2019届人教B版(理科数学) 曲线与方程 单元测试

1．（四川省绵阳市2018届高三第三次诊断性考试）为了解某高校高中学生的数学运算能力，从编号为0001，0002，…，2000的2000名学生中采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，并把样本编号从小到大排列，已知抽取的第一个样本编号为0003，则最后一个样本编号是A．0047 B．1663C．1960 D．1963【答案】D2．（2017-2018学年贵州省遵义市遵义四中高三第三次月考）一支田径队有男运动员40人,女运动员30人,要从全体运动员中抽取一个容量为28的样本来研究一个与性别有关的指标,则抽取的男运动员人数为A．20 B．18C．16 D．12【答案】C3．（北京师范大学附中2018届高三下学期第二次模拟）已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若它们的中位数相同，则甲组数据的平均数为A．30 B．31C．32 D．33【答案】B33，即B．4．（黑龙江省齐齐哈尔市2018届高三第二次模拟）某高校调查了320名学生每周的自习时间（单位：小时），，，，根据直方图，这320名学生中每周的自习时间不足22.5小时的人数是A．68 B．72C．76 D．80【答案】B【解析】由频率分布直方图可得，320名学生中每周的自习时间不足22.5小时的人数是B．5．（江西省景德镇市第一中学等盟校2018届高三第二次联考）已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为A BC D【答案】C【解析】根据题意有47448x⨯+==，而()22724428s⨯+-=<，故选C．6．（2018届河南省郑州市第一中学高三上学期第二次月考）为了调查民众对最新各大城市房产限购政策的了解情况,对甲、乙、丙、丁四个不同性质的单位做分层抽样调查.假设四个单位的人数有如下关系:甲、乙单位的人数之和等于丙单位的人数,甲、丁单位的人数之和等于乙、丙单位的人数之和,且丙单位有36人,若在甲、乙两个单位抽取的人数之比为1:2,A．96 B．120C ．144D ．160【答案】B7．（辽宁省丹东市2018年高三模拟（二））已知某种商品的广告费支出x （单位：万元）与销售额y （单位：万元）之间有如下对应数据：则当投入10万元广告费时，销售额的预报值为_______万元． 【答案】858．（吉林省长春市第十一高中、东北师范大学附属中学、吉林一中，重庆一中等五校2018届高三1月联合模拟）已知下列命题：①在线性回归模型中，相关指数2R 表示解释变量x 对于预报变量y 的贡献率，2R 越接近于1，表示回归效果越好；②两个变量相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1；③在回归直线方程0.52y x ∧=-+中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量y ∧平均减少0.5个单位； ④对分类变量X 与Y ，它们的随机变量2K 的观测值k 来说，k 越小，“X 与Y 有关系”的把握程度越大．其中正确命题的序号是__________． 【答案】①②③【解析】①相关指数2R 表示解释变量x 对于预报变量y 的贡献率， 2R 越接近于1，表示回归效果越好，是正确的；②两个变量相关性越强，则相关系数r 的绝对值就越接近于1，是正确的；③在回归直线方程0.52y x ∧=-+中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量y ∧平均减少0.5个单位是正确的，因为并不是所有的样本点都落在回归曲线上，故只能是估计值，所以说是平均增长；④对分类变量X 与Y ，它们的随机变量2K 的观测值k 来说，k 越小，“X 与Y 有关系”的把握程度越小，故④错误.故答案为：①②③.9．（东北三省三校（哈尔滨师范大学附属中学）2018届高三第三次模拟考试）哈师大附中高三年级统计了甲、乙两个班级一模的数学分数（满分，现有甲、乙两班本次考试数学的分数如下列茎叶图所示：（1）根据茎叶图求甲、乙两班同学成绩的中位数，并将乙班同学的成绩的频率分布直方图填充完整；（2）根据茎叶图比较在一模考试中，甲、乙两班同学数学成绩的平均水平和分数的分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（3的成绩为优秀，现从甲、乙两班成绩为优秀的同学中，按照各班成绩为优秀的同学人数占两班总的优秀人数的比例分层抽样，位同学参加数学提优培训，求这分以上的同学的概率.【答案】（1）甲班数学分数的中位数为118，乙班数学分数的中位数为128，频率分布直方图见解析；（2）见解析；（3）5 234.10．（湖南省益阳市2018届高三4月调研考试）该校组织了一次口语模拟考试.为研究这次口语考试成绩为高分是否与性别有关，，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图.的频率，，成绩高于“高分”.（1）估计该校高一年级学生在口语考试中，成绩为“高分”的人数；（20.001的前提分以上（含关？附临界值表：参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，n a b c d=+++.【答案】（1）200；（2）见解析.故估计该校高一年级学生在口语考试中，成绩为“高分”的频率为故估计该校高一年级学生在口语考试中，成绩为“高分”的人数为11．（2018届河南省中原名校高三第六次质量考评）前几年随着 购的普及,线下零售遭遇挑战,但随着新零售模式的不断出现,零售行业近几年呈现增长趋势,(单位:亿元,数据经过处理(1)由上表数据可知,,请用相关系数加以说明;(2),并预测2018年我国百货零售业的销售额;(3)4年的百货零售业销售额及2018年预测销售额这5个数据中任取2个数据,求这2个数据之差的绝对值大于200亿元的概率.参考数据:4411800, 2.236i i i i i y x y ====≈≈∑∑.参考公式:相关系数r =公式分别为()()()121ˆˆ,ˆniii ni i x x y y bay bx x x ==--==--∑∑. 【答案】0.999（22018年我国百货零售业的销售额为377.5亿元；（3所取2个数据之差的绝对值大于200亿元的结果有共3个,1．（2017新课标全国III理）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【答案】A2．（2017江苏）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取件．【答案】183．(2016新课标全国Ⅲ理 )下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图.（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； （2）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量. 附注： 参考数据：719.32ii y==∑，7140.17i i i t y ==∑0.55=2.646≈.参考公式：相关系数r =回归方程ˆˆy a bt =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：121()()()niii ni i t t y y b t t ==--=-∑∑，ˆ=.ay b t - 【答案】（1）因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系. （2）y 关于t 的回归方程为t y10.092.0ˆ+=，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.82亿吨.【解析】（1）由折线图中数据和附注中参考数据得4t =，721()28i i t t =-=∑0.55=，777111()()40.1749.32 2.89ii i i i i i i tt y y t y t y ===--=-=-⨯=∑∑∑，99.0646.2255.089.2≈⨯⨯≈r .因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系.【解题必备】判断两个变量是否线性相关以及相关程度的大小通常有两种方法： （1）利用散点图直观判断；（2）将相关数据代入相关系数公式求出r ，然后根据r 的大小进行判断．求线性回归方程时要严格按照公式求解，一定要注意计算的准确性．4．（2015新课标全国Ⅱ理 ）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79（I ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；（II ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”．假设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．【答案】（I）见解析；（II）0.48.【名师点睛】本题考查茎叶图、互斥事件和独立事件，根据茎叶图的密集程度比较平均值大小，如果密集主干部位在高位，那么平均值大；方差看它们数字偏离程度，偏离越大则方差大．读懂所求概率事件包含的含义，利用分类讨论思想将事件分解为几个互斥的情况来求概率．5．(2017新课标全国Ⅱ理)海水养殖场进行某水产品的新、旧箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个箱，测量各箱水产品的产量（单位：g）．其频率分布直方图如下：（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件：“旧养殖法的箱产量低于50 g ，新养殖法的箱产量不低于50 g”，估计A 的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99 的把握认为箱产量与养殖方法有关；（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）．附：，22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++【答案】（1）0.4092；（2）见解析；（3）52.35kg .旧养殖法的箱产量低于50kg 的频率为()0.0120.0140.0240.0340.04050.62++++⨯=， 故()P B 的估计值为0.62．新养殖法的箱产量不低于50kg 的频率为()0.0680.0460.0100.00850.66+++⨯=， 故()P C 的估计值为0.66．因此，事件A 的概率估计值为0.620.660.4092⨯=．。

2019-2020年高中数学第二章圆锥曲线与方程单元测试新人教B 版选修一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则m 等于( )A.3B.32C.83D.232已知双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，则此双曲线的( )A ．焦距为10B ．实轴与虚轴分别为8和6C ．离心率是54或53D ．离心率不确定3P 是椭圆x 29＋y 25＝1上的动点，过P 作椭圆长轴的垂线，垂足为M ，则PM 的中点的轨迹方程为( )A.4x 29＋y 25＝1B.x 29＋4y 25＝1 C.x 29＋y 220＝1 D.x 236＋y 25＝1 4与圆x 2＋y 2－4x ＝0外切，又与y 轴相切的圆的圆心的轨迹方程是( ) A ．y 2＝8xB ．y 2＝8x (x ＞0)或y ＝0(x ＜0)C ．y 2＝8x 或y ＝0D ．y 2＝8x (x ≠0)5已知点A 为双曲线x 2－y 2＝1的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右分支上，△ABC 是等边三角形，则△ABC 的面积是( )A.33 B.332C ．3 3D ．63 6双曲线的虚轴长为4，离心率e ＝62，F 1、F 2分别是它的左右焦点，若过F 1的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点，且|AB |是|AF 1|、|AF 2|的等差中项，则|BF 1|等于( )A ．8 2B ．4 2C ．2 2D ．87设A 、B ∈R ，A ≠B ，且A ·B ≠0，则方程Bx －y ＋A ＝0和方程Ax 2－By 2＝AB 在同一坐标系下的图象大致是图中的( )8设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，过点M (3，0)的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于点C ，|BF |＝2，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCFS △ACF等于( )A.45B.23C.47D.129已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标是(72，4)，则|P A |＋|PM |的最小值为( )A.72 B ．4 C.92D ．5 10双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两焦点为F 1、F 2，|F 1F 2|＝2c ，P 为双曲线上一点，PF 1⊥PF 2，则P 到实轴的距离等于( )A.b 2cB.a 2cC.b 2aD.c 2a二、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中的横线上) 11椭圆x 2＋y 22＝1的离心率为________． 12若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为5－12，则双曲线x 2b 2－y 2a 2＝1的离心率是________．13直线l ：x －y ＋1＝0和椭圆x 24＋y 23＝1相交于A ，B 两点，则弦|AB |＝________.14已知双曲线x 24－y 2＝1的虚轴的上端点为B ，过点B 引直线l 与双曲线的左支有两个不同的交点，则直线l 的斜率的取值范围是________．15以下命题：①两直线平行的充要条件是它们的斜率相等．②过点(x 0，y 0)与圆x 2＋y 2＝r 2相切的直线方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.③平面内到两定点的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆． ④抛物线上任意一点M 到焦点的距离等于点M 到其准线的距离． 其中正确命题的序号是________．三、解答题(本大题共4个小题，共40分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(9分)动点P (x ，y )到定点A (2,0)与到定直线l ：x ＝4的距离之和为6，求点P 的轨迹． 17(10分)已知双曲线的方程是x 29－y 216＝1，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及抛物线的准线方程．18(10分)设抛物线y 2＝4px (p ＞0)的准线与x 轴的交点为M ，过点M 作直线l 交抛物线于A 、B 两点．(1)求线段AB 中点的轨迹方程；(2)若线段AB 的垂直平分线交对称轴于N (x 0,0)，求证：x 0＞3p . 19(11分)已知椭圆C 1的方程x 24＋y 2＝1.(1)F 1，F 2为C 1的左右焦点，求椭圆上满足PF 1→·PF 2→＝0的点P 的轨迹方程C 2； (2)若过曲线C 2内一点P 0(－1,1)作弦AB ，当弦AB 被点P 0平分时，求直线AB 的方程； (3)双曲线C 3的左、右焦点分别为C 1的左、右顶点，而C 3的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点，若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 3恒有两个不同的交点M 和N ，且OM →·ON →＞2(其中O 为原点)．求k 的取值范围．参考答案1解析：a ＝2，c ＝2－m ，c a ＝2－m 2＝12，所以2－m ＝22.又m ＞0，所以m ＝32.所以选B.答案：B2解析：由双曲线渐近线方程y ＝±34x ，所以b a ＝43或b a ＝34.e ＝ca ＝a 2＋b 2a ＝1＋ba2＝54或53.所以选C. 答案：C3解析：用代入法，设P (x 1，y 1)，中点(x ，y )，则x 1＝x ，y 1＝2y ，代入椭圆方程即得． 答案：B4解析：设圆心(x ，y )(x ≠0)，则x －22＋y 2＝2＋|x |，化简得y 2＝4x ＋4|x |，当x ＞0时，y 2＝8x ；当x ＜0时，y ＝0.答案：B5解析：由双曲线关于x 轴对称，可知BC ⊥x 轴． 设△ABC 边长为a ，则B 点坐标(32a －1，a2)， 代入双曲线方程，得(3a 2－1)2－a 24＝1，得a ＝23或a ＝0(舍去)．所以S △ABC ＝34(23)2＝3 3. 答案：C6解析：由题意，b ＝2，a ＝22，c ＝23，由|AB |是|AF 1|、|AF 2|的等差中项及双曲线的定义得|BF 1|＝a . 答案：C 7解析：方程Ax 2－By 2＝AB可变为x 2B －y 2A＝1，令x ＝0，直线可变为y ＝A .结合A 、B 、C 选项可知A ＜0，故不选C.令y ＝0，直线可变为x ＝－A B ，由选项A 可知－A B ＜0，则AB ＞0，与A 图矛盾．对于D ，A ＞0，x 2B －y 2A ＝1表示焦点在x 轴的双曲线，故与D 矛盾．所以选B项．答案：B8解析：由|BF |＝2小于点M 到准线的距离(3＋12)知点B 在A 、C 之间，由抛物线的定义知点B 的横坐标为32，代入得y 2＝3，则B (32，－3)〔另一种可能是(32，3)〕，那么此时直线AC 的方程为y －0－3－0＝x －332－3，即y ＝2x －32－3，把y ＝2x －32－3代入y 2＝2x ，可得2x 2－7x ＋6＝0，可得x ＝2，则有y ＝2，即A (2,2)，那么S △BCF ∶S △ACF ＝BC ∶AC ＝(32＋12)∶(2＋12)＝4∶5. 答案：A9解析：设抛物线焦点为F ，连结AF ，AF 与抛物线的交点P 为所求P 点，此时|P A |＋|PM |＝|P A |＋|PF |－12≥|AF |－12＝92.答案：C10解析：由PF 1⊥PF 2，得|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2.又∵||PF 1|－|PF 2||＝2a ，∴|PF 1||PF 2|＝2b 2.∴点P 到实轴的距离为|PF 1||PF 2||F 1F 2|＝b 2c.答案：A 11答案：2212解析：e 1＝5－12＝a 2－b 2a ＝1－b 2a 2，b 2a 2＝5－12，双曲线的离心率e 2＝a 2＋b 2b 2＝a 2b 2＋1＝25－1＋1＝5＋12＋1＝6＋254＝5＋12. 答案：5＋1213解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x 24＋y 23＝1可得7x 2＋8x －8＝0， 所以x 1＋x 2＝－87，x 1x 2＝－87.由弦长公式可得 |AB |＝1＋k 2|x 2－x 1| ＝1＋12·－872－4×－87＝247. 答案：24714解析：因为B (0,1)，设过点B 的直线l ：y ＝kx ＋1，与x 24－y 2＝1联立，消去y 得(14－k 2)x 2－2kx －2＝0.当14－k 2＝0，即k ＝±12，有一个交点； 当14－k 2≠0时，若有两个不同的交点，则 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4k 2＋814－k 2＞0，2k 2－14＞0，2k 14－k2＜0，得12＜k ＜22. 综上所述得k 的取值范围为12＜k ＜22.答案：(12，22)15解析：①中斜率不一定存在；②点(x 0，y 0)不一定在圆上；③当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹为线段．答案：④16分析：应用直接法求点P 的轨迹方程即可．解：作PQ ⊥l ，垂足为Q ，则P 点的轨迹就是集合{P ||P A |＋|PQ |＝6}， 即x －22＋y 2＋|x －4|＝6.当x ≥4时，方程为y 2＝－16(x －6)(x ≤6)； 当x ＜4时，方程为y 2＝8x (x ≥0)． 故P 点的轨迹为两条抛物线弧y 2＝8x (0≤x ＜4)和y 2＝－16(x －6)(4≤x ≤6)．17分析：由双曲线方程可求其右顶点坐标，从而求出抛物线的焦参数p . 解：∵双曲线x 29－y 216＝1的右顶点坐标是(3,0)，∴p2＝3，且抛物线的焦点在x 轴的正半轴上． ∴所求抛物线的方程和准线方程分别为y 2＝12x 和x ＝－3.18分析：应用点斜式设出l 的方程，借助于中点坐标公式及根与系数的关系求得AB 中点的轨迹方程．将x 用k 表示出来，通过k 的范围求得x 0的范围．解：(1)抛物线y 2＝4px (p ＞0)的准线为x ＝－p∴M(－p,0)．设l：y＝k(x＋p)(k≠0)，代入y2＝4px，得k2x2＋2(k2－2)px＋k2p2＝0，由Δ＝4(k2－2)2p2－4k4p2＞0得－1＜k＜1(k≠0)，设线段AB 的中点为Q (x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 22＝2k2－1p ，y ＝kx ＋p ＝2p k，消去k ，得y 2＝2p (x ＋p )(x ＞p )，这就是所求的轨迹方程．(2)由(1)知线段AB 的中点Q ((2k 2－1)p ，2p k )，线段AB 的垂直平分线方程为y －2p k ＝－1k [x－(2k 2－1)p ]，令y ＝0得x 0＝(2k2＋1)p ，因为0＜k 2＜1，所以x 0＞3p . 19解：(1)设点P (x ，y )，由x 24＋y 2＝1，知F 1(－3，0)，F 2(3，0)，由PF 1→·PF 2→＝0得所求轨迹方程为x 2＋y 2＝3. (2)当弦AB 被点P 0平分时，OP 0⊥AB ， ∵kOP 0＝－1，∴k AB ＝1，故直线AB 的方程为y －1＝x ＋1，即x －y ＋2＝0. (3)设双曲线C 3的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则a 2＝4－1＝3.再由a 2＋b 2＝c 2得b 2＝1. 故C 3的方程为x 23－y 2＝1.将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0. 由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝62k2＋361－3k 2＝361－k 2＞0.解得k 2≠13且k 2＜1.①设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝62k1－3k 2，x 1·x 2＝－91－3k2.由OM →·ON →＞2， 得x 1x 2＋y 1y 2＞2，而x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝(k 2＋1)·－91－3k 2＋2k ·62k1－3k 2＋2＝3k 2＋73k 2－1. 于是3k 2＋73k 2－1＞2，即－3k 2＋93k 2－1＞0，可编辑修改精品文档 解此不等式，得13＜k 2＜3.② 由①②得13＜k 2＜1，且k ≠13，故k 的取值范围为(－1，－33)∪(33，1)． .。

2019-2020年高中数学第二章圆锥曲线与方程本章测评新人教B 版选修 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.以=-1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )A.=1B.=1C.=1D.=1解析：∵双曲线=1的焦点坐标为（0，±4），顶点坐标为（0，±2），∴所求椭圆的顶点坐标为（0，±4），焦点坐标为（0，±2）.∴在椭圆中，a =4,c =2.∴b 2=4.∴椭圆的方程为=1.答案：D2.1,122222222=-=-ay b x b y a x 与(a ＞b ＞0)的渐近线( ) A.重合B.不重合，但关于x 轴对称C.不重合，但关于y 轴对称D.不重合，但关于直线y =x 对称解析：双曲线=1的渐近线方程为y =±x ，双曲线=1的渐近线方程为y =±x .y =x 与y =x 关于直线y =x 对称，y =-x 与y =-x 关于直线y =x 对称.因此，选项D 正确.答案：D3.(xx 全国高考Ⅱ，文5)抛物线x 2=4y 上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为( )A.2B.3C.4D.5解析：由x 2=4y 知其准线方程为y =-1，据抛物线定义，点A 与焦点的距离等于A 与准线的距离，显然A 的纵坐标为4.其距离为5.答案：D4.已知定点A 、B ，且｜AB ｜=4，动点P 满足｜P A ｜-｜PB ｜=3，则｜P A ｜的最小值是( )A. B. C. D.5解析：由题作出示意图.分析得出P 在P ′点处｜P A ｜最小.∴｜AO ｜=2,｜OP ′｜=.∴｜P A ｜min =2+=.答案：C5.过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)两点，若x 1+x 2=4,那么｜AB ｜等于( )A.10B.8C.6D.4解析：｜AB｜=x1++x2+=x1+x2+p=4+2=6.答案：C6.设F1和F2是双曲线-y2=1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积是()A.1B.C.2D.解析：由得∴｜PF1｜·｜PF2｜=2.∴△F1PF2的面积为｜PF1｜·｜PF2｜=1.答案：A7.动圆的圆心在抛物线y2=8x上，且动圆恒与直线x+2=0相切，则动圆必过点()A.(4，0)B.(2，0)C.(0，2)D.(0，-2)解析：直线x+2=0为抛物线y2=8x的准线，由于动圆恒与直线x+2=0相切，所以圆心到直线的距离等于圆心到所过定点的距离，由抛物线的定义可知，定点为抛物线的焦点（2，0）.答案：B8.(xx安徽高考，5)若抛物线y2=2px的焦点与椭圆=1的右焦点重合，则p的值为…()A.-2B.2C.-4D.4解析：椭圆=1的右焦点为（2，0），所以抛物线y2=2px的焦点为（2，0），则p=4,故选D.答案：D9.过双曲线M：x2-=1的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C，且｜AB｜=｜BC｜，则双曲线M的离心率是()A. B. C. D.解析：据题意如图设l AB:y=x+1,l OC:y=bx,l OB:y=-bx,由得C点纵坐标是,B点纵坐标是.∵｜AB｜=｜BC｜,∴∴b=3,∴e=答案：A10.探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处.已知灯口的直径为60 cm,灯深40 cm，则抛物线的标准方程可能是()A.y2=xB.y2=xC.x2=-yD.x2=-y解析：如果设抛物线的方程为y2=2px(p>0)，则抛物线过点（40，30），302=2p×40,2p=,所以所求抛物线方程应为y 2=x .所给选项中没有y 2=x ，但方程x 2=-y 中的“2p ”值为45 2，所以C 选项符合题意.答案：C11.已知两点M (-2，0)、N (2，0)，点P 为坐标平面内的动点，满足｜｜·｜｜+·=0，则动点P (x ,y )的轨迹方程为( )A.y 2=8xB.y 2=-8xC.y 2=4xD.y 2=-4x解：依题意可知P （x ,y ）,则｜｜·｜｜+·=0+(4,0)·(x -2,y )=0+4(x -2)=0化简整理得,y 2=-8x .答案：B12.抛物线y =-x 2上的点到直线4x +3y -8=0的距离的最小值是( )A. B. C. D.3解：设（x 0,y 0）为抛物线y =-x 2上任意一点，∴y 0=-x ,∴d =,5|320)32(3|5|834|2000---=-+x y x ∴d mm =答案：A二、填空题(本小题共4小题，每小题4分，共16分)13.双曲线的渐近线方程为y =±x ,则双曲线的离心率为___________.解析：∵双曲线的渐近线方程为y =±x ,∴.35,916,91643;45,169,169432222222222==-====-==a c aa c ab b a ac a a c a b a b 即时，当即时，当 答案：14.抛物线y =x 2的焦点坐标是___________.解析：y =x 2=4y ,p =2，其焦点为（0，1）.答案：（0，1）15.点P (6，1)平分双曲线x 2-4y 2=1的一条弦，则这条弦所在直线方程是___________.解析：设弦的两端点分别为A （x 1,y 1）、B(x 2,y 2)，则x 21-4y 21=1,x 22-4y 22=1.两式相减得(x 1+x 2)(x 1-x 2)-4(y 1+y 2)(y 1-y 2)=0.∵AB 的中点为P （6，1），∴x 1+x 2=12,y 1+y 2=2.∴∴直线AB 的方程为y -1=(x -6),即3x -2y -16=0.答案：3x -2y -16=016.有一系列中心在原点，以坐标轴为对称轴的椭圆，它们的离心率e n =()n (n ∈N )，且都以x =1为准线，则所有椭圆的长轴之和为___________.解析：因故所有椭圆的长轴之和为.2211)21(·221121=-=-a 答案：2三、解答题(本大题共6小题，满分74分)17.(12分)已知直线y =x -2与抛物线y 2=2x 相交于点A 、B ，求证：OA ⊥OB .证法一：将y =x -2代入y 2=2x 中，得(x -2)2=2x ,化简得x 2-6x +4=0,∴x =3±.∴x =3+时，y =1+5,x =3-时，y =1-.∴k OA ·k OB ==-1.∴OA ⊥OB .证法二：同证法一得方程x 2-6x +4=0.∴x 1+x 2=6,x 1·x 2=4.∴y 1·y 2=(x 1-2)(x 2-2)=x 1·x 2-2(x 1+x 2)+4=-4.∴k OA ·k OB ==-1.∴OA ⊥OB .18.(12分)A 、B 为椭圆x 2+y 2=a 2(a ＞0)上的两点，F 2为右焦点，若｜AF 2｜+｜BF 2｜=a ,且AB 的中点P 的横坐标为，求该椭圆的方程.解析：设A 、B 、P 三点到椭圆右准线的距离分别为d 1、d 2、d ,则由椭圆的第二定义及几何性质得｜AF 2｜=ed 1=d 1,｜BF 2｜=d 2,d =.2345235422322-=-=-a a a c a 又2d =d 1+d 2,a -3=2d ,a =|AF 2|+|BF 2|=(d 1+d 2),∴d 1+d 2=2a ,∴a -3=2a ,∴a =6,∴该椭圆的方程为x 2+y 2=36.19.(12分)已知双曲线x 2-=1与点P (1，2)，过P 点作直线l 与双曲线交于A 、B 两点，若P 为AB 的中点.(1)求直线AB 的方程；(2)若Q (1，1)，证明不存在以Q 为中点的弦.(1)解：设过点P （1，2）的直线AB 的方程为y -2=k (x -1),代入双曲线方程并整理得（2-k 2）x 2+(2k 2-4k )x -(k 2-4k +6)=0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则有x 1+x 2=-.由已知=1,∴=2,解得k =1.又k =1时，Δ=(2k 2-4k )2+4(2-k 2)(k 2-4k +6)=16>0,从而直线AB 的方程为x -y +1=0.(2)证明：设过Q （1，1）点的直线方程为y -1=k (x -1),代入双曲线方程并整理，得（2-k 2）x 2-2k (1-k )x -(k 2-2k +3)=0.由题知=2,解得k =2.而当k =2时，Δ=［-2k (1-k )］2+4(2-k 2)(k 2-2k +3)=-8<0.∴这样的直线不存在.20.(12分)(xx 江苏扬州中学模拟，23)已知倾斜角为45°的直线l 过点A (1，-2)和点B ，其中B 在第一象限，且｜AB ｜=3.(1)求点B 的坐标；(2)若直线l 与双曲线C ：-y 2-1(a ＞0)相交于不同的两点E 、F ，且线段E F 的中点坐标为(4，1)，求实数a 的值.解：（1）直线AB 方程为y =x -3,设点B （x ,y ）,由及x >0，y >0,得x =4,y =1,∴点B 的坐标为（4，1）.（2）由⎪⎩⎪⎨⎧=--=.1,3222y ax x y 得 （-1）x 2+6x -10=0.设E （x 1,y 1）,F （x 2,y 2）,则x 1+x 2==8,得a =2,此时，Δ>0,∴a =2.21.(12分)(xx 上海高考，20)过抛物线y 2=4x 的准线与对称轴的交点作直线，交抛物线于M 、N 两点，问直线的倾斜角多大时，以线段MN 为直径的圆经过抛物线的焦点？解：抛物线y 2=4x 的准线与对称轴的交点为（-1，0）.设直线M N 的方程为y =k (x +1).由得k 2x 2+2(k 2-2)x +k 2=0.∵直线与抛物线交于M 、N 两点，∴Δ=4(k 2-2)2-4k 4>0,即k 2<|k 2-2|,k 2<1,-1<k <1.设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)，抛物线焦点为F （1，0）.∵以线段M N 为直径的圆经过抛物线焦点，∴MF ⊥NF .∴,即y 1y 2+x 1x 2-(x 1+x 2)+1=0.∴k =±,即直线的倾斜角为arctan 或π-arctan 时，以线段M N 为直径的圆经过抛物线的焦点.22.(14分)已知两定点F 1(-，0)、F 2(，0)，满足条件｜｜-｜｜=2的点P 的轨迹是曲线E ，直线y =kx -1与曲线E 交于A 、B 两点.(1)求k 的取值范围；(2)如果｜AB ｜=6，且曲线E 上存在点C ，使+=m ,求m 的值和△ABC 的面积S.解：（1）由双曲线的定义可知，曲线E 是以F 1（-，0）、F 2（，0）为焦点的双曲线的左支，且c =2,a =1,易知b =1.故曲线E 的方程为x 2-y 2=1(x <0).设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2),由题意建立方程组消去y ,得(1-k 2)x 2+2kx -2=0.又已知直线与双曲线左支交于A 、B 两点，有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>--=<--=+>-+=∆≠-,012,012,0)1(8)2(,01221221222k x x k k x x k k k 解得-<k <-1.(2) 因为|AB |=|x 1-x 2|.)1()2)(1(2124)12(·14)(·122222222212212k k k kk k k x x x x k --+=--⨯---+=-++=2 依题意得=63.整理后得28k 4-55k 2+25=0.∴k 2=或k 2=.但-<k <-1,∴k =-.故直线AB 的方程为x +y +1=0.设C （x c ,y c ），由已知+=m ,得（x 1,y 1）+(x 2,y 2)=(mx C ,my C ),∴(x C ,y C )=(m ≠0).又x 1+x 2==-4,y 1+y 2=k (x 1+x 2)-2=-2==8,∴点C ().将点C 的坐标代入曲线E 的方程，得=1.得m =±4.但当m =-4时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意.∴m =4,C 点坐标为（-，2）.C 到AB 的距离为.311)25(|12)5(25|22=+++-⨯ ∴△ABC 的面积S =导学乐园曲突徒薪有位客人到某人家里做客，看见主人家的灶上烟囱是直的，旁边又有很多木材。

专题突破训练（16）坐标系与参数方程1. 在极坐标系中，设圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6，圆心是直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＝32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．解：因为圆心为直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＝32与极轴的交点，所以令θ＝0，得ρ＝1，即圆心是(1，0)．又圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫3，π6，所以圆的半径r ＝3＋1－23cos π6＝1，所以圆过原点，所以圆C 的极坐标方程是ρ＝2cos θ.2. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acos φ，y ＝bsin φ(a ＞b ＞0，φ为参数)，且曲线C 上的点M(2，3)对应的参数φ＝π3.以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1) 求曲线C 的普通方程；(2) 若A(ρ1，θ)，B ⎝⎛⎭⎪⎫ρ2，θ＋π2是曲线C 上的两点，求1ρ21＋1ρ22的值． 解：(1) 将M(2，3)及对应的参数φ＝π3代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acos φ，y ＝bsin φ(a>b>0，φ为参数)，得⎩⎪⎨⎪⎧2＝acos π3，3＝bsin π3，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝2，所以曲线C 的普通方程为x 216＋y24＝1.(2) 曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ16＋ρ2sin 2θ4＝1，将A(ρ1，θ)，B ⎝⎛⎭⎪⎫ρ2，θ＋π2代入得ρ21cos 2θ16＋ρ21sin 2θ4＝1，ρ22sin 2θ16＋ρ22cos 2θ4＝1，所以1ρ21＋1ρ22＝516.3．(2016·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α，(α为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2 2. (1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标． [解] (1)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1.C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.(2)由题意，可设点P 的坐标为(3cos α，sin α)．因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值，d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3－2.∴当sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝1时，d 的最小值为2，此时α＝π6＋2k π，k ∈ ，∴P 点坐标为⎝⎛⎭⎫32，12. 4．(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t (t 为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .[解] (1)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2，C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0， 由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0， 从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)，a ＝1. a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上， 所以a ＝1.5. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acos t ，y ＝1＋asin t (t 为参数， a ＞0)，在以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2∶ρ＝4cos θ.(1)求曲线C 1的普通方程，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a.解：(1)消去参数t 得到C 1的普通方程为x 2＋(y －1)2＝a 2，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ，若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知tan θ＝2，可解得1－a 2＝0，根据a ＞0，得到a ＝1，当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上，所以a ＝1.6. 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ－2cos θ－6sin θ＋1ρ＝0，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝3＋32t(t 为参数)．(1) 求曲线C 的普通方程；(2) 若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，点P 的坐标为(3，3)，求PA ＋PB 的值．解：(1) 曲线C 的极坐标方程为ρ－2cos θ－6sin θ＋1ρ＝0，可得ρ2－2ρcos θ－6ρsin θ＋1＝0，可得x 2＋y 2－2x －6y ＋1＝0，曲线C 的普通方程：x 2＋y 2－2x －6y ＋1＝0.(2) 由于直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝3＋32t(t 为参数)．把它代入圆的方程整理得 t 2＋2t －5＝0，∴ t 1＋t 2＝－2，t 1t 2＝－5.又PA ＝|t 1|，PB ＝|t 2|，PA ＋PB ＝|t 1|＋|t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝2 6. ∴ PA ＋PB 的值为2 6.。

（四十四） 双 曲 线[小题对点练——点点落实]对点练(一) 双曲线的定义和标准方程1．若实数 满足0＜ ＜9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( )A ．离心率相等B ．虚半轴长相等C ．实半轴长相等D ．焦距相等解析：选D 由0< <9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x 轴上，由25＋9－k ＝25－k ＋9，得两双曲线的焦距相等．2．已知双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x ，且经过点(2,2)，则C 的方程为( ) A.x 23－y 212＝1 B.x 212－y 23＝1 C.y 23－x 212＝1 D.y 212－x 23＝1 解析：选A 由题意，设双曲线C 的方程为y 24－x 2＝λ(λ≠0)，因为双曲线C 过点(2,2)，则224－22＝λ，解得λ＝－3，所以双曲线C 的方程为y 24－x 2＝－3，即x 23－y 212＝1. 3．已知双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，双曲线的离心率为e ，若双曲线上一点P 使sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2＝e ，则F 2P ―→·F 2F 1―→的值为( )A ．3B ．2C ．－3D ．－2解析：选B 由题意得，在△PF 1F 2中，由正弦定理得，sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2＝|PF 1||PF 2|＝e ＝2，又因为|PF 1|－|PF 2|＝2，结合这两个条件得，|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，由余弦定理可得cos ∠F 1F 2P ＝14，则F 2P ―→·F 2F 1―→＝2，故选B. 4．(2018·河南新乡模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点B 是虚轴的一个端点，线段BF 与双曲线C 的右支交于点A ，若BA ―→＝2AF ―→，且|BF ―→|＝4，则双曲线C 的方程为( )A.x 26－y 25＝1 B.x 28－y 212＝1 C.x 28－y 24＝1 D.x 24－y 26＝1解析：选D 不妨设B (0，b )，由BA ―→＝2AF ―→，F (c,0)，可得A ⎣⎡⎭⎫2c 3，b 3，代入双曲线C 的方程可得49×c 2a 2－19＝1，即49·a 2＋b 2a 2＝109，∴b 2a 2＝32，① 又|BF ―→|＝b 2＋c 2＝4，c 2＝a 2＋b 2，∴a 2＋2b 2＝16，② 由①②可得，a 2＝4，b 2＝6，∴双曲线C 的方程为x 24－y 26＝1，故选D.5．设双曲线x 24－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1的直线l 交双曲线左支于A ，B 两点，则|BF 2|＋|AF 2|的最小值为( )A.192 B ．11 C ．12D ．16解析：选B 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝4，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝4，所以|BF 2|＋|AF 2|＝8＋|AF 1|＋|BF 1|＝8＋|AB |，显然，当AB 垂直于x 轴时其长度最短，|AB |min ＝2·b 22＝3，故(|BF 2|＋|AF 2|)min＝11.6．(2018·河北武邑中学月考)实轴长为2，虚轴长为4的双曲线的标准方程为____________________．解析：2a ＝2,2b ＝4.当焦点在x 轴时，双曲线的标准方程为x 2－y 24＝1；当焦点在y 轴时，双曲线的标准方程为y 2－x 24＝1.答案：x 2－y 24＝1或y 2－x 24＝1 7．设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2b2＝1的左、右焦点，A 是双曲线上在第一象限内的点，若|AF 2|＝2且∠F 1AF 2＝45°，延长AF 2交双曲线右支于点B ，则△F 1AB 的面积等于________．解析：由题意可得|AF 2|＝2，|AF 1|＝4，则|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|＝2＋|BF 2|＝|BF 1|.又∠F 1AF 2＝45°，所以△ABF 1是以AF 1为斜边的等腰直角三角形，则|AB |＝|BF 1|＝22，所以其面积为12×22×22＝4.答案：44对点练(二) 双曲线的几何性质1．(2018·广州模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±2x ，则双曲线C 的离心率为( )A.52B. 5C.62D. 6解析：选B 依题意知b a ＝2，∴双曲线C 的离心率e ＝ca ＝a 2＋b 2a ＝ 1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝ 5.故选B.2．(2018·安徽黄山模拟)若圆(x －3)2＋y 2＝1上只有一点到双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的距离为1，则该双曲线的离心率为( )A.355B.334C. 3D. 5解析：选A 不妨取渐近线为bx ＋ay ＝0，由题意得圆心到渐近线bx ＋ay ＝0的距离d ＝|3b |b 2＋a 2＝2，化简得b ＝23c ，∴b 2＝49c 2，∴c 2＝95a 2，∴e ＝c a ＝355，故选A. 3．(2018·湖北四地七校联考)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 经过点F 1及虚轴的一个端点，且点F 2到直线l 的距离等于实半轴的长，则双曲线的离心率为( )A.1＋52B.3＋54C.1＋52D.3＋52解析：选D 设虚轴的一个端点为B ，则S △F 1BF 2＝12b ×2c ＝12a ×b 2＋c 2，即b ×2c＝a ×b 2＋c 2，∴4c 2(c 2－a 2)＝a 2(－a 2＋2c 2)，∴4e 4－6e 2＋1＝0，解得e 2＝3＋54，∴e ＝3＋52(舍负)．故选D. 4．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B, C 两点．若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为( )A ．±12B ．±22C ．±1D ．±2解析：选C 由题设易知A 1(－a,0)，A 2(a,0)，B ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，C ⎝⎛⎭⎫c ，－b2a .∵A 1B ⊥A 2C ，∴b 2ac ＋a ·－b 2a c －a＝－1，整理得a ＝b .∵渐近线方程为y ＝±ba x ，即y ＝±x ，∴渐近线的斜率为±1.5．(2018·江西五市部分学校联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为(1,0)，若双曲线上存在点P ，使得P 到y 轴与到x 轴的距离的比值为22，则实数a 的取值范围为( )A.⎝⎛⎦⎤0，223B.⎝⎛⎦⎤0，13 C.⎝⎛⎭⎫0，13 D.⎝⎛⎭⎫0，223 解析：选D 法一：由双曲线的焦点为(1,0)，可知c ＝1.由双曲线上存在点P ，使得P 到y 轴与到x 轴的距离的比值为22，可知b a >122，所以8b 2>a 2，即8(1－a 2)>a 2，所以0<a <223.法二：由双曲线的焦点为(1,0)，可知c ＝1.由双曲线上存在点P ，使得P 到y 轴与到x 轴的距离的比值为22，不妨设P 在第一象限，且P (x 0，y 0)，则y 0＝122x 0，代入双曲线方程得x 20＝8a 2b 28b 2－a2>a 2，可知8b 2>a 2，即8(1－a 2)>a 2，所以0<a <223. 6．(2018·山西重点中学联考)已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，若在双曲线上存在点P 满足2|PF 1―→＋PF 2―→|≤|F 1F 2―→|，则双曲线C 的离心率的取值范围是( )A ．(1，2]B ．(1,2]C ．[2，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：选D 设O 为坐标原点，由2|PF 1―→＋PF 2―→|≤|F 1F 2―→|，得4|PO ―→|≤2c (2c 为双曲线的焦距)，∴|PO ―→|≤12c ，又由双曲线的性质可得|PO ―→|≥a ，于是a ≤12c ，∴e ≥2.故选D.7．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F 1作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为A ，B ，若F 1A ―→＝AB ―→，则双曲线的渐近线方程为________________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋c ，y ＝－b a x 得x ＝－aca ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，y ＝b a x ， 解得x ＝ac b －a ，不妨设x A ＝－ac a ＋b ，x B ＝acb －a，由F 1A ―→＝AB ―→可得－ac a ＋b ＋c ＝ac b －a ＋ac a ＋b ，整理得b ＝3a .所以双曲线的渐近线方程为3x ±y ＝0. 答案：3x ±y ＝08．(2018·安徽池州模拟)已知椭圆x 216＋y 212＝1的右焦点F 到双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线的距离小于3，则双曲线E 的离心率的取值范围是________．解析：椭圆x 216＋y 212＝1的右焦点F 为(2,0)，不妨取双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线为bx ＋ay ＝0，则焦点F 到渐近线bx ＋ay ＝0的距离d ＝|2b |b 2＋a 2<3， 即有2b <3c ，∴4b 2<3c 2， ∴4(c 2－a 2)<3c 2， ∴e <2， ∵e >1，∴1<e <2. 答案：(1,2)[大题综合练——迁移贯通]1．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．点M (3，m )在双曲线上．(1)求双曲线的方程； (2)求证：MF 1―→·MF 2―→＝0； (3)求△F 1MF 2的面积． 解：(1)∵e ＝2，∴双曲线的实轴、虚轴相等． 则可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ. ∵双曲线过点(4，－10)， ∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x 26－y 26＝1.(2)证明：不妨设F 1，F 2分别为左、右焦点， 则MF 1―→＝(－23－3，－m )， MF 2―→＝(23－3，－m )．∴MF 1―→·MF 2―→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2， ∵M 点在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0， ∴MF 1―→·MF 2―→＝0.(3)△F 1MF 2的底|F 1F 2|＝4 3. 由(2)知m ＝±3.∴△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3， ∴S △F 1MF 2＝12×43×3＝6.2．(2018·湛江模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F (c,0)．(1)若双曲线的一条渐近线方程为y ＝x 且c ＝2，求双曲线的方程；(2)以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切线，斜率为－3，求双曲线的离心率．解：(1)因为双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，所以a ＝b ， 所以c 2＝a 2＋b 2＝2a 2＝4，所以a 2＝b 2＝2， 所以双曲线方程为x 22－y 22＝1.(2)设点A 的坐标为(x 0，y 0)，所以直线AO 的斜率满足y 0x 0·(－3)＝－1，所以x 0＝3y 0，①依题意，圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，将①代入圆的方程得3y 20＋y 20＝c 2，即y 0＝12c ， 所以x 0＝32c ，所以点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫32c ，12c ，代入双曲线方程得34c 2a 2－14c 2b 2＝1，即34b 2c 2－14a 2c 2＝a 2b 2，② 又因为a 2＋b 2＝c 2，所以将b 2＝c 2－a 2代入②式，整理得 34c 4－2a 2c 2＋a 4＝0， 所以3⎝⎛⎭⎫c a 4－8⎝⎛⎭⎫c a 2＋4＝0，所以(3e 2－2)(e 2－2)＝0， 因为e >1，所以e ＝2， 所以双曲线的离心率为 2.3．已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点，O 为坐标原点．(1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝ x ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA ―→·OB ―→＞2，求 的取值范围．解：(1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则a 2＝4－1＝3，c 2＝4，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1， 故双曲线C 2的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝ x ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3 2)x 2－62 x －9＝0.由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝(－62k )2＋36(1－3k 2)＝36(1－k 2)＞0， ∴ 2＜1且 2≠13.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝62k1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k 2. ∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋( x 1＋2)( x 2＋2) ＝( 2＋1)x 1x 2＋2 (x 1＋x 2)＋2 ＝3k 2＋73k 2－1. 又∵OA ―→·OB ―→＞2，即x 1x 2＋y 1y 2＞2，∴3k 2＋73k 2－1＞2，即－3k 2＋93k 2－1＞0，解得13＜ 2＜3.② 由①②得13＜ 2＜1，故 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－1，－33∪⎝⎛⎭⎫33，1.。

1第八周 一元二次方程根的分布重点知识梳理设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，则1．二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根从几何意义上 说就是抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交点的横坐标，所以研究方程ax 2＋bx ＋c ＝0的实根的情况，可从y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象上进行研究．若在(－∞，＋∞)内研究方程ax 2＋bx ＋c ＝0的实根情况，只需考察函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交点个数及交点横坐标的符号，根据判别式以及根与系数的关系，由y ＝ax 2＋bx ＋c 的系数可判断出Δ，x 1＋x 2，x 1x 2的符号，从而判断出实根的情况．若在区间(m ，n )内研究二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0，则需由二次函数图象与区间关系 确定．2．若m ，n 都不是方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，则f (x )＝0有且只有一个实根属于(m ，n )的充要条件是f (m )f (n )<0.3．方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个实根都属于区间(m ，n )的充要条件是⎩⎨⎧ b 2－4ac ≥0af (m )>0af (n )>0m <－b 2a <n .4．二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个实根分别在区间(m ，n )的两侧(一根小于m ，另一根大于n )的充要条件是 ⎩⎨⎧af (m )<0af (n )<0. 5．二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个实根都在(m ，n )的右侧(两根都大于n )的充要条件是 ⎩⎪⎨⎪⎧ b 2－4ac ≥0af (n )>0－b 2a >n ，二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个实根都在(m ，n )的左侧(两根都小于m )的充要条件是2⎩⎪⎨⎪⎧ b 2－4ac ≥0af (m )>0－b 2a <m .6．求解一元二次方程根的分布问题时，可借助函数图象，数形结合 写出相应结论．典型例题剖析例1 已知二次方程(2m ＋1)x 2－2mx ＋(m －1)＝0有一正根和一负根，求实数m 的取值范围．【解析】∵二次方程有一正根一负根，∴(2m ＋1)·f (0)<0，即(2m ＋1)(m －1)<0，解得－12<m <1， ∴m 的取值范围为(－12，1)． 变式训练 已知二次函数y ＝(m ＋2)x 2－(2m ＋4)x ＋(3m ＋3)与x 轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m 的取值范围．【解析】∵对应二次方程(m ＋2)x 2－(2m ＋4)x ＋(3m ＋3)＝0的一根大于1，一根小于1， ∴(m ＋2)·f (1)<0，即(m ＋2)·(2m ＋1)<0，解得－2<m <－12， ∴m 的取值范围为(－2，－12). 【小结】一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一根大于m ，一根小于m ，若a >0，则只需f (m )<0；若a <0，则只需f (m )>0 .二者综合起 ，即一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一根大于m ，一根小于m ，则只需af (m )<0.3例2 已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0.(1) 若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的取值范围．(2) 若方程两根均在区间(0,1)内，求m 的取值范围．【解析】(1)若抛物线f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1与x 轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，则⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)＝2m ＋1<0，f (－1)＝2>0，f (1)＝4m ＋2<0，f (2)＝6m ＋5>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m <－12m ∈R m <－12m >－56，故－56<m <－12， ∴ 实数m 的取值范围是(－56，－12)． (2)若抛物线与x 轴交点落在区间 (0,1) 内，列不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)>0，f (1)>0，Δ≥0，0<－m <1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m >－12，m >－12，m ≥1＋2或m ≤1－2，－1<m <0，∴－12<m ≤1－2， ∴实数m 的取值范围是(－12，1－ 2 ]． 变式训练 已知方程2x 2－2(2a －1)x ＋a ＋2＝0的两个根在－3与3之间，求a 的取值范围．4【解析】若抛物线与x 轴交点落在区间 (－3,3) 内，列不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ f (－3)>0，f (3)>0，Δ≥0，－3<2a －12<3，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 18＋6(2a －1)＋a ＋2>0，18－6(2a －1)＋a ＋2>0，4(2a －1)2－8(a ＋2)≥0，－52<a <72，，解得－1413<a ≤3－214或3＋214≤a <2611， 故a 的取值范围是(－1413，3－214]∪[3＋214，2611)． 例3 求实数m 的范围，使关于x 的方程x 2＋2(m －1)x ＋2m ＋6＝0(1)有两个实根，且一个比2大，一个比2小；(2)有两个实根α，β，且满足0<α<1<β<4；(3)至少有一个正根．【解析】设y ＝f (x )＝x 2＋2(m －1)x ＋2m ＋6.(1)依题意有f (2)<0，即4＋4(m －1)＋2m ＋6<0，得m <－1.(2)依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)＝2m ＋6>0f (1)＝4m ＋5<0f (4)＝10m ＋14>0，解得－75<m <－54.5(3)方程至少有一个正根，则有三种可能①有两个正根，此时可得⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0f (0)>02(m －1)－2>0， 即⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－1或m ≥5m >－3m <1，∴ －3<m ≤－1.②有一个正根，一个负根，此时可得f (0)<0，得m <－3.③有一个正根，另一根为0，此时可得⎩⎪⎨⎪⎧6＋2m ＝0－2(m －1)>0， ∴m ＝－3.综上所述，得m ≤－1.变式训练 已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3－a ，如果函数y ＝f (x )在区间[]－1，1上有零点，求a 的取值范围．【解析】函数y ＝f (x )在区间[－1,1]上有零点，即方程2ax 2＋2x －3－a ＝0在[－1,1]上有解，a ＝0时，不符合题意，所以a ≠0.方程2ax 2＋2x －3－a ＝0在[－1,1]上有解，∴f (－1)·f (1)≤0或⎩⎪⎨⎪⎧ af (－1)≥0af (1)≥0Δ＝4＋8a (3＋a )≥0－1<－12a <1，解得1≤a ≤5或a ≤－3－72或a ≥5， 即a ≤－3－72或a ≥1.6所以实数a 的取值范围是a ≤－3－72或a ≥1. 跟踪训练1．对一元二次方程2 012(x －2)2＝2 013的两个根的情况，判断正确的是( )A ．一根小于1，另一根大于3B ．一根小于－2，另一根大于2C ．两根都小于0D ．两根都大于22．若一元二次方程3x 2－5x ＋a ＝0的一根大于－2且小于0，另一根大于1而小于3， 则实数a 的取值范围是 ( )A ．(－12,0)B ．(－∞，1514)C ．(1514，＋∞)D ．(12，2) 3．已知关于x 的方程(m ＋3)x 2－4mx ＋2m －1＝0的两根异号，且负根的绝对值比正根大，那么实数m 的取值范围是( )A ．－3＜m ＜0B ．m ＜－3或m ＞0C ．0＜m ＜3D ．m ＜0 或 m ＞34．方程x 2＋(2m －1)x ＋4－2m ＝0的一根大于2，一根小于2，那么实数m 的取值范围是 ________________．5．若方程mx 2＋2mx ＋1＝0一根大于1，另一根小于1，则实数m 的取值范围为_______．6．已知方程4x 2＋2(m －1)x ＋(2m ＋3)＝0有两个负根，则实数m 的取值范围是________．7．一元二次方程x 2＋(2a －1)x ＋a －2＝0的一根比1大，另一根比－1小，则实数a 的取值范围是______________．8．已知方程7x2－(m＋13)x＋m2－m－2＝0(m为实数)有两个实数根，且一根在(0,1)上，一根在(1,2)上，则m的取值范围是_________________.9．若方程x2＋(－2)x＋2－1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，则实数的取值范围是_________________．10．方程x2－2ax＋4＝0的两根均大于1，则实数a的取值范围是________________．11．已知关于x的方程ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0，探究a为何值时，(1)方程有一正一负两根；(2)方程的两根都大于1；(3)方程的一根大于1，一根小于1.12．已知二次函数f(x)＝x2＋2bx＋c(b，c∈R)．(1)若f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤1}，求实数b，c的值；(2)若f(x)满足f(1)＝0，且关于x的方程f(x)＋x＋b＝0的两个实数根分别在区间(－3，－2)，(0,1)内，求实数b的取值范围．789参考答案1．A ∵2 012(x －2)2＝2 013，∴(x －2)2＝2 0132 012>1， ∴x －2<－1或x －2>1，∴x <1或x >3，∴该方程的两个根一个小于1，一个大于3.2．A 设f (x )＝3x 2－5x ＋a ，根据函数图象可知⎩⎪⎨⎪⎧ f (－2)＞0f (0)＜0f (1)＜0f (3)＞0即⎩⎪⎨⎪⎧ 12＋10＋a ＞0a ＜03－5＋a ＜027－15＋a ＞0，解此不等式组可得a ∈(－12,0)，即实数a 的取值范围是(－12,0)．故选A.3．A 由题意x 1x 2＜0，x 1＋x 2＜0，Δ＞0，由根与系数的关系x 1x 2＝2m －1m ＋3，x 1＋x 2＝4m m ＋3，因此可知参数的范围选A.4．(－∞，－3)解析 设f (x )＝x 2＋(2m －1)x ＋4－2m ，其图象开口向上，由题意，得f (2)<0，即22＋(2m －1)×2＋4－2m <0，解得m <－3.5．(－13，0) 6．[11，＋∞)解析 依题意得10⎩⎪⎨⎪⎧ －2(m －1)4<0，2m ＋34>0，Δ＝4(m －1)2－16(2m ＋3)≥0，－2(m －1)8<0，即⎩⎪⎨⎪⎧ m >1，m >－32，m ≥11或m ≤－1，m >1，故m 的取值范围是[11，＋∞)．7．(0，23) 8．(－2，－1)∪(3,4)解析 设f (x )＝7x 2－(m ＋13)x ＋m 2－m －2，要使方程7x 2－(m ＋13)x ＋m 2－m －2＝0(m 为实数)有两个实数根，且一根在(0,1)上，一根在(1,2)上，只需⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)>0f (1)<0f (2)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ m >2或m <－1－2<m <4m >3或m <0，则m 的取值范围为(－2，－1)∪(3,4)．9．(12，23) 解析 设f (x )＝x 2＋( －2)x ＋2 －1，⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)>0f (1)<0f (2)>0即⎩⎪⎨⎪⎧ 2k －1>03k －2<04k －1>0， ∴12< <23.1110．[2，52) 解析 因为方程x 2－2ax ＋4＝0的两根均大于1，所以⎩⎪⎨⎪⎧12－2a ×1＋4>0(－2a )2－4×1×4≥0， 解得实数a 的取值范围是[2，52)． 11．解析 (1)因为方程有一正一负两根，所以由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧a －1a <0Δ＝12a ＋4>0， 解得0＜a ＜1.即当0＜a ＜1时，方程有一正一负两根．(2)方法一 当方程两根都大于1时，函数y ＝ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1的大致图象如图(1)(2)所示，所以必须满足⎩⎨⎧ a >0Δ>0a ＋1a >1f (1)>0或⎩⎨⎧ a <0Δ>0a ＋1a >1f (1)<0，不等式组无解．所以不存在实数a ，使方程的两根都大于1.方法二 设方程的两根分别为x 1，x 2，由方程的两根都大于1，得x 1－1＞0，x 2－1＞0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ (x 1－1)(x 2－1)>0x 1－1＋x 2－1>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1>0x 1＋x 2>2.12所以⎩⎨⎧ a －1a －2(a ＋1)a ＋1>02(a ＋1)a >2⇒⎩⎨⎧a <0a >0， 不等式组无解．即不论a 为何值，方程的两根不可能都大于1.(3)因为方程有一根大于1，一根小于1，函数y ＝ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1的大致图象如图(3)(4)所示，所以必须满足⎩⎨⎧ a >0f (1)<0或⎩⎨⎧a <0f (1)>0，解得a ＞0. ∴即当a ＞0时，方程的一个根大于1，一个根小于1.12．解析 (1)依题意，x 1＝－1，x 2＝1是方程x 2＋2bx ＋c ＝0的两个根．由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－2b x 1x 2＝c 即⎩⎪⎨⎪⎧－2b ＝0c ＝－1， 所以b ＝0，c ＝－1.(2)由题意知，f (1)＝1＋2b ＋c ＝0，所以c ＝－1－2b .记g (x )＝f (x )＋x ＋b ＝x 2＋(2b ＋1)x ＋b ＋c ＝x 2＋(2b ＋1)x －b －1，则⎩⎪⎨⎪⎧ g (－3)＝5－7b >0g (－2)＝1－5b <0g (0)＝－1－b <0g (1)＝b ＋1>0，解得15<b <57，13所以实数b 的取值范围为(15，57)．14。

1．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x －2x ≤0，B ＝{0，1,2,3}，则A ∩B ＝( )A ．{1,2}B ．{0,1,2}C ．{1}D ．{1,2,3} 【解析】∵A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x －2x ≤0＝{x |0<x ≤2}，∴A ∩B ＝{1,2}，故选A.学 【答案】A2．若1a <1b <0，则下列结论不正确的是 ( ) A ．a 2<b 2 B ．ab <b 2C ．a ＋b <0D ．|a |＋|b |>|a ＋b |【解析】由题可知b <a <0，所以A ，B ，C 正确，而|a |＋|b |＝－a －b ＝|a ＋b |，故D 错误，选D. 【答案】D3．关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是( )A ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)B ．(1,3)C ．(－1,3)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)【答案】C4．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥1，x －y ≤1，y －1≤0，则 ＝x －2y 的最大值为( )A ．－3B ．0C ．1D ．3【解析】作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥1，x －y ≤1，y －1≤0，表示的平面区域，得到如图的△ABC 及其内部，其中A (－1,1)，B (2,1)，C (1,0)， 设 ＝F (x ，y )＝x －2y ，将直线l ＝x －2y 进行平移， 当l 经过点C 时，目标函数 达到最大值． 所以 max ＝F (1,0)＝1. 【答案】C5．若log a (3a －1)>0，则a 的取值范围是( ) A ．a <13 B.13<a <23 C ．a >1 D.13<a <23或a >1【答案】D6．已知x >0，y >0，lg2x ＋lg8y ＝lg2，则1x ＋13y 的最小值是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．2 3【解析】因为lg2x ＋lg8y ＝lg2，所以x ＋3y ＝1，所以1x ＋13y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋13y (x ＋3y )＝2＋3y x ＋x3y ≥4，当且仅当3y x ＝x 3y ，即x ＝12，y ＝16时，取等号． 【答案】C7．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋4y ≤12，则 ＝2x ·⎝⎛⎭⎫12y 的最大值为( )A ．16B ．8C ．4D ．3【答案】A8．已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a x －，若 ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )A ．1 B.35 C.12 D ．2【解析】依题意可知不等式组所表示的平面区域为如图所示的阴影部分，由图可知，当y ＝－2x ＋ 经过点A (1，－2a )时， 取得最小值1，即1＝2×1－2a ，解得a ＝12，选C.【答案】C9．已知a ，b ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋1a ＋1b ＝5，则a ＋b 的取值范围是( ) A ．[1,4] B ．[2，＋∞) C ．(2,4) D ．(4，＋∞)【解析】因为a ＋b ＋1a ＋1b ＝(a ＋b )(1＋1ab )＝5，又a ，b ∈(0，＋∞)，所以a ＋b ＝51＋1ab≤51＋⎝⎛⎭⎫2a ＋b 2，当且仅当a ＝b 时，等号成立，即(a ＋b )2－5(a ＋b )＋4≤0，解得1≤a ＋b ≤4，故选A. 学 【答案】A10．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，y ＋2≥0，x ＋y ＋2≥0，则(x ＋2)2＋(y ＋3)2的最小值为( )A ．1 B.92 C ．5 D ．9【答案】B11．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，2x －y －9≤0，y ≤2，若使 ＝ax ＋y 取得最小值的最优解有无穷多个，则实数a 的取值集合是( ) A ．{－2,0} B ．{1，－2} C ．{0,1} D ．{－2,0,1}【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．由 ＝ax ＋y 得y ＝－ax ＋ .若a ＝0，则直线y ＝－ax ＋ ＝ ，此时 取得最小值的最优解只有一个，不满足题意； 若－a >0，则直线y ＝－ax ＋ 在y 轴上的截距取得最小值时， 取得最小值，此时当直线y ＝－ax 与直线2x －y －9＝0平行时满足题意，此时－a ＝2，解得a ＝－2；若－a <0，则直线y ＝－ax ＋ 在y 轴上的截距取得最小值时， 取得最小值，此时当直线y ＝－ax 与直线x ＋y －3＝0平行时满足题意，此时－a ＝－1，解得a ＝1. 综上可知，a ＝－2或a ＝1.故选B. 【答案】B12．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3≤0，x 2＋4x －＋a 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－4]B ．[－4，＋∞)C ．[－4,20]D ．[－40,20)【答案】B13．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0x －y ≥02x －y －2≥0，则 ＝y －1x ＋1的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－1，13B.⎣⎡⎦⎤－12，13C.⎣⎡⎭⎫－12，＋∞D.⎣⎡⎭⎫－12，1【解析】由题知可行域如图阴影部分所示，∴ ＝y －1x ＋1的取值范围为[ MA,1)，即⎣⎡⎭⎫－12，1.学【答案】D14．已知函数y ＝x －4＋9x ＋1(x >－1)，当x ＝a 时，y 取得最小值b ，则a ＋b 等于( )A ．－3B ．2C ．3D ．8【答案】C15．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1x －y ≥－12x －y ≤2，且目标函数 ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，则a 的取值范围是( ) A ．[－4,2] B ．(－4,2) C ．[－4,1] D ．(－4,1)【解析】作出不等式组表示的区域如图中阴影部分所示，直线 ＝ax ＋2y 的斜率为 ＝－a2，从图中可看出，当－1<－a2<2，即－4<a <2时，仅在点(1,0)处取得最小值．故选B.【答案】B16．若关于x 的不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则实数a 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫－235，＋∞ B.⎣⎡⎦⎤－235，1C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)【答案】A17．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥x 4x ＋3y ≤12，则x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是( )A ．[1,5]B ．[2,6]C ．[2,10]D ．[3,11]【解析】设 ＝x ＋2y ＋3x ＋1＝x ＋1＋y ＋x ＋1＝1＋2·y ＋1x ＋1，设 ′＝y ＋1x ＋1，则 ′的几何意义为动点P (x ，y )到定点D (－1，－1)的斜率．画出可行域如图阴影部分所示，则易得 ′∈[ DA ， DB ]，易得 ′∈[1,5]，∴ ＝1＋2· ′∈[3,11]．【答案】D18．已知函数f (x )＝4x －14x ＋1，若x 1>0，x 2>0，且f (x 1)＋f (x 2)＝1，则f (x 1＋x 2)的最小值为( )A ．14B ．45C ．2D ．4【解析】由题意得f (x )＝4x －14x ＋1＝1－24x ＋1，由f (x 1)＋f (x 2)＝1得2－241x ＋1－242x ＋1＝1，化简得412x x ＋－3＝41x＋42x ≥2×212x x ＋，解得2x 1＋x 2≥3，所以f (x 1＋x 2)＝1－2412x x ＋＋1≥1－232＋1＝45.故选B.【答案】B19．已知a ，b 都是正实数，且2a ＋b ＝1，则1a ＋2b 的最小值是________． 【解析】1a ＋2b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋2b (2a ＋b )＝4＋4a b ＋ba ≥4＋24a b ×b a ＝8，当且仅当4a b ＝b a ，即a ＝14，b＝12时，“＝”成立，故1a ＋2b 的最小值是8. 学* 【答案】820．对于实数x ，当且仅当n ≤x <n ＋1，n ∈N *时，[x ]＝n ，则关于x 的不等式4[x ]2－36[x ]＋45<0的解集是________．【答案】[2,8)21．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax ，x ≥0bx 2－3x ，x <0为奇函数，则不等式f (x )<4的解集为________．【解析】因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，可得a ＝－3，b ＝－1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ，x ≥0－x 2－3x ，x <0.当x ≥0时，由x 2－3x <4解得0≤x <4；当x <0时，由－x 2－3x <4解得x <0，所以不等式f (x )<4的解集为(－∞，4)． 【答案】(－∞，4)22．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0x ＋2y ≥42x ＋y ≤4所表示的平面区域为D ，则可行域D 的面积为________．【解析】如图，画出可行域．易得A ⎝⎛⎭⎫43，43，B (0,2)，C (0,4)，∴可行域D 的面积为12×2×43＝43.【答案】4323.已知函数f (x )＝2xx 2＋6.(1)若f (x )＞ 的解集为{x |x ＜－3，或x ＞－2}，求 的值； (2)对任意x ＞0，f (x )≤t 恒成立，求t 的取值范围.24.如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝ x －120(1＋ 2)x 2( ＞0)表示的曲线上，其中 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由. 【解析】(1)令y ＝0，得 x －120(1＋ 2)x 2＝0，由实际意义和题设条件知x ＞0， ＞0， 故x ＝20k 1＋k2＝20k ＋1k ≤202＝10， 当且仅当 ＝1时取等号. 所以炮的最大射程为10千米.(2)因为a ＞0，所以炮弹可击中目标 存在 ＞0，使3.2＝ a －120(1＋ 2)a 2成立关于 的方程a 2 2－20a ＋a 2＋64＝0有正根判别式Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋a ≤6.所以当a 不超过6千米时，可击中目标. 学25.已知函数f (x )＝13ax 3－bx 2＋(2－b )x ＋1在x ＝x 1处取得极大值，在x ＝x 2处取得极小值，且0＜x 1＜1＜x 2＜2. (1)证明 a ＞0；(2)若 ＝a ＋2b ，求 的取值范围.(2)解 在题设下，0＜x 1＜1＜x 2＜2等价于⎩⎪⎨⎪⎧f ′（0）＞0，f ′（1）＜0，f ′（2）＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧2－b ＞0，a －2b ＋2－b ＜0，4a －4b ＋2－b ＞0，化简得⎩⎪⎨⎪⎧2－b ＞0，a －3b ＋2＜0，4a －5b ＋2＞0.此不等式组表示的区域为平面aOb 上的三条直线2－b ＝0，a －3b ＋2＝0，4a －5b ＋2＝0所围成的△ABC 的内部，其三个顶点分别为A ⎝⎛⎭⎫47，67，B (2，2)，C (4，2).在这三点的值依次为167，6，8.所以 的取值范围为⎝⎛⎭⎫167，8.学 26．已知关于x 的不等式(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1＜0对任意实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．27．已知函数f (x )和g (x )的图象关于原点对称，且f (x )＝x 2＋2x .(1)求函数g (x )的解析式；(2)解不等式g (x )≥f (x )－|x －1|.【解析】(1)设函数y ＝f (x )的图象上任意一点Q (x 0，y 0)关于原点的对称点为P (x ，y )，∵点Q (x 0，y 0)在函数y ＝f (x )的图象上，∴－y ＝x 2－2x ，即y ＝－x 2＋2x ，故g (x )＝－x 2＋2x .(2)由g (x )≥f (x )－|x －1|，可得2x 2－|x －1|≤0.当x ≥1时，2x 2－x ＋1≤0，此时不等式无解．当x ＜1时，2x 2＋x －1≤0，解得－1≤x ≤12.因此原不等式的解集为⎣⎡⎦⎤－1，12. 28．若对一切x ＞2均有不等式x 2－2x －8≥(m ＋2)x －m －15成立，求实数m 的取值范围．29．某居民小区要建造一座八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的，是面积为200平方米的十字形地带．计划在正方MNPQ上建一座花坛，造价是每平方米4 200元，在四个相同的矩形(图中阴影部分)上铺上花岗岩地坪，造价是每平方米210元，再在四个空角上铺上草坪，造价是每平方米80元．(1)设总造价是S元，AD长为x米，试建立S关于x的函数关系式；(2)当x为何值时，S最小？并求出最小值．30．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤0，x －y ≤0，x 2＋y 2≤r 2，(r 为常数)表示的平面区域的面积为π，若x ，y 满足上述约束条件，则 ＝x ＋y ＋1x ＋3的最小值为________． 【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由题意，知14πr 2＝π，解得r＝2. ＝x ＋y ＋1x ＋3＝1＋y －2x ＋3，表示可行域内的点与点P (－3,2)连线的斜率加上1，由图知当可行域内的点与点P 的连线与圆相切时斜率最小．设切线方程为y －2＝ (x ＋3)，即 x －y ＋3 ＋2＝0，则有|3k ＋2|k 2＋1＝2，解得 ＝－125或 ＝0(舍去)，所以 min ＝1－125＝－75.【答案】－75。

03课堂效果落实1.“点M在曲线y2＝4x上”是“点M的坐标满足方程y＝－2x”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：∵y＝－2x≤0，而y2＝4x中y可正可负，∴点M在曲线y2＝4x上，但M不一定在y＝－2x上．反之点M 在y＝－2x上时，点M却一定在y2＝4x上．故选B.答案：B2．已知直线l：x＋y－4＝0及曲线(x－3)2＋(y－2)2＝2，则点M(2,2)()A．在直线l上，但不在曲线C上B．在直线l上，也在曲线C上C．不在直线l上，也不在曲线C上D．不在直线l上，但在曲线C上解析：将点M(2,2)的坐标代入方程验证知M∈l，M∉C.答案：A3．方程x2|x|＋y2|y|＝1表示的图形是()A. 一条直线B. 两条平行线段C. 一个正方形D. 一个正方形(除去四个顶点)解析：由方程可知，方程表示的图形关于坐标轴和原点对称，且x≠0，y≠0.当x>0，y>0时，方程可化为x＋y＝1，表示第一象限内的一条线段(去掉两端点)，因此原方程表示的图形是一个正方形(除去四个顶点)，故选D.答案：D4．若方程x2＋k2y2－3x－ky－4＝0的曲线过点P(2,1)，则k＝________.解析：将(2,1)代入方程得22＋k2－3×2－k－4＝0，即k＝－2或3.答案：－2或35．证明：到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是y＝±x.证明：(1)如图所示，设M(x0，y0)是轨迹上任一点，因为点M到x轴的距离为|y0|，到y轴的距离为|x0|，所以|x0|＝|y0|，即y0＝±x0，所以轨迹上任一点的坐标都是方程y＝±x的解．(2)设点M1的坐标为(x1，y1)，且是方程y＝±x的解，则y1＝±x1，即|x1|＝|y1|.而|x1|，|y1|分别是点M1到y轴，x轴的距离，因此点M1到两坐标轴的距离相等，即点M1是曲线上的点．由(1)(2)可知，y＝±x是到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程.。

1．（江西省重点中学盟校2018届高三第一次联考）函数3y x =的图象在原点处的切线方程为 A ．y x = B ．0x = C ．0y =D ．不存在【答案】C【解析】函数3y x =的导数为23y x '=，在原点处的切线斜率为0，则在原点处的切线方程为()000y x -=-，即为0y =，故选C ．学2．（齐鲁名校教 研协作体山东、湖北部分重点中学2018届高三第一次调研）已知函数()()()21221f x f x x f '=++，则()2f '的值为A ．2-B ．0C ．4-D ．6-【答案】D3．（河南省漯河市高级中学2018届高三上学期第三次模拟考试（期中））正项等比数列{}n a 中的24034,a a 是函数()3211(1)3f x x mx x m =-++<-的极值点，则2018ln a 的值为 A ．1 B ．1-C ．0D ．与m 的值有关【答案】C【解析】()221f x x mx =-+'，则240341a a ⋅=，22018240341a a a ∴=⋅=，20181a =，2018ln ln10a ∴==，故选C ．学4．（广州市2018届高三上学期第一次调研测试）已知直线2y kx =-与曲线ln y x x =相切，则实数k 的值为A ．ln2B ．1C ．1ln2-D ．1ln2+【答案】D5．（河南省林州市第一中学2018届高三12月调研考试）(),x y 处的切线斜率为()g x ，则函数()2y x g x =的部分图象可以为A ．B ．C ．D ．【答案】DB 、C 错误；又当πx =时，0y =，当0y <，选项A 错误； 本题选择D 选项.【名师点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势． (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性． (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．6．（广西贵港市2018届高三上学期12月联考）若函数()2ln f x kx x =-在区间()1,+∞上单调递增，则k 的取值范围是 A ．(],2-∞-B ．(],1-∞-C ．[)1,+∞D ．[)2,+∞【答案】D7．（河南省豫南豫北2018届高三第二次联考联评试卷）若关于x 的方程()21ln 02a x x x +-=有唯一的实数解，则正数a =A ．12 B ．13 C ．14D ．19【答案】A【解析】方法一：验证法.当12a =时，可得函数2y x x =-与函数ln y x =在1x =处的切线是相同的.故选A ．方法二：因为0a >，由()21ln 02a x x x +-=得ln 112x x x a +=.设()()ln 11,2x f x g x x x a=+=， 由题意得当且仅当函数()f x 和()g x 的图象相切时满足题意，设切点为()00,x y ，12a =.选A ． 【名师点睛】本题考查方程解的情况，解题中将方程有唯一实数解的问题转化为两函数图象有唯一公共点的问题，通过合理的构造函数，经分析得到当两图象在某点处相切时满足条件，故可用导数的几何意义求解，在设出切点的前提下，构造出关于参数的方程组使得问题得以解决. 8．（四川省成都市龙泉第二中学2018届高三高考模拟考试）的定义域为，都有()22017f x x >+的解集为 ABC D 【答案】C9．（安徽省蒙城县第一中学、淮南第一中学等2018届高三上学期“五校”联考）()(),f x f x '是它的导函数，恒有()()cos sin 0f x x f x x '+>成立，则ABCD 【答案】B10．（四川省成都市第七中学2018届高三上学期一诊）()()g m f n =成立，则n m -的最小值为A ．1ln2-B ．ln2CD ．2e 3-【答案】B易知()h t '在()0,+∞上是增函数，当12t >时，()0h t '>，当102t <<时，()0h t '<，即当12t =时，()h t 即n m -的最小值为ln2，故选B ．11．（江西省南昌市2018届高三第一轮复习训练题）若曲线()2ln f x x ax b =-+在点11,22f ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭处切线a 等于________． 【答案】112．（2017-2018学年度第一学期江苏省南通如皋市高三年级第一次联考）已知函数()()2342ln 2f x x a x x =++-在区间()12，上存在最值，则实数a 的取值范围是________． 【答案】()95--，【解析】∵()()()2342234x a x f x x a x x++-=++-='，∴题中问题等价于()()120f f ''⋅<，即()()590a a ++<，解得95a -<<-，故答案为()95--，. 13．（广东省五校（阳春一中、肇庆一中、真光中学、深圳高级中学、深圳二高）2018届高三12月联考）已知函数()()2exf x ax a =-∈R ．（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线与y 轴垂直，求()y f x '=的最大值；（2）若对任意120x x ≤<，都有()()()()221122ln222ln2f x x f x x +-<+-，求a 的取值范围． 【答案】（1）0；（2）(],1-∞.【解析】（1）由()2e xf x ax '=-，得()12e 0f a '=-=，即 令()()e e xg x f x x '==-，则()e e xg x '=-，可知函数()g x 在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()()max 10f x f ''==．（2）由题可知函数()()()()222ln 222ln 2e xh x f x x ax x =+-=+--在[)0,+∞上单调递减，从而()()222ln 2e 0xh x ax '=+--≤在[)0,+∞上恒成立，令()()222ln 2e (0)xF x a x x =+--≥，则()2e xF x a '=-，当12a ≤时，()0F x '≤，所以函数()F x 在[)0,+∞上单调递减，则()()max 012ln20F x F ==-<； 当12a >时，令()2e 0xF x a '=-=，得ln 2x a =，【思路分析】（1）由曲线()y f x =在1x =处的切线与y 轴垂直，可得()12e 0f a '=-=，即再求出()f x '的导函数()e e xg x '=-可得()f x '的单调性，从而可得()()max 10f x f ''==．（2）易知()()()()221122ln 222ln 2f x x f x x +-<+-等价于函数()()()22ln 2h x f x x =+-=()222ln 2e x ax x +--在[)0,+∞上单调递减，即()()222ln 2e 0xh x ax '=+--≤在[)0,+∞上恒成立，再利用导数研究函数的单调性，求出()h x '的最大值即可得结果.【方法点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率及研究函数的单调性，属于难题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1)已知切点()()00,A x f x 求斜率k ，即求该点处的导数()0k f x ='； (2)已知斜率k 求切点参数，即解方程()1f x k '=；(3)已知切线过某点()()11,M x f x (不是切点)求切点，设出切点()()00,,A x f x 利用()0f x '求解.14．（陕西省榆林市第二中学2018届高三上学期第七次模拟考试）已知函数()()1ln 1a x f x x x -=-+．（1）试讨论()f x 的单调性；（2）若()()22112ax ax g x xf x mx x x -=+--+有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求证：212e x x >．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞令()()2211x x a x ϕ=+-+，()2414a ∆=--，当2a >时，()f x 在区间(0,1a -和区间()1a -++∞上单调递增，在区间(11a a ---+上单调递减．（2，则()ln g x x mx '=-， 由题意知1x ，2x 是方程ln 0x mx -=的两个根， 所以11ln 0x mx -=，①22ln 0x mx -=，②①②两式相加可得1212ln ln x x m x x +=+，③①②两式相减可得1212ln ln x x m x x -=-，④由③④两式消去m设21x t x =， 因为120x x <<， 所以1t >， 所以()121ln ln ln 1t t x x t ++=-，1t >，因此只需证明当1t >时，不等式()1ln 1t tt +-2>成立即可，即不等式()21ln 1t t t ->+成立．设函数()()21ln 1t h t t t -=-+，由（1）可知，()()21ln 1t h t t t -=-+在()1,+∞上单调递增，故()()10h t h >=，即证得当1t >时，()21ln 1t t t ->+，亦即证得12ln ln 2x x +>，所以12ln 2x x >，即证得212e x x >．【名师点睛】本题考查了利用导数研究函数单调性，考查了分类讨论的思想，考查了利用导数研究函数极值点，采用变量集中的方法证明不等式，对式子的变形处理能力要求较高，属于中档题.1．（2017新课标全国Ⅱ理 ）若2x =-是函数21()(1)e x f x x ax -=+-的极值点，则()f x 的极小值为A ．1-B ．32e --C ．35e -D ．1【答案】A所以()f x 的极小值为11()(111)e11f -=--=-，故选A ．【名师点睛】（1）可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同；（2）若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．2．（2017新课标全国Ⅲ理 ）已知函数211()2(e e )x x f x x x a --+=-++有唯一零点，则a =A ．12- B ．13C ．12D ．1【答案】C3．（2015新课标全国I 理 ）设函数()f x =e (21)xx ax a --+，其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是A ．[32e -，1) B ．[32e -，34) C ．[32e ，34)D ．[32e，1)【答案】D4．（2015新课标全国Ⅱ理 ）设函数()f 'x 是奇函数()()f x x ∈R 的导函数，(1)0f -=，当0x >时，()()0xf 'x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是A ．(,1)(0,1)-∞-B ．(1,0)(1,)-+∞C ．(,1)(1,0)-∞--D ．(0,1)(1,)+∞【答案】A【解析】记函数()()f x g x x =，则2()()()xf 'x f x g'x x -=，因为当0x >时，()()0xf 'x f x -<，故当0x >时，()0g'x <，所以()g x 在(0,)+∞上单调递减；又因为函数()()f x x ∈R 是奇函数，故函数()g x 是偶函数，所以()g x 在(,0)-∞上单调递增，且(1)(1)0g g -==．当01x <<时，()0g x >，则()0f x >；当1x <-时，()0g x <，则()0f x >，综上所述，使得()0f x >成立的x 的取值范围是(,1)(0,1)-∞-，故选A ．【名师点睛】联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类的问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得简单明了，属于难题．5．（2016新课标全国Ⅲ理 ）已知f (x )为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲线y =f (x )在点(1，−3)处的切线方程是_______________. 【答案】21y x =--【解析】当0x >时，0x -<，则()ln 3f x x x -=-．又因为()f x 为偶函数，所以()()ln 3f x f x x x =-=-，所以1()3f x x'=-，则切线斜率为(1)2f '=-，所以切线方程为32(1)y x +=--，即21y x =--．6．（2016新课标全国Ⅱ理 ）若直线y= x +b 是曲线y =ln x +2的切线，也是曲线y =ln(x +1)的切线，则b = . 【答案】1ln 2-7．（2017新课标全国Ⅰ理 ）已知函数2()e (2)e xx f x a a x =+--.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）(0,1).【名师点睛】研究函数零点问题常常与研究对应方程的实数根问题相互转化.已知函数()f x 有2个零点求参数a 的取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断y a =与其交点的个数，从而求出a 的取值范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若()f x 有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证最小值两边存在大于0的点.8．（2017新课标全国III 理 ）已知函数()1ln f x x a x =--. （1）若()0f x ≥，求a 的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111111222n m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求m 的最小值. 【答案】（1）1a =；（2）3.【名师点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出.本专题在高考中的命题方向及命题角度：从高考来看，对导数的应用的考查主要有以下几个角度： （1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． （2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． （3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． （4）考查数形结合思想的应用．本题第一问由原函数与导函数的关系可得x =a 是()f x 在()0∞，+的唯一最小值点，列方程解得1a =； 第二问由题意结合第一问的结论对不等式进行放缩，求得2111111e 222n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再结合231111112222⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++> ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭可知实数m 的最小值为3. 9．（2016新课标全国II 理 ）（1）讨论函数()2e 2xx f x x -=+的单调性，并证明当x >0时，(2)e 20x x x -++>； （2）证明：当[0,1)a ∈时，函数2e ()=(0)x ax ag x x x -->有最小值.设()g x 的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.【答案】（1）见解析；（2）见解析.10．（2015新课标全国I 理 ）已知函数f (x )=31,()ln 4x ax g x x ++=-. （1）当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线；（2）用min {},m n 表示m ，n 中的最小值，设函数{}()min (),()(0)h x f x g x x =>，讨论h (x )零点的个数.【答案】（1）34a =-；（2）见解析. 【解析】（1）设曲线()y f x =与x 轴相切于点0(,0)x ，则0()0f x =，0()0f x '=，即3002010430x ax x a ⎧++=⎪⎨⎪+=⎩，解得013,24x a ==-. 因此，当34a =-时，x 轴是曲线()y f x =的切线.（2）当x ∈(1，+∞)时，g (x )=ln x -<0，从而h (x )=min{f (x )，g (x )}≤g (x )<0， ∴h (x )在(1，+∞)上无零点.①若f >0，即34-<a <0，则()f x 在(0，1)上无零点.②若f =0，即34a =-，则()f x 在(0，1)上有唯一零点；③若f <0，即334a -<<-，由于1(0)4f =，5(1)4f a =+，所以当5344a -<<-时，()f x 在(0，1)上有两个零点；当534a -<≤-时，()f x 在(0，1)上有一个零点. 综上，当34a >-或54a <-时，()h x 有一个零点；当34a =-或54a =-时，()h x 有两个零点；当5344a -<<-时，()h x 有三个零点. 【名师点睛】本题主要考查函数的切线、利用导数研究函数的图象与性质、利用图象研究分段函数的零点，试题新颖.对函数的切线问题，主要在某一点的切线与过某一点的切线不同，在某点的切线该点是切点，过某点的切线该点不一定是切点，对过某点的切线问题，设切点，利用导数求切线，将已知点代入切线方程，解出切点坐标，即可求出切线方程.。

:因为|F 1F 2|=8,所以c=4,a △ABF 2的周长.故a 2-25=4,解得=41,再由椭圆的定义可求得:D若焦点在x 轴上的椭圆x 22+y 2m =1的离心率为12,则m 等于( )B .32.23:a =2,c =2-m ,c a =2-m 2=12,所m>0,所以m B .以2-m =22.又=32.所以选:B已知双曲线的渐近线方程为y=±34x ,则此双曲线的( ):在曲线方,a=2,c 程x 4‒y 2=1中=4+2= 6.所以离心率e =c a =62.:B已知P 为双曲∠F 1PF 2=60°,线x 2a 2‒y 2b 2=1(a >b >0)上一点,F 1,F 2为焦点,若则S△F 1PF 2等于(b 2B .34abb 2‒a 2|D .32|a 2+b 2|:∵|PF 1|-|PF 2|=±2a ,且4c 2=|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1|·|PF 2|cos 60°=(|PF 1|-|PF 2|)2+|PF 1|·|PF 2|,∴|PF 1|·|PF 2|=4c 2-4a 2=4b 2.B .1C .14D .116:依题意得e=2,抛物线方程为y2p =12p x ,故18p =2,得=116.:D已知双曲线x 2a 2‒y 2b 2=1(a >0,b >0)的两个焦点为F 1,F 2,若P 为其上一点,且|PF 1|=2|PF 2|,则 )(1,3)B .(1,3]+∞)D .[3,+∞):如图,由题意知在双曲线上存在一点P ,使得|PF 1|=2|PF 2|.2|=2a ,-∞,‒2)∪(2,+∞):过点A (0,-1)和点B (t ,3)的直线方程4x-ty-t=0.为y +13+1=x -0t -0,即由{4x -ty -t =0,x 2=12y 得2tx 2-4x+t=0,Δ=16-4×2t 2<0,解得t<t ‒2或> 2.:D二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线x 2m ‒y 2m 2+4=1的离心率为5,则m 的值为 .:根据双曲线方程的结构形式可知,此双曲线的焦点在x 轴上,且a 2=m ,b 2=m 2+4,故c 2=m 2+m+4,于是m=2,经检验符合题意.c 2a 2=m 2+m +4m =(5)2,解得若直线ax-y+1=0经过抛物线y 2=4x 的焦点,则实数a= .:焦点坐标为(1,0),代入直线方程得a=-1.:-1已知椭圆G 的中心在坐标原点,长轴在x 轴上,离心率且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12,则椭圆G 的方程为 .:由题意得2a=12a=6,c=G 的方程,c a =32,所以33,b =3,故椭圆为x 236+y 29=1.:x 236+y 29=1三、解答题(本大题共3小题,共25分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)分)已知抛物线y 2=2px (p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ,B 两点,若线段AB 的中点的纵坐标为2,求该抛物线的方程及其准线方程.,y ),B (x ,y ),由题意知直线AB 的方程为y=x y 2=2px 联立,得y 2-2py-p 2=0,‒p,与的垂直平分线为y轴,O为坐标原点设MP,NP分别与☉C相切于D,E两点,则|PM|-|PN|=|MD|-|NE|=|MB|-|BN|=6-2-2=2,且|MN|>2.所以点P的轨迹是以M,N为焦点,2a=2,2c=6的双曲线的右支(顶点除外).由a=1,c=3,知b2=8.故点P的轨迹方程为x2‒y28=1(x>1).分)已知椭+y 2b2=1(a>b>0)的一个顶点为A(0,1),且它的离心率与双曲线x23‒y2=1的离心率互为倒数.求椭圆的方程;过点A且斜率为k的直线l与椭圆相交于A,B两点,点M在椭圆上,且满OM=12OA+32OB,求k的值.(1)因为双曲线x23‒y2=1的离心率为233,=4[(x1+4y1)+3(x2+4y2)+23x1x2+83y1y2]=14(4+12+83y1y2)=4.所以y1y2=0,所以(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1=k·(-8k1+4k2)+1=0,即k2=14,所以k=±12.此时Δ=(8k)2-4(1+4k2)×0=64k2=16>0,故k的值为±12.。

:C双曲( 线x 29‒y 216=1的一个焦点到一条渐近线的距离等于.3C .4D .2B :C抛物线y=4ax 2(a>0)的焦点坐标是( )1a ,0)B .(0,116a)-116a )D .(116a ,0):B设抛物线的顶点在原点,焦点F 在y 轴上,若抛物线上的点(k ,-2)与点F 的距离为4,则k 等于( )或-4 B.5设点P 是椭F 1,F 2是焦点,设k=|PF 1|·|PF 2|,则k 的最大值为( )圆4+3=1上的动点,B.2 C.3D.4:因为点P在椭,所以|PF 1|+|PF 2|=2a=4.圆x 24+y 23=1上所以4=|PF 1|+|PF 2|≥2PF 1·PF 2,故|PF 1|·|PF 2|≤4.:D是椭P作椭圆长轴的垂线,垂足为点M ,则PM 的中点的轨迹方程为( 圆x 29+y 25=1上的动点,过点+y 25=1B .x 29+4y 25=1+y 220=1D .x 236+y 25=1:用代入法,设点P 的坐标为(x 1,y 1),PM 的中点的坐标为(x ,y ),则x 1=x ,y 1=2y ,代入椭圆方程即得PM二、填空题(本大题共5个小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)若双曲b>0)的渐近线方程为y=b= .线x 24‒y 2b 2=1(±12x ,则:由双曲线渐近线方程b=1.知b 2=12,则:1椭F 1,F 2,点P 在椭圆上,若|PF 1|=4,则|PF 2|= ,∠F 1PF 2的大小为 圆x 29+y 22=1的焦点为:由椭圆定义得|PF 2|=2a-|PF 1|=6-4=2.由余弦定理可得cos ∠F 1PF 2=‒12,又∠F 1PF 2是三角形的内角,故∠F 1PF 2=2π3.:2　2π3其中正确命题的序号是 .:①中斜率不一定存在;②点(x0,y0)不一定在圆上;③当2a=|F1F2|时,轨迹为线段.:④三、解答题(本大题共3个小题,共25分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤分)已知抛物线y2=8x,过点M(2,1)的直线交抛物线于A,B两点,如果点M恰是线段AB的中点,求直AB的方程.:利用“设而不求”和“点差法”解决.由题意知,直线斜率显然存在.设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),直线斜率为k,则y2+y1=2.将A,B两点坐标代入抛物线方程得y21=8x1,y22=8x2,②-①得(y-y)(y+y)=8(x-x)(2)由(1)可知点A 的坐标是(-2,0).设点B 的坐标为(x 1,y 1),直线l 的斜率为k ,则直线l 的方程为x+2).于是A ,B 两点的坐标满足方程y 并整理,得(1+4k 2)x 2+16k 2x+(16k 2-4)=0组{y =k (x +2),x 24+y 2=1.消去由-2xx y |AB|1=16k 2-41+4k 2,得1=2-8k 21+4k 2.从而1=4k1+4k 2.所以=(-2-2-8k 21+4k 2)2+(4k 1+4k 2)2=41+k 1+4k 2由|AB|=425,得41+k 21+4k 2=425.整理得32k 4-9k 2-23=0,即(k 2-1)(32k 2+23)=0.解得k=±1.所以直线l 的倾斜角为π4或3π4.(0,2)任作一直线与C 相交于与直线y=2相交于点N 1,1(2a+a,2),2(-2a+a,-2).N N2=(2a-a)2+42‒(2a+a)2=8,则|MN2|2-|MN1|即|MN2|2-|MN1|2为定值8.。

精选题专练（45）直线及其方程1．直线l 过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0,)为端点的线段有公共点,则直线l 斜率的取值范围为( ) A.[-,1]B.(-∞,-]∪[1,+∞) C. D.∪[1,+∞)【解析】选B.因为k AP ==1,k BP ==-,所以k ∈(-∞,-]∪[1,+∞).2．设直线ax ＋by ＋c ＝0的倾斜角为α，且sin α＋cos α＝0，则a ，b 满足( )A ．a ＋b ＝1B ．a －b ＝1C ．a ＋b ＝0D ．a －b ＝0解析：由sin α＋cos α＝0，得sin αcos α＝－1，即tan α＝－1. 又因为tan α＝－a b ，所以－a b＝－1，则a ＝b. 答案：D3．过点A(-1,-3),斜率是直线y=3x 的斜率的-的直线方程为( )A.3x+4y+15=0B.4x+3y+6=0C.3x+y+6=0D.3x-4y+10=0【解析】选A.设所求直线的斜率为k,依题意k=-,又直线经过点A(-1,-3),因此所求直线方程为y+3=-(x+1),即3x+4y+15=0.4．直线l 1：3x －y ＋1＝0，直线l 2过点(1,0)，且它的倾斜角是l 1的倾斜角的2倍，则直线l 2的方程为( )A ．y ＝6x ＋1B ．y ＝6(x －1)C ．y ＝34(x －1)D ．y ＝－34(x －1) 解析：由tan α＝3可求出直线l 2的斜率k ＝tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－34， 再由l 2过点(1,0)即可求得直线方程。

答案：D5．直线l 经过点A(1,2),在x 轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率的取值范围是( ) A.-1<k< B.k>1或k<C.k>1或k<D.k>或k<-1【解析】选D.设直线的斜率为k,则直线方程为y-2=k(x-1),令y=0,得直线l 在x 轴上的截距为1-,则-3<1-<3,解得k>或k<-1.【一题多解】选D.当k=0时,该直线在x 轴上的截距不存在,不符合题意,所以可排除A,B,C 三个选项.6．函数y ＝a sin x －b cos x (ab ≠0)的一条对称轴的方程为x ＝π4，则以向量c ＝(a ，b )为方向向量的直线的倾斜角为( )A ．45° B．60°C ．120° D．135°解析：由f (x )＝a sin x －b cos x 关于x ＝π4对称， 得f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，代入得a ＝－b ， ∴向量c ＝(a ，b )＝(a ，－a )＝a (1，－1)，∴直线的斜率为k ＝－1，即倾斜角α＝135°。

第二章检测(B )(时间:90分钟　满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1设函数f (x )=则f (f (3))等于( ){x 2+1,x ≤1,2x ,x >1, A. B.3 C. D.15231393>1,所以f (3)=.23又因为≤1,23所以f +1=.(23)=(23)2139所以f (f (3))=f ,故选D .(23)=1392已知函数f (x )=,且f (1)=-1,则f (x )的定义域是( )1x 2+mx A.(0,2)B .(-∞,0)∪(0,+∞)C .(-∞,-2)∪(2,+∞)D .(-∞,0)∪(0,2)∪(2,+∞)f (1)=-1可得=-1,解得m=-2,11+m 故f (x )=.1x 2-2x 令x 2-2x ≠0得x ≠0,且x ≠2,即f (x )的定义域为(-∞,0)∪(0,2)∪(2,+∞).3若函数f (x )=(ax+1)(x-a )为偶函数,且当x ∈(0,+∞)时,函数y=f (x )为增函数,则实数a 的值为( )A.±1B.-1C.1D.0函数f (x )=(ax+1)(x-a )=ax 2+(1-a 2)x-a 为偶函数,∴f (-x )=f (x ),即f (-x )=ax 2-(1-a 2)x-a=ax 2+(1-a 2)x-a.∴1-a 2=0,解得a=±1.当a=1时,f (x )=x 2-1,在(0,+∞)内为增函数,满足条件.当a=-1时,f (x )=-x 2+1,在(0,+∞)内为减函数,不满足条件.故a=1.4函数f (x )对于任意x ∈R ,都有f (x+1)=2f (x ),当0≤x ≤1时,f (x )=x (1-x ),则f (-1.5)的值是( )A. B. C. D.-1161814154f (-1.5)=f (-1.5+1)=f (-0.5),2f (-0.5)=f (0.5).又f (0.5)=0.5×(1-0.5)=,14∴f (-1.5)=f (0.5)=.141165设f (x )是奇函数且在(0,+∞)内为减函数,f (2)=0,则满足不等式<0的x 的取值范围是3f (-x )-2f (x )5x ( )A.(-∞,-2)∪(0,2)B.(-2,0)∪(2,+∞)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-2,0)∪(0,2)f (x )是奇函数,所以f (-x )=-f (x ),所以<0,-3f (x )-2f (x )5x即>0,f (x )x 即x ·f (x )>0.f (x )的函数图象示意图如图所示,故xf (x )>0时,x 的取值范围是(-2,0)∪(0,2).6已知函数f (x )=,若f (1)=,f (2)=1,则函数f (x )的值域是( )ax +b x +112A.(-∞,2)B.(2,+∞)C.(-∞,2)∪(2,+∞)D.(-∞,-2)∪(-2,+∞)f (1)=,f (2)=1可得12{a +b 2=12,2a +b 3=1,解得{a =2,b =-1,即f (x )=.2x -1x +1故f (x )==2-.2x +2-3x +13x +1当x ≠-1时,≠0,3x +1即2-≠2.3x +1故函数f (x )的值域是(-∞,2)∪(2,+∞).7若a<b<c ,则函数f (x )=(x-a )(x-b )+(x-b )·(x-c )+(x-c )(x-a )的两个零点分别位于区间( )A.(a ,b )和(b ,c )内B.(-∞,a )和(a ,b )内C.(b ,c )和(c ,+∞)内D.(-∞,a )和(c ,+∞)内a<b<c ,可得f (a )=(a-b )(a-c )>0,f (b )=(b-c )(b-a )<0,f (c )=(c-a )(c-b )>0.显然f (a )·f (b )<0,f (b )·f (c )<0,故该函数在(a ,b )和(b ,c )上均有零点,故选A .8某公司市场营销的个人月收入与其每月的销售量成一次函数,其图象如图所示,由图象中给出的信息知营销人员没有销售时的收入是( )A.1 310元B.1 300元C.1 290元D.1 320元y=kx+b ,由得k=500,b=1 300.{1 800=k +b ,2 300=2k +by=500x+1 300,当x=0时,y=1 300.9已知函数f (x )的图象向左平移1个单位长度后关于y 轴对称,当x 2>x 1>1时,[f (x 2)-f (x 1)]·(x 2-x 1)<0恒成立,设a=f ,b=f (2),c=f (3),则a ,b ,c 的大小关系为( )(-12)A.c>a>bB.c>b>aC.a>c>bD.b>a>cf (x )的图象关于直线x=1对称,且在(1,+∞)上是减函数.由a=f =f ,故b>a>c.(-12)(52)10设f (x )=3-2|x|,g (x )=x 2-2x ,F (x )=则f (x )的最值是( ){g (x ),f (x )≥g (x ),f (x ),f (x )<g (x ),A .最大值为3,最小值为-1B .最大值为7-2,无最小值7C .最大值为3,无最小值D .既无最大值,也无最小值f (x ),g (x )的图象,依题意知F (x )的图象是如图中的实线部分.从而F (x )无最小值,在A 点处取最大值.由解得A (2-,7-2),故F (x )的最大值为7-2{y =3+2x ,y =x 2-2x ,77.7二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11若f (x )=f (a )=15,则a= . {x 2-1,x ≤0,-3x ,x >0,a ≤0时,有f (a )=a 2-1=15,解得a=-4(a=4舍去);若当a>0时,有f (a )=-3a=15,解得a=-5舍去.综上可知,a=-4.412用二分法求方程x 3+4=6x 2的一个近似解时,已经将一个根锁定在区间(0,1)内,则下一步可断定此根所在的区间为 .f (x )=x 3-6x 2+4,显然f (0)>0,f (1)<0.又因为f -6×+4>0,(12)=(12)3(12)2所以下一步可断定方程的根所在的区间为.(12,1)(12,1)13已知函数f (x )=x 2-6x+8,x ∈[1,a ]的最小值为f (a ),则实数a 的取值范围是 .f (x )=x 2-6x+8在(-∞,3]上是减函数,[3,+∞)上是增函数.∵f (x )=x 2-6x+8在[1,a ]上最小值为f (a ),∴[1,a ]⊆(-∞,3],∴1<a ≤3.14在如图所示的锐角三角形空地上,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x 为 m .,设DE=x m,MN=y m,由三角形相似得,,即,x 40=AD AB =AN AM =40-y 40x 40=40-y 40得x+y=40,即y=40-x (0<x<40).故S=xy=x (40-x )=-x 2+40x ,当x=20时,S 取最大值.15已知函数f (x )=若f (4-5a )>f (3a ),则实数a 的取值范围是 . {x 2+4x ,x ≥0,4x -x 2,x <0,f (x )的图象如图所示,由图象可知f (x )在R 上是增函数,由f (4-5a )>f (3a )可得4-5a>3a ,解得a<.12-∞,12)三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(8分)已知函数f (x )=x 2+x+a.(1)若a=,求f (x )的零点;14(2)若函数f (x )有两个不同的零点,求实数a 的取值范围.当a=时,f (x )=x 2+x+.1414由f (x )=0得x 2+x+=0,14故x=-,即f (x )的零点是x=-.1212(2)若f (x )有两个不同的零点,即方程x 2+x+a=0有两个不相等的实数根,因此Δ=1-4a>0,解得a<,14即实数a 的取值范围是.(-∞,14)17(8分)设函数f (x )的定义域为(0,+∞),且满足f (4)=1,对任意的x 1,x 2∈(0,+∞),有f (x 1·x 2)=f (x 1)+f (x 2),且当x 1≠x 2时,有>0.f (x 2)-f (x 1)x 2-x 1(1)求f (1)的值;(2)若f (x+6)>2,求x 的取值范围.在f (x 1·x 2)=f (x 1)+f (x 2)中,令x 1=1,得f (x 2)=f (1)+f (x 2),故f (1)=0.(2)在f (x 1·x 2)=f (x 1)+f (x 2)中,令x 1=x 2=4,得f (16)=f (4)+f (4)=2.因为当x 1≠x 2时,>0,f (x 2)-f (x 1)x 2-x 1所以f(x)在(0,+∞)内是增函数.又因为f(x+6)>2,所以f(x+6)>f(16),即x+6>16,解得x>10.故x的取值范围是(10,+∞).18(9分)已知函数f(x)=x|x-a|(a∈R).(1)当a=2时,在给定的平面直角坐标系中作出f(x)的图象,并写出f(x)的单调区间;2(2)当a=-2时,求函数y=f(x)在区间(--1,2]上的值域.当a=2时,f(x)=x|x-2|={x2-2x,x≥2,-x2+2x,x<2,函数f(x)的图象如图所示,由图象可知,f(x)的单调递增区间是(-∞,1]和[2,+∞),单调递减区间是[1,2].(2)当a=-2时,f(x)=x|x+2|={x2+2x,x≥-2,-x2-2x,x<-2,画出f(x)的图象如图所示,由图象可知f(x)在(-∞,-2]和[-1,+∞)上是单调递增的,在[-2,-1]上是单调递减的.22而当x∈(--1,2]时,f(x)在(--1,-2]和[-1,2]上是单调递增的,在[-2,-1]上是单调递减的,故当x=-1时,f(x)取最小值f(-1)=-1;当x=2时,f(x)取最大值f(2)=8,故函数f(x)的值域为[-1,8].19(10分)设f(x)是(-∞,+∞)内的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x.(1)求f(π)的值;(2)当-4≤x≤4时,求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积.由f(x+2)=-f(x)得,f (x+4)=f [(x+2)+2]=-f (x+2)=f (x ),故f (π)=f (π-4)=-f (4-π)=-(4-π)=π-4.(2)由f (x )是奇函数与f (x+2)=-f (x ),得f [(x-1)+2]=-f (x-1)=f [-(x-1)],即f (1+x )=f (1-x ).故知函数y=f (x )的图象关于直线x=1对称.又当0≤x ≤1时,f (x )=x ,且f (x )的图象关于原点对称,则当-1≤x ≤0时f (x )=x ,则f (x )的图象如图所示.当-4≤x ≤4时,设f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ,则S=4S △OAB =4×=4.(12×2×1)20(10分)某学校高一年级某班共有学生51人,据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是a 元.若该班全体学生改饮某品牌的桶装纯净水,经测算和市场调查,其年总费用由两部分组成,一部分是购买纯净水的费用,另一部分是其他费用228元,其中,纯净水的销售价x (单位:元/桶)与年购买总量y (单位:桶)之间满足如图所示的关系.(1)求y 关于x 的函数关系式.(2)当a=120时,若该班每年需要纯净水380桶,请你根据提供的信息比较,该班全体学生改饮桶装纯净水的年总费用与该班全体学生购买饮料的年总费用,哪一种更少?说明你的理由.(3)当a 至少为多少时,该班学生集体改饮桶装纯净水的年总费用一定不会超过该班全体学生购买饮料的年总费用?设y=kx+b (k ≠0).∵当x=8时,y=400;当x=10时,y=320,∴解得{400=8k +b ,320=10k +b ,{k =-40,b =720,∴y 关于x 的函数关系式为y=-40x+720(x>0).(2)该班学生买饮料每年总费用为51×120=6 120(元),当y=380时,380=-40x+720,得x=8.5,该班学生集体饮用桶装纯净水的每年总费用为380×8.5+228=3 458(元),故饮用桶装纯净水的年总费用少.(3)设该班每年购买纯净水的费用为P元,则P=xy=x(-40x+720)=-40(x-9)2+3 240,故当x=9时,P max=3 240.要使饮用桶装纯净水的年总费用一定不会超过该班全体学生购买饮料的年总费用,则51a≥P max+228,解得a≥68,故a至少为68时全班饮用桶装纯净水的年总费用一定不会超过该班全体学生购买饮料的年总费用.。

2.1 曲线与方程自我小测1．下列方程中表示相同曲线的一对方程是( ) A ．x ＝y 与y ＝x2B ．y ＝x 与x y＝1 C ．y ＝12l g x 与y ＝l g xD ．y ＝x 与x 2－y 2＝02．方程|x |＋|y |＝1表示的曲线是下图中的( )3．已知点A (－1,0)，B (1,0)，且MA →·MB →＝0，则动点M 的轨迹方程是( ) A ．x 2＋y 2＝1 B ．x 2＋y 2＝2C ．x 2＋y 2＝1(x ≠±1) D．x 2＋y 2＝2(x ≠±2)4．已知0≤α＜2π，点P (cos α，sin α)在曲线(x －2)2＋y 2＝3上，则α的值为( ) A.π3 B.5π3C.π3或5π3D.π3或π65．下列命题正确的是( ) A ．方程xy －2＝1表示斜率为1，在y 轴上的截距是2的直线B ．△ABC 的顶点坐标分别为A (0,3)，B (－2,0)，C (2,0)，则中线AO 的方程是x ＝0 C ．到x 轴距离为5的点的轨迹方程是y ＝5D ．曲线2x 2－3y 2－2x ＋m ＝0通过原点的充要条件是m ＝06．已知点A (a,2)既是曲线y ＝mx 2上的点，也是直线x －y ＝0上的点，则m ＝__________. 7．若动点P 在曲线y ＝2x 2＋1上移动，则点P 与点Q (0，－1)连线的中点的轨迹方程是__________．8．直线y ＝kx ＋1与y ＝2kx －3(k 为常数，且k ≠0)交点的轨迹方程是__________． 9．已知P 为圆(x ＋2)2＋y 2＝1上的动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹形状．10．若直线x ＋y －m ＝0被曲线y ＝x 2所截得的线段长为32，求m 的值．参考答案1．答案：C2．解析：原方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≤0，x －y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，－x ＋y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≤0，x ＋y ＝－1，作出其图象为D.答案：D3．解析：设动点M (x ，y )，则 MA →＝(－1－x ，－y )，MB →＝(1－x ，－y )．由MA →·MB →＝0，得(－1－x )(1－x )＋(－y )(－y )＝0，即x 2＋y 2＝1. 答案：A4．解析：由(cos α－2)2＋sin 2α＝3，得cos α＝12.又0≤α＜2π， ∴α＝π3或5π3.答案：C5．解析：对照曲线和方程的概念，A 中的方程需满足y ≠2；B 中“中线AO 的方程是x＝0(0≤y ≤3)”；而C 中，动点的轨迹方程为|y |＝5，从而只有D 是正确的．答案：D6．解析：根据点A 在曲线y ＝mx2上，也在直线x －y ＝0上，则⎩⎪⎨⎪⎧2＝ma 2，a －2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，m ＝12.答案：127．解析：设PQ 的中点的坐标为(x ，y )，P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋02，y ＝y 0－12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ，y 0＝2y ＋1.又∵点P 在曲线y ＝2x 2＋1上， ∴2y ＋1＝8x 2＋1，即y ＝4x 2. 答案：y ＝4x 28．解析：y ＝kx ＋1与y ＝2kx －3联立，消去k ，得y ＝5. 由y ＝kx ＋1＝5，得kx ＝4. ∵k ≠0，∴x ≠0.故所求的轨迹方程为y ＝5(x ≠0)． 答案：y ＝5(x ≠0)9．解：设M (x ，y )，P (x 1，y 1)． ∵M 为线段OP 的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x12，y ＝y12，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x ，y 1＝2y ，即P (2x,2y )．将P (2x,2y )代入圆的方程(x ＋2)2＋y 2＝1，可得(2x ＋2)2＋(2y )2＝1， 即(x ＋1)2＋y 2＝14，此方程为点M 的轨迹方程，∴点M 的轨迹图形是以(－1,0)为圆心，12为半径的圆．10．分析：直线与曲线交于两点，可设出这两点的坐标，然后灵活应用根与系数的关系求解．解：设直线x ＋y －m ＝0与曲线y ＝x 2相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，联立直线与曲线方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －m ＝0，y ＝x 2.①②将②代入①，得x 2＋x －m ＝0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－1，x 1x 2＝－m ，所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝1＋(－1)2·|x 1－x 2| ＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2·1＋4m＝32，所以1＋4m＝3，所以m的值为2.。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2.1 曲线与方程（人教B版选修2-1）建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、选择题（每小题8分，共32分）1．方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0表示的曲线是( ) A．一条直线和一条双曲线B．两条双曲线C．两个点D．以上答案都不对2．已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1，2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是( )A．2x＋y＋1＝0B．2x－y－5＝0C．2x－y－1＝0D．2x－y＋5＝03．若命题“曲线上的点的坐标都是方程的解”是正确的，下列命题正确的是（）A．方程的曲线是B．坐标满足的点均在曲线上C．曲线是方程的轨迹D．表示的曲线不一定是曲线4.已知是圆上的两点,且||=6,若以为直径的圆恰好经过点(1,-1),则圆心的轨迹方程是( )A.B.C.D.二、填空题（每小题8分，共24分）5．已知两定点A(-2，0)，B(1，0)，若动点P满｜PA｜＝2｜PB｜，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于__________.6．若方程与所表示的两条曲线的交点在方程的曲线上，则的值是__________.7．两个定点的距离为6，点M到这两个定点的距离的平方和为26，则点M的轨迹是 .三、解答题(共44分)8.（22分）如图所示，过点P(2,4)作互相垂直的直线l1，l2.若l1交x轴于A，l2交y轴于B，求线段AB 中点M的轨迹方程．9.（22分）已知△的两个顶点的坐标分别是（-5，0）、（5，0），边所在直线的斜率之积为求顶点的轨迹方程．2.1 曲线与方程（人教B版选修2-1）答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4答案二、填空题5． 6． 7．三、解答题8.9.2.1 曲线与方程（人教B 版选修2-1）答案一、选择题1.C 解析：(x －y)2＋(xy －1)2＝0⇔0,10,x y xy -=⎧⎨-=⎩ 故1,=1,x y =⎧⎨⎩或1,1.x y =-⎧⎨=-⎩因此是两个点.2.D 解析：设点Q(x ，y)，则点P 为(－2－x ,4－y)，代入2x －y ＋3＝0得2x －y ＋5＝0.3.D 解析：由于不能判断以方程的解为坐标的点是否都在曲线上，故方程的曲线不一定是故也不能推出曲线是方程的轨迹，从而得到A ，B ，C 均不正确，故选 D ． 4.A 解析：因为以为直径的圆恰好经过点(1,-1),∴ ,故△为直角三角形,又为斜边中点,∴ ,故点的轨迹是以(1,-1)为圆心,3为半径的圆,其方程为.二、填空题5. 4π 解析：设P (x ，y )为轨迹上任一点，由｜P A ｜＝2｜PB ｜得=4即∴所求面积为4π.6. ±3 解析：联立方程，组成方程组 解得∵ 方程与所表示的两条曲线的交点在方程+=9的曲线上， ∴ 0+=9，∴ =±3.7．以两定点的中点为圆心，以2为半径的圆解析：设两定点分别为A 、B ，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中点为坐标原点建立直角坐标系，则 A (-3，0)，B (3，0)，设M (x ，y )，则=26，即=4. 三、解答题8. 解：设点M 的坐标为(x ，y)，∵ M 是线段AB 的中点，A 点的坐标为(2x,0)，B 点的坐标为(0,2y)． ∴ PA →＝(2x －2，－4)，PB →＝(－2,2y －4)．由已知PA →·PB →＝0，∴－2(2x －2)－4(2y －4)＝0， 即x ＋2y －5＝0.∴ 线段AB 中点M 的轨迹方程为x ＋2y －5＝0. 9. 解：设则 = ＝（≠±5）． 由•=• ，化简可得+＝1，所以动点的轨迹方程为+＝1（≠±5）．。