2019-2020高考数学(理)复习试题汇编 第五章 平面向量含解析

1. 【2019高考福建卷第8题】在下列向量组中，能够把向量()2,3=a 表示出来的是（ ） A.)2,1(),0,0(21==e e B .)2,5(),2,1(21-=-=e e C.)10,6(),5,3(21==e e D.)3,2(),3,2(21-=-=e e2. 【2019高考广东卷理第5题】已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成60的是（ ） A.()1,1,0- B. ()1,1,0- C.()0,1,1- D.()1,0,1-3. 【2019高考湖南卷第16题】在平面直角坐标系中,O 为原点,()),0,3(),3,0(,0,1C B A -动点D 满足CD =1，则OA OB OD ++的最大值是_________.【答案】17+【解析】因为C 坐标为()3,0且1CD =,所以动点D 的轨迹为以C 为圆心的单位圆,则D 满足参数方程4. 【2019高考江苏卷第12题】如图在平行四边形ABCD 中，已知8,5AB AD ==，3,2CP PD AP BP =⋅=，则AB AD ⋅的值是 .5. 【2019陕西高考理第13题】设20πθ<<，向量()()1cos cos 2sin ，，，θθθb a=，若b a //，则=θtan _______.6. 【2019高考安徽卷理第10题】在平面直角坐标系xOy 中，已知向量,,1,0,a b a b a b ==⋅=点Q 满足2()OQ a b =+.曲线{cos sin ,02}C P OP a b θθθπ==+≤≤，区域{0,}P r PQ R r R Ω=<≤≤<.若CΩ为两段分离的曲线，则( )A. 13r R <<<B.13r R <<≤C.13r R ≤<<D.13r R <<<考点：1.平面向量的应用；2.线性规划.7. 【2019高考北京版理第10题】已知向量a 、b 满足1||=a ，)1,2(=b ，且0b a =+λ（R λ∈），则||λ= .8. 【2019高考湖北卷理第11题】设向量(3,3)a =，(1,1)b =-，若()()a b a b λλ+⊥-，则实数λ= .【答案】3±10. 【2019江西高考理第15题】已知单位向量1e 与2e 的夹角为α，且1cos 3α=，向量1232a e e =-与123b e e =-的夹角为β，则cos β= .11. 【2019辽宁高考理第5题】设,,a b c 是非零向量，已知命题P ：若0a b ∙=，0b c ∙=，则0a c ∙=；命题q ：若//,//a b b c ，则//a c ，则下列命题中真命题是（ ） A ．p q ∨ B ．p q ∧ C ．()()p q ⌝∧⌝ D ．()p q ∨⌝12. 【2019全国1高考理第15题】已知C B A ,,为圆O 上的三点，若()AC AB AO +=21，则AB 与AC 的夹角为_______．【考点定位】1、平面向量基本定理；2、圆的性质．13. 【2019全国2高考理第3题】设向量a,b 满足|a+b |=10，|a-b |=6，则a ⋅b = ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 514. 【2019高考安徽卷理第15题】已知两个不相等的非零向量,,b a 两组向量54321,,,,x x x x x 和54321,,,,y y y y y 均由2个a 和3个b 排列而成.记5544332211y x y x y x y x y x S ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=，min S 表示S 所有可能取值中的最小值.则下列命题的是_________（写出所有准确命题的编号）. ①S 有5个不同的值. ②若,b a ⊥则min S 与a 无关. ③若,b a ∥则min S 与b 无关. ④若a b 4>，则0min >S .⑤若2min||2||,8||b a Sa ==，则a 与b 的夹角为4π2222min 34()8||cos 4||8||S S a b b a a a θ==⋅+=+=，∴2cos 1θ=，∴3πθ=，故⑤错误.所以准确的编号为②④.考点：1.平面向量的运算；2.平面向量的数量积.15. 【2019四川高考理第7题】平面向量(1,2)a =，(4,2)b =，c ma b =+（m R ∈），且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m =（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．216. 【2019浙江高考理第8题】记,max{,},x x y x y y x y ≥⎧=⎨<⎩，,min{,},y x y x y x x y≥⎧=⎨<⎩，设,a b 为平面向量，则（ ）A.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤B.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≥C.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≥+ D.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≤+17. 【2019重庆高考理第4题】已知向量(,3),(1,4),(2,1)a k b c ===，且(23)a b c -⊥，则实数k =（ ）9.2A -.0B .C 3 D.15218. 【2019天津高考理第8题】已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD?，点,E F 分别在边,BC DC 上，BE BC l =，DF DC m =．若1AE AF?，23CE CF ?-，则l m += （ ） （A ）12 （B ）23 （C ）56 （D ）71219. 【2019大纲高考理第4题】若向量,a b 满足：()()1,,2,a a b a a b b =+⊥+⊥则b = （ ）A ．2B ．2C ．1D ．22。

1.已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t，|AC →|＝t .若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝AB →|AB →|＋4AC →|AC →|，则PB →·PC →的最大值等于( )点击观看解答视频A ．13B ．15C ．19D ．21答案 A解析 依题意，以点A 为坐标原点，以AB 所在的直线为x 轴，AC 所在的直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，所以点P (1,4)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0，C (0，t )，所以PB →·PC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －1，－4·(－1，t －4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －1×(－1)－4×(t －4)＝17－1t －4t ≤17－21t×4t ＝13(当且仅当1t ＝4t ，即t ＝12时取等号)，所以PB →·PC →的最大值为13，故选A.2．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．5 答案 A解析 由|a ＋b |＝10得a 2＋b 2＋2a ·b ＝10，① 由|a －b |＝6得a 2＋b 2－2a ·b ＝6，② ①－②得4a ·b ＝4，∴a ·b ＝1，故选A.3．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BE ＝λBC ，DF ＝μDC .若AE →·AF →＝1，CE →·CF →＝－23，则λ＋μ＝( )A.12B.23C.56D.712 答案 C解析 以AB →，AD →为基向量，则AE →·AF →＝(AB →＋λAD →)·(AD →＋μAB →)＝μAB →2＋λAD →2＋(1＋λμ)AB →·AD →＝4(μ＋λ)－2(1＋λμ)＝1①.CE →·CF →＝(λ－1)BC →·(μ－1)DC →＝－2(λ－1)(μ－1)＝－23②，由①②可得λ＋μ＝56.4．已知点O 为△ABC 的外心，且|AC →|＝4，|AB →|＝2，则AO →·BC →＝________.答案 6解析 因为点O 为△ABC 的外心，且|AC →|＝4，|AB →|＝2， 所以AO →·BC →＝AO →·(AC →－AB →)＝A O →·AC →－AO →·AB →＝|AO →||AC →|cos 〈AO →，AC →〉－|AO →||AB →|·cos〈AO →，AB →〉 ＝|AC →||AC →|×12－|AB →||AB →|×12＝6.5．在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若AE →＝AD →＋μAB →，则μ的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12解析 由余弦定，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B＝(23)2＋22－2×23×2cos30°＝4， ∴AC ＝2，∴AC ＝BC ＝2， ∴∠CAB ＝30°，∠DAC ＝60°.AD ＝1，∴AE ∈[1,2]，∵AE →＝AD →＋μAB →，∴|AE →|2＝(AD →＋μAB →)2＝|AD →|2＋|μAB →|2＝1＋(23)2μ2＝1＋12μ2，μ2＝|AE →|2－112，∵|AE →|∈[1,2]，∴μ2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14，由梯形ABCD 知μ≥0，∴μ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12.6．设G 是△ABC 的重心，且7sin A ·GA →＋3sin B ·GB →＋37sin C ·GC →＝0，则角B 的大小为________．答案π3解析 ∵7sin A ·GA →＋3sin B ·GB →＋37sin C ·GC →＝0， 设三角形的边长顺次为a ，b ，c ，由正弦定得7a ·GA →＋3b ·GB →＋37c ·GC →＝0，由点G 为△ABC 的重心，根据中线的性质及向量加法法则得： 3GA →＝BA →＋CA →，3GB →＝CB →＋AB →，3GC →＝AC →＋BC →，代入上式得：7a (BA →＋CA →)＋3b (CB →＋AB →)＋37c (AC →＋BC →)＝0， 又CA →＝CB →＋BA →，上式可为：7a (2BA →＋CB →)＋3b (AB →＋CB →)＋37c ·(－BA →＋2BC →)＝0， 即(27a －3b －37c )BA →＋(－7a －3b ＋67c )BC →＝0，则有⎩⎪⎨⎪⎧27a －3b －37c ＝0， ①－7a －3b ＋67c ＝0， ②①－②得37a ＝97c ，即a ∶c ＝3∶1， 设a ＝3k ，c ＝k ，代入①得b ＝7k ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝9k 2＋k 2－7k 26k 2＝12，∴B ＝π3.7.在平面直角坐标系xOy中，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.点击观看解答视频(1)若m ⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．解 (1)∵m ⊥n ，∴m ·n ＝0. 故22sin x －22cos x ＝0，∴tan x ＝1. (2)∵m 与n 的夹角为π3，∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝22sin x －22cos x1×1＝12，故sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝12.又x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴x －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4，x －π4＝π6，即x ＝5π12，故x 的值为5π12.。

专题 平面向量1．【2019年高考全国I 卷理数】已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为A ．π6 B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】B【解析】因为()-a b ⊥b ，所以2()-⋅=⋅-a b b a b b =0，所以2⋅=a b b ，所以cos θ=22||12||2⋅==⋅a b b a b b ，所以a 与b 的夹角为π3，故选B ． 【名师点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π．2．【2019年高考全国II 卷理数】已知AB =(2,3)，AC =(3，t )，BC =1，则AB BC ⋅= A ．−3 B ．−2 C ．2D ．3【答案】C【解析】由(1,3)BC AC AB t =-=-，211BC ==，得3t =，则(1,0)BC =，(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=．故选C ．【名师点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．3．【2019年高考北京卷理数】设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】AB 与AC 的夹角为锐角，所以2222||||2||||2AB AC AB AC AB AC AB AC ++⋅>+-⋅，即22||||AB AC AC AB +>-，因为AC AB BC -=，所以|AB +AC |>|BC |；当|AB +AC |>|BC |成立时，|AB +AC |2>|AB -AC |2AB ⇒•AC >0，又因为点A ，B ，C 不共线，所以AB 与AC 的夹角为锐角.故“AB 与AC 的夹角为锐角”是“|AB +AC |>|BC |”的充分必要条件,故选C ．【名师点睛】本题考查充要条件的概念与判断､平面向量的模､夹角与数量积,同时考查了转化与化归数学思想.4．【2019年高考全国III 卷理数】已知a ，b 为单位向量，且a ·b =0，若2=c a ，则cos ,=a c ___________. 【答案】23【解析】因为2=c a ，0⋅=a b ，所以22⋅=⋅a c a b 2=，222||4||5||9=-⋅+=c a b b ，所以||3=c ，所以cos ,=a c22133⋅==⨯⋅a c a c ． 【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．5．【2019年高考天津卷理数】在四边形ABCD 中，,5,30AD BC AB AD A ==∠=︒∥，点E在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=_____________． 【答案】1-【解析】建立如图所示的直角坐标系，∠DAB =30°，5,AB AD ==则B ，5()22D . 因为AD ∥BC ，30BAD ∠=︒，所以30ABE ∠=︒， 因为AE BE =，所以30BAE ∠=︒，所以直线BE y x =-，直线AE 的斜率为y =.由y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得x =1y =-，所以1)E -.所以35(,)(3,1)12BD AE =-=-.【名师点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便.6．【2019年高考江苏卷】如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6ABAC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是_____..【解析】如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F ，由BE=2EA ，D 为BC 的中点，知BF =FE =EA ,AO =OD ．()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=+-，()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭，得2213,22AB AC =即3,AB AC =故AB AC=【名师点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题.7．【2019年高考浙江卷】已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍±1时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++的最小值是________；最大值是_______.【答案】0；则(1,0),(0,1),(1,0),(0,1),(1,1),(1,1)AB BC CD DA AC BD ===-=-==-(AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++=所以当()135λλλ-+和()245λλλ-+分别取得最大值时，y 有最大值， 所以当1256341,1λλλλλλ======-时，有最大值max y ===故答案为0；【名师点睛】对于此题需充分利用转化与化归思想，从“基向量”入手，最后求不等式最值，是一道向量和不等式的综合题.8．【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试（一模)数学试题】在矩形ABCD 中，4AB =uu u r,2AD =．若点M ，N 分别是CD ，BC 的中点，则AM MN ⋅= A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】C【解析】由题意作出图形，如图所示：由图及题意，可得：12AM AD DM AD AB =+=+， 1122MN CN CM CB CD =-=-11112222BC DC AD AB =-+=-+.∴111222AM MN AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭221111||||41622424AD AB =-⋅+⋅=-⋅+⋅=. 故选：C ．【名师点睛】本题主要考查基底向量的设立，以及向量数量积的运算，属基础题．9．【福建省漳州市2019届高三下学期第二次教学质量监测数学试题】已知向量a ，b 满足||1=a ，||=b 且a 与b 的夹角为6π，则()(2)+⋅-=a b a bA ．12B ．32-C ．12-D ．32【答案】A【解析】()()221222312+-=-+⋅=-+=a b a b a b a b . 故选A.【名师点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．10．【安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷数学试题】已知向量(1,2)=a ，(2,3)=-b ，(4,5)=c ，若()λ+⊥a b c ，则实数λ=A ．12-B ．12C ．2-D ．2【答案】C【解析】因为(1,2)=a ，(2,3)=-b ， 所以()12,23λλλ-+a +b =， 又()λ+⊥a b c ，所以()0λ+⋅=a b c ， 即()()4125230+=λλ-+，解得2λ-= . 故选C.【名师点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算，熟记运算法则即可，属于常考题型.11．【2019届北京市通州区三模数学试题】设a ，b 均为单位向量，则“a 与b 夹角为2π3”是“||+=a b ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】因为a ，b 均为单位向量， 若a 与b 夹角为2π3，则||1+===a b ，因此，由“a 与b 夹角为2π3”不能推出“||+=a b ”；若||+a b ||+=a b 解得1cos ,2=a b ，即a 与b 夹角为π3，所以，由“||+a b a 与b 夹角为2π3”因此，“a 与b 夹角为2π3”是“||+=a b ”的既不充分也不必要条件. 故选D【名师点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的判断，以及向量的数量积运算，熟记充分条件与必要条件的概念，以及向量的数量积运算法则即可，属于常考题型.12．【辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试数学（二)】在ABC △中，2AB AC AD +=，AE DE +=0，若EB xAB y AC =+，则 A ．3y x = B ．3x y =C ．3y x =-D ．3x y =-【答案】D【解析】因为2AB AC AD +=，所以点D 是BC 的中点，又因为AE DE +=0，所以点E 是AD 的中点，所以有：11131()22244BE BA AE AB AD AB AB AC AB AC =+=-+=-+⨯+=-+，因此 31,344x y x y =-=⇒=-，故题选D.【名师点睛】本题考查了向量加法的几何意义、平面向量基本定理.解题的关键是对向量式的理解、对向量加法的几何意义的理解.13．【2019年辽宁省大连市高三5月双基考试数学试题】已知直线y =x +m 和圆x 2+y 2=1交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若32AO AB ⋅=，则实数m =A ．1±B ．2±C ．2±D ．12±【答案】C【解析】联立221y x mx y =+⎧⎨+=⎩ ，得2x 2+2mx +m 2−1=0， ∵直线y =x +m 和圆x 2+y 2=1交于A 、B 两点，O 为坐标原点，∴∆=-2m 2+8＞0，解得x <<，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=−m ，21221-=m x x ，y 1y 2=（x 1+m ）（x 2+m ）=x 1x 2+m （x 1+x 2）+m 2，AO =（-x 1，-y 1），AB =（x 2-x 1，y 2-y 1），∵21123,2AO AB AO AB x x x ⋅=∴⋅=-+y 12-y 1y 2=1221122m m ----+m 2-m 2=2-m 2=23，解得m =2±． 故选：C ．【名师点睛】本题考查根的判别式、根与系数的关系、向量的数量积的应用，考查了运算能力，是中档题．14．【天津市和平区2018-2019学年度第二学期高三年级第三次质量调查数学试题】已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=︒，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，3BC BE =，DC DF λ=，若1A E A F ⋅=，则λ的值为 A ．3 B ．2C ．23D ．52【答案】B【解析】由题意可得：()()113AE AF AB BE AD DF AB BC BC AB λ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22111133AB BC AB BC λλ⎛⎫=+++⋅ ⎪⎝⎭，且：224,22cos1202AB BC AB BC ==⋅=⨯⨯=-， 故()44112133λλ⎛⎫+++⨯-= ⎪⎝⎭，解得：2λ=. 故选：B.【名师点睛】本题主要考查平面向量数量积的定义与运算法则，平面向量基本定理及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15．【江西省新八校2019届高三第二次联考数学试题】在矩形ABCD 中，3,4,AB AD AC ==与BD 相交于点O ，过点A 作AE BD ⊥，垂足为E ，则AE EC ⋅=A ．572B ．14425C ．125D ．2512【答案】B 【解析】如图：由3AB =，4=AD得：5BD ==，125AB AD AE BD ⋅== 又()AE EC AE EO OC AE EO AE OC AE EO AE AO ⋅=⋅+=⋅+⋅=⋅+⋅AE BD ⊥，0AE EO ∴⋅=，又2144cos 25AE AE AO AE AO EAO AE AO AE AO⋅=∠=⋅==14425AE EC ∴⋅=. 故选B.【名师点睛】本题考查向量数量积的求解问题，关键是能够通过线性运算将问题转化为模长和夹角已知的向量之间的数量积问题.16．【湖师范大学附属中学2019届高三数学试题】如图所示，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为CE的中点，则AF =A ．3144AB AD + B ．1344AB AD + C ．12AB AD +D ．3142AB AD +【答案】D【解析】根据题意得：1()2AF AC AE =+，又AC AB AD =+，12AE AB =，所以1131()2242AF AB AD AB AB AD =++=+.故选D.【名师点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理的简单应用，属于基础试题.17．【2019年北京市高考数学试卷】已知向量a =（－4，3），b =（6，m ），且⊥a b ，则m =__________.【答案】8.【解析】向量4,36,m =-=⊥（），（），，a b a b则046308m m ⋅=-⨯+==，，a b .【名师点睛】本题考查平面向量的坐标运算、平面向量的数量积、平面向量的垂直以及转化与化归思想的应用.属于容易题.18．【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试（一模)数学试题】已知圆22450x y x ++-=的弦AB 的中点为(1,1)-，直线AB 交x 轴于点P ，则PA PB ⋅的值为__________. 【答案】8. 【答案】5-【解析】设(1,1)M -，圆心(2,0)C -，∵10112MC k -==-+，根据圆的性质可知，1AB k =-，∴AB 所在直线方程为1(1)y x -=-+，即0x y +=，联立方程224500x y x x y ⎧++-=⎨+=⎩可得，22450x x +-=， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1252x x =-， 令0y =可得(0,0)P ， 12121225PA PB x x y y x x ⋅=+==-，故答案为：-5．【名师点睛】本题主要考查了向量的数量积的坐标表示及直线与圆相交性质的简单应用，属于常考题型.。

第五章平面向量第一节平面向量的概念及线性运算本节主要包括2个知识点: i.平面向量的有关概念；2,平面向量的线性运算突破点(一)平面向量的有关概念［基本知识］［基本能力］1. 判断题(1) 向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量. ()(2) 若a II b, b // c,贝U a // c.( )(3) 若向量a与b不相等，则a与b 一定不可能都是零向量.()答案：⑴x (2)x ⑶V2. 填空题(1) 给出下列命题：①若 a = b, b= c,贝U a= c;②若A, B, C, D是不共线的四点，贝U 瓦B =丘？是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③a= b的充要条件是|a|= |b|且a // b;其中正确命题的序号是__________ .解析：①正确•••• a = b ,「. a , b 的长度相等且方向相同, 又b = c ,「. b , c 的长度相等且方向相同，••• a , c 的长度相等且方向相同，故 a = c .② 正确.••• ^—B = DC ,• ―lB|=|5（?|且N lB // ―C ,又A , B , C , D 是不共线的四点， •四边形ABCD 为平行四边形； 反之，若四边形 ABCD 为平行四边形， 则5// "De 且―因此，；A B = _DC .③ 不正确.当 a / b 且方向相反时，即使|a |=|b |,也不能得到 a = b ,故|a |= |b |且a // b 不是a = b 的充要条件，而是必要不充分条件.综上所述，正确命题的序号是①② .答案：①②答案：a 与b 反向共线研透高考・讲练区［全析考法］［典例］（1）（2018海淀期末）下列说法正确的是（ ） A .长度相等的向量叫做相等向量 B. 共线向量是在同一条直线上的向量 C .零向量的长度等于 0D . 5§ // （—3就是 忌所在的直线平行于（C D 所在的直线 （2）（2018枣庄期末）下列命题正确的是（ ） A. 若 |a |= |b |,则 a = b B. 若 |a |>|b |,则 a >b C. 若 a = b ,贝U a// b D. 若 |a |= 0,则 a = 0［解析］（1）长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故 A 不正确；方向相同或相反 的非零向量叫做共线向量， 但共线向量不一定在同一条直线上， 故B 不正确；显然C 正确; ------- B ---- B -- B --- B当AB // CD 时，AB 所在的直线与 CD 所在的直线可能重合，故D 不正确.⑵对于A ，当|a |= |b |,即向量a , b 的模相等时，方向不一定相同，故a =b 不一定成⑵若a 、b 都为非零向量，则使弗話0成立的条件是立；对于B，向量的模可以比较大小，但向量不可以比较大小，故对于B不正确；C显然正确; D，若|a|= 0，则a = 0，故D不正确，故选C.［答案］⑴C (2)C［易错提醒］(1) 两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小;(2) 大小与方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征与几何特征；(3) 向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移到同一直线上.［全练题点］1. 给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②？a = 0(入为实数)，则入必为零；③入□为实数，若?a= ［b，则a与b共线.其中错误的命题的个数为()A. 0B. 1C. 2D. 3解析：选D ①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点. ②错误，当a = 0时，不论入为何值，la = 0.③错误，当匸(1= 0时，?a= pb = 0,此时，a与b可以是任意向量.错误的命题有3个，故选D.2. 关于平面向量，下列说法正确的是()A .零向量是唯一没有方向的向量B. 平面内的单位向量是唯一的C .方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量D .共线向量就是相等向量解析：选C 对于A，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A不正确；对于B,单位向量的模为1,其方向可以是任意方向，故B不正确；对于C ,方向相反的向量一定是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量，故C正确；对于D，由共线向量和相等向量的定义可知D不正确，故选C.1心3. 如图，△ ABC和厶A' B ' C'是在各边的1处相交的两个全等的等边3三角形，设△ ABC的边长为a,图中列出了长度均为；的若干个向量，贝U -- >(1)与向量GH相等的向量有__________ ；⑵与向量QiH共线，且模相等的向量有 __________ ；⑶与向量EA —共线，且模相等的向量有_____________ .解析：向量相等？向量方向相同且模相等.向量共线?表示有向线段所在的直线平行或重合.-- > ------> -------- > ----- > --- > ----- > --- >答案：⑴ LB' , HC (2) EC' , LE , LB' , GB , HC- > ----- > ----- > ---- > ---- >⑶ EF , FB , HA ' , HK , KB'突破点(二)平面向量的线性运算抓牢双基*［基本知向量b与a(a丰0)共线的充要条件是有且只有一个实数入使得b =七.［基本能力］1. 判断题(1) a// b是a= %(入€ R)的充要条件.()⑵△ ABC 中，D 是BC 的中点，贝U AD = ；(AC + AB).( )答案：⑴X (2)V2. 填空题15(1)化简:①E B +M B + 1BO + 0M = ② NQ+1Q P + MN -M P =答案：①1B ②0⑵若菱形ABCD 的边长为2，则|1AEB -"C B + "C t^ | =------ D ---------- D -------------- D ------------ D ------------- D ----------- D -------------- D解析：|AB — CB + CD |= |AB + BC + CD |= |AD |= 2. 答案：2—D --- D---- D D --- D(3)在？ABCD 中，AB = a , AD = b , AN = 3 NC ，贝V AN =答案：3a + 3b4 4研透高考・讲练区［全析考法］平面向量的线性运算应用平面向量的加角形法则要求“首 尾相接”，加法的平行四边形法则要求“起点相同”； 减法的三角形法则要求“起点相同” 且差向量指向“被减向量”；数乘运算的结果仍是一个向量，运算过程可类比实数运算.［例1］ (1)(2018河南中原名校联考)如图，在直角梯形 ABCD 中, AB = 2AD = 2DC , E 为 BC 边上一点，BC = 3E C , F 为 AE 的中点, 则"B D=()1—> 2—>B.1AB --AD(2)(2018深圳模拟)如图所示，正方形 ABCD 中, 4 A ・4—D D D D 1 D［解析］(1) BF = BA + AF = BA + ^AE2> 1 > A ・2AB — 3 AD2 B 1 B C .-3 A B+1 AD1 >2 > D . - - AB +3 A D若A D = ?Ai D + 卩品，^y H 尸( )—i 1 —i 1 —i —i =-AB + 2( AD + 2AB + CE)—i 1 —i 1 —i 1 —i —i —i=-AB + 2 AD + 4 AB + 6( CD + DA + AB)2—> 1—> -2AB +3AD.._ ------ 1 ------ 1 -------- 1 -------- 1 ----- 1 --------- 1 ⑵因为 AC = H AM + y BD = 4 AB + BM ) + p( BA +—i —i —i 入-尸 1,且-C = ^AB + —D ，所以1得12 H 尸1,1 尸3,5所以入 +尸5故选B. ［答案］(1)C (2)B［方法技巧］1. 平面向量的线性运算技巧(1) 不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解.(2) 含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向 量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解.2. 利用平面向量的线性运算求参数的一般思路 (1) 没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置.(2) 利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式. (3) 比较、观察可知所求.平面向量共线定理的应用求解向量共线问题的注意事项(1) 向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的 其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用.(2) 证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与 联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线.------ 1 ---------------------------- 1 --------------- 1(3)直线的向量式参数方程： A , P , B 三点共线? OP = (1 - t) OA + tOBy A D )=-A lB + -ADD )=(入―-- > AD ,=-^AB + I+ J + 1+2 帀 +「(O为平面内任一点，t € R ）.［例2］ （1）（2017芜湖二模）已知向量a , b 是两个不共线的向量，若向量 m = 4a + b 与n =a ―力共线，则实数入的值为（）1A . — 4B .―-4C. 1> > >AB = a + 3 b , BC = 5a + 3 b , CD 3a + 3b ，则（）A. A , B , C 三点共线［解析］ ⑴因为向量a , b 是两个不共线的向量，所以若向量 m = 4a + b 与n = a — ?b 共线，则4x （— ?）= 1 x 1，解得入=—=故选B.4-- > > —> ----------------------------- > —> —>⑵因为BD = BC + CD = 2a + 6b = 2(a + 3b ) = 2AB ，所以BD , AB 共线，又有公共点 B, 所以A , B , D 三点共线.故选 B.［答案］（1）B （2）B ［方法技巧］ 平面向量共线定理的三个应用［全练题点］1.［考点一 ］(2018长春一模)在梯形ABCD 中，AB = 3DC ，贝V BC =( )2—> -2 —> 4—> A . — 3AB + AD B . — 3 AB + "AD1 >. 2 >2 >-C . — 3AB + 3AD D . — - AB — AD------ > > > > > > >AB = 3DC ,所以 BC = BA + AD + DC =— AB—> 1—> 2—> —>+ AD + 3AB =— 3AB + AD ，故选 A.3 32.［考点二］已知a , b 是不共线的向量, （2）（2018怀化一模）已知向量a , b 不共线，向量 B . A , B , D 三点共线 C . A , C , D 三点共线D . B , C , D 三点共线解析：选A因为在梯形ABCD 中, A B =七 + b , AC = a + pb ,人卩€ R ,则 A , B ,C三点共线的充要条件为（）C --- A4.［考点一］已知点M 是厶ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且EC = 2AE ，则EMA 环 + 3 —AB 1—> 1 —>C. 6AC + 1AB解析：选 C 如图，•/ "EC = 2；A E , ^-E M = "E C + CM = 3^ACC3 1 —> 2 —> 1 —> —> 1 —> 1 —>+ 2CB = 3 AC + 2（ AB — AC ）= 2 AB + 6 AC .解析：选 A 由题意知 O h =-O B + —B P ，又—B I ? = 2—P A ，所以 O B =OB +2BA =6332 --- C —A2 ---- A 1 ---- 严21+ 2（OA — OB ） = §OA + 3 OB ，所以 x = 3, y = 3.［全国卷5年真题集中演练一一明规律］ 1. （2015全国卷I ）设D ABC 所在平面内一点，1B C = ，则（）—A 1 —A 4—AA . AD = — 3 AB + ^ACA . k 3= 2 C . k = — 1 解析 :选D------AB ,C 三点共线，• AB -- >、 --- > ----- >// AC ,设 AB = m AC （m ^ 0）,贝V k a +m （ a +（i b ）,k= m ,1ITl^••• k 百1,故选D.3. ［考点二］（2018南宁模拟）已知e i , e 2是不共线向量, a = m e 1+ 2e 2, b = ne 1 — e 2, 且m n 丰 0, 若 a // b ,则 m =（）1B.1解析：选 C •/ a //b ,• a = k b 即k n m ,m e 1+ 2e 2= k ne 1 — e 2）,则*—k= 2,故 T =— 2. n------ C5.［考点一］如图，在厶OAB 中，P 为线段AB 上的一点， OP =x 0A + y OB ，且命=2"PA ，则（）2A . x = 3,1 y=32 y= 31 C. x = 4， 3y =33 x= 4’ 1 y =1A ,B.AD=3AB-3AC--- e4—e,1 —eC.AD=4AB+3 AC--- e4—e1D.AD=AB--AC解析：选 A ^A D = ^A C +1e=^A C +1 "B e =^A C + ^,( —A c -^A B) =A c -1 —AB =-g1B + 3* 1A c，故选A.2.------ D （2014全国卷I ）设D, E, F分别为△ ABC的三边BC, CA, AB的中点，贝U EB +——>FC =(—>ADB.1—AD——>D.11B C解析：选A1( + _FC T= 2( —A B + "C B) +1( —A c + "Be)=1(1A B + ^A C )= 1D，故选A.3.（2015全国卷n ）设向量a, b不平行，向量沦+ b与a+ 2b平行，则实数入= 解析：T 七+ b 与a+ 2b 平行，•••七 + b= t（a + 2b）,即？a+ b = t a + 2t b,—f'=t,1 = 2t,1——> 4——>A . 0B . 1C . 2D . 3解析：选D 向量是既有大小又有方向的量， a 与同a o 的模相同，但方向不一定相同， 故①是假命题；若 a 与a o 平行，则a 与a o 的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向 时a =- |a |a °,故②③也是假命题•综上所述，假命题的个数是3.3. _________________________________________________________________________ 已知a,b 是非零向量，命题p ： a = b,命题q ：|a + b |= |a 汁|b|,则p 是q 的 _______________________ 条件.解析：若 a = b ,则|a + b |= |2a |= 2|a |, |a |+ |b |= |a | + |a |= 2|a |,即 p ? q.若|a + b |= |a 汁 |b |, 由加法的运算知 a 与b 同向共线，即a = ?b ，且＞0，故q ? / p .「. p 是q 的充分不必要条 件.答案：充分不必要对点练（二）平面向量的线性运算＞ABCD 中，E 为DC 边的中点，且 AB = a ,11A.q b — aB.q a — b 11C .—乙玄 + bD.Q b +a-- > --- > --- > 1 ----- > 1 1解析：选 C BE = BA + AD + 2 DC =— a + b + ?a = b — ?a ，故选 C.2.已知向量a , b 不共线，且c = ?a + b , d = a + (2 >— 1)b ，若c 与d 反向共线，则实数 入的值为()1A . 1B . — 21 1C . 1或—2D . —1或—2解析：选B 由于c 与d 反向共线，则存在实数k 使c = k d (k v 0)，于是 >+ b =>=k ,k [a + (2 >— 1 b].整理得> + b = k a + (2入k k)b .由于a , b 不共线，所以有=整理2 入 k k = 1,- 1 1得2入—入—1 = 0,解得＞=1或 =—2又因为k v 0，所以入v 0，故＞=—?.3. （2018 •西八校联考）在厶ABC 中，P , Q 分别是边 AB , BC 上的点，且 AP =^AB , BQ = ^BC.若-B = a , -C = b ,则-PQ =(1 t A・3a +3b1.如图，在平行四边形 —D = b ,则©IE =（C.3a - £ b 3 3 D . - ga —3b 3 3 --- N ---- N ---- N 2 ----- N 1 ----- N 2 ----- N 1 ----- N 解析：选 A PQ = PB + BQ = 2 AB + 3 BC = §AB + §(AC 1 a+ 3b ,故选 A. 4. （2017郑州二模）如图，在△ABC 1满足BD = QDC ,过点D 的直线分别交直线中，点D 在线段BC 上, AB , AC 于不同的两点 NN ，若 AM = m -A B , AN = n ：A S,则( A . m +n 是定值，定值为 B . 2m + n 是定值，定值为 C.m +1是定值，定值为2 2 1 D. — + -是定值，定值为 3 m n 解析：选D 法一：如图, 过点 C 作CE 平行于 MN 交AB 于点E.由 AN= n A N可得 AC =n ，所以釜=AN =n —I ，由 BD =如C 可得器=1，所以AB =有=需因为^mA N，所以m = 3n —1，整理可得m +1=3. :因为M , D , N 三点共线，所以瓦D = AAM + (1 — ?)瓦N.又Z M t = m —AEB , A N =n屁，所以 AD =xm A N +（1—"n 疋又 BD =1 ，所以 ；ACC -1 ，所--- N 1 N 2 N 2 1 2 1以AD = -AC + 2AB .比较系数知 入皿=2，(1—如=-，所以一+ - = 3，故选D. 3 3 3 3 m n5.（2018银川一模）设点P 是厶ABC 所在平面内一点, --- N ---- N -- 「 ---------- N ---- N 且 BC + BA = 2 B P ，则 PC + PA 解析：因为"B 6 + "B A = 2"B P ，由平行四边形法则知， 点P 为AC 的中点，故"PC + "P A =0. 答案：06. （2018衡阳模拟）在如图所示的方格纸中，向量 a , b , c 的起点和终点均在格点（小正 方形顶点）上，若c 与x a + y b （x , y 为非零实数）共线，则：的值为 ________ .解析：设e i , e 2分别为水平方向（向右）与竖直方向（向上）的单位向量，则向量 c = e i -2e 2, a = 2e 1+ e 2, b =— 2e 1- 2e 2,由 c 与 x a + y b 共线，得 c = %x a + y b ）,所以 e 1 - 2e 2= 2 ?（x答案：657. （2018盐城一模）在厶ABC 中，/ A = 60。

,.2019-2020年高考数学小题集训——平面向量（一）一、选择题uuur uuur(uuur uuur uuur0, n 0) ，若 m n[1,2] ，则1.已知向量OA(3,1) ， OB1,3) ， OC mOA nOB (muuur| OC | 的取值范围是（）A．[ 5, 25] B ．[5, 210) C ．(5, 10) D ．[ 5,210]r r r r rr r r r a2.已知a，b为平面向量，若a b 与 a 的夹角为， a b 与 b 的夹角为，则 r（）34bA ．3B ．6C ．5D ．6 3433 r r r r rr r3.设a(1,2) ， b(1,1) ， c a kb .若 b c，则实数k的值等于（）A ．5B ．5C ．3D ．3 33224.已知△ABC 中， AB2， AC 4 ，BAC 60ouuur uuur ，P 为线段 AC 上随意一点，则PB PC的范围是（）A ．[1,4]B ．[0,4]C．[－2,4]9D ．[ ,4]45.在实数集R 中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序”，近似的，我们这D r r(x, y), x R, y R 上也能够定义一个称为“序”的关系，记为平面向量会合 a | aur uur ur uur“＞” ．定义以下：对于任意两个向量 a1( x1 , y1) ， a2( x2 , y2 ) ， a1a2当且仅当“ x1x2”或“ x1x2且 y1y2”，按上述定义的关系“ ”，给出以下四个命题：ur uur r ur uur r①若 e1(1,0)， e2(0,1) ，0(0,0) ，则e1e20 ；ur uur uur uur ur uur②若 a1a2， a2a3，则 a1a3；,.ur uur r ur r uur r③若 a1a2，则对于随意的a D ，a1 a a2 a ；r r r ur uur r ur r uur④对于随意的向量 a 0 ，此中 0 (0,0) ，若a1a2，则 a a1 a a2．此中正确的命题的个数为（）A ．4B．3C． 2 D ．16.如图，在OMN 中，A、B 分别是 OM 、ONuuur uuur uuur的中点，若OP xOA yOB （ x ，y R ），且点P落在四边形ABNM内（含界限），则y1的取值范围是（）x y2A．1,2B．1,3C．1,3D．1,2 333444437. 在△ABC中，BAC 60， AB3， ACuuur uuur uuur uuur uuurR ），且2 .若BD2DC ， AE AC AB （uuur uuur的值为（）AD AE4，则A ．3B．4C.5D ．6 111111118.设 P 是△ABC 内随意一点， S△ABC表示△ABC 的面积，λ1＝SPBC，λ2＝SPCA，λ3＝SABC SABCS S PABABC,定义f（）=（1,2,3） ,若 G 是△ABC 的重心，（Q）＝（1，1，1），则（P f236）A ．点 Q 在△GAB 内B．点 Q 在△GBC 内C．点 Q 在△GCA 内D．点 Q 与点 G 重合9.在直角梯形 ABCD中，AB2AD4，同一平面内的两个动点P，M知足,.|CP | 1,PMMA，则| BM |的取值范围为（）A ．[ 10 1,10 1]B ．[10 1 , 101]2 2C. [ 1,3]D ． [21 37 ]2,2ABC uuur uuur uuur uuur uuuruuur2，且 B , 2uuur uuur10. 在△ 中， BC CA CA AB ， BABC 33 ，则 BA BC 的取值范围是（）A ．[－2,1)B ．2,1C ． 2,2D ． 2,23 33r rr r r r11. 已知向量 a 与 b 的夹角为 120 °，a1,0 ， b 2 ，则 2a b （）A ． 3B ．2C ．2 3D ．42 2PA PB12. 在直角三角形 ABC 中,点 D 是斜边 AB 的中点 ,点 P 为线段 CD 的中点 ,A ．2B ．4C ．5D ．102（ ）PC13. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A ，B 分别为 x 轴， y 轴上一点，且 AB 1，若点uuur uuur uuurP 1, 3 ，则 AP BP OP 的取值范围是（）A ．[5,6]B ．[6,7] C.[6,9]D ．[5,7]uuuruuur uuur10 ，则△ABC 是钝角三角形的概率是（14. 已知 k R, AB k,1 , AC2,4 ，若 AB）A ．1B ．1C.2D ．56 3 3 6,.15.生于瑞士的数学巨星欧拉在1765 年发布的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同向来线上。

第五章 平面向量第一节 平面向量的线性运算及其坐标表示题型59 向量的概念及共线向量 题型60 平面向量的线性表示——暂无 题型61 向量共线的应用1.（2017全国3理12）在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为（ ）. A ．3B．D ．2解析 解法一：由题意，作出图像，如图所示．设BD 与C 切于点E ，联结CE ．以点A 为坐标原点，AD 为x 轴正半轴，AB 为y 轴正半轴建立直角坐标系，则点C 坐标为(2,1)．因为||1CD =，||2BC =．所以BD =BD 切C 于点E ．所以CE⊥BD ．所以CE 是Rt BCD △斜边BD上的高．1222BCDBC CDS EC BD BD ⋅⋅⋅====△ 即C．因为点P 在C 上．所以点P 的轨迹方程为224(2)(1)5x y -+-=．设点P 的坐标为00(,)x y ，可以设出点P坐标满足的参数方程0021x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，而00(,)AP x y =，(0,1)AB =，(2,0)AD =． 因为(0,1)(2,0)(2,)AP AB AD λμλμμλ=+=+=，所以0112x μθ==+，01y λθ==．两式相加得()112λμθθθϕ+=++=++= 2sin()3θϕ++≤ (其中sin ϕ=，cos ϕ=，当且仅当π2π2k θϕ=+-，k ∈Z 时，λμ+取得最大值为3．故选A.解法二：如图所示，考虑向量线性分解的等系数和线，可得λμ+的最大值为3.2.(2017浙江理15)已知向量a ，b 满足1=a ，2=b ，则++-a b a b的最小值是 ，最大值是 .解析 解法一：如图所示，a +b 和-a b 是以,a b 为邻边的平行四边形的两条对角线，则()2222210++-=+=a b a b a b，A 是以O 为圆心的单位圆上的一动点，构造2个全等的平行四边形AOBD ，平行四边形ECOA ．所以AB AC +-=+a +b a b ． 易知当A ，B ，C 三点共线时，AB AC +最小，此时4AB AC BC +==； 当AO BC ⊥时，AB AC+最大，此时2AB AC AB +==解法二:()2222++-=++-++-=a b a b a b a b a b a b ()222++a b1010+=+θ是向量a ，b 的夹角).所以当2cos 1θ=时，++-a b a b 取得最小值4；当2cos 0θ=时，++-a b a b 取得最大值a题型62 平面向量基本定理及应用1.（2017江苏12）如图所示，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC 的模分别为1，1OA 与OC 的夹角为α，且t a n 7α=，OB 与OC 的夹角为45︒．若O C m O An O =+(),mn ∈R ， 则m n += ．B解析 解法一：由题意OC OA mOA OA nOB OAOC OB mOA OB nOB OB⎧⋅=⋅+⋅⎪⎨⋅=⋅+⋅⎪⎩ （*）而由tan 7α=，得sin α=，cos α=，11cos 4OA OB απ⎛⎫⋅=⨯⨯+ ⎪⎝⎭3cos cos sin sin 445ααππ=⋅-⋅=-．将（*）式化简为13 5531 5m n m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩①②式①加式②，得3m n +=．故填3．解法二（坐标法）：如图所示，以OA 所在的直线为x 轴，过O 且垂直于OA 的直线为y 轴建立平面直角坐标系，由题意结合解法一可得()1,0A ，17,55C ⎛⎫⎪⎝⎭，34,55B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由OC mOA nOB =+，得()1734,1,0,5555m n ⎛⎫⎛⎫=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即13557455m n n⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得5474m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故3m n +=．故填3．解法三（解三角形）：由tan 7α=，可得sin α=，cos α=，如图所示，根据向量的分解，易得cos 45cos sin 45sin 0n m n m αα⎧︒+=⎪⎨︒-=⎪⎩2100n m +=⎪⎪=，即510570n m n m +=⎧⎨-=⎩，解得57,44m n ==，所以3m n +=．题型63 平面向量的坐标运算1.（2017江苏13）在平面直角坐标系xOy 中，点()12,0A -，()0,6B ，点P 在圆22:50O x y +=上．若20PA PB ⋅…，则点P 的横坐标的取值范围是 ．解析 不妨设()00,P x y ，则220050x y +=，且易知0x ⎡∈-⎣．因为PA PB AP BP =⋅⋅()()000012,,6x y x y =+⋅-=220000126x x y y ++-005012620x y =+-…，故00250x y -+…．所以点()00,P x y 在圆22:50O x y +=上，且在直线250x y -+=的左上方（含直线）.联立2250250x y x y ⎧+=⎨-+=⎩，得15x =-，21x =，如图所示，结合图形知0x ⎡⎤∈-⎣⎦．故填⎡⎤-⎣⎦．2评注 也可以理解为点P 在圆22000012620x y x y +=+-的内部来解决，与解析中的方法一致．题型64 向量共线（平行）的坐标表示——暂无第二节 平面向量的数量积题型65 平面向量的数量积1.（2017天津理13）在ABC △中，60A =∠，3AB =，2AC =.若2BD DC =，()AE AC AB λλ∈=-R ，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为___________.解析 解法一：如图所示，以向量AB ，AC 为平面向量的基底，则依题意可得1cos 603232AB AC AB AC ⋅==⨯⨯=.又因为2BD DC =， 则()22213333AD AB BD AB BC AB AC AB AC AB =+=+=+-=+， 则22212114533333AD AE AC AB AC AB λλλ⎛⎫-=⋅=-+-⋅=- ⎪⎝⎭，解得311λ=.DCBA解法二：以点A 为坐标原点，以AB 所在的直线为x 轴，建立直角坐标系(如图所示).依题意易得()0,0A ，()3,0B，(C ，()=3,0AB，(BC =-，(=1,3AC .则可得2533AD AB BD AB BC ⎛=+=+= ⎝⎭，()AE AC AB λλ=-=-，于是有()511432533AD AE λλλ-=⋅=-+=-，解得311λ=.2.(2017北京理6)设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的（ ）. A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C. 充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析若0λ∃<，使λ=m n ，即两向量方向相反，夹角为180，则0⋅<m n .若0⋅<m n ，也可能夹角为(90,180⎤⎦，方向并不一定相反，故不一定存在.故选A.3.（2017全国1理13）13.已知向量a ，b 的夹角为60，2=a ， 1=b ，则2+=a b .解析 ()22222(2)22cos602+=+=+⋅⋅⋅+a b a b a a b b221222222=+⨯⨯⨯+=444++=12，所以2+=a b .4.（2017全国2理12）已知ABC △是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（ ）.A.2-B.32-C. 43- D.1-解析 解法一（几何法）：如图所示，取BC 的中点D ，联结AD ，取AD 的中点E ，由2PB PC PD +=，则()()()22PA PB PC PD PA PE ED PE EA ⋅+=⋅=+⋅+=()222PE ED-=2221132422PE AD AD ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭…，当且仅当20PE =，即点P 与点E 重合时，取得最小值为32-，故选B.解法二（解析法）：建立如图所示的直角坐标系，以的BC 的中点为坐标原点， 所以(0A ，()10B -，，()10C ，．设点()P x y ，，()PA x y =-，()1PB x y =---，，()1PC x y =--，，所以()2222PA PB PC x y ⋅+=-+22324x y ⎡⎤⎛⎢⎥=+-- ⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 则其最小值为33242⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，此时0x =，y =．故选B.5.（2017全国3理12）在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为（ ）. A ．3B．D ．2解析 解法一：由题意，作出图像，如图所示．设BD 与C 切于点E ，联结CE ．以点A 为坐标原点，AD 为x 轴正半轴，AB 为y 轴正半轴建立直角坐标系，则点C 坐标为(2,1)．因为||1CD =，||2BC =．所以BD =BD 切C 于点E ．所以CE⊥BD ．所以CE 是Rt BCD △斜边BD上的高．1222BCDBC CDS EC BD BD ⋅⋅⋅====△ 即C．因为点P 在C 上．所以点P 的轨迹方程为224(2)(1)5x y -+-=．设点P 的坐标为00(,)x y ，可以设出点P坐标满足的参数方程0021x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，而00(,)AP x y =，(0,1)AB =，(2,0)AD =． 因为(0,1)(2,0)(2,)AP AB AD λμλμμλ=+=+=，所以0112x μθ==+，01y λθ==．两式相加得()112λμθθθϕ+=++=++=2sin()3θϕ++≤ (其中sin ϕ=，cos ϕ=，当且仅当π2π2k θϕ=+-，k ∈Z 时，λμ+取得最大值为3．故选A.解法二：如图所示，考虑向量线性分解的等系数和线，可得λμ+的最大值为3.λ+μ=2λ+μ=3DCBA6.（2017山东理12）已知12,e e 是互相垂直的单位向量，12-e 与12λ+e e 的夹角为60，则实数λ的值是. 解析)()221212112122λλλ-⋅+=+⋅-⋅-=e e e e e e e e ，122-===e，12λ+===e e2cos601λ==+λ=．7.(2017浙江理10)如图所示，已知平面四边形ABCD，AB BC⊥，2AB BC AD===，3CD=，AC与BD 交于点O，记1·I O A O B=，2·I OBOC=，3·I OCOD=，则（）.A．123I I I<<B．132I I I<<C．312I I I<<D．213I I I<<解析如图所示，动态研究问题:D D¢®，O O¢®．此时有90AOB?o，90BOC?o，90COD?o，且CO AO>，DO BO>．故OB OC OA OB OC OD???u u u r u u u r u u r u u u r u u u r u u u r.8.(2017浙江理15)已知向量a，b满足1=a，2=b，则++-a b a b的最小值是，最大值是.解析解法一：如图所示，a+b和-a b是以,a b为邻边的平行四边形的两条对角线，则()2222210++-=+=a b a b a b，A是以O为圆心的单位圆上的一动点，构造2个全等的平行四边形AOBD，平行四边形ECOA．所以AB AC+-=+a+b a b．易知当A，B，C三点共线时，AB AC+最小，此时4AB AC BC+==；当AO BC⊥时，AB AC+最大，此时2AB AC AB+==Aa解法二:()2222++-=++-++-=a b a b a b a b a b a b ()222++a b1010+=+θ是向量a ，b 的夹角).所以当2cos 1θ=时，++-a b a b 取得最小值4；当2cos 0θ=时，++-a b a b 取得最大值题型66 向量与三角形的四心——暂无。

2019年高考数学真题分类汇编专题05：平面向量（基础题）一、单选题1.（2019•卷Ⅱ）已知向量=（2，3），=（3，2），则|-|=（）A. B. 2 C. 5 D. 502.（2019•卷Ⅱ）已知=(2,3)，=(3，t)，| |=1，则=（）A. -3B. -2C. 2D. 33.（2019•卷Ⅰ）已知非零向量，满足| |=2| |，且，则与的夹角为（）A. B. C. D.二、填空题4.（2019•江苏）如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是________.5.（2019•浙江）已知正方形ABCD的边长为1，当每个λi（i=1，2，3，4，5，6）取遍±1时，|λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6|的最小值是________，最大值是________6.（2019•天津）在四边形中，，点在线段的延长线上，且，则________.7.（2019•全国Ⅲ）已知向量，则________.8.（2019•全国Ⅲ）已知a，b为单位向量，且a-b=0，若c=2a- b，则cos<a，c>=________。

9.（2019•北京）已知向量=（-4.3），=（6，m），且，则m=________.答案解析部分一、单选题1.【答案】A【考点】向量的模【解析】【解答】∵- =(-1,1), ∴,故答案为：A【分析】首先求出两个向量之差的坐标，进而可求出- 的模的大小即可。

2.【答案】C【考点】平面向量数量积的运算【解析】【解答】, = ，求出t=3即可得出, = .故答案为：C【分析】首先利用向量的减法求出向量BC的坐标，再利用向量的模的公式求出t的值，结合向量的数量积运算公式代入数值求出结果即可。

3.【答案】B【考点】平面向量数量积的运算【解析】【解答】设与的夹角为∵θ为两向量的夹角，【分析】利用向量垂直数量积为0的等价关系，用数量积公式结合已知条件和两向量间夹角的取值范围求出与的夹角。

五年（2019-2023）年高考真题分项汇编专题09平面向量、不等式及复数考点精析考点一基本不等式及其应用1．（2019•上海）若x ，y R +∈，且123y x +=，则yx的最大值为．【解析】132yx =+，∴298y x =；故答案为：982．（2020•上海）下列不等式恒成立的是()A ．222a b ab+B ．222a b ab+-C ．a b +D ．222a b ab+-【解析】A ．显然当0a <，0b >时，不等式222a b ab +不成立，故A 错误；B ．2()0a b + ，2220a b ab ∴++，222a b ab ∴+-，故B 正确；C ．显然当0a <，0b <时，不等式a b +不成立，故C 错误；D ．显然当0a >，0b >时，不等式222a b ab +-不成立，故D 错误．故选：B ．3．（2022•上海）若实数a 、b 满足0a b >>，下列不等式中恒成立的是()A ．a b +>B ．a b +<C ．22ab +>D ．22ab +<【解析】因为0a b >>，所以a b +，当且仅当a b =时取等号，又0a b >>，所以a b +>，故A 正确，B 错误，22a b +=22a b =，即4a b =时取等号，故CD 错误，故选：A ．4．【多选】（2020•山东）已知0a >，0b >，且1a b +=，则()A ．2212a b +B ．122a b ->C ．22log log 2a b +-D 【解析】①已知0a >，0b >，且1a b +=，所以222()22a b a b ++，则2212a b +，故A 正确．②利用分析法：要证122a b ->，只需证明1a b ->-即可，即1a b >-，由于0a >，0b >，且1a b +=，所以：0a >，110b -<-<，故B 正确．③22222log log log log ()22a b a b ab ++==-，故C 错误．④由于0a >，0b >，且1a b +=，利用分析法：要证成立，只需对关系式进行平方，整理得2a b ++，即1，故122a b +=，当且仅当12a b ==时，等号成立．故D 正确．故选：ABD ．5．（2021•上海）已知函数()3(0)31x xaf x a =+>+的最小值为5，则a =．【解析】()3311153131x xx x a a f x =+=++--=++，所以9a =，经检验，32x =时等号成立．故答案为：9．6．【多选】（2022•新高考Ⅱ）若x ，y 满足221x y xy +-=，则()A ．1x y +B ．2x y +-C ．222x y +D ．221x y +【解析】方法一：由221x y xy +-=可得，22()12y x y -+=，令cos 2sin 2y x y θθ⎧-=⎪⎪⎪=⎪⎩，则sin cos 3x y θθθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，cos 2sin()[26x y πθθθ∴+=+=+∈-，2]，故A 错，B对，222214242cos ))2cos 2sin(2)[333633x y πθθθθθθ+=++=-+=-+∈ ，2]，故C 对，D 错，方法二：对于A ，B ，由221x y xy +-=可得，22()1313()2x y x y xy ++=++，即21()14x y +，2()4x y ∴+，22x y ∴-+，故A 错，B 对，对于C ，D ，由221x y xy +-=得，222212x y x y xy ++-=，222x y ∴+，故C 对；222x y xy +- ，222222223()122x y x y x y xy x y ++∴=+-++=，∴2223x y +，故D 错误．故选：BC ．考点二平面向量的线性运算7．（2020•海南）在ABC ∆中，D 是AB 边上的中点，则(CB =)A ．2CD CA +B ．2CD CA -C ．2CD CA- D ．2CD CA+【解析】在ABC ∆中，D 是AB 边上的中点，则CB CD DB CD AD =+=+ ()CD AC CD =++ 2CD CA =- ．故选：C ．8．（2019•浙江）已知正方形ABCD 的边长为1．当每个(1i i λ=，2，3，4，5，6)取遍1±时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++的最小值是，最大值是．【解析】如图，建立平面直角坐标系，则(0,0)A ，(1,0)B ，(1,1)C ，(0,1)D ，∴(1,0)AB = ，(0,1)BC = ，(1,0)CD =- ，(0,1)DA =- ，(1,1)AC = ，(1,1)BD =-，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ∴+++++ 1356|(λλλλ=-+-，2456)|λλλλ-++2213562456()()λλλλλλλλ=-+-+-++，(*)，(*)中第一个括号中的1λ，3λ与第二个括号中的2λ，4λ的取值互不影响，只需讨论5λ，6λ的取值情况即可，当5λ，6λ同号时，不妨取51λ=，61λ=，则(*)221324()(2)λλλλ-+-+，1λ ，2λ，3λ，4{1λ∈-，1}，13λλ∴=，2422(1λλλ-=-=-，41)λ=时，(*)取得最小值0，当13||2λλ-=（如11λ=，31)λ=-，2422(1λλλ-==，41)λ=-时，(*)式取得最大值为25，当5λ，6λ异号时，不妨取51λ=，61λ=-，则(*)221224(2)()λλλλ-++-，同理可得最小值为0，最大值为25故答案为：0；59．（2020•上海）已知1a ，2a ，1b ，2b ，⋯，(*)k b k N ∈ 是平面内两两互不相等的向量，满足12||1a a -=，且||{1i j a b -∈，2}（其中1i =，2，1j =，2，⋯，)k ，则k 的最大值是．【解析】如图，设11OA a = ，22OA a = ，由12||1a a -=，且||{1i j a b -∈ ，2}，分别以1A ，2A 为圆心，以1和2为半径画圆，其中任意两圆的公共点共有6个．故满足条件的k 的最大值为6．故答案为：6．考点三平面向量的基本定理10．（2022•新高考Ⅰ）在ABC ∆中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m = ，CD n =，则(CB = )A ．32m n- B ．23m n-+C ．32m n+ D ．23m n+ 【解析】如图，1111()2222CD CA AD CA DB CA CB CD CA CB CD =+=+=+-=+- ，∴1322CB CD CA =- ，即3232CB CD CA n m =-=-．故选：B ．考点四平面向量数量积的运算11．（2023•上海）已知向量(2,3)a =- ，(1,2)b = ，则a b ⋅=．【解析】 向量(2,3)a =-，(1,2)b = ，故答案为：4．12．（2021•浙江）已知非零向量a，b ，c ，则“a c b c ⋅=⋅ ”是“a b = ”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】当a c ⊥ 且b c ⊥ ，则0a c b c ⋅=⋅= ，但a与b 不一定相等，故a b b c ⋅=⋅ 不能推出a b = ，则“a c b c ⋅=⋅ ”是“a b =”的不充分条件；由a b = ，可得0a b -= ，则()0a b c -⋅= ，即a b b c ⋅=⋅ ，所以a b = 可以推出a b b c ⋅=⋅ ，故“a c b c ⋅=⋅ ”是“a b =”的必要条件．综上所述，“a c b c ⋅=⋅ ”是“a b =”的必要不充分条件．故选：B ．13．（2021•上海）如图正方形ABCD 的边长为3，求AB AC ⋅=．【解析】由数量积的定义，可得cos AB AC AB AC BAC ⋅=⨯⨯∠，因为cos AB AC BAC =⨯∠，所以29AB AC AB ⋅== ．故答案为：9．14．（2021•新高考Ⅱ）已知向量0a b c ++= ，||1a =，||||2b c == ，则a b b c c a ⋅+⋅+⋅=．【解析】方法1：由0a b c ++= 得a b c +=- 或a c b +=- 或b c a +=-，22()()a b c ∴+=- 或22()()a c b +=- 或22()()b c a +=-，又||1a = ，||||2b c == ，524a b ∴+⋅= ，524a c +⋅=，821b c +⋅= ，∴12a b ⋅=- ，12a c ⋅=- ，72b c ⋅=- ，∴92a b a c b c ⋅+⋅+⋅=-．故答案为：92-．方法2222()||||||014492:222a b c a b c a b b c c a ++------⋅+⋅+⋅===-．故答案为：92-．15．（2020•上海）三角形ABC 中，D 是BC 中点，2AB =，3BC =，4AC =，则AD AB =．【解析】 在ABC ∆中，2AB =，3BC =，4AC =，∴由余弦定理得，222416911cos 222416AB AC BC BAC AB AC +-+-∠===⨯⨯ ，∴111124162AB AC =⨯⨯= ，且D 是BC 的中点，∴1()2AD AB AB AC AB=+ 21()2AB AB AC =+111(4)22=⨯+194=．故答案为：194．16．【多选】（2021•新高考Ⅰ）已知O 为坐标原点，点1(cos ,sin )P αα，2(cos ,sin )P ββ-，3(cos()P αβ+，sin())αβ+，(1,0)A ，则()A ．12||||OP OP = B ．12||||AP AP = C ．312OA OP OP OP ⋅=⋅ D ．123OA OP OP OP ⋅=⋅ 【解析】法一、1(cos ,sin )P αα ，2(cos ,sin )P ββ-，3(cos()P αβ+，sin())αβ+，(1,0)A ，∴1(cos ,sin )OP αα= ，2(cos ,sin )OP ββ=- ，3(cos()OP αβ=+ ，sin())αβ+，(1,0)OA =，1(cos 1,sin )AP αα=- ，2(cos 1,sin )AP ββ=-- ，则1||1OP == ，2||1OP = ，则12||||OP OP = ，故A 正确；1||AP == ，2||AP =，12||||AP AP ≠ ，故B 错误；31cos()0sin()cos()OA OP αβαβαβ⋅=⨯++⨯+=+，12cos cos sin sin cos()OP OP αβαβαβ⋅=-=+ ，∴312OA OP OP OP ⋅=⋅，故C 正确；11cos 0sin cos OA OP ααα⋅=⨯+⨯=，23cos cos()sin sin()cos[()]cos(2)OP OP βαββαββαβαβ⋅=+-+=++=+，∴123OA OP OP OP ⋅≠⋅，故D 错误．故选：AC ．法二、如图建立平面直角坐标系，(1,0)A ，作出单位圆O ，并作出角α，β，β-，使角α的始边与OA 重合，终边交圆O 于点1P ，角β的始边为1OP ，终边交圆O 于3P ，角β-的始边为OA ，交圆O 于2P ，于是1(cos ,sin )P αα，3(cos()P αβ+，sin())αβ+，2(cos ,sin )P ββ-，由向量的模与数量积可知，A 、C 正确；B 、D 错误．故选：AC ．17．（2022•上海）若平面向量||||||a b c λ=== ，且满足0a b ⋅= ，2a c ⋅=，1b c ⋅= ，则λ=．【解析】由题意，有0a b ⋅= ，则a b ⊥，设,a c θ<>= ，21a c b c ⋅=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩⇒2,1,2a c cos bc cos θπθ⎧=⎪⎨⎛⎫-= ⎪⎪⎝⎭⎩①②则②①得，1tan 2θ=，由同角三角函数的基本关系得：cos θ=，则25||||cos 25a c a c θλλ⋅==⋅⋅=，2λ=，则λ=．．18．（2020•山东）已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范围是()A ．(2,6)-B ．(6,2)-C ．(2,4)-D ．(4,6)-【解析】画出图形如图，||||cos ,AP AB AP AB AP AB ⋅=<> ，它的几何意义是AB 的长度与AP 在AB向量的投影的乘积，显然，P 在C 处时，取得最大值，1||cos ||||32AC CAB AB AB ∠=+=，可得||||cos ,236AP AB AP AB AP AB ⋅=<>=⨯= ，最大值为6，在F 处取得最小值，1||||cos ,2222AP AB AP AB AP AB ⋅=<>=-⨯⨯=- ，最小值为2-，P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，所以AP AB ⋅的取值范围是(2,6)-．故选：A ．19．（2021•上海）在ABC ∆中，D 为BC 中点，E 为AD 中点，则以下结论：①存在ABC ∆，使得0AB CE ⋅=；②存在ABC ∆，使得//()CE CB CA +；它们的成立情况是()A ．①成立，②成立B ．①成立，②不成立C ．①不成立，②成立D ．①不成立，②不成立【解析】不妨设(2,2)A x y ，(1,0)B -，(1,0)C ，(0,0)D ，(,)E x y ，①(12,2)AB x y =--- ，(1,)CE x y =-，若0AB CE ⋅=，则2(12)(1)20x x y -+--=，即2(12)(1)2x x y -+-=，满足条件的(,)x y 存在，例如，满足上式，所以①成立；②F 为AB 中点，()2CB CA CF +=，CF 与AD 的交点即为重心G ，因为G 为AD 的三等分点，E 为AD 中点，所以CE 与CG不共线，即②不成立．故选：B ．20．（2022•浙江）设点P 在单位圆的内接正八边形128A A A ⋯的边12A A 上，则222128PA PA PA ++⋯+ 的取值范围是．【解析】以圆心为原点，73A A 所在直线为x 轴，51A A 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则1(0,1)A ，222(22A ，3(1,0)A ，422(,)22A -，5(0,1)A -，622(,22A --，7(1,0)A -，822(22A ，设(,)P x y ，则222222222222212812345678||||||||||||||||8()8PA PA PA PA PA PA PA PA PA PA PA x y ++⋯+=+++++++=++ ，cos 22.5||1OP ︒ ，∴221cos 4512x y +︒+，∴222214x y ++，2212228()816x y ∴+++，即222128PA PA PA ++⋯+ 的取值范围是[1222+，16]，故答案为：[1222+，16]．21．（2021•浙江）已知平面向量a，b ，(0)c c ≠ 满足||1a = ，||2b = ，0a b ⋅= ，()0a b c -⋅= ．记平面向量d 在a ，b 方向上的投影分别为x ，y ，d a - 在c方向上的投影为z ，则222x y z ++的最小值是．【解析】令(1,0),(0,2),(,)a b c m n ===，因为()0a b c -⋅= ，故(1，2)(m -⋅，)0n =，20m n ∴-=，令(2,)c n n =，平面向量d 在a ，b方向上的投影分别为x ，y ，设(,)d x y = ，则：(1,),()2(1),|||d a x y d a c n x ny c n -=--⋅=-+=，从而：()||d a c z c -⋅==22x y +±=，方法一：由柯西不等式可得22x y +=，化简得22242105x y z ++=，当且仅当21x y z ==，即215,,555x y z ===-时取等号，故222x y z ++的最小值为25．方法二：则222x y z ++表示空间中坐标原点到平面220x y +±-=上的点的距离的平方，由平面直角坐标系中点到直线距离公式推广得到的空间直角坐标系中点到平面距离公式可得：222242()105min x y z ++===．故答案为：25．考点五平面向量的数量积的应用22．（2023•新高考Ⅰ）已知向量(1,1)a =，(1,1)b =- ．若()()a b a b λμ+⊥+ ，则()A ．1λμ+=B ．1λμ+=-C ．1λμ=D ．1λμ=-【解析】 (1,1)a =，(1,1)b =- ，∴(1,1)a b λλλ+=+- ，(1,1)a b μμμ+=+-，由()()a b a b λμ+⊥+，得(1)(1)(1)(1)0λμλμ+++--=，整理得：220λμ+=，即1λμ=-．故选：D ．23．（2023•新高考Ⅱ）已知向量a，b 满足||a b -= |||2|a b a b +=- ，则||b =．【解析】||a b -=，|||2|a b a b +=- ，∴2223a b a b +-⋅= ，2222244a b a b a b a b ++⋅=+-⋅ ，∴22a a b =⋅，∴23b = ，∴||b =．．24．（2022•新高考Ⅱ）已知向量(3,4)a = ，(1,0)b = ，c a tb =+ ，若a <，c b >=< ，c > ，则(t =)A ．6-B ．5-C ．5D ．6【解析】 向量(3,4)a =，(1,0)b = ，c a tb =+ ，∴(3,4)c t =+，a < ，cb >=<，c > ，∴||||||||a c b c a c b c ⋅⋅=⋅⋅，∴253351t t++=，解得实数5t =．故选：C ．25．（2020•浙江）已知平面单位向量1e ，2e满足12|2|e e - ．设12a e e =+ ，123b e e =+ ，向量a，b 的夹角为θ，则2cos θ的最小值是．【解析】设1e 、2e 的夹角为α，由1e ，2e为单位向量，满足12|2|e e -所以2211224444cos 12e e e e α-+=-+ ，解得3cos 4α；又12a e e =+ ，123b e e =+ ，且a，b 的夹角为θ，所以2211223444cos a b e e e e α=++=+ ，2221122222cos a e e e e α=++=+ ，222112296106cos b e e e e α=++=+ ；则222228()(44cos )44cos 43cos (22cos )(106cos )53cos 353cos a b a bααθαααα++====++++⨯ ，所以3cos 4α=时，2cos θ取得最小值为842833329534-=+⨯．故答案为：2829．考点六复数的基本概念26．（2022•浙江）已知a ，b R ∈，3()(a i b i i i +=+为虚数单位），则()A ．1a =，3b =-B ．1a =-，3b =C ．1a =-，3b =-D ．1a =，3b =【解析】3()1a i b i i bi +=+=-+ ，a ，b R ∈，1a ∴=-，3b =，故选：B ．27．（2020•浙江）已知a R ∈，若1(2)(a a i i -+-为虚数单位）是实数，则(a =)A ．1B ．1-C ．2D ．2-【解析】a R ∈，若1(2)(a a i i -+-为虚数单位）是实数，可得20a -=，解得2a =．故选：C ．考点七复数的几何意义28．（2023•新高考Ⅱ）在复平面内，(13)(3)i i +-对应的点位于()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】(13)(3)39368i i i i i +-=-++=+，则在复平面内，(13)(3)i i +-对应的点的坐标为(6,8)，位于第一象限．故选：A ．29．（2021•新高考Ⅱ）复数213ii--在复平面内对应点所在的象限为()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】 2222(2)(13)263551113(13)(13)1(3)1022i i i i i i i i i i i --++--+====+--++-，∴在复平面内，复数213i i --对应的点的坐标为1(2，1)2，位于第一象限．故选：A ．考点八复数的运算A ．i -B ．iC ．0D ．1【解析】21111(1)122212(1)(1)2i i i z i i i i i ---==⋅=⋅=-+++-，则12z i =，故z z i -=-．故选：A ．31．（2022•新高考Ⅱ）(22)(12)(i i +-=)A ．24i-+B ．24i--C ．62i +D ．62i-【解析】2(22)(12)242462i i i i i i +-=-+-=-．故选：D ．32．（2021•浙江）已知a R ∈，(1)3(ai i i i +=+为虚数单位），则(a =)A ．1-B ．1C ．3-D ．3【解析】因为(1)3ai i i +=+，即3a i i -+=+，由复数相等的定义可得，3a -=，即3a =-．故选：C ．33．（2020•海南）(12)(2)(i i ++=)A ．45i+B ．5iC ．5i -D ．23i+【解析】2(12)(2)2425i i i i i i ++=+++=，故选：B ．34．（2020•山东）2(12ii-=+)A ．1B ．1-C ．i D ．i-【解析】2(2)(12)512(12)(12)14i i i ii i i i ----===-++-+，故选：D ．35．（2023•上海）已知复数1(z i i =-为虚数单位），则|1|iz +=．【解析】1z i =- ，|1||1(1)||2|iz i i i ∴+=+-=+=．36．（2021•上海）已知11z i =+，223z i =+，求12z z +=．【解析】因为11z i =+，223z i =+，所以1234z z i +=+．故答案为：34i +．37．（2020•上海）已知复数12(z i i =-为虚数单位），则||z =．【解析】由12z i =-，得||z ==．38．（2019•上海）已知z C ∈，且满足15i z =-，求z =．【解析】由15i z =-，得15z i -=，即155z i i=+=-．故答案为：5i -．39．（2019•浙江）复数1(1z i i=+为虚数单位），则||z =．【解析】11111(1)(1)22i z i i i -===-++- ．||2z ∴==．故答案为：22．考点九共轭复数40．（2022•新高考Ⅰ）若(1)1i z -=，则(z z +=)A ．2-B ．1-C ．1D ．2【解析】由(1)1i z -=，得211iz i i i --===--，1z i ∴=+，则1z i =-，∴112z z i i +=++-=．故选：D ．41．（2021•新高考Ⅰ）已知2z i =-，则()(z z i +=)A ．62i-B ．42i-C ．62i +D ．42i+【解析】2z i =- ，2()(2)(2)(2)(22)442262z z i i i i i i i i i i ∴+=-++=-+=+--=+．故选：C ．42．（2022•上海）已知1z i =+（其中i 为虚数单位），则2z =．【解析】1z i =+，则1z i =-，所以222z i =-．故答案为：22i -．43．（2020•上海）已知复数z 满足26z z i +=+，则z 的实部为．【解析】设z a bi =+，(,)a b R ∈． 复数z 满足26z z i +=+，36a bi i ∴-=+，可得：36a =，1b -=，解得2a =，1b =-．则z 的实部为2．故答案为：2．。

2019-2020年高考数学一轮总复习第五章平面向量解三角形5.2平面向量的数量积及其应用专用题组理新人教B版考点二数量积的综合应用20.(xx江西,7,5分)在直角三角形ABC中,点D是斜边AB的中点,点P为线段CD的中点,则=( )A.2B.4C.5D.10答案 D 解法一:以C为原点,CA,CB所在直线为x,y轴建立直角坐标系.设A(a,0),B(0,b),则D,P.从而|PA|2+|PB|2=+=(a2+b2)=10|PC|2,故选D.解法二:-=,且+=2,两式平方相加得2+2=+4=4+4=20,故选D.解法三:由平行四边形性质得2(+)=+(2)2=4+4=20,故选D.评析本题考查向量的运算和平行四边形性质.考查了数形结合思想和化归与转化思想,以及推理论证能力和应用意识.21.(xx福建,7,5分)在四边形ABCD中,=(1,2),=(-4,2),则该四边形的面积为( )A. B.2 C.5 D.10答案C·=(1,2)·(-4,2)=0,故⊥.故四边形ABCD的对角线互相垂直,面积S=·||·||=××2=5,选C.评析本题考查向量的坐标运算和数量积的应用,考查学生的运算求解及观察能力,能否得出与互相垂直是解决本题的关键.22.(xx湖南,7,5分)在△ABC中,AB=2,AC=3,·=1,则BC=( )A. B. C.2 D.答案A∵·=·(-)=·-=1,∴·=5,即2×3cos A=5,∴cos A=.由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos A=3,∴BC=,故选A.评析本题考查了向量的基本运算和解三角形.把向量、作为基底,进而得出cos A=是解题的关键.23.(xx江西,12,5分)设e1,e2为单位向量,且e1,e2的夹角为,若a=e1+3e2,b=2e1,则向量a在b方向上的射影为.答案解析向量a在b方向上的射影为|a|·cos<a,b>=,又a·b=(e1+3e2)·2e1=2+6e1·e2=2+6×=5,|b|=|2e1|=2,∴|a|·cos<a,b>=.24.(xx课标全国Ⅰ,13,5分)已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b.若b·c=0,则t= .答案 2解析解法一:∵b·c=0,∴b·[ta+(1-t)b]=0,ta·b+(1-t)·b2=0,又∵|a|=|b|=1,<a,b>=60°,∴t+1-t=0,t=2.解法二:由t+(1-t)=1知向量a、b、c的终点A、B、C共线,在平面直角坐标系中设a=(1,0),b=,则c=.把a、b、c的坐标代入c=ta+(1-t)b,得t=2.25.(xx山东,15,4分)已知向量与的夹角为120°,且||=3,||=2.若=λ+,且⊥,则实数λ的值为.答案解析∵⊥,∴·=0,∴(λ+)·=0,即(λ+)·(-)=λ·-λ+-·=0.∵向量与的夹角为120°,||=3,||=2,∴(λ-1)||||·cos 120°-9λ+4=0,解得λ=.。

2019-2020年高考数学总复习专题05平面向量分项练习含解析理(II)一．基础题组1. 【xx全国，理6】△ABC中，AB边的高为CD．若＝a，＝b，a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则＝( )A． B． C． D．【答案】D2. 【xx高考新课标2，理13】设向量，不平行，向量与平行，则实数_________．【答案】【解析】因为向量与平行，所以，则所以．【考点定位】向量共线．3. 【xx高考新课标2理数】已知向量，且，则m=（A）−8 （B）−6 （C）6 （D）8【答案】D【解析】试题分析：，由得，解得，故选D.【考点】平面向量的坐标运算、数量积【名师点睛】已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2， y 2)： 几何表示 坐标表示 模|a |＝ |a |＝ 夹角 cos θ＝ cos θ＝a ⊥b 的充要条件a·b ＝0 x 1x 2＋y 1y 2＝0二．能力题组 1. 【xx 新课标，理3】设向量a,b 满足|a+b |=，|a-b |=，则ab = ( )A. 1B. 2C. 3D. 5【答案】A【解析】因为=10，，两式相加得：，所以，故选A.2. 【xx 全国2，理8】△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB ，若＝a ，＝b ，|a |＝1，|b |＝2，则 等于( )A. a ＋bB. a ＋bC. a ＋bD. a ＋b【答案】：B【解析】法一：(直接法)∵CD 平分∠ACB ，∴＝＝∴＝2＝＝23(－)＝ (a －b )． ∴＝＋＝b ＋ (a －b )＝a ＋b .法二：(排除法)由角平分线的性质知λ＝a ＋b ＝a ＋b .故＝a ＋b .系数之比为2∶1，只有B 项符合．3. 【xx 全国3，理14】已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-u u u r u u u r u u u r ，且A 、B 、C 三点共线，则k= .【答案】三．拔高题组1. 1. 【xx 全国2，理8】已知点，，．设的一平分线与相交于，那么有，其中等于（ ）(A) 2 (B) (C) (D)【答案】C【解析】2. 【xx课标全国Ⅱ，理13】已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则＝__________. 【答案】：2【解析】：以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点A 的坐标为(0,0)，点B的坐标为(2,0)，点D的坐标为(0,2)，点E的坐标为(1,2)，则＝(1,2)，＝(－2,2)，所以.。