湖北七市州2014年高三年级联合考试理科数学试卷和参考答案

2014年普通高等学校招生全国统一测试（湖北卷）数学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）【2014年湖北，理1，5分】i 为虚数单位，则21i 1i -⎛⎫⎪+⎝⎭（ ）（A ）1- （B ）1 （C ）i - （D ）i 【答案】A【分析】因为21i 2i 11i 2i --⎛⎫==- ⎪+⎝⎭，故选A ． 【点评】本题考查复数的运算，容易题．（2）【2014年湖北，理2，5分】若二项式72a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中31x 的系数是84，则实数a =（ ）（A ）2 （B ）54 （C ）1 （D ）2 【答案】D【分析】因为()77727722xrrr r r r a C x C a x x ---+⎛⎫⋅⋅=⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，令723r -+=-，得2r =，22727284C a -⋅⋅=，解得2a =，故选D ．【点评】本题考查二项式定理的通项公式，容易题． （3）【2014年湖北，理3，5分】设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A C ⊆，U B C C ⊆是“A B =∅I ”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件【答案】A【分析】依题意，若A C ⊆，则U U C C C A ⊆，U B C C ⊆，可得A B =∅I ；若A B =∅I ，不能推出U B C C ⊆，故选A ．【点评】本题考查集合和集合的关系，充分条件和必要条件判断，容易题． （4）【2014年湖北，理4，5x 3 4 5 6 7 8y 4.0 2.5 -0.5 0.5 -2.0 -3.0得到的回归方程为ˆy=（A ）0a >，0b > （B ）0a >，0b < （C ）0a <，0b > （D ）0a <，0b < 【答案】B【分析】依题意，画散点图知，两个变量负相关，所以0b <，0a >，故选B ． 【点评】本题考查根据已知样本数判断线性回归方程中的b 和a 的符号，容易题． （5）【2014年湖北，理5，5分】在如图所示的空间直角坐标系O xyz -中，一个四面体的顶点坐标分别是()0,0,2，()2,2,0，()1,2,1，()2,2,2，给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）（A ）①和②（B ）③和①（C ）④和③（D ）④和② 【答案】D【分析】在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为④和俯视图为②，故选D ．【点评】本题考查空间由已知条件，在空间坐标系中作出几何体的形状，再正视图和俯视图，容易题． （6）【2014年湖北，理6，5分】若函数()f x ，()g x 满足()()110f x g x dx -=⎰，则称()f x ，()g x为区间[]1,1- 上的一组正交函数，给出三组函数：①()1sin 2f x x =，()1cos 2g x x =；②()1f x x =+，()1g x x =-；③()f x x =,()2g x x =，其中为区间[]1,1-的正交函数的组数是（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】C【分析】对①1111111111sin cos sin cos 02222x x dx x dx x ---⎛⎫⎛⎫⋅=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰，则()f x ，()g x 为区间[]1,1-上的正交函数；对②()()()11231111111103x x dx x dx x x ---⎛⎫+-=-=-≠ ⎪⎝⎭⎰⎰，则()f x ，()g x 不为区间[]1,1-上的正交函数；对③134111104x dx x --⎛⎫== ⎪⎝⎭⎰，则()f x ，()g x 为区间[]1,1-上的正交函数，所以满足条件的正交函数有2组，故选C ．【点评】新定义题型，本题考查微积分基本定理的运用，容易题．（7）【2014年湖北，理7，5分】由不等式0020x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪--≤⎩确定的平面区域记为1Ω，不等式12x y x y +≤⎧⎨+≥-⎩，确定的平面区域记为2Ω，在1Ω中随机取一点，则该点恰好在2Ω内的概率为（ ）（A ）18（B ）14 （C ）34 （D ）78【答案】D【分析】依题意，不等式组表示的平面区域如图，由几何公式知，该点落在2Ω内的概率为：11221172218222P ⨯⨯-⨯⨯==⨯⨯，故选D ．【点评】本题考查不等式组表示的平面区域，面积型的几何概型，中等题． （8）【2014年湖北，理8，5分】《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 和高h ，计算其体积V 的近似公式21.36v L h ≈它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3．那么近似公式2275v L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ）（A ）227 （B ）258 （C ）15750 （D ）355113【答案】B【分析】设圆锥底面圆的半径为r ，高为h ，依题意，()22L r π=，()22122375r h r h ππ=，所以218375ππ=，即π的近似值为258，故选B ．【点评】本题考查《算数书》中π的近似计算，容易题．（9）【2014年湖北，理9，5分】已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）（A ）43 （B ）23 （C ）3 （D ）2【答案】B【分析】设椭圆的短半轴为a ，双曲线的实半轴为1a ()1a a >，半焦距为c ，由椭圆、双曲线的定义得122PF PF a +=，1212PF PF a -=，所以11PF a a =+，21PF a a =-，因为1260F PF ∠=︒，由余弦定理得：()()()()22211114c a a a a a a a a =++--+-，所以222143c a a =+，即22221112222142a a a a a c c c c c ⎛⎫-=+≥+ ⎪⎝⎭，22111148e e e ⎛⎫∴+≤- ⎪⎝⎭，利用基本不等式可得椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为23，故选B ． 【点评】本题椭圆、双曲线的定义和性质，余弦定理及用基本不等式求最值，难度中等． （10）【2014年湖北，理10，5分】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2221()(|||2|3)2f x x a x a a =-+--，若R x ∀∈，(1)()f x f x -≤，则实数a 的取值范围为（ ）（A ）11,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （B ）66,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （C ）11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （D ）33,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】B【分析】依题意，当0x ≥时，()2222223220x a x a f x a a x a x x a ⎧->⎪=-<≤⎨⎪-≤≤⎩，作图可知，()f x 的最小值为2a -，因为函数()f x 为奇函数，所以当0x <时，()f x 的最大值为2a ，因为对任意实数x 都有，()()1f x f x -≤，所以，()22421a a --≤，解得66a -≤≤，故实数a 的取值范围是66,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故选B ． 【点评】本题考查函数的奇函数性质、分段函数、最值及恒成立，难度中等．二、填空题：共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．．．．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． （一）必考题（11-14题） （11）【2014年湖北，理11，5分】设向量()3,3a =r ，()1,1b =-r ，若()()a b a b λλ+⊥-r r r r ，则实数λ= ．【答案】3±【分析】因为()3,3a b λλλ+=+-r r ，()3,3a b λλλ+=++r r ，因为()()a b a b λλ+⊥-r r r r ，所以()()()()33330λλλλ+-+++=，解得3λ±．【点评】本题考查平面向量的坐标运算、数量积，容易题． （12）【2014年湖北，理12，5分】直线1:l y x a =+和2:l y x b =+将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧，则22a b += ． 【答案】2【分析】依题意，圆心()0,0到两条直线的距离相等，且每段弧的长度都是圆周的14，即22a b =，2cos 452a=︒=，所以221a b ==，故222a b +=． 【点评】本题考查直线和圆相交，点到直线的距离公式，容易题． （13）【2014年湖北，理13，5分】设a 是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数．将组成a 的3个数字按从小到大排成的三位数记为()I a ，按从大到小排成的三位数记为()D a （例如815a =，则()158I a =，()851D a =）．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a ，输出的结果b = ． 【答案】495【分析】当123a =，则321123198123b =-=≠，当198a =，则981198783198b =-=≠；当783a =，则954459b a =-=，终止循环，故输出495b =．【点评】新定义题型，本题考查程序框图，当型循环结构，容易题． （14）【2014年湖北，理14，5分】设()f x 是定义在()0,+∞上的函数，且()0f x >，对任意0a >,0b >,0a >,0b >，若经过点()()af a ,()(),b f x ()()()()b f b a f a ,,,的直线和x 轴的交点为()0,c ，则称c 为a ,b 关于函数()f x的平均数，记为[],f M a b ，例如，当()1f x =())0(1>=x x f 时，可得2f a bM c +==，即(),f M a b 为,a b 的算术平均数．（1）当()f x =________（0x >）时，(),f M a b 为,a b 的几何平均数；（2）当()f x =________（0x >）时，(),f M a b 为,a b 的调和平均数2aba b+；（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）【答案】（1）x （2）x （或填（1）1k x （2）2k x ，其中12,k k 为正常数均可）【分析】设()()0f x x x =>，则经过点(),a a ，(),b b -的直线方程为y a b a x a b a ---=--，令0y =，所以2abc x a b ==+，所以当()()0f x x x =>，(),f M a b 为,a b 的调和平均数2aba b+．【点评】本题考查两个数的几何平均数和调和平均数，难度中等．（一）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分．） （15）【2014年湖北，理15，5分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，P 为O e 的两条切线，切点分别为,A B ，过PA 的中点Q 作割线交O e 于,C D 两点，若1QC =，3CD =，则PB = _______． 【答案】4【分析】由切割线定理得()21134QA QC QD =⋅=⨯+=，所以2QA =，4PB PA ==． 【点评】本题考查圆的切线长定理，切割线定理，容易题．（16）【2014年湖北，理16，5分】（选修4-4：坐标系和参数方程）已知曲线1C 的参数方程是3x tty ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2ρ=，则1C 和2C 交点的直角坐标为 ．【答案】()3,1【分析】由3x t t y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，消去t 得()2230,0x y x y =≥≥，由2ρ=得224x y +=，解方程组222243x y x y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，得1C 和2C 的交点坐标为()3,1．【点评】本题考查参数方程，极坐标方程和平面直角坐标方程的转化，曲线的交点，容易题．三、解答题：共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （17）【2014年湖北，理17，11分】某实验室一天的温度（单位：C ︒）随时间t （单位：h ）的变化近似满足函数关系；()103cossin,[0,24)1212f t t t t ππ=--∈．（1）求实验室这一天的最大温差；（2）若要求实验室温度不高于11C ︒，则在哪段时间实验室需要降温？解：（1）因为31()102(cos sin )102sin()12212123f t t t t ππππ=-+=-+，又024t ≤<，所以7,1sin()131233123t t ππππππ≤+<-≤+≤，当2t =时，sin()1123t ππ+=；当14t =时，sin()1123t ππ+=-，于是()f t 在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8，故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃． （2）依题意，当()11f t >时实验室需要降温，由（1）得()102sin()123f t t ππ=-+，故有102sin()11123t ππ-+>，即1sin()1232t ππ+<-，又024t ≤<，因此71161236t ππππ<+<，即1018t <<，在10时至18时实验室需要降温． （18）【2014年湖北，理18，12分】已知等差数列{}n a 满足：12a =，且123,,a a a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得60800n S n >+?若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，依题意，2,2,24d d ++成等比数列，故有2(2)2(24)d d +=+，化简得240d d -=， 解得0d =或4d =，当0d =时，2n a =；当4d =时，2(1)442n a n n =+-⋅=-，从而得数列{}n a 的通项 公式为2n a =或42n a n =-．（2）当2n a =时，2n S n =，显然260800n n <+，此时不存在正整数n ，使得60800S n >+成立，当42n a n =-时，2[2(42)]22n n n S n +-==，令2260800n n >+，即2304000n n -->，解得40n >或10n <-（舍去），此时存在正整数n ，使得60800n S n >+成立，n 的最小值为41综上，当2n a =时，不存在满足题意的n ；当42n a n =-时，存在满足题意的n ，其最小值为41．（19）【2014年湖北，理19，12分】如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,,,E F M N 分别是棱1111,,,AB AD A B A D 的中点，点,P Q 分别在棱1DD ，1BB 上移动，且 ()02DP BQ λλ==<<．（1）当1λ=时，证明：直线1BC 平面EFPQ ；（2）是否存在λ，使平面EFPQ 和面PQMN 所成的二面角？若存在，求出λ的值；若不存 在，说明理由．解：解法一：（1）如图1，连接1AD ，由1111ABCD A B C D =是正方体，知11//BC AD ，当1λ=时，P 是1DD 的中点，又F 是AD的中点，所以1//FP AD ，所以1//BC FP ，而FP ⊂平面EFPQ ，且1BC ⊄平面EFPQ ，故直线1//BC 平面EFPQ ． （2）如图2，连接BD ，因为E ，F 分别是AB ，AD 的中点，所以//EF BD ，且12EF BD =，又,//DP BQ DP BQ =，所以四边形PQBD 是平行四边形，故//PQ BD ，且PQ BD =，从而//EF PQ ，且12EF PQ =，在Rt EBQ ∆和Rt FDP ∆中，因为BQ DP λ==，1BE DF ==，于是21DQ FP λ==+，所以四边形EFPQ 是等腰梯形．同理可证四边形PQMN 是等腰梯形． 分别取,,EF PQ MN 的中点为,,H O G ，连接,OH OG ，则,GO PQ HO PQ ⊥⊥，而GO HO O =I ， 故GOH ∠是面EFPQ 和面PQMN 所成的二面角的平面角．若存在λ，使面EFPQ 和面PQMN 所成的二面角为直二面角，则90GOH ∠=o ，连接EM ，FN ，则 由//EF MN ，且EF MN =，知四边形EFNM 是平行四边形，连接GH ，因为H ，G 是EF ，MN 的中点，所以2GH ME ==，在GOH ∆中，22222214,1()2GH OH λλ==+-=+，2222211(2)()(2)2OG λλ=+--=-+，由222OG OH GH +=，得2211(2)422λλ-+++=，解得21λ=±，故存在21λ=±，使面EFPQ 和面PQMN 所成的二面角为直二面角．解法二：以D 为原点，射线1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴的正半轴建立如图3所示的空间直角坐标系D xyz -，由已知得(2,2,0)B ，1(0,2,2)C ，(2,1,0)E ，(1,0,0)F ，(0,0,)P λ，(2,0,2)BC -u u u r ，(1,0,)FP λ-u u u r ，(1,1,0)FE u u u r．（1）当1λ=时，(1,0,1)FP =-u u u r ，因为1(2,0,2)BC =-u u u u r ，所以12BC FP =u u u u r u u u r，即1//BC FP ，而FP ⊂平面EFPQ ，且1BC ⊄平面EFPQ ，故直线1//BC 平面EFPQ ．（2）设平面EFPQ 的一个法向量为(,,)n x y z =，则由0FE n FP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r，可得00x y x z λ+=⎧⎨-+=⎩，于是可取(,,1)n λλ=-， 同理可得平面MNPQ 的一个法向量为(2,2,1)m λλ=--，若存在λ，使面EFPQ 和面PQMN 所成的二 面角为直二面角，则(2,2,1)(,,1)0m n λλλλ⋅=--⋅-=，即(2)(2)10λλλλ---+=，解得21λ=． 故存在21λ=，使面EFPQ 和面PQMN 所成的二面角为直二面角． （20）【2014年湖北，理20，12分】计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X (年入流量：一年内上游来水和库区降水之和．单位：亿立方米）都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年．将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立． （1）求未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关系；若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万 元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？解：（1）依题意，110(4080)0.250p P X =<<==，235(80120)0.750p P X =≤≤==，35(120)0.150p P X =>== 由二项分布，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为04134343433991(1)(1)()4()()0.9477101010p C p C p p =-+-=+⨯⨯=．（2）记水电站年总利润为Y （单位：万元）（1）安装1台发电机的情形：由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润5000,()500015000Y E Y ==⨯=．（2）安装2台发电机的情形：依题意，当4080X <<时，一台发电机运行，此时50008004200Y =-=，因此1(4200)(4080)0.2P Y P X p ==<<==；当80X ≥时，两台发电机运行，此时5000210000Y =⨯=，因此(10000)(80)0.8P Y P X p p ==≥=+=；由此得Y 的分布列如下：Y4200 10000 P0.2 0.8 所以，()E Y =（3）安装3台发电机的情形：当4080X <<时，一台发电机运行，此时500016003400Y =-=，因此1(3400)(4080)0.2P Y P X p ==<<==；当80120X ≤≤时，两台发电机运行，此时500028009200Y =⨯-=，因此2(9200)(80120)0.7P Y P X p ==≤≤==；当120X >时，三台发电机运行，5000315000Y =⨯=，因此3(15000)(120)0.1P Y P X p ==>==， 由此得Y Y3400 9200 15000 P0.2 0.7 0.1 所以，综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．（21）【2014年湖北，理21，14分】在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F 的距离比它到y 轴的距离多1，记点M 的轨迹为C ．（1）求轨迹为C 的方程；（2）设斜率为k 的直线l 过定点()2,1p -，求直线l 和轨迹C 好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时k 的相应取值范围．解：（1）设点(,)M x y ，依题意得||||1MF x =+22(1)||1x y x -+=+，化简整理得22(||)y x x =+，年入流量X 40<X<80 40≤X ≤80X>120 发电机最多可运行台数 1 2 3故点M 的轨迹C 的方程为24,00,0x x y x ≥⎧=⎨<⎩．（2）在点M 的轨迹C 中，记212:4,:0(0)C y x C y x ==<，依题意，可设直线l 的方程为1(2)y k x -=+，由方程组21(2)4y k x y x-=+⎧⎨=⎩，可得244(21)0ky y k -++= ①（1）当0k =时，此时1y =，把1y =代入轨迹C 的方程，得14x =，故此时直线:1l y =和轨迹C 恰好有一个公共点1(,1)4（2）当0k ≠时，方程①的判别式为216(21)k k ∆=-+- ②设直线l 和x 轴的交点为0(,0)x ，则由1(2)y k x -=+，令0y =，得021k x k+=-③ （ⅰ）若000x ∆<⎧⎨<⎩由②③解得1k <-，或12k >，即当1(,1)(,)2k ∈-∞-⋃+∞时，直线l 和1C 没有公共点，和2C 有一个公共点，故此时直线l 和轨迹C 恰好有一个公共点． （ⅱ）若000x ∆=⎧⎨<⎩或000x ∆>⎧⎨≥⎩，由②③解得1{1,}2k ∈-，或102k -≤<，即当1{1,}2k ∈-时，直线l 和1C只有一个公共点，和2C 有一个公共点，当1[,0)2k ∈-时，直线l 和1C 有两个公共点，和2C 没有公共点，故当11[,0){1,}22k ∈--U 时，直线l 和轨迹C 恰好有两个公共点．（ⅲ）若000x ∆>⎧⎨<⎩由②③解得112k -<<-，或102k <<，即当11(1,)(0,)22k ∈--⋃时，直线l 和1C 有两个公共点，和2C 有一个公共点，故此时直线l 和轨迹C 恰好有三个公共点． 综合（1）（2）可知，当1(,1)(,){0}2k ∈-∞-⋃+∞⋃时，直线l 和轨迹C 恰好有一个公共点；当11[,0){1,}22k ∈--U 时，直线l 和轨迹C 恰好有两个公共点；当11(1,)(0,)22k ∈--U 时，直线l 和轨迹C 恰好有三个公共点．（22）【2014年湖北，理22，14分】π为圆周率，e =2.71828……为自然对数的底数．（1）求函数xxx f ln )(=的单调区间； （2）求33,3,,,3,e e e e ππππ这6个数中的最大数和最小数；（3）将33,3,,,3,ee e e ππππ这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．解：（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，因为ln ()x f x x =，所以21ln ()xf x x -'=，当()0f x '>，即0x e <<时，函数()f x 单调递增；当()0f x '<，即x e >时，函数()f x 单调递减．故函数()f x 的单调递增区间为(0,)e ， 单调递减区间为(,)e +∞． （2）因为3e π<<，所以ln33ln ,ln ln3e e πππ<<，即ln3ln ,ln ln3e e e πππ<<，于是根据函数ln ,x y x y e ==， x y π=在定义域上单调递增，可得333,3e e e e ππππ<<<<，故这6个数的最大数在3π和3π之中，最小数在3e 和3e 之中．由3e π<<及（1）的结论，得()(3)()f f f e π<<，即ln ln3ln 3eeππ<<． 由ln ln33ππ<，得3ln ln3ππ<，所以33ππ>；由ln3ln 3e e<，得3ln3ln e e <，所以33e e >． 综上，6个数中最大数是3π，最小数是3e．（3）由（2）知，3333,3e e e e πππ<<<<，又由（2）知，ln ln eeππ<，得e e ππ<故只需比较3e 和e π和e π 和3π的大小，由（1）知，当0x e <<时，1()()f x f e e<=，即ln 1x x e<， 在上式中，令2e x π=，又2e e π<，则2ln e e ππ<，从而2ln e ππ-<，即得ln 2eππ>- ①由①得， 2.72ln (2) 2.7(2) 2.7(20.88) 3.02433.1e e e ππ>->⨯->⨯-=>，即ln 3e π>，亦即3ln ln e e π>，所以3e e π<，又由①得，33ln 66ee πππ>->->，即3ln ππ>，所以3e ππ<．综上可得，3333e e e e ππππ<<<<<，即6个数从小到大的顺序为333,,,,,3e e e e ππππ．。

2014年湖北卷理科A 卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. i 为虚数单位，211i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭( ) A ．-1 B ．1 C ．-i D ．i【解析】()()2221121121i i i i i i ---⎛⎫===- ⎪+⎝⎭+. 【答案】A .2. 若二项式72a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中31x 的系数是84，则实数a =( )A ．2 B．C ．1 D．4【解析】72a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的通项是()777217722k k k k k kk k a T C x a C x x ---+⎛⎫==⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，令7-2k =-3得：k =5 ∴31x的系数是2527284a C ⋅⋅=，即a 5=1，∴a =1. 【答案】C .3. 设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆U C ð” 是“A ∩B =∅” 的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【解析】若存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆U C ð，则A ∩B =∅，否则有x ∈A ∩B ， 由A ⊆C ，得x ∈C ，由B ⊆U C ð，得x ∈U C ð，即x C ∉，矛盾；若A ∩B =∅，则取C =A ，有A ⊆C ，B ⊆U C ð，故“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆U C ð” 是“A ∩B =∅” 的充要条件。

【答案】C .4． 根据如下样本数据x 3 4 5 6 7 8 y4.0 2.5 -0.5 0.5 -2.0 -3.0得到的回归方程为y ^=bx+a ，则( )A ．a >0，b >0B ．a >0，b <0C ．a <0，b >0D ．a <0，b <0 【解析】画出散点图知a >0，b <0 【答案】B .5． 在如图所示的空间直角坐标系O -xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)，给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和府视图分别为( ) A ．①和② B ．③和① C ．④和③ D ．④和②【解析】设A (0，0，2)，B (2，2，0)，C (1，2，1)，D (2，2，2)， 作出四面体ABCD ，四面体ABCD 的府视图是⊿OBC 1，即图② 正视图是Rt ⊿AEF 和AG ，即图④.【答案】D .6． 若函数f (x )，g (x )满足()()110f x g x dx -=⎰，则称f (x )，g (x )为区间[-1，1] 上的一组正交函数，给出三组函数：①f (x )=sin 12x ，g (x )=cos 12x ；②f (x )=x +1，g (x )=x -1；③f (x )=x ，g (x )=x 2. 其中为区间[-1，1]的正交函数的组数是( )A .0B .1C .2D .3【解析】对于①，()()()11111111022f xg x dx sin xdx cos x ---==-=⎰⎰；对于②，()()()11123111141033f x g x dx x dx x x ---⎛⎫=-=-=-≠ ⎪⎝⎭⎰⎰；对于③，113411104x dx x--==⎰； 【答案】C .7． 由不等式0020x y y x ⎧⎪⎨⎪--⎩≤≥≤确定的平面区域记为Ω1，不等式12x y x y +⎧⎨+-⎩≤≥，确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为( )A ．18B ．14C ．34D ．78【解析】如右图，区域Ω1为⊿AOC 及其内部，面积为12×2×2=2；区域Ω2为直线x +y =1与直线x +y =-2之间的部分，Ω1与Ω2的公共部分是四边形AOBD ，面积为2-12×1×12=74，故所求概率为p =78.【答案】D .8． 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一. 该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式2136V L h ≈. 它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3. 那么近似公式2275V L h ≈. 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( ) A ．227 B ．258 C ．15750 D ．355113【解析】∵2221133212L V r h h L hππππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，∴由2275V L h ≈得： 22217512L h L h π≈，即258π≈. 【答案】B .9． 已知F 1、F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )ABC ．3D ．2【解析】设椭圆和双曲线的方程分别为2222111x y a b +=、2222221x y a b -=，|PF 1|=m ，|PF 2|=n .则m +n =2a 1，|m -n |=2a 2，在中由余弦定理，(2c )2=m 2+n 2-2mncos 60°=m 2+n 2-mn∴4c 2=(m +n )2-3mn =2143a mn -，且4c 2=(m -n )2+mn =224a mn +，消去m 、n 得：2221234a a c +=，即2212134e e +=由柯西不等式得：22222121211111613e e e e ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥++⋅+=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦≤ 可计算得当e 1=3e 2=3时，等号成立。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.为虚数单位，则=+-2)11(ii （ ） A. 1- B. C. i - D. i【答案】C【解析】试题分析：因为122)11(2-=-=+-iii i ，故选C 。

【点评】本题考查复数的运算，容易题。

2. 若二项式7)2(x a x +的展开式中31x的系数是84，则实数=a （ ） A.2 B. 54 C. 1 D.42答案】D【解析】试题分析：因为r r r r rrr x a C xax C 2777772)()2(+---⋅⋅⋅=⋅⋅，令327-=+-r ，得2=r ，所以84227227=⋅⋅-a C ，解得42=a ，故选D 。

【点评】本题考查二项式定理的通项公式，容易题。

3. 设U 为全集，B A ,是集合，则“存在集合C 使得C C B C A U ⊆⊆,是“∅=B A ”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】试题分析：依题意，若C A ⊆，则A C C C U U ⊆，当C C B U ⊆，可得∅=B A ；若∅=B A ，不能推出C C B U ⊆，故选A 。

【点评】本题考查集合与集合的关系，充分条件与必要条件判断，容易题。

得到的回归方程为a bx y+=ˆ，则（ ） A.0,0>>b a B.0,0<>b a C.0,0><b a D.0.0<<b a 【答案】B【解析】试题分析：依题意，画散点图知，两个变量负相关，所以0<b ，0>a .选B 。

【点评】本题考查根据已知样本数判断线性回归方程中的b 与a 的符号，容易题。

5.在如图所示的空间直角坐标系xyz O -中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）A. ①和②B.③和①C. ④和③D.④和② 【答案】D【解析】试题分析：在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为④与俯视图为②，故选D 。

秘密★启用前2014年湖北七市（州）高三年级联合考试理科综合能力测试 B考试时间：2014年4月19日9：00－11：30本试卷共16页，40题（含选考题）。

全卷满分300分。

考试用时150分钟。

★祝考试顺利★可能用到的相对原子质量：H－1 C－12 N－14 O－16 Na－23 Mg－24 Al－27 Si－28 S－32 Cl－35.5 K－39 Fe－56 Cu－64 Ag－108选择题共21小题，共126分一、选择题：本题共13小题，每小题6分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

7．下列说法正确的是A．PM 2.5亦称可入肺颗粒物，表面积大，能吸附有毒有害物质B．汽车尾气、工业废水是形成雾霾的主要原因C．装饰材料释放的苯、甲苯、甲醛等易挥发性烃类物质会导致室内空气污染D．嫦娥三号使用的碳纤维是一种新型的有机高分子材料8．N A表示阿伏加德罗常数的值。

下列叙述正确的是A．300 mL 2 mol/L乙醇水溶液中所含H原子数为3.6 N AB．2.3 g 钠在O2中充分反应得到3.5 g固体，转移电子数为0.15 N AC．标准状况下，22.4 L甲烷中含有碳原子数为N AD．25℃时，pH=6的NH4Cl溶液与100℃时水电离产生的H+数目都为10－6N A9．分子式为C6H14O且含有“—CH2OH”的同分异构体有（不考虑立体异构）A．7种B．8种C．9种D．10种10．根据中学化学课本中的数据资料作出以下推断，其中不正确的是A．利用化合价数据可以确定某些元素原子的最外层电子数B．利用密度数据可判断液体物质挥发性的大小C．利用溶解度数据可推测将一些物质混合物分离开来的可能性D．利用原子半径数据可推断某些原子的氧化性和还原性的强弱11．阿司匹林是常见的解热镇痛药，结构简式如图所示，有关阿司匹林的说法正确的是A．能发生取代、酯化反应，但不能发生氧化、还原反应B．阿司匹林分子中最多可以有13个原子在同一平面上C．1 mol该物质完全氧化最多可消耗10 mol氧气D．1 mol该物质最多可与3 mol NaOH发生反应12．下列说法符合事实的是COOHO CH3OA．电解硫酸铜溶液一段时间后，加入氧化铜固体不可能使溶液恢复到原来的浓度B．常温下由水电离产生的c(H+)=10－12 mol/L的溶液中加入铝粉都能够产生氢气C．已知K sp(AgCl)=1.56×10－10，K sp(Ag2CrO4)=9.0×10－12。

2014年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2014•湖北）i为虚数单位，（）2=（）A．﹣1 B．1C．﹣i D．i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题；数系的扩充和复数．分析：可先计算出的值，再计算平方的值．解答：解：由于，所以，（）2=（﹣i）2=﹣1故选A．点评：本题考查复数代数形式的计算，属于容易题2．（5分）（2014•湖北）若二项式（2x+）7的展开式中的系数是84，则实数a=（）A．2B．C．1D．考点：二项式定理的应用．专题：二项式定理．分析：利用二项式定理的展开式的通项公式，通过x幂指数为﹣3，求出a即可．解答：解：二项式（2x+）7的展开式即（+2x）7的展开式中x﹣3项的系数为84，所以T r+1==，令﹣7+2r=﹣3，解得r=2，代入得：，解得a=1，故选：C．点评：本题考查二项式定理的应用，特定项的求法，基本知识的考查．3．（5分）（2014•湖北）设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B=∅”的（）A．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：充要条件；集合的包含关系判断及应用．专题：集合；简易逻辑．分析：通过集合的包含关系，以及充分条件和必要条件的判断，推出结果．解答：解：由题意A⊆C，则∁U C⊆∁U A，当B⊆∁U C，可得“A∩B=∅”；若“A∩B=∅”能推出存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C，∴U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B=∅”的充分必要的条件．故选：C．点评：本题考查集合与集合的关系，充分条件与必要条件的判断，是基础题．4．（5分）（2014•湖北）根据如下样本数据，得到回归方程=bx+a，则（）x 3 4 5 6 7 8y 4.0 2.5 ﹣0.5 0.5 ﹣2.0 ﹣3.0A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0考点：线性回归方程．专题：概率与统计．分析：通过样本数据表，容易判断回归方程中，b、a的符号．解答：解：由题意可知：回归方程经过的样本数据对应的点附近，是减函数，所以b＜0，且回归方程经过（3，4）与（4，3.5）附近，所以a＞0．故选：B．点评：本题考查回归方程的应用，基本知识的考查．5．（5分）（2014•湖北）在如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标分别为（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出的编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②考点：简单空间图形的三视图．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得结论．解答：解：在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得三棱锥的正视图和俯视图分别为④②，故选：D．点评：本题考查三视图的画法，做到心中有图形，考查空间想象能力，是基础题．6．（5分）（2014•湖北）若函数f（x），g（x）满足f（x）g（x）dx=0，则f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，给出三组函数：①f（x）=sin x，g（x）=cos x；②f（x）=x+1，g（x）=x﹣1；③f（x）=x，g（x）=x2，其中为区间[﹣1，1]上的正交函数的组数是（）A．0B．1C．2D．3考点：微积分基本定理．专题：综合题；导数的综合应用．分析：利用新定义，对每组函数求积分，即可得出结论．解答：解：对于①：[sin x•cos x]dx=（sinx）dx=cosx=0，∴f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数；对于②：（x+1）（x﹣1）dx=（x2﹣1）dx=（）≠0，∴f（x），g（x）不为区间[﹣1，1]上的一组正交函数；对于③：x3dx=（）=0，∴f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，∴正交函数有2组，故选：C．点评：本题考查新定义，考查微积分基本定理的运用，属于基础题．7．（5分）（2014•湖北）由不等式组确定的平面区域记为Ω1，不等式组确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为（）A．B．C．D．考点：几何概型；简单线性规划．专题：概率与统计．分析：作出不等式组对应的平面区域，求出对应的面积，利用几何槪型的概率公式即可得到结论．解答：解：平面区域Ω1，为三角形AOB，面积为，平面区域Ω2，为四边形BDCO，其中C（0，1），由，解得，即D（，），则三角形ACD的面积S==，则四边形BDCO的面积S=，则在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为，故选：D．点评：本题主要考查几何槪型的概率计算，利用线性规划的知识求出对应的区域和面积是解决本题的关键．8．（5分）（2014•湖北）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）A．B．C．D．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据近似公式V≈L2h，建立方程，即可求得结论．解答：解：设圆锥底面圆的半径为r，高为h，则L=（2πr）2，∴=（2πr）2h，∴π=．故选：B．点评：本题考查圆锥体积公式，考查学生的阅读理解能力，属于基础题．9．（5分）（2014•湖北）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点．且∠F1PF2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）A．B．C．3D．2考点：椭圆的简单性质；余弦定理；双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理即可得到结论．解答：解：设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a1，（a＞a1），半焦距为c，由椭圆和双曲线的定义可知，设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，椭圆和双曲线的离心率分布为e1，e2∵∠F1PF2=，∴由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos，①在椭圆中，①化简为即4c2=4a12+3r1r2，即，②在双曲线中，①化简为即4c2=4a22+r1r2，即，③联立②③得，=4，由柯西不等式得（1+）（）≥（1×+）2，即（）=即，d当且仅当时取等号，故选：A点评：本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键．难度较大．10．（5分）（2014•湖北）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=（|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2），若∀x∈R，f（x﹣1）≤f（x），则实数a的取值范围为（）A．[﹣，]B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣，]考点：函数恒成立问题；函数奇偶性的判断；函数最值的应用．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：把x≥0时的f（x）改写成分段函数，求出其最小值，由函数的奇偶性可得x＜0时的函数的最大值，由对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），可得2a2﹣（﹣4a2）≤1，求解该不等式得答案．解答：解：当x≥0时，f（x）=，由f（x）=x﹣3a2，x＞2a2，得f（x）＞﹣a2；当a2＜x＜2a2时，f（x）=﹣a2；由f（x）=﹣x，0≤x≤a2，得f（x）≥﹣a2．∴当x＞0时，．∵函数f（x）为奇函数，∴当x＜0时，．∵对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），∴2a2﹣（﹣4a2）≤1，解得：．故实数a的取值范围是．故选：B．点评：本题考查了恒成立问题，考查了函数奇偶性的性质，运用了数学转化思想方法，解答此题的关键是由对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x）得到不等式2a2﹣（﹣4a2）≤1，是中档题．二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．11．（5分）（2014•湖北）设向量=（3，3），=（1，﹣1），若（+λ）⊥（﹣λ），则实数λ=±3．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：平面向量及应用．分析：根据向量垂直与向量坐标之间的关系建立方程关系，即可得到结论．解答：解：∵向量=（3，3），=（1，﹣1），∴向量||=3，||=，向量•=3﹣3=0，若（+λ）⊥（（﹣λ）），则（+λ）•（（﹣λ）=，即18﹣2λ2=0，则λ2=9，解得λ=±3，故答案为：±3，点评：本题主要考查向量垂直的坐标公式的应用，比较基础．12．（5分）（2014•湖北）直线l1：y=x+a和l2：y=x+b将单位圆C：x2+y2=1分成长度相等四段弧，则a2+b2=2．考点：直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：由题意可得，圆心（0，0）到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的，即==cos45°，由此求得a2+b2的值．解答：解：由题意可得，圆心（0，0）到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的，∴==cos45°=，∴a2+b2=2，故答案为：2．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，得到∴==cos45°=，是解题的关键，属于基础题．13．（5分）（2014•湖北）设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字三位数，将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数记为I（a），按从大到小排成的三位数记为D（a）（例如a=815，则I（a）=158，D（a）=851），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果b=495．考点：程序框图．专题：计算题；算法和程序框图．分析：给出一个三位数的a值，实验模拟运行程序，直到满足条件，确定输出的a值，可得答案．解答：解：由程序框图知：例当a=123，第一次循环a=123，b=321﹣123=198；第二次循环a=198，b=981﹣189=792；第三次循环a=792，b=972﹣279=693；第四次循环a=693，b=963﹣369=594；第五次循环a=594，b=954﹣459=495；第六次循环a=495，b=954﹣459=495，满足条件a=b，跳出循环体，输出b=495．故答案为：495．点评：本题通过新定义题型考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．三、解答题14．（2014•湖北）设f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，且f（x）＞0，对任意a＞0，b＞0，若经过点（a，f（a）），（b，﹣f（b））的直线与x轴的交点为（c，0），则称c为关于函数f（x）的平均数，记为M f（a，b），例如，当f（x）=1（x＞0）时，可得M f（a，b）=c=，即M f（a，b）为a，b的算术平均数．（1）当f（x）=（x＞0）时，M f（a，b）为a，b的几何平均数；（2）当f（x）=x（x＞0）时，M f（a，b）为a，b的调和平均数；（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）考点：平均值不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）设f（x）=，（x＞0），在经过点（a，）、（b，﹣）的直线方程中，令y=0，求得x=c=，从而得出结论．（2）设f（x）=x，（x＞0），在经过点（a，a）、（b，﹣b）的直线方程中，令y=0，求得x=c=，从而得出结论．解答：解：（1）设f（x）=，（x＞0），则经过点（a，）、（b，﹣）的直线方程为=，令y=0，求得x=c=，∴当f（x）=，（x＞0）时，M f（a，b）为a，b的几何平均数，故答案为：．（2）设f（x）=x，（x＞0），则经过点（a，a）、（b，﹣b）的直线方程为=，令y=0，求得x=c=，∴当f（x）=x（x＞0）时，M f（a，b）为a，b的调和平均数，故答案为：x．点评：本题主要考查新定义，用两点式求直线的方程，属于中档题．15．（2014•湖北）如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点，若QC=1，CD=3，则PB=4．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；几何证明．分析：利用切割线定理可得QA2=QC•QD，可求QA，可得PA，利用圆的切线长定理，可得PB．解答：解：∵QA是⊙O的切线，∴QA2=QC•QD，∵QC=1，CD=3，∴QA2=4，∴QA=2，∴PA=4，∵PA，PB是⊙O的切线，∴PB=PA=4．故答案为：4．点评：本题考查圆的切线长定理，考查切割线定理，考查学生的计算能力，属于基础题．16．（2014•湖北）已知曲线C1的参数方程是（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=2，则C1与C2交点的直角坐标为（，1）．考点：点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程．专题：直线与圆．分析：把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程，再把两曲线的方程联立方程组求得C1与C2交点的直角坐标．解答：解：把曲线C1的参数方程是（t为参数），消去参数化为直角坐标方程为x2=3y2（x≥0，y≥0）．曲线C2的极坐标方程是ρ=2，化为直角坐标方程为x2+y2=4．解方程组，求得，∴C1与C2交点的直角坐标为（，1），故答案为：（，1）．点评：本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，求两条曲线的交点，属于基础题．17．（11分）（2014•湖北）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：f（t）=10﹣，t∈[0，24）（Ⅰ）求实验室这一天的最大温差；（Ⅱ）若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）利用两角和差的正弦公式化简函数解析式为f（t）10﹣2sin（t+），t∈[0，24），利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的最大值及最小值，可得实验室这一天的最大温差．（Ⅱ）由题意可得，当f（t）＞11时，需要降温，由f（t）＞11，求得sin（t+）＜﹣，即≤t+＜，解得t的范围，可得结论．解答：解：（Ⅰ）∵f（t）=10﹣=10﹣2sin（t+），t∈[0，24），∴≤t+＜，故当t+=时，函数取得最大值为10+2=12，当t+=时，函数取得最小值为10﹣2=8，故实验室这一天的最大温差为12﹣8=4℃．（Ⅱ）由题意可得，当f（t）＞11时，需要降温，由（Ⅰ）可得f（t）=10﹣2sin（t+），由10﹣2sin（t+）＞11，求得sin（t+）＜﹣，即≤t+＜，解得10＜t＜18，即在10时到18时，需要降温．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象特征，两角和差的正弦公式，正弦函数的定义域和值域，三角不等式的解法，属于中档题．18．（12分）（2014•湖北）已知等差数列{a n}满足：a1=2，且a1，a2，a5成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记S n为数列{a n}的前n项和，是否存在正整数n，使得S n＞60n+800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．考点：等差数列的性质；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）设出数列的公差，利用等比中项的性质建立等式求得d，则数列的通项公式可得．（Ⅱ）利用（Ⅰ）中数列的通项公式，表示出S n根据S n＞60n+800，解不等式根据不等式的解集来判断．解答：解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，依题意，2，2+d，2+4d成比数列，故有（2+d）2=2（2+4d），化简得d2﹣4d=0，解得d=0或4，当d=0时，a n=2，当d=4时，a n=2+（n﹣1）•4=4n﹣2．（Ⅱ）当a n=2时，S n=2n，显然2n＜60n+800，此时不存在正整数n，使得S n＞60n+800成立，当a n=4n﹣2时，S n==2n2，令2n2＞60n+800，即n2﹣30n﹣400＞0，解得n＞40，或n＜﹣10（舍去），此时存在正整数n，使得S n＞60n+800成立，n的最小值为41，综上，当a n=2时，不存在满足题意的正整数n，当a n=4n﹣2时，存在满足题意的正整数n，最小值为41点评：本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．要求学生对等差数列和等比数列的通项公式，求和公式熟练记忆．19．（12分）（2014•湖北）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP=BQ=λ（0＜λ＜2）（Ⅰ）当λ=1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ；（Ⅱ）是否存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）建立坐标系，求出=2，可得BC1∥FP，利用线面平行的判定定理，可以证明直线BC1∥平面EFPQ；（Ⅱ）求出平面EFPQ的一个法向量、平面MNPQ的一个法向量，利用面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，建立方程，即可得出结论．解答：（Ⅰ）证明：以D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴的正半轴，建立坐标系，则B（2，2，0），C1（0，2，2），E（2，1，0），F（1，0，0），P（0，0，λ），∴=（﹣2，0，2），=（﹣1，0，λ），=（1，1，0）λ=1时，=（﹣2，0，2），=（﹣1，0，1），∴=2，∴BC1∥FP，∵FP⊂平面EFPQ，BC1⊄平面EFPQ，∴直线BC1∥平面EFPQ；（Ⅱ）设平面EFPQ的一个法向量为=（x，y，z），则，∴取=（λ，﹣λ，1）．同理可得平面MNPQ的一个法向量为=（λ﹣2，2﹣λ，1），若存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，则•=λ（λ﹣2）﹣λ（2﹣λ）+1=0，∴λ=1±．∴存在λ=1±，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角．点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查存在性问题，解题时要合理地化空间问题为平面问题，注意向量法的合理运用．20．（12分）（2014•湖北）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和．单位：亿立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，假设各年的年入流量相互独立．（Ⅰ）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；（Ⅱ）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：年入流量X 40＜X＜80 80≤X≤120 X＞120发电机最多可运行台数1 2 3若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元，若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）先求出年入流量X的概率，根据二项分布，求出未来4年中，至少有1年的年入流量超过120的概率；（Ⅱ）分三种情况进行讨论，分别求出一台，两台，三台的数学期望，比较即可得到．解答：解：（Ⅰ）依题意，p1=P（40＜X＜80）=，，，由二项分布，未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率为=（Ⅱ）记水电站的总利润为Y（单位，万元）（1）安装1台发电机的情形，由于水库年入流总量大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y=5000，E（Y）=5000×1=5000，（2）安装2台发电机的情形，依题意，当40＜X＜80时，一台发电机运行，此时Y=5000﹣800=4200，因此P（Y=4200）=P（40＜X＜80）=p1=，当X≥80时，两台发电机运行，此时Y=5000×2=10000，因此，P（Y=10000）=P（X≥80）=P2+P3=0.8，由此得Y的分布列如下Y 4200 10000P 0.2 0.8所以E（Y）=4200×0.2+10000×0.8=8840．（2）安装3台发电机的情形，依题意，当40＜X＜80时，一台发电机运行，此时Y=5000﹣1600=3400，因此P（Y=3400）=P（40＜X＜80）=p1=0.2，当80≤X≤120时，两台发电机运行，此时Y=5000×2﹣800=9200，因此，P（Y=9200）=P（80≤X≤120）=p2=0.7，当X＞120时，三台发电机运行，此时Y=5000×3=15000，因此，P（Y=15000）=P（X＞120）=p3=0.1，由此得Y的分布列如下Y 3400 9200 15000P 0.2 0.7 0.1所以E（Y）=3400×0.2+9200×0.7+15000×0.1=8620．综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．点评：本题主要考查了数学期望和二项分布，再求最大利润时，需要分类讨论，属于中档题．21．（14分）（2014•湖北）在平面直角坐标系xOy中，点M到点F（1，0）的距离比它到y轴的距离多1，记点M 的轨迹为C．（Ⅰ）求轨迹C的方程；（Ⅱ）设斜率为k的直线l过定点P（﹣2，1），求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．考点：轨迹方程；直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设出M点的坐标，直接由题意列等式，整理后即可得到M的轨迹C的方程；（Ⅱ）设出直线l的方程为y﹣1=k（x+2），和（Ⅰ）中的轨迹方程联立化为关于y的一元二次方程，求出判别式，再在直线y﹣1=k（x+2）中取y=0得到．然后分判别式小于0、等于0、大于0结合x0＜0求解使直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．解答：解：（Ⅰ）设M（x，y），依题意得：|MF|=|x|+1，即，化简得，y2=2|x|+2x．∴点M的轨迹C的方程为；（Ⅱ）在点M的轨迹C中，记C1：y2=4x（x≥0），C2：y=0（x＜0）．依题意，可设直线l的方程为y﹣1=k（x+2）．由方程组，可得ky2﹣4y+4（2k+1）=0．①当k=0时，此时y=1，把y=1代入轨迹C的方程，得．故此时直线l：y=1与轨迹C恰好有一个公共点（）．②当k≠0时，方程ky2﹣4y+4（2k+1）=0的判别式为△=﹣16（2k2+k﹣1）．设直线l与x轴的交点为（x0，0），则由y﹣1=k（x+2），取y=0得．若，解得k＜﹣1或k＞．即当k∈时，直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点．若或，解得k=﹣1或k=或．即当k=﹣1或k=时，直线l与C1只有一个公共点，与C2有一个公共点．当时，直线l与C1有两个公共点，与C2无公共点．故当k=﹣1或k=或时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点．若，解得﹣1＜k＜﹣或0＜k＜．即当﹣1＜k＜﹣或0＜k＜时，直线l与C1有两个公共点，与C2有一个公共点．此时直线l与C恰有三个公共点．综上，当k∈∪{0}时，直线l与C恰有一个公共点；当k∪{﹣1，}时，直线l与C恰有两个公共点；当k∈时，直线l与轨迹C恰有三个公共点．点评：本题考查轨迹方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，体现了分类讨论的数学思想方法，重点是做到正确分类，是中档题．22．（14分）（2014•湖北）π为圆周率，e=2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）求函数f（x）=的单调区间；（Ⅱ）求e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数中的最大数和最小数；（Ⅲ）将e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）先求函数定义域，然后在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可得到单调增、减区间；（Ⅱ）由e＜3＜π，得eln3＜elnπ，πlne＜πln3，即ln3e＜lnπe，lneπ＜ln3π．再根据函数y=lnx，y=e x，y=πx 在定义域上单调递增，可得3e＜πe＜π3，e3＜eπ＜3π，从而六个数的最大数在π3与3π之中，最小数在3e与e3之中．由e＜3＜π及（Ⅰ）的结论，得f（π）＜f（3）＜f（e），即，由此进而得到结论；（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，3e＜πe＜π3＜3π，3e＜e3，又由（Ⅱ）知，，得πe＜eπ，故只需比较e3与πe和eπ与π3的大小．由（Ⅰ）可得0＜x＜e时，．，令x=，有ln＜，从而2﹣lnπ，即得lnπ．①，由①还可得lnπe＞lne3，3lnπ＞π，由此易得结论；解答：解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），∵f（x）=，∴f′（x）=，当f′（x）＞0，即0＜x＜e时，函数f（x）单调递增；当f′（x）＜0，即x＞e时，函数f（x）单调递减．故函数f（x）的单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，+∞）．（Ⅱ）∵e＜3＜π，∴eln3＜elnπ，πlne＜πln3，即ln3e＜lnπe，lneπ＜ln3π．于是根据函数y=lnx，y=e x，y=πx在定义域上单调递增，可得3e＜πe＜π3，e3＜eπ＜3π，故这六个数的最大数在π3与3π之中，最小数在3e与e3之中．由e＜3＜π及（Ⅰ）的结论，得f（π）＜f（3）＜f（e），即，由，得lnπ3＜ln3π，∴3π＞π3；由，得ln3e＜lne3，∴3e＜e3．综上，6个数中的最大数是3π，最小数是3e．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，3e＜πe＜π3＜3π，3e＜e3，又由（Ⅱ）知，，得πe＜eπ，故只需比较e3与πe和eπ与π3的大小．由（Ⅰ）知，当0＜x＜e时，f（x）＜f（e）=，即．在上式中，令x=，又，则ln＜，从而2﹣lnπ，即得lnπ．①由①得，elnπ＞e（2﹣）＞2.7×（2﹣）＞2.7×（2﹣0.88）=3.024＞3，即elnπ＞3，亦即lnπe＞lne3，∴e3＜πe．又由①得，3lnπ＞6﹣＞6﹣e＞π，即3lnπ＞π，∴eπ＜π3．综上可得，3e＜e3＜πe＜eπ＜π3＜3π，即6个数从小到大顺序为3e，e3，πe，eπ，π3，3π．点评：本题考查利用导数研究函数的单调性及其应用、数值的大小比较，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力，难度较大．。

2014年湖北省高考数学理科试题及解析1. 为虚数单位，A. －1B.1C. －D.【解题提示】利用复数的运算法则进行计算【解析】选A.2.若二项式的展开式中的系数是84，则实数＝A. 2B.C.1D.【解题提示】考查二项式定理的通项公式【解析】选C. 因为，令，得，所以，解得a＝1.3.设为全集，是集合，则“存在集合使得”是“”的A. 充分而不必要的条件B. 必要而不充分的条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要的条件【解题提示】考查集合与集合的关系，充分条件与必要条件的判断【解析】选C. 依题意，若，则，当，可得；若，不妨另，显然满足，故满足条件的集合是存在的.4.x 3 4 5 6 7 8y 4.0 2.5 -0.5 0.5 -2.0 -3.0得到的回归方程为，则A. B. C. D.【解题提示】考查根据已知样本数判绘制散点图，由散点图判断线性回归方程中的与的符号问题【解析】选B.画出散点图如图所示，y的值大致随x的增加而减小，因而两个变量呈负相关，所以，5..在如图所示的空间直角坐标系中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为A.①和②B.③和①C. ④和③D.④和②【解题提示】考查由已知条件，在空间坐标系中作出几何体的大致形状，进一步得到正视图与俯视图【解析】选D. 在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为④与俯视图为②，故选D.6.若函数f(x)，满足，则称f(x)，为区间[-1,1] 上的一组正交函数，给出三组函数：①；②；③其中为区间的正交函数的组数是（）A.0B.1C.2D.3【解题提示】考查微积分基本定理的运用【解析】选C. 对①，，则、为区间上的正交函数；对②，，则、不为区间上的正交函数；对③，，则、为区间上的正交函数.所以满足条件的正交函数有2组.7.由不等式确定的平面区域记为，不等式，确定的平面区域记为，在中随机取一点，则该点恰好在内的概率为（）A. B. C. D.【解题提示】首先根据给出的不等式组表示出平面区域，然后利用面积型的几何概型公式求解【解析】选D. 依题意，不等式组表示的平面区域如图，由几何概型概率公式知，该点落在内的概率为.8.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，另相乘也。

2014年湖北省七市(州)高三年级联合考试数学试题（理工类）第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U R =，集合{}{|lg 0,|2xA x xB x =≤=≤，则A B ⋃=A ．∅B ．1(0,]3C ．1[,1]3D ．(,1]-∞ 2．下列说法错误的是A ．命题“若2560x x -+=，则2x =”的逆否命题是“若2x ≠，则2560x x -+≠”B ．已知命题p 和q ，若p q ∨为假命题，则命题p 与q 中必一真一假C ．若,x y R ∈，则“x y =”是“22x y xy +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭”的充要条件D ．若命题2000:,10p x R x x ∃∈++<，则2:,10p x R x x ⌝∀∈++≥3．为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图(两坐标轴单位长度相同)，用回归直线ˆy bx a =+近似的刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是A ．线性相关关系较强，b 的值为1.25B ．线性相关关系较强，b 的值为0.83C ．线性相关关系较强，b 的值为0.87-D ．线性相关关系太弱，无研究价值4．某个几何体的三视图如图所示(其中正视图中的圆弧是半径为2的半圆)，则该几何体的表面积为A ．9224π+B ．8224π+C ．9214π+D ．8214π+ 5．阅读如图所示的程序框图，则输出结果s 的值为A ．116 B．16C ．18D ．126．已知函数()f x 与()g x 的图象在R 上不间断，由下表知方程()()f x g x =有实数解的区间是A ．(-1，0)B 7．已知O 为坐标原点，,A B 两点的坐标均满足不等式组3103010x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，设OA 与OB的夹角为θ，则tanθ的最大值为 A ．12 B．47 C ．34D ．948．设两条直线的方程分别为0,0x y a x y b ++=++=，已知,a b 是方程20x x c ++=的两个实根，且108c ≤≤，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是 A 14 B C 12 D 129．如果对定义在R 上的函数()f x ，对任意12x x ≠，都有11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+则称函数()f x 为“H 函数”．给出下列函数： ①31y x x =-++；②32(s i n c o s y x xx =--；③1x y e =+；④l n ||,0()0,0xx f x x ≠⎧=⎨=⎩．其中函数式“H 函数”的个数是：A ．4B ．3C ．2D ．110．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两个焦点为12,F F ，其中一条渐近线方程为()2by x b N *=∈，P 为双曲线上一点，且满足5OP <(其中O 为坐标原点)，若1PF 、12F F 、2PF 成等比数列，则双曲线C 的方程为A ．2214x y -=B ．221x y -= C ．22149x y -= D ．221416x y -=第Ⅱ卷(非选择题，共100分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，考生共需作答5题，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，横棱两可均不得分．（一）必考题：（11-14题）11．若i 为虚数单位，图中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z 表示复数z ，则复数12zi-的共轭复数是 ． 12．设6260126(23)(1)(1)(1)x a a x a x a x -=+-+-++- ，则4a = ． 13．物体A 以速度231v t =+（t 的单位：,s v 的单位：/m s ）在一直线上运动，在此直线上与物体A 出发的同时，物体B 在物体A 的正前方5m 处以10v t =（t 的单位：,s v 的单位：/m s ）的速度与A 同向运动，则两物体相遇时物体A 运动的距离为 m ． 14．将长度为l ，（4,l l N *≥∈）的线段分成n （3n ≥）段，每段长度均为正整数，并要求这n 段中的任意三段都不能构成三角形．例如，当4l =时，只可以分为长度分别为1，1，2的三段，此时n 的最大值为3；当7l =时，可以分为长度分别为1，2，4的三段或长度分别为1，1，2，3的四段，此时n 的最大值为4．则： （1）当12l =时，n 的最大值为 ； （2）当100l =时，n 的最大值为 ．（二）选考题：请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号的方框用2B 铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分． 15．（几何证明选讲）如图，已知PA 是⊙O 的切线，A 是切点，直线PO 交⊙O 于,B C 两点，D 是OC 的中点，连接AD 并延长交⊙O 于点E，若PA =30APB ∠=︒，则AE = ．16．（坐标系与参数方程）在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点、x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的极坐标为)4π，曲线C的参数方程为1x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），则点M 到曲线C 上的点的距离的最小值为 ．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知向量2(cos ,1),,cos )222x x x m n =-= ，设函数()1f x m n =⋅+．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足226cos a b ab C +=，2sin 2sin sin C A B =，求()f C 的值．18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，其中111a b ==，22a b ≠，且2b 为12,a a 的等差中项，2a 为23,b b 的等差中项．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）记12121()()n n n c a a a b b b n=++++++ ，求数列{}n c 的前n 项和n S ．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，90ABC ∠=︒，AD ∥BC ，且2PA AD ==，1AB BC ==，E 为PD 的中点． （Ⅰ）设PD 与平面PAC 所成的角为α，二面角P CD A --的大小为β，求证：tan cos αβ=．（Ⅱ）在线段AB 上是否存在一点F （与A ，B 两点不重合)，使得AE ∥平面PCF ？若存在，求AF 的长；若不存在，请说明理由． 20．（本小题满分12分）小明家订了一份报纸，寒假期间他收集了每天报纸送达时间的数据，并绘制成频率分布直方图，如图所示． （Ⅰ）根据图中的数据信息，求出众数0x ； （Ⅱ）小明的父亲上班离家的时间y 在上午7：00至7：30之间，而送报人每天在0x 时刻前后半小时内把报纸送达（每个时间点送达的可能性相等）①求小明的父亲在上班离家前能收到报纸（称为事件A ）的概率；②求小明的父亲周一至周五在上班离家前能收到报纸的天数X 的数学期望．21．（本小题满分13分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -+=相切．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设(4,0)A -，过点(3,0)R 作与x 轴不重合的直线l 交椭圆于,P Q 两点，连结AP ，AQ 分别交直线163x =于,M N 两点，试问直线,MR NR 的斜率之积是否为定值，若为定值，请求出；若不为定值，请说明理由．22．（本小题满分14分）已知函数211()ln ,()22f x x xg x x ==+． (Ⅰ)设()()()F x f x g x =+，求函数()F x 的图像在1x =处的切线方程： (Ⅱ)求证：()()f x e g x ≥对任意的(0,)x ∈+∞恒成立；(Ⅲ)若,,a b c R +∈，且2223a b c ++=，求证：222()()()6111ab c b c c a a b a b c +++++≤+++．2014年湖北省七市（州）高三年级联合考试数学试题(理工类)参考答案A 卷：1~5：ACBAD 6~10 ：BCDBA B 卷1~5：DBBCA 6~10 ：BCDCA11、i - 12、240 13、130 14、（1）5n =；（2）9n =（注：第一问2分，第二问3分）15、71617、解：（1）211()cos cos 1cos 22222x x x f x x x =-+=-+ 1sin 62x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 4分令222,22()26233k x k k x k k Z πππππππππ-≤-≤+-≤≤+∈ 6分所以所求增区间为2[2,2]()33k k k Z ππππ-+∈ 7分 （2）由226cos a b ab C +=，2sin 2sin sin C A B =，22c ab = 8分2226c o s 2c o s3c o s 122a b c ab C ab C C ab ab+--===-，即1cos 2C = 10分 又∵0C π<<，3C π=11分 ()()13f C f π∴== 12分18.解：（1）设公比及公差分别为,q d 由2122232,2b a a a b b =+=+得1,0q d ==或2,2q d ==， 3分 又由22a b ≠，故2,2q d == 4分 从而121,2n n n a n b -=-= 6分（2）21(21)2nn n c n n n n=⋅⋅-=⋅- 8分 12(12222)(12)n n S n n =⋅+⋅++⋅-+++ 9分 令1231222322n n T n =⋅+⋅+⋅++⋅ ① 234121222322n n T n +=⋅+⋅+⋅++⋅ ② 由②—①得1(1)22n n T n +=-⋅+ 11分 ∴1(1)(1)222n n n n S n ++=-⋅-+ 12分19.解法一：(1)证明：AC CD == 又2AD =A C C D ∴⊥ 1分又PA ⊥平面ABCD ，PA DC ∴⊥,DC ∴⊥面PAC 2分∴DPC α=∠tan DC PC α∴===3分,cos AC PCA PC ββ=∠===5分 ∴t a n c o s αβ= 6分(2) 取AD 的中点Q ，连PQ 交AE 于M ,由PAM ∆与QME ∆相似得，2PMMQ=, 7分在PC 上取点N ,使2PN NC =,则2,3MN QC MN QC =∥, 8分 在AB 上取点F 使2233AF AB ==,由于AB 平行且等于QC ,故有AF 平行且等于MN ， 9分四边形AMNF 为平行四边形，所以FN AE ∥, 10分 而FN PFC ⊂, 故有AE ∥平面PCF , 11分所以在线段AB 上存在一点F 使得AE ∥平面PCF ，AF 的长为23. 12分解法二：（1）同解法一；（2）如图，以A 为原点，,,AB AD AP 所在直线分别为,,x y z 轴，建立直角坐标系，则(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,2,0),(0,0,2)A B C D P ,E 为PD 的中点,则(0,1,1)E 7分假设存在符合条件的点(,0,0)(01)F a a <<，则(1,1,0),(1,1,2),(0,1,1)CF a CP AE =--=--=共面，故存在实数,m n ，使得CF mCP nAE =+9分 即1102a m m n m n-=-⎧⎪-=-+⎨⎪=+⎩，故有231323a m n ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩即22(,0,0),33F AF = 11分即存在符合条件的点F ，AF 的长为23. 12分 20.解：（1）07:00x = 2分 （2）①设报纸送达时间为x ，则小明父亲上班前能取到报纸等价于 6.57.577.5x y x y ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤⎩，如图可知，所求概率为1381142P =-= 8分 ②X服从二项分布，故315544EX =⨯=（天）12分 21.解（1）b ==222221,164a b e a a -===，故22:11612x y C += 4分（2）设1122(,),(,)P x y Q x y ，若直线PQ 与纵轴垂直，则,M N 中有一点与A 重合，与题意不符， 故可设直线:3PQ x my =+. 5分将其与椭圆方程联立，消去x 得：22(34)18210m y my ++-= 6分1212221821,3434m y y y y m m --+==++ 7分 由,,A P M 三点共线可知，1116443M y yx =++，112834M y y x =⋅+， 8分同理可得222834N y y x =⋅+ 9分 1212916161649(4)(4)3333N M N M MR NR y y y y y y k k x x ⋅⋅=⋅==++-- 10分 而212121212(4)(4)(7)(7)7()49x x my my m y y m y y ++=++=+++ 11分所以2222211616(21)1234211844977493434MR NR m k k m m m m m -⨯⨯-+⋅===---⨯⋅+⋅+++故直线MR 、NR 的斜率为定值127-. 13分22．解：（1）211()()()ln 22F x f x g x x x x =+=++，()1ln F x x x '=++，则(1)1F =(1)2F '=，∴()F x 图像在1x =处的切线方程为12(1)y x -=-即210x y --= 3分（2）令()ln 211()()22f x x x G x eg x e x =-=--，ln ()(1ln )x x G x e x x '=+- 4分 则ln 2ln ln 2(1)ln 1()(1ln )1(1ln )1x x x x x x x x G x e x ee x e x-''=++⋅-=++- ∵1x -与ln x 同号 ∴(1)ln 0x x -≥ ∴(1)ln 10x xe--≥ ∴()0G x ''> ∴()G x '在(0,)+∞单调递增 6分 又(1)0G '=，∴当(0,1)x ∈时，()0G x '<；当(1,)x ∈+∞时，()0G x '> ∴()G x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增 ∴min ()(1)0G x G ==∴()0G x ≥ 即()()f x eg x ≥对任意的(0,)x ∈+∞恒成立 8分 （3）由（2）知21122xx x ≥+ 9分则222222222()()()()()()131313*********a b c b c c a a b b c c a a b a b c a b c ++++++++≤++++++++222222222222()()()2222b c c a a b a b c a b c a b c ⎡⎤+++=++⎢⎥++++++⎣⎦11分 由柯西不等式得22222222222()()()()b c a b a c b c a b a c ⎡⎤++++≥+⎣⎦++ ∴2222()2b c a b c +≤++222222b c a b a c +++ 13分同理2222()2b c a b c +≤++222222c a a b b c +++ 2222()2a b a b c+≤++222222a b a c b c +++ 三个不等式相加即得证。

2014年湖北省七市（州）高三四月调考数学试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.已知全集U=R，集合A={x|lgx≤0}，B={x|2x≤}，则A∪B=（）A.∅B.（0，]C.[，1]D.（-∞，1]【答案】D【解析】解：∵集合A={x|lgx≤0}={x|0＜x≤1}，B={x|2x≤}={x|2x≤}={x|x≤}，∴A∪B={x|x≤1}，故选：D．解对数不等式求得A，解指数不等式求得B，再根据两个集合的并集的定义求得A∪B．本题主要考查指数不等式、对数不等式的解法，两个集合的并集的定义和求法，属于基础题．2.下列说法错误的是（）A.命题“若x2-5x+6=0，则x=2”的逆否命题是“若x≠2，则x2-5x+6≠0”B.已知命题p和q，若p∨q为假命题，则命题p与q中必一真一假C.若x，y∈R，则“x=y”是“xy≥”的充要条件D.若命题p：∃x0∈R，x02+x0+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2+x+1≥0【答案】B【解析】解：A．由“若p则q”的逆否命题是“若￢q则￢p”，得A正确；B．已知命题p和q，若p∨q为假命题，则p，q均为假命题，若p∨q为真命题，则p，q中至少一个为真命题，故B不正确；C．若x，y∈R，则“x=y”．可推出“xy≥”，又“xy≥”可推出“x2+y2-2xy≤0”即“（x-y）2≤0”即“x=y”，故C正确；D．由命题的否定方法得D正确．故选：B．由四种命题及关系判断A；根据复合命题p∨q的真假，可判断B；由充分必要条件的定义来判断C；由存在性命题的否定是全称性命题，可判断D．本题考查简易逻辑的基础知识：四种命题及关系，复合命题的真假性，充分必要条件和命题的否定的形式，应注意与否命题的区别，是一道基础题．3.为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图（两坐标轴单位长度相同），用回归直线=bx+a近似的刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是（）A.线性相关关系较强，b的值为1.25B.线性相关关系较强，b的值为0.83C.线性相关关系较强，b的值为-0.87D.线性相关关系太弱，无研究价值【答案】B【解析】解：由散点图可得，点的分布比较集中在一条直线赋值，∴语文成绩和英语成绩之间具有线性相关关系，且线性相关关系较强，由于所有的点都在直线y=x的下方，∴回归直线的斜率小于1，故结论最有可能成立的是B，故选：B．根据散点图中点的分布特点即可得到结论．本题主要考查散点图的应用，根据图象是解决本题的关键，比较基础．4.某几何体的三视图如图（其中侧视图中的圆弧是半圆），则该几何体的表面积为（）A.92+14πB.82+14πC.92+24πD.82+24π【答案】A【解析】解：由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成的，下面是棱长为5，4，4的长方体；上面是一个半圆柱，其轴截面与长方体的上面重合．∴该几何体的表面积=5×4×3+4×4×2+π×22+2π×5=92+14π．故选A．由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成的，下面是棱长为5，4，4的长方体；上面是一个半圆柱，其轴截面与长方体的上面重合．据此即可得出该几何体的表面积．由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．5.阅读如图所示的程序框图，输出结果s的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：由题意，该程序按如下步骤运行经过第一次循环得到s=cos，n=2，；经过第二次循环得到s=cos cos，n=3；经过第三次循环得到s=cos cos cos，n=4；经过第四次循环得到s=cos cos cos cos，n=5此时不满足n≥4，输出最后的s因此，输出结果s=cos cos cos cos=×=×=×=×=故选：C由程序中的变量、各语句的作用，结合流程图所给的顺序，可知该程序经过四次循环，得到当n=5时不满足n≥4，输出最后的s=cos cos cos cos，再用三角恒等变换进行化简整理，即可得到本题答案．题给出程序框图，求最后输出的s值，着重考查了程序框图的理解、用三角恒等变换求三角函数值等知识，属于基础题．6.已知函数f（x）与g（x）的图象在R上不间断，由下表知方程f（x）=g（x）有实数解的区间是（）A.（-1，0）B.（0，1）C.（1，2）D.（2，3）【答案】B【解析】解：构造函数F（x）=f（x）-g（x），则由题意，F（0）=3.011-3.451＜0，F（1）=5.432-5.241＞0，∴函数F（x）=f（x）-g（x）有零点的区间是（0，1），∴方程f（x）=g（x）有实数解的区间是（0，1），故选：B．构造函数F（x）=f（x）-g（x），则由题意，F（0）=3.011-3.451＜0，F（1）=5.432-5.241＞0，即可得出结论．本题考查方程f（x）=g（x）有实数解的区间，考查函数的零点，考查学生的计算能力，属于基础题．7.已知O为坐标原点，A，B两点的坐标均满足不等式组，设与的夹角为θ，则tanθ的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：作出不等式组对应的平面区域，要使tanθ最大，则由，得，即A（1，2），由，得，即B（2，1），∴此时夹角θ最大，则，，，，则cosθ==，∴sin，此时tan=，故选：C．作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合求出A，B的位置，利用向量的数量积求出夹角的余弦，即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，以及向量的数量积运算，利用数形结合是解决本题的关键．8.设两条直线的方程分别为x+y+a=0，x+y+b=0，已知a，b是方程x2+x+c=0的两个实根，且0≤c≤，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是（）A.， B.， C.， D.，【答案】C【解析】解：因为a，b是方程x2+x+c=0的两个实根，所以a+b=-1，ab=c，两条直线之间的距离d=，∴d2==，因为0≤c≤，所以≤1-4c≤1，即d2，，所以两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是，．故选C．利用方程的根，求出a，b，c的关系，求出平行线之间的距离表达式，然后求解距离的最值．本题考查平行线之间的距离的求法，函数的最值的求法，考查计算能力．9.如果对定义在R上的函数f（x），对任意x1≠x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）则称函数f（x）为“H函数”．给出下列函数：①y=-x3+x+1；②y=3x-2（sinx-cosx）；③y=e x+1；④f（x）=，，．其中函数式“H函数”的个数是（）A.4B.3C.2D.1【答案】C【解析】解：∵对于任意给定的不等实数x1，x2，不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）恒成立，∴不等式等价为（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0恒成立，即函数f（x）是定义在R上的增函数．①y=-x3+x+1；y'=-3x2+1，则函数在定义域上不单调．②y=3x-2（sinx-cosx）；y'=3-2（cosx+sinx）=3-2sin（x+）＞0，函数单调递增，满足条件．③y=e x+1为增函数，满足条件．④f（x）=，，，当x＞0时，函数单调递增，当x＜0时，函数单调递减，不满足条件．综上满足“H函数”的函数为②③，故选C．不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）等价为（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0，即满足条件的函数为单调递增函数，判断函数的单调性即可得到结论．本题主要考查函数单调性的应用，将条件转化为函数的单调性的形式是解决本题的关键．10.已知双曲线（a＞0，b＞0）的两个焦点为F1，F2，其中一条渐近线方程为y=x （b∈N*），P为双曲线上一点，且满足|OP|＜5（其中O为坐标原点），若|PF1|、|F1F2|、|PF2|成等比数列，则双曲线C的方程为（）A.-y2=1B.x2-y2=1C.-=1D.-=1【答案】A【解析】解：∵|F1F2|2=|PF1|•|PF2|，∴4c2=|PF1|•|PF2|，∵|PF1|-|PF2|=4，∴|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|•|PF2|=16，即：|PF1|2+|PF2|2-8c2=16，①设：∠POF1=θ，则：∠POF2=π-θ，由余弦定理得：|PF2|2=c2+|OP|2-2|OF2|•|OP|•cos（π-θ），|PF1|2=c2+|OP|2-2|OF1||OP|•cosθ整理得：|PF2|2+|PF1|2=2c2+2|OP|2②由①②化简得：|OP|2=8+3c2=20+3b2∵OP＜5，∴20+3b2＜25，∵b∈N，∴b2=1．∵一条渐近线方程为y=x（b∈N*），∴=，∴a=2，∴=1．故选：A．由已知条件推导出|PF1|2+|PF2|2-8c2=16，由余弦定理得|PF2|2+|PF1|2=2c2+2|OP|2，由此求出b2=1，由一条渐近线方程为y=x，求得a=2，由此能求出双曲线方程．本题考查双曲线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意余弦定理的合理运用．二、填空题(本大题共6小题，共30.0分)11.若i为虚数单位，图中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z表示复数z，则复数的共轭复数是______ ．【答案】-i【解析】解：由图可知：z=2+i，∴复数====i的共轭复数为-i．故答案为：-i．由图可知：z=2+i，再利用复数的运算法则和共轭复数的意义即可得出．本题考查了复数的运算法则和几何意义、共轭复数的意义，属于基础题．12.设（2x-3）6=a0+a1（x-1）+a2（x-1）2+…+a6（x-1）6，则a4= ______ ．【答案】240【解析】解：∵（2x-3）6=a0+a1（x-1）+a2（x-1）2+…+a6（x-1）6，∴（2x-1）6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6，∴通项为T r+1=，令6-r=4，则r=2，∴a4==240．故答案为：240．以x+1代替x，可得（2x-1）6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6，求出x4的系数，即可得出结论．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．13.物体A以速度v=3t2+1（t的单位：s，v的单位：m/s）在一直线上运动，在此直线上与物体A出发的同时，物体B在物体A的正前方5m处以v=10t（t的单位：s，v的单位：m/s）的速度与A同向运动，则两物体相遇时物体A运动的距离为______ m．【答案】130【解析】解：两物体相遇时A运动的距离为，B运动的距离为．由t3+t=5t2+5，得t=5．∴两物体相遇时A运动的距离为53+5=130．故答案为：130．由定积分求出两物体相遇时物体A运动的距离和物体B运动的距离，由距离相等列式求出t，代入距离函数求得答案．本题考查定积分，关键是对提议的理解，是基础题．14.将长度为l（l≥4，l∈N*）的线段分成n（n≥3）段，每段长度均为正整数，并要求这n段中的任意三段都不能构成三角形．例如，当l=4时，只可以分为长度分别为1，1，2的三段，此时n的最大值为3；当l=7时，可以分为长度分别为1，2，4的三段或长度分别为1，1，1，3的四段，此时n的最大值为4．则：（1）当l=12时，n的最大值为______ ；（2）当l=100时，n的最大值为______ ．【答案】5；9【解析】解：（1）当l=12时，n的最大值为5，此时能分成的n段的长度分别是1、1、1+1=2、1+2=3、2+3=5，（2）当l=100时，n的最大值为9，此时能分成的n段的长度分别是1、1、1+1=2、1+2=3、2+3=5，3+5=8，5+8=13，8+13=21，46故答案为：5，9若这n段中的任意三段都不能构成三角形，则分成的n 段中，首先取2个1分米，后面的数依次是前面两个数的和，依次即可求解．考查了三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．15.如图，已知PA是⊙O的切线，A是切点，直线PO交⊙O于B，C两点，D是OC的中点，连接AD并延长交⊙O于点E，若PA=2，∠APB=30°，则AE= ______ ．【答案】【解析】解：连接OA，过O作OF⊥AE，过A作AM⊥PC，如图所示，∵PA为圆O的切线，∴∠PAO=90°，又PA=2，∠APB=30°，∴∠AOD=120°，∴OA=PA tan30°=2×=2，又D为OC中点，故OD=1，根据余弦定理得：AD2=OA2+OD2-2OA•OD cos∠AOD=4+1+2=7，解得：AD=，∵在R t△APM中，∠APM=30°，且AP=2，∴AM=AP=，故三角形AOD的面积S=OD•AM=，则S=AD•OF=OF=，∴OF=，在R t△AOF中，根据勾股定理得：AF==，则AE=2AF=．故答案为：连接OA，由AP为圆的切线，得到∠PAO=90°，过A作AM垂直于AC，过O作OF 垂直于AE，根据垂径定理得到F为AE的中点，在直角三角形APO中，由AP的长及∠APO的度数，利用正切函数定义及特殊角的三角函数值求出半径OA的长，由D为OC的中点，可求出OD的长，同时得到∠AOD的度数，在三角形AOD中，根据余弦定理求出AD的长，再由OD及边上的高AM求出三角形AOD的面积，此三角形的面积还可以用AD及边上的高OF表示，进而求出OF的长，在直角三角形AOF中，由OA 和OF的长，利用勾股定理求出AF的长，进而求出AE的长．此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有锐角三角函数，勾股定理，直角三角形的性质，以及垂径定理，利用了数形结合的思想，直线与圆相切时，常常连接圆心与切点，构造直角三角形解决问题，直线与圆相交时，常常由弦心距，弦的一半及圆的半径构造直角三角形解决问题，学生做此类题应注意辅助线的作法．16.在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的极坐标为，，曲线C的参数方程为（α为参数）．求点M到曲线C上的点的距离的最小值______ ．【答案】5-【解析】解：由曲线C的参数方程，（α为参数），化成普通方程为：（x-1）2+y2=2，圆心为A（1，0），半径为r=，由于点M在曲线C外，故点M到曲线C上的点的距离的最小值为|MA|．故答案为：5-．利用x=ρcosθ，y=ρsinθ即可把点M的坐标化为直角坐标，进而即可求出直线OM 的方程；再把曲线C的参数方程化为化为普通方程，再利用|MA|-r即可求出最小值．充分利用极坐标与普通方程的互化公式及点M到曲线（圆）C上的点的距离的最小值为|MA|-r是解题的关键．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)17.已知向量=（cos，-1），=（sin，cos2），设函数f（x）=+1．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a2+b2=6abcos C，sin2C=2sin A sin B，求f（C）的值．【答案】解：（1）∵=（cos，-1），=（sin，cos2），∴f（x）=+1=sin cos-cos2=sinx-cosx+=sin（x-）+，令2kπ-≤x-≤2kπ+（k∈Z），得到2kπ-≤x≤2kπ+（k∈Z），所以所求增区间为[2kπ-，2kπ+]（k∈Z）；（2）由a2+b2=6abcos C，由sin2C=2sin A sin B，利用正弦定理化简得：c2=2ab，∴cos C===3cos C-1，即cos C=，又∵0＜C＜π，∴C=，∴f（C）=f（）=sin（-）+=+=1．【解析】（1）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出f（x）解析式，利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的递增区间即可确定出f（x）的递增区间；（2）已知第二个等式利用正弦定理化简，再利用余弦定理表示出cos C，将第一个等式及化简得到的关系式代入求出cos C的值，确定出C的度数，即可求出f（C）的值．此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，二倍角的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18.已知数列{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，其中a1=b1=1，a2≠b2，且b2为a1，a2的等差中项，a2为b2，b3的等差中项．（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（2）记c n=（a1+a2+…+a n）（b1+b2+…+b n），求数列{c n}的前n项和S n．【答案】解：（1）设公比及公差分别为q，d，由2b2=a1+a2，2a2=b2+b3，得q=1，d=0或q=2，d=2，（3分）又由a2≠b2，故q=2，d=2（4分）∴，（6分）（2）∵（8分）∴（9分）令①②由②-①得，（11分）∴．（12分）【解析】（1）设公比及公差分别为q，d，由2b2=a1+a2，2a2=b2+b3，解得q=2，d=2，由此能求出数列{a n}与{b n}的通项公式．（2）由，利用分组求和法和错位相减法能求出数列{c n}的前n项和S n．本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．19.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，AD∥BC，且PA=AD=2，AB=BC=1，E为PD的中点．（Ⅰ）设PD与平面PAC所成的角为α，二面角P-CD-A的大小为β，求证：tanα=cosβ．（Ⅱ）在线段AB上是否存在一点F（与A，B两点不重合），使得AE∥平面PCF？若存在，求AF的长；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）证明：由题意， ， ， 又AD=2，∴AC ⊥CD （1分）又PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥DC ，∴DC ⊥面PAC （2分） ∴α=∠DPC ， ∴（3分）∠ ，，（5分）∴tan α=cos β（6分）（Ⅱ）解法一：取AD 的中点Q ，连PQ 交AE 于M ，由△PAM 与△QME 相似得，，（7分）在PC 上取点N ，使，则 ，，（8分） 在AB 上取点F 使，由于AB 平行且等于QC ，故有AF 平行且等于MN ，（9分）∴四边形AMNF 为平行四边形，∴FN ∥AE ，（10分） 而FN ⊂PFC ，故有AE ∥平面PCF ，（11分）∴在线段AB 上存在一点F 使得AE ∥平面PCF ，AF 的长为．（12分）解法二：如图，以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立直角坐标系，则A （0，0，0），B （1，0，0），C （1，1，0），D （0，2，0），P （0，0，2），E 为PD 的中点，则E （0，1，1）（7分）假设存在符合条件的点F （a ，0，0）（0＜a ＜1），则， ， ， ， ， ， ， ， 共面，故存在实数m ，n ，使得 （9分） 即 ，故有即 ， ， ，（11分）即存在符合条件的点F ，AF 的长为．（12分）【解析】（Ⅰ）证明DC ⊥面PAC ，可得PD 与平面PAC 所成的角为α，二面角P-CD-A 的大小为β，从而证明tan α=cos β． （Ⅱ）解法一：取AD 的中点Q ，连PQ 交AE 于M ，证明四边形AMNF 为平行四边形，，，共面，即可得出结论．本题考查线面平行，考查空间角，考查学生分析解决问题的能力，正确运用线面平行的判定是关键．20.小明家订了一份报纸，寒假期间他收集了每天报纸送达时间的数据，并绘制成频率分布直方图，如图所示．（Ⅰ）根据图中的数据信息，求出众数x0；（Ⅱ）小明的父亲上班离家的时间y在上午7：00至7：30之间，而送报人每天在x0时刻前后半小时内把报纸送达（每个时间点送达的可能性相等）：①求小明的父亲在上班离家前能收到报纸（称为事件A）的概率；②求小明的父亲周一至周五在上班离家前能收到报纸的天数X的数学期望．【答案】解：（1）观察频率分布直方图，频率最大在[6：50，7：10），众数x0=7：00（2）记报纸送达的时间为x，x∈[6.5，7.5]①如图所示，实验的所有的基本事件由平面区域Ω={（x，y）|6.5≤x≤7.5，7≤x≤7.5}而事件“小明的父亲能拿到报纸”（事件A）的基本事件可由图中阴影部分表示∵SΩ=×1=，S阴=-××=∴P（A）=②依题意得，X～B（5，）∴EX=5×=故小明的父亲一周5天（假日除外）能取到报纸的天数X的数学期望为．【解析】（1）根据众数是频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标可得结论；（2）①作出实验的所有的基本事件由平面区域，以及事件“小明的父亲能拿到报纸”（事件A）的基本事件，利用几何概型的概率公式解之即可；②分析可知小明的父亲一周5天（假日除外）能取到报纸的天数X服从二项分布，然后根据二项分布的数学期望公式解之即可．本题主要考查了众数的概念，以及频率分布直方图和离散型随机变量的概率分布，同时21.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设A（-4，0），过点R（3，0）作与x轴不重合的直线l交椭圆于P，Q两点，连结AP，AQ分别交直线x=于M，N两点，试探究直线MR、NR的斜率之积是否为定值，若为定值，请求出；若不为定值，请说明理由．【答案】解：（1）由题意：（2分）（4分）故椭圆C的方程为（5分）（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），若直线PQ与纵轴垂直，则M，N中有一点与A重合，与题意不符，故可设直线PQ：x=my+3．（6分）将其与椭圆方程联立，消去x得：（3m2+4）y2+18my-21=0（7分），（8分）由A，P，M三点共线可知，，，（9分）同理可得（10分）（11分）而（12分）所以故直线MR、NR的斜率之积为定值．（14分）【解析】（1）由已知条件推导出，，由此能求出椭圆C的方程．（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），设直线PQ：x=my+3，与椭圆方程联立，得（3m2+4）y2+18my-21=0，由此利用韦达定理结合已知条件能求出直线MR、NR的斜率为定值．本题考查椭圆方程的求法，考查两直线的斜率之积为定值的判断与证明，解题时要认真审题，注意韦达定理的合理运用．22.已知函数f（x）=xlnx，g（x）=+．（Ⅰ）设F（x）=f（x）+g（x），求函数F（x）的图象在x=1处的切线方程：（Ⅱ）求证：e f（x）≥g（x）对任意的x∈（0，+∞）恒成立；（Ⅲ）若a，b，c∈R+，且a2+b2+c2=3，求证：++≤6．【答案】解：（Ⅰ），F′（x）=1+lnx+x，则F（1）=1，F′（1）=2，∴F（x）图象在x=1处的切线方程为y-1=2（x-1），即2x-y-1=0；（Ⅱ）令，则G′（x）=e xlnx（1+lnx）-x，∴，∵x-1与lnx同号，∴（x-1）lnx≥0，∴e（x-1）lnx-1≥0∴G′′（x）＞0，∴G′（x）在（0，+∞）单调递增，又G′（1）=0，∴当x∈（0，1）时，G′（x）＜0；当x∈（1，+∞）时，G′（x）＞0．∴G（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，∴G（x）min=G（1）=0．∴G（x）≥0，即e f（x）≥g（x）对任意的x∈（0，+∞）恒成立；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，则=．由柯西不等式得，∴，同理，三个不等式相加得：3．≤6．∴++≤6．【解析】（Ⅰ）把f（x），g（x）的解析式代入F（x）=f（x）+g（x），求出F（1）的值，对F （x）求导后得到F′（1），然后由直线方程的点斜式得切线方程；（Ⅱ）构造辅助函数G（x）=e f（x）-g（x），代入f（x）和g（x）的解析式后对G（x）两次求导，然后结合G′（1）=0，可得当x∈（0，1）时，G′（1）＜0，当x∈（1，+∞）时，G′（1）＞0，由此可知G（x）min=G（1）=0，说明G（x）≥0，即e f（x）≥g（x）对任意的x∈（0，+∞）恒成立；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，分别取x等于a，b，c后把不等式++放大为，然后利用柯西不等式加以证明．本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，训练了利用函数构造法证明不等式，考查了利用导数求函数的最值，对于（Ⅱ）的证明，能够想到两次求导是关键，（Ⅲ）的证明借助于（Ⅱ）中的不等式，两次放缩难度较大，是综合性较强的题目．。

2014年湖北七市（州）高三年级联合考试理科综合能力测试参考答案及评分标准物 理(A 卷)14.D 15.C 16.B 17.A 18.A 19.BD 20.CD 21.ACD (B 卷)14.A 15.B 16.A 17.C 18.D 19.AD 20.CD 21.ACD22. (1)0.3289~0.3291 （3分，说明：在此范围内均给3分，若超出此范围不给分） (2)12tt dtt d -（3分） 23. （1）电路如图所示（3分，说明：见错不给分）（2）所作图线如右图所示（2分，说明：必须描点，不描点，不用直线连线不能得分） （3）1.50（1.48～1.52，说明：在此范围内均给1分，若超出此范围不给分）（1分） 15.0（14.0～16.0，）（1分）（4）0.100（0.098～0.102，说明：在此范围内均给2分，若超出此范围不给分）（2分）24.（13分） 解析：质点的加速度大小为：a = F/m =2m/s 2……………1分第一个2秒末质点的速度为V 1 =a t = 4m/s 方向沿X 正方向……………1分第一个2秒末质点的位移为X 1 =at 2/2 =4m 方向沿X 正方向 ……………1分 第二个2秒质点做类平抛运动，V 2X =V 1 = 4m/sV 2Y =a t = 4m/s ……………1分X 2 =V 2X t =8m Y 2= at 2/2 =4m ……………1分 所以：⒈ 前4秒内质点位移的大小为410 m ……………1分 ⒉ 第4秒末质点的速度为42m/s 方向东偏南450…………………2分⒊ 第3个2秒内质点还是做类平抛运动 ………………1分 沿V 2方向运动S 3=42×2=82m …………………1分 沿垂直V 2方向运动S 4=at 2/2 =4m …………………1分 故第6秒末质点的位置坐标为：2X= 4+8+S 3×sin450+S 4×sin450= （20+22）m ………………1分Y= 4+S 3×sin450－S 4×sin450= （12－22）m ………………1分（评分说明：各评分点只涉及表述式，不对中间过程物理量的计算结果作要求，只要表达式正确，可以给分）25. （19分）解：(1)粒子在磁场中做圆周运动，如图为粒子运动轨迹描绘，洛仑兹力提供向心力：Rv m Bqv 2= ……………2分得圆轨道半径BqmvR =第一段圆弧轨迹OA 为半圆，A 点横坐标为2R 粒子再次由点B(2R ，R 332)进入磁场，进入磁场时与边界OP 夹角θ2=60º………1分 粒子再次出磁场即第三次经过磁场边界在位置C ，由几何关系BC=2R sin θ2=R 3 ……………………………1分 由此易得C 点坐标(R 61，R 63)，即(Bq mv 6，Bqmv 63) ……………………2分 (2)粒子在磁场中运动周期周期Bqmv R T ππ22==…………2分 粒子第一段圆弧OA 圆心角180º，第二段圆弧BC 圆心角为360º-2θ2=240º…………1分由几何关系，粒子第三次进入磁场时，速度与边界O x 夹角θ3=30º，这也是粒子第三次出磁场时速度与边界O x 的夹角，因为∠Po x =α=30º，所以第三次出磁场后粒子速度与OP 平行，不再能进入磁场。

2014年湖北省七市（州）高三年级联合考试数学试题(理工类)参考答案命题：陈子俊、郭仁俊、杨 田高 峰、伍海军审题：向立政、方延伟、程世平孙红波、龚 伟A 卷：1~5：ACBAD 6~10 ：BCDBA B 卷1~5：DBBCA 6~10 ：BCDCA11、i - 12、240 13、130 14、（1）5n =；（2）9n =（注：第一问2分，第二问3分）1571617、解：（1）211()cos cos 1cos 222222x x x f x x x =-+=-+ 1sin 62x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 4分令222,22()26233k x k k x k k Z πππππππππ-≤-≤+-≤≤+∈ 6分所以所求增区间为2[2,2]()33k k k Z ππππ-+∈ 7分（2）由226cos a b ab C +=，2sin 2sin sin C A B =，22c ab = 8分2226c o s 2c o s3c o s 122a b c ab C ab C C ab ab +--===-，即1cos 2C = 10分 又∵0C π<<，3C π=11分 ()()13f C f π∴== 12分18.解：（1）设公比及公差分别为,q d 由2122232,2b a a a b b =+=+得1,0q d ==或2,2q d ==， 3分 又由22a b ≠，故2,2q d == 4分 从而121,2n n n a n b -=-= 6分（2）21(21)2nn n c n n n n=⋅⋅-=⋅- 8分 12(12222)(12)nn S n n =⋅+⋅++⋅-+++ 9分 令1231222322nn T n =⋅+⋅+⋅++⋅ ① 234121222322n n T n +=⋅+⋅+⋅++⋅ ②由②—①得1(1)22n n T n +=-⋅+ 11分∴1(1)(1)222n n n n S n ++=-⋅-+ 12分19.解法一：(1)证明：AC CD == 又2AD =A C C D ∴⊥ 1分 又PA ⊥平面ABCD ，PA DC ∴⊥,DC ∴⊥面PAC 2分∴DPC α=∠tan DC PC α∴=== 3分,cos3AC PCA PC ββ=∠===, 5分 ∴t a n c o s αβ=6分(2) 取AD 的中点Q ，连PQ 交AE 于M ,由PAM ∆与QME ∆相似得，2PMMQ=, 7分 在PC 上取点N ,使2PN NC =,则2,3MN QC MN QC =∥, 8分 在AB 上取点F 使2233AF AB ==,由于AB 平行且等于QC ,故有AF 平行且等于MN ， 9分四边形AMNF 为平行四边形，所以FN AE ∥, 10分 而FN PFC ⊂, 故有AE ∥平面PCF , 11分所以在线段AB 上存在一点F 使得AE ∥平面PCF ，AF 的长为23. 12分解法二：（1）同解法一；（2）如图，以A 为原点，,,AB AD AP 所在直线分别为,,x y z 轴，建立直角坐标系，则(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,2,0),(0,0,2)A B C D P ,E 为PD 的中点,则(0,1,1)E 7分假设存在符合条件的点(,0,0)(01)F a a <<，则(1,1,0),(1,1,2),(0,1,1)CF a CP AE =--=--=共面，故存在实数,m n ，使得CF mCP nAE =+9分即1102a m m n m n-=-⎧⎪-=-+⎨⎪=+⎩，故有231323a m n ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩即22(,0,0),33F AF = 11分即存在符合条件的点F ，AF 的长为23. 12分 20.解：（1）07:00x = 2分 （2）①设报纸送达时间为x ，则小明父亲上班前能取到报纸等价于 6.57.577.5x y x y ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤⎩，如图可知，所求概率为1381142P =-=8分 ②X 服从二项分布，故315544EX =⨯=（天）12分 21.解（1）b ==222221,164a b e a a -===，故22:11612x y C += 4分 （2）设1122(,),(,)P x y Q x y ，若直线PQ 与纵轴垂直，则,M N 中有一点与A 重合，与题意不符， 故可设直线:3PQ x my =+. 5分将其与椭圆方程联立，消去x 得：22(34)18210m y my ++-= 6分1212221821,3434m y y y y m m --+==++ 7分 由,,A P M 三点共线可知，1116443M y yx =++，112834M y y x =⋅+， 8分 同理可得222834N y y x =⋅+ 9分 1212916161649(4)(4)3333N M N M MR NR y y y y y y k k x x ⋅⋅=⋅==++-- 10分 而212121212(4)(4)(7)(7)7()49x x my my m y y m y y ++=++=+++ 11分所以2222211616(21)1234211844977493434MR NR m k k m m m m m -⨯⨯-+⋅===---⨯⋅+⋅+++故直线MR 、NR 的斜率为定值127-. 13分22．解：（1）211()()()ln 22F x f x g x x x x =+=++，()1ln F x x x '=++，则(1)1F =(1)2F '=，∴()F x 图像在1x =处的切线方程为12(1)y x -=-即210x y --= 3分（2）令()ln 211()()22f x x x G x eg x e x =-=--，ln ()(1ln )x x G x e x x '=+- 4分则ln 2ln ln 2(1)ln 1()(1ln )1(1ln )1x x x x x x x x G x e x e e x e x-''=++⋅-=++-∵1x -与ln x 同号 ∴(1)ln 0x x -≥ ∴(1)ln 10x xe--≥ ∴()0G x ''> ∴()G x '在(0,)+∞单调递增 6分 又(1)0G '=，∴当(0,1)x ∈时，()0G x '<；当(1,)x ∈+∞时，()0G x '> ∴()G x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增 ∴min ()(1)0G x G ==∴()0G x ≥ 即()()f x eg x ≥对任意的(0,)x ∈+∞恒成立 8分 （3）由（2）知21122xx x ≥+ 9分则222222222()()()()()()131313*********a b c b c c a a b b c c a a b a b c a b c ++++++++≤++++++++222222222222()()()2222b c c a a b a b c a b c a b c ⎡⎤+++=++⎢⎥++++++⎣⎦11分 由柯西不等式得22222222222()()()()b c a b a c b c a b a c⎡⎤++++≥+⎣⎦++ ∴2222()2b c a b c +≤++222222b c a b a c +++ 13分同理2222()2b c a b c +≤++222222c a a b b c +++ 2222()2a b a b c +≤++222222a b a c b c+++ 三个不等式相加即得证。

2014年湖北卷理科A 卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. i 为虚数单位，211i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭( )A ．-1B ．1C ．-iD ．i【解析】()()2221121121i i i i i i ---⎛⎫===- ⎪+⎝⎭+. 【答案】A .2. 若二项式72a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中31x 的系数是84，则实数a =( )A ．2 BC ．1 D【解析】72a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的通项是()777217722kk k k k kk k a T C x a C x x ---+⎛⎫==⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭， 令7-2k =-3得：k =5 ∴31x的系数是2527284a C ⋅⋅=，即a 5=1，∴a =1. 【答案】C .3. 设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆U C ð” 是“A ∩B =∅” 的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】若存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆U C ð，则A ∩B =∅，否则有x ∈A ∩B ， 由A ⊆C ，得x ∈C ，由B ⊆U C ð，得x ∈U C ð，即x C ∉，矛盾；若A ∩B =∅，则取C =A ，有A ⊆C ，B ⊆U C ð，故“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆U C ð” 是“A ∩B =∅” 的充要条件。

【答案】C .4．得到的回归方程为y =bx+a ，则( )A ．a >0，b >0B ．a >0，b <0C ．a <0，b >0D ．a <0，b <0 【解析】画出散点图知a >0，b <0 【答案】B .5． 在如图所示的空间直角坐标系O -xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)，给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和府视图分别为( )A ．①和②B ．③和①C ．④和③D ．④和②【解析】设A (0，0，2)，B (2，2，0)，C (1，2，1)，D (2，2，2)， 作出四面体ABCD ，四面体ABCD 的府视图是⊿OBC 1，即图② 正视图是Rt ⊿AEF 和AG ，即图④. 【答案】D .6． 若函数f (x )，g (x )满足()()110f x g x dx -=⎰，则称f (x )，g (x )为区间[-1，1] 上的一组正交函数，给出三组函数：①f (x )=sin 12x ，g (x )=cos 12x ；②f (x )=x +1，g (x )=x -1；③f (x )=x ，g (x )=x 2.其中为区间[-1，1]的正交函数的组数是( )A .0B .1C .2D .3【解析】对于①，()()()11111111022f xg x dx sin xdx cos x ---==-=⎰⎰；对于②，()()()11123111141033f x g x dx x dx x x ---⎛⎫=-=-=-≠ ⎪⎝⎭⎰⎰；对于③，113411104x dx x--==⎰； 【答案】C .7． 由不等式0020x y y x ⎧⎪⎨⎪--⎩≤≥≤确定的平面区域记为Ω1，不等式12x y x y +⎧⎨+-⎩≤≥，确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为( )A ．18B ．14C ．34D ．78【解析】如右图，区域Ω1为⊿AOC 及其内部，面积为12×2×2=2；区域Ω2为直线x +y =1与直线x +y =-2之间的部分，Ω1与Ω2的公共部分是四边形AOBD ，面积为2-12×1×12=74，故所求概率为p =78.【答案】D .8． 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一. 该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式2136V L h ≈. 它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3. 那么近似公式2275V L h ≈. 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A ．227 B ．258 C ．15750 D ．355113【解析】∵2221133212L V r h h L h ππππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，∴由2275V L h ≈得： 22217512L h L h π≈，即258π≈. 【答案】B . 9． 已知F 1、F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )ABC ．3D ．2 【解析】设椭圆和双曲线的方程分别为2222111x y a b +=、2222221x y a b -=，|PF 1|=m ，|PF 2|=n .则m +n =2a 1，|m -n |=2a 2，在中由余弦定理，(2c )2=m 2+n 2-2mncos 60°=m 2+n 2-mn∴4c 2=(m +n )2-3mn =2143a mn -，且4c 2=(m -n )2+mn =224a mn +，消去m 、n 得：2221234a a c +=，即2212134e e +=由柯西不等式得：22222121211111613e e e e ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎢⎥++⋅+=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢⎥⎝⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦≤可计算得当e 1=3e 2=3时，等号成立。

湖北省七市（州）2014届高三下学期联合考试数学理试题A卷Word版含答案湖北省七市（州）2014届高三下学期联合考试数学理试题A 卷全卷满分150分，考试时间120分钟．★ 祝考试顺利★第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知全集R =U ，集合{2x B x =≤，则B A ＝A .(],1-∞ B.10,3??C.1,13D.? 2．下列说法错误的是A.命题“若2560x x -+=，则2x =”的逆否命题是“若2x ≠，则2560x x -+≠”B.若,x y R ∈，则“x y =”是“2()2x y xy +≥”的充要条件C.已知命题p 和q ，若p q ∨为假命题，则命题p 与q 中必一真一假D.若命题0:p x R ?∈，20010x x ++<，则:p x R ??∈，210x x ++≥3．为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图（两轴单位长度相同），用回归直线y bx a =+近似的刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是A.线性相关关系较强，b 的值为1.25B.线性相关关系较强，b 的值为0.83C.线性相关关系较强，b 的值为0.87-D.第5题图 4．某个几何体的三视图如图所示（其中正视图中的圆弧是半径为2的半圆），则该几何体的表面积为A.9214π+B.8214π+C.9224π+D.8224π+ 5．阅读如图所示的程序框图，则输出结果s 的值为A.12B.18C. D.116已知函数()f x 与()g x 的图像在R 上不间断，由下表知方程()()f x g x =有实数解的区间是A.(1,0)-B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)7．已知O 为坐标原点，,A B 两点的坐标均满足不等式组310,30,10,x y x y x -+≤??+-≤??-≥?设OA 与OB 的夹角为θ，则tan θ的最大值为A.12B.47C.34D.948．设两条直线的方程分别为0,0x y a x y b ++=++=，已知,ab 是方程20x x c ++=的两个实根，且108c ≤≤，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是A.144 2 12 D.122 9．如果对定义在R 上的函数()f x ，对任意12x x ≠，都有11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+则称函数()f x 为“H 函数”.给出下列函数①31y x x =-++；②32(sin cos )y x x x =--；③1x y e =+；④ln 0()00x x f x x ?≠?=?=??，，.其中函数是“H 函数”的个数为。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）【2014年湖北，理1，5分】为虚数单位，则（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】因为，故选A．【点评】本题考查复数的运算，容易题．（2）【2014年湖北，理2，5分】若二项式的展开式中的系数是84，则实数（）（A）2 （B）（C）1 （D）【答案】D【解析】因为，令，得，，解得，故选D．【点评】本题考查二项式定理的通项公式，容易题．（3）【2014年湖北，理3，5分】设为全集，，是集合，则“存在集合使得，是“”的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】依题意，若，则，，可得；若，不能推出，故选A．【点评】本题考查集合与集合的关系，充分条件与必要条件判断，容易题．（4）【2014年湖北，理4，5分】根据如下样本数据3456784.0 2.5-0.50.5-2.0-3.0得到的回归方程为，则（）（A），（B），（C），（D），【答案】B【解析】依题意，画散点图知，两个变量负相关，所以，，故选B．【点评】本题考查根据已知样本数判断线性回归方程中的与的符号，容易题．（5）【2014年湖北，理5，5分】在如图所示的空间直角坐标系中，一个四面体的顶点坐标分别是，，，，给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）（A）①和②（B）③和①（C）④和③（D）④和②【答案】D【解析】在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为④与俯视图为②，故选D．【点评】本题考查空间由已知条件，在空间坐标系中作出几何体的形状，再正视图与俯视图，容易题．（6）【2014年湖北，理6，5分】若函数，满足，则称，为区间上的一组正交函数，给出三组函数：①，；②，；③,，其中为区间的正交函数的组数是（）（A）0 （B）1（C）2（D）3【答案】C【解析】对①，则，为区间上的正交函数；对②，则，不为区间上的正交函数；对③，则，为区间上的正交函数，所以满足条件的正交函数有2组，故选C．【点评】新定义题型，本题考查微积分基本定理的运用，容易题．（7）【2014年湖北，理7，5分】由不等式确定的平面区域记为，不等式，确定的平面区域记为，在中随机取一点，则该点恰好在内的概率为（）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】依题意，不等式组表示的平面区域如图，由几何公式知，该点落在内的概率为：，故选D．【点评】本题考查不等式组表示的平面区域，面积型的几何概型，中等题．（8）【2014年湖北，理8，5分】《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了有圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3．那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的近似取为（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】设圆锥底面圆的半径为，高为，依题意，，，所以，即的近似值为，故选B．【点评】本题考查《算数书》中的近似计算，容易题．（9）【2014年湖北，理9，5分】已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）（A）（B）（C）3（D）2【答案】B【解析】设椭圆的短半轴为，双曲线的实半轴为，半焦距为，由椭圆、双曲线的定义得，，所以，，因为，由余弦定理得：，所以，即，，利用基本不等式可得椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为，故选B．【点评】本题椭圆、双曲线的定义和性质，余弦定理及用基本不等式求最值，难度中等．（10）【2014年湖北，理10，5分】已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，，则实数的取值范围为（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】依题意，当时，，作图可知，的最小值为，因为函数为奇函数，所以当时，的最大值为，因为对任意实数都有，，所以，，解得，故实数的取值范围是，故选B．【点评】本题考查函数的奇函数性质、分段函数、最值及恒成立，难度中等．二、填空题：共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．（一）必考题（11-14题）（11）【2014年湖北，理11，5分】设向量，，若，则实数．【答案】【解析】因为，，因为，所以，解得．【点评】本题考查平面向量的坐标运算、数量积，容易题．（12）【2014年湖北，理12，5分】直线和将单位圆分成长度相等的四段弧，则．【答案】2【解析】依题意，圆心到两条直线的距离相等，且每段弧的长度都是圆周的，即，，所以，故．【点评】本题考查直线与圆相交，点到直线的距离公式，容易题．（13）【2014年湖北，理13，5分】设是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数．将组成的3个数字按从小到大排成的三位数记为，按从大到小排成的三位数记为（例如，则，）．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个，输出的结果．【答案】495【解析】当，则，当，则；当，则，终止循环，故输出．【点评】新定义题型，本题考查程序框图，当型循环结构，容易题．（14）【2014年湖北，理14，5分】设是定义在上的函数，且，对任意,,,，若经过点,的直线与轴的交点为，则称为,关于函数的平均数，记为，例如，当时，可得，即为的算术平均数．（1）当=________（）时，为的几何平均数；（2）当=________（）时，为的调和平均数；（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）【答案】（1）（2）（或填（1）（2），其中为正常数均可）【解析】设，则经过点，的直线方程为，令，所以，所以当，为的调和平均数．【点评】本题考查两个数的几何平均数与调和平均数，难度中等．（一）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分．）（15）【2014年湖北，理15，5分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，为的两条切线，切点分别为，过的中点作割线交于两点，若，，则_______．【答案】【解析】由切割线定理得，所以，．【点评】本题考查圆的切线长定理，切割线定理，容易题．（16）【2014年湖北，理16，5分】（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，则与交点的直角坐标为．【答案】【解析】由，消去得，由得，解方程组，得与的交点坐标为．【点评】本题考查参数方程，极坐标方程与平面直角坐标方程的转化，曲线的交点，容易题．三、解答题：共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（17）【2014年湖北，理17，11分】某实验室一天的温度（单位：）随时间（单位：h）的变化近似满足函数关系；．（1）求实验室这一天的最大温差；（2）若要求实验室温度不高于，则在哪段时间实验室需要降温？解：（1）因为，又，所以，当时，；当时，，于是在上取得最大值12，取得最小值8，故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃．（2）依题意，当时实验室需要降温，由（1）得，故有，即，又，因此，即，在10时至18时实验室需要降温．（18）【2014年湖北，理18，12分】已知等差数列满足：，且成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）记为数列的前n项和，是否存在正整数n，使得?若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．解：（1）设数列的公差为，依题意，成等比数列，故有，化简得，解得或，当时，；当时，，从而得数列的通项公式为或．（2）当时，，显然，此时不存在正整数，使得成立，当时，，令，即，解得或（舍去），此时存在正整数，使得成立，的最小值为41综上，当时，不存在满足题意的；当时，存在满足题意的，其最小值为41．（19）【2014年湖北，理19，12分】如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点分别在棱，上移动，且．（1）当时，证明：直线平面；（2）是否存在，使平面与面所成的二面角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．解：解法一：（1）如图1，连接，由是正方体，知，当时，是的中点，又是的中点，所以，所以，而平面，且平面，故直线平面．（2）如图2，连接，因为，分别是，的中点，所以，且，又，所以四边形是平行四边形，故，且，从而，且，在和中，因为，，于是，所以四边形是等腰梯形．同理可证四边形是等腰梯形．分别取的中点为，连接，则，而，故是面与面所成的二面角的平面角．若存在，使面与面所成的二面角为直二面角，则，连接，，则由，且，知四边形是平行四边形，连接，因为，是，的中点，所以，在中，，，由，得，解得，故存在，使面与面所成的二面角为直二面角．解法二：以为原点，射线分别为轴的正半轴建立如图3所示的空间直角坐标年入流量X40<X<8040X80X>120发电机最多可运行台数123系，由已知得，，，，，，，．（1）当时，，因为，所以，即，而平面，且平面，故直线平面．（2）设平面的一个法向量为，则由，可得，于是可取，同理可得平面的一个法向量为，若存在，使面与面所成的二面角为直二面角，则，即，解得．故存在，使面与面所成的二面角为直二面角．（20）【2014年湖北，理20，12分】计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和．单位：亿立方米）都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年．将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．（1）求未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制，并有如下关系；若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？解：（1）依题意，，，由二项分布，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为．（2）记水电站年总利润为（单位：万元）（1）安装1台发电机的情形：由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润．（2）安装2台发电机的情形：依题意，当时，一台发电机运行，此时，因此；当时，两台发电机运行，此时，因此；由此得的分布列如下：4200100000.20.8所以，．（3）安装3台发电机的情形：当时，一台发电机运行，此时，因此；当时，两台发电机运行，此时，因此；当时，三台发电机运行，，因此，由此得的分布列如下：34009200150000.20.70.1所以，综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．（21）【2014年湖北，理21，14分】在平面直角坐标系中，点到点的距离比它到轴的距离多1，记点的轨迹为．（1）求轨迹为的方程；（2）设斜率为的直线过定点，求直线与轨迹好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时的相应取值范围．解：（1）设点，依题意得，即，化简整理得，故点的轨迹的方程为．（2）在点的轨迹中，记，依题意，可设直线的方程为，由方程组，可得①（1）当时，此时，把代入轨迹的方程，得，故此时直线与轨迹恰好有一个公共点（2）当时，方程①的判别式为②设直线与轴的交点为，则由，令，得③（ⅰ）若由②③解得，或，即当时，直线与没有公共点，与有一个公共点，故此时直线与轨迹恰好有一个公共点．（ⅱ）若或，由②③解得，或，即当时，直线与只有一个公共点，与有一个公共点，当时，直线与有两个公共点，与没有公共点，故当时，直线与轨迹恰好有两个公共点．（ⅲ）若由②③解得，或，即当时，直线与有两个公共点，与有一个公共点，故此时直线与轨迹恰好有三个公共点．综合（1）（2）可知，当时，直线与轨迹恰好有一个公共点；当时，直线与轨迹恰好有两个公共点；当时，直线与轨迹恰好有三个公共点．（22）【2014年湖北，理22，14分】为圆周率，e =2.71828……为自然对数的底数．（1）求函数的单调区间；（2）求这6个数中的最大数与最小数；（3）将这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．解：（1）函数的定义域为，因为，所以，当，即时，函数单调递增；当，即时，函数单调递减．故函数的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）因为，所以，即，于是根据函数，在定义域上单调递增，可得，故这6个数的最大数在与之中，最小数在与之中．由及（1）的结论，得，即．由，得，所以；由，得，所以．综上，6个数中最大数是，最小数是．（3）由（2）知，，又由（2）知，，得故只需比较与和与的大小，由（1）知，当时，，即，在上式中，令，又，则，从而，即得①由①得，，即，亦即，所以，又由①得，，即，所以．综上可得，，即6个数从小到大的顺序为．。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）理科数学试题答案与解析1. 解析 因为()221i 1i 2i i 1i 1i 2---===-+-，所以()221i i 11i -⎛⎫=-=- ⎪+⎝⎭，故选A . 2. 解析 ()77177271C 22C rrrr r rr r a T x a x x --+-⎛⎫=⋅⋅=⋅ ⎪⎝⎭.令273r -=，则5r =. 由25572C 84a ⋅=得1a =，故选C .3. 解析 由韦恩图易知充分性成立.反之，AB =∅时，不妨取UC B=ð，此时A C ⊆.必要性成立. 故选C .4. 解析 把样本数据中的x ，y 分别当作点的横、纵坐标，在平面直角坐标系xOy 中作出散点图，由图可知0b <，0a >. 故选B .5. 解析 设()002A，，，()220B ，，，()121C ，，，()222D ，，，因为B ，C ，D 在平面yOz 上的投影的坐标分别为()020，，，()021，，，()022，，，点()002A ，，在平面yOz 上，又点C 的横坐标小于点B 和D 的横坐标，所以该几何体的正视图为图④.因为点A ，C ，D 在平面xOy 上的投影坐标分别为()000，，，()120，，，()220，，，点()220B ，，在平面xOy 上，所以该几何体的俯视图为图②. 故选D .评注 本题考查了空间直角坐标系和三视图，考查了空间想象能力.本题也可以根据该四面体各项点的坐标画出几何体的直观图再求解.6. 解析 由①得()()111sin cos sin 222f xg x x x x ==，是奇函数，所以()()11d 0f x g x x -=⎰，所以①为区间[]1,1-上正交函数；由②得()()21f x g x x =-，所以()()()31121114d 1d 133x f x g x x x x x --⎛⎫=-=-=- ⎪-⎝⎭⎰⎰，所以②不是区间[]1,1-上的正交函数；由③得()()3f x g x x =，是奇函数，所以()()11d 0f x g x x -=⎰，所以①为区间[]1,1-上的正交函数. 故选C .7. 解析 区域1Ω为直角AOB △及其内部，其面积12222AOB S =⨯⨯=△.区域2Ω是直线1x y +=和2x y +=-夹成的条形区域.由题意得所求概率127428AODC AOB S P S -===四边形△.故选D .评注 本题考查了可行域和概率的基础知识.正确理解可行域的概念和掌握概率的求法是求解的关键.8. 解析 圆锥的体积22211ππ332π12πL L h V r h h ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，由题意得7512π2≈，π近似取为258，故选B .9. 解析 解法一: 设椭圆方程为()2211221110x y a b a b +=>>，离心率为1e ，双曲线的方程为()2222222210,0x y a b a b -=>>，离心率为2e ，它们的焦距为2c ，不妨设P 为两曲线在第一象限的交点，12,F F 分别为左，右焦点，则易知1211222,2,PF PF a PF PF a ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩解得112212,.PF a a PF a a ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩在12F PF △中，由余弦定理得()()()()222121212122cos 604a a a a a a a a c ++--+⋅-=，整理得2221234a a c +=，所以22122234a a c c +=，即2212134e e +=.设121,e e ⎛= ⎝⎭a，1,3⎛= ⎝⎭b ，所以1211e e +=⋅⋅==…a b a b ，故1211e e +的最大值是13，故选A. 解法二：不妨设P 在第一象限，1PF m =，2PF n =.在12F PF △中，由余弦定理得2224m n mn c +-=.设椭圆的长轴长为12a ，离心率为1e ，双曲线的实轴长为22a ，离心率为2e ，它们的焦距为2c ，则12121122m n m na a m e e c c c+-+++===. 所以22222221211441m m e e c m n mn n n m m⎛⎫+=== ⎪+-⎛⎫⎝⎭-+ ⎪⎝⎭，易知21n n m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的最小值为34.故12max11e e ⎛⎫+=⎪⎝⎭故选A. 评注 本题考查了椭圆、双曲线的定义、方程和性质；考查了利用不等式和函数求最值的基本方法.本题对运算能力的要求较高.10. 解析 当0x …时，()2222223, 2,, 2,, 0,x a x a f x a a x a x x a ⎧-⎪=-<<⎨⎪-⎩…剟画出图像，再根据()f x 是奇函数补全图像.因为满足x ∀∈R ，()()1f x f x -…，所以261a …，即66a -剟.故选B.11. 解析=ab =()31310⋅⨯+⨯-=a b =.因为()()b b λλ+⊥-a a ，所以()()22221820b b b λλλλ+⋅-=-=-=a a a .故3λ=±.x-1()评注 本题考查了直线和圆的位置关系，考查了直线的斜率和截距，考查了数形结合的思想方法.正确画出图形求出和的值时解题的关键.12. 解析 由题意知直线1l 和2l 与单位圆C 所在的位置如图.因此11a b =⎧⎨=-⎩或11a b =-⎧⎨=⎩故22112a b +=+=.评注 本题考查了直线和圆的位置关系，考查了直线的斜率和截距，考查了数形结合的思想方法.正确画出图形求出a 和b 的值是解题的关键.13. 解析 设组成数a 的三个数字是m ，n ，p ，其中19m n p <<剟，所以()()b Da I a =-=()100101001099p n m m n p p m ++---=-=()()()()10010019010p m p m p m p m ---=--++-+，即数b 的十位数字一定是9.由题意可知，程序循环到最后一次，a 的十位数字是9，设a 的另两个数字是x ，y ， 其中18y x<剟，此时()90010Da x y =++，()100109I a y x =++， 89199b y =-，若8919910090y x y -=++，则()801100x y =+，无解.若8919910090y y x -=++，则801199y x =+，解得5x =，4y =.所以495b =.14. 解析 （I ）若(),f M a b 是a ，b 的几何平均数，则c 由题意知，()(),a f a)，()(),b f b -0f a f b -+=f a f b，所以可取()f x .（II ）若(),f M a b 是a ，b 的调和平均数，则2ab c a b =+，由题意知()(),a f a ，2,0ab a b ⎛⎫⎪+⎝⎭，()(),b f b -共线，所以()()22f x f b ab ab a ba b a b=--++，化简得()()f a f b a b =，所以可取()f xx =.15. 解析 由切割线定理得()21134QAQC QD =⋅=⨯+=，所以2QA =，因为Q 为PA 的中点，所以24PA QA ==.故4PB PA ==. 16. 解析 曲线1C为射线y x =()0x ….曲线2C为圆224x y +=.设P 为1C 与2C 的交点，如图，作PQ 垂直x 轴于点Q ，因为tan POQ ∠=，所以30POQ ∠=，又因为2OP =，所以1C 与2C 的交点P的直角坐标为).评注 本题考查了参数方程和极坐标方程.容易忽视0x …，误认为1C为直线y x =. 17. 解析 （I ）因为()π1πππ102sin 102sin 12212123f t t t t ⎫⎛⎫=-+=-+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，又024t <…，所以πππ7π31233t +<…，ππ1sin 1123t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭剟. 当2t =时，ππsin 1123t ⎛⎫+=⎪⎝⎭；当14t =时，ππsin 1123t ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭. 于是()f t 在[)0,24上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12C ，最低温度为8C ，最大温差为4C . （II ）依题意，当()11f t …时实验室需要降温.由（I ）得()ππ102sin 123f t t ⎛⎫=-+⎪⎝⎭， 故有ππ102sin 11123t ⎛⎫-+>⎪⎝⎭，即ππ1s i n 1232t ⎛⎫+<- ⎪⎝⎭.又024t <…，因此7πππ11π61236t <+<，即1018t <<.在10时至18时实验室需要降温.评注 本题考查了正弦函数的性质，考查了运算求解能力.正确利用正弦函数的单调性是解题的关键.计算失误是造成失分的重要原因之一，应充分重视.18. 解析 （I ）设数列{}n a 的公差为d ，依题意2，2d +，24d +，成等比数列，故有()()22224d d d +=+，化简得240d d -=，解得0d =或4d =.当0d =时，2n a =；当4d =时，()21442n a n n =+-⋅=-，从而得数列{}n a 的通项公式为2n a =或42n a n =-.（II ）当2n a =时，2n S n =.显然260800n n <+，此时不存在正整数n ，使得60800n S n >+成立.当42n a n =-时，()224222n n n S n ⎡+-⎤⎣⎦==.令2260800n n >+，即2304000n n -->，解得40n >或10n <-（舍去），此时存在正整数n ，使得60800n S n >+成立，n 的最小值为41. 综上，当2n a =时，不存在满足题意的n ；当42n a n =-时，存在满足题意的n ，其最小值为41.评注 本题考查了数列的通项公式和求和公式，考查了分类讨论的方法. 19. 解析 解法一：（几何方法）（I ）证明：如图1，连接1AD ，由1111ABCD A B C D -是正方体，知1//BC AD .当1λ=时，P 是1DD 的中点，又F 是AD 的中点，所以1//FP AD .所以1//BC FP .而FP ⊂平面EFPQ ，且1BC ⊄平面EFPQ ，故直线1//BC 平面EFPQ .（II ）如图2，连接BD .因为E ，F 分别是AB ，AD 的中点，所以//EF BD ，且12E F B D=.又DP BQ =，//DP BQ ，所以四边形PQBD 是平行四边形，故//PQ BD ，且PQ BD =，从而//EF PQ ，且12EF PQ =.在Rt EBQ △和Rt FDP △中，因为BQ =DP =λ，1BE=DF=，于是EQ=，所以四边形EFPQ 是等腰梯形.同理可证四边形PQMN 是等腰梯形. 分别取EF ，PQ ，MN 的中点为H ，O ，G ，连接OH ，OG ，则G O P Q ⊥，HO PQ ⊥，而GOHO O =，故GOH ∠是面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角的平面角.若存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角，则90GOH ∠=.连接EM ，FN ，则由//EF MN ，且E F M N =，知四边形EFNM 是平行四边形.连接GH ，因为H ，G 是EF ，MN 的中点，所以2GH ME ==.在GOH △中，24GH =，2222112OH λλ=+-=+⎝⎭，()()222211222OG λλ=+--=-+⎝⎭， 由222OG OH GH +=，得()22112422λλ-+++=，解得1λ=±， 图1N QPF E M D 1C 1B 1A 1DCB故存在1λ=，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角.解法二：（向量方法）以D 为原点，射线DA ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴的正半轴建立如图3所示的空间直角坐标系D xyz -. 由已知得()2,2,0B，()10,2,2C ，()2,1,0E ，()1,0,0F ，()0,0,P λ.()12,0,2BC =-，()1,0,FP λ=-，()1,1,0FE =.GO H图2E FM PQ N D 1C 1B 1A 1DCB A（I ）证明：当1λ=时，()1,0,1FP =-，因为()12,0,2BC =-，所以12BC FP =，即1//BC FP .而FP ⊂平面EFPQ ，且1BC ⊄平面EFPQ ，故直线1//BC 平面EFPQ .（II ）设平面EFPQ 的一个法向量为(),,x y z =n ，则由0,0,FE FP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 可得0,0.x y x z λ+=⎧⎨-+=⎩于是可取(),,1λλ=-n .同理可得平面MNPQ 的一个法向量为()2,2,1λλ=--m .若存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角，则()()2,2,1,,10λλλλ⋅--⋅-=m n =，即()()2210λλλλ---+=，解得1λ=±.故存在1λ=±，使使面EFPQ 与面P Q M N 所成的二面角为直二面角.评注 本题考查了线面平行的证明方法和二面角的计算.体现了利用平面的法向量解决二面角中有关求值问题的优势.充分利用方程的思想方法是解题的关键.20. 解析 （I ）依题意，()11040800.250p P X =<<==，()235801200.750p P X ===剟，()351200.150p P X =>==.由二项分布，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为()()43430143433991C 1C 140.9477101010p p p p ⎛⎫⎛⎫=-+-=+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（II ）记水电站年总利润为Y （单位：万元）（1）安装1台发电机的情形.由于水库年人流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应得年利润5000Y =，()500015000EY =⨯=.（2）安装2台发电机的情形.依题意，当4080X <<时，一台发电机运行， 此时50008004200Y =-=，因此()()1420040800.2PY P X p ==<<==；当80X …时，两台发电机运行，此时5000210000Y =⨯=，因此()()2310000800.8P Y P X p p ===+=…；由此得Y所以，()42000.2100000.88840EY =⨯+⨯=.（3）安装3台发电机的情形.依题意，当4080X <<时，一台发电机运行，此时500016003400Y =-=，因此()()1340040800.2P Y P X p ==<<==；当80120X 剟时，两台发电机运行，此时500028009200Y =⨯-=， 因此()()29200801200.7P Y P X p ====剟；当120X >时，三台发电机运行，此时5000315000Y =⨯=，因此()()3150001200.1P Y P X p ==>==，由此得Y 的分部列如下：所以，()34000.292000.7150000.18620EY =⨯+⨯+⨯=.综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台.评注 本题考查了概率和离散型随机变量的分布列.考查了分类讨论方法和运算求解能力.21.解析 （I ）设点(),Mx y ，依题意得1MFx =+1x =+，化简整理得()221y x =+.故点M 的轨迹C 的方程为24, 0,0, 0.x x y x ⎧=⎨<⎩…（II ）在点M 的轨迹C 中，记1C ：24yx =，2C ：()00y x =<，依题意，可设直线l 的方程为()12y k x -=+.由方程组()2124y k x y x-=+⎧⎪⎨=⎪⎩可得()244210ky y k -++=.①（1）当0k =时，此时1y =.把1y =代入轨迹C 的方程，得14x =. 故此时直线l ：1y =与轨迹C 恰好有一个公共点1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭.（2）当0k ≠时，方程①的判别式为()21621k k ∆=-+-.② 设直线l 与x 轴的交点为()0,0x ，则由()12y k x -=+，令0y =，得021k xk+=-.③ （i ）若000x ∆<⎧⎨<⎩由②③解得1k <-或12k >.即当()1,1,2k ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭时，直线l 与1C 没有公共点，与2C 有一个公共点， 故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点.(ii)若000x ∆=⎧⎨<⎩或000x ∆>⎧⎨⎩…则由②③解得11,2k ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭或102k -<….即当11,2k ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭时，直线l 与1C 只有一个公共点，与2C 有一个公共点.当1,02k ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，直线l 与1C 有两个公共点，与2C 没有公共点. 故当11,01,22k ⎡⎫⎧⎫∈--⎨⎬⎪⎢⎣⎭⎩⎭时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点. （iii ）若000x ∆>⎧⎨<⎩<则由②③解得112k -<<-或102k <<. 即当111,0,22k ⎛⎫⎛⎫∈--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，直线l 与1C 有两个公共点，与2C 有一个公共点， 故此时直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点.综合（1）（2）可知，当(){}1,1,02k ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭时，直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点；当11,01,22k ⎡⎫⎧⎫∈--⎨⎬⎪⎢⎣⎭⎩⎭时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点； 当111,0,22k ⎛⎫⎛⎫∈--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点. 评注 本题考查了直线和抛物线的位置关系，考查了数形结合的方法，灵活地利用判别式时求解的关键.盲目利用抛物线的定义而漏掉射线()00y x =<就会造成错解二失分.22.解析 （I ）函数()f x 的定义域为()0,+∞.因为()ln x f x x =，所以()21ln xf x x -'=. 当()0f x '>，即0e x <<时，函数()f x 单调递增； 当()0f x '<，即e x >时，函数()f x 单调递减.故函数()f x 的单调递增区间为()0,e ，单调递减区间为()e,+∞.（II ）因为e 3π<<，所以e ln 3e ln π<，πln e πln 3<，即e e ln 3ln π<，ππln e ln 3<. 于是根据函数ln y x =，e xy =，πxy =在定义域上单调递增， 可得e e 33ππ<<，3ππe e 3<<.故这6个数的最大数在3π与π3之中，最小数在e 3与3e 之中. 由e 3π<<及（I ）的结论，得()()()π3e f f f <<，即ln πln 3ln e π3e<<.由ln πln 3π3<，得3πln πln 3<，所以π33π>；由l n 3l n e3e <，得e 3ln 3ln e <，所以e 33e <. 综上，6个数中的最大数是π3，最小数是e 3.(III)由（II ）知，e e 3π3ππ3<<<，e 33e <.又由（II ）知，ln πln eπe<，得e ππe <. 故只需比较3e 与e π和πe 与3π的大小.由（I ）知，当0e x <<时，()()1e e f x f <=，即l n 1e x x <.在上式中，令2e πx =，又2e e π<，则2e eln ππ<，从而e 2ln ππ-<，即得e ln π2π>-.①由①得，()e 2.72eln πe 2 2.72 2.720.88 3.0243π 3.1⎛⎫⎛⎫>->⨯->⨯-=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即e l n π3>，亦即e 3ln πln e >，所以3e e π<.又由①得，3e3ln π>66e ππ->->，即3ln ππ>， 所以π3e π<.综上可得，e 3e π3π3e πe <π3<<<<，即6个数从小到大的顺序为e 3，3e ，e π，πe ，3π，π3.评注 本题考查了函数和导数的综合应用；考查了不等式求解的能力，考查了分析问题、解决问题的综合能力.充分考查了考生的综合素质.在平时的学习过程中应充分培养综合解决问题的能力.。

2014年湖北省七市（州）高三年级联合考试数学试题(理工类) B 卷全卷满分150分，考试时间120分钟． ★ 祝考试顺利 ★第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知全集R =U ，集合{}lg 0A x x =≤，{}322x B x =≤，则B A Y ＝A . ∅ B.10,3⎛⎤⎥⎝⎦ C.1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.(],1-∞2．下列说法错误的是A. 命题“若2560x x -+=，则2x =”的逆否命题是“若2x ≠，则2560x x -+≠”B. 已知命题p 和q ，若p q ∨为假命题，则命题p 与q 中必一真一假C. 若,x y R ∈，则“x y =”是“2()2x y xy +≥”的充要条件D. 若命题0:p x R∃∈，20010x x ++<，则:p x R ⌝∀∈，210x x ++≥ 3．为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图（两轴单位长度相同），用回归直线$y bx a =+近似的刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是A.线性相关关系较强，b 的值为1.25B.线性相关关系较强，b 的值为0.83C.线性相关关系较强，b 的值为0.87-D.线性相关关系太弱，无研究价值开始s =1,n =1 n ≤4？否n =n +1s =s ×cos9n π 输出S 结束第5题图 4．某个几何体的三视图如图所示（其中正视图中的圆弧是半径为2的半圆），则该几何体的表面积为A. 9224π+B. 8224π+C. 9214π+D. 8214π+ 5．阅读如图所示的程序框图，则输出结果s 的值为A. 116B. 16C. 18D. 12已知函数()f x 与()g x 的图像在R 上不间断，由下表知方程()()f x g x =有实数解的区间是A.(1,0)-B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)7．已知O 为坐标原点，,AB 两点的坐标均满足不等式组310,30,10,x y x y x-+≤⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩设OAuu u r 与OB uuu r的夹角为θ，则tan θ的最大值为A.12B.47C.34D.948．设两条直线的方程分别为0,0x y a x y b ++=++=，已知,a b 是方程20x x c ++=的两个实根，且108c ≤≤，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是A.144212 D.1,22 9．如果对定义在R 上的函数()f x ，对任意12x x ≠，都有11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+则称函数()f x 为“H 函数”.给出下列函数:①31y x x =-++；②32(sin cos )y x x x =--；③1xy e =+；④ln 0()00x x f x x ⎧≠⎪=⎨=⎪⎩，，.其中函数是“H 函数”的个数为A. 4B. 3C. 2D. 110．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两个焦点为1F 、2F ，其中一条渐近线方程为(*)2by x b N =∈，P 为双曲线上一点，且满足5OP <（其中O 为坐标原点），若1PF 、12F F 、2PF 成等比数列，则双曲线C 的方程为A.2214x y -= B.221x y -= C.22149x y -= D.221416x y -=第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. （一）必考题：（11～14题） 11．若i 为虚数单位，图中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z 表示复数z ，则复数12zi -的共轭复数是________．12．设6260126(23)(1)(1)(1)x a a x a x a x -=+-+-++-L ，则4a =___ ____．13．物体A 以速度231v t =+（t 的单位：s ，v 的单位：/m s ）在一直线上运动，在此直线上与物体A 出发的同时，物体B 在物体A 的正前方5m 处以10v t =（t 的单位：s ，v 的单位：/m s ）的速度与A 同向运动，则两物体相遇时物体A 运动的距离为________m ．14．将长度为(4,)l l l N *≥∈的线段分成(3)n n ≥段，每段长度均为正整数，并要求这n 段中的任意三段都不能构成三角形．例如，当4l =时，只可以分为长度分别为1,1,2的三段，此时n 的最大值为3；当7l =时，可以分为长度分别为1,2,4的三段或长度分别为1,1,2,3的四段，此时n 的最大值为4．则：（1）当12l =时，n 的最大值为________；（2）当100l =时，n 的最大值为________．（二）选考题：请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号的方框用2B 铅笔涂黑. 如果全选，则按第15题作答结果计分. 15．（几何证明选讲）如图，已知PA 是⊙O 的切线，A 是切点，直线PO 交⊙O 于,B C 两点，D 是OC 的中点，连接AD 并延长交⊙O 于点E ，若23,30PA APB =∠=o，则AE = ．16．（坐标系与参数方程）在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点、x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点M 的极坐标为42,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭， 曲线C 的参数方程为12cos 2sin x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参数），则点M 到曲线C 上的点的距离的最小值为 ．三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）已知向量2(cos ,1),(3sin ,cos )222x x x m n =-=u r r ，设函数()1f x m n =⋅+u r r．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足226cos a b ab C +=，2sin 2sin sin C A B =，求()f C 的值．18．（本小题满分12分）已知数列}{n a 是等差数列，}{n b 是等比数列， 其中111==b a ，22b a ≠，且2b 为1a 、2a 的等差中项，2a 为2b 、3b 的等差中项．（1）求数列}{n a 与}{n b 的通项公式；（2）记))((12121n n n b b b a a a n c +⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++=，求数列}{n c 的前n 项和n S ．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，o90ABC ∠=，AD ∥BC ，且2PA AD ==，1AB BC ==，E 为PD 的中点．（Ⅰ）设PD 与平面PAC 所成的角为α，二面角P CD A --的大小为β，求证：tan cos αβ=；（Ⅱ）在线段AB 上是否存在一点F （与A B ，两点不重合），使得AE ∥平面PCF ? 若存在，求AF 的长；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分12分）小明家订了一份报纸， 寒假期间他收集了每天报纸送达时间的数据， 并绘制成频率分布直方图，如图所示． （Ⅰ）根据图中的数据信息，写出众数x ；（Ⅱ）小明的父亲上班离家的时间y在上午7:007:30至之间，而送报人每天在0x时刻前后半小时内把报纸送达（每个时间点送达的可能性相等）．①求小明的父亲在上班离家前能收到报纸（称为事件A）的概率；②求小明的父亲周一至周五在上班离家前能收到报纸的天数X的数学期望．21．（本小题满分13分）已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为12，以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线260x y-+=相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设(4,0)A-，过点(3,0)R作与x轴不重合的直线l交椭圆于P、Q两点，连结AP、AQ分别交直线163x=于M、N两点．试问直线MR、NR的斜率之积是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．22．（本小题满分14分）已知()lnf x x x=，211()22g x x=+．（Ⅰ）设()()()F x f x g x=+，求函数()F x的图像在1x=处的切线方程；（Ⅱ）求证：()()f xe g x≥对任意的(0,)x∈+∞恒成立；（Ⅲ）若,,a b c R +∈，且2223a b c ++=，求证：222()()()6111a b c b c c a a b a b c +++++≤+++．。

1．(2014年湖北七市（州）高三年级联合考试)如图所示，两平行导轨ab 、cd 竖直放置在的匀强磁场中，匀强磁场方向竖直向上，将一根金属棒PQ 放在导轨上使其水平且始终与导轨保持良好接触。

现在金属棒PQ 中通以变化的电流I ，同时释放金属棒PQ 使其运动。

已知电流I 随时间的关系为I =kt (k 为常数，k >0)，金属棒与导轨间存在摩擦。

则下面关于棒的速度v 、加速度a 随时间变化的关系图象中，可能正确的有（AD ）A ．B ．C ．D ．2.(石家庄市2014届高中毕业班3月复习教学质量检测)如图所示，水平长直导线JUN 中通以M 到N 方向的恒定电流，用两根轻质绝缘细线将矩形线圈abcd 悬挂在其正下方。

开始时线圈内不通电流，两细线内的张力均为T ，当线圈中通过的电流为1时，两细线内的张力均减小为T'。

下列说法正确的是(BC)A ．线圈中通过的电流方向为a →d →c →b →aB ．线圈中涌讨的申，流方向为→b →c →d →aC ．当线圈中电流变为T T-T 'I 时，两细线内的张力均为零 D ．当线圈中电流变为T 'T-T 'I 时，两细线内的张力均为零 3.(开封市2014届高三第二次模拟考试高三物理试题)在第一象限（含坐标轴）内有垂直xoy 平面周期性变化的均匀磁场，规定垂直xoy 平面向里的磁场方向为正．磁场变化规律如图，磁感应强度的大小为B 0，变化周期为T 0．某一正粒子质量为m、电量为q在t=0时从0点沿x 轴正向射入磁场中。

若要求粒子在t=T 0时距z 轴最远，则B 0的值为(D)4．(陕西省2014届高三下学期第一次联考)如图所示．一边长为L 底边，BC 的电阻R ，是两腰AB 、AC 的电阻R AB 、R AC 的两倍（R BC =2R AB =2R AC ）的正三角形金属框放置在磁感应强度为B 的匀强磁场中。

若通以图示方向的电流．且已知从B 端流人的总电流强度为，．则金属框受到的总磁场力的大小为(.B )A ．0B ．BILC ．43BILD ．2 BIL5.(江西省重点中学盟校2014届高三第一次十校联考)如图所示为某种质谱仪的工作原理示意图。