梨树区第二高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

梨树区第二高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知全集I={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合M={3，4，5}，集合N={1，3，6}，则集合{2，7，8}是（ ） A ．M ∪N
B ．M ∩N
C ．∁I M ∪∁I N
D ．∁I M ∩∁I N
2． 设集合{}|||2A x R x =∈≤，{}|10B x Z x =∈-≥，则A B =（ ）
A.{}|12x x <≤
B.{}|21x x -≤≤
C. {}2,1,1,2--
D. {}1,2
【命题意图】本题考查集合的概念，集合的运算等基础知识，属送分题．
3． 已知集合A ，B ，C 中，A ⊆B ，A ⊆C ，若B={0，1，2，3}，C={0，2，4}，则A 的子集最多有（ ） A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．8个
4． 奇函数f （x ）在（﹣∞，0）上单调递增，若f （﹣1）=0，则不等式f （x ）＜0的解集是（ ） A ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B ．（﹣∞，﹣1）（∪1，+∞） C ．（﹣1，0）∪（0，1） D ．（﹣1，0）∪（1，+∞）
5． 459和357的最大公约数（ ） A ．3 B ．9
C ．17
D ．51
6． 已知α是△ABC 的一个内角，tan α=，则cos （α+）等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7． 在复平面上，复数z=a+bi （a ，b ∈R ）与复数i （i ﹣2）关于实轴对称，则a+b 的值为（ ） A ．1
B ．﹣3
C ．3
D ．2
8． 已知双曲线的方程为﹣=1，则双曲线的离心率为（ ）
A ．
B ．
C ．
或
D ．
或
9． 如图表示的是四个幂函数在同一坐标系中第一象限内的图象，则幂函数y=x 的图象是（ ）
A ．①
B ．②
C ．③
D ．④
10．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，a=5，b=4，cosC=，则△ABC 的面积是（ ） A ．16
B ．6
C ．4
D ．8
11．函数f （x ）=x 3﹣3x 2+5的单调减区间是（ ）
A ．（0，2）
B ．（0，3）
C ．（0，1）
D ．（0，5）
12．△ABC 中，A （﹣5，0），B （5，0），点C 在双曲线上，则
=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．±
二、填空题
13．递增数列{a n }满足2a n =a n ﹣1+a n+1，（n ∈N *，n ＞1），其前n 项和为S n ，a 2+a 8=6，a 4a 6=8，则S 10= ．
14．当0,1x ∈（）时，函数()e 1x
f x =-的图象不在函数2
()g x x ax =-的下方，则实数a 的取值范围是
___________．
【命题意图】本题考查函数图象间的关系、利用导数研究函数的单调性，意在考查等价转化能力、逻辑思维能力、运算求解能力． 15．△ABC 中，，BC=3，
，则∠C=
．
16．已知函数f （x ）
=，则关于函数F （x ）=f （f （x ））的零点个数，正确的结论是 ．（写
出你认为正确的所有结论的序号）
①k=0时，F （x ）恰有一个零点．②k ＜0时，F （x ）恰有2个零点． ③k ＞0时，F （x ）恰有3个零点．④k ＞0时，F （x ）恰有4个零点．
17．直角坐标P （﹣1，1）的极坐标为（ρ＞0，0＜θ＜π） ．
18．小明想利用树影测量他家有房子旁的一棵树的高度，但由于地形的原因，树的影子总有一部分落在墙上，某时刻他测得树留在地面部分的影子长为1.4米，留在墙部分的影高为1.2米，同时，他又测得院子中一个直径为1.2米的石球的影子长（球与地面的接触点和地面上阴影边缘的最大距离）为0.8米，根据以上信息，可求得这棵树的高度是米．（太阳光线可看作为平行光线）
三、解答题
19．△ABC中，角A，B，C所对的边之长依次为a，b，c，且cosA=，5（a2+b2﹣c2）=3ab．（Ⅰ）求cos2C和角B的值；
（Ⅱ）若a﹣c=﹣1，求△ABC的面积．
20．已知函数f（x）=4x﹣a•2x+1+a+1，a∈R．
（1）当a=1时，解方程f（x）﹣1=0；
（2）当0＜x＜1时，f（x）＜0恒成立，求a的取值范围；
（3）若函数f（x）有零点，求实数a的取值范围．
21．已知cos（+θ）=﹣，＜θ＜，求的值．
22．如图所示，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点． （Ⅰ）求直线BE 与平面ABB 1A 1所成的角的正弦值；
（Ⅱ）在棱C 1D 1上是否存在一点F ，使B 1F ∥平面A 1BE ？证明你的结论．
23．（本小题满分12分）
已知函数2
1()cos cos 2
f x x x x =--. （1）求函数()y f x =在[0,
]2
π
上的最大值和最小值；
（2）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足2c =，3a =，()0f B =，求sin A 的值.1111]
24．为配合国庆黄金周，促进旅游经济的发展，某火车站在调查中发现：开始售票前，已有a人在排队等候购票．开始售票后，排队的人数平均每分钟增加b人．假设每个窗口的售票速度为c人/min，且当开放2个窗口时，25min后恰好不会出现排队现象（即排队的人刚好购完）；若同时开放3个窗口，则15min后恰好不会出现排队现象．若要求售票10min后不会出现排队现象，则至少需要同时开几个窗口？
梨树区第二高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】D
【解析】解：∵全集I={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合M={3，4，5}，集合N={1，3，6}， ∴M ∪N={1，2，3，6，7，8}， M ∩N={3}；
∁I M ∪∁I N={1，2，4，5，6，7，8}； ∁I M ∩∁I N={2，7，8}， 故选：D ．
2． 【答案】D 【解析】由绝对值的定义及||2x ≤，得22x -≤≤，则{}|22A x x =-≤≤，所以{}1,2A B =，故选D.
3． 【答案】B
【解析】解：因为B={0，1，2，3}，C={0，2，4}，且A ⊆B ，A ⊆C ； ∴A ⊆B ∩C={0，2}
∴集合A 可能为{0，2}，即最多有2个元素， 故最多有4个子集．
故选：B ．
4． 【答案】A
【解析】解：根据题意，可作出函数图象：
∴不等式f （x ）＜0的解集是（﹣∞，﹣1）∪（0，1） 故选A ．
5． 【答案】D
【解析】解：∵459÷357=1…102，
357÷102=3…51，
102÷51=2，
∴459和357的最大公约数是51，
故选：D．
【点评】本题考查辗转相除法，这是一个算法案例，还有一个求最大公约数的方法是更相减损法，这种题目出现的比较少，但是要掌握题目的解法．本题也可以验证得到结果．
6．【答案】B
【解析】解：由于α是△ABC的一个内角，tanα=，
则=，又sin2α+cos2α=1，
解得sinα=，cosα=（负值舍去）．
则cos（α+）=cos cosα﹣sin sinα=×（﹣）=．
故选B．
【点评】本题考查三角函数的求值，考查同角的平方关系和商数关系，考查两角和的余弦公式，考查运算能力，属于基础题．
7．【答案】A
【解析】解：∵z=a+bi（a，b∈R）与复数i（i﹣2）=﹣1﹣2i关于实轴对称，
∴，∴a+b=2﹣1=1，
故选：A．
【点评】本题考查复数的运算，注意解题方法的积累，属于基础题．
8．【答案】C
【解析】解：双曲线的方程为﹣=1，
焦点坐标在x轴时，a2=m，b2=2m，c2=3m，
离心率e=．
焦点坐标在y轴时，a2=﹣2m，b2=﹣m，c2=﹣3m，
离心率e==．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意实轴所在轴的易错点．
9．【答案】D
【解析】解：幂函数y=x为增函数，且增加的速度比价缓慢，
只有④符合．
故选：D．
【点评】本题考查了幂函数的图象与性质，属于基础题．
10．【答案】D
【解析】解：∵a=5，b=4，cosC=，可得：sinC==，
∴S△ABC=absinC==8．
故选：D．
11．【答案】A
【解析】解：∵f（x）=x3﹣3x2+5，
∴f′（x）=3x2﹣6x，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，
故选：A．
【点评】本题考察了函数的单调性，导数的应用，是一道基础题．
12．【答案】D
【解析】解：△ABC中，A（﹣5，0），B（5，0），点C在双曲线上，
∴A与B为双曲线的两焦点，
根据双曲线的定义得：|AC﹣BC|=2a=8，|AB|=2c=10，
则==±=±．
故选：D．
【点评】本题考查了正弦定理的应用问题，也考查了双曲线的定义与简单性质的应用问题，是基础题目．
二、填空题
13．【答案】35．
【解析】解：∵2a n =a n ﹣1+a n+1，（n ∈N *，n ＞1）， ∴数列{a n }为等差数列，
又a 2+a 8=6，∴2a 5=6，解得：a 5=3， 又a 4a 6=（a 5﹣d ）（a 5+d ）=9﹣d 2=8， ∴d 2=1，解得：d=1或d=﹣1（舍去） ∴a n =a 5+（n ﹣5）×1=3+（n ﹣5）=n ﹣2． ∴a 1=﹣1， ∴S 10=10a 1+=35．
故答案为：35．
【点评】本题考查数列的求和，判断出数列{a n }为等差数列，并求得a n =2n ﹣1是关键，考查理解与运算能力，属于中档题．
14．【答案】[2e,)-+∞
【解析】由题意，知当0,1x ∈（）时，不等式2
e 1x
x ax -≥-，即21e x x a x +-≥恒成立．令()21e x
x h x x
+-=，
()()()2
11e 'x x x h x x
-+-=．令()1e x k x x =+-，()'1e x k x =-．∵()0,1x ∈，∴()'1e 0,x
k x =-<∴()k x 在()0,1x ∈为递减，∴()()00k x k <=，∴()()()
2
11e '0x x x h x x
-+-=
>，∴()h x 在()0,1x ∈为递增，∴
()()12e h x h <=-，则2e a ≥-．
15．【答案】
【解析】解：由，a=BC=3，c=，
根据正弦定理
=得：
sinC==，
又C 为三角形的内角，且c ＜a ， ∴0＜∠C ＜，
则∠C=
．
故答案为：
【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，正弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，同时注意判断C的范围．
16．【答案】②④
【解析】解：
①当k=0时，，当x≤0时，f（x）=1，则f（f（x））=f（1）==0，
此时有无穷多个零点，故①错误；
②当k＜0时，（Ⅰ）当x≤0时，f（x）=kx+1≥1，
此时f（f（x））=f（kx+1）=，令f（f（x））=0，可得：x=0；
（Ⅱ）当0＜x≤1时，，此时
f（f（x））=f（）=，令f（f（x））=0，可得：x=，满足；
（Ⅲ）当x＞1时，，此时f（f（x））=f（）=k+1＞0，此时无零点．
综上可得，当k＜0时，函数有两零点，故②正确；
③当k＞0时，（Ⅰ）当x≤时，kx+1≤0，此时f（f（x））=f（kx+1）=k（kx+1）+1，
令f（f（x））=0，可得：，满足；
（Ⅱ）当时，kx+1＞0，此时f（f（x））=f（kx+1）=，令f（f（x））=0，可得：x=0，满足；
（Ⅲ）当0＜x≤1时，，此时f（f（x））=f（）=，令f（f（x））=0，可得：x=，满足；
（Ⅳ）当x＞1时，，此时f（f（x））=f（）=k+1，令f（f（x））=0得：x=
＞1，满足；
综上可得：当k＞0时，函数有4个零点．故③错误，④正确．
故答案为：②④．
【点评】本题考查复合函数的零点问题．考查了分类讨论和转化的思想方法，要求比较高，属于难题．
17．【答案】．
【解析】解：ρ==，tanθ==﹣1，且0＜θ＜π，∴θ=．
∴点P的极坐标为．
故答案为：．
18．【答案】 3.3
【解析】
解：如图BC为竿的高度，ED为墙上的影子，BE为地面上的影子．
设BC=x，则根据题意
=，
AB=x，
在AE=AB﹣BE=x﹣1.4，
则=，即=，求得
x=3.3（米）
故树的高度为3.3米，
故答案为：3.3．
【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．解题的关键是建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（I）由∵cosA=，0＜A＜π，
∴sinA==，
∵5（a2+b2﹣c2）=3ab，
∴cosC==，
∵0＜C＜π，
∴sinC==，
∴cos2C=2cos2C﹣1=，
∴cosB=﹣cos（A+C）=﹣cosAcosC+sinAsinC=﹣×+×=﹣
∵0＜B＜π，
∴B=．
（II）∵=，
∴a==c，
∵a﹣c=﹣1，
∴a=，c=1，
∴S=acsinB=××1×=．
【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的综合运用，两角和与差的正弦公式等知识．考查学生对基础知识的综合运用．
20．【答案】
【解析】解：（1）a=1时，f（x）=4x﹣22x+2，
f（x）﹣1=（2x）2﹣2•（2x）+1=（2x﹣1）2=0，
∴2x=1，解得：x=0；
（2）4x﹣a•（2x+1﹣1）+1＞0在（0，1）恒成立，
a•（2•2x﹣1）＜4x+1，
∵2x+1＞1，
∴a＞，
令2x=t∈（1，2），g（t）=，
则g′（t）===0，
t=t0，∴g（t）在（1，t0）递减，在（t0，2）递增，
而g（1）=2，g（2）=，
∴a≥2；
（3）若函数f（x）有零点，
则a=有交点，
由（2）令g（t）=0，解得：t=，
故a≥．
【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数零点问题，是一道中档题．21．【答案】
【解析】解：∵＜θ＜，∴+θ∈（，），
∵cos（+θ）=﹣，∴sin（+θ）=﹣=﹣，
∴sin（+θ）=sinθcos+cosθsin=（cosθ+sinθ）=﹣，
∴sinθ+cosθ=﹣，①
cos（+θ）=cos cosθ﹣sin sinθ=（cosθ﹣cosβ）=﹣，
∴cosθ﹣sinθ=﹣，②
联立①②，得cosθ=﹣，sinθ=﹣，
∴==
==．
【点评】本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角函数诱导公式、加法定理和同角三角函数关系式的合理运用．
22．【答案】
【解析】解：（I ）如图（a ），取AA 1的中点M ，连接EM ，BM ，因为E 是DD 1的中点，四边形ADD 1A 1为正方形，所以EM ∥AD ．
又在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中．AD ⊥平面ABB 1A 1，所以EM ⊥面ABB 1A 1，从而BM 为直线BE 在平面ABB 1A 1上的射影，
∠EBM 直线BE 与平面ABB 1A 1所成的角．
设正方体的棱长为2，则EM=AD=2，BE=，
于是在Rt △BEM 中，
即直线BE 与平面ABB 1A 1所成的角的正弦值为． （Ⅱ）在棱C 1D 1上存在点F ，使B 1F 平面A 1BE ，
事实上，如图（b ）所示，分别取C 1D 1和CD 的中点F ，G ，连接EG ，BG ，CD 1，FG ，
因A 1D 1∥B 1C 1∥BC ，且A 1D 1=BC ，所以四边形A 1BCD 1为平行四边形，
因此D 1C ∥A 1B ，又E ，G 分别为D 1D ，CD 的中点，所以EG ∥D 1C ，从而EG ∥A 1B ，这说明A 1，B ，G ，E 共面，所以BG ⊂平面A 1BE
因四边形C 1CDD 1与B 1BCC 1皆为正方形，F ，G 分别为C 1D 1和CD 的中点，所以FG ∥C 1C ∥B 1B ，且FG=C 1C=B 1B ，因此四边形B 1BGF 为平行四边形，所以B 1F ∥BG ，而B 1F ⊄平面A 1BE ，BG ⊂平面A 1BE ，故B 1F ∥平面A 1BE ．
【点评】本题考查直线与平面所成的角，直线与平面平行，考查考生探究能力、空间想象能力．
23．【答案】（1）最大值为，最小值为32-；（2. 【解析】
试题分析：（1）将函数利用两角和的正余弦公式,倍角公式,辅助角公式将函数化简()sin(2)16
f x x π
=-
-
再利用()sin()(0,||)2f x A x b πωϕωϕ=++><
的性质可求在[0,]2
π
上的最值；（2）利用()0f B =,可得B ,再由余弦定理可得AC ,再据正弦定理可得sin A .1
试题解析：
（2）因为()0f B =，即sin(2)16
B π
-
=
∵(0,)B π∈，∴112(,
)666B πππ-∈-，∴262B ππ-=，∴3
B π
= 又在ABC ∆中，由余弦定理得，
2221
2cos 49223732b c a c a π=+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=，所以AC .
由正弦定理得：sin sin b a B A =3sin sin 3
A =，所以sin 14A =.
考点：1.辅助角公式；2.()sin()(0,||)2
f x A x b π
ωϕωϕ=++><
性质；3.正余弦定理.
【思路点睛】本题主要考查倍角公式,正余弦定理.在利用正,余弦定理 解三角形的过程中,当所给的等式中既有正弦又有余弦时,常利用正弦定理将边的关系转化为角的关系;如果出现边的平方或者两边长的乘积时 可考虑使用余弦定理判断三角形的形状.解三角形问题时,要注意正,余弦定理的变形应用,解题思路有两个:一个是角化为边,二是边化为角. 24．【答案】
【解析】解：设至少需要同时开x 个窗口，则根据题意有，．
由①②得，c=2b ，a=75b ，代入③得，75b+10b ≤20bx ，
∴x ≥
，
即至少同时开5个窗口才能满足要求．。