2018年上海春考数学试卷(含详答)

2018年上海市普通高等学校春季招生统一文化考试数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）1．不等式||1x >的解集为__________．2．计算：31lim 2n n n →∞-=+__________． 3．设集合{|02}A x x =<<，{|11}B x x =-<<，则A B =__________．4．若复数z i i =+（i 是虚数单位），则2z z+=__________． 5．已知{}n a 是等差数列，若2810a a +=，则357a a a ++=__________．6．已知平面上动点P 到两个定点(1,0)和(1,0)-的距离之和等于4，则动点P 的轨迹为 __________．7．如图，在长方形1111B ABC A C D D -中，3AB =，4BC =，15AA =， O 是11A C 的 中点，则三棱锥11A AOB -的体积为__________．第7题图 第12题图8．某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、 四辩．若其中学生甲必须参赛且不担任四辩，则不同的安排方法种数为__________．9．设a R ∈，若922x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭与92a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中的常数项相等，则a =__________． 10．设m R ∈，若z 是关于x 的方程2210x mx m -+=+的一个虚根，则||z 的取值范围是__________．11．设0a >，函数()2(1)sin()f x x x ax =+-，(0,1)x ∈，若函数21y x =-与()y f x = 的图象有且仅有两个不同的公共点，则a 的取值范围是__________． 12．如图，正方形ABCD 的边长为20米，圆O 的半径为1米，圆心是正方形的中心，点P 、Q 分别在线段AD 、CB 上，若线段PQ 与圆O 有公共点，则称点Q 在点P 的“盲 区”中．已知点P 以1．5米/秒的速度从A 出发向D 移动，同时，点Q 以1米/秒的速度 从C 出发向B 移动，则在点P 从A 移动到D 的过程中，点Q 在点P 的盲区中的时长约为__________秒（精确到0．1）二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13．下列函数中，为偶函数的是（ ）（A ）2y x -= （B ）13y x =（C ）12y x -= （D ）3y x = 14．如图，在直三棱柱111AB A B C C -的棱虽在的直线中，与直线1BC异面的直线条数为（ ）（A ）1 （B ）2（C ）3 （D ）415．记n S 为数列{}n a 的前n 项和．“{}n a 是递增数列”是“n S 为递增数列”的（ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件16．已知A 、B 为平面上的两个定点，且|2|AB =．该平面上的动线段PQ 的端点P 、Q ，满足||5AP ≤，6AB AP ⋅=，2AQ AP =-，则动线段PQ 所形成图形的面积为（ ）（A ）36 （B ）60 （C ）81 （D ）108三、解答题（本大题共有5题，满分76分，第17~19题每题14分，20题16分，21题18分）17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知cos y x =．（1）若3(1)f α=，且[0,]απ∈，求()3f πα-的值； （2）求函数(2)2()y f x f x =-的最小值．18． （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知a R ∈，双曲线222:1x y aΓ-=．（1）若点(2,1)在Γ上，求Γ的焦点坐标； （2）若1a =，直线1y kx =+与Γ相交于A 、B 两点，且线段AB 中点的横坐标为1，求实数k 的值．19．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）利用“平行于圆锥曲线的母线截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两个射灯（射出的光锥视为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2是投影出的抛物线的平面图，图3是一个射灯的直观图，在图2与图3中，点O 、A 、B 在抛物线上，OC 是抛物线的对称轴，OC AB ⊥于C ，3AB =米， 4.5OC =米．（1）求抛物线的焦点到准线的距离； （2）在图3中，已知OC 平行于圆锥的母线SD ，AB 、DE 是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小（精确到0．01°）．图1 图2图320．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分） 设0a >，函数1()12x f x a =+⋅． （1）若1a =，求()f x 的反函数1()f x -；（2）求函数()()y f x f x ⋅-=的最大值（用a 表示）；（3）设()()(1)g x f x f x =--．若对任意(,0]x ∈-∞，)(()0g x g ≥恒成立，求a 的取值范围．21．（本题满分18分，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分） 若{}n c 是递增数列，数列{}n a 满足：对任意*n N ∈，存在*m N ∈，使得10m n m n a c a c +-≤-，则称{}n a 是{}n c 的“分隔数列”．（1）设2n c n =，1n a n =+，证明：数列{}n a 是{}n c 的“分隔数列”；（2）设4n c n =-，n S 是{}n c 的前n 项和，31n n d c -=，判断数列{}n S 是否是数列{}n d 的分隔数列，并说明理由；（3）设1n n c aq -=，n T {}n c 的前n 项和，若数列{}n T 是{}n c 的分隔数列，求实数a 、q 的取值范围．。

2018春季高考真题一、选择题1、已知集合，,则等于 M ={a,b}N ={b,c}M ∩N A 、 B 、 C 、D 、∅{b} {a,c}{a,b,c} 2、函数的定义域是f (x )=x +1+xx ‒1A 、B 、（-1,+∞）（-1,1）∪（1，+∞）C 、 D 、[ -1,+∞） [ -1,1）∪（3、奇函数的布局如图所示，则 y =f(x)A 、 B 、 f(2)>0>f(4) f(2)<0<f(4)C 、 D 、f(2)> f(4)>0 f(2)<f(4)<04、已知不等式的解集是1+lg|x|<0AB 、、（‒110,0）∪ （0，110）（‒110，110）C 、D 、（‒10,0）∪ （0，10）（‒10，10）5、在数列中， =-1 ,=0，=+,则等于{a n }a 1 a 2a n +2a n +1a n a 5A 、B 、C 、D 、0 - 1 -2-36、在如图所示的平面直角坐标系中，向量的坐标是 AB A 、 B 、 C 、D 、（2,2）（‒2,‒2）（1,1）（-1，-1）7、圆(x +1)2+(y ‒1)2=1的圆心在A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限8、已知，则“”是“”的a 、b ∈R a >b 2a >2bA 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件9、关于直线,下列说法正确的是l:x ‒3y +2=0A 、直线l 的倾斜角为 B 、向量是直线l 的一个方向向量 60。

v =(3,1)C 、直线l 经过点D 、向量是直线l 的一个法向量（1，3）n =(1,3)10、景区中有一座山，山的南面有2条道路，山的北面有3条道路，均可用于游客上山或下山，假设没有其他道路，某游客计划从山的一面走到山顶后，接着从另一面下山，则不同的走法的种数是A 、6B 、10C 、12D 、2011、在平面直角坐标系中，关于的不等式表示的区域（阴影部分）可能是x,y Ax +By +AB >0（AB ≠0）12、已知两个非零向量a 与b 的夹角为锐角，则 A 、 B 、 C 、D 、a ∙b >0a ∙b <0a ∙b ≥0a ∙b ≤013、若坐标原点到直线的距离等于，则角的取值集合是 （0,0）x -y +sin 2θ=022θA 、{}B 、{} θ|θ=kπ±π4,k ∈Zθ|θ=kπ±π2,k ∈ZC 、{}D 、{}θ|θ=2kπ±π4,k ∈Zθ|θ=2kπ±π2,k ∈Zl e15、在 （x ‒2y ）2的展开式中，所有项的系数之和等于A 、32B 、-32C 、1D 、-116、设命题,命题,则下列命题中为真命题的是p:5≥3q:{1}⊑{0,1,2}A 、p B 、 C 、 D 、 ∧q ¬p ∧q p ∧¬q ¬p ∨¬q 17、已知抛物线的焦点为，准线为,该抛物线上的点到轴的距离为，且=7，则焦点到准线距x 2=ay(a ≠0)F l M x 5|MF|F l 离是A 、2B 、C 、D 、34518、某停车场只有并排的8个停车位，恰好全部空闲，现有3辆汽车依次驶入，并且随机停放在不同车位，则至少有2辆汽车停放在相邻车位的概率是A 、B 、C 、D 、51415289146719、已知矩形ABCD ，AB=2BC ，把这个矩形分别以AB ，BC 所在直线为轴旋转一周，所围成集合体的侧面积分别记为S 1、S 2 ，则S 1、S 2的比值等于A 、B 、C 、D 、1212420、若由函数图像变换得到的图像，则可以通过以下两个步骤完成：第一步，把y =sin (2x +π2)y =sin(x2+π3)上所有点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标不变；第二步，可以把图像沿x 轴y =sin (2x +π2)A 、向右平移个单位B 、向右平移个单位C 、向左平移个单位D 、向左平移个单位π35π12π35π12二、填空题21、已知函数,则的值等于 。

2018春季高考真题一、选择题1、已知集合M ={a,b}，N ={b,c},则M ∩N 等于A 、?B 、{b}C 、{a,c}D 、{a,b,c}2、函数f (x )=√??+1+????-1的定义域是A 、（-1,+∞）B 、（-1,1）∪（1，+∞）C 、[ -1,+∞）D 、 [ -1,1）∪（1，+∞）3、奇函数y =f(x)的布局如图所示，则A 、f(2)>0>??(4) B 、f(2)<0<??(4)C 、f(2)> ??(4)>0D 、f(2)<??(4)<04、已知不等式1+lg|x|<0的解集是A 、（-110,0）∪（0，110）B 、（-110，110）C 、（-10,0）∪（0，10）D 、（-10，10）5、在数列{????}中，??1=-1 , ??2=0，????+2=????+1+????,则??5等于A 、0B 、-1C 、-2D 、-36、在如图所示的平面直角坐标系中，向量AB????? 的坐标是A 、（2,2）B 、（-2,-2）C 、（1,1）D 、（-1，-1）7、圆(??+1)2+(??-1)2=1的圆心在A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限8、已知a 、b ∈R ，则“ａ>??”是“２??>2??”的A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件9、关于直线l:x -√3??+2=0,下列说法正确的是A 、直线l 的倾斜角为60。

B 、向量??=(√??,??)是直线l 的一个方向向量C 、直线l 经过点（1，√3）D 、向量??=(??,√??)是直线l 的一个法向量10、景区中有一座山，山的南面有2条道路，山的北面有3条道路，均可用于游客上山或下山，假设没有其他道路，某游客计划从山的一面走到山顶后，接着从另一面下山，则不同的走法的种数是A 、6B 、10C 、12D 、2011、在平面直角坐标系中，关于x,y 的不等式Ax +By +AB >0（AB ≠0）表示的区域（阴影部分）可能是12、已知两个非零向量a 与b 的夹角为锐角，则A 、?????>0B 、?????<0C 、?????≥0D 、?????≤013、若坐标原点（0,0）到直线x -y +sin 2??=0的距离等于√22，则角θ的取值集合是A 、{θ|θ=k π±??4,??∈??} B 、{θ|θ=k π±??2,??∈??} C 、{θ|θ=2k π±??4,??∈??}D 、{θ|θ=2k π±??2,??∈??}14、关于x,y 的方程??2+????2=a 2（a ≠0）,表示的图形不可能是15、在（x -2y ）2的展开式中，所有项的系数之和等于A 、32B 、-32C 、1D 、-116、设命题p:5≥3,命题q:{1}?{0,1,2},则下列命题中为真命题的是A 、p ∧q B 、?p ∧qC 、p ∧?qD 、?p ∨?q17、已知抛物线??2=????(??≠0)的焦点为F ，准线为l,该抛物线上的点M 到x 轴的距离为5，且|MF|=7，则焦点F 到准线l 距离是A 、2B 、3C 、4D 、518、某停车场只有并排的8个停车位，恰好全部空闲，现有3辆汽车依次驶入，并且随机停放在不同车位，则至少有2辆汽车停放在相邻车位的概率是A 、514B 、1528C 、914D 、6719、已知矩形ABCD ，AB=2BC ，把这个矩形分别以AB ，BC 所在直线为轴旋转一周，所围成集合体的侧面积分别记为S 1、S 2 ，则S 1、S 2的比值等于A 、12B 、1C 、2D 、420、若由函数y =sin(2??+??2)图像变换得到y =sin(??2+??3)的图像，则可以通过以下两个步骤完成：第一步，把y =sin(2??+??2)上所有点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标不变；第二步，可以把图像沿x 轴A 、向右平移??3个单位B 、向右平移5π12个单位C 、向左平移??3个单位D 、向左平移5π12个单位二、填空题21、已知函数f (x )={x 2+1,??>0-5,??≤0,则f[f(0)]的值等于。

2018年上海卷春季高考真题数学试卷-学生用卷一、填空题（1~6每小题4分，7~12每小题5分，共54分）1、【来源】 2018~2019学年10月上海闵行区上海市七宝中学高一上学期月考第1题2018年1月高考真题上海卷第1题4分不等式|x|>1的解集为．2、【来源】 2018年1月高考真题上海卷第2题4分计算：limn→∞3n−1n+2=．3、【来源】 2018年1月高考真题上海卷第3题4分设集合A={x|0<x<2}，B={x|−1<x<1}，则A∩B=．4、【来源】 2018年1月高考真题上海卷第4题4分若复数z=1+i（i是虚数单位），则z+2z=．5、【来源】 2018年1月高考真题上海卷第5题4分已知{a n}是等差数列，若a2+a8=10，则a3+a5+a7=．6、【来源】 2018年1月高考真题上海卷第6题4分已知平面上动点P到两个定点(1,0)和(−1,0)的距离之和等于4，则动点P的轨迹方程为．7、【来源】 2018年1月高考真题上海卷第7题5分如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=3，BC=4，AA1=5，O是A1C1的中点，则三棱锥A−A1OB1的体积为．8、【来源】 2018年1月高考真题上海卷第8题5分某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩．若其中学生甲必须参赛且不担任四辩，则不同的安排方法种数为．9、【来源】 2018年1月高考真题上海卷第9题5分设a∈R，若(x2+2x )9与(x+ax2)9的二项展开式中的常数项相等，则a=．10、【来源】 2020~2021学年上海徐汇区高一下学期期末第9题2018年1月高考真题上海卷第10题5分设m∈R，若z是关于x的方程x2+mx+m2−1=0的一个虚根，则|z|的取值范围是．11、【来源】 2018年1月高考真题上海卷第11题5分设a>0，函数f(x)=x+2(1−x)sin⁡(ax)，x∈(0,1)，若函数y=2x−1与y=f(x)的图象有且仅有两个不同的公共点，则a的取值范围是．12、【来源】 2018年1月高考真题上海卷第12题5分2019~2020学年12月上海闵行区上海市七宝中学高二上学期月考第12题5分如图，正方形ABCD的边长为20米，圆O的半径为1米，圆心是正方形的中心，点P、Q分别在线段AD、CB上，若线段PQ与圆O有公共点，则称点Q在点P的“盲区”中．已知点P以1.5米/秒的速度从A出发向D移动，同时，点Q以1米/秒的速度从C出发向B移动，则在点P从A移动到D的过程中，点Q在点P的盲区中的时长约为秒．（精确到0.1）二、选择题（每小题5分，共20分）13、【来源】 2018年1月高考真题上海卷第13题5分下列函数中，为偶函数的是（）．A. y=x−2B. y=x13C. y=x−12D. y=x314、【来源】 2018年1月高考真题上海卷第14题5分2019~2020学年广东深圳罗湖区深圳市美术学校高一下学期开学考试第7题5分如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1的棱所在的直线中，与直线BC1异面的直线条数为（）．A. 1B. 2C. 3D. 415、【来源】 2018~2019学年10月上海宝山区上海市吴淞中学高三上学期月考第15题5分 2018年1月高考真题上海卷第15题5分记S n 为数列{a n }的前n 项和．“{a n }是递增数列”是“{S n }为递增数列”的（ ）．A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件16、【来源】 2018年1月高考真题上海卷第16题5分已知A 、B 为平面上的两个定点，且|AB →|=2．该平面上的动线段PQ 的端点P 、Q ，满足|AP →|⩽5，AP →⋅AB →=6，AQ →=−2AP →，则动线段PQ 所形成图形的面积为（ ）．A. 36B. 60C. 81D. 108三、解答题（第17题14分，第18题14分，第19题14分，第20题16分，第21题18分）17、【来源】 2018年1月高考真题上海卷第17题14分2017~2018学年上海嘉定区高一下学期期末第18题8分已知y =cos⁡x ．(1) 若f(α)=13，且α∈[0,π]，求f(α−π3)的值． (2) 求函数y =f(2x)−2f(x)的最小值．18、【来源】 2018年1月高考真题上海卷第18题14分已知a ∈R ，双曲线Γ:x 2a 2−y 2=1．(1) 若点(2,1)在Γ上，求Γ的焦点坐标．(2) 若a=1，直线y=kx+1与Γ相交于A、B两点，且线段AB中点的横坐标为1，求实数k的值．19、【来源】 2018年1月高考真题上海卷第19题14分利用“平行于圆锥曲线的母线截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两个射灯（射出的光锥视为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2是投影出的抛物线的平面图，图3是一个射灯的直观图，在图2与图3中，点O、A、B在抛物线上，OC是抛物线的对称轴，OC⊥AB于C，AB=3米，OC=4.5米．(1) 求抛物线的焦点到准线的距离．(2) 在图3中，已知OC平行于圆锥的母线SD，AB、DE是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小（精确到0.01°）．20、【来源】 2020~2021学年上海杨浦区上海复旦大学附属中学高一上学期期末第20题16分2018年1月高考真题上海卷第20题16分设a>0，函数f(x)=11+a⋅2x．(1) 若a=1，求f(x)的反函数f−1(x)．(2) 求函数y=f(x)⋅f(−x)的最大值（用a表示）．(3) 设g(x)=f(x)−f(x−1)．若对任意x∈(−∞,0]，g(x)⩾g(0)恒成立，求a的取值范围．21、【来源】 2018年1月高考真题上海卷第21题18分若{c n}是递增数列，数列{a n}满足：对任意n∈N∗，存在m∈N∗，使得a m−c na m−c n+1⩽0，则称{an}是{c n}的“分隔数列”．(1) 设c n=2n，a n=n+1，证明：数列{a n}是{c n}的“分隔数列”．(2) 设c n=n−4，S n是{c n}的前n项和，d n=c3n−2，判断数列{S n}是否是数列{d n}的分隔数列，并说明理由．(3) 设c n=aq n−1，T n是{c n}的前n项和，若数列{T n}是{c n}的分隔数列，求实数a、q的取值范围．1 、【答案】(−∞,−1)∪(1,+∞);2 、【答案】3;3 、【答案】(0,1);4 、【答案】2;5 、【答案】15;6 、【答案】x24+y23=1;7 、【答案】5;8 、【答案】180;9 、【答案】4;10 、【答案】(√33,+∞) ;11 、【答案】(11π6,19π6];12 、【答案】4.4;13 、【答案】 A;14 、【答案】 C;15 、【答案】 D;16 、【答案】 B;17 、【答案】 (1) 1+2√66．;(2) −32．;18 、【答案】 (1) (±√3,0)．;(2) √5−1．2;19 、【答案】 (1) 1米．4;(2) 9.59°．;(0<x<1)．20 、【答案】 (1) f−1(x)=log21−xx;(2) 1．1+2a+a2;(3) (0,√2]．;21 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) 不是，理由见解析．;(3) a>0且q⩾2．;。

2018春季高考真题一、选择题1、已知集合M={a,b}，N={b,c},则M∩N等于A、∅B、{b}C、{a,c}D、{a,b,c}2、函数f(x)=√x+1+xx−1的定义域是A、（−1,+∞）B、（−1,1）∪（1，+∞）C、[ −1,+∞）D、 [ −1,1）∪（1，+∞）3、奇函数y=f(x)的布局如图所示，则A、f(2)>0>f(4)B、f(2)<0<f(4)C、f(2)> f(4)>0D、f(2)<f(4)<04、已知不等式1+lg|x|<0的解集是A、（−110,0）∪（0，110）B、（−110，110）C、（−10,0）∪（0，10）D、（−10，10）5、在数列{a n}中，a1=-1 , a2=0，a n+2=a n+1+a n,则a5等于A、0B、−1C、−2D、−36、在如图所示的平面直角坐标系中，向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标是A、（2,2）B、（−2,−2）C、（1,1）D、（−1，−1）7、圆(x+1)2+(y−1)2=1的圆心在A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限8、已知a、b∈R，则“a>b”是“2a>2b”的A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件9、关于直线l:x−√3y+2=0,下列说法正确的是A、直线l的倾斜角为60。

B、向量v=(√3,1)是直线l的一个方向向量C、直线l经过点（1，√3）D、向量n=(1,√3)是直线l的一个法向量10、景区中有一座山，山的南面有2条道路，山的北面有3条道路，均可用于游客上山或下山，假设没有其他道路，某游客计划从山的一面走到山顶后，接着从另一面下山，则不同的走法的种数是A、6B、10C、12D、2011、在平面直角坐标系中，关于x,y的不等式Ax+By+AB>0（AB≠0）表示的区域（阴影部分）可能是12、已知两个非零向量a与b 的夹角为锐角，则A、a∙b>0B、a∙b<0C、a∙b≥0D、a∙b≤013、若坐标原点（0,0）到直线x−y+sin2θ=0的距离等于√22，则角θ的取值集合是A、{θ|θ=kπ±π4,k∈Z} B、{θ|θ=kπ±π2,k∈Z}C、{θ|θ=2kπ±π4,k∈Z} D、{θ|θ=2kπ±π2,k∈Z}14、关于x,y的方程x2+ay2=a2（a≠0）,表示的图形不可能是15、在（x−2y）2的展开式中，所有项的系数之和等于A、32B、-32C、1D、-116、设命题p:5≥3,命题q:{1}⊑{0,1,2},则下列命题中为真命题的是A、p∧qB、¬p∧qC、p∧¬qD、¬p∨¬q17、已知抛物线x2=ay(a≠0)的焦点为F，准线为l,该抛物线上的点M到x轴的距离为5，且|MF|=7，则焦点F到准线l距离是A、2B、3C、4D、518、某停车场只有并排的8个停车位，恰好全部空闲，现有3辆汽车依次驶入，并且随机停放在不同车位，则至少有2辆汽车停放在相邻车位的概率是A、514B、1528C、914D、6719、已知矩形ABCD，AB=2BC，把这个矩形分别以AB，BC所在直线为轴旋转一周，所围成集合体的侧面积分别记为S1、S2 ，则S1、S2的比值等于A、12B、1C、2D、420、若由函数y=sin(2x+π2)图像变换得到y=sin(x2+π3)的图像，则可以通过以下两个步骤完成：第一步，把y=sin(2x+π2)上所有点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标不变；第二步，可以把图像沿x轴A、向右平移π3个单位B、向右平移5π12个单位C、向左平移π3个单位D、向左平移5π12个单位二、填空题21、已知函数f(x)={x 2+1,x>0−5,x≤0,则f[f(0)]的值等于。

2018年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷考生注意：1.答卷前，考生务必将姓名、高考座位号、校验码等填写清楚.2.本试卷共有22道试题，满分150分.考试时间120分钟.. 填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.1. 方程2lg lg(2)0x x-+=的解集是.2. =++++∞→nnn212lim.3. 若3cos5α=，且⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πα，则=2tgα.4. 函数2()f x x=-)]2,((-∞-∈x的反函数=-)(1xf.5. 在△ABC中，若90C∠=，4AC BC==，则BA BC⋅=.6. 某班共有40名学生，其中只有一对双胞胎，若从中一次随机抽查三位学生的作业，则这对双胞胎的作业同时被抽中的概率是(结果用最简分数表示).7. 双曲线116922=-yx的焦距是.8. 若()()3,2223≥∈+++++=+nnxcxbxaxx nnn且N，且2:3:=ba，则=n.9. 设数列{}n a的前n项和为n S（N∈n）. 关于数列{}n a有下列三个命题：（1）若{}n a既是等差数列又是等比数列，则)(1N∈=+naann；（2）若()R∈+=banbnaSn、2，则{}na是等差数列；（3）若()nnS11--=，则{}n a是等比数列.这些命题中，真命题的序号是.10. 若集合{}R∈==xxxA x,32cos3π，{}R∈==yyyB,12，则BA = .11. 函数xxy arcsinsin+=的值域是.12. 已知函数2()2log x f x x =+，数列{}n a 的通项公式是n a n 1.0=（N ∈n ），当 |()2005n f a -取得最小值时，n = . 二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出 四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的 代号写在题后的圆括号内，选对得 4分，否则一律得零分.13. 已知直线n m l 、、及平面α，下列命题中的假命题是 （A ）若//l m ，//m n ，则//l n . （B ）若l α⊥，//n α，则l n ⊥. （C ）若l m ⊥，//m n ，则l n ⊥. （D ）若//l α，//n α，则//l n .[答] ( ) 14. 在△ABC 中，若CcB b A a cos cos cos ==，则△ABC 是 （A ）直角三角形. （B ）等边三角形. （C ）钝角三角形. （D ）等腰直角三角形.[答] ( ) 15. 若c b a 、、是常数，则“0402<->c a b a 且”是“对任意R ∈x ，有02>++c x b x a ” 的（A ）充分不必要条件. （B ）必要不充分条件. （C ）充要条件. （D ）既不充分也不必要条件.[答] ( ) 16. 设函数()f x 的定义域为R ，有下列三个命题：（1）若存在常数M ，使得对任意R ∈x ，有()f x M ≤，则M 是函数()f x 的最大值； （2）若存在R ∈0x ，使得对任意R ∈x ，且0x x ≠，有)()(0x f x f <，则)(0x f 是函数()f x 的最大值；（3）若存在R ∈0x ，使得对任意R ∈x ，有)()(0x f x f ≤，则)(0x f 是函数()f x 的最大值. 这些命题中，真命题的个数是（A ）0个. （B ）1个. （C ）2个. （D ）3个.[答] ( )三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤.已知z 是复数，izi z -+22、均为实数（i 为虚数单位），且复数2)(i a z +在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围.[解] 18. (本题满分12分) 已知αtg 是方程01sec 22=++αx x 的两个根中较小的根，求α的值. [解]19. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分， 第2小题满分8分.已知正三棱锥ABC P -的体积为372，侧面与底面所成的二面角的大小为 60. （1）证明：BC PA ⊥；（2）求底面中心O 到侧面的距离. [证明]（1）[解]（2）某市2018年底有住房面积1200万平方米，计划从2018年起，每年拆除20万平方米的旧住房. 假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5%. （1）分别求2018年底和2018年底的住房面积 ；（2）求2184年底的住房面积.（计算结果以万平方米为单位，且精确到0.01） [解]（1）（2）21. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分3分， 第2小题满分6分，第3小题满分7分. 已知函数xax x f +=)(的定义域为),0(∞+，且222)2(+=f . 设点P 是函数图象上的任意一点，过点P 分别作直线x y =和y 轴的垂线，垂足分别为N M 、. （1）求a 的值；（2）问：||||PN PM ⋅是否为定值？若是，则求出该定值，若不是，则说明理由； （3）设O 为坐标原点，求四边形OMPN 面积的最小值. [解]（1） （2） （3）（1）求右焦点坐标是)0,2(，且经过点)2,2(--的椭圆的标准方程；（2）已知椭圆C 的方程是12222=+b y a x )0(>>b a . 设斜率为k 的直线l ，交椭圆C 于A B 、两点，AB 的中点为M . 证明：当直线l 平行移动时，动点M 在一条过原点的定直线上；（3）利用（2）所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心. [解]（1）[证明]（2）[解]（3）2018年上海市普通高等学校春季招生考试数 学 试 卷参考答案及评分标准说明1.本解答列出试题的一种或几种解法,如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神进行评分.2.评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅,当考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时,可视影响程度决定后面部分的给分,这时原则上不应超过后面部分应给分数之半,如果有较严重的概念性错误,就不给分.3.第17题至第22题中右端所注的分数,表示考生正确做到这一步应得的该题的累加分数.4.给分或扣分均以1分为单位.答案及评分标准一．（第1至12题）每一题正确的给4分，否则一律得零分.1. }2,1{-.2. 0.3.21. 4. ]4,(,--∞∈--x x . 5. 16. 6.2601. 7. 65. 8. 11. 9. （1）、（2）、（3）. 10. {}1.11. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--21sin ,21sin ππ. 12. 110二．（第13至16题）每一题正确的给4分，否则一律得零分.三．（第17至22题）17. [解] 设R)∈+=y x yi x z 、(，i y x i z )2(2++=+ ，由题意得 2-=y . …… 2分i x x i i x i i x i z )4(51)22(51)2)(2(51222-++=+-=--=-由题意得 4=x . …… 6分 ∴ i z 24-=.∵ 2)(ai z +i a a a )2(8)412(2-+-+=， …… 9分根据条件，可知⎩⎨⎧>->-+0)2(804122a a a ，解得 62<<a ，∴ 实数a 的取值范围是)6,2(. …… 12分 18. [解] ∵ αtg 是方程01sec 22=++αx x 的较小根， ∴ 方程的较大根是αctg . ∵ αtg +αctg =αsec 2-，即αααcos 2cos sin 1-= ∴ 21sin -=α. …… 5分 解得 672ππα+=k ，或Z ∈-=k k ,62ππα. …… 8分 当)(672Z ∈+=k k ππα时，αtg 33=，αctg 3=； 当)(62Z ∈-=k k ππα时，αtg 33-=，αctg 3-=，不合题意. ∴ Z ∈+=k k ,672ππα. …… 12分19. [证明]（1）取BC 边的中点D ，连接AD 、PD ，则BC AD ⊥，BC PD ⊥，故⊥BC 平面APD . …… 4分 ∴ BC PA ⊥. …… 6分 [解]（2）如图， 由（1）可知平面⊥PBC 平面APD ，则PDA ∠是侧面与底面所成二面角的平面角.过点O 作E PD OE ,⊥为垂足，则OE 就是点O 到侧面的距离. …… 9分设OE 为h ，由题意可知点O 在AD 上， ∴ 60=∠PDO ，h OP 2=.h BC h OD 4,32=∴=, …… 11分∴ 2234)4(43h h S ABC ==∆， ∵ 3233823431372h h h =⋅⋅=，∴ 3=h . 即底面中心O 到侧面的距离为3. …… 14分 20. [解]（1）2018年底的住房面积为124020%)51(1200=-+（万平方米）, 2018年底的住房面积为128220%)51(20%)51(12002=-+-+（万平方米）∴ 2018年底的住房面积为1240万平方米，2018年底的住房面积约为1282万平方米. …… 6分 （2）2184年底的住房面积为20%)51(20%)51(20%)51(20%)51(1200181920-+--+-+-+ …… 10分 64.252205.0105.120%)51(12002020≈-⨯-+=（万平方米）∴ 2184年底的住房面积约为2522.64万平方米. …… 14分 21. [解]（1）∵ 22222)2(+=+=a f ，∴ 2=a . …… 3分 （2）设点P 的坐标为),(00y x ，则有0002x x y +=，00>x ，由点到直线的距离公式可知：0000||,12||||x PN x y x PM ==-=， 故有1||||=⋅PN PM ，即||||PN PM ⋅为定值，这个值为1. …… 9分 （3）由题意可设),(t t M ，可知),0(0y N .∵ PM 与直线x y =垂直，∴ 11-=⋅PM k ，即100-=--tx ty ，解得 )(2100y x t +=，又0002x x y +=，∴ 0022x x t +=. ∴22212+=∆x S OPM ，222120+=∆x S OPN ， ∴ 212)1(212020+≥++=+=∆∆x x S S S OPN OPM OMPN ， 当且仅当10=x 时，等号成立.∴ 此时四边形OMPN 面积有最小值21+. …… 16分22. [解]（1）设椭圆的标准方程为12222=+b y a x ，0>>b a ，∴ 422+=b a ，即椭圆的方程为142222=++b y b x ， ∵ 点（2,2--）在椭圆上，∴ 124422=++b b ， 解得 42=b 或22-=b （舍），由此得82=a ，即椭圆的标准方程为14822=+y x . …… 5分（2）设直线l 的方程为m kx y +=， …… 6分 与椭圆C 的交点A (11,y x )、B (22,y x )，则有⎪⎩⎪⎨⎧=++=12222b y a x m kx y ， 解得 02)(222222222=-+++b a m a kmx a x k a b ，∵ 0>∆，∴ 2222k a b m +<，即 222222k a b m k a b +<<+-.则 222221212222212,2ka b mb m kx m kx y y k a b kma x x +=+++=++-=+， ∴ AB 中点M 的坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-22222222,k a b m b k a b km a . …… 11分∴ 线段AB 的中点M 在过原点的直线 022=+y k a x b 上. …… 13分 （3）如图，作两条平行直线分别交椭圆于A 、B 和D C 、，并分别取AB 、CD 的中点N M 、，连接直线MN ；又作两条平行直线（与前两条直线不平行）分别交椭圆于1A 、1B 和11D C 、，并分别取11B A 、11D C 的中点11N M 、，连接直线11N M ，那么直线MN 和11N M 的交点O 即为椭圆中心. …… 18分。

上海市教育考试院保留版权2018年春考数学第1页（共4页）2018年上海市普通高校春季招生统一文化考试数学试卷考生注意：1．本场考试时间120分钟．试卷共4页，满分150分，答题纸共2页．2．作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名．将核对后的条形码贴在指定位置．3．所有作答必须涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在试卷上作答一律不得分．4．用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．1．不等式||1x >的解集为．2．计算：31lim 2n n n →∞-=+．3．设集合{|02}A x x =<<，{|11}B x x =-<<，则A B = ．4．若复数1i z =+（i 是虚数单位），则2z z +=．5．已知{}n a 是等差数列，若2810a a +=，则357a a a ++=．6．已知平面上动点P 到两个定点(1,0)和(1,0)-的距离之和等于4，则动点P 的轨迹方程为．7．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3AB =，4BC =，15AA =，O 是11A C 的中点，则三棱锥11A A OB -的体积为．8．某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生甲必须参赛且不担任四辩，则不同的安排方法种数为．（结果用数值表示）9．设a ∈R ，若922x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭与92a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中的常数项相等，则a =．10．设m ∈R ，若z 是关于x 的方程2210x mx m ++-=的一个虚根，则||z 的取值范围是．2018年春考数学第2页（共4页）11．设0a >，函数()2(1)sin()f x x x ax =+-，(0,1)x ∈，若函数21y x =-与()y f x =的图像有且仅有两个不同的公共点，则a 的取值范围是．12．如图，正方形ABCD 的边长为20米，圆O 的半径为1米，圆心是正方形的中心，点P 、Q 分别在线段AD 、CB 上，若线段PQ 与圆O 有公共点，则称点Q 在点P 的“盲区”中，已知点P 以1.5米/秒的速度从A 出发向D 移动，同时，点Q 以1米/秒的速度从C 出发向B 移动，则在点P 从A 移动到D 的过程中，点Q 在点P 的盲区中的时长约为．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．下列函数中，为偶函数的是（）．(A)2y x -=(B)13y x =(C)12y x -=(D)3y x =14．如图，在直三棱柱111ABC A B C -的棱所在的直线中，与直线1BC 异面的直线的条数为（）．(A)1(B)2(C)3(D)415．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，“{}n a 是递增数列”是“{}n S 是递增数列”的（）．(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件(C)充要条件(D)既非充分又非必要条件16．已知A 、B 为平面上的两个定点，且||2AB = ，该平面上的动线段PQ 的端点P 、Q ，满足||5AP ≤，6AP AB ⋅= ，2AQ AP =- ，则动线段PQ 所形成图形的面积为（）．(A)36(B)60(C)72(D)108三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数()cos f x x =．(1)若1()3f α=，且[0,π]α∈，求π3f α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；(2)求函数(2)2()y f x f x =-的最小值．2018年春考数学第3页（共4页）18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知a ∈R ，双曲线222:1x y aΓ-=．(1)若点(2,1)在上，求Γ的焦点坐标；(2)若1a =，直线1y kx =+与Γ相交于A 、B 两点，且线段AB 中点的横坐标为1，求实数k 的值．19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）利用“平行于圆锥母线的平面截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两个射灯（射出的光锥为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2是投影射出的抛物线的平面图，图3是一个射灯投影的直观图，在图2与图3中，点O 、A 、B 在抛物线上，OC 是抛物线的对称轴，OC AB ⊥于C ，3AB =米， 4.5OC =米．(1)求抛物线的焦点到准线的距离；(2)在图3中，已知OC 平行于圆锥的母线SD ，AB 、DE 是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小（精确到0.01°）．20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）设0a >，函数1()12x f x a =+⋅．(1)若1a =，求()f x 的反函数1()f x -；(2)求函数()()y f x f x =⋅-的最大值（用a 表示）；(3)设()()(1)g x f x f x =--，若对任意(,0]x ∈-∞，()(0)g x g ≥恒成立，求a 的取值范围．图1图3图22018年春考数学第4页（共4页）21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）若{}n c 是递增数列，数列{}n a 满足：对任意*n ∈N ，存在*m ∈N ，使得10m n m n a c a c +--≤，则称{}n a 是{}n c 的“分隔数列”．(1)设2n c n =，1n a n =+，证明：数列{}n a 是{}n c 的分隔数列；(2)设4n c n =-，n S 是{}n c 的前n 项和，32n n d c -=，判断数列{}n S 是否是数列{}n d 的分隔数列，并说明理由；(3)设1n n c aq -=，n T 是{}n c 的前n 项和，若数列{}n T 是{}n c 的分隔数列，求实数a 、q 的取值范围．。

2018年上海市普通高等学校春季招生统一文化考试数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）1．不等式||1x >的解集为__________． 2．计算：31lim2n n n →∞-=+__________．3．设集合{|02}A x x =<<，{|11}B x x =-<<，则A B =__________．4．若复数z i i =+（i 是虚数单位），则2z z+=__________． 5．已知{}n a 是等差数列，若2810a a +=，则357a a a ++=__________．6．已知平面上动点P 到两个定点(1,0)和(1,0)-的距离之和等于4，则动点P 的轨迹为__________．7．如图，在长方形1111B ABC A C D D -中，3AB =，4BC =，15AA =， O 是11AC 的 中点，则三棱锥11A AOB -的体积为__________．第7题图 第12题图8．某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、 四辩．若其中学生甲必须参赛且不担任四辩，则不同的安排方法种数为__________．9．设a R ∈，若922x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭与92a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中的常数项相等，则a =__________．10．设m R ∈，若z 是关于x 的方程2210x mx m -+=+的一个虚根，则||z 的取值范围是__________．11．设0a >，函数()2(1)sin()f x x x ax =+-，(0,1)x ∈，若函数21y x =-与()y f x =的图象有且仅有两个不同的公共点，则a 的取值范围是__________．12．如图，正方形ABCD 的边长为20米，圆O 的半径为1米，圆心是正方形的中心，点P 、Q 分别在线段AD 、CB 上，若线段PQ 与圆O 有公共点，则称点Q 在点P 的“盲 区”中．已知点P 以1．5米/秒的速度从A 出发向D 移动，同时，点Q 以1米/秒的速度从C 出发向B 移动，则在点P 从A 移动到D 的过程中，点Q 在点P 的盲区中的时长约为__________秒（精确到0．1）二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13．下列函数中，为偶函数的是（ ） （A ）2y x -= （B ）13y x =（C ）12y x-=（D ）3y x =14．如图，在直三棱柱111AB A B C C -的棱虽在的直线中，与直线1BC 异面的直线条数为（ ） （A ）1 （B ）2（C ）3（D ）415．记n S 为数列{}n a 的前n 项和．“{}n a 是递增数列”是“n S 为递增数列”的（ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）既非充分也非必要条件16．已知A 、B 为平面上的两个定点，且|2|AB =．该平面上的动线段PQ 的端点P 、Q ， 满足||5AP ≤，6AB AP ⋅=，2AQ AP =-，则动线段PQ 所形成图形的面积为（ ） （A ）36（B ）60（C ）81（D ）108三、解答题（本大题共有5题，满分76分，第17~19题每题14分，20题16分，21题18分）17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知cos y x =．（1）若3(1)f α=，且[0,]απ∈，求()3f πα-的值； （2）求函数(2)2()y f x f x =-的最小值．18． （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知a R ∈，双曲线222:1x y aΓ-=．（1）若点(2,1)在Γ上，求Γ的焦点坐标；（2）若1a =，直线1y kx =+与Γ相交于A 、B 两点，且线段AB 中点的横坐标为1，求实数k 的值．19．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）利用“平行于圆锥曲线的母线截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两个射灯（射出的光锥视为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2是投影出的抛物线的平面图，图3是一个射灯的直观图，在图2与图3中，点O 、A 、B 在抛物线上，OC 是抛物线的对称轴，OC AB ⊥于C ，3AB =米， 4.5OC =米． （1）求抛物线的焦点到准线的距离；（2）在图3中，已知OC 平行于圆锥的母线SD ，AB 、DE 是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小（精确到0．01°）．图1 图2 图3 20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）设0a >，函数1()12xf x a =+⋅．（1）若1a =，求()f x 的反函数1()fx -；（2）求函数()()y f x f x ⋅-=的最大值（用a 表示）；（3）设()()(1)g x f x f x =--．若对任意(,0]x ∈-∞，)(()0g x g ≥恒成立，求a 的取值范围．21．（本题满分18分，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分）若{}n c 是递增数列，数列{}n a 满足：对任意*n N ∈，存在*m N ∈，使得10m nm n a c a c +-≤-，则称{}n a 是{}n c 的“分隔数列”． （1）设2n c n =，1n a n =+，证明：数列{}n a 是{}n c 的“分隔数列”；（2）设4n c n =-，n S 是{}n c 的前n 项和，31n n d c -=，判断数列{}n S 是否是数列{}n d 的分隔数列，并说明理由；（3）设1n n c aq-=，n T {}n c 的前n 项和，若数列{}n T 是{}n c 的分隔数列，求实数a 、q 的取值范围．参考答案一、填空题1．(,1)(1,)-∞-+∞2．33．(0,1)4．2 5．156．22143x y += 7．5 8．180 9．410．)3+∞ 11．1119(,]66ππ12．4.4二、选择题13．A14．C15．D16．B三、解答题17．（1）16+；（2）32-18．（1）(1,0)，(1,0)-；（2． 19．（1）14；（2）9.59︒． 20．（1）121()log (01)x f x x x --=<<；（2）2112max y a a =++（0x =时取最值）；（3）21．（1）证明略；（2）不是．反例：4n =时，m 无解；（3）02a q ≥>⎧⎨⎩．2018年上海市高考数学试卷2018.06一. 填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）1. 行列式4125的值为 2. 双曲线2214x y -=的渐近线方程为3. 在7(1)x +的二项展开式中，2x 项的系数为 （结果用数值表示）4. 设常数a ∈R ，函数2()log ()f x x a =+，若()f x 的反函数的图像经过点(3,1)，则a =5. 已知复数z 满足(1i)17i z +=-（i 是虚数单位），则||z =6. 记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若30a =，6714a a +=，则7S =7. 已知11{2,1,,,1,2,3}22a ∈---，若幂函数()a f x x =为奇函数，且在(0,)+∞上递减，则a =8. 在平面直角坐标系中，已知点(1,0)A -、(2,0)B ，E 、F 是y 轴上的两个动点，且||2EF =，则AE BF ⋅的最小值为9. 有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随 机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是 （结果用最简分数表示） 10. 设等比数列{}n a 的通项公式为1n n a q -=（n ∈*N ），前n 项和为n S ，若11lim 2n n n S a →∞+=，则q =11. 已知常数0a >，函数2()2x x f x ax =+的图像经过点6(,)5P p 、1(,)5Q q -，若236p q pq +=，则a =12. 已知常数1x 、2x 、1y 、2y 满足：22111x y +=，22221x y +=，121212x x y y +=，则的最大值为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 设P 是椭圆22153x y +=上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ）A.B.C.D. 14. 已知a ∈R ，则“1a >”是“11a<”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件15. 《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设1AA 是正六棱柱的一条侧棱，如图，若 阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以1AA 为底面矩形的一边， 则这样的阳马的个数是（ ）A. 4B. 8C. 12D. 1616. 设D 是含数1的有限实数集，()f x 是定义在D 上的函数，若()f x 的图像绕原点逆时 针旋转6π后与原图像重合，则在以下各项中，(1)f 的可能取值只能是（ ）A. B.C. D. 0三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17. 已知椭圆的顶点为P ，底面圆心为O ，半径为2.（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设4PO =，OA 、OB 是底面半径，且90AOB ∠=︒，M 为 线段AB 的中点，如图，求异面直线PM 与OB 所成的角的大小.18. 设常数a ∈R ，函数2()sin 22cos f x a x x =+. （1）若()f x 为偶函数，求a 的值；（2）若()14f π=，求方程()1f x =-[,]ππ-上的解.19. 某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当S 中%x （0100x <<）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为30030()180029030100x f x x x x <≤⎧⎪=⎨+-<<⎪⎩（单位：分钟） 而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题： （1）当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？ （2）求该地上班族S 的人均通勤时间()g x 的表达式，讨论()g x 的单调性，并说明其实际意义.20. 设常数2t >，在平面直角坐标系xOy 中，已知点(2,0)F ，直线:l x t =，曲线2:8y x Γ=（0x t ≤≤，0y ≥），l 与x 轴交于点A 、与Γ交于点B ，P 、Q 分别是曲线Γ与线段AB 上的动点.（1）用t 表示点B 到点F 的距离；（2）设3t =，||2FQ =，线段OQ 的中点在直线FP 上，求AQP 的面积；（3）设8t =，是否存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在Γ上？若存在，求点P 的坐标，若不存在，说明理由.21. 给定无穷数列{}n a ，若无穷数列{}n b 满足：对任意n ∈*N ，都有||1n n b a -≤，则称{}n b 与{}n a “接近”.（1）设{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列，11n n b a +=+，n ∈*N ，判断数列{}n b 是 否与{}n a 接近，并说明理由；（2）设数列{}n a 的前四项为：11a =，22a =，34a =，48a =，{}n b 是一个与{}n a 接近的数列，记集合{|,1,2,3,4}i M x x b i ===，求M 中元素的个数m ；（3）已知{}n a 是公差为d 的等差数列，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 接近，且在21b b -，32b b -，⋅⋅⋅，201200b b -中至少有100个为正数，求d 的取值范围.2018年上海市高考数学试卷答案一. 填空题1. 18，452118⨯-⨯=2. 2x y =±，22220442x x x y y y -=⇒=⇒=±3. 21，2721C = 4. 7，根据题意，(1)3f =，即2log (1)3a +=，∴7a = 5. 5，|17i |||5|1i |z -==+，或17i34i 1iz -==--+，∴||5z =6. 14，6732714a a a d +=+=，∴2d =，432a a d =+=，∴74714S a ==7. 1-，根据题意，a 与奇数相关，且0a <，∴1a =-8. 3-， 不妨设(0,)E t ，(0,2)F t +，∴(1,)AE t =，(2,2)BF t =-+，2(1)3AE BF t ⋅=+-， 即最小值为3- 9.15，总的情况为35C 种，符合题意的有5、2、2和5、3、1两种情况，∴概率为35215C =10. 3，011a q ==，1(1)1n n a q S q -=-，∴11(1)11lim lim (1)12n n n n n n S a q a q q q →∞→∞+-===--，∴3q = 11. 6，根据题意，61()()155f p f q +=-=，即22122p q pq ap aq +=++，去分母化简得， 2236p q a pq pq +==，∴236a =，∵0a >，∴6a =12.23+，构造单位圆如图所示，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，cos ||||OA OBAOB OA OB ⋅∠==⋅121212x x y y +=，∴3AOB π∠=，所求的112222+的几何意义即A 、B 两点 到直线10x y +-=的距离之和，再设(cos ,sin )A θθ，则(cos(),sin())33B ππθθ++，∴112222+[1cos sin 1cos()sin()]332ππθθθθ≤--+-+-+=3333[2()cos ()sin ][26sin()](26)2322222θθθϕ-+--=++≤+=+∴最大值为23+. 或根据对称性，A 、B 两点关于y x =对称时，可取最大值二. 选择题13. 选C ，255a a =⇒=，∴P 到该椭圆的两个焦点的距离之和225a =14. 选A ，11(,0)(1,)a a <⇔∈-∞+∞，∴“1a >”是“11a<” 的充分非必要条件，故选A15. 选D ，如图所示，符合条件的面有4个，每个面对应 符合条件的顶点有4个，∴阳马的个数是4416⨯= 16. 选B ，A 选项，若(1)3f =，将点(1,3)依次旋转6π后可得到函数图像上的一些点， 由图可知，当1x =±、3±、0时，对应了两个y 值，不符合函数定义，∴(1)3f ≠. 同理，结合图像分析B 、C 、D 选项，只有B 选项符合函数定义，故选B三. 解答题17.（1）4PB =，2OB =，∴23PO =，……2分 底面积4S π=，∴体积1834233V ππ=⨯⨯=……6分 （2）取OA 中点N ，∴MN ∥OB ，∴异面直线PM 与OB 所成角大小即∠PMN ，……8分1MN =，4PO =，1ON =，PO ⊥ON ，∴17PN =，……11分∴tan 17PNPMN MN∠==，即arctan 17PMN ∠=，……13分 ∴异面直线PM 与OB 所成角大小为arctan 17……14分法二：以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，……7分 ∴(0,2,0)OB =，(1,1,0)M ，(0,0,4)P ，∴(1,1,4)PM =-，……10分 ∴2cos 6||||232OB PM OB PM θ⋅===⋅⨯，∴2arccos 6θ=，……13分 ∴异面直线PM 与OB 所成角大小为2arccos . ……14分18.（1）由()f x 为偶函数，∴()()f x f x -=，……2分 即22sin 22cos sin 22cos a x x a x x -+=+，∴0a =；……4分 （2）2()sin2cos 11424f a a πππ=+=+=，即a =……6分∴2()22cos 112cos212sin(2)16f x x x x x x π=+-+=++=++，……8分∴()1f x =-⇒sin(2)6x π+=……10分 ∴2264x k πππ+=-+或524k ππ+，k ∈Z ，……12分在区间[,]ππ-上解得1124x π=-，524x π=-，1324x π=，1924x π=……14分19.（1）根据题意，即()40f x >，……2分当030x <≤时，()3040f x =<，不满足题意；……3分当30100x <<时，180029040x x+->，化简得2659000x x -+>， 即(20)(45)0x x -->，∴45x >或20x <（舍），∴45100x <<，……5分综上，当45100x <<时，公交群体人均通勤时间少于自驾群体人均通勤时间；……6分 （2）由题意，()%()(1%)40g x x f x x =⋅+-⋅，……7分 当030x <≤时，()%30(1%)40g x x x =⋅+-⋅=14010x -， 由一次函数图像性质可知，()g x 在030x <≤时单调递减；……9分当30100x <<时，1800()%(290)(1%)40g x x x x x =⋅+-+-⋅=2113585010x x -+， 由二次函数图像性质可知，当(30,32.5)x ∈时，()g x 单调递减，当[32.5,100)x ∈时，()g x 单调递增；……11分综上，2140,03010()11358,301005010x x g x x x x ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪-+<<⎪⎩，在(0,32.5)上单调递减，在[32.5,100)上单调递增，……12分说明当自驾群体范围小于32.5%时，人均通勤时间随自驾群体的增加而减少； 当自驾群体占比为32.5%时，人均通勤时间最少；当自驾群体范围超过32.5%时，人均通勤时间随自驾群体的增加而增加. ……14分20.（1）曲线2:8y x Γ=的焦点即(2,0)F ，准线为2x =-，……2分 ∴根据抛物线性质，点B 到点F 的距离22BF B d x t =+=+；……4分（2）当3t =，∴(3,0)A ，∴1AF =，∵2FQ =，∴QA =Q ，……5分∴线段OQ 的中点为3(2，∵(2,0)F ，∴直线FP 方程为2)y x =-……6分 联立28y x =，∴23(2)8x x -=，整理得，2320120x x -+=，解得23P x =，……7分∴AQP 的面积112(3)(3)223AQP P S AQ x =⋅-=-=……8分（3）存在，已知(2,0)F ，设2(,)8n P n ，0n ≥，① 若228n =，则(2,4)P ，∵矩形FPEQ 中，FP FQ ⊥，FP FQ FE +=，∴(8,0)Q ，(8,4)E ，不在曲线2:8y x Γ=上，∴此情况不成立；……10分② 若228n ≠，则PF 的斜率2816PF n k n =-， ∵矩形FPEQ 中，FP FQ ⊥，∴1PF QF k k =-，即2168QF n k n-=，∴直线QF 为216(2)8n y x n -=-，当8t =时，Q 点纵坐标2216483(82)84Q n n y n n --=-=，∴2483(8,)4n Q n -，∴2(2,)8n FP n =-，2483(6,)4n FQ n-=，……12分 ∵矩形FPEQ 中，FP FQ FE +=，设(,)E E E x y ，∴(2,)E E FE x y =-，∴2248(4,)(2,)84E E n n FP FQ x y n++=+=-，得到2248(6,)84n n E n ++，……14分 ∵要使得点E 在Γ上，∴代入28y x =，22248()8(6)48n n n +=+，解得2165n =，∵0n ≥，∴5n =，即2(,55P . ……16分21.（1）数列{}n b 与{}n a 接近，由题意，11()2n n a -=，111()12n n n b a +=+=+，……2分 ∴1111()1()1()222n n n n n b a --=+-=-，∵n ∈*N 时，110()22n <≤，∴111()122n ≤-< 满足对任意n ∈*N ，||1n n b a -≤，∴数列{}n b 与{}n a 接近；……4分（2）∵11a =，22a =，34a =，48a =，又{}n b 与{}n a 接近，∴||1n n b a -≤， ∴[1,1]n n n b a a ∈-+，则1[0,2]b ∈，2[1,3]b ∈，3[3,5]b ∈，4[7,9]b ∈，……6分 ∴当12[1,2]b b =∈时，M 中有12()b b 、3b 、4b 三个元素； 或233b b ==时，M 中有1b 、23()b b 、4b 三个元素； 当12b b ≠，23b b ≠时，M 中有1b 、2b 、3b 、4b 四个元素； ∴M 中元素的个数m 为3或4；……8分（3）∵||1n n b a -≤，∴[1,1]n n n b a a ∈-+，111[1,1]n n n b a a +++∈-+，∴111[2,2]n n n n n n b b a a a a +++-∈---+，即1[2,2]n n b b d d +-∈-+，n ∈*N ，……10分 ① 若2d ≤-，则10n n b b +-≤恒成立，不满足“至少有100个为正数”，不符；……12分② 若2d >-，令(1)nn n b a =+-，n ∈*N ，∴|||(1)|1n n n b a -=-=，……14分满足||1n n b a -≤，数列{}n b 与{}n a 接近，此时12(1)n n n b b d +-=--， 当n 为奇数时，12(1)20n n n b b d d +-=--=+>，……16分 ∴在21b b -、32b b -、⋅⋅⋅、201200b b -这200个数中， 至少存在21b b -、43b b -、⋅⋅⋅、200199b b -这100个数为正，故2d >-时，存在数列(1)nn n b a =+-()n ∈*N 满足题意，∴d 的取值范围即2d >-. ……18分。

2018年上海市普通高校春季招生统一文化考试数学试卷一、填空题（54分）1、不等式1>x 的解集为______________；2、计算：_________213lim=+-∞→n n n ；3、设集合{}20<<=x x A ，{}11<<-=x x B ，则________=B A ；4、若复数i z +=1（i 是虚数单位），则______2=+zz ； 5、已知{}n a 是等差数列，若1082=+a a ，则______753=++a a a ；6、已知平面上动点P 到两个定点()0,1和()0,1-的距离之和等于4，则动点P 的轨迹方程为_________；7、如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，3=AB ，4=BC ，51=AA ，O 是11C A 的中点，则三棱锥11OB A A -的体积为_________；第7题图 第12题图8、某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生甲必须参赛且不担任四辩，则不同的安排方法种数为_____________（结果用数值表示）。

9、设R a ∈，若922⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 与92⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a x 的二项展开式中的常数项相等，则_______=a ；10、设R m ∈，若z 是关于x 的方程0122=-++m mx x 的一个虚根，则-z 的取值范围是________；11、设0>a ，函数()()1,0),sin()1(2∈-+=x ax x x x f ，若函数12-=x y 与()x f y =的图像有且仅有两个不同的公共点，则a 的取值范围是__________；12、如图，在正方形ABCD 的边长为20米，圆O 的半径为1米，圆心是正方形的中心，点P 、Q 分别在线段AD 、CB 上，若线段PQ 与圆O 有公共点，则称点Q 在点P 的“盲区”中，已知点P 以1.5米/秒的速度从A 出发向D 移动，同时，点Q 以1米/秒的速度从C 出发向B 移动，则在点P 从A 移动到D 的过程中，点Q 在点P 的盲区中的时长均为_____秒（精确到0.1）. 二．选择题（20分）13. 下列函数中，为偶函数的是（ ）A 2-=x y B 31x y = C 21-=xy D 3x y =14. 如图，在直三棱柱111C B A ABC -的棱所在的直线中，与直线1BC 异面的直线的条数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 415. 若数列}{n a 的前n 项和，“}{n a 是递增数列”是“}{n S 是递增数列”的（ ） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 即不充分也不必要条件16、已知A 、B 是平面内两个定点，且2=→AB ，该平面上的动线段PQ 的两个端点P 、Q 满足：5≤→AP ，6=⋅→→AB AP ，→→-=AP AQ 2，则动线段PQ 所围成的面积为（ ）A 、50B 、60C 、72D 、108三、解答题（14+14+14+16+18=76分） 17、已知x x f cos )(=（1）.若31)(=αf ，且],0[πα∈，求)3(πα-f 的值； （2）.求函数)(2)2(x f x f y -=的最小值；18、已知R a ∈，双曲线1:222=-Γy ax（1）.若点)1,2(在Γ上，求Γ的焦点坐标；（2）.若1=a ，直线1+=kx y 与Γ相交于B A ,两点，若线段AB 中点的横坐标为1，求k 的值；19.利用“平行与圆锥母线的平面截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理；某公司用两个射灯（射出的光锥视为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2投影出的抛物线的平面图，图3是一个射灯投影的直观图，在图2与图3中，点O 、A 、B 在抛物线上，OC 是抛物线的对称轴，AB OC ⊥于C ，3=AB 米，5.4=OC 米.（1）求抛物线的焦点到准线的距离；（2）在图3中，已知OC 平行于圆锥的母线SD ，AB 、DE 是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小（精确到01.0）.20.设0>a ，函数xa x f 211)(⋅+=（1）.若1=a ，求)(x f 的反函数)(1x f -（2）求函数)()(x f x f y -⋅=的最大值，（用a 表示）（3）设=)(x g )1()(--x f x f ，若对任意)0()(],0,(g x g x ≥-∞∈恒成立，求a 的取值范围？21.若}{n c 是递增数列，数列}{n a 满足：对任意*,N m R n ∈∃∈，使得01≤--+n m nm c a a a ，则称}{n a 是}{n c 的“分隔数列”（1）设1,2+==n a n c n n ，证明：数列}{n a 是}{n c 的分隔数列；（2）设n n S n c ,4-=是}{n c 的前n 项和，23-=n n c d ，判断数列}{n S 是否是数列}{n d 的分隔数列，并说明理由；（3）设n n n T aq c ,1-=是}{n c 的前n 项和，若数列}{n T 是}{n C 的分隔数列，求实数q a ,的取值范围？2018年上海市普通高校春季招生统一文化考试数学试卷参考答案：一、填空题：1、()()+∞-∞-,11, ；2、3；3、()1,0；4、2；5、15；6、13422=+y x ；7、5；8、180； 9、4；10、⎪⎪⎭⎫⎝⎛∞+，33；11、⎥⎦⎤⎝⎛619611ππ，；12、4.4； 二、选择题：13、A ；14、C ；15、D ；16、B ； 三、解答题：17、（1）6621+；（2）23-； 18、（1）()()0,30,3-，；（2）215-； 19、（1）41；（2）59.9； 20、解析：（1）()()1,011log )(11log 112212∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⇒-=-x x x f y x y x ； （2）()()xx x x x a a a a y 2122211211⋅++=⋅+⋅⋅+=-，设02>=t x， 则()111222+++=+++=a taat at a at ty ，因为0>a ，所以a taat 2≥+，当且仅当1=t 时取等号，所以12122++≥+++a a a t a at ，即()⎥⎦⎤ ⎝⎛+∈211,0a y ； （3）()223222221122+⋅+⋅-=⋅+-⋅+=xx x x a t a a a a x g ，设t x=2，因为()0,∞-∈x ， 所以()1,0∈t ，则()att a a t g 322++-=，若a t t t a 222=⇒=，1°当12≥a 时，即20≤<a ，a t t a y 322++=单调递减，所以()+∞++∈,232a a y ， 则()⎪⎭⎫⎝⎛++-∈0,232a a a a g ，且()2302++-=a a a g ，故满足()()0g x g ≥，符合题意；2°当120<<a 时，即2>a ，则a a a aa t t a y 322322322+=+⋅≥++=， 则()()0,322-∈a g ，因为()()02log 2ming a g x g ≠⎪⎪⎭⎫⎝⎛=，故不符合题意，舍去； 综上：(]2,0∈a 。

2018年上海市普通高等学校春季招生考试数 学 试 卷考生注意：1.答卷前，考生务必将姓名、高考座位号、校验码等填写清楚. 2.本试卷共有22道试题，满分150分.考试时间120分钟. 一、填空题（本大题满分48分,本大题共有12题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分） 1. 计算:∞→n lim3423+-n n = .2. 方程log 3(2x-1)=1的解x= .3. 函数f(x)=3x+5,x∈[0,1] 的反函数f 1-(x)= .4. 不等式121+-x x＞0的解集是 . 5. 已知圆C ：(x+5)2+y 2=r 2（r ＞0）和直线l ：3x+y+5=0.若圆C 与直线l 没有公共点，则r的取值范围是 .6. 己知函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数，当x∈(-∞,0)时，f(x)=x-x 4,则当x∈(0,+∞)时，f(x)= . 7. 电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有 种不同的播放方式（结果用数值表示）. 8. 正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为 .9. 在⊿ABC 中，已知BC=8,AC=5,三角形面积为12,则cos2C= .10. 若向量、的夹角为150°,││=3,││=4,则│2+│= . 11. 己知直线l 过点P （2，1），且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则三角形OAB 面积的最小值为 .12. 同学们都知道，在一次考试后，如果按顺序去掉一些高分，那么班级的平均分将降低；反之，如果按顺序去掉一些低分,那么班级的平均分将提高，这两个事实可以用数学语言描述为：若有限数列a 1,a 2…，a n 满足a 1≤a 2≤…≤a n ,则 （结论用数学式于表示）.二、选择题（本大题满分16分，共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结沦是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，否则一律得零分。

2018年上海高考春考卷（精确回忆版）（考试时间：90分钟，满分：100分）一、选择题（共7题，每题4分，满分28分）1. （）（4分）2. （）（4分）3. （）（4分）4. （）（4分）5. （）（4分）6. （）（4分）7. （）（4分）二、填空题（共7题，每题4分，满分28分）1. （）（4分）2. （）（4分）3. （）（4分）4. （）（4分）5. （）（4分）6. （）（4分）7. （）（4分）三、解答题（共3题，每题10分，满分30分）1. （10分）2. （10分）3. （10分）四、分析题（共2题，每题10分，满分20分）1. （10分）2. （10分）五、论述题（共1题，满分14分）1. （14分）一、选择题A. 力是改变物体运动状态的原因B. 物体在没有外力作用下，总保持静止或匀速直线运动状态C. 两个物体之间的作用力和反作用力大小相等，方向相反D. 物体受到的合外力等于其质量与加速度的乘积A. 氧B. 氢C. 钠D. 硫A. 温故知新B. 不耻下问C. 三思而行D. 一日千里A. 美国B. 德国C. 日本D. 中国A. 北京B. 上海C. 广州D. 深圳A. 秦朝B. 汉朝C. 唐朝D. 宋朝A. 牛顿B. 爱因斯坦C. 波尔D. 海森堡二、填空题1. 一元二次方程 ax^2 + bx + c = 0（a≠0）的解为 x1 = ______，x2 = ______。

2. 我国第一部纪传体通史是《______》。

3. 在化学反应中，______是指物质在反应过程中失去电子。

4. 地球自转的方向是______。

5. “民为贵，社稷次之，君为轻”出自______。

6. 人体内最大的消化腺是______。

7. 我国四大发明包括：______、______、______、______。

三、解答题2. 请简述三国演义中赤壁之战的主要过程。

3. 请解释光合作用的过程及其意义。

四、分析题1. 请分析我国近年来经济发展迅速的原因。