O称为直角坐标系的原点。
平行线的性质学习目标知识与技能:理解平行线的基本性质,并能应用平行线的三条性质解决与“三线八角”有关的计算问题。
过程与方法:让学生采用观察、度量、比较、分析、归纳、猜想的数学方法,得出结论。
情感态度与价值观:经历观察,推理,交流等活动,发展空间观念,有条理的思考和语言表达能力,提高对数学的学习兴趣。
教学重点:平行线的性质教学难点:探索出两直线平行,同位角相等并利用自己的语言对性质进行说理。
教学方法:实践、引导、探究、概括的数学方法 教学过程:引入新课:我们在日常生活中常常回遇到平行线,请同学们举出生活中平行线的例子。
交流与探究:利用手中的方格纸,找出两条平行线,用第三条直线截两条平行线,然后回答老师的问题。
1、 如果两条平行线被第三条直线所截,那么同位角、内错角、同旁内角之间各有什么数量关系呢?(学生小组合作,画图探究,归纳猜想)指出下图中的同位角,并度量这些角,完成下面的表格:图1ab2、 请判断内错角、同旁内角各有什么关系?(如上图) (学生探究、小组内交流) 教师引导学生说理:①因为a∥b 所以∠1=∠51 43 8 2 57 6又因为∠1=∠3 所以∠5=∠3 ②因为a∥b 所以∠1=∠5又因为∠1+∠4=180° 所以∠5+∠4=180° 语言叙述:两条平行线被第三条直线所截,内错角相等,同旁内角互补。
课内练习 1、如图:已知平行线AB、CD被直线EF所截 ①若∠2=40°,则∠1= °。
理由: ②若∠2=40°,则∠3= °。
理由:③若∠2=40°,则∠4= °。
理由: 2、如图:已知直线a∥b,如:∠1=54°,∠2= °。
小结:(学生自己完成) 1、平行线的性质2、用探索发现的观点解决数学问题 3、用数形结合的方法来解决问题 当堂检测1、如图,已知AD∥BC,则( ) A、∠3=∠4 B、∠1=∠2C、∠D+∠DAB=180° D、∠B+∠BCD=180°2、如图,AB∥CD,∠α是∠β的2倍,则∠α等于( ) A、60° B、90° C、120° D、150° 3、如图:(1) 如果a∥b,找出图中各角之间的等量关系。
平行线与相交线的性质平行线和相交线是几何学中的基本概念,它们在我们的日常生活中随处可见。
了解平行线和相交线的性质对于我们理解几何学的基本原理和应用是至关重要的。
本文将探讨平行线和相交线的性质,以及它们在实际生活中的应用。
一、平行线的性质平行线是指在同一个平面上,永远不会相交的线。
平行线的性质包括以下几点:1. 平行线具有相同的斜率:在平面直角坐标系中,如果两条线的斜率相等,那么它们是平行线。
这是因为斜率代表了线的倾斜程度,如果两条线的倾斜程度相同,它们就不可能相交。
2. 平行线的对应角相等:当平行线与一条横穿它们的直线相交时,对应角是相等的。
对应角是指位于平行线的同一侧,与横穿线相交的两个角。
这个性质可以通过证明两组对应角的和等于180度来得到。
3. 平行线的内角和是180度:当两条平行线被一条横穿线相交时,内角和是180度。
这是因为内角和等于对应角的和,而对应角是相等的。
二、相交线的性质相交线是指在同一个平面上,交于一点的两条线。
相交线的性质包括以下几点:1. 相交线的交点是唯一的:当两条线相交时,它们交于一个唯一的点。
这个性质可以通过反证法来证明,假设两条线交于两个不同的点,然后推导出矛盾。
2. 相交线的对应角相等:当两条相交线被一条横穿线相交时,对应角是相等的。
对应角是指位于相交线的同一侧,与横穿线相交的两个角。
这个性质可以通过证明两组对应角的和等于180度来得到。
3. 相交线的垂直角相等:当两条相交线互相垂直时,它们的垂直角是相等的。
垂直角是指相交线之间的角,其度数为90度。
这个性质可以通过证明两组垂直角的和等于180度来得到。
三、平行线和相交线的应用平行线和相交线的性质在实际生活中有许多应用。
以下是一些例子:1. 建筑设计:在建筑设计中,平行线和相交线的性质被广泛应用。
建筑师使用平行线来设计平行的墙壁和天花板,以增加空间的感觉。
他们还使用相交线来确定建筑物的结构和布局。
2. 道路交通:在道路交通中,平行线和相交线的性质被用来设计交叉口和标记道路。
平行线的性质与应用平行线是几何学中非常重要的概念之一。
它们在日常生活以及科学研究中都有着广泛的应用。
本文将介绍平行线的性质以及其在解决实际问题中的应用。
一、平行线的定义与性质平行线是指在同一个平面内不相交的直线。
根据平行线的定义,我们可以得出以下几个关键性质:1. 任意直线与平行线之间的夹角是相等的。
这意味着如果有一条直线与平行线相交,它与另一条平行线之间的夹角也是相等的。
2. 平行线具有传递性。
也就是说,如果线段A与线段B平行,线段B与线段C平行,那么线段A与线段C也平行。
3. 平行线与相交线之间的对应角是相等的。
当一条直线穿过两条平行线时,所形成的对应角是相等的。
以上是平行线的一些基本性质,它们为我们解决实际问题提供了重要的几何基础。
二、平行线的应用1. 地理测量:在地理测量领域,平行线的应用非常广泛。
当我们需要测量地球上的距离时,我们可以利用平行线的性质。
比如,我们可以利用地球经线间的角度差异来计算两个地点之间的距离。
2. 建筑设计:在建筑设计中,平行线被广泛应用于房屋的布局和设计中。
在平面图设计中,我们可以利用平行线的性质来确定墙壁、门窗、家具等物体的位置和方向,以保证整体结构的稳定和美观。
3. 交通运输规划:平行线的应用在交通规划中也非常重要。
例如,道路和铁路在设计时需要遵循平行线的原则,以确保行车和交通流畅。
此外,交通信号灯、行车道等也需要根据平行线的性质进行布置,以提高交通效率和安全性。
4. 电视和计算机显示屏:在电视和计算机显示屏的设计中,我们需要平行线来确保图像的水平和垂直对齐。
如果图像不按平行线排列,观看体验将受到影响。
5. 数学几何题:在数学几何题中,平行线的性质经常被用来解决问题。
例如,通过利用平行线和角的性质,我们可以计算未知角度的大小,从而求解出题目要求的答案。
以上仅是平行线在生活和科学研究中的一些应用,实际上平行线的应用还远不止于此。
通过深入了解平行线的性质,我们可以更好地将其应用于解决实际问题中。
本节的主要概念有:1.平行线的三条性质:性质1:两条平行线被第三条直线所截,同位角相等;性质2:两条平行线被第三条直线所截,内错角相等;性质3:两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补.2.平行线的距离:同时垂直于两条平行线,并且夹在这两条平行线间的线段的长度,叫做这两条平行线的距离.3.命题:判断一件事情的语句,叫命题.重、难、疑点:重点:平行线三条性质、平行线的距离和命题的概念.难点:平行线的性质与平行线的判定的区别和综合运用.疑点:命题与肯定句、疑问句之间的关系与区别典例精讲例1 (北京市海淀区中考题)如图所示,已知DE∥BC,∠1=∠2,试说明CD是∠ECB 的平分线.方法指导:由BC∥DE可得∠1=∠DCB,而恰巧是要说明∠DCB=∠2.解:∵DE∥BC(已知),∴∠1=∠DCB(两直线平行,内错角相等).又∵∠1=∠2(已知),∴∠2=∠DCB.即CD是∠ECB的平分线.方法总结:由平行线性质得到恰当的角之间的关系,为说明结论成立提供依据.举一反三如图,已知AB∥CD,EF交AB于点H,交CD于点G,试判断∠1与∠2是否相等.解:∠1=∠2.∵AB∥CD,∴AHG=∠DGE(两直线平行,内错角相等).又∵∠1=∠AHG,∠DGE=∠2(对顶角相等),∴∠1=∠2.例2如图,已知∠1=∠2,∠3=∠4,∠5=∠C,证明:AB∥DE.方法指导:欲证AB∥DE,可证∠1=∠AGD,而∠1=∠2,所以须证∠2=∠AGD;证∠2=∠AGD.只需证AF∥CD,即需证∠5+∠ADC=180°,也就是要证AD∥BC,而这可以由∠3=∠4证得.解:证明:∵∠3=∠4.∴AD∥BC(内错角相等,两直线平行),∴∠ADC+∠C=180°(两直线平行,同旁内角互补).∵∠5=∠C,∴∠ADC+∠5=180°,∴AF∥CD(同旁内角互补,两直线平行),∴∠2=∠AGD(两直线平行,内错角相等).又∵∠1=∠2∴∠1=∠AGD,∴AB∥DE(内错角相等,两直线平行).方法总结:本题的思考过程是从结论出发,分析所要说明的结论成立须具备哪些条件,再看这些条件成立又须具备什么条件,直到追溯到已知条件为止.另外,在书写推理过程中,每一步必须有根有据,将理由写在每一步的括号内,防止把平行线的判定和性质混淆,这对初学阶段尤其重要.举一反三如图所示,已知∠1+∠2=180°,∠A=∠C,AD平分∠BDF,求证:∠EBC=∠DBC.解:证明,∵∠2+∠BDC=180°,∠2+∠1=180°,∴∠BDC=∠1(同角的补角相等),∴AE∥FC(同位角相等,两直线平行),∴∠EBC=∠C(两直线平行,内错角相等).又∵∠A=∠C(已知),∴∠EBC=∠A,∴AD∥BC(同位角相等,两直线平行),∴∠ADB=∠CBD,∠ADF=∠C.又∵∠ADB=∠ADF(角平分线定义),∴∠FBC=∠DBC.例3如图,∠ACD=∠BCD,DE∥BC交AC于E,若∠ACB=50,∠B=76°,求∠EDC 及∠CDB的度数.方法指导:由DE∥BC可知,∠EDC=∠DCB(两直线平行,内错角相等),而;∠CDB=180°—∠EDC—∠ADE,而根据“两直线平行,同位角相等”可知∠ADE=∠B=76°.解:∵DE∥BC(已知),∴∠EDC=∠DCB(两直线平行,内错角相等).又∵∠ACD=∠BCD,∠ACB=50°(已知),∴.∵DE∥BC(已知),∴∠ADE=∠B(两直线平行,同位角相等).又∵∠B=76°,∴∠ADE=76°,∴∠CDB=180°—∠EDC—∠ADE=180°—25°—76°=79°.故∠EDC=25°,∠CDB=79°.方法总结:从题目的条件出发,结合图形,根据所学的性质和定理,找出所求的角与已知角之间的关系,达到计算角度数的目的.举一反三如图,已知∠ECD=∠ABC,问∠A+∠B+∠ACB等于多少度?并说明理由.解:∠A+∠B+∠ACB=180°.理由如下:∵∠ECD=∠ABC,∴AB∥EC(同位角相等,两直线平行).∴∠A=∠ACE(两直线平行,内错角相等).又∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°(平角的定义).∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代换).例4 判断下列语句是否是命题,如果是,指出命题的题设和结论.(1)同旁内角互补,两直线平行;(2)平角的一半是直角;(3)连接AB;(4)两个正数之和必为正数;(5)取AB的中点M.方法指导:(3)、(5)两个句子并未对某件事作出判断,(1)、(2)、(4)对某件事作出判断,是命题,可将它们写成“如果……那么……”的形式,再找出题设和结论.解:(3)、(5)不是命题,(1)、(2)、(4)是命题.(1)的题设是同旁内角互补,结论是两直线平等;(2)的题设是平角的一半,结论是直角;(4)的题设是两个正数之和,结论是为正数.方法总结:命题必须对某件事情作出判断,疑问句就不是命题,同时要注意的是错误的命题也是命题;将命题写成“如果……那么……”的形式,有助于分清命题的题设和结论.举一反三下列语句中,不是命题的是()A.同位角相等B.经过一点只能作一条直线与已知直线平行C.如果,那么a=bD.相交线和平行线解:D例5 将下列命题改成“如果……那么……”的形式,并判断其直假.(1)同角的补角相等;(2)垂直于同一条直线的两直线平行;(3)两个锐角的补角相等;(4)同旁内角互补;(5)正数与负数之和为正数.方法指导:分析命题的含义,找出题设和结论,将命题写成“如果……那么……”的形式;判断一个命题是假命题,只需要举出一个反例即可.解:(1)如果几个角是同一个角的补角,那么这几个角相等;是真命题;(2)如果两条直线都和同一条直线垂直,那么这两条直线平等;是真命题;(3)如果几个角是两个锐角的补角,那么这几个角相等;如130°是50°角的补角,120°是60°角的补角,但130°≠120°,所以此命题是假命题;(4)如果两个角是两条直线被第三条直线所截得的同旁内角,那么这两个角互补;显然,只有两条平行线被第三条直线所截得的同旁内角才互补,所以此命题是假命题;(5)如果一个数是一个正数与一个负数的和,那么这个数为正数;显然,如+5+(-8)=-3为负数,所以此命题为假命题.方法总结:将一个命题写成“如果……那么……”的形式,要先弄清语句的含义,分清题设和结论,改造后的句子要语句通顺,不能改变命题的意义;判断一个命题的真假,要运用和该命题相关的知识来作出判断,对于假命题,给出一个反例即可说明其为假命题.举一反三(黄冈市中考题)命题:(1)对顶角相等;(2)三条直线每两条直线都相交,最多有6对对顶角;(3)等角的补角相等;(4)不相等的角一定不是对顶角.其中真命题的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个解:D例6 如图,已知AB∥DE,∠B=40°,∠D=56,CF平分∠BCD,求∠DCF的度数.方法指导:由于“CF平分∠BCD”,所以欲求∠DCF的度数,只需求∠BCD的度数;但∠BCD与已知角∠B、∠D的关系并不明显,因此考虑构造辅助线——过点C作AB的平行线,再结合已知条件“AB∥DE”,利用平行线的性质,就不难找到所求角与已知角之间的联系了.解:过点C作CM∥AB(过一点有且只有一条直线与已知直线平行),∵AB∥ED,∴CM∥ED(如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行).∵AB∥CM,CM∥ED,∴∠B=∠BCM,∠D=∠DCM(两直线平行,内错角相等),∴∠BCD=∠BCM+∠DCM=∠B+∠D.又∵∠B=40,∠D=56°,∴∠BCD=40°+56°=96°,∵CF平分∠BCD,∴.方法总结:在利用平行线的性质进行有关图形的推理和计算时,有一类“折线”问题(如上图所示),常用的思路是过拐点(如上图中的C点即称为拐点)作已知直线的平行线,从而在已知角与未知角之间架起一道桥梁,找到它们之间的关系.举一反三如图所示,∠ABC=120°,∠BCD=85°,AB∥ED,试求∠EDC的度数.解:过点C作CF∥AB(过一点有且只有一条直线与已知直线平行),∵AB∥ED,∴CF∥ED(两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行).∵AB∥CF,∴∠ABC+∠BCF=180°(两直线平行,同旁内角互补).又∵∠ABC=120°,∴∠BCF=180°—∠ABC=60°.∵∠BCD=85°,∴∠FCD=∠BCD—∠BCF=85°—60°=25°.∵CF∥ED,∴∠EDC=∠FCD(两直线平行,内错角相等),∴∠EDC=25°.例7(河北省中考题)如图所示探究规律:如图①所示,已知,直线m∥n,A、B为直线n上两点,C、P为直线m上两点,(1)请写出图中面积相等的各对三角形;(2)如果A、B、C为三个定点,点P在m上移动,那么,无论P点移动到任何位置,总有_____________与△ABC的面积相等,理由是_________________________________.解决问题:如图②所示,五边形ABCDE是张大爷十年前承包的一块土地的示意图,经多年开垦荒地,现已变成如图③所示的形状,但承包土地与开垦荒地的分界小路(即图③中折线CDE)还保留着,张大爷想过E点修一条直路,直路修好后,要保持直路左边的土地面积与承包时的一样多,右边的土地面积与开垦的荒地面积一样多,请你用有关的几何知识,按张大爷的要求设计出修路方案(不计分界小路与直路的占地面积).(1)写出设计方案,并在图③中画出相应的图形;(2)说明方案设计理由.方法指导:探究规律中利用“平行线间的距离相等”,不难找到图中同底等高的三角形;解决问题中,要使得所修的路符合条件,即是要使得左边面积在修好后与修路前相比,多出的部分与减少的部分面积相等,而这两部分刚好是两个三角形.因此,关键是构造平行线,利用前面的结论,说明这两个三角形的面积相等.解:探究规律:(1)△ABC和△ABP,△AOC和△BOP,△CPA和△CPB;(2)△ABP因为平行线间的距离相等,所以无论点P在m上移动到任何位置,总有△ABP与△ABC同底等高,所以它们的面积总相等.解决问题:(1)方案:如图③所示,连结EC,过点D作DF∥EC,交CM于点F,连结EF,EF 即为所求直路的位置;(2)设EF交CD于点H,由上面结论可知:,,∴,,方法总结:善于用所学知识,解决实际问题是学习能力的一种体现.举一反三解放战争时期,有一天江南某游击队在村庄A点出发向正东方向行进,此时有一支残匪在游击队的东北方向B处(如图所示),残匪沿北偏东60°的方向向C村进发.游击队步行到A′处,A′正在B的正南方向上,突然接到上级命令,决定改变行进方向,沿北偏东30°方向赶往C村,问游击队行进方向A′C与残匪行进方向BC至少是多少度角时,才能保证C村村民不受伤害?解:如图,过C点作CE∥BA′,则∠BCE=∠NBC=60°,∴∠A′CE=∠BA′C=30°,∴∠BCA′=∠BCE—∠A′CE=60°—30°=30°.故夹角至少为30°才能保证C村村民不受伤害.知识网络学法点津1.在学习平行线的性质和平行线间的距离时,注意运用比较法、探索法,注意和同学间的探究和合作,归纳相关的知识要点.如要注意总结平行线的性质与判定的区别与联系,归纳如何在推理过程中灵活运用性质和判定,要做到每一步推理都有根有据,思路清晰.2.在学习命题有关的知识时,要结合语文学科的知识,弄清语句的含义,寻找出正确的题设和结论.在遇到较简洁的命题时,可先将命题写为“如果……那么……”的形式,但同时要注意,改编后的命题要语句通畅,同时不能改变原命题的意义,目的在于更清楚、明了地辨别命题的题设和结论.自测题1.下列说法中,平行线的性质为().①两条直线平行,同旁内角互补;②同位角相等,两直线平行;③内错角相等,两直线平行;④垂直于同一直线的两条直线平行.A.①B.②③C.④D.①④2.如图5-3-10,b∥c,a⊥b,∠1=130°,则∠2的度数为().A.30°B.40°C.50°D.60°3.关于平行线间的距离,下列说法正确的是().A.两条平行线间,任一条线段B.两条平行线间,任一条线段的长度C.两条平行线间,垂线段的长度D.夹在两平行线间的任一条垂线段4.下列语句中是命题的是().A.延长线段AB到点C,使AC=2BCB.你能说出平行线的三条性质吗C.所有的角都相等D.简单的习题5.下列命题中,正确的是().A.在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线平行B.相等的角是对顶角C.两条直线被第三条直线所截,同位角相等D.和为180°的两个角叫做邻补角6.已知:如图5-3-11,FH⊥AB,CD⊥AB,∠1=∠2.求证:BC∥EF.(在括号内注明理由)证明:因为FH⊥AB,CD⊥AB,所以FH∥CD(),所以∠1=∠3 ().又因为∠1=∠2,所以∠2=∠3,所以BC∥EF().7.如图5-3-12,AB∥EF,若∠ABC=30°,∠BCD=40°,∠DEF=160°,则∠CDE=__________.8.如图5-3-13,若BD⊥AC于D,EF⊥AC于F,∠ABC+∠BCD=180°,求证:∠1=∠2.证明:因为BD⊥AC,EF⊥AC(已知),所以∠BDC=90°,∠EFC=90°(垂直定义),所以∠BDC=∠EFC(等量代换),所以BD∥_____________(),所以_________=___________(两直线平行,同位角相等).又因为∠ABC+∠BCD=180°(已知),所以__________∥____________(),所以∠1=∠3(),所以∠1=∠2(等量代替).9.命题“两直线平行,内错角相等”的题设是___________,结论是___________;命题“内错角相等,两直线平行”的题设是___________,结论是___________.10.如图5-3-14,∠ADC=∠ABC,∠1+∠2=180°,AD为∠FDB的平分线.试问:BC为∠DBE的平分线吗?若是,请说明理由.11.如图5-3-15,已知AB∥CD,∠BAE=∠DGF,求证:∠E=∠F.12.请将下列命题改写成“如果……那么……”的形式.(1)等角的余角相等;(2)垂直于同一条直线的两直线平行;(3)平行线的同旁内角的平分线互相垂直.13.潜望镜中的两个镜子是互相平行放置的,光线经过镜子反射时,入射角等于反射角(如图5-3-16,∠1=∠2,∠3=∠4).请解释为什么进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行的.14.如图5-3-17,在A,B两地之间要修建一条笔直的公路,从A地测得公路走向最北偏东48°,A,B两地同时开工,若干天后公路准确接通.(1)B地所修公路的走向是南偏西多少度?为什么?(2)若公路AB长8km,另一公路BC长6km,且BC的走向是北偏西42°,试求A到公路BC的距离.15.如图5-3-18所示,试说明∠DAC=∠B+∠C.16.如图5-3-19,已知AB∥ED,∠α=∠A+∠E,∠β=∠B+∠C+∠D,求证:∠β=2∠α.参考答案1.A 2.B 3.C 4.C 5.A6.垂直同一直线的两条直线平行两直线平行,同位角相等同位角相等,两直线平行7.30°8.EF 同位角相等,两直线平行∠2 ∠3 GD BC 同旁内角互补,两直线平行,内错角相等9.两直线平行内错角相等内错角相等两直线平行10.BC为∠DBE的平分线.理由是:因为∠2+∠7=180°,∠1+∠2=180°,所以∠1=∠7,所以AB∥CD,所以∠3=∠C.又因为∠ADC=∠ABC,∠1=∠8=∠7,所以∠5=∠4,所以AD∥BC,所以∠6=∠C.又因为∠5=∠6,所以∠3=∠4,所以BC为∠DBE的平分线.11.因为AB∥CD,所以∠BAG=∠DGA(两直线平行,内错角相等),所以∠BAG—∠BAE=∠DGA—∠DGF,即∠EAG=∠FGA,所以AE∥FG(内错角相等,两直线平行),所以∠E=∠F(两直线平行,内错角相等).12.(1)如果两个角相等,那么它们的余角相等(2)如果两条直线垂直于同一条直线,那么它们互相平行(3)如果两条射线分别是平行线的同旁内角的平分线,那么这两条射线互相垂直13.提示:利用条件∠1=∠2,∠3=∠4,说明∠5=∠6.14.(1)48°,因为两直线平行,内错角相等(2)由条件可以计算出∠ABC=90°,所以A到BC的距离为AB=8km.15.解:如图5,过A作AE∥BC,则∠EAC=∠C,∠DAE=∠B,所以∠DAC=∠DAE+∠EAC=∠B+∠C.16.如图6,过C作CF∥AB.。
平行线与相交线的性质与关系在几何学中,平行线和相交线是重要的基本概念。
平行线是指在同一个平面内永不相交的两条直线,而相交线是指在同一个平面内相交于一点的两条直线。
本文将探讨平行线和相交线之间的性质和关系。
1. 平行线的性质平行线的性质主要有以下几个方面:1.1 平行线具有等距离性质。
即同平面上的两条平行线上的任意两点之间的距离相等。
1.2 平行线具有平行传递性。
若直线a与直线b平行,直线b与直线c平行,则直线a与直线c平行。
1.3 平行线具有垂直传递性。
若直线a与直线b平行,直线b与直线c垂直,则直线a与直线c垂直。
1.4 平行线与平面直角相交线垂直。
若直线a与直线b平行,直线b 与平面P内的直角相交线c垂直,则直线a与平面P垂直。
2. 相交线的性质相交线的性质主要有以下几个方面:2.1 相交线的交点只有一个。
在同一个平面内,两条不平行的直线一定相交于一点。
2.2 相交线的交点分割线段成比例。
若在同一个平面内,直线a与直线b相交于点O,直线c与直线b相交于点D,那么线段OA与线段OD的比等于线段CA与线段CD的比。
2.3 平行线与相交线之间具有对应角相等性质。
若直线a与直线b平行,直线c与直线b相交于点O,那么角AOB与角COD对应相等。
2.4 相交线的夹角具有特殊关系。
若直线a与直线b相交于点O,直线c与直线b相交于点D,且角AOB等于角COD,那么直线a与直线c平行。
3. 平行线和相交线的关系3.1 平行线与相交线的关系是互逆的。
即两条平行线与同一条相交线之间的关系互为逆命题。
例如,如果直线a与直线b平行,则直线a与直线c的关系是平行或共线。
3.2 平行线和相交线的关系可以通过平行线截切相似三角形来应用。
在平行线截切两条相交线的情况下,可以得到相似三角形,进而推导出一些角度和边长的关系。
3.3 平行线和相交线的性质与三角形内角和的关系有关。
在一个三角形中,若直线与其中两边平行且截取的线段在另一边上,则两线段之间的比等于被截取边上两角对应角的比。
平行线的判定条件和性质平行线是指在同一个平面内永不相交的两条直线。
平行线具有一些独特的判定条件和性质,本文将探讨这些条件和性质,帮助读者更好地理解和应用平行线的概念。
一、判定条件1.等角定理判定:如果两条直线与第三条直线交叉时,所夹的角对应相等或互补,则这两条直线是平行线。
即如果一对对应角相等或互补,则直线是平行的。
2.同位角定理判定:如果两条直线被一条横截线交叉时,同位角相等,则这两条直线是平行线。
同位角是指在两条直线上,分别位于两条横截线的同一侧且对应的角度。
3.转角定理判定:如果两条直线与第三条直线交叉时,其中一对内转角相等,则这两条直线是平行线。
内转角是指位于两条直线之间的角。
以上三种判定条件都是通过角度的性质来判断直线是否平行,通过角度的相等或特殊关系来推断直线的平行性。
二、性质1.同一平面内的平行线永不相交,并且在平面上的任一点,只有一条与给定直线平行的直线。
2.通过同一个点外一条直线上的垂线与该直线平行,则这两条直线互相平行。
3.平行线具有相同的斜率。
设有两条直线L1和L2,斜率分别为k1和k2,若k1 = k2,则直线L1与L2是平行线。
4.两条平行线被一条横截线所截时,对应角、同位角、内角均相等。
5.平行线间的距离在平面上始终保持不变。
即两条平行线的任意两个对应点的距离都相等。
6.平行线夹在两条直线上的外角是对应角的互补角,内角是对应角的同位角。
以上列举的是平行线的一些常见性质,这些性质在几何学和实际生活中都有广泛的应用。
对于判定两条直线是否平行,可以通过以上提到的判定条件来进行推演。
而了解平行线的性质,可以帮助我们理解形状和图形的关系,进而应用到建筑、工程和设计等领域中。
总结:平行线是几何学中重要的概念之一,判断两条直线是否平行可以通过等角定理、同位角定理和转角定理等几何学定理来确定。
平行线具有一些独特的性质,比如不相交、斜率相等、距离相等等,这些性质在实际生活中有广泛的应用。
平行线的性质平行线是在同一个平面上,永远不会相交的直线。
在几何学中,平行线有一些独特的性质和规律。
本文将介绍平行线的性质,包括平行线的定义、判定方法以及与平行线相关的定理。
1. 平行线的定义平行线的定义是指在同一个平面上,两条直线不相交,且它们的距离始终相等。
如果两条线段的任意两点之间的距离相等,则可以称这两条线段是平行的。
符号“||”可以用来表示平行线。
2. 平行线的判定方法有多种方法可以判定两条直线是否平行。
2.1. 通过斜率判定两条直线的斜率相等时,可以判定它们是平行线。
假设直线l1的斜率为k1,直线l2的斜率为k2。
如果k1 = k2,则l1与l2是平行线。
2.2. 通过角度判定两条直线如果被一条横截线所截,且所截得的内角互补,则这两条直线是平行线。
例如,直线l1与l2被横截线m所截,其中直角1和直角2是互补的,则l1与l2是平行线。
2.3. 通过平行线定理判定平行线定理是指如果一条直线与两条平行线相交,那么它与另一条平行线也相交,并且两条交分线分割的邻补角相等。
通过这一定理,可以判断一条直线与已知平行线是否平行。
3. 3.1. 平行线的距离性质平行线之间的距离在任意两点之间始终相等。
这意味着,如果从一条平行线上的一点到另一条平行线的垂直距离是d,那么这两条平行线上任意两点之间的距离也都是d。
这一性质对于解决平面几何中的问题非常有用。
3.2. 平行线的夹角性质当一条直线与两条平行线相交时,所得到的对应角、内角、外角等具有一定的关系性质。
3.2.1. 对应角性质对应角是指两条平行线被一条横截线所截得到的相应角。
如果两条平行线被同一横截线截得的对应角相等,则这两条平行线是相等的。
即如果∠A = ∠C,那么∠B = ∠D,其中直线l1与l2被横截线m截得的直角1和直角2是对应角。
3.2.2. 内角与外角性质当一条直线与两条平行线相交时,所得到的内角与外角具有一定的关系。
内角互补,即当一条直线与两条平行线相交时,所得到的内角的补角相等。
平行线和垂直线的性质平行线和垂直线是几何学中常见的线段关系。
它们具有一些特殊的性质和定理。
本文将详细介绍这些性质,包括平行线之间的性质、平行线与垂直线之间的性质,以及垂直线之间的性质。
一、平行线之间的性质1. 平行线定义:在平面上,如果两条直线不存在交点,且在同一个平面内,那么称这两条直线为平行线。
用符号“||”表示。
2. 平行线的性质之一:平行线具有传递性。
如果直线a平行于直线b,直线b平行于直线c,那么直线a也平行于直线c。
换句话说,如果a || b,b || c,则有a || c。
3. 平行线的性质之二:平行线具有对应角相等。
对应角是指两条平行线被一条穿过它们的直线所切割而形成的角。
如果直线a与直线b平行,直线c与直线d平行,且直线c与直线d分别与平行线a、b相交,那么对应角α和对应角β相等。
4. 平行线的性质之三:平行线具有内错角相等。
内错角是指两条平行线被一条穿过它们的直线所切割而形成的两对内角。
如果直线a与直线b平行,直线c与直线d平行,且直线c与直线d分别与平行线a、b相交,那么内错角α和内错角β相等。
二、平行线与垂直线之间的性质1. 垂直线定义:在平面上,如果两条直线相交,且形成的四个角中,有两个角互为垂直角,那么称这两条直线为垂直线。
2. 平行线与垂直线性质之一:平行线与一条直线的交线上的对应角互为等角。
如果直线a与直线b平行,直线c与直线a相交,那么对应角α和直线c所与直线b的交线上的角度β相等。
3. 平行线与垂直线性质之二:平行线与一条直线的交线上的内错角互为等角。
如果直线a与直线b平行,直线c与直线a相交,那么内错角α和直线c所与直线b的交线上的角度β相等。
三、垂直线之间的性质1. 垂直线的性质之一:垂直线具有传递性。
如果直线a垂直于直线b,直线b垂直于直线c,那么直线a也垂直于直线c。
换句话说,如果a ⊥ b,b ⊥ c,则有a ⊥ c。
2. 垂直线的性质之二:垂直线与平行线的关系。
平行线与垂直线的性质与判定方法平行线与垂直线是几何学中常见的概念,它们在许多数学问题和实际情境中起着重要的作用。
本文将介绍平行线与垂直线的性质,并说明它们的判定方法。
一、平行线的性质1.定义:平行线是在同一个平面内永不相交的两条直线。
记作∥。
2.性质1:平行线上的任意两点与另一直线的交点的连线,与平行线上的任意两点与该直线的交点的连线相交于同一直线上。
3.性质2:平行线与同一条直线的两条相交线段的比例相等。
4.性质3:平行线的错位角、内错角、同旁内角和同旁外角相等。
二、垂直线的性质1.定义:垂直线是与另一条直线形成直角的线段。
记作⊥。
2.性质1:垂直线与同一条直线的两条相交线段的乘积相等。
3.性质2:垂直线的错位角互补,即错位角的和为180°。
4.性质3:垂直线的内错角互补,即内错角的和为180°。
三、平行线的判定方法1.方法1:同位角相等法。
若两条直线被一条横截线所截,且截线上的同位角相等,那么这两条直线是平行线。
2.方法2:平行线与传统几何图形的关系法。
在平行线与其他几何图形(如矩形、正方形等)相交的条件下,可以判定出平行线的存在。
3.方法3:斜率法。
若两条直线的斜率相等且不为无穷大,则这两条直线是平行的。
四、垂直线的判定方法1.方法1:垂直线的定义法。
两条直线的斜率相乘为-1时,它们是互为垂直的。
2.方法2:对称法。
若两条直线关于某点对称且这条直线垂直于另一条直线,那么这两条直线是垂直的。
3.方法3:垂直线与传统几何图形的关系法。
在垂直线与其他几何图形(如正方形、直角三角形等)相交的条件下,可以判定出垂直线的存在。
综上所述,平行线与垂直线在几何学中具有重要的性质和判定方法。
学好这些性质和方法,对于解决相关的数学问题和实际生活中的空间关系具有重要的指导意义。
通过不断的练习和实践,我们可以更好地理解和应用平行线与垂直线的性质与判定方法。