2 矩阵
矩阵是学好线性代数这门课程的基础，而对于初学者来讲，对于矩阵的理解是尤为的重要；许多学生在最初的学习过程中感觉矩阵很难，这也是因为对矩阵所表示的内涵模糊的缘故。其实当我们把矩阵与我们的实际生产经济活动相联系的时候，我们才会发现，原来用矩阵来表示这些“繁琐”的事物来是多么的奇妙！于是当我们对矩阵产生无比的兴奋时，那么一切问题都会变得那么的简单!
知识要点解析
2.1.1 矩阵的概念
1．矩阵的定义
由m×n 个数),,2,1;,,2,1(n j m i a ij ==组成的m 行n 列的矩形数表
⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A 2
1
22221
11211
称为m×n 矩阵，记为n m ij a A ⨯=)( 2．特殊矩阵
（1）方阵：行数与列数相等的矩阵；
}
（2）上（下）三角阵：主对角线以下（上）的元素全为零的方阵称为上（下）
三角阵；
（3）对角阵：主对角线以外的元素全为零的方阵； （4）数量矩阵：主对角线上元素相同的对角阵；
（5）单位矩阵：主对角线上元素全是1的对角阵，记为E ； （6）零矩阵：元素全为零的矩阵。 3．矩阵的相等 设mn ij mn ij b B a A )(;
)(==
若 ),,2,1;,,2,1(n j m i b a ij ij ===，则称A 与B 相等，记为A=B 。
2.1.2 矩阵的运算
1．加法
~
（1）定义：设mn ij mn ij b B A A )(,)(==，则mn ij ij b a B A C )(+=+= （2）运算规律
① A+B=B+A ； ②（A+B ）+C =A +（B+C ）
③ A+O=A
④ A +（-A ）=0， –A 是A 的负矩阵
2．数与矩阵的乘法
（1）定义：设,)(mn ij a A =k 为常数，则mn ij ka kA )(=
（2）运算规律 ① K (A+B ) =KA+KB , ② (K+L )A =KA+LA , ③ (KL ) A = K (LA ) 3．矩阵的乘法
（1）定义：设.)(,)(np ij mn ij b B a A ==则
,)(mp ij C C AB ==其中∑==
n
k kj
ik ij b a
C 1
.
（2）运算规律
①)()(BC A C AB =；②AC AB C B A +=+)( ③CA BA A C B +=+)( （3）方阵的幂
①定义：A n ij a )(=，则K
k A A A =
②运算规律：n m n m A A A +=⋅；mn n m A A =)( （4）矩阵乘法与幂运算与数的运算不同之处。
①BA AB ≠
②;00,0===B A AB 或不能推出
③k k k B A AB ⋅≠)(
4．矩阵的转置 ~
（1）定义：设矩阵A =mn ij a )(，将A 的行与列的元素位置交换，称为矩阵A
的转置，记为nm a A ji T )(=，
（2）运算规律
①;)(A A T T =
②T T T B A B A +=+)(；
③;)(T T KA kA = ④T T T A B AB =)(。
（3）对称矩阵与反对称矩阵
若,A A T =则称A 为对称阵；
A A T -=，则称A 为反对称阵。
5．逆矩阵
（1）定义：设A 为n 阶方阵，若存在一个n 阶方阵B ，使得AB=BA=E ，则
称A 为可逆阵，B 为A 的逆矩阵，记作1-=A B 。
（2）A 可逆的元素条件： 、
A 可逆0≠⇔A （3）可逆阵的性质
①若A 可逆，则A -1也可逆，且(A -1)-1 =A ； ②若A 可逆，k ≠0，则kA 可逆，且1
11)(--=
A k
kA ； ③若A 可逆，则A T 也可逆，且T T A A )()(11--=； ④若A ，B 均可逆，则AB 也可逆，且111)(---=A B AB 。 （4）伴随矩阵
①定义：T n ij A A )(*=，其中ij A 为ij a 的代数余子式， ②性质：
i ）E A A A AA ==**；
ii ）1
*-=n A
A ；
《
iii ）A A A n 2
**)(-=；
iv ）若A 可逆，则*A 也可逆，且A A
A A 1)()(*11*==-- ③用伴随矩阵求逆矩阵公式：*
11A A
A =
- 2.1.3 方阵的行列式
1．定义：由n 阶方阵A 的元素构成的n 阶行列式（各元素的位置不变）叫
做方阵A 的行列式，记为A 或detA 。
2．性质：
（1）A A T =， （2）A k kA n =， （3）B A AB =，
（4）A
A 11=
- 3．特殊矩阵的行列式及逆矩阵
(1) 单位阵E ：E E E ==-1;
1；
<
(2) 数量矩阵kE ：;n k kE =当E k
kE k 1)(,01=≠-时 (3)对角阵：
;,*
212
1n n λλλλλλ
=Λ⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=Λ则
若021≠n λλλ ，则⎪⎪⎪
⎪
⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=Λ-n λλλ11
12
11 4． 上（下）三角阵
设nn nn a a a A a a a A
221122
11
,*
=⎪⎪⎪⎪
⎪⎭⎫
⎝
⎛=则 若0≠A ，则1-A 仍为上（下）三角阵
2.1.4 矩阵的初等变换与初等矩阵
1．矩阵的初等变换 （1）定义：以下三种变换
@
①交换两行（列）；
②某行（列）乘一个不为零的常数k ；
③某行（列）的k 倍加到另一行（列）上去，称为矩阵的初等变换。
2．初等矩阵
