对数与对数函数

对数与对数函数1．对数

指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .( ) (2)log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )．( )

(3)函数y ＝log 2x 及y ＝log 13

3x 都是对数函数．( )

(4)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( ) (5)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1，0)且过点(a ，1)，

⎝ ⎛⎭

⎪⎫

1a ，－1，函数图象只在第一、四象限．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ 函数y ＝x ln(1－x )的定义域为( )

A ．(0，1)

B ．[0，1)

C ．(0，1]

D ．[0，1]

解析：选B .因为y ＝

x ln(1－x )，所以⎩⎨⎧x ≥0，

1－x >0，

解得0≤x <1.

函数f (x )＝log 1

2(x 2－4)的单调递增区间为( )

A ．(0，＋∞)

B ．(－∞，0)

C ．(2，＋∞)

D ．(－∞，－2)

解析：选D.设t ＝x 2－4，因为y ＝log 12t 在定义域上是减函数，所以求

原函数的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)．

lg 5

2＋2lg 2－⎝ ⎛⎭

⎪⎫12－1＝________．

解析：lg 5

2＋2lg 2－⎝ ⎛⎭

⎪⎫12－1＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2

＝(lg 5＋lg 2)－2＝1－2＝－1. 答案：－1

(教材习题改编)函数y ＝log

a (4－x )＋1(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过点________．

解析：当4－x ＝1即x ＝3时，y ＝log a 1＋1＝1. 所以函数的图象恒过点(3，1)． 答案：(3，1)

对数式的化简与求值

[典例引领]

计算下列各式：

(1)lg 25＋lg 2·lg 50＋(lg 2)2； (2)(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)．

【解】 (1)原式＝(lg 2)2＋(1＋lg 5)lg 2＋lg 52

＝(lg 2＋lg 5＋1)lg 2＋2lg 5＝(1＋1)lg 2＋2lg 5 ＝2(lg 2＋lg 5)＝2.

(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 2lg 9⎝ ⎛⎭

⎪⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8

＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3⎝ ⎛⎭

⎪⎫lg 3

2lg 2＋lg 33lg 2＝3lg 22lg 3·5lg 36lg 2＝54.

[提醒] 对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数符号有意义的前提下才成立的，不能出现log 212＝log 2[(－3)×(－4)]＝log 2(－3)＋log 2(－4)的错误．

[通关练习]

1．(优质试题·湖北省仙桃中学月考)计算2log 63＋log 64的结果是( ) A ．log 62 B ．2 C ．log 63

D ．3

解析：选B .2log 63＋log 64＝log 69＋log 64＝log 636＝2.故选B . 2．若x log 23＝1，则3x ＋3－x ＝( ) A.53 B.52 C.32

D.23

解析：选B.因为x log 23＝1，

所以log 23x ＝1， 所以3x

＝2，3－x ＝1

2， 所以3

x

＋3－x ＝2＋

12＝5

2.故选B.

3．化简12lg 3249－4

3lg 8＋lg 245＝__________． 解析：12lg 3249－4

3lg 8＋lg 245

＝12×(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋1

2(lg 5＋2lg 7) ＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋1

2lg 5＋lg 7 ＝12lg 2＋12lg 5＝12lg(2×5)＝12. 答案：12

4．设2a

＝5b

＝m ，且1a ＋1

b ＝2，则m ＝________．

解析：因为2a ＝5b ＝m >0，所以a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，

所以1a ＋1b ＝1log 2m ＋1

log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2.所以m 2＝10，所

以m ＝10. 答案：10

对数函数的图象及应用

[典例引领]

(1)(优质试题·沈阳市教学质量检测(一))函数f (x )＝ln(x 2＋1)的图

象大致是( )

(2)(数形结合思想)当0

2时，4x

2) B ．(2

2，1) C ．(1，2)

D ．(2，2)

【解析】 (1)函数f (x )的定义域为R ，由f (－x )＝ln[(－x )2＋1]＝ln(x 2＋1)＝f (x )知函数f (x )是偶函数，则其图象关于y 轴对称，排除C ；又由f (0)＝ln 1＝0，可排除B ，D .故选A .

(2)构造函数f (x )＝4x 和g (x )＝log a x ，当a >1时不满足条件，当0

2，则a >22，所以a 的取值范围为(2

2，1)．

【答案】 (1)A (2)B