2020高考数学艺考生冲刺第二章平面向量第4讲平面向量的线性运算及基本定理课件

考点二十五平面向量的基本观点及其线性运算知识梳理1．向量的相关观点(1) 向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量→的大小叫做向量的长度(或模 )，记作AB→|AB|.(2)零向量：长度为 0 的向量叫做零向量，其方向是随意的．(3)单位向量：长度等于 1 个单位长度的向量叫做单位向量．(4) 平行向量：方向同样或相反的非零向量叫做平行向量．平行向量又称为共线向量，任一组平行向量都能够移到同向来线上．规定： 0 与任一直量平行．(5)相等向量：长度相等且方向同样的向量叫做相等向量．(6) 相反向量：与向量a长度相等且方向相反的向量叫做 a 的相反向量．规定零向量的相反向量还是零向量．2.向量的加法(1)定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．(2)法例：三角形法例；平行四边形法例．(3)运算律： a＋ b＝b＋ a；(a＋ b)＋ c＝ a＋(b＋ c)．3.向量的减法(1)定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法．(2)法例：三角形法例．(3)运算律： a－ b＝a＋(－ b)4.向量的数乘(1) 实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定以下：①|λa|＝ |λ||a；②当λ>0 时，λa与a的方向同样；当λ<0 时，λa与a的方向相反；当λ＝ 0 时，λa＝0.(2)运算律：设λ、μ∈ R，则：①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋ b)＝λa＋λb．5. 向量共线的判断定理a 是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a 共线．注意：两向量相加、相减结果还是一个向量；数乘一个向量，所得结果也是一个向量．向量加法的三角形法例的重点是“首尾相连，指向终点”，即第二个向量的起点和第一个向量的终点重合，和向量由第一个向量的起点指向第二个向量的终点；向量减法的三角形法例重点是“起点重合，指向被减” ，即作向量减法时，将两个向量的起点重合，而后连结两向量的终点，差向量由减向量的终点指向被减向量的终点．平行四边形法例的重点是“起点重合”，即两向量的起点同样．典例分析题型一例 1平面向量的基本观点给出以下命题：→→①向量 AB的长度与向量BA的长度相等；②两个非零向量 a 与 b 平行，则 a 与 b 的方向同样或相反；③两个有共同起点并且相等的向量，其终点必同样；④两个有公共终点的向量必定是共线向量．此中不正确命题的个数为____________.答案1分析关于④，在△→→ABC 中， BA与 CA有公共终点 A，但不是共线向量，故④错．①②③正确.变式训练以下命题中，正确的选项是________． (填序号 )①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量 a 与向量 b 平行，则 a 与 b 的方向同样或相反；→→③向量 AB与向量 CD 共线，则A、 B、 C、 D 四点共线；④假如 a∥ b，b∥ c，那么 a∥ c；⑤两个向量不可以比较大小，但它们的模能比较大小．答案⑤分析①不正确，向量能够用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量；②不正确，若 a 与 b 中有一个为零向量，零向量的方向是不确立的，故两向量方向不必定同样或相反；③不正确，共线向量所在的直线能够重合，也能够平行；④不正确，假如b＝ 0，则 a 与 c 不必定平行；⑤正确，向量既有大小，又有方向，不可以比较大小；向量的模均为实数，能够比较大小．解题重点注意愿量平行与直线平行的差别与联系，两向量平行，指两向量对应的有向线段所在直线平行或重合，这点与直线平行有差别．此外，平行向量又称共线向量，它们均与起点没关.题型二 平面向量的线性表示→例 2如图，正方形 ABCD 中，点 E 是 DC 的中点，点F 是 BC 的一个三平分点 (凑近 B)，那么 EF ＝____________.答案→→1AB － 2AD23分析→ → →→ 1 →在△ CEF 中，有 EF ＝EC ＋CF ，由于点 E 为 DC 的中点，所以EC ＝DC.由于点 F 为 BC 的一2个三平分点，所以 →→CF ＝2CB.3→ 1 →2→ 1→ 2→ 1→ 2→所以 EF ＝DC ＋3 CB ＝ AB ＋ DA ＝ AB －AD.22323变式训练如图，在正六边形→ → →)ABCDEF 中， BA ＋ CD ＋EF 等于 (→ 答案CF分析 如图，∵在正六边形 ABCDEF 中， → → → →CD ＝ AF ，BF ＝ CE ，→→→→→→→→→→→∴ BA ＋CD ＋ EF ＝BA ＋ AF ＋EF ＝BF ＋EF ＝CE ＋ EF ＝ CF .解题重点 在表示向量时，注意基向量的选用，解题时要擅长运用多边形法例来进行求解． 题型三 向量的共线例 3 设 a ，b 是两个不共线的非零向量，若 8a ＋ k b 与 k a ＋ 2b 共线，则实数 k ＝ __________.答案±4分析由于 8a＋ k b与 k a＋ 2b共线，所以存在实数λ，使8a＋k b＝λ(k a＋2b)，即(8－λk)a＋(k－2λ)b＝ 0.又a，b是两个不共线的非零向量，故8－λk＝ 0，解得 k＝±4. k－ 2λ＝ 0，变式训练设 e1， e2是两个不共线向量，已知→AB＝ 2e1－ 8e2，→→CB＝e1＋ 3e2，CD ＝ 2e1－e2 .(1)求证： A， B， D 三点共线；→k 的值．(2) 若 BF＝ 3e1－ k e2，且 B， D， F 三点共线，求分析(1)证明：由已知得→→ →－e2)－(e1＋3e2)＝ e1－4e2 BD ＝ CD－ CB＝ (2e1→→→，∵ AB＝ 2e1－8e2，∴ AB＝ 2BD又∵ AB 与 BD 有公共点 B，∴ A， B， D 三点共线．→→(2) 由 (1)可知 BD ＝e1－ 4e2，且 BF＝ 3e1－ k e2，∵ B， D， F 三点共线，得→→BF＝λBD ，即 3e1－k e2＝λe1－ 4λe2，λ＝ 3，得解得 k＝12，∴ k＝ 12.－ k＝－ 4λ，解题重点1.证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意愿量共线与三点共线的差别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．2．关于三点共线有以下结论：关于平面上的任一点→→→O，OA，OB不共线，若P，A，B 共线，且 OP＝→→xOA＋ yOB(x， y∈R )，则 x＋ y＝ 1.→ 1 → →3.中点的向量表示：若 A 是 BC 外一点， D 是 BC 中点，则 AD ＝2(AC＋ AB)．当堂练习1．(2015 四川文 )设向量a＝(2,4) 与向量b＝ (x,6)共线，则实数x 等于 ____________.答案3分析a＝(2,4)， b＝( x,6)，∵ a∥ b，∴4x－2×6＝0，∴x＝3.2．以下等式：①0－ a＝－ a；②－(－a)＝ a；③ a＋(－ a)＝0；④ a＋ 0＝ a；⑤ a－ b＝a＋(－ b)．此中正确的个数是 ____________.答案 4 个分析a＋(－ a)＝ 0，故③错，其他等式均正确.3. 若 O， E， F 是不共线的随意三点，则以下各式中建立的是____________.答案 → → →EF ＝ OF － OE分析→ → → → →EF ＝ EO ＋ OF ＝ OF － OE.→ → →→ →→4．如图，已知 AB ＝ a ， AC ＝ b ，BD ＝ 3DC ，用 a ， b 表示 AD ，则 AD ＝ ____________.13答案 4a ＋ 4b分析 → → → → →CB ＝ AB － AC ＝ a － b ，又 BD ＝ 3DC ，→ 1 →1 (a － b )，∴CD ＝ CB ＝4 4→ → → 1 1 3 b .∴ AD ＝AC ＋ CD ＝ b ＋ (a －b ) ＝ a ＋4 4 4→ →5．设 D ， E ， F 分别为 △ABC 的三边 BC ， CA ，AB 的中点，则 EB ＋ FC ＝____________.答案 →AD分析→→→→1→→→→→1→→→1→→→EB ＝ EF ＋ FB ＝ EF ＋ AB ， FC ＝ FE ＋ EC ＝ FE ＋ AC ，∴ EB ＋ FC ＝ ( AB ＋ AC)＝ AD .22 2课后作业一、 填空题1．以下说法正确的个数是____________.①温度、速度、位移、功这些物理量都是向量；②零向量没有方向；③向量的模必定是正数；④非零向量的单位向量是独一的．答案分析 ①错误，只有速度和位移是向量；②错误，零向量是有方向的，它的方向是随意的；③错误，|0|＝0；④明显错误．2．给出以下命题：①两个拥有公共终点的向量，必定是共线向量．②两个向量不可以比较大小，但它们的模能比较大小．③ λa＝0(λ为实数)，则λ必为零．此中错误的命题的个数为____________.答案2分析①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．②正确，由于向量既有大小，又有方向，故它们不可以比较大小，但它们的模均为实数，故能够比较大小．③错误，当 a＝ 0 时，无论λ为什么值，λa＝ 0.3．已知点 O 为△ ABC 外接圆的圆心，且→ →→OA＋ OB＋ CO＝0，则△ ABC 的内角 A 等于 _________.答案30°分析→→→→ →→由 OA＋ OB＋CO＝ 0得 OA＋ OB＝OC，由 O 为△ ABC 外接圆的圆心，联合向量加法的几何意义知四边形 OACB 为菱形，且∠ CAO ＝60°，故 A＝ 30°.→→→→|BC|4．已知平面上不共线的四点O， A， B，C.若 OA＋ 2OC＝3OB，则→的值为 ____________.|AB|答案12→→→→→→→→→→→→1分析|BC|.∵ OA＋ 2OC＝ 3OB，∴ 2OC－ 2OB＝ OB－ OA，即 2BC＝ AB，∴2|BC|＝ |AB|，→＝2|AB|5．关于非零向量a与b，“a＋ 2b＝0”是“a∥b”的 ___________条件答案充足不用要分析“ a＋2b＝0”?“ a∥ b”，但“ a∥b”?/“ a＋2b＝ 0”，所以“ a＋2b＝ 0”是“ a∥ b”的充足不用要条件．6．已知 ABCD 为平行四边形，若向量→→→AB ＝a， AC＝b，则向量 BD 为 ____________.答案b－2a7．已知向量a，b不共线，c＝ k a＋b( k∈R )，d＝a－b，假如c∥d，那么 _______. (填序号 )① k＝1 且c与d同向② k＝ 1 且c与d反向③ k＝－ 1 且c与d同向④ k＝－ 1 且c与d反向答案④分析由题意可设 c＝λd，即k a＋ b＝λ(a－ b)．(λ－k)a＝(λ＋1)b.λ－ k＝ 0，∵ a, b 不共线，∴∴ k＝λ＝－ 1.∴c与d反向 .λ＋ 1＝ 0.8．设 M 是△ ABC 所在平面内的一点，→ → → → →BC ＋ BA ＝ 2BM ，则 MC ＋MA ＝ ____________.答案 → → MC ＋MA ＝0分析→→→→→→→→→→→→∵ BC ＋ BA ＝ 2BM ，∴ MC － MB ＋ MA － MB ＝2BM ，即 MA ＋MC ＝2BM ＋2MB ＝ 0.9．(2015 新课标 II 理)设向量 a ， b 不平行，向量 λa ＋b 与 a ＋ 2b 平行，则实数 λ＝ ____________.答案12分析 ∵向量 a ，b 不平行，∴ a ＋ 2b ≠ 0，又向量 λa ＋ b 与 a ＋ 2b 平行，则存在独一的实数 μ，使 λa＋ b ＝ μ(a ＋ 2b )建立，即 λa ＋b ＝ μa ＋ 2μb ，则得 λ＝ μ，解得 λ＝ μ＝1.1＝ 2μ，2→ → → →→ 10．在 ?ABCD 中， AB ＝ a ， AD ＝ b ， AN ＝ 3NC ， M 为 BC 的中点，则 MN ＝ ________(用 a ， b 表示 )．答案－ 1a ＋1b4 4分析 →→ →1 → 1 →1 b － 1 1 1 b .MN ＝MC ＋ CN ＝ AD － 4 AC ＝ 2( a ＋b )＝－ a ＋ 42 4 4→ → → →11．在四边形 ABCD 中， AB ＝ 2DC ， |AD |＝ |BC|，则四边形 ABCD 的形状是 __________． 答案 等腰梯形分析 → → → →∵ AB ＝ 2DC ，∴ AB ∥ DC ，且 AB ＝ 2DC ，又 |AD|＝ |BC|，∴ AD ＝ BC ，∴四边形 ABCD 为等腰梯形．二、解答题12．已知两个非零向量a 与b 不共线．→ → →(1) 若 AB ＝ a ＋ b ，BC ＝ 2a ＋ 8b ， CD ＝ 3(a － b )．求证： A 、 B 、 D 三点共线； (2) 试确立实数 k ，使 k a ＋ b 和 a ＋ k b 共线．分析→ → → ＝ 3(a － b )，(1)∵ AB ＝ a ＋ b ，BC ＝2a ＋ 8b ，CD→ → →→ ∴ BD ＝BC ＋ CD ＝ 2a ＋ 8b ＋ 3(a － b )＝ 2a ＋ 8b ＋ 3a － 3b ＝ 5(a ＋ b ) ＝5AB.→ → 共线， ∴ AB 、BD 又由于它们有公共点 B ，∴ A 、 B 、D 三点共线．(2) ∵ k a ＋ b 与 a ＋ k b 共线，∴存在实数 λ，使 k a ＋ b ＝ λ(a ＋ k b )，即 k a ＋ b ＝ λa ＋ λk b .∴ (k － λ)a ＝ (λk－ 1)b .∵ a 、 b 是不共线的两个非零向量，∴ k － λ＝ λk－ 1＝0，∴ k 2－ 1＝0.∴ k ＝ ±1.经查验， k ＝ ±1 均切合题意．→1 → →→ 2 → 13．在△ ABC 中， AN ＝3 NC ， P 是 BN 上的一点，若 AP＝ mAB ＋AC ，务实数 m 的值．11→ → →分析如题图所示， AP ＝AB ＋ BP ，→ →∴ P 为 BN 上一点，则 BP ＝ kBN ，→ → → → → →∴ AP ＝AB ＋ kBN ＝ AB ＋ k(AN － AB)，→1→→1→又 AN ＝3NC ，即 AN ＝ 4AC ，→→k →所以 AP ＝ (1－ k)AB ＋ 4AC ，所以解得k21－ k ＝ m ，且 ＝ ，8 3k ＝ 11，则 m ＝ 1－k ＝ 11.。

数学必修四第二章平面向量知识点第二章平面向量1. 平面向量的概念：平面上具有大小和方向的箭头。

2. 向量的表示：向量通常用小写字母加上一个箭头表示，如a→。

3. 平行向量：具有相同或相反的方向的向量。

4. 向量的加法：向量a→与向量b→相加得到向量c→，其坐标分别相加，即c→ = a→ + b→。

5. 向量的减法：向量a→与向量b→相减得到向量c→，其坐标分别相减，即c→ = a→ - b→。

6. 向量的数量积：向量a→与向量b→的数量积，用a·b表示，满足a·b = |a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a→和向量b→的模，θ为两个向量夹角的大小。

7. 向量的数量积的性质：具有交换律、结合律和分配律。

8. 向量的夹角：向量a→与向量b→的夹角可以通过向量的数量积来计算夹角的余弦值。

9. 向量的夹角的性质：两个向量夹角为0°，当且仅当它们是同一向量或其中一个向量是另一个向量的相反向量。

10. 向量的共线与垂直：两个向量共线，当且仅当它们的夹角为0°或180°；两个向量垂直，当且仅当它们的数量积为0。

11. 平面向量的坐标表示：平面上的向量可以用坐标表示，即向量a→可以表示为(a,b)。

12. 平面向量的数量积的坐标表示：向量a→(a1, a2)与向量b→(b1, b2)的数量积为a1b1 + a2b2。

13. 向量的数量积与坐标表示的关系：向量a→(a1, a2)与向量b→(b1, b2)的数量积等于它们的坐标相乘的和。

14. 平移向量：平面上的一点A沿着一条向量a→移动到另一点B，其位置关系可以用带箭头的线段→AB表示，这条线段就是向量a→。

15. 平面向量的模运算：给定向量a→(a1, a2)，有|a→| = √(a1^2 + a2^2)。

这些是数学必修四第二章平面向量的核心知识点。

专题 15 平面向量的概念、线性运算、平面向量根本定理年 份 题号考 点考 查 内 容2023卷 1 文6平面向量的概念与线性运算主要考查平面向量的线性运算卷 1 理 7平面向量根本定理及其应用 主要考查平面向量的线性运算及平面向量根本定理卷 2 理 13平面向量的概念与线性运算主要考查平面向量共线的充要条件2023卷1文 2平面向量的坐标运算及向量 共线的充要条件主要考查平面向量的坐标与点坐标的关系、平面向量坐 标运算2023卷 2 文 13 平面向量的坐标运算及向量 共线的充要条件主要考查平面向量坐标的线性运算及向量共线的充要 条件卷1理 6 文 7平面向量根本定理及其应用主要考查平面向量的线性运算及平面向量根本定理2023卷 3理 13 文 13 平面向量的坐标运算及向量 共线的充要条件主要考查平面向量的线性运算及向量共线的充要条件2023 卷 2文 3平面向量的坐标运算及向量 共线的充要条件主要考查平面向量坐标运算及模公式考点 47 平面向量的概念与线性运算1．(2023 新课标 I ，文 6)设 D , E , F 分别为∆ABC 的三边 BC , CA , AB 的中点，则 EB + FC =33A. BCB ．（答案）C 1 AD2C ． ADD ． 1 BC2（解析） EB + FC =1 (CB + AB ) + 1 (BC + AC ) = 1( AB + AC ) = AD ，应选 C ． 2 2 22．(2023 福建)在以下向量组中，可以把向量a =(3,2) 表示出来的是A ．e 1 =(0,0),e 2 = (1,2) C ．e 1 =(3,5),e 2 =(6,10) （答案）BB ．e 1 =(-1,2),e 2 =(5,-2) D ．e 1 =(2,-3),e 2 =(-2,3) （解析）对于 A ，C ，D ，都有e 1 ∥ e 2 ，所以只有 B 成立．考点 48 平面向量根本定理及其应用1．(2023 江苏 13)在∆ABC 中， AB = 4 ， AC = 3 ， ∠BAC = 90︒， D 在边 BC 上，延长 AD 到 P ，使得3AP = 9 ，假设 PA = mPB + (2- m )PC ( m 为常数)，则CD 的长度是 ．18 （答案）53 （解析）由向量系数m + ( - m ) = 为常数，结合等和线性质可知 2 2 PA PD= 2 ，1故 PD =2PA = 6 ， AD = PA - PD = 3 = AC ，故∠C = ∠CDA ，故∠CAD =π- 2C ．3AC 3 CD AD在∆ABC 中， cos C = = ；在∆ADC 中，由正弦定理得 = ，BC 5 sin ∠CAD sin Csin(π- 2C ) sin 2C 3 18即CD = ⋅ AD = ⋅ AD = 2 cos C ⋅ AD = 2 ⨯ ⨯ 3 = ．sin C sin C5 52．(2023•新课标Ⅰ，理 6 文 7)在∆ABC 中， AD 为 BC 边上的中线， E 为 AD 的中点，则 EB = ()A ． 3 - 1B ． 13C ． 31D ． 13AB AC4 4（答案）AAB - AC4 4AB + AC4 4AB + AC4 42EB AB AE AB AD =11AB AC （解析）在∆ABC 中， AD 为 BC 边上的中线， E 为 AD 的中点，∴ = - = - 12AB - ⨯ 2 2( AB + AC ) = 3 - 1，应选 A ． 4 43．(2023 新课标Ⅰ，理 7)设 D 为ABC 所在平面内一点 BC = 3CD ，则( )(A) AD = - 1 AB + 4AC (B) AD = 1 AB - 4AC3 3 3 3(C) AD =4 1AB + AC (D) AD =4 1AB - AC 3 33 3（答案）A1114 （解析）由题知 AD = AC + CD = AC + BC = AC + 3 3 ( AC - AB ) = = - AB + 3 3AC ，应选 A ． 4．(2023 广东)设a 是已知的平面向量且a ≠ 0 ，关于向量a 的分解，有如下四个命题：①给定向量b ，总存在向量 c ，使 a = b + c ； ②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使a = λb + μc ；③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使a = λb + μc ；④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使a = λb + μc ；上述命题中的向量b ， c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是 A ．1B ．2C ．3D ．4（答案）B（解析）利用向量加法的三角形法则，易的①是对的；利用平面向量的根本定理，易的②是对的；以a 的终点作长度为μ的圆，这个圆必须和向量λb 有交点，这个不肯定能满足，③是错的；利用向量加法的三 角形法则，结合三角形两边的和大于第三边，即必须 λb + μc =λ+μ≥ a ，所以④是假命题．综上，此题选 B ．5．(2023 江苏)如图，在同一个平面内，向量OA ， OB ， OC 的模分别为 1，1， ， OA 与OC 的夹角为α ， 且 tan α= 7 ， OB 与 OC 的夹角为 45． 假设 OC = m OA + n OB ( m ， n ∈ R ) ， 则m + n =．（答案）3（解析）由tan α= 7 可得sin α=7 2， cos α=2，由OC = m OA + n OB 得1010⎧ 2 ⎧⎪OC ⋅OA = mOA + nOB ⋅OA ⎪ 2 cos α= m + n c os(α+ 45 ) ⎨ 2 ，即⎨ ，两式相加得，2 cos 45 = m cos(α+ 45 ) + n ⎩OC ⋅OB = mOB ⋅OA + nOB⎩ 2(cos α+ cos 45 ) = (m + n )(1+ cos(α+ 45 )) ，所以2 ⨯2+ 2 ⨯2m + n = 2 cos α+ 2 cos 45 = 10 2 = 3 ，所以 m + n = 3 ． 1+ cos(α+ 45)2 2 7 2 2 1+ ⨯ - ⨯ 10 2 10 2λ6．(2023 北京)向量 a ，b ，c 在正方形网格中的位置如下图，假设c = λa + μb (λ，μ∈R )，则 μ=．（答案）41 （解析） 如图建立坐标系，则 a = (-1,1) ，b = (6, 2) ，c = (-1, 3) ．由c = λa + μb ，可得λ= -2,μ= -，2λ∴ μ= 47．(2023 北京)在△ABC 中，点 M ， N 满足 AM = 2MC ， BN = NC ，假设 MN = x AB + y AC ，则 x =2AB c / /(2a a | a b | ； y = ．1（答案） 2 1 - 61 1 11 1 1 （解析）由 MN = MC + CN = AC + CB = AC + ( AB - AC ) = AB - AC = x AB + y AC ．所3 2 3 2 2 61 1 以 x = ， y = - ．2 6考点 49 平面向量的坐标运算及平面向量共线的充要条件1．(2023•新课标Ⅱ，文 3)已知向量 a = (2, 3) ， b = (3, 2) ，则| a - b |= ( )A ． （答案）AB.2 C ． 5 D ．50（解析） a = (2, 3) ，b = (3, 2) ，∴- b = (2 ，3) - (3 ，2) = (-1 ，1) ，∴ -= ，应选 A ．2．(2023 辽宁)已知点 A (1, 3) ， B (4, -1) ，则与向量 AB 同方向的单位向量为⎛ 34 ⎫⎛ 43 ⎫⎛ - 3 4 ⎫⎛ 4 3 ⎫A ． ，- ⎪B ． ，- ⎪C ． ， ⎪D ． - ， ⎪⎝ 55 ⎭ （答案）A⎝ 55 ⎭ ⎝ 5 5 ⎭⎝ 5 5 ⎭（解析） AB = (3, -4) ，所以| AB |= 5 ，这样同方向的单位向量是 1 = (3 , - 4) ． 5 5 53．(2011 广东)已知向量a =(1，2)， b =(1，0)， c =(3，4)．假设λ为实数， (a + λb )∥c ，则λ=A.14（答案）BB.12C ．1D ．2（解析）a + λb = (1+ λ, 2) ，由(a + λb ) ∥ c ，得6 - 4(1+ λ) = 0 ，解得λ= 124．( 2023•新课标Ⅲ，理 13)已知向量 a = (1, 2) ， b = (2, -2) ， c = (1,λ) ．假设+ b ) ，则λ= ．（答案） 12（解析） 向量 a = (1, 2) ， b = (2, -2) ，∴+ b = (4, 2) ， c = (1,λ) ，+ b ) ， 2a∴ 1 = λ，解得λ= 1．c / /(2a4 2 25．(2023 新课标，文 13) 已知向量 a =(m ，4)，b =(3，−2)，且 a ∥b ，则 m = ．（答案） -6225⎨⎩1（解析） 向量 a ， b 不平行，向量λa + b 与 a + 2b 平行， a + b = t (a + 2b ) = ta + 2tb ，（解析）因为 a ∥b ，所以-2m - 4 ⨯ 3 = 0 ，解得 m = -6 ．6．(2023•新课标Ⅱ，理 13)设向量 a ， b 不平行，向量λ + b 与+ 2b 平行，则实数λ= ．（答案） 12 a a∴λ∴ ⎧λ= t ⎩1 = 2t，解得实数λ= 1 ．27．(2023 江苏)已知向量a = (2,1) ， b = (1, -2) ，假设 m a + n b = (9, -8) ( m , n ∈R)，则 m - n的值为 ．（答案）－3（解析）由题意得： 2m + n = 9, m - 2n = -8 ⇒ m = 2, n = 5, m - n = -3.8．(2023 北京)已知向量a 、b 满足 a = 1 ， b = (2,1) ，且λa + b = 0 (λ∈ R )，则 λ = （答案） ⎧cos θ= - 2（解析）∵| a |= 1，∴可令 a = (cos θ, s in θ) ，∵ λa + b = 0 ，∴⎧λcos θ+ 2 = 0，即⎪λ，解⎨λsin θ+1 = 0⎨⎪sin θ= - 1 ⎩ λ得λ2 = 5 得| λ|=．9．(2023 陕西) 设0 <θ< π，向量a = (sin 2θ，cos θ) ， b (cos θ，1)，假设a ∥b ，则2tan θ= ．1（答案）2（解析）∵ a ∥b ，∴ sin 2θ= cos2θ，∴ 2 sin θcos θ= cos 2θ，∵θ∈π(0, ) 2，∴tan θ= ． 25。

专题15 平面向量概念及线性运算、平面向量基本定理一、考纲要求：1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表示.2.掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义.3.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.4.了解向量线性运算的性质及其几何意义． 二、概念掌握及解题上的注意点： 1.平面向量的线性运算方法①不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解.②含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解. 2.利用平面向量的线性运算求参数的一般思路 ①没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置.②利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式. ③比较、观察可知所求.3.选取基向量，向量之间的相互表示，重视平行四边形法则.4.|a ＋b |与|a －b |的几何意义：以向量a ，b 为边所作平行四边形的两条对角线的长度.共线向量定理的三个应用1.证明向量共线：对于向量a ，b ，若存在实数λ，使a ＝λb ，则a 与b 共线.2.证明三点共线：若存在实数λ，使AB →＝λAC →，则A ，B ，C 三点共线. 3.求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程组，求参数的值. 三、高考考题题例分析：例1.(2020·全国卷Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A ．AD →＝－13AB →＋43AC →B ．AD →＝13AB →－43AC →C ．AD →＝43AB →＋13AC →D ．AD →＝43AB →－13AC →【答案】 A【解析】：(1)AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13(AC →－AB →)＝43AC →－13AB →＝－13AB →＋43AC →.故选A ．例2.(2020高考新课标1)设D 为ABC ∆所在平面内一点3BC CD =u u u r u u u r，则（ ）（A ）1433AD AB AC =-+u u u r u u ur u u u r (B)1433AD AB AC =-u u u r u u u r u u u r（C ）4133AD AB AC =+u u u u u r u u u r u u u r (D)4133AD AB AC =-u u u u u u u ru u u r u u u r【答案】A【解析】：由题知11()33AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =1433AB AC -+u u ur u u u r ，故选A.例3.(2020湖南)已知点A ，B ，C 在圆221x y +=上运动，且AB BC ⊥，若点P 的坐标为(2,0)，则PA PB PC ++u u u r u u u r u u u r的最大值为（ ）A.6B.7C.8D.9 【答案】B.例 4.(2020高考北京)在ABC △中，点M ，N 满足2AM MC =u u u u r u u u u r ，BN NC =u u u r u u u r．若MN xAB y AC =+u u u u r u u u r u u u r ，则x = ；y = ．【答案】11,26-【解析】:特殊化，不妨设,4,3AC AB AB AC ⊥==，利用坐标法，以A 为原点，AB为x 轴，AC 为y 轴，建立直角坐标系，3(0,0),(0,2),(0,3),(4,0),(2,)2A M CB N ，1(2,),(4,0),2MN AB =-=u u u ru u r (0,3)AC =u u u r ，则1(2,)(4,0)(0,3)2x y -=+，11142,3,,226x y x y ==-∴==-. 例5.(2020江苏高考)已知向量a =)1,2(，b=)2,1(-, 若m a +n b =)8,9(-(R n m ∈,), 则n m -的值为______. 【答案】3-【解析】:由题意得：29,282,5, 3.m n m n m n m n +=-=-⇒==-=-例6．(2020高考新课标2)设向量a r ，b r 不平行，向量a b λ+r r 与2a b +r r平行，则实数λ=_________．【答案】12【解析】:因为向量a b λ+r r 与2a b +r r 平行，所以2a b k a b λ+=+r r r r （），则12,k k λ=⎧⎨=⎩，所以12λ=例7.（2020全国卷I ）在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则=（ ）A ．﹣B ．﹣C ．+D ．+【答案】A ．例8.（2020全国卷III ）已知向量=（1，2），=（2，﹣2），=（1，λ）．若∥（2+），则λ= ．【答案】例9.（2020天津卷）如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1．若点E为边CD上的动点，则的最小值为（）A． B． C． D．3【答案】【解析】：如图所示，以D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，过点B做BN⊥x轴，过点B做BM⊥y轴，∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1，∴AN=A Bcos60°=，BN=ABsin60°=，∴DN=1+=，∴BM=，∴CM=MBtan30°=，∴DC=DM+MC=，∴A （1，0），B （，），C （0，），平面向量概念及线性运算练习一、选择题：1．D 是△ABC 的边AB 的中点，则向量CD →等于 ( ) A ．－BC →＋12BA →B ．－BC →－12BA →C ．BC →－12BA →D ．BC →＋12BA →【答案】A【解析】：如图，CD →＝CB →＋BD →＝CB →＋12BA →＝－BC →＋12BA →.2．给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a ，b 都是单位向量，则a ＝b ；③向量AB →与BA →相等．则所有正确命题的序号是 ( )A ．①B ．③C ．①③D ．①②【答案】A3.设a 0为单位向量，下述命题中： ①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0； ②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0； ③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.假命题的个数是 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】D【解析】：向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.4.设a 是非零向量，λ是非零实数，则下列结论正确的是( ) A ．a 与－λa 的方向相反B ．|－λa |≥|a |C ．a 与λ2a 的方向相同 D ．|－λa |≥|λ|a【答案】C【解析】：A 中，当λ＜0时，a 与－λa 方向相同，故A 不正确；B 中，当－1＜λ＜1时，|－λa |＜|a |，故B 不正确；C 中，因为λ2＞0，所以a 与λ2a 方向相同，故C 正确；D 中，向量不能比较大小，故D 不正确，故选C ．5.给出下列四个命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b .其中正确命题的序号是 ( ) A ．②③ B ．①② C ．③④ D ．②④ 【答案】A③正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同， 又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同， ∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .④不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．综上所述，正确命题的序号是②③.故选A ．6．已知AC →＝3BC →，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则下列等式中成立的是 ( )A ．c ＝32b －12aB ．c ＝2b －aC ．c ＝2a －bD ．c ＝32a －12b【答案】A【解析】：因为AC →＝3BC →，OA →＝a ，OB →＝b ，所以OC →＝OA →＋AC →＝OA →＋32AB →＝OA →＋32(OB →－OA →)＝32OB →－12OA →＝32b －12a ，故选A ． 7.设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内的任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于 ( )A ．OM →B ．2OM →C ．3OM →D ．4OM →【答案】 D【解析】：因为M 是平行四边形ABCD 对角线AC ，BD 的交点，所以OA →＋OC →＝2OM →，OB →＋OD →＝2OM →，所以OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝4OM →.8．(2020·全国卷Ⅱ)设非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则 ( )A ．a ⊥bB ．|a |＝|b |C ．a ∥bD ．|a |＞|b |【答案】A9．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若DE →＝λAB →＋μAD →(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2＝( )A ．58B ．14C ．1D ．516 【答案】A【解析】：DE →＝12DA →＋12DO →＝12DA →＋14DB →＝12DA →＋14(DA →＋AB →)＝14AB →－34AD →，所以λ＝14，μ＝－34，故λ2＋μ2＝58，故选A ． 10．在△ABC 中，AN →＝14NC →，若P 是直线BN 上的一点，且满足AP →＝mAB →＋25AC →，则实数m的值为 ( )A ．－4B ．－1C ．1D ．4【答案】B11.已知向量i ，j 不共线，且AB →＝i ＋m j ，AD →＝n i ＋j ，m ≠1，若A ，B ，D 三点共线，则实数m ，n 应满足的条件是 ( )A ．m ＋n ＝1B ．m ＋n ＝－1C ．mn ＝1D ．mn ＝－1【答案】C【解析】：因为A ，B ，D 三点共线，所以AB →∥AD →，存在非零实数λ，使得AB →＝λAD →，即i ＋m j ＝λ(n i ＋j )，所以(1－λn )i ＋(m －λ)j ＝0，又因为i 与j 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－λn ＝0，m －λ＝0，则mn ＝1，故选C ．12．设O 在△ABC 的内部，D 为AB 的中点，且OA →＋OB →＋2OC →＝0，则△ABC 的面积与△AOC 的面积的比值为 ( )A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】：如图，∵D 为AB 的中点，则OD →＝12(OA →＋OB →)，又OA →＋OB→＋2OC →＝0，∴OD →＝－OC →，∴O 为CD 的中点，又∵D 为AB 中点，∴S △AOC ＝12S △ADC ＝14S △ABC ，则S △ABCS △AOC＝4.二、填空题13．已知O 为四边形ABCD 所在平面内一点，且向量OA →，OB →，OC →，OD →满足等式OA →＋OC →＝OB →＋OD →，则四边形ABCD 的形状为________．【答案】平行四边形【解析】：由OA →＋OC →＝OB →＋OD →得OA →－OB →＝OD →－OC →， 所以BA →＝CD →，所以四边形ABCD 为平行四边形．14．(2020·全国卷Ⅱ)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________.【答案】【解析】：∵λa ＋b 与a ＋2b 平行，∴λa ＋b ＝t (a ＋2b )，即λa ＋b ＝t a ＋2t b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝2t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，t ＝12.15．在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________.【答案】12 －1616．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC 于点H ，M 为AH 的中点．若AM →＝λAB →＋μBC →，则λ＋μ＝________.【答案】23 【解析】：因为AB ＝2，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC ，所以BH ＝1.因为BC ＝3，所以BH ＝13BC ． 因为点M 为AH 的中点，所以AM →＝12AH →＝12(AB →＋BH →)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋13BC →＝12AB →＋16BC →，又AM →＝λAB →＋μBC →，所以λ＝12，μ＝16，所以λ＋μ＝23. 三、解答题17．在△ABC 中，D ，E 分别为BC ，AC 边上的中点，G 为BE 上一点，且GB ＝2GE ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AD →，AG →.【答案】AD →12a ＋12b ； AG →＝13a ＋13b .18．设e 1，e 2是两个不共线的向量，已知AB →＝2e 1－8e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2.(1)求证：A ，B ，D 三点共线；(2)若BF →＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线，求k 的值．【解析】 (1)证明：由已知得BD →＝CD →－CB →＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2，∵AB →＝2e 1－8e 2，∴AB →＝2BD →.又∵AB →与BD →有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．(2)由(1)可知BD →＝e 1－4e 2，∵BF →＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线，∴BF →＝λBD →(λ∈R )，即3e 1－k e 2＝λe 1－4λe 2，即⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝3，－k ＝－4λ.解得k ＝12.19．已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R ).(1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线；(2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1.【解析】[证明] (1)若m ＋n ＝1，则OP →＝mOA →＋(1－m )OB →＝OB →＋m (OA →－OB →)，∴OP →－OB →＝m (OA →－OB →)，即BP →＝mBA →，∴BP →与BA →共线． 又∵BP →与BA →有公共点B ， ∴A ，P ，B 三点共线．。

O Aab 第一课时 2.2. 1 向量的加（减）法运算及其几何意义教学要求：掌握向量的加法的意义与几何运算，会运用三角形法则、平行四边形法则进行向量的加法运算 教学重点：运用三角形法则、平行四边形法则运算 教学难点：向量加法的几何意义 教学过程： 一、复习准备：1. 如何定义相等向量和共线向量？2．如图：O 是正方形ABCD 的中心，①向量与相等吗？② 向量AO 与AC 是平行向量吗？ ③ 求AD u u u r ：AC u u u r的值.3．回顾思考：力是向量，如何求a 、b 这两个力的合力呢？用什么方法？ 二、讲授新课：1. 教学向量的加（减）法运算：强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置 1、 情景设置：（1）某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ， 则两次的位移和：=+（2）若上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C ， 则两次的位移和：AC BC AB =+ （3）某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ， 则两次的位移和：AC BC AB =+（4）船速为，水速为，则两速度和：AC =+二、探索研究：１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. ２、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）如图，已知向量a 、ｂ.在平面内任取一点A ，作＝a ，＝ｂ，则向量叫做a 与ｂ的和，记作a ＋ｂ，即 a ＋ｂAC BC AB =+=，规定： a + 0-= 0 + a探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；（2）当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|a +b |<|a |+|b |； （3）当与同向时，则+、、同向，且|+|=||+||，当与反向时，若||>||，则+的方向与A B CC A BA BC A BCABCa +ba +baa bbaｂｂ ａa相同，且|a +b |=|a |-|b |；若|a |<|b |，则a +b 的方向与b 相同，且|a +b|=|b |-|a |.（4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n 个向量连加 ３．例1、已知向量a 、b ，求作向量a +b作法：在平面内取一点，作a OA = b AB =，则b a OB +=. ４．加法的交换律和平行四边形法则问题：上题中b +a 的结果与a +b 是否相同？ 验证结果相同 从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）２）向量加法的交换律：a +b =b +a ５．向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c ) 证：如图：使a AB =， b BC =， c CD =则(a +b ) +c =AD CD AC =+，a + (b +c ) =AD BD AB =+ ∴(a +b ) +c =a + (b +c )从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行. 三、应用举例：例2（P83）长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输.如图所示，一艘船从长江南岸A 点出发，以5km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h. (1) 试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度(保留两个有效数字) ； (2)求船实际航行的速度的大小与方向(用江水速度间的夹角表示, 精确到度). 练习：P84 4 四、小结1、向量加法的几何意义； ２、交换律和结合律；３、注意：|a +b | ≤ |a | + |b |，当且仅当方向相同时取等号. 五、课后作业：P91第2,3题 七、备用习题1、一艘船从A 点出发以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行的速度的大小为h km /4，求水流的速度.2、一艘船距对岸43km ，以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，到达对岸时，船的实际航程为8km ，求河水的流速.3、一艘船从A 点出发以1v 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2v ，船的实际航行的速度的大小为h km /4，方向与水流间的夹角是60︒，求1v 和2v .4、一艘船以5km/h 的速度在行驶，同时河水的流速为2km/h ，则船的实际航行速度大小最大是km/h ，最小是km/h５、已知两个力F 1，F 2的夹角是直角，且已知它们的合力F 与F 1的夹角是60︒，|F|=10N 求F 1和F 2的大小. ６、用向量加法证明：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形第一课时 §2.2.2 向量的减法运算及其几何意义教学目标：了解相反向量的概念；掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义； 1. 通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想. 教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法. 教学难点：减法运算时方向的确定. 教学过程：一、 复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则向量加法的运算定律：例：在四边形中，=++ . 解：=++=++ 二、 提出课题：向量的减法1． 用“相反向量”定义向量的减法（1） “相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量.记作 -a （2） 规定：零向量的相反向量仍是零向量.-(-a ) = a. 任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (-a ) = 0 如果a 、b 互为相反向量，则a = -b ， b = -a ， a + b = 0 （3） 向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差. 即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法. 2． 用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算：若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b 3． 求作差向量：已知向量a 、b ，求作向量 ∵(a -b ) + b = a + (-b ) + b = a + 0 = a作法：在平面内取一点O ， 作OA = a ， AB = b 则= a - b即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量. 注意：1︒表示a - b .强调：差向量“箭头”指向被减数 2︒用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a + (-b ) 显然，此法作图较繁，但最后作图可统一.4． 探究：１）如果从向量a 的终点指向向量b 的终点作向量，那么所得向量是b - a.OABaB’ b -bbBa + (-b ) abA BD COabB aba -b A BB’a -b a b O A OBa -b２）若a ∥b ， 如何作出a - b ？ 三、 例题：例3（P86）已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a -b 、c -d .解：在平面上取一点O ，作OA = a ， OB = b ， OC = c ， OD = d ， 作BA ， DC ， 则BA = a -b ， DC = c -d例二、平行四边形ABCD 中，=AB a ，=AD b ， 用a 、b 表示向量AC 、DB . 解：由平行四边形法则得：AC = a + b ， DB = AD AB - = a -b变式一：当a ， b 满足什么条件时，a +b 与a -b 垂直？（|a | = |b |） 变式二：当a ， b 满足什么条件时，|a +b | = |a -b |？（a ， b 互相垂直） 变式三：a +b 与a -b 可能是相当向量吗？（不可能，∵ 对角线方向不同） 练习：Ｐ98四、 小结：向量减法的定义、作图法| 五、 作业：P91 第4，6，8题 六、 备用习题：1.在△ABC 中， BC =a ， CA =b ，则AB 等于( ) A.a +b B.-a +(-b ) C.a -b D.b -a2.O 为平行四边形ABCD 平面上的点，设OA =a ， OB =b ， OC =c ， OD =d ，则 A.a +b +c +d =0 B.a -b +c -d =0 C.a +b -c -d =0 D.a -b -c +d =0 ３.如图，在四边形ABCD 中，根据图示填空：a +b = ，b +c = ，c -d = ，a +b +c -d = .４、如图所示，O 是四边形ABCD 内任一点，试根据图中给出的向量，确定a 、b 、c 、d 的方向（用箭头表a +b =AB ，c -d =DC ，并画出b -c 和a +d .示），使A BD CABCbad cDO 第3题A B第三课时 2.2. 3 向量数乘运算及其几何意义教学要求：理解向量的数乘运算及其几何意义，会进行向量的数乘运算. 教学重点：向量的数乘运算教学难点：向量的数乘运算的几何意义 教学过程：一、复习准备：1. a b -r r 与a b +r r 、a b +r r 与a b +rr 有何关系？什么时候等号成立？ 2．如图：O 是正方形ABCD 的中心，求下列各式的值①AB + ② AB u u u r-AC3．a r 为非零向量，试求a a a a ----r r r r 和a a a a a ++++r r r r r的值. 二、讲授新课：1. 教学向量的数乘运算：向量的数乘：求实数λ与向量a r 的乘积的运算叫向量的数乘，记作：a λr规定：(Ⅰ) a λr仍然是个向量 (Ⅱ)、a a λλ=r r(Ⅲ) 当0λ>时向量a λr 的方向与a r 的方向相同，当0λ<时，向量a λr 与a r的方向相反，当0λ=时，0a λ=rr练习：a r 为单位向量，试求3()a r 、2a r 、6a r 、2(3())a r 的值：变式：a r为非零向量.讨论验证下列等式：λ、μ为实数，a r 、b r为向量.⑴ ()()a a λμλμ=r r ⑵ ()a a a λμλμ+=+r r r⑶ ()a b a b λλλ+=+r r r r （数乘运算满足交换律、结合律、分配律） 2、教学例题：例5：计算：⑴(3)4a -⨯r⑵ 3()2()a b a b a +---r r r r r ⑶(23)2(32)a b c a b c +---+r r r r r r（去括号，实数与实数运算后再与向量运算）定理：向量a r 与b r 共线（0b ≠r r ），当且仅当有唯一一个实数λ，使a b λ=r r.例题6：（分析：三点可分共线与不共线两种情形，可以通过判断以这三点为端点的向量是否共线来判断点是否共线）线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.例题7. （先找出与a r 、b r向量共线的向量，再利用定理）练习：如图，试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形证明：若M 是三角形ABC 边AB 的中点，则CM CA CB =+u u u u r u u u r u u u r。

2020年新课标高考数学重点知识强化课2 平面向量[复习导读] 从近五年全国卷高考试题来看，平面向量是每年的必考内容，主要考查平面向量的线性运算、平面向量数量积及其应用、平面向量共线与垂直的充要条件．平面向量的复习应做到：立足基础知识和基本技能，强化应用，注重数形结合，向量具有“形”与“数”两个特点，这就使得向量成了数形结合的桥梁．重点1 平面向量的线性运算例1 (1)如图1，正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC →＝λAM →＋μBD →，则λ＋μ＝( )图1A.43 B.53 C.158D ．2(2)在▱ABCD 中，AB ＝a ，AD →＝b,3AN →＝NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝________.(用a ，b 表示)(1)B (2)－34a a －14a b [(1)因为AC →＝λAM →＋μBD →＝λ(AB →＋BM →)＋μ(BA →＋AD →)＝λ⎝⎛⎭⎫AB →＋12AD →＋μ(－AB →＋AD →)＝(λ－μ)AB →＋⎝⎛⎭⎫12λ＋μAD →，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ＝1，12λ＋μ＝1，得⎩⎨⎧λ＝43，μ＝13，所以λ＋μ＝53，故选B.(2)如图所示，MN →＝MC →＋CN →＝12AD →＋34CA →＝12AD →＋34(CB →＋CD →) ＝12AD →＋34(DA →＋BA →) ＝12b －34a －34b ＝－34a －14b .] [规律方法] 1.解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化．2．用几个基本向量表示某个向量问题的步骤：(1)观察各向量的位置；(2)寻找相应的三角形或多边形；(3)运用法则找关系；(4)化简结果．3．O 在AB 外，A ，B ，C 三点共线，且OA →＝λOB →＋μOC →，则有λ＋μ＝1.[对点训练1] 设O 在△ABC 的内部，D 为AB 的中点，且OA →＋OB →＋2OC →＝0，则△ABC 的面积与△AOC 的面积的比值为( ))A ．3B ．4C ．5D ．6B [因为D 为AB 的中点，则OD →＝12(OA →＋OB →)，又OA →＋OB →＋2OC →＝0，所以OD →＝－OC →，所以O 为CD 的中点． 又因为D 为AB 的中点， 所以S △AOC ＝12S △ADC ＝14S △ABC ，则S △ABCS AOC＝4.] 重点2 平面向量数量积的综合应用例2 (2016·杭州模拟)已知两定点M (4,0)，N (1,0)，动点P 满足|PM →|＝2|PN →|. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)若点G (a,0)是轨迹C 内部一点，过点G 的直线l 交轨迹C 于A ，B 两点，令f (a )＝GA →·GB →，求f (a )的取值范围．[解] (1)设P 的坐标为(x ，y )，则PM →＝(4－x ，－y )，PN →＝(1－x ，－y )． ∵动点P 满足|PM →|＝2|PN →|， ∴4－x2＋y 2＝21－x2＋y 2，整理得x 2＋y 2＝4.4分(2)(a)当直线l 的斜率不存在时，直线的方程为x ＝a ，不妨设A 在B 的上方，直线方程与x 2＋y 2＝4联立，可得A (a ，4－a 2)，B (a ，－4－a 2)，∴f (a )＝GA →·GB →＝(0，4－a 2)·(0，－4－a 2)＝a 2－4；6分 (b)当直线l 的斜率存在时，设直线的方程为y ＝k (x －a )，代入x 2＋y 2＝4，整理可得(1＋k 2)x 2－2ak 2x ＋(k 2a 2－4)＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝2ak 21＋k 2，x 1x 2＝k 2a 2－41＋k 2，∴f (a )＝GA →·GB →＝(x 1－a ，y 1)·(x 2－a ，y 2)＝x 1x 2－a (x 1＋x 2)＋a 2＋k 2(x 1－a )(x 2－a )＝a 2－4. 由(a)(b)得f (a )＝a 2－4.10分 ∵点G (a,0)是轨迹C 内部一点， ∴－2<a <2，∴0≤a 2<4，∴－4≤a 2－4<0，∴f (a )的取值范围是[－4,0).12分[规律方法] 1.本题充分发挥向量的载体作用，将平面向量与解析几何有机结合，通过平面向量数量积的坐标运算进行转化，使问题的条件明晰化．2．利用平面向量可以解决长度、角度与垂直问题．[对点训练2] (1)已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0.若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的最大值为( )A.2－1B.2C.2＋1D.2＋2(2)已知菱形ABCD 的边长为2，∠B ＝π3，点P 满足AP ＝λAB →，λ∈R ，若BD →·CP →＝－3，则λ的值为( )A.12 B ．－12C.13D ．－13(1)C (2)A [(1)∵a ，b 是单位向量，且a ·b ＝0，∴|a |＝|b |＝1，∴|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝2， ∴|a ＋b |＝ 2.又|c －a －b |＝1， ∴|c |－|a ＋b |≤|c －a －b |＝1.从而|c |≤|a ＋b |＋1＝2＋1，∴|c |的最大值为2＋1. (2)法一：由题意可得BA →·BC →＝2×2cos)60°＝2， BD →·CP →＝(BA →＋BC →)·(BP →－BC →) ＝(BA →＋BC →)·[(AP →－AB →)－BC →] ＝(BA →＋BC →)·[(λ－1)·AB →－BC →]＝(1－λ)BA →2－BA →·BC →＋(1－λ)BA →·BC →－BC →2 ＝(1－λ)·4－2＋2(1－λ)－4＝－6λ＝－3， ∴λ＝12，故选A.法二：建立如图所示的平面直角坐标系，则B (2,0)，C (1，3)，D (－1，3)．令P (x,0)，由BD ·CP →＝(－3，3)·(x －1，－3)＝－3x ＋3－3＝－3x ＝－3，得x ＝1. ∵AP →＝λAB →，∴λ＝12.故选A.]重点3 平面向量与三角函数的综合应用例3 已知m ＝⎝⎛⎭⎫sin ⎝⎛⎭⎫x －π6，1，n ＝(cos)x,1)．(1)若m ∥n ，求tan)x 的值；(2)若函数f (x )＝m ·n ，x ∈[0，π]，求f (x )的单调增区间． [解] (1)由m ∥n 得sin)⎝⎛⎭⎫x －π6－cos)x ＝0，3分 展开变形可得sin)x ＝3cos)x ，即tan)x ＝ 3.5分 (2)f (x )＝m ·n ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋34，7分 由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z 得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z.10分 又因为x ∈[0，π]，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，π3和⎣⎡⎦⎤5π6，π.12分 [规律方法] 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．[对点训练3] 已知O 为坐标原点，向量OA →＝(3sin)α，cos)α)，OB →＝(2sin)α，5sin)α－4cos)α)，α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，且OA →⊥OB →，则tan)α的值为( ) A ．－43B ．－45C.45D.34A [由题意知6sin 2α＋cos)α·(5sin)α－4cos)α)＝0，即6sin 2α＋5sin)αcos)α－4cos 2α＝0，上述等式两边同时除以cos 2α，得6tan 2α＋5tan)α－4＝0，由于α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，则tan)α<0，解得tan)α＝－43，故选A.]重点强化训练2))平面向量A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．已知a ，b 是两个非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则下列说法正确的是))( ) A ．a ＋b ＝0 B ．a ＝bC ．a 与b 共线反向))D ．存在正实数λ，使a ＝λbD [因为a ，b 是两个非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |.则a 与b 共线同向，故D 正确．] 2．(2014·全国卷Ⅱ)设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a·b ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．5A [|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝10， |a －b |2＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝6，将上面两式左右两边分别相减，得4a·b ＝4，∴a·b ＝1.]3．(2016·北京高考)设a ，b 是向量，则“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件D [若|a |＝|b |成立，则以a ，b 为邻边的平行四边形为菱形．a ＋b ，a －b 表示的是该菱形的对角线，而菱形的两条对角线长度不一定相等，所以|a ＋b |＝|a －b |不一定成立，从而不是充分条件；反之，若|a ＋b |＝|a －b |成立，则以a ，b 为邻边的平行四边形为矩形，而矩形的邻边长度不一定相等，所以|a |＝|b |不一定成立，从而不是必要条件．故“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的既不充分也不必要条件．]4．在平面直角坐标系中，已知O 是坐标原点，A (3,0)，B (0,3)，C (cos)α，sin)α)，若|OA →＋OC →|＝13，α∈(0，π)，则OB →与OC →的夹角为( ))A.π6))B.π3))C.23π)) D.56π A [由题意，得OA →＋OC →＝(3＋cos)α，sin)α)， 所以|OA →＋OC →|＝3＋cos)α2＋sin 2α＝10＋6cos)α＝13， 即cos)α＝12，因为α∈(0，π)，所以α＝π3，C ⎝⎛⎭⎫12，32.设OB →与OC →的夹角为θ， 则cos)θ＝OB →·OC →|OB →|·|OC →|＝3233×1＝32.因为θ∈[0，π]，所以θ＝π6.]5．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且AB ＝3，则OA →·OB →的值是)))( )A ．－12))B.12 C ．－34))D ．0A [取AB 的中点C ，连接OC ，AB ＝3，则AC ＝32，又因为OA ＝1， 所以sin ⎝⎛⎭⎫12∠AOB ＝sin ∠AOC ＝AC OA ＝32， 所以∠AOB ＝120°，则OA →·OB →＝1×1×cos)120°＝－12.]二、填空题6．设O 是坐标原点，已知OA →＝(k,12)，OB →＝(10，k )，OC →＝(4,5)，若A ，B ，C 三点共线，则实数k 的值为________．11或－2 [由题意得CA →＝OA →－OC →＝(k －4,7)， CB →＝OB →－OC →＝(6，k －5)， 所以(k －4)(k －5)＝6×7，k －4＝7或k －4＝－6，即k ＝11或k ＝－2.]7．已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，且|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，其中O 为原点，则正实数a 的值为________．2 [由|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，知OA →⊥OB →， ∴|AB |＝22，则得点O 到AB 的距离d ＝2， ∴|0×1＋1×0－a |2＝2，解得a ＝2(a >0)．] 8．在△ABC 中，BC ＝2，A ＝2π3，则AB →·AC →的最小值为________．－23 [由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos)2π3≥2AB ·AC ＋AB ·AC ＝3AB ·AC ，又BC ＝2，则AB ·AC ≤43，所以AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos)2π3≥－23，(AB →·AC →)min ＝－23，当且仅当AB ＝AC 时等号取得．]三、解答题9．在直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上，且OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R ).)(1)若m ＝n ＝23，求|OP →|；(2)用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值． [解] (1)∵m ＝n ＝23，AB →＝(1,2)，AC →＝(2,1)，∴OP →＝23(1,2)＋23(2,1)＝(2,2)，3分∴|OP →|＝22＋22＝2 2.5分(2)∵OP →＝m (1,2)＋n (2,1)＝(m ＋2n,2m ＋n )，∴⎩⎨⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，8分 两式相减，得m －n ＝y －x .令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2,3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.12分10．设向量a ＝(3sin)x ，sin)x )，b ＝(cos)x ，sin)x )，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. (1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值． [解] (1)由|a |2＝(3sin)x )2＋(sin)x )2＝4sin 2x ， |b |2＝(cos)x )2＋(sin)x )2＝1， 及|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1.3分又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，从而sin)x ＝12，所以x ＝π6.5分 (2)f (x )＝a ·b ＝3sin)x ·cos)x ＋sin 2x ＝32sin)2x －12cos)2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12，8分 当x ＝π3∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6取最大值1.所以f (x )的最大值为32.12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．已知向量a ，b 的夹角为60°，且|a |＝2，|b |＝3，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝m a －2b ，若△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形，则m ＝( )A ．－4))B ．3))C ．－11))D ．10C [a ·b ＝2×3×cos)60°＝3，AB →＝OB →－OA →＝b －a ，AC →＝OC →－OA ＝(m －1)a －2b . ∵AB ⊥AC ，∴AB →·AC →＝0， 即(b －a )·[(m －1)a －2b ]＝0，∴(1－m )a 2－2b 2＋(m －1)a ·b ＋2a ·b ＝0， 即4(1－m )－18＋3(m －1)＋6＝0， 解得m ＝－11.故选C.]2．(2016·浙江高考)已知平面向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2，a ·b ＝1，若e 为平面单位向量，则|a ·e |＋|b ·e |的最大值是________．7 [∵a ·b ＝|a |·|b |cos 〈a ，b 〉＝1×2×cos 〈a ，b 〉＝1， ∴cos 〈a ，b 〉＝12，∴〈a ，b 〉＝60°.以a 的起点为原点，所在直线为x 轴建立直角坐标系， 则a ＝(1,0)，b ＝(1，3)． 设e ＝(cos)θ，sin)θ)，则|a ·e |＋|b ·e |＝|cos)θ|＋|cos)θ＋3sin)θ| ≤|cos)θ|＋|cos)θ|＋|3sin)θ| ＝2|cos)θ|＋3|sin)θ| ≤|cos)θ|2＋|sin)θ|222＋3＝7.]3．已知函数f (x )＝a ·b ，其中a ＝(2cos)x ，－3sin)2x )，b ＝(cos)x,1)，x ∈R .) )(1)求函数y ＝f (x )的单调递减区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f (A )＝－1，a ＝7，且向量m ＝(3，sin)B )与n ＝(2，sin)C )共线，求边长b 和c 的值．[解] (1)f (x )＝a ·b ＝2cos 2x －3sin)2x ＝1＋cos)2x －3sin)2x ＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，2分 令2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，∴f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z ).5分 (2)∵f (A )＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π3＝－1， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π3＝－1.7分 又π3<2A ＋π3<7π3，∴2A ＋π3＝π，即A ＝π3.9分 ∵a ＝7，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos)A ＝(b ＋c )2－3bc ＝7.① ∵向量m ＝(3，sin)B )与n ＝(2，sin)C )共线， ∴2sin)B ＝3sin)C ．由正弦定理得2b ＝3c ，② 由①②可得b ＝3，c ＝2.12分11。