人教版数学8年级上-第十三章-13.3.1 等腰三角形 一课时-练习与答案

人教版-八年级数学上册《第十三章等腰三角形》同步练习题及答案学校班级姓名学号一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．）1．等腰三角形的一个底角为，则它的顶角为（）A．B．C．D．或2．一个等腰三角形两边长分别为20和10，则周长为（）A．40 B．50 C．40或50 D．不能确定3．如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是（）A．AB=2BD B．AD⊥BC C．AD平分∠BAC D．∠B=∠C4．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，且BD=BE，CD=CF，∠A=70°，那么∠FDE等于（）A．40°B．45°C．55°D．35°5．如图，已知中，AB=AC，E、D分别为、上的点，连接BD，DE，若AD=DE=BE，∠C=70°，则的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．80°6．如图，在等边△ABC中，点D、E分别是BC、AB边上的点，且AE=BD，AD与CE交于点F，则∠DFC 的度数为（）A．45°B．60°C．65°D．75°7．如图，点B和点C是对应顶点，记，当时，与之间的数量关系为（）A．B．C．D．8．如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC到点Q，使CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（）A．0.5 B．0.9 C．1 D．1.25二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分．）9．在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=16，则BC的长是．10．△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，点D在直线BC上，CD＝CA，则∠DAB的度数为．11．如图，在中，∠C=90°，AD=ED，∠CDE=72°，则的大小等于度．12．如图，在等边中，BD=CE，与交于P，，垂足为，PD=2，PQ=6，则的长为.13．如图，在中，点在边上，于点，若的面积为6，则的面积为.三、解答题：（本题共5题，共45分）14．已知，如图，等边△ABC中，点D为BC延长线上一点，点E为CA延长线上一点，且AE=DC，求证：AD=BE．15．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC的中点，DE⊥AB于E，求EB：EA的值．16．如图，和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是这两个等腰三角形的底边.求证.17．如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边向内作等边△ABD，连接DC，以DC为边，作等边△DCE，点B、E在CD的同侧，CE与BD交于点F，连接BE，按要求将图形补完整；（1）求证：△ADC≌△BDE；（2）求证：BD垂直平分CE．18．如图，在中，AB=AC，D为的中点，于点E，于点F，且DE=DF，连接，点G在的延长线上，且CD=CG．（1）求证：是等边三角形；（2）若，求的长．参考答案：1．C 2．B 3．A 4．C 5．B 6．B 7．B 8．C9．810．75°或15°11．5412．1413．1014．证明：在等边△ABC中，AB=CA，∠BAC=∠ACB=60°，∴∠EAB=∠DCA=120°．在△EAB和△DCA 中，∴△EAB≌△DCA（SAS），∴AD=BE15．解：如图，连接AD∵AB=AC，∠BAC=120°，D为BC的中点∴∠BAD=60°，AD⊥BC∴∠B=90°﹣60°=30°∵DE⊥AB∴∠ADE=90°﹣60°=30°设EA=x在Rt△ADE中，AD=2EA=2x在Rt△ABD中，AB=2AD=4x∴EB=AB﹣EA=4x﹣x=3x∴EB：EA=3x：x=3．16．证明：和是顶角相等的等腰三角形，得出∴AB=AC，AD=AE，∠BAD=∠CAE在和中，.17．（1）解：补充图形如下：∵和都是等边三角形∴，CD=ED，∠ADB=∠CDE∴∴在和中∴（2）解：由（1）得∴在等腰中有∴由已知在等边三角形中有∴为的垂直平分线即垂直平分．18．（1）证明：∵，DF⊥BC∴∵D为的中点∴在与中∴∴∴∵∴∴是等边三角形；（2）解：由（1）知，是等边三角形∴∴∵∴连接，则∴∴∵∴∵∴∴∴CG=2。

13.3.1 第1课时等腰三角形的性质一．选择题（共8小题）1．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（）A． 3.5 B． 4.2 C． 5.8 D．7第1题第2题第3题2．如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D．若ED=5，则CE的长为（）A．10 B．8 C． 5 D． 2.53．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，以点B为圆心，适当长为半径画弧，与∠ABC的两边相交于点E，F，分别以点E和点F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线BM，交AC于点D．若△BDC的面积为10，∠ABC=2∠A，则△ABC的面积为（）A．25 B．30 C．35 D．404．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，斜边AB的长为2cm，则AC长为（）A．4cm B．2cm C．1cm D．m5．如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，则BD与AB的关系是（）A．BD=AB B．BD=AB C．BD=AB D．BD=AB第5题第6题第7题第8题6．如图是屋架设计图的一部分，立柱BC垂直于横梁AC，AB=10m，∠A=30°，则立柱BC的长度是（）A．5m B．8m C．10m D．20m7．如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（）A．6米 B．9米C．12米 D．15米8．如图，已知∠ABC=60°，DA是BC的垂直平分线，BE平分∠ABD交AD于点E，连接CE．则下列结论：①BE=AE；②BD=AE；③AE=2DE；④S△ABE=S△CBE，其中正确的结论是（）A．①②③B．①②④ C．①③④ D．②③④二．填空题（共10小题）9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是_________．10．如图，∠AO E=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=1，则EF=_________．11．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，AB=10，则BC的长为_________．12．如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=12cm，∠ABC=30°，底边上的高AD=_______cm．第9题第10题第11题第12题13．如图，在△ABC中，AB=BC，∠B=120°，AB的垂直平分线交AC于点D．若AC=6cm，则AD=_________cm．第13题第14题第15题第16题14．如图，在△ABC中．∠B=90°，∠BAC=30°．AB=9cm，D是BC延长线上一点．且AC=DC．则AD=_________cm．15．如图是某超市一层到二层滚梯示意图．其中AB、CD分别表示超市一层、二层滚梯口处地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长约为12米，则乘滚梯从点B到点C上升的高度h约为_________米．16．在△ABC中，已知A B=4，BC=10，∠B=30°，那么S△ABC=_________．17．如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC，DE⊥AC，若AB=12cm，则CE=______cm．18．有一轮船由东向西航行，在A处测得西偏北15°有一灯塔P．继续航行20海里后到B 处，又测得灯塔P在西偏北30°．如果轮船航向不变，则灯塔与船之间的最近距离是_________海里．三．解答题（共5小题）19．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．（1）求证：△ACD≌△AED；（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长．20．如图，在△ABC中，BA=BC，∠B=120°，AB的垂直平分线MN交AC于D，求证：AD=DC．21．如图，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=6，求AC的长．22．如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是△ABC的高，∠A=30°，AB=4，求BD长．23．如图，已知∠MAN=120°，AC平分∠MAN．B、D分别在射线AN、AM上．（1）在图（1）中，当∠ABC=∠ADC=90°时，求证：AD+AB=AC．（2）若把（1）中的条件“∠ABC=∠ADC=90°”改为∠ABC+∠ADC=180°，其他条件不变，如图（2）所示．则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．一、DABCCABC二、9、2；10、2；11、5；12、6；13、2；14、18；15、6；16、10；17、3；18、10三、19、（1）证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=ED，∠DEA=∠C=90°，∵在Rt△ACD和Rt△AED中∴Rt△ACD≌Rt△A ED（HL）；（2）解：∵DC=DE=1，DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∵∠B=30°，∴BD=2DE=2．20、解：如图，连接DB．∵MN是AB的垂直平分线，∴AD=DB，∴∠A=∠ABD，∵BA=BC，∠B=120°，∴∠A=∠C=（180°﹣120°）=30°，∴∠ABD=30°，又∵∠ABC=120°，∴∠DBC=120°﹣30°=90°，∴BD=DC，∴AD=DC．21、解：∵△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，∴∠2=∠3=30°；在Rt△BCD中，CD= BD，∠4=90°﹣30°=60°（直角三角形的两个锐角互余）；∴∠1+∠2=60°（外角定理），∴∠1=∠2=30°，∴AD=BD（等角对等边）；∴AC=AD+CD=AD；又∵AD=6，∴AC=9．22、解：∵△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，∴BC=AB=×4=2，∵CD是△A BC的高，∴∠CDA=∠ACB=90°，∠B=∠B，故∠BCD=∠A=30°，∴在Rt△BCD中，BD=BC=×2=1，∴BD=1．23、（1）证明：∵∠MAN=120°，AC平分∠MAN，∴∠DAC=∠BAC=60°∵∠ABC=∠ADC=90°，∴∠DCA=∠BCA=30°，在Rt△ACD中，∠DCA=30°，Rt△ACB中，∠BCA=30°∴AC=2AD，AC=2AB，∴AD+AB=AC；（2）解：结论AD+AB=AC成立．理由如下：在AN上截取AE=AC，连接CE，∵∠BAC=60°，∴△CAE为等边三角形，∴AC=CE，∠AEC=60°，∵∠DAC=60°，∴∠DAC=∠AEC，∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠EBC=180°，∴∠ADC=∠EBC，∴△ADC≌△EBC，∴DC=BC，DA=BE，∴AD+AB=AB+BE=AE，∴AD+AB=AC．13.3.1 第2课时等腰三角形的判定一、填空题1．如图（1），△ABC 中，AB=AC ，DE 是AB 的中垂线，△BCE 的周长为14，BC=6，则AB 的长为 。

13. 3.1 等腰三角形同步练习一．单项选择。

1.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是50°，则这个等腰三角形的底角为( )A．70°B．20° C.70°或20°D．40°或140°2.如图13 -3 -1-13，在△ABC中．AB=AC，∠BAC= 108°，∠ADB= 72°．DE：平分∠ADB，则图中等腰三角形的个数是( )A.3B.4C.5D.63.如图13 -3 -1-17，AB∥CD,AD= CD，11= 65°，则∠2的度数是( ) A．50°B．60°C．65° D.70°4.如图13 -3 -1-18，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB=AC，二CAD=20°，则∠ACE的度数是( )A.20°B.35°C.40°D.70°二、填空题5.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，点D在直线BC上，CD= CA，则∠BDA为度．6.如图13 -3 -1-14，△ABC中，AB= AC，D是AC上一点且BC= BD，若∠CBD= 46°．则∠A= °7.如图13 -3 -1-19，在△ABC中．AB=AC.点C为圆心，以CB长为半径作圆弧．交AC的延长线于点D，连接BD.若∠A= 32°，则∠CDB的大小为度．8.我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k，若k=21，则该等腰三角形的顶角为度．9.已知等腰三角形的一个外角为130°，则它的顶角的度数为.10.如图13 -3 -1- 20，△ABC中，点D在BC边上，BD=AD=AC，E为CD的中点．若∠CAE= 16°，则∠B为度．三．解答题1.如图13 -3 -1-16，在△ABC中，AB=AC，∠BAC= 36°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF，求证：(1) EF ⊥AB；(2)△ACF为等腰三角形．2.如图13 -3 -1- 21，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂是为点D，DE∥AC.求证：△BDE是等腰三角形．3.如图13-3-1-22，已知在△ABC中，AD⊥BC于点D，E是AB的中点．(1)E点一定在的垂直平分线上；(2)如果AD=16 cm，AC= 20 cm，F点在AC边上，且从A点向C点运动，速度是2 cm/s，求当运动几秒钟时，△ADF是等腰三角形．4.数学课上，张老师举了下面的例题：例1：等腰三角形ABC中，∠A=110°，求∠B的度数．（答案：35°）例2：等腰三角形ABC中，∠A= 40°，求∠B的度数．（答案：40°或70°或100°）张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：变式：等腰三角形ABC中，∠A= 80°，求∠B的度数．(1)请你解答以上的变式题；(2)解(1)后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同，如果在等腰三角形ABC中，设∠A=x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围．答案：一．1.C ①如图1．当该等腰三角形为钝角三角形时，∵一腰上的高与另一腰的夹角是50°．∴底角=21×（90°-50°）= 20°，②如图2，当该等腰三角形为锐角三角形时，∵一腰上的高与男一腰的夹角是50°，∴底角=21×[180°-（90°-50°）]=70°，故选c．2.C∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，又∠BAC=108°,∴∠C=∠B=2108180︒-︒=36°，∴∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°-36°-72°=72°=∠ADB．∴AB=BD，∴△ADB是等腰三角形，∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=108°-72°=36°=∠C．∴CD=AD，∴△ACD是等腰三角形，∵DE平分∠ADB，∴∠BDE=∠ADE=36°=∠B，∴BE=ED，∴△EBD是等腰三角形，∵∠AED=180°-72°-36°=72°=∠EAD，∴ED=AD，∴△AED是等腰三角形.∴共有5个等腰三角形．故选C．3.A∵AB∥CD,∴∠1= ∠ACD=65°,∵AD=CD．∴∠DCA=∠CAD= 65°．∴∠2的度数是180°-65°-65°= 50°.故选A．4.B ∵AD是△ABC的中线，AB=AC,∠CAD=20°,∴∠CAB=2∠CAD= 40°，∠B=∠ACB=21(180°-∠CAB)= 70°.∵CE是△ABC的角平分线，∴∠ACE = 1.ACB= 35°．故选B．二．1.答案55或35解析①如图①，当点D在CB的延长线上时，∵AB=AC．∠BAC= 40°．∴∠ABC= ∠C=70°,∵CA= CD，∠C= 70°．∴∠D= ∠CAD= 55°．②如图2，当点D在BC的延长线上时，∵AB =AC, ∠BAC = 40°,∴∠ABC= ∠ACB= 70°,∵CA= CD, ∠ACB=70°, ∠ACB= ∠D+∠CAD,∴∠D=21×70°=35°,故答案为55或35.2.答案46解析∵BC=BD．∠C8D=46°，∴∠c=∠BDC=21×（180°-46°）=67°，∵AB=AC．∴∠ABC= ∠C=67°,∴∠A= 46°,故答案为46.3.答案37解析∵AB=AC,∠A=32°,∴∠ABC= ∠ACB=74°,又∵BC=DC,∴∠CDB=∠CBD=21∠ACB=37°，故答案为37.4.答案36解析∵△ABC中,AB =AC,∴∠B=∠C．∵等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角的“特征值”，记作k，若k=21，则∠A：∠B=1:2，所以5∠A= 180°,∴∠A= 36°，故答案为36.5.答案50°或80°解析由等腰三角形的一个外角为130°知一个内角为50°当50°为顶角时，其他两角都为65°、65°，当50°为底角时，他两角为50°、80°，所以等腰三角形的顶角力50°或80°．故案为50°或80°.6.答案37解析∵AD=AC，点E是CD的中点，∴AE⊥CD,∴∠AEC= 90°,∴∠C=90°-∠CAE=74°,∵AD=AC．∴∠ADC= ∠C=74°,∵AD=BD,∴2∠B-∠ADC=74°,∴∠B=37°．故答案为37.三．1.证明(1)∵AB=AC,∠BAC=36°,∴∠ABC=72°,又∵BD是∠ABC的平分线'∴∠ABD= 36°，∴∠BAD= ∠ABD,∴AD=BD．又∵E是AB的中点，∴DE⊥AB,即EF⊥AB.(2)∵EF⊥AB,AE=BE,∴FE垂直平分AB,∴AF=BF,∴∠BAF= ∠ABF,又∵∠ABD=∠BAD,∴∠FAD= ∠FBD=36°,又∵∠ACB=72°,∴∠AFC= ∠ACB-∠CAF=36°,∴∠_CAF= ∠AFC=36°,∴AC=CF．即△ACF为等腰三角形．2.证明如图，∵DE∥AC，∴∠1= ∠3.∵AD平分∠BAC,∴∠1= ∠2，∴∠2= ∠3.∵AD⊥BD，∴∠2+∠B= 90°, ∠3+∠BDE= 90°,∴∠B= ∠BDE，∴BE=DE，∴△BDE是等腰三角形．3.解析(1)∵AD⊥BC，∴∠ADB= 90°,∵E是AB的中点，∴AE=DE=BE，鹳AE=DE，BE =DE，AE =BE，∴E点一定在AD或BD或AB的垂直平分线上，故填AD或BD或AB.(2)当FA=AD=16 cm时，t=2FA=8 s，当FA= FD时，∠FAD= ∠ADF，又∵∠FAD+∠C= ∠ADF+∠FDC=90°,∴∠C= ∠FDC．∴FD =FC，∴FA=FC=21AC=10cm,∴t=2FA=5 s,当DF=AD时，点F不存在．综上所述，当点F运动5s或8s时，△ADF是等腰三角形．4.解析(1)若∠A为顶角，则∠B=（180°-∠A）÷2=50°；若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B=180°-2×80°= 20°；若∠A为底角，∠B为底角，则∠B= 80°，故∠B= 50°或20°或80°．(2)分两种情况：①当90≤x<180时，∠A只能为顶角，∴∠B的度数只有一个：②当0<x<90时，若∠A为顶角，则∠B=）（2x180-︒；若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B=( 180-2x)°；若∠A为底角，∠B为底角，则∠B=x°，当2180x-≠180- 2x且180- 2x≠x且2180x-≠x，即x≠60时，∠B有三个不同的度数．综上所述，当O<x<90且x≠60时，∠B有三个不同的度数．。

人教版八年级数学上册13.3 等腰三角形课时训练一、选择题1. 以下列各组数据为边长，可以构成等腰三角形的是()A．1，1，2 B．1，1，3C．2，2，1 D．2，2，52. 如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB，垂足为D，则AD 与BD的长度之比为()A．2∶1 B．3∶1 C．4∶1 D．5∶13. 如图，在等腰三角形中，若∠1＝110°，则∠2的度数为()A．35°B．70°C．110°D．35°或55°4. 如图，已知直线l垂直平分线段AB，P是l上一点，已知P A＝1，则PB()A．等于1 B．小于1C．大于1 D．最小为15. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，P是BC边上的动点，则AP的长可能是()A．2 B．5.2 C．7.8 D．86. 具备下列条件的三角形为等腰三角形的是链接听P27例1归纳总结() A．有两个角分别为20°，120°B．有两个角分别为40°，80°C．有两个角分别为30°，60°D．有两个角分别为50°，80°7. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是()A．20°B．35°C．40°D．70°8. 如图，AC＝AD，BC＝BD，则有()A．CD垂直平分ABB．AB垂直平分CDC．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACB9. 下列条件不能得到等边三角形的是()A．有两个内角是60°的三角形B．有一个角是60°的等腰三角形C．腰和底相等的等腰三角形D．有两个角相等的等腰三角形10. 如图，在△ABC中，∠BAC＝72°，∠C＝36°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，则图中有等腰三角形()A．0个B．1个C．2个D．3个二、填空题11. 如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC＝12，∠A＝30°，则△ABC的面积等于________．12. 等腰三角形的两边长分别为6 cm，13 cm，其周长为________ cm.13. 如图，在△ABC中，AB＝AC，E为BC的中点，BD⊥AC，垂足为D.若∠EAD ＝20°，则∠ABD＝________°.14. 如图所示，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC ＝4，则PD＝________.15. 如图所示，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=5 cm，△ABD的周长为18 cm，则△ABC的周长为.三、解答题16. 如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.求证：DF＝2DC.17. 如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠BAC的平分线分别交BC，CD于点E，F.求证：△CEF是等腰三角形．18. 如图，上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，从A，B望灯塔C，测得∠NAC＝30°，∠NBC＝60°.(1)求海岛B到灯塔C的距离；(2)这条船继续向正北方向航行，在什么时间小船与灯塔C的距离最短？19. 已知:如图所示，锐角三角形ABC 的两条高BD ，CE 相交于点O ，且OB=OC.(1)求证:△ABC 是等腰三角形;(2)判断点O 是否在∠BAC 的平分线上，并说明理由.20. 如图①，在△ABC 中，AB ＝AC ，P 为底边BC 上一点，PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，CH ⊥AB ，垂足分别为E ，F ，H .易证PE ＋PF ＝CH .证明过程如下： 连接AP .∵PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，CH ⊥AB ，∴S △ABP ＝12AB ·PE ，S △ACP ＝12AC ·PF ，S △ABC ＝12AB ·CH . 又∵S △ABP ＋S △ACP ＝S △ABC ， ∴12AB ·PE ＋12AC ·PF ＝12AB ·CH . ∵AB ＝AC ，∴PE ＋PF ＝CH .如图②，若P 为BC 延长线上的点，其他条件不变，PE ，PF ，CH 之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．人教版八年级数学上册13.3 等腰三角形课时训练-答案一、选择题1. 【答案】C2. 【答案】B[解析] ∵在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB，∴2BD＝BC，2BC＝AB.∴AB＝4BD.∴AD∶BD＝3∶1.3. 【答案】A4. 【答案】A5. 【答案】B[解析] 根据垂线段最短，可知AP的长不能小于3.∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，∴AB＝6.∴AP的长不能大于6.6. 【答案】D7. 【答案】B8. 【答案】B9. 【答案】D[解析] 有两个内角是60°的三角形，有一个角是60°的等腰三角形，腰和底相等的等腰三角形均可以得到等边三角形，而有两个角相等的等腰三角形不能得到等边三角形．10. 【答案】D[解析] ∵∠BAC＝72°，∠C＝36°，∴∠ABC＝72°.∴∠BAC＝∠ABC.∴CA＝CB.∴△ABC是等腰三角形．∵∠BAC的平分线AD交BC于点D，∴∠DAB＝∠CAD＝36°.∴△ACD 是等腰三角形．∵∠ADB ＝∠CAD ＋∠C ＝72°，∴∠ADB ＝∠B.∴AD ＝AB. ∴△ADB 是等腰三角形．二、填空题11. 【答案】36[解析] 过点B 作BD ⊥AC 于点D.∵∠A ＝30°，AB ＝12，∴在Rt △ABD 中，BD ＝12AB ＝12×12＝6. ∴S △ABC ＝12AC·BD ＝12×12×6＝36.12. 【答案】32[解析] 由题意知，应分两种情况：(1)当腰长为6 cm 时，三角形的三边长为6 cm ，6 cm ，13 cm ，6＋6＜13，不能构成三角形；(2)当腰长为13 cm 时，三角形的三边长为6 cm ，13 cm ，13 cm ，能构成三角形，周长＝2×13＋6＝32(cm)．13. 【答案】50[解析] ∵AB ＝AC ，E 为BC 的中点，∴∠BAE ＝∠EAD ＝20°.∴∠BAD ＝40°，又∵BD ⊥AC ，∴∠ABD ＝90°－∠BAD ＝90°－40°＝50°.14. 【答案】2[解析] 过点P 作PE ⊥OB 于点E.∵∠AOP ＝∠BOP ，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ， ∴PE ＝PD.∵∠BOP ＝∠AOP ＝15°，∴∠AOB ＝30°. ∵PC ∥OA ，∴∠BCP ＝∠AOB ＝30°. ∴在Rt △PCE 中，PE ＝12PC ＝12×4＝2. ∴PD ＝PE ＝2.故答案是2.15. 【答案】28 cm三、解答题16. 【答案】证明：∵△ABC 是等边三角形，∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°，∠DEC＝∠A＝60°.∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°.∴∠F＝90°－∠EDC＝30°.∵∠ACB＝∠EDC＝∠DEC＝60°，∴△EDC是等边三角形．∴DE＝DC.∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，∴DF＝2DE＝2DC.17. 【答案】证明：∵∠ACB＝90°，∴∠B＋∠BAC＝90°.∵CD⊥AB，∴∠CAD＋∠ACD＝90°.∴∠ACD＝∠B.∵AE是∠BAC的平分线，∴∠CAE＝∠EAB.∵∠EAB＋∠B＝∠CEF，∠CAE＋∠ACD＝∠CFE，∴∠CFE＝∠CEF. ∴CF＝CE.∴△CEF是等腰三角形．18. 【答案】解：(1)∵∠NBC＝60°，∠NAC＝30°，∴∠ACB＝30°.∴AB＝BC.∵AB＝15×2＝30(海里)，∴BC＝30 海里，即从海岛B到灯塔C的距离为30海里．(2)过点C作CP⊥AB于点P，则线段CP的长为小船与灯塔C的最短距离．∵∠NBC＝60°，∠BPC＝90°，∴∠PCB＝90°－60°＝30°.∴PB＝12BC＝15海里．∵15÷15＝1(时)，∴这条船继续向正北方向航行，在上午11时小船与灯塔C 的距离最短．19. 【答案】解:(1)证明:∵OB=OC ， ∴∠OBC=∠OCB.∵锐角三角形ABC 的两条高BD ，CE 相交于点O ， ∴∠BEC=∠CDB=90°.∵∠BEC+∠BCE+∠ABC=∠CDB+∠DBC+∠ACB=180°， ∴180°-∠BEC-∠BCE=180°-∠CDB-∠DBC ， ∴∠ABC=∠ACB ，∴AB=AC ，∴△ABC 是等腰三角形. (2)点O 在∠BAC 的平分线上.理由:连接AO 并延长交BC 于点F .在△AOB 和△AOC 中，∴△AOB ≌△AOC (SSS)，∴∠BAF=∠CAF ， ∴点O 在∠BAC 的平分线上.20. 【答案】解：PE ＝PF ＋CH.证明如下： 连接AP.∵PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，CH ⊥AB ，∴S △ABP ＝12AB·PE ，S △ACP ＝12AC·PF ，S △ABC ＝12AB·CH.∵S △ABP ＝S △ACP ＋S △ABC ， ∴12AB·PE ＝12AC·PF ＋12AB·CH. ∵AB ＝AC ，∴PE ＝PF ＋CH.。

人教版八年级数学上册《13.3.1等腰三角形的性质》同步测试题及答案一、单项选择题。

1．已知一个等腰三角形的一个底角为30°，则它的顶角等于( )A．130° B．120° C．115° D．110°2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，CD∥AB，则∠BCD等于( )A．50° B．60° C．70° D．75°3．如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝46°，CD⊥AB于点D，则∠DCB等于( )A．20° B．23° C．25° D．30°4．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边的中点．下列结论中不正确的是( )A．∠B＝∠C B．AD平分∠BAC C．AD⊥BC D．AB＝2BD5．如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠ACE 的度数是( )A．20° B．35° C．40° D．70°6．若等腰三角形ABC中有一个内角为40°，则这个等腰三角形的一个底角的度数为( )A．40° B．100° C．40°或100° D．40°或70°7．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，BF＝10cm，则DE等于( )A．5cm B．7cm C．9cm D．12cm8．如图，已知∠AOB＝10°，且OC＝CD＝DE＝EF＝FG＝GH，则∠BGH＝( )A．50° B．60° C．70° D．80°二、填空题。

9．已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB＝AD＝DC，∠C＝35°，则∠BAD＝_____．10．如图，AB∥CD，AD＝CD，∠1＝65°，则∠2＝_____．11．如图，以△ABC的顶点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC边于点D，连接AD.若∠B ＝40°，∠C＝36°，则∠DAC的大小为_____．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若AB＝6，CD＝4，则△ABC的周长是____．13．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D＝____．14．如图，在△ABC中，AD＝BD＝BC，若∠ABD＝36°，则∠DBC＝________．15．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC且BD＝4，AB＝6，则CD＝____，△ABC 的周长为____．16．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，连接BD.若∠DBC＝30°，则∠A＝____．17．如图，在△ABC中，DE垂直平分AB，垂足为D，交BC于点E，若∠B＝32°，AC＝CE，则∠C的度数是________．18．等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别为______________．三、解答题。

13.3等腰三角形13．3.1 等腰三角形第1课时等腰三角形的性质[学生用书P53]1．等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是( )A．80°B．80°或20°C．80°或50°D．20°2．[2015·黄石]如图13-3-6，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD ⊥AC，∠ABC＝72°，则∠ABD＝( )图13-3-6A．36°B．54°C．18°D．64°3．[2016·枣庄]如图13-3-7，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D等于( )图13-3-7A．15°B．17.5°C．20°D．22.5°4．[2016·黄石]如图13-3-8所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A＝50°，则∠BDC＝( )图13-3=-8A．50°B．100°C．120°D．130°5．如图13-3-9，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在BC上，连接AD，AE.如果只添加一个条件使∠DAB＝∠EAC，则添加的条件不能为( )图13-3-9A．BD＝CE B．AD＝AEC．DA＝DE D．BE＝CD6．[2015·成都]如图13-3-10，直线m∥n，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，则∠1 ＝__ __．图13-3-107．[2016·绵阳]如图13-3-11，AC∥BD，AB与CD相交于点O，若AO＝AC，∠A＝48°，则∠D＝__ _．图13-3-118．如图13-3-12，△ABC中，AB＝AC，∠B＝36°，点D是BC边上一点，CD＝AC，求∠1与∠2的度数．图13-3-129．[2015·北京]如图13-3-13，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E.求证：∠CBE＝∠BAD.图13-3-1310．[2016·天门]如图13-3-14，在△ABC中，AB＝AC，AD 是角平分线，点E在AD上，请写出图中所有全等的三角形，并选择其中的一对全等三角形加以证明．图13-3-1411．如图13-3-15，AB＝AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE 与CD相交于点O.图13-3-15(1)求证：AD＝AE；(2)连接OA，BC，试判断直线OA，BC的位置关系并说明理由．参考答案【知识管理】1．两条边腰底边顶角底角2．相等重合【归类探究】例155°，55°或70°，40°例2∠BAC＝108°例3∠DBC＝30°【当堂测评】1．D 2.B 3.C 4.110° 5.20【分层作业】1．B 2.B 3.A 4.B 5.C 6.45°7.66°8．∠1＝72°，∠2＝36°9.略10．△ABE≌△ACE，△EBD≌△ECD，△ABD≌△ACD，证明略．11．(1)略(2)直线OA与BC互相垂直，理由略．。

人教版数学八年级上册第十三章13.3.1 等腰三角形同步练习2一、选择题1. 已知一个等腰三角形的顶角为30°，则它的一个底角等于( )A．30°B．75°C．150°D．125°【答案】B2. 如图的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两格点，若点C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数有( )A．6个B．7个C．8个D．9个【答案】C3. 在如图所示的三角形中，若AB＝AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是( )A．(1)(2)(3) B．(1)(2)(4)C．(2)(3)(4)D．(1)(3)(4)【答案】D4. △ABC中，△A△△B△△C＝1△2△3，则BC△AB等于( )A．2△1 B．1△2C．1△3 D．2△3【答案】B5. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的高，CE是AB边上的高，它们相交于点O，则图中除△ABC外一定是等腰三角形的是( )A．△ABD B．△ACE C．△OBC D．△OCD 【答案】C6. 如图，△ABC是等边三角形，AD是角平分线，△ADE是等边三角形，下列结论：△AD△BC；△EF＝FD；△BE＝BD，其中正确结论的个数为( )A．3 B．2 C．1 D．0【答案】A7. 如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD和△BCE是等边三角形，连接AE，交BD于P，连接CD，分别交BE，AE于Q，M，连接BM，PQ，则△AMD的度数为( )A．45° B．60° C．75° D．90°【答案】B8. (呼伦贝尔中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，过点A作AD△BC，若△1＝70°，则△BAC的大小为( )A．40° B．30° C．70° D．50°【答案】A二、填空题1. 在△ABC中，如果△A△△B△△C＝3△2△3，那么△ABC是三角形．【答案】等腰2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD△BC，垂足为点D，若△BAC＝70°，则△BAD＝________．【答案】35°3. 如图，在△ABC中，AD△BC于D，请你再添加一个条件，就可以确定△ABC是等腰三角形，你添加的条件是．【答案】BD＝CD或△BAD＝△CAD4. 如图所示，射线BA、CA交于点A，连接BC，已知AB＝AC，△B＝40°，那么x的值是________．【答案】.805.如图，在△ABC中，BD△AC，△A＝50°，△CBD＝25°，若AC＝5 cm，则AB＝_ cm．【答案】56.如图，在△ABC中，BP平分△CBA，AP平分△CAB，且DE△AB，若CB＝12，AC＝18，则△CDE的周长是．【答案】307. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，DE△AC，垂足为E，△BAC ＝50°，则△ADE= ．【答案】65°。

八年级上册数学《第十三章13.3等腰三角形》课后练习一、单选题1．若等腰三角形的周长为18cm，其中一边长为4cm，则该等腰三角形的底边长为（）A．10B．7或10C．4D．7或42．已知等腰三角形的周长为10，一边长为4，则此等腰三角形的腰长为()A．2B．3C．4D．3或43．等腰三角形的腰长为5cm,底边长为6cm,则该三角形的面积是（）A．163B．24cm2C．323D．12cm24．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG平分∠DAC．给出下列结论：①∠BAD=∠C；②∠AEF=∠AFE；③∠EBC=∠C；④AG⊥EF．正确结论有（）A．4个B．3个C．2个D．1个5．如图，△ABC的周长为32，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC=12，则PQ的长为（）A．2B．3C．4D．56．如图，在∆ABC中，AB、BC的垂直平分线相交于三角形内一点O，下列结论中错误的是（）A．点O在AC的垂直平分线上B．∆AOB、∆BOC、∆COA都是等腰三角形C．∠OAB+∠OBC+∠OCA=900D．点O到AB、BC、CA的距离相等7．在等腰三角形中，两个内角的比为4:1，则顶角为（）A．360B．200C．360或1440D．200或1200二、填空题8．已知等腰三角形的底角是30°，腰长为23，则它的周长是_____．9．定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A=80︒，则它的特征值k=__________．10．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A＝_____度．三、解答题11．如图，P、Q△是ABC边上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC的度数.12．如图，在边长为l的正方形ABCD中，E是边CD的中点，点P是边AD上一点（与点A、D不重合），射线PE与BC的延长线交于点Q．（1）求证：∆PDE≅∆QCE；F且（2）过点E作EF∥BC交PB于点F，连结AF，当PB=PQ时，①求证：四边形AFEP是平行四边形；②请判断四边形AFEP是否为菱形，并说明理由．13．如图，图1中ΔABC是等边三角形，DE是中位线，是线段BC延长线上一点，CF=AE，连接BE，EF.图1图2(1)求证：BE=EF；(2)若将DE从中位线的位置向上平移，使点D、E分别在线段AB、AC上(点E与点A不重合)，其他条件不变，如图2，则(1)题中的结论是否成立？若成立,请证明；若不成立.请说明理由.14．如图，△ABC和△ADC都是边长相等的等边三角形，点E、F同时分别从点B、A出发，各自沿BA、AD方向运动到点A、D停止，运动的速度相同，连接EC、FC．（1）在点E、F运动过程中∠ECF的大小是否随之变化？请说明理由；（2）在点E、F运动过程中，以点A、E、C、F为顶点的四边形的面积变化了吗？请说明理由；（3）连接EF，在图中找出和∠ACE相等的所有角，并说明理由．15．如图，平行四边形ABCD中，AE、DE分别平分∠BAD、∠ADC，E点在BC上．，（1）求证：BC＝2AB；（2）若AB＝3cm，∠B＝60°一动点F以1cm/s的速度从A点出发，沿线段AD运动，CF交DE于G，当CF∥AE时：①求点F的运动时间t的值；②求线段AG的长度．16．如图，等边三角形ABC的边长是10cm，求：（1）高AD的长（2）S△ABC（结果保留根号）17．如图，在△ABC中,AB=AC,P为BC边上任意一点,PF⊥AB于F,PE⊥AC于E,若AC边上的高BD=a.(1)试说明PE＋PF=a;(2)若点P在BC的延长线上,其它条件不变,上述结论还成立吗?如果成立请说明理由;如果不成立,请重新给出一个关于PE,PF,a的关系式,不需要说明理由.18．已知:如图,BD是等边△ABC一边上的高,延长BC至E,使CE=CD.(1)试比较BD与DE的大小关系,并说明理由;(2)若将BD△改为ABC的角平分线或中线,能否得出同样的结论?19．（1）操作发现：如图①，点D是等边△ABC的边AB上一动点（点D与点B不重合），连接CD，以CD为边在CD上方作等边△CDE，连接AE，则AE与BD有怎样的数量关系？说明理由．（2）类比猜想：如图②，若点D是等边△ABC的边BA延长线上一动点，连接CD，以CD 为边在CD上方作等边△CDE，连接AE，请直接写出AE与BD满足的数量关系，不必说明理由；（3）深入探究：如图③，点D是等边△ABC的边AB上一动点（点D与点B不重合），连接CD，以CD为边分别在CD上方、下方作等边△CDE和等边△CDF，连接AE，BF则AE，BF与AB有怎样的数量关系？说明理由．20．如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O.(1)结合图形，请你写出你认为正确的结论；(2)过O作EF∥BC交AB于E，交AC于F.请你写出图中所有等腰三角形，并探究EF、BE、FC之间的关系；(3)若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？若有，请写出所有的等腰三角形，若没有，请说明理由；线段EF、BE、FC之间，上面探究的结论是否还成立？②当AP=5答案1．C2．D3．D4．B5．C6．D7．D8．6+439．8或51410．3611．∠BAC=105°.12．解：（1）Q四边形ABCD是正方形，∴∠D=∠ECQ=90︒，Q E是CD的中点，∴DE=CE，又Q∠DEP=∠CEQ，∴∆PDE≅∆QCE(ASA)；（2）①Q PB=PQ，∴∠PBQ=∠Q，∵AD∥BC，∴∠APB=∠PBQ=∠Q=∠EPD，Q∆PDE≅∆QCE，∴PE=OE，Q EF∥BQ，∴PF=BF，∴在Rt∆P AB中，AF=PF=BF，∴∠APF=∠PAF，∴∠PAF=∠EPD，∴PE∥AF，Q EF∥BQ∥AD，∴四边形AFEP是平行四边形；8时，四边形AFEP是菱形．设AP=x，则PD=1-x，若四边形AFEP是菱形，则PE=P A=x，Rt ∆PDE 中，由 PD 2 + DE 2 = PE 2 得 (1- x)2 + ⎪ 2 = x 2 ，Q CD = 1，E 是 CD 中点， ∴ DE = 1 2，在 ⎛ 1 ⎫ ⎝ 2 ⎭解得 x = 5 8， 5 即当 AP = 时，四边形 AFEP 是菱形． 813．解(1)证明：∵ΔABC 是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB= 60o ，AB=BC=AC∵DE 是中位线，∴E 是 AC 的中点，∴BE 平分∠ABC ，AE=EC∴∠EBC= 1 2 ∠ABC= 30 o∵AE=CF ，∴CE=CF ，∴∠CEF=∠F∵∠CEF+∠F=∠ACB= 60o ，∴∠F= 30 o ，∴∠EBC=∠F ，∴BE=EF(2)结论仍然成立.∵DE 是由中位线平移所得；∴DE//BC ，∴∠ADE=∠ABC= 60o ，∠AED=∠ACB= 60o ，∴ΔADE 是等边三角形，∴DE=AD=AE ，∵AB=AC ，∴BD=CE ，∵AE=CF，∴DE=CF∵∠BDE=180o-∠ADE=120o，∠FCE=180o-∠ACB=120o，∴∠FCE=∠EDB，∴ΔBDE≌ΔECF，∴BE=EF14．解：（1）∠ECF不变为60°．理由如下：∵△ABC△和ADC都是边长相等的等边三角形，∴BC=AC=CD，∠B=∠DAC=60°，又∵E、F两点运动时间、速度相等，∴BE=AF，∴△BCE≌△ACF（SAS），∴∠ECB=∠FCA．所以∠ECF=∠FCA+∠ACE=∠ECB+∠ACE=∠BCA=60°；（2）不变化．理由如下：∵四边形AECF的面积=△AFC的面积+△AEC的面积，△BCE≌△ACF，∴△AEC的面积+△BEC的面积△=ABC的面积；（3）证明：由（1）知CE=CF，∠ECF=60°，∴△CEF为等边三角形，∵∠FCD+∠DFC=120°，∠AFE+∠DFC=120°，∴∠ECF-∠ACF=∠ACD-∠ACF，即∠AFE=∠FCD，所以∠ACE=∠FCD=∠AFE．15．解（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，同理：CE＝CD，∴BE＝CE＝AB，∴BC＝BE+CD＝2AB；（2）①由（1）知，CE＝CD＝AB，∵AB＝3cm，∴CE＝3cm，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，∴AF＝CE＝3cm，∴点F的运动时间t＝3÷1＝3（秒）；②由（1）知AB＝BE，∵∠B＝60°，∴△ABE是等边三角形，∴∠AEB＝60°，AE＝AB＝3cm，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B+∠BCD＝180°，∵∠B＝60°，∴∠BCD＝120°，∵AE∥CF，∴∠ECF＝∠AEB＝60°，∴∠DCF＝∠BCD﹣∠ECF＝60°＝∠ECF，由（1）知，CE＝CD＝AB＝3cm，∴CF⊥DE，在△Rt CGE中，∠CEG＝90°﹣∠ECF＝30°，CG＝1BC•AD=⨯10cm⨯53cm=253cm2∴1∴∠CGE＝90°，3CE＝，22∴EG＝3CG＝33，2∵∠AEB＝60°，∠CEG＝30°，∴∠AEG＝90°，在△Rt AEG中，AE＝3，根据勾股定理得，AG＝AE2+EG2= 16．解∵等边三角形三线合一的性质，∴D为BC中点，BD=DC=5cm，∵AD⊥BC，∴AD=AB2-BD2=53cm，372．∴△ABC的面积为S=11 2217．解（1）如图，连接AP，则S△ABC =S△ABP+S△ACP，11AC•BD=AB•PF+AC•PE，222∵AB=AC，∴BD=PE+PF=a；（2）PF-PE=a，理由如下：连接AP，则S△ABC=S△ABP△-S ACP，∴111AC•BD=AB•PF-AC•PE，222∵AB=AC，∴BD=PF-PE=a．18．解（1）BD=DE，理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴BA=BC，∠ABC=∠ACB=60°，又∵BD是AC边上的高，∴∠1=∠2=12∠ABC=30°，∵CE=CD，∴∠CDE=∠CED，又∵∠ACB=∠CDE+∠CED=60°，∴∠CDE=∠CED=30°，∴∠2=∠CED，∴BD=DE；（2）若将BD△改为ABC的角平分线或中线，能得出同样的结论．道理同（1），由于等腰三角形存在三线合一定理．19．解：（1）AE＝BD，理由如下：，，∵△ABC 和△DCE 都是等边三角形，∴AC ＝BC ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°∴∠ACB ﹣∠ACD ＝∠DCE ﹣∠ACD ，即∠BCD ＝∠ACE ，在△BCD 和△ACE 中，AC BC∠BCD ∠ACE ， CD CE∴△BCD ≌△ACE （SAS ），∴AE ＝BD ；（2）AE ＝BD ．理由如下：∵△ABC 和△DCE 都是等边三角形，∴AC ＝BC ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°∴∠ACB +∠ACD ＝∠DCE + ∠ACD ，即∠BCD ＝∠ACE ，在△BCD 和△ACE 中，AC BC∠BCD ∠ACE ， CD CE∴△BCD ≌△ACE （SAS ），∴AE ＝BD ；（3）AE +BF ＝AB ．证明如下：由（1）知，△BCD ≌△ACE （SAS ），∴BD ＝AE ，同理可证，△BCF ≌△DCA （SAS ），∴BF ＝AD ，∴AB ＝AD +BD ＝AE +BF ．20．解（1）结论：∠ABO= ∠CBO= ∠ACO= ∠BCO ，理由如下：∵AB=AC ，∴∠ABC= ∠ACB ．∵OB 平分∠ABC ，OC 平分∠ACB ，∴∠ABO=∠CBO=∠ACO=∠BCO．（2）等腰三角形有：△ABC△、AEF△，BEO△，COF△，BOC；EF、BE、FC之间的关系EF=BE+CF，理由如下：由（1）可得，△ABC△、BOC是等腰三角形；∵EF∥BC，∴∠ABC=∠AEF，∠AFE=∠ACB,∵∠ABC=∠ACB，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF,即AEF是等腰三角形；△∵BO平分∠ABC，∴∠EBO=∠OBC；∵EF∥BC，∴∠OBC=∠EOB，∴∠EBO=∠EOB；∴EO=BE，∴△BEO是等腰三角形；同理可得OF=FC，∴△COF是等腰三角形；∴EO+OF=BE+FC，即EF=BE+CF．（3）图中的等腰三角形有：△BEO△，COF；结论仍然成立，理由如下：∵BO平分∠ABC，∴∠EBO=∠OBC；∵EF∥BC，∴∠OBC=∠EOB，∴∠EBO=∠EOB；∴EO=BE，∴△BEO是等腰三角形；同理可得OF=FC，∴△COF是等腰三角形；∴EO+OF=BE+FC，即EF=BE+CF．。

13．3等腰三角形13．3.1等腰三角形第1课时等腰三角形的性质知识点1等边对等角1．若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为()A．40° B．50° C．60° D．70°2．如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD＝CE.若∠ABC＝30°，则∠D为() A．85°B．75°C．60°D．30°3．如图1是一把园林剪刀，把它抽象为图2，其中OA＝OB.若剪刀张开的角为30°，则∠A ＝．4．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BD，AD＝CD，求∠CAD的度数．5．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC内一点，且BD＝DC.求证：∠ABD＝∠ACD.知识点2等腰三角形“三线合一”6．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是() A．∠B＝∠CB．AD⊥BCC．AD平分∠BACD．AB＝2BD7．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D.若BD＝2 cm，则CD＝cm.第7题图第8题图8．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为．9．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E.求证：∠CBE ＝∠BAD.10．已知等腰三角形的一个外角为130°，则它的顶角的度数为．11．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，∠A＝50°，则∠DBC的度数为．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD 的度数为()A．30° B．45°C．50°D．75°第12题图第13题图13．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在BC边上，在线段AC的延长线上取点D，使得CD＝CE，连接DE，CF是△CDE的中线．若∠FCE＝52°，则∠A的度数为() A．38° B．34°C．32° D．28°14．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝110°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，则∠ABD＝．第14题图第15题图15．如图，在△ABC中，点D在BC边上，BD＝AD＝AC，E为CD的中点．若∠CAE＝16°，则∠B＝．16．如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，BD＝CE.求证：AD＝AE.17．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点，直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G.求证：AE＝CG.第2课时等腰三角形的判定知识点1等角对等边1．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝5，则AC的长为()A．2B．3C．4D．52．在△ABC中，∠A和∠B的度数如下，能判定△ABC是等腰三角形的是() A．∠A＝50°，∠B＝70°B．∠A＝70°，∠B＝40°C．∠A＝30°，∠B＝90°D．∠A＝80°，∠B＝60°3．如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，则△COD 等腰三角形．(填“是”或“不是”)第3题图第4题图4．如图，在△ABC中，BD⊥AC，∠A＝50°，∠CBD＝25°，若AC＝5 cm，则AB＝．5．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC 于点F.求证：△ABC是等腰三角形．6．如图，△ABC的边AB的延长线上有一个点D，过点D作DF⊥AC于F，交BC于E，且BD＝BE，求证：△ABC为等腰三角形．知识点2用尺规作等腰三角形7．已知等腰三角形的底边长为a，顶角的平分线长为b，求作这个等腰三角形．8．如图，已知点P是射线ON上一动点(即P可在射线ON上运动)，∠AON＝45°，当∠A ＝时，△AOP为等腰三角形．9．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝40°，D，E是BC上的两点，且∠ADE＝∠AED＝80°，则图中共有等腰三角形()A．6个B．5个C．4个D．3个第9题图第10题图10．如图，在△ABC中，BP平分∠CBA，AP平分∠CAB，且DE∥AB，若CB＝12，AC ＝18，则△CDE的周长是．11．如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为D，DE∥AC.求证：△BDE是等腰三角形．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，CD是∠ACD的平分线，交AB于点D，过点A作AE∥BC，交CD的延长线于点E.(1)求∠ADC的度数；(2)求证：AE＝AC；(3)试问△ADE是等腰三角形吗？请说明理由．13．如图，OA平分∠BAC，∠1＝∠2.求证：△ABC是等腰三角形．参考答案第1课时 等腰三角形的性质1．D 2．B 3．75°．4．解：∵△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝BD ，AD ＝CD ，∴∠BAD ＝∠ADB ＝45°，∠DCA ＝∠CAD. ∴∠BDA ＝2∠CAD ＝45°. ∴∠CAD ＝22.5°. 5．证明：∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB. ∵BD ＝CD ，∴∠DBC ＝∠DCB.∴∠ABC －∠DBC ＝∠ACB －∠DCB ， 即∠ABD ＝∠ACD. 6．D 7．2 8．55°．9．证明：∵AB ＝AC ，∴∠ABD ＝∠C.又∵AD 是BC 边上的中线， ∴AD ⊥BC.∵BE ⊥AC ，∴∠BEC ＝∠ADB ＝90°. ∴∠C ＋∠CBE ＝∠ABD ＋∠BAD ＝90°. ∴∠CBE ＝∠BAD. 10．50°或80°． 11．25°． 12．B 13．D 14．35°． 15．37°．16．证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C.在△ABD 和△ACE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠B ＝∠C ，BD ＝CE ，∴△ABD ≌△ACE(SAS )． ∴AD ＝AE.17．证明：∵点D 是AB 中点，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，∴CD ⊥AB ，∠ACD ＝∠BCD ＝45°，∠CAD ＝∠CBD ＝45°. ∴∠CAE ＝∠BCG. 又∵BF ⊥CE ，∴∠CBG ＋∠BCF ＝90°. 又∵∠ACE ＋∠BCF ＝90°， ∴∠ACE ＝∠CBG.在△AEC 和△CGB 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠CAE ＝∠BCG ，AC ＝CB ，∠ACE ＝∠CBG ， ∴△AEC ≌△CGB(ASA )． ∴AE ＝CG.第2课时 等腰三角形的判定1．D 2．B 3．是4．5__cm ．5．证明：∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，∴DE ＝DF.∵点D 是BC 的中点， ∴BD ＝CD.在Rt △BDE 和Rt △CDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝CD ，DE ＝DF ， ∴Rt △BDE ≌Rt △CDF(HL )． ∴∠B ＝∠C.∴AB ＝AC ，即△ABC 为等腰三角形． 6．证明：∵DF ⊥AC ，∴∠DFA ＝∠EFC ＝90°. ∴∠A ＝∠EFC －∠D ， ∠C ＝∠DFA －∠CEF. ∵BD ＝BE ， ∴∠BED ＝∠D. ∵∠BED ＝∠CEF ， ∴∠D ＝∠CEF. ∴∠A ＝∠C.∴△ABC 为等腰三角形． 7．解：①作线段AB ＝a ；②作线段AB 的垂直平分线MN ，与AB 交于点D ； ③以点D 为圆心，b 为半径画弧，交MN 于点C ； ④连接AC ，BC ，则△ABC 就是所求作的三角形． 8．45°或67.5°或90° 9．C 10．30．11．证明：∵DE ∥AC ，∴∠CAD ＝∠ADE.∵AD 平分∠BAC ， ∴∠CAD ＝∠DAE. ∴∠ADE ＝∠DAE. ∵AD ⊥BD ，∴∠DAE ＋∠B ＝90°， ∠ADE ＋∠BDE ＝90°. ∴∠B ＝∠BDE.∴BE ＝DE ，即△BDE 是等腰三角形． 12．解：(1)∵AB ＝AC ，∠BAC ＝36°，∴∠B ＝∠ACB ＝12(180°－∠BAC )＝72°.∵CD 是∠ACB 的平分线， ∴∠DCB ＝12∠ACB ＝36°.∴∠ADC ＝∠B ＋∠DCB ＝72°＋36°＝108°. (2)证明：∵CD 是∠ACB 的平分线， ∴∠BCE ＝∠ACE. ∵AE ∥BC ， ∴∠BCE ＝∠E. ∴∠ACE ＝∠E. ∴AE ＝AC.(3)△ADE 是等腰三角形． 理由：∵AE ∥BC ， ∴∠EAB ＝∠B ＝72°.∵∠B ＝72°，∠DCB ＝36°，∴∠ADE ＝∠BDC ＝180°－72°－36°＝72°. ∴∠EAD ＝∠ADE. ∴AE ＝DE.∴△ADE 是等腰三角形． 13．证明：过点O 作OD ⊥AB 于点D ，OE ⊥AC 于点E ，则△BOD 和△COE 都是直角三角形．∵OA 平分∠BAC ，OD ⊥AB ，OE ⊥AC ， ∴OD ＝OE. ∵∠1＝∠2， ∴OB ＝OC.∴Rt △BOD ≌Rt △COE(HL )． ∴∠ABO ＝∠ACO.又∵∠1＝∠2，∴∠ABC＝∠ACB.∴AB＝AC.∴△ABC是等腰三角形．。

八年级数学上册《第十三章 等腰三角形》同步练习题附答案-人教版学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．）1．下列说法错误的是（ ）A ．等腰三角形两腰上的高相等B ．等腰三角形两腰上的中线相等C ．等腰三角形两底角的平分线相等D ．等腰三角形高、中线和角平分线重合2．等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为40°，则顶角的度数为（ ）A ．40°B ．80°C ．100°D ．80°或100°3．如图，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高，将△BCD 沿CD 折叠，B 点恰好落在AB 的中点E 处，则∠A 等于（ ）A ．25°B ．30°C ．45°D ．60°4．如图，BM 是△ABC 的角平分线，D 是BC 边上的一点，连接AD ，使AD=DC ，且∠BAD=120°，则∠AMB=（ ）A ．30°B ．25°C ．22.5°D ．20°5．如图， ABC ∆ 中， AB=7 ， AC=8 ， BD 、 CD 分别平分 ABC ∠ 、 ACB ∠ 过点 D 作直线平行于 BC ，交 AB 、 AC 于 E 、 F ，则 AEF ∆ 的周长为（ ）A ．9B ．11C ．15D ．186．如图，在ABC 中，分别以点A ，C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧交于点P ，Q ，作直线PQ 交AB 于点D ，连接CD .若3595A B ∠=︒∠=︒，，则BCD ∠的度数为（ ）A ．10︒B ．15︒C ．20︒D ．25︒7．如图所示，已知在等边三角形ABC 中，点D ，E 分别是BC ，AC 上的点，且AE ＝CD ，连接AD ，BE 交于点P ，过点B 作BQ ⊥AD ，Q 为垂足，PQ ＝2，则BP 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．68．如图，△ABD 与△AEC 都是等边三角形，AB ≠AC ，下列结论中，正确的个数是（ ） ①BE ＝CD ；②∠BOD ＝60°；③∠BDO ＝∠CEO ；④若∠BAC ＝90°，且DA ∥BC ，则BC ⊥CE ．A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分．）9．一个三角形有两条边相等，周长为18cm ，三角形的一边长为4cm ，则其他两边长分别为 cm ， cm ．10．如图，在等腰△ABC 中，AB=AC ，AD 为△ABC 的中线，∠B=72°，则∠DAC= °．11．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BE 平分∠ABC ，ED ⊥AB 于D ．如果∠A ＝30°，AE ＝6，那么CE ＝ ．12．如图，点E 在线段AC 上AB CD ，AE=CD ，AB=CE ，若40A ∠=︒，50DBE ∠=︒则CED ∠的度数为 ．13．如图，在ABC 中，内角BAC ∠与外角CBE ∠的平分线相交于点P ，BE=BC ，PB 与CE 交于点H ，PG AD 交BC 于点F ，交AB 于点G ，连接CP ．下列结论：①2ACB APB ∠∠=；②PAC PAB S S AC AB =：：；③BP 垂直平分CE ；④∠PCF =∠CPF ．其中，正确的结论有 ．（填序号）三、解答题：（本题共5题，共45分）14．如图，△ABC 为等边三角形，D 、E 分别是BC 、AC 上的一点，且BD=CE ，AD 和BE 交于点P ，求∠APE 的度数．15．已知：△ABC 中，∠B 、∠C 的角平分线相交于点D ，过D 作EF ∥BC 交AB 于点E ，交AC 于点F ，求证：BE+CF=EF ．16．如图，ABC 中=45ABC ∠︒，D 为BC 上一点60ADC ∠=︒，AE BC ⊥于点E ，CF AD ⊥于点F ，AE 、CF 相交于点G（1）求ACF ∠的度数；（2）求证：12DF AG =．17．如图，已知ABC 中B E 40∠∠==︒，BAE 60∠=︒且AD 平分BAE ∠．（1）求证：BD =DE ；（2）若AB AC =，求CAD ∠的度数．18．已知，如图，ABC 是等边三角形AE CD =，BQ AD ⊥于Q ，BE 交AD 于点P ，求证：（1）BE AD =；（2）2BP PQ =参考答案：1．D 2．B 3．B 4．A 5．C 6．B 7．B 8．C9．7；710．1811．312．2013．①②③④14．解：∵BD=CE又∵AB=AC ，∠BCE=∠ABD∴△BAD ≌△CBE ，则∠BAD=∠CBE∵∠APE=∠ABP+∠BAD∴∠APE=∠ABP+∠CBE=∠ABC∴∠APE=∠ABC=60°15．证明：∵BD 平分∠ABC∴∠EBD=∠DBC∵EF ∥BC∴∠EDB=∠DBC∴∠EDB=∠EBD∴DE=BE同理CF=DF∴EF=DE+DF=BE+CF即BE+CF=EF16．（1）解：60ADC ∠=︒ AE BC ⊥30DAE ∴∠=︒15CAE ∠=︒45CAF CAE DAE ∴∠=∠+∠=︒CF AD ⊥9045ACF CAF ∴∠=︒-∠=︒．（2）证明：45CAF ACF ∠=∠=︒AF CF ∴=AE BC CF AD ⊥⊥，90AFG CFD ∴∠=∠=︒ 90FAG ADC FCD ADC ∠+∠=∠+∠=︒ FAG FCD ∴∠=∠在FAG 和FCD 中90AFG CFD AF CFFAG FCD ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ASA FAG FCD ∴≅FG DF ∴=在Rt FAG 中CF AD ⊥ 30FAG ∠=︒12FG AG ∴=12DF AG ∴=． 17．（1）证明：AD 平分BAE ∠BAD EAD 30∠∠∴==︒AD AD =B E 40∠∠==︒ ABD ∴≌()AED ASABD ED ∴=（2）解；ADE ADB 180B BAD 110∠∠∠∠==︒--=︒ ADC 70∠=︒EDC 1107040∠∴=︒-︒=︒．EDC E ∠∠∴=．FD FE ∴=．DFE 1804040100∠=︒-︒-︒=︒AFC 100∠∴=︒CAD 100EAD 1003070∠∠∴=︒-=︒-︒=︒18．（1）证明：ABC 是等边三角形AB AC ∴= 60BAC C ∠=∠=︒在BAE 与ACD 中AB AC BAC C AE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS BAE ACD ∴≌BE AD ∴=；（2）证明：由（1）得BAE ACD ≌ABE CAD ∴∠=∠60BAP CAD BAC ∠+∠=∠=︒60ABP BAP ∴∠+∠=︒60BPQ ABP BAP ∴∠=∠+∠=︒BQ AD ⊥90BQP ∴∠=︒30PBQ ∴∠=︒2BP PQ ∴=。

人教版八年级数学上册13.3 等腰三角形同步训练一、选择题1. 如图，等腰三角形的对称轴是()A．直线l1B．直线l2C．直线l3D．直线l42. 如图，AC＝AD，BC＝BD，则有()A．CD垂直平分ABB．AB垂直平分CDC．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACB3. 已知等腰三角形的一个角等于42°，则它的底角为()A．42°B．69°C．69°或84°D．42°或69°4. 已知实数x、y满足|x－4|＋y－8＝0，则以x、y的值为两边长的等腰三角形的周长是()A. 20或16B. 20C. 16D. 以上答案均不对5. 如图，AD是△ABC的中线，下列条件中不能推出△ABC是等腰三角形的是()A．∠BAD＋∠B＝∠CAD＋∠C B．AB－BD＝AC－CDC．AB＋BD＝AC＋CD D．AD＝BC6. 如图，∠AOB＝50°，OM平分∠AOB，MA⊥OA于点A，MB⊥OB于点B，则∠MAB等于()A．50°B．40°C．25°7. 如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC.若AB＝10，BD＝6，则△ADE的周长为()A．4 B．12 C．18 D．308. 如图，在五边形ABCDE中，AB＝AC＝AD＝AE，且AB∥ED，∠EAB＝120°，则∠BCD的度数为()A．150°B．160°C．130°D．60°9. 如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点. 已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形．．．．．，那么符合题意的点C的个数是()A. 6B. 7C. 8D. 910. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在点O相连并可绕点O转动，点C固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是()A．60°B．65°C．75°D．80°二、填空题11. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AC上一点，且BC＝BD.若∠CBD＝46°，则∠A＝________°.12. 如图，直线a∥b，△ABC的顶点C在直线b上，边AB与直线b相交于点D.若△BCD是等边三角形，∠A＝20°，则∠1＝________．13. 一个等腰三角形的一边长是2，一个外角是120°，则它的周长是________．14. 如图所示，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=5 cm，△ABD的周长为18 cm，则△ABC的周长为.15. 如图，BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，MN过点O且MN∥BC，设AB＝12，AC＝18，则△AMN的周长为________．16. 如图，在△ABC中，若AB＝AC＝8，∠A＝30°，则S△ABC＝________．三、解答题17. 如图，在△ABC中，AB＝BD，根据图中的数据，求∠BAC的度数．18. 如图，在△ABC中，O是边AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交△ABC的外角平分线于点F.探究线段OE与OF的数量关系，并说明理由．19. 如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠BAC的平分线分别交BC，CD于点E，F.求证：△CEF是等腰三角形．人教版八年级数学上册13.3 等腰三角形同步训练-答案一、选择题1. 【答案】A2. 【答案】B3. 【答案】D[解析] 在等腰三角形中，当一个锐角在未指明为顶角还是底角时，一定要分类讨论．①42°的角为等腰三角形的底角；②42°的角为等腰三角形的顶角，则底角为(180°－42°)÷2＝69°.所以底角为42°或69°.4. 【答案】B【解析】∵|x－4|＋y－8＝0，∴x－4＝0，y－8＝0，解得x＝4，y＝8.分两种情况讨论：①当4为腰时，根据三角形三边关系知4＋4＝8，∴这样的等腰三角形不存在；②当8为腰时，则有4＋8>8，这样能够组成等腰三角形，∴此三角形的周长是8＋8＋4＝20.5. 【答案】D[解析] 由∠BAD＋∠B＝∠CAD＋∠C可得∠ADB＝∠ADC，又∠ADB＋∠ADC＝180°，所以∠ADB＝∠ADC＝90°，又BD＝DC，由垂直平分线的性质可得AB ＝AC.由等式的性质，根据AB －BD ＝AC －CD ，AB ＋BD ＝AC ＋CD ，又BD ＝CD ，均可得AB ＝AC.选项D 不能得到AB ＝AC.6. 【答案】C[解析] ∵OM 平分∠AOB ，MA ⊥OA 于点A ，MB ⊥OB 于点B ，∴∠AOM ＝∠BOM ＝25°，MA ＝MB.∴∠OMA ＝∠OMB ＝65°.∴∠AMB ＝130°.∴∠MAB ＝12×(180°－130°)＝25°.故选C.7. 【答案】B[解析] ∵△ABC 为等边三角形，∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°.∵DE ∥BC ，∴∠ADE ＝∠B ＝60°，∠AED ＝∠C ＝60°.∴△ADE 为等边三角形．∵AB ＝10，BD ＝6，∴AD ＝AB －BD ＝10－6＝4.∴△ADE 的周长为4×3＝12.8. 【答案】A[解析] ∵AB ∥ED ，∴∠E ＝180°－∠EAB ＝180°－120°＝60°. 又∵AD ＝AE ，∴△ADE 是等边三角形．∴∠EAD ＝60°.∴∠BAD ＝∠EAB －∠EAD ＝120°－60°＝60°.∵AB ＝AC ＝AD ，∴∠B ＝∠ACB ，∠ACD ＝∠ADC.在四边形ABCD 中，∠BCD ＝∠B ＋∠ADC ＝12(360°－∠BAD)＝12×(360°－60°)＝150°. 故选A. 9. 【答案】C10. 【答案】D[解析] ∵OC ＝CD ＝DE ，∴∠O ＝∠ODC ，∠DCE ＝∠DEC. ∴∠DCE ＝∠O ＋∠ODC ＝2∠ODC. ∵∠O ＋∠OED ＝3∠ODC ＝∠BDE ＝75°， ∴∠ODC ＝25°.∵∠CDE ＋∠ODC ＝180°－∠BDE ＝105°， ∴∠CDE ＝105°－∠ODC ＝80°.二、填空题11. 【答案】46[解析] ∵BC＝BD，∠CBD＝46°，∴∠C＝∠BDC＝12(180°－46°)＝67°.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝67°.∴∠A＝46°.12. 【答案】40°[解析] 如图．∵△BCD是等边三角形，∴∠BDC＝60°.∵a∥b，∴∠2＝∠BDC＝60°.由三角形的外角性质和对顶角的性质可知，∠1＝∠2－∠A＝40°.13. 【答案】6[解析] 已知三角形的一外角为120°，则相邻内角度数为60°，那么含有60°角的等腰三角形是等边三角形．已知等边三角形的一边长为2，则其周长为6.14. 【答案】28 cm15. 【答案】30[解析] ∵MN∥BC，∴∠MOB＝∠OBC.∵∠OBM＝∠OBC，∴∠MOB＝∠OBM.∴MO＝MB.同理NO＝NC.∴△AMN的周长＝AM＋MO＋AN＋NO＝AM＋MB＋AN＋NC＝AB＋AC＝30.16. 【答案】16[解析] 如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D，则△ADC是含30°角的直角三角形，那么DC＝12AC＝4，∴S△ABC＝12AB·DC＝12×8×4＝16.三、解答题17. 【答案】解：∵∠ADB＝30°＋40°＝70°，AB＝BD，∴∠BAD＝∠ADB＝70°.∴∠BAC＝∠BAD＋∠CAD＝100°.18. 【答案】解：OE＝OF.理由：∵MN∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠DCF.∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠DCF.∴∠OEC＝∠OCE，∠OFC＝∠OCF.∴OE＝OC，OC＝OF.∴OE＝OF.19. 【答案】证明：∵∠ACB＝90°，∴∠B＋∠BAC＝90°.∵CD⊥AB，∴∠CAD＋∠ACD＝90°.∴∠ACD＝∠B.∵AE是∠BAC的平分线，∴∠CAE＝∠EAB.∵∠EAB＋∠B＝∠CEF，∠CAE＋∠ACD＝∠CFE，∴∠CFE＝∠CEF. ∴CF＝CE.∴△CEF是等腰三角形．。

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！《13．3．1等腰三角形》课时练一、单选题1．有下列说法：①等腰三角形的腰相等；②等腰三角形的两底角相等，③等腰三角形的中线、高线和角平分线互相重合；④等腰三角形两底角的平分线相等；⑤等腰三角形的腰一定大于腰上的高线其中正确的有（）个A ．1B ．2C ．3D ．42．如果一个三角形的外角平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是（）A ．等腰直角三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．锐角三角形3．如图，已知,ABC AB AC =，以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交腰AC 于点E ，则下列结论一定正确的是（）A ．BC EC =B ．AE BE =C ．EBC BAC Ð=ÐD ．EBC ABE Ð=Ð4．如图，ABC 中，BA BC =，DE 是边AB 的垂直平分线，分别交BC 、AB 于点D 、E ，连接AD ，若AD 恰好为BAC Ð的平分线，则B Ð的度数是（）A ．60°B ．45°C ．36°D ．30°5．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝CB ，F 为AB 延长线一点，点E 在BC 上，且AE ＝CF ，∠CAE ＝30°，则∠ACF 的度数是（）A ．75°B ．60°C ．55°D ．45°6．如图，ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，BF ⊥AC 于点F ，DE ＝2，则BF 的长为（）A ．4B ．3C ．5D ．67．在ABC 中，AB BC =，两个完全一样的三角尺按如图所示摆放．它们一组较短的直角边分别在AB ，BC 上，另一组较长的对应边的顶点重合于点P ，BP 交边AC 于点D ，则下列结论错误的是（）A ．BP 平分ABC ÐB ．AD DC =C ．BD 垂直平分AC D ．2AB AD=8．如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段AB 的端点在格点上，若画以AB 为边的等腰三角形ABC ，使得点C 在格点上，则点C 的个数是（）A ．3B ．4C ．5D ．89．如图，在ABC 中，36B C Ð=Ð=°，D ，E 是边BC 上的两点，且有72ADE AED Ð=Ð=°，则图中等腰三角形的个数是（）A ．2B ．6C ．5D ．710．如图，在ABC 中，BO 平分ABC Ð，CO 平分ACB Ð，EF 经过点O 且//EF BC ，若7AB =，8AC =，9BC =，则AEF 的周长是（）A ．15B ．16C ．17D ．2411．如图，在Rt ABC △中，90BAC °Ð=，AD BC ^于点D ，AE 平分BAD Ð交BC 于点E ，则下列结论一定成立的是（）A ．AC AE =B ．EC AE =C ．BE AE =D ．AC EC=12．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，BE 与CD 相交于点O ，如果已知∠ABC =∠ACB ，补充下列一个条件后，仍无法判定△ABE ≌△ACD 的是（）A ．AD ＝AEB ．BE ＝CDC ．OB ＝OCD ．∠BDC ＝∠CEB 13．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是高，BE 是中线，CF 是角平分线，CF 交AD 于点G ，交BE 于点H ，下面说法：①△ABE 的面积＝△BCE 的面积；②∠AFG ＝∠AGF ；③∠F AG ＝2∠ACF ；④BH ＝CH ．其中正确的是（）A ．①②③④B ．①②③C ．②④D ．①③14．如图，在△ABC 中，∠CAB 的平分线AD 与BC 的垂直平分线DE 交于点D ，DM ⊥AB 于点M ，DN ⊥AC 交AC 的延长线于点N ，连接BD 、CD ．以下结论：①BM ＝CN ；②∠DBC＝∠DAN ；③∠BAC +∠BDC ＝180°；④点D 到△ABC 各顶点的距离相等．正确的是（）A ．①②④B ．②③④C ．①②③D ．①③④15．如图，在4×4的正方形网格中，记∠ABF ＝a ，∠FCH ＝b ，∠DGE ＝g ，则（）A ．b ＜a ＜gB ．b ≤g ＜aC ．a ＜g ＜bD ．a ＜b ＜g二、填空题16．一个等腰三角形的底角是顶角的2倍，则顶角的大小是____．17．如图，ABC 中，8cm AB BC ==，将ABC 沿BC 平移3cm 得到DEF ，AC 与DE 相交于点G ，则GE 的长为________cm ．18．如图，∠ABC 的平分线BF 与△ABC 中∠ACB 的相邻外角∠ACG 的平分线CF 相交于点F ，过F 作DF ∥BC ，交AB 于D ，交AC 于E ，若BD ＝7cm ，DE ＝3cm ，求CE 的长为______cm ．19．如图，ABC DEC ≌△△，60DCE Ð=°，100ACE Ð=°，点D 恰好落在线段AB 上，则A Ð的度数为________度．20．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＜∠B ，点D 为AB 边上一点且不与A 、B 重合，将△ACD 沿CD 翻折得到△ECD ，直线CE 与直线AB 相交于点F ．若∠A ＝40°，当△DEF 为等腰三角形时，∠ACD ＝__________________．三、解答题21．一个三角形的两边b ＝2，c ＝7．（1）当各边均为整数时，有几个三角形？（2）若此三角形是等腰三角形，则其周长是多少？22．如图，DE ∥BC ，CG ＝GB ，∠1＝∠2，求证：△DGE 是等腰三角形．23．如图，在ABC 中，2AB AC ==，50B Ð=°，点D 是边BC 上一点，2CD =，作50ADE Ð=°，D 交边AC 于点E ．求证：BD CE =．24．如图，在等腰△ABC 中，BA ＝BC ，点F 在AB 边上，延长CF 交AD 于点E ，BD ＝BE ，∠ABC ＝∠DBE ．（1）求证：AD ＝CE ；（2）若∠ABC ＝30°，∠AFC ＝45°，求∠EAC 的度数．25．已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于D，AE⊥BD 于F，交BC于E．求证：（1）AB＝BE；∠ABC；（2）∠CAE＝12（3）AD＝CE；（4）CD＋CE＝AB．参考答案1．C2．B3．C4．C5．B6．A7．D8．D9．B 10．A11．D12．B13．B14．C15．A16．36°17．518．419．7020．30°或15°或60°21．（1）a=6或7或8，有三个三角形；（2）周长为16．解：（1）设第三边长为a，则5＜a＜9由于三角形的各边均为整数，则a=6或7或8，因此有三个三角形；（2）当a=7时，有a=7=c，由2+7>7,所以周长为7+7+2=16;当a=2时，有a=2=c，由2+2<7,故不能构成三角形，综上其周长只能为16 22．见详解解：连接AG，∵DE∥BC，∴∠ABC＝∠1，∠ACB＝∠2．又∵∠1＝∠2，∴∠ABC＝∠ACB．∴AB=AC，又∵G为BC中点，∴AG⊥BC．∴AG ⊥DE∵∠1＝∠2，∴AD =AE ，∴AG 垂直平分DE ，∴DG ＝GE ．∴△DGE 是等腰三角形．23．证明见解析证明：∵AB AC =，50B Ð=°，∴50C B Ð=Ð=°，∵2CD =，∴CD AB AC ==，∴65DAC ADC Ð=Ð=°，∵ADC B BAD ADE CDE Ð=Ð+Ð=Ð+Ð，50ADE Ð=°，∴BAD CDE Ð=Ð，在BAD 和CDE △中，BAD CDE AB CDB C Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴BAD ≌CDE △，∴BD CE =．24．（1）证明见解析；（2）90°解：（1）∵∠ABC ＝∠DBE ，∴ABC ABE DBE ABE Ð+Ð=Ð+Ð，即ABD CBE Ð=Ð，在ABD △和CBE △中，BA BC ABD CBE BD BE =ìïÐ=Ðíï=î，∴ABD △≌CBE △，∴AD ＝CE ；（2）∵∠ABC ＝30°，∠AFC ＝45°，∴15BCF Ð=°，∵ABD △≌CBE △，∴15EAB Ð=°∵BA ＝BC ，∴75BAC BCA Ð=Ð=°，∴90EAC EAB BAC Ð=Ð+Ð=°．25．（1）见详解；（2）见详解；（3）见详解；（4）见详解证明：（1）∵BD 平分∠ABC ，AE ⊥BD ，∴∠ABF ＝∠EBF ，∠AFB ＝∠EFB ＝90°，在△ABF 和△EBF 中，ABF EBF BF BFAFB EFB Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴△ABF ≌△EBF （ASA ），∴AB ＝BE ；（2）∵∠BAC ＝90°，∴∠CAE ＋∠BAF ＝90°，而∠BAF ＋∠ABF ＝90°，∴∠CAE ＝∠ABF ＝12∠ABC ；（3）连接DE，在△ABD 和△EBD 中∵AB BE ABF EBF BD BD ìïÐÐíïî＝＝＝，∴△ABD ≌△EBD （SAS ），∴AD＝DE，∠DEC＝∠BAC＝90°，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠C＝45°，∴CE＝DE，∴AD＝CE；（4）由（3）可得AD＝CE，∴CD＋CE=CD＋AD＝AC＝AB．。

第十三章轴对称 13.3 等腰三角形 13.3.1 等腰三角形的性质1. 等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角形的底角的大小是( ) A．65°或50° B．80°或40°C．65°或80° D．50°或80°2. 等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是( )A．30°，60° B．45°，45°C．45°，90° D．20°，70°3. 如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作AD∥BC，若∠1=70°，则∠BAC的大小为( )A．40° B．30° C．70° D．50°4. 如图，等腰三角形ABC中，AB=AC,BD平分∠ABC, ∠A=36°, 则∠1的度数为( )A．36° B．60° C．72° D．108°5. 等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长是( )A．30 B．20 C．18 D．126. 等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为____ __.7. 等腰三角形一个角为36°,它的另外两个角为____________________.8. 等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为_ ___ __.9. 在△ABC中， AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交得的锐角为50°，则底角的大小为___________．10. 如图，AB＝AC，若∠B＝35°，则x的值为____.11．如图，AB∥CD，AB＝AC，∠ABC＝70°，则∠ACD＝____.12．如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，∠ABC＝72°，则∠ABD＝____.13．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为____.14. 判断正(√;X)(1) 等腰三角形的顶角一定是锐角. ( )(2) 等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、钝角都可以. ( )(3) 钝角三角形不可能是等腰三角形. ( )(4) 等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边. ( )(5) 等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合. ( )(6) 等腰三角形底边上的中线一定平分顶角. ( )15. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数.16. 如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数.17. 如图，△ABC中，D是BC上一点，AC＝AD＝DB，∠BAC＝102°，求∠ADC的度数．18. 已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC.(1)如图①，若AD＝AE，求证：BD＝CE；(2)如图②，若BD＝CE，F为DE的中点，求证：AF⊥BC.答案：1---5 ABACD6. 75°, 30°7. 72°,72°或36°,108°8. 30°，30°9. 70°或20°10. 70°11. 40°12. 54°13. 55°14. (1) X(2) X(3) X(4) √(5) X(6) √15. 解：∵AB=AC，BD=BC=AD，∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD.设∠A=x,则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x,从而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x,于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180 ° ，解得x=36 ° ，在△ABC中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.16. 解：∵AB=AD=DC ∴ ∠B= ∠ADB，∠C= ∠DAC设∠C=x，则∠DAC=x，∠B= ∠ADB= ∠C+ ∠DAC=2x，在△ABC中，根据三角形内角和定理，得2x+x+26°+x=180°，解得x=38.5°.∴ ∠C= x=38.5°，∠B=2x=77°.17. 解：设∠B＝∠BAD＝x，则∠ADC＝2x＝∠C，∴x＋2x＋102°＝180°，x＝26°，∴∠ADC＝52°.18. 证明：(1)如图①，过A作AG⊥BC于G.∵AB＝AC，AD＝AE，∴BG＝CG，DG＝EG，∴BG－DG＝CG－EG，∴BD＝CE；(2)∵BD＝CE，F为DE的中点，∴BD＋DF＝CE＋EF，∴BF＝CF.∵AB＝AC，∴AF⊥BC.。

《13．3．1等腰三角形》课时练一、选择题1．下列命题中，属于假命题的是()A．等腰三角形底边上的高是它的对称轴B．有两个角相等的三角形是等腰三角形C．等腰三角形底边上的中线平分顶角D．等边三角形的每一个内角都等于60∘2．如图，在△ABC中，∠B=∠C， AB=5，则AC的长为（）A．2B．3C．4D．53．如图：等腰直角△ABC中，若∠ACB=90∘，CD=DE=CE，则∠DAB 的度数为（）A．60∘B．30∘C．45∘D．15∘4．等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角是48∘，它的一个底角的度数是()A．48∘B．21∘或69∘C．21∘D．48∘或69∘5．已知等腰三角形的两边长分别为5㎝、2㎝，则该等腰三角形的周长是（）A．7㎝B．9㎝C．12㎝或者9㎝D．12㎝6．等腰直角三角形的底边长为5，则它的面积是()A．25B．12．5C．10D．6．25 7．如图，△ABC中，∠ABC=90∘，∠C=30∘，AD是角平分线，DE⊥AC 于E，AD、BE相交于点F，则图中的等腰三角形有（）A．2个B．3个C．4个D．5个8．一个角是60∘的等腰三角形是（）A．等腰直角三角形B．等边三角形C．直角三角形D．上述都正确9．以下关于等边三角形的判定：①三条边相等的三角形是等边三角形；②有一个角是60∘的等腰三角形是等边三角形；③有两个角为60∘的三角形是等边三角形④三个角相等的三角形是等边三角形其中正确的是（）A．只有①②③B．只有①②④C．只有①③④D．①②③④10．如图，在△ABC中，∠B=60∘，AB=9，BP=3，AP=AC，则BC 的长为（）A．8B．7C．6D．511．等腰三角形一腰上的高等于该三角形另一边长的一半．则其顶角等于（）A．30∘B．30∘或150∘C．120∘或150∘D．120∘、30∘或150∘12．等腰三角形的一个角比另一个角的2倍少20度，等腰三角形顶角的度数是()A．140∘B．20∘或80∘C．44∘或80∘D．140∘或44∘或80∘二、填空题13．等腰三角形一腰的高等于腰长的一半，则其顶角的度数为________．14．如图，△ABC是边长为8的等边三角形，点D在BC的延长线上，做DF⊥AB，垂足为F，若CD=6，则AF的长等于________．15．如图所示的图形由4个等腰直角形组成，其中直角三角形（1）的腰长为1cm，则直角三角形（4）的斜边长为________．16．如图等边三角形ABC中，AB=3，D、E是BC上的两点，AD、AE把△ABC分割成周长相等的三个三角形，则CD=________．17．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠C，∠A＝100∘，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是BC上一个动点．若△DEC是直角三角形，则∠BDE的度数是________．三、解答题18．从①∠B=∠C；②∠BAD=∠CDA；③AB=DC；④BE=CE四个等式中选出两个作为条件，证明△AED是等腰三角形（写出一种即可）．已知：________(只填序号)，求证：△AED是等腰三角形．19．如图，BD//AC，BD=BC，点E在BC上，且BE=AC．求证：D=∠ABC．20．如图所示，在矩形ABCD中，DE⊥CE，∠ADE=30∘，DE=4，求这个矩形的周长．21．如图，在△ABC中，∠ACB−∠B=90∘，∠BAC的平分线交BC于点E，∠BAC的外角∠CAD的平分线交BC的延长线于点F，试判断△AEF的形状．22．（1）如图①，△ABC是等边三角形，△ABC所在平面上有一点P，使△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，问：具有这样性质的点P有几个？在图中画出来．（2）如图②，正方形ABCD所在的平面上有一点P，使△PAB，△PBC，△PCD，△PDA都是等腰三角形，问：具有这样性质的点P有几个？在图中画出来．参考答案题号12345678910答案AD DBDDCBDC题号1112答案DD13．30∘或150∘14．115．416．−3+3331617．30∘或70∘18．证明：选择的条件是：①∠B =∠C ②∠BAD =∠CDA （或①③，①④，②③）；证明：在△BAD 和△CDA 中，∵∠B =∠C ，∠BAD =∠CDA ，AD =DA ，∴△BAD ≅△CDA(AAS)，∴∠ADB =∠DAC ，即在△AED 中∠ADE =∠DAE ，∴AE =DE ，△AED 为等腰三角形．19．证明：∵BD//AC ，∴∠EBD =∠C ，BD =BC ，BE =AC ，∴△EDB ≅ABC SAS ，∴∠D =∠ABC20．解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A=∠B=90∘，AD=BC．在Rt△ADE中，∵∠A=90∘，∠ADE=30∘，DE=4，∴AE=12DE=2，AD=3AE=23．∵DE⊥CE，∠A=90∘，∴∠BEC=∠ADE=90∘−∠AED=30∘．在Rt△BEC中，∵∠B=90∘，∠BEC=30∘，BC=AD=23，∴BE=3BC=6，∴AB=AE+BE=2+6=8，∴矩形ABCD的周长=2(AB+AD)=2(8+23)=16+43．21．解：△AEF是等腰直角三角形；理由如下：如图所示：∵AE平分∠BAC，AF平分∠CAD，∴∠EAC=12∠BAC，∠FAC=12∠CAD，∵∠BAC+∠CAD=180∘，∴∠EAC+∠FAC=12(∠BAC+∠CAD)=90∘，即∠EAF=90∘，∵∠ACB−∠B=90∘，∴∠ACB=90∘+∠B，∴∠1=90∘−∠B=∠B+∠BAC，∴∠B=12(90∘−∠BAC)，∴∠4=∠B+∠AEF，∵AE平分∠DAC，∴∠3=∠4=∠B+∠AEF，∵∠BAC+∠3+∠4=180∘，∴2(∠B+∠AEF)+∠BAC=2[12(90∘−∠BAC)+∠AEF]+∠BAC=180∘，∴∠AEF=45∘，∴∠AFE=45∘，∴△AEF是等腰直角三角形．22．【解答】（1）10个，如解图①，当点P在△ABC内部时，P是边AB．BC．CA的垂直平分线的交点：当点P在△ABC外部时，P是以三角形各顶点为圆心，边长为半径的圆与三条垂直平分线的交点每条垂直平分线上得3个交点，故具有这样性质的点P共有10个．（2）9个，如解图③．两条对角线的交点是1个，以正方形各顶点为圆心，边长为半径画圆，在正方形里面和外面的交点一共有8个，故具有这样性质的点P共有9个．。

八年级数学上册《第十三章等腰三角形》同步练习题及答案-人教版学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1. 边长为2的等边三角形的面积是( )B. √ 3C. 2D. 2√ 3A. √ 322. 已知一等腰三角形的两边长分别为6cm和13cm，则该三角形第三条边的长为( )A. 6cm或13cmB. 6cmC. 13cmD. 大于7cm，且小于19cm的任何值3. 在△ABC中，∠A和∠B的度数如下，能判定△ABC是等腰三角形的是( )A. ∠A=30°，∠B=60°B. ∠A=70°，∠B=50°C. ∠A=40°，∠B=70°D. ∠A=60°4. 如图，在△ABC中AB=AC，CE是△ACB的角平分线，若∠A=50°，则∠AEC的度数是( )A. 50°B. 65°C. 82.5°D. 97.5°5. 如图AB//CD，AB=AC，∠1=40°则∠ACE的度数为( )A. 80°B. 160°C. 120°D. 100°6. 如图，在3×3正方形网格中，点A，B在格点上，若点C也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则符合条件的点C的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 47. 如图，D是等边△ABC的边AC上的一点，E是等边△ABC外一点，若BD=CE，∠1=∠2，则对△ADE的形状最准确的是( )A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 不等边三角形8. 如图，BE⊥AC于点D，且AD=CD，BD=ED若∠ABC=54°，则∠E的度数为( )A. 25°B. 27°C. 30°D. 45°9. 如图所示，已知等腰直角三角形ABC中∠A=90∘，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD垂足为点E，若CE=2，则BD=( )A. 4B. 5C. 6D. 710. 如图，已知锐角△ABC中CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点∠A=70°则∠DME的度数为( )A. 15∘B. 30∘C. 40°D. 60∘二、填空题11. 等腰三角形的一个内角是70°，则这个等腰三角形的底角是．12. 如图，在△ABC中AB=AC，点D在BC上，BD=CD若∠BAD=20°，则∠C=______°.13. 如图，在△ABC中AB=AC，DE垂直平分AB交AC于点D，交AB于点E，若BC=4且△BDC的周长为10，则AE的长为______ ．14. 如图：在△ABC中∠C=90°，BD是△ABC的角平分线，过点D作线段DE使DE//AB交BC于点E，F为AB上一点，连接DF，EF.已知DC=5，CE=12则△DEB的面积是______ ．15. 在扇形OAB中，∠AOB=30°，扇形所在圆的半径为12，点P，N，M分别是弧AB，线段OA，OB上的动点，则△PMN周长的最小值为______ ．16. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(−2,0)，点B在y轴正半轴上，以点B为圆心，BA长为半径作弧，交x轴正半轴于点C，则点C的坐标为．17. 如图，在△ABC中AB=AC，AD⊥BD于点D，且BD=1BC若∠ABD=67∘，则∠C=．218. 已知△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D，DE//BC如图，若DE平分∠ADC，∠ABC=30°在BC 边上取点F使BF=DF，若BC=9，则DF的长为．19. 如图，在△ABC中AC=BC，∠B=38°点D是边AB上一点，点B关于直线CD的对称点为B′，当B′D//AC时，则∠BCD的度数为．20. 如图，AD，BE在AB的同侧AD=4，BE=9，AB=12，点C为AB的中点，若∠DCE=120∘则DE 的最大值是__.三、解答题21. 如图是屋架设计图的一部分，立柱BC垂直于横梁AD，AB=BD，∠ABD=120°，BC=4m，求AB 的长度．22. 如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC边于点D，AE⊥BC于点E.已知∠ABC=60°，∠C=45°．(1)求∠ADB的度数；(2)若BE=3，求EC的长度．23. 如图1，在△ABC中AB=AC，AD是△ABC的角平分线．(1)写出图中全等的三角形______ ，线段AD与线段BC的位置关系是______ ；(2)如图2，在(1)的条件下，过点B作BE⊥AC，垂足为E，交AD于点F，且AE=BE，请说明△AEF≌△BEC 的理由．24. 如图，△ABC中AB=AC，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，BD和CE相交于点O．(1)OB与OC相等吗？请说明你的理由；(2)连接AO，AO的延长线交BC于点F，试判断AF与BC的位置关系，并说明理由．25. 已知：等边三角形△ABC，BC交y轴于点D，A(−3,0)，B(1,0)，如图，若点M在CA延长线上，点N在AB延长线上，且∠CMD=∠DNA，求AN−AM的值．参考答案1、B2、C3、C4、D5、D6、C7、C8、B9、A10、C11、55°或70°12、7013、314、65215、1216、(2,0)17、67∘18、319、33°20、1921、解：∵BC⊥AC∴∠ABD=120°∵AB=BD∴∠A=30°∵BC=4∴AB=2BC=8(米)．答：AB的长度为8米．22、解：(1)∵BD平分∠ABC∴∠DBC=12∠ABC=30°∵∠ADB是△BDC的一个外角∴∠ADB=∠DBC+∠C=75°∴∠ADB的度数为75°(2)∵AE⊥BC∴∠AEB=∠AEC=90°∵∠ABC=60°∴∠BAE=90°−∠ABC=30°∴AE=√ 3BE=3√ 3∵∠C=45°∴∠EAC=90°−∠C=45°∴∠EAC=∠C=45°∴AE=EC=3√ 3∴EC的长度为3√ 3．23、△ABD≌△ACD AD⊥BC24、(1)解：OB=OC，理由如下：∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB∴∴∴OB=OC(2)解：AF⊥BC，理由如下：∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB∴点O是△ABC三条角平分线的交点∴AF平分∠BAC又∵AB=AC∴AF⊥BC．25、解：如图2在CA上截取CE=CD=2∵∠C=60∘∴△CDE是等边三角形∴∠CED=60∘DE=CD=2∴∠MED=180∘−∠CED=120∘AE=2∵∠CBA=60∘BD=2∴∠NBD=120∘BD=DE∴∠MED=∠NBD∵∠CMD=∠BND∴△MED≌△NBD(AAS)∴BN=EM∵AN−AM=AB+BN−AM ∴AN−AM=AB+EM−AM=AB+AE=4+2=6．。

13.3.1 第2课时 等腰三角形的判定一、填空题1．如图（1），△ABC 中，AB=AC ，DE 是AB 的中垂线，△BCE 的周长为14，BC=6，则AB 的长为 。

2．在△ABC 中，∠A=90°，BD 为角平分线，DE ⊥BC 于E ，且E 恰为BC 中点，则∠ABC 等于 。

3．等腰三角形的底边长为5cm ，一腰上中线把其周长分成两部分之差为3cm ，则腰长为 。

4．如果等腰三角形的顶角是它的一个底角的2倍，这个三角形按角分类应为 。

5．△ABC 中，AB=AC ，∠A+∠B=115°，则∠A= ，∠B= 。

6．等腰三角形底角的一个外角为100°，则它的顶角为 。

7．如图（2），AB ∥CD ，AC 平分∠DAB ，若∠D=136°，则∠DCA= 。

8．如图（3），在△ABC 中，∠ABC=70°，∠ACB=50°，D 、C 、B 、EABCDE图（1）DABC 图（2）ABCDE图（3）在一条直线上，且D B=AB ，CE=AC ，则∠E= ， ∠D= ，∠DAE= 。

9．如图（4），已知∠AOB=40°，OM 平分∠AOB ，MA ⊥OA 于A ，MB ⊥OB 于B ，则∠MAB 的度数为 。

10．等腰三角形的周长为24cm ，其中一边长为7cm ，则另外两条边为 。

二、解答题1．如图（5），△ABC 中，∠A=80°，BD=BE ，CD=CF ，求∠EDF 的度数。

2．如图（6），在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，D 是AB 上一点，AD=AC ，DF ⊥AB 于D ，交BC 于F 。

求证：BD=CF 。

OA B M 图（4）ABD FE图（5）ABDCF图（6）3．如图（7），△ABC 中，AB=AC ，∠A=120°，AB 的垂直平分线EF 交AB 于E ，交BC 于F 。

轴对称11.3.1 等腰三角形练习题一、选择题1、等腰三角形的对称轴是（）A．顶角的平分线 B．底边上的高C．底边上的中线 D．底边上的高所在的直线【答案】D【解析】试题分析：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线三线合一，这三条线段所在的直线是等腰三角形的对称轴.解：等腰三角形的对称轴是底边上的高所在的直线.故应选D.考点：等腰三角形2、等腰三角形的顶角是80°，则一腰上的高与底边的夹角是（）A．40° B．50° C．60° D．30°【答案】A【解析】试题分析：等腰三角形的顶角是80°，所以等腰三角形的底角是50°，根据直角三角形的两锐角互余可得：等腰三角形一腰上的高与腰的夹角是10°，所以等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是40°.解：如下图所示，∵∠A=80°，AB＝AC，∴∠ABC=∠C=50°，∵BD⊥AC，∴∠ADB=90°，∵∠A=80°，∴∠ABD=1 0°，∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=40°.考点：等腰三角形的性质3、下列说法中，正确的有 ( )①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两底角相等；③等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等；④等腰三角形是轴对称图形．A．1个B．2个 C.3个D．4个【答案】D【解析】试题分析：根据等腰三角形进行判断.解：等腰三角形的两腰相等，故①正确；等腰三角形的两底角相等，故②正确；等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等，故③正确；等腰三角形是轴对称图形，故④正确.所以四个说法都相等.故应选D.考点：等腰三角形的性质4、如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则图中全等三角形共有（）2对B、3对C、4对D、5对【答案】B【解析】试题分析：根据等腰三角形的性质可得：∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，DE=DF，BE=CF，AE=AF，再根据全等三角形的判定定理进行证明.解：如下图所示，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵点D是BC的中点，∴BD=CD，∴△ABD≌△ACD(SSS)；在Rt△BDE和Rt△CDF中，BD=CD，DE=DF，∴△BDE≌△CDF(HL)；在Rt△ADE和Rt△ADF中，AD=AD，DE=DF，∴△ADE≌△ADF(HL).考点：1.等腰三角形的性质；2.全等三角形的判定.5、如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD=3cm，则CD等于（）A．3cm B．4cm C．1.5cm D．2cmDC AB【答案】A【解析】试题分析：根据角平分线的性质可得：∠AOC=∠BOC ，因为CD ∥OB ，所以∠C=∠BOC ，所以∠AOC=∠C ，所以CD=OD=3.解：∵OC 平分∠AOB ，∴∠AOC=∠BOC ，∵CD ∥OB ，∴∠C=∠BOC ，∴∠AOC=∠C ，∴CD=OD=3.故应选A考点：1.角平分线的定义；2.平行线的性质二、填空题6、有一个内角为140°的等腰三角形的另外两个内角的度数为________.【答案】20°【解析】试题分析：根据等腰三角形的两个底角相等求解.解：∵等腰三角形的一个内角是140°，∴等腰三角形的顶角是140°，∴等腰三角形的底角是20°.故答案是20°.考点：等腰三角形的性质7、 若等腰三角形的一个角是50°，则这个等腰三角形的底角为_____________．【答案】65°或50°【解析】试题分析：根据等腰三角形的性质分50°角是等腰三角形的顶角和底角两种情况求解.解：当50°是等腰三角形的顶角时， 等腰三角形的底角是()118050652⨯︒-︒=︒， 50°也可以作为等腰三角形的底角.故答案是65°或50°.考点：等腰三角形的性质8、有一个底角为20°的等腰三角形的另外两个角的度数分别为________.【答案】20°，140°【解析】试题分析：根据等腰三角形的两个底角相等求解.解：等腰三角形的一个底角是20°，则另一个底角也是20°，等腰三角形的顶角是180°-20°-20°=140°.故答案是20°，140°考点：等腰三角形的性质9、如果△ABC 中，AB=AC ，它的两边长为2cm 和4cm ，那么它的周长为________.【答案】10cm【解析】试题分析：根据等腰三角形的两腰长相等和三角形三边关系判断等腰三角形的第三条边的长度，再根据等腰三角形的周长公式求解.解：当AB=AC=2cm 时，∵2+2=4，∴不能构成三角形；当AB=AC=4cm 时，∵4+2>4，∴等腰三角形的三边长分别是4cm 、4cm 、2cm ，∴等腰三角形的周长是10cm.故答案是10cm.考点：1.等腰三角形的性质；2.三角形三边关系10、等腰三角形“三线合一”是指___________．【答案】顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高三线合一.【解析】试题分析：根据等腰三角形的性质定理进行解答.解：等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高三线合一.故答案是顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高三线合一.考点：等腰三角形的性质11、等腰三角形的顶角是n °，则两个底角的角平分线所夹的钝角是_________． 【答案】1902n ⎛⎫+︒ ⎪⎝⎭【解析】试题分析：解：如下图所示，∵∠A=n °，∴∠ABC+∠ACB=180°-n °，∵BE 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB ，∴∠OBC+∠OCB=()11802n -︒， ∵∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，∴∠BOC=1902n ⎛⎫+︒ ⎪⎝⎭考点：1.等腰三角形的性质；2.三角形内角和定理.三、解答题12、如图，已知：在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，BD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数。

13.3.1 等腰三角形第1课时等腰三角形的性质一．选择题（共8小题）1．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个条件使∠DAB=∠EAC，则添加的条件不能为（）A． BD=CE B． A D=AE C． DA=DE D． BE=CD2．等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（）A．80° B．80°或20°C．80°或50°D．20°3．已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A． 20或16 B． 20 C． 16 D．以上答案均不对4．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，BD为∠ABC的平分线，则∠BDC的度数是（）A．60°B．70°C．75°D．80°5．已知等腰三角形的两边长分别是3和5，则该三角形的周长是（）A． 8 B． 9 C． 10或12 D． 11或136．如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°．线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE 等于（）A．80° B．70° C．60° D．50°7．在等腰△ABC中，AB=AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（）A． 7 B．11 C． 7或11 D． 7或108．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（）A．60°B．120° C．60°或150° D．60°或120°二．填空题（共10小题）9．已知等腰三角形的一个内角为80°，则另两个角的度数是_________ ．10．如图，已知AB∥CD，AB=AC，∠A BC=68°，则∠ACD=_________ ．第10题第11题第12题第13题11．如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC的外角∠DAC=130°，则∠B=_________ °．12．如图，AB∥CD，AE=AF，CE交AB于点F，∠C=110°，则∠A=________°．13．如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，AD⊥BC于D，则BD=_________ ．14．如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=32°，则∠BAC=_________°．第14题第15题第16题第17题第18题15．如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，点E是线段BC延长线上一点，连接AE，点C在AE的垂直平分线上，若DE=10cm，则AB+BD= _________ cm．16．如图，在△ABC中，AB=AC，CD平分∠ACB，∠A=36°，则∠BDC的度数为_________．17．如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC边的中点，∠BAD=20°，则∠C=_________ ．18．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=80°，E，F，P分别是AB，AC，BC边上一点，且BE=BP，CP=CF，则∠EPF=_________ 度．三．解答题（共5小题）19．已知：如图，在等腰△ABC中，AB=AC，O是底边BC上的中点，OD⊥AB于D，OE⊥A C于E．求证：AD=AE．20．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．求证：（1）△ABD≌△ACD；（2）BE=CE．21．如图所示，∠BAC=∠ABD，AC=BD，点O是AD、BC的交点，点E是AB的中点．试判断OE和AB的位置关系，并给出证明．22．如图，在△ABC中，D、E分别是AC和AB上的点，BD与CE相交于点O，给出下列四个条件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD；④OB=OC．（1）上述四个条件中，由哪两个条件可以判定AB=AC？（用序号写出所有的情形）（2）选择（1）小题中的一种情形，说明AB=AC．23．（1）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于F，过F作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．判断DE=DB+EC是否成立？为什么？（2）如图，若点F是∠ABC的平分线和外角∠ACG的平分线的交点，其他条件不变，请猜想线段DE、DB、EC之间有何数量关系？证明你的猜想．13.3.1 等腰三角形第1课时等腰三角形的性质一、CBBCDCCD二、9、50°，50°或80°，20°；10、44；11、65；12、40；13、3；14、69；15、10；16、72；17、70；18、50三、19、证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴∠ODB=∠OEC=90°．∵O是底边BC上的中点，∴OB=OC，在△OBD与△OCE中，∴△OBD≌△OCE（AAS）．∴BD=CE．∵AB=AC，∴AB﹣BD=AC﹣CE．即AD=AE．20、证明：（1）∵D是BC的中点，∴BD=CD，在△A BD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SSS）；…（4分）（2）由（1）知△ABD≌△ACD，∴∠BAD=∠CAD，即∠BAE=∠CAE，在△ABE和△ACE中，∴△ABE≌△ACE （SAS），∴BE=CE（全等三角形的对应边相等）．（其他正确证法同样给分）…（4分）21、解：OE⊥AB．证明：在△B A C和△ABD中，，∴△B AC≌△ABD（SAS）．∴∠OBA=∠OAB，∴OA=OB．又∵AE=BE，∴OE⊥AB．答：OE⊥AB．22、（1）答：有①③、①④、②③、②④共4种情形．（2）解：选择①④，证明如下：∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，又∵∠EBO=∠DCO，∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB，即∠ABC=∠ACB，∴AC=AB．②④理由是：在△BEO和△CDO中∵，∴△BEO≌△CDO，∴∠EBO=∠DCO，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，23、解：（1）成立；∵△ABC中BF、CF平分∠ABC、∠ACB，∴∠1=∠2，∠5=∠4．∵DE∥BC，∴∠2=∠3，∠4=∠6．∴∠1=∠3，∠6=∠5．根据在同一个三角形中，等角对等边的性质，可知：BD=DF，EF=CE．∴DE=DF+EF=BD+CE．故成立．（2）∵BF分∠ABC，∴∠DBF=∠FBC．∵DF∥BC，∴∠DFB=∠FBC．∴∠ABF=∠DFB，∴BD=DF．∵CF平分∠AC G，∴∠ACF=∠FCG．∵DF∥BC，∴∠DFC=∠FCG．∴∠ACF=∠DFC，∴CE=EF．∵EF+DE=DF，即DE+EC=BD．。