基本初等函数讲义超级全

一、一次函数二、二次函数（1）二次函数解析式的三种形式 ①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠ ②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠ ③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠（2）求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时.宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时.常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点.且横线坐标已知时.选用两根式求()f x 更方便． （①.二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线.对称轴方程为,2x a=-顶点坐标是24(,)24b ac b a a-- ②当0a >时.抛物线开口向上.函数在(,]2b a -∞-上递减.在[,)2ba-+∞上递增.当2b x a =-时.2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时.抛物线开口向下.函数在(,]2ba -∞-上递增.在[,)2b a -+∞上递减.当2bx a=-时.2max 4()4ac b f x a -=． 三、幂函数（1）幂函数的定义一般地.函数y x α=叫做幂函数.其中x 为自变量.α是常数． 过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义.并且图象都通过点(1,1)．（1）根式的概念：如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>.且n N +∈.那么x 叫做a 的n 次方根． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m na a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：1()0,,,m m nn a a m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． （3）运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且.则x 叫做以a 为底N 的对数.记作log a x N =.其中a 叫做底数.N 叫做真数． ②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)xa x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式log 10a =.log 1a a =.log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N .即10log N ；自然对数：ln N .即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>.那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a aM M N N-= ③数乘：log log ()na a n M M n R =∈ ④log a N a N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且（5）对数函数(6)反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A .值域为C .从式子()y f x =中解出x .得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值.通过式子()x y ϕ=.x 在A 中都有唯一确定的值和它对应.那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数.函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数.记作1()x fy -=.习惯上改写成1()y f x -=．（7）反函数的求法①确定反函数的定义域.即原函数的值域；②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=；③将1()x fy -=改写成1()y f x -=.并注明反函数的定义域．（8）反函数的性质①原函数()y f x =与反函数1()y fx -=的图象关于直线y x =对称．②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y fx -=的值域、定义域．③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上.则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上．④一般地.函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数． 例题一、求二次函数的解析式例1.抛物线244y x x =--的顶点坐标是（）A ．（2.0）B ．（2.-2）C ．（2.-8）D ．（-2.-8）例2．已知抛物线的顶点为（ 1.2）.且通过（1.10）.则这条抛物线的表达式为（）A ．()2312y x =-- B ．()2312y x =-+ C. ()2312y x =+- D.()2312y x =-+---例3.抛物线y=的顶点在第三象限.试确定m 的取值范围是（ ） A ．m ＜－1或m ＞2 B ．m ＜0或m ＞－1 C ．－1＜m ＜0 D ．m ＜－1例4.已知二次函数()f x 同时满足条件：（1）()()11f x f x +=-；（2）()f x 的最大值为15；（3）()0f x =的两根立方和等于17求()f x 的解析式二、二次函数在特定区间上的最值问题例5. 当22x -≤≤时.求函数223y x x =--的最大值和最小值．例6．当0x ≥时.求函数(2)y x x =--的取值范围．例7．当1t x t ≤≤+时.求函数21522y x x =--的最小值(其中t 为常数)．222x mx m -++三、幂函数例8.下列函数在(),0-∞上为减函数的是（）Ａ．13y x = Ｂ．2y x = Ｃ．3y x = Ｄ．2y x -=例9.下列幂函数中定义域为{}0x x >的是（） Ａ．23y x = Ｂ．32y x = Ｃ．23y x-= Ｄ．32y x-=例10.讨论函数y ＝52x 的定义域、值域、奇偶性、单调性.并画出图象的示意图．例10．已知函数y ＝42215x x －－．（1）求函数的定义域、值域；（2）判断函数的奇偶性； （3）求函数的单调区间．四、指数函数的运算例11.计算122(2)-⎡⎤-⎣⎦的结果是（ ） A、12C、—12例12.等于（ ） A 、 B 、C 、 D 、例13.若53,83==ba .则b a233-＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿五、指数函数的性质例14.{|2},{|xM y y P y y ====.则M ∩P （） A.{|1}y y > B. {|1}y y ≥ C. {|0}y y > D. {|0}y y ≥ 例15.求下列函数的定义域与值域： （1）442x y -=（2）||2()3x y =例16.函数()2301x y a a a -=+>≠且的图像必经过点 ( )A ．(0.1)B ．(1.1)C ．(2.3)D ．(2.4)例17求函数y=2121x x -+的定义域和值域.并讨论函数的单调性、奇偶性.4416a 8a 4a 2a五、对数函数的运算例18.已知32a=.那么33log 82log 6-用a 表示是（ ）A 、2a -B 、52a -C 、23(1)a a -+ D 、23a a -例19.2log (2)log log a a a M N M N -=+.则NM的值为（ ） A 、41B 、4C 、1D 、4或1 例20.已知732log [log (log )]0x =.那么12x -等于（ ）A 、13B C D 例21.2log 13a <.则a 的取值范围是（ ） A 、()20,1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B 、2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭C 、2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ D 、220,,33⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭五、对数函数的性质例22.下列函数中.在()0,2上为增函数的是（ ）A 、12log (1)y x =+B 、2log y =C 、21log y x =D 、2log (45)y x x =-+ 例23.函数2lg 11y x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的图像关于（ ） A 、x 轴对称B 、y 轴对称C 、原点对称D 、直线y x =对称例23.求证函数)()lg f x x =是（奇、偶）函数。

基本初等函数知识点基本初等函数是指在数学中常见且重要的一类函数，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。

这些函数在数学中广泛应用于各种数学问题和实际应用中，对于学习和理解高等数学和物理等学科具有重要意义。

本文将对这些基本初等函数进行详细介绍。

首先，常数函数是最简单的一个函数，它的函数值始终保持不变。

常数函数的一般形式为f(x)=c，其中c是常数。

常数函数在数学中常用于表示等级和水平等不变的情况。

例如，常用的数学常数π就是一个常数函数，表示圆周长与直径之比。

其次，幂函数是一类形如f(x)=x^n的函数，其中x是变量，n是常数。

幂函数的特点是通过改变幂指数n的大小可以得到不同形状的函数图像。

比如当n为正偶数时，函数图像是一个开口朝上的平滑曲线；当n为正奇数时，函数图像是一个开口朝下的平滑曲线；当n为负数时，函数图像则是一个经过坐标轴原点的曲线。

指数函数是一类形如f(x)=a^x的函数，其中a是常数，且a大于0且不等于1、指数函数的特点是函数值随着自变量的增大而指数级增长或指数级衰减。

当a大于1时，函数图像是一个增长的指数曲线；当0小于a小于1时，函数图像是一个衰减的指数曲线。

对数函数是指数函数的反函数，它表示一些数在一个给定的底数下的指数。

对数函数的一般形式为f(x) = log_a(x)，其中a是常数，且a大于0且不等于1、对数函数和指数函数是一对互逆函数，它们的图像是关于y=x对称的。

三角函数是一类周期函数，包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。

正弦函数的一般形式为f(x) = A*sin(Bx+C)，余弦函数的一般形式为f(x) = A*cos(Bx+C)，正切函数的一般形式为f(x) = A*tan(Bx+C)。

其中A、B、C是常数，分别表示振幅、频率和初相位。

三角函数的图像具有周期性和对称性，常用于描述波动和周期性现象。

反三角函数是三角函数的反函数，它表示一些角度在三角函数中的对应值。

基本初等函数知识点1.函数的定义：函数是一种特殊的关系，它将一个或多个输入数值映射到唯一的输出数值。

函数通常用f(x)来表示，其中x是输入变量，f(x)是输出变量。

函数可以用图形、符号或表格来表示。

2.定义域和值域：函数的定义域是所有可输入的数值的集合，而函数的值域是所有可能的输出数值的集合。

定义域可写作D(f)，值域可写作R(f)。

3.线性函数：线性函数是一种具有常数斜率的函数。

它的形式为f(x) = mx + b，其中m是斜率，b是截距。

线性函数的图形是一条直线。

4.幂函数：幂函数是一种形如f(x) = ax^b的函数，其中a和b是常数。

幂函数的图形通常是一条平滑的曲线。

当b为正偶数时，曲线在x轴的正半轴都是上升的；当b为负偶数时，曲线在x轴的正半轴是下降的。

5.指数函数：指数函数是以常数e为底的函数，它的形式为f(x)=a^x，其中a是指数底数。

指数函数的图形为一条逐渐增长（或逐渐减小）的曲线。

6.对数函数：对数函数是指以常数a为底的对数函数，它的形式为f(x) =log_a(x)，其中a为底数，x为函数的输入值。

对数函数是指数函数的反函数，即f(x) = a^x的反函数。

7.三角函数：三角函数是有关三角形角度与边长之间的关系的函数。

常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

三角函数的图形是周期性的曲线，周期为2π。

8.反函数：反函数是指满足f(f^(-1)(x))=x和f^(-1)(f(x))=x的函数对。

反函数可以通过交换函数的输入和输出得到。

9.复合函数：复合函数是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入的函数关系。

复合函数可以表示为f(g(x))，其中g(x)是一个函数，f(x)是另一个函数。

10.奇偶函数：奇函数是满足f(-x)=-f(x)的函数，而偶函数是满足f(-x)=f(x)的函数。

奇函数的图形关于原点对称，偶函数的图形关于y轴对称。

这些是基本初等函数的一些常见知识点，掌握了这些知识点可以帮助你理解函数的基本概念、性质和图像，为进一步学习更高级的数学知识打下坚实的基础。

§ 2.1.1 指数与指数幕的运算（1）1学习目标1. 了解指数函数模型背景及实用性、必要性；2. 了解根式的概念及表示方法；3. 理解根式的运算性质.问题2 :生物死亡后，体内碳 14每过5730年衰减 一半（半衰期），则死亡t 年后体内碳14的含量Pt与死亡时碳14关系为P （I ）3730 .探究该式意义2J ..学习过程 一、课前准备（预习教材P 48~ P 50，找出疑惑之处） 复习1：正方形面积公式为 _____________ ；正方体的 体积公式为 一 复习2：（初中根式的概念） 如果一个数的平方等于 a,那么这个数叫做a 的 __________ ，记作 ______________________________ ；如果一个数的立方等于 a ，那么这个数叫做 a 的 __________ ，记作 .二、新课导学 探学习探究 探究任务一：指数函数模型应用背景探究下面实例及问题，了解指数指数概念提出的 背景，体会引入指数函数的必要性 . 实例1.某市人口平均年增长率为％, 1990年人口 数为a 万，则x 年后人口数为多少万小结：实践中存在着许多指数函数的应用模型，如 人口问题、银行存款、生物变化、自然科学 . 探究任务二：根式的概念及运算 考察：（2）24，那么 2就叫4的 _________ ；33 27，那么3就叫27的 _________ ； （3）4 81，那么 3就叫做81的 . 依此类推，若x n a ,,那么x 叫做a 的 .新知：一般地，若x n a ,那么x 叫做a 的n 次方根 （n th root ） ，其中 n 1, n 简记：n a .例如：238，则382.反思：当n 为奇数时，n 次方根情况如何 例如：3 27 3 , 3_273,记：x n a .当n 为偶数时，正数的 n 次方根情况 例如：81的4次方根就是 ___________________ ，记：n a .强调：负数没有偶次方根； 0的任何次方根都是0,即 V0 0 .试试：b 4 a ,则a 的4次方根为 ____________ ；b 3 a ，则a 的3次方根为 _______ —计算：若报纸长 50cm 宽34cm,厚，进行对折 x 次后，求对折后的面积与厚度新知：像&a 的式子就叫做根式 （radical ）,这里n叫做根指数（radical exponent ）, a 叫做被开方数 （radicand ）.试试：计算（2 3）2、、n （ 2）n .问题1：国务院发展研究中心在 2000年分析，我国未来20年GDP 国内生产总值）年平均增长率达％, 则x 年后GD 励2000年的多少倍反思：从特殊到一般，（n a ）n 、n /的意义及结果实例2.给一张报纸，先实验最多可折多少次你能 超过8次吗②若0 a 1，则0 a n 1.其中n N*. 结论：（n a）n a.当n是奇数时，n a ；当n是偶数时，n a n |a| a (a 0)a (a 0)%典型例题例1求下类各式的值:(1) 3( a)3; (2) 4( 7)4；（3）6?TT ；(4) 2(a b)2( a b )A.很好B. 较好C.一般D.较差%当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分1. 4（ 3）4的值是（)A. 3B. —3C.3D.812. 625的4次方根是( ).A. 5B. —5C.± 5D.253.化简（2 b）2是（)A. bB. bC. bD.1b4.化简6(a b)6 =5.计算：（3飞）3 =；2孑'7课后作业1.计算：（1）5孑；(2) 37^学习评价探自我评价你完成本节导学案的情况为（）.变式：计算或化简下列各式•（1）「32 ；（2）3a6 .推广：np a mp n a m( a 0).%动手试试练 1.化简 5 2,6 .7 4”3. 6 4 2. 2.计算a3 a 4和a3（ 8），它们之间有什么关系你能得到什么结论练 2.化简2 3 31.5 612 .3.对比（ab）n 前者吗nn ¥，你能把后者归入b二、总结提升%学习小结1. n次方根，根式的概念;2. 根式运算性质.%知识拓展1. 整数指数幕满足不等性质：若a 0,则a n 0.2. 正整数指数幕满足不等性质：①若a 1，则a n 1 ；§ 2.1.1 指数与指数幕的运算(2)上乞二…学习目标 1. 理解分数指数幕的概念； 2. 掌握根式与分数指数幕的互化； 3. 掌握有理数指数幕的运算. 学习过程 一、课前准备 (预习教材P 50~ P 53，找出疑惑之处) 复习1: 一般地，若x na ，则x 叫做a 的 ___________ 其中n 1,n . 简记为： . 像na 的式子就叫做 ________________ ，具有如下 运算性质： (n a)n = _____________ ；戸= ________________ ； np a mp=—一 反思：① 0的正分数指数幕为 __________； 0的负分数指数 幕为 .② 分数指数幕有什么运算性质小结：规定了分数指数幕的意义后，指数的概念就从整 数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幕的运 算性质也同样可以推广到有理数指数幕. 指数幕的运算性质： rrr sa • a a (a r )a 0,b 0, r,s Q ) _ rs；r r s(ab) a a探典型例题2例1求值：27乜16 4■3・2 25 3()3. 49复习2:整数指数幕的运算性质. (1) a m |a n _________ ； (2) (a m )n _________ : (3) (ab)n 二、新课导学 探学习探究 探究任务：分数指数幕 ____ _____________ 10引例：a >0 时，5a 10 Q (a 2 )5 a 2 a 5 , 则类似可得3 a 2________________ ； ___ —22好敢a 3)3 a 3，类似可得罷 .变式：化为根式新知: m a 7 m a n规定分数指数幕如下 n a m (a 0,m, n N ,n 1)； 1 1 * n r (a 0,m,n N ,n 1). a 例2用分数指数幕的形式表示下列各式 (1) b 2| .b ；(2) b 3； (3) (b 0):3b 4b.m a 7 试试： (1) 2齐 a m将下列根式写成分数指数幕形式: ；盲 —(a0,m--------- ?).例3计算(式中字母均正)：211 11 5(1) (3a^b°)( 8a 2b') ( 6a 彗)； 1 3(2) (m 帝)16.2 2(2)求值：83 ；55 ；小结：例2,运算性质的运用；例 3,单项式运算. 例4计算： 3a（a 司3、a 43（2m 2n 5）10 （416 332） 7学习评价（i）(2) (3) 0）； 1 23 6 m n ) (m,n N );4 64.%自我评价你完成本节导学案的情况为 A.很好B. 较好 C. %当堂检测（时量：5分钟 1.若a 0 ,且m,n 为整数， 是（ ）.（ ） 一般D. 较差 满分：10分）计分： 则下列各式中正确的ma 下m nam nA. a a mnC. a32.化简25°的结果是 A. 5 B. 15 C. 25 B. D.ma an1 amna0 naD. 1253.计算 .2 1 2的结果是（ 小结： 正指数，化根式为分数指数幕，对含有指数式或根 式的乘除运算，还要善于利用幕的运算法则 . 在进行指数幕的运算时，一般地，化指数为 A .2 B2 C.24.化简27 ^ =反思： ①的结果 3m5.若 10m 2, 10n 4，则 10结论：无理指数幕.（结合教材P 53利用逼近的思想 理解无理指数幕意义） …迭垃.….课后作业 1.化简下列各式： (1) ②无理数指数幕a （a 0,是无理数）是一个确定 的实数.实数指数幕的运算性质如何 (唧; 49(2)2. 3%动手试试 练1•把 8 5化成分数指数幕.3 练2.计算：（1）詞岡历；（2） 6；（曇孑）4 * 2. 计算：—牯_8临_1阻^算: 3a 2 23 ab 43a 4 1 ' a二、总结提升 %学习小结 ①分数指数幕的意义；②分数指数幕与根式的互 化；③有理指数幕的运算性质 . %知识拓展 放射性元素衰变的数学模型为： 中t 表示经过的时间，m o 表示初始质量，衰减后的 质量为m为正的常数.m m °e 1，其 § 2.1.1 指数与指数幕的运算（练习)'7学习目标J H «r ・ ・m H ruiini ・・m n m ・・m i «m n M ・・r1. 掌握n 次方根的求解；2. 会用分数指数幕表示根式；3. 掌握根式与分数指数幕的运算1- 学习过程—i ■ — — -— — —ll — - - —— —一、课前准备(复习教材P 48~ P 53，找出疑惑之处) 复习1：什么叫做根式运算性质像n a 的式子就叫做 ________________ ，具有性质:(n.a )n = ___________ ； - a =_叩尹=——小结：① 平方法；② 乘法公式；③ 根式的基本性质nP T n a m (a >0)等. 注意，a > 0十分重要，无此条件则公式不成立 例如，6( 8)23_8.1 1变式：已知a 2 a 23，求：1133(1)a 2 a 2 ； (2) a 2 a 2.复习2：分数指数幕如何定义运算性质mm① a"________ ； a n .其中 a 0,m, n N *,n 1② a r |a s ___________ ； (a r )s __________ (ab)s ______ . ___ 复习3:填空.二、新课导学小结：① 方法：摘要T 审题；探究 T 结论;1 立方和差公式： a 3 b 3 (a b)(a2 ab b 2)； a 3b 3 (a b)(a 2ab b 2).(1) a a 1 ；(2) a 2 a 2 ；3(3) / 3a 2(3/ 1 1・_a 2a 2补充：立方和差公式 a b (ab)(a 2 ab b 2).变式：n 次后例1已知 时,|x|(X 0) (X 0)② 求下列各式的值:3歹=_6万=vx^=_416=_15_32 =6a 2b 4 =_681 =例2从盛满1升纯酒精的容器中倒出 1升，然后用3 水填满，再倒出1升，又用水填满，这样进行5次,3则容器中剩下的纯酒精的升数为多少求下列各式的值:解应用问题四步曲：审题T建模T解答T作答动手试试(a b)3 a3 3a* 1 2b 3ab2 b3.1. 化简:1 1 1 1(x2 y2) (x4 y4).y学习评价练2.(1) 已知x+x-1 =3，求下列各式的值.1x21X2；(2)3x2练 3. f(x) x ,X1 x20( )一般D. 较差满分：10分)计分：探自我评价你完成本节导学案的情况为A.很好B. 较好探当堂检测(时量：1. 92的值为(C.5分钟).C. 3A. ,3B. 3 332. _ a ( a>0)的值是a 5 a4A. 1B. aC.3.下列各式中成立的是(1A. (—)7 n7m7C. 4 x3y34.化简(25)42 1(x32 _3yrD. 7291a* D.).17a10T9 3315.化简(a3b2)( 3a2b3) (^a6b6)=讥上,课后作业b 2, 求飯—2a 3x―a"6的值.1.已知x a 3§ 2.1.2 指数函数及其性质(1)学习目标1. 了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现 实生活及其他学科的联系；2. 理解指数函数的概念和意义；3. 能画出具体指数函数的图象，掌握指数函数的 性质(单调性、特殊点)探究任务二：指数函数的图象和性质引言：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出 研究指数函数性质的内容和方法吗 回顾：研究方法：画出函数图象，结合图象研究函数性质. 研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大 (小)值、奇偶性.作图：在同一坐标系中画出下列函数图象:-、课前准备(预习教材P 54~ P 57，找出疑惑之处)复习1:零指数、负指数、分数指数幕怎样定义的 (1) a 0 : (2) a n:mm(3) a n: "Fa.其中 a 0,m, n N ,n1复习2:有理指数幕的运算性质. (1) _______________ a|a ；( 2)(a )___________________ ； (3) (ab)n二、新课导学 探学习探究 探究任务一：指数函数模型思想及指数函数概念 实例：A. 细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2 次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个， 如此下去，如果第x 次分裂得到y 个细胞，那么细 胞个数y 与次数x 的函数关系式是什么B. —种放射性物质不断变化成其他物质，每经 过一年的残留量是原来的 84%，那么以时间x 年为 自变量，残留量y 的函数关系式是什么 讨论：上面的两个函数有什么共同特征底数是什么 指数是什么新知：一般地，函数 y a x (a 0,且a 1)叫做指数 函数(exponential function )，其中 x 是自 变量,函数的定义域为R.反思：为什么规定a > 0且a 工1呢否则会出现什么 情况呢 讨论：1(1) 函数y 2x 与y q )x 的图象有什么关系如何 由y 2x的图象画出y G )x 的图象(2) 根据两个函数的图象的特征，归纳出这两个 指数函数的性质.变底数为3或1后呢3探典型例题 例1函数f(x)a x ( a 0,且a 1)的图象过点(2,),求 f (0) , f( 1), f(1)的值.试试：举出几个生活中有关指数模型的例子学习过程1 x (2)，比较大小： a 0.80",b 0.80：c 02.50.2 1.61 , 0.4 ,2 , 2.5 .2. 探究：在［m n ］上，f(x) a x (a 0且a 1)值域二、总结提升 %学习小结 ①指数函数模型应用思想；②指数函数概念；③指 数函数的图象与性质；③单调法 . %知识拓展因为y a x (a 0,且a 1)的定义域是R,所以 y a"〉(a 0,且a 1)的定义域与f (x)的定义域 相同.而y (a x ) (a 0,且a 1)的定义域，由 y (t)的定义域确定.小结：①确定指数函数重要要素是 ②待定系数法•学习评价例2比较下列各组中两个值的大小:0.60.5(1) 2 ,2 ;(3) 2.10^,0.5Z121 5(2) 0.9 ,0.9 ;(4)2 3与1.( ). 较差5分钟满分：10分)计分： 3)a x 是指数函数，则a 的值为%自我评价你完成本节导学案的情况为A.很好B. 较好C. 一般D.%当堂检测(时量： 1. 函数 y (a 2 3a ( ). A. 1 B. 2 2. 函数 f (x )= ( ). C. 12或2 D. 任意值1 ( a >0, a z 1)的图象恒过定点 小结：禾U 用单调性比大小；或间接利用中间数 探动手试试练1. 已知下列不等式，试比较 m n 的大小:(1)n； (2)m1.1 n1.1 .A. (0,1)B.C. (2,1)D. 3. 指数函数①f(x)(0,2) (2,2)心® 1f XX1[5.函数y1.求函数y =-的定义域. 1练2. (1) (2) 1.2,的定义域为xxm ，②g(x) n 满足不等式).(2.5)5 .24.比较大小：(2.5)30 m n 1，则它们的图象是(§ 2.1.2 指数函数及其性质(2) 说』学习目标J H «r ・・ m n rniini r1. 熟练掌握指数函数概念、图象、性质；2. 掌握指数型函数的定义域、值域，会判断其单调性；3. 培养数学应用意识.小结：学会读题摘要；掌握从特殊到一般的归纳法试试：2007年某镇工业总产值为100亿，计划今后每年平均增长率为8%,经过x年后的总产值为原来的多少倍多少年后产值能达到120亿学习过程一、课前准备(预习教材只7~ P60，找出疑惑之处)复习1：指数函数的形式是_______________________ 其图象与性质如下小结：指数函数增长模型.设原有量N,每次的增长率为p,则经过x次增长后的总量y= ____ 我们把形如y ka x(k R,a 0,且a 1)的函数称为指数型函数.例2求下列函数的定义域、值域：1 (1)y 2x 1；( 2)y( 3)y 0.4厂1.x 1 xy 2， y (-)x 1 xy 10 , y ().10思考：指数函数的图象具有怎样的分布规律小结：单调法、基本函数法、图象法、观察例1我国人口问题非常突出，在耕地面积只占世界7%勺国土上，却养育着22%勺世界人口.因此，中国的人口问题是公认的社会问题. 2000年第五次人口普查，中国人口已达到13亿，年增长率约为1%为了有效地控制人口过快增长，实行计划生育成为我国一项基本国策.(1)按照上述材料中的1%勺增长率，从2000年起，x年后我国的人口将达到2000年的多少倍(2)从2000年起到2020年我国人口将达到多少试试：求函数y (2 x *的定义域和值域，并讨论其单调性.y G)x5变式：单调性如何2%动手试试练1.求指数函数y 2x 1的定义域和值域，并讨论其单调性•练2.已知下列不等式，比较m,n的大小.(1) 3m3n；(2) m0.60.6n;(3) m a a n (a 1)；(4) m a a n (0 a 1)练3. —片树林中现有木材30000吊，如果每年增长5%经过x年树林中有木材y m，写出x，y间的函数关系式，并利用图象求约经过多少年，木材可以增加到40000吊.& 学习评价探自我评价你完成本节导学案的情况为( ).A.很好B. 较好C. 一般D. 较差探当堂检测(时量：5分钟满分：10分)计分：1. 如果函数y=a x (a>0, 1)的图象与函数y=b x(b>0,b z 1)的图象关于y轴对称，则有( ).A. a>bB. a<bC. ab=1D. a与b无确定关系2. 函数f(x)=3 —x- 1的定义域、值域分别是().A. R, RB. R, (0,)C. R, ( 1, )D.以上都不对3. 设a、b均为大于零且不等于1的常数，则下列说法错误的是( ).A. y=a x的图象与y=a-x的图象关于y轴对称B. 函数f(x)=a1-x (a>1)在R上递减C. 若a 2 >a 2 1，贝U a>1D. 若2x>1，则x 14. 比较下列各组数的大小：1 3_________ (0.4))；______ 血0.75.35. 在同一坐标系下，函数y=a x, y=b x, y=c x, y=d x的图象如右图，贝U a、b、c、d、1之间从小到大的顺序是 .…课后作业21.已知函数f(x)=a— ------------ (a€ R»，求证：对任2x 1 何a R , f (x)为增函数.二、总结提升%学习小结1. 指数函数应用模型y ka x (k R,a 0且a 1)；2. 定义域与值域；2.单调性应用(比大小).%知识拓展形如y a f(x) (a 0,且a 1)的函数值域的研究，先求得f (x)的值域，再根据a t的单调性，列出简单的指数不等式，得出所求值域，注意不能忽视y a f(x) 0.而形如y (a x) (a 0,且a 1) 的函数值域的研究，易知a x 0，再结合函数(t)进行研究.在求值域的过程中，配合一些常用求值域的方法，例如观察法、单调性法、图象法等x2.求函数y 2厂」的定义域和值域，并讨论函数2x 1的单调性、奇偶性.§ 221 对数与对数运算(1)学习目标1. 理解对数的概念；2. 能够说明对数与指数的关系；3. 掌握对数式与指数式的相互转化 .新知：一般地，如果a x N (a 0,a 1)，那么数x 叫做以a为底 N 的对数(logarithm ).记作x log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.试试：将复习2及问题中的指数式化为对数式弋$学习过程-■ .>= ” ■- -■ - -■ .■- » ■一、课前准备(预习教材P 62~ P 64，找出疑惑之处)复习1：庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭 (1 )取4次，还有多长 (2 )取多少次，还有尺 新知：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数(common logarithm )，并把常用对数log 10 N 简记 为lg N 在科学技术中常使用以无理数 e= ....... 为底的对数，以e 为底的对数叫自然对数，并把自然 对数log e N 简记作In N试试：分别说说lg5、、ln10、In3的意义.复习2：假设2002年我国国民生产总值为 a 亿元, 如果每年平均增长 8%那么经过多少年国民生产 是2002年的2倍(只列式)二、新课导学 探学习探究 探究任务：对数的概念 问题：截止到1999年底，我国人口约13亿.如果 今后能将人口年平均增长率控制在 1%,那么多少年 后人口数可达到18亿，20亿，30亿反思：(1) 指数与对数间的关系a 0, a 1 时，a x N _____________ . (2) 负数与零是否有对数为什么(3) 也1 _________ , log a a ______ . ___ 探典型例题例1下列指数式化为对数式，对数式化为指数式371a(1) 5 125 ; (2) 2; (3) 327 ;128(4) 100.01 ； (5) log ! 325 ；2(6) = 3 ； (7) In 100=.讨论：(1)问题具有怎样的共性(2) 已知底数和幕的值，求指数 *怎样求呢例如: 由 1.01x m ,求 x .变式: log 1 322独立发明了对数例2求下列各式中x 的值：2（1）log 64 X - ； （ 2） Iog x 8 6 ；3（3）lg x 4 ； （ 4） In e 3 x. 探自我评价 你完成本节导学案的情况为 （A.很好B .较好 C. 一般 D. 较差探当堂检测 （时量： 5分钟 满分: 10分）计分 1.若 log 2 x 3，则x ( ).A. 4B. 6C. 8D. 92. log( m ,-n)(.n 1■ n)= (). A. 1 B.-1 C .2 D.-23.对数式log a 2(5 a ） b 中，实数a 的取值范围是( )A .( ,5)B • (2,5) C. (2,)D• (2,3儿(3,5)4.计算：log: 2 1(3 2.2) .5.若 IogxG/2 1)1，贝y x= _________ ，若log ^8 y ，贝V y = .7®课后作业1. 将下列指数式化成对数式，对数式化成指数式 . 551 a(1) 3 243 ; (2) 2 一 ; (3) 4 3032(4) (-)m 1.03 ;(5) log/64 ；22二、总结提升 探学习小结 ①对数概念；②lg N 与 求对数值探知识拓展对数是中学初等数学中的重要内容，那么当初是 谁首创“对数”这种高级运算的呢在数学史上，一 般认为对数的发明者是十六世纪末到十七世纪初 的苏格兰数学家——纳皮尔（ Napier , 1550-1617 年）男爵.在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳 中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的 热门学科.可是由于当时常量数学的局限性，天文 学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵 时间.纳皮尔也是当时的一位天文爱好者，为了简 化计算，他多年潜心研究大数字的计算技术，终于 2.计算：(1) log 927 ； (2) log 3 243 ； (3) log^81 ；（3）叫、3）（23) ；(4) log 354625.6 log 2 1287 ； (7) log 3 27 a .练2.探究log a a nlog a Na小结：注意对数符号的书写, 与真数才能构成整体 小结：应用指对互化求 x .探动手试试 练1.求下列各式的值.1（1） Iog 5 25 ； （2） log 2 ； （3） |g 10000.16ln N;③指对互化；④如何§§ 221 对数与对数运算（2）'v 学习目标1. 掌握对数的运算性质，并能理解推导这些法则 的依据和过程；2. 能较熟练地运用对数运算法则解决问题 ..1学习过程—1 ■ 1-1~.—— -r-rt™!-.-—.~v —~?rj —1— -.~w™—.-1；—一、课前准备（预习教材P 64~ P 66，找出疑惑之处） 复习1：（1 ）对数定义：如果a x N （a 0,a 1），那么数 x 叫做 ___________________ ，记作 ^（2）指数式与对数式的互化：a x N^自然语言如何叙述三条性质 性质的证明思路（运 用转化思想，先通过假设，将对数式化成指数式， 并利用幕运算性质进行恒等变形；然后再根据对数 定义将指数式化成对数式.） 探典型例题例1用log a x , log a y , log a z 表示下列各式: (1 ) log a ；( 2 logaf *复习2:幕的运算性质. （1）a^a n __________ ；（2）（a m ）n ______ （3） （ab ）n复习3：根据对数的定义及对数与指数的关系解答： （1 ）设 log a 2 m ， log a 3 n ，求 a m n； （2）设 log a M m ， log a N n ，试利用 m 、n 表 示 log a （M • N ）. 例2计算： (1) log 5 25 ； (3) log 2 (48 25)；(2) log o.4 1 ； (4) lg 9100 .二、新课导学 探学习探究 探究任务：对数运算性质及推导 问题：由a p a q a p q,如何探讨log a MN 和log a M 、 log a N 之间的关系 问题：设 log a M p , log a N q , 由对数的定义可得：M=a p , N =a q* 二 MN a p a q =a p q , log a M 時p +q ,即得 log a MIN log a M + log a N 根据上面的证明，能否得出以下式子 如果 a > 0 , a 1 , M > 0 , N > 0 ，则 (1 ) log a (MN) log a M log a N ； (2) log a M log a M log a N ； N(3) log a M n nlog a M (n R). 探究：根据对数的定义推导换底公式 log a b 3必log c a（a 0 ,且 a 1 ； c 0 ,且 c 1 ； b 0 ）.试试：2000年人口数13亿，年平均增长率 1 %, 多少年后可以达到18亿%动手试试反思:1 (2) Iog2 Iog 1 22 2 31 5 -—ig — 52 3① 对数运算性质及推导；②运用对数运算性质；③ 换底公式.探知识拓展① 对数的换底公式log a N② 对数的倒数公式Iog a b2. 设a 、b 、c 为正数，且3a 4b 6c ，求证:c a 2b③ 对数恒等式：log a nN n log a N ,练 1•设 Ig2 a , lg3 b ，试用 a 、b 表示 log 512. log a mN " - Iog a N , Iog a^Iog bd Iog ca 1 . m1学习评价探自我评价你完成本节导学案的情况为 A.很好B. 较好C. 一般D.（ ） 较差 计分：变式：已知 Ig2 =, Ig3 =，求 Ig6、Ig12. Ig 3 的 值. A . log 2(3 5) Iog 2 3 Iog 2 5 B . 2iog 2( 10) 2log 2( 10)C. log 2(3 5)log 2^ log 2 5D. 3iog 2( 5) Iog 2 532.女口果 Igx =Iga +3Igb — 5Igc ,那么( 探 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分） 1.下列等式成立的是（ ） 练2.运用换底公式推导下列结论 (1)Iog a mb n — Iog ab ； m1⑺Iogab 研C. x ab 5 cD. x =a +b 3— 3. 若2lg y 2x Ig x Ig y ,A . yxB . y2xC. y 3x D . y 4x4. 计算： (1) log 9 3log 9 27A . x =a +3b —c3那么（B 3abB x —— 5c3c 5.计算：Ig 练 3.计算：(1)Ig14 Ig 243 Ig9 '2Ig7 Ig7 Ig18；(2)课后作业---- ——1 _1_-_ _• - •-1. 计算：__(1) Ig 习 Ig8 3lg 10lg1.2 (2) lg 22 Ig2 Ig5 Ig5 .log b N log b a 1 log b a .§ 221 对数与对数运算（3）探典型例题例1 20世纪30年代，查尔斯.里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级M其计算公式为：Mlg A IgA c，其中A是被测地震的最大振幅，A e是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中距离造成的偏差）.（1）假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20,此时标准地震的振幅是，计算这次地震的震级（精确到）；反思:①P和t之间的对应关系是----- 对应;的函数为.%动手试试（2）5级地震给人的振感已比较明显，计算级地震最大振幅是5级地震最大振幅的多少倍（精确到1）左心学习目标1. 能较熟练地运用对数运算性质解决实践问题；2. 加强数学应用意识的训练，提高解决应用问题的能力.二学习过程一、课前准备（预习教材P66~ P69，找出疑惑之处）复习1：对数的运算性质及换底公式.如果a > 0，a 1，M> 0，N > 0 ，则(1)log a(MN)(2). M 叽一N(3)log a M n换底公式log a b _________ . ______ 复习2：已知log23 = a，log a7 = b,用a，b 表示log 42 56.小结：读题摘要T寻找数量关系T利用对数计算.例2当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”•根据些规律，人们获得了生物体碳14含量P与生物死亡年数t之间的关系.回答下列问题：（1）求生物死亡t年后它机体内的碳14的含量P, 并用函数的观点来解释P和t之间的关系，指出是我们所学过的何种函数（2）已知一生物体内碳14的残留量为P,试求该生物死亡的年数t，并用函数的观点来解释P和t 之间的关系，指出是我们所学过的何种函数（3）长沙马王墓女尸出土时碳14的余含量约占原始量的%试推算古墓的年代复习3：1995年我国人口总数是12亿，如果人口的年自然增长率控制在％，问哪一年我国人口总数将超过14亿（用式子表示）、新课导学②P关于t的指数函数P则t关于P练1.计算：(1) 51叽3；(2) log 4 3 log 9 2 log ! 4 32 .2自我评价你完成本节导学案的情况为( ).A.很好B. 较好C.一般D较差当堂检测(时量：5分钟满分：10分)计分：1._log5( a)25(a* 0) 化简得结果是( ).A. —aB. 2 aC. | aID. a2.若log 7 [ log 3 (log 2X)]：=0，则1x2 =( ).A. 3B. 2.3C.22D. 3.23.已知3ab5 m ,且丄a1-2 , b则m之值为( ).A. 15B..15 C . ±、15D.2254.若3a= 2 ,则log 38 - -2log 36i用a表示为5.已知lg20.3010,lg1.0718 0.0301，则练2.我国的GDP年平均增长率保持为％约多少年后我国的GDF在2007年的基础上翻两番lg2.5 ______ ；210_________'7课后作业1.化简：2 2 2(1)lg5 lg8 lg5lg20 (lg2)；3(2)Iog25+log 4 0.2 log5 2+log 25O.5 .二、总结提升探学习小结1. 应用建模思想(审题T设未知数T建立之间的关系T求解T验证)；2. 用数学结果解释现象.x 2•若lg x y lg x 2y lg 2 lg x lg y ,求一y 的值.x与y探知识拓展在给定区间内，若函数f(x)的图象向上凸出，则函数f(x)在该区间上为凸函数，结合图象易得到x1 x2) f(x1) f(x2)；f( )2 2在给定区间内，若函数 f (x)的图象向下凹进，则函数f(x)在该区间上为凹函数，结合图象易得到f( X1 X22f(X1) f(X2)2§ 2.2.2 对数函数及其性质(1)学习目标1. 通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；2. 能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；3. 通过比较、对照的方法，弓I导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数函数的性质，培养数形结合的思想方法，学会研究函数性质的方法•.学习过程一、课前准备(预习教材P70~ P72，找出疑惑之处)1复习1:画出y 2x、y (—)x的图象，并以这两2 个函数为例，说说指数函数的性质•注意辨别，如：y 2log2x, y log5(5x) 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数；对数函数对底数的限制(a 0,且a 1).探究任务二：对数函数的图象和性质问题：你能类比前面讨论指数函数性质的思路，提出研究对数函数性质的内容和方法吗研究方法：画出函数图象，结合图象研究函数性质. 研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶性.试试：同一坐标系中画出下列对数函数的图象.y log2x ；y log 0.5 x.复习2：生物机体内碳14的“半衰期”为5730年, 湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时，碳14的残余量约占原始含量的%试推算马王堆古墓的年代•(列式)二、新课导学探学习探究探究任务一：对数函数的概念探典型例题例1求下列函数的定义域：2(1) y log a x ； (2) y log a(3 x)；讨论：与的关系(对每一个碳14的含量P的取值，通过对应关系t log ! P ,生物死亡年数t都有唯一的值与之对57302应，从而t是P的函数)新知：一般地，当a>0且a* 1时，函数y log a x叫做对数函数(logarithmic function) ，自变量是x ；函数的定义域是(0, +8).反思：对数函数定义与指数函数类似，都是形式定义，变式：求函数y - log2(3 x)的定义域.例2比较大小：(1) ln3.4, ln8.5 ；(2) log0.32.8, log0.32.7 ；二、总结提升% 1. 学习小结对数函数的概念、图象和性质； 2.求下列函数的定义域：2. 求定义域；(1) y ,log 2(3x 5) ； (2) y ,log °.54x 33. 利用单调性比大小.% 知识拓展对数函数凹凸性：函数 f （x ） log a X, （a 0,a 1）, X 1, X 2是任意两个正实数.当 a 1 时，f （X1）f （X2）f （7）；2 2 当 o a 1 时，f （X1）f（X2）f （7）.2 2^学习评价%自我评价你完成本节导学案的情况为（）.(3) log a 5.1, log a 5.9. A.很好B. 较好C. 一般D. 较差探 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1.当a >1时，在同一坐标系中，函数y a x 与log 2 x (x > 1)的值域为( ).2 log a x 的图象是（）.2.函数y 小结：利用单调性比大小；注意格式规范 %动手试试 练1.求下列函数的定义域. （1）y log o.2（ X 6） ； （2） y 3 log 2X —1 . 练2.比较下列各题中两个数值的大小 . (1) log 23和log 2 3.5 ；(2) log 0.34和 log °.20.7 ； (3) log 0.71.6和 log o.7 1.8 ； (4) log ? 3和 Iog 3 2 . A. (2, )B. ( ,2)C. 2,D. 3,3.不等式的log 4 x1 解集是 ().2A. (2, )B. (0,2)r 11 B. (一， ) D.2(0-) 24.比大小：(1) log 6 log 76； (2) loglog5.函数 y log (x-!)(3 -x ）的定义域是:7,课后作业1.已知下列不等式， 比较正数m n 的大小：(1) log s m K log 3 n； (2) log o .3 m > log 0.3n ； (3) log a m o log a n(a > 1)2・§ 2.2.2 对数函数及其性质（2）1学习目标1. 解对数函数在生产实际中的简单应用；2. 进一步理解对数函数的图象和性质；3. 学习反函数的概念，理解对数函数和指数函数互为反函数，能够在同一坐标上看出互为反函数的两个函数的图象性质•学习过程一、课前准备（预习教材P72- P73，找出疑惑之处）复习1 ：对数函数y log a x（a 0,且a 1）图象和性质•复习2:比较两个对数的大小.(1)log io7 与log io12 ； (2) log o.5 0.7 与log o.5 0.8.数的自变量新的函数的因变量.我们称这两个函数为反函数（in verse function ）例如：指数函数y 2x与对数函数y log2x互为反函数.试试：在同一平面直角坐标系中，画出指数函数y 2x及其反函数y log2x图象，发现什么性质反思：（1）如果巳（冷』0）在函数y 2x的图象上，那么F0关于直线y x的对称点在函数y log2x的图象上吗为什么（2 ）由上述过程可以得到结论：互为反函数的两个函数的图象关于_______________ 对称.探典型例题例1求下列函数的反函数：（1）y 3x；（2）y log a（x 1）.复习3:求函数的定义域(1) y(2) y log a(2x 8)1 log3 2x二、新课导学探学习探究探究任务：反函数问题：如何由y 2x求出x小结：求反函数的步骤（解x T习惯表示T定义域）变式：点（2,3）在函数y log a（x 1）的反函数图象上，求实数a的值.反思：函数x log2 y由y 2x解出，是把指数函数y 2x中的自变量与因变量对调位置而得出的.习惯上我们通常用x表示自变量，y表示函数，即写为y log2 x.新知：当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新函数的自变量，而把这个函例2溶液酸碱度的测量问题：溶液酸碱度pH的计算公式pH lg［ H ］，其中［H ］表示溶液中氢离。

基本初等函数知识点一、函数的定义和性质函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素对应到另一个集合中的唯一元素。

函数通常用f(x)表示，其中x是自变量，f(x)是因变量。

函数有以下性质：1. 定义域和值域：函数的定义域是所有可输入的自变量的集合，值域是所有对应的因变量的集合。

2. 奇偶性：一个函数可以是奇函数或偶函数，奇函数满足f(-x)=-f(x)，偶函数满足f(-x)=f(x)。

3. 单调性：函数可以是单调递增或单调递减的。

单调递增函数满足当x1小于x2时，f(x1)小于f(x2)；单调递减函数则相反。

二、常见的基本初等函数1. 幂函数：指数函数是形如y=x^n的函数，其中n是一个实数。

根据n的不同取值，幂函数可以分为多种情况，如正幂函数、负幂函数、倒数函数等。

2. 指数函数：指数函数是以指数为自变量的函数，常见的指数函数有以e为底的自然指数函数（y=e^x）和以10为底的常用对数函数（y=log(x)）。

3. 对数函数：对数函数是指以某个正实数为底的函数，常见的对数函数有以e为底的自然对数函数（y=ln(x)）和以10为底的常用对数函数。

4. 三角函数：三角函数是以角度或弧度为自变量的函数，常见的三角函数有正弦函数（y=sin(x)）、余弦函数（y=cos(x)）、正切函数（y=tan(x)）等。

5. 反三角函数：反三角函数是三角函数的逆函数，常见的反三角函数有反正弦函数（y=arcsin(x)）、反余弦函数（y=arccos(x)）、反正切函数（y=arctan(x)）等。

三、基本初等函数的图像和性质1. 幂函数的图像与性质：平方函数（y=x^2）的图像是一个开口上的抛物线，立方函数（y=x^3）的图像则是一个S形曲线。

幂函数的性质与指数n的奇偶性、正负有关。

2. 指数函数的图像与性质：自然指数函数（y=e^x）具有递增的特点，其图像是一条通过原点且向上增长的曲线。

常用对数函数（y=log(x)）的图像则是一条斜率逐渐减小的曲线。

基本初等函数第一讲 幂函数1、幂函数的定义一般地，形如y x α=（x ∈R ）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数.如11234,,y x y x y x -===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.注意：y x α=中，前面的系数为1，且没有常数项2、幂函数的图像（1）y x = （2）12y x = （3）2y x = （4）1y x -= （5）3y x =3、幂函数的性质（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因：11x=）；（2）0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸；（3）0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．分数指数幂概念 有理指数幂运算性质(0,,)r s r s a a a a r s Q +=>∈；()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈(0,,*,1)a m n N n >∈>且 ()(0,0,)r r r ab a b a b r Q =>>∈第二讲 指数函数1、指数（1）n 次方根的定义若x n =a ，则称x 为a 的n 次方根，“n”是方根的记号.在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0的奇次方根是0；正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，0的偶次方根是0，负数没有偶次方根.（2）方根的性质①当n 为奇数时，n n a =a . ②当n 为偶数时，n n a =|a |=⎩⎨⎧<-≥).0(),0(a aa a（3）分数指数幂的意义①a nm =n m a （a ＞0，m 、n 都是正整数，n ＞1）. ②an m -=nm a1=nma1（a ＞0，m 、n 都是正整数，n ＞1）.2、指数函数的定义一般地，函数xy a =（a ＞0且a ≠1）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R . 说明：因为a ＞0，x 是任意一个实数时，xa 是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R .n mnm a a=nmn m nm aa a1＝=-000,0xx a a x a ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩x当时,等于若当时,无意义若a ＜0，如1(2),,8xy x x =-=1先时,对于=等等,6在实数范围内的函数值不存在. 若a =1, 11,xy == 是一个常量， 5,,3,31x x x a y x y y +===+1xx为常数,象y=2-3,y=2等等, 不符合(01)x y a a a =>≠且的形式,所以不是指数函数.3、 指数函数的图像及其性质（1）底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y 轴对称.（2）在[,]x a b f x a 上,()=（a ＞0且a ≠1）值域是[(),()][(),()];f a f b f b f a 或 （3）若0,x f x f x x ≠≠∈则()1;()取遍所有正数当且仅当R;（4）对于指数函数()xf x a =（a ＞0且a ≠1），总有(1);f a =（5）当a ＞1时，若1x ＜2x ，则1()f x ＜2()f x ；第三讲 对数函数1、 对数（1）对数的概念一般地，若(0,1)xa N a a =>≠且，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =a 叫做对数的底数，N 叫做真数.如：24416,2log 16==则，读作2是以4为底，16的对数. 1242=，则41log 22=，读作12是以4为底2的对数. （2）指数式与对数式的关系：a b =N ⇔log a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化.（3）对数运算性质:①log a （MN ）=log a M +log a N . ②log a NM =log a M －log a N . ③log a M n=n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1） ④对数换底公式：log b N =bNa a log log （a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0）. （4）两类对数① 以10为底的对数称为常用对数，10log N 常记为lg N .② 以无理数e=2.71828…为底的对数称为自然对数，log e N 常记为ln N .以后解题时，在没有指出对数的底的情况下，都是指常用对数，如100的对数等于2，即lg1002=.2、对数函数的概念一般地，我们把函数log a y x =（a ＞0且a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 3、对数函数的图象及其性质a <11))底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称.。

一、一次函数 一次函数k ;b 符号图象性质y 随x 的增大而增大 y 随x 的增大而减小二、二次函数1二次函数解析式的三种形式①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠2求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时;宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大小值有关时;常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点;且横线坐标已知时;选用两根式求()f x 更方便． 3二次函数图象的性质图像定义域 对称轴顶点坐标 值域单调区间,2b a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭递减,2b a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭递增 ,2b a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭递增,2b a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭递减 ①.二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线;对称轴方程为,2bx a =-顶点坐标是24(,)24b ac b a a-- ②当0a >时;抛物线开口向上;函数在(,]2b a -∞-上递减;在[,)2b a -+∞上递增;当2bx a =-时;2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时;抛物线开口向下;函数在(,]2ba -∞-上递增;在[,)2b a -+∞上递减;当2b x a=-时;2max 4()4ac b f x a -=．三、幂函数 1幂函数的定义一般地;函数y x α=叫做幂函数;其中x 为自变量;α是常数． 2幂函数的图象过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义;并且图象都通过点(1,1)． 四、指数函数1根式的概念：如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>;且n N +∈;那么x 叫做a 的n 次方根．2分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,mn m naa a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：11()()(0,,,m m m nn n a a m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 3运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 4指数函数 函数名称 指数函数定义函数(0x y a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象定义域 值域过定点 图象过定点(0,1);即当0x =时;1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的变化情况xa y =xy(0,1)O1y =x a y =xy(0,1)O1y =a 变化对图象的影响在第一象限内;a 越大图象越高；在第二象限内;a 越大图象越低．五、对数函数 1对数的定义①若(0,1)x a N a a =>≠且;则x 叫做以a 为底N 的对数;记作log ax N =;其中a 叫做底数;N 叫做真数． ②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x ax N a N a a N =⇔=>≠>．2几个重要的对数恒等式log 10a=;log 1aa =;logb aa b =．3常用对数与自然对数 常用对数：lg N ;即10logN ；自然对数：ln N ;即log eN 其中 2.71828e =…．4对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>;那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-=③数乘：log log ()n aan M M n R =∈ ④log a N a N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b =≠∈⑥换底公式：log log (0,1)log b a bNN b b a=>≠且 5对数函数函数名称 对数函数定义函数log (0ay x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象定义域 值域过定点 图象过定点(1,0);即当1x =时;0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的变化情况a 变化对 图象的影响在第一象限内;a 越大图象越靠低；在第四象限内;a 越大图象越靠高．6反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ;值域为C ;从式子()y f x =中解出x ;得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值;通过式子()x y ϕ=;x 在A 中都有唯一确定的值和它对应;那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数;函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数;记作1()x fy -=;习惯上改写成1()y f x -=．7反函数的求法①确定反函数的定义域;即原函数的值域；②从原函数式()y f x =中反解出1()x fy -=；③将1()x fy -=改写成1()y f x -=;并注明反函数的定义域．xyO(1,0)1x =log ay x=xyO(1,0)1x =log ay x=8反函数的性质①原函数()y f x =与反函数1()y fx -=的图象关于直线y x =对称．②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y fx -=的值域、定义域．③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上;则'(,)P b a 在反函数1()y fx -=的图象上．④一般地;函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数． 例题一、求二次函数的解析式例1.抛物线244y x x =--的顶点坐标是A ．2;0B ．2;-2C ．2;-8D ．-2;-8例2．已知抛物线的顶点为1;2;且通过1;10;则这条抛物线的表达式为A ．()2312y x =--B ．()2312y x =-+ C. ()2312y x =+- D.()2312y x =-+-例3.抛物线y=的顶点在第三象限;试确定m 的取值范围是A ．m ＜－1或m ＞2B ．m ＜0或m ＞－1C ．－1＜m ＜0D ．m ＜－1例4.已知二次函数()f x 同时满足条件：1()()11f x f x +=-；2()f x 的最大值为15；3()0f x =的两根立方和等于17求()f x 的解析式 二、二次函数在特定区间上的最值问题例5. 当22x -≤≤时;求函数223y x x =--的最大值和最小值． 例6．当0x ≥时;求函数(2)y x x =--的取值范围．例7．当1t x t ≤≤+时;求函数21522y x x =--的最小值其中t 为常数．--222x mx m -++三、幂函数例8.下列函数在(),0-∞上为减函数的是Ａ．13y x = Ｂ．2y x = Ｃ．3y x = Ｄ．2y x -= 例9.下列幂函数中定义域为{}0x x >的是Ａ．23y x = Ｂ．32y x = Ｃ．23y x-= Ｄ．32y x-=例10.讨论函数y ＝52x 的定义域、值域、奇偶性、单调性;并画出图象的示意图．例10．已知函数y ＝42215x x －－．1求函数的定义域、值域； 2判断函数的奇偶性； 3求函数的单调区间． 四、指数函数的运算例11.计算122(2)-⎡⎤-⎣⎦的结果是A 、2B 、12C 、—2D 、—12例12.等于 A 、 B 、C 、 D 、例13.若53,83==b a ;则b a 233-＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿五、指数函数的性质例14.{|2},{|1}x M y y P y y x ====-;则M∩PA.{|1}y y > B. {|1}y y ≥ C. {|0}y y > D. {|0}y y ≥44366399a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭16a 8a 4a 2a例15.求下列函数的定义域与值域：1442x y -=2||2()3x y =例16.函数()2301x y a a a -=+>≠且的图像必经过点A ．0;1B ．1;1C ．2;3D ．2;4例17求函数y=2121x x -+的定义域和值域;并讨论函数的单调性、奇偶性.五、对数函数的运算例18.已知32a =;那么33log 82log 6-用a 表示是A 、2a -B 、52a -C 、23(1)a a -+D 、23a a -例19.2log (2)log log a a a M N M N -=+;则N M的值为A 、41B 、4C 、1D 、4或1例20.已知732log [log (log )]0x =;那么12x-等于A 、13B 、123C 、122D 、133例21.2log 13a <;则a 的取值范围是 A 、()20,1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B 、2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C 、2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D 、220,,33⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭五、对数函数的性质例22.下列函数中;在()0,2上为增函数的是 A 、12log (1)y x =+B 、22log1y x =-C 、21log y x=D 、212log (45)y x x =-+例23.函数2lg 11y x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭的图像关于A 、x 轴对称B 、y 轴对称C 、原点对称D 、直线y x =对称例23.求证函数()2()lg 1f x x x =+-是奇、偶函数..课下作业1.已知二次函数y=ax2+bx+c;如果a>b>c;且a+b+c=0;则它的图象可能是图所示的2.对抛物线y=－3与y=－＋4的说法不正确的是A ．抛物线的形状相同B ．抛物线的顶点相同C ．抛物线对称轴相同D ．抛物线的开口方向相反3. 二次函数y=图像的顶点在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4. 如图所示;满足a ＞0;b ＜0的函数y=的图像是5．如果抛物线y=的顶点在x 轴上;那么c 的值为A ．0B ．6C ．3D ．96.一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图象大致是7.在下列图象中;二次函数y=ax2＋bx ＋c 与函数y=a bx 的图象可能是8．若函数fx ＝a －1x 2＋a 2－1x ＋1是偶函数;则在区间0;＋∞上fx 是A ．减函数B ．增函数C ．常函数D ．可能是减函数;也可能是常函数9．已知函数y ＝x2－2x ＋3在闭区间0;m 上有最大值3;最小值2;则m 的取值范围是22(2)x -22(2)x -221x x --+2ax bx +26x x c ++A ．1;＋∞B ．0;2C ．1;2D ．－∞;2 10、使x2＞x3成立的x 的取值范围是A 、x ＜1且x≠0B 、0＜x ＜1C 、x ＞1D 、x ＜111、若四个幂函数y ＝a x ;y ＝b x ;y ＝c x ;y ＝d x 在同一坐标系中的图象如右图;则a 、b 、c 、d 的大小关系是 A 、d ＞c ＞b ＞a B 、a ＞b ＞c ＞d C 、d ＞c ＞a ＞b D 、a ＞b ＞d ＞c12．若幂函数()1m f x x -=在0;+∞上是减函数;则A ．m >1B ．m <1C ．m =lD ．不能确定13．若点(),A a b 在幂函数()n y x n Q =∈的图象上;那么下列结论中不能成立的是A ．00a b >⎧⎨>⎩ B ．00a b >⎧⎨<⎩Ｃ．00a b <⎧⎨<⎩ D ．00a b <⎧⎨>⎩14．若函数fx ＝log 12x 2－6x ＋5在a ;＋∞上是减函数;则a 的取值范围是A ．－∞;1B ．3;＋∞C ．－∞;3D ．5;＋∞ 15、设集合2{|3,},{|1,}x S y y x R T y y x x R ==∈==-∈;则S T 是A 、∅B 、TC 、SD 、有限集16、函数22log (1)y x x =+≥的值域为A 、()2,+∞ B 、(),2-∞ C 、[)2,+∞ D 、[)3,+∞17、设1.50.90.4812314,8,2y y y -⎛⎫=== ⎪⎝⎭;则A 、312y y y >>B 、213y y y >>C 、132y y y >>D 、123y y y >>18、在(2)log (5)a b a -=-中;实数a 的取值范围是A 、52a a ><或B 、2335a a <<<<或C 、25a <<D 、34a <<19、计算lg52lg2)lg5()lg2(22•++等于A 、0B 、1C 、2D 、320、已知3log 2a =;那么33log 82log 6-用a 表示是A 、52a -B 、2a -C 、23(1)a a -+D 、231a a --21、已知幂函数fx 过点2;22;则f4的值为 A 、12B 、 1C 、2D 、8二、填空题1.抛物线y ＝8x 2－m －1x ＋m －7的顶点在x 轴上;则m ＝________.2.函数23-=x y 的定义域为___________. 3.设()()12m f x m x +=-;如果()f x 是正比例函数;则m=____ ;如果()f x 是反比例函数;则m=______;如果fx 是幂函数;则m=____． 4.若14(1)x --有意义;则x ∈___________．5.当35x y <时;2225309y xy x -+=___________．6.若25525x x y ⋅=;则y 的最小值为___________．7、若2log 2,log 3,m n a am n a +===.. 8、函数(-1)log (3-)x y x =的定义域是..9、2lg 25lg 2lg 50(lg 2)++=..10.不等式1622<-+x x 的解集是__________________________. 11.不等式282133x x --⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集是__________________________. 12.若103,104x y ==;则10x y -=__________________________. 13、已知函数3x log x (x 0)1f (x),f[f ()]2(x 0)9>⎧=⎨≤⎩，则，的值为 14、函数2)23x (lg )x (f +-=恒过定点三、简答题1.求下列各式中的x 的值2、已知幂函数fx ＝23221++-p p x p∈Z 在0;＋∞上是增函数;且在其定义域内是偶函数;求p 的值;并写出相应的函数fx 、 3.已知函数222(3)lg 6x f x x -=-;1求()f x 的定义域；2判断()f x 的奇偶性.. 4.设a R ∈;22()()21x x a a f x x R ⋅+-=∈+;试确定a 的值;使()f x 为奇函数.. 5. 已知函数x 121f (x)log [()1]2=-;1求fx 的定义域； 2讨论函数fx 的增减性..。

基本初等函数知识点1.函数的定义与性质函数是一种将一个集合的元素映射到另一个集合的运算关系。

函数可以通过一条或多条有序对来表示，其中每个有序对由自变量和对应的函数值组成。

常见的函数表示方法有显式函数、隐式函数和参数方程等。

函数的性质有定义域、值域、奇偶性、增减性等。

其中，定义域是自变量的取值范围，值域是函数值的取值范围。

奇偶性描述了函数图像的对称性，增减性描述了函数在定义域的变化趋势。

2.常见初等函数常见的初等函数包括多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数和双曲函数等。

-多项式函数是形如f(x)=aₙxⁿ+aₙ₋₁xⁿ⁻¹+...+a₁x+a₀的函数，其中aₙ,aₙ₋₁,...,a₁,a₀是常数，x是自变量，n是非负整数。

-指数函数是形如f(x)=aᵢx的函数，其中a是一个正常数，x是自变量。

- 对数函数是指数函数的逆运算，形如 f(x) = logₐx 的函数，其中a 是正常数，x 是自变量。

-三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

-双曲函数是以指数函数为基础构造的一类函数，包括双曲正弦函数、双曲余弦函数等。

3.函数的运算函数之间可以进行四则运算、函数的复合和逆函数的求解等运算。

-四则运算是指两个函数之间进行加减乘除的运算。

加法运算表示两个函数的对应值相加，减法运算表示两个函数的对应值相减，乘法运算表示两个函数的对应值相乘，除法运算表示两个函数的对应值相除。

-函数的复合是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入。

复合函数可以通过符号f(g(x))表示，其中f和g是两个函数。

-逆函数是指将一个函数的自变量和函数值交换后得到的新函数。

逆函数可以通过符号f^(-1)(x)表示，其中f是一个函数。

4.函数的图像与性质函数的图像是函数关系在一些坐标系中的几何表现。

函数的图像可以用来研究函数的性质和变化趋势。

-函数的图像可以用点集、曲线或面积等形式来表示。

-函数的对称性可以通过图像来判断，如关于原点对称、关于x轴对称、关于y轴对称等。

基本初等函数知识点一、引言在数学中，初等函数是由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）以及复合运算得到的函数。

基本初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数以及反三角函数。

本文将详细介绍这些基本初等函数的定义、性质和图像。

二、常数函数定义：常数函数 \( f(x) = c \)，其中 \( c \) 是一个实数常数。

性质：常数函数的图像是一条平行于 \( x \) 轴的直线，其所有点的函数值都等于常数 \( c \)。

图像：见附录图1。

三、幂函数定义：幂函数 \( f(x) = x^n \)，其中 \( n \) 是实数。

性质：幂函数的性质取决于指数 \( n \) 的值。

当 \( n \) 为正整数时，函数图像是 \( n \) 次幂的曲线；当 \( n \) 为负整数时，函数图像是倒数的幂函数曲线。

图像：见附录图2。

四、指数函数定义：指数函数 \( f(x) = a^x \)，其中 \( a > 0 \) 且 \( a\neq 1 \)。

性质：指数函数的底数 \( a \) 决定了函数图像的形状。

当 \( a > 1 \) 时，函数是增长的；当 \( 0 < a < 1 \) 时，函数是衰减的。

图像：见附录图3。

五、对数函数定义：对数函数 \( f(x) = \log_a(x) \)，其中 \( a > 0 \) 且\( a \neq 1 \)。

性质：对数函数是指数函数的逆函数。

当 \( a > 1 \) 时，函数是单调增加的；当 \( 0 < a < 1 \) 时，函数是单调减少的。

图像：见附录图4。

六、三角函数1. 正弦函数 \( \sin(x) \)2. 余弦函数 \( \cos(x) \)3. 正切函数 \( \tan(x) \)定义：这些函数与单位圆上的点的坐标有关。

性质：三角函数具有周期性，它们的周期为 \( 2\pi \)。

基本初等函数知识点一、函数的概念：函数是自变量与因变量之间的一种对应关系。

其中，自变量是函数的输入，因变量是函数的输出。

函数可以用来描述不同变量之间的关系或者用来描述一些变量随着另一个变量的变化而发生的变化。

二、函数的表示法：函数可以用不同的表示法来表示。

最常见的表示法有解析式表示法、图像表示法和表格表示法。

例如，一元一次函数y=ax+b就是一个常见的初等函数。

三、函数的性质：1.定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是函数的因变量的可能取值范围。

2.奇偶性：对于函数f(x)，如果对于任意x，有f(-x)=f(x)成立，则函数具有偶性；如果对于任意x，有f(-x)=-f(x)成立，则函数具有奇性。

3.单调性：如果对于任意x1>x2，有f(x1)>f(x2)成立，则函数为递增函数；如果对于任意x1>x2，有f(x1)<f(x2)成立，则函数为递减函数。

4.周期性：如果对于任意x，有f(x+T)=f(x)成立，则函数具有周期T。

四、常见初等函数的性质和图像：1.常数函数：f(x)=c（c为常数），图像为平行于x轴的一条直线。

2. 一次函数：f(x) = ax + b（a和b为常数），图像为一条直线，斜率a决定了直线的倾斜程度，b为与y轴交点的纵坐标。

3.幂函数：f(x)=x^n（n为常数），图像的形状与n的奇偶性以及正负有关，例如，当n为正奇数时，图像的右上和左下部分都在x轴上方。

4.指数函数：f(x)=a^x（a为常数且大于0且不等于1），图像呈现出一种快速增长的趋势。

5. 对数函数：f(x) = loga(x)（a为常数且大于0且不等于1），图像为一条光滑的上升曲线，a决定了函数增长的速度。

五、初等函数的运算：1.四则运算：对于两个初等函数f(x)和g(x)，可以进行加减乘除运算，得到新的初等函数。

2.复合运算：对于两个初等函数f(x)和g(x)，可以将g(x)的值代入f(x)进行运算，得到新的初等函数。

指数函数及其性质一、指数与指数幂的运算 （一）根式的概念1、如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a的n次方根用符号n 是偶数时，正数a 的正的n的n次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．2n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．3、根式的性质：na =；当n 为奇数时，a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （二）分数指数幂的概念1、正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m na a m n N +>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0． 2、正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,mm nn aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． 3、a 0=1 (a ≠0) a -p = 1/a p (a ≠0；p ∈N *) 4、指数幂的运算性质(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈5、0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义。

二、指数函数的概念一般地，函数)1a ,0a (a y x≠>=且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ．注意：○1 指数函数的定义是一个形式定义； ○2 注意指数函数的底数的取值范围不能是负数、零和1．（1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [ （2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈ （3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x≠>=且，总有a )1(f =（4）当1a >时，若21x x <，则)x (f )x (f 21< 四、底数的平移对于任何一个有意义的指数函数：在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。

一、一次函数二、二次函数（1）二次函数解析式的三种形式 ①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠ ②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠ ③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠（2）求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便． （①.二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2x a=-顶点坐标是24(,)24b ac b a a-- ②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2ba-+∞上递增，当2b x a =-时，2min 4()4ac b fx a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2ba -∞-上递增，在[,)2ba-+∞上递减，当2b x a =-时，2max 4()4ac b f x a -=． 三、幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数． 过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．（1）根式的概念：如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m na a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：1()0,,,m m nn a a m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． （3）运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数． ②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a aM M N N-= ③数乘：log log ()na a n M M n R =∈ ④log a NaN =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且（5）对数函数(6)反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x fy -=，习惯上改写成1()y f x -=．（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=；③将1()x fy -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域．（8）反函数的性质①原函数()y f x =与反函数1()y fx -=的图象关于直线y x =对称．②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y fx -=的值域、定义域．③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上．④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数． 例题一、求二次函数的解析式例1.抛物线244y x x =--的顶点坐标是（）A ．（2，0）B ．（2，-2）C ．（2，-8）D ．（-2，-8） 例2．已知抛物线的顶点为（1，2），且通过（1，10），则这条抛物线的表达式为（）A ．()2312y x =-- B ．()2312y x =-+ C. ()2312y x =+- D.()2312y x =-+---例3.抛物线y=的顶点在第三象限，试确定m 的取值范围是（ ） A ．m ＜－1或m ＞2 B ．m ＜0或m ＞－1 C ．－1＜m ＜0 D ．m ＜－1例4.已知二次函数()f x 同时满足条件：（1）()()11f x f x +=-；（2）()f x 的最大值为15；（3）()0f x =的两根立方和等于17求()f x 的解析式二、二次函数在特定区间上的最值问题例5. 当22x -≤≤时，求函数223y x x =--的最大值和最小值．例6．当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围．例7．当1t x t ≤≤+时，求函数21522y x x =--的最小值(其中t 为常数)．222x mx m -++三、幂函数例8.下列函数在(),0-∞上为减函数的是（）Ａ．13y x = Ｂ．2y x = Ｃ．3y x = Ｄ．2y x -=例9.下列幂函数中定义域为{}0x x >的是（） Ａ．23y x = Ｂ．32y x = Ｃ．23y x-= Ｄ．32y x-=例10.讨论函数y ＝52x 的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出图象的示意图．例10．已知函数y ＝42215x x －－．（1）求函数的定义域、值域；（2）判断函数的奇偶性； （3）求函数的单调区间．四、指数函数的运算例11.计算122(2)-⎡⎤-⎣⎦的结果是（ ） A、12C、—12例12.等于（ ） A 、 B 、C 、 D 、例13.若53,83==ba ，则b a233-＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿五、指数函数的性质例14.{|2},{|xM y y P y y ====，则M ∩P （）A.{|1}y y >B. {|1}y y ≥C. {|0}y y >D. {|0}y y ≥ 例15.求下列函数的定义域与值域： （1）442x y -=（2）||2()3x y =例16.函数()2301x y a a a -=+>≠且的图像必经过点 ( )A ．(0，1)B ．(1，1)C ．(2，3)D ．(2，4)例17求函数y=2121x x -+的定义域和值域，并讨论函数的单调性、奇偶性.4416a 8a 4a 2a五、对数函数的运算例18.已知32a=，那么33log 82log 6-用a 表示是（ ）A 、2a -B 、52a -C 、23(1)a a -+ D 、23a a -例19.2log (2)log log a a a M N M N -=+，则NM的值为（ ） A 、41B 、4C 、1D 、4或1 例20.已知732log [log (log )]0x =，那么12x -等于（ ）A 、13B C D 例21.2log 13a <，则a 的取值范围是（ ） A 、()20,1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B 、2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭C 、2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ D 、220,,33⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭五、对数函数的性质例22.下列函数中，在()0,2上为增函数的是（ ）A 、12log (1)y x =+B 、2log y =C 、21log y x =D 、2log (45)y x x =-+ 例23.函数2lg 11y x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的图像关于（ ） A 、x 轴对称B 、y 轴对称C 、原点对称D 、直线y x =对称例23.求证函数)()lg f x x =是（奇、偶）函数。

基本初等函数讲义(全)一、一次函数一次函数可以表示为y=kx+b（k不等于0），其中k表示斜率，b表示截距。

当k大于0时，函数图像随着x的增大而增大，当k小于0时，函数图像随着x的增大而减小。

当b大于0时，函数图像在y轴上方，当b小于0时，函数图像在y轴下方。

当b等于0时，函数图像经过原点。

二、二次函数1）二次函数有三种解析式形式：一般式、顶点式和两根式。

一般式为f(x)=ax^2+bx+c（a不等于0），顶点式为f(x)=a(x-h)^2+k（a不等于0），两根式为f(x)=a(x-x1)(x-x2)（a不等于0）。

2）求二次函数解析式的方法有三种情况：已知三个点坐标时，宜用一般式；已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式；若已知抛物线与x轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求f(x)更方便。

3）二次函数的图像是一条抛物线，对称轴方程为x=-b/2a，顶点坐标为(-b/2a。

-Δ/4a)。

当a大于0时，抛物线开口向上，函数在(-∞。

-b/2a)上递增，在[-b/2a。

+∞)上递减，最小值为f(-b/2a)；当a小于0时，抛物线开口向下，函数在(-∞。

-b/2a]上递增，在[-b/2a。

+∞)上递减，最大值为f(-b/2a)。

三、幂函数1）幂函数可以表示为y=x^α，其中x为自变量，α是常数。

2）所有的幂函数在(0.+∞)都有定义，并且图像都通过点(1,1)。

四、指数函数1）根式的概念是指，如果xn=a，a属于实数，x属于实数，n大于1，且n属于正整数，那么x叫做a的n次方根。

2）正数的正分数指数幂的意义是，a的n次方根的正分数指数幂等于a的n次方。

正数的负分数指数幂没有意义。

非奇非偶函数指的是在定义域为(0.+∞)上的减函数。

对于loga x，当x>1时，函数值递增；当x<1时，函数值递减；当x=1时，函数值为0.在第一象限内，a越大，函数图像越靠低；在第四象限内，a越大，函数图像越靠高。