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习题 2.21——重要！
定义 2.5 确定性等价和风险承担成本（risk premium）
财富水平上的简单赌局 的确定性等价是一笔确定的财富
。风险承担成本是一笔确定的财富 使得
。显然，
。
使得
习题 2.25
根据推论（1）（2）（3），似乎可以用函数的凹的程度描述厌恶风险 程度。但是，这种方法有缺陷，那就是 VNM 效用函数具有正向仿 射转换不变性。相同的风险厌恶程度，可以用凹的程度不同的效用 函数表述。Arrow‐Pratt 绝对风险厌恶系数消除了这一问题。
1. 厌恶风险，如果
；
2. 风险中性，如果
；
3. 好冒风险，如果
。
如果对每个非退化简单赌局 ，此人在 上厌恶风险，我们就说此人 厌恶风险（或者说在 上厌恶风险）。同理可定义（在 上）风险中 性和好冒风险
推论：
1
(a) 厌恶风险⟺ 是严格凹函数 (b) 风险中性⟺ 是线性函数 (c) 好冒风险⟺ 是严格凸函数
由于 是严格递增函数，因此，
由于消费者在所有的 ∈ 上都厌恶风险，因此，在所有的 ∈ 上，
说明：根据定义，对所有的 ∈ ，
证毕 ⟺ 0。
7
证明：任取 ∈ 。首先证明
⟹风险厌恶。
根据定义，
；
是严格递增函数，因此，
⟹
因此，
根据定义，决策者在 上厌恶风险。由于对所有的 ∈ ，
，
因此，决策者在 上厌恶风险。
现在证明风险厌恶蕴含着对任意的 ∈ ，
。
消费者厌恶风险，因此，在每个 ∈ 上，消费者厌恶风险，根据定 义，这意味着
根据确定性等价的定义，
这意味着
就是说， 是严格递增、严格凹的函数。对任意财富水平 ，
即 是 的严格正向严格凹转换。 现在证明面对着同一赌局，系数越大的消费者，确定性等价越小。 取赌局 ≡ ∘ , … , ∘ 。设消费者 1 的确定性等价为 ， 消费者 2 的确定性等价为 。我们得到
是严格增函数，因此， 就是说，消费者 1 更加厌恶风险。
。如何证明消费者 1 更厌恶风险
呢？基本思路是： 比 更凹，或者说， 是 的正向严格凹转换，或
者说，存在一个严格递增、严格凹的函数 使得
。但是，如
何定义函数 ？假设
，即 : → 是满射。设
: →。
任取 ∈ 。因为 是满射，所以，存在 ∈ 使得
是严格增函数，因此存在反函数，因此，
定义函数 为
于是，
2
我们证明 是严格递增、严格凹的函数。（请你证明！） 0 0
1时，命题成立。对
1。
对所有的 1, … , ，定义
显然，对所有的
≡∑
。
1, … , ， 0，并且，
∑
∑ ∑
1。
由于我们假定在 时，命题成立，因此，
。
由于
而且
∑
0,
0
1
所以，
5
∑ ∑ ∑
证毕
6
2.29 利用风险厌恶、确定性等价和风险承担成本的定义，证明对所
有的 ∈ ，
（或 0）是风险厌恶的充要条件。
1
；
它带给决策者的效用为：
1
。
决策者厌恶风险，即
，
因此，
1
1
。
效用函数为严格凹函数。
现在证明当效用函数严格凹时，消费者厌恶风险。任取财富上 的赌局 ，设它为
≡ ∘ ,⋯, ∘ 。
它的期望值为
；
它实现的效用为
。
是严格凹函数，因此，
。
（这里使用了严格凹函数的一个性质——JENSEN 不等式）就是说， 。
定义 2.6 Arrow‐Pratt 绝对风险厌恶系数
Arrow‐Pratt 绝对风险厌恶系数为
但是，如何证明绝对风险厌恶系数越大的消费者，越厌恶风险呢？ 基本逻辑是面对着同一赌局，系数越大的消费者，确定性等价越小。
证明：
设消费者 1 的效用函数为 ，消费者 2 的效用函数为 。设在一切财
富水平 ∈ 上，
证毕
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习题 2.21 设赌局定义在非负财富水平上。利用正文中关于风险厌 恶的定义，证明一个人风险厌恶当且仅当他的 VNM 效用函数在 上严格凹。
证明：首先证明当决策者风险厌恶时，他的效用函数严格凹。任取 , ∈ ，将它们理解为财富水平；任取 ∈ 0,1 。我们于是得
到赌局 ≡ ∘ , 1 ∘ ，它的期望值为
后者实现的效用为
前者为赌局实现的效用，后者为赌局的期望值（确定的结果）实现 的效用。
如果这个消费者选择了后一选项，即选择了确定的一笔钱 ， 我们就说他厌恶风险。
定义 2.4 厌恶风险、风险中性和好冒风险
设赌局定义在非负财富水平上， 是一个消费者在赌局集上的 VNM
效用函数。则对简单赌局
∘ , … , ∘ ，此人在 上
3 不确定性
假定：结果集 是 的有限子集，就是说， 由有穷个非负财富水 平构成。例如，一个概率分布或赌局可以为如下形式：
结果集
⋯
⋯
效用
⋯
⋯
赌局
⋯
⋯
其中，对所有的 1, … , ， 为
0，∑
1。赌局 的期望值
它的期望效用为
设 ∙ 可微且在一切财富水平 上，
0。
想象一个消费者面对着两个选项：赌局 和确定的一笔钱 。 前者实现的效用为
就是说，消费者厌恶风险。 证毕
4
命题：严格凹函数的性质：JENSEN 不等式 设 是严格凹函数，则对任意的1 ∈ ，
，
其中，对所有的 1, … , ， 证明： 设 2， 0和 0， 根据严格凹函数的定义，
或者，换种写法
0，∑
1。
1。 是严格凹函数，因此， ，
。
设在 时，命题成立。我们证明在 所有的 1, … , , 1，设 0，
