高考真题专题训练——参数方程专题（参考答案1-5）
1、（2012课标全国Ⅰ，理23，10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为
2cos 22sin x y α
α=⎧⎨
=+⎩
（α为参数）M 是C 1上的动点，P 点满足2OP OM =u u u v u u u u v ,P 点的轨迹为曲线C 2 (Ⅰ)求C 2的方程
(Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3
πθ=与C 1的异于极点的交点
为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求AB .
2、（2012课标全国Ⅱ，理23，10分）已知曲线1C 的参数方程是)(3sin y 2cos x 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==，以坐
标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的坐标系方程是2=ρ，正方形ABCD
的顶点都在2C 上，且,,,A B C D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,)3
π
（1）求点,,,A B C D 的直角坐标；
（2）设P 为1C 上任意一点，求2
2
2
2
PA PB PC PD +++的取值范围。
【解析】（1）点,,,A B C D 的极坐标为5411(2,),(2,),(2,),(2,)3636ππππ
点,,,A B C D
的直角坐标为1,1)--
（2）设00(,)P x y ；则002cos ()3sin x y ϕ
ϕϕ=⎧⎨
=⎩为参数 2
2
2
2
224440t PA PB PC PD x y =+++=++ 25620sin [56,76]ϕ=+∈
3、(2013课标全国Ⅰ，理23，10分)选修4—4：坐标系与参数方程
已知曲线C 1的参数方程为45cos ,
55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴
建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；
(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．
解：(1)将45cos ,
55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，
即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.
将cos ,sin x y ρθρθ
=⎧⎨=⎩代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. 所以C 1的极坐标方程为
ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.
由2222
810160,20x y x y x y y ⎧+--+=⎨+-=⎩
解得1,1x y =⎧⎨=⎩或0,2.x y =⎧⎨=⎩ 所以C 1与C 2
交点的极坐标分别为π4⎫⎪⎭，π2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
(2013课标全国Ⅱ，理23，10分)已知动点P ，Q 都在曲线C ：2cos ,
2sin x t y t =⎧⎨=⎩(t 为参数)上，对应
参数分别为t ＝α与t ＝2α(0＜α＜2π)，M 为PQ 的中点． (1)求M 的轨迹的参数方程；
(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． 解：(1)依题意有P (2cos α，2sin α)，Q (2cos 2α，2sin 2α)， 因此M (cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．
M 的轨迹的参数方程为cos cos 2,
sin sin 2x y αααα=+⎧⎨=+⎩(α为参数，0＜α＜2π)．
(2)M 点到坐标原点的距离
d ==＜α＜2π)． 当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．
4、（2014课标全国Ⅰ，理23，12分）已知曲线C ：22
149x y +=，直线l ：222x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参
数）（Ⅰ）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；
（Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o 30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值.
解析：(Ⅰ)曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y θ
θ=⎧⎨=⎩ ，直线l 的普通方程为260x y +-=；
（Ⅱ）令点P 坐标为()2cos ,3sin θθ,点P 到直线l 的距离为d
4tan 3d φ⎫
=
==⎪⎝⎭
||2sin 30d
PA d =
=︒
,所以()()max max min min max min ||22|22PA d d PA d d ====== 5、(2014课标全国Ⅱ，理23，10分)在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. （Ⅰ）求C 的参数方程；
（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.
31 (1)
2或
31
(1)
2
-。
所以D点坐标为
