新人教版九年级数学中考专项复习——函数与实际问题应用题(附答案)

专题复习 函数应用题类型之一 与函数有关的最优化问题函数是一描述现实世界变量之间关系的重要数学模型，在人们的生产、生活中有着广泛的应用，利用函数的解析式、图象、性质求最大利润、最大面积的例子就是它在最优化问题中的应用． 1.（莆田市）枇杷是莆田名果之一，某果园有100棵枇杷树。

每棵平均产量为40千克，现准备多种一些枇杷树以提高产量，但是如果多种树，那么树与树之间的距离和每一棵数接受的阳光就会减少，根据实践经验，每多种一棵树，投产后果园中所有的枇杷树平均每棵就会减少产量0.25千克，问：增种多少棵枇杷树，投产后可以使果园枇杷的总产量最多？最多总产量是多少千克？ 注：抛物线2y ax bx c =++的顶点坐标是24(,)24b ac b a a--2.（贵阳市）某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用． 设每个房间每天的定价增加x 元．求：（1）房间每天的入住量y （间）关于x （元）的函数关系式．（2）该宾馆每天的房间收费z （元）关于x （元）的函数关系式．（3）该宾馆客房部每天的利润w （元）关于x （元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w 有最大值？最大值是多少？ 类型之二 图表信息题本类问题是指通过图形、图象、表格及一定的文字说明来提供实际情境的一类应用题，解题时要通过观察、比较、分析，从中提取相关信息，建立数学模型，最终达到解决问题的目的。

3．（08江苏南京）一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为(h)x ，两车之间的距离为(km)y ，图中的折线表示y 与x 之间的函数关系．根据图象进行以下探究： 信息读取（1）甲、乙两地之间的距离为 km ； （2）请解释图中点B 的实际意义； 图象理解（3）求慢车和快车的速度；（4）求线段BC 所表示的y 与x问题解决（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇．求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？类型之三 方案设计方案设计问题，是根据实际情境建立函数关系式，利用函数的有关知识选择最佳方案，判断方案是否合理，提出方案实施的见解等。

专题复习函数应用题类型之一与函数有关的最优化问题函数是一描述现实世界变量之间关系的重要数学模型，在人们的生产、生活中有着广泛的应用，利用函数的解析式、图象、性质求最大利润、最大面积的例子就是它在最优化问题中的应用．1.（莆田市）枇杷是莆田名果之一，某果园有100棵枇杷树。

每棵平均产量为40千克，现准备多种一些枇杷树以提高产量，但是如果多种树，那么树与树之间的距离和每一棵数接受的阳光就会减少，根据实践经验，每多种一棵树，投产后果园中所有的枇杷树平均每棵就会减少产量0.25千克，问：增种多少棵枇杷树，投产后可以使果园枇杷的总产量最多？最多总产量是多少千克？2.（贵阳市）某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每个房间每天的定价增加x元．求：（1）房间每天的入住量y（间）关于x（元）的函数关系式．（2）该宾馆每天的房间收费z（元）关于x（元）的函数关系式．（3）该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w有最大值？最大值是多少？例3：某商场经营某种品牌的服装，进价为每件60元，根据市场调查发现，在一段时间内，销售单价是100元时，销售量是200件，而销售单价每降低1元，就可多售出10件(1)写出销售该品牌服装获得的利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式。

（2）若服装厂规定该品牌服装销售单价不低于80元，且商场要完成不少于350件的销售任务，则商场销售该品牌服装获得最大利润是多少元？3（2014江苏省常州市）某小商场以每件20元的价格购进一种服装,先试销一周,试销期间每天的销量（件）与每件的销售价x（元/件）如下表所示:假定试销中每天的销售号(件)与销售价x（元/件）之间满足一次函数.（1）试求与x之间的函数关系式;（2）在商品不积压且不考虑其它因素的条件下,每件服装的销售定价为多少时,该小商场销售这种服装每天获得的毛利润最大?每天的最大毛利润是多少?（注:每件服装销售的毛利润=每件服装的销售价－每件服装的进货价）类型之二 图表信息题本类问题是指通过图形、图象、表格及一定的文字说明来提供实际情境的一类应用题，解题时要通过观察、比较、分析，从中提取相关信息，建立数学模型，最终达到解决问题的目的。

2023年九年级中考数学专题复习：实际问题与二次函数应用题1．某批发商以每件50元的价格购进800件T 恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T 恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元，设第二个月降价()0x x >元，销售这批T 恤能获利w 元. (1)填表：(2)求w 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； (3)批发商通过销售这批T 恤最多能获利多少元？2．如图，用一段长为36m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃ABCD ，墙长28m ．设AB 长为m x ，矩形的面积为2m y ．(1)写出y 与x 的函数关系式；(2)当AB 长为多少米时，所围成的花圃面积最大？最大值是多少？ (3)当花圃的面积为2144m 时，AB 长为多少米？3．某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户承包了荒山种植某品种蜜柚．到了收获季节，已知该蜜柚的成本价为8元/千克，投入市场销售时，调查市场行情，发现该蜜柚销售不会亏本，且每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图所示．(1)求y与x的函数关系式；(2)当该品种蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？(3)某农户今年共采摘蜜柚4800千克，该品种蜜柚的保质期为40天，根据（2）中获得最大利润的方式进行销售，能否销售完这批蜜柚？请说明理由．4．某商店试销一种新型节能灯，每盏节能灯进价为18元，试销过程中发现，每周销量y（盏）与销售单价x（元）之间关系可以近似地看作一次函数2100y x=-+．（利润=售价-进价）(1)写出每周的利润w（元）与销售单价x（元）之间函数解析式；(2)当销售单价定为多少元时，这种节能灯每周能够获得最大利润？最大利润是多少元？(3)物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于30元．若商店想要这种节能灯每周获得不低于350元的利润，则销售单价应在哪个范围内？5．某商店销售A，B两种类型的篮球，具体信息如下表：(注：厂家要求该商店每季度B类篮球的销量是A类篮球销量的2倍)根据以上信息解答下列问题：(1)用含x的代数式表示y；(2)今年第三季度该商店销售A，B两种类型篮球的利润恰好相同(利润不为0)，试求x 的值；(3)求该商店第四季度销售这两种类型的篮球能获得的最大利润．6．某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每月可卖出500件．市场调查反映：如果调整价格，售价每涨价1元，月销售量就减少10件，但每件售价不能高于75元．设每件商品的售价上涨x元（x为整数），月销售利润为y元．(1)根据题意填表：(2)求y与x之间的函数关系式和x的取值范围；(3)当售价定为多少时，商场每月销售这种商品所获得的利润y（元）最大，最大利润是多少？7．某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y与投资量x成正比例关系，如图1所示；种植花卉的利润y与投资量x成二次函数关系，如图2所示（注：利润与投资量的单位都是万元）．(1)直接写出利润1y与2y关于投资量x的函数关系式；(2)如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？(3)在（2）的基础上要保证获利不低于22万元，该园林专业户至少应投资种植花卉 万元．（直接写出结果）8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++的图象与坐标轴相交于A ，B ，C 三点，其中A 点坐标为()3,0，B 点坐标为()1,0-，连接AC ，BC ．动点P 从A 点出发，在线段AC C 做匀速运动；同时，动点Q 从B 点出发，在线段BA 上以每秒1个单位长度向点A 做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ ，设运动时间为t 秒．(1)b = ，c = ；(2)在P ，Q 运动的过程中，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小，最小值为多少？ (3)已知点M 是该抛物线对称轴上一点，当点P 运动1秒时，若要使得线段MA MP +的值最小，则试求出点M 的坐标．9．疫情期间，按照防疫要求，学生在进校时必须排队接受体温检测．实验中学数学兴趣小组统计了学生早晨到校情况，发现学生到校的累计人数y （单位：人）随时间x （单位：分钟）的变化y 可看作是x 的二次函数，其图象经过原点，且顶点坐标为()351225，，其中035x ≤≤．校门口有一个体温检测棚，每分钟可检测48人．(1)求y 与x 之间的函数解析式；(2)校门口排队等待体温检测的学生人数最多时有多少人？(3)检测体温到第2分钟时，为减少排队等候时间，学校在校门口临时增设一个人工体温检测点．已知人工每分钟可检测12人，人工检测多长时间后，校门口不再出现排队等待的情况（直接写出结果）．10．某商场将每件进价为80元的某商品按每件100元出售，每天可售出100件．后来经过市场调查发现：这种商品单价每降低1元，其销售量就增加10件．若该商品降价销售，设每件商品降价x 元，商场每天获利y 元． (1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)①若商场经营该商品每天要获利2160元，则每件商品应降价多少元？ ①每件商品降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？(3)商场为避免恶意竞争，规定降价范围为16x ≤≤（元），请直接写出销售该商品每天的销售利润y （元）的取值范围．11．古镇景区研发了一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元．试销售期间发现，每天的销售数量m （件）与销售单价x （元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：(1)求m 与x 的函数关系式；(2)若每天销售所得利润记为y 元，请求出y 与x 的函数关系式；(3)若要保证利润不低于1200元，销售单价至少定为多少元?12．网络直播销售已经成为一种热门的销售方式，某生产商在一销售平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本价为6元kg，每日销售量y（kg）与销售单价x（元/kg）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于32元/kg．设公司销售板栗的日获利为w（元），(1)直接写出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为________；（不用写自变量的取值范围）(2)当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利w最大？最大利润为多少元？(3)当销售单价在什么范围内时，日获利w不低于42000元？13．某运动器材批发市场销售一种篮球，每个篮球进价为50元，规定每个篮球的售价不低于进价．经市场调查，每月的销售量y(个)与每个篮球的售价x(元)满足一次函数关系，部分数据如下表：(1)求y与x之间的函数关系式；(不需求自变量x的取值范围)(2)该批发市场每月想从这种篮球销售中获利8000元，又想尽量多给客户实惠，应如何给这种篮球定价？(3)物价部门规定，该篮球的每个利润不允许高于进货价的50%，设销售这种篮球每月的总利润为w(元)，那么销售单价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？14．农户销售某农产品，经市场调查发现：若售价为6元/千克，日销售量为40千克，若售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克．现设售价为x 元/千克（6x 且为正整数）．(1)若某日销售量为24千克，求该日产品的单价；(2)若政府将销售价格定为不超过18元/千克．设每日销售额为w 元，求w 关于x 的函数表达式，并求w 的最大值和最小值；(3)市政府每日给农户补贴a 元后（a 为正整数），发现最大日收入（日收入=销售额+政府补贴）还是不超过450元，并且只有5种不同的单价使日收入不少于440元，请直接写出所有符合题意的a 的值．15．某农场拟建两间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠已有的墙（墙长大于48m ），中间用一道墙隔开，正面开两个门，如图所示，已知每个门的宽度为1.5m ，计划中的建筑材料总长45m ，设两间饲养室的宽度为m x ，总占地面积为2m y ．(1)求y 关于x 的函数表达式和自变量x 的取值范围． (2)求饲养室的宽度为多少m 时，饲养室最大面积多少2m ？(3)若要使两间饲养室合计占地总而积不低于2189m ，求饲养室的宽度m x 的范围．16．某商场销售一种小商品，进货价为40元/件.当售价为60元/件时，每天的销售量为300件．在销售过程中发现：销售单价每上涨2元，每天的销售量就减少20件．设销售价格上涨x 元/件（x 为偶数），每天的销售量为y 件． (1)当销售价格上涨10元时，每天对应的销售量为______件． (2)请写出y 与x 的函数关系式．(3)设每天的销售利润为w 元，为了让利于顾客，则每件商品的销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少?17．九年级体育课上，男同学正在进行原地掷实心球训练．如图所示，某同学实心球出手（点A 处）的高度是2米，出手后的实心球沿一段抛物线运行，当实心球运行到最高点时，运行高度为185米，水平距离为4米．(1)试求实心球运行高度y （米）与水平距离x （米）之间的函数表达式；(2)设实心球落地点为C ，实心球落地点与出手点之间的水平距离为原地掷实心球的成绩，求某同学的成绩；(3)如果某同学想把他的原地掷实心球成绩提高到12米，则在出手高度不变的情况下，求此时满足条件的实心球运行高度y （米）与水平距离x （米）之间的函数表达式．（实心球运行到最高点时，水平距离范围()9m m 5m 2x ≤≤）18．11月1日，区里进行了一次全民核酸检测．某小区上午9点开始检测，设6个采样窗口，每个窗口采样速度相同，居民陆续到采集点排队，10点半排队完毕，小明就排队采样的时间和人数进行了统计，得到下表．小明把数据在平面直角坐标系里，描成点连成线，得到如图所示函数图象，在0~90分钟，y 是x 的二次函数，B 是二次函数图象的顶点；在90~110分钟，y 是x 的一次函数．(1)求二次函数表达式．(2)若排队人数在220人及以上，即为满负荷状态，问满负荷状态的时间持续多长？ (3)采样进行45分钟后，为了减少扎堆排队的时间，社区要求10点15分后，采样可以随到随采，那么至少需新增多少个采样窗口？参考答案：1．(1)80x -，20010x +；40010x -； (2)2102008000(030)w x x x =-++<<(3)批发商通过销售这批T 恤最多能获利9000元2．(1)2236y x x =-+；(2)当AB 长为9m 时，花圃面积最大，最大面积为2162m ； (3)当花圃的面积为2144m 时，AB 长为6米或12米．3．(1)10300y x =-+(2)定价为19元时，利润最大，最大利润是1210元 (3)不能销售完这批蜜柚，4．(1)221361800w x x =-+-(2)当销售单价为34元时，厂商每周能获得最大利润是512元 (3)2530x ≤≤时350≥w5．(1)25y x =- (2)x 的值为90(3)该商店第四季度销售这两种类型的篮球能获得的最大利润为675元6．(1)50x +，50010x -(2)y 与x 之间的函数关系式为2104005000(025,y x x x x =-++≤≤为整数)(3)当售价定为70元时，商场每月销售这种商品所获得的利润最大，最大利润是9000元7．(1)12(0)y x x =≥；221(0)2y x x =≥ (2)他至少获得14万元利润，他能获取的最大利润是32万元 (3)68．(1)2，3(2)当=2t 时，四边形BCPQ 的面积最小，最小值为4 (3)21,3M ⎛⎫ ⎪⎝⎭9．(1)270y x x =-+(2)排队等待人数最多时是121人(3)人工检测10分钟时间后，校门口不再出现排队等待的情况10．(1)2101002000y x x =-++(2)①2元或8元，①每件商品降价5元时，商场可获得最大利润，最大利润为2250元 (3)20902250y ≤≤11．(1)2160m x =-+ (2)222204800y x x =-+- (3)至少定价为50元12．(1)1005000y x =-+；(2)当销售单价定为28元时，销售这种板栗日获利w 最大，最大利润为48400元； (3)当2030x ≤≤时，日获利w 不低于42000元．13．(1)101100y x =-+ (2)70元(3)售价定为75元可获得最大利润，最大利润是8750元14．(1)14(2)2252w x x =-+，最大338元，最小240元 (3)110,111,112a =答案第3页，共3页 15．(1)()234816y x x x =-+0<<(2)当8x =时，饲养室的宽度为8m 时，饲养室最大面积2192m(3)79x ≤≤16．(1)200(2)y 与x 的函数关系式为30010y x =-(3)每件商品的销售单价定为64元时，每天获得的利润最大，最大利润是6240元．17．(1)()21184105y x =--+ (2)10米 (3)2112182y x x =-++（答案不唯一）18．(1)2146045y x x =-++ (2)953分 (3)4个。

人教版中考数学《函数》专项练习题（含答案）一、单选题1．若方程组y mx n y kx b =+⎧⎨=+⎩的解为x 2y 1=⎧⎨=⎩，则一次函数y mx n =+图象和y kx b =+图象的交点坐标是（ ）A ．()21，B ．()12，C ．()21-，D ．()21--，2．将抛物线y ＝x 2－2x ＋3向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（ ）A ．y ＝(x ＋1)2＋5B ．y ＝(x －4)2＋4C ．y ＝(x ＋2)2＋4D ．y ＝(x －3)2＋53．如图，点A 是反比例函数()20=>y x x 的图象上任意-点，//AB x 轴交反比例函数3y x =-的图象于点B ，以AB 为边作平行四边形ABCD ，其中C ，D 在x 轴上，则平行四边形ABCD 的面积为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2 4．函数()211my m x +=+是二次函数，则m 的值是（ ） A ．±1B ．1C ．-1D ．以上都不对5．如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象经过点（0，﹣2），与x 轴交点的横坐标分别为x 1、x 2，且﹣1＜x 1＜0，1＜x 2＜2，下列结论正确的是（ ）A ．a ＜0B ．5a +b +2c ＞0C ．2a +b ＜0D ．4ac +8a ＞b 26．下列各曲线中，反映了变量y 是x 的函数的是( )A ．B ．C ．D ．7．抛物线23y x =先向左平移一个单位，再向上平移一个单位，两次平移后得到的抛物线解析式为（ ）A ．23(1)1y x =++B ．23(1)1y x =+-C ．23(1)1y x =-+D ．23(1)1y x =-- 8．已知反比例函数y=3x-，下列结论不正确的是（ ） A ．图象必经过点（﹣1，3） B ．y 随x 的增大而增大C ．图象在第二、四象限内D ．若x ＞1，则﹣3≤y＜0 9．对于二次函数()22110()y ax a x a a =--+-≠，有下列结论：①其图象与x 轴一定相交；②若0a <，函数在1x >时，y 随x 的增大而减小；③无论a 取何非零实数，抛物线的顶点始终在同一条直线上；④无论a 取何非零实数，函数图象都经过同一个点，其中正确结论个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．若对于任意非零实数a ，抛物线22y ax ax a =+-总不经过点200316P x x --（，），则符合条件的点P （ ）A ．有无穷多个B ．有且只有1个C ．有且只有2个D ．至少有3个11．（2006•临沂）如图，点A 是反比例函数图象的一点，自点A 向y 轴作垂线，垂足为T ，已知S △AOT =4，则此函数的表达式为（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知二次函数y 1=mx 2+4mx ﹣5m （m ≠0），一次函数y 2=2x ﹣2，有下列结论： ①当x ＞﹣2时，y 随x 的增大而减小；②二次函数y 1=mx 2+4mx ﹣5m （m ≠0）的图象与x 轴交点的坐标为（﹣5，0）和（1，0）； ③当m =1时，y 1≤y 2；④在实数范围内，对于x 的同一个值，这两个函数所对应的函数值y 2≤y 1均成立，则m 13=． 其中，正确结论的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题13．如图，平行四边形ABCD 中，AB =2cm ，BC =2cm ，∠ABC =45°，点P 从点B 出发，以1cm /s 的速度沿折线BC →CD →DA 运动，到达点A 为止，设运动时间为t (s )，△ABP 的面积为S (cm 2)，则S 与t 的函数表达式为_______________.14．已知点()1,1A a a -+在x 轴上，则a 等于________.15．抛物线y=2(x －4)2+1的顶点坐标为_______________．16．根据函数y=的图象判断，当x<-2时，y 的取值范围是___，当y>-1时，x 的取值范围是_____17．若一次函数y ax b =+（0a ≠）的图象经过()3,2和()3,1--两点，则方程1ax b +=-的解为______.18．点P 既在反比例函数y ＝－3x(x ＞0)的图象上，又在一次函数y ＝－x －2的图象上，则P 点的坐标是_______________.19．若点A(1，－2)、B(－2，a)在同一个反比例函数的图象上，则a 的值为_______．20．如图，在平面直角坐标系中，对△ABC 进行循环往复的轴对称变换，若原来点A 坐标是（a ，b ），经过第1次变换后所得的1A 坐标是(),-a b ，则经过第2020次变换后所得的点2020A 坐标是_____．三、解答题21．根据所学一次函数的经历和经验，下面我们一起来探究函数：|21|1y x =+-的图像和性质．（1）请写出函数解析式： ①当12x <-时，____________； ②当21x ≥-时，___________； （2）请在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图像；（3）若函数2(0)y kx k =+≠与|21|1y x =+-的图像有且只有一个交点，请直接写出k 的取值范围是________．22．科学研究发现，空气含氧量y(克/立方米)与海拔高度x(米)之间近似地满足一次函数关系．经测量，在海拔高度为0米的地方，空气含氧量约为299克/立方米；在海拔高度为2000米的地方，空气含氧量约为235克/立方米．(1)求出y 关于x 的函数表达式；(2)已知某山的海拔高度为1200米，请你求出该山山顶处的空气含氧量约为多少？23．（2018·河师大附中模拟）某养殖专业户计划购买甲、乙两种牲畜，已知乙种牲畜的单价是甲种牲畜单价的2倍多200元，买3头甲种牲畜和1头乙种牲畜共需5700元.（1）甲、乙两种牲畜的单价各是多少元？（2）相关资料表明：甲、乙两种牲畜的成活率分别为95%和99%，若购买以上两种牲畜共50头，并使这50头的成活率不低于97%，且要使购买的总费用最低，应如何购买？24．在矩形ABCD 中，AB=2cm ，BC=3cm ，点P 沿B→A→D 运动，运动到点D 时停止运动，点P 运动的同时，另一点Q 从B→C 运动，速度是点P 的一半，当点P 停止运动时，点Q 也停止运动．设点P 运动的路程为xcm ，其中设12,BDP DCQ y S y S ∆∆==,可可根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究，下面是可可的探究过程，请补充完整．（1）如图是画出的函数1y 与x 的函数图象，观察图象．当x=1时，1y =_____；并写出函数的一条性质：________________________________________．（2）请帮助可可写出2y 与x 的函数关系式（不用写出取值范围）__________________．（3）请按照列表、描点、连线的步骤在同一直角坐标系中，画出函数2y 的图象．（4）结合画出函数图象，解决问题：当BDP DCQ S S ∆∆=时，点P 运动的路程x=_______．25．已知直线l1：y＝kx+b经过点A（12，2）和点B（2，5）．（1）求直线l1的表达式；（2）求直线l1与坐标轴的交点坐标．26．如图，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），C（﹣1，2），且|a+2|+（b﹣4）2＝0（1）求a，b的值；（2）在y轴上是否存在一点M，使△COM的面积＝12△ABC的面积，求出点M的坐标．27．某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y＝﹣2x+100．（利润＝售价﹣制造成本）（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？28．四个容量相等的容器形状如图1所示，用同一流量的水管分别向这四个容器注水，所需时间都相同，如图2所示的是容器水位(h)与时间(t)的关系的图象．请把适当的图象序号与相应容器形状的字母代号用线段相连接．29．在平面直角坐标系xOy中，函数ayx=（x＞0）的图象与直线l1：y＝x＋b交于点A（3，a－2）．（1）求a，b的值；（2）直线l2：y＝－x＋m与x轴交于点B，与直线l1交于点C，若S△ABC≥6，求m的取值范围参考答案1．A2．D3．A4．B5．B6．D7．A8．B9．C10．C11．D12．C13．S=()((1022{12221(42)2242 2t ttt t≤≤<≤++<≤+－14．-115．（4，1）16．0＜y＜2 x＞4 17．3x=-18．P(1，－3)19．120．（a ，b ）．21．（1）①22y x =--，② 2y x =；（2）画图见解析；（3）2k ≥或2k ≤-．22．（1）0.032299y x =-+；（2）260.6克/立方米23．（1）甲种牲畜的单价为1100元，乙种牲畜的单价为2400元；（2）购买两种牛各25头时，费用最低.24．（1）32，当02x ≤≤时，1y 随x 的增大而增大；（2）2132y x =-；（3）见详解；（4）1.5cm 或4cm ．25．（1）y ＝2x+1；（2）（0，1）和（﹣12，0） 26．（1）a ＝﹣2，b ＝4；（2）存在，M （0，6）或（0，﹣6）27．（1）z ＝﹣2x 2+136x ﹣1800；（2）25元或43元；当销售单价为34元时，每月能获得最大利润，最大利润是512万元；（3）648万元．29．（1）a=3,b=-2;(2) m ≥8或m ≤－2。

专题四函数实际应用类型一行程问题典例精析例(2019河北24题10分)长为300 m的春游队伍，以v(m/s)的速度向东行进，如图①和图②，当队伍排尾行进到位置O时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为2v(m/s)，当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进，设排尾从位置O开始行进的时间为t(s)，排头．．与O的距离为s头(m)．(1)当v＝2时，解答：①求s头与t的函数关系式(不写t的取值范围)；②当甲赶到排头位置时，求s头的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置O的距离为s甲(m)，求s甲与t的函数关系式(不写t的取值范围)．(2)设甲这次往返队伍的总时间为T(s)，求T与v的函数关系式(不写v的取值范围)，并写出队伍在此过程中行进的路程．例题图针对演练1.如图①，将南北向的中山路与东西向的北京路看成两条直线，十字路口记作点A.甲从中山路上点B 出发，骑车向北匀速直行；与此同时，乙从点A出发，沿北京路步行向东匀速直行．设出发x min时，甲、乙两人与点A的距离分别为y1m、y2m．已知y1、y2与x之间的函数关系如图②所示．(1)求甲、乙两人的速度；(2)当x取何值时，甲、乙两人之间的距离最短？第1题图2. (2020迁西三模)如图①，长为120 km的某段线段AB上有甲、乙两车，分别从南站A和北站B同时出发相向而行，到达B，A后立刻返回到出发站停止，速度均为40 km/h，设甲车，乙车距南站A的距离分别为y甲(km)，y乙(km)，行驶时间为t(h)．(1)图②已画出y甲与t的函数图象，其中a＝____，b＝________，c＝________；(2)求y乙与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；(3)在图②中补画y乙与t之间的函数图象，并观察图象得出在整个行驶过程中两车相遇的次数．第2题图3.(2020滦县二模)如图是某山区一段铁路的示意图，AB段和CD段都是高架桥，BC段是隧道．已知AB＝1500 m，BC＝300 m，CD＝2000 m，在AB段高架桥上有一盏吊灯，当火车驶过时，灯光可垂直照射到车身上．已知火车甲沿AB方向行驶，当火车甲经过吊灯时，灯光照射到火车甲上的时间是10 s，火车甲通过隧道的时间是20 s．如果从车尾经过点A时开始计时，设行驶时间为x s，车头距离点B的路程是y m.(1)求火车甲的速度和火车甲的长；(2)求y关于x的函数解析式(写出x的取值范围)，并求当x为何值时，车头差500米到达D点；(3)若长度相同的火车乙以相同的速度沿DC方向行驶，且火车甲、乙不在隧道内会车(火车甲先进隧道)，那么当火车甲的车头到达A点时，火车乙的车头能否到达D点？若能到达，至多驶过D点多少米？若不能到达，至少距离D点多少米？第3题图4.嘉淇一家利用五一假期开车去某景区旅游，出发前汽车油箱剩余油量为36L，行驶若干小时后，在途中加油站加油若干升(加油时间忽略不计)，后继续向景点行驶，汽车油箱内剩余油量Q(L)与行驶时间t(h)之间的函数关系如图所示．根据图象回答下列问题：(1)求剩余油量Q与行驶时间t的函数关系式；(2)汽车行驶多长时间时，油箱内剩余油量为出发时的一半？(3)如果汽车在行驶过程中所消耗油量的速度不变，加油站距景点300 km，车速为80 km/h，要到达目的地，油箱中的油是否够用？请说明理由．第4题图类型二利润问题(10年3考：2017.26，2016.24，2012.24)典例精析例(2020承德二模)某公司生产甲、乙两种产品，已知生产甲种产品每千克的成本费是30元，生产乙种产品每千克的成本费是20元．物价部门规定，这两种产品的销售单价(每千克的售价)之和为80元．经市场调研发现，甲种产品的销售单价为x(元)，在公司规定30≤x≤60的范围内，甲种产品的月销售量y1(千克)符合y1＝－2x＋150；乙种产品的月销售量y2(千克)与它的销售单价成正比例，当乙产品单价为30元(即：80－x＝30)时，它的月销售量是30千克．(1)求y2与x之间的函数关系式；(2)公司怎样定价，可使月销售利润最大？最大月销售利润是多少？(销售利润＝销售额－生产成本费)(3)是否月销售额越大月销售利润也越大？请说明理由．针对演练1. (2020宿迁)某超市经销一种商品，每千克成本为50元．经试销发现，该种商品的每天销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)满足一次函数关系，其每天销售单价、销售量的四组对应值如下表所示：(1)求y(千克)与x(元/千克)之间的函数表达式；(2)为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？(3)当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？2.某食品加工厂以2万元引进一条新的生产加工线，生产销售一种食品．已知加工这种食品的成本价为每袋20元，物价部门规定：该食品的市场销售价不得高于每袋35元，若该食品的月销售量y(千袋)与销售单价x(元)之间的函数关系为：y ＝⎩⎨⎧600x（20＜x ≤30），12x ＋10（30＜x ≤35）.(月获利＝月销售收入－生产成本－投资成本)(1)当销售单价定为25元时，该食品加工厂的月销量为多少千袋； (2)求该加工厂的月获利M (千元)与销售单价x (元)之间的函数关系式；(3)求销售单价在30＜x ≤35之间时，该加工厂是盈利还是亏损？若盈利，求出最大利润；若亏损，最小亏损是多少？3. 小米利用暑期参加社会实践，在妈妈的帮助下，利用社区提供的免费摊点卖玩具，已知小米所有玩具的进价均为2元/个，在销售过程中发现：每天玩具销售量y 件与销售价格x 元/件的关系如图所示，其中AB 段为反比例函数图象的一部分，BC 段为一次函数图象的一部分，设小米销售这种玩具的日利润为w 元．(1)根据图象，求出y 与x 之间的函数关系式；(2)求出每天销售这种玩具的利润w(元)与x(元/件)之间的函数关系式，并求每天利润的最大值；(3)若小米某天将价格定为超过4元(x>4)，那么要使得小米在该天的销售利润不低于54元，求该天玩具销售价格的取值范围．第3题图4.小红利用暑假40天的时间参与了妈妈的网店经营，了解到一种新商品成本为20元/件，设第x天销售量为p件，销售单价为q元，且得到了表中的数据.x(天) 10 21 35q(元/件) 35 45 35她发现：0<x ≤20时，q 与x 满足关系q ＝ax ＋30；20<x ≤40时，q 是基础价与浮动价的和，其中基础价保持不变，浮动价与x 成反比，另外这些天中p 与x 的关系一直保持不变．(1)请确定a 的值；(2)20<x ≤40时，求q 与x 满足的关系式；(3)设该网店第x 天获得的利润y 元，小红已经求得0<x ≤20时y 与x 的函数关系式为y ＝－12x 2＋15x ＋500.①请你直接．．写出这些天中p 与x 的关系式； ②求这些天里该网站第几天获得的利润最大？最大值是多少？5. 某公司计划投资A 、B 两种产品，若只投资A 产品，所获得利润W A (万元)与投资金额x (万元)之间的关系如图所示，若只投资B 产品，所获得利润W B (万元)与投资金额x (万元)的函数关系式为W B ＝－15x 2＋nx＋300.(1)求W A 与x 之间的函数关系式；(2)若投资A产品所获得利润的最大值比投资B产品所获得利润的最大值少140万元，求n的值；(3)该公司筹集50万元资金，同时投资A、B两种产品，设投资B产品的资金为a万元，所获得的总利润记作Q万元，若a≥30时，Q随a的增大而减少，求n的取值范围．第5题图类型三实物模型典例精析例(2020衡水模拟)在小明的一次投篮中，球出手时离地面高2米，与篮筐中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米．篮球运行的轨迹为抛物线，篮筐中心距离地面3米，通过计算说明此球能否投中．探究一：若出手的角度、力度和高度都不变的情况下，求小明朝着篮球架再向前平移多少米后跳起投篮也能将篮球投入篮筐中？探究二：若出手的角度、力度和高度都发生改变的情况下，但是抛物线的顶点等其他条件不变，求小明出手的高度需要增加多少米才能将篮球投入篮筐中？探究三：若出手的角度、力度都改变，出手高度不变，篮筐中心的坐标为(6，3.44)，球场上方有一组高6米的电线，要想在篮球不触碰电线的情况下，将篮球投入篮筐中，直接写出二次函数解析式中a的取值范围．例题图针对演练1. (2020唐山路北区二模)某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图②所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．(1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式；(2)王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？(3)经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物(高度不变)处汇合，请直接写出扩建改造后喷水池水柱的最大高度．图① 图②第1题图2. (2018河北26题11分)如图是轮滑场地的截面示意图，平台AB 距x 轴(水平)18米，与y 轴交于点B ，与滑道y ＝kx (x ≥1)交于点A ，且AB ＝1米．运动员(看成点)在BA 方向获得速度v 米/秒后，从A 处向右下飞向滑道，点M 是下落路线的某位置．忽略空气阻力，实验表明：M ，A 的竖直距离h (米)与飞出时间t (秒)的平方成正比，且t ＝1时h ＝5；M ，A 的水平距离是vt 米．(1)求k ，并用t 表示h ；(2)设v＝5.用t表示点M的横坐标x和纵坐标y，并求出y与x的关系式(不写x的取值范围)，及y＝13时运动员与正下方滑道的竖直距离；(3)若运动员甲、乙同时从A处飞出，速度分别是5米/秒、v乙米/秒．当甲距x轴1.8米，且乙位于甲右侧超过4.5米的位置时，直接．．写出t的值及v乙的范围．第2题图3.如图①是由两根等长的立柱和一根晾衣绳构成的简易晾衣架，建立如图所示的坐标系，晾衣绳可看成抛物线y＝0.1x2－0.8x＋5.(1)求晾衣绳的最低点离地面BD的距离；(2)在晾衣服时为防止衣服接触到地面，在距离立柱AB 5米的位置处用一根立柱MN撑起绳子，如图②，使左边抛物线F1的最低点距MN为1米，距离地面2米，求MN的长；(3)将立柱MN 的长度提升为5米，通过调整MN 的位置，使抛物线F 2对应函数的二次项系数始终为13，设MN 与AB 的距离为m ，抛物线F 2的顶点离地面距离为k ，2≤k ≤3时，求m 的取值范围．第3题图类型四几何图形问题典例精析例如图，某住宅小区有一块矩形场地ABCD，AB＝16 m，BC＝12 m，开发商准备对这块地进行绿化，分别设计了①②③④⑤五块地，其中①③两块形状大小相同的正方形地用来种花，②④两块形状大小相同的矩形地用来种植草坪，⑤为矩形地用来养殖观赏鱼．(1)设观赏鱼用地LJHF的面积为y m2，AG长为x m，求y与x之间的函数关系式；(2)求矩形观赏鱼用地LJHF面积的最大值．例题图针对演练1. (2020秦皇岛一模)熊组长准备为我们年级投资1万元围一个矩形的运动场地(如图)，其中一边靠墙，另外三边选用不同材料建造且三边的总长为50 m，墙长24 m，平行于墙的边的费用为200元/m，垂直于墙的边的费用150元/m，设平行与墙的边长为x/m.(1)若运动场地面积为300 m2，求x的值；(2)当运动场地的面积最大时是否会超过了预算？第1题图2.如图，西游乐园景区内有一块矩形油菜花田地(单位：m)，现在其中修建一条观花道(阴影所示)，供游人赏花，设改造后观花道的面积为y m2.(1)求y与x的函数关系式；(2)若改造后观花道的面积为13 m2，求x的值；(3)若要求0.6≤x≤1，求改造后油菜花田地所占面积的最大值．第2题图3.某农场要建一个饲养场(矩形ABCD)，饲养场的一面靠墙(墙最大可用长度为27米)，另三边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地，并在如图所示的三处各留1米宽的门(不用木栏)，建成后木栏总长57米，设饲养场(矩形ABCD)的宽为a米.(1) 饲养场的长为________米(用含a的代数式表示)；(2) 若饲养场的面积为288 m2，求a的值；(3) 当a为何值时，饲养场的面积最大，此时饲养场达到的最大面积为多少平方米？第3题图专题四函数实际应用类型一行程问题例解：(1)①由题意知s头＝vt＋300，∵v＝2 m/s，∴s头＝2t＋300；(3分)②∵v＝2，甲的速度为2v，∴甲的速度为4m/s，当甲从排尾赶到排头时，4t＝2t＋300，解得t＝150(s)，代入可得，s头＝2×150＋300＝600(m)；(4分)设甲从排头返回到排尾的过程中所用的时间为(t －150)s ， 则s 甲＝600－4(t －150)＝－4t ＋1200；(7分)(2)设甲从排尾赶到排头所用时间为t 1，则2vt 1＝vt 1＋300，∴t 1＝300v .(8分)设甲从排头返回排尾时所用时间为t 2， 则t 2＝300v ＋2v ＝100v ，∴T ＝t 1＋t 2＝400v；(9分)∴队伍在此过程中行进的路程为400v ×v ＝400 m ．(10分)1. 解：(1)设甲、乙两人的速度分别为a m /min ，b m /min ，则y 1＝⎩⎪⎨⎪⎧1200－ax ax －1200，y 2＝bx ，由题图知：x ＝3.75或7.5时，y 1＝y 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧1200－3.75a ＝3.75b 7.5a －1200＝7.5b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝240b ＝80.答：甲的速度为240 m /min ，乙的速度为80 m /min ； (2)设甲、乙之间距离为d ， 则d 2＝(1200－240x )2＋(80x )2 ＝64000(x －92)2＋144000，∴当x ＝92时，d 2的最小值为144000，即d 的最小值为12010；答：当x ＝92时，甲、乙两人之间的距离最短．2. 解：(1)120，3，6；(2)当0≤t ≤3时，y 乙与时间t 之间的函数关系式为y 乙＝120－40t ，即y 乙＝－40t ＋120； 当3<t ≤6时，y 乙与时间t 之间的函数关系式为y 乙＝40(t －3)＝40t －120； 综上所述，y 乙＝⎩⎪⎨⎪⎧－40t ＋120（0≤t ≤3），40t －120（3<t ≤6）.(3)y 乙与t 之间的函数图象如解图所示，由图象可知，在整个行驶过程中两车相遇次数为2.第2题解图3. 解：(1)设火车甲的速度是a m /s ，火车甲的长是b m .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧10a ＝b ，20a ＝300＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝30，b ＝300，答：火车甲的速度是30 m /s ，火车甲的长是300 m ；(2)当车头到达B 点前，即x <40时，y ＝1500－300－30x ＝1200－30x ； 当车头在B 点时，y ＝0； 当车头经过B 点后，即x >40时， y ＝(x －40)×30＝30x －1200，综上，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1200－30x （x ≤40），30x －1200（x >40）.当车头差500米到达D 点时，y ＝BC ＋CD －500＝1800，即30x －1200＝1800，解得x ＝100， ∴当x ＝100时，车头差500米到达D 点；(3)火车甲从车头到达A 点，到车尾离开隧道，共用时(1500＋300＋300)÷30＝70(s )，因此要使两列火车不在隧道内会车，则当火车甲车头到达A 点时，火车乙的车头距C 点至少要有70 s 的车程，也就是70×30＝2100(m )，∵2100－2000＝100(m )，∴当火车甲车头到达A 点时，火车乙车头不能到达D 点，至少距离D 点100 m . 4. 解：(1)加油前：汽车每小时耗油36－63＝10L ，则Q 1＝－10t ＋36(0≤t ≤3)；加油后：设加油后函数表达式为Q 2＝－10t ＋b (3<t ≤6)， 把(3，30)代入，解得b ＝60，∴Q 2＝－10t ＋60 (3<t ≤6)，∴Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧－10t ＋36（0≤t ≤3）－10t ＋60（3<t ≤6）； (2)∵出发前汽车油箱剩余油量为36L ，∴36×12＝18(L )． 令－10t ＋36＝18，解得t 1＝1.8，令－10t ＋60＝18，解得t 2＝4.2.∴汽车行驶1.8h 或4.2h 时，油箱内剩余油量为出发时的一半；(3)油箱中的油不够用，理由如下：∵80×3010＝80×3＝240 km ＜300 km ， ∴油箱中的油不够用．类型二 利润问题例 解：(1)∵甲种产品的销售单价为x 元，乙种产品的销售单价为(80－x )元，∴设y 2与x 之间的函数关系式y 2＝k (80－x )，∵当80－x ＝30时，y 2＝30，∴30＝30k ，得k ＝1，即y 2与x 之间的函数关系式为y 2＝80－x ；(2)设月销售利润为w 元，w ＝(x －30)(－2x ＋150)＋(80－x －20)(80－x )＝－(x －35)2＋1525，∴当x ＝35时，w 取得最大值，此时w ＝1525，80－x ＝45，∴甲种产品的销售单价定为35元，乙种产品的销售单价定为45元时，月销售利润最大，最大月销售利润是1525元；(3)不是月销售额越大月销售利润也越大，理由：设月销售额为z ，z ＝x (－2x ＋150)＋(80－x )(80－x )＝－(x ＋5)2＋6425，∴当x ＞－5时，z 随x 的增大而减小，∴在公司规定30≤x ≤60的范围内，当x ＝30时，月销售额最大，由(2)知，当x ＝35时，月销售利润最大，∴不是月销售额越大月销售利润也越大．1. 解：(1)∵该种商品的每天销售量y (千克)与销售单价x (元/千克)满足一次函数关系， ∴设y ＝kx ＋b ，由表中数据可得⎩⎪⎨⎪⎧55k ＋b ＝7060k ＋b ＝60， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2b ＝180， ∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝－2x ＋180；(2)当这天获得600元销售利润时，x (－2x ＋180)－50(－2x ＋180)＝600，解得x ＝60或x ＝80. 答：该天的销售单价应定为60元/千克或80元/千克时，该天销售利润为600元；(3)设利润为w 元，则w ＝x (－2x ＋180)－50(－2x ＋180)＝－2x 2＋280x －9000＝－2(x －70)2＋800， ∵－2<0，∴当x ＝70时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元．答：当销售单价定为70元/千克时，当天销售利润最大，最大利润为800元．2. 解：(1)∵当x ＝25时，y ＝60025＝24(千袋)， ∴当销售单价定为25元时，该食品加工厂的月销量为24千袋；(2)当20＜x ≤30时，M ＝600x (x －20)－20＝580－12000x； 当30＜x ≤35时，M ＝(12x ＋10)(x －20)－20＝12x 2－220； ∴M (千元)与x (元)之间的函数关系式为M ＝⎩⎨⎧580－12000x （20＜x ≤30）12x 2－220 （30＜x ≤35）；(3)盈利．∵当30＜x ≤35时，M ＝12x 2－220，M 随x 的增大而增大， ∴当x ＝30时，M 最小，M 最小＝12×302－220＝230>0； ∴盈利，∴当x ＝35时，M 最大，M 最大＝12×352－220＝392.5(千元)＝39.25(万元)． 答：此时该工厂盈利最大利润为39.25万元．3. 解：(1)设AB 段的反比例函数的解析式为y ＝k x，将A (2，40)代入得，k ＝80， ∴当2≤x ≤4时，y ＝80x， ∵BC 段为一次函数图象的一部分，且B (4，20)、C (14，0)，∴设BC 段的函数关系式为y ＝k ′x ＋b ，有⎩⎪⎨⎪⎧4k ′＋b ＝2014k ′＋b ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ′＝－2b ＝28， ∴当4＜x ≤14时，y ＝－2x ＋28，∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧80x （2≤x ≤4）－2x ＋28（4＜x ≤14）； (2)当2＜x ≤4时，w ＝(x －2)y ＝(x －2)·80x ＝－160x＋80， ∵随着x 的增大，－160x 增大，∴－160x＋80也增大， ∴当x ＝4时，w 取得最大值为40；当4＜x ≤14时，w ＝(x －2)y ＝(x －2)(－2x ＋28)＝－2x 2＋32x －56＝－2(x －8)2＋72，∵－2<0，4<8≤14，∴当x ＝8时，w 取得最大值为72，综上所述，每天利润的最大值为72元；(3)当x >4时，w ＝－2x 2＋32x －56＝－2(x －8)2＋72，令w ＝54，即－2x 2＋32x －56＝54，解得x 1＝5，x 2＝11，由函数图象可知，要使w ≥54，则5≤x ≤11，∴当5≤x ≤11时，小米的销售利润不低于54元．4. 解：(1)由表格可知：当x ＝10时，q ＝35，代入q ＝30＋ax 中得：35＝30＋10a ，a ＝0.5；(2)设当20<x ≤40时，q 与x 满足的关系式：q ＝b ＋k x， 把(21，45)和(35，35)代入得：⎩⎨⎧b ＋k 21＝45b ＋k 35＝35， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝525b ＝20， ∴q ＝20＋525x； (3)①p ＝50－x ；5. 解：(1)由题中图象可知点(20，240)是抛物线的顶点坐标，∴设W A 与x 之间的函数关系式为W A ＝a (x －20)2＋240，又∵点(10，230)在抛物线W A ＝a (x －20)2＋240上，∴230＝a (10－20)2＋240，解得a ＝－110. ∴W A 与x 之间的函数关系式为W A ＝－110(x －20)2＋240＝－110x 2＋4x ＋200； (2)由(1)得，投资A 产品所获得利润的最大值为240，W B ＝－15x 2＋nx ＋300＝－15(x －5n 2)2＋300＋54n 2， ∴投资B 产品所获得利润的最大值为300＋54n 2. 由题意可得，240＋140＝300＋54n 2，解得n ＝±8. ∵n ＝－8时不符合题意，∴n ＝8；(3)由题意可知，Q ＝W B ＋W A ＝－15a 2＋na ＋300－110x 2＋4x ＋200＝－310a 2＋(n ＋6)a ＋450. ∵当a ≥30时，Q 随a 的增大而减小，∴－n ＋62×（－310）≤30，解得n ≤12. ∴n 的取值范围为n ≤12.类型三 实物模型例 解：∵抛物线的顶点为(4，4)，设抛物线的解析式为y ＝a (x －4)2＋4，∵抛物线过点(0，2)，∴2＝16a ＋4，∴a ＝－18， ∴y ＝－18(x －4)2＋4， 当x ＝7时，y ＝－98＋4＝238≠3. ∴此球不能投中．探究一：设向前平移h 米，由题意可得y ＝－18(x －4－h )2＋4，代入点(7，3)，得3＝－18(7－4－h )2＋4， 解得h ＝3±22，根据实际情况h ＝3－22，即向前平移3－22米，可投入篮筐；探究二：设y ＝a (x －4)2＋4，∵投入篮筐，即代入x ＝7，y ＝3得3＝a (7－4)2＋4，解得a ＝－19， ∴y ＝－19(x －4)2＋4， 当x ＝0时，y ＝209，209－2＝29，即小明出手的高度要增加29米，可将篮球投入蓝筐中； 探究三：－925<a ≤－125. 1. 解：(1)设水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y ＝a (x －3)2＋5(a ≠0)， 将点(8，0)代入y ＝a (x －3)2＋5，得25a ＋5＝0，解得a ＝－15， ∴水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y ＝－15(x －3)2＋5(0＜x ＜8)； (2)当y ＝1.8时，有－15(x －3)2＋5＝1.8. 解得x 1＝－1(舍去)，x 2＝7，∵当3＜x ＜8时，y 随x 的增大而减小，∴为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内；(3)28920米． 2. 解：(1)根据题意，点A (1，18)在反比例函数y ＝k x的图象上， ∴k ＝1×18＝18，(1分)设h ＝at 2，根据题意，将t ＝1，h ＝5代入得a ＝5，∴h ＝5t 2；(2分)(2)当v ＝5时，∵M ，A 的水平距离为vt ，∴点M 的横坐标为x ＝5t ＋1；(3分)∵M ，A 的竖直距离为h ＝5t 2，∴点M 的纵坐标y ＝18－5t 2，(4分)∵x ＝5t ＋1，∴t ＝x －15， ∴y ＝18－5(x －15)2＝－15(x －1)2＋18，(6分) 当y ＝13时，－15(x －1)2＋18＝13， 解得x ＝6或x ＝－4(舍)，(7分)当x ＝6时，代入反比例函数y ＝18x得y ＝3，(8分) ∴运动员与正下方滑道的竖直距离为13－3＝10米；(9分)(3)t ＝1.8秒，v 乙的取值范围是v 乙＞7.5米/秒. (11分)3. 解：(1)∵a ＝0.1＞0，∴抛物线顶点为最低点．∵y ＝0.1x 2－0.8x ＋5＝0.1(x －4)2＋175， ∴绳子最低点离地面BD 的距离为175米； (2)由(1)可知，对称轴为直线x ＝4，则BD ＝8，令x ＝0得y ＝5，∴A (0，5)，C (8，5)．由题意可得，抛物线F 1的顶点坐标为：(4，2)，设抛物线F 1的解析式为：y ＝a (x －4)2＋2，将(0，5)代入得：16a ＋2＝5，解得a ＝316， ∴抛物线F 1的解析式为y ＝316(x －4)2＋2. 当x ＝5时，y ＝316＋2＝3516， ∴MN 的长为3516米； (3)∵MN ＝DC ＝5，∴根据抛物线的对称性可知抛物线F 2的顶点在ND 的垂直平分线上．∴抛物线F 2顶点的横坐标为：12(8－m )＋m ＝12m ＋4. ∴抛物线F 2的顶点坐标为(12m ＋4，k )． ∴抛物线F 2的解析式为y ＝13(x －12m －4)2＋k . 把C (8，5)代入得，13(8－12m －4)2＋k ＝5， 解得，k ＝－13(4－12m )2＋5， ∴k ＝－112(m －8)2＋5. ∴k 是关于m 的二次函数．又∵0＜m ＜8，∴k 随m 的增大而增大．∴当k ＝2时，－112(m －8)2＋5＝2， 解得，m 1＝2，m 2＝14(不符合题意，舍去)，当k ＝3时，－112(m －8)2＋5＝3， 解得，m 3＝8－26，m 4＝8＋26(不符合题意，舍去)，∴m 的取值范围是：2≤m ≤8－2 6.类型四 几何图形问题例 解：(1)在矩形ABCD 中，CD ＝AB ＝16，AD ＝BC ＝12，∵正方形AEFG 和正方形JKCI 全等，矩形GHID 和矩形EBKL 全等，AG ＝x ， ∴DG ＝12－x ，BE ＝16－x ，FL ＝x －(12－x )＝2x －12，LJ ＝(16－x )－x ＝16－2x ， ∴y ＝LJ ·FL ＝(16－2x )·(2x －12)＝－4x 2＋56x －192；(2)由(1)得y ＝－4x 2＋56x －192＝－4(x －7)2＋4，∵a ＝－4＜0，0<x <12，FL ＝2x －12>0，LJ ＝16－2x ＞0，∴6<x <8，∴当x ＝7时，y 最大为4，即矩形观赏鱼用地LJHF 面积的最大值为4 m 2.1. 解：(1)根据题意，得：(50－x 2)x ＝300， 解得：x ＝20或x ＝30，∵墙的长度为24 m ，∴x ＝20；(2)设运动场的面积是S ，则S ＝(50－x 2)x ＝－12x 2＋25x ＝－12(x －25)2＋6252， ∵－12<0， ∴当x <25时，S 随x 的增大而增大，∵x ≤24，∴当x ＝24时，S 取得最大值，∴总费用＝24×200＋26×150＝8700<10000，∴当运动场地的面积最大时，不会超过预算．2. 解：(1)由题图可知，y ＝6×8－2×12×(6－x )(8－x )＝－x 2＋14x (0＜x ＜6)； (2)当y ＝13时，－x 2＋14x ＝13，解得x ＝1或x ＝13，∵0＜x ＜6，∴x ＝1；(3)设油菜花田地占地面积为w ，则w ＝48－y ＝x 2－14x ＋48＝(x －7)2－1，∵1＞0，∴当x ＜7时，w 随x 的增大而减小，又∵0.6≤x ≤1，∴当x ＝0.6时，w 取得最大值，最大值为(0.6－7)2－1＝39.96. 答：改造后油菜花田地所占面积的最大值为39.96 m 2.3. 解： (1)60－3a ；(2) 由(1)可知，饲养场面积为a (60－3a )＝288，解得a ＝12或a ＝8；当a ＝8时，60－3a ＝60－24＝36>27，故a ＝8舍去，当饲养场的面积为288时，a 的值为12；(3) 设饲养场面积为y ，则y ＝a (60－3a )＝－3a 2＋60a ＝－3(a －10)2＋300， ∵2<60－3a ≤27，∴11≤a <583， ∵－3<0∴a ≥10时，y 随a 的增大而减小∴当a ＝11时，饲养场面积最大，最大面积为297平方米．。

2021年九年级数学中考复习——函数专题：一次函数实际应用（二）1．某县成立草莓合作社，帮助草莓种植户统一销售．经市场调研发现，草莓销售单价y（万元）与产量x（吨）之间的关系如图1所示（0≤x≤100），已知草莓的产销投人总成本p （万元）与产量x（吨）之间的关系如图2所示．（1）当30≤x≤70时，求草莓销售单价y（万元）与产量x（吨）之间的函数关系式；（2）设该合作社所获利润为w（万元），当产量x（吨）为多少时，利润w（万元）达到最大值？2．某社会团体准备购进甲、乙两种防护服捐给一线抗疫人员，经了解，购进5件甲种防护服和4件乙种防护服需要2万元，购进10件甲种防护服和3件乙种防护服需要3万元．（1）甲种防护服和乙种防护服每件各多少元？（2）实际购买时，发现厂家有两种优惠方案，方案一：购买甲种防护服超过20件时，超过的部分按原价的8折付款，乙种防护服没有优惠；方案二：两种防护服都按原价的9折付款，该社会团体决定购买x（x＞20）件甲种防护服和30件乙种防护服．①求两种方案的费用y与件数x的函数解析式；②请你帮该社会团体决定选择哪种方案更合算．3．为迎接“五一”国际劳动节，某商场计划购进甲、乙两种品牌的T恤衫共100件，已知乙品牌每件的进价比甲品牌每件的进价贵30元，且用120元购买甲品牌的件数恰好是购买乙品牌件数的2倍．（1）求甲、乙两种品牌每件的进价分别是多少元？（2）商场决定甲品牌以每件50元出售，乙品牌以每件100元出售．为满足市场需求，购进甲种品牌的数量不少于乙种品牌数量的4倍，请你确定获利最大的进货方案，并求出最大利润．4．《榜样阅读》是中国青年报•中青在线联合酷我音乐共同打造的首档青年阅读分享类音频节目，青春偶像传颂经典、讲述成长故事，用声音掀起新时代青年阅读热潮．某中学为了满足学生的阅读需求，购进了一批图书，并前后两次购买两种书架，其中第一次购买铁质书架10个，木质书架30个，共花费1150元；第二次购买铁质书架30个，木质书架20个，共花费1350元，且两次购买的两种书架单价不变．（1）求这两种书架的单价分别为多少元？（2）若该学校计划再次购买这两种书架共50个，且要求铁质书架的数量不多于木质书架数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用．5．某服装店同时购进甲、乙两种款式的运动服共300套，进价和售价如表中所示，设购进甲款运动服x套（x为正整数），该服装店售完全部甲、乙两款运动服获得的总利润为y 元．（1）求y与x的函数关系式；（2）该服装店计划投入2万元购进这两款运动服，则至少购进多少套甲款运动服？若售完全部的甲、乙两款运动服，则服装店可获得的最大利润是多少元？（3）在（2）的条件下，若服装店购进甲款运动服的进价降低a元（其中20＜a＜40），且最多购进240套甲款运动服，若服装店保持这两款运动服的售价不变，请你设计出使该服装店获得最大销售利润的购进方案．运动服款式甲款乙款进价（元/套）6080售价（元/套）1001506．国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某企业推出一种叫“CNG”的改烧汽油为天然气的装置，每辆车改装费为b元，如图所示l1和l2分别表示每辆车的燃料费（含改装费）y（元）与正常运营时间x（天）之间的关系．（1）哪条线表示每辆车改装后的燃料费（含改装费）y（元）与正常运营时间x（天）之间的关系？（2）每辆车的改装费b＝元，正常营运天后，就可以从节省的燃料费中收回改装成本；（3）每辆车改装前每天的燃料费为元；改装后每天的燃料费为元；（4）直接写出每辆车改装前、后的燃料费（含改装费）y（元）与正常运营时间x（天）之间的关系式．7．温度通常有两种表示方法：华氏度（单位：°F）与摄氏度（单位：℃），已知华氏度数y与摄氏度数x之间是一次函数关系，如表列出了部分华氏度与摄氏度之间的对应关系：…0…35…100…摄氏温度x（℃）…32…95…212…华氏温度y（°F）（1）选用表格中给出的数据，求y关于x的函数解析式；（2）有一种温度计上有两种刻度，即测量某一温度时左边是摄氏度，右边是华氏度，把这个温度计拿到中国最北城市“漠河”，发现两个温度显示刻度一样，求当天漠河的气温．8．某市为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的电费，分两档收费：第一档是当月用电量不超过220kW•h时实行“基础电价”；第二档是当用电量超过220kW•h时，其中的220kW•h仍按照“基础电价”计费，超过的部分按照“提高电价”收费．设每个家庭月用电量为xkW•h时，应交电费为y元．具体收费情况如图所示，请根据图象回答下列问题：（1）“基础电价”是元/kw•h；（2）求出当x＞220时，y与x的函数解析式；（3）若小豪家六月份缴纳电费121元，求小豪家这个月用电量为多少kW•h？9．快递行业的高速发展也催生了校园勤工俭学“的门路，王小龙同学大学期间在校广播站播出了一条“校内快递”业务，收费方式有两种：方式一：快递物品不超过3千克的，按每千克2元收费；超过3千克，前3千克每千克2元，超过的部分按每千克1.5元收费；方式二：基础服务费4元，另外每千克加收1元．元旦来临，某班级辅导员准备雇用王小龙同学从校内果品店购买一箱桔子回各自班级举办新年茶话会，一箱桔子的质量为x（x＞3）千克．（1）请分别写出该辅导员用两种付费方式所需的快递费用y（元）与x（千克）之间的函数关系式，并在下面的平面直角坐标系中画出图象；（2）若两种付费方式所需快递费用相同，求这箱桔子的质量；（3）若采用方式二所需要快递费用比采用方式一便宜5元，求这箱桔子的质量．10．坚持农业农村优先发展，按照产业兴旺、生态宜居的总要求，统筹推进农村经济建设洛宁县某村出售特色水果（苹果）．规定如下：品种购买数量低于50箱购买数量不低于50箱新红星原价销售以八折销售红富士原价销售以九折销售如果购买新红星40箱，红富士60箱，需付款4300元；如果购买新红星100箱，红富士35箱，需付款4950元（1）每箱新红星、红富士的单价各多少元？（2）某单位需要购置这两种苹果120箱，其中红富士的数量不少于新红星的一半，并且不超过60箱，如何购买付款最少？请说明理由；参考答案1．解：（1）当30≤x≤70时，设y＝kx+b，把（30，2.4），（70，2）代入得：，解得，∴y＝﹣0.01x+2.7；（2）由题意可得p＝x+1，w＝yx﹣p，①当0≤x≤30时，w＝2.4x﹣（x+1）＝1.4x﹣1，＝41（万元）；∴当x＝30时，w最大②当30≤x≤70时，w＝（﹣0.01x+2.7）x﹣（x+1）＝﹣0.01x2+1.7x﹣1，∴当x＝70时，w＝69（万元）；最大③当70≤x≤100时，w＝2x﹣（x+1）＝x﹣1；＝99（万元）．∴当x＝100时，w最大综上所述，当产量为100时吨，利润达到最大值．2．解：（1）设甲种防护服每件x元，乙种防护服每件y元，根据题意得：，解得，答：甲种防护服每件2400元，乙种防护服每件2000元；（2）①方案一：y1＝2400×20+2400×0.8×（x﹣20）+2000×30＝1920x+69600；方案二：y2＝（2400x+2000×30）×0.9＝2160x+54000．②当y1＝y2时，1920x+69600＝2160x+54000，解得x＝65；当y1＞y2时，即1920x+69600＞2160x+54000，解得：x＜65；当y1＜y2时，即1920x+69600＜2160x+54000，解得x＞65．∴当购买甲种防护服65件时，两种方案一样；当购买甲种防护服的件数超过20件而少于65件时，选择方案二更合算；当购买甲种防护服多于65件时，选择方案一更合算．3．解：（1）设甲品牌每件的进价为x元，则乙品牌每件的进价为（x+30）元，，解得，x＝30经检验，x＝30是原分式方程的解，∴x+30＝60，答：甲品牌每件的进价为30元，则乙品牌每件的进价为60元；（2）设该商场购进甲品牌T恤衫a件，则购进乙品牌T恤衫（100﹣a）件，利润为w 元，∵购进甲种品牌的数量不少于乙种品牌数量的4倍，∴a≥4（100﹣a）解得，a≥80w＝（50﹣30）a+（100﹣60）（100﹣a）＝﹣20a+4000，∵a≥80，∴当a＝80时，w取得最大值，此时w＝2400元，100﹣a＝20，答：获利最大的进货方案是：购进甲品牌T恤衫80件，购进乙品牌T恤衫20件，最大利润是2400元．4．解：（1）设铁质书架的单价是x元，木质书架的单价是y元，由题意得，解得，答：铁质书架的单价是25元，木质书架的单价是30元；（2）设购买木质书架m个，购买两种书架的总费用为w元，则购买铁质书架（50﹣m）个．由题意得w＝30m+25（50﹣m）＝5m+1250，∵5＞0，w随m的增大而增大，∴当m最小时，w有最小值，∵50﹣m≤3m，解得m≥12.5，且m为正整数，∴当m＝13时，w＝5×13+1250＝1315（元），最小此时50﹣m＝50﹣13＝37（个），答：最省钱的购买方案是购进铁质书架37个，木质书架13个，最少费用为1315元．5．解：（1）根据题意得y＝（100﹣60）x+（150﹣80）（300﹣x）＝﹣30x+21000；即y＝﹣30x+21000．（2）由题意得，60x+80（300﹣x）≤20000，解得x≥200，∴至少要购进甲款运动服200套．又∵y＝﹣30x+21000，﹣30＜0，∴y随x的增大而减小，∴当x＝200时，y有最大值，y＝﹣30×200+21000＝15000，最大∴若售完全部的甲、乙两款运动服，则服装店可获得的最大利润是15000元．（3）由题意得，y＝（100﹣60+a）x+（150﹣80）（300﹣x），其中200≤x≤240，化简得，y＝（a﹣30）x+21000，∵20＜a＜40，则：①当20＜a＜30时，a﹣30＜0，y随x的增大而减小，∴当x＝200时，y有最大值，则服装店应购进甲款运动服200套、乙款运动服100套，获利最大．②当a＝30时，a﹣30＝0，y＝21000，则服装店应购进甲款运动服的数量应满足200≤x≤240，且x为整数时，服装店获利最大．③当30＜a＜40时，a﹣30＞0，y随x的增大而增大，∵200≤x≤240，∴当x＝240时，y有最大利润，则服装店应购进甲款运动服240套、乙款运动服60套，获利最大．6．解：（1）根据图象可知l1表示每辆车改装后的燃料费（含改装费）y（元）与正常运营时间x（天）之间的关系；（2）每辆车的改装费b＝4000元，正常营运100天后，就可以从节省的燃料费中收回改装成本；故答案为：4000；100；（3）每辆车改装前每天的燃料费为9000÷100＝90元；改装后每天的燃料费为（9000﹣4000）÷100＝元；故答案为：90；50；（4）设改装前燃料费（含改装费）y（元）与正常运营时间x（天）之间的关系式为y＝k1x，根据题意得100k1＝9000，解得k1＝90，∴改装前燃料费（含改装费）y（元）与正常运营时间x（天）之间的关系式为y＝90x；设改装后燃料费（含改装费）y（元）与正常运营时间x（天）之间的关系式为y＝k2x+b，根据题意得，解得，∴改装后燃料费（含改装费）y（元）与正常运营时间x（天）之间的关系式为y＝50x+4000．7．解：（1）设y＝kx+b，把（0，32）和（35，95）代入得：，解得，∴y＝+32；（2）根据题意得：+32＝x，解得x＝﹣40．答：当天漠河的气温为﹣40℃．8．解：（1）“基础电价”是＝0.5元/度，故答案为：0.5；（2）当x＞220时，设y＝kx+b，由图象可得：，解得，∴y＝0.55x﹣11；（3）∵y＝121＞110∴令0.55x﹣11＝121，得：x＝240．答：小豪家这个月用电量为240kW•h．9．解：（1）∵x＞3，∴y1＝3×2+1.5（x﹣3）＝1.5x+1.5；∴方式一付费方式所需的快递费用y1（元）与x（千克）之间的函数关系为：y1＝1.5x+1.5（x＞3）；方式二付费方式所需的快递费用y2（元）与x（千克）之间的函数关系为：y2＝x+4（x＞3）．如图所示：（2）1.5x﹣2.5＝x+4，解得x＝5，答：若两种付费方式所需快递费用相同，则这箱桔子的质量为5kg；（3）1.5x+1.5﹣（x+4）＝5，解得x＝15．答：这箱桔子的质量为15kg．10．解：（1）设每箱新红星a元，每箱红富士b元，由题意可得：，解得，答：每箱新红星40元，每箱红富士50元；（2）设购置新红星x箱，则购置红富士（120﹣x）箱，所需的总费用为y元，由题意可得：，解得60≤x≤80，所以新红星箱数x的取值范围60≤x≤80，设购买付款费用为y元，当60≤x≤70时，即新红星大于50箱，购买红富士数量大于50箱，则y＝40×0.8x+50×0.9（120﹣x）＝﹣13x+5400，∵k＝﹣13＜0，∴y随x的增大而减小，∴当x＝70时，y的值最小，最小值为：y＝﹣13×70+5400＝4490；当70＜x≤80时，即新红星大于50箱，购买红富士数量小于50箱，则y＝40×0.8x+50（120﹣x）＝﹣18x+6000，∵k＝﹣18＜0。

初三函数练习题及答案函数是数学中一个重要的概念，也是初中数学学习的重点内容之一。

通过解决函数练习题，可以帮助学生更好地理解和掌握函数的概念和性质。

下面是一些初三函数练习题及答案，供同学们参考。

练习一：函数的定义与判断1. 函数的定义是什么？函数是两个集合之间的一种特殊对应关系。

对于定义域内的每一个元素，都有唯一对应的值域元素与之对应。

2. 下列哪些对应关系是函数？(1) (1, 2), (2, 3), (3, 4), (1, 5)(2) (1, 2), (2, 3), (1, 4), (2, 5)(3) (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 2)(4) (1, 2), (2, 3), (3, 2), (4, 1)答案：(1) 是函数。

(2) 不是函数。

(3) 不是函数。

(4) 是函数。

练习二：函数的图像与性质3. 画出函数 y = 2x + 1 的图像，并描述其特点。

答案：函数 y = 2x + 1 的图像为一条直线，通过点 (0, 1)。

斜率为 2，表示函数图像上任意两点的纵坐标之差与横坐标之差的比例为 2：1。

函数图像是上升的，斜率大于 0，表示随着自变量的增大，因变量也增大。

练习三：函数的性质应用4. 已知函数 f(x) 的定义域为实数集 R，值域为区间 [-1, 3]。

若函数g(x) = f(2x)，求函数 g(x) 的定义域和值域。

答案：因为 f(x) 的定义域为实数集 R，所以 g(x) 的定义域为实数集 R。

对于任意的 x，有 2x 在 R 上取值。

因此，g(x) 的定义域也为实数集 R。

对于任意的 x，2x 都在定义域内，根据 f(x) 的值域为 [-1, 3]，得出f(2x) 的值域也为 [-1, 3]。

因此，函数 g(x) 的值域为 [-1, 3]。

练习四：函数关系的综合应用5. 已知函数 h(x) = |x - 2| + |3 - x|，求使 h(x) 最小的 x 的值，及最小值是多少。

人教版九年级中考数学专题：实际问题与二次函数（销售问题）训练一、单选题1．某种商品的成本是120元，试销阶段每件商品的售价x （元）与产品的销售量y （件）满足当130x =时，70y =，当150x =时，50y =，且y 是x 的一次函数，为了获得最大利润S （元），每件产品的销售价应定为（ ）A ．160元B ．180元C ．140元D ．200元 2．一台机器原价60万元，如果每年的折旧率为x ，两年后这台机器的价位为y 万元，则y 关于x 的函数关系式为（ ）A ．260(1)y x =-B ．()2601y x =-C ．260y x =-D ．260(1)y x =+ 3．某商人将单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，已知这种商品每提高2元，其销量就要减少10件，为了使每天所赚利润最多，该商人应将销售价(为偶数)提高( )A ．8元或10元B ．12元C ．8元D ．10元4．将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个，已知该商品单价每上涨2元，其销售量就减少10个．设这种商品的售价为x 元时，获得的利润为y 元，则下列关系式正确的是（ ）A ．y=（x ﹣35）（400﹣5x ）B ．y=（x ﹣35）（600﹣10x ）C ．y=（x+5）（200﹣5x ）D ．y=（x+5）（200﹣10x ）5．某超市将进货单价为l8元的商品按每件20元销售时，每日可销售100件，如果每件提价1元，日销售就要减少10件，那么把商品的售出价定为多少元时，才能使每天获得的利润最大？（ ）A ．22元B ．24元C ．26元D ．28元 6．“星星书店”出售某种笔记本，若每个可获利x 元，一天可售出()8x -个．当一天出售该种文具盒的总利润y 最大时，x 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 7．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，则能获取的最大利润是（ ）A ．600元B ．625元C ．650元D ．675元8．某旅社有100张床位，若每张床位每晚收费100元，床位可全部租出，若每张床位每晚收费提高20元，则减少10张床位租出；若每张床位每晚收费再提高20元，则再减少10张床位租出．以每次提高20元的这种方法变化下去，为了投资少而收入最多，每张床位每晚应提高（ ）A ．60元B ．50元C ．40元D ．40元或60元二、填空题9．进入九月后，某电器商场为减少库存，对电风扇连续进行两次降价，若设平均每次降价的百分率是x ，降价后的价格为y 元，原价为a 元，则y 与x 之间的函数关系式为_________________．10．已知某商品每箱盈利10元，现每天可售出50箱，如果每箱商品每涨价1元，日销售量就减少2箱．设每箱涨价x 元时（其中x 为正整数），每天的总利润为y 元，则y 与x 之间的关系式为_______．11．一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件. 根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为_______元.12．某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为_______元． 13．服装店将进价为每件100元的服装按每件()100x x >元出售，每天可销售()200 x -件，若想获得最大利润，则x 应定为_____元．14．某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件，则商场按_______元销售时可获得最大利润__________．15．某花圃用花盆培育花苗，经试验发现，每盆的盈利与每盆种植的株数构成一定的关系．每盆植入4株时，平均每株盈利4元，以同样的栽培条件，若每盆增加1株，平均单株盈利就减少0．5元．要使每盆盈利达到最大，则每盆应植______株．16．小华大学毕业创业，他成功研发出一种产品．产品生产成本为5元/件．已知此产品每一季度的销售量y (万件)与售价x (元/件)之间满足函数关系式20y x =-+．销售量等于产量，那么小华每一季度生产的这种产品利润的最大值是__________．三、解答题17．某精品店购进甲、乙两种商品，已知购进2件甲商品和1件乙商品共需36元，购进3件甲商品与2件乙商品共需64元．(1)求甲商品的和乙商品的进价．(2)甲商品售价是10元一件，可售出200件，据商家统计，甲商品每涨价0.5元，其销售量就减少10件，请问售价定为多少时，才能使利润最大，并求出最大利润．18．某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元．市场调查发现，在一段时间内，销售量w （千克）随销售单价x （元/千克）的变化而变化，具体关系式为：2240.w x =-+设这种绿茶在这段时间内的销售利润为y （元），解答下列问题：(1)求y 与x 的关系式；(2)当销售单价定为多少元时，可获得最大利润？(3)如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克，公司想要在这段时间内获得2250元的销售利润，应将销售单价定为多少元？19．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出5件．(1)若商场平均每天要盈利2400元，每件衬衫应降价多少元？(2)若该商场要每天盈利最大，每件衬衫应降价多少元？盈利最大是多少元？20．九年级某班数学小组经过市场调查，整理出某种商品在第()190x x ≤≤天的销售量的相关信息如下表：已知该商品的进价为每件30元，设当天销售该商品的利润为y 元(1)求出y 与x 之间的函数关系式(2)问销售该商品第几天时，当天的销售利润最大？(3)该商品在销售过程中，共有多少天销售利润不低于4800元？请直接写出结果参考答案：1．A2．A3．A4．A5．B6．D7．B8．A9．2(1)y a x=-10．2230500y x x=-++（x为正整数）11．512．7013．15014．95225015．616．2254元17．(1)甲、乙两种商品进价分别为8元/件，20元/件(2)甲商品售价为14元/件时，获得利润最大，最大利润为720元18．(1)2234012000y x x=-+-；(2)当销售单价定为85元时，可获得最大利润；(3)将销售单价定为75元时，可获得2250元的销售利润．19．(1)每件衬衫应降价20元(2)每件衬衫降价18元时，商场所获得的利润最大为2420元20．(1)()()221802000150120120005090x x xyx x⎧-++≤<⎪=⎨-+≤≤⎪⎩(2)45(3)41答案第1页，共1页。

实际问题与二次函数应用题专题训练1.某农场要建一个饲养场（长方形ABCD），饲养场的一面靠墙（墙最大可用长度为27米），另三边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长57米，设饲养场（长方形ABCD）的宽为a米．(1) 饲养场的长为米（用含a的代数式表示）．(2) 若饲养场的面积为288m2，求a的值．(3) 当a为何值时，饲养场的面积最大，此时饲养场达到的最大面积为多少平方米？2.在新秦淮区的对口扶贫活动中，企业甲将经营状况良好的某消费品专卖店，以188万元的优惠价转让给了尚有120万无息贷款还没有偿还的小型福利企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支 5.6万元后，逐步偿还转让费（不计利息）．如果维持乙企业的正常运转每月除职工最低生活费外，还需其他开支 2.4万元，并且从企业甲提供的相关资料中可知这种热门消费品的进价是每件12元，月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式是y=−x+20．(1) 当商品的销售单价为多少元时，扣除各类费用后的月利润余额最大？(2) 企业乙依靠该店，能否在3年内偿还所有债务？3.某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元．市场调查发现，在一段时间内，销售量w（千克）随销售单价x（元/千克）的变化而变化，具体关系式为：w=−2x+ 240．设这种绿茶在这段时间内的销售利润为y（元），解答下列问题：(1) 求y与x的关系式；(2) 当x取何值时，y的值最大？(3) 如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克，公司想要在这段时间内获得2250元的销售利润，销售单价应定为多少元？4.某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价x（元/件）与每天销售量y（件）之间满足如图所示的关系：(1) 求出y与x之间的函数关系式；(2) 如果商店销售这种商品，每天要获得1500元利润，那么每件商品的销售价应定为多少元？(3) 写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？5.某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为40元，若销售价为60元，每天可售出20件，为迎接“双十一”，专卖店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，经市场调查发现，如果毎件童装降价1元，那么平均每天可多售出2件，设每件降价x元(x>0)，平均每天可盈利y元．(1) 写出y与x的函数关系式；(2) 当该专卖店每件童装降价多少元时，平均每天盈利400元？(3) 该专卖店要想平均每天盈利600元，可能吗？请说明理由．6.某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元，市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元）有如下关系：y=−x+60(30≤x≤60)．设这种双肩包每天的销售利润为ω元．(1) 求ω与x之间的函数表达式；(2) 这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？(3) 如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？7.某商店出售一款商品，商店规定该商品的销售单价不低于68元．经市场调查反映，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系．关于该商品的销售单价，日销售量，日销售利润的部分对应数据如下表：[注：日销售利润=日销售量×（销售单价−成本单价）]销售单价x(元)757882日销售量y(件)15012080日销售利润w(元)52504560m(1) 求y关于x的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；(2) ①根据以上信息，填空：该产品的成本单价是元，表中m的值是；②求w关于x的函数关系式；(3) 求该商品日销售利润的最大值．8.某公司投入研发费用80万元（80万元只计入第一年成本），成功研发出一种产品．公司按订单生产（产量=销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为6元/件．此产品年销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y=−x+26．(1) 求这种产品第一年的利润W1（万元）与售价x（元/件）满足的函数关系式；(2) 该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是多少？(3) 第二年，该公司将第一年的利润20万元（20万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成本降为5元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过12万件．请计算该公司第二年的利润W2至少为多少万元．9.某公司经过市场调查发现，该公司生产的某商品在第x天的销售单价为(x+20)元/件(1≤x≤50)，且该商品每天的销量满足关系式y=200−4x．已知该商品第10天的售价按8折出售，仍然可以获得20%的利润．(1) 求公司生产该商品每件的成本为多少元？(2) 问销售该商品第几天时，每天的利润最大？最大利润是多少？(3) 该公司每天还需要支付人工、水电和房租等其它费用共计a元，若公司要求每天的最大利润不低于2200元，且保证至少有46天盈利，则a的取值范围是（直接写出结果）．10.某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2400元，销售单价定为3000元．在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元．(1) 商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元？(2) 设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获的利润为y元，求y（元）与x（件）之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．(3) 该公司的销售人员发现：当商家一次购买这种产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况．为使商家一次购买的数量越多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元？（其他销售条件不变）11.某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲，宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．(1) 当每个房间的定价增加120元时，求一天订出的房间数；(2) 设每个房间的房价定价增加x元（x为10的正整数倍），宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式；(3) 一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？12.某种蔬菜每千克售价y1（元）与销售月份x之间的关系如图①所示，每千克成本y2（元）与销售月份x之间的关系如图②所示，其中图①中的点在同一条线段上，图②中的点在对称轴平行于y轴的同一条抛物线上，且抛物线的最低点的坐标为(6,1)．(1) 求出y1与x函数关系式．(2) 求出y2与x函数关系式．(3) 设这种蔬菜每千克收益为ω元，试问在哪个月份岀售这种蔬菜，ω将取得最大值？并求出此最大值．（收益=售价−成本）13.A，B两书店都有同版《英汉小词典》一书出售，封底标价为20元，现两书店都同时进行促销活动，A书店一律按标价的7折销售；B书店若只购1本则按标价销售，若一次性购买多于1本，但不多于20本时，每多购1本，每本售价在标价的基础上优惠2%（例如买两本，每本价优惠2%；买3本每本价优惠4%，依此类推），若多于20本时，每本售价为12元；设在A，B两书店购此书总价分别为y A，y B．(1) 试分别写出y A，y B与购书本数x之间的函数关系式．(2) 如果老师给你176元钱，要你去B书店买该书，问一次性最多能购买此书多少本？若要你去A书店最多又能购买此书多少本呢？(3) 若要分别在A，B两书店一次性购买此书相同本数（x本）时，问当x(0<x≤20)为多少，购此书总价y A与y B相差最大，最大值是多少？14.某货车销售公司，分别试销售两种型号货车各一个月，并从中选择一种长期销售，设每月销售量为x辆，若销售甲型货车，每月销售的利润为y1（万元），已知每辆甲型货车的利润为(m+6)万元，（m是常数，9≤m≤11），每月还需支出其他费用8万元，受条件限制每月最多能销售甲型货车25辆；若销售乙型货车，每月的利润y2（万元）与x的函数关系式为y2=ax2+bx−25，且当时x=10，y2=20，当x=20时，y2=55，受条件限制每月最多能销售乙型货车40辆．(1) 分别求出y1，y2与x的函数关系式，并确定x的取值范围；(2) 分别求出销售这两种货车的最大月利润；（最大利润能求值的求值，不能求值的用式子表示）(3) 为获得最大月利润，该公司应该选择销售哪种货车？请说明理由．15.某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件．试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．(1) 写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；(2) 求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；(3) 商场的营销部结合上述情况，提出了A，B两种营销方案：方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元，请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．16.大学毕业生小王响应国家“自主创业”的号召，利用银行小额无息贷款开办了一家饰品店．该店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件40元，售价为每件60元，每月可卖出300件．市场调查反映：调整价格时，售价每涨1元每月要少卖10件；售价每下降1元每月要多卖20件．为了获得更大的利润，现将饰品售价调整为60+x（元/件）（x>0即售价上涨，x<0即售价下降），每月饰品销量为y（件），月利润为w（元）．(1) 直接写出y与x之间的函数关系式；(2) 如何确定销售价格才能使月利润最大？求最大月利润；(3) 为了使每月利润不少于6000元应如何控制销售价格？17.2021年3月南山区在深圳湾举办风筝节，王大伯决定销售一批风筝，经市场调研：蝙蝠型风筝进价每个为10元，当售价每个为12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个．请回答以下问题：(1) 用表达式表示蝙蝠型风筝销售量y（个）与售价x（元）之间的函数关系（12≤x≤30）；(2) 王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为多少？(3) 当售价定为多少时，王大伯获得利润最大，最大利润是多少？18.某商场经调研得出某种商品每天的利润y（元）与销售单价x（元）之间满足关系：y=ax2+bx−75，其图象如图所示．时，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)有最小（大）值）（参考公式：当x=−b2a(1) 求a与b的值；(2) 销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？(3) 销售单价定在多少时，该种商品每天的销售利润为21元？结合图象，直接写出销售单价定在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于21元？19.通过实验研究，专家们发现：初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示（y 越大表示注意力越集中）．当0≤x≤10时，图象是抛物线的一部分，当10<x≤20和20<x≤40时，图象是线段．(1) 当0≤x≤10时，求注意力指标数y与时间x的函数关系式；(2) 一道数学综合题，需要讲解24分钟．问老师能否经过适当安排，使学生听这道题时，注意力的指标数都不低于36？20.俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y本，销售单价为x元．(1) 请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；(2) 将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？答案一、解答题1. 【答案】(1) 60−3a(2) 依题意，列方程 a (60−3a )=288，解得 a 1=12；a 2=8（舍去），∴a =12．(3) a (60−3a )=−3a 2+60a =−3(a −10)2+300，∵2<60−3a ≤27，当 a =11 时，最大面积是 297 m 2．2. 【答案】(1) 设扣除各类费用后的月利润余额 W 万元．根据题意，得W =(x −12)y −5.6−2.4=(x −12)(−x +20)−5.6−2.4=−x 2+32x −248=−(x −16)2+8.当 x =16 时，W 最大值=8． 答：当商品的销售单价为 16 元时，扣除各类费用后的月利润余额最大．(2) 按扣除各类费用后的月利润余额最大值 8 万元计算，3 年总利润为：8×12×3=288 万元．所有债务为：188+120=308 万元．∵288<308，∴ 不能在 3 年内偿还所有债务．3. 【答案】(1) y =(x −50)⋅w=(x −50)⋅(−2x +240)=−2x 2+340x −12000,∴y 与 x 的关系式为 y =−2x 2+340x −12000．(2) y =−2x 2+340x −12000=−2(x −85)2+2450,∴ 当 x =85 时，y 的值最大．(3) 当 y =2250 时，可得方程 −2(x −85)2+2450=2250．解这个方程，得 x 1=75，x 2=95．根据题意，x 2=95 不合题意应舍去．∴ 当销售单价为 75 元时，可获得销售利润 2250 元．4. 【答案】(1) 设 y 与 x 之间的函数关系式为 y =kx +b (k ≠0)，由所给函数图象可知：{130k +b =50,150k +b =30,解得：{k =−1,b =180,故 y 与 x 的函数关系式为 y =−x +180．(2) 根据题意，得：(x −100)(−x +180)=1500.整理，得：x 2−280x +19500=0.解得：x =130.或x =150.答：每件商品的销售价应定为 130 元或 150 元．(3) ∵y =−x +180，∴W =(x −100)y =(x −100)(−x +180)=−x 2+280x −18000=−(x −140)2+1600，∴ 当 x =140 时，W 最大=1600，∴ 售价定为 140 元/件时，每天最大利润 W =1600 元．5. 【答案】(1) 根据题意y =(20+2x )(60−40−x )，y =−2x 2+20x +400(0<x <20)．(2) 当 y =400 时，−2x 2+20x +400=400，解得 x 1=10，x 2=0（舍）．答：当每件童装降价 10 元时平均每天盈利 400 元．(3) 不可能盈利 600 元．当 y =600 时，600=−2x 2+20x +400，x 2−10x +100=0，Δ=(−10)2−4×1×100=−300<0．方程无实数根．答：不可能盈利 600 元．6. 【答案】(1) ω=(x −30)⋅y=(−x +60)(x −30)=−x 2+30x +60x −1800=−x 2+90x −1800.ω 与 x 之间的函数表达式为 ω=−x 2+90x −1800．(2) 根据题意得，ω=−x 2+90x −1800=−(x −45)2+225．∵−1<0，当 x =45 时，ω 有最大值，最大值是 225．即这种双肩包销售单价定为 45 元时，每天的销售利润最大，最大利润是 225 元．(3) 当 ω=200 时，−x 2+90x −1800=200，解得 x 1=40，x 2=50．∵50>48，∴x 2=50 不符合题意，舍去．故该商店销售这种双肩包每天要获得 200 元的销售利润，销售单价应定为 40 元．7. 【答案】(1) 设 y =kx +b ，将 (75,150)，(78,120) 代入，{75k +b =150,78k +b =120,∴{k =−10,b =900.∴y =−10x +900（68≤x ≤90）．(2) ① 40；3360② w =y (x −40)=(−10x +900)(x −40)=−10x 2+1300x −36000．(3) w =−10(x −65)2+6250，∵a =−10<0，∴w 有最大值，∵ 当 x ≥65 时，w 随 x 的增大而减小，而 68≤x ≤90，∴ 当 x =68 时，w max =−10(68−65)2+6250=6160，即该商品日销售利润的最大值为 6160 元．8. 【答案】(1) W 1=(x −6)(−x +26)−80=−x 2+32x −236．(2) 由题意：20=−x 2+32x −236.解得：x =16,答：该产品第一年的售价是 16 元．(3) 由题意：7≤x ≤16,W 2=(x −5)(−x +26)−20=−x 2+31x −150，∵7≤x ≤16，∴x =7 时，W 2 有最小值，最小值 =18（万元），答：该公司第二年的利润 W 2 至少为 18 万元．9. 【答案】(1) 设成本为 m 元，10+20=30，30×0.8=24，24−m m =20%,解得m =20,答：公司生产该商品每件成本为 20 元．(2) 设利润为 Z ，则利润 Z =(200−4x )x =−4x 2+200x ，当 x =25 时，利润最大，最大利润为：2500 元，答：第 25 天时利润最大，最大利润为 2500 元．(3) 0<a ≤30010. 【答案】(1) 设商家一次购买这种产品 x 件时，销售单价恰好为 2600 元．由题意，得3000−10(x −10)=2600,解得x =50.故商家一次购买这种产品 50 件时，销售单价恰好为 2600 元．(2) 当 0≤x ≤10 时，y =(3000−2400)x =600x ；当 10<x ≤50 时，y =x [3000−10(x −10)−2400]=−10x 2+700x ；当 x >50 时，y =(2600−2400)x =200x ．故 y 与 x 之间的函数解析式为y ={600x,0≤x ≤10,且x 为整数−10x 2+700x,10<x ≤50,且x 为整数200x,x >50,且x 为整数． (3) 若要满足一次购买的数量越多，公司所获的利润越大，则 y 应随 x 的增大而增大．y =600x 及 y =200x 均是 y 随 x 的增大而增大，二次函数 y =−10x 2+700x =−10(x −35)2+12250，当 10<x ≤35 时，y 随 x 的增大而增大；当 35<x ≤50 时，y 随 x 的增大而减小，因此 x 的取值范围只能为 10<x ≤35，即一次购买的数量为 35 件时的销售单价应为调整后的最低销售单价．当 x =35 时，销售单价为 3000−10×(35−10)=2750（元）．故公司应将最低销售单价调整为 2750 元．11. 【答案】(1) 50−12010=38（间）． (2) w =(50−x 10)×(180+x −20)=−110x 2+34x +8000.(3) ∵−110<0，∴ 抛物线开口向下，抛物线有最高点，函数有最大值，∴ 当 x =−b 2a =34−2×(−110)=170 时， w 最大值=4ac−b 24a =4×(−110)×8000−3424×(−110)=10890． 50−170÷10=33 间．答：一天订住 33 个房间利润最大，最大为 10890 元．12. 【答案】(1) 设 y 1=kx +b ，∵ 直线经过 (3,5)，(6,3)，{3k +b =5,6k +b =3,解得：{k=−23, b=7.∴y1=−23x+7（3≤x≤6，且x为整数）(2) 设y2=a(x−6)2+1，把(3,4)代入得：4=a(3−6)2+1，解得a=13，∴y2=13(x−6)2+1．(3) 由题意得ω=y1−y2=−23x+7−[13(x−6)2+1]=−13(x−5)2+73，当x=5时，ω最大值=73．故5月出售这种蔬菜，每千克收益最大．13. 【答案】(1) 在A书店购书的总费用为：y A=20×0.7x=14x，在B书店购书的总费用为：y B={20×[1−2%(x−1)]×x,0<x≤20 12x,x>20化简整理得：y B={1025x−25x2,0<x≤20 12x,x>20(2) B书店：当x>20时，12×20=240（元）>176元，∴在B书店购买的本数不多于20件，∴1025x−25x2=176，解得：x1=11或x2=40（舍），∴在B书店，176元钱最多购买此书11本．A书店：14x=176，解得：x=1247≈12，∴在A书店，176元钱最多购买此书12本．(3) ∵当0<x≤20时，设y=y A −y B =14x −1025x +25x 2=25x 2−325x =25(x −8)2−1285, ∵25>0，开口向上，且对称轴为 x =8，∴ 当 x =20 时，y 有最大值，最大值 y =32．14. 【答案】(1) 根据题意，得y 1=(m +6)x −8，(0≤x ≤25)．将 x =10，y 2=20，x =20，y 2=55 代入 y 2=ax 2+bx −25，{100a +10b −25=20,400a +20b −25=55, 解得：{a =−120,b =5.∴y 2=−120x 2+5x −25，(0≤x ≤40)．(2) ∵m 是常数，(9≤m ≤11)，∴m +6>0，∴y 1 随 x 的增大而增大，∴ 当 x =25 时，y 1 取得最大值，最大值为 25m +142．∵y 2=−120(x −50)2+100，∴ 当 x <50 时，y 随 x 的增大而增大，∵0≤x ≤40，∴ 当 x =40 时，y 2 有最大值，最大值为 95．(3) ∵y 1 的最大值为 25m +142．且 9≤m ≤11，∴367≤y 1≤417，y 2 有最大值为 95，∴95<367．故应选择甲种货车．15. 【答案】(1) 由题意得，销售量 =250−10(x −25)=−10x +500，则w =(x −20)(−10x +500)=−10x 2+700x −10000.(2) w =−10x 2+700x −10000=−10(x −35)2+2250.因为 −10<0，所以函数图象开口向下，w 有最大值，当 x =35 时，w 最大=2250，故当单价为 35 元时，该文具每天的利润最大．(3) A 方案利润高，理由如下：A 方案中：20<x ≤30，故当 x =30 时，w 有最大值，此时 w A =2000；B 方案中：{−10x +500≥10,x −20≥25,故 x 的取值范围为：45≤x ≤49，因为函数 w =−10(x −35)2+2250，对称轴为直线 x =35，所以当 x =45 时，w 有最大值，此时 w B =1250，因为 w A >w B ，所以A 方案利润更高．16. 【答案】(1) 由题意可得y ={300−10x (0≤x ≤30),300−20x (−20≤x <0);(2) 由题意可得w ={(20+x )(300−10x )(0≤x ≤30),(20+x )(300−20x )(−20≤x <0).化简得w ={−10x 2+100x +6000(0≤x ≤30),−20x 2−100x +6000(−20≤x <0).即w ={−10(x −5)2+6250(0≤x ≤30),−20(x +52)2+6125(−20≤x <0).由题意可知 x 应取整数，故当 x =−2 或 x =5 时，w <6125<6250，故当销售价格为 65 元时，利润最大，最大利润为 6250 元；(3) 由题意 w ≥6000，如图，令 w =6000，即6000=−10(x −5)2+6250,6000=−20(x +52)2+6125,解得x 1=−5,x 2=0,x 3=10,所以−5≤x ≤10,故将销售价格控制在 55 元到 70 元之间（含 55 元和 70 元）才能使每月利润不少于 6000 元．17. 【答案】(1) 设蝙蝠型风筝售价为 x 元时，销售量为 y 个，据题意可知：y =180−10(x −12)=−10x +300(12≤x ≤30)．(2) 设王大伯获得的利润为 W ，则 W =(x −10)y =−10x 2+400x −3000， 令 W =840，则−10x 2+400x −3000=840,解得：x 1=16,x 2=24,答：王大伯为了让利给顾客，并同时获得 840 元利润，售价应定为 16 元．(3) ∵W =−10x 2+400x −3000=−10(x −20)2+1000，∵a =−10<0，∴ 当 x =20 时，W 取最大值，最大值为 1000．答：当售价定为 20 元时，王大伯获得利润最大，最大利润是 1000 元．18. 【答案】(1) y =ax 2+bx −75 图象过点 (5,0)，(7,16)，所以 {25a +5b −75=0,49a +7b −75=16,解得：{a =−1,b =20.(2) 因为 y =−x 2+20x −75=−(x −10)2+25，所以当 x =10 时，y 最大=25．答：销售单价为 10 元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为 25 元．(3) 销售单价在 8≤x ≤12 时，销售利润不低于 21 元．19. 【答案】(1) 设 0≤x ≤10 时的抛物线为 y =ax 2+bx +c ．由图象知抛物线过 (0,20)，(5,39)，(10,48) 三点，∴{c =20,25a +5b +c =39,100a +10b +c =48, 解得 {a =−15,b =245,c =20,∴y =−15x 2+245x +20(0≤x ≤10)．(2) 由图象知，当 20<x ≤40 时，y =−75x +76，当 0≤x ≤10 时，令 y =36，得 36=−15x 2+245x +20， 解得 x 1=4，x 2=20（舍去）；当 20<x ≤40 时，另 y =36，得 36=−75x +76，解得 x =2007=2847． ∵2847−4=2447>24，∴ 老师可以通过适当的安排，在学生的注意力指标数不低于 36 时，讲授完这道数学综合题．20. 【答案】(1) y =300−10(x −44)=−10x +740，44≤x ≤52．(2) w=(x−40)(−10x+740)=−10(x−57)2+2890，当x<57时，w随x的增大而增大，而44≤x≤52，∴当x=52时，w有最大值，最大值为2640，答：将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大，最大利润2640元．。

人教版九年级数学中考函数专项练习例1. 如图，已知1(4,)2A -，(1,2)B -是一次函数y kx b =+与反比例函数(0,0)m y m x x=≠<图象的两个交点，AC x ⊥轴于C ，BD y ⊥轴于D ．（1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x 取何值时，一次函数大于反比例函数的值？（2）求一次函数解析式及m 的值；（3）P 是线段AB 上的一点，连接PC ，PD ，若PCA ∆和PDB ∆面积相等，求点P 坐标．【解答】解：（1）由图象得一次函数图象在上的部分，41x -<<-，当41x -<<-时，一次函数大于反比例函数的值；（2）设一次函数的解析式为y kx b =+，y kx b =+的图象过点1(4,)2-，(1,2)-，则 1422k b k b ⎧-+=⎪⎨⎪-+=⎩， 解得1252k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 一次函数的解析式为1522y x =+， 反比例函数m y x=图象过点(1,2)-， 122m =-⨯=-；（3）连接PC 、PD ，如图， 设15(,)22P x x +由PCA ∆和PDB ∆面积相等得11115(4)|1|(2)22222x x ⨯⨯+=⨯-⨯--，52x =-，155224y x =+=，P ∴点坐标是5(2-，5)4．例2. 如图，反比例函数(0,0)k y k x x=≠>的图象与直线3y x =相交于点C ，过直线上点(1,3)A 作AB x ⊥轴于点B ，交反比例函数图象于点D ，且3AB BD =．（1）求k 的值；（2）求点C 的坐标；（3）在y 轴上确定一点M ，使点M 到C 、D 两点距离之和d MC MD =+最小，求点M 的坐标．【解答】解：（1）(1,3)A ，3AB ∴=，1OB =，3AB BD =，1BD ∴=，(1,1)D ∴将D 坐标代入反比例解析式得：1k =；（2）由（1）知，1k =，∴反比例函数的解析式为；1y x =， 解：31y xy x=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，0x >，C ∴； （3）如图，作C 关于y 轴的对称点C '，连接C D '交y 轴于M ，则d MC MD =+最小，(3C ∴'-，设直线C D '的解析式为：y kx b =+，∴31k b k b =-+⎪=+⎩，∴32k b ⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩，(32y x ∴=-+，当0x =时，2y =，(0M ∴，2)．例3. 如图， 在直角坐标系中， 直线1(0)y kx k =+≠与双曲线2(0)y x x=>相交于点(1P ，m )． （1） 求k 的值；（2） 若点Q 与点P 关于直线y x =成轴对称， 则点Q 的坐标是(Q 2 ， 1 )；（3） 若过P 、Q 二点的抛物线与y 轴的交点为5(0,)3N ，求该抛物线的函数解析式， 并求出抛物线的对称轴方程 ．【解答】解： （1）直线1y kx =+与双曲线2(0)y x x =>交于点(1,)A m ，2m ∴=，把(1,2)A 代入1y kx =+得：12k +=，解得：1k =；（2） 连接PO ，QO ，PQ ，作PA y ⊥轴于A ，QB x ⊥轴于B ，则1PA =，2OA =，点Q 与点P 关于直线y x =成轴对称，∴直线y x =垂直平分PQ ，OP OQ ∴=，POA QOB ∴∠=∠，在OPA ∆与OQB ∆中，PAO OBQPOA QOB OP OQ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，POA QOB ∴∆≅∆，1QB PA ∴==，2OB OA ==，(2,1)Q ∴；故答案为： 2 ， 1 ；（3） 设抛物线的函数解析式为2y ax bx c =++，过P 、Q 二点的抛物线与y 轴的交点为5(0,)3N ， ∴214253a b c a b c c ⎧⎪=++⎪=++⎨⎪⎪=⎩， 解得：23153a b c ⎧=-⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩，∴抛物线的函数解析式为22533y x x =-++， ∴对称轴方程132423x =-=-⨯．例4. 如图， 在平面直角坐标系中， 抛物线2y x ax b =-++交x 轴于(1,0)A ，(3,0)B 两点， 点P 是抛物线上在第一象限内的一点， 直线BP 与y 轴相交于点C ．（1） 求抛物线2y x ax b =-++的解析式；（2） 当点P 是线段BC 的中点时， 求点P 的坐标；（3） 在 （2） 的条件下， 求sin OCB ∠的值 ．【解答】解： （1） 将点A 、B 代入抛物线2y x ax b =-++可得， 2201033a b a b ⎧=-++⎨=-++⎩， 解得，4a =，3b =-，∴抛物线的解析式为：243y x x =-+-；（2）点C 在y 轴上，所以C 点横坐标0x =，点P 是线段BC 的中点，∴点P 横坐标03322P x +==， 点P 在抛物线243y x x =-+-上，2333()43224P y ∴=-+⨯-=， ∴点P 的坐标为3(2，3)4；（3）点P的坐标为3(2，3)4，点P是线段BC的中点，∴点C的纵坐标为33 2042⨯-=，∴点C的坐标为3 (0,)2，BC∴==，sin52OBOCBBC∴∠===．例5. 如图，已知顶点为(0,3)C -的抛物线2(0)y ax b a =+≠与x 轴交于A ，B 两点，直线y x m =+过顶点C 和点B ．（1）求m 的值；（2）求函数2(0)y ax b a =+≠的解析式；（3）抛物线上是否存在点M ，使得15MCB ∠=︒？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将(0,3)-代入y x m =+， 可得：3m =-；（2）将0y =代入3y x =-得：3x =， 所以点B 的坐标为(3,0)，将(0,3)-、(3,0)代入2y ax b =+中， 可得：390b a b =-⎧⎨+=⎩， 解得：133a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， 所以二次函数的解析式为：2133y x =-；（3）存在，分以下两种情况：①若M 在B 上方，设MC 交x 轴于点D ，则451560ODC ∠=︒+︒=︒，tan 30OD OC ∴=︒= 设DC 为3y kx =-，代入0)，可得：k =联立两个方程可得：23133y y x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，解得：12120,36x x y y ⎧=⎧=⎪⎨⎨=-=⎪⎩⎩所以1M ，6)；②若M 在B 下方，设MC 交x 轴于点E ，则451560OEC ∠=︒+︒=︒，tan 60OE OC ∴=︒=， 设EC 为3y kx =-，代入0)可得：3k =，联立两个方程可得：23133y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得：12120,32x x y y ⎧=⎧=⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩所以2M ，2)-，综上所述M的坐标为6)或2)-．。

中考《函数》总复习检测试题含答案时间: 120分钟 满分: 150分一. 选择题（每小题3分, 共30分）1.点P 关于 轴的对称点P1的坐标是（3, -2）, 则点P 关于 轴的对称点P2的坐标是（ ） A.(-3，-2） B.（-2，3） C.(-3，2 ) D.（3，-2）2.若一次函数 的图象经过第一、二、四象限, 则下列不等式中总是成立的是( ) A. ab ＞0 B. b －a ＞0 C. a ＋b ＞0 D. a －b ＞03.对于二次函数 , 下列说法正确的是（ ）A.当x>0时, y 随x 的增大而增大B.图象的顶点坐标为（-2, -7）C.图象与x 轴有两个交点D.当x=2时，y 有最大值-3.4.如图, 一次函数 与反比例函数 的图象在第一象限 交于点A, 与y 轴交于点M, 与x 轴交于点N, 若AM:MN=1:2, 则k =（ ） A.2 B.3 C.4 D.55.若将抛物线 沿着x 轴向左平移1个单位, 再沿y 轴向下平移2个单位, 则得到的新抛物线的顶点坐标是( )A. (0, -2 )B. (0, 2)C. (1, 2)D. (－1, 2) 6.如图, 直线 相交于点P, 已知点P 的坐标为（1, -3）, 则关于x 的不等式 的解集是（ ） A. x>1 B.x<1 C.x>-3 D.x<-37.向最大容量为60升的热水器内注水, 每分钟注水10升, 注水2分钟后停止注水1分钟, 然后继续注水, 直至注满．则能反映注水量与注水时间函数关系的图象是（ ）A. B. C. D.8.如图, 将函数 的图象沿y 轴向上平移得到一条新函数的图象, 其中点A （1, m ）, B （4, n ）平移后的对应点分别为点A'、B'. 若曲线段AB 扫过的面积为9（图中的阴影部分）, 则新图象的函数表达式是（ ） A. B.C. D.9.如图, 菱形ABCD 边AD 与x 轴平行, A.B 两点的横坐标分别为1和3, 反比例函数 的图象经过A.B 两点, 则菱形ABCD 的面积是（ ） A.4 B. C. D.210.如图，抛物线 与x 轴交于点（-3，0），其对称轴为直线 ，结合图象分析下列结论: (abc>0 ； (3a+c>0； (当x<0时，y 随x 的增大而增大；④一元二次方程 的两根分别为 ；⑤ ，其中正确的结论有（ ）个. A.2 B.3 C.4 D.5填空题（每小题4分, 共24分） 11.函数13-+=x x y 中自变量x 的取值范围是_________________.第8题图12.二次函数 图象先沿x 轴水平向左平移3个单位, 再向上平移4个单位后得到的表达式为_________________.13.如图, 在平面直角坐标系中, 的顶点A.C 的坐标分别为（0, 3）和（3, 0）, , AC=2BC,函数 的图象经过点B, 则k 的值为_______.14.二次函数 的部分图象如图所示, 若关于x 的一元二次方程 的一根为 , 则另一个根为________.15.如图, 直线 与坐标轴交于A 、B 两点, 在射线AO 上有一点P, 当 是以AP 为腰的等腰三角形时, 点P 的坐标是_________.16.如图, 平面直角坐标系中, 点A （ , 1）在射线OM 上, 点B （ , 3）在射线ON 上, 以AB 为直角边做 , 以BA1为直角边作第二个 , 以A1B1为直角边作第三个 ……依此规律, 得到 , 则点B2018的纵坐标为___________.（1）三、解答题（17题8分, 18-22题每题10分, 23.24题每题12分, 25题14分, 共96分） （2）17.（8分）在平面直角坐标系中, 点O 为坐标原点, 如图摆放, 按要求回答下列问题. （3）将 沿y 轴向下平移3个单位, 得到 , 并写出B1的坐标. （4）将111B O A ∆作关于原点O 成中心对称图形222B O A ∆.在第三象限做 , 与 关于原点O 位似, 相似比为1: 2.18.（10分）在平面直角坐标系中, 若点 在坐标系象限角平分线上, 求a 的值及点的坐标.第13题图A 第14题图 第15题图19.(10分）如图, 在平面直角坐标系中, 点A.B的坐标分别为, , 连接AB, 以AB为边向上作等边三角形ABC.（1）求点C的坐标.（2）求线段BC所在直线的解析式.20.（10分）已知A.B 两地之间有一条270 千米的公路, 甲、乙两车同时出发, 甲车以60千米/时的速度沿此公路从 A 地匀速开往 B 地, 乙车从 B 地沿此公路匀速开往 A 地, 两车分别到达目的地后停止.甲、乙两车相距的路程y(千米)与甲车的行驶时间x(时)之间的函数关系如图所示.（1）乙车的速度为_____ 千米/时, a=____b=_____.（2）求甲、乙两车相遇后y 与x 之间的函数关系式.（3）当甲车到达距B 地70 千米处时, 求甲、乙两车之间的路程.21.（10分）某演唱会购买门票的方式有两种: 方式一, 若单位赞助广告费10万元, 则该单位所购门票的价格为每张0.02万元；方式二, 如图所示.设购买门票x张, 总费用为y 万元.问题: （1）求方式一中y与x 的函数关系式；（总费用=广告费+门票费）(2)若甲乙两个公司分别采用方式一和方式二购买本场演唱会门票共400张, 且乙单位购买门票超过100张, 两单位共花费27.2万元, 求甲乙两公司各购买多少张门票？（1）22.（10分）如图, 抛物线与x轴交于A（-1, 0）、B（3, 0）两点, 与y轴交于点C, OB=OC, 连接BC, 抛物线的顶点为D, 连接BD.（2）求抛物线的解析式.的正弦值.（3）求CBD（1）23.（12分）如图, 在平面直角坐标系中, 反比例函数 的图象过等边三角形BOC 的顶点B, OC=2, 点A 在反比例函数图象上, 连接AC.AO. （2）求反比例函数)0(≠=k xky 的表达式. 若四边形ACBO 的面积是 , 求点A 的坐标.24.（12分）某游泳馆每年夏季推出两种游泳付费方式.方式一: 先购买会员证, 每张会员证100元, 只限本人当年使用, 凭证游泳每次再付费5元；方式二: 不购买会员证, 每次游泳付费9元.设小明计划今年夏季游泳次数为x（x为正整数）.（2）若小明计划今年夏季游泳的总费用为270元, 选择哪种付费方式, 他游泳的次数比较多？（3）当x>20时, 小明选择哪种付费方式更合算？并说明理由.25.（14分）如图, 一次函数的图象分别交y轴、x轴于A.B两点, 抛物线过A.B两点.（1）求这个抛物线的解析式.（2）作垂直于x轴的直线x=t, 在第一象限交直线AB于M, 交这个抛物线于N.当t取何值时, MN有最大值？最大值为多少？（3）在（2）的情况下, 以点AMND为顶点作平行四边形, 直接写出第四个顶点D的坐标.参考答案一.选择题（每小题3分, 共30分）1.C2.B3.D4.C5.A6.A7.D8.D9.B 10.C 备用图二.填空题（每小题4分, 共24分）11.13≠-≥x x 且 12.1)2(22++-=x y 或7822---=x x y 13.427 14. 15. 16. 三.解答题 17.（8分）(1) 如图 即为所求, B1（4, -1）.…… (3分) （2）如图222B O A ∆即为所求.……(5分）（3）如图33OB A ∆即为所求.……(8分）18.解: （10分）当点在第一、三象限角平分线上时, …… （1分） 即 1-2a=a-2∴ a=1 ……（3分） 此时, 点的坐标为（-1, -1）. …… （5分）当点在第二、四象限角平分线上时, …… （6分） 即 1-2a= -（a-2）∴ a=-1 …… （8分） 此时, 点的坐标为（3, -3）. ……（9分） 因此, 当a 的值为1时, 点的坐标为（-1, -1）；当a 的值为-1时, 点的坐标为（3, -3） ……（10分） 19.（10分）解: 过点B 作BE ⊥x 轴, 交x 轴于点E, ……（1分） ∵点A.B 的坐标分别为 , ∴AE= , BE=1……（2分） 在 中, 根据勾股定理可得, AB=2…… ∵sin ∠BAE=AB BE =21∴∠BAE=30°……（4分） ∵⊿ABC 是等边三角形 ∴∠CAE=90°……（5分） ∴点C )2,23(-.……（6分） （2）设BC 所在直线表达式为)0(≠+=k b kx y ……（7分）∵直线过点C )2,23(-和点B )1,23(代入得∴{b k b k +-=+=232231……（8分）解得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=2333b k ……（9分） ∴BC 所在直线表达式为2333+-=x y ……（10分） 20.（10分）（1）乙车的速度为75 千米/时, a=3.6 ,b= 4.5.……（3分） （2）60×3.6=216（千米）当2<x ≤3.6时, 设 , 根据题意得:⎩⎨⎧=+=+2166.3021111b x b k 解得⎩⎨⎧-==27013511b k);6.32(270135≤<-=x x y ……（5分）当3.6<x ≤4.5时, 设 , 根据题意得:⎩⎨⎧=+=+2705.42166.32222b k b k 解得⎩⎨⎧==06022b k∴)5.46.3(60≤<=x x y ……（7分）因此⎩⎨⎧≤<≤<-=)5.46.3(60)6.32(270135x x x x y ……（8分）甲车到达距B 地70千米处时行驶的时间为: , 将x =620代入得千米）(180270620135=-⨯=y ……（9分）21.因此, 甲车到达距B 地70千米处时, 甲乙两车之间的路程为180千米。

人教版九年级数学中考二次函数的实际应用专项练习1．(2018·威海中考)如图，将一个小球从斜坡的点O 处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y ＝4x －12x 2刻画，斜坡可以用一次函数y ＝12x 刻画．下列结论错误的是( )A ．当小球抛出高度达到7.5 m 时，小球距O 点水平距离为3 mB ．小球距O 点水平距离超过4米呈下降趋势C ．小球落地点距O 点水平距离为7米D ．斜坡的坡度为1∶2 2．(2018·绵阳中考)如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面 2 m 时，水面宽4 m ，水面下降2 m ，水面宽度增加 ______________m.3．(2018·青岛中考)某公司投入研发费用80万元(80万元只计入第一年成本)，成功研发出一种产品．公司按订单生产(产量＝销售量)，第一年该产品正式投产后，生产成本为6元/件．此产品年销售量y(万件)与售价x(元/件)之间满足函数关系式y ＝－x ＋26.(1)求这种产品第一年的利润W 1(万元)与售价x(元/件)满足的函数关系式；(2)该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是多少？(3)第二年，该公司将第一年的利润20万元(20万元只计入第二年成本)再次投入研发，使产品的生产成本降为5元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过12万件．请计算该公司第二年的利润W 2至少为多少万元．4．(2018·威海中考)为了支持大学生创业，某市政府出台了一项优惠政策：提供10万元的无息创业贷款．小王利用这笔贷款，注册了一家淘宝网店，招收5名员工，销售一种火爆的电子产品，并约定用该网店经营的利润，逐月偿还这笔无息贷款．已知该产品的成本为每件4元，员工每人每月的工资为4千元，该网店还需每月支付其他费用1万元．该产品每月销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的函数关系如图所示．(1)求该网店每月利润w(万元)与销售单价x(元)之间的函数表达式；(2)小王自网店开业起，最快在第几个月可还清10万元的无息贷款？参考答案1．A 2.42－43．解：(1)W 1＝(x －6)(－x ＋26)－80＝－x 2＋32x －236.(2)由题意得20＝－x 2＋32x －236，解得x ＝16. 答：该产品第一年的售价是16元/件．(3)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x≤16，－x ＋26≤12， 解得14≤x≤16.W 2＝(x －5)(－x ＋26)－20＝－x 2＋31x －150.∵a＝－1＜0，－b 2a ＝312， ∴当14≤x≤312时，W 2随着x 的增大而增大， 当312≤x≤16时，W 2随着x 的增大而减小， ∴当x ＝14或16时，W 2有最小值．∵当x ＝14时，W 2＝－142＋31×14－150＝88(万元)； 当x ＝16时，W 2＝－162＋31×16－150＝90(万元)， ∴当x ＝14时，利润W 2最小，最小值为88万元． 答：该公司第二年的利润W 2至少为88万元．4．解：(1)设直线AB 的函数表达式为y AB ＝kx ＋b ，代入A(4，4)，B(6，2)得⎩⎪⎨⎪⎧4＝4k ＋b ，2＝6k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝8， ∴直线AB 的函数表达式为y AB ＝－x ＋8. 设直线BC 的函数表达式为y BC ＝k 1x ＋b 1， 代入B(6，2)，C(8，1)得⎩⎪⎨⎪⎧2＝6k 1＋b 1，1＝8k 1＋b 1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－12，b 1＝5，∴直线BC 的函数表达式为y BC ＝－12x ＋5. 又∵工资及其他费用为0.4×5＋1＝3(万元)， ∴当4≤x≤6时，w 1＝(x －4)(－x ＋8)－3， 即w 1＝－x 2＋12x －35，∴当6<x≤8时，w 2＝(x －4)(－12x ＋5)－3，即w 2＝－12x 2＋7x －23. (2)当4≤x≤6时，w 1＝－x 2＋12x －35＝－(x －6)2＋1， ∴当x ＝6时，w 1取最大值1.当6<x≤8时，w 2＝－12x 2＋7x －23＝－12(x －7)2＋32， ∴当x ＝7时，w 2取最大值1.5，∴101.5＝203＝623，即第7个月可以还清全部贷款．。

中考复习函数专题训练（含答案解析）1. 如图，已知A、B是反比例面数kyx=(k>0,x>0)图象上的两点，BC∥x轴,交y轴于点C．动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C（图中“→”所示路线）匀速运动，终点为C．过P作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别为M、N．设四边形0MPN 的面积为S，P点运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为【答案】A2.坐标平面上，二次函数362+-=xxy的图形与下列哪一个方程式的图形没有交点？A． x＝50 B． x＝－50 C． y＝50 D． y＝－50【答案】Ｄ3. 某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=-x2+4（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是( )A．4米B．3米 C．2米 D．1米【答案】D4. 某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线组成的．为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m（如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（）A ．50mB ．100mC ．160mD ．200m【答案】C5. 一小球被抛出后，距离地面的高度h （米）和飞行时间t （秒）满足下列函数关系式：61t 5h 2+--=）（，则小球距离地面的最大高度是（ ）A ．1米B ．5米C ．6米D ．7米【答案】C二、填空题 1. 出售某种手工艺品，若每个获利x 元，一天可售出（8-x ）个，则当x=________元时，一天出售该种手工艺品的总利润y 最大.【答案】42. 如图，已知函数x y 3-=与bx ax y +=2（a>0，b>0）的图象交于点P ，点P 的纵坐标为1，则关于x 的方程bx ax +2x 3+=0的解为【答案】－3三、解答题1. 如图，某广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分，抛物线的顶点O 落在水平面上，对称轴是水平线OC 。

考点十六：函数的应用聚焦考点☆温习理解1．函数的应用主要涉及到经济决策、市场经济等方面的应用．2．利用函数知识解应用题的一般步骤：(1)设定实际问题中的变量；(2)建立变量与变量之间的函数关系，如：一次函数，二次函数或其他复合而成的函数式；(3)确定自变量的取值X围，保证自变量具有实际意义；(4)利用函数的性质解决问题；(5)写出答案．3．利用函数并与方程(组)、不等式(组)联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题．名师点睛☆典例分类考点典例一、一次函数相关应用题【例1】（2017某某省某某铁一中模拟）“2016年冬季越野赛”在某某学校操场举行，某运动员从起点学校东门出发，途径湿地公园，沿比赛路线跑回终点学校东门．沿该运动员离开起点的路程s（千米）与跑步时间t（时间）之间的函数关系如图所示，其中从起点到湿地公园的平均速度是0.3千米/分钟，用时35分钟，根据图像提供的信息，解答下列问题：（1）求图中a的值；（2）组委会在距离起点2.12千米处设立一个拍摄点C，该运动员从第一次过点C到第二次过点C所用的时间为68分钟．①求AB所在直线的函数解析式；②该运动员跑完全程用时多少分钟？【答案】（1）10.5；（2）①直线AB 解析式为0.2117.85s t =+；②该运动员跑完赛程用时85分钟．（2）①∵线段OA 经过点()0,0O ，()35,10.5A ，∴直线OA 解析式为()0.3035s t t =≤≤，∴当 2.1s =时，0.3 2.1t =，解得7t =，∵该运动员从第一次经过C 点到第二次经过C 点所用的时间为68分钟，∴该运动员从起点到第二次经过C 点所用的时间是，76875+=分钟，∴直线AB 经过()35,10.5，()75,2.1，设直线AB 解析式s kt b =+，∴3510.5{ 75 2.1k b k b +=+=解得0.21{ 17.85k b =-=， ∴直线AB 解析式为0.2117.85s t =+． ②该运动员跑完赛程用的时间即为直线AB 与x 轴交点的横坐标，∴当0s =时，0.2117.850t -+=，解得85t =，∴该运动员跑完赛程用时85分钟．考点：一次函数的应用．【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是搞清楚路程、速度、时间之间的关系，学会利用一次函数的性质解决实际问题.【举一反三】（2017某某某某第22题） 某公司开发出一款新的节能产品，该产品的成本价位6元/件，该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月（30天）的试销售，售价为8元/件.工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘制成图象，图中的折线ODE 表示日销售量y （件）与销售时间x （天）之间的函数关系，已知线段DE 表示的函数关系中，时间每增加1天，日销售量减少5件.⑴第24天的日销售量是件，日销售利润是元；⑵求y 与x 之间的函数关系式，并写出x 的取值X 围；⑶日销售利润不低于640元的天数共有多少天？试销售期间，日销售最大利润是多少元？【答案】（1）330，660；（2）y=20(018)5450(1830)y x x y x x =≤≤⎧⎨=-+≤⎩；（3）720元．试题分析：（1）根据第22天销售了340件，结合时间每增加1天日销售量减少5件，即可求出第24天的日销售量，再根据日销售利润=单件利润×日销售量即可求出日销售利润；（2）根据点D 的坐标利用待定系数法即可求出线段OD 的函数关系式，根据第22天销售了340件，结合时间每增加1天日销售量减少5件，即可求出线段DE 的函数关系式，联立两函数关系式求出交点D 的坐标，此题得解；（3）分0≤x ≤18和18＜x ≤30，找出关于x 的一元一次不等式，解之即可得出x 的取值X 围，有起始和结束时间即可求出日销售利润不低于640元的天数，再根据点D的坐标结合日销售利润=单件利润×日销售数，即可求出日销售最大利润．联立两线段所表示的函数关系式成方程组，得205450y xy x=⎧⎨=-+⎩，解得18360xy=⎧⎨=⎩，∴交点D的坐标为（18，360），∴y与x之间的函数关系式为y=20(018)5450(1830) y x xy x x=≤≤⎧⎨=-+≤⎩．（3）当0≤x≤18时，根据题意得：（8﹣6）×20x≥640，解得：x≥16；当18＜x≤30时，根据题意得：（8﹣6）×（﹣5x+450）≥640，解得：x≤26．∴16≤x≤26．26﹣16+1=11（天），∴日销售利润不低于640元的天数共有11天．∵点D的坐标为（18，360），∴日最大销售量为360件，360×2=720（元），∴试销售期间，日销售最大利润是720元．考点：一次函数的应用．考点典例二、反比例函数相关应用题【例2】（2017某某省某某市裕华区模拟）小明家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热[此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系]，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降[此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系]，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）当0≤x≤8时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式；（2）求图中t的值；（3）若小明在通电开机后即外出散步，请你预测小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少℃？【答案】（1）y=10x+20；（2）t=40；（3）小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为70℃．【解析】（1）由函数图象可设函数解析式，再由图中坐标代入解析式，即可求得y与x的关系式；（2）首先求出反比例函数解析式进而得到t的值；（3）利用已知由x=5代入求出饮水机的温度即可．（1）当0≤x≤8时，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系为：y=kx+b，依据题意，得，解得：，故此函数解析式为：y=10x+20；【点睛】本题主要考查了一次函数及反比例函数的应用题，根据题意得出正确的函数解析式是解题关键，同学们在解答时要读懂题意，才不易出错．【举一反三】（2017某某某某市官渡区三十一中模拟）小华以每分钟x 个字的速度书写，y 分钟写了300个字，则y 与x 的函数关系式为（ ）A. 300x y =B. 300y x =C. 300y x =-D. 300x y x-= 【答案】B【解析】根据等量关系“300=速度×时间”得：xy =300，∴300y x=， 故选B.考点：反比例函数的应用.考点典例三、二次函数相关应用题【例3】(2017苏科版某某栖霞区期末) 某商场试销一种成本价为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，获利不得高于40%．经试销发现，销售量y （件）与销售单价x （元）符合一次函数y=kx+b ，且x=80时，y=40；x=70时，y=50．（1）求一次函数y=kx+b 的表达式；（2）若该商场获得利润为W 元，试写出利润W 与销售单价x 之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？【答案】（1）一次函数的解析式为y=﹣x+120（60≤x≤84）；（2）销售价定为每件84元时，可获得最大利润，最大利润是864元．【解析】试题分析：（1）根据题意得：销售单价x≥成本60元，获利不得高于40%，则销售单价x≤60（1+40%）；再利用待定系数法把x=80时，y=40；x=70时，y=50代入一次函数y=kx+b 中，求出k ，b 即可得到关系式；（2）根据题目意思，表示出销售额和成本，然后表示出利润=销售额-成本，整理后根据x 的取值X 围求出最大利润．试题解析：（1）60≤x≤60（1+40%），∴60≤x≤84，由题得：4080{ 5070k b k b=+=+，解得：k=﹣1，b=120， ∴一次函数的解析式为y=﹣x+120（60≤x≤84）； （2）销售额：xy=x （﹣x+120）元；成本：60y=60（﹣x+120），∴W=xy ﹣60y ，=x （﹣x+120）﹣60（﹣x+120），=（x ﹣60）（﹣x+120），=﹣x 2+180x ﹣7200，=﹣（x ﹣90）2+900，∴W=﹣（x ﹣90）2+900，（60≤x≤84），当x=84时，W 取得最大值，最大值是：﹣（84﹣90）2+900=864（元），即销售价定为每件84元时，可获得最大利润，最大利润是864元．【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数在实际问题中的应用，弄清题意，理清关系是解题的关键.【举一反三】（2017某某省某某市潘集区联考）小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S （单位：平方米）随矩形一边长x （单位：米）的变化而变化,求S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值X 围.【答案】解： S=x （30﹣x ），0＜x ＜30．【解析】试题分析：由矩形的周长为60米和一边长为x 米，可以表达出相邻的另一边长为()30x -米，再由矩形的面积公式可求得s 与x 间的函数关系式，由长和宽都大于0可列不等式组求得x 的取值X 围.试题分析：∵矩形的周长为60米，一边长为为x 米，∴与这边相邻的另一边长为：()602302x x -=-米， ∴S=()30x x -，即S=230x x -+.由矩形的长、宽都大于0可得：0{ 300x x >->，解得：030x <<. ∴自变量x 的取值X 围为：030x <<.考点：二次函数的应用.课时作业☆能力提升1（2017某某省某某一模）某天早晨，X 强从家跑步去体育锻炼，同时妈妈从体育场晨练结束回家，途中两人相遇，X 强跑到体育场后发现要下雨，立即按原路返回，遇到妈妈后两人一起回到家（X 强和妈妈始终在同一条笔直的公路上行走）．如图是两人离家的距离y （米）与X 强出发的时间x （分）之间的函数图象，则下列说法：①X 强返回时的速度是l50米/分；②妈妈原来的速度为50米/分；③妈妈比按原速返回提前l0分钟到家；④当时间为25分或33分或35分时，X 强与妈妈相距l00米正确个数为（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】①3000÷（50﹣30）=3000÷20=150（米/分），所以，X 强返回时的速度为150米/分，正确；②（45﹣30）×150=2250（米），点B 的坐标为（45，750），所以，妈妈原来的速度为：2250÷45=50（米/分），正确；③妈妈原来回家所用的时间为：3000÷50=60（分），60﹣50=10（分），所以，妈妈比按原速返回提前10分钟到家，正确；④设线段BD的函数解析式为：y=kx+b，把（0，3000），（45，750）代入得：，解得：，∴y=﹣50x+3000，线段OA的函数解析式为：y=100x（0≤x≤30），设线段AC的解析式为：y=k1x+b1，把（30，3000），（50，0）代入得：，解得：，∴y=﹣150x+7500，（30＜x≤50）当X强与妈妈相距100，米时，即﹣50x+3000﹣100x=100或100x﹣（﹣50x+3000）=100或（﹣150x+7500）﹣（﹣50x+3000）=100，解得：x=或x=或x=43，所以当时间为分或分或43分时，X强与妈妈何时相距100米，错误，所以，正确的个数是3个，故选C．考点：一次函数的应用．2.（2017某某省某某二十七中中考数学模拟）心理学家发现:学生对概念的接受能力y与提出概念的时间x （min）之间是二次函数关系,当提出概念13min时,学生对概念的接受力最大,为；当提出概念30min时，学生对概念的接受能力就剩下31，则y与x满足的二次函数关系式为（）A. y=﹣（x﹣13）2+59.9B. y=﹣2+2.6x+312﹣2.6x+76.8 D. y=﹣2+2.6x+43【答案】D考点：二次函数的应用．3.（2017某某南开区三模）甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，匀速前往B地、A地，两人相遇时停留了4min，又各自按原速前往目的地，甲、乙两人之间的距离y（m）与甲所用时间x（min）之间的函数关系如图所示．有下列说法：①A、B之间的距离为1200m；②乙行走的速度是甲的1.5倍；③ b=960；④ a=34．以上结论正确的有（）A. ①②B. ①②③C. ①③④D. ①②④【答案】D【解析】①当x=0时，y=1200，∴A、B之间的距离为1200m，结论①正确；②乙的速度为1200÷（24﹣4）=60（m/min），甲的速度为1200÷12﹣60=40（m/min），60÷40=1.5，∴乙行走的速度是甲的1.5倍，结论②正确；③b=（60+40）×（24﹣4﹣12）=800，结论③错误；④a=1200÷40+4=34，结论④正确．故选D．考点：一次函数的应用；数形结合．4.（2017某某省青州市吴井期末）如图所示中的折线ABC为甲地向乙地打长途需付的费y（元）与通话时间t（分钟）之间的函数关系，则通话8分钟应付费________元．【答案】【解析】试题分析：由图，当0＜t≤3时，y 为恒值，y=2.4；当t ＞3时，直线过点（3，2.4）、（5，4.4），可根据待定系数法列方程，求函数关系式()()2.403{0.63t y t t ≤=-＜＞，然后代入当t=8时的函数可知y=8-0.6=7.4元.考点：一次函数的应用．5. （2017某某省某某市某某二中，27中联考）根据牛顿发现的有关自由落体运动的规律，我们知道竖直向上抛出的物体，上升的高度h （m ）与时间t （s ）的关系式为h=v 0t-12gt 2，一般情况下，g=9.8m/s 2．如果v 0=9.8m/s ，那么经过__s 竖直向上抛出的小球的上升高度为4.9m ．【答案】1【解析】219.82t ⨯，解得：t=1，即经过1S 竖直向上抛出的小球的上升高度为. 考点：二次函数的应用.6．（2017某某某某第22题）随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽，小明家附近广场中央新修了一个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根高2米的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为米处达到最高，水柱落地处离池中心3米.（1）请你建立适当的直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数解析式；（2）求出水柱的最大高度是多少？【答案】（1）y=-224+x233x+（0≤x≤3）；（2）抛物线水柱的最大高度为83m.【解析】试题分析：（1）以水管和地面交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为x轴适当的直角坐标系，利用顶点式y=a(x-1)2+k，求解析式(2)利用顶点式y=-23(x-1)2+83(0≤x≤3)，知顶点坐标（1，83），从而求出水柱的最大高度是83米。

一次函数的实际应用一、利用函数的解析式解决问题1．某市种植某种绿色蔬菜，全部用来出口．为了扩大出口规模，该市决定对这种蔬菜的种植实行政府补贴，规定每种植﹣亩这种蔬菜一次性补贴菜农若干元．经调查，种植亩数y（亩）与补贴数额x （元）之间大致满足如图1所示的一次函数关系．随着补贴数额x的不断增大，出口量也不断增加，但每亩蔬菜的收益z（元）会相应降低，且z与x之间也大致满足如图2所示的一次函数关系．（1）在政府未出台补贴措施前，该市种植这种蔬菜的总收益额为多少？（2）分别求出政府补贴政策实施后，种植亩数y和每亩蔬菜的收益z与政府补贴数额x之间的函数关系式；（3）要使全市这种蔬菜的总收益w（元）最大，政府应将每亩补贴数额x定为多少？并求出总收益w的最大值．2．某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：x （元）15 20 25 …y （件）25 20 15 …若日销售量y是销售价x的一次函数．（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；（2）求销售价定为30元时，每日的销售利润．3．如图，两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，请根据图中给的数据信息，解答下列问题：（1）求整齐摆放在桌面上饭碗的高度y（cm）与饭碗数x（个）之间的一次函数解析式；（2）把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是多少？4．鞋子的“鞋码”和鞋长（cm）存在一种换算关系，下表是几组“鞋码”与鞋长换算的对应数值：（注：“鞋码”是表示鞋子大小的一种）鞋长（cm） 16 19 21 24鞋码（号） 22 28 32 38（1）设鞋长为x，“鞋码”为y，试判断点（x，y）在你学过的哪种函数的图象上；（2）求x、y之间的函数关系式；（3）如果某人穿44号“鞋码”的鞋，那么他的鞋长是多少？5．某市为了鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费，月用水量不超过20m3时，按2元/m3计费；月用水量超过20m3时，其中的20m3仍按2元/m33计费．设每户家庭用水量为xm3时，应交水费y元．（1）分别求出0≤x≤20和x＞20时y与x的函数表达式；（2）小明家第二季度交纳水费的情况如下：月份四月份五月份六月份交费金额30元34元小明家这个季度共用水多少立方米？6．一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为y1（km），出租车离甲地的距离为y2（km），客车行驶时间为x（h），y1，y2与x的函数关系图象如图所示：（1）根据图象，直接写出y1，y2关于x的函数关系式．（2）分别求出当x=3，x=5，x=8时，两车之间的距离．（3）若设两车间的距离为S（km），请写出S关于x的函数关系式．（4）甲、乙两地间有A、B两个加油站，相距200km，若客车进入A站加油时，出租车恰好进入B 站加油．求A加油站到甲地的距离．7．我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费办法收费．即一月用水10吨以内（包括10吨）的用户，每吨收水费a元；一月用水超过10吨的用户，10吨水仍按每吨a元收费，超过10吨的部分，按每吨b元（b＞a）收费．设一户居民月用水x吨，应收水费y元，y与x之间的函数关系如图所示．（1）求a的值；某户居民上月用水8吨，应收水费多少元；（2）求b的值，并写出当x＞10时，y与x之间的函数关系式；（3）已知居民甲上月比居民乙多用水4吨，两家共收水费46元，求他们上月分别用水多少吨？二、利用函数的增减性解决问题8．某饮料厂为了开发新产品，用A种果汁原料和B种果汁原料试制新型甲、乙两种饮料共50千克，设甲种饮料需配制x千克，两种饮料的成本总额为y元．（1）已知甲种饮料成本每千克4元，乙种饮料成本每千克3元，请你写出y与x之间的函数关系式．（2）若用19千克A种果汁原料和17.2千克B种果汁原料试制甲、乙两种新型饮料，下表是试验的相关数据；请你列出关于x且满足题意的不等式组，求出它的解集，并由此分析如何配制这两种饮料，可使y值最小，最小值是多少？甲乙每千克饮料果汁含量果汁AB9．某厂工人小王某月工作的部分信息如下：信息一：工作时间：每天上午8：00～12：00，下午14：00～18：00，每月25天；信息二：生产甲、乙两种产品，并且按规定每月生产甲产品的件数不少于60件．生产产品件数与所用时间之间的关系见下表：生产甲产品数（件）生产乙产品数（件）所用时间（分）10 10 35030 20 850信息三：按件计酬，每生产一件甲产品可得1.50元，每生产一件乙产品可得2.80元．根据以上信息，回答下列问题：（1）小王每生产一件甲种产品，每生产一件乙种产品分别需要多少分；（2）小王该月最多能得多少元此时生产甲、乙两种产品分别多少件．10．“5.12”汶川特大地震灾害发生后，社会各界积极为灾区捐款捐物，某经销商在当月销售的甲种啤酒尚有2万元货款未收到的情况下，先将销售甲种啤酒全部应收货款的70%捐给了灾区，后又将该月销售乙种啤酒所得的全部货款的80%捐给了灾区．已知该月销售甲、乙两种啤酒共5000件，甲种啤酒每件售价为50元，乙种啤酒每件售价为35元，设该月销售甲种啤酒x件，共捐助救灾款y元．（1）该经销商先捐款元，后捐款元；（用含x的式子表示）（2）写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值X围；（3）该经销商两次至少共捐助多少元？11．为支持某某抗震救灾，某某市A、B、C三地现在分别有赈灾物资100吨、100吨、80吨，需要全部运往某某重灾地区的D、E两县．根据灾区的情况，这批赈灾物资运往D县的数量比运往E县的数量的2倍少20吨．（1）求这批赈灾物资运往D、E两县的数量各是多少？（2）若要求C地运往D县的赈灾物资为60吨，A地运往D的赈灾物资为x吨（x为整数），B地运往D县的赈灾物资数量小于A地运往D县的赈灾物资数量的2倍．其余的赈灾物资全部运往E县，且B地运往E县的赈灾物资数量不超过25吨．则A、B两地的赈灾物资运往D、E两县的方案有几种？请你写出具体的运送方案；（3）已知A、B、C三地的赈灾物资运往D、E两县的费用如下表：A地B地C地运往D县的费用（元/吨）220 200 200运往E县的费用（元/吨）250 220 210为及时将这批赈灾物资运往D、E两县，某公司主动承担运送这批赈灾物资的总费用，在（2）问的要求下，该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多是多少？12．某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降．今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1000元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年销售额只有8万元．（1）今年三月份甲种电脑每台售价多少元？（2）为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，有几种进货方案？（3）如果乙种电脑每台售价为3800元，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金a元，要使（2）中所有方案获利相同，a值应是多少此时，哪种方案对公司更有利？13．“5•12”某某汶川大地震的灾情牵动全国人民的心，某市A、B两个蔬菜基地得知某某C、D两个灾民安置点分别急需蔬菜240吨和260吨的消息后，决定调运蔬菜支援灾区．已知A蔬菜基地有蔬菜200吨，B蔬菜基地有蔬菜300吨，现将这些蔬菜全部调往C、D两个灾民安置点．从A地运往C、D两处的费用分别为每吨20元和25元，从B地运往C、D两处的费用分别为每吨15元和18元．设从B地运往C处的蔬菜为x吨．（1）请填写下表，并求两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时x的值；C D 总计A 200吨B x吨300吨总计240吨260吨500吨（2）设A、B两个蔬菜基地的总运费为w元，写出w与x之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案；（3）经过抢修，从B地到C处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少m元（m＞0），其余线路的运费不变，试讨论总运费最小的调运方案．14．某公司有A型产品40件，B型产品60件，分配给下属甲、乙两个商店销售，其中70件给甲店，30件给乙店，且都能卖完．两商店销售这两种产品每件的利润（元）如下表：A型利润B型利润甲店200 170乙店160 150（1）设分配给甲店A型产品x件，这家公司卖出这100件产品的总利润为W（元），求W关于x的函数关系式，并求出x的取值X围；（2）若公司要求总利润不低于17560元，说明有多少种不同分配方案，并将各种方案设计出来；（3）为了促销，公司决定仅对甲店A型产品让利销售，每件让利a元，但让利后A型产品的每件利润仍高于甲店B型产品的每件利润．甲店的B型产品以及乙店的A，B型产品的每件利润不变，问该公司又如何设计分配方案，使总利润达到最大？一次函数的实际应用参考答案与试题解析一、利用函数的解析式解决问题1．某市种植某种绿色蔬菜，全部用来出口．为了扩大出口规模，该市决定对这种蔬菜的种植实行政府补贴，规定每种植﹣亩这种蔬菜一次性补贴菜农若干元．经调查，种植亩数y（亩）与补贴数额x （元）之间大致满足如图1所示的一次函数关系．随着补贴数额x的不断增大，出口量也不断增加，但每亩蔬菜的收益z（元）会相应降低，且z与x之间也大致满足如图2所示的一次函数关系．（1）在政府未出台补贴措施前，该市种植这种蔬菜的总收益额为多少？（2）分别求出政府补贴政策实施后，种植亩数y和每亩蔬菜的收益z与政府补贴数额x之间的函数关系式；（3）要使全市这种蔬菜的总收益w（元）最大，政府应将每亩补贴数额x定为多少？并求出总收益w的最大值．【考点】二次函数的应用；一次函数的应用．【专题】压轴题．【分析】（1）根据题意可知直接计算这种蔬菜的收益额为3000×800=2400000（元）；（2）设种植亩数y和每亩蔬菜的收益z与政府补贴数额x之间的函数关系式分别为：y=kx+800，z=k1x+3000，并根据图象上点的坐标利用待定系数法求函数的解析式即可；（3）表示出蔬菜的总收益w（元）与x之间的关系式，w=﹣24x2+21600x+2400000，利用二次函数最值问题求最大值．【解答】解：（1）政府没出台补贴政策前，这种蔬菜的收益额为3000×800=2400000（元）（2）设种植亩数y和每亩蔬菜的收益z与政府补贴数额x之间的函数关系式分别为：y=kx+800，z=k1x+3000，分别把点（50，1200），（100，2700）代入得，50k+800=1200，100k1+3000=2700，解得：k=8，k1=﹣3，种植亩数与政府补贴的函数关系为：y=8x+800每亩蔬菜的收益与政府补贴的函数关系为z=﹣3x+3000（x＞0）（3）由题意：w=yz=（8x+800）（﹣3x+3000）=﹣24x2+21600x+2400000=﹣24（x﹣450）2+7260000，∴当x=450，即政府每亩补贴450元时，总收益额最大，为7260000元．【点评】主要考查利用一次函数和二次函数的模型解决实际问题的能力．要先根据题意列出函数关系式，再代数求值．解题的关键是要分析题意根据实际意义准确的列出解析式，再把对应值代入求解．利用二次函数的顶点坐标求最值是常用的方法之一．2．某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：x （元）15 20 25 …y （件）25 20 15 …若日销售量y是销售价x的一次函数．（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；（2）求销售价定为30元时，每日的销售利润．【考点】一次函数的应用．【专题】压轴题；图表型．【分析】（1）已知日销售量y是销售价x的一次函数，可设函数关系式为y=kx+b（k，b为常数，且k≠0），代入两组对应值求k、b，确定函数关系式．（2）把x=30代入函数式求y，根据：（售价﹣进价）×销售量=利润，求解．【解答】解：（1）设此一次函数解析式为y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）．（1分）则．（2分）解得k=﹣1，b=40（4分）即一次函数解析式为y=﹣x+40（5分）（2）当x=30时，每日的销售量为y=﹣30+40=10（件）（6分）每日所获销售利润为（30﹣10）×10=200（元）（8分）【点评】本题主要考查用待定系数法求一次函数关系式，并会用一次函数研究实际问题．3．如图，两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，请根据图中给的数据信息，解答下列问题：（1）求整齐摆放在桌面上饭碗的高度y（cm）与饭碗数x（个）之间的一次函数解析式；（2）把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是多少？【考点】一次函数的应用．【专题】应用题；压轴题．【分析】（1）可设y=kx+b，因为由图示可知，x=4时y=10.5；x=7时，y=15，由此可列方程组，进而求解；（2）令x=4+7，求出相应的y值即可．【解答】解：（1）设y=kx+b（k≠0）．（2分）由图可知：当x=4时，y=10.5；当x=7时，y=15．（4分）把它们分别代入上式，得（6分）解得k=1.5，b=4.5．∴+4.5（x是正整数）．（8分）（2）当x=4+×11+4.5=21（cm）．即把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是21cm．（10分）【点评】本题意在考查学生利用待定系数法求解一次函数关系式，并利用关系式求值的运算技能和从情景中提取信息、解释信息、解决问题的能力．而它通过所有学生都熟悉的摞碗现象构造问题，将有关数据以直观的形象呈现给学生，让人耳目一新．从以上例子我们看到，数学就在我们身边，只要我们去观察、发现，便能找到它的踪影；数学是有用的，它可以解决实际生活、生产中的不少问题．4．鞋子的“鞋码”和鞋长（cm）存在一种换算关系，下表是几组“鞋码”与鞋长换算的对应数值：（注：“鞋码”是表示鞋子大小的一种）鞋长（cm） 16 19 21 24鞋码（号） 22 28 32 38（1）设鞋长为x，“鞋码”为y，试判断点（x，y）在你学过的哪种函数的图象上；（2）求x、y之间的函数关系式；（3）如果某人穿44号“鞋码”的鞋，那么他的鞋长是多少？【考点】一次函数的应用．【专题】压轴题；图表型．【分析】（1）可利用函数图象判断这些点在一条直线上，即在一次函数的图象上；（2）可设y=kx+b，把两个点的坐标代入，利用方程组即可求解；（3）令（2）中求出的解析式中的y等于44，求出x即可．【解答】解：（1）如图，这些点在一次函数的图象上；（2）设y=kx+b，由题意得，解得，∴y=2x﹣10．（x是一些不连续的值．一般情况下，x取16、16.5、17、17.5、26、26.5、27等）；（3）y=44时，x=27．答：此人的鞋长为27cm．【点评】本题首先利用待定系数法确定一次函数的解析式，然后利用函数实际解决问题．5．某市为了鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费，月用水量不超过20m3时，按2元/m3计费；月用水量超过20m3时，其中的20m3仍按2元/m33计费．设每户家庭用水量为xm3时，应交水费y元．（1）分别求出0≤x≤20和x＞20时y与x的函数表达式；（2）小明家第二季度交纳水费的情况如下：月份四月份五月份六月份交费金额30元34元小明家这个季度共用水多少立方米？【考点】一次函数的应用．【专题】应用题．【分析】（1）因为月用水量不超过20m3时，按2元/m3计费，所以当0≤x≤20时，y与x的函数表达式是y=2x；因为月用水量超过20m3时，其中的20m3仍按2元/m33计费，所以当x＞20时，y与x 的函数表达式是y=2×20+2.6（x﹣20），即y=2.6x﹣12；（2）由题意可得：因为四月份、五月份缴费金额不超过40元，所以用y=2x计算用水量；六月份缴费金额超过40元，所以用y=2.6x﹣12计算用水量．【解答】解：（1）当0≤x≤20时，y与x的函数表达式是：y=2x；当x＞20时，y与x的函数表达式是：y=2×20+2.6（x﹣20）=2.6x﹣12；（2）因为小明家四、五月份的水费都不超过40元，故0≤x≤20，此时y=2x，六月份的水费超过40元，x＞20，此时y=2.6x﹣12，所以把y=30代入y=2x中得，2x=30，x=15；把y=34代入y=2x中得，2x=34，x=17；把y=42.6代入y=2.6x﹣12中得，2.6x﹣12=42.6，x=21．所以，15+17+21=53．答：小明家这个季度共用水53m3．【点评】本题是贴近社会生活的应用题，赋予了生活气息，使学生真切地感受到“数学来源于生活”，体验到数学的“有用性”．这样设计体现了《新课程标准》的“问题情景﹣建立模型﹣解释、应用和拓展”的数学学习模式．6．一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为y1（km），出租车离甲地的距离为y2（km），客车行驶时间为x（h），y1，y2与x的函数关系图象如图所示：（1）根据图象，直接写出y1，y2关于x的函数关系式．（2）分别求出当x=3，x=5，x=8时，两车之间的距离．（3）若设两车间的距离为S（km），请写出S关于x的函数关系式．（4）甲、乙两地间有A、B两个加油站，相距200km，若客车进入A站加油时，出租车恰好进入B 站加油．求A加油站到甲地的距离．【考点】一次函数的应用．【分析】（1）可根据待定系数法来确定函数关系式；（2）可依照（1）得出的关系式，得出结果；（3）要根据图象中自变量的3种不同的取值X围，分类讨论；（4）根据（3）中得出的函数关系式，根据自变量的取值X围分别计算出A加油站到甲地的距离．【解答】解：（1）y1=60x（0≤x≤10），y2=﹣100x+600（0≤x≤6）（2）当x=3时，y1=180，y2=300，∴y2﹣y1=120，当x=5时y1=300，y2=100，∴y1﹣y2=200，当x=8时y1=480，y2=0，∴y1﹣y2=480．（3）当两车相遇时耗时为x，y1=y2，解得x=，S=y2﹣y1=﹣160x+600（0≤x≤）S=y1﹣y2=160x﹣600（＜x≤6）S=60x（6＜x≤10）；（4）由题意得：S=200，①当0≤x≤时，﹣160x+600=200，∴x=，∴y1=60x=150．②当＜x≤6时160x﹣600=200，∴x=5，∴y1=300，③当6＜x≤10时，60x≥360不合题意．即：A加油站到甲地距离为150km或300km．【点评】本题通过考查一次函数的应用来考查从图象上获取信息的能力．借助函数图象表达题目中的信息，读懂图象是关键．注意自变量的取值X围不能遗漏．7．我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费办法收费．即一月用水10吨以内（包括10吨）的用户，每吨收水费a元；一月用水超过10吨的用户，10吨水仍按每吨a元收费，超过10吨的部分，按每吨b元（b＞a）收费．设一户居民月用水x吨，应收水费y元，y与x之间的函数关系如图所示．（1）求a的值；某户居民上月用水8吨，应收水费多少元；（2）求b的值，并写出当x＞10时，y与x之间的函数关系式；（3）已知居民甲上月比居民乙多用水4吨，两家共收水费46元，求他们上月分别用水多少吨？【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用；分段函数．【分析】（1）由图中可知，10吨水出了15元，那么a=15÷×8元；（2）由图中可知当x＞10时，有y=b（x﹣10）+15．把（20，35）代入一次函数解析式即可．（3）应先判断出两家水费量的X围．【解答】解：（1）a=15÷10=1.5．（1分）用8吨水应收水费8×1.5=12（元）．（2分）（2）当x＞10时，有y=b（x﹣10）+15．（3分）将x=20，y=35代入，得35=10b+15．b=2．（4分）故当x＞10时，y=2x﹣5．（5分）（3）∵假设甲乙用水量均不超过10吨，水费不超过46元，不符合题意；假设乙用水10吨，则甲用水14吨，∴×10+×10+2×4＜46，不符合题意；∴甲、乙两家上月用水均超过10吨．（6分）设甲、乙两家上月用水分别为x吨，y吨，则甲用水的水费是（2x﹣5）元，乙用水的水费是（2y﹣5）元，则（8分）解得：（9分）故居民甲上月用水16吨，居民乙上月用水12吨．（10分）【点评】本题主要考查了一次函数与图形的结合，应注意分段函数的计算方法．二、利用函数的增减性解决问题8．某饮料厂为了开发新产品，用A种果汁原料和B种果汁原料试制新型甲、乙两种饮料共50千克，设甲种饮料需配制x千克，两种饮料的成本总额为y元．（1）已知甲种饮料成本每千克4元，乙种饮料成本每千克3元，请你写出y与x之间的函数关系式．（2）若用19千克A种果汁原料和17.2千克B种果汁原料试制甲、乙两种新型饮料，下表是试验的相关数据；请你列出关于x且满足题意的不等式组，求出它的解集，并由此分析如何配制这两种饮料，可使y值最小，最小值是多少？甲乙每千克饮料果汁含量果汁AB【考点】一元一次不等式组的应用．【专题】应用题；压轴题．【分析】（1）由题意可知y与x的等式关系：y=4x+3（50﹣x）化简即可；（2）根据题目条件可列出不等式方程组，推出y随x的增大而增大，根据实际求解．【解答】解：（1）依题意得y=4x+3（50﹣x）=x+150；（2）依题意得解不等式（1）得x≤30解不等式（2）得x≥28∴不等式组的解集为28≤x≤30∵y=x+150，y是随x的增大而增大，且28≤x≤30∴当甲种饮料取28千克，乙种饮料取22千克时，成本总额y最小，即y最小=28+150=178元．【点评】解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．注意本题的不等关系为：甲种果汁不超过19，乙种果汁不超过17.2．9．某厂工人小王某月工作的部分信息如下：信息一：工作时间：每天上午8：00～12：00，下午14：00～18：00，每月25天；信息二：生产甲、乙两种产品，并且按规定每月生产甲产品的件数不少于60件．生产产品件数与所用时间之间的关系见下表：生产甲产品数（件）生产乙产品数（件）所用时间（分）10 10 35030 20 850信息三：按件计酬，每生产一件甲产品可得1.50元，每生产一件乙产品可得2.80元．根据以上信息，回答下列问题：（1）小王每生产一件甲种产品，每生产一件乙种产品分别需要多少分；（2）小王该月最多能得多少元此时生产甲、乙两种产品分别多少件．【考点】二元一次方程组的应用；一次函数的应用．【专题】压轴题；阅读型；图表型．【分析】（1）设生产一件甲种产品需x分，生产一件乙种产品需y分，利用待定系数法求出x，y 的值．（2）设生产甲种产品用x分，则生产乙种产品用（25×8×60﹣x）分，分别求出甲乙两种生产多少件产品．【解答】解：（1）设生产一件甲种产品需x分，生产一件乙种产品需y分．由题意得：（2分）即：解这个方程组得：答：生产一件甲产品需要15分，生产一件乙产品需要20分．（4分）（2）设生产甲种产品共用x分，则生产乙种产品用（25×8×60﹣x）分．则生产甲种产品件，生产乙种产品件．（5分）∴w总额==++1680（7分）又，得x≥900，×900+1680=1644（元）此时甲有（件），乙有：（件）（9分）答：小王该月最多能得1644元，此时生产甲、乙两种产品分别60，555件．【点评】通过表格当中的信息，我们可以利用列方程组来求出生产甲、乙两种产品的时间，然后利用列函数关系式表示出小王得到的总钱数，然后利用一次函数的增减性求出钱数的最大值．10．“5.12”汶川特大地震灾害发生后，社会各界积极为灾区捐款捐物，某经销商在当月销售的甲种啤酒尚有2万元货款未收到的情况下，先将销售甲种啤酒全部应收货款的70%捐给了灾区，后又将该月销售乙种啤酒所得的全部货款的80%捐给了灾区．已知该月销售甲、乙两种啤酒共5000件，甲种啤酒每件售价为50元，乙种啤酒每件售价为35元，设该月销售甲种啤酒x件，共捐助救灾款y元．（1）该经销商先捐款元，后捐款元；（用含x的式子表示）（2）写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值X围；（3）该经销商两次至少共捐助多少元？【考点】一次函数的应用．【专题】压轴题．【分析】（1）根据题意可直接得出经销商先捐款50x•70%=35x元，后捐款35（5000﹣x）•80%或（140000﹣28x）元；（2）根据题意可列出式子为y=7x+140000，根据“50x﹣20000≥0”，“5000﹣x＞0”求出自变量取值X围为400≤x＜5000；（3）当x=400时，y最小值=142800．【解答】解：（1）50x•70%或35x，35（5000﹣x）•80%或（140000﹣28x）；（2）y与x的函数关系式为：y=7x+140000，由题意得解得400≤x＜5000，∴自变量x的取值X围是400≤x＜5000；（3）∵y=7x+140000是一个一次函数，且7＞0，400≤x＜5000，∴当x=400时，y最小值=142800．答：该经销商两次至少共捐款142800元．【点评】主要考查利用一次函数的模型解决实际问题的能力．要先根据题意列出函数关系式，再代数求值．解题的关键是要分析题意根据实际意义求解．注意要根据自变量的实际X围确定函数的最值．11．为支持某某抗震救灾，某某市A、B、C三地现在分别有赈灾物资100吨、100吨、80吨，需要全部运往某某重灾地区的D、E两县．根据灾区的情况，这批赈灾物资运往D县的数量比运往E县的数量的2倍少20吨．（1）求这批赈灾物资运往D、E两县的数量各是多少？（2）若要求C地运往D县的赈灾物资为60吨，A地运往D的赈灾物资为x吨（x为整数），B地运往D县的赈灾物资数量小于A地运往D县的赈灾物资数量的2倍．其余的赈灾物资全部运往E县，且B地运往E县的赈灾物资数量不超过25吨．则A、B两地的赈灾物资运往D、E两县的方案有几种？请你写出具体的运送方案；（3）已知A、B、C三地的赈灾物资运往D、E两县的费用如下表：A地B地C地运往D县的费用（元/吨）220 200 200运往E县的费用（元/吨）250 220 210为及时将这批赈灾物资运往D、E两县，某公司主动承担运送这批赈灾物资的总费用，在（2）问的要求下，该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多是多少？【考点】一元一次不等式组的应用；一次函数的应用．【专题】压轴题；方案型．【分析】（1）设这批赈灾物资运往D县的数量为a吨，运往E县的数量为b吨，得到一个二元一次方程组，求解即可．（2）根据题意得到一元二次不等式，再找符合条件的整数值即可．（3）求出总费用的函数表达式，利用函数性质可求出最多的总费用．【解答】解：（1）设这批赈灾物资运往D县的数量为a吨，运往E县的数量为b吨．（1分）由题意，得（2分）解得（3分）。