《3.2 特殊平行四边形 (第一课时)》日日清

§3．2．1 特殊平行四边形(一)教学目标(一)教学知识点1．能用综合法来证明矩形的性质定理和判定定理以及相关结论．2．能运用矩形的性质进行简单的证明与计算．(二)能力训练要求1．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证能力．2．能够用综合法证明矩形的性质定理和判定定理以及相关结论．3．进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用．4．体会证明过程中所运用的归纳概括以及转化等数学思想方法．(三)情感与价值观要求通过学习矩形的性质，让学生从矩形与平行四边形的区别与联系中，体会特殊与一般的关系，渗透集合的思想，培养学生的辩证唯物主义观念．教学重点矩形的性质的证明．教学难点矩形的性质的证明以及它与平行四边形的从属关系．教学方法启发引导归纳式教学法．教具准备投影片五张第一张：总结(记作投影片§3．2．1 A)第二张：定理(记作投影片§3．2．1 B)第三张：议一议(记作投影片§3．2．1 C)第四张：例题(记作投影片§3．2．1 D)第五张：小明的解法(记作投影片§3．2. 1 E)教学过程Ⅰ.巧设现实情境，引入新课[师]上两节课我们探讨了平行四边形的性质定理及判定定理．下面我们来共同回忆总结：[师生共析](学生总结，教师补充)(出示投影片§3．2．1 A)已加一个四边形是平行四边形，则有：对边平行对边相等对角相等邻角互补对角线互相平分从两组对边分别平行边两组对边分别相等的四边边形是看一组对边平行且相等平行四边形从角看：两组对角分别相等从对角线看：对角线互相平分[师]了解了平行四边形后，你还了解哪些特殊的平行四边形?[生]特殊的平行四边形有矩形、菱形和正方形．[师]还记得它们与平行四边形的关系吗?能用一张图来表示它们之间的关系吗?[生]有一个角是直角的平行四边形是矩形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形；而有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形．由此看来，矩形、菱形、正方形都是平行四边形，它们都是有特殊性质的平行四边形．正方形不仅是特殊的平行四边形，而且也是特殊的矩形、特殊的菱形．所以可用下图来表示它们之间的关系：(随学生的叙述，教师播放投影，使学生进一步了解它们的关系)[师]它们既然是平行四边形，就具有平行四边形的性质．又因为它们是特殊的平行四边形，所以它们又具有各自的独特性质．今天我们先来研究矩形的特殊性质．Ⅱ．讲授新课[师]前面我们已探讨过矩形的性质，还记得吗?[生]矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等．[师]很好，那你能证明它们吗?[生]能．[师]好，大家先来独自证明，然后与同伴交流你的证明思路．[生甲]已知四边形ABCD是矩形．求证：∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．证明：∵四边形ABCD是//四边形，∴∠A＝90°，四边形ABCD是．∴∠A=∠C，∠B＝∠D．∠A+∠D＝180°．∴∠B＝∠C：∠D＝∠A＝90°．[生乙]已知矩形ABCD，求证：AC＝DB．证明：在矩形ABCD中，∵∠ABC ＝∠DCB ＝90°，(矩形的四个角都是直角) AB ＝DC ，(平行四边形的对边相等) BC ＝CB ，∴△ABC ≌DCB ． ∴AC=DB ．[师]很好，我们证明矩形的第一个性质时，用到了矩形的定义及平行四边形的性质；证明第二个性质时，用到了矩形的第一个性质、平行四边形的性质及全等三角形．我们通过逻辑推理证得了矩形的这两个性质，把它们称为定理．即(出示投影片§3．2．1 B) 定理：矩形的四个角都是直角．∵矩形ABCD ，∴∠A=∠B ＝∠C=∠D ＝90°． 定理：矩形的对角线相等．∵四边形ABCD 是矩形， ∴AC ＝DB ．[师]接下来，我们来想一想，议一议．(出云投影片§3．2．1 C)如图，设矩形的对角线AC 与BD 的交点为E ，那么BE 是Rt △ABC 中一条怎样的特殊线段?它与AC 有什么大小关系?为什么?[生]因为四边形ABCD 是矩形，所以四边形ABCD 也是平行四边形．因此，对角线AC 与BD 互相平分．即AE ＝EC ，BE ＝DE ．又因为四边形ABCD 是矩形，所以AC ＝BD ，因此BE= 21BD ＝21AC ．故BE 是Rt △ABC 的斜边AC 上的中线，它与AC 的大小关系为BE ＝ 21AC ．[师]很好，那你能用一句话概括你所得到的结论吗? [生]直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． [师]这个结论是由矩形的性质得到的，因此我们可以把它称之为推论．那你能用推理的方法来证明它吗? [生]能．如图，已知BE 是Rt △ABC 的斜边AC 上的中线．求证：BE ＝21AC ．分析：要证明这个结论，可构造辅助图形——矩形，所以可以过点A 作BC 的平行线，也可以延长BE 到D ，使DE=BE ，然后证明四边形ABCD 是矩形．再利用“矩形的对角线相等且互相平分”即可证明结论．证明：过点A 作BC 的平行线与BE 的延长线交于点D ，连接CD ．(如图)则∠DAE ＝∠BCE ．∵BE 是Rt △ABC 的斜边AC 上的中线， ∴AE ＝EC ．又∵∠AED ＝∠CEB ， ∴△AED ≌△CEB ． ∴AD ＝BC ．∵AD//BC ．∠ABC ＝90°， ∴四边形ABCD 是矩形． ∴AC=BD ，BE ＝ED ＝21BD ． ∴BE ＝21AC ． [师]我们通过推理进一步得证了这个结论是正确的．那么我们以后就可直接应用了． ∵BE 是Rt △ABC 的AC 上的中线， ∴BE ＝21AC ．下面我们来通过一个例题进一步熟悉掌握矩形的性质(出示投影片§3．2．1 D)[例题]如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，已知∠AOD ＝120°，AB ＝2．5 cm ．求矩形对角线的长．分析：欲求对角线的长，由于∠BAD ＝90°或∠ABC=90°，AB=4 cm ，则只要再找出Rt △ABD 中一条直角边或一个锐角的度数，再从已知条件∠AOD ＝120°出发，应用矩形的性质可知 ∠ADB ＝30°，这样即可求出对角线的长． 解：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AC ＝BD ，且OA=OC=21AC ， OB ＝OD=21BD ，(矩形的对角线相等且互相平分) ∴OA ＝OD ．∵∠AOD ＝120°，∴∠OAD ＝∠ODA ＝2120180︒-︒＝30°．∵∠DAB ＝90°．(矩形的四个角都是直角) ∴BD ＝2AB ＝2×2．5＝5(cm)． 故这个矩形的对角线的长为5 cm ．[师]同学们来想一想，还有没有其他的方法来解这个题呢?[师]小明认为，这个题还可以这样想：(出示投影片§3．2．1 E) ∠AOD ＝120°→∠AOB=60°→OA ＝OB ＝AB →AC ＝20A ＝2×2．5＝5(cm)． [师]你能帮小明写出完整的解题过程吗? [生]解：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AC ＝BD ，且OA ＝OC ＝21AC ， OB ＝OD ＝21BD ．(矩形的对角线相等且互相平分) ∴OA ＝OB ．∵∠AOD ＝120°， ∴AOB ＝60°． ∴OA=OB ＝AB ．∴AC ＝2OA ＝2×2．5＝5(cm)． [师]已知一个四边形是矩形，那么就会得到一些相应的性质，如果要判定一个四边形是矩形，那除了根据定义判定外，还有没有其他的方法呢? 下面我们通过做练习来证明矩形的判定定理． Ⅲ．课堂练习(一)课本P 84随堂练习11．证明：有三个角是直角的四边形是矩形． 已知在四边形ABCD 中，∠A ＝∠B=∠C ＝90°．求证：四边形ABCD是矩形．证明：∵∠A＝∠B=90°，∴∠A+∠B=180°．∴AD//BC．同理可证：AB//CD．∴四边形ABCD是平行四边形．∵∠A=90°，∴ //四边形ABCD是矩形．Ⅳ．课时小结我们这节课主要研究了矩形的性质，现在来归纳：对边平行且相等1．矩形四个角都是直角对角线互相平分且相等2．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．一个角是直角的平行四边形3．有三个角是直角的四边形是矩形对角线相等的平行四边形Ⅴ．课后作业课本P85随堂练习1课本P86,习题3．4 2、3Ⅵ．活动与探究1．取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下；第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图(1)．第二步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为B′,得Rt△AB′E．如图(2)．第三步：沿EB′，线折叠得折痕EF．如图(3)．利用展开图(4)探究：(1)△AEF是什么三角形?证明你的结论．(2)对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形?请说明理由．[过程]通过学生动手操作、观察、猜想，进而通过推理论证了猜想，来培养学生的创新能力和实践能力．[结果](1)△AEF 是等边三角形．证明：∵△ABE 与△AB ′E 完全重合．∴△ABE ≌△AB ′E ，∠BAE ＝∠1，由平行线等分线段定理得EB ′＝B ′F ． 又∠AB ′E ＝90°，∴△AB ′E ≌△AB ′F ． ∴AE ＝AF ，∠1＝∠2=31∠BAD=30°． ∴△AEF 是等边三角形． (2)不一定．由以上推证可知：当矩形的长恰好等于等边△AEF 的边AF 时，即矩形的宽：长＝AB ：AF ＝sin60°=3：2时能正好折出． 如果设矩形的长为a ，宽为b ，可知 当b ≤23a 时。

北师大版九年级上第三章第二节特殊平行四边形（一）教案一、教学目标：（一）知识与技能1、能用综合法来证明矩形的性质定理和判定定理以及相关结论。

2、能运用矩形的性质进行简单的证明与计算。

（二）过程与方法1、经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证能力。

2、能够用综合法证明矩形的性质定理和判定定理以及相关结论。

3、进一步体会证明过程中所运用的归纳概括以及转化等数学思想方法（三）情感态度与价值观通过学习矩形的性质，让学生从矩形与平行四边形的区别与联系中，体会特殊与一般的关系，渗透集合的思想，培养学生的辨证唯物主义观念。

二、教学重点：矩形的性质的证明。

教学难点：矩形的性质的证明以及它与平行四边形的从属关系。

三、教学方法：启发引导归纳教学法。

四、教学过程：（一）复习回顾，引入新课上两节课我们共同探讨了平行四边形的性质定理及判定定理。

下面我们来共同回忆及总结平行四边形的性质的性质及判定了解了平行四边形后，你还了解哪些特殊的平行四边形？还记得它们之间的关系吗？它们既然是平行四边形，就具有平行四边形的性质。

又因为他们是特殊的平行四边形，所以他们又具有各自的独特性质。

今天我们先来研究矩形的特殊性质.(二)推进新课1、矩形的性质前面我们已经探讨过矩形的性质，还记得吗？（1）矩形的四个角都是直角.（2）矩形的两条对角线相等.性质1：矩形的四个角都是直角.已知:如图,四边形ABCD 是矩形.求证:∠A=∠B=∠C=∠D=900.分析:由矩形的定义,利用对角相等,邻角互补可使问题得证.证明:∵ 四边形ABCD 是矩形,∴∠A=900,四边形ABCD 是平行四边形.∴∠C=∠A=900,∠B=1800-∠A=900,∠D=1800-∠A=900.性质2：矩形的两条对角线相等.已知:如图,AC,BD 是矩形ABCD 的两条对角线.求证: AC=BD.分析:根据矩形的性质性质,可转化为全等三角形(SAS)来证明.证明:∵ 四边形ABCD 是矩形,∴AB=DC,∠ABC=∠DCB=900.∵BC=CB,∴△ABC ≌△DCB(SAS).∴AC=DB.2、推论设矩形的对角线AC 与BD 交于点E,那么,BE 是Rt △ABC 中一条怎样的特殊线段? 它与AC 有什么大小关系?为什么?结论：BE 是Rt △ABC 中斜边AC 上的中线. BE 等于AC 的一半.正方形DB CA DB CA证明∵ AC=BD,BE=DE, 得到推论：:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半3、矩形性质的应用已知:如图,AC,BD 是矩形ABCD 的两条对角线,AC,BD 相交于点O,∠AOD=1200,AB=2.5cm.求矩形对角线的长.解: ∵四边形ABCD 是矩形, ∴AC=BD,且 ∵∠AOD=1200,∴∠ODA=∠OAD=300∵∠DAB=900∴BD=2AB=2×2.5=5(cm).还有其他方法吗？4、矩形的判定已知一个四边形是矩形，那么就会得到一些相应的性质，如果要判定一个四边形是矩形，那除了根据定义判定外，还有没有其他的方法呢？判定方法：（1）三个角是直角的四边形是矩形（2）对角线相等的平行四边形是矩形判定1：已知:如图,在四边形ABCD 中, ∠A=∠B=∠C=900.求证:四边形ABCD 是矩形.分析:利用同旁内角互补,两直线平行来证明四边形是平行四边形,可使问题得证.证明:∵ ∠A=∠B=∠C=900∴∠A+∠B=18000,∠B+∠C=1800∴AD ∥BC,AB ∥CD.∴四边形ABCD 是平行四边形.∴四边形ABCD 是矩形.判定2：对角线相等的平行四边形是矩形.已知:如图,在□ABCD 中,对角线AC=BD.求证:四边形ABCD 是矩形. D B C AE DB C A O DB CA .21BD BE =∴.21AC BE =∴.21AC OC OA ==.21BD OD OB ==.OD OA =∴分析:要证明□ABCD 是矩形,只要证明有一个角是直角即可.证明:∵四边形ABCD 是平行四边形.∴AB=CD,AB ∥CD.∵AC=DB,BC=CB,∴ △ABC ≌△DCB.∴∠ABC=∠DCB.∵∠ABC+∠DCB=1800.∴∠ABC=900.∴四边形ABCD 是矩形.（三）随堂练习：证明：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形. 已知:CD 是△ABC 边AB 上的中线,且AB CD 21 .求证:△ABC 是直角三角形分析:要证明△ABC 是直角三角形,可以点A,B,C 构造平行四边形,然后证明其对角线相等,即可证明是矩形证明:延长CD 到E,使DE=DC,连接AE,BE.∵ AD=BD,CD=ED,∴四边形ACBE 是平行四边形.∵AB=2CD,CE=2CD,∴ AB=CE.∴四边形ACBE 是矩形.∴∠ACB=900.∴△ABC 是直角三角形.五、小结：我们这节课主要研究了矩形的性质和判定，归纳如下：矩形的性质：（1）矩形的对边平行且相等（2）矩形的四个角都是直角.（3）矩形的两条对角线相等.推论：:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半矩形的判定：（1）有一个角是直角的平行四边形（2）三个角是直角的四边形是矩形（3）对角线相等的平行四边形是矩形六、作业：已知:如图,四边形ABCD 是平行四边形,P 是CD 上的一点,且AP 和BP 分别分别平分∠DAB 和∠CBA,QP ∥AD,交AB 于点Q.(1).求证:AP ⊥PB; DB C A E AC D(2).如果AD=5cm,AP=8cm,那么AB 的长是多少? △APB 的面积是多少?答案：（1）略（2）AB=10cm,三角形APB 的面积是24cm 2七、教学反思：本节课仍然是八年级学习过的内容，在此，学生将进一步学习推理论证的方法，加深对图形的认识和理解。

北师大版数学九年级上册3.2《特殊平行四边形》教案1一. 教材分析《特殊平行四边形》是北师大版数学九年级上册第三章第二节的内容。

本节课主要介绍了平行四边形的性质，特殊平行四边形的定义及其性质。

通过本节课的学习，使学生了解特殊平行四边形的特征，掌握其性质，并能运用其解决实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了平行四边形的性质，具备一定的空间想象能力和逻辑思维能力。

但对于特殊平行四边形的性质，他们可能较为陌生，需要通过实例来理解和掌握。

在教学过程中，教师应关注学生的认知水平，引导学生主动探究，激发他们的学习兴趣。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生了解特殊平行四边形的定义及其性质，能运用特殊平行四边形的性质解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、猜想、验证等方法，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养他们勇于探究、积极思考的精神。

四. 教学重难点1.重点：特殊平行四边形的性质。

2.难点：特殊平行四边形性质的证明和应用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入特殊平行四边形，激发学生的学习兴趣。

2.启发式教学法：引导学生观察、操作、猜想、验证，培养学生的自主学习能力。

3.讲解法：教师讲解特殊平行四边形的性质，引导学生理解并掌握。

4.互动教学法：学生分组讨论，分享学习心得，互相启发，共同进步。

六. 教学准备1.教具：多媒体课件、特殊平行四边形的模型、几何画板等。

2.学具：学生用书、练习题、彩笔等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示生活实例，如电梯门、滑滑梯等，引导学生观察特殊平行四边形的形状，激发学生的学习兴趣。

提问：你们认为特殊平行四边形有什么特点呢？2.呈现（10分钟）教师通过多媒体课件，呈现特殊平行四边形的定义及其性质。

引导学生观察、操作，猜想特殊平行四边形的性质。

3.操练（10分钟）教师引导学生分组讨论，分享学习心得。

每组选择一个特殊平行四边形，用彩笔在纸上画出其性质，并解释原因。