最新2019高中数学 课时分层作业11 等差数列的前n项和 新人教A版必修5

等差数列的前n 项和[新知初探]1．数列的前n 项和对于数列{a n }，一般地称a 1＋a 2＋…＋a n 为数列{a n }的前n 项和，用S n 表示，即S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n .2．等差数列的前n 项和公式 [小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)数列的前n 项和就是指从数列的第1项a 1起，一直到第n 项a n 所有项的和( ) (2)a n ＝S n －S n －1(n ≥2)化简后关于n 与a n 的函数式即为数列{a n }的通项公式( ) (3)在等差数列{a n }中，当项数m 为偶数2n 时，则S 偶－S 奇＝a n ＋1( ) 解析：(1)正确．由前n 项和的定义可知正确． (2)错误．例如数列{a n }中，S n ＝n 2＋2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1. 又∵a 1＝S 1＝3，∴a 1不满足a n ＝S n －S n －1＝2n －1，故命题错误． (3)错误．当项数m 为偶数2n 时，则S 偶－S 奇＝nd . 答案：(1)√ (2)× (3)×预习课本P42～45，思考并完成以下问题2．等差数列{a n }中，a 1＝1，d ＝1，则S n 等于( ) A ．n B ．n (n ＋1) C ．n (n －1)D.n (n ＋1)2解析：选D 因为a 1＝1，d ＝1，所以S n ＝n ＋n (n －1)2×1＝2n ＋n 2－n 2＝n 2＋n 2＝n (n ＋1)2，故选D.3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝12，S 4＝20，则S 6等于( )A ．16B ．24C ．36D ．48解析：选D 设等差数列{a n }的公差为d ， 由已知得4a 1＋4×32d ＝20， 即4×12＋4×32d ＝20，解得d ＝3，∴S 6＝6×12＋6×52×3＝3＋45＝48.4．在等差数列{a n }中，S 4＝2，S 8＝6，则S 12＝________.解析：由等差数列的性质，S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等差数列，所以2(S 8－S 4)＝S 4＋(S 12－S 8)，S 12＝3(S 8－S 4)＝12.答案：12[典例] 已知等差数列{a n }．(1)a 1＝56，a 15＝－32，S n ＝－5，求d 和n ；(2)a 1＝4，S 8＝172，求a 8和d .[解] (1)∵a 15＝56＋(15－1)d ＝－32，∴d ＝－16.又S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－5， 解得n ＝15或n ＝－4(舍)．(2)由已知，得S8＝8(a1＋a8)2＝8(4＋a8)2＝172，解得a8＝39，又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.[活学活用]设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a2＝3，a8＝11，则S9等于() A．13B．35C．49 D．63解析：选D∵{a n}为等差数列，∴a1＋a9＝a2＋a8，∴S9＝9(a2＋a8)2＝9×142＝63.[典例]已知数列{a n}的前n项和S n＝－2n2＋n＋2.(1)求{a n}的通项公式；(2)判断{a n}是否为等差数列？[解](1)∵S n＝－2n2＋n＋2，∴当n≥2时，S n－1＝－2(n－1)2＋(n－1)＋2＝－2n2＋5n－1，∴a n＝S n－S n－1＝(－2n2＋n＋2)－(－2n2＋5n－1)＝－4n ＋3.又a 1＝S 1＝1，不满足a n ＝－4n ＋3，∴数列{a n }的通项公式是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，－4n ＋3，n ≥2.(2)由(1)知，当n ≥2时，a n ＋1－a n ＝[－4(n ＋1)＋3]－(－4n ＋3)＝－4， 但a 2－a 1＝－5－1＝－6≠－4，∴{a n }不满足等差数列的定义，{a n }不是等差数列．[活学活用]1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝－n 2，则( ) A ．a n ＝2n ＋1 B ．a n ＝－2n ＋1 C ．a n ＝－2n －1D ．a n ＝2n －1解析：选B 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1；n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－n 2＋(n －1)2＝－2n ＋1，此时满足a 1＝－1.综上可知a n ＝－2n ＋1.2．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，根据条件求a n . (1)S n ＝2n 2＋3n ＋2； (2)S n ＝3n －1.解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝7，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2＋3n ＋2)－[2(n －1)2＋3(n －1)＋2]＝4n ＋1，又a 1＝7不适合上式，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧7，n ＝1，4n ＋1，n ≥2.(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n －1)－(3n －1－1)＝2×3n －1，显然a 1适合上式，所以a n ＝2×3n －1(n ∈N *).[典例] (1)等差数列前n 项的和为30，前2n 项的和为100，则它的前3n 项的和为( ) A ．130 B ．170 C ．210D ．260(2)等差数列{a n }共有2n ＋1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n 等于________．(3)已知{a n }，{b n }均为等差数列，其前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝2n ＋2n ＋3，则a 5b 5＝________.[解析] (1)利用等差数列的性质： S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列． 所以S n ＋(S 3n －S 2n )＝2(S 2n －S n )， 即30＋(S 3n －100)＝2(100－30)， 解得S 3n ＝210.(2)因为等差数列共有2n ＋1项，所以S 奇－S 偶＝a n ＋1＝S 2n ＋12n ＋1，即132－120＝132＋1202n ＋1，解得n ＝10.(3)由等差数列的性质，知a 5b 5＝a 1＋a 92b 1＋b 92＝a 1＋a 92×9b 1＋b 92×9＝S 9T 9＝2×9＋29＋3＝53. [答案] (1)C (2)10 (3)53[活学活用]1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝8，S 8＝20，则a 11＋a 12＋a 13＋a 14＝( ) A ．18B ．17C ．16D ．15解析：选A 设{a n }的公差为d ，则a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝S 8－S 4＝12，(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)－S 4＝16d ，解得d ＝14，a 11＋a 12＋a 13＋a 14＝S 4＋40d ＝18.2．等差数列{a n }的通项公式是a n ＝2n ＋1，其前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和为________．解析：因为a n ＝2n ＋1，所以a 1＝3， 所以S n ＝n (3＋2n ＋1)2＝n 2＋2n ， 所以S nn ＝n ＋2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为1，首项为3的等差数列，所以前10项和为3×10＋10×92×1＝75.答案：75[典例] 在等差数列{a n }中，a 1＝25，S 17＝S 9，求前n 项和S n 的最大值． [解] 由S 17＝S 9，得 25×17＋17×(17－1)2d ＝25×9＋9×(9－1)2d ， 解得d ＝－2， [法一 公式法] S n ＝25n ＋n (n －1)2×(－2)＝－(n －13)2＋169. 由二次函数性质得，当n ＝13时，S n 有最大值169. [法二 邻项变号法]∵a 1＝25＞0，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝25－2(n －1)≥0，a n ＋1＝25－2n ≤0，得⎩⎨⎧n ≤1312，n ≥1212，即1212≤n ≤1312.又n ∈N *，∴当n ＝13时，S n 有最大值169.[活学活用]已知{a n }为等差数列，若a 11a 10<－1，且它的前n 项和S n 有最大值，那么当S n 取得最小正值时，n ＝( )A ．11B ．17C ．19D ．21解析：选C ∵S n 有最大值，∴d <0，则a 10>a 11，又a 11a 10<－1，∴a 11<0<a 10，a 10＋a 11<0，S 20＝10(a 1＋a 20)＝10(a 10＋a 11)<0，S 19＝19a 10>0，∴S 19为最小正值．故选C.层级一 学业水平达标1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2－3n ，则{a n }的前n 项和S n 等于( ) A ．－32n 2＋n 2B ．－32n 2－n 2C.32n 2＋n 2D.32n 2－n 2解析：选A ∵a n ＝2－3n ，∴a 1＝2－3＝－1，∴S n ＝n (－1＋2－3n )2＝－32n 2＋n 2.2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 7>0，a 8<0，则下列结论正确的是( ) A ．S 7<S 8 B ．S 15<S 16 C ．S 13>0D ．S 15>0解析：选C 由等差数列的性质及求和公式得，S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7>0，S 15＝15(a 1＋a 15)2＝15a 8<0，故选C.3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．63 B ．45 C ．36D ．27解析：选B ∵a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，而由等差数列的性质可知，S 3，S 6－S 3，S 9－S 6构成等差数列，所以S 3＋(S 9－S 6)＝2(S 6－S 3)，即a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝2×36－3×9＝45.4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n,7a 5＋5a 9＝0，且a 9>a 5，则S n 取得最小值时n 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选B 由7a 5＋5a 9＝0，得a 1d ＝－173.又a 9>a 5，所以d >0，a 1<0.因为函数y ＝d 2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2x 的图象的对称轴为x ＝12－a 1d ＝12＋173＝376，取最接近的整数6，故S n 取得最小值时n 的值为6.5．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5等于( )A ．1B ．－1C ．2D.12解析：选A S 9S 5＝92(a 1＋a 9)52(a 1＋a 5)＝9×2a 55×2a 3＝9a 55a 3＝95×59＝1. 6．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，则该数列的公差为________． 解析：数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝An 2＋Bn －A (n －1)2－B (n －1)＝2An ＋B －A ，当n ＝1时满足，所以d ＝2A .答案：2A7．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S m ＝－2，S m ＋1＝0，S m ＋2＝3，则m ＝________.解析：因为S n 是等差数列{a n }的前n 项和，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，所以S m m ＋S m ＋2m ＋2＝2S m ＋1m ＋1，即－2m ＋3m ＋2＝0，解得m ＝4. 答案：48．设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是________，项数是________．解析：设等差数列{a n }的项数为2n ＋1， S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1 ＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2＝(n ＋1)a n ＋1，S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝n (a 2＋a 2n )2＝na n ＋1， 所以S 奇S 偶＝n ＋1n ＝4433，解得n ＝3，所以项数2n ＋1＝7，S 奇－S 偶＝a n ＋1，即a 4＝44－33＝11为所求中间项． 答案：11 79．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足log 2(S n ＋1)＝n ＋1，求数列{a n }的通项公式． 解：由已知条件，可得S n ＋1＝2n ＋1，则S n ＝2n ＋1－1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n ＋1－1)－(2n －1)＝2n ，又当n ＝1时，3≠21，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2.10．在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项的和，已知a 1＋a 3＝22，S 5＝45. (1)求a n ，S n ；(2)设数列{S n }中最大项为S k ，求k .解：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＝22，5a 3＝45，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝11，a 3＝9， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝13，d ＝－2，所以a n ＝－2n ＋15，S n ＝－n 2＋14n .(2)由a n ≥0可得n ≤7，所以S 7最大，k ＝7.层级二 应试能力达标1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4＝40，S n ＝210，S n －4＝130，则n ＝( ) A ．12 B ．14 C ．16D ．18解析：选B 因为S n －S n －4＝a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝80，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝40，所以4(a 1＋a n )＝120，a 1＋a n ＝30，由S n ＝n (a 1＋a n )2＝210，得n ＝14.2．在等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，且S 2 011＝S 2 014，S k ＝S 2 009，则正整数k 为( ) A ．2 014 B ．2 015 C ．2 016D ．2 017解析：选C 因为等差数列的前n 项和S n 是关于n 的二次函数，所以由二次函数的对称性及S 2 011＝S 2 014，S k ＝S 2 009，可得2 011＋2 0142＝2 009＋k 2，解得k ＝2 016.故选C.3．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 1<0,2S 21＋S 25＝0，则S n 取最小值时，n 的值为( )A ．11B ．12C ．13D ．14解析：选A 设等差数列{a n }的公差为d ，由2S 21＋S 25＝0得，67a 1＋720d ＝0，又d >0，∴67a 11＝67(a 1＋10d )＝67a 1＋670d <0,67a 12＝67(a 1＋11d )＝67a 1＋737d >0，即a 11<0，a 12>0.故选A.4．已知等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n为整数的正整数n 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选D ∵a nb n＝a 1＋a 2n －12b 1＋b 2n －12＝a 1＋a 2n －12(2n －1)b 1＋b 2n －12(2n －1)＝A 2n －1B 2n －1＝7(2n －1)＋452n －1＋3＝14n ＋382n ＋2＝7＋12n ＋1，∴当n 取1,2,3,5,11时，符合条件，∴符合条件的n 的个数是5. 5．若数列{a n }是等差数列，首项a 1<0，a 203＋a 204>0，a 203·a 204<0，则使前n 项和S n <0的最大自然数n 是________．解析：由a 203＋a 204>0⇒a 1＋a 406>0⇒S 406>0，又由a 1<0且a 203·a 204<0，知a 203<0，a 204>0，所以公差d >0，则数列{a n }的前203项都是负数，那么2a 203＝a 1＋a 405<0，所以S 405<0，所以使前n 项和S n <0的最大自然数n ＝405.答案：4056．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4≤4，S 5≥15，则a 4的最小值为________． 解析：S 4＝2(a 1＋a 4)≤4⇒2a 3－d ≤2，S 5＝5a 3≥15⇒a 3≥3.因为2a 3－d ≤2，所以d －2a 3≥－2，又因为a 3≥3，所以2a 3≥6，所以d ≥4，所以a 4＝a 3＋d ≥7，所以a 4的最小值为7.答案：77．已知等差数列{a n }的公差d >0，前n 项和为S n ，且a 2a 3＝45，S 4＝28. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝S n n ＋c(c 为非零常数)，且数列{b n }也是等差数列，求c 的值． 解：(1)∵S 4＝28，∴(a 1＋a 4)×42＝28，a 1＋a 4＝14，a 2＋a 3＝14， 又a 2a 3＝45，公差d >0，∴a 2<a 3，∴a 2＝5，a 3＝9，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝5，a 1＋2d ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4，∴a n ＝4n －3. (2)由(1)，知S n ＝2n 2－n ，∴b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c ， ∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c. 又{b n }也是等差数列，∴b 1＋b 3＝2b 2，即2×62＋c ＝11＋c ＋153＋c， 解得c ＝－12(c ＝0舍去)．8．在等差数列{a n }中，a 10＝23，a 25＝－22.(1)数列{a n }前多少项和最大？(2)求{|a n |}的前n 项和S n .解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋9d ＝23，a 1＋24d ＝－22，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝50，d ＝－3， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3n ＋53.令a n >0，得n <533， ∴当n ≤17，n ∈N *时，a n >0；当n ≥18，n ∈N *时，a n <0，∴{a n }的前17项和最大．(2)当n ≤17，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－32n 2＋1032n . 当n ≥18，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 17－a 18－a 19－…－a n＝2(a 1＋a 2＋…＋a 17)－(a 1＋a 2＋…＋a n )＝2⎝⎛⎭⎫－32×172＋1032×17－⎝⎛⎭⎫－32n 2＋1032n ＝32n 2－1032n ＋884. ∴S n＝⎩⎨⎧－32n 2＋1032n ，n ≤17，n ∈N *，32n 2－1032n ＋884，n ≥18，n ∈N *.。

课时分层作业(十) 等差数列的性质(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．在等差数列{a n }中，a 1＋a 9＝10，则a 5的值为( )A ．5B ．6C ．8D ．10A [由等差数列的性质，得a 1＋a 9＝2a 5，又∵a 1＋a 9＝10，即2a 5＝10，∴a 5＝5.]2．数列{a n }满足3＋a n ＝a n ＋1且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 6(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－2B ．－12C ．2D ．12C [∵a n ＋1－a n ＝3，∴{a n }为等差数列，且d ＝3.a 2＋a 4＋a 6＝9＝3a 4，∴a 4＝3，a 5＋a 7＋a 9＝3a 7＝3(a 4＋3d )＝3(3＋3×3)＝36，∴log 6(a 5＋a 7＋a 9)＝log 636＝2.]3．在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋a 5＝10，则a 7＝( )A ．5B ．8C ．10D ．14B [由等差数列的性质可得a 1＋a 7＝a 3＋a 5＝10，又a 1＝2，所以a 7＝8.]4．已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 等于( )A ．8B ．4C ．6D ．12A [因为a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝4a 8＝32，所以a 8＝8，即m ＝8.]5．下列说法中正确的是( )A ．若a ，b ，c 成等差数列，则a 2，b 2，c 2成等差数列 B ．若a ，b ，c 成等差数列，则log 2a ，log 2b ，log 2c 成等差数列C ．若a ，b ，c 成等差数列，则a ＋2，b ＋2，c ＋2成等差数列D ．若a ，b ，c 成等差数列，则2a ，2b ，2c 成等差数列C [因为a ，b ，c 成等差数列，则2b ＝a ＋c ，所以2b ＋4＝a ＋c ＋4，即2(b ＋2)＝(a ＋2)＋(c ＋2)，所以a ＋2，b ＋2，c ＋2成等差数列．]二、填空题6．若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为________． －21 [设这三个数为a －d ，a ，a ＋d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＋a ＋a ＋d ＝9，（a －d ）2＋a 2＋（a ＋d ）2＝59. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，d ＝－4.∴这三个数为－1，3，7或7，3，－1.∴它们的积为－21.]7．若a ，b ，c 成等差数列，则二次函数y ＝ax 2－2bx ＋c 的图象与x 轴的交点的个数为________．1或2 [∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c ，∴Δ＝4b 2－4ac ＝(a ＋c )2－4ac ＝(a －c )2≥0.∴二次函数y ＝ax 2－2bx ＋c 的图象与x 轴的交点个数为1或2.]8．在通常情况下，从地面到10 km 高空，高度每增加1 km ，气温就下降某一个固定数值．如果1 km 高度的气温是8.5 ℃，5 km 高度的气温是－17.5 ℃，则2 km ，4 km ，8 km 高度的气温分别为________、________、________．2 ℃ －11 ℃ －37 ℃ [用{a n }表示自下而上各高度气温组成的等差数列，则a 1＝8.5，a 5＝－17.5，由a 5＝a 1＋4d ＝8.5＋4d ＝－17.5，解得d ＝－6.5，∴a n ＝15－6.5n .∴a 2＝2，a 4＝－11，a 8＝－37，即2 km ，4 km ，8 km 高度的气温分别为2 ℃，－11 ℃，－37 ℃.]三、解答题9．已知等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝15，a 2a 4a 6＝45，求此数列的通项公式．[解] ∵a 1＋a 7＝2a 4，a 1＋a 4＋a 7＝3a 4＝15，∴a 4＝5.又∵a 2a 4a 6＝45，∴a 2a 6＝9，即(a 4－2d )(a 4＋2d )＝9，(5－2d )(5＋2d )＝9，解得d ＝±2.若d ＝2，a n ＝a 4＋(n －4)d ＝2n －3；若d ＝－2，a n ＝a 4＋(n －4)d ＝13－2n .10．四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．[解] 设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d (公差为2d )，依题意，2a ＝2，且(a －3d )(a ＋3d )＝－8，即a ＝1，a 2－9d 2＝－8，∴d 2＝1，∴d ＝1或d ＝－1.又四个数成递增等差数列，所以d >0，∴d ＝1，故所求的四个数为－2，0，2，4.[能力提升练]1．已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0，则有( )A ．a 1＋a 101>0B ．a 2＋a 101<0C ．a 3＋a 99＝0D ．a 51＝51C [根据性质得：a 1＋a 101＝a 2＋a 100＝…＝a 50＋a 52＝2a 51，由于a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0，所以a 51＝0，又因为a 3＋a 99＝2a 51＝0，故选C.]2．在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则a 9－13a 11的值为( ) A ．14 B ．15 C ．16 D ．17C [设公差为d ，∵a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，∴5a 8＝120，a 8＝24，∴a 9－13a 11＝(a 8＋d )－13(a 8＋3d )＝23a 8＝16.] 3．若m ≠n ，两个等差数列m ，a 1，a 2，n 与m ，b 1，b 2，b 3，n 的公差分别为d 1和d 2，则d 1d 2的值为________．43 [n －m ＝3d 1，d 1＝13(n －m )． 又n －m ＝4d 2，d 2＝14(n －m )． ∴d 1d 2＝13（n －m ）14（n －m ）＝43.] 4．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共为4升，则第5节的容积为________升．6766[设自上而下各节的容积构成的等差数列为a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7，a 8，a 9. 则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝4a 1＋6d ＝3，a 7＋a 8＋a 9＝3a 1＋21d ＝4， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1322，d ＝766，故a 5＝a 1＋4d ＝6766.] 5．两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，那么它们共有多少相同的项？[解] 设已知的两数列的所有相同的项构成的新数列为{c n }，c 1＝11，又等差数列5，8，11，…的通项公式为a n ＝3n ＋2，等差数列3，7，11，…的通项公式为b n ＝4n －1. 所以数列{c n }为等差数列，且公差d ＝12， ①所以c n ＝11＋(n －1)×12＝12n －1. 又a 100＝302，b 100＝399，c n ＝12n －1≤302，② 得n ≤2514，可知两数列共有25个相同的项．。

课时作业10 等差数列的前n 项和时间：45分钟 分值：100分一、选择题(每小题6分，共计36分)1．在等差数列{a n }中，S 10＝120，那么a 1＋a 10的值是( ) A ．12 B ．24 C ．36 D ．48解析：S 10＝a 1＋a 102＝5(a 1＋a 10)＝120，∴a 1＋a 10＝24. 答案：B2．等差数列{a n }中，a 5＝10，S 3＝3，则( ) A ．a 1＝－2，d ＝3 B ．a 1＝2，d ＝－3 C ．a 1＝－3，d ＝2 D ．a 1＝3，d ＝－2 解析：∵S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝3，∴a 2＝1. 又a 5＝10， ∴d ＝a 5－a 25－2＝10－13＝3.∴a 1＝a 2－d ＝1－3＝－2. 答案：A3．已知{a n }是等差数列，a 10＝10，其前10项和S 10＝70，则其公差d 为( ) A ．－23B ．－13C.13D.23解析：由S 10＝70，可以得到a 1＋a 10＝14，即a 1＝4. 所以d ＝a 10－a 19＝23.故选D. 答案：D4．若一个等差数列{a n }的前3项和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有( )A ．13项B ．12项C ．11项D ．10项解析：a 1＋a 2＋a 3＋a n －2＋a n －1＋a n ＝34＋146＝180， 所以3(a 1＋a n )＝180，即a 1＋a n ＝60. 由S n ＝390，知n a 1＋a n2＝390.所以n ×602＝390，解得n ＝13.故选A.答案：A5．在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝20，则数列前15项的和S 15的值为( ) A ．60 B ．22 C ．20D ．－8解析：∵a 1＋3a 8＋a 15＝20，∴5a 8＝20， ∴a 8＝4. ∴S 15＝a 1＋a 152＝15a 8＝15×4＝60.答案：A6．已知数列{a n }中，a 1＝－60，a n ＋1＝a n ＋3，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 30|等于( ) A ．445 B ．765 C ．1080D ．1305 解析：∵a n ＋1＝a n ＋3，∴a n ＋1－a n ＝3为常数，故{a n }为等差数列． ∴a n ＝－60＋(n －1)×3，即a n ＝3n －63∴a n ＝0时，n ＝21；a n >0时，n >21；a n <0时，n <21 ∴S 30′＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 30|＝－a 1－a 2－a 3－…－a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 30 ＝－2(a 1＋a 2＋…＋a 21)＋S 30 ＝－2S 21＋S 30 ＝765.故选B. 答案：B二、填空题(每小题8分，共计24分)7．已知{a n }是等差数列， a 4＋a 6＝6，其前5项和S 5＝10，则其公差为d ＝________. 解析：a 4＋a 6＝a 1＋3d ＋a 1＋5d ＝6. ①S 5＝5a 1＋12×5×(5－1)d ＝10. ②由①②得a 1＝1，d ＝12.答案：128．已知数列{a n }前n 项和S n ＝－2n 2＋3n ，则a n ＝________. 解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝－2＋3＝1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－2n 2＋3n ＋2(n －1)2－3(n －1)＝－4n ＋5. 又当n ＝1时，－4×1＋5＝1， 故n ＝1时满足a n ＝－4n ＋5. ∴a n ＝－4n ＋5. 答案：－4n ＋59．等差数列{a n }中，若S 12＝8S 4，且d ≠0，则a 1d＝________. 解析：∵S 12＝8S 4，∴12a 1＋12×112d ＝8(4a 1＋4×32d )．∴20a 1＝18d .∴a 1d ＝1820＝910. 答案：910三、解答题(共计40分)10．(10分)已知{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，已知a 3＝11，S 9＝153，求{a n }的通项公式．解：由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝11，9a 1＋9×82d ＝153，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，a 1＝5.∴{a n }的通项公式为a n ＝3n ＋2.11．(15分)甲、乙两物体分别从相距70 m 的两处同时相向运动．甲第1分钟走2 m ，以后每分钟比前1分钟多走1 m ，乙每分钟走5 m.(1)甲、乙开始运动后几分钟第一次相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m ，乙继续每分钟走5 m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇？解：(1)设n 分钟后第一次相遇，依题意， 得2n ＋n n －2＋5n ＝70，整理得n 2＋13n －140＝0， 解得n ＝7，n ＝－20(舍去)．甲、乙第一次相遇是在开始运动后7分钟． (2)设n 分钟后第二次相遇，依题意，得 2n ＋n n －2＋5n ＝3×70，整理得n 2＋13n －6×70＝0， 解得n ＝15，n ＝－28(舍去)．甲、乙第二次相遇是在开始运动后15分钟．12．(15分)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，a n ＝2S 2n2S n －1(n ≥2)，求a n .解：当n ≥2时，将S n －S n －1＝a n 代入式子a n ＝2S 2n2S n －1，得S n －S n －1＝2S 2n2S n －1.整理，得S n －1－S n ＝2S n ·S n －1.两边同除S n ·S n －1得1S n －1S n －1＝2(n ≥2)．∴数列{1S n}是以2为公差的等差数列．则1S n ＝1S 1＋2(n －1)＝2n －1.∴S n ＝12n －1(S 1＝a 1＝1也适合此式)．当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－2n －n －.当n ＝1时，a 1＝1不适合上式， ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，－2n －n －，n ≥2.。

第11课时 等差数列的前n 项和知识点一 等差数列前n 项和公式的简单应用1．已知等差数列{a n }中，a 2＝7，a 4＝15，则S 10等于( ) A ．100 B ．210 C ．380 D ．400 答案 B 解析 ∵d ＝a 4－a 24－2＝15－72＝4，又a 2＝a 1＋d ＝7，∴a 1＝3．∴S 10＝10a 1＋10×92d ＝10×3＋45×4＝210．故选B ．2．在等差数列{a n }中，S 10＝120，则a 2＋a 9＝( ) A ．12 B ．24 C ．36 D ．48 答案 B 解析 ∵S 10＝10a 1＋a 102＝5(a 2＋a 9)＝120，∴a 2＋a 9＝24．3．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 7＝35，则a 4＝( ) A ．8 B ．7 C ．6 D ．5 答案 D 解析 ∵S 7＝a 1＋a 72×7＝35，∴a 1＋a 7＝10，∴a 4＝a 1＋a 72＝5．知识点二 “知三求二”问题4．等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＋a 5＝14，其前n 项和S n ＝100，则n ＝( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 答案 B解析 a 1＝1，a 3＋a 5＝2a 1＋6d ＝14，∴d ＝2，∴S n ＝n ＋n n －12×2＝100．∴n ＝10．5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝S 3＝12，则{a n }的通项a n ＝________． 答案 2n解析 由已知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝12，3a 1＋3d ＝12⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝2.故a n ＝2n ．知识点三 a n 与S n 的关系6．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2－3n ，则{a n }的前n 项和S n 等于( ) A ．－32n 2＋n 2 B ．－32n 2－n2C ．32n 2＋n 2D ．32n 2－n 2 答案 A解析 易知{a n }是等差数列且a 1＝－1，所以S n ＝n a 1＋a n2＝n 1－3n2＝－32n 2＋n2．故选A ．7．已知等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n ，则过P (1，a 1)，Q (2，a 2)两点的直线的斜率是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析 ∵S n ＝n 2＋n ，∴a 1＝S 1＝2，a 2＝S 2－S 1＝6－2＝4．∴过P ，Q 两点直线的斜率k ＝a 2－a 12－1＝4－21＝2．8．已知{a n }的前n 项之和S n ＝2n＋1，则此数列的通项公式为________．答案 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＝1，2n －1n ≥2解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2＋1＝3， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－(2n －1＋1)＝2n －1，又21－1＝1≠3，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＝1，2n －1n ≥2.易错点一 等差数列的特点考虑不周全9．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋3n ＋2，判断{a n }是否为等差数列．易错分析 本题容易产生如下错解：∵a n ＝S n －S n －1＝(n 2＋3n ＋2)－[(n －1)2＋3(n －1)＋2]＝2n ＋2．a n ＋1－a n ＝[2(n ＋1)＋2]－(2n ＋2)＝2(常数)，∴数列{a n }是等差数列．需注意：a n ＝S n －S n －1是在n ≥2的条件下得到的，a 1是否满足需另外计算验证． 解 a 1＝S 1＝6；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2＋3n ＋2)－[(n －1)2＋3(n －1)＋2]＝2n ＋2，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6n ＝1，2n ＋2n ≥2，显然a 2－a 1＝6－6＝0，a 3－a 2＝2，∴{a n }不是等差数列．易错点二 忽略对项数的讨论10．已知等差数列{a n }的第10项为－9，前11项和为－11，求数列{|a n |}的前n 项和T n ． 易错分析 对于特殊数列求和，往往要注意项数的影响，要对部分特殊项进行研究，否则计算易错．解 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，前n 项和为S n ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝－9，11a 1＋11×102d ＝－11，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝－2，所以a n ＝9－2(n －1)＝11－2n ． 由a n ＞0，得n ＜112，则从第6项开始数列各项均为负数，那么 ①当n ≤5时，数列{a n }的各项均为正数，T n ＝n a 1＋a n 2＝n 9＋11－2n 2＝n (10－n )；②当n ≥6时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝－(a 1＋a 2＋…＋a n )＋2(a 1＋a 2＋…＋a 5)＝－S n ＋2S 5＝n 2－10n ＋2×(10×5－52)＝n 2－10n ＋50．所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n 10－n ，1≤n ≤5，n 2－10n ＋50，n ≥6.一、选择题1．在各项均不为零的等差数列{a n }中，若a n ＋1－a 2n ＋a n －1＝0(n ≥2)，则S 2n －1－4n ＝( ) A ．－2 B ．0 C ．1 D ．2 答案 A解析 ∵{a n }是等差数列，∴2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)．又a n ＋1－a 2n ＋a n －1＝0(n ≥2)，∴2a n－a 2n ＝0．∵a n ≠0，∴a n ＝2，∴S 2n －1－4n ＝(2n －1)×2－4n ＝－2．故选A ．2．《九章算术》是我国第一部数学专著，下有源自其中的一个问题：“今有金箠(chuí)，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．问金箠重几何？”其意思为：“今有金杖(粗细均匀变化)长5尺，截得本端1尺，重4斤，截得末端1尺，重2斤．问金杖重多少？”则答案是( )A ．14斤B ．15斤C ．16斤D ．18斤 答案 B解析 由题意可知等差数列中a 1＝4，a 5＝2，则S 5＝a 1＋a 5×52＝4＋2×52＝15， ∴金杖重15斤．故选B ．3．一个等差数列的项数为2n ，若a 1＋a 3＋…＋a 2n －1＝90，a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝72，且a 1－a 2n ＝33，则该数列的公差是( )A ．3B ．－3C ．－2D ．－1 答案 B解析 由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＋…＋a 2n －1＝na 1＋n n －12×2d ＝90，a 2＋a 4＋…＋a2n＝na 2＋n n －12×2d ＝72，得nd ＝－18．又a 1－a 2n ＝－(2n －1)d ＝33，所以d ＝－3．4．一同学在电脑中打出如下图案：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此图案依此规律继续下去，那么在前120个中的●的个数是( )A ．12B ．13C ．14D ．15 答案 C解析 S ＝(1＋2＋3＋…＋n )＋n ＝n n ＋12＋n ≤120，∴n (n ＋3)≤240，∴n ＝14．故选C ．5．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( ) A ．765 B ．665 C ．763 D ．663 答案 B解析 ∵a 1＝2，d ＝7，2＋(n －1)×7＜100，∴n ＜15．∴n ＝14，S 14＝14×2＋12×14×13×7＝665．二、填空题6．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，则a 1＋a 5＝________． 答案 11解析 由S n ＝n 2＋1，得a 1＝12＋1＝2，a 5＝S 5－S 4＝(52＋1)－(42＋1)＝9．∴a 1＋a 5＝2＋9＝11．7．S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S n S 2n ＝n ＋14n ＋2，则a 3a 5＝________．答案 35解析 ∵S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S n S 2n ＝n ＋14n ＋2， ∴S 1S 2＝a 1a 1＋a 1＋d ＝26＝13，∴3a 1＝2a 1＋d ，∴a 1＝d ，∴a 3a 5＝a 1＋2d a 1＋4d ＝3d 5d ＝35．8．在等差数列{a n }中，a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9，且a n ＜0，则S 10＝________． 答案 －15解析 由a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9得(a 3＋a 8)2＝9， ∵a n ＜0，∴a 3＋a 8＝－3． ∴S 10＝10a 1＋a 102＝10a 3＋a 82＝10×－32＝－15． 三、解答题9．设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和，求T n ．解 设等差数列{a n }的公差为d ，∵S 7＝7，S 15＝75，∴⎩⎪⎨⎪⎧7a 1＋21d ＝7，15a 1＋105d ＝75，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝1，a 1＋7d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝1，∴S n n ＝a 1＋12(n －1)d ＝－2＋12(n －1)， ∵S n ＋1n ＋1－S n n ＝12， ∴数列S n n 是等差数列，其首项为－2，公差为12，∴T n ＝n ×(－2)＋n n －12×12＝14n 2－94n ． 10．已知{a n }是等差数列，公差为d ，首项a 1＝3，前n 项和为S n ，令c n ＝(－1)nS n (n ∈N *)，{c n }的前20项和T 20＝330．数列{b n }满足b n ＝2(a －2)dn －2＋2n －1，a ∈R ．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＋1≤b n ，n ∈N *，求a 的取值范围． 解 (1)设等差数列的公差为d ，因为c n ＝(－1)nS n ，所以T 20＝－S 1＋S 2－S 3＋S 4＋…＋S 20＝330， 则a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 20＝330，则10(3＋d )＋10×92×2d ＝330，解得d ＝3，所以a n ＝3＋3(n －1)＝3n ． (2)由(1)知b n ＝2(a －2)3n －2＋2n －1，b n ＋1－b n＝2(a －2)3n －1＋2n－[2(a －2)3n －2＋2n －1]＝4(a －2)3n －2＋2n －1＝4·3n －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －2＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －2，由b n ＋1≤b n ⇔(a －2)＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －2≤0⇔a ≤2－12⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －2，因为2－12⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －2随着n 的增大而增大，所以n ＝1时，2－12⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －2最小值为54，所以a ≤54．。

马鸣风萧萧高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作作业5 等差数列前n 项和一、选择题1.前n 个正整数的和为（ ） A.)1(+n n B.)1(-n n C.2)1(-n n D. 2)1(+n n 2.等差数列}{n a ，421=+a a ，2887=+a a ，则该数列前10项和10S = （ ） A .64 B.100 C.110 D.120 3.等差数列}{n a ，公差不为0，前n 项和为n S ，若7324a a a =，328=S ，则=10S （ ） A.18 B.24 C.60 D.90 4.等差数列}{n a ，前n 项和为n S ，若181375=a a ，则=139S S（ ） A.1813 B.75 C.21 D.139 5.数列{n a }，前n 项和为n S ，n a n 226-=使n S 最大的n 为（ ）A.11或12B.12C.13D.12或13 二、填空题6.等差数列}{n a 的，前n 项和为n S ，63=S ，43=a ，则公差d =7等差数列}{n a ,)1(),1(31-=+=x f a x f a 其中24)(2+-=x x x f ，n a =8.若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，525S =，23a =，则9a =9.}60,12|{<∈-==+m N n n m m M ， M 中所有元素的和=三、解答题10.下列数列均为等差数列，根据条件求相应的未知数1、201=a ，54=n a ，n S =999，求d ，n2、2=d ，15=n ，10-=n a ，求1a 、n S 11.设{}n a 是公差不为零的等差数列，n S 为其前n 项和，满足2222234577a a a a ,S +=+=求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；12. 点（1，2）是函数()(01)xf x a a a =>≠且图象上一点，数列}{n a 的前n 项和为：1)(-=n f S n 求数列}{n a 的通项公式13. .已知}{n a 为等差数列，前n 项和为n S ，531a a a ++=105，642a a a ++=99①求20a②当n 为和值是n S 的最大？最大是多少？一、选择题二、填空题6． 7．8． 9． ，三、解答题 10． 11.12. 13.1 2 3 4 5。

2.3 等差数列的前n 项和第1课时数列的前n 项和与等差数列的前n 项和A 级 基础巩固一、选择题1．在等差数列{a n }中，S 10＝120，那么a 1＋a 10的值是( )A ．12B ．24C ．36D ．48解析：由S 10＝10（a 1＋a 10）2，得a 1＋a 10＝S 105＝1205＝24. 答案：B2．记等差数列前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则该数列的公差d 等于( )A ．2B ．3C ．6D ．7解析：法一：由⎩⎨⎧S 2＝2a 1＋d ＝4，S 4＝4a 1＋6d ＝20.解得d ＝3.法二：由S 4－S 2＝a 3＋a 4＝a 1＋2d ＋a 2＋2d ＝S 2＋4d ，所以20－4＝4＋4d ，解得d ＝3.答案：B3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( )A ．63B ．45C ．36D ．27解析：因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，而由等差数列的性质可知，S 3，S 6－S 3，S 9－S 6构成等差数列，所以S 3＋(S 9－S 6)＝2(S 6－S 3)，即S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝2×36－3×9＝45.答案：B4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4＝40，S n ＝210，S n －4＝130，则n ＝( )A ．12B ．14C ．16D ．18解析：因为S n －S n －4＝a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝80，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝40，所以4(a 1＋a n )＝120，a 1＋a n ＝30，由S n ＝n （a 1＋a n ）2＝210，得n ＝14.答案：B5．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5等于( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D.12解析：S 9S 5＝92（a 1＋a 9）52（a 1＋a 5）＝9×2a 55×2a 3＝9a 55a 3＝95×59＝1. 答案：A二、填空题6．已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，且数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1是等差数列，则a 11等于________．解析：设⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n ＋1的公差为d ，则有1a 7＋1＝1a 3＋1＋4d ， 解得d ＝124，所以1a 11＋1＝1a 3＋1＋8d ， 即1a 11＋1＝12＋1＋13， 解得a 11＝12. 答案：127．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，则该数列的公差为________．解析：数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝An 2＋Bn －A (n －1)2－B (n －1)＝2An ＋B －A ，当n ＝1时满足，所以d ＝2A .答案：2A8．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －30，S n 是{|a n |}的前n 项和，则S 10＝________．解析：a n ＝2n －30，令a n ＜0，得n ＜15，即在数列{a n }中，前14项均为负数，所以S 10＝－(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10)＝－102(a 1＋a 10)＝－5[(－28)＋(－10)]＝190. 答案：190三、解答题9．等差数列{a n }中，a 10＝30，a 20＝50.(1)求数列的通项公式；(2)若S n ＝242，求n .解：(1)设数列{a n }的首项为a 1，公差为d .则⎩⎨⎧a 10＝a 1＋9d ＝30，a 20＝a 1＋19d ＝50，解得⎩⎨⎧a 1＝12，d ＝2.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝12＋(n －1)×2＝10＋2n .(2)由S n ＝na 1＋n （n －1）2d 以及a 1＝12， d ＝2，S n ＝242，得方程242＝12n ＋n （n －1）2·2， 即n 2＋11n －242＝0，解得n ＝11或n ＝－22(舍去)．故n ＝11.10．已知等差数列{a n }的公差劲d ＝1，前n 项和为S n .(1)若1，a 1，a 3成等比数列，求a 2；(2)若S 5＞a 1a 9求a 1的取值范围．解：(1)因为数列{a n }的公差d ＝－1，且1，a 1，a 3成等比数列，所以a 21＝1×(a 1＋2)，即a 21－a 1－2＝0，解得a 1＝－1或2.(2)因为数列{a n }的公差d ＝1，且S 5＞a 1a 9，所以5a 1＋10＞a 21＋8a 1，即a 21＋3a 1－10＜0，解得－5＜a 1＜2.故a 1的取值范围是(－5，2)．B 级 能力提升1．若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *), 则数列{a n }的前n 项和数值最大时，n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：因为a n ＋1－a n ＝－3，所以数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列，所以a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n .设前k 项和最大，则有⎩⎨⎧a k ≥0，a k ＋1≤0，所以⎩⎨⎧22－3k ≥0，22－3（k ＋1）≤0，所以193≤k ≤223，因为k ∈N *，所以k ＝7.故满足条件的n 的值为7.答案：B2．在等差数列{a n }中，a 10＜0，a 11＞0，且a 11＞|a 10|，则满足S n ＜0的n 的最大值为________．解析：因为a 10＜0，a 11＞0，且a 11＞|a 10|，所以a 11＞－a 10，a 1＋a 20＝a 10＋a 11＞0，所以S 20＝20（a 1＋a 20）2＞0. 又因为a 10＋a 10＜0，所以S 19＝19×（a 10＋a 10）2＝19a 10＜0，故满足S n ＜0的n 的最大值为19.答案：193．设数列{a n }的前n 项和为S n ，点⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，S n n (n ∈N *)均在函数y ＝3x －2的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝3a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)依题意，得S n n＝3n －2， 即S n ＝3n 2－2n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n 2－2n )－[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5；当n ＝1时，a 1＝1也适合．即a n ＝6n －5.(2)由(1)得b n ＝3a n a n ＋1＝3（6n －5）[6（n ＋1）－5]＝ 12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫16n －5－16n ＋1，故T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝ 12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－17＋⎝ ⎛⎭⎪⎫17－113＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫16n －5－16n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－16n ＋1.。

课时达标训练(十一) 等比数列的性质[即时达标对点练]题组1 等比数列的性质1．等比数列{a n }满足a n >0，n ∈N *，且a 3·a 2n －3＝22n(n ≥2)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 2n －1＝( )A ．n (2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)2解析：选A 由等比数列的性质，得a 3·a 2n －3＝a 2n ＝22n，所以a n ＝2n.法一：log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 2n －1＝log 2[(a 1a 2n －1)·(a 2a 2n －2)·…·(a n －1a n ＋1)·a n ]＝log 22n (2n －1)＝n (2n －1)．法二：取n ＝1，log 2a 1＝log 22＝1，而(1＋1)2＝4，(1－1)2＝0，排除B ，D ；取n ＝2，log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＝log 22＋log 24＋log 28＝6，而22＝4，排除C ，选A.2．已知各项均为正数的等比数列{}a n 中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6＝( ) A ．5 2 B ．7 C ．6 D ．4 2解析：选A 由等比数列的性质知a 1a 2a 3＝(a 1a 3)a 2＝a 32＝5，a 7a 8a 9＝(a 7a 9)·a 8＝a 38＝10， 所以a 2a 8＝5013，所以a 4a 5a 6＝(a 4a 6)a 5＝a 35＝(a 2a 8)3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫50163＝ 5 2. 3．等比数列{}a n 的各项均为正数，公比为q ，若q 2＝4，则a 3＋a 4a 4＋a 5的值为( ) A.12 B ．±12 C ．2 D ．±2 解析：选A 由q 2＝4得q ＝±2， 因为数列{}a n 各项均为正数，所以q ＝2， 又因为a 4＝a 3q ，a 5＝a 4q ， ∴a 4＋a 5＝a 3q ＋a 4q ＝(a 3＋a 4)q ， ∴a 3＋a 4a 4＋a 5＝1q ＝12. 4．已知{}a n 为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( ) A ．7 B ．5 C ．－5 D ．－7 解析：选D 设数列{}a n 的公比为q ， 由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝2，a 5·a 6＝a 4·a 7＝－8得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4，a 7＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－8，q 3＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q 3＝－2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－8，a 10＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 10＝－8，所以a 1＋a 10＝－7.5．等比数列{}a n 中，若a 2，a 9是方程3x 2－11x ＋6＝0的两根，则log 2(a 1a 2…a 10)＝________．解析：由根与系数的关系，得a 2a 9＝2， 又a 2a 9＝a 1a 10＝a 3a 8＝a 4a 7＝a 5a 6， 所以log 2(a 1a 2…a 10)＝log 225＝5. 答案：56．等比数列的前三项和为168，a 2－a 5＝42，求a 5，a 7的等比中项． 解：设该等比数列的公比为q ，首项为a 1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝168，a 1q －a 1q 4＝42， 化简为⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1＋q ＋q 2）＝168， ①a 1q （1－q 3）＝42. ② 因为1－q 3＝(1－q )(1＋q ＋q 2)， 则①②两式相除得q (1－q )＝14⇒q ＝12.所以a 1＝4212－⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝96.若G 是a 5，a 7的等比中项，则G 2＝a 5a 7＝a 1q 4·a 1q 6＝a 21q 10＝962·⎝ ⎛⎭⎪⎫1210＝9，则G ＝±3. 所以a 5，a 7的等比中项是±3. 题组2 等比数列性质的综合应用7．设{}a n 是由正数组成的等比数列，公比q ＝2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30＝230，则a 3·a 6·a 9·…·a 30＝( )A ．210B ．220C ．216D ．215解析：选B ∵a 1a 2a 3＝a 32，a 4a 5a 6＝a 35，a 7a 8a 9＝a 38，…，a 28a 29a 30＝a 329，∴a 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9…a 28a 29a 30＝(a 2a 5a 8…a 29)3＝230.∴a 2a 5a 8…a 29＝210.则a 3a 6a 9…a 30＝(a 2q )(a 5q )(a 8q )…(a 29q )＝(a 2a 5a 8…a 29)q 10＝210×210＝220.8．若1，a 1，a 2，4成等差数列；1，b 1，b 2，b 3，4成等比数列，则a 1－a 2b 2的值等于( ) A ．－12 B.12 C ．±12 D.14解析：选A ∵1，a 1，a 2，4成等差数列， ∴3(a 2－a 1)＝4－1， ∴a 2－a 1＝1.又∵1，b 1，b 2，b 3，4成等比数列，设其公比为q ， 则b 22＝1×4＝4，且b 2＝1×q 2＞0，∴b 2＝2， ∴a 1－a 2b 2＝－（a 2－a 1）b 2＝－12. 9．某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M ，M 的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M 的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M 的价值为上年初的75%，则第n 年初M 的价值a n ＝________.解析：当n ≤6时，数列{a n }是首项为120，公差为－10的等差数列，故a n ＝120－10(n －1)＝130－10n ；当n ≥7时，a 6，a 7，…，a n 是首项为a 6＝70，公比为34的等比数列，故a n ＝70×⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －6.综上可得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧130－10n ，n ≤6，70×⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －6，n ≥7.答案：⎩⎪⎨⎪⎧130－10n ，n ≤6，70×⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －6，n ≥710．三个互不相等的数成等差数列，如果适当排列这三个数，又可成为等比数列，这三个数的和为6，求这三个数．解：由已知，可设这三个数为a －d ，a ，a ＋d ，则a －d ＋a ＋a ＋d ＝6，∴a ＝2，这三个数可表示为2－d ，2，2＋d ，①若2－d 为等比中项，则有(2－d )2＝2(2＋d )， 解之得d ＝6，或d ＝0(舍去)．此时三个数为－4，2，8. ②若2＋d 是等比中项，则有(2＋d )2＝2(2－d )， 解之得d ＝－6，或d ＝0(舍去)． 此时三个数为8，2，－4.③若2为等比中项， 则22＝(2＋d )·(2－d )， ∴d ＝0(舍去)．综上可求得此三数为－4，2，8.[能力提升综合练]1．已知等比数列{}a n 中，a 3a 11＝4a 7，数列{}b n 是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9等于( ) A ．2 B ．4 C. 8 D ．16 解析：选C 等比数列{}a n 中，a 3a 11＝a 27＝4a 7，解得a 7＝4.等差数列{b n }中，b 5＋b 9＝2b 7＝2a 7＝8.故选C.2．已知各项不为0的等差数列{}a n 满足a 4－2a 27＋3a 8＝0，数列{}b n 是等比数列，且b 7＝a 7，则b 2b 8b 11等于( )A ．1B ．2C ．4D ．8 解析：选D 由已知，a 4－2a 27＋3a 8＝0， 即4a 7－2a 27＝0，又各项不为0，a 7＝2， 所以b 7＝2，则b 2b 8b 11＝b 37＝8.3．在等比数列{}a n 中，a 7a 11＝6，a 4＋a 14＝5，则a 20a 10＝________． 解析：因为a 7a 11＝a 4a 14＝6，又a 4＋a 14＝5，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝2，a 14＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝3，a 14＝2，所以a 20a 10＝q 10＝a 14a 4， 所以a 20a 10＝32或a 20a 10＝23. 答案：32或234．在右列表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则x ＋y ＋z 的值为________．解析：∵x 2＝24，∴x ＝1.∵第一行中的数成等差数列，首项为2，公差为1，故后两格中数字分别为5，6.同理，第二行后两格中数字分别为2.5，3.∴y ＝5·⎝ ⎛⎭⎪⎫123，z ＝6·⎝ ⎛⎭⎪⎫124.∴x ＋y ＋z ＝1＋5·⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋6·⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝3216＝2.答案：25．设数列{}a n 是等差数列，b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12an ，已知b 1＋b 2＋b 3＝218，b 1·b 2·b 3＝18，求数列{}a n 的通项公式．解：设数列{}a n 的公差为d ，则b n ＋1b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12d.∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12d为非零常数，∴数列{}b n 是等比数列，设公比为q .∵b 1＋b 2＋b 3＝218，b 1·b 2·b 3＝18， ∴⎩⎪⎨⎪⎧b 2q ＋b 2＋b 2q ＝218，b 32＝18.解得b 2＝12，q ＝14或q ＝4.当q ＝4时，b 1＝18，b n ＝b 1·q n －1＝18×4n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫125－2n .又b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ，∴a n ＝5－2n .当q ＝14时，b 1＝2，b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －3.又b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12an ，∴a n ＝2n －3. 综上可知a n ＝5－2n 或a n ＝2n －3.6．已知各项都为正数的等比数列{a n }中，a 1a 5＋2a 2a 6＋a 3a 7＝100，a 2a 4－2a 3a 5＋a 4a 6＝36，求此数列的通项公式．解：∵a 1a 5＝a 2a 4＝a 23，a 2a 6＝a 3a 5，a 3a 7＝a 4a 6＝a 25，∴由⎩⎪⎨⎪⎧a 1a 5＋2a 2a 6＋a 3a 7＝100，a 2a 4－2a 3a 5＋a 4a 6＝36得⎩⎪⎨⎪⎧a 23＋2a 3a 5＋a 25＝100，a 23－2a 3a 5＋a 25＝36， 即⎩⎪⎨⎪⎧（a 3＋a 5）2＝100，（a 3－a 5）2＝36.∵数列{a n }的各项均为正数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 5＝10，a 3－a 5＝±6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝8，a 5＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝2，a 5＝8.∴公比q ＝a 5a 3＝12或2. ∴a n ＝a 3·q n －3＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3＝26－n或a n ＝2×2n －3＝2n －2.即a n ＝26－n或a n ＝2n －2.。

【高考调研】2015年高中数学 课时作业11 等差数列（第3课时）新人教版必修51．在等差数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＋a 3＝13，则a 4＋a 5＋a 6等于( ) A ．40 B ．42 C ．43 D ．45答案 B解析 ∵a 2＋a 3＝13，∴2a 1＋3d ＝13.∵a 1＝2，∴d ＝3. 而a 4＋a 5＋a 6＝3a 5＝3(a 1＋4d )＝42.2．在等差数列－5，－312，－2，－12，…中，每相邻两项之间插入一个数，使之组成一个新的等差数列，则新数列的通项公式为( )A ．an ＝34n －234B ．an ＝－5－32(n －1)C ．an ＝－5－34(n －1)D ．an ＝54n 2－3n答案 A解析 首项为－5，公差为－312＋52＝34，∴an ＝－5＋(n －1)·34＝34n －234.3．若a ，b ，c 成等差数列，则二次函数y ＝ax 2＋2bx ＋c 的图像与x 轴交点的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．1或2答案 D解析 ∵a 、b 、c 成等差，∴2b ＝a ＋c .∴Δ＝(2b )2－4ac ＝(a ＋c )2－4ac ＝(a －c )2≥0.4．数列{an }中，a 1＝15,3an ＋1＝3an －2，那么该数列中相邻两项的乘积为负数的是( )A ．a 21和a 22B ．a 22和a 23C ．a 23和a 24D ．a 24和a 25 答案 C解析 由3an ＋1＝3an －2可知{an }为等差数列，又a 1＝15， ∴an ＝15＋(n －1)·(－23)＝－23n ＋473＝47－2n3.令an ·an ＋1<0，即47－2n 3·47－2n ＋13<0.可得452<n <472.又n ∈N *，∴n ＝23.(或由a n ＞0，得n ≤23，∴a 23＞0，a 24＜0)5．(2013·辽宁)下面是关于公差d >0的等差数列{a n }的四个命题：p 1：数列{a n }是递增数列； p 2：数列{na n }是递增数列； p 3：数列{a nn }是递增数列；p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列．其中的真命题为( ) A ．p 1，p 2 B ．p 3，p 4 C ．p 2，p 3 D ．p 1，p 4答案 D解析 如数列为{－2，－1,0,1，…}，则1×a 1＝2×a 2，故p 2是假命题；如数列为{1,2,3，…}，则a n n＝1，故p 3是假命题，故选D 项．6．(2013·广东)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________. 答案 20解析 因为数列{a n }为等差数列，所以由等差数列的性质，得a 3＋a 8＝a 5＋a 6＝a 4＋a 7＝10. 所以3a 5＋a 7＝a 5＋2a 5＋a 7＝a 5＋a 4＋a 6＋a 7＝2×10＝20.7．(2012·广东)已知递增的等差数列{a n }满足a 1＝1，a 3＝a 22－4，则a n ＝________. 答案 2n －1解析 设等差数列{a n }的公差为d (d >0)．由a 3＝a 22－4，得a 1＋2d ＝(a 1＋d )2－4，即1＋2d ＝(1＋d )2－4，d 2＝4.又{a n }是递增数列，∴d ＝2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)·2＝2n －1.8．在200到600之间，被5除余2的整数有______个． 答案 80解析 由200≤5n ＋2≤600，得39.6≤n ≤119.6. ∴(119－40)＋1＝80.9．已知数列{an }中，a 3＝2，a 7＝1，又数列{1an ＋1}为等差数列，则an ＝________.答案19－nn ＋5解析 ∵1a 7＋1＝1a 3＋1＋4d ，∴d ＝124. ∴1a n ＋1＝1a 3＋1＋(n －3)d ＝n ＋524，∴a n ＝19－n n ＋5. 10．将等差数列2,7,12,17,22，…中的数按顺序抄写在本子上，见下表，若每行可写12个数，每页共15行，则数1 997应抄在第________页第________行第________个位置上.解析 an ＝5n －3，由5n －3＝1 997，得n ＝400. 每页共12×15＝180个数，360＜400＜540. 又400－360＝40＝3×12＋4，∴1 997应抄在第3页，第4行第4个位置上．11．数列{an }满足a 2n ＋1＝a 2n ＋4，且a 1＝1，an >0，则an ＝____________. 答案4n －312．在等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝84，a 9＝73.求数列{a n }的通项公式． 解析 因为{a n }是一个等差数列， 所以a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝84，a 4＝28. 设数列{a n }的公差为d ，则5d ＝a 9－a 4＝73－28＝45，故d ＝9. 由a 4＝a 1＋3d ，得28＝a 1＋3×9，即a 1＝1.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋9(n －1)＝9n －8(n ∈N *)．13．设数列{an }是公差不为零的等差数列，且a 20＝22，|a 11|＝|a 51|，求an . 解析 设公差为d ，∵a 20＝22，|a 11|＝|a 51|， ∴|22－9d |＝|22＋31d |. ∵d ≠0，∴22－9d ＝－22－31d . ∴d ＝－2，∴a 1＝22－19×(－2)＝60. ∴an ＝－2n ＋62. 14．已知函数f (x )＝3x x ＋3，数列{x n }的通项由x n ＝f (x n －1)(n ≥2，且n ∈N *)确定． (1)求证：{1x n}是等差数列；(2)当x 1＝12时，求x 100.解析 (1)x n ＝f (x n －1)＝3x n －1x n －1＋3(n ≥2，n ∈N *)，所以1x n ＝x n －1＋33x n －1＝13＋1x n －1，1x n－1x n －1＝13(n ≥2，n ∈N *)． 所以{1x n}是等差数列．(2)由(1)知{1x n }的公差为13.又因为x 1＝12，所以1x n ＝1x 1＋(n －1)×13，1x 100＝2＋(100－1)×13＝35.所以x 100＝135.15．已知数列{a n }满足a 1＝4，a n ＝4－4a n －1(n >1)，记b n ＝1a n －2. (1)求证：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式． 解析 (1)证明 ∵b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－2－1a n －2＝14－4a n－2－1a n －2＝a n 2a n －2－1a n －2＝a n －22a n －2＝12，又∵b 1＝1a 1－2＝12， ∴数列{b n }是首项为12，公差为12的等差数列．(2)由(1)知b n ＝12＋(n －1)×12＝12n ，∵b n ＝1a n －2，∴a n ＝1b n ＋2＝2n＋2.。

课时分层作业(十一) 等差数列前n 项和的综合应用(建议用时：40分钟)[学业达标练]一、选择题1．等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若a 2＋a 4＋a 15的值为确定的常数，则下列各数中也是常数的是( )【181】A ．S 7B ．S 8C ．S 13D ．S 15C [由题知a 2＋a 4＋a 15＝a 1＋d ＋a 1＋3d ＋a 1＋14d ＝3a 1＋18d ＝3(a 1＋6d )＝3a 7为常数，又S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7，所以S 13是常数．]2．已知等差数列的前n 项和为S n ，若S 13<0，S 12>0，则此数列中绝对值最小的项为( )A ．第5项B ．第6项C ．第7项D ．第8项C [由题知，S 13＝13a 7<0，S 12＝12(a 1＋a 12)2＝6(a 6＋a 7)>0，所以a 7<0，a 6＋a 7>0所以a 6>－a 7＝|a 7|，所以a 7绝对值最小．]3．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a n 等于( )【182】A ．nB ．n 2C ．2n ＋1D ．2n －1D [当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1，又因a 1＝1适合a n ＝2n －1，所以，a n ＝2n －1.]4．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，则S 12＝( ) A ．120 B ．130 C ．90D ．110A [S 3＝3a 2＝3.S 6＝6(a 2＋a 5)2＝24，所以a 2＝1，a 5＝7，所以d ＝2，所以a 1＝－1，所以S 12＝－1×12＋12×112×2＝120.]5．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4S 8＝13，那么S 8S 16的值为( )【183】A.18 B ．13 C.19D ．310D [设S 4＝m ，则S 8＝3m ，由性质得S 4、S 8－S 4、S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列，S 4＝m ，S 8－S 4＝2m ，所以S 12－S 8＝3m ，S 16－S 12＝4m ，所以S 16＝10m ，∴S 8S 16＝3m 10m ＝310.] 二、填空题6．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 2∶a 4＝7∶6，则S 7∶S 3等于________．2∶1 [由性质得S 7＝7a 4，S 3＝3a 2，所以S 7∶S 3＝7a 4∶3a 2＝2∶1.] 7．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －48，则S n 取得最小值时，n 为________.【184】23或24 [∵a 24＝0，∴a 1<0，a 2<0，…，a 23<0，故S 23＝S 24最小．] 8．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 4＝1，S 5＝10，则当S n 取得最大值时，n 的值为________．4或5[由⎩⎨⎧a 4＝a 1＋3d ＝1，S 5＝5a 1＋5×42d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，d ＝－1，∴a 5＝a 1＋4d ＝0，∴S 4＝S 5同时最大． ∴n ＝4或5.] 三、解答题9．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，求a 9.【185】[解] 设等差数列的公差为d ，则S 3＝3a 1＋3×22d ＝3a 1＋3d ＝3，即a 1＋d ＝1，S 6＝6a 1＋6×52d ＝6a 1＋15d ＝24， 即2a 1＋5d ＝8.由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝1，2a 1＋5d ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝2. 故a 9＝a 1＋8d ＝－1＋8×2＝15.10．若等差数列{a n }的首项a 1＝13，d ＝－4，记T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求T n .[解] ∵a 1＝13，d ＝－4，∴a n ＝17－4n .当n ≤4时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝13n ＋n (n －1)2×(－4) ＝15n －2n 2；当n ≥5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)－(a 5＋a 6＋…＋a n )＝S 4－(S n －S 4)＝2S 4－S n ＝2×(13＋1)×42－(15n －2n 2)＝2n 2－15n ＋56.∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧15n －2n 2，(n ≤4)，2n 2－15n ＋56，(n ≥5).[冲A 挑战练]1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4＝40，S n ＝210，S n －4＝130，则n ＝( )A ．12B ．14C ．16D ．18B [S n －S n －4＝a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝80， S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝40，所以4(a 1＋a n )＝120，a 1＋a n ＝30， 由S n ＝n (a 1＋a n )2＝210，得n ＝14.]2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5<a k <8，则k 为( )【186】A ．9B ．8C ．7D ．6B [∵a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，(n ＝1)，S n －S n －1，(n ≥2)，∴a n ＝2n －10.由5<2k －10<8， 得7.5<k <9，又k ∈N ＋，∴k ＝8.]3．在等差数列{a n }中，a 10<0，a 11>0且a 11>|a 10|，则满足S n <0的n 的最大值为________．19 [因为a 10<0，a 11>0，且a 11>|a 10|， 所以a 11>－a 10，a 1＋a 20＝a 10＋a 11>0， 所以S 20＝20(a 1＋a 20)2>0.又因为a 10＋a 10<0，所以S 19＝19×(a 10＋a 10)2＝19a 10<0，故满足S n <0的n 的最大值为19.]4．若数列{a n }是等差数列，首项a 1>0，a 2 016＋a 2 017>0，a 2 016·a 2 017<0，则使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 是________.【187】4 032 [由条件可知数列单调递减， 故知a 2 016>0，a 2017<0，故S 4 032＝4 032(a 1＋a 4 032)2＝4 032(a 2016＋a 2 017)2>0，S 4 033＝4 033(a 1＋a 4 033)2＝4 033×a 2017<0，故使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 是4 032.]5．已知数列{a n }各项均为正数，S n 为其前n 项和，且对任意n ∈N *，均有a 2n ，S n ，a n 成等差数列，求a n .[解] ∵a 2n ，S n ，a n 成等差数列， ∴2S n ＝a n ＋a 2n .当n ＝1时，2S 1＝a 1＋a 21，又a 1>0，∴a 1＝1当n ≥2时2a n ＝2(S n －S n －1)＝a n ＋a 2n －a n －1－a 2n －1， ∴(a 2n －a 2n －1)－(a n ＋a n －1)＝0，即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－1)＝0∵a n＋a n－1>0.∴a n－a n－1＝1，∴{a n}是等差数列，其公差为1，∵a1＝1，∴a n＝n.。

§2.3 等差数列的前n 项和(二)课时目标1．熟练掌握等差数列前n 项和的性质，并能灵活运用． 2．掌握等差数列前n 项和的最值问题． 3．理解an 与Sn 的关系，能根据Sn 求an.1．前n 项和Sn 与an 之间的关系对任意数列{an}，Sn 是前n 项和，Sn 与an 的关系可以表示为an ＝⎩⎨⎧S1＝，Sn －Sn －2．等差数列前n 项和公式 Sn ＝＋2＝na1＋－2d.3．等差数列前n 项和的最值 (1)在等差数列{an}中当a1>0，d<0时，Sn 有最大值，使Sn 取到最值的n 可由不等式组⎩⎨⎧an≥0an ＋1≤0确定；当a1<0，d>0时，Sn 有最小值，使Sn 取到最值的n 可由不等式组⎩⎨⎧an≤0an ＋1≥0确定．(2)因为Sn ＝d 2n2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a1－d 2n ，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn 有最小值；当d<0时，Sn 有最大值；且n 取最接近对称轴的自然数时，Sn 取到最值． 一个有用的结论：若Sn ＝an2＋bn ，则数列{an}是等差数列．反之亦然．一、选择题1．已知数列{an}的前n 项和Sn ＝n2，则an 等于( ) A ．n B ．n2 C ．2n ＋1 D ．2n －1 答案 D2．数列{an}为等差数列，它的前n 项和为Sn ，若Sn ＝(n ＋1)2＋λ，则λ的值是( ) A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．1 答案 B解析 等差数列前n 项和Sn 的形式为：Sn ＝an2＋bn ， ∴λ＝－1.3．已知数列{an}的前n 项和Sn ＝n2－9n ，第k 项满足5<ak<8，则k 为( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 答案 B解析 由an ＝⎩⎨⎧S1， n ＝1Sn －Sn －1， n≥2，∴an ＝2n －10.由5<2k －10<8，得7.5<k<9，∴k ＝8.4．设Sn 是等差数列{an}的前n 项和，若S3S6＝13，则S6S12等于( ) A.310 B.13 C.18 D.19 答案 A解析 方法一 S3S6＝3a1＋3d 6a1＋15d ＝13⇒a1＝2d ，S6S12＝6a1＋15d 12a1＋66d ＝12d ＋15d 24d ＋66d ＝310.方法二 由S3S6＝13，得S6＝3S3.S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9仍然是等差数列，公差为(S6－S3)－S3＝S3，从而S9－S6＝S3＋2S3＝3S3⇒S9＝6S3， S12－S9＝S3＋3S3＝4S3⇒S12＝10S3，所以S6S12＝310.5．设Sn 是等差数列{an}的前n 项和，若a5a3＝59，则S9S5等于( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D.12 答案 A解析 由等差数列的性质，a5a3＝2a52a3＝a1＋a9a1＋a5＝59，∴S9S5＝92＋52＋＝95×59＝1.6．设{an}是等差数列，Sn 是其前n 项和，且S5<S6，S6＝S7>S8，则下列结论错误的是( ) A ．d<0 B ．a7＝0C ．S9>S5D ．S6与S7均为Sn 的最大值 答案 C解析 由S5<S6，得a6＝S6－S5>0.又S6＝S7⇒a7＝0，所以d<0. 由S7>S8⇒a8<0，因此，S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9 ＝2(a7＋a8)<0即S9<S5. 二、填空题7．数列{an}的前n 项和为Sn ，且Sn ＝n2－n ，(n ∈N*)，则通项an ＝________. 答案 2n －28．在等差数列{an}中，a1＝25，S9＝S17，则前n 项和Sn 的最大值是________． 答案 169解析 方法一 利用前n 项和公式和二次函数性质．由S17＝S9，得25×17＋172×(17－1)d ＝25×9＋92×(9－1)d ，解得d ＝－2， 所以Sn ＝25n ＋n2(n －1)×(－2) ＝－(n －13)2＋169，由二次函数性质可知，当n ＝13时，Sn 有最大值169. 方法二 先求出d ＝－2，因为a1＝25>0，由⎩⎨⎧an ＝25－－，an ＋1＝25－2n≤0，得⎩⎪⎨⎪⎧n≤1312，n≥1212.所以当n ＝13时，Sn 有最大值． S13＝25×13＋－2×(－2)＝169.因此Sn 的最大值为169.方法三 由S17＝S9，得a10＋a11＋…＋a17＝0， 而a10＋a17＝a11＋a16＝a12＋a15＝a13＋a14， 故a13＋a14＝0.由方法一知d ＝－2<0， 又因为a1>0，所以a13>0，a14<0，故当n ＝13时，Sn 有最大值． S13＝25×13＋－2×(－2)＝169.因此Sn 的最大值为169.9．在等差数列{an}中，已知前三项和为15，最后三项和为78，所有项和为155，则项数n ＝________. 答案 10解析 由已知，a1＋a2＋a3＝15，an ＋an －1＋an －2＝78，两式相加，得 (a1＋an)＋(a2＋an －1)＋(a3＋an －2)＝93，即a1＋an ＝31. 由Sn ＝＋2＝31n2＝155，得n ＝10.10．等差数列{an}中，a1<0，S9＝S12，该数列在n ＝k 时，前n 项和Sn 取到最小值，则k 的值是________． 答案 10或11解析 方法一 由S9＝S12，得d ＝－110a1，由⎩⎨⎧an ＝a1＋－an ＋1＝a1＋nd≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧1－110－1－110n≤0，解得10≤n≤11.∴当n 为10或11时，Sn 取最小值， ∴该数列前10项或前11项的和最小． 方法二 由S9＝S12，得d ＝－110a1，由Sn ＝na1＋－2d ＝d 2n2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a1－d 2n ， 得Sn ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－120a1·n2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2120a1·n ＝－a120⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2122＋44180a1 (a1<0)，由二次函数性质可知n ＝212＝10.5时，Sn 最小． 但n ∈N*，故n ＝10或11时Sn 取得最小值． 三、解答题11．设等差数列{an}满足a3＝5，a10＝－9. (1)求{an}的通项公式；(2)求{an}的前n 项和Sn 及使得Sn 最大的序号n 的值． 解 (1)由an ＝a1＋(n －1)d 及a3＝5，a10＝－9得 ⎩⎨⎧ a1＋2d ＝5，a1＋9d ＝－9，可解得⎩⎨⎧a1＝9，d ＝－2， 所以数列{an}的通项公式为an ＝11－2n. (2)由(1)知，Sn ＝na1＋－2d ＝10n －n2.因为Sn ＝－(n －5)2＋25， 所以当n ＝5时，Sn 取得最大值．12．已知等差数列{an}中，记Sn 是它的前n 项和，若S2＝16，S4＝24，求数列{|an|}的前n 项和Tn.解由S2＝16，S4＝24，得⎩⎪⎨⎪⎧2a1＋2×12d ＝16，4a1＋4×32d ＝24.即⎩⎨⎧ 2a1＋d ＝16，2a1＋3d ＝12. 解得⎩⎨⎧a1＝9，d ＝－2.所以等差数列{an}的通项公式为an ＝11－2n (n ∈N*)．(1)当n≤5时，Tn ＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an ＝Sn ＝－n2＋10n.(2)当n≥6时，Tn ＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－a6－a7－…－an ＝2S5－Sn ＝2×(－52＋10×5)－(－n2＋10n)＝n2－10n ＋50， 故Tn ＝⎩⎨⎧－n2＋10n ，n2－10n ＋能力提升13．数列{an}的前n 项和Sn ＝3n －2n2 (n ∈N*)，则当n≥2时，下列不等式成立的是( ) A ．Sn>na1>nan B ．Sn>nan>na1 C ．na1>Sn>nan D ．nan>Sn>na1 答案 C解析 方法一 由an ＝⎩⎨⎧S1＝Sn －Sn －，解得an ＝5－4n.∴a1＝5－4×1＝1，∴na1＝n ， ∴nan ＝5n －4n2，∵na1－Sn ＝n －(3n －2n2)＝2n2－2n ＝2n(n －1)>0. Sn －nan ＝3n －2n2－(5n －4n2)＝2n2－2n>0. ∴na1>Sn>nan.方法二 ∵an ＝5－4n ， ∴当n ＝2时，Sn ＝－2， na1＝2，nan ＝－6， ∴na1>Sn>nan.14．设等差数列{an}的前n 项和为Sn ，已知a3＝12，且S12>0，S13<0. (1)求公差d 的范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由．解 (1)根据题意，有：⎩⎪⎨⎪⎧12a1＋12×112d>0，13a1＋13×122d<0，a1＋2d ＝12，整理得：⎩⎨⎧2a1＋11d>0，a1＋6d<0，a1＋2d ＝12.解之得：－247<d<－3. (2)∵d<0， 而S13＝＋2＝13a7<0，∴a7<0.又S12＝＋2＝6(a1＋a12)＝6(a6＋a7)>0，∴a6>0.∴数列{an}的前6项和S6最大．1．公式an ＝Sn －Sn －1并非对所有的n ∈N*都成立，而只对n≥2的正整数才成立．由Sn 求通项公式an ＝f(n)时，要分n ＝1和n≥2两种情况分别计算，然后验证两种情况可否用统一解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示．2．求等差数列前n 项和的最值(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n 项和的最值，但要注意n ∈N*，结合二次函数图象的对称性来确定n 的值，更加直观．(2)通项法：当a1>0，d<0，⎩⎨⎧ an≥0，an ＋1≤0时，Sn 取得最大值；当a1<0，d>0，⎩⎨⎧an≤0，an ＋1≥0时，Sn取得最小值．3．求等差数列{an}前n 项的绝对值之和，关键是找到数列{an}的正负项的分界点．。

课时分层作业(十二) 等差数列前n 项和的综合应用(建议用时：40分钟)[学业达标练]一、选择题1．数列{a n }为等差数列，它的前n 项和为S n ，若S n ＝(n ＋1)2＋λ，则λ的值是( ) A ．－2 B ．－1 C ．0D ．1B [等差数列前n 项和S n 的形式为S n ＝an 2＋bn ，∴λ＝－1.]2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若OB →＝a 1OA →＋a 200OC →，且A ，B ，C 三点共线(该直线不过点O )，则S 200等于( )【导学号：91432182】A ．100B ．101C ．200D ．201A [A 、B 、C 三点共线⇔a 1＋a 200＝1， ∴S 200＝2002(a 1＋a 200)＝100.]3．若数列{a n }的前n 项和是S n ＝n 2－4n ＋2，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|等于( ) A ．15 B ．35 C ．66D ．100C [易得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －5，n ≥2.|a 1|＝1，|a 2|＝1，|a 3|＝1， 令a n >0则2n －5>0，∴n ≥3. ∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10| ＝1＋1＋a 3＋…＋a 10 ＝2＋(S 10－S 2)＝2＋[(102－4×10＋2)－(22－4×2＋2)]＝66.]4．设数列{a n }是等差数列，若a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使S n 达到最大值的n 是( )【导学号：91432183】A ．18B ．19C ．20D ．21C [a 1＋a 3＋a 5＝105＝3a 3， ∴a 3＝35，a 2＋a 4＋a 6＝99＝3a 4，∴a 4＝33， ∴d ＝a 4－a 34－3＝－2，∴a n ＝a 3＋(n －3)d ＝41－2n ， 令a n >0，∴41－2n >0， ∴n <412，∴n ≤20.] 5.11×3＋12×4＋13×5＋14×6＋…＋1nn ＋2等于( ) A.1nn ＋B.12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋2C.12⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1n ＋1－1n ＋2D.12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1C [通项a n ＝1nn ＋＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2， ∴原式＝12⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15…＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1n ＋1－1n ＋2.]二、填空题6．已知等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，已知S 3＝9，a 4＋a 5＋a 6＝7，则S 9－S 6＝________.【导学号：91432184】5 [∵S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等差数列，而S 3＝9，S 6－S 3＝a 4＋a 5＋a 6＝7，∴S 9－S 6＝5.] 7．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5<a k <8，则k ＝________.8 [∵a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝，S n －S n －1，n ，∴a n ＝2n －10.由5<2k －10<8，得7.5<k <9，∴k ＝8.]8．首项为正数的等差数列的前n 项和为S n ，且S 3＝S 8，当n ＝________时，S n 取到最大值. 【导学号：91432185】5或6 [∵S 3＝S 8，∴S 8－S 3＝a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝5a 6＝0，∴a 6＝0，∵a 1>0， ∴a 1>a 2>a 3>a 4>a 5>a 6＝0，a 7<0. 故当n ＝5或6时，S n 最大．] 三、解答题9．已知等差数列{a n }中，a 1＝9，a 4＋a 7＝0. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)当n 为何值时，数列{a n }的前n 项和取得最大值？ [解] (1)由a 1＝9，a 4＋a 7＝0， 得a 1＋3d ＋a 1＋6d ＝0，解得d ＝－2， ∴a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝11－2n . (2)法一：a 1＝9，d ＝－2，S n ＝9n ＋n n －12·(－2)＝－n 2＋10n＝－(n －5)2＋25，∴当n ＝5时，S n 取得最大值．法二：由(1)知a 1＝9，d ＝－2<0，∴{a n }是递减数列． 令a n ≥0，则11－2n ≥0，解得n ≤112.∵n ∈N *，∴n ≤5时，a n >0，n ≥6时，a n <0. ∴当n ＝5时，S n 取得最大值．10．若等差数列{a n }的首项a 1＝13，d ＝－4，记T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求T n .【导学号：91432186】[解] ∵a 1＝13，d ＝－4，∴a n ＝17－4n .当n ≤4时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n n －2d ＝13n ＋n n －2×(－4)＝15n －2n 2；当n ≥5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)－(a 5＋a 6＋…＋a n ) ＝S 4－(S n －S 4)＝2S 4－S n ＝2×＋2－(15n －2n 2)＝2n 2－15n ＋56.∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧15n －2n 2，n ，2n 2－15n ＋56，n[冲A 挑战练]1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4＝40，S n ＝210，S n －4＝130，则n ＝( ) A ．12 B ．14 C ．16D ．18B [S n －S n －4＝a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝80，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝40，所以4(a 1＋a n )＝120，a 1＋a n ＝30， 由S n ＝n a 1＋a n2＝210，得n ＝14.]2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m 等于( )【导学号：91432187】A ．3B ．4C ．5D ．6C [a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，所以公差d ＝a m ＋1－a m ＝1，由S m ＝m a 1＋a m2＝0，得a 1＝－2，所以a m ＝－2＋(m －1)·1＝2，解得m ＝5，故选C.]3．已知数列：1，11＋2，11＋2＋3，…，11＋2＋…＋n ，…，则其前n 项和等于________．2n n ＋1 [通项a n ＝11＋2＋…＋n ＝2n n ＋＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， ∴所求的和为2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n －1 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2nn ＋1.] 4．设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是________，项数是________.【导学号：91432188】11 7 [设等差数列{a n }的项数为2n ＋1，S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝n ＋a 1＋a 2n ＋12＝(n ＋1)a n ＋1，S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝n a 2＋a 2n2＝na n ＋1，所以S 奇S 偶＝n ＋1n ＝4433，解得n ＝3，所以项数2n ＋1＝7， S 奇－S 偶＝a n ＋1，即a 4＝44－33＝11为所求中间项．]5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{a n }为等差数列，a 1＝12，d ＝－2. (1)求S n ，并画出{S n }(1≤n ≤13)的图象；(2)分别求{S n }单调递增、单调递减的n 的取值范围，并求{S n }的最大(或最小)的项； (3){S n }有多少项大于零？ [解] (1)S n ＝na 1＋n n －2d ＝12n ＋n n －2×(－2)＝－n 2＋13n .图象如图．(2)S n ＝－n 2＋13n ＝－⎝⎛⎭⎪⎫n －1322＋1694，n ∈N *，∴当n ＝6或7时，S n 最大；当1≤n ≤6时，{S n }单调递增；当n ≥7时，{S n }单调递减． {S n }有最大值，最大项是S 6，S 7，S 6＝S 7＝42. (3)由图象得{S n }中有12项大于零．。

课时分层作业(十一) 等差数列的前n 项和(建议用时：40分钟)[学业达标练]一、选择题1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若2a 6＝a 8＋6，则S 7等于( ) A ．49 B ．42 C ．35D ．28B [2a 6－a 8＝a 4＝6，S 7＝72(a 1＋a 7)＝7a 4＝42.]2．已知数列{a n }是等差数列，a 4＝15，S 5＝55，则过点P (3，a 3)，Q (4，a 4)的直线斜率为( )【导学号：91432169】A ．4 B.14 C ．－4 D ．－14A [由题S 5＝a 1＋a 52＝5×2a 32＝55.解得a 3＝11. ∴P (3,11)，Q (4,15)， ∴k ＝15－114－3＝4.故选A.]3．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( ) A ．765 B ．665 C ．763D ．663B [∵a 1＝2，d ＝7,2＋(n －1)×7<100，∴n <15，∴n ＝14，S 14＝14×2＋12×14×13×7＝665.]4．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5等于( )【导学号：91432170】A ．1B ．－1C ．2D.12A [S 9S 5＝92a 1＋a952a 1＋a5＝92·2a 552·2a 3＝9a 55a 3＝95·a 5a 3＝1.] 5．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( )A ．9B ．10C ．19D ．29B [钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．∴钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋2.当n ＝19时，S 19＝190.当n ＝20时，S 20＝210>200.∴n ＝19时，剩余钢管根数最少， 为10根．]二、填空题6．已知{a n }是等差数列，a 4＋a 6＝6，其前5项和S 5＝10，则其公差为d ＝________.【导学号：91432171】12[a 4＋a 6＝a 1＋3d ＋a 1＋5d ＝6，① S 5＝5a 1＋12×5×(5－1)d ＝10，②由①②联立解得a 1＝1，d ＝12.]7．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于________．27 [由a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，可知数列{a n }是首项为1，公差为12的等差数列，故S 9＝9a 1＋－2×12＝9＋18＝27.] 8．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且6S 5－5S 3＝5，则a 4＝________.【导学号：91432172】13 [设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由6S 5－5S 3＝5，得3(a 1＋3d )＝1，所以a 4＝13.] 三、解答题9．等差数列{a n }中，a 10＝30，a 20＝50. (1)求数列的通项公式； (2)若S n ＝242，求n .[解] (1)设数列{a n }的首项为a 1，公差为d .则⎩⎪⎨⎪⎧a 10＝a 1＋9d ＝30，a 20＝a 1＋19d ＝50，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，d ＝2，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝12＋(n －1)×2＝10＋2n .(2)由S n ＝na 1＋n n －2d 以及a 1＝12，d ＝2，S n ＝242，得方程242＝12n ＋n n －2×2，即n 2＋11n －242＝0，解得n ＝11或n ＝－22(舍去)．故n＝11.10．已知等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－2n ，求a 2＋a 3－a 4＋a 5＋a 6.【导学号：91432173】[解] ∵S n ＝n 2－2n ， ∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝n 2－2n －[(n －1)2－2(n －1)] ＝n 2－2n －(n －1)2＋2(n －1) ＝2n －3，∴a 2＋a 3－a 4＋a 5＋a 6 ＝(a 2＋a 6)＋(a 3＋a 5)－a 4 ＝2a 4＋2a 4－a 4＝3a 4 ＝3×(2×4－3)＝15.[冲A 挑战练]1．如图2­3­1所示将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n (n >1，n ∈N *)个点，相应的图案中总的点数记为a n ，则a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n 等于( )图2­3­1A.3n22 B.n n ＋2C.3nn －2D.n n －2C [由图案的点数可知a 2＝3，a 3＝6，a 4＝9，a 5＝12，所以a n ＝3n －3，n ≥2， 所以a2＋a 3＋a 4＋…＋a n ＝n －＋3n －2＝3nn －2.]2．已知命题：“在等差数列{a n }中，若4a 2＋a 10＋a ( )＝24，则S 11为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为( )【导学号：91432174】A ．15B ．24C ．18D ．28C [设括号内的数为n ，则4a 2＋a 10＋a (n )＝24， ∴6a 1＋(n ＋12)d ＝24.又S 11＝11a 1＋55d ＝11(a 1＋5d )为定值， 所以a 1＋5d 为定值． 所以n ＋126＝5，n ＝18.]3．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝________.－1n [当n ＝1时，S 1＝a 1＝－1，所以1S 1＝－1.因为a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1，所以1S n －1S n ＋1＝1，即1S n ＋1－1S n ＝－1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以－1为首项，－1为公差的等差数列，所以1S n ＝(－1)＋(n －1)·(－1)＝－n ，所以S n ＝－1n]4．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m ＝________.【导学号：91432175】10 [因为{a n }是等差数列， 所以a m －1＋a m ＋1＝2a m ，由a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，得2a m －a 2m ＝0，由S 2m －1＝38知a m ≠0，所以a m ＝2，又S 2m －1＝38，即m －a 1＋a 2m －12＝38，即(2m －1)×2＝38，解得m ＝10.]5．设S n 是数列{a n }的前n 项和且n ∈N *，所有项a n >0，且S n ＝14a 2n ＋12a n －34.(1)证明：{a n }是等差数列． (2)求数列{a n }的通项公式．[解] (1)证明：当n ＝1时，a 1＝S 1＝14a 21＋12a 1－34，解得a 1＝3或a 1＝－1(舍去)．当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝14(a 2n ＋2a n －3)－14(a 2n －1＋2a n －1－3)．所以4a n ＝a 2n －a 2n －1＋2a n －2a n －1， 即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0，因为a n ＋a n －1>0，所以a n －a n －1＝2(n ≥2)．所以数列{a n }是以3为首项，2为公差的等差数列． (2)由(1)知a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1.。

学业分层测评(十一)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．等差数列前n 项和为S n ，若a 3＝4，S 3＝9，则S 5－a 5＝( ) A ．14 B ．19 C ．28 D ．60【解析】 在等差数列{a n }中，a 3＝4，S 3＝3a 2＝9，∴a 2＝3，S 5－a 5＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2(a 2＋a 3)＝2×7＝14.【答案】 A2．等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若a 2＋a 4＋a 15的值为确定的常数，则下列各数中也是常数的是( )A ．S 7B ．S 8C ．S 13D ．S 15【解析】 a 2＋a 4＋a 15＝a 1＋d ＋a 1＋3d ＋a 1＋14d ＝3(a 1＋6d )＝3a 7＝3×a 1＋a 132＝313×a 1＋a 132＝313S 13. 于是可知S 13是常数． 【答案】 C3．已知等差数列的前n 项和为S n ，若S 13<0，S 12>0，则此数列中绝对值最小的项为( )A ．第5项B ．第6项C ．第7项D ．第8项【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧S 12＝12a 1＋66d >0，S 13＝13a 1＋78d <0，得⎩⎨⎧a 1＋112d >0，a 1＋6d <0，所以⎩⎨⎧a 7<0，a 6>－d2，故|a 6|>|a 7|.【答案】 C4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．63 B ．45 C ．36D ．27【解析】 ∵a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，而由等差数列的性质可知，S 3，S 6－S 3，S 9－S 6构成等差数列，所以S 3＋(S 9－S 6)＝2(S 6－S 3)，即S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝2×36－3×9＝45.【答案】 B5．含2n ＋1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为( ) A.2n ＋1nB.n ＋1nC.n －1nD ．n ＋12n【解析】 ∵S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝n ＋a 1＋a 2n ＋12，S 偶＝a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝n a 2＋a 2n2.又∵a 1＋a 2n ＋1＝a 2＋a 2n ，∴S 奇S 偶＝n ＋1n.故选B. 【答案】 B 二、填空题6．已知等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，已知S 3＝9，a 4＋a 5＋a 6＝7，则S 9－S 6＝ .【解析】 ∵S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等差数列，而S 3＝9，S 6－S 3＝a 4＋a 5＋a 6＝7，∴S 9－S 6＝5.【答案】 57．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5<a k <8，则k ＝ .【解析】 ∵a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝，S n －S n －1，n ，∴a n ＝2n －10.由5<2k －10<8， 得7.5<k <9，∴k ＝8. 【答案】 88．首项为正数的等差数列的前n 项和为S n ，且S 3＝S 8，当n ＝ 时，S n 取到最大值．【解析】 ∵S 3＝S 8，∴S 8－S 3＝a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝5a 6＝0，∴a 6＝0，∵a 1>0， ∴a 1>a 2>a 3>a 4>a 5>a 6＝0，a 7<0. 故当n ＝5或6时，S n 最大． 【答案】 5或6 三、解答题9．已知等差数列{a n }中，a 1＝9，a 4＋a 7＝0. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)当n 为何值时，数列{a n }的前n 项和取得最大值？ 【解】 (1)由a 1＝9，a 4＋a 7＝0， 得a 1＋3d ＋a 1＋6d ＝0，解得d ＝－2， ∴a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝11－2n . (2)法一 a 1＝9，d ＝－2，S n ＝9n ＋n n －2·(－2)＝－n 2＋10n＝－(n －5)2＋25，∴当n ＝5时，S n 取得最大值．法二 由(1)知a 1＝9，d ＝－2<0，∴{a n }是递减数列． 令a n ≥0，则11－2n ≥0，解得n ≤112.∵n ∈N *，∴n ≤5时，a n >0，n ≥6时，a n <0. ∴当n ＝5时，S n 取得最大值．10．若等差数列{a n }的首项a 1＝13，d ＝－4，记T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求T n .【解】 ∵a 1＝13，d ＝－4，∴a n ＝17－4n .当n ≤4时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n n －2d ＝13n ＋n n －12×(－4)＝15n －2n 2；当n ≥5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)－(a 5＋a 6＋…＋a n ) ＝S 4－(S n －S 4)＝2S 4－S n ＝2×＋2－(15n －2n 2)＝2n 2－15n ＋56.∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧15n －2n 2，n ，2n 2－15n ＋56，n[能力提升]1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4＝40，S n ＝210，S n －4＝130，则n ＝( )A ．12B ．14C ．16D ．18【解析】 S n －S n －4＝a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝80，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝40， 所以4(a 1＋a n )＝120，a 1＋a n ＝30， 由S n ＝n a 1＋a n2＝210，得n ＝14.【答案】 B2．(2015·海淀高二检测)若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和数值最大时，n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9【解析】 因为a n ＋1－a n ＝－3，所以数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列，所以a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n .设前k 项和最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧a k ≥0，a k ＋1≤0，所以⎩⎪⎨⎪⎧22－3k ≥0，22－k ＋，所以193≤k ≤223.因为k ∈N *，所以k ＝7. 故满足条件的n 的值为7. 【答案】 B3．(2015·潍坊高二检测)设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是 ，项数是 ．【解析】 设等差数列{a n }的项数为2n ＋1，S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1 ＝n ＋a 1＋a 2n ＋12＝(n ＋1)a n ＋1，S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝n a 2＋a 2n2＝na n ＋1，所以S 奇S 偶＝n ＋1n ＝44，解得n ＝3，所以项数2n ＋1＝7，S 奇－S 偶＝a n ＋1，即a 4＝44－33＝11为所求中间项． 【答案】 11 74．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{a n }为等差数列，a 1＝12，d ＝－2. 【导学号：05920069】(1)求S n ，并画出{S n }(1≤n ≤13)的图象；(2)分别求{S n }单调递增、单调递减的n 的取值范围，并求{S n }的最大(或最小)的项；(3){S n }有多少项大于零？ 【解】 (1)S n ＝na 1＋n n －2d ＝12n ＋n n －2×(－2)＝－n 2＋13n .图象如图．(2)S n ＝－n 2＋13n ＝－⎝⎛⎭⎪⎫n －1322＋1694，n ∈N *，∴当n ＝6或7时，S n 最大；当1≤n ≤6时，{S n }单调递增；当n ≥7时，{S n }单调递减．{S n }有最大值，最大项是S 6，S 7，S 6＝S 7＝42. (3)由图象得{S n }中有12项大于零．。

课时分层作业(十一) 等差数列的前n 项和(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若2a 6＝a 8＋6，则S 7等于( )A ．49B ．42C ．35D ．28B [2a 6－a 8＝a 4＝6，S 7＝72(a 1＋a 7)＝7a 4＝42.] 2．已知数列{a n }是等差数列，a 4＝15，S 5＝55，则过点P (3，a 3)，Q (4，a 4)的直线斜率为( )A ．4B ．14C ．－4D ．－14A [由题知S 5＝5（a 1＋a 5）2＝5×2a 32＝55.解得a 3＝11. ∴P (3，11)，Q (4，15)，∴k ＝15－114－3＝4.故选A.] 3．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( )A ．765B ．665C ．763D ．663B [∵a 1＝2，d ＝7，2＋(n －1)×7<100，∴n <15，∴n ＝14，S 14＝14×2＋12×14×13×7＝665.]4．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5等于( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．12A [S 9S 5＝92（a 1＋a 9）52（a 1＋a 5）＝92·2a 552·2a 3＝9a 55a 3＝95·a 5a 3＝1.] 5．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( )A ．9B ．10C ．19D ．29B [钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．∴钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2.当n ＝19时，S 19＝190.当n ＝20时，S 20＝210>200.∴n ＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．]二、填空题6．已知{a n }是等差数列，a 4＋a 6＝6，其前5项和S 5＝10，则其公差d ＝．12[a 4＋a 6＝a 1＋3d ＋a 1＋5d ＝6，① S 5＝5a 1＋12×5×(5－1)d ＝10，② 由①②联立解得a 1＝1，d ＝12.] 7．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于． 27[由a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，可知数列{a n }是首项为1，公差为12的等差数列，故S 9＝9a 1＋9×（9－1）2×12＝9＋18＝27.] 8．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且6S 5－5S 3＝5，则a 4＝．13[设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由6S5－5S3＝5，得3(a1＋3d)＝1，所以a4＝13.]三、解答题9．等差数列{a n}中，a10＝30，a20＝50.(1)求数列的通项公式；(2)若S n＝242，求n.[解](1)设数列{a n}的首项为a1，公差为d.则⎩⎪⎨⎪⎧a10＝a1＋9d＝30，a20＝a1＋19d＝50，解得⎩⎪⎨⎪⎧a1＝12，d＝2，∴a n＝a1＋(n－1)d＝12＋(n－1)×2＝10＋2n.(2)由S n＝na1＋n（n－1）2d以及a1＝12，d＝2，S n＝242，得方程242＝12n＋n（n－1）2×2，即n2＋11n－242＝0，解得n＝11或n＝－22(舍去).故n＝11.10．已知等差数列{a n}的前n项和S n＝n2－2n，求a2＋a3－a4＋a5＋a6.[解]∵S n＝n2－2n，∴当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝n2－2n－[(n－1)2－2(n－1)]＝n2－2n－(n－1)2＋2(n－1)＝2n－3，∴a2＋a3－a4＋a5＋a6＝(a2＋a6)＋(a3＋a5)－a4＝2a4＋2a4－a4＝3a4＝3×(2×4－3)＝15.1．如图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n (n >1，n ∈N *)个点，相应的图案中总的点数记为a n ，则a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n 等于( )A.3n 22B ．n （n ＋1）2C ．3n （n －1）2D ．n （n －1）2C [由图案的点数可知a 2＝3，a 3＝6，a 4＝9，a 5＝12，所以a n ＝3n －3，n ≥2，所以a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n ＝（n －1）（3＋3n －3）2 ＝3n （n －1）2.] 2．已知命题：“在等差数列{a n }中，若4a 2＋a 10＋a ( )＝24，则S 11为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为( )A ．15B ．24C ．18D ．28C [设括号内的数为n ，则4a 2＋a 10＋a (n )＝24，∴6a 1＋(n ＋12)d ＝24.又S 11＝11a 1＋55d ＝11(a 1＋5d )为定值，所以a 1＋5d 为定值．所以n ＋126＝5，n ＝18.]3．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝．－1n [当n ＝1时，S 1＝a 1＝－1，所以1S 1＝－1.因为a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1，所以1S n－1S n ＋1＝1，即1S n ＋1－1S n ＝－1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以－1为首项，－1为公差的等差数列，所以1S n ＝(－1)＋(n －1)·(－1)＝－n ，所以S n ＝－1n.] 4．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m ＝．10[因为{a n }是等差数列，所以a m －1＋a m ＋1＝2a m ，由a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，得2a m －a 2m ＝0，由S 2m －1＝38知a m ≠0，所以a m ＝2，又S 2m －1＝38，即（2m －1）（a 1＋a 2m －1）2＝38，即(2m －1)×2＝38，解得m ＝10.]5．某公司决定给员工增加工资，提出了两个方案，让每位员工自由选择其中一种．甲方案是公司在每年年末给每位员工增资1 000元；乙方案是每半年末给每位员工增资300元．(1)假如你是一名员工，你会怎样选择增资方案？请说明你的理由；(2)若保持方案甲不变，而方案乙中每半年末的增资额改为a 元，问a 为何值时，方案乙总比方案甲增资多？(说明：①方案的选择应以让自己获得更多增资总额为准；②假定员工工作年限均为整数)[解](1)设甲方案第n 次的增资额为a n ，则a n ＝1 000n ，第n 年末的增资总额为T n ＝n （1 000＋1 000n ）2＝500n (n ＋1).乙方案第n 年末的增资总额为S 2n ＝2n （300＋300×2n ）2＝300n (2n ＋1). ∵T n －S 2n ＝100n (2－n )，当n ＝1时，T n ＞S 2n ；当n ＝2时，T n ＝S 2n ；当n ≥3时，T n ＜S 2n .∴只工作一年选择甲方案；只工作两年，两个方案皆可；工作两年以上选择乙方案．(2)T n ＝500n (n ＋1)，S 2n ＝an (2n ＋1)，由已知条件得S 2n ＞T n ，即a ＞500·n ＋12n ＋1＝250⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ＋1. 经分析知⎩⎨⎧⎭⎬⎫250⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ＋1为递减数列，当n ＝1时，取到最大值1 0003.∴当a ＞1 0003时，方案乙总比方案甲增资多．。