2015年矩阵论试题

中国矿业大学2014～2015学年第1学期研究生《矩阵论》试卷答题时间:120分钟 考试方式:闭卷姓名_ _____学号____________院系__________任课老师____________得分______ 【一】（10分）已知矩阵a b A c d ⎛⎫=⎪⎝⎭，定义22R ⨯上的线性变换 (),T X AX X =∈22R ⨯求T 在基11122122,,,E E E E 下的矩阵。

【二】（15分） 已知矩阵313729214A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭（1）求A 的不变因子、初等因子； （2）求A 的Jordan 标准形J ； （3）求可逆矩阵P 使1P AP J -=。

【三】（15分）已知矩阵010865A ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭（1）求A 的特征多项式； （2）求A 的最小多项式；（3）把矩阵Ate 表示成关于A 的多项式。

【四】（10分）已知矩阵111032A ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求A 的QR 分解。

【五】（10分） 已知矩阵0.20.70.30.6A ⎛⎫= ⎪⎝⎭（1）求1,A A ∞； （2）讨论矩阵幂级数0kk A∞=∑的敛散性；若收敛，求其和。

【六】（15分）已知下面矛盾方程组123131311221x x x x x x x ++=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ （1）求系数矩阵A 的满秩分解； （2）求A 的广义逆矩阵A +；（3）求该方程组的极小范数最小二乘解。

【七】（15分）()n n ij A a R ⨯=∈，证明：2,,max max ij ij i ji ja An a ≤≤⋅【八】（10分）假设A 是n 阶方阵，若A 不与任何对角阵相似，证明：存在多项式()f λ及正整数k ，使得()f A O ≠但[()]k f A O =。

参 考 答 案【一】（10分）已知矩阵a b A c d ⎛⎫=⎪⎝⎭，定义22R ⨯上的线性变换 (),T X AX X =∈22R ⨯求T 在基11122122,,,E E E E 下的矩阵。

矩阵引论试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 矩阵的元素全部为0的矩阵称为：A. 零矩阵B. 单位矩阵C. 对角矩阵D. 标量矩阵答案：A2. 矩阵的秩是指：A. 矩阵的行数B. 矩阵的列数C. 矩阵中线性无关的行（列）的最大数目D. 矩阵的元素个数答案：C3. 矩阵的转置是指：A. 矩阵的行列互换B. 矩阵的行数变为列数C. 矩阵的列数变为行数D. 矩阵的元素不变答案：A4. 两个矩阵相乘的结果称为：A. 矩阵的和B. 矩阵的差C. 矩阵的积D. 矩阵的逆答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 如果矩阵A的行列式为0，则称矩阵A为________。

答案：奇异矩阵2. 矩阵A的逆矩阵记作________。

答案：A^(-1)3. 矩阵A与矩阵B相乘，记作________。

答案：AB4. 对于任意矩阵A，矩阵A与单位矩阵相乘的结果仍然是________。

答案：A三、简答题（每题10分，共30分）1. 请简述矩阵的行列式是什么？答案：矩阵的行列式是一个标量值，它提供了关于矩阵的一些重要信息，如矩阵是否可逆（行列式非零则可逆）、线性方程组是否有解等。

2. 矩阵的逆矩阵有什么性质？答案：矩阵的逆矩阵具有以下性质：(A^(-1))^(-1) = A，(AB)^(-1) = B^(-1)A^(-1)，以及单位矩阵I的逆矩阵仍然是I。

3. 矩阵的转置矩阵有什么特点？答案：矩阵的转置矩阵具有以下特点：(A^T)^T = A，(AB)^T =B^TA^T，以及矩阵A的转置矩阵的行列式等于矩阵A的行列式。

四、计算题（每题15分，共30分）1. 给定矩阵A = \[\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\]，计算A的行列式。

答案：\[ \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = (1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2 \]2. 给定矩阵B = \[\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5\end{bmatrix}\]，计算B的逆矩阵。

一．（10分）已知n n C ⨯中的两种范数a ⋅和b ⋅，对于n n C A ⨯∈，证明b a A A A +=是n n C ⨯中的范数. 解：⑴非负性：由于b a ⋅⋅,是两种范数，故当A=0时，0,0==b a A A ，所以000=+=+=b a A A A ； 当A ≠0时，0,0>>b a A A ，所以0>+=b a A A A⑵齐性：()A A A A A A A A b a b a b a ααααααα=+=+=+= ⑶三角不等式：B A B A B A B A B A B A b b a a b a +=+++≤+++=+二．(每小题10分,共20分)已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=101121103A ,()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=002t e t b , 1. 求At e2. 用矩阵函数方法求微分方程()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧-=+=T x t b t Ax t x dt d1,0,10的解.解：1. ()1112113det ----=-λλλλA I ()()3211132-=----=λλλλ显然, )det(A I -λ的一阶子式的公因子为1, 容易知道)det(A I -λ 的二阶子式的公因子为2-λ,所以A的最小多项式为()()()23222-=--=λλλλm ,即()()022=-=I A A m ,设()()()b a g m e f t ++==λλλλλ,则()a te f t =='λλ 对于特征值2=λ有()()⎩⎨⎧=='+==a te f b a e f t t 22222,()⎩⎨⎧+-==ttet b te a 2212 所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----+=+=t t t t t t e bI aA e t At1010122. ()()()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰--ds e s s s ss s e e ds s b e x e t x s t s At t As At 001010110102020 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=t t e t e t At 1001012三．(15分)用Givens 变换求⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2100421132403100A 的QR 分解. 解：()T01001=β,构造()s c T ,13=,1101sin ,0100cos 22232132223211=+=+===+=+==xx x s x x x c θθ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=210031002340421121421132403100100000010010010013A T⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=21312A , 构造),(12s c T , ()21sin ,21111cos 222122222211=+==-=+--=+==x x x s x x x c θθ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=1052212131111121212A T⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2/1002/12/1002/10010010013122T T I T ,⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-==2/12/100000100102/12/100TT Q ,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2/12/522344211R四．(10分)用Gerschgorin 定理证明⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=8110260110410100A 至少有两个实特征值. 解：A 的4个盖尔圆为:{}1|1≤=z z G ,{}2114|2=+≤-=z z G , {}3216|3=+≤-=z z G , {}2118|4=+≤-=z z G ,它们构成的两个连通部分为11G S =,4322G G G S =.易见,1S ,2S 都关于实轴对称且各含有1个和3个特征值,因为实矩阵的复特征值必成对出现, 故1S ,2S 必各含有一个实特征值,从而A 至少含有2个实特征值.五．(20分)已知⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=221221*********A ,⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=44111b 1. 求A 的满秩分解.2. 求+A3. 用广义逆矩阵的方法判别方程组b Ax =是否相容.4. 求方程组b Ax =的极小范数解或极小范数最小二乘解并指出所求解的类型.解 1。

2015——2016学年第一学期 《矩阵理论》考试试卷试卷审核人： 考试时间： 2015.12.20注意事项：１.本试卷适用于15级研究生学生考试使用。

２.本试卷共8页，满分100分。

答题时间150分钟。

学院： 姓名:________________学号：23320()[]20a b c d V f t a bt ct dt R t b c d ⎧⎫+-+=⎧⎪⎪==+++∈⎨⎨⎬+-=⎩⎪⎪⎩⎭1.证明V 按照多项式的加法与数乘运算构成3[]R t 的学习子空间；2.求V 的维数与一组基.二. (本题满分12分) 在线性空间22R ⨯ 中， 1. 证明 123410000101,,,00011010A A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭是22R ⨯的一组基；2. 设有线性变换，使得 2212,21TA A A R ⨯⎛⎫=∀∈ ⎪-⎝⎭，求该线性变换在基123410000101,,,00011010A A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭下的矩阵．三．(本题满分10分)求矩阵031042212A⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦的QR分解．四．（本题满分15分）已知 12261313At t t tt e e t tt t t t --⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--+⎝⎭， 1. 求矩阵 A ；2. 求矩阵A 的Jordan 标准形J ，并求相似变换矩阵,P 使得1P AP J -=.五．（本题满分8分）作出矩阵011131118A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的盖尔圆,并应用圆盘定理隔离其特征值．六．（本题满分8分）求多项式矩阵222212+1()=A λλλλλλλλλλλ⎛⎫++-⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭的Smith 标准形.七．（本题满分10分）设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0311A ，试计算矩阵多项式 E A A A A g 272)(23++-=.八．(本题满分12分) 已知95421452,()1,2280t A f t e →⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥=-= ⎪⎢⎥⎪⎢⎥-⎣⎦⎝⎭1. 求矩阵函数 ;Ate2. 求微分方程组()()()d x t A x t f t dt→→→=+满足初始条件1(0)02x →⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的解.九. (本题满分15分) 设11121101,00110012A b-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪==⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,1. 求A的满秩分解；2.求A+；3. 求矛盾方程组Ax b=的极小范数最小二乘解，并计算其两种范数.。

长 春 理 工 大 学
研 究 生 期 末 考 试 试 题 科目名称： 矩 阵 论 命题人：姜志侠 适用专业： 理 工 科 审核人： 开课学期：2014 ——2015 学年第 一 学期 □开卷 √闭卷
一、(10分) 设2
V R =，σ是V 的一个变换，对于任意的a V b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3a a b b b σ+⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 证明σ是V 的一个可逆线性变换，并求1a b σ-⎛⎫ ⎪⎝⎭
．
二、(10分) 在22⨯R 中证明⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0001,0011,0111,11114321E E E E 是一组基，并求矩阵⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=3021A 在此基下的坐标． 三、(10分)已知正规矩阵⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=0000110i i A ，求酉矩阵U ，使得AU U H 为对角矩阵． 四、(10分) 设矩阵31412110A ⎛⎫ ⎪-- ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭
,求A 的行列式因子,不变因子,初等因子组，Jordan 标准形。

五、(10分) 求矩阵100111A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
的奇异值分解.
六、(10分) 已知
210023120i A i +-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
， 试求 121,,,,m m m A A A A A ∞
∞. 七、(10分)
1) 已知函数矩阵⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=32121x x x e A x x ，),,(321x x x x =；计算矩阵对矩阵的导数dA dx ． 2）设[]()∑∑==⨯==m i n j ij n m ij x X f x X 112,,求dX
df 。

. 八、(10分) 已知矩阵⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=5113A 求A 。

矩阵论习题一习题一1.判断下列集合对指定的运算是否构成R 上的线性空间（1）11{()|0}nij n n iii V A a a====∑，对矩阵加法和数乘运算；（2）2{|,}n nT V A A RA A ?=∈=-，对矩阵加法和数乘运算；（3）33V R =；对3R 中向量加法和如下定义的数乘向量：3,,0R k R k αα?∈∈=；（4）4{()|()0}V f x f x =≥，通常的函数加法与数乘运算。

2.求线性空间{|}n nT V A R A A ?=∈=的维数和一组基。

3.如果U 1和U 2都是线性空间V 的子空间，若dim U 1=dim U 2，而且12U U ?，证明：U 1=U 2。

4.设111213315A ??= ? ???，讨论向量(2,3,4)T α=是否在R (A )中。

5.讨论线性空间P 4[x ]中向量3211P x x x =+++，32223Px x x =-+，323452P x x x =+++的线性相关性。

6.设m nA R ?∈，证明dim R (A )+dim N (A )=n 。

7.设113021211152A -?? ?=-- ? ?--??，求矩阵A 的列空间R (A )和零空间N (A )。

8.在22R中，已知两组基11000E ??= ，20100E ??= ，30010E ??= ，40001E ?? =10111G ??= ?，21011G ??= ，31101G ??= ，41110G ??=求基{E i }到基{G i }的过渡矩阵，并求矩阵0123??-??在基{G i }下的坐标X 。

9.判别下列集合是否构成子空间。

（1）2221{(,,)|1,,,}W x y z x y z x y z R α==++≤∈；（2）22{|,}n nW A A I A R==∈；（3）3R 中，231231230{(,,)|(}0}tW x x x x x x d ατττ==++=?；（4）411{()|0}m nij m n iji j W A a a=====∑∑。

关于矩阵考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 矩阵的行列式为0，说明该矩阵是：A. 可逆的B. 不可逆的C. 正交的D. 对称的答案：B2. 矩阵A与矩阵B相乘的结果为零矩阵，那么矩阵A和矩阵B：A. 至少有一个是零矩阵B. 都是零矩阵C. 都是单位矩阵D. 至少有一个不可逆答案：D3. 矩阵的秩是指：A. 矩阵中非零元素的数量B. 矩阵中线性无关的行或列的最大数量C. 矩阵的行数D. 矩阵的列数答案：B4. 矩阵的特征值是：A. 矩阵的对角线元素B. 矩阵的非对角线元素C. 满足特征方程的λ值D. 矩阵的转置答案：C5. 矩阵的迹是指：A. 矩阵的行列式B. 矩阵的秩C. 矩阵对角线元素的和D. 矩阵的逆矩阵答案：C二、填空题（每题3分，共15分）1. 如果矩阵A的行列式为-5，则矩阵A的逆矩阵的行列式为______。

答案：-1/52. 矩阵A和矩阵B相乘得到单位矩阵，那么矩阵A和矩阵B互为______。

答案：逆矩阵3. 对于一个3x3的矩阵，其秩最大为______。

答案：34. 如果一个矩阵的所有行（或列）都线性相关，则该矩阵的秩为______。

答案：05. 矩阵的特征值可以通过求解特征方程______得到。

答案：det(A-λI)=0三、计算题（每题10分，共20分）1. 给定矩阵A=[1 2; 3 4]，求矩阵A的行列式。

答案：det(A) = 1*4 - 2*3 = -22. 给定矩阵B=[2 0; 0 3]，求矩阵B的逆矩阵。

答案：B^(-1) = [1/2 0; 0 1/3]四、证明题（每题15分，共30分）1. 证明：如果矩阵A和矩阵B可交换，即AB=BA，那么它们的特征值可以同时对角化。

答案：略2. 证明：对于任意的方阵A，有tr(A) = tr(A^T)。

答案：略。

矩阵论试题(整理)（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）矩阵论试题（06，12）一.(18分填空：设1.A-B的Jordan标准形为J=2.是否可将A看作线性空间V2中某两个基之间的过渡矩阵（）。

3.是否可将B看作欧式空间V2中某个基的度量矩阵。

（）4.（），其中。

5.若常数k使得kA为收敛矩阵，则k应满足的条件是（）。

6.AB的全体特征值是（）。

7.（）。

8.B的两个不同秩的{1}-逆为。

二.(10分设,对于矩阵的2-范数和F-范数，定义实数，（任意）验证是中的矩阵范数，且与向量的2-范数相容。

三.(15分已知。

1.求；2.用矩阵函数方法求微分方程满足初始条件x(0的解。

四.(10分用Householder变换求矩阵的QR分解。

五.（10分）用Gerschgorin定理隔离矩阵的特征值。

（要求画图表示）六.(15分已知。

1.求A的满秩分解；2.求A+；3.用广义逆矩阵方法判断线性方程组Ax=b是否有解；4.求线性方程组Ax=b的极小范数解，或者极小范数最小二乘解x0。

（要求指出所求的是哪种解）七.(15分已知欧式空间R22的子空间R22中的内积为V中的线性变换为T(X=XP+XT, 任意XV，1.给出子空间V的一个标准正交基；2.验证T是V中的对称变换；3.求V的一个标准正交基，使T在该基下的矩阵为对角矩阵.八.(7分设线性空间V n的线性变换T在基下的矩阵为A，T e表示V n的单位变换，证明：存在x00，使得T(x0=(T e-T(x0的充要条件是为A的特征值.矩阵论试题（07，12）一.(18分填空：1.矩阵的Jordan标准形为J=2.设则3.若A是正交矩阵，则cos(A=4.设，A+是A的Moore-Penrose逆，则(-2A, A+=5.设，则AB+I2I3的全体特征值是（）。

6.设向量空间R2按照某种内积构成欧式空间，它的两组基为和且与的内积为则基的度量矩阵为（）。

2015年专业硕士生《矩阵论》试卷学号 专业 姓名一、填空题（除了第5小题外每小题4分，共27分）1、设V 是由n 阶实对称矩阵按通常的矩阵加法与数乘构成的线性空间，则dimV= ，并且V 有基 。

2、设线性空间n V 上的线性变换σ在基n e e e ,,,21Λ下的矩阵为A ，在另一组基n e e e ''',,,21Λ下的矩阵为B ，由基n e e e ,,,21Λ到基n e e e ''',,,21Λ的过渡矩阵是C ，则B= （用A,C 表示）。

3、=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∑∞=kk 6.05.04.03.00 。

4、已知)(λA 的行列式因子1)(1-=λλD ，222)2()1()(--=λλλD ，5433)1()2()1()(+--=λλλλD ，则)(λA 的初等因子为。

5、已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3113A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21x ，则=2m A ，∞m A = ，=1A ，2cond()A = ，=1Ax ， =∞Ax 。

6、已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2143A ，则)(A ρ= 。

二、判断题（10分）1、同一个线性变换在不同基下的矩阵是相合关系。

（ ）2、A 是收敛矩阵的充要条件是其谱范数小于1。

（ ）3、 n 阶矩阵A 与B 相似的充要条件是它们的不变因子相同。

（ ）4、 A 的算子范数是其所有范数中最小的。

( )5、正交变换的必要条件是保持两个向量的夹角不变。

（ ） 三、（8分）设A 是[]2x P 中的线性变换，已知2121x e +-=，x e -=32，23x x e +=，2135)(x e A +-=且，2295)(x x e A +--=，236)(x x e A +=（1）证明[]1232,,e e e x 是P 的一组基 ；（2）求向量下的坐标在基3212,,321e e e x x +-。

四、(9分）在[]2x P 中，设2321)(x k x k k x f ++=，线性变换A 为23(())A f x k k =++21312()()k k x k k x +++。

南京航空航天大学矩阵论历年试题整理者：王正华2007.1.28一 设2615115126A −=− −（1）求A 的特征多项式和A 的全部特征值；（2）求A 的行列式、不变因子，初等因子； （3）求A 的最小多项式； （4）写出A 的Jordan 标准形二（1）设210121A= −，1）求12,,,F A A A A ∞；（2）设A 为n阶矩阵，证明21,max ij i j na A∞≤≤≤≤三（1）111111112A − =− −，作出A 的满秩分解并求出A +；（2）利用该矩阵判断如下方程组1231231231121x x x x x x x x x −+=−++=− −+= ，是否相容？若相容求通解；若不相容，求极小最小二乘解四 设V 是数域P 上全体3阶实对称矩阵作成的线性结构（1）求V 的维数，并写出一组基（2）在V 中定义变换100100()011010001011T X X=，证明T 是线性变换，并求T 在（1）中所取基下的矩阵五（1）设2010252,022024220t A t B −==，其中t 是实数，t 满足什么条件时A B >成立？（2）设,A B 均为Hermite 半正定矩阵，证明：○1若A >0, 则AB 相似于半正定对角阵； ○2若A >0, 则()00tr AB B =⇒=； ○3若()0,tr AB = 则0AB =一（20分） 已知 A =1001225i i −，其中i（1）求12,,,F A A A A ∞（2）证明：A ≥0 （3）设,,nH c B αβαβ∈=，证明22FBαβ=二（20分） 设A ＝110101101211 ，b ＝314(1)作出A 的满秩分解 (2) 计算A +(3)利用广义逆矩阵方法判断线性方程组A x ＝b 是否相容？若相容，求其通解，若不相容，求其极小最小二乘解三（20分） 设A ＝110430211− − −（1）求A 的特征多项式和A 的全部特征值（2）求A 的不变因子、初等因子和最小多项式 （3）写出A 的Jordan 标准形（4）设A 为n 阶矩阵，证明：A 非奇异的充要条件是存在常数项不为零的多项式()f x ，使()f x ＝0 四（20分） （1）设A 、B 均为Hermite 矩阵（n 阶），且A B ＝B A ，证明： （a ）如果A >0,且A B >0 , 则B >0（b ）如果A >0, B >0,且33A B >，则A B >（2）若A 是2阶实正规矩阵，且i αβ±是A 的一对共轭实特征值，证明：存在正交矩阵Q ，使得Q AQ αββα+ =−五（20分） 设实数域上线性空间32R ×的子集W ＝22{,()0}A R tr A ×∈=（1）W 是22R×的子空间（2）给出W 的变换T （A ）＝A A ++，A W ∀∈，证明：T 是W 上的线性变换 （3）求Ker （T ）及其维数（4）求W 的一组基和维数，并写出线性变换T 在所取基下的矩阵一 （20分）设[]n R X 表示实数域R 上次数小于n 的多项式再添上零多项式构成的线性空间（按通常多项式的加法和数与多项式的乘法）（1）求[]n R X 的维数并写出[]n R X 的一组基；（2）在[]n R X 中定义线性变换D ：(())'(),()[]n D f x f x f x R x =∈，求D 在（1）中所取基下的矩阵表示，并求R （D ）和Ker （D ）（3）证明D 在任何一组基下的矩阵都不可能是对角矩阵（4）在[]n R X 中定义内积11(,)()(),f g f x g x dx −=(),()[]n f x g x R X ∈,求出3[]R X 的一组标准正交基二 （20分）设A ＝3615125125− −−三 （16分）（1）设A ＝11121013 − −，求12,,,F A A A A ∞ （2）设A 为n 阶矩阵，证明：()1A ρ<的充要条件是存在某种相容矩阵范数.，使得1A <四（14分）设111021111021A − −−=（1） 作出A 的一个QR 分解，即求满足T Q Q I =的4×3矩阵和3阶上三角矩阵R ，使得A QR ＝ （2） 计算A +五 （16分）（1）设311120102A − = − ，121211111B =，问A ≥B 是否成立 （2）设A 为n 阶Hermite 正定矩阵，B 为n 阶Hermite 半正定矩阵，并且AB BA =，证明 （i ）AB 为Hermite 半正定矩阵 （ii ）如果A ≥B ，则2A ≥2B六 （14分）（1）设222i i A i i i i =− −−，其中i =，证明A 是正定矩阵； （2）若n n A C ×∈，且21A<，则A >B ≥0(3)设,n n A B C ×∈是Hermite 矩阵，证明如果A >B ≥0，则A B −≤A ，且等号成立一（20分）（1）设A 为n 阶非奇异复矩阵，试述矩阵A 的QR 分解定理；（2）设110101111010A= −（i ）作出A 的一个满秩分解 （ii ）计算广义逆矩阵A +二（18分）（1）设210123032A=− −，求12,,,F A A A A ∞；（2）设A 为n 阶可逆矩阵，.是满足1I =的矩阵范数，证明11AA −−≥，21A ≤三（22分）设3117937100480024A −−−−−= − −（1） 求A 的特征多项式和A 的全部特征值； （2） 求A 的不变因子、初等因子和最小多项式； （3） 写出A 的Jordan 标准形； （4） 求lim k k A →∞；（5） 计算Ae 四（20分）（1）设622250207A −=−，证明A 为正定矩阵；（2）设A ，B 均为Hermite 矩阵，证明：（i ） 如果A >0, 则A B 相似于对角矩阵；（ii ） 如果A >0, B >0, 则A B 的特征值均为正数；（iii ） 如果A >0, B >0,且A B ＝B A ，则A B 是Hermite 正定矩阵五（20分）设V 是实数域R 上全部3阶实反对称矩阵作成的线性空间（按矩阵的加法和数量乘法）（1） 求V 的维数，并写出V 的一组基；（2） 证明：若A 是3阶实对称矩阵，且X V ∈，则必有AX XA V +∈； （3） 作映射T 如下：011011()101101,110110T X X X X V −−=+∈ −−证明：T 是V 上的线性变换；（4） 求T 在（1）中所取基下的矩阵表示。

硕士研究生考试试卷 2014— 2015学年第一学期 考试科目: 矩阵论 考试时间：120分钟 出卷教师: 出卷时间: 阅卷负责人签名：姓名、学号必须写在指定位置 1 填空题 （18分） （1）123654789A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，111X ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则1A = m A ∞= 1AX = AX ∞= （2）1821A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，幂级数06k k k k z ∞=∑的收敛半径是 ， 矩阵幂级数06k k k k A ∞=∑是 （收敛、发散），理由 （3）1210A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，0110B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则A B ⊗的全部特征值是（4）123b b b α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦是给定的向量，123X ξξξ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦是向量变量，且112233()f X b b b ξξξ=++，则dfdX =专业：姓名：学号：2 设110430102A-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，（16分）（1）求A的Jordan标准形J （2）求变换矩阵P，使1P AP J-=3 设221022212A⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求A的QR分解（12分）4 设101102221453A-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦（16分）（1）求A的满秩分解（2）求A的More-Penrose逆A+5设20312102810A⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（14分）（1）写出A的行盖尔圆，并在复平面上画图表示（2）隔离A的特征值（3）利用实矩阵特征值性质，改进得到的结果6 设()m nij m n A a C ⨯⨯=∈，规定,ijG i j A a = （12分）（1） 证明G ⋅是m n C ⨯上的一种范数（2） 证明矩阵范数与向量2-范数相容7 求解微分方程初值问题 （12分）11221221431dx x x dt dx x x dt ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，12(0)1,(0)2x x ==。

考研数学二（矩阵）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(1998年)设A是任一n(n≥3)阶方阵，A*是A的伴随矩阵，又k为常数，且k≠0，±1，则必有(kA)*＝【】A．kA*B．kn-1A*C．knA*D．k-1A*正确答案：B解析：由于n阶行列式的每个元素的余子式都是一个n－1阶行列式，故｜kA｜的每个元素的代数余子式等于｜A｜的对应元素的代数余子式的kn-1倍，于是由伴随矩阵的定义知(kA)*的每个元素等于A*的对应元素的kn-1倍，即(kA)*＝kn-1A*．知识模块：矩阵2．(2004年)设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B，再把B 的第2列加到第3列得C，则满足AQ＝C的可逆矩阵Q为【】A．B．C．D．正确答案：D解析：记交换单位矩阵的第1列与第2列所得初等矩阵为E(1，2)，记将单位矩阵第2列的忌倍加到第3列所得初等矩阵为E(3，2(k))，则由题设条件，有AE(1．2)＝B，BE(3，2(1))＝C，故有AE(1，2)E(3，2(1))＝C 于是得所求逆矩阵为所以只有选项D正确．知识模块：矩阵3．(2005年)设A为n(n≥2)阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B，A*，B*分别为A，B的伴随矩阵，则【】A．交换A*的第1列与第2列得B*．B．交换A*的第1行与第2行得B*．C．交换A*的第1列与第2列得－B*．D．交换A*的第1行与第2行得－B*．正确答案：C解析：用排除法．以2阶方阵为例，设由此可见，交换A*的第1列与第2列得－B*，而其它选项均不对，故只有C正确．知识模块：矩阵4．(2006年)设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的－1倍加到第2列得C，记P＝，则【】A．C＝P-1APB．C＝PAP-1C．C＝PTAPD．C＝PAPT正确答案：B解析：将单位矩阵E的第2行加到第1行即得初等矩阵P，由初等变换与初等矩阵的关系，有B＝PA．令矩阵则将E的第1列的－1倍加到第2列即得矩阵Q，于是有C＝BQ，从而有C＝PAQ．由于所以，C＝PAQ＝PAP-1，只有选项B正确．知识模块：矩阵5．(2008年)设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，若A3＝O，则【】A．E－A不可逆，E＋A不可逆．B．E－A不可逆，E＋A可逆．C．E－A可逆，E＋A可逆．D．E－A可逆，E＋A不可逆．正确答案：C解析：由于(E－A)(E＋A＋A2)＝E－A3＝E，(E＋A)(E－A＋A2)＝E＋A3＝E，故由可逆矩阵的定义知：E－A和E＋A均是可逆的．知识模块：矩阵6．(2009年)设A，B均为2阶矩阵，A*，B*分别为A，B的伴随矩阵．若｜A｜＝2，｜B｜＝3，则分块矩阵的伴随矩阵为【】A．B．C．D．正确答案：B解析：记矩阵C＝，则C的行列式｜C｜＝(－1)4＝｜A｜｜B｜＝6≠0，因此C为可逆矩阵，由公式CC*＝｜C｜E，得故只有选项B正确．知识模块：矩阵7．(2009年)设A，P均为3阶矩阵，PT为P的转置矩阵，且PTAP＝若P＝(α1，α2，α3)，Q＝(α1＋α2，α2，α3)，则QAQ为【】A．B．C．D．正确答案：A解析：故只有选项A正确．知识模块：矩阵8．(2011年)设A为3阶矩阵，将A的第2列加到第1列得矩阵B，再交换B的第2行与第3行得单位矩阵．记则A＝【】A．P1P2B．P1-1P2C．P2P1D．P2P1-1正确答案：D解析：由题设条件有P2AP1＝I，两端左乘P2-1，两端右乘P1-1，得A＝P2-1P1-1，因P2-1＝P2，而P1-1≠P1，故只有D正确．知识模块：矩阵9．(2012年)设区域D由曲线y＝sinχ，χ＝±，y＝1围成，则(χy5－1)d χdy＝【】A．πB．2C．－2D．－π正确答案：B解析：于是，Q-1AQ＝(PM)-1A(PM)＝M-1(P-1AP)M 因此选B．知识模块：矩阵填空题10．(2000年)设A＝E为4阶单位矩阵，且B＝(E＋A)-1(E－A)，则(E＋B)-1＝______．正确答案：解析：由题设等式得E＋B＝E＋(E＋A)-1(E－A) 用(E＋A)左乘上式两端，得(E＋A)(E＋B)＝E＋A＋E－A＝2E 即[(E＋A)](E＋B)＝E 所以(E＋B)-1＝知识模块：矩阵11．(2003年)设α为3维列向量，αT是α的转置．若ααT＝，则αTα＝_______．正确答案：3解析：于是有a2＝1，b2＝1，c2＝1，从而得αTα＝[a b c]＝a2＋b2＋c2＝1＋1＋1＝3．知识模块：矩阵12．(2003年)设三阶方阵A、B满足A2B－A－B＝E，其中E为三阶单位矩阵，A＝，则｜B｜＝_______．正确答案：解析：由题设方程移项得A2B－B＝A＋E，(A2－E)B＝A＋E，(A＋E)(A－E)B＝A＋E，注意A＋E＝可逆，用(A＋E)-1左乘上式两端，得(A－E)B＝E 两端取行列式，得｜A－E｜｜B｜＝1 因为｜A－E｜＝＝2 得2｜B｜＝1，知识模块：矩阵13．(2004年)设矩阵A＝，矩阵B满足ABA*＝2BA*＋E，其中A*是A 的伴随矩阵，E是单位矩阵，则｜B｜＝_______．正确答案：解析：由于A*A＝｜A｜E，而｜A｜＝3，所以A*A＝3E．用矩阵A右乘题设方程两端，可得3AB＝6B＋A，或3(A－2E)B＝A，两端取行列式，得33｜A－2E｜｜B｜＝｜A｜，由于故有27｜B｜＝3，所以｜B｜＝知识模块：矩阵14．(2005年)设α1，α2，α3均为3维列向量，记矩阵A＝(α1，α2，α3)，B＝(α1＋α2＋α3，α1＋2α2＋4α3，α1＋3α2＋9α3)．如果｜A｜＝1，那么｜B｜＝_______．正确答案：2．解析：利用矩阵乘法，可将B表示为涉及知识点：矩阵15．(2006年)设矩阵A＝，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BA＝B＋2E，则｜B｜＝_______．正确答案：2．解析：由给定矩阵方程得BA－B＝2EB(A－E)＝2E 两端取行列式，得｜B｜｜A－E｜＝｜2E｜因｜A－E｜＝＝2，｜2E｜＝22｜E｜＝4 所以有2｜B｜＝4，从而得｜B｜＝2．知识模块：矩阵16．(2007年)设矩阵A＝，则A3的秩为_______．正确答案：1．解析：利用矩阵乘法，容易计算得由于A3中非零子式的最高阶数为1，故由矩阵的秩的定义，即知r(A3)＝1．知识模块：矩阵17．(2010年)设A，B为3阶矩阵，且｜A｜＝3，｜B｜＝2，｜A-1＋B｜＝2，则｜A＋B-1｜＝_______．正确答案：3．解析：由于A＋B-1＝(AB＋E)B-1＝A(B＋A-1)B-1＝A(A-1＋B)B-1，两端取行列式，并利用｜ABC｜＝｜A｜｜B｜｜C｜及｜B-1｜＝｜B｜-1，得｜A＋B-1｜＝｜A｜.｜A-1＋B｜.｜B-1｜＝3×2×＝3．知识模块：矩阵18．(2012年)设A为3阶矩阵，｜A｜＝3，A*为A的佯随矩阵，若交换A的第1行与第2行得矩阵B，则｜BA*｜＝_______．正确答案：－27．解析：由于互换行列式的两行，则行列式仅变号，于是知｜B｜＝－3．再利用｜A*｜＝｜A｜n-1－｜A｜2＝9，得｜BA*｜＝｜B｜｜A*｜＝－27．知识模块：矩阵19．(2013年)设A＝(aij)是3阶非零矩阵，｜A｜为A的行列式，Aij为aij 的代数余子式．若aij＋Aij＝0(i，j＝1，2，3)，则｜A｜＝_______．正确答案：－1．解析：由A≠0，不妨设a11≠0，由已知的Aij＝－aij(i，j＝1，2，3)，得及A＝－(A*)T，其中A*为A的伴随矩阵．以下方法：用AT右乘A＝－(A*)T 的两端，得AAT＝－(A*)AT＝－(AA*)T＝－(｜A｜I)T，其中I为3阶单位矩阵，上式两端取行列式，得｜A｜2＝(－1)3｜A｜3，或｜A｜2(1＋｜A｜)＝0，因｜A｜≠0，所以｜A｜＝－1．知识模块：矩阵解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第 1 页 共 5 页 （A 卷）学院 系 专业班级 姓名 学号 (密封线外不要写姓名、学号、班级、密封线内不准答题，违者按零分计) …………………………………………密…………………………封……………………………………线…………………………………考试方式：闭卷太原理工大学 矩阵分析 试卷（A ）适用专业：2015级硕士研究生 考试日期：2016.1.18 时间：120 分钟 共 8页一、填空选择题（每小题3分，共30分）1-5题为填空题：1. 已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=5221001i i A ，1-=i ，则___||||1=A ，___||||2=A ，___||||=F A 。

2. 若矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0321103221033210A ，则矩阵A 的谱半径____)(=A ρ3．已知矩阵函数⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+---=--------t t tt t t tt Ate e e e e e e e e 22222222，则______=A 4. 设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1101A ，则______=A 5．若矩阵n m C A ⨯∈，且列向量组是两两正交的单位向量，则____=+A6-10题为单项选择题：6．设A 是正规矩阵，则下列说法不正确的是 （ ）. (A) A 一定可以对角化； （B ）⇔=H A A A 的特征值全为实数题 号 一 二 三 四 总 分 得 分得 分第 2 页 共 5 页 （A 卷）(C) 若E AA H =，则 1=A （D ）⇔-=H A A A 的特征值全为零或纯虚数 7．设A 是幂等矩阵（即A A =2），则下列命题不正确的是 （ ） （A ）A 与对角矩阵相似 （B ）A 的特征值只可能是1或0 （C ）A A )1(sin sin = （D ）幂级数10)(-∞=-=∑A E A k k8．设V 为酉空间，,,,,C V z y x ∈∈∀λ则有 （ ） (A) ),(),(x y y x = (B) ),(),(y x y x λλ= (C) 0≠x 但0),(=x x (D) ),(),(),(z x y x z y x +=+9. 设T 是线性空间V 上的一个线性变换，则下列命题正确的是 （ ） （A ）V T T R =+)ker()( （B ）V T T R dim ))dim(ker())(dim(=+ （C ）}0{)ker()(=T T R I （D ）)ker()()ker()(T T R T T R ⊕=+. 10. 与命题“n 阶矩阵B A ,相似”不等价的命题是 （ ）(A) B A ,具有相同的特征多项式 (B) B A ,具有相同的初级因子(C) B A ,具有相同的不变因子 (D) B A ,的特征矩阵B E A E --λλ,等价二、解答题（10分）11. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=02212A ，判断∑+∞=02m m m A 是否收敛，若收敛求其和.三、证明题（每小题10分， 共20分）12. 设21,e e 是线性空间2V 的基，21,T T 是2V 上的两个线性变换：221111)(,)(εε==e T e T ，且2121221212)(,)(εεεε-=-+=+e e T e e T . （1）证明：21T T =.得 分得 分第 3 页 共 5 页 （A 卷）学院 系 专业班级 姓名 学号(密封线外不要写姓名、学号、班级、密封线内不准答题，违者按零分计) …………………………………………密…………………………封……………………………………线…………………………………（2）如果21,εε也是线性空间2V 的一个基，证明21,e e 到21,εε的过度矩阵A 等于1T 在基21,e e 下的矩阵B ，也等于1T 在基21,εε下的矩阵C ，即C B A ==。