山东省青岛二中2011-12学年高一下学期阶段性质量检测数学试题

2023-2024学年山东省青岛市高一下册期中数学模拟试题一、单选题1．已知复数z 在复平面内对应的点为()1,2，z 是z 的共轭复数，则zz=（）A ．34i 55-+B ．34i 55--C ．34i55+D ．34i55-【正确答案】A【分析】根据给定条件，求出复数z 及z ，再利用复数除法运算求解作答.【详解】依题意，12z i =+，则12i z =-，所以12i (12i)(12i)34i 34i 12i (12i)(12i)555z z +++-+====-+--+.故选：A2．已知圆锥的侧面积（单位：2cm ）为8π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：cm ）是（）A ．1B ．2C D【正确答案】B【分析】利用扇形的面积公式及弧长公式，结合圆的周长公式即可求解.【详解】设圆锥的母线长为cm a ，因为圆锥的侧面积（单位：2cm ）为8π，所以28π1π2a ⋅=，解得4a =.所以侧面展开扇形的弧长为12π44π2⨯⨯⨯=cm .设圆锥的底面半径为cm r ，则2π4πr =，解得2r =.所以这个圆锥的底面半径是2cm .故选：B.3．函数()()2tan 11f x x x x =⋅-<<的图象可能是（）A ．B ．C．D．【正确答案】B【分析】结合函数的奇偶性和特殊点的处的函数值的符号可得正确的选项.【详解】因为()()2tan 11f x x x x =⋅-<<，故()()()()2tan f x x x f x -=-⋅-=，故()f x 为偶函数，故排除AC.而()12tan10f =>，故排除D ，故选：B.4．已知球1O 与一正方体的各条棱相切，同时该正方体内接于球2O ，则球1O 与球2O 的表面积之比为（）A ．2：3B ．3：2CD【正确答案】A【分析】设正方体棱长为a ，分别求出与正方体的各条棱相切的球的半径以及正方体外接球的半径，再求其表面积之比.【详解】设正方体棱长为a ，因为球1O 与正方体的各条棱相切，所以球1O 的直径大小为正方体的面对角线长度，即半径2r =；正方体内接于球2O ，则球2O的直径大小为正方体的体对角线长度，即半径2R a =；所以球1O 与球2O的表面积之比为2222232r R a ⎫⎪⎝⎭==⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：A.5．在ABC 中，已知tan ,tan A B 是关于x的方程210x m ++=的两个实根，则C ∠=（）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【正确答案】C【分析】利用韦达定理，两角和的正切公式，求得tan()A B +的值，可得A B +的值，从而求得C 的值．【详解】由()23410m m ∆=-+≥得：23m ≤-或2m ≥，故0m ≠，由题有tan tan tan tan 1A B A B m ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩，而()πC A B =-+，∴()()tan tan tan tan 1tan tan 11A B C A B A B m +=-+=-=-=--+又()0,πC ∈，∴2π3C =.故选：C.6．三棱台111ABC A B C -中，11:1:3AB A B =，则三棱锥1A ABC -、三棱锥11B A B C -、三棱锥111C A B C -的体积之比为（）A ．1:2:9B ．1:3:9C ．1:4:9D ．1:6:9【正确答案】B【分析】根据三角形相似可得出11119ABC A B C S S =△△，结合锥体体积公式可求得1111A ABC C AB CV V --，再利用台体体积公式可求得结果.【详解】在三棱台111ABC A B C -中，111ABC A B C ∽△△，11121119ABC A B C SAB S A B ⎛⎫== ⎪⎝⎭△△，因为点C 到平面111A B C 的距离等于点1A 到平面ABC 的距离，所以，111111119A ABC ABC C ABC A B C V S V S --==△△，设点C 到平面111A B C 的距离为h ，(11111111131333ABC A B C ABC A B C ABC A ABC V S S h S h V --=+=⋅= ，所以，()1111111111113193B A B C ABC A B C A ABC C A B C A ABC A ABC V V V V V V ------=--=--=，因此，111111::1:3:9A ABC B A B C C A B C V V V ---=，故选：B.7．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若()()sin sin 2sin B A A A B +-=-，则ABC 的形状是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形【正确答案】D【分析】利用和差角的正弦公式及二倍角的正弦公式化简给定等式，再借助余弦值求角及正弦定理求解作答.【详解】在ABC 中，由()()sin sin 2sin B A A A B +-=-得：sin cos cos sin 2sin cos sin cos cos sin B A B A A A A B A B +-=-，整理得2sin cos 2cos sin A A A B =，则cos 0A =或sin sin A B =，当cos 0A =时，0πA <<，π2A =，ABC 是直角三角形，当sin sin A B =时，由正弦定理得a b =，因此ABC 是等腰三角形，所以ABC 是等腰三角形或直角三角形.故选：D8．分别以一个直角三角形的斜边、两条直角边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的面围成的三个几何体体积分别记为1V 、2V 、3V ，则它们之间一定满足（）A ．212223211V V V =+B ．222123V V V =+C ．()22212314V V V =+D ．222123111V V V =+【正确答案】D【分析】在直角三角形ABC 中，90ABC ∠= ，过点B 作BD AC ⊥，垂足为点D ，利用等面积法可得出AB BCBD AC⋅=，再利用锥体的体积公式计算可得出1V 、2V 、3V 所满足的关系式.【详解】在直角三角形ABC 中，90ABC ∠= ，过点B 作BD AC ⊥，垂足为点D ，如下图所示：以AC 为直线为轴，其余各边旋转一周形成的面围成的几何体的体积记为1V ，以AB 为直线为轴，其余各边旋转一周形成的面围成的几何体的体积记为2V ，以BC 为直线为轴，其余各边旋转一周形成的面围成的几何体的体积记为3V ，则221π3V BC AB =⨯⨯，231π3V AB BC =⨯⨯，因为1122ABC S AB BC BD AC =⋅=⋅△，则AB BCBD AC⋅=，()22221111πππ333AB BC V BD AD CD BD AC AC⨯=⨯⨯+=⨯⨯=⨯，所以，()2222244244224242191999ππππAB BC AC V AB BC AB BC AB BC AB BC +===+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯222311V V =+，故选：D.二、多选题9．欧拉公式i e cos i sin x x x =+是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天骄，依据欧拉公式，下列选项正确的是（）A ．复数i e 对应的点位于第二象限B ．πi 2e 为纯虚数C ．πi e 10-=D πi 33i+12【正确答案】BD【分析】利用欧拉公式逐项计算出对应的复数，再判断作答.【详解】对于A ，i cos1i sin1e =+，而sin10,cos10>>，因此复数i e 对应的点(cos1,sin1)位于第一象限，A 错误；对于B ，πi 2ππe cosisin i 22=+=，因此πi 2e 为纯虚数，B 正确；对于C ，πi e 1cos πi sin π12-=+-=-，C 错误；对于Dπi 3ππ11cosisin (i)(i)i1332222i 444e +++==+，πi 312=，D 正确.故选：BD10．有下列说法，其中正确的说法为（）A ．若//a b r r ，//b c，则//a cr r B ．两个非零向量a 和b ，若a b a b -=+ ，则a 与b垂直C ．已知()2,1a =r ，则与a垂直的单位向量的坐标,55⎛- ⎝⎭或,55⎛- ⎝⎭D ．已知向量()1,2a =-r ，(),1b t = ，若b 在a（e 为与向量a 同向的单位向量），则7t =【正确答案】BCD【分析】取0b = ，可判断A 选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断B 选项；设与a垂直的单位向量为(),m x y = ，根据已知条件求出m的坐标，可判断C 选项；利用投影向量的定义可判断D 选项.【详解】对于A 选项，取0b = ，则//a b r r ，//b c ，则a 、c不一定共线，A 错；对于B 选项，两个非零向量a 和b，若a b a b -=+ ，则22a b a b -=+ ，整理可得0a b ⋅= ，故a 与b垂直，B 对；对于C 选项，设与a垂直的单位向量为(),m x y = ，由题意可得201a m x y m ⋅=+=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得55x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或55x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以，与a垂直的单位向量的坐标55⎛- ⎝⎭或,55⎛- ⎝⎭，C 对；对于D 选项，已知向量()1,2a =-r ，(),1b t =，则b 在a上的投影向量为cos ,b a b e ⋅= ，cos ,a b a b b a b b a b a⋅⋅=⋅=⋅=⋅，解得7t =，D 对.故选：BCD.11．已知空间中的平面α，直线l 、m 、n 以及点A 、B 、C 、D ，则以下四个命题中，不正确的命题是（）A ．在空间中，四边形ABCD 满足AB BC CD DA ===，则四边形ABCD 是菱形B ．若l α⊄，∈A l ，则A αÏC ．若l 和m 是异面直线，n 和l 是平行直线，则n 和m 是异面直线D ．若m α⊂，n ⊂α，A m ∈，B n ∈，∈A l ，B l ∈，则l ⊂α【正确答案】ABC【分析】直接判断四边形ABCD 的形状，可判断A 选项；利用空间中点、线、面的位置关系可判断BCD 选项.【详解】对于A 选项，在空间中，四边形ABCD 满足AB BC CD DA ===，则四边形ABCD 是菱形或空间四边形，A 错；对于B 选项，若l α⊄，∈A l ，则A αÏ或l A α=I ，B 错；对于C 选项，若l 和m 是异面直线，n 和l 是平行直线，则n 、m 相交或异面，C 错；对于D 选项，若m α⊂，n ⊂α，A m ∈，B n ∈，则A α∈，B α∈，又因为∈A l ，B l ∈，所以l ⊂α，D 对.故选：ABC.12．已知函数()()πsin 0,0,π2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>-<<- ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，把函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长为原来的1110倍，得到函数()y g x =的图象，则（）A ．5π6ϕ=-B ．π3g x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数C ．()g x 的图象关于直线2π3x =对称D ．()g x 在区间2π,π3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减【正确答案】ACD【分析】根据给定的图象依次求出,,A ϕω，得函数()f x 的解析式，结合图象变换求出函数()y g x =，再逐项判断作答.【详解】观察图象知，2A =，(0)1f =-，则1sin 2ϕ=-，而ππ2ϕ-<<-，于是5π6ϕ=-，A 正确；函数()f x 的周期T 满足：5π635π46T T ⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，即2π5π632π5π46ωω⎧>⎪⎪⎨⎪⋅<⎪⎩，解得91255ω<<，又5π()06f =，即有5ππ,Z 6k k ωϕ+=∈，而0ω>，于是61,N 5kk ω=+∈，因此111,5k ω==，115π()2sin()56f x x =-，5π()2sin(26g x x =-，ππ()2sin[2()335ππ]2sin(266g x x x +--=+=，显然函数π2sin(26y x =-不是奇函数，B 错误；因为2π2π5ππ(2sin(22sin 23362g =⨯-==，所以()g x 的图象关于直线2π3x =对称，C 正确；当2ππ3x <<时，π5π7π2266x <-<，而正弦函数sin y x =在π7π(,)26上单调递减，所以()g x 在区间2π(,π)3上单调递减，D 正确.故选：ACD 三、填空题13．已知向量,a b满足()a b b -⊥ ，且2,1a b == ，则a 与b 的夹角为_________．【正确答案】π3##60 【分析】利用向量垂直的条件及向量的夹角公式即可求解.【详解】由()a b b -⊥ ，得()0a b b -⋅= ，解得21a b b ⋅=r r r =，设a 与b的夹角为θ，则11cos 212a b a b θ⋅==⨯r r r r =，因为0πθ≤≤，所以π3θ=.所以a 与b的夹角为π3.故答案为.π314．已知()π3cos 45α-=，5π12sin 413β⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，π3π,44α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,π0,4β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin()αβ+=________．【正确答案】5665【分析】根据给定条件，求出角π4α-与5π4β+的范围，再借助角的变换及差角的正弦公式计算作答.【详解】依题意，因π3π,44α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,π0,4β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则ππ5π5π3π0,24442αβ-<-<<+<，而()π3cos 45α-=，5π12sin 413β⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则π45π5sin(),cos()45413αβ-=-+=-，5ππ5ππ5ππsin()sin[()()]sin()cos()cos()sin()444444αββαβαβα+=-+--=-+-++-1235456()()()13513565=--⨯+-⨯-=．故566515．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于O 点，线段OD 上有点M 满足3DO DM =，线段CO 上有点N 满足0()OC ON λλ=> ，设,AB a AD b == ，已知16MN a b μ=-，则λ=_________．【正确答案】3【分析】由MN AN AM =- ，根据,,D M B 三点共线，AM用基底,AB AD 表示，由OC ON λ= ，可得11()22AN AC λ=+ ，进而用,AB AD表示，根据向量基本定理，建立等量关系，即可求解.【详解】1113,,666DO DM DM DB AM AD AB AD =∴=-=- ，1566AM a b =+ ，11,2OC ON ON OC AC λλλ===，1111(()()2222AN AO OC AC a b λλ∴=+=+=++ ，1115()()2266MN AN AM a b a b λ=-=++-+ 11111()()32326a b a b μλλ=++-+=-，由平面向量基本定理，得1132111326μλλ⎧+=⎪⎪⎨⎪-+=-⎪⎩，解得312λμ=⎧⎪⎨=⎪⎩，故3.四、双空题16．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin cos B c B a b +=+，且4a b +=，则ABC 周长的取值范围为________，ABC 面积的最大值为_________．【正确答案】[)6,8【分析】根据已知条件及正弦定理边角化，利用两角和的正弦公式及辅助角公式，然后再利用余弦定理及基本不等式，结合三角形的周长公式及三角形的面积公式即可求解.sin cos B c B a b +=+sin sin cos sin sin C B C B A B +=+,()sin sin cos sin sin C B C B B C B +=++,sin sin cos sin C B B C B =+,因为0πB <<，所以sin 0B ≠，cos 1C C =+cos 1C C -=，于是有π2sin 16C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为0πC <<，所以ππ5π666C -<-<，所以ππ66C -=，即π3C =.由余弦定理，得()2222cos c a b ab ab C =+--,即()()()22223344c a b ab a b a b =+-≥+-+=，解得2c ≥，当且仅当2a b ==时，等号成立，所以24,68c a b c ≤<≤++<，所以ABC 周长的取值范围为[)6,8.因为4a b +=，所以224422a b ab +⎛⎫⎛⎫≤== ⎪ ⎝⎭⎝⎭，当且仅当2a b ==时，等号成立，11sin 4222ABC S ab C =≤⨯⨯=△所以当2a b ==时，ABC故[)6,8关键点睛：解决此题的关键是利用正弦定理边角化及基本不等式求最值即可.五、解答题17．已知向量a →＝（1，2），b →＝（－3，k ）．(1)若a →∥b →，求b →的值；(2)若a →⊥（a →＋2b →），求实数k 的值；(3)若a →与b →的夹角是钝角，求实数k 的取值范围．【正确答案】(2)k ＝14；(3)k ＜32且k ≠－6.【分析】（1）解方程1×k －2×(3)-＝0即得解；（2）解方程1×(5)-＋2×(22)k +＝0即得解；（3）解不等式1×(3)-＋2×k ＜0且k ≠－6，即得解.【详解】（1）解：因为向量a →＝（1，2），b →＝（－3，k ），且a →∥b →，所以1×k －2×(3)-＝0，解得k ＝－6，所以b →（2）解：因为a →＋2b →＝(5,22)k -+，且a →⊥(2)a b →→+，所以1×(5)-＋2×(22)k +＝0，解得k ＝14．（3）解：因为a →与b →的夹角是钝角，则a b →→⋅＜0且a →与b →不共线．即1×(3)-＋2×k ＜0且k ≠－6，所以k ＜32且k ≠－6．18．已知复数12i ,1i z a z =-=-，其中a 是实数．(1)若212i z =-，求实数a 的值；(2)若12z z 是纯虚数，求23202211112222z z z z z z z z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【正确答案】(1)1；(2)1i -+.【分析】（1）根据给定的条件，利用复数乘方运算及复数相等求出a 的值.（2）利用复数除法结合纯虚数的定义，求出12z z ，再利用i 乘方的周期性求解作答.【详解】（1）复数1i z a =-，则2212i)(12i 2)(i a a z a -+=-==--，又a 是实数，因此21022a a ⎧-=⎨-=-⎩，解得1a =，所以实数a 的值是1.（2）复数12i ,1i z a z =-=-，R a ∈，则12i (i)(1i)(1)(1)i 11i 1i (1i)(1i)222z a a a a a a z -+-++--+----====+--+，因为12z z 是纯虚数，于是102102a a --⎧=⎪⎪⎨-⎪≠⎪⎩，解得1a =-，因此12i z z =，又1234i i,i 1,i i,i 1==-=-=，则*4342414N ,i i,i 1,i i,i 1n n n n n ---∈==-==，即有*4342414N ,i i i i 0n n n n n ---∈+++=，所以232022234211112222()()()505(i i i i )i i 1i z z z z z z z z ++++=+++++=-+ .19．已知函数())cos cos ,R f x x x x x =+∈．(1)当ππ,64x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值；(2)若2(,R 32f θθ=∈，求π3f θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【正确答案】(1)32；(2)118.【分析】（1）化简函数π1()sin(262f x x =++，再利用正弦函数的性质求出最值作答.（2）将3(24f θ=代入求出π1sin(64θ+=，再利用二倍角的余弦求解作答.【详解】（1）依题意，21cos 2π1()cos cos sin 2sin(2)262x f x x x x x x +=++=++，当ππ[,64x ∈-时，]π2π2π[6,63x -+∈，则当ππ262x +=，即π6x =时，πsin(216x +=，所以当π6x =时，max 13()122f x =+=.（2）因为2(3)2f θ=，则由（1）知，π13sin(624θ++=，即π1sin()64θ+=，所以2π5πππ1π13π()sin(2sin[(2)]cos 2()2sin ()363226226f θθθθθ+=+=+++=++=-+2312()24811=-⨯=.20．已知ABC的面积为2，且1AB AC ⋅=- ．(1)求角A 的大小及边BC 长的最小值；(2)设M 为BC的中点，且2AM =，求边BC 上的高．【正确答案】(1)23A π=，边BC【分析】（1）直接利用面积公式和向量的数量积定义，列方程组，消去bc ，可求出tan A ，从而可求出角A ，利用余弦定理结合基本不等式可求出BC 长的最小值，（2）由M 为BC 的中点，得1()2AM AB AC =+ ，两边平方化简可得225b c +=，再利用余弦定理可求出a ，然后由面积公式可求得结果【详解】（1）因为ABC1AB AC ⋅=- ，所以1sin 22cos 1bc A bc A ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，因为cos 0A ≠，所以tan A =因为(0,)A π∈，所以23A π=，由余弦定理得222222cos 3a b c bc A b c bc bc =+-=++≥，当且仅当b c =时取等号，由2cos 13bc π=-，得2bc =，所以26a ≥，所以a ，（2）因为M 为BC 的中点，所以1()2AM AB AC =+ ，所以222211()(2)44AM AB AC AB AC AB AC =+=++⋅ ，因为2AM =1AB AC ⋅=- ，所以2231(2)44b c =+-，得225b c +=，由余弦定理得，222222cos 527ab c bc A b c bc =+-=++=+=，所以a =设BC 边上的高为h因为ABC所以12ah =12=，得h =所以边BC 上的高为721．“方舱医院”原为人民子弟兵野战机动医疗系统中的一种，是可以移动的模块化卫生医疗平台，一般由医疗功能区、病房区等部分构成，具有紧急救治、外科处置、临床检验等多方面功能．某市有一块扇形地块，因疫情所需，当地政府现紧急划拨该地块为方舱医院建设用地．如图所示，平行四边形OMPN 区域拟建成病房区，阴影区域拟建成医疗功能区，点P 在弧AB 上，点M 和点N 分别在线段OA 和线段OB 上，且90OA =米，π3AOB ∠=．记POB θ∠=．(1)当π4θ=时，求OM ON ⋅ ；(2)请写出病房区OMPN 的面积S 关于θ的函数关系式，并求当θ为何值时，S 取得最大值．【正确答案】(1)1)-；(2)ππ263S θθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭，π6θ=.【分析】（1）利用正弦定理求出,ON OM ，再利用数量积的定义求解作答.（2）利用正弦定理用θ表示出,ON OM ，再利用三角形面积公式、结合三角恒等变换求解作答.【详解】（1）四边形OMPN 是平行四边形，在OPM 中，π2ππ,,4312OPM POB OMP POM ∠=∠=∠=∠=，90OP =，πππππππsin sin()sin cos cos sin 12464646=-=-由正弦定理得：sin sin sin PM OM OP POM OPM OMP ==∠∠∠，即90ππ2πsin sin sin 1243PM OM ==，于是)43ON PM ==-，2OM ==所以1||cos 3045(1350(1)||2OM ON OM B ON AO =∠=⋅= .（2）四边形OMPN 是平行四边形，在OPM 中，2ππ,,33OPM POB OMP POM θθ∠=∠=∠=∠=-，90OP =，由正弦定理得：sin sin sin PM OM OP POM OPM OMP ==∠∠∠，即πsin sin()3PM OM θθ==-因此π),3PM OM θθ=-=，从而1π22sin 60)6023POM S S PM OM OMP θθ==⨯⋅∠=-⋅⋅)2π1sin cos sin sin cos sin 322θθθθθθθθ⎫⎛⎫=-=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭11πsin 2cos 2)sin(2)226θθθ=+-=+-π03θ<<，显然ππ5π2666θ<+<，因此当ππ262θ+=，即π6θ=时，πsin(2)16θ+=，S 取得最大值，所以ππ263S θθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭，当π6θ=时，S 取得最大值.22．如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ．(1)过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，B ，1C 截下一个三棱锥111B A BC -，求正方体剩余部分的体积；(2)若M ，N 分别是棱AB ，BC 的中点，请画出过1D ，M ，N 三点的平面与正方体1111ABCD A B C D -表面的交线（保留作图痕迹，画出交线，无需说明理由），并求出交线围成的多边形的周长；(3)设正方体1111ABCD A B C D -外接球的球心为O ，求三棱锥11O A BC -的体积．【正确答案】(1)356a (2)见解析(3)3112a 【分析】（1）利用等体积法求出三棱锥111B A B C -的体积，再用正方体体积减去即可；（2）根据点、线、面的位置关系作出图形，再利用三角形相似等知识点则可求出相关线段长；（3）根据（1）中三棱锥111B A B C -的体积以及正方体和正三棱锥的性质即可求出三棱锥11O A BC -的高，再利用棱锥的体积公式即可.【详解】（1）因为正方体1111ABCD A B C D -，所以1BB ⊥平面111A B C ，则1BB 为三棱锥111B A B C -的高，111212A B C S a = ，1BB a =，则11111123111326B A BC B A BC V V a a a --==⨯⨯=，则正方体剩余部分的体积为3331566a a a -=.（2）画直线MN 交DA ，DC 延长线分别为点,E F ，再分别连接11,D E D F ，分别交11,AA CC 于点,G H ，顺次连接1,,,,D G M N H ，五边形1D GMNH 即为交线围成的多边形，易得12AM a =，45AME BMN ∠=∠= ，则AEM △为等腰直角三角形，则12AE a =，根据AEG △∽11A D G ，1111122a AG AE A G A D a ===，则121,33AG a AG ==，则22121333D G a a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，2213236a a MG a ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，同理可得1133D H =，136HN ，而22MN =，则五边形1D GMNH 的周长为1313222133622a a ⎫⨯++=+⎪⎪⎝⎭.（3）连接1B D ，易知1B D 的中点即为正方体外接球的球心O 点，且11112A B BC A C a ==，易得三棱锥111B A B C -为正三棱锥，而三棱锥111B A B C -的顶点1B 在底面上的投影即为等边三角形11A BC 的中心1O 点，且点1,O O 均在直线1B D 上，)1122132sin 6022A BC S a a =⨯⨯= 由（1）得111113111136A B A BC BC V S B O a -=⋅⋅= ，即231111326a B O a ⋅=，解得113B O a =，而1B D =，所以1B O所以1OO ==，则112311312O A BC V a -==.。

山东省青岛二中2011-2012学年高一下学期阶段性质量检测 语文试题 第Ⅰ卷（选择题 共33分） 一、单项选择题（共15分，每小题3分） 1．下列各组词语中加点字的注音无误的一项是 A. 补偿（cháng）嫡（dí）亲悚（sǒng）然撒手人寰（yuán） B．宫绦（tāo）间（jiàn）或黔（qián）首少不更（gēng）事 C．读漩跬传 D．作难（nàn）便（biàn）宜庠（xiáng）序惊诧不已（jǐ）2．下列各组词语中没有错别字的一项是 A．湮没 报酬 百无了赖 五彩斑斓 B．嘻闹 厮混 沸反盈天 契而不舍 C． D．应和 沧海 孽根祸胎 群山万壑3．下列各句中，没有语病的一句是（ ） A. 王维在继承传统的基础上，努力创造的具有鲜明个性的意境，丰富和提高了山水诗的表现技巧，对诗歌发展做出了贡献。

B．奥巴马政府准备向台湾出售武器的做法无论是为了安抚国内的军火商，还是想安抚批评他向中国磕头的保守派，都将导致中美关系的倒退。

C． D．居民小区中的进门升降平台、公交站牌导盲语音装置、地铁站里的斜拉式升降梯等无障碍城市设施越来越多地出现在上海，供残疾人和老年人生活之便。

4．下列各句中，加点的成语使用恰当的一句是 A．周汝昌先生凭借其极高的学养，以出神入化的文笔生动地阐述了“女性大悲剧”的“红学”见解。

B．在《老人与海》中，海明威居心叵测地把多层含义融合在一个简单的故事里，意在使读者从故事里读出完整的人生哲学。

C．铿锵有力 D．《动物游戏之谜》是我国科学家推荐的百篇科普文之一，从周立明生动的文字中人们可以领略到动物世界的美轮美奂。

5．下面有关文学常识的表述有误的一项是 A．中国小说萌芽于先秦，发展于两汉魏晋南北朝，唐代传奇是小说的成熟期，宋金时期流行话本小说，明清时期小说发展至高峰。

B．《红楼梦》又名《金陵十二钗》《石头记》，与《三国演义》《水浒传》《西游记》并称“中国四大古典小说”。

高一数学试题本试卷共4页，22题．全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码粘贴在答题卡指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，请将答题卡上交。

一、单项选择题：本大题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数，则的虚部是2(1i)z =+z A ．B ．C ．D ．22-2i -2i 2．已知向量，，若与垂直，则实数的值为(12)a = ，(2)b t =，a a b - t A ． B ． C ． D ．01-32-323．如图所示，在三棱台中，沿平面截去三棱锥，则剩余的A B C ABC '''-A BC 'A ABC '-部分是A ．三棱锥B ．四棱锥C ．三棱柱D ．三棱台4．在中，内角的对边分别为，，，，则ABC A A B C A A a b c AA 2a =b =60B =︒c =A ．B C ．D ．或13135．已知，，复数，，在复平面内对应的点为0a >0b >112i z =-2i z a =-3z b =-123Z Z Z ，，，若三点共线，则的最小值为 123Z Z Z ，，12a b+ A ．B ．C ．D ． 98646．在矩形中，，N 分别为，的中点，若，则ABCD M BC CD AC AM BN λμ=+λμ+= A ． B ． C ． D ．25165857．在中，为角的平分线，若，，则等于ABC A CD C 2B A =34AD BD =cos AA ．B ．C ．D ． 01223348．在中，内角的对边分别为，，则的取值范围ABC A A B C A A a b c AA 2=2BC AC AB ⋅ bc为A ．B ．(2)-+∞(2)++∞C ．D ．(02+A (22+二、多项选择题：本大题共4小题．每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9．若复数满足，则 z (12i)10z ⋅-= A ．24i z =-B ．是纯虚数 2z +C ．||||z z == D ．若是关于的实系数方程的一个复数根，则 z x 240x x b +=-20b =10．下列说法正确的是A ．向量，能作为平面内所有向量的一组基底1(23)e =- A 213(24e =- B ．已知中，点为边的中点，则必有OAB A P AB 1()2OP OA OB =+C ．若，则是的垂心PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅P ABC A D ．若是的重心，则点满足条件 G ABC A G 0GA GB CG ++=11．在中，内角的对边分别为，则下列说法正确的是 ABC A A B C A A a b c AA A ．若，则为等腰三角形sin 2sin 2A B =ABC A B ．若，则为等腰或直角三角形 cos cos a bA B=ABC A C ．若为锐角三角形，则 ABC A sin cos A B > D ．若，，，则有两解30A =︒4b =3a =ABC A 12．已知函数在上单调，且的图象关于点2π()cos()(0)3f x x ωω=+>π[π]2-A ()y f x =对称，则 (π03)-A A ．的周期为 ()f x 2π B ．若，则12|())|2(f x f x -=12min ||2πx x -= C ．将的图象向右平移个单位长度后对应的函数为奇函数 ()f x π3D ．函数上有个零点 ()y f x =+[0π]A 1三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．如图所示，等腰直角三角形是水平放置的一个平面图O A B '''形的直观图，其中，则原图形的周长为．2O B ''=14．已知向量满足，，的夹角为． a b ，||4a = ||1b = |2|a b += a b，15．．sin 40(tan10︒︒=16．某公园有一个人工湖，若要测量如图所示的人工湖的口径两点间的距离，现在人工,A B 湖岸边取两点，测得，，，,C D 40m CD =135ADB ∠=︒15BDC DCA ∠=∠=︒，则．120ACB ∠=︒=AB m四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知都是锐角，． αβA sin α=3cos()5αβ+=（1）求和的值； cos 2απtan(24α+（2）求的值． sin β 18．（12分）已知半圆圆心为，直径，为半圆弧上靠近点的三等分点，若为半径O 4AB =C A P 上的动点，以点为坐标原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所OC O AB x 示．（1）求在上投影向量的坐标；OA OC（2）若，当取得最小值时，求点的坐标及的最小值．y PA PO =⋅y P y19．（12分）在复平面内，是原点，向量对应的复数．O OA21(4)i,R =+-∈z m m m （1）若点位于第四象限，求的取值范围；A m （2）若点关于实轴的对称点为点，求向量对应的复数； AB AB（3）若22cos (4sin )i z θλθ=++，且12z z =，求λ的取值范围．20．（12分）在“①；②； tan tan tan tan A B A B ++=2222(42)cos a ab C b a c -+=+③”这三个条件中任选一个，补充在下面的问题()(sin sin sin )sin c a b C A B a B +--+=中，并进行解答．问题：在中，内角的对边分别为，且_______． ABC A A B C A A a b c AA （1）求角；C（2）若的内切圆半径，求的外接圆半径． ABC A r =4b =ABC A R 21．（12分）已知向量，，记函数．(2sin a x = π(2cos()1)3x b =+ A ()a x b f =⋅ （1）将化为形式，并求最小正周期；()f x πsin()(00||2y A x B A ωϕωϕ=++>><A A T （2）求函数在区间上的值域；()f x ππ12[]2-A （3）将函数的图象向右平移个单位后，再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的()f x π6倍得到函数的图象，若在区间上至少有个最(01)a a <<()y g x =()y g x =[11]-A 100大值，求的取值范围．a 22．（12分）对于函数，若存在非零常数，使得对任意的，都有()()f x x I ∈M x I ∈成立，我们称函数为“函数”；对于函数，若存在非()()f x M f x +≤()f x M ()()f x x I ∈零常数，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“严格M x I ∈()()f x M f x +<()f x 函数”． M （1）求证：，是“函数”；()cos (R)=∈f x x x M （2）若函数，是“函数”，求的取值范围；2()cos (R)=+∈f x kx x x π2k （3）对于定义域为的函数对任意的正实数，均是“严格函数”，若R ()f x M ()f x M，求实数的最小值． 322[()(1)-≥+t t f f a t a2022—2023学年度第二学期期中学业水平检测高一数学答案一、单项选择题：本大题共8小题．每小题5分，共40分． 1-8：AD B CBDCD二、多项选择题：本大题共4小题．每小题5分，共20分． 9．ACD ；10．BC ；11．CD ；12．BCD .三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．；14．；15．；16．8+2π31-四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）解：（1）由题意知， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分 24cos 212sin 5αα=-=因为是锐角， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3分αsin α=cos α=所以，所以 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5分3sin 22sin cos 5ααα==sin 23tan 2cos 24ααα==所以 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分π3tan 2tan 1π44tan(2)7π341tan 2tan 1144ααα+++===-⋅-⨯（2）因为都是锐角，所以αβA (0π)αβ+∈A 因为，所以. ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分3cos()5αβ+=4sin()5αβ+=故sin sin()sin()cos cos()sin βαβααβααβα=+-=+-+ ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分4355=⨯-⨯=18. （12分）解：（1）由题意得，，， 2OC OA ==π3AOC ∠=则2π2π(2cos,2sin 33C ，即 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分 (C -设，所以||e OC OC =1(2e =- 所以在上的投影向量为，OA OC ||cos e e AOC OA ⋅∠=所以在上的投影向量的坐标为 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分OA OC 1(2-（2）设，由（1）知，，1)0(OP tOC t =≤≤(()OP t t =-=-故， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7分(,)PO t =(2,)PA t =-+所以 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分22211(2)3424(44PA PO t t t t y t t ⋅=-++=-=--= 又因为，所以当时，有最小值为 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11分01t ≤≤14t =y PA PO =⋅ 14-此时点的坐标为∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分P 1(4- 19．（12分）解：（1）由题意得，，因为点位于第四象限，2(,4)A m m -A 所以所以. ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3分 2,40m m >⎧⎨-<⎩2m >（2）由题意得，，所以向量，所以向量对应的复数为2(,4)B m m -2(0,28)AB m =- AB ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分2(28)i m -（3）因为，所以，所以， 12z z =22cos 44sin θλθ=⎧⎨-=+⎩m m 24cos 4sin 4λθθ=--+ ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分22214(1sin )4sin 44sin 4sin 4(sin 12θθθθθ=---+=-=--因为，所以 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分1sin 1θ-≤≤[1,8]λ∈- 20．（12分）解：（1）选择①：由已知得，，tan tan tan 1)A B AB +=-所以tan tan tan tan()1tan tan A BC A B A B+=-+=-=-在中，，所以 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分ABC A (0,π)C ∈π3C =选择②：由，得，2222(42)cos a ab C b a c -+=+222(2)cos 2a c b a b C a+--=则由余弦定理得：，(2)cos cos a b C c B -=由正弦定理得：，(2sin sin )cos sin cos A B C C B -=则，2sin cos sin cos sin cos sin()sin A C B C C B B C A =+=+=因为，则，所以．(0,π)A ∈sin 0A ≠1cos 2C =又因为，所以 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分(0,π)C ∈π3C =选择③：由已知及正弦定理得，()()c a b c a b ab +--+=所以，所以， 222a b c ab +-=2221cos 22a b c C ab +-==因为，所以 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分 (0,π)C ∈π3C =（2）由余弦定理得，①2222164c a b ab a a =+-=+-由面积相等得．即，11()sin 22ab c r ab C ++=11()422a b c a ++=⨯整理得，②34a c =+联立①②，解得 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分57,22a c ==所以 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分2sin c R C ===R =21．（12分）解：（1）由题意得，π1()4sin cos(4sin (cos )32a b f xx x x x x =⋅=++=+，1cos 21πsin 22(sin 22)2sin(2223x x x x x -=-+==+所以最小正周期为 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分 2ππ2T ==（2）当时，，，ππ,122[x -∈ππ64π2[3,]3x +∈πsin(2[3x +∈所以∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7分 ()[2]f x ∈（3）将函数的图象向右平移个单位，可得的图象； ()f x π62sin 2y x =再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，(01)a a <<得到的图象．2()2sin xy g x a==如果在区间上至少有个最大值，()y g x =[]1,1-100则在区间上至少有个最大值，在上至少有个最大值，()y g x =[0,1]50[]1,0-50故区间上至少有个周期长度，在上至少有个周期长度 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分[0,1]1974[]1,0-1994即，所以，即，所以，12π(491432π(49)14ωω⎧+⋅≤⎪⎪⎨⎪-+⋅≥-⎪⎩199π2ω≥2199π2a ≥40199πa <≤故实数的范围为 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分 a 4(0,]199π22. （12分）解：（1）证明：取非零常数，对任意的，则2πT =R x ∈，(2π)cos(2π)cos ()f x x x f x +=+=≤所以，是“函数” ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3分()cos f x x =R I =M （2）因为函数是“函数”，，2()cos f x kx x =+π2R I =所以，即，π()()2f x f x +≤22ππ()cos (cos 22k x x kx x +++≤+整理得，πcos 22k x ≤因为，所以，即，故 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7分cos 2[1,1]x ∈-π12k ≤-2πk ≤-2(,πk ∈-∞-（3）因为，对任意的正实数，都有，R x ∈M ()()f x M f x +<所以在上为减函数 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分()f x R 所以，即 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9分 322[()(1)-≥+t t f f a t 322(1)-≤+t t a t 设，则， sin cos θθ=t 3222221(1)11--=⋅+++t t t t t t t222sin sin 1()cos cos sin sin 1()1()cos cos θθθθθθθθ-=⋅++ ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11分sin 2cos 2sin 41244θθθ⋅==≤所以实数的最小值为 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分a 14。

2022-2023学年山东省青岛二中高一（下）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若i （1﹣z ）＝﹣1，则z +z =（ ） A ．﹣2B ．﹣1C ．2D ．12．已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β⇒α∥β B ．n ∥m ，n ⊥α⇒m ⊥α C ．m ⊥α，m ⊥n ⇒n ∥αD ．α∥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m ∥n3．给出下列命题中，正确的命题是（ ）A ．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直的棱柱是正四棱柱B ．侧棱都相等的棱锥是正棱锥C ．底面是正方形，有两个侧面是矩形的棱柱是正四棱柱D ．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥4．若向量a →，b →满足|a →|＝2，|b →|=2√3，且a →⋅b →=3，则向量b →与b →−a →夹角的余弦值为（ ） A ．√32B ．2√59C ．7√216D ．3√30205．如图，正方形O ′A ′B ′C ′的边长为2cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原平面图形的周长是（ ）cm ．A ．12B ．16C ．4(1+√3)D ．4(1+√2)6．已知α∈（0，π2），cos2α+2sin2α＝1，则sin α＝（ ） A ．15B ．√55C ．45D ．2√557．十七世纪法国数学家皮埃尔•德•费马提出了一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”，在费马问题中所求的点被称为费马点，对于每个给定的三角形都存在唯一的费马点，当△ABC 的三个内角均小于120°时，使得∠APB ＝∠BPC ＝∠APC ＝120°的点P 为△ABC 的费马点．已知点E 为等边△MNQ 的费马点，且|MN →|=6，则EM →⋅EN →+EM →⋅EQ →+→→A ．﹣12B ．﹣36C ．−12√3D ．﹣188．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 在三棱锥C 1﹣BCD 的侧面C 1CB 表面上运动，且A 1P =√153，则点P 轨迹的长度是（ ） A ．√36π B ．√69π C ．√63π D ．√33π 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面A 1B 1C 1，底面三角形A 1B 1C 1是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述不正确的是（ ）A ．CC 1与B 1E 是异面直线B ．AC ⊥平面ABB 1A 1C ．AE ，B 1C 1为异面直线，且AE ⊥B 1C 1D ．A 1C 1∥平面AB 1E10．已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）+b （A ＞0，0＜φ＜π，b ∈R ）的部分图像如图，则（ ）A ．ωφb ＝5πB ．f(π3)=2C ．将曲线y ＝f （x ）向右平移π9个单位长度得到曲线y ＝﹣4cos3x +2D ．点(−11π18，2)为曲线y ＝f （x ）的一个对称中心 11．给出下列命题，其中正确的选项有（ ） A ．非零向量a →，b →，满足|a →|＞|b →|且a →与b →同向，则a →＞b →B ．若单位向量 e 1→，e 2 的夹角为 60°，则当 |2e 1→−te 2→|(t ∈R) 取最小值时，t ＝1C ．在△ABC 中，若 {AB→|AB →|+AC→|AC →|}•BC →=0，则△ABC 为等腰三角形D ．已知与a →=（1，2），b →=（1，1）且a →与a →+λb →的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是(−53，+∞) 12．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列命题正确的有（ ） A ．若A ＞B ，则sin A ＞sin BB ．若A ＝30°，b ＝4，a ＝3，则△ABC 有一解C ．已知△ABC 的外接圆的圆心为O ，AB =√3，AC =√2，M 为BC 上一点，且有 BM →=2MC →，AM →⋅AO →=67D ．若三角形ABC 为斜三角形，则tan A +tan B +tan C ＝tan A tan B tan C 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．若z =−1+√3i ，则z zz−1的虚部是 ．14．我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为S =√14[a 2c 2−(a 2+c 2−b 22)2]，若a 2sin C ＝2sin A ，（a +c ）2＝6+b 2，则用“三斜求积”公式求得△ABC 的面积为 ．15．如图所示，要在两山顶M 、N 间建一索道，需测量两山顶M 、N 间的距离．现选择与山脚B 、C 在同一平面的点A 为观测点，从A 点测得M 点的仰角∠MAC ＝60°，N 点的仰角∠NAB ＝30°以及∠MAN ＝45°，若AC ＝100米，AB =50√6米，则MN 等于 米．16．如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝3，BC ＝6，且AD →=λBC →，AD →•AB →=−32，则实数λ的值为 ，若M ，N 是线段BC 上的动点，且|MN →|＝1，则DM →•DN →的最小值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知|a →|＝4，|b →|＝8，a →与b →的夹角为2π3．（1）求|a →−b →|；（2）当k 为何值时，(a →+2b →)⊥(ka →−b →)．18．（12分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对边的长，tanB =43，且AB →⋅BC →=−21． （1）求△ABC 的面积； （2）若c ＝5，求角C ．19．（12分）如图甲，在四边形PBCD 中，PD ∥BC ，BC ＝P A ＝AD ，现将△ABP 沿AB 折起得图乙，点M 是PD 的中点，点N 是BC 的中点． （1）求证：MN ∥面P AB ；（2）在图乙中，过直线MN 作一平面，与平面P AB 平行，且分别交PC 、AD 于点E 、F ，注明E 、F 的位置，并证明．20．（12分）（1）已知函数 f(x)=sin 4x 2+2sin x 2cos x 2−cos 4x 2，若f(α)=15，求sin2α； （2）已知 α∈(0，π2)，β∈(0，π)，sinα=√55，cosβ=√1010，求α﹣β的值．21．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥面ABCD ，AB ＝BC ＝2，AD ＝CD =√7，PA =√3，∠ABC ＝120°，G 为线段PC 上的点． （1）证明：BD ⊥面APC ； （2）若G 满足PC ⊥面BGD ，求PG GC的值．22．（12分）在路边安装路灯，灯柱AB 与地面垂直（满足∠BAD ＝90°），灯杆BC 与灯柱AB 所在平面与道路垂直，且∠ABC ＝120°，路灯C 采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知∠ACD ＝60°，路宽AD＝12m．设灯柱高AB＝h（m），∠ACB＝θ（30°≤θ≤45°）．（1）当θ＝30°时，求四边形ABCD的面积；（2）求灯柱的高h（用θ表示）；（3）若灯杆BC与灯柱AB所用材料相同，记此用料长度和为S，求S关于θ的函数表达式，并求出S 的最小值．2022-2023学年山东省青岛二中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若i（1﹣z）＝﹣1，则z+z=（）A．﹣2B．﹣1C．2D．1解：i（1﹣z）＝﹣1，则1﹣z=−1i=i，即z＝1﹣i，z=1+i，故z+z=1−i+1+i=2．故选：C．2．已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥βB．n∥m，n⊥α⇒m⊥αC．m⊥α，m⊥n⇒n∥αD．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n解：m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，对于A，m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α与β相交或平行，故A错误；对于B，n∥m，由线面垂直的判定定理得到：n⊥α⇒m⊥α，故B正确；对于C，m⊥α，m⊥n⇒n∥α或n⊂α，故C错误；对于D，α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m与n平行或异面，故D错误．故选：B．3．给出下列命题中，正确的命题是（）A．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直的棱柱是正四棱柱B．侧棱都相等的棱锥是正棱锥C ．底面是正方形，有两个侧面是矩形的棱柱是正四棱柱D ．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥解：因为正四棱柱是指：底面是正方形，侧棱与底面垂直的四棱柱，对于A ，因为底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直，所以可得底面是正方形，侧棱与底面垂直，故正确；对于C ，因为底面是正方形，有两个侧面是矩形，不能保证侧棱与底面垂直，故错误； 又因为正棱锥是指底面是正多边形，顶点在底面内的射影是底面的中心的棱锥，对于B ，侧棱都相等则可得侧棱在底面内的射影相等，只能说明顶点在底面内的射影是底面多边形的外接圆的圆心，不能保证底面是正多边形，故错误；对于D ，侧面都是等腰三角形的棱锥不能保证底面是正多边形，顶点在底面内的射影是底面的中心，故错误． 故选：A ．4．若向量a →，b →满足|a →|＝2，|b →|=2√3，且a →⋅b →=3，则向量b →与b →−a →夹角的余弦值为（ ） A ．√32B ．2√59C ．7√216D ．3√3020解：根据题意，设向量b →与b →−a →夹角为θ，则（b →−a →）2=b →2﹣2a →•b →+a →2＝12﹣6+4＝10，则|b →−a →|=√10， 而b →•（b →−a →）=b →2−a →•b →=12﹣3＝9，故cos θ=b →⋅(b →−a →)|b →||b →−a →|=92√3×√10=3√3020；故选：D ．5．如图，正方形O ′A ′B ′C ′的边长为2cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原平面图形的周长是（ ）cm ．A ．12B ．16C ．4(1+√3)D ．4(1+√2)解：由直观图可得原图如图所示，且OA ＝2，OB =2O ′B ′=4√2，所以AB ＝6，所以周长为16， 故选：B ．6．已知α∈（0，π2），cos2α+2sin2α＝1，则sin α＝（ ）A ．15B ．√55C ．45D ．2√55解：∵α∈（0，π2），∴cos α＞0，sin α＞0， ∵cos2α+2sin2α＝cos 2α﹣sin 2α+4sin αcos α＝1①， 又sin 2α+cos 2α＝1②， 由①②得sin α=2√55． 故选：D ．7．十七世纪法国数学家皮埃尔•德•费马提出了一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”，在费马问题中所求的点被称为费马点，对于每个给定的三角形都存在唯一的费马点，当△ABC 的三个内角均小于120°时，使得∠APB ＝∠BPC ＝∠APC ＝120°的点P 为△ABC 的费马点．已知点E 为等边△MNQ 的费马点，且|MN →|=6，则EM →⋅EN →+EM →⋅EQ →+EN →⋅EQ →=（ ） A ．﹣12B ．﹣36C ．−12√3D ．﹣18解：设∠EMN ＝α，则∠ENM ＝60°﹣α，∵△MNQ 为等边三角形， ∴∠ENQ ＝α，∠EQN ＝60°﹣α，同理：∠EQM ＝α，∠EMQ ＝60°﹣α， 又MN ＝NQ ＝MQ ，∴△EMN ≅△ENQ ≅△EQM ，则EM ＝EN ＝EQ ， ∴点E 为△MNQ 的中心，∵MN ＝NQ ＝MQ ＝6，∴EM =EN =EQ =2√3， 又∠MEN ＝∠NEQ ＝∠QEM ＝120°，∴EM →⋅EN →+EM →⋅EQ →+EN →⋅EQ →=2√3×2√3×cos120°×3=−18． 故选：D ．8．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 在三棱锥C 1﹣BCD 的侧面C 1CB 表面上运动，且A 1P =√153，则点P 轨迹的长度是（ ） A ．√36π B ．√69π C ．√63π D ．√33π 解：因为A 1B 1⊥平面BB 1C 1C ，且A 1P =√153，所以，点P 的轨迹是以B 1为圆心，半径为r =√A 1P 2−A 1B 12=√53−1=√63的圆在△BCC 1内的交线， 取B 1C 1的中点E ，则B 1E ⊥BC 1，且B 1E =12BC 1=√22，设圆弧交BC 1于M 、N 两点，如下图所示：sin ∠B 1ME =B 1E B 1M =√22×3√6=√32，所以∠B 1ME =π3， 又因为B 1M ＝B 1N ，则△B 1MN 为等边三角形， 故点P 轨迹的长度是π3r =π3×√63=√69π． 故选：B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面A 1B 1C 1，底面三角形A 1B 1C 1是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述不正确的是（ ）A ．CC 1与B 1E 是异面直线 B ．AC ⊥平面ABB 1A 1C ．AE ，B 1C 1为异面直线，且AE ⊥B 1C 1D ．A 1C 1∥平面AB 1E 解：A 不正确，因为CC 1与B 1E 在同一个侧面中，故不是异面直线；B 不正确，由题意知，上底面ABC 是一个正三角形，故不可能存在AC ⊥平面ABB 1A 1； C 正确，因为AE ，B 1C 1为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线；D 不正确，因为A 1C 1所在的平面与平面AB 1E 相交，且A 1C 1与交线有公共点， 故A 1C 1∥平面AB 1E 不正确． 故选：ABD ．10．已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）+b （A ＞0，0＜φ＜π，b ∈R ）的部分图像如图，则（ ）A ．ωφb ＝5πB ．f(π3)=2C ．将曲线y ＝f （x ）向右平移π9个单位长度得到曲线y ＝﹣4cos3x +2D ．点(−11π18，2)为曲线y ＝f （x ）的一个对称中心 解：由题图可知，{A +b =6−A +b =−2，解得{A =4b =2，因为函数y ＝f （x ）过点（0，4），所以4sin φ+2＝4，所以sinφ=12，由图像可知，点（0，4）在y ＝f （x ）图像的下降部分上，且0＜φ＜π，所以φ=5π6， 又因为函数y ＝f （x ）过点(2π9，−2)，所以2π9×ω+5π6=3π2，解得ω＝3， 对于选项A ，则ωφb =3×5π6×2=5π，故选项A 正确； 对于选项B ，由A ，得f(x)=4sin(3x +5π6)+2，所以f(π3)=4sin(3×π3+5π6)+2=4sin(π+5π6)+2=−4sin 5π6+2=0，故选项B 错误；对于选项C ，将曲线y ＝f （x ）向右平移π9个单位长度得到曲线y =4sin[3(x −π9)+5π6]+2=4sin(3x +π对于选项D ，令3x +5π6=kπ，k ∈Z ，解得x =kπ3−5π18，k ∈Z ， 取k ＝﹣1，则x =−π3−5π18=−11π18， 所以点(−11π18，2)为曲线y ＝f （x ）的一个对称中心，故选项D 正确． 故选：AD ．11．给出下列命题，其中正确的选项有（ ） A ．非零向量a →，b →，满足|a →|＞|b →|且a →与b →同向，则a →＞b →B ．若单位向量 e 1→，e 2 的夹角为 60°，则当 |2e 1→−te 2→|(t ∈R) 取最小值时，t ＝1 C ．在△ABC 中，若 {AB→|AB →|+AC→|AC →|}•BC →=0，则△ABC 为等腰三角形D ．已知与a →=（1，2），b →=（1，1）且a →与a →+λb →的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是(−53，+∞) 解：对选项A ，∵向量不能比较大小，∴A 选项错误； 对选项B ，∵|2e 1→−te 2→|=√4+t 2−2t =√(t −1)2+3， ∴当t ＝1时，|2e 1→−te 2→|取最小值，∴B 选项正确；对选项C ，∵AB→|AB →|+AC→|AC →|表示与∠A 的角平分线平行的向量，又(AB →|AB →|+AC→|AC →|)⋅BC →=0，∴∠A 的角平分线与边BC 所在直线垂直， ∴△ABC 为等腰三角形，∴C 选项正确；对选项D ，∵当λ＝0时，a →与a →+λb →的夹角为0，∴D 选项错误． 故选：BC ．12．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列命题正确的有（ ） A ．若A ＞B ，则sin A ＞sin BB ．若A ＝30°，b ＝4，a ＝3，则△ABC 有一解C ．已知△ABC 的外接圆的圆心为O ，AB =√3，AC =√2，M 为BC 上一点，且有 BM →=2MC →，AM →⋅AO →=67D ．若三角形ABC 为斜三角形，则tan A +tan B +tan C ＝tan A tan B tan C解：对于A ，若A ＞B 则a ＞b ，由正弦定理得2R sin A ＞2R sin B ，整理得sin A ＞sin B ，故A 正确； 对于B ，因为A ＝30°，b ＝4，a ＝3，由正弦定理得3sin30°=4sinB，即sinB =23，又因为b ＞a ，所以B 有两解，故B 错误；对于C ，因为O 是△ABC 的外心，所以AB →⋅AO →=|AB →||AO →|cos∠BAO =12|AB →|2=32，同理可得AC →⋅AO →=12|AC →|2=1， 又因为AM →=AB →+BM →=AB →+23BC →=AB →+23(AC →−AB →)=13AB →+23AC →，所以AM →⋅AD →=13AB →⋅AD →+23AC →⋅AD →=76，故C 错误；对于D ，由A +B +C ＝π，得A +B ＝π﹣C ，且三角形ABC 为斜三角形，则tan A +tan B ＝tan （A +B ）（1﹣tan A tan B ）＝tan （π﹣C ）（1﹣tan A tan B ）＝﹣tan C （1﹣tan A tan B ）＝﹣tan C +tan A tan B tan C ，所以tan A +tan B +tan C ＝tan A tan B tan C ，故D 正确； 故选：AD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．若z =−1+√3i ，则zzz−1的虚部是√33． 解：∵z =−1+√3i ，∴zz =(−1+√3i)(−1−√3i)=4， ∴z zz−1=−1+√3i3=−13+√33i ，其虚部为√33． 故答案为：√33． 14．我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为S =√14[a 2c 2−(a 2+c 2−b 22)2]，若a 2sin C ＝2sin A ，（a +c ）2＝6+b 2，则用“三斜求积”公式求得△ABC 的面积为 √32． 解：∵a 2sin C ＝2sin A ， ∴a 2c ＝2a ，∴ac ＝2， ∵（a +c ）2＝6+b 2，∴a 2+c 2+2ac ＝6+b 2，∴a 2+c 2﹣b 2＝2， ∴△ABC 的面积为 √14[22−(22)2]=√32．故答案为：√32． 15．如图所示，要在两山顶M 、N 间建一索道，需测量两山顶M 、N 间的距离．现选择与山脚B 、C 在同一平面的点A 为观测点，从A 点测得M 点的仰角∠MAC ＝60°，N 点的仰角∠NAB ＝30°以及∠MAN ＝45°，若AC ＝100米，AB =50√6米，则MN 等于 100√2 米．解：在Rt △ACM 中，∠MAC ＝60°，AC ＝100，所以AM =ACcos60°=10012=200，在Rt △ABN 中，∠NAB ＝30°，AB =50√6，所以AN =AB cos30°=√6√32=100√2，在△AMN 中，∠MAN ＝45°，AM ＝200，AN =100√2，由余弦定理得：MN 2=AM 2+AN 2−2AN ⋅AMcos45°=2002+1002×2−2×200×100√2×√22=1002×4+1002×2﹣1002×4＝1002×2，所以MN =100√2（米）． 故答案为：100√2．16．如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝3，BC ＝6，且AD →=λBC →，AD →•AB →=−32，则实数λ的值为16，若M ，N 是线段BC 上的动点，且|MN →|＝1，则DM →•DN →的最小值为132．解：以B 为原点，以BC 为x 轴建立如图所示的直角坐标系，∵∠B ＝60°，AB ＝3，∴A （32，3√32），∵BC ＝6，∴C （6，0），∵AD →=λBC →，∴AD ∥BC ，设D （x 0，3√32），∴AD →=（x 0−32，0），AB →=（−32，−3√32）， ∴AD →•AB →=−32（x 0−32）+0=−32，解得x 0=52，∴D （52，3√32）， ∴AD →=（1，0），BC →=（6，0），∴AD →=16BC →，∴λ=16，∵|MN →|＝1，设M （x ，0），则N （x +1，0），其中0≤x ≤5，∴DM →=（x −52，−3√32），DN →=（x −32，−3√32），∴DM →•DN →=（x −52）（x −32）+274=x 2﹣4x +212=（x ﹣2）2+132，当x ＝2时取得最小值，最小值为132，故答案为：16，132．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知|a →|＝4，|b →|＝8，a →与b →的夹角为2π3．（1）求|a →−b →|；（2）当k 为何值时，(a →+2b →)⊥(ka →−b →)． 解：（1）∵|a →|＝4，|b →|＝8，a →与b →的夹角为2π3，∴a →⋅b →=|a →||b →|cos 2π3=4×8×(−12)=−16，∴|a →−b →|=√(a →−b →)2=√a →2−2a →⋅b →+b →2=√16+32+64=4√7； （2）∵(a →+2b →)⊥(ka →−b →)，∴(a →+2b →)⋅(ka →−b →)=ka →2−2b →2+(2k −1)a →⋅b →=16k ﹣128﹣16（2k ﹣1）＝0，解得k ＝﹣7．18．（12分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对边的长，tanB =43，且AB →⋅BC →=−21．（1）求△ABC 的面积； （2）若c ＝5，求角C ．解：（1）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对边的长， 因为tanB =43，所以sinB =45，cosB =35， 又AB →⋅BC →=−21，则ac cos B ＝21，则ac ＝35， 则S △ABC =12acsinB =12×35×45=14； （2）因为c ＝5，所以a ＝7，所以b=√a2+c2−2accosB=4√2，所以cosC=a2+b2−c22ab=49+32−252×7×42=√22，又C∈（0，π），则C=π4．19．（12分）如图甲，在四边形PBCD中，PD∥BC，BC＝P A＝AD，现将△ABP沿AB折起得图乙，点M 是PD的中点，点N是BC的中点．（1）求证：MN∥面P AB；（2）在图乙中，过直线MN作一平面，与平面P AB平行，且分别交PC、AD于点E、F，注明E、F的位置，并证明．解：（1）证明：在四边形PBCD中，PD∥BC，BC＝P A＝AD，将△ABP沿AB折起得图乙，点M是PD的中点，点N是BC的中点，取AD中点F，连接FM，FN，MN，如图，则FN∥AB，FM∥P A，FM∩FN＝F，AB∩P A＝A，∴平面P AB∥平面MNF，∵MN⊂平面MNF，∴MN∥平面P AB．（2）取PC中点E，AD中点F，连接ME，MF，NF，则MF∥P A，ME∥NF∥AB，MF∩ME＝M，AB∩P A＝A，∴平面MENF∥平面P AB，∴平面MENF就是过直线MN的平面，且平面MENF∥平面P AB．20．（12分）（1）已知函数f(x)=sin4x2+2sinx2cosx2−cos4x2，若f(α)=15，求sin2α；（2）已知α∈(0，π2)，β∈(0，π)，sinα=√55，cosβ=√1010，求α﹣β的值．解：（1）f （x ）＝（sin 2x 2+cos 2x 2）（sin 2x 2−cos 2x2）+sin x ＝sin x ﹣cos x ，由已知有f （α）＝sin α﹣cos α=15， 两边平方，得1﹣sin2α=125，∴sin2α=2425； （2）∵α∈(0，π2)，β∈(0，π)，sinα=√55，cosβ=√1010＞0， ∴β∈（0，π2），∴cos α=√1−sin 2α=2√55，sin β=√1−cos 2β=3√1010，∴sin β＞sin α，∴β＞α，∴sin （α﹣β）＝sin αcos β﹣cos αsin β=√55×√1010−2√55×3√1010=−√22， ∵β＞α，且α，β∈（0，π2），∴α﹣β=−π4．21．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥面ABCD ，AB ＝BC ＝2，AD ＝CD =√7，PA =√3，∠ABC ＝120°，G 为线段PC 上的点． （1）证明：BD ⊥面APC ； （2）若G 满足PC ⊥面BGD ，求PG GC的值．解：（1）证明：底面ABCD 中，AB ＝BC ，AD ＝CD ， 则BD 是AC 的垂直平分线，故BD ⊥AC ，又由P A ⊥面ABCD ，BD ⊂面ABCD ，可得P A ⊥BD ， 又P A ∩AC ＝A ，所以BD ⊥面P AC ； （2）设AC 与BD 交于点O ，连接OG ， 若PC ⊥面BGD ，则PC ⊥OG ， 由于P A ⊥面ABCD ，则P A ⊥AC ，在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝120°， 由余弦定理可得AC ＝2√3，在Rt △P AC 中，PC =√3+12=√15， 又由△OGC ∽△P AC ，可得OC CG=PC AC，则GC =AC⋅OC PC =2√155，则PG =3√155， 故PG GC=3√1552√155=32．22．（12分）在路边安装路灯，灯柱AB 与地面垂直（满足∠BAD ＝90°），灯杆BC 与灯柱AB 所在平面与道路垂直，且∠ABC ＝120°，路灯C 采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知∠ACD ＝60°，路宽AD ＝12m ．设灯柱高AB ＝h （m ），∠ACB ＝θ（30°≤θ≤45°）． （1）当θ＝30°时，求四边形ABCD 的面积； （2）求灯柱的高h （用θ表示）；（3）若灯杆BC 与灯柱AB 所用材料相同，记此用料长度和为S ，求S 关于θ的函数表达式，并求出S 的最小值．解：（1）当θ＝30°时，∠BAC ＝180°﹣120°﹣30°＝30°， ∴AB ＝BC ，又∠CAD ＝90°﹣∠BAC ＝60°， ∴△ACD 是等边三角形，∴AC ＝AD ＝12， ∴在△ABC 中，AB sin∠ACB=BC sin∠BAC=AC sin∠ABC，即AB =BC =4√3，∴S 四边形ABCD =S △ABC +S △ACD =12×4√3×4√3×sin120°+12×12×12×sin60°=48√3；（2）∠BAC ＝180°﹣120°﹣θ＝60°﹣θ，∠CAD ＝90°﹣∠BAC ＝θ+30°，∠ADC ＝180°﹣60°﹣（θ+30°）＝90°﹣θ， 在△ACD 中，由正弦定理得AD sin∠ACD=AC sin∠ADC，∴12sin60°=ACsin(90°−θ)，∴AC =8√3cosθ， 在△ABC 中，由正弦定理得AC sin∠ABC=AB sin∠ACB，∴AC sin120°=ℎsinθ，∴AC =√3ℎ2sinθ=8√3cosθ，∴h ＝8sin2θ（30°≤θ≤45°）；（3）在△ABC 中，由正弦定理得AC sin∠ABC=BC sin∠BAC，∴8√3cosθsin120°=BC sin(60°−θ)，∴BC =16cosθsin(60°−θ)=16cosθ[sin60°cosθ−cos60°sinθ]=8√3cos 2θ−8sinθcosθ =8√3⋅1+cos2θ2−4sin2θ=4√3+4√3cos2θ−4sin2θ， ∴S =AB +BC =8sin2θ+(4√3+4√3cos2θ−4sin2θ)=4√3+4√3cos2θ+4sin2θ =4√3+8(12sin2θ+√32cos2θ)=8sin(2θ+60°)+4√3， ∵30°≤θ≤45°，∴120°≤2θ+60°≤150°，∴当2θ+60°＝150°，即θ＝45°时，S 取最小值4+4√3，故S 关于θ的函数表达式为S =8sin(2θ+60°)+4√3(30°≤θ≤45°)， S 最小值为4+4√3m 2．。

山东省青岛二中2011-2012学年高一下学期阶段性质量检测生物试题一、选择题1．光合作用过程中，叶绿体类囊体薄膜产生的物质是A．C3、C5和葡萄糖B．C3、C5和ATP C．ADP、[H]和O2D．ATP、[H]和O22．某植物绿叶经光照4小时后，脱色再用碘处理，结果不被锡箔覆盖的部位呈蓝色，而有锡箔覆盖的位置不呈蓝色。

如右图所示该实验证明：①光合作用需要叶绿素②光合作用需要光③光合作用放出氧气④光合作用制造淀粉A．①③B．②③C．①④D．②④3．图甲表示八月份某一晴天一昼夜中某棉花植株CO2的吸收和释放曲线；图乙表示该棉花叶肉细胞两种细胞器的四种生理活动状态。

则图甲中时间a、b、c、d依次发生了图乙所示的哪项生理活动4．下图表示光照强度和CO2浓度对某植物光合作用强度的影响。

下列有关叙述中错误的是A．曲线中a点转向b点时，叶绿体中C3浓度降低B．曲线中d点转向b点时，叶绿体中C5浓度升高C．ab段影响光合作用速率的主要因素是光照强度D．bc段影响光合作用速率的限制性因素可能是温度等其他条件5．下列能表示酵母菌在不同氧浓度下产生ATP数量变化曲线的是6．利用地窖储藏种子、果蔬在我国历史悠久。

地窖中的CO2浓度较高，有利于A．降低呼吸强度B．降低水分吸收C．促进果实成熟D．促进光合作用7．下列关于植物光合作用和细胞呼吸的叙述，正确的是A．无氧和零下低温环境有利于水果的保鲜B．CO2的固定过程发生在吐绿体中，C6H12O6分解成CO2的过程发生在线粒体中C．光合作用过程中光能转变为化学能，细胞呼吸过程中化学能转变为热能和ATPD．夏季连续阴天，大棚中白天适当增加光照，夜晚适当降低温度，可提高作物产量8．下图表示某高等植物的某一非绿色器官在氧气浓度分别为a、b、c、d时，二氧化碳释放量和氧气吸收量的变化。

下列相关叙述正确的是A．氧气浓度为a时，最适宜储藏该器官B．氧气浓度为b时，该器官进行无氧呼吸消耗葡萄糖的量是有氧呼吸的5倍C．氧气浓度为c时，该器官的无氧呼吸最弱D．氧气浓度为d时，该器官进行有氧呼吸强度与无氧呼吸强度相等9．用含18O的葡萄糖跟踪有氧呼吸过程中的氧原子，18O的转移途径是A．葡萄糖→丙酮酸→水B．葡萄糖→丙酮酸→氧C．葡萄糖→氧→水D．葡萄糖→丙酮酸→二氧化碳10．1861年巴斯德发现：利用酵母菌酿酒的时候，如果发酵容器存在氧气，会导致酒精产生停止，这就是所谓的巴斯德效应。

一、单选题1．已知复数，则的虚部是（ ） ()21i =+z z A ．2 B ． C ． D ．2-2i -2i 【答案】A【分析】根据复数运算求得，根据虚部定义求得结果. z 【详解】 ，∴z 的虚部为：2 ()21i 2i z =+=故选：A2．已知向量，，若与垂直，则实数t 的值为（ ）()1,2a =r ()2,b t = a a b -A ．0B ．C ．D ．1-32-32【答案】D【分析】根据向量垂直的坐标表示，列式求值. 【详解】，且， ()1,2a b t -=--()1,2a =r 由题意可知，，得.()()11220a a b t ⋅-=-⨯+-⨯= 32t =故选：D3．如图所示，在三棱台中，沿平面截去三棱锥，则剩余的部分是A B C ABC '''-A BC 'A ABC '-（ ）A ．三棱锥B ．四棱锥C ．三棱柱D ．三棱台【答案】B【分析】根据图形和棱锥的定义及结构特征，即可得出结论．【详解】三棱台中，沿平面截去三棱锥，剩余的部分是以为顶点，A B C ABC '''-A BC 'A ABC '-A '四边形为底面的四棱锥． BCC B ''A BCC B '''-故选：B ．4．在中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，，，，则（ ） ABC A 2a =b =60B =︒c =A ．1 B C ．3D ．1或3【答案】C【分析】根据余弦定理求解即可.【详解】由余弦定理，，即，，解得. 2222cos b a c ac B =+-2742c c =+-()()310c c -+=3c =故选：C5．已知，，复数，，在复平面内对应的点为，，，若0a >0b >1z 12i =-2z i a =-3z b =-1Z 2Z 3Z ，，三点共线，则的最小值为（ ） 1Z 2Z 3Z 12a b+A ．9 B ．8C ．6D ．4【答案】B【分析】根据复数对应的点共线可得，利用均值不等式求解即可. 21a b +=【详解】由题意，，，， 1(1,2)Z -2(,1)Z a -3(,0)Z b -由三点共线可得，，化简可得，111(2)0(2)a b ---=-----21a b +=又，，0a >0b >， 12124(2)448b a a b a b a b a b ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当，即时等号成立. 4b aa b =11,42a b ==故选：B6．在矩形ABCD 中，M 是BC 的中点，N 是CD 的中点，若，则（ ）AC AM BN λμ=+λμ+=A ．B ．1C ．D ．256585【答案】D【分析】建立平面直角坐标系，设，求出的坐标，利用2,2AB a AD b ==,,AM BN AC可得答案.AC AM BN λμ=+【详解】以为原点，分别以为轴的正半轴建立如图所示的平面直角坐标系， A ,AB AD ,x y 设，2,2AB a AD b ==则， (0,0),(2,0),(2,),(2,2),(,2)A B a M a b C a b N a b 则，(2,),(,2),(2,2)AM a b BN a b AC a b ==-=因为，AC AM BN λμ=+ 可得，(2,)(,2)(2,2)λλμμ+-=a b a b a b 即，解之得，所以.2222λμλμ-=⎧⎨+=⎩62,55λμ==85λμ+=故选：D.7．在中，CD 为角C 的平分线，若，，则等于（ ） ABC A 2B A =34AD BD =cos A A ．0 B ．C ．D ．122334【答案】C【分析】由为角的平分线，，可得，设，，然后在CD C 34AD BD =43AC BC =4AC x =3BC x =中利用正弦定理可得，化简计算可得答案ABC A 432sin cos sin x xA A A=【详解】因为为角的平分线，所以 CD C AD ACBD BC=因为，所以34AD BD =43AC BC =所以不妨设， 4AC x =3BC x =因为在中，， ABC A sin sin AC BCB A=2B A =所以43sin 2sin 2sin cos sin AC BC x xA A A A A=⇒=因为在中，， ABC A sin 0A ≠0x ≠所以43432sin cos sin 2cos x x A A A A=⇒=所以. 2cos 3A =故选：C8．在中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且，则的取值范围为ABC A 22BC AC AB =⋅ bc（ ）A ．B ．()2+∞()2+∞C ．D ．(0,2(22【答案】D【分析】设，中点为，化简，再根据余弦定理结合余弦2BC =BC D 22BC AC AB =⋅函数的范围可得，进而可得的取值范围.(227b c∈-+b c 【详解】不妨设，中点为，则即，故2BC =BC D 22BC AC AB =⋅()()42AD DC AD DB =+⋅+，即.()22AD AD DC DB DC DB +⋅++⋅= 212AD -=故 2222222cos 2cos b AD DC AD DC ADCc AD DB AD DB ADB+-⋅∠=+-⋅∠，因为，故1==()0,πADC ∠∈，故(222ADC +∠∈+(8-+，故的取值范围为. (227b c∈-+b c (22+故选：D二、多选题9．若复数满足，则（ ） z ()12i 10z ⋅-=A ． 24i z =-B ．是纯虚数 2z +C ．z z ==D ．若是关于x 的实系数方程的一个复数根，则 z 240x x b -+=20b =【答案】ACD【分析】对A ，根据复数的除法运算求解，再求共轭复数即可；对B ，求得判断即可；z 24z i =+对C ，根据模长公式求解即可；对D ，根据复数域中二次方程两根共轭与韦达定理求解即可. 【详解】对A ，，则，故，A 正确； ()12i 10z ⋅-=()()()1012i 1024i 12i 12i 12i z +===+--+24i z =-对B ，不为纯虚数，故B 错误；244i z +=+对C ，，C 正确； 24i z =+==24i z =-==对D ，由题意，的复数根分别为与，故240x x b -+=24z i =+24i z =-，故D 正确；()()24i 24i 20b z z =⋅=+-=故选：ACD10．下列说法正确的是（ ）A ．向量，能作为平面内所有向量的一组基底()12,3e =-213,24e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．已知中，点P 为边AB 的中点，则必有OAB A ()12OP OA OB =+ C ．若，则P 是的垂心PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅ABC A D ．若G 是的重心，则点G 满足条件ABC A 0GA GB CG ++=【答案】BC【分析】对A ，根据基底向量不共线判断即可；对B ，根据基底向量的运用判断即可；对C ，化简可得，进而根据垂心的性质判断即可；对D ，由重心可得PA PB PB PC ⋅=⋅0CA PB ⋅= ，即可判断GA GB CG +=【详解】对A ，，故共线，不能作为平面内所有向量的一组基底，故A 错误；124e e = 21,e e对B ，根据平面向量基本定理可得中，点P 为边AB 的中点，则必有，故OAB A ()12OP OA OB =+ B 正确；对C ，由可得，即，故，同理，PA PB PB PC ⋅=⋅()0PA PC PB -⋅= 0CA PB ⋅= CA PB ⊥CB PA ⊥，故P 是的垂心，故C 正确；AB PC ⊥ABC A 对D ，若G 是的重心，则点G 满足条件，则，故D 错ABC A GA GB CG += 2GA GB CG CG ++=误； 故选：BC11．已知，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列说法正确的是（ ） ABC A A ．若，则为等腰三角形 sin 2sin 2A B =ABC A B ．若，则为等腰或直角三角形 cos cos a bA B=ABC A C ．若为锐角三角形，若，则 ABC A A B >sin cos A B >D ．若，，，则有两解 30A =︒4b =3a =ABC A 【答案】CD【分析】根据正弦函数的性质可得或判断A ，由正弦定理及正切函数性质判断22A B =22πA B +=B ，根据正弦函数单调性判断C ，由已知两边及一边对角确定三角形个数判断方法判断D. 【详解】， ，或，即或,sin 2sin 2ABC A B = A 2,2(0,2π)A B ∈22A B ∴=22πA B +=A B =，故A 错误； π2A B +=，，即，由知，故为等腰三角cos cos a b A B=sin sin cos cos A BA B ∴=tan tan A B =,(0,π)A B ∈A B =ABC A 形，故B 错误；为锐角三角形，，由正弦函数的单调性知，故C 正确； ABC A π02A B ∴>>>sin cos A B >，，，，故有两解，故D 正确. 30A =︒ 4b =3a =sin 302b a b ∴>>︒=ABC A 故选：CD12．已知函数在上单调，且的图象关于点对()()2πcos 03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭ππ,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()y f x =π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭称，则（ ） A ．的周期为()f x 2πB ．若，则 ()()122f x f x -=12min 2πx x -=C ．将的图象向右平移个单位长度后对应的函数为奇函数 ()fx π3D ．函数在上有1个零点 ()y f x =+[]0,π【答案】BCD【分析】对于A ，根据题意确定周期范围，再根据图象关于点对称，结合正弦函数的对称π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭中心求解即可；对于B ，由A ，结合余弦函数的最值与周期性质判断即可；对()12πcos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭于C ，根据三角函数平移性质判断即可；对于D ，根据余弦函数值直接求解即可.【详解】对于A ，因为函数在上单调，所以的最小正周期2π()cos (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭ππ,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()f x T 满足，即，所以，3π22T ≥π3π2ω≥203ω<≤因为的图象关于点对称，所以，得， ()f x π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭π2πππ,Z 332k k ω-+=+∈13,Z 2k k ω=-∈所以当时，，所以，故A 错误；0k =12ω=2π4π12T ==对于B ，，，()12πcos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()()122f x f x -=则分别为，则为半周期，即，故B 正确；()()12,f x f x 1,1-12min x x -2π对于C ，将的图象向右平移个单位长度后得的图象，()f x π3()1π2π1cos sin 2332g x x x ⎡⎤⎛⎫=-+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦为奇函数，故C 正确；()g x对于D ，，即 12πcos 023x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭12πcos 23x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭令，当时，，故仅有，故D 正确．12π23t x =+[0,π]x ∈2π7π,36t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦3π4t =故选：BCD.三、填空题13．如图所示，等腰直角三角形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，则原O A B '''2O B ''=图形的周长为__________.【答案】8+8【分析】根据斜二测画法可得原图形三边长，进而可得周长.【详解】由题意，，则，故原图形中，2O B ''=O A ''=OA =2OB =，周长为6AB ==8+故答案为：8+14．已知向量，满足，，，的夹角为__________. a b 4a = 1b = 2a b += a b【答案】/ 23π23π【分析】设与的夹角为，，得到，解得答案.a b θ()22224412a ba ab b +=+⋅+=1cos 2θ=-【详解】设与的夹角为，a bθ2a b += 则，解得，()22224416441cos 412a ba ab b θ+=+⋅+=+⨯⨯⨯+=1cos 2θ=-，故. []0,πθ∈2π3θ=故答案为：2π315．化简： ________. (4010sin tan ︒︒＝【答案】－1【详解】原式)( sin10sin 40 (cos10＝︒︒︒()sin402sin40sin1 0 0cos10cos10︒︒︒︒︒︒＝＝1sin1 0 0)2︒︒.故答案为2sin40sin80cos 401cos10cos10-︒-︒︒︒︒＝＝1－【点睛】本题的关键点有： 先切化弦，再通分； 利用辅助角公式化简； 同角互化.16．某公园有一个人工湖，若要测量如图所示的人工湖的口径A 、B 两点间的距离，现在人工湖岸边取C 、D 两点，测得m ，，，，则A 、B 两40CD =135ADB ∠=︒15BDC DCA ∠=∠=︒120ACB ∠=︒点的距离为__________m.【答案】【分析】在中根据角度关系易得，再在中，由正弦定理得到BD ，然后ACD A 40AD CD ==BCD △在中，利用余弦定理求解.ABD △【详解】在中，因为，故，， ACD A 15,135BDC DCA ADB ∠=∠=︒∠=︒150ADC ∠=︒15CAD ∠=︒所以，则．ACD CAD ∠=∠40AD CD ==在中，因为， BCD △15,135,30,40BDC BCD CBD CD ∠=︒∠=︒∠=︒=所以由正弦定理，sin 30sin135CD BD=︒︒得sin135sin 30CD BD ︒==︒在中，因为，ABD △135,40,ADB ADC BDC AD BD ∠=∠-∠=︒==所以由余弦定理得， 22222cos 405AB AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅∠=⨯故．AB =故答案为：四、解答题17．已知，都是锐角，.αβsin α=()3cos 5αβ+=(1)求和的值； cos 2απtan 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭(2)求的值. sinβ【答案】(1), 457【分析】（1）由同角三角函数的基本关系及二倍角的正余弦公式求解； （2）根据角的变换，利用两角差的正弦公式求解. 【详解】（1）是锐角，， αQsin α=cos α∴===，214cos 212sin 12105αα∴=-=-⨯=，3sin 22sin cos 5ααα==， sin 23tan 2cos 24ααα∴==. π3tan 2tan1π44tan 27π341tan 2tan 144ααα++⎛⎫∴+=== ⎪⎝⎭-⋅-（2），都是锐角，αQ β，0παβ∴<+<又， ()3cos 5αβ+=， 4sin()5αβ∴+===()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα=+-=+-+⎡⎤⎣⎦4355=. =18．已知半圆圆心为O ，直径，C 为半圆弧上靠近点A 的三等分点，若P 为半径OC 上的动4AB =点，以O 点为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，如图所示.(1)求在上投影向量的坐标；OA OC(2)若，当y 取得最小值时，求点P 的坐标及y 的最小值.PA PO y =⋅【答案】(1)12⎛- ⎝(2)最小值为，此时点的坐标为 14-P 14⎛- ⎝【分析】（1）先求解在上投影向量大小，进而可得投影向量坐标；OA OC（2）设，即可表示出、，再结合平面向量数量积的坐标运算及二次函()01OP tOC t =≤≤ PA PO数的性质计算可得．【详解】（1）因为半圆的直径，所以，，4AB =()2,0A -()2,0B 又，，则，即．2OC =2π3BOC ∠=2π2π2cos ,2sin 33C ⎛⎫⎪⎝⎭(C -故，，在上投影为，故在上投影向量的坐()2,0OA =- (OC =- OA OC212OA OC OC⋅==OA OC标为 112OC OC ⎛=-⎝ （2）设，()01OP tOC t =≤≤由（1）知，，(()OP t t =-=-故，(),PO t = ()2,PA t =-+∴，22211(2)3424(44y PA PO t t t t t t =⋅=-++=-=--又∵，∴当时，有最小值为，01t ≤≤14t =PA PO y =⋅ 14-此时点的坐标为P 14⎛- ⎝19．在复平面内，O 是原点，向量对应的复数，. OA ()21z 4i m m =+-()m ∈R (1)若点A 位于第四象限，求m 的取值范围；(2)若点A 关于实轴的对称点为点B ，求向量对应的复数； AB(3)若，且，求的取值范围. ()2z 2cos 4sin i θλθ=++12z z =λ【答案】(1)m>2(2)()224i m --(3) []1,8-【分析】（1）根据复数对应点确定实部、虚部的符号，列不等式组求解；（2）根据对称确定点B 对应的复数，再由向量对应复数即为两点对应复数之差得解； AB（3）由复数相等列出方程组，消参数可得的表达式，利用正弦函数值域，配方求值域即可.m λ【详解】（1）由题意对应点A 位于第四象限，()21z 4i m m =+-故，解得， 240m m >⎧⎨-<⎩m>2即m 的取值范围.m>2（2）点A 对应的复数为，则关于实轴的对称点B 对应的复数为()21z 4i m m =+-()2z 4im m '=--，则对应的复数为，AB()()()12224i [4i]24i m m m z m z m ---+'---=-=（3），12z z = ，即， 22cos 44sin m m θλθ=⎧∴⎨-=+⎩2214sin 4sin 4(sin )12λθθθ=-=--由，可知，1sin 1θ-≤≤214(sin 1[1,8]2λθ=--∈-故的取值范围为.λ[]1,8-20．在①；②；③tan tan tan A B A B ++=()222242cos a ab C b a c -+=+这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答.()()sin sin sin sin c a b C A B a B +--+=问题：在中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且__________. ABC A (1)求角C ；(2)若的内切圆半径，求的外接圆半径R . ABC A r =4b =ABC A 【答案】(1) π3C =【分析】（1）选择①根据两角和的正切公式化简可得角，选择②根据余弦定理化简，再根据正弦定理边化角，结合三角恒等变换求解即可，选择③由正弦定理统一为边，再由余弦定理求解； （2）由余弦定理及三角形面积公式联立求解可得，进而根据正弦定理求解即可. 57,22a c ==【详解】（1）选择①：由已知得， tan tan tan 1)A B A B +=-所以，tan tan tan tan()1tan tan A BC A B A B+=-+=-=-在中，，所以． ABC A (0,π)C ∈π3C =选择②：由题意，故，由正弦定理()222242cos 2cos a ab C a c b ac B -=+-=()2cos cos a b C c B -=，即，又()2sin sin cos sin cos A B C C B -=()2sin cos sin cos sin cos sin A C C B B C B C =+=+，故，因为，故()()sin sin πsin 0B C A A +=-=≠1cos 2C =()0,πC ∈π3C =选择③：由已知及正弦定理得，()()c a b c a b ab +--+=所以，所以，222a b c ab +-=2221cos 22a b c C ab +-==因为，所以．0πC <<π3C =（2）由余弦定理得，①2222164c a b ab a a =+-=+-由等面积公式得．11()sin 22a b c r ab C ++=即． 11()422a b c a ++⨯整理得，②34a c =+联立①②，解得，由正弦定理，即 57,22a c ==2sin cR C=R===21．已如向量，，记函数. (2sin a x = π2cos ,13b x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()f x a b =⋅ (1)将化为形式，并求最小正周期T ；()f x ()πsin 0,0.2y A x B A ωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭(2)求函数在区间上的值域；()f x ππ,122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(3)将函数图象向右平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的倍()f x π6()01a a <<得到的图象，若在区间上至少有100个最大值，求a 的取值范围. ()y g x =()y g x =[]1,1-【答案】(1) π(2) [2](3) 40199πa <≤【分析】（1）利用数量积坐标公式及三角恒等变换化简即可得解； （2）根据自变量的范围求出的范围，利用正弦函数求解； π23x +（3）根据三角函数图象变换求出()g x 【详解】（1）()2π2sin 2cos 2sin cos 3f x x a b x x x x =⋅= ⎛⎫⋅+=-⎪⎝⎭ ,πsin 22sin(23x x x =+=+ 2ππ2T ==∴（2）当时，，ππ,122x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππ4π2,363x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， πsin(213x ≤+≤，π2sin(2)23x ≤+≤即函数在区间上的值域为.()f x ππ,122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦[2]（3）将函数图象向右平移个单位，得到，()f x π6ππ2sin[2()2sin 263y x x =-+=再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图象, ()01a a <<()22sin g x x a=其周期，πT a =在区间上至少有100个最大值，则在区间上至少有个周期， ()y g x =[]1,1-[]1,1-99.5因此，，解得， π99.52a ⨯≤4199πa ≤又，. 01a <<40199πa ∴<≤22．对于函数，若存在非零常数M ，使得对任意的，都有成立，()()f x x I ∈x I ∈()()f x M f x +≤我们称函数为“M 函数”；对于函数，若存在非零常数M ，使得对任意的，都()f x ()()f x x I ∈x I ∈有成立，我们称函数为“严格M 函数”. ()()f x M f x +<()f x (1)求证：，是“M 函数”；()()cos R f x x x =∈(2)若函数，是“函数”，求k 的取值范围； ()()2cos R f x kx x x =+∈π2(3)对于定义域为R 的函数对任意的正实数M ，均是“严格M 函数”，若()f x ()f x ，求实数a 的最小值. ()322(1)t t f f a t ⎡⎤-≥⎢⎥+⎣⎦【答案】(1)证明见解析(2)2,π∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦(3) 14【分析】（1）根据“M 函数”的定义，结合余弦函数的周期性，取证明即可；2πM =（2）由题意恒成立，化简可得，进而由余弦函数的最值求解即可；()π2f x f x ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭πcos 22k x ≤（3）由题意可得在R 上为减函数，再根据单调性求解不等式可得，换元令()f x 322(1)t t a t -≤+，再根据同角三角函数的公式求解的最大值即可.tan t x =322(1)t t t -+【详解】（1）取，则，此时对任意的，都有2πM =()()cos 2πcos f x M x x +=+=x R ∈成立，故是“函数”.cos cos x x ≤()()cos R f x x x =∈2π（2）因为函数，是“函数”，故恒成()()2cos R f x kx x x =+∈π222ππcos cos 22k x x kx x ⎛⎫⎛⎫+++≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭立，即，即恒成立.22πsin cos 2k x x +≤πcos 22k x ≤又，故，，即k 的取值范围为cos 21x ≥-π12k ≤-2πk ≤-2,π∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦（3）由题意，对任意的，对任意的正实数M ，都有成立，故在R 上x ∈R ()()f x M f x +<()f x 为减函数，又，故，易得，可令， ()322(1)t t f f a t ⎡⎤-≥⎢+⎣⎦322(1)t t a t -≤+R t ∈tan t x =则()()()222432222222241tan 1tan tan 1tan cos (1)(1)(1tan )(1tan )cos t t x x x x x t t t t x x x ---⋅-===++++⋅，()()22222sin cos cos sin 111sin 2cos 2sin 4244cos sin x x x xx x x x x⋅-==⋅=≤+即，故实数a 的最小值为3221(1)4t t t -≤+14。

青岛二中2011届第一学期学分认定考试高三数学（理）试题 2011.01本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 注意事项：第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答案不能答在试题卷上．第Ⅱ卷请用蓝色或黑色钢笔或圆珠笔在答题纸上各题目相应的位置作答,如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用涂改液、胶带纸、修正带． 参考公式:1.如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅2.如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率：()(1)(012)k k n kn n P k C p p k n -=-=，，，，． 第Ⅰ卷（选择题,共60分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的序号涂在答题卡相应的位置（每小题5分,共60分）． 1. 已知全集R U =,集合23{|0},{|22,23}7x A x B y y x x x x -=≤==-+<<-则()U AB =ð A. (,3)(5,)-∞+∞ B. (,3)[5,)-∞+∞ C. (,3][5,)-∞+∞ D. (,3](5,)-∞+∞2. 设311(2sin ,),(,cos )264a xb x ==,且//a b ,则锐角x 为A ．6πB ．3πC ．4π D ．512π3. 如图是一个几何体的三视图,其中正视图是腰长为2的等腰三角形,俯视图是半径为1的半圆,则该几何体的体积是AB ．π21C ．π334 D4. 从4名教师和5名学生中任选3人,其中至少要教师和学生各1人,则不同的选法共有 A. 140 B. 80 C. 70 D. 355. 已知等差数列{}n a 的公差为2,若134,,a a a 成等比数列,则2a 等于 A. 4- B. 6- C. 8- D. 10-6. 已知直线,l m ,平面,αβ,且,l m αβ⊥⊂,给出下列四个命题: ①若//αβ,则l m ⊥； ②若l m ⊥,则//αβ； ③若αβ⊥,则//l m ； ④若//l m ,则αβ⊥; 其中正确命题的个数是 A. 0 B. 1C. 2D. 37. 已知抛物线22x py =的焦点坐标为1(0,)8-,则抛物线上纵坐标为2-的点到抛物线焦点的距离为A. 18B. 54C. 94D. 1788. 圆心在y 轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程为A ．22(2)1x y +-=B ．22(2)1x y ++=C ．22(1)(3)1x y -+-=D ．22(3)1x y +-= 9. 已知()f x 是R 上的奇函数,对R x ∈都有(4)()(2)f x f x f +=+成立,若(1)2f =,则(2011)f 等于A ．2011B ．2C ．1-D ．2-10. 函数log (3)1a y x =+-,(0a>且1a ≠)的图象恒过定点A ,若点A 在直线10mx ny ++=上,其中0,0m n >>,则12m n+的最小值为 A ．2 B ．4 C ．8 D ．1611. 在区间[0,]π内随机取两个数分别记为a b 、,则函数22()2f x x ax b π=+-+有零点的概率为 A ．78 B ．34 C ．12 D ．1412. 在平行四边形ABCD 中,0AB BD =且22240AB BD +-=,沿BD 折成直二面角A BD C --,则三棱锥A BCD -的外接球的表面积是A.16πB. 8πC. 4πD. 2π第Ⅱ卷（非选择题,共90分）二、填空题：请把答案填在答题纸上相应题号横线上（每小题4分,共16分）． 13. 平行于直线430x y -=且与圆0114222=-+-+y x y x 的相切的直线方程为_____________________________;14. 二项式10()m x x-的展开式中,若其常数项为252,则____________m =； 15. 已知等差数列{}n a 的公差为正数,且1273-=a a ,464-=+a a ,则20S =_______；16. 下列关于概率的命题:①在4次独立试验中,事件A 发生的概率相同,若事件A 至少发生1次的概率为6581,则事件A 在1次试验中发生的概率为13; ②设随机变量(0,1)N ξ,记()()x P x ξΦ=<,则(11)2(1)1P ξ-<<=Φ-;③带有不同编号的10个球中,有6个红球,4个白球,不放回地依次摸出两个球,在第一次摸出红球的条件下,第二次也摸出红球的概率为59.其中真命题的序号有____________________;三、解答题：请在答题纸上相应题号位置作答.解答应有必要的文字说明、证明过程或演算步骤(共74分)．17.（本题满分12分）已知向量(sin 2,cos )m x x =,(3,2cos )n x =,x R ∈ ,若()1f x m n =- Ⅰ)把()f x 化为sin()A x ωϕ+形式并求()f x 的单调递增区间；Ⅱ)在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,()2f A =,a =4B π=,求b 的值.18.（本题满分12分）某旅游推介活动晚会进行嘉宾现场抽奖活动，抽奖规则是：抽奖盒中装有10个大小相同的小球，分别印有“帆船”和“栈桥”两种标志，摇匀后，参加者每次从盒中同时抽取两个小球，若抽到两个球都印有“帆船”标志即可获奖.I ）活动开始后，一位参加者问：盒中有几个“帆船”球？主持人笑说：我只知道从盒中同时抽两球不都是“栈桥”标志的概率是23，求抽奖者获奖的概率； Ⅱ）上面条件下，现有甲、乙、丙、丁四人依次抽奖，抽后放回，另一个人再抽，用ξ表示获奖的人数，求ξ的分布列及,E D ξξ.19.（本题满分12分） 将边长为4的正方形ABCD拼为新的几何图形,ABE ∆中,AB AE =,若DE =M 为DE 中点 Ⅰ)求CM 与所成角的大小;Ⅱ)若N 为CE 中点，证明：//MN 平面Ⅲ)证明：平面CAM ⊥平面CBE20.（本题满分12分）已知圆锥曲线1C 和2的焦点都在坐标轴上,对称中心为坐标原点且以坐标轴为对称轴,其中1C 为等轴双曲线(,渐近线为y x =±),且经过点; 2C 为椭圆,方程为22221x y a b +=,且与1C 有相同的焦点. Ⅰ)求双曲线1C 和椭圆2C 的标准方程;Ⅱ)若直线y x m =+与椭圆2C 相交于两点,A B ,判断是否存在实数m ,使得OA OB⊥成立.21.（本题满分12分）已知函数32()f x x ax bx =++, 其中a 为常数,2x =是其极值点,又()eb u x dx =⎰,其中601()11x x u x x e x≤≤⎧⎪=⎨<≤⎪⎩ Ⅰ)求)(x f 解析式,并求()f x 在(1,(1))f 点处所做切线l 的倾斜角大小;Ⅱ) 若()()g x f x c =+,(c 为参数),且对任意[2,1]x ∈-,不等式21()9g x c c ≤-恒成立,试求实数c 的取值范围. 22.（本题满分14分） 已知数列{}n a 和1311()()()16n n n n f x a t x t a x ++=-+-+且对任意*n N ∈,x =总是函数'()0f x =的一个零点,1a t =,(t 为常数,>0t 且1t ≠)Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; Ⅱ)若12(1)n nb a =-,当2t =时,求数列{}n b 的前n 项和为n S ,并求使2010n S >的n 的最小值;Ⅲ) 若3log 31n t nn na c =-,证明：312421234nc c c c c n⋅⋅⋅⋅⋅<,（*n N ∈）M第19题图。

山东省青岛二中2024届高一数学第二学期期末质量跟踪监视模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若直线1:2l y x a =-+与直线22:(2)2l y a x =--平行,则a =A ．1B ．1-C ．3±D ．±12．定义运算,:,a a ba b b a b≤⎧⊗⊗=⎨>⎩，设()()()F x f x g x =⊗，若()sin f x x =，()cos g x x =，R x ∈，则()F x 的值域为（ ）A ．[]1,1-B ．2,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．21,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．21,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦3．已知函数()sin()f x x ωϕ=+(0>ω,π2ϕ<)的部分图像如图所示，则,ωϕ的值分别是( )A ．π2,6 B ．π2,3 C ．π1,6D ．π1,34．已知数列{}n a 满足*11()1,2,nn n n a a a n N S +=⋅=∈是数列{}n a 的前n 项和，则（ ） A ．201920192a =B ．101020192a =C ．1010201923S =-D ．1011201923S =-5．下列不等式正确的是（ ） A ．若a b >，则a c b c ⋅>⋅ B ．若22a c b c ⋅>⋅，则a b > C ．若a b >，则11a b< D ．若a b >，则22a c b c ⋅>⋅6．已知角α的终边经过点()1,1-，则=sin α（ ）A ．22-B ．12-C ．22D ．327．我国魏晋时期的数学家刘徽，创立了用圆内接正多边形面积无限逼近圆面积的方法，称为“割圆术”，为圆周率的研究提供了科学的方法.在半径为1的圆内任取一点，则该点取自圆内接正十二边形外的概率为 A ．3πB ．31π-C ．3πD ．31π-8．若sin 2cos21θθ=+，则cos2θ=( ) A ．0B ．-1C ．1或0D ．0或-19．为了得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）A ．向右平移个单位B ．向右平移个单位C ．向左平移个单位D ．向左平移个单位10．已知向量(2,3),(,4)a b x ==，若()a a b ⊥-，则x =（ ） A ．1B ．12C ．2D ．3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2008-2009学年山东省青岛市第二学期高一教学质量检测数学试卷第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知向量(4,2)a =，则下列选项中与a 共线的一个向量为A ．(1,2)B ．(1,4)CD 2．在等差数列{}n a 中，131315120,a a a a +++=则8a 的值为A ．60B ．30C ．20D ．153．已知直线1l ：02=--y ax 和直线2l ：01)2(=+-+y x a 互相垂直，则实数a 的值为A ．1-B ．0C ．1D ．24 A ．2B ．3C ．4D ．5 5．已知直线l 和(0,1)，则直线l 的倾斜角大小为 A ．150 B ．120 C ．60D ． 306．圆1C ：0122=-+y x 和圆2C ：042422=-+-+y x y x 的位置关系是A ．内切 B ．外离 C ．外切D ．相交 7．在ABC ∆中，已知A C B sin sin cos 2=，则ABC ∆一定为A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．正三角形 8．设数列{}n a 的前n 项和为n S (N )n *∈，若，则5S 等于A ．1BC D9则下列结论正确的是 A ．22a b > B ．2ab b >C D10．若等比数列的公比为2，且其前4项和为1，则这个等比数列的前8项和等于A ．8 B ．16 C ．17 D ．3211．若点(),P a b 在圆C ：122=+y x 的外部，则直线01=++by ax 与圆C 的位置关系是A ．相切B ．相离C ．相交D ．相交或相切12．某同学在黑板上做了一道解三角形的习题，另一个同学不小心把其中一部分擦去了， 现在只能看到：在ABC △中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，已知2a =，……，解得b =下面哪个选项可以作为这个习题的其余已知条件？A ．A =30，B =45B ．C =75，A =45 C ．B =60，c =3D ．c = 1，C cos =第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．已知平面向量()()1,2,1,3a b ==- ，则a 与b 夹角的大小为 .14．以点(1,2)-为圆心，且与直线210x y +-=相切的圆的方程是 .15．经过直线230x y +-=和直线310x y ++=的交点，且与直线50x y +-=平行的直线方程为 .16．在ABC ∆中，向量(1,2),(,2)(0)AB AC x x x ==->，若ABC ∆的周长为，则x的值为 . 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

2023-2024学年山东省青岛高一下册期中数学模拟试题一、单选题1．若i(1)1z -=，则z z +=（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【正确答案】D【分析】利用复数的除法可求z ，从而可求z z +.【详解】由题设有21i1i i iz -===-，故1+i z =，故()()1i 1i 2z z +=++-=，故选：D2．已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A ．若m α⊂，n ⊂α，//m β，//n β，则//αβB ．若//n m ，n α⊥，则m α⊥C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n 【正确答案】B【分析】根据空间线面位置关系依次判断各选项即可得答案.【详解】解：对于A ，若m α⊂，n ⊂α，//m β，//n β，m n P = ，则//αβ，故错误；对于B ，//n m ，n α⊥，则m α⊥，正确；对于C ，m α⊥，m n ⊥，则//n α或n ⊂α，故错误；对于D ，若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n 或异面，故错误.故选：B3．给出下列命题中，正确的命题是（）A ．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直的棱柱是正四棱柱B ．侧棱都相等的棱锥是正棱锥C ．底面是正方形，有两个侧面是矩形的棱柱是正四棱柱D ．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥【正确答案】A【分析】根据正四棱柱、正棱锥的几何结构特征，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，若底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直，则该四棱柱底面为正方形，且侧棱垂直与底面，所以该四棱柱为正四棱柱，所以A 正确；对于B 中，只要棱锥的顶点在底面多边形上的射影为多边形外接圆的圆心，此时棱锥的所有侧棱都相等，但底面不一定是正多边形，所以该棱锥不一定是正棱锥，所以B 错误；对于C 中，如图（1）所示，底面四边形ABCD 为正方形，且有两个面矩形，但此棱柱不是正四棱柱，所以C 不正确；对于D 中，如图（2）所示，三棱锥ABCD 中，设,AB CD m AC BC AD BD n ======，其中m n ≠，此时三棱锥的侧面都是等腰三角形，但此时不是正三棱锥，所以D 错误.故选：A.4．若向量a ，b 满足||2a =，b = 3a b ⋅= ，则向量b 与b a -夹角的余弦值为（）.ABC．16D【正确答案】D【分析】根据平面向量数量积的运算性质，结合平面向量夹角公式进行求解即可.【详解】因为b = 3a b ⋅= ，所以22()39b b a b b a ⋅-=-⋅=-=，因为b a -==== 所以向量b 与b a -夹角的余弦值为()20b b a b b a ⋅-==⋅- ，故选：D5．如图正方形OABC 边长为1cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是多少cm ？（）A ．4B ．8C ．12D ．16【正确答案】B【分析】根据直观图与原图形的关系可知原图为平行四边形，且1111O A O B ⊥，利用勾股定理计算出其边长即可求得结果.【详解】根据直观图可画出原图形如下图所示：根据斜二测画法可知，原图四边形1111O A B C 为平行四边形，且1111O A O B ⊥易知111O A OA ==，112O B OB ==，所以113A B =，因此1111O A B C 的周长为()()111122138O A A B +=+=.故选：B6．已知π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos 22sin 21αα+=，则sin α=（）A ．15B C ．45D 【正确答案】D【分析】先利用倍角公式将条件变形，然后结合22sin cos 1αα+=列方程组求解.【详解】π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,cos 0,sin 0αα∴>>22cos 22sin 2cos sin 4sin cos 1αααααα+=-+= ①,又22sin cos 1αα+=②，由①②得sin 5α=.故选：D.7．十七世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出了一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”，在费马问题中所求的点被称为费马点，对于每个给定的三角形都存在唯一的费马点，当△ABC 的三个内角均小于120°时，使得120APB BPC APC ∠∠∠=== 的点P 为ABC 的费马点.已知点E 为等边MNQ △的费马点，且6MN = ，则EM EN EM EQ EN EQ ⋅+⋅+⋅=（）A ．-12B ．-36C ．-D ．-18【正确答案】D【分析】设EMN α∠=，由等边三角形的性质可知EMN ENQ EQM ≅≅ ，即点E 为MNQ △的中心，从而求出EM EN EQ ===，利用向量数量积公式即可计算结果.【详解】设EMN α∠=，则60ENM α∠=- ，因为MNQ △为等边三角形，所以ENQ α∠=，60EQN α∠=- ，同理：EQM α∠=，60EMQ α∠=- ，又MN NQ MQ ==，所以EMN ENQ EQM ≅≅ ，则EM EN EQ ==，所以点E 为MNQ △的中心，6MN NQ MQ ===，EM EN EQ ∴===120MEN NEQ QEM ∠=∠=∠= ，则cos120318EM EN EM EQ EN EQ ⋅+⋅+⋅=⨯=-故选：D8．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 在三棱锥1C BCD -的侧面1C CB 表面上运动，且13A P =，则点P 轨迹的长度是（）A B ．π9C ．π3D 【正确答案】B【分析】作出图形，分析可知点P 轨迹是以点1B 1BCC 的交线，计算出圆心角的大小，结合扇形的弧长公式可求得结果.【详解】因为11A B ⊥平面11BB C C ，且1A P =所以，点P 的轨迹是以1B 为圆心，半径为2211156133r A P A B =--的圆在1BCC 内的交线，取11B C 的中点E ，则11B E BC ⊥，且111222B E BC ==，设圆弧交1BC 于M 、N两点，如下图所示：11123sin 226B E B ME B M ∠=⨯，所以，1π3B ME ∠=，又因为11B M B N =，则1B MN △为等边三角形，故点P 轨迹的长度是ππ663339r =.故选：B.9．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面111A B C ，底面111A B C △是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述不正确的是（）A ．1CC 与1B E 是异面直线B ．AC ⊥平面11ABB A C ．AE ，11B C 为异面直线，且11AE B C ⊥D ．11//A C 平面1AB E【正确答案】C【分析】根据11,CC B E ⊂平面11BCC B 知A 错误；假设AC ⊥平面11ABB A ，由线面垂直性质知ABC 为直角三角形，与已知矛盾，B 错误；由异面直线判断方法可知11,AE B C 为异面直线，由正三角形性质可知AE BC ⊥，结合平行关系知C 正确；根据直线11A C 与平1AB E 交可判断D 错误．【详解】对于A ，1CC ⊂ 平面11BCC B ，1B E ⊂平面11BCC B ，1CC ∴与1B E 共面，A 错误；对于B ，若AC ⊥平面11ABB A ，AB ⊂平面11ABB A ，则AC AB ⊥，即ABC 为直角三角形，111A B C ∴ 为直角三角形，与已知111A B C △是正三角形矛盾，B 错误；对于C ，AE 平面11BCC B E =，11E B C ∉，11,AE B C ∴为异面直线；ABC 为正三角形，E 为BC 中点，AE BC ∴⊥，11//BC B C ，11AE B C ∴⊥，C 正确；对于D ，直线AC 交平面AB 1E 于点A ，又11//AC A C ，∴直线11A C 与平面AB 1E 相交，故D 错误.故选：C.二、多选题10．已知函数()()()sin 0,0π,f x A x b A b ωϕϕ=++><<∈R 的部分图像如图，则（）A ．5πb ωϕ=B ．π23f ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．将曲线()y f x =向右平移π9个单位长度得到曲线4cos32y x =-+D ．点11π,218⎛⎫- ⎪⎝⎭为曲线()y f x =的一个对称中心【正确答案】AD【分析】利用三角函数的图像与性质逐一判断即可.【详解】由题图可知，6,2,A b A b +=⎧⎨-+=-⎩解得4,2.A b =⎧⎨=⎩将点()0,4的坐标代入()()4sin 2f x x ωϕ=++，得4sin 24ϕ+=，所以1sin 2ϕ=．由图像可知，点()0,4在()y f x =图像的下降部分上，且0πϕ<<，所以5π6ϕ=．将点2π,29⎛⎫- ⎪⎝⎭的坐标代入()5π4sin 26f x x ω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，得2π5π3π962ω⨯+=，解得3ω=，则5π325π6b ωϕ=⨯⨯=，A 正确．由A ，得()5π4sin 326f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．所以ππ5π5π5π4sin 324sin π24sin 2033666f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯++=++=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，B 错误．将曲线()y f x =向右平移π9个单位长度得到曲线π5ππ4sin 324sin 324cos32962y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，C 错误．令5π3π6x k +=，k ∈Z ，解得π5π318k x =-，k ∈Z ．取1k =-，则π5π11π31818x =--=-，所以点11π,218⎛⎫- ⎪⎝⎭为曲线()y f x =的一个对称中心，D 正确．故选：AD ．11．给出下列命题，其中正确的选项有（）A ．非零向量a ，b ，满足a b > 且a 与b同向，则a b> B ．若单位向量1e ，2e的夹角为60°，则当()122R e te t -∈ 取最小值时，1t =C ．在ABC 中，若0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭，则ABC 为等腰三角形D ．已知()1,2a =r ，()1,1b = ，且a 与a b λ+ 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【正确答案】BC【分析】根据向量的定义，可判定A错误；根据向量数量积求得122e te -= B 正确；由AB ACAB AC+ 表示与A ∠的平分线共线的向量，结合三角形的性质，可判定C 正确；当0λ=时，得到向量a与向量a b λ+ 的夹角为0，可判定D 项错误.【详解】对于A 中，向量的既有大小又有方向的量，所以向量不能比较大小，所以A 错误；对于B 中，因为单位向量1e ，2e 的夹角为60，可得12121cos602e e e e ⋅=⋅= ，则122e te -==== 当且仅当1t =时，122e te -B 正确；对于C 中，因为AB ACAB AC + 表示与A ∠的平分线共线的向量，又因为0AB AC BC AB AC⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭，可得A ∠的平分线与BC 垂直，所以ABC 为等腰三角形，所以C 正确；对于D 中，当0λ=时，此时向量a与向量a b λ+的夹角为0，所以D 项错误.故选：BC12．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列命题正确的有（）A ．若AB >，则sin sin A B>B ．若30A =︒，4b =，3a =，则ABC 有一解C ．已知ABC 的外接圆的圆心为O ，AB =AC =M 为BC 上一点，且有2BM MC =，67AM AO ⋅=D ．若ABC 为斜三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=【正确答案】AD【分析】根据正弦定理即可判断A 、B 选项；根据三角形外接圆性质，结合向量基本定理将B 项中数量积展开计算即可判断；根据三角形内角和代入D 项中计算即可.【详解】在三角形中，当A B >，则a b >，即2sin 2sin R A R B >，整理可得sin sin A B >，故A 正确；由正弦定理得2sin sin 30sin 3a b B B ==︒⇒，又因为b a >，所以B 有两解，B 错误；因为ABC 的外接圆的圆心为O ，所以213cos 22AB AO AB AO BAO AB�仔==，同理可得2112AC AO AC ⋅== ，又因为()22123333AM AB BM AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+，所以127336AM AO AB AO AC AO ⋅=⋅+⋅= ，故C 错误；因为πA B C ++=，得πA B C +=-，且ABC 为斜三角形，则()()()()tan tan tan 1tan tan tan π1tan tan A B A B A B C A B +=+-=--tan tan tan tan C C A B =-+，所以tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，故D 正确；故选：AD 三、填空题13．若1z =-，则1zz z -的虚部是______．【正确答案】3【分析】根据共轭复数的概念，复数的乘除法运算求解即可.【详解】解：因为1z =-，所以1z =-，()()114zz =--=，所以131z zz ==--所以，1z z z -故314．我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为S =.若2sin 2sin a C A =，()226a c b +=+，则用“三斜求积”公式求得ABC 的面积为______．【分析】根据正弦定理进行边角互换，再将数据代入“三斜求积”公式即可.【详解】根据正弦定理可知22sin 2sin 22a C A a c a ac =⇒=⇒=，()222226622a c b a c b ac +=+⇒+-=-=，代入“三斜求积”公式：S ==故答案为15．如图所示，要在两山顶M N ､间建一索道，需测量两山顶M N ､间的距离.现选择与山脚B C ､在同一平面的点A 为观测点，从A 点测得M 点的仰角60,MAC N ∠= 点的仰角30NAB ∠= 以及45MAN ∠= ，若100AC =米，AB =米，则MN 等于__________米.【正确答案】【分析】在Rt ACM △中根据cos 60AC AM ︒=求出AM ，在R t ABN △中根据cos30ABAN ︒=求出AN ，在AMN 中由余弦定理得：2222cos 45MN AM AN AN AM ︒=+-⋅求解.【详解】在Rt ACM △中，60,MAC ∠= 100AC =，所以1002001cos 602AC AM ︒===，在R t ABN △中，30NAB ∠=，AB =，所以cos302AB AN ︒==，在AMN 中，45MAN ∠= ，200AM =，AN =由余弦定理得：222222cos 45200100222002MN AM AN AN AM ︒=+-⋅=+⨯-⨯⨯22221004100210041002=⨯+⨯-⨯=⨯所以MN =米).故答案为.四、双空题16．如图，在四边形ABCD 中，60,3B AB ︒∠==，6BC =，且3,2AD BC AD AB λ=⋅=- ，则实数λ的值为_________，若,M N 是线段BC 上的动点，且||1MN = ，则DM DN ⋅ 的最小值为_________．【正确答案】16132【分析】可得120BAD ∠= ，利用平面向量数量积的定义求得λ的值，然后以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，设点(),0M x ，则点()1,0N x +（其中05x ≤≤），得出DM DN ⋅ 关于x 的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得DM DN ⋅ 的最小值.【详解】AD BC λ= ，//AD BC ∴，180120BAD B ∴∠=-∠= ，cos120AB AD BC AB BC AB λλ⋅=⋅=⋅1363922λλ⎛⎫=⨯⨯⨯-=-=- ⎪⎝⎭，解得16λ=，以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy ，()66,0BC C =∴ ，,∵3,60AB ABC =∠=︒，∴A 的坐标为33322A ⎛ ⎝⎭,∵又∵16AD BC = ,则533,22D ⎛ ⎝⎭，设(),0M x ，则()1,0N x +（其中05x ≤≤），533,22DM x ⎛=-- ⎝⎭ ，333,22DN x ⎛=-- ⎝⎭，()222533321134222222DM DN x x x x x ⎛⎫⎛⎫⋅=--+=-+=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，当2x =时，DM DN ⋅ 取得最小值132.故16；132.本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于中等题.五、解答题17．已知4a = ，8b = ，a 与b 的夹角为2π3．(1)求a b - ；(2)当k 为何值时，()()2a b ka b +⊥- ．【正确答案】(1)7a b -= (2)7k =-【分析】（1）利用平面向量数量积的运算性质可求得a b - 的值；（2）由已知可得出()()20a b ka b +⋅-= ，利用平面向量数量积的运算性质可求得实数k 的值.【详解】（1）解：因为4a = ，8b = ，a 与b 的夹角为2π3，则2π1cos 481632a b a b ⎛⎫⋅=⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，所以，a b -= （2）解：因为()()2a b ka b +⊥- ，则()()()222212a b ka b ka k a b b +⋅-=+-⋅- ()161621264161120k k k =---⨯=--=，解得7k =-.18．在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对边的长，4tan 3B =，且21AB BC ⋅=- ．(1)求ABC 的面积；(2)若5c =，求角C ．【正确答案】(1)14(2)π4C =【分析】（1）先通过21AB BC ⋅=- 求出AB BC ⋅ ，再利用三角形的面积公式求解即可；（2）先通过余弦定理求出b ，再通过余弦定理求cos C 即可.【详解】（1）解：因为在ABC 中，4tan 3B =，()0,πB ∈，所以，34cos ,sin 55B B ==，因为21AB BC ⋅=- ，所以()3cos πcos 215ac AB BC AB BC B ac B ⋅=⋅-=-=-=- ，解得35ac =.所以，ABC 的面积为114sin 3514225ABC S ac B ==⨯⨯=△.（2）解：由（1）35AB BC ⋅=，即35ac =，又5c =，7a ∴=，22232cos 4925275325b ac ac B ∴=+-=+-⨯⨯⨯=，即b=222cos 22a b c C ab +-∴==，又()0,πC ∈，π4C ∴=.19．如图甲，在四边形PBCD 中，//PD BC ，BC PA AD ==．现将ABP 沿AB 折起得图乙，点M 是PD 的中点，点N 是BC 的中点．(1)求证：//MN 平面PAB ；(2)在图乙中，过直线MN 作一平面，与平面PAB 平行，且分别交PC 、AD 于点E 、F ，注明E 、F 的位置，并证明．【正确答案】(1)证明见解析；(2),E F 分别为,PC AD 的中，理由见解析.【分析】（1）取AD 的中点F ，分别证得//MF PA 和//NF AB ，得到//MF 平面PAB 和//NF 平面PAB ，证得平面//MNF 平面PAB ，进而得到//MN 平面PAB ；（2）取PC 的中点E ，证得//ME NF ，得到点,,,E M F N 四点共面，即可求解.【详解】（1）证明：取AD 的中点F ，分别连接,NF MF ，因为M ，F 分别为PD 和AD 的中点，所以//MF PA ，又因为MF ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，所以//MF 平面PAB ，因为,F N 分别为,AD BC 的中点，可得//NF AB ，又因为NF ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以//NF 平面PAB ，又由MF NF F = ，且,MF NF ⊂平面MNF ，所以平面//MNF 平面PAB ，又因为MN ⊂平面MNF ，所以//MN 平面PAB .（2）证明：当,E F 分别为,PC AD 的中点时，此时平面//EMFN 平面PAB ，证明如下：取PC 的中点E ，分别连接,ME NE ，在PCD 中，因为,M E 为,PD PC 的中点，所以//ME CD ，又因为,F N 分别为,AD BC 的中点，可得//NF AB ，所以//ME NF ，所以点,,,E M F N 四点共面，即过直线MN 作一平面，与平面PAB 平行，且分别交PC ，AD 于点E 、F ，此时E ，F 分别为PC 和AD 的中点.20．（1）已知函数()44sin 2sin cos co s 2222x x x x f x =+-，若()15f α=，求sin2α；（2）已知π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0,πβ∈，5sin 5α=10cos 10β=，求αβ-的值．【正确答案】（1）24;25（2）π4-.【分析】（1）先根据二倍角公式化简得到1sin cos 5αα-=，两边平方可得结果；（2）先确定角的范围ππ,22αβ⎛⎫-∈- ⎝⎭,结合()sin αβ-的值，求出角即可.【详解】（1）()442222sin 2sin cos cos sin sin cos sin +cos sin cos 22222222x x x x x x x x f x x x x ⎛⎫⎛⎫=++-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,()1sin cos 5f ααα∴=-=,()21sin cos 25αα∴-=,112sin cos 25αα∴-=,24sin225α∴=.（2）π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，,()0,πβ∈，10cos 010β=>,π0,2β⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭,2310sin 1cos 10ββ∴=-=,225cos 1sin 5αα∴-ππ,22αβ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭,()51053102sin sin cos cos sin 5105102αβαβαβ-=-=⨯-=-Q ,π4αβ∴-=-.21．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥面ABCD ，2AB BC ==，7AD CD =，3PA =120ABC ∠= ，G 为线段PC 上的点．(1)证明：BD ⊥面APC ；(2)若G 满足PC ⊥面BGD ，求PG GC的值．【正确答案】(1)证明见解析(2)32PG GC =【分析】（1）证明出ABD CBD ≌△△，可得出BD AC ⊥，再由已知条件可得出BD PA ⊥，利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）分析可知BG PC ⊥，计算出PBC 三边边长，利用余弦定理求出cos PCB ∠的值，可求得CG 的长，进而可求得PG 的长，即可得解.【详解】（1）证明：因为BA BC =，DA DC =，BD BD =，所以，ABD CBD ≌△△，所以，ABD CBD ∠=∠，则BD AC ⊥，因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以，BD PA ⊥，又因为AC PA A ⋂=，AC 、PA ⊂平面APC ，所以，BD ⊥平面APC .（2）解：因为BD ⊥平面APC ，PC ⊂平面APC ，所以，PC BD ⊥，若PC ⊥面BGD ，BG ⊂平面BGD ，则BG PC ⊥，因为2AB BC ==，120ABC ∠= ，由余弦定理可得2222212cos1202222232AC AB BC AB BC ⎛⎫=+-⋅=+-⨯⨯-= ⎪⎝⎭，因为PA ⊥平面ABCD ，AB 、AC ⊂平面ABCD ，则PA AC ⊥，所以，2231215PC PA AC =+=+=22347PB PA AB =+=+=，在PBC 中，7PB =2BC =，15PC =所以，22215cos 252215PC BC PB PCB PC BC +-∠===⋅⨯⨯，所以，cos 255CG BC PCB =∠=⨯，所以，55PG PC CG =--=，则32PG GC =，因此，若G 满足PC ⊥面BGD ，则32PG GC =.22．在路边安装路灯，灯柱AB 与地面垂直（满足90BAD ∠=︒），灯杆BC 与灯柱AB 所在平面与道路垂直，且120ABC ∠=︒，路灯C 采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知60ACD ∠=︒，路宽12m AD =．设灯柱高()m AB h =，()3045ACB θθ∠=︒≤≤︒．(1)当30θ=︒时，求四边形ABCD 的面积；(2)求灯柱的高h （用θ表示）；(3)若灯杆BC 与灯柱AB 所用材料相同，记此用料长度和为S ，求S 关于θ的函数表达式，并求出S 的最小值．【正确答案】(1)2(2)()8sin23045h θθ=︒≤≤︒(3)())8sin 2603045S θθ=++≤≤︒︒︒，S 最小值为24+【分析】（1）由三角形角的关系结合正弦定理可得各边长，再由ABC ACD ABCD S S S =+四边形△△可得解；（2）分别在ACD 与ABC 中由正弦定理化简即可得解；（3）根据正弦定理分别表示各边长及S ，再根据三角函数求值域的方法可得最值.【详解】（1）当30θ=︒时，1801203030BAC ︒︒︒︒∠=--=，所以AB BC =，又9060CAD BAC ∠︒∠=︒=-所以ACD 是等边三角形，所以12AC AD ==，所以在ABC 中，sin sin sin AB BC AC ACB BAC ABC==∠∠∠，即AB BC ==所以11sin1201212sin604822ABC ACD ABCD S S S =+=⨯︒+⨯⨯︒⨯= 四边形（2）18012060BAC θθ∠=︒--=︒︒-，9030CAD BAC θ∠︒-=+︒=∠，()180630900ADC θθ︒︒∠=-=︒-︒+-，在ACD 中，由正弦定理得sin sin AD AC ACD ADC∠∠=，所以()12sin60sin 90AC θ=︒︒-所以AC θ=在ABC 中，由正弦定理得sin sin AC AB ABC ACB =∠∠，所以sin120sin AC h θ=︒，所以2sin AC θθ==，所以()8sin23045h θθ=︒≤≤︒；（3）在ABC 中，由正弦定理得sin sin AC BC ABC BAC =∠∠，所以()sin120sin 60BC θθ=︒-︒，所以()[]216cos sin 6016cos sin60cos cos60sin 8sincos BC θθθθθθθθ=-=︒︒-︒=-1cos24sin24sin22θθθθ+=⋅-=+-所以()8sin24sin24sin2S AB BC θθθθθ=+=++-=++()18sin2cos28sin 2602θθθ⎛⎫==++ ⎭︒⎪⎪⎝因为3045θ︒≤≤︒，所以120260150θ︒≤+︒≤︒，所以当260150θ+︒=︒，即45θ=︒时，S 取最小值4+，故S 关于θ的函数表达式为())8sin 2603045S θθ=++≤≤︒︒︒，S 最小值为24+.。

山东省青岛二中2012届高三下学期阶段性检测数学试题（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：１.考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上．２.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效。

３.填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内。

答在试题卷上无效。

第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U＝R，集合集合，则（）A． B. C. D .2.已知复数（i为虚数单位），则a－b=（）A.1B.2C.－1D.－23.已知函数，则=（）A.0B.C.4D.－44.已知是等比数列，＝4，＝32，则＝（）A. B. C. D.5.已知三条不重合的直线m,n,l，两个不重合的平面α，β有下列命题：①若m∥n,nα，则m∥α②若l⊥α，m⊥β，且l∥m,则α∥β③若mα，nα,m∥β，n∥β，则α∥β④若α⊥β，αβ＝m, nβ,n⊥m,则n⊥α；其中正确命题的个数是（）A.1B.2C.3D.46.已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆的焦点与顶点，若双曲线的离心率为2，则椭圆离心率为（）A. B. C. D.7.下列4个命题:①命题“若，则a<b”②“”是“对任意的正数，”的充要条件 ③命题“，”的否定是：“”④已知p,q 为简单命题，则“为假命题”是“为假命题”的充分不必要条件；其中正确的命题个数是（ ）A.1B.2C.3D.48.如下左图是二次函数的部分图象，则函数在点（b,g(b)）处切线的斜率的最小值是（ ）A ．1B . C.2 D.9.已知函数f(x)的定义域为［－1,4］，部分对应值如下表，f(x)的导函数的图象如上右图所示。

山东省青岛二中2011-2012学年高一下学期阶段性质量检测政治试题一、选择题（本题共30小题，每小题2分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 2009年10月16日，第十一届全国运动会在济南召开，全运会吉祥物“泰山童子”以充满文化、自然内涵和动人传说的泰山为基础，并结合现代体育理念、国泰民安的吉祥寓意深受社会欢迎。

“泰山童子”已经作为知识产权进行了商标注册。

对此，从经济生活角度认识正确的是①作为商标的全运会吉祥物标识具有使用价值和价值②其价值是由其所具有的文化内涵决定的③其价值是由生产这种商品的社会必要劳动时间决定的④以“泰山童子”为内容的文化产品有利于传播中华传统文化并促进经济发展A. ①②B. ①②③C. ①③D. ①③④2. 我们可以通过手机按包月方式订制天气预报短信，了解气象信息，查访天气情况。

这里的“气象信息”A. 是商品，因为它有使用价值B. 不是商品，因为它有价值，没有使用价值C. 是商品，因为它是使用价值和价值的统一体D. 不是商品，因为它不用于交换3. 李老师领取了3000元工资后，在商店里购买一件打折商品，原标价为人民币100元，实际支付80元。

在这里，3000元、100元、80元分别执行的职能是A. 支付手段、流通手段、价值尺度B. 支付手段、价值尺度、流通手段C. 流通手段、价值尺度、支付手段D. 价值尺度、支付手段、流通手段4. 人民币原来的面额较大，计算不便，从1955年3月1日起，发行新人民币，单位为元，按1元折合旧人民币万元进行兑换。

对此正确认识是A. 国家有权确定纸币的面值，也有权规定纸币的实际购买力B. 国家有权确定纸币的面值，但无权规定纸币的实际购买力C. 纸币面值的变化造成了人民币的贬值D. 纸币面值代表多大价值是国家确定的5.人民币升值不利于①我国出口贸易的发展②我国进出口贸易的发展③我国对外投资的增加④吸引外商在我国投资A. ①②B. ②④C. ②③D. ①④6. 随着信息技术的发展，电子货币时代到来。

山东省青岛第二中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知两个向量a r 与b r共线，下列说法正确的是（ ）A ．a r 与b r平行 B ．a b =r r 或a b =-r rC ．a r 与b r方向相同 D ．存在实数λ，使得a b λ=r r2．已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线43y x =上，则cos2=α（ ） A ．1225B ．1225-C ．725-D ．7253．已知向量(,)a x y =r ，若向量(12,5)(0)m m m >与a r 反向，且向量a r在向量(3,0)上的投影向量为(12,0)-，则x y -的值为（ ） A ．7B ．－17C ．17D ．－74．把函数()f x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数πsin 4y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，则()f x =（ ）A ．7πsin 212x ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．πsin 212x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．7πcos 212x ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．5πcos 212x ⎛⎫- ⎪⎝⎭5．八卦是中国古代哲学和文化中的一个重要概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形ABCDEFGH ，其中||1OA =u u u r ，给出下列结论：①OA u u u r 与OH u u u r的夹角为π3；②OD OF OE +=u u u r u u u r u u u r ；③||||OA OC DH -=u u u r u u u r u u uu r ；④2OA OD ⋅=-u u u r u u u r ．其中正确结论的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．已知πsin 554α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πsin 210α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）AB．C ．725D ．725-7．已知函数π()sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，对任意的x ∈R ，都有1()2f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，且()f x 在区间ππ,412⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调，则ω的值为（ ）A ．8π3 B ．π3C ．5π6D ．2π38．在ABC V 中，4,AB O =是ABC V 的外心，M 为BC 的中点，14,AC AO N ⋅=u u u r u u u r是直线OM上异于M 、O 的任意一点，则AN BC ⋅=uuu r uu u r（ ）A ．3B ．6C ．7D ．9二、多选题9．计算下列各式的值，其结果为1的有（ ）Acos15︒︒B ．1cos80︒ CD ．4sin18sin54︒︒⋅10．已知函数()πsin()0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．()f x 的图象关于点π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭对称B ．()f x 的图象关于直线5π12x =-对称C ．将函数π2sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移π4个单位长度得到函数()f x 的图象D ．函数()f x 在ππ,312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增11．如图，在ABC V 中，3AD DB =u u u r u u u r，AC 边上存在点E 满足()0EA CE λλ=>u u u r u u u r ，直线CD和直线BE 交于点F ，若(0)FC DF μμ=>u u u r u u u r，则（ ）A ．1344CD CA CB =+u u u r u u u r u u u rB ．4λμ=C ．22164λμ+的最小值为12D ．49CF EA CD CA ⋅≤⋅u u u r u u u r u u u r u u u r三、填空题12．已知向量(2,1),(1,)a b m =-=r r ，且a b ⊥r r，那么|2|a b +=r r ．13．已知sin 22sin cos πααα⎛⎫- ⎪⎝⎭=+，则23cos π4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是． 14．在ABC V 中，已知2,3,3,AB BC AB BC D ==⋅=-u u u r u u u r为边AB 上一动点，过点D 作一条直线交边AC 于点,E ADE ∠θ=．（1）若D 为AB 中点，且60θ︒=，则DE DC ⋅=uu u r uuu r ．（2）设DE BA BC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则DEλμ+u u u r 的最大值是．四、解答题 15．已知()ππ3π2,π,sin c ,cos os 4225αβαβαα≤+≤=≤≤= (1)求cos 2α的值； (2)求角βα-的值．16．如图，玉溪汇龙欢乐世界摩天轮的半径为50m ，圆心距地面的高度为60m ，摩天轮做逆时针匀速转动，每30min 转一圈，摩天轮上的点P 的起始位置在最低点处．(1)已知在时刻t （单位：min ）时点P 距离地面的高度是关于t 的函数()()sin f t A t h ωϕ=++（其中0A >，0ω>，π<ϕ），求函数()f t 解析式及40min 时点P 距离地面的高度；(2)当点P距离地面(60m +及以上时，可以看到公园的全貌，求游客在游玩一圈的过程中共有多长时间可以看到公园的全貌．17．已知函数()f x m n =⋅u r r，其中),sin cos m x x x =-r ，()2cos ,sin cos n x x x =+r.(1)求函数()y f x =的最大值及取得最大值时对应x 的取值集合； (2)若方程()2f x a =在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个解()1212,x x x x <，①写出a 的取值范围（只写结论，无需过程）； ②若45a =，求()21cos x x -的值． 18．在ABC V 中，P 为AB 的中点，O 在边AC 上，BO 交CP 于R ，且||2||AO OC =u u u r u u u r，设,AB a AC b ==u u u r u u u r r r ．(1)用,a b r r 表示AR u u u r ；(2)||2,||1,,60a b a b ==〈〉=︒r rr r ，求sin ARB ∠；(3)若H 在BC 上，且RH BC ⊥设2,1,,a b a b θ===r n r r r n ，若π2π,33θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求||||CH CB u u u ru u u r 的范围．。

山东省青岛市第二高级中学高一数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知f(x)＝x5＋2x3＋3x2＋x＋1，应用秦九韶算法计算x＝3时的值时，v3的值为()A．27 B．11C．109 D．36参考答案：D略2. 为了得到函数f（x）=log2（﹣2x+2）的图象，只需把函数f（x）=log2（﹣2x）图象上所有的点( )A．向左平移2个单位长度B．向右平移2个单位长度C．向左平移1个单位长度D．向右平移1个单位长度参考答案：D考点：函数的图象与图象变化．专题：函数的性质及应用．分析：先将函数f（x）=log2（﹣2x+2）化成y=log2[﹣2（x﹣1）]，然后和函数y=log2（﹣2x）比较看x的变化．解答：解：函数f（x）=log2（﹣2x+2）化成y=log2 [﹣2（x﹣1）]，和函数y=log2（﹣2x）相比，x 的变化是减1，根据左加右减，所以将函数y=log2（﹣2x）的图象向右平移1个单位得到f（x）=log2（﹣2x+2）的图象．故选D．点评：本题考查了图象在x轴方向上的平移变换，一般是先研究x的变化，需要先将函数式适当变形再来判断，根据“左加右减”进行3. 已知a＞0，b＞0且ab=1，则函数f（x）=a x与g（x）=﹣log b x的图象可能是（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】对数函数的图象与性质．【分析】推导出g（x）=﹣log b x=log x， =a，由此利用指数函数、对数函数的图象和性质能求出结果．【解答】解：g（x）=﹣log b x=log x，∵a＞0，b＞0且ab=1，∴当a＞1时， =a＞1，此时函数f（x）=a x的图象过点（0，1），图象在x轴上方，是增函数，g（x）=﹣log b x的图象过点（1，0），图象在y轴左侧，是增函数，B满足条件；当0＜a＜1时，=a∈（0，1），此时函数f（x）=a x的图象过点（0，1），图象在x轴上方，是增减数，g（x）=﹣log b x的图象过点（1，0），图象在y轴左侧，是减函数，都不满足条件．故选：B．4. 集合，集合，Q=则P与Q的关系是（）A.P=QB.P QC.D.参考答案：C5. 在平面上，,,,若,则的取值范围是( )A． B． C． D．参考答案：D6. 在边长为1的等边三角形△ABC的BC边上任取一点D，使成立的概率为（）A．B． C. D．参考答案：B7. 已知（）A B C D参考答案：B8. 函数y=﹣x2﹣4mx+1在[2，+∞）上是减函数，则m的取值范围是（）A．[﹣1，+∞）B．（﹣∞，1）C．（﹣∞，﹣1] D．（1，+∞）参考答案：A【考点】二次函数的性质．【分析】求出二次函数的对称轴，利用函数的单调性列出不等式求解即可．【解答】解：函数y=﹣x2﹣4mx+1开口向下，对称轴为：x=﹣2m，在[2，+∞）上是减函数，可得：﹣2m≤2，解得m≥﹣1．故选：A．【点评】本题考查二次函数的简单性质的应用，考查计算能力．9. 设，下列关系正确的是（）A． B．C． D．参考答案：A略10. （5分）若直角坐标平面内的两不同点P、Q满足条件：①P、Q都在函数y=f（x）的图象上；②P、Q关于原点对称，则称点对[P，Q]是函数y=f（x）的一对“友好点对”（注：点对[P，Q]与[Q，P]看作同一对“友好点对”）．已知函数f（x）=，则此函数的“友好点对”有（）对．A．0 B． 1 C． 2 D．3参考答案：B考点：函数的图象；分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据题意可知只须作出函数（x＞0）的图象关于原点对称的图象，确定它与函数y=﹣x2﹣4x（x≤0）交点个数即可．解答：由题意得：函数f（x）=“友好点对”的对数，等于函数（x＞0）的图象关于原点对称的图象，与函数y=﹣x2﹣4x（x≤0）交点个数在同一坐标系中做出函数（x＞0）的图象关于原点对称的图象，与函数y=﹣x2﹣4x（x≤0）的图象如下图所示：由图象可知，两个图象只有一个交点． 故选B点评： 本题考查的知识点是函数的图象，分段函数，新定义，其中将“友好点对”的对数转化为对应图象交点个数是解答的关键．二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数的图像过定点.参考答案：（1,2）当时，，所以过定点。

青岛二中2010-2011年度第一学段高一数学期中考试试卷(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题（共12题，每小题5分，共60分）1.若全集{}{}0,1,2,32U U C A ==且，则集合A 的真子集共有（ ） A.3个 B.5个 C.7个 D.8个2.若集合(){}0|,=+=y x y x M ，(){}R y R,,0|,22∈∈=+=x y x y x N ，则有（ ） A.MN M = B.M N N = C.M N M = D.M N =∅3.集合}{R ,02|2∈=++=a a x ax x A 有且只有一个元素，则a 的取值集合是（ ）A.}{1 B.}{1,1- C.}{10， D.}{1,0,1- 4.下列表示图形中的阴影部分的是（ ） A .()()C B C A B .()()C A B A C .()()C B B A D .()C B A 5.函数xxx y -++=132的定义域是（ ） A .⎩⎨⎧⎭⎬⎫≤<-123|x x B .⎩⎨⎧⎭⎬⎫≤≤-123|x xC .⎩⎨⎧⎭⎬⎫≠≤≤-0123|x x x 且D .⎩⎨⎧⎭⎬⎫≠<≤-0123|x x x 且6.若偶函数)(x f 在(]1,-∞-上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）A .)2()1()23(f f f <-<-B .)2()23()1(f f f <-<-C .)23()1()2(-<-<f f fD .)1()23()2(-<-<f f f7.已知3()4f x ax bx =+-其中,a b 为常数，若(2)2f -=，则(2)f 的值等于（ ） A .2- B .4- C .6- D .10-8.设⎩⎨⎧<+≥-=)10()],6([)10(,2)(x x f f x x x f 则)5(f 的值为（ ）A .10B .11C .12D .139.函数2311y x x =---的图象与x 轴不同的交点的个数共有（ ）A .4个B .3个C .2个D .1个10.函数)R )((∈x x f 为奇函数，21)1(=f ，)2()()2(f x f x f +=+，则)5(f 等于（ ）A .0B .1C .5D .2511.若()1+x f 为偶函数，则)1(x f y -=的图象关于直线（ ）对称 A .1=x B .1-=x C .0=x D .2=x12.下列四个命题：(1)函数f x ()在0x >时是增函数，0x <也是增函数，所以)(x f 是增函数；(2)若函数2()2f x axbx =++与x 轴没有交点，则280b a -<且0a >；(3) 223y x x =--的递增区间为[)1,+∞；(4) 1y x =+和y =表示相同的函数。