乘法原理与加法原理教案

分类加法计数原理与分步乘法计数原理教案一、教学目标1. 让学生理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的概念。

2. 培养学生运用计数原理解决实际问题的能力。

3. 引导学生通过合作交流，提高思维能力和创新能力。

二、教学内容1. 分类加法计数原理：（1）了解分类加法计数原理的概念。

（2）学会运用分类加法计数原理解决问题。

2. 分步乘法计数原理：（1）了解分步乘法计数原理的概念。

（2）学会运用分步乘法计数原理解决问题。

三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）分类加法计数原理的应用。

（2）分步乘法计数原理的应用。

2. 教学难点：（1）理解分类加法计数原理的含义。

（2）理解分步乘法计数原理的含义。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究。

2. 运用实例分析，让学生直观理解计数原理。

3. 组织小组讨论，培养学生合作交流能力。

五、教学准备1. 课件、黑板、粉笔等教学工具。

2. 相关实例和练习题。

教案内容：一、分类加法计数原理1. 导入：通过生活中的实例，如“统计班级男生女生人数”，引出分类加法计数原理。

2. 讲解：解释分类加法计数原理的概念，即把总数分成几个部分，分别计算每个部分的数量，再相加得到总数。

3. 练习：让学生运用分类加法计数原理解决实际问题，如“统计学校三个年级的学生总数”。

二、分步乘法计数原理1. 导入：通过实例“做一批玩具，每组有5个，一共要做3组”，引出分步乘法计数原理。

2. 讲解：解释分步乘法计数原理的概念，即每步的数量相乘得到最终结果。

3. 练习：让学生运用分步乘法计数原理解决实际问题，如“做一批玩具，每组有5个，一共要做4组，需要多少个玩具？”教学过程：一、分类加法计数原理1. 引导学生思考生活中的计数问题，如统计人数、物品数量等。

2. 讲解分类加法计数原理的概念和步骤。

3. 让学生举例说明并计算。

二、分步乘法计数原理1. 引导学生思考生活中的计数问题，如制作玩具、做饭等。

2. 讲解分步乘法计数原理的概念和步骤。

【例1】用1角、2角和5角的三种人民币（每种的张数没有限制）组成1元钱，有多少种方法？【解析】运用加法原理，把组成方法分成三大类：①只取一种人民币组成1元，有3种方法：10张1角；5张2角；2张5角。

②取两种人民币组成1元，有5种方法：1张5角和5张1角；一张2角和8张1角；2张2角和6张1角；3张2角和4张1角；4张2角和2张1角。

③取三种人民币组成1元，有2种方法：1张5角、1张2角和3张1角的；1张5角、2张2角和1张1角的。

所以共有组成方法：3+5+2=10（种）。

举一反三1、书架上有10本故事书，3本历史书，12本科普读物。

志远任意从书架上取一本书，有多少种不同的取法？2、一列火车从上海到南京，中途要经过6个站，这列火车要准备多少中不同的车票？3、已知往返于甲、乙两地的火车中途要停靠四个站，问：要有多少种不同车票票价（来回票价一样）？需准备多少种车票？4、各数位的数字之和是24的三位数共有多少个？【例2】一把钥匙只能开一把锁，现在有10把钥匙和10把锁全部都搞乱了，最多要试验多少次才能全部配好锁和相应的钥匙？1、4 ×4的方格图中（如下图），共有多少个正方形？2、妈妈，爸爸，和小明三人去公园照相：共有多少种不同的照法？3、图中共有_____个三角形。

4、下图中有______个长方形。

举一反三知识要点二：乘法原理——分步计数原理 【知识导入2】我们再来看看这类问题：问题1：从 A 村去 B 村的道路有 3 条，从 B 村去 C 村的道路有 2 条，从 A 村经 B 的路线有多少条？ 问题2：三名学生分别从计算机、英语两学科中选修一门课程，不同的选法有多少种？ 问题3：有一项活动，需要在三名教师、五名男生和六名女生中各选一人参加，有多少种选法？ 【提炼特点】（1）完成一件事需要经过n 个步骤，缺一不可； （2）完成每一步有若干个方法；（3）把每个步骤的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数. 【抽象概括】分步乘法计数原理：完成一件事情，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法……做第n 步有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有n m m m N ⨯⋅⋅⋅⨯⨯=21种不同的方法.【注意】：○1 这个原理也称“乘法原理”； ○2 分步计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事件。

本讲主线
1.
本讲2.
C城
A城B城
1.加法原理：分类枚举，结果相加。

2.乘法原理：做一件事情如果需要分步，总的方法数＝每一步中的方法数
相乘。

件不同的连衣裙。

那么，王子出门一共有多少种不同的穿衣方式？条裤子。

那么，现在的王子出门有多少种不同的打扮方式？
的上衣条
里有：3顶不同的帽子，5件不同的上衣，4条不同的裤子。

那么，现
在的王子出门有多少种不同的打扮方式？
模块二：经典分步题型
书架上有三层书，第一层放了15本小说，第二层放了10本漫画，第三【例3】(★★★★)
层放了5本科普书，并且这些书都是各不相同。

请问：
问：王子一共有多少种不同的染色方式？
电池废纸易拉塑料不可
罐1知识大总结1.2.。

加法原理和乘法原理教案设计加法原理和乘法原理(二)教学目的：1.进一步理解两个基本原理.2.会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题教学重点：两个基本原理的进一步理解和体会教学难点：正确判断是分类还是分步，分类计数原理的分类标准及其多样性授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，……，在第n类办法中有种不同的方法那么完成这件事共有种不同的方法2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，……，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事有种不同的方法3.原理浅释分类计数原理(加法原理)中，“完成一件事，有n类办法”，是说每种办法“互斥”，即每种方法都可以独立地完成这件事，同时他们之间没有重复也没有遗漏．进行分类时，要求各类办法彼此之间是相互排斥的，不论那一类办法中的哪一种方法，都能独立完成这件事.只有满足这个条件，才能直接用加法原理，否则不可以.分步计数原理(乘法原理)中，“完成一件事，需要分成n个步骤”，是说每个步骤都不足以完成这件事，这些步骤，彼此间也不能有重复和遗漏．如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，而各步要求相互独立，即相对于前一步的每一种方法，下一步都有m种不同的方法，那么完成这件事的方法数就可以直接用乘法原理.可以看出“分”是它们共同的特征，但是，分法却大不相同．两个原理的公式是:,这种变形还提醒人们，分类和分步，常是在一定的限制之下人为的，因此，在这里我们大有用武之地：可以根据解题需要灵活而巧妙地分类或分步．强调知识的综合是近年的一种可取的现象．两个原理，可以与物理中电路的串联、并联类比．两个基本原理的作用：计算做一件事完成它的所有不同的方法种数两个基本原理的区别：一个与分类有关，一个与分步有关；加法原理是“分类完成”，乘法原理是“分步完成”二、讲解范例：例1在1～20共20个整数中取两个数相加,使其和为偶数的不同取法共有多少种?解:取与取是同一种取法.分类标准为两加数的奇偶性,第一类,偶偶相加,由分步计数原理得(10×9)/2=45种取法,第二类,奇奇相加,也有(10×9)/2=45种取法.根据分类计数原理共有45+45=90种不同取法.例2在1～20共20个整数中取两个数相加,使其和大于20的不同取法共有多少种?解:分类标准一,固定小加数.小加数为1时,大加数只有20这1种取法;小加数为2时,大加数有19或20两种取法;小加数为3时,大加数为18,19或20共3种取法…小加数为10时,大加数为11,12,…,20共10种取法;小加数为11时,大加数有9种取法…小加数取19时,大加数有1种取法.由分类计数原理,得不同取法共有1+2+…+9+10+9+…+2+1=100种.分类标准二:固定和的值.有和为21,22,…,39这几类,依次有取法10,9,9,8,8,…,2,2,1,1种.由分类计数原理得不同取法共有10+9+9+…+2+2+1+1=100种.例3如图一,要给①,②,③,④四块区域分别涂上五种颜色中的某一种,允许xxhttp:///温馨提示：欲查找更多相关内容，请使用相关文章和本页面下边“上一篇”和“下一篇”按钮查找。

教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校从甲地到乙地有3条路从乙到丙地4条路线。

从甲地经过乙地到丙地共有多少种方法？甲乙丙从丙地到丁地有2条路线，从甲地经过乙地，丙地，丁地不同走法共有多少？甲乙丙丁引出：方法总数=第一步骤*第二步。

最后一步得出乘法原理：如果一件事情，有几个必不可少的步骤，而每个步骤又有若干种不同的方法，那么完成这件事情的方法总数等于每个步骤的方法种数的乘积。

例1从4个男生，5个女生中各选一人担任组长，有多少种不同的选法？男女2名组长男生组长女生组长两种方法做例2 商店里有5个不同图案的文具盒，4支不同牌子的铅笔，3支不同型号的钢笔和2把不同材料的直尺，从中各取一件，配成一套学习用具，最多能配多少套不同的学习用具？文具盒铅笔钢笔直尺分析2道题目的共同点：1不能直接完成任务2都有很多不同的方法完成从甲地到乙地可以乘坐飞机，火车和轮船。

在一天中，从甲地直达乙地有3班飞机，4班火车和3班轮船。

那么一天中甲地到乙地共有多少种不同的走法？飞机3甲地火车4 乙地轮船33+4+3=10种答。

方法总数=第一类+第二类+。

最后一类方法数加法原理：如果完成一件事情，有几类不同的方法，而每一类又有若干种方法（每种方法都能完成这件事），那么完成这件事情的方法总数等于每类方法种数的和。

例3：从4个男生，5个女生中选一人担任组长，有多少种不同的选法？男生4种一名组长女生5种4+5=9（种）答。

例4：商店里有5个不同图案的文具盒，4支不同牌子的铅笔，3支不同型号的钢笔和2把不同材料的直尺，从这些文具中任意买一件，共有多少种不同的买法？文具盒铅笔钢笔直尺5 4 3 25+4+3+2=14种答。

基本共同点：完成一件事情的方法都有几类，乘法一件事情开始：第一步，第二步，第三步。

最后一步完成加法一件事情开始：第一类，第二类，。

加法原理和乘法原理教学目标正确理解和掌握加法原理和乘法原理，并能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题，从而发展学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力．教学重点和难点重点：加法原理和乘法原理．难点：加法原理和乘法原理的准确应用．教学用具投影仪．教学过程设计（一）引入新课从本节课开始，我们将要学习中学代数内容中一个独特的部分——排列、组合、二项式定理．它们研究对象独特，研究问题的方法不同一般．虽然份量不多，但是与旧知识的联系很少，而且它还是我们今后学习概率论的基础，统计学、运筹学以及生物的选种等都与它直接有关．至于在日常的工作、生活上，只要涉及安排调配的问题，就离不开它．今天我们先学习两个基本原理．（二）讲授新课1．介绍两个基本原理先考虑下面的问题：问题1：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船．一天中，火车有4个班次，汽车有个班次，轮船有3个班次．那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同的走法？因为一天中乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘轮船有3种走法，每种走法都可以完成由甲地到乙地这件事情．所以，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有4+2+3=9种不同的走法．这个问题可以总结为下面的一个基本原理（打出片子——加法原理）：加法原理：做一件事，完成它可以有几类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法．那么，完成这件事共有N=m1+m2+…+m 种不同的方法．n请大家再来考虑下面的问题（打出片子——问题2）：问题2：由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条（见下图），从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法？这里，从A村到B村，有3种不同的走法，按这3种走法中的每一种走法到达B村后，再从B村到C 村又各有2种不同的走法，因此，从A村经B村去C 村共有3×2=6种不同的走法．一般地，有如下基本原理（找出片子——乘法原理）：乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法．那么，完成这件事共有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法．2．浅释两个基本原理两个基本原理的用途是计算做一件事完成它的所有不同的方法种数．比较两个基本原理，想一想，它们有什么区别？两个基本原理的区别在于：一个与分类有关，一个与分步有关．看下面的分析是否正确（打出片子——题1，题2）：题1：找1～10这10个数中的所有合数．第一类办法是找含因数2的合数，共有4个；第二类办法是找含因数3的合数，共有2个；第三类办法是找含因数5的合数，共有1个．1～10中一共有N=4＋2＋1=7个合数．题2：在前面的问题2中，步行从A村到B村的北路需要8时，中路需要4时，南路需要6时，B村到C村的北路需要5时，南路需要3时，要求步行从A村到C村的总时数不超过12时，共有多少种不同的走法？第一步从A村到B村有3种走法，第二步从B 村到C村有2种走法，共有N=3×2=6种不同走法．题2中的合数是4，6，8，9，10这五个，其中6既含有因数2，也含有因数3；10既含有因数2，也含有因数5．题中的分析是错误的．从A村到C村总时数不超过12时的走法共有5种．题2中从A村走北路到B村后再到C村，只有南路这一种走法．（此时给出题1和题2的目的是为了引导学生找出应用两个基本原理的注意事项，这样安排，不但可以使学生对两个基本原理的理解更深刻，而且还可以培养学生的学习能力）进行分类时，要求各类办法彼此之间是相互排斥的，不论哪一类办法中的哪一种方法，都能单独完成这件事．只有满足这个条件，才能直接用加法原理，否则不可以．如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，而各步要求相互独立，即相对于前一步的每一种方法，下一步都有m种不同的方法，那么计算完成这件事的方法数时，就可以直接应用乘法原理．也就是说：类类互斥，步步独立．（在学生对问题的分析不是很清楚时，教师及时地归纳小结，能使学生在应用两个基本原理时，思路进一步清晰和明确，不再简单地认为什么样的分类都可以直接用加法，只要分步而不管是否相互联系就用乘法．从而深入理解两个基本原理中分类、分步的真正含义和实质）（三）应用举例现在我们已经有了两个基本原理，我们可以用它们来解决一些简单问题了．例1 书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书．（1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？（2）若从这些书中，取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？（3）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法？（让学生思考，要求依据两个基本原理写出这3个问题的答案及理由，教师巡视指导，并适时口述解法）（1）从书架上任取一本书，可以有3类办法：第一类办法是从3本不同数学书中任取1本，有3种方法；第二类办法是从5本不同的语文书中任取1本，有5种方法；第三类办法是从6本不同的英语书中任取一本，有6种方法．根据加法原理，得到的取法种数是N＝m1＋m2＋m3＝3＋5＋6＝14．故从书架上任取一本书的不同取法有14种．（2）从书架上任取数学书、语文书、英语书各1本，需要分成三个步骤完成，第一步取1本数学书，有3种方法；第二步取1本语文书，有5种方法；第三步取1本英语书，有6种方法．根据乘法原理，得到不同的取法种数是N=m1×m2×m3=3×5×6=90．故，从书架上取数学书、语文书、英语书各1本，有90种不同的方法．（3）从书架上任取不同科目的书两本，可以有3类办法：第一类办法是数学书、语文书各取1本，需要分两个步骤，有3×5种方法；第二类办法是数学书、英语书各取1本，需要分两个步骤，有3×6种方法；第三类办法是语文书、英语书各取1本，有5×6种方法．一共得到不同的取法种数是N=3×5＋3×6＋5×6=63．即，从书架任取不同科目的书两本的不同取法有63种．例2 由数字0，1，2，3，4可以组成多少个三位整数（各位上的数字允许重复）？解：要组成一个三位数，需要分成三个步骤：第一步确定百位上的数字，从1～4这4个数字中任选一个数字，有4种选法；第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，共有5种选法；第三步确定个位上的数字，仍有5种选法．根据乘法原理，得到可以组成的三位整数的个数是N =4×5×5=100．答：可以组成100个三位整数．教师的连续发问、启发、引导，帮助学生找到正确的解题思路和计算方法，使学生的分析问题能力有所提高．教师在第二个例题中给出板书示范，能帮助学生进一步加深对两个基本原理实质的理解，周密的考虑，准确的表达、规范的书写，对于学生周密思考、准确表达、规范书写良好习惯的形成有着积极的促进作用，也可以为学生后面应用两个基本原理解排列、组合综合题打下基础.（四）归纳小结归纳什么时候用加法原理、什么时候用乘法原理：分类时用加法原理，分步时用乘法原理．应用两个基本原理时需要注意分类时要求各类办法彼此之间相互排斥；分步时要求各步是相互独立的．（五）课堂练习P222：练习1～4．（对于题4，教师有必要对三个多项式乘积展开后各项的构成给以提示）（六）布置作业P222：练习5，6，7．补充题：1．在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的共有多少个？（提示：按十位上数字的大小可以分为9类，共有9＋8＋7＋…＋2＋1=45个个位数字小于十位数字的两位数）2．某学生填报高考志愿，有m个不同的志愿可供选择，若只能按第一、二、三志愿依次填写3个不同的志愿，求该生填写志愿的方式的种数．（提示：需要按三个志愿分成三步，共有m（m-1）（m-2）种填写方式）3．在所有的三位数中，有且只有两个数字相同的三位数共有多少个？（提示：可以用下面方法来求解：（1）△△□，（2）△□△，（3）□△□，（1），（2），（3）类中每类都是9×9种，共有9×9+9×9+9×9=3×9×9=243个只有两个数字相同的三位数）4．某小组有10人，每人至少会英语和日语中的一门，其中8人会英语，5人会日语，（1）从中任选一个会外语的人，有多少种选法？（2）从中选出会英语与会日语的各1人，有多少种不同的选法？（提示：由于8＋5=13＞10，所以10人中必有3人既会英语又会日语．（1）N=5＋2＋3；（2）N=5×2＋5×3＋2×3）。

乘法原理与加法原理教案第1课时教案一、情境导入（5分钟）师：在日常生活和生产实践中要经常遇到排队、分数的有关计数问题。

例如，有6名学生和1位老师排成一排照相，如果老师必须在中间，问有多少种站法？某条航线上共有6个航空站，这条航线上共有多少种不同的飞机票？如果不同的两站间票价都不同，那么有多少种不同的票价？这种计数问题都涉及到两个基本原理：乘法原理和加法原理。

这一节我们就来讨论这两个基本原理。

二、新授（15分钟）1、学习【知识要点】师：如果做一件事需要分两个步骤进行，做第一步有m1种不同方法，第二步有m2种不同方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？学生：完成这件事共有N=m1×m2种不同的方法。

师：推广后得到如下更一般的结论：如果做一件事需要分n个步骤进行，做第一步有m1种不同方法，做第二步有m2种不同方法，……，做第n步有m n种不同方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×……×m n种不同方法师：如果完成一件事有n类办法，只在选择任何一类办法中的一种方法，这件事就可以完成。

又已知在第一类办法中有m1种不同方法，在第二类办法中有m2种不同方法，……，在第n类办法中有m n种不同方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？学生：完成这件事共有N=m1+m2+……+mn种不同的方法。

师：强调知识的综合是近年的一种可取的现象．两个基本原理的作用：计算做一件事完成它的所有不同的方法种数两个基本原理的区别：一个与分类有关，一个与分步有关；加法原理是“分类完成”，乘法原理是“分步完成”下面让我们到实战场上挑战吧。

【例1】从甲地到乙地有2条路可走，乙地到丙地又有3条路可走。

问从甲地经乙地到丙地，可以有多少种不同的走法？出示例1：你首先想到了什么？学生：用乘法原理。

为什么用乘法原理呢？学生：如果用a1，a2表示从甲地到乙地的两条路，用b1，b2，b3表示从乙地到丙地的三条路。

加法原理和乘法原理教案设计第一篇：加法原理和乘法原理教案设计加法原理和乘法原理教案设计【教学目的】1.使学生理解和掌握加法原理和乘法原理并能准确、熟练地运用两个基本原理。

2.加强对学生思维条理性的训练，培养学生分析问题、解决问题的能力。

【教学重点和难点】重点是两个基本原理的应用，难点是对两个基本原理的准确理解。

【教学过程】一、讲授新课加法原理和乘法原理是有关排列、组合问题所遵循的两条基本原理，深入理解和准确运用这两个原理是学好排列、组合这一单元的重要一环。

请同学们考虑下面两个问题：问题1从甲地到乙地，旱路有3条，水路有2条，间从甲地到乙地共有多少种不同的走法？从图中很容易找到答案：从甲地到乙地共有5种不同的走法。

问题2由A村到B村的路有3条，由B村到C村的路有2条，问从A 村经过B村到达C村共有多少种不同的走法？从图中不难看出此题的答案是：共有6种不同的走法。

我们从上面两个问题中可以抽象出一般性的规律，得出以下的结论：（一）完成一件工作的两种不同的方式。

问题1和问题2的共同之处在于：它们都是在研究做一件事（或工作）完成它共有多少种不同的方法？这两个问题的不同点是完成工作的方式不同。

问题1中的每条旱路或水路都可以从甲地直接到达乙地，其中旱路和水路只不过是完成从甲地到乙地这件工作的两类不同的办法。

问题2中的从A村到B村的3条路和从B村到C村的2条路的任意一条路都不能把从A村经过B村到达C村这件工作做完，只能完成这件工作的一部分。

问题2中的工作是分两个步骤完成的：第一步从A村到达B村，第二步从B村到达C村。

我们不难总结出：完成一件工作有以下两种不同的方式：第一种方式：用不同类的办法去完成一件工作，每类办法中的任意一种方法都可以从头至尾把这件工作做完。

第二种方式：分成几个步骤去完成一件工作，每个步骤中的任意一种方法只能完成这件工作的一部分，这几个步骤都完成了，这件工作才能做完。

（二）加法原理和乘法原理。

第1讲排列组合（加法与乘法原理）1、加法原理：完成一件工作共有N类方法。

在第一类方法中有m1种不同的方法，在第二类方法中有m2种不同的方法，……，在第N类方法中有mn种不同的方法，那么完成这件工作共有N＝m1＋m2＋m3＋…＋mn种不同方法。

运用加法原理计数，关键在于合理分类，不重不漏。

要求每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)。

合理分类也是运用加法原理解决问题的难点，不同的问题，分类的标准往往不同，需要积累一定的解题经验。

2、乘法原理：完成一件工作共需N个步骤：完成第一个步骤有m1种方法，完成第二个步骤有m2种方法，…，完成第N个步骤有mn种方法，那么，完成这件工作共有m 1×m2×…×mn种方法。

运用乘法原理计数，关键在于合理分步。

完成这件工作的N个步骤，各个步骤之间是相互联系的，任何一步的一种方法都不能完成此工作，必须连续完成这N步才能完成此工作；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此工作的方法也不同。

运用两个原理解决的都是比较复杂的计数问题，在解题时要细心、耐心、有条理地分析问题。

计数时要注意区分是分类问题还是分步问题，正确运用两个原理。

灵活机动地分层重复使用或综合运用两个原理，可以巧妙解决很多复杂的计数问题。

例1：（1）教室图书角放有4种不同的故事书，有7种不同的漫画书，从中取一本，共有多少种不同的取法？（2）教室图书角放有4种不同的故事书，有7种不同的漫画书，从中各取一本，共有多少种不同的取法？练习：（1）由镇往县城有3条路，由县城往长青山旅游区有4条路，由镇区经县城去长青山有几种不同的走法？（2）某人到食堂去买饭菜，食堂里有4种荤菜，3种蔬菜，2种汤。

他要各买一样，共有多少种不同的买法？例2：用1角、2角和5角的三种人民币（每种的张数没有限制）组成1元钱，有多少种方法？练习：现有一架天平和1g，3g，9g，27g的砝码各一个，能称出多少种不同的重量？例3：各数位的数字之和是24的三位数共有多少个？练习：在所有四位数中,各位上的数之和等于34的数有种。

【公开课教案】分类乘法计数原理与分步加法计数原理教学设计公开课教案：分类乘法计数原理与分步加法计数原理教学设计教学目标本课程旨在教授分类乘法计数原理和分步加法计数原理的基本概念和应用，在学生中培养数学思维和解决问题的能力。

教学内容1. 分类乘法计数原理- 介绍分类乘法计数原理的概念和基本原则- 演示如何使用分类乘法计数原理解决实际问题- 练题目和例题演练2. 分步加法计数原理- 介绍分步加法计数原理的概念和应用场景- 演示如何使用分步加法计数原理解决实际问题- 练题目和例题演练教学方法1. 讲授：通过简明的讲解，介绍分类乘法计数原理和分步加法计数原理的基本概念和应用方法。

2. 示范：通过具体的例题演示，展示如何运用计数原理解决实际问题，引导学生理解和掌握相关知识。

3. 练：提供一系列与课程内容相关的练题，供学生课后巩固和加深理解。

教学评估1. 课堂互动：通过学生参与课堂讨论的方式，评估学生对分类乘法计数原理和分步加法计数原理的理解程度。

2. 练成绩：通过批改学生的练作业，评估学生对所学内容掌握的情况。

教学资源1. 教材：选择适合教学内容的教材，提供给学生参考。

2. 课件：准备包含相关知识点和例题的课件，便于学生理解和记忆。

时间安排本课程计划共3小时，具体时间安排如下：- 分类乘法计数原理：1.5小时- 分步加法计数原理：1.5小时教学反思本课程通过简明的讲解、具体的示范和练习等方法，帮助学生理解和掌握分类乘法计数原理和分步加法计数原理。

在教学过程中，要注重激发学生的兴趣和培养数学思维能力，同时给予学生足够的练习和实践机会。

根据学生的反馈和课堂表现，不断优化和改进教学方法，提高学生的学习效果和成绩。

加法原理和乘法原理加法原理和乘法原理【教学目标】1、知识传授目标：正确理解和掌握加法原理和乘法原理2、能力培养目标：能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题3、思想教育目标：发展学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力【教学重点与难点】1、重点：加法原理和乘法原理2、难点：加法原理和乘法原理的准确应用【教学用具】多媒体、投影仪【教学方法】启发、引导式【教学过程设计】：一、导入新课从本节课开始，我们将要学习中学代数内容中一个独特的部分——排列、组合。

它们研究对象独特，研究问题的方法不同一般。

虽然份量不多，但是与旧知识的联系很少，而且它还是我们今后学习概率论的基础，统计学、运筹学以及生物的选种等都与它直接有关。

至于在日常的工作、生活上，只要涉及安排调配的问题，就离不开它。

今天我们就来学习本章的两个基本原理。

(这是排列、组合的第一节课，把这一章的内容作一个大概的介绍，能使学生从一开始就对将要学习的知识有一个初步的了解，并为本章的学习研究打下思想基础。

)二、新授知识1. 介绍两个基本原理请大家先考虑下面的问题(见屏幕)。

问题(1) 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。

一天中，火车有4 班, 汽车有2班，轮船有3班。

那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?分析：从甲地到乙地有3类方法：第一类方法，乘火车，有4种方法；第二类方法，乘汽车，有2种方法；第三类方法，乘轮船，有3种方法；所以，从甲地到乙地共有4+2+3=9种方法。

由以上问题(1)得出加法原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法。

那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn 种不同的方法。

问题(2) 如图,由A村去B村的道路有2条，由B村去C村的道路有3条。

从A村经B 村去C村，共有多少种不同的走法？分析: 从A村经B村去C村有2步,(见多媒体动画)第一步, 由A村去B村有2种方法,第二步, 由B村去C村有3种方法,所以从A村经B村去C村共有2×3 = 6 种不同的方法。

乘法原理与加法原理教案第1课时教案一、情境导入（5分钟）师：在日常生活和生产实践中要经常遇到排队、分数的有关计数问题。

例如，有6名学生和1位老师排成一排照相，如果老师必须在中间，问有多少种站法？某条航线上共有6个航空站，这条航线上共有多少种不同的飞机票？如果不同的两站间票价都不同，那么有多少种不同的票价？这种计数问题都涉及到两个基本原理：乘法原理和加法原理。

这一节我们就来讨论这两个基本原理。

二、新授（15分钟）1、学习【知识要点】师：如果做一件事需要分两个步骤进行，做第一步有m1种不同方法，第二步有m2种不同方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？学生：完成这件事共有N=m1×m2种不同的方法。

师：推广后得到如下更一般的结论：如果做一件事需要分n个步骤进行，做第一步有m1种不同方法，做第二步有m2种不同方法，……，做第n步有m n种不同方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×……×m n种不同方法师：如果完成一件事有n类办法，只在选择任何一类办法中的一种方法，这件事就可以完成。

又已知在第一类办法中有m1种不同方法，在第二类办法中有m2种不同方法，……，在第n类办法中有m n种不同方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？学生：完成这件事共有N=m1+m2+……+mn种不同的方法。

师：强调知识的综合是近年的一种可取的现象．两个基本原理的作用：计算做一件事完成它的所有不同的方法种数两个基本原理的区别：一个与分类有关，一个与分步有关；加法原理是“分类完成”，乘法原理是“分步完成”下面让我们到实战场上挑战吧。

【例1】从甲地到乙地有2条路可走，乙地到丙地又有3条路可走。

问从甲地经乙地到丙地，可以有多少种不同的走法？出示例1：你首先想到了什么？学生：用乘法原理。

为什么用乘法原理呢？学生：如果用a1，a2表示从甲地到乙地的两条路，用b1，b2，b3表示从乙地到丙地的三条路。

加法原理和乘法原理 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】注意：○1 这个原理也称为“加法原理”； ○2 分类加法计数原理针对的是“分类”问题，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事.【例1】 用1角、2角和5角的三种人民币（每种的张数没有限制）组成1元钱，有多少种方法？【解析】运用加法原理，把组成方法分成三大类：①只取一种人民币组成1元，有3种方法：10张1角；5张2角；2张5角。

②取两种人民币组成1元，有5种方法：1张5角和5张1角；一张2角和8张1角；2张2角和6张1角；3张2角和4张1角；4张2角和2张1角。

③取三种人民币组成1元，有2种方法：1张5角、1张2角和3张1角的；1张5角、2张2角和1张1角的。

所以共有组成方法：3+5+2=10（种）。

1、书架上有10本故事书，3本历史书，12本科普读物。

志远任意从书架上取一本书，有多少种不同的取法？2、一列火车从上海到南京，中途要经过6个站，这列火车要准备多少中不同的车票？3、已知往返于甲、乙两地的火车中途要停靠四个站，问：要有多少种不同车票票价（来回票价一样）需准备多少种车票4、各数位的数字之和是24的三位数共有多少个？【例2】一把钥匙只能开一把锁，现在有10把钥匙和10把锁全部都搞乱了，最多要试验多少次才能全部配好锁和相应的钥匙？1、4 × 4的方格图中（如下图），共有多少个正方形2、妈妈，爸爸，和小明三人去公园照相：共有多少种不同的照法？3、图中共有_____个三角形。

4、下图中有______个长方形。

知识要点二：乘法原理——分步计数原理例题学习 举一反例题学习 举一反【知识导入2】我们再来看看这类问题：问题1：从 A 村去 B 村的道路有 3 条，从 B 村去 C 村的道路有 2 条，从 A 村经 B 的路线有多少条？问题2：三名学生分别从计算机、英语两学科中选修一门课程，不同的选法有多少种？问题3：有一项活动，需要在三名教师、五名男生和六名女生中各选一人参加，有多少种选法？【提炼特点】（1）完成一件事需要经过n 个步骤，缺一不可； （2）完成每一步有若干个方法；（3）把每个步骤的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数. 【抽象概括】分步乘法计数原理：完成一件事情，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法……做第n 步有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有 种不同的方法.【注意】：○1 这个原理也称“乘法原理”； ○2 分步计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事件。

第3讲加法原理与乘法原理（教案）西师大版四年级下册数学在今天的课堂上，我们要学习的是加法原理与乘法原理，这是数学中非常重要的概念。

通过学习这两个原理，同学们可以更好地理解数学中的组合与排列问题。

我们来看加法原理。

加法原理是指，如果要完成一项任务，有m 种方法，完成另一项任务有n种方法，那么完成这两项任务总共有m+n 种方法。

这个原理在实际生活中应用非常广泛，比如我们要安排一次旅行，可以选择不同的交通工具和路线，每种交通工具和路线都有可能成为完成旅行的方法，那么我们就可以用加法原理来计算出完成旅行的总方法数。

练习1：如果小明有3种方法可以选择去学校，小红有4种方法可以选择去图书馆，那么他们两个人一起去学校再去图书馆总共有多少种方法？答案：3×4=12，所以他们两个人一起去学校再去图书馆总共有12种方法。

练习2：如果一部手机有3种不同的解锁方式，一把钥匙有4种不同的开锁方式，那么用这部手机打开这把锁总共有多少种方法？答案：3×4=12，所以用这部手机打开这把锁总共有12种方法。

重点和难点解析：1. 加法原理的应用场景：加法原理主要应用于解决组合问题，即从多个集合中选择元素的方法数。

在实际生活中，比如安排旅行、规划活动等，我们需要考虑不同的交通工具、路线、时间等因素，这时就可以用加法原理来计算完成任务的总方法数。

2. 乘法原理的应用场景：乘法原理主要应用于解决排列问题，即从多个集合中按照一定顺序选择元素的方法数。

在实际生活中，比如安排聚会、设计活动等，我们需要考虑不同的地点、时间、人员等因素，这时就可以用乘法原理来计算完成任务的总条件数。

3. 理解两个原理的区别：加法原理和乘法原理虽然都是解决组合与排列问题的方法，但它们的核心区别在于是否考虑元素的顺序。

加法原理不考虑元素的顺序，只关注方法数；而乘法原理则考虑元素的顺序，关注条件数。

4. 掌握计算方法：在运用加法原理和乘法原理时，我们需要掌握正确的计算方法。

第十一讲 乘法原理与加法原理知识提要理解和初步掌握：加法原理、乘法原理、排列和组合的概念及计算方法。

加法原理：N= m 1＋m 2＋……＋m n 。

乘法原理： N= m 1×m 2×……×m n 。

经典例题例1 小刚从家到学校要经过一座桥，从家到桥时有3条路可以走，过了桥再到学校时有4条路可以走（如下图）。

小刚从家到学校一共可以有多少种不同的走法？分析与解：把从小刚家到学校的路分为两步。

第一步从家到桥，第二步从桥到学校。

这两步中每一步都不能单独走完从家到学校的路，只有两步合在一起，才能完成。

从图中看出从家到学校共有12种不同的走法：AD AE AF AG BD BE BF BG CD CE CF CG根据此题，得出如下结论：乘法原理 要完成一项任务，由几个步骤实现，第一步有m 1种不同的方法；第二步有m 2种不同的方法；……第n 步有m n 种不同的方法；那么要完成任务共有：N= m 1×m 2×……×m n 。

例2 有四张数字卡片，用这四张数字卡片组成三位数，可以组成多少个？分析与解：用卡片组成三位数要分成三步，第一步选取百位上的数字，可以有4种选择；第二步选取十位上的数字，可以有3种选择；第三步选取个位上的数字，可以有2种选择。

所以可以组成不同的三位数共有：4×3×2=24（个）例3：由数字1、2、3、4、5、6可以组成多少个没有重复数字的四位奇数？分析与解：要求奇数，所以个位数字只能取1、3、5中的一个，有3种取法；十位数字可以从余下的五个数字中任取一个，有5种不同取法；百位数字还有4种取法；千位数字只有3种取法。

由乘法原理，共可组成：3×5×4×3＝180（个）没有重复数字的四位奇数。

家 桥 学校 A B C D G E F 5 8 7 6例4：下图为4×4的棋盘，要把A、B、C、D四个不同的棋子放在棋盘的方格中，并使每行每列只能出现一个棋子。

第3讲加法原理与乘法原理（教案）一、知识目标1.理解加法原理和乘法原理。

2.掌握加法原理和乘法原理的运用。

二、教学重难点1.加法原理和乘法原理概念的理解和应用。

2.加法原理和乘法原理的区别和联系。

三、教学内容1.加法原理–意义：对于两个互不相交的集合A和B，其并集的基数等于A集合的基数加B集合的基数。

–公式表达：$|A \\cup B|= |A| + |B|$–应用实例：班里有20个男生，15个女生，总数为20+15=35人。

2.乘法原理–意义：对于两个有序事件A和B，其组成事件的方案数等于第一个事件的方案数乘以第二个事件的方案数。

–公式表达：$N(A \\cdot B)= N(A) \\times N(B)$–应用实例：小明有4件上衣和3件裤子，问他有几种穿法？答案为$4\\times 3=12$种穿法。

四、教学过程1.学生复习小学数学中的集合概念和基本符号，如集合与元素的定义，集合的运算符号$\\cup$和$\\cap$等。

2.引入加法原理和乘法原理概念，让学生理解两个原理的本质区别。

3.分别讲解加法原理和乘法原理的公式表达，并结合实例让学生操作计算。

4.针对加法原理和乘法原理的应用实例进行课堂练习，让学生学会如何运用加法原理和乘法原理解决实际问题。

5.收集学生的加法乘法应用实例，并适当扩展课程难度，提高学生综合运用两个原理解决复杂问题的能力。

五、教学评价1.教师在课程中通过讲解明确的加法原理和乘法原理概念，帮助学生理解两个原理的本质区别和基本公式表达。

2.教师针对实际应用场景进行了充分的解释，有助于学生理解和应用两个原理。

3.教师在课程中引导学生通过讨论、练习和分享加深理解，并提高学生综合应用加法原理和乘法原理的能力。

六、教学扩展1.引导学生深入了解其他高级数学思维方式，如排列组合、图形数量和多元实际问题的计算方法等。

2.选取课程内容中涉及的实例，引导学生进一步思考和探究，如计算类似情境下每个方案的概率、多个事件共同发生的概率等。