2010年江苏省盐城市东台中学高考数学模拟试卷(一)

2010年江苏省盐城市高考数学一模试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1. 设集合A ={x|−1≤x ≤2}，B ={x|0≤x ≤4}，则A ∩B =________．2. 若复数(a −i)(1+i)(i 是虚数单位，a ∈R)是纯虚数，则a =________．3. 直线l 经过点(−2, 1)，且与直线2x −3y +5=0垂直，则l 的方程是________．4. 命题“∀x ∈R ，cosx ≤1”的否定是________．5. 函数y =x +2cosx 在(0, π)上的单调递减区间为________．6. 已知平面向量a →=(1, 2)，b →=(−1, 3)，a →与b →夹角的余弦值为________．7. 把分别写有“灰”、“太”、“狼”的三张卡片随意排成一排，则能使卡片排成的顺序从左向右或从右向左都可以念为“灰太狼”的概率是________．（用分数表示）8. 已知某算法的流程图如图所示，若将输出的数组(x, y)依次记为(x 1, y 1)，(x 2, y 2)，…，(x n , y n )，…，则程序运行结束时输出的最后一个数组为________． 9. 现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a 24．类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________．10. 已知m ，n 是两条不同的直线，α是一个平面，有下列四个命题： ①①若m // α，n // α，则m // n ；②若m ⊥α，n ⊥α，则m // n ； ③若m // α，n ⊥α，则m ⊥n ；④若m ⊥α，m ⊥n ，则n // α． 其中真命题的序号有________． （请将真命题的序号都填上）11. 若函数y =x−bx+2在(a, b +4)(b <−2)上的值域为(2, +∞)，则a b =________．12.如图，将正偶数排列如表，其中第i 行第j 个数表示为a ij (i, j ∈N ∗)，例如a43=18，若a ij=2010，则i+j=________．13. 椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上存在一点M，它到左焦点的距离是它到右准线距离的2倍，则椭圆离心率的最小值为________．14. 锐角△ABC的三边a，b，c和面积S满足条件S=c2−(a−b)24k，又角C既不是△ABC的最大角也不是△ABC的最小角，则实数k的取值范围是________．二、解答题（共9小题，满分110分，21-23为附加题，其中21小题A，B，C，D中任选2道小题，每小题10分）15. 已知角A，B，C是△ABC的内角，向量m→=(1, √3)，n→=（sin(π−A)），sin(A−π2)），m→⊥n→．（1）求角A的大小；（2）求函数y=2sin2B+cos(π3−2B)的值域．16. 如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=BB1，AC1⊥A1B，D 为AC的中点．（1）求证：B1C // 平面A1BD；（2）求证：平面AB1C1⊥平面ABB1A1．17. 经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），日旅游人数f(t)（万人）与时间t（天）的函数关系近似满足f(t)=4+1t，人均消费g(t)（元）与时间t（天）的函数关系近似满足g(t)=115−|t−15|．(1)求该城市的旅游日收益w(t)（万元）与时间t(1≤t≤30, t∈N)的函数关系式；(2)求该城市旅游日收益的最小值（万元）．18. 已知⊙O:x2+y2=1和点M(4, 2)．（1）过点M向⊙O引切线l，求直线l的方程；（2）求以点M为圆心，且被直线y=2x−1截得的弦长为4的⊙M的方程；（3）设P为（2）中⊙M上任一点，过点P向⊙O引切线，切点为Q．试探究：平面内是否存在一定点R，使得PQPR为定值？若存在，请举出一例，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由．19. 已知数列{a n}是以d为公差的等差数列，{b n}数列是以q为公比的等比数列．（1）若数列的前n项和为S n，且a1=b1=d=2，S3<a1003+5b2−2010，求整数q的值；（2）在（1）的条件下，试问数列中是否存在一项b k，使得b k恰好可以表示为该数列中连续p(p∈N, p≥2)项的和？请说明理由；（3）若b1=a r，b2=a s≠a r，b3=a t（其中t>s>r，且(s−r)是(t−r)的约数），求证：数列{b n}中每一项都是数列{a n}中的项．20. 已知函数f(x)＝a x+x2−xlna(a>0, a≠1)．(Ⅰ)当a>1时，求证：函数f(x)在(0, +∞)上单调递增；(Ⅱ)若函数y＝|f(x)−t|−1有三个零点，求t的值；(Ⅲ)若存在x1，x2∈[−1, 1]，使得|f(x1)−f(x2)|≥e−1，试求a的取值范围．21. 如图，已知OA、OB是⊙O的半径，且OA⊥OB，P是线段OA上一点，直线BP交⊙O于点Q，过Q作⊙O的切线交直线OA于点E，求证：∠OBP+∠AQE=45∘．22. 如图，在四棱锥O−ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC=π4，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点．（1）求异面直线AB与MD所成角的大小；（2）求平面OAB与平面OCD所成的二面角的余弦值．23. 点P n(x n, y n)在曲线C:y=e−x上，曲线C在点P n处的切线l n与x轴相交于点Q n(x n+1, 0)，直线t n+1:x=x n+1与曲线C相交于点P n+1(x n+1, y n+1)，(n= 1, 2, 3,…)．由曲线C和直线l n，t n+1围成的图形面积记为S n，已知x1=1．（1）证明：x n+1=x n+1；（2）求S n关于n的表达式；（3）记数列{S n}的前n项之和为T n，求证：T n+1T n <x n+1x n(n=1, 2, 3,…)．2010年江苏省盐城市高考数学一模试卷答案1. {x|0≤x ≤2}2. −13. 3x +2y +4=04. ∃x ∈R ，cosx >15. (π6，5π6)6. √227. 138. (27, −6) 9. a 38 10. ②③ 11. 116 12. 60 13.√17−32 14. (√2−1，1)15. 解：（1）因为n →=(sinA, −cosA)，且m →⊥n →， 所以m →⋅n →=sinA −√3cosA =0， 则tanA =√3，又A ∈(0, π)，所以A =π3；（2）因为y =(1−cos2B)+(12cos2B +√32sin2B) =1+√32sin2B −12cos2B =1+sin(2B −π6)而A =π3，所以0<B <2π3，则−π6<2B −π6<7π6，所以sin(2B −π6)∈(−12,1] 故所求函数的值域为y ∈(12，2]．16. 解：（1）设AB 1∩A 1B =O ，连接OD ．由于点O 是AB 1的中点，又D 为AC 的中点，所以OD // B 1C 而B 1C ⊄平面A 1BD ，OD ⊂平面A 1BD ，所以B 1C // 平面A 1BD（2）因为AB =BB 1，所以是ABB 1A 1正方形，则A 1B ⊥AB 1，又A 1B ⊥AC 1，且AC 1，AB 1⊂平面AB 1C 1，AC 1∩AB 1=A ，所以A 1B ⊥平面AB 1C 1 而A 1B ⊂平面ABB 1A 1，所以平面AB 1C 1⊥平面ABB 1A 117. 解：(1)由题意得，w(t)={(4+1t)(t +100)，(1≤t <15,t ∈N ∗)(4+1t )(130−t)，(15≤t ≤30,t ∈N ∗)； (2)因为w(t)={(4+1t )(t +100)，(1≤t <15,t ∈N ∗)(4+1t )(130−t)，(15≤t ≤30,t ∈N ∗)； ①当1≤t <15时，w(t)=(4+1t )(t +100)=4(t +25t)+401≥4×2√25+401=441当且仅当t =25t，即t =5时取等号②当15≤t ≤30时，w(t)=(4+1t)(130−t)=519+(130t−4t)，可证w(t)在t ∈[15, 30]上单调递减， 所以当t =30时，w(t)取最小值为40313由于40313<441，所以该城市旅游日收益的最小值为40313万元． 18. 解：（1）由⊙O:x 2+y 2=1得到圆心O(0, 0)半径r =1， 设切线l 方程为y −2=k(x −4)， 易得√k 2+1=1，解得k =8±√1915， ∴ 切线l 方程为y −2=8±√1915(x −4)；（2）圆心M 到直线y =2x −1的距离d =√1+4=√5，设圆的半径为r ，则r 2=22+(√5)2=9，∴ ⊙M 的方程为(x −4)2+(y −2)2=9；（3）假设存在这样的点R(a, b)，点P 的坐标为(x, y)，相应的定值为λ， 根据题意可得PQ =√x 2+y 2−1， ∴√x 2+y 2−1√(x−a)2+(y−b)2=λ，即x 2+y 2−1=λ2(x 2+y 2−2ax −2by +a 2+b 2)(∗)， 又点P 在圆上∴ (x −4)2+(y −2)2=9， 即x 2+y 2=8x +4y −11，代入(∗)式得：8x +4y −12=λ2[(8−2a)x +(4−2b)y +(a 2+b 2−11)]， 若系数对应相等，则等式恒成立，∴ {λ2(8−2a)=8λ2(4−2b)=4λ2(a 2+b 2−11)=−12， 解得a =2,b =1,λ=√2或a =25，b =15，λ=√103， ∴ 可以找到这样的定点R ，使得PQ PR 为定值．如点R的坐标为(2, 1)时，比值为√2；点R的坐标为(25，15)时，比值为√103．19. 2．（2）假设数列{b n}中存在一项b k，满足b k=b m+b m+1+b m+2++b m+p−1，因为b n=2n，∴ b k>b m+p−1⇒2k>2m+p−1⇒k>m+p−1⇒k≥m+p(∗)又b k=2k=b m+b m+1+b m+2++b m+p−1=2m+2m+1++2m+p−1=2m(2p−1)2−1=2m+p−2m<2m+p，所以k<m+p，此与(∗)式矛盾．所以，这样的项b k不存在；故答案为不存在．（3）由b1=a r，得b2=b1q=a r q=a s=a r+(s−r)d，则d=a r(q−1)s−r又b3=b1q2=a r q2=a t=a r+(t−r)d⇒a r q2−a r=(t−r)⋅a r(q−1)s−r，从而a r(q+1)(q−1)=a r(q−1)⋅t−rs−r，因为a s≠a r⇒b1≠b2，所以q≠1，又a r≠0，故q=t−rs−r−1．又t>s>r，且(s−r)是(t−r)的约数，所以q是整数，且q≥2，对于数列中任一项b i（这里只要讨论i>3的情形），有b i=a r q i−1=a r+a r(q i−1−1)=a r+a r(q−1)(1+q+q2++q i−2)=a r+d(s−r)(1+q+q2++q i−2)=a r+[((s−r)(1+q+q2++q i−2)+1)−1]•d，由于(s−r)(1+q+q2++q i−2)+1是正整数，所以b i一定是数列{a n}的项．故得证．20. （1）∵ 函数f(x)＝a x+x2−xlna，∴ f′(x)＝a x lna+2x−lna＝2x+(a x−1)lna，由于a>1，故当x∈(0, +∞)时，lna>0，a x−1>0，所以f′(x)>0，故函数f(x)在(0, +∞)上单调递增．（2）当a>0，a≠1时，因为f′(0)＝0，且f(x)在(0, +∞)上单调递增，故f′(x)＝0有唯一解x＝0．所以x，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示：又函数y＝|f(x)−t|−1有三个零点，所以方程f(x)＝t±1有三个根，即y＝f(x)的图象与两条平行于x轴的两条直线y＝t±1共有三个交点．不妨取a>1，y＝f(x)在(−∞, 0)递减，在(0, +∞)递增，极小值f(0)＝1也是最小值，当x→±∞时，f(x)→+∞．∵ t−1<t+1，∴ f(x)＝t+1有两个根，f(x)＝t−1只有一个根．∴ t−1＝f min(x)＝f(0)＝1，∴ t＝2．(Ⅲ)因为存在x 1，x 2∈[−1, 1]，使得|f(x 1)−f(x 2)|≥e −1，所以当x ∈[−1, 1]时，|（f(x)）max −（f(x)）min |＝（f(x)）max −（f(x)）min ≥e −1， 由(Ⅱ)知，f(x)在[−1, 0]上递减，在[0, 1]上递增， 所以当x ∈[−1, 1]时，（f(x)）min ＝f(0)＝1， （f(x)）max ＝max{f(−1), f(1)}，而f(1)−f(−1)=(a +1−lna)−(1a +1+lna)=a −1a −21na ，记g(t)=t −1t −21nt(t >0)，因为g ′(t)=1+1t 2−2t =(1t −1)2≥0（当t ＝1时取等号）， 所以g(t)=t −1t −21nt 在t ∈(0, +∞)上单调递增，而g(1)＝0，所以当t >1时，g(t)>0；当0<t <1时，g(t)<0，也就是当a >1时，f(1)>f(−1)，当0<a <1时，f(1)<f(−1)．综合可得，①当a >1时，由f(1)−f(0)≥e −1，可得a −lna ≥e −1，求得a ≥e ． ②当0<a <1时，由f(−1)−f(0)≥e −1⇒1a+lna ≥e −1⇒0<a ≤1e，综上知，所求a 的取值范围为(0, 1e ]∪[e, +∞)． 21. 证明：连接AB ， 则∠AQE =∠ABP ， 而OA =OB ， 所以∠ABO =45∘ 所以∠OBP +∠AQE =∠OBP +∠ABP =∠ABO =45∘22. 解：作AP ⊥CD 于点P ，如图，分别以AB ，AP ，AO 所在直线为x ，y ，z 轴建立坐标系，则A(0,0,0),B(1,0,0),P(0,√22，0)，D(−√22,√22,0)， O(0, 0, 2)，M(0, 0, 1)(I)设AB 与MD 所成的角为θ， ∵ AB →=(1,0,0)，MD →=(−√22,√22,−1)， ∴ cosθ=|AB →|⋅|MD →|˙=12，∴ θ=π3， ∴ AB 与MD 所成角的大小为π3 （2）∵ OP →=(0,√22,−2)，OD→=(−√22,√22,−2)，∴ 设平面OCD 的法向量为n →1=(x,y,z)，则n →1⋅OP →=0，n 1→⋅OD →=0，即{√22y −2z =0−√22x +√22y −2z =0，取z =√2，解得n →1=(0,4,√2)．易知平面OAB 的一个法向量为n 2→=(0,1,0) cos <n →1，n 2→>=n →1.n 2→|n →1||n →2|=2√23． 由图形知，平面OAB 与平面OCD 所成的二面角的余弦值为2√2323. （1）证明：因为y =e −x ，所以y ′=−e −x ，则切线l n 的斜率k n =−e −x n ，所以切线l n 的方程 为y −y n =−e −x n (x −x n )，令y =0， 得x Q n =x n +1，即x n+1=x n +1 （2）解：因为x 1=1，所以x n =n ，所以S n =∫e −x x n+1x ndx −12(x n+1−x n )⋅y n =(−e −x )|nn+1−12×e −n =(e−2)e −n2e，（3）Tn =e−22e(1e 1+1e 2+...+1e n )=e−22e(1e (1−1en )1−1e)=e−22e(e−1)(1−1e n )；T n+1T n=1−1e n+11−1en=1+e−1e n+1−e ， 而x n+1x n=n+1n=1+1n ， 要证T n+1T n<x n+1x n成立，只需证明e−1e n+1−e<1n即可；即只要证明e n+1>(e −1)n +e 证明；数学归纳法：①当n =1时，显然(e −1)2>0⇔e 2>2e −1⇔e 2>(e −1)+e 成立 ②假设n =k 时，有e k+1>(e −1)k +e当n =k +1时，e k+2=e ⋅e k+1>e[(e −1)k +e]而e[(e −1)k +e]−[(e −1)(k +1)+e]=(e −1)2(k +1)>0 ∴ e k+2=e ⋅e k+1>e[(e −1)k +e]>(e −1)(k +1)+e 这说明n =k +1时不等式也成立， 故T n+1T n<x n+1x n对一切正整数n 都成立．。

盐城市2009/2010学年度高三年级第三次调研考试 1．已知复数2z i =，则13iz +的虚部为 ▲ .2．为了抗震救灾，现要在学生人数比例为5:3:2的A 、B 、C 三所高校中，用分层抽样方法抽取n 名志愿者，若在A高校恰好抽出了6名志愿者，那么n = ▲ .3．若命题“2,(1)10x R x a x ∃∈+-+<”是假命题，则实数a 的取值范围是 ▲ .4．已知向量()()2,1,3,a b λ==，若()2a b b-⊥ ，则λ= ▲ .5．已知集合π,,089n A n Z n αα⎧⎫==∈≤≤⎨⎬⎩⎭，若从A 中任取一个元素作为直线l 的倾斜角，则直线l 的斜率小于零的概率是 ▲ . 6．在等比数列{}n a 中，若22a =-，632a =-，则4a = ▲ .7．已知函数2sin cos122()2tan 2cos 12x xf x x x =+-，则()8f π的值为 ▲ .8．按如图所示的流程图运算，则输出的S= ▲ .9．由“若直角三角形两直角边的长分别为,a b ，将其补成一个矩形，则根据矩形的对角线长可求得该直角三角形外接圆的半径为222a b r +=”. 对于“若三棱锥三条侧棱两两垂直，侧棱长分别为,,a b c ”，类比上述处理方法，可得该三棱锥的外接球半径为R = ▲ .10．已知,,A B F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的上、下顶点和右焦点，直线AF与椭圆的右准线交于点M ，若直线MB ∥x 轴，则该椭圆的离心率e = ▲ .11．已知数列{}n a 满足221221,2,(1cos )sin 22n n n n a a a a ππ+===++，则该数列的前20项的和为 ▲ .12．已知直线10kx y -+=与圆C：224x y +=相交于,A B 两点，若点M 在圆C上，且有OM OA OB =+（O为坐标原点），则实数k = ▲ .13．若,,0a b c >，且24a ab ac bc +++=，则2a b c ++的最小值为 ▲ .14．设0a >，函数2(),()ln a f x x g x x x x =+=-，若对任意的12,[1,]x x e ∈，都有12()()f x g x ≥成立，则实数a 的取值范围为 ▲ .15．(本小题满分14分)如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，1111AC B D ⊥，,E F 分别是,AB BC 的中点.（Ⅰ）求证：//EF 平面11A BC ；（Ⅱ）求证：平面11D DBB ⊥平面11A BC开始结束S输出YN4≥a 1,5←←S a a S S ⨯←1-←a a 第8题ABCABC D 1DEF 第1516．(本小题满分14分)设ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足(2)0a c BC BA cCA CB +⋅+⋅=.（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若23b =，试求AB CB ⋅的最小值.17．(本小题满分14分)设数列{}n a 的前n 项和2nSn =，数列{}n b 满足*()nn n a b m N a m =∈+.（Ⅰ）若128,,b b b 成等比数列，试求m 的值；（Ⅱ）是否存在m ，使得数列{}nb 中存在某项t b 满足*14,,(,5)tb b b t Nt ∈≥成等差数列？若存在，请指出符合题意的m 的个数；若不存在，请说明理由.18．(本小题满分16分)某广告公司为2010年上海世博会设计了一种霓虹灯，样式如图中实线部分所示. 其上部分是以AB 为直径的半圆，点O为圆心，下部分是以AB为斜边的等腰直角三角形，,DE DF 是两根支杆，其中2AB =米，2(0)4E O A F O B x x π∠=∠=<<. 现在弧EF 、线段DE 与线段DF 上装彩灯，在弧AE 、弧BF 、线段AD 与线段BD 上装节能灯. 若每种灯的“心悦效果”均与相应的线段或弧的长度成正比，且彩灯的比例系数为2k ，节能灯的比例系数为(0)k k >，假定该霓虹灯整体的“心悦效果”y 是所有灯“心悦效果”的和.（Ⅰ）试将y 表示为x 的函数；（Ⅱ）试确定当x 取何值时，该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳？DOABEF 第18219．(本小题满分16分)已知椭圆C ：2212x y +=的左、右焦点分别为12,F F ，下顶点为A ，点P 是椭圆上任一点，⊙M 是以2PF 为直径的圆. （Ⅰ）当⊙M 的面积为8π时，求PA 所在直线的方程；（Ⅱ）当⊙M 与直线1AF相切时，求⊙M 的方程；（Ⅲ）求证：⊙M 总与某个定圆相切.20．(本小题满分16分)已知函数2()1,()|1|f x x g x a x =-=-． （Ⅰ）若|()|()f x g x =有两个不同的解，求a 的值；（Ⅱ）若当x R ∈时，不等式()()f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围；（Ⅲ）求()|()|()h x f x g x =+在[2,2]-上的最大值.求函数142y x x =-++最大值.22．（本小题满分10分）已知动圆P 过点1(0,)4F 且与直线14y =-相切. （Ⅰ）求点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点F 作一条直线交轨迹C 于,A B 两点，轨迹C 在,A B 两点处的切线相交于点N，M 为线段AB 的中点，求证：MN x ⊥轴.将一枚硬币连续抛掷15次，每次抛掷互不影响.记正面向上的次数为奇数的概率为1P 正面向上的次数为偶数的概率为2P .（Ⅰ）若该硬币均匀，试求1P 与2P ；（Ⅱ）若该硬币有暇疵，且每次正面向上的概率为1(0)2p p <<，试比较1P与2P 的大小.· P 第19题xy AF 1F 2 ·M O OF xy··P 第22题盐城市2009/2010学年度高三年级第三次调研一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1.12-2.303.13a -≤≤4.3或1-5.496.8-7.28.209.2222a b c ++ 10.22 11.2101 12.0 13.4 14.2ae ≥-二、 解答题：本大题共6小题，计90分.15．解：（Ⅰ）连接AC ，则AC ∥11AC ，而,E F 分别是,AB BC 的中点，所以EF ∥AC ， 则EF ∥11A C ，故//EF 平面11A BC ………………………………………………………………7分（Ⅱ）因为1BB ⊥平面1111A B C D ，所以111BBA C ⊥，又1111ACB D ⊥， 则11AC ⊥平面11D DBB …………………………………………………………………………12分 又11A C ⊂平面11A BC ，所以平面11D DBB⊥平面11A BC………………………………………14分16．解：（Ⅰ）因为(2)0a c BC BA cCA CB +⋅+⋅=，所以(2)cos cos 0a c ac B cab C ++=， 即(2)cos cos 0a c B b C ++=，则(2sin sin )cos sin cos 0A C B B C ++= ………………4分所以2sin cos sin()0A B C B ++=，即1cos 2B =-，所以23B π=…………………………8分 （Ⅱ）因为22222cos3b a c ac π=+-，所以22123a c ac ac =++≥，即4ac ≤…………12分所以AB CB ⋅ =21cos 232ac ac π=-≥-，即AB CB ⋅ 的最小值为2-………………………14分17．解：（Ⅰ）因为2n S n =，所以当2n ≥时，121nn n a S S n -=-=-…………………………3分 又当1n =时，111a S ==，适合上式，所以21n a n =-（*n N ∈）…………………………4分所以2121n n b n m -=-+，则1281315,,1315b b b m m m ===+++，由2218b b b =，得23115()3115m m m=⨯+++，解得0m=（舍）或9m =，所以9m =………………………7分（Ⅱ）假设存在m ，使得*14,,(,5)t b b b t N t ∈≥成等差数列，即412t b b b =+，则712127121t m m t m -⨯=+++-+，化简得3675t m =+-…………………………………………12分所以当51,2,3,4,6,9,12,18,36m -=时，分别存在43,25,19,16,13,11,10,9,8t =适合题意， 即存在这样m ，且符合题意的m 共有9个 ……………………………………………………14分18．解：（Ⅰ）因为2EOA FOB x ∠=∠=,所以弧EF 、AE 、BF 的长分别为4,2,2x x x π-…3分连接OD ，则由OD=OE=OF=1，22FOD EOD x π∠=∠=+，所以112cos(2)22sin 22(sin cos )2DE DF x x x x π==+-+=+=+……………………6分所以2(22(sin cos )4)(224)y k x x x k x π=++-++2(22(sin cos )22)k x x x π=+-++………………………………………………9分（Ⅱ）因为由4(2(cos sin )1)0y k x x '=--=………………………………………………11分解得1cos()42x π+=，即12x π=………………………………………………………………13分 又当(0,)12x π∈时，0y '>，所以此时y 在(0,)12π上单调递增； 当(,)124x ππ∈时，0y '<，所以此时y 在(,)124ππ上单调递减.故当12x π=时，该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳 …………………………………………16分19．解：（Ⅰ）易得())1,0(),0,1(,0,121--A F F，设点P ()11,y x ，则212121212122)2(2121)1()1(-=-+-=+-=x x x yx PF ，所以12222x PF -= (3)分又⊙M 的面积为8π，∴21)2(88-=x ππ，解得11=x ，∴)22,1()22,1(-或P ，∴PA 所在直线方程为1)221(-+=x y 或1)221(--=x y ………………………………5分（Ⅱ）因为直线1AF 的方程为01=++y x ，且)2,21(11y x M +到直线1AF 的距离为11142222|1221|x y x -=+++…………………………………………………………7分化简，得1121x y --=，联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=1221212111y x x y ，解得01=x 或981-=x …………10分∴当01=x 时，可得)21,21(-M ，∴⊙M 的方程为21)21()21(22=++-y x ；当981-=x 时，可得17(,)1818M ，∴⊙M的方程为2217169()()1818162x y -+-=………12分（Ⅲ）⊙M 始终和以原点为圆心，半径为=1r 2（长半轴）的圆（记作⊙O ）相切……13分证明：因为=++=44)1(2121yx OM 1212142228414)1(x x x +=-++，又⊙M 的半径=2r =2MF 14222x -，∴21r r OM -=，∴⊙M和⊙O 相内切……16分（说明：结合椭圆定义用几何方法证明亦可）20．解：（Ⅰ）方程|()|()f x g x =，即2|1||1|x a x -=-，变形得|1|(|1|)0x x a -+-=，显然，x=1已是该方程的根，从而欲原方程有两个不同的解，即要求方程|1|x a+=“有且仅有一个不等于1的解”或“有两解，一解为1，另一解不等于1” ………………3分 结合图形，得0a =或2a =………………………………………………………………………5分（Ⅱ）不等式()()f x g x ≥对x R ∈恒成立，即2(1)|1|x a x -≥-（*）对x R ∈恒成立，①当x=1时，（*）显然成立，此时a R ∈ ………………………………………………………6分②当x ≠1时，（*）可变形为21|1|x a x -≤-，令21(1)1()(1)(1)|1|x x x x x x x ϕ+>⎧-==⎨-+<-⎩， 因为当x>1时，()2x ϕ>；而当x<1时，()2x ϕ>-.所以()2g x >-，故此时2a ≤-…………………………………………………………………9分综合①②，得所求a 的取值范围是2a ≤- ……………………………………………………10分（Ⅲ）因为2()|()|()|1||1|h x f x g x x a x =+=-+-=2221(1)1(11)1(1)x ax a x x ax a x x ax a x ⎧+--≥⎪--++-≤<⎨⎪-+-<-⎩,① 当1,22aa >>即时，结合图形可知h(x)在[-2，1]上递减，在[1，2]上递增， 且h(-2)=3a+3, h(2)=a+3，经比较，此时h(x)在[-2，2]上的最大值为33a +………② 当01,22a a ≤≤≤≤即0时，结合图形可知h(x)在[-2，-1]，[,1]2a -上递减，在[1,]2a --，[1，2]上递增，且h(-2)=3a+3, h(2)=a+3，2()124a ah a -=++，经比较，知此时h(x) 在[-2，2]上的最大值为33a +……………………………………12分③当10,02a a -≤<≤<即-2时，结合图形可知h(x)在[-2，-1]，[,1]2a -上递减，在[1,]2a --，[1，2]上递增，且h(-2)=3a+3, h(2)=a+3，2()124a a h a -=++，经比较，知此时h(x) 在[-2，2]上的最大值为3a+……………………………………13分④ 当31,222a a -≤<-≤<-即-3时，结合图形可知h(x)在[2,]2a -，[1,]2a-上递减， 在[,1]2a ，[,2]2a -上递增，且h(-2)=3a+30<, h(2)=a+30≥，经比较，知此时h(x) 在[-2，2]上的最大值为3a +……………………………………14分⑤ 当3,322a a <-<-即时，结合图形可知h(x)在[-2，1]上递减，在[1，2]上递增，故此时h(x) 在[-2，2]上的最大值为h(1)=0……………………………………………15分 综上所述，当0a≥时，h(x) 在[-2，2]上的最大值为33a +；当30a -≤<时，h(x) 在[-2，2]上的最大值为3a +；当3a <-时，h(x) 在[-2，2]上的最大值为0…………………………………………………16分D 解：因为22(122)y x x =-+⋅+≤22[1(2)][12]33x x +-++=⨯……………6分 ∴ y≤3…8分，当且仅当1212xx =-+时取“=”号，即当0x=时，max 3y =…10分22.解：（Ⅰ）根据抛物线的定义，可得动圆圆心P 的轨迹C 的方程为2x y =……………………4分 （Ⅱ）证明：设221122(,),(,)A x x B x x ， ∵2y x =， ∴ 2y x '=，∴ ,AN BN 的斜率分别 为122,2x x ，故AN 的方程为21112()y x x x x -=-，BN 的方程为22222()y x x x x -=- …7分 即21122222y x x x y x x x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，两式相减，得122x x x +=，∴,M N 的横坐标相等，于是MN x ⊥轴……………………………………………………10分23.解：（Ⅰ）抛硬币一次正面向上的概率为12P =，所以正面向上的次数为奇数次的概率为151515(1)(3)(15)P P P P =+++ 111143312155151515111111()()()()()222222C C C =+++=……3分故112P P =-=21 …………………………………………………………………………………5分（Ⅱ）因为111433121515151515(1)(1)PC p p C p p C p =-+-++ 1， 0015221314141151515(1)(1)(1)P C p p C p p C p p =-+-++- 2……………………………………7分 则001511142213151515(1)(1)(1)P P C p p C p p C p p -=---+-211414115151515(1)C p p C p ++-- 1515[(1)](12)p p p =--=-，而102p <<，∴120p ->，∴ PP >21………………10分。

盐城市高三数学试卷 第页(共6页)盐城中学2010届高三年级第一次模拟考试数 学(满分160分，考试时间120分钟)2010．4一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知平面向量a ＝(3,1)，b ＝(x ，－3)，若a ∥b ，则x ＝__________.2. 已知集合M ＝{x |x ＜3}，N ＝{x |log 2x ＞1}，则M ∩N ＝____________.3. 设复数z 1＝1－i ，z 2＝－4－3i ，则z 1·z 2在复平面内对应的点位于第__________象限．4. 为了解高三女生的身高情况，从高三女生中选取容量为60的样本(60名女生身高，5. 若a 、b 是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，则α∥β的充分而不必要条件是__________．(将正确的序号全部填上)① a ⊂α，b ⊂α，a ∥β，且b ∥β； ② a ⊂α，b ⊂β，且a ∥b ； ③ a ⊥α，b ⊥β，且a ∥b ； ④ a ∥α，b ∥β，且a ∥b .6. 与直线y ＝x －2平行且与曲线y ＝x 2－ln x 相切的直线方程为________________．7. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0，－x ＋2，x ＞0，则不等式f (x )≥x 2的解集为____________．8. 设sin(α＋β)＝35，cos(α－β)＝310，则(sin α－cos α)(sin β－cos β)的值为____________．(第9题)9. 如果执行右面的程序框图，那么输出的S ＝____________.10. 设P 是直线l ：y ＝2x 且在第一象限上的一点，点Q (2,2)，则直线PQ 与直线l 及x 轴在第一象限围成的三角形面积最小值为____________．11. 已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点分别为F 1、F 2，若椭圆上存在点P ，使得|PF 1→＋PF 2→|＝|F 1F 2→|成立，则离心率的取值范围为____________．12. 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋a n －1＝(12)n (n ≥2)，S n ＝a 1·2＋a 2·22＋…＋a n ·2n ，类比课本中推导等比数列前n 项和公式的方法，可求得3S n －a n ·2n ＋1＝____________.13. 对于任意实数x ，符号[x ]表示x 的整数部分，即[x ]是不超过x 的最大整数．这个函数[x ]叫做“取整函数”，那么[log 31]＋[log 32]＋[log 33]＋[log 34]＋…＋[log 3243]＝____________.14. 连续两次掷骰子得到的点数依次为m 、n ，则以点(0,0)、(1，－1)、(m ，n )为顶点能构成直角三角形的概率为______________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝2，AA 1＝1，D 是BC 的中点，点P 在平面BCC 1B 1内，PB 1＝PC 1＝ 2.(1) 求证：P A 1⊥BC ；(2) 求证：PB 1∥平面AC 1D .16. (本小题满分14分)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，a 2－c 2＝3ab －b 2，S △ABC ＝2.(1) 求CA →·CB →的值；(2) 设函数y ＝sin(ωx ＋φ)(其中φ∈[0，π2]，ω＞0)，最小正周期为π，当x 等于角C 时函数取到最大值，求使该函数取最小值时的x 的集合．游泳池中相邻的两条泳道A1B1和A2B2(看成两条互相平行的线段)分别长90 m，甲在泳道A1B1上从A1处出发，以3 m/s的速度到达B1后以同样的速度返回A1处，然后重复上述过程；乙在泳道A2B2上从B2处出发，以2 m/s的速度到达A2后以同样的速度游回B2处，然后重复上述过程．(不考虑每次折返时的减速和转向时间)．两人同时开始运动．(1) 设甲离开池边B1B2处的距离为y m，当时间t∈[0,60](单位：s)时，写出y关于t的函数解析式；(2) 请判断从开始运动起到3 min为止，甲乙的相遇次数．已知圆C1：x2＋y2－2x－4y＋m＝0，直线x＋2y－4＝0与圆C1相交于M、N两点，以MN为直径作圆C2.(1) 求圆C2的方程；(2) 过原点O的直线l与圆C1、圆C2都相切，求直线l的方程．已知无穷数列{a n}中，a1，a2，…，a m是首项为10，公差为－2的等差数列；a m＋1，a m＋2，…，a2m是首项为12，公比为12的等比数列(m≥3，m∈N*)，并对任意n∈N*，均有an＋2m＝a n成立．(1) 当m＝12时，求a2 010；(2) 若a52＝1128，试求m的值；(3) 判断是否存在m，使S128m＋3≥2 010成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．已知关于x的函数f(x)＝x2＋2ax＋b(其中a、b∈R)．(1) 求函数|f(x)|的单调区间；(2) 令t＝a2－b.若存在实数m，使得|f(m)|≤14与|f(m＋1)|≤14同时成立，求t的最大值.盐城市高三数学附加题试卷 第页(共2页)盐城中学2010届高三年级第一次模拟考试数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)一、 选做题：在四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1. (选修4-1：几何证明选讲)自圆O 外一点P 引切线与圆切于点A ，M 为P A 中点，过M 引割线交圆于B 、C 两点．求证：∠MCP ＝∠MPB .2. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 1－1 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1，记C ＝AB.(1) 求C －1；(2) 若矩阵B 把直线l ：x ＋y ＋2＝0变为直线l ′，求直线l ′的方程．3. (选修4-4：坐标系与参数方程)已知A 是曲线ρ＝12sin θ上的动点，B 是曲线ρ＝12cos(θ－π6)上的动点，试求AB 的最大值．4. (选修4-5：不等式选讲)设P 是△ABC 内的一点，x 、y 、z 是P 到三边a 、b 、c 的距离，R 是△ABC 外接圆的半径，证明x ＋y ＋z ≤12Ra 2＋b 2＋c 2.二、 必做题：每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．5. 一袋中有x (x ∈N *)个红球，3个黑球和2个白球，现从中任取2个球． (1) 当x ＝3时，求取出的2个球颜色都相同的事件的概率；(2) 当x ＝3时，设ξ表示取出的2个球中红球的个数，求ξ的概率分布及数学期望；(3) 如果取出的2个球颜色不相同的事件概率小于23，求x 的最小值．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点F 、T 、M 、P 满足OF →＝(1,0)，OT →＝(－1，t )，FM →＝MT →，PM →⊥FT →，PT →∥OF →.(1) 当t 变化时，求点P 的轨迹C 的方程；(2) 若过点F 的直线交曲线C 于A 、B 两点，求证：直线TA 、TF 、TB 的斜率依次成等差数列．盐城市高三数学参考答案 第页(共3页)盐城中学2010届高三年级第一次模拟考试数学参考答案及评分标准1. －92. (2,3)3. 二4. 0.455. ③6. x －y ＝07. [－1,1]8. －3109. 162 10.4 11. [22，1) 12. n ＋1 13. 857 14. 81515. 证明：(1) 连结PD 交B 1C 1于H ，连结BH .(1分) ∵ BC ⊥AD ，BC ⊥AA 1，AD ∩AA 1＝A ， ∴ BC ⊥平面ADP A 1.(3分) ∵ P A 1⊂平面ADP A 1. ∴ BC ⊥P A 1.(6分)(2) ∵ PH ∥BB 1，且PH ＝BB 1，∴ 四边形B 1PHB 为平行四边形．(8分) ∴ PB 1∥BH .而BH ∥C 1D ，∴ PB 1∥DC 1.(10分)又∵ PB 1⊄平面AC 1D ，C 1D ⊂平面AC 1D ，∴ PB 1∥平面AC 1D .(14分)16. 解：(1) cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝32，(2分)∵ 0＜C ＜π，∴ C ＝π6.(3分)∵ S △ABC ＝2， ∴ 12ab sin30°＝2， ∴ ab ＝8，(5分)∴ CA →·CB →＝ab cos30°＝8×32＝4 3.(7分)(2) ω＝2.(8分)当且仅当2x ＋φ＝π2＋2k π，即π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，(9分)此时φ＝π6＋2k π.又∵ φ∈[0，π2]，∴ φ＝π6.(10分)∴ 当2x ＋π6＝－π2＋2k π时函数取最小值．(12分)即函数取最小值时的x 的集合为{x |x ＝－π3＋k π，k ∈Z }．(14分)17. 解：(1) y ＝⎩⎪⎨⎪⎧90－3t ，t ∈[0，30]，3t －90，t ∈(30，60].(8分)(2) 如下图．(说明：若写出乙的函数解析式，则给予相应的得分) 五次 90(15分)18. 解：(1) 设圆C 2的圆心坐标为(x ，y )，(1分)过圆心C 1(1,2)且与直线x ＋2y －4＝0垂直的直线方程为y ＝2x ，(3分)∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，y ＝2x ，解得⎩⎨⎧x ＝45，y ＝85.(5分)又因为圆C 2的半径为r ＝(45)2＋(85)2＝455，(6分) ∴ 圆C 2的方程为(x －45)2＋(y －85)2＝165.(8分)(2) 设直线l 的方程为y ＝kx ，圆C 1的半径为r 1，圆C 2的半径为r 2.(9分) C 1到直线y ＝kx 的距离为d 1，C 2到y ＝kx 的距离为d 2.则d 1＝r 1，d 2＝r 2.由图形知，r 21＝r 22＋(C 1C 2)2，∴ d 21＝d 22＋15. ∴ ⎝ ⎛⎭⎪⎫|k －2|k 2＋12＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|4k 5－85|k 2＋12＋15，解得k ＝9±522.(13分) ∴ 直线l 的方程为y ＝9±522x .(15分)19. 解：(1) a n ＋24＝a n ，所以a 2 010＝a 18.(2分)a 18是以12为首项，以12为公比的等比数列的第6项，所以a 2 010＝164.(4分)(2) 1128＝(12)7，所以m ≥7.(5分)因为a 52＝1128，所以2km ＋m ＋7＝(2k ＋1)m ＋7＝52，其中m ≥7，m ∈N *，k ∈N *，(6分)即(2k ＋1)m ＝45，当k ＝0时，m ＝45，成立；当k ＝1时，m ＝15，成立；当k ＝2时，m ＝9成立；(9分)当k ≥3时，m ≤457＜7.所以m 可取9、15、45.(10分)(3) S 128m ＋3＝64S 2m ＋a 1＋a 2＋a 3＝64⎩⎨⎧⎭⎬⎫10m ＋m (m －1)2(－2)＋12⎣⎡⎦⎤1－(12)m 1－12＋10＋8＋6 ＝704m －64m 2＋88－64(12)m ≥2 010，(12分)704m －64m 2≥2 010－88＋64(12)m ＝1 922＋64(12)m ，设f (m )＝704m －64m 2，g (m )＝1 922＋64(12)m ，(14分)g (m )＞1 922；f (m )＝－64(m 2－11m )，对称轴m ＝112∉N *，所以f (m )在m ＝5或6时取最大值f (x )max ＝f (5)＝f (6)＝1 920.因为1 922＞1 920，所以不存在这样的m .(16分)20. 解：(1) ① 当a 2－b ≤0时，单调区间为(－∞，－a )减，[－a ，＋∞)增；(2分) ② 当a 2－b ＞0时，单调区间为(－∞，－a －a 2－b )减，(－a －a 2－b ，－a )增，(－a ，－a ＋a 2－b )减，(－a ＋a 2－b ，＋∞)增．(5分)(2) ① 当－14≤a 2－b ≤0时，由方程x 2＋2ax ＋b ＝14，解得x 1,2＝－a ±a 2－b ＋14，此时|x 2－x 1|＝2a 2－b ＋14≤1，不满足．(8分)② 当14＞a 2－b ＞0时，由方程x 2＋2ax ＋b ＝14，解得x 1,2＝－a ±a 2－b ＋14.此时|x 2－x 1|＝2a 2－b ＋14∈(1，2)，满足题意．(11分) ③ 当a 2－b ≥14时，由方程x 2＋2ax ＋b ＝14和方程x 2＋2ax ＋b ＝－14，解得x 1,2＝－a ±a 2－b ＋14，x 3,4＝－a ±a 2－b －14， 此时由于|x 2－x 1|＝2a 2－b ＋14∈[2，＋∞)， |x 3－x 1|＝a 2－b ＋14－a 2－b －14＝12a 2－b ＋14＋a 2－b －14≤24＜1， 所以只要|x 3－x 4|＝2a 2－b －14≤1即可，此时a 2－b ≤12，综上所述t 的最大值为12.(16分)盐城市高三数学附加题参考答案 第页(共2页)盐城中学2010届高三年级第一次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准1. (选修4-1：几何证明选讲)证明：∵ P A 与圆相切于A ，∴ MA 2＝MB ·MC .(1分)∵ M 为P A 中点，∴ PM ＝MA ，∴ PM 2＝MB ·MC ，(3分)∴ PM MC ＝MB PM.(5分) ∵ ∠BMP ＝∠PMC ，∴ △BMP ∽△PMC ，∴ ∠MCP ＝∠MPB .(10分)2. (选修4-2：矩阵与变换)解：(1) C ＝AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －3－1 4，(2分) C －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －3－1 4.(5分) (2) 任取直线l 上一点P (x ，y )经矩阵B 变换后为点P ′(x ′，y ′)，(6分)则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －2y y ，(7分) ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝x －2y ，y ′＝y ，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′＋2y ′，y ＝y ′，(8分) 代入x ＋y ＋2＝0，得x ′＋2y ′＋y ′＋2＝0，∴ x ′＋3y ′＋2＝0，(9分)∴ 直线l ′的方程为x ＋3y ＋2＝0.(10分)3. (选修4-4：坐标系与参数方程)解：两圆的普通方程为x 2＋(y －6)2＝36和(x －33)2＋(y －3)2＝36，(5分) 所以AB 的最大值为(0－33)2＋(6－3)2＋12＝18.(10分)4. (选修4-5：不等式选讲)证明：由柯西不等式得，x ＋y ＋z ＝ax 1a ＋by 1b ＋cz 1c ≤ax ＋by ＋cz ·1a ＋1b ＋1c，(3分) 记S 为△ABC 的面积，则ax ＋by ＋cz ＝2S ＝2·abc 4R ＝abc 2R，(6分) x ＋y ＋z ≤abc 2R ab ＋bc ＋ca abc ＝12R ab ＋bc ＋ca ≤12Ra 2＋b 2＋c 2，(9分) 故不等式成立．(10分)5. 解：(1) 当x ＝3时，设“取出的2个球颜色都相同”为事件A ，P (A )＝C 23＋C 23＋C 22C 28＝14.(2分) 答：取出的2球颜色都相同的事件概率为14.(3分) (2) 当x ＝3时，ξ可取0、1、2， ∵ P (ξ＝0)＝C 25C 28＝514，P (ξ＝1)＝C 13C 15C 28＝1528，P (ξ＝2)＝C 23C 28＝328， ∴ ξ的概率分布为(5分)ξ的数学期望为Eξ＝0×514＋1×1528＋2×328＝34.(7分) (3) 设“取出的2个球中颜色不相同”为事件B ，则P (B )＝C 1x C 13＋C 1x C 12＋C 13C 12C 2x ＋5＜23， ∴ x 2－6x ＋2＞0，∴ x ＞3＋7或x ＜3－7，∴ x 的最小值为6.(10分)6. (1) 解：设点P 的坐标为(x ，y )，由FM →＝MT →，得点M 是线段FT 的中点，则M (0，t 2)，PM →＝(－x ，t 2－y )． 又FT →＝OT →－OF →＝(－2，t )，PT →＝(－1－x ，t －y )，由PM →⊥FT →，得2x ＋t (t 2－y )＝0， ① 由PT →∥OF →，得(－1－x )×0＋(t －y )×1＝0，∴ t ＝y .②(3分)由①②消去t ，得y 2＝4x 即为所求点P 的轨迹C 的方程．(5分)(2) 证明：设直线TA ，TF ，TB 的斜率依次为k 1，k ，k 2，并记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则k ＝－t 2.(6分) 设直线AB 方程为x ＝my ＋1，⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝4x x ＝my ＋1，得y 2－4my －4＝0，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4m ，y 1·y 2＝－4， ∴ y 21＋y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝16m 2＋8，(7分)∴ k 1＋k 2＝y 1－t x 1＋1＋y 2－t x 2＋1＝(y 1－t )(y 224＋1)＋(y 2－t )(y 214＋1)(y 214＋1)(y 224＋1) ＝4y 1y 2(y 1＋y 2)－4t (y 21＋y 22)＋16(y 1＋y 2)－32t y 21y 22＋4(y 21＋y 22)＋16＝－t ＝2k .(9分)∴ k 1，k ，k 2成等差数列．(10分)。

2010年江苏省某校高考数学模拟试卷（1）一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分） 1. sin(−300∘)=________．2. 已知复数z =−i(1+2i)，其中i 是虚线单位，则|z|=________．3. 已知全集U =R ，集合A ={x|−2≤x ≤3}，B ={x|x +1>0}，则集合A ∩∁U B =________．4. 某同学五次测验的成绩分别为78，92，86，84，85，则该同学五次测验成绩的方差为________．5. 已知中心在坐标原点的椭圆经过直线x −2y −4=0与坐标轴的两个交点，则该椭圆的离心率为________．6. 下图是一个算法的流程图，若输入x =6，则输出k 的值是________．7. 已知等比数列{a n }的各项都为正数，它的前三项依次为1，a +1，2a +5，则数列{a n }的通项公式a n =________．8. 同时抛掷两个骰子，向上的点数之积为3的倍数的概率是________．9. 若向量a →，b →满足|a →|=√2，|b →|=1，a →⋅(a →+b →)=1，则向量a →，b →的夹角的大小为________．10. 若方程lnx +2x −10=0的解为x 0，则不小于x 0的最小整数是________． 11. 如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是π，则这个圆柱的体积是________． 12. △ABC 中，若A =2B ，则ab 的取值范围是________．13. 某同学在研究函数f(x)=x 1+|x|(x ∈R)时，分别给出下面几个结论：①f(−x)+f(x)=0在x ∈R 时恒成立； ②函数f(x)的值域为(−1, 1)；③若x 1≠x 2，则一定有f(x 1)≠f(x 2)； ④函数g(x)=f(x)−x 在R 上有三个零点． 其中正确结论的序号有________．14. 在数列{a n }中，如果存在非零常数T ，使得a m+T =a m 对任意正整数m 均成立，那么就称{a n }为周期数列，其中T 叫做数列{a n }的周期．已知数列{x n }满足x n+1=|x n −x n−1|(n ≥2, n ∈N ∗)，且x 1=1，x 2=a(a ≤1, a ≠0)，当数列{x n }周期为3时，则该数列的前2007项的和为________二、解答题（共12小题，满分0分）15. 已知a →=(sinx +2cosx, 3cosx)，b →=(sinx, cosx)，且f(x)=a →⋅b →． （1）求函数f(x)的最大值；（2）求函数f(x)在[0, π]上的单调递增区间．16.如图，在四棱锥O −ABCD 中，AD // BC ，AB =AD =2BC ，OB =OD ，M 是OD 的中点． 求证：(I)直线MC // 平面OAB ； (II)直线BD ⊥直线OA ．17.某自来水公司准备修建一条饮水渠，其横截面为如图所示的等腰梯形，∠ABC =120∘，按照设计要求，其横截面面积为6√3平方米，为了使建造的水渠用料最省，横截面的周 长（梯形的底BC 与两腰长的和）必须最小，设水渠深ℎ米． （1）当ℎ为多少米时，用料最省？（2）如果水渠的深度设计在[3,2√3]的范围内，求横截面周长的最小值． 18. 已知⊙C 1:x 2+(y +5)2=5，点A(1, −3) （1）求过点A 与⊙C 1相切的直线l 的方程；（2）设⊙C 2为⊙C 1关于直线l 对称的圆，则在x 轴上是否存在点P ，使得P 到两圆的切线长之比为√2？荐存在，求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由． 19. 已知函数f(x)＝x 4+ax 3+2x 2+b(x ∈R)，其中a ，b ∈R ． (Ⅰ)当a =−103时，讨论函数f(x)的单调性；(Ⅱ)若函数f(x)仅在x ＝0处有极值，求a 的取值范围；(Ⅲ)若对于任意的a ∈[−2, 2]，不等式f(x)≤1在[−1, 1]上恒成立，求b 的取值范围． 20. 设{a n }是各项均为正数的无穷项等差数列．（本题中必要时可使用公式：12+22+33+⋯+n 2=n(n+1)(2n+1)6）（I ）记S n =a 1+a 2+...+a n ，T n =a 12+a 22+...+a n 2，已知S n ≤n 2+n −1，T n ≥4n 3−n 3(n ∈N ∗)，试求此等差数列的首项a 1及公差d ；（II ）若{a n }的首项a 1及公差d 都是正整数，问在数列{a n }中是否包含一个非常数列的无穷项等比数列{a′m }？若存在，请写出{a′m }的构造过程；若不存在，说明理由．21. 如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，PA 是⊙O 的切线，PB 交于AC于点E ，交⊙O 于点D ，若PE =PA ，∠ABC =60∘，PD =1，BD =8，求线段CE 的长． 22. 已知在一个二阶矩阵M 的变换作用下，点A(1, 2)变成了点A′(4, 5)，点B(3, −1)变成了点B′(5, 1)，求矩阵M ．23. 自极点O 作射线与直线ρcosθ=3相交于点M ，在OM 上取一点P ，使得OM ⋅OP =12，求点P 的轨迹方程，并判断点P 的轨迹与直线l ：{x =t +2y =2t +1（t 是参数）的位置关系．24. 设a ∈R 且a ≠−√2，试比较√2+a√2−a 的大小．25. 回答下列问题：（1）设f(x)=(1+x)n ，f(x)展开式中x 2的系数是10，求n 的值；（2）利用二项式定理证明：∑(n k=1−1)k+1kC n k=0． 26. 某商场为促销设计了一个抽奖模型，一定数额的消费可以获得一张抽奖券，每张抽奖券可以从一个装有大小相同的4个白球和2个红球的口袋中一次性摸出3个球，至少摸到一个红球则中奖．(I)求一次抽奖中奖的概率；(II)若每次中奖可获得10元的奖金，一位顾客获得两张抽奖券，求两次抽奖所得的奖金额之和X （元）的概率分布和期望E(X)．2010年江苏省某校高考数学模拟试卷（1）答案1. √322. √53. {x|−2≤x ≤−1}4. 205. √326. 47. 3n−18. 599. 3π4 10. 5 11. π412. (1, 2) 13. ①②③ 14. 133815. 解：（1）因为a →=(sinx +2cosx, 3cosx)，b →=(sinx, cosx)， 所以，f(x)=(sinx +2cosx)sinx +3cosx ⋅cosx =1+sin2x +1+cos2x =√2sin(2x +π4)+2，所以，当2x +π4=π2+2kπ，k ∈Z ，即x =π8+kπ，k ∈Z 时， f(x)取得最大值√2+2；（2）由（1）由知f(x)的最小正周期是π， 由2kπ−π2≤2x +π4≤2kπ+π2，得kπ−3π8≤x ≤kπ+π8，k ∈Z ，所以f(x)在[0, π]上的递增区间为[0,π8]和[5π8，π]∴ f(x)的最大值为√2+2；f(x)在[0, π]上的递增区间为[0,π8]和[5π8，π]． 16. 证明：(1)设N 是OA 的中点，连接MN ，NB ， 因为M 是OD 的中点，所以MN // AD ，且2MN =AD ， 又AD // BC ，AD =2BC ， 所以MNBC 是平行四边形， 所以MC // NB ，又MC 不在平面OAB 上，NB ⊂平面OAB ， 所以直线MC // 平面OAB ；(2)设H 是BD 的中点，连接AH ， 因为AB =AD ，所以AH ⊥BD ， 又因为OB =OD ，所以OH ⊥BD 所以BD ⊥面OAH 所以BD ⊥OA 、17. 解：（1）6√3=12(AD +BC)ℎ，AD =BC +2×ℎcot60∘=BC +2√33ℎ，6√3=12(2BC +2√33ℎ)ℎ， 使得BC =6√3ℎ−√33ℎ=√3ℎ+6√3ℎ≥6√2．设外周长为l ，则l =2AB +BC =2ℎsin60∘+6√3ℎ−√33ℎ， 当√3ℎ=6√3ℎ，即ℎ=√6时等号成立，外周长的最小值为6√2，此时堤高ℎ为√6米；（2）√3ℎ+6√3ℎ=√3(ℎ+6ℎ)，设3≤ℎ1<ℎ2≤2√3．解ℎ2+6ℎ2−ℎ1−6ℎ1=(ℎ2−ℎ1)(1−6ℎ1ℎ2)>0，l 是ℎ的增函数，所以l min =√3×3+6√33=5√3（米），（当ℎ=3时取得最小值）．18. 解：（1）C 1(0,−5)，r 1=√5，因为点A 恰在⊙C 1上，所以点A 即是切点，K C 1A =−3+51=2，所以k 1=−12，所以，直线l 的方程为y +3=−12(x −1)，即x +2y +5=0； （2）因为点A 恰为C 1C 2中点，所以，C 2(2, −1)，所以，⊙C 2：(x −2)2+(y +1)2=5， 设P(a,0),PC 12−5PC 22−5=2①，或PC 22−5PC 12−5=2②，由①得，a 2+20(a−2)2−4=2，解得a =−2或10，所以，P(−2,0)或(10,0)，由②得，a 2−4aa 2+20=2，求此方程无解．综上，存在两点P(−2, 0)或P(10, 0)适合题意．19. （1）f ′(x)＝4x 3+3ax 2+4x ＝x(4x 2+3ax +4)． 当a =−103时，f ′(x)＝x(4x 2−10x +4)＝2x(2x −1)(x −2)．令f ′(x)＝0，解得x 1＝0，x 2=12，x 3＝（2）当x 变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以f(x)在(0,12)，(2, +∞)内是增函数，在(−∞, 0)，(12,2)内是减函数．（2）f ′(x)＝x(4x 2+3ax +4)，显然x ＝0不是方程4x 2+3ax +4＝0的根．为使f(x)仅在x ＝0处有极值，必须4x 2+3ax +4≥0成立，即有△＝9a 2−64≤(0) 解些不等式，得−83≤a ≤83．这时，f(0)＝b 是唯一极值． 因此满足条件的a 的取值范围是[−83,83]．(Ⅲ)由条件a ∈[−2, 2]，可知△＝9a 2−64<0，从而4x 2+3ax +4>0恒成立． 当x <0时，f ′(x)<0；当x >0时，f ′(x)>(0)因此函数f(x)在[−1, 1]上的最大值是f(1)与f(−1)两者中的较大者． 为使对任意的a ∈[−2, 2]，不等式f(x)≤1在[−1, 1]上恒成立， 当且仅当{f(1)≤1f(−1)≤1 ，即{b ≤−2−ab ≤−2+a ，在a ∈[−2, 2]上恒成立．所以b ≤−4，因此满足条件的b 的取值范围是(−∞, −4]．20. 解：(I)依题意：S n =na 1+n(n−1)2d ，a n =a 1+(n −1)d ，所以a n 2=a 12+2a 1(n −1)d +(n −1)2d 2，T n =na 12+n(n −1)a 1d +16(n −1)n(2n −1)d 2，则{na 1+n(n−1)2d ≤n 2+n −1na 12+n(n −1)a 1d +16(n −1)n(2n −1)d 2≥4n 3−n 3即{(2−d)n 2+n(2−a 1−d)−2≥0(1)2(d 2−4)n 2+3d(2a 1−d)n +6a 12−6a 1d +d 2+2≥0(2)则n ∈N ∗恒成立， 所以{2−d ≥0d 2−4≥0因为数列为无穷项，所以d ≥0，所以d =2， 代入（1）（2）得{(2−a)n −1≥0(3)2(a 1−1)n +(a 1−1)2≥0(4)当n =1代入（3），得2−a 1−1≥0，所以a 1≤1， 由（4），当a 1<1时，对充分大的n ，（4）不成立，所以，a 1=1 经检验，a 1=1，d =2满足题意； (II){a n }为a 1，a 1+d ，a 1+2d ，…，取a 1′=a 1，a 2′=a 1+da 1′=(1+d)a 1，a 3′=a 1′+d(a 1′+a 2′)=a 1′+da 1+da 2′=a 2′+da 2′=(1+d)a 2′a m ′=a 1′+d(a 1′+a 2′+...+a m−1′)=a m−1′+da m−1′=(1+d)a m−1′=(1+d)m−1a 1 故数列{a n }是以a 1为首项，1+d （大于1）为公比的非常数等比数列； 又由{a n }的取法可知，a 1′+a 2′+...+a m−1′是正整数之和，记做k ． 所以，a m ′=a 1+dk ，从而a m ′是a 1，a 1+d ，a 1+2d ，…，中的项， 所以，存在这样的非常数列的无穷项等比数列，它包含在{a n }中． 21. 解：∵ PA 是圆O 的切线，PDB 是圆O 的割线， ∴ PA 2=PD ⋅PB ，又PD =1，BD =8， ∴ PA =3，又PE =PA ，∴ PE =3．∵ PA 是圆O 的切线，∴ ∠PAE =∠ABC =60o ， 又PE =PA ，∴ △PAE 是等边三角形，∴ PE =3． ∴ DE =PE −PD =2，∴ BE =BD −DE =6． 由相交弦定理，得AE ⋅CE =BE ⋅DE ，∴ CE =4． 22. 解：设M =[ac ，即[a +2b c +2d ， 所以{a +2b =43a −b =5c +2d =53c −d =1，解得M =[2123. C 、解：P(ρ, θ)，则M(ρ′, θ)，因为OM ⋅OP =12，所以ρρ′=12， 又ρ′cosθ=3，所以ρ3cosθ=12，即点P 的轨迹方程为ρ=4cosθ，化为直角坐标方程为(x −2)2+y 2=4，直线l 的普通方程为：2x −y −3=0， 则圆心(2, 0)到直线l 的距离为：d =√5=√55<2，所以直线l 与点P 的轨迹相交． 24. 解：√2+a−(√2−a)=2√2+a ，当a >−√2且a ≠0时，∵2√2+a>0，∴√2+a>√2−a ；当a =0时，∵2√2+a=0，∴√2+a=√2−a ；当a <−√2时，∵2√2+a<0，∴√2+a<√2−a .综上，当a >−√2且a ≠0时，√2+a>√2−a ，当a =0时，√2+a=√2−a ，当a <−√2时，√2+a<√2−a .25. 解(1)(1+x)n 展开式中的x 2的系数是C n 2=10，即n(n−1)2=10，得n =5（2）由(1−x)n =C n 0−C n 1x ++(−1)2C n 1x 2+(−1)n C n n x n两边求导得−n(1−x)n−1=−C n 1+2C n 2x ++(−1)r kC n r x n−r ++(−1)n nC n n x n−1两边同时乘以−1，再令x =1得∑(n n=1−1)k+1kC n k=0． 26. 解：(1)由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生的所有事件是从6个球中取三个，共有C 63种结果，而满足条件的事件是摸到一个红球或摸到两个红球，共有C 21C 42+C 22C 41设“一次抽奖中奖”为事件A ，∴ P(A)=C 21C 42+C 22C 41C 63=1620=45即一次抽奖中奖的概率为45； (2)X 可取0，10，20，P(X =0)=(0.2)2=0.04，P(X =10)=C 21×0.8×0.2=0.32， P(X =20)=(0.8)2=0.64，∴ X 的概率分布列为∴ E(X)=0×0.04+10×0.32+20×0.64=16．。

盐城中学2010届高三年级第一次模拟考试数学试题2010.04审核：王斌 编校：王思亮A .必做题部分一、填空题(每小题5分，共70分)1.已知平面向量a = (3,1),b = (x,-3),若a//b,则x 等于 ▲ . -2.已知集合 M ='x|x ：：3l , N - ;x|log 2x 1，则 M 一 N =▲3.设复数 乙=1 -i, Z 2 =-4 -3i ，则w Z 2在复平面内对应的点位于第 ▲ 象限.4.为了解高三女生的身高情况，从高三女生中选取容量为 60的样本(60名女生身高，单位:cm ),分组情况如下:分组 [51.5,158.5 j158.5,165.5)165.5,172.5) 172.5,179.5)频数621频率a0.1贝 y a = ▲.5 .若a,b 是两条不重合的直线， :是两个不重合的平面，则 :/<■的充分而不必要条件是▲.(将正确的序号全部填上)① a -卅，b 二：匚 a//『；，且 b // :;④ a//： ,b// ：，且 a//b .7.已知函数f (x)=[x +2, x 兰0,则不等式f (x)Zx 2的解集为▲—x + 2, x 〉033&设 sin(-：i ■■ ■■-'),cos(：--) ,则(sin ：-cos ： )(sin :-cos ：)的值为 ▲ 5109.如果执行右面的程序框图，那么输出的S 二 ▲10 •设P 是直线l: y = 2x 且在第一象限上的一点，点Q(2, 2),则直线PQ 与直线l 及x 轴在第一象限围成的三 角形面积最小值为 ▲.2 211.已知椭圆-y ^ = 1(a b 0)的两个焦点分别为a b② a 二：f,b 二],且 a//b ; 6•与直线y = x - 2平行且与曲线2y = x - ln x 相切的直线方程为S=0F I,F2 ,若椭圆上存在点P ,使得| PF i •PF2|=|F I F2〔成立，则离心率的取值范围为▲_____ .-12•已知数列｛a n｝满足a =1, a n a n丄=（1）n（n _2）, S n=a1 2 - a2 22山-a n-2n，类比课本中推导等比数列前n项和公式的方法，可求得3S n _a n-2n d= ▲.13. 对于任意实数x ,符号lx 1表示x的整数部分，即X1是不超过x的最大整数.这个函数1x1叫做“取整函数”，那么[log 31] [log 3 2] [log 3 3] [log 3 4] [log 3 243] = .14. 连续两次掷骰子得到的点数依次为m、n,则以点0,0、1,T、m, n为顶点能构成直角三角形的概率为▲、解答题（第15、16题14分，第17、18题15分，第19、20题16分）15. 如图，正三棱柱ABC—A1B1G 中，AB=2, AA1=1, D 是BC的中点，点P在平面BCGB1内，PB1=PG=J2“（I）求证：PA丄BC;…网（H）求证：PB1//平面AGD.高考…16 .在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边,a - c = - 3ab - b , S ABC = 2 .I IT T（I）求CA CB的值；（n）设函数y二sin（「x「:）,（其中）0,—「・0），最小正周期为二，当x等于角G时IL 2函数取到最大值，求使该函数取最小值时的x的集合.17•游泳池中相邻的两条泳道AB1和A2B2 （看成两条互相平行的线段）分别长90米,甲在泳道A1B1上从A1处出发，以3米/秒的速度到达B1以同样的速度返回A处，然后重复上述过程；乙在泳道A2B2上从B2处出发，以2米/秒的速度到达A2以同样的速度游回B2处，然后重复上述过程.（不考虑每次折返时的减速和转向时间）.两人同时开始运动（I）设甲离开池边B1B2处的距离为y米,当时间0,60】（单位:秒）时,写出y关于t的函数解析式；（n ）请判断从开始运动起到3分钟为止，甲乙B1的相遇次数2 218.已知圆G : x y -2x -4y • m二0 ,直线x 2^-4 = 0与圆C1相交于M , N两点，以MN为直径作圆C2 .-(I)求圆C2的圆心C2坐标；(n)过原点0的直线I与圆G、圆C2都相切，求直线I的方程•-19 .已知无穷数列；a鳥中，a「a2,…，a m是首项为10 ,公差为-2的等差数列；1 1 」a m i,a m 2/' a2m是首项为一，公比为一的等比数列m — 3, m • N ”，并对任意N ,均2 2有a n 2m二a n成立，-(I)当m =12 时，求a 2010 ；1(n)若a52，试求m的值；128(川)判断是否存在m，使S128m・3 -2010成立，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.220.已知关于x的函数f(x)=x 2ax b(其中a,b・R)(I)求函数f(x)的单调区间；1 1(n)令t=a2—b.若存在实数m，使得f (m)|兰一与f(m+1)兰—同时成立，求t的最大4 4值.—12cos （ §上的动点，试求 AB 的最大值.4.（选修4— 5:不等式选讲）设p 是 ABC 内的一点，x,y,z 是p 到三边a,b,c 的距离，R 1二、必做题：本大题共 2小题，每小题10分，共20分.5. 一袋中有x （x ，N ）个红球，3个黑球和2个白球，现从中任取 2个球. （I ）当x =3时,求取出的2个球颜色都相同的事件的概率；盐城中学2010届高三年级第一次模拟考试数学试题B.附加题部分、选做题：本大题共 4小题，请从这4题中选做2小题，如果多做，则按所做的前两题记 分.每小题10分，共20分. 1.（选修4—1 :几何证明选讲） 圆切于点A , M 为PA 中点，过 点.求证：.MCP =/MPB .2.（选修4— 2:矩阵与变换）已知矩阵A =^2IL-1-211，记 C = AB . - （I ）求c 」；（n ）若矩阵B 把直线I : X y ^0变为直线「，求直线「的方程.3 .（选修4—4 :坐标系与参数方程）已知A 是曲线 ? =12sinr 上的动点， B 是曲线是 ABC 外接圆的半径，证明X •、y r Z 乞 —.a 2 b 2 c 2 .V2R（n）当x=3时，设•表示取出的2个球中红球的个数，求'的概率分布及数学期望;(川)如果取出的2个球颜色不相同的事件概率小于1，求x的最小值.36.在平面直角坐标系中，0为坐标原点，点F、T、M、P满足OF ,0T t , —I —I —H —I T TFM =MT,PM _ FT, PT//OF .-(I)当t变化时，求点P的轨迹C的方程；(n)若过点F的直线交曲线C于A, B两点，求证：直线TA、TF、TB的斜率依次成等差数列.…名姓级班号证考准盐城中学2010届高三第一次模拟考试数学答题纸(2010.04 )1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、二、解答题(共90分)、填空题(14 X 5= 70分)15、（14分）16、（14分）17、（15分）B i218、（15分）19、（16分）20、（16 分）附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）1.选做（本小题满分10分）2.选做（本小题满分10分）3.（本小题满分10分）4.（本小题满分10分）一模参考答案1. -92.2,3 3.二4.0.45 5.③ 6.X - y = 0 7.[-1,1] 3.288.9.162 10. 4[,1)12. n 113. 857 14.10215 15. (1) 连接P D交B1C1于H，连接BHTBC _ AD, BC _ AA,,AD “AA 二A,.BC _ 平面ADPA,.:PA 平面ADPA,.BC _ PA,.⑵ TPH l_BB!,且；PH =BB!, •四边形RPHB为平行四边形.• PB丄BH .而BH L C,D16. (1)PB1 L DC 1.又T PB1 ■-平面AC1D ，G D —平面AC1D . ■ PB iL 平面AC1D .=2=22 . 2 2a b -c cosC2abV 0 : C :::二f S ABC = 21absin 30° = 2 2 .ab =8CA.CB.abcos300 .8 乜2 = 4.3(2) • =2.当且仅当2x2k 二，即. 2 3+ <P JI2 k二此时2k 二.又；[0,—],・「 6 2JI JI•当2x2k 二时取最小值。

江苏省东台中学2010届高三数学模似考试2010-01-15一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

1.已知角α的终边过点P (－5,12),则cos α= ．2.设(3)10i z i +=(i 为虚数单位),则||z = .3.已知集合{}{}2|60,|10A x x x B x x =-->=->，则=⋂B A C R .4.设不等式组0,022x y x y ≥≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩所表示的区域为A ,现在区域A 中任意丢进一个粒子,则该粒子落在直线12y x =上方的概率为 . 5. E 是边长为2的正方形ABCD 边AD 的中点，将图形沿EB 、EC 折成三棱锥A-BCE （A ，D 重合）， 则此三棱锥的体积为___ ____.6.设方程2ln 72x x =-的解为0x ,则关于x 的不等式02x x -<的最大整数解为 .7．将函数sin(2)(0)y x φφπ=+≤<的图象向左平移6π个单位后，所得的函数恰好是偶函数，则φ的值为 .8.设P 为曲线2:1C y x x =-+上一点,曲线C 在点P 处的切线的斜率的范围是[1,3]-,则点P 纵坐标的取值范围是_______________. 9.已知{}n a 是等比数列,242,8a a ==,则1223341n n a a a a a a a a ++++⋅⋅⋅+=_________________。

10.在平面直角坐标平面内,不难得到“对于双曲线xy k =（0k >）上任意一点P ,若点P 在x 轴、y 轴上的射影分别为M 、N ，则PM PN ⋅必为定值k ”.类比于此，对于双曲线22221x y a b-=（0a >,0b >）上任意一点P ,类似的命题为:_________________________________________________________________________________________________________________________.11.已知函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩，数列{}n a 满足*(),n a f n n N =∈，且数列{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是 ________________ .ABDEFH12．在边长为1的菱形ABCD 中，0120ABC ∠=，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，DE 交AF 于点H ，则AH AB ⋅u u u r u u u r= ______________________ .13．若椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上任一点到其上顶点的最大距离恰好等于该椭圆的中心到其准线的距离，则该椭圆的离心率的取值范围是 14．已知定义在R 上的函数)(x F 满足()()()F x y F x F y +=+，当0x >时，()0F x <. 若对任意的[0,1]x ∈，不等式组22(2)(4)()(3)F kx x F k F x kx F k ⎧-<-⎪⎨-<-⎪⎩均成立，则实数k 的取值范围是 .二、解答题：（本大题共6小题,共90分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．） 15. 已知在ABC ∆中,cos 3A =,,,a b c 分别是角,,ABC 所对的边. (Ⅰ)求tan 2A ； (Ⅱ)若sin()2B π+=,c =求ABC ∆的面积. 16. 如图,在四棱锥P ABCD -中,侧面PAD ⊥底面ABCD ,侧棱PA PD ⊥,底面ABCD 是直角梯形,其中//BC AD ,090BAD ∠=,3AD BC =,O 是AD 上一点.(Ⅰ)若//CD PBO 平面,试指出点O 的位置； (Ⅱ)求证:PAB PCD ⊥平面平面.17. 如图,某小区准备在一直角围墙ABC 内的空地上植造一块“绿地ABD ∆”,其中AB 长为定值a ,BD 长可根据需要进行调节(BC 足够长).现规划在ABD ∆的内接正方形BEFG 内种花,其余地方种草,且把种草的面积1S 与种花的面积2S 的比值12S S 称为“草花比y ”. (Ⅰ)设DAB θ∠=,将y 表示成θ的函数关系式； (Ⅱ)当BE 为多长时,y 有最小值?最小值是多少?OPDBA第16题第17题GFEDC BA18已知⊙C 过点)1,1(P ,且与⊙M :222(2)(2)(0)x y r r +++=>关于直线20x y ++=对称. (Ⅰ)求⊙C 的方程；(Ⅱ)设Q 为⊙C 上的一个动点,求PQ MQ ⋅u u u r u u u u r的最小值；(Ⅲ)过点P 作两条相异直线分别与⊙C 相交于B A ,,且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补,O 为坐标原点,试判断直线OP 和AB 是否平行?请说明理由.19. 已知函数2()(33)xf x x x e=-+⋅定义域为[]t ,2-(2t >-),设n t f m f ==-)(,)2(.(Ⅰ)试确定t 的取值范围,使得函数)(x f 在[]t ,2-上为单调函数； (Ⅱ)求证:n m >；(Ⅲ)求证:对于任意的2->t ,总存在),2(0t x -∈,满足0'20()2(1)3x f x t e =-,并确定这样的0x 的个数.20. 在正项数列{}n a 中,令11nn i i i S a a =+=+∑.（Ⅰ）若{}n a 是首项为25,公差为2的等差数列,求100S ； （Ⅱ）若11n n S a a +=+（p 为正常数）对正整数n 恒成立,求证{}n a 为等差数列；（Ⅲ）给定正整数k ,正实数M ,对于满足2211k a a M ++≤的所有等差数列{}n a ,求1221k k k T a a a +++=++⋅⋅⋅+的最大值.三、附加题，（满分40分)1。

2010年江苏高考数学模拟试卷(1)一、填空题:共14小题,每题5分,共70分. 1.已知集合A={x|1<2x<8,x∈R},B={x||x|<2,x∈R},则A∩B= .2.已知z=4i-zi,i为虚数单位,则复数z= .3.一位篮球运动员在最近的8场比赛中得分的茎叶图如图,则他在这8场比赛中得分的平均值是 .4.已知向量a=(1,n),b=(-1,n),若向量2a-b与向量b垂直,则|a|= .5.函数y=3x2-2alnx+a在(0,1)内有极小值,则实数a的取值范围是 .6.将一根木棒随意分成两段,较长一段的长度不超过较短一段的长度的2倍的概率是 .7.执行如图算法框图,若输入a=18,b=5,则输出的值为 .8.已知F1,F2是椭圆x2k+1+y2k=1的左、右焦点,经过F1的直线与椭圆交于A,B两点,若△ABF2的周长为12,则椭圆的离心率为 .9.曲线y=excosx在x=0处的切线方程为 .10.已知正四面体的表面积为43,则该四面体的体积为 .11.若函数f(x)=a-x+x+a2-2是偶函数,则实数a的值为 .12.用f(n)表示自然数n的各位数字的和,例如f(20)=2+0=2,f(2009)=2+0+0+9=11,若对任意n∈N,都有n+f(n)≠x,满足这个条件的最大的两位数x的值是 .13.函数y=23sinxcosx-cos2x+sin2x的图象在[0,m]上恰好有两个点的纵坐标为1,则实数m的取值范围是 .14.已知定义在R上的函数F(x)满足F(x+y)=F(x)+F(y),当x>0时,F(x)0且a≠1)图象的一部分.根据专家研究,当注意力指数p大于80时听课效果最佳.(1)试求p=f(t)的函数关系式;(2)老师在什么时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳?请说明理由.第17题18.已知圆C:(x+2)2+y2=4,相互垂直的两条直线l1、l2都过点A(a,0).(Ⅰ)若l1、l2都和圆C相切,求直线l1、l2的方程;(Ⅱ)当a=2时,若圆心为M(1,m)的圆和圆C外切且与直线l1、l2都相切,求圆M的方程;(Ⅲ)当a=-1时,求l1、l2被圆C所截得弦长之和的最大值.19.已知数列{an}的通项公式为an=nn+a(n,a∈N*).(1)若a1,a3,a15成等比数列,求a的值;(2)是否存在k(k≥3且k∈N),使得a1,a2,ak成等差数列,若存在,求出常数a的值;若不存在,请说明理由;(3)求证:数列中的任意一项an总可以表示成数列中的其他两项之积.20.已知正方形ABCD的中心在原点,四个顶点都在曲线y=ax3+bx上.(1)若正方形的一个顶点为(2,1),求a、b的值;(2)若a=1,求证:b=-22是正方形ABCD唯一确定的充要条件.数学附加题21.【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,共计20分.A.选修4-1:几何证明选讲如图,圆O是△ABC的外接圆,过点C的切线交AB的延长线于点D,CD=210,AB=BC=3,求BD以及AC的长.B.选修4-2:矩阵与变换已知变换T把平面上的点(2,-1),(0,1)分别变换成点(0,-1),(2,-1),试求变换T对应的矩阵M.C.选修4-4:坐标系与参数方程圆C:ρ=2cos(θ-π4),与极轴交于点A(异于极点O),求直线CA的极坐标方程.D.选修4-5:不等式选讲证明:1+122+132+…+1n2 (2)连接A1B,连接A1C交AC1于点G,连接DG∵矩形A1ACC1,∴G为A1C的中点,又由(1)得D为BC的中点,∴△A1BC中,DG∥A1B又∵点E,F分别是BB1,A1B1的中点,∴△A1B1B中,EF∥A1B,∴EF∥DG,又EF?て矫?ADC1,DG?计矫?ADC1,∴EF∥平面ADC1.17.(本题满分14分)解:(1)t∈(0,14]时,设p=f(t)=c(t-12)2+82(c0,则n=mt,代入①得t(m2t2-22)+1=0即t[(t+22)t2-22]+1=0化简得(t-1t+2)2=0,又t-1t+2=0有且仅有一个正根,∴(m,n)唯一确定,即正方形ABCD唯一确定.2°必要性:若(m,n)唯一确定,则n=m3+bm-m=n3+bn,即nm=m2+b-mn=n2+b即(m2+b)(n2+b)+1=0――②令m2+b=t>0,则n=mt,代入①得t(m2t2+b)+1=0即t[(t-b)t2+b]+1=0化简得t2+1t2-b(t-1t)=0,即(t-1t)2-b(t-1t)+2=0――③又③有唯一解,∴b2=8,又∵b=-mn-n2=-25&#8226;5=-25.由于异面直线BE与AC所成的角是锐角,故其余弦值是25.(Ⅱ)AB=(2,0,-1),AE=(0,1,-1),设平面ABE的法向量为n1=(x,y,z),则由n1⊥AB,n1⊥AE,得2x-z=0,y-z=0.取n=(1,2,2),平面BEC的一个法向量为n2=(0,0,1),cos=n1&#8226;n2|n1|&#8226;|n2|=21+4+4=23.由于二面角A-BE-C的平面角是n1与n2的夹角的补角,其余弦值是-23.希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：1、要接受自己行动所带来的责任而非自己成就所带来的荣耀。

2010盐城中学高三数学
2010盐城中学高三数学试卷是一份备受关注的试卷，作为高中阶段最重要的学科之一，数学在高考中占据着重要的地位。

本文将就该试卷的特点以及相关的考点进行详细拓展。

首先，2010盐城中学高三数学试卷在命题上注重将数学与实际生活相结合，强调应用题的能力。

其中，涉及到了数列、函数、立体几何、平面几何、概率与统计等多个数学知识点。

这种命题形式既考察了学生对基础知识的掌握程度，又体现了数学知识在实际问题中的应用能力。

其次，2010盐城中学高三数学试卷注重考察学生的数学思维能力和解决问题的能力。

试卷中的一部分题目设置了较高的难度，需要学生具备较强的数学思维和分析问题的能力。

这样的设计旨在考察学生的数学素养和逻辑思维能力，培养学生的解决问题的能力。

除此之外，2010盐城中学高三数学试卷还注重考察学生的运算能力和推理能力。

试卷中有一些计算题目，要求学生在有限的时间内完成复杂的运算，对学生的运算能力提出了较高的要求。

同时，还有一些证明题目，要求学生运用所学的数学知识进行推理和证明。

这种设计旨在培养学生的逻辑推理能力和数学思维的灵活运用。

综上所述，2010盐城中学高三数学试卷具有注重应用题、考察数学思维和解决
问题能力、强调运算和推理能力等特点。

这样的试卷设计不仅能够全面评价学生的数学水平，也能够培养学生的数学素养和综合运用数学知识解决实际问题的能力。

江苏省东台中学2010届高三模拟试卷（数学）数学Ⅰ试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

请把答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．1．若集合{}[)+∞=≥=,42a x A x，则=a __________．2．已知复数i z ai z -=+=2,221，若21z z <，则实数a 的取值范围是_____________．3．已知点)2,3(),1,4(),5,2(-==-BC AB A ，则点C 的坐标为_________．4．为了了解高三学生的身体状况，抽取了部分男生的体重，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)．已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为3:2:1，第2小组的频数为12，则抽取的男生人数是________．5．已知函数x x x f ln cos )(π+=，则=')2(πf __________．6．在正方体中，以各面中心为顶点可以构成一个美丽的几何体．若这个美丽的几何体的体积为1，则正方体的体积为_________．7．运行如图所示的程序流程图，则输出I 的值为__________． 8．抛掷一颗骰子的点数为a ，得到函数x a x f 3sin )(π=，则“)(x f y =在[]4,0上至少有5个零点”的概率是_________． 9．若对于)2,0(π∈x ，不等式9cos sin 122≥+xpx 恒成立，则正实数p 的取值范围为__________．10．已知21F F ，是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点，过1F 的直线与椭圆相交于B A ,两点．若20AF ==⋅，则椭圆的离心率为__________．11．在底面为正方形的长方体上任意选择4个顶点，它们可能是以下几何形体的4个顶点：①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；④每个面都是等腰三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．其中正确的说法是______________．(填上正确答案的序号)12．设定义在R 的函数)(x f 同时满足以下条件：①0)()(=-+x f x f ；②)2()(+=x f x f ； ③当10<≤x 时，12)(-=xx f ．则=++++)25()2()23()1()21(f f f f f __________． 13．已知数列{}n a 的通项公式是12-=n n a ，数列{}n b 的通项公式是n b n 3=，令集合{}{}*∈==N n b b b B a a a A n n ,,,,,,,,,,2121 ．将集合B A 中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为{}n c ．则数列{}n c 的前28项的和=28S _________．14 ．若存在过点)0,1(的直线与曲线3x y =和94152-+=x ax y 都相切，则a 等于_________． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P ABCD -中，AB ∥DC ，2DC AB =，AP AD =，PB ⊥AC ，BD ⊥AC ，E 为PD 的中点．求证：（1）AE ∥平面PBC ；（2）PD ⊥平面ACE ．16．(本小题满分14分)在锐角ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知sin A =， （1）求22tan sin 22B C A++的值； （2）若2a =，ABC S =△，求b 的值．17. (本小题满分15分)已知分别以1d 和2d 为公差的等差数列}{n a 和}{n b 满足181=a ，3614=b ． （1）若1d =18，且存在正整数m ，使得45142-=+m m b a ，求证：1082>d ；（2）若0==k k b a ，且数列1a ，2a ，…，k a ，1+k b ，2+k b ，…，14b 的前n 项和n S 满足k S S 214=，求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；18. (本小题满分15分)DCBA E P （第16题图）如图，F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A,B 分别是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率为12，点C 在x 轴上，,,,BC BF B C F ⊥三点确定的圆M 恰好与直线1:30l x +=相切 （1）求椭圆的方程；（2）过点A 的直线2l 与圆M 交于P,Q 两点，且2,MP MQ ⋅=-求直线2l 的方程19.（本小题满分16分）在一个特定时段内，以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E 正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东45且与点A 相距海里的位置B ，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45+θ(其中sin θ=26，090θ<< )且与点A 相距C .（1）求该船的行驶速度（单位：海里/时）;（2）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.20．(本小题满分16分)已知函数2()ln f x x mx n x =++（0x >，实数m ，n 为常数）．（1）若230n m +=（0m >），且函数()f x 在[1,)x ∈+∞上的最小值为0，求m 的值；（2）若对于任意的实数[1,2]a ∈，1b a -=，函数()f x 在区间(,)a b 上总是减函数，对每个给定的n ，求m 的最大值h (n )．数学Ⅱ（附加题）21.[选做题]在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分。

2010年江苏省盐城市某校高考数学模拟试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分） 1. 计算2i 1+i=________．2. 函数y ＝sinxcosx 的最小正周期是________．3. 命题p:a ∈M ={x|x 2−x <0}；命题q:a ∈N ={x||x|<2}，p 是q 的________条件．4. 圆x 2+y 2−2x −2y +1＝0上的动点Q 到直线3x +4y +8＝0距离的最小值为________．5. 已知向量a →、b →的夹角为60∘，|a →|=2，|b →|=1，且(ka →+b →)⊥(2a →−b →)，则实数k =________．6. 已知样本a ，b ，5，6，7的平均数是5，方差是2，则ab 的值为________．7. 一个质地均匀的正四面体（侧棱长与底面边长相等的正三棱锥）骰子四个面上分别标有1，2，3，4这四个数字，抛掷这颗正四面体骰子，观察抛掷后能看到的数字．若连续抛掷两次，两次朝下面上的数字之积大于6的概率是________．8. 已知点A(4, 16)，点P 是双曲线C:x 2−y 215=1上的一个动点，点F 是双曲线C 的右焦点，则|PA|+|PF|的最小值为________．9. 设{a n }是正项数列，其前n 项和S n 满足：4S n =(a n −1)(a n +3)，则数列{a n }的通项公式a n =________．10. 函数y =f(x)的图象是两条直线的一部分（如图所示），其定义域为[−1, 0)∪(0, 1]，则不等式f(x)−f(−x)>−1的解集为________．11. 执行如图所示的程序框图，则输出的S =________．12. 已知x ，y 满足约束条件{x −y −2≤0x +y ≥0y ≤2目标函数z =4x +3y 的最小值为________．13. 给出以下四个命题：①函数y =f(x)在R 上是增函数的充分不必要条件是f ′(x)>0对x ∈R 恒成立； ②等比数列{a n }中，a 1=1，a 5=16，则a 3=±4；③把函数y =sin(2−2x)的图象向左平移1个单位，则得到的图象对应的函数解析式为y =−sin2x ；④若数列{a n}是等比数列，则a1+a2+a3+a4，a5+a6+a7+a8，a9+a10+a11+a12也一定成等比数列．其中正确的是________．14. 已知函数f(x)是定义在(0, +∞)上的单调增函数，当n∈N∗时，f(n)∈N∗，若f[f(n)]=3n，则f(5)的值等于________．二、解答题（共9小题，满分90分）15. 已知：A、B、C是△ABC的内角，a，b，c分别是其对边长，向量m→=(√3,cos(π−A)−1)，n→=(cos(π2−A)，1)，m→⊥n→．（1）求角A的大小；（2）若a=2,cosB=√33，求b的长．16. 如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB // DC，△PAD是等边三角形，已知AD=4，BD=4√3，AB=2CD=8．（1）设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；（2）当M点位于线段PC什么位置时，PA // 平面MBD？17. 某企业去年年底给全部的800名员工共发放2000万元年终奖，该企业计划从今年起，10年内每年发放的年终奖都比上一年增加60万元，企业员工每年净增a人．（1）若a=9，在计划时间内，该企业的人均年终奖是否会超过3万元？（2）为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过多少人？18. 已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点为A(0, 3)，左、右焦点分别为B、C，离心率为12．（1）试求椭圆的标准方程；（2）若直线PC的倾斜角为α，直线PB的倾斜角为β，当β−α=2π3时，求证：①点P一定在经过A，B，C三点的圆M上；②PA=PB+PC．19. 对于各项均为整数的数列{a n}，如果满足a i+i(i=1, 2, 3,…)为完全平方数，则称数列{a n}具有“P性质”；不论数列{a n}是否具有“P性质”，如果存在与{a n}不是同一数列的{b n}，且{b n}同时满足下面两个条件：①b1，b2，b3，…，b n是a1，a2，a3，…，a n的一个排列；②数列{b n}具有“P性质”，则称数列{a n}具有“变换P性质”．（1）设数列{a n}的前n项和S n=n3(n2−1)，证明数列{a n}具有“P性质”；（2）试判断数列1，2，3，4，5和数列1，2，3，…，11是否具有“变换P性质”，具有此性质的数列请写出相应的数列{b n}，不具此性质的说明理由；（3）对于有限项数列A:1，2，3，…，n，某人已经验证当n∈[12, m2](m≥5)时，数列A 具有“变换P性质”，试证明：当n∈[m2+1, (m+1)2]时，数列A也具有“变换P性质”．20. 设函数f(x)=x3+ax2+bx(x>0)的图象与直线y=4相切于M(1, 4)．(1)求f(x)=x3+ax2+bx在区间(0, 4]上的最大值与最小值；(2)是否存在两个不等正数s，t(s<t)，当x∈[s, t]时，函数f(x)=x3+ax2+bx的值域也是[s, t]，若存在，求出所有这样的正数s，t；若不存在，请说明理由；(3)设存在两个不等正数s，t(s<t)，当x∈[s, t]时，函数f(x)=x3+ax2+bx的值域是[ks, kt]，求正数k的取值范围．21. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，PA是⊙O的切线，PB交于AC于点E，交⊙O于点D，若PE=PA，∠ABC=60∘，PD=1，BD=8，求线段CE的长．22. 甲、乙两名乒乓球运动员进行比赛，采用五局三胜制．若每一局比赛甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13．现已完成一局比赛，乙暂时以1:0领先．（1）求甲获得这次比赛胜利的概率；（2）设比赛结束时比赛的局数为X，求随机变量X的概率分布列和数学期望．23. 已知a n=A n1+A n2+A n3+...+A n n(n∈N∗)，当n≥2时，求证：（1）a n−1+1=a nn；(2)(1+1a1)(1+1a2)(1+1a3)…(1+1a n)≤3−1n．2010年江苏省盐城市某校高考数学模拟试卷答案1. 1+i2. π3. 充分不必要4. 25. −176. 127. 388. 169. 2n+110. [−1,−12)∪(0,1] 11. 7512. −2 13. ①③ 14. 815. 解：(1)m →=(√3,cos(π−A)−1)=(√3，−cosA −1) n →=(cos(π2−A)，1)=(sinA, 1)∵ m →⊥n →∴ √3sinA −cosA −1=0 ∴ sin(A −π6)=12∵ 0<A <π，∴ −π6<A −π6<5π6，∴ A −π6=π6，∴ A =π3（2）在△ABC 中，A =π3，a =2，cosB =√33∴ sinB =√1−cos 2B =√1−13=√63由正弦定理知：a sinA=b sinB，∴ b =asinB sinA =2×√63√32=4√23． ∴ b =4√2316. 证明：（1）在△ABD 中，∵ AD =4，BD =4√3，AB =8，∴ AD 2+BD 2=AB 2．∴ AD ⊥BD ．又∵ 平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD =AD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴ BD ⊥平面PAD ．又BD ⊂平面MBD ， ∴ 平面MBD ⊥平面PAD ．（2）当M 点位于线段PC 靠近C 点的三等分点处时，PA // 平面MBD ． 证明如下：连接AC ，交BD 于点N ，连接MN ． ∵ AB // DC ，所以四边形ABCD 是梯形． ∵ AB =2CD ，∴ CN:NA =1:2． 又∵ CM:MP =1:2，∴ CN:NA =CM:MP ，∴ PA // MN ． ∵ MN ⊂平面MBD ，∴ PA // 平面MBD ． 17. 解：（1）设从今年起的第x 年（今年为第1年）该企业人均发放年终奖为y 万元． 则y =2000+60x 800+ax(x ∈N ∗,1≤x ≤10)；由题意，有2000+60x 800+9x≥3，解得，x ≥40033>10．所以，该企业在10年内不能实现人均至少3万元年终奖的目标． （2）设1≤x 1<x 2≤10，则f(x 2)−f(x 1)=2000+60x 2800+ax 2−2000+60x 1800+ax 1=(60×800−2000a)(x 2−x 1)(800+ax 2)(800+ax 1)>0，所以，60×800−2000a >0，得a <24．所以，为使人均发放的年终奖年年有增长，该企业员工每年的净增量不能超过23人． 18. 解：（1）因为b =3，ca=12，b 2+c 2=a 2，解得a 2=12，b 2=9，c 2=3，所以椭圆的标准方程为x 212+y 29=1．（2）①因为B(−√3, 0)，C(√3, 0)，A(0, 3)，所以△ABC 为等边三角形． 经过A ，B ，C 三点的圆M 的方程为x 2+(y −1)2=4，即x 2+y 2−2y =3． 设点P(x, y)，则k PC =tanα=x−√3，k PB =tanβ=x+√3．因为β−α=2π3，所以tan(β−α)=−√3．因为tan(β−α)=tanβ−tanα1+tanαtanβ=−2√3yx 2+y 2−3， 所以−2√3yx 2+y 2−3=−√3．化简得x 2+y 2−2y =3．所以点P 一定在经过A ，B ，C 三点的圆M 上．②PA 2=x 2+(y −3)2=x 2+y 2−6y +9，因为x 2+y 2=3+2y ，所以PA 2=12−4y ． PB 2=(x −√3)2+y 2=2y +6−2√3x ，PC 2=(x +√3)2+y 2=2y +6+2√3x ， 2PB ×PC =2√4(y +3)2−12x 2=4√(y +3)2−3x 2，因为3x 2=9−3y 2+6y ， 所以2PB ×PC =4√4y 2，由于y <0，所以2PB ×PC =−8y ，从而(PB +PC)2=PB 2+2PB ×PC +PC 2=4y +12−8y =12−4y =PA 2． 所以PA =PB +PC ．19. 解：（1）当n ≥2时，a n =S n −S n−1=n3(n 2−1)−n−13[(n −1)2−1]=n 2−n ，又a 1=0，所以a n =n 2−n(n ∈N ∗)．所以a i +i =i 2(i =1, 2, 3,)是完全平方数，数列{a n }具有“P 性质”． （2）数列1，2，3，4，5具有“变换P 性质”， 数列{b n }为3，2，1，5，4． 数列1，2，3，，11不具有“变换P 性质”．因为11，4都只有与5的和才能构成完全平方数， 所以数列1，2，3，，11不具有“变换P 性质”． （3）设n =m 2+j ，1≤j ≤2m +1， 注意到(m +2)2−(m 2+j)=4m +4−j ， 令ℎ=4m +4−j −1，由于1≤j ≤2m +1，m ≥5，所以ℎ=4m +4−j −1≥2m +2≥12，又m 2−ℎ=m 2−4m −4+j +1≥m 2−4m −2，m 2−4m −2=(m −2)2−6>0， 所以ℎ<m 2， 即ℎ∈[12, m 2]．因为当n ∈[12, m 2](m ≥5)时，数列{a n }具有“变换P 性质”， 所以1，2，，4m +4−j −1可以排列成a 1，a 2，a 3，，a ℎ，使得a i +i(i =1, 2,,ℎ)都是平方数；另外，4m +4−j ，4m +4−j +1，，m 2+j 可以按相反顺序排列，即排列为m 2+j ，，4m +4−j +1，4m +4−j ，使得(4m +4−j)+(m 2+j)=(m +2)2，(4m +4−j +1)+(m 2+j −1)=(m +2)2，， 所以1，2，，4m +4−j −1，4m +4−j ，，m 2−1+j ，m 2+j 可以排成a 1，a 2，a 3，，a ℎ，m 2+j ，，4m +4−j 满足a i +i(i =1, 2,,m 2+j)都是平方数． 20. 解：(I)f(x)=3x 2+2ax +b ．依题意则有：{f(1)=4f ′(1)=0，所以{1+a +b =43+2a +b =0，解得{a =−6b =9，所以f(x)=x 3−6x 2+9x ； f′(x)=3x 2−12x +9=3(x −1)(x −3)，由f′(x)=0可得x =1或x =3． f′(x)，f(x)在区间(0, 4]上的变化情况为：所以函数f(x)=x 3−6x 2+9x 在区间[0, 4]上的最大值是4，最小值是0． (II)由函数的定义域是正数知，s >0，故极值点(3, 0)不在区间[s, t]上；(1)若极值点M(1, 4)在区间[s, t]，此时0<s ≤1≤t <3，在此区间上f(x)的最大值是4，不可能等于t ；故在区间[s, t]上没有极值点；(2)若f(x)=x 3−6x 2+9x 在[s, t]上单调增，即0<s <t ≤1或3<s <t ，则{f(s)=s f(t)=t ，即{s 3−6s 2+9s =s t 3−6t 2+9t =t，解得{s =2t =4不合要求； (3)若f(x)=x 3−6x 2+9x 在[s, t]上单调减，即1<s <t <3，则{f(s)=t f(t)=s ，两式相减并除s −t 得：(s +t)2−6(s +t)−st +10=0，① 两式相除并开方可得[s(s −3)]2=[t(t −3)]2，即s(3−s)=t(3−t)，整理并除以s −t 得：s +t =3，② 代入①有st =1，与1<s <t <3矛盾．(III)同(II)，极值点(3, 0)不可能在区间[s, t]上；(1)若极值点M(1, 4)在区间[s, t]，此时0<s ≤1≤t <3， 故有①{0<s ≤1≤t <3kt =4ks =f(s)f(s)≤f(t)或②{0<s ≤1≤t <3kt =4ks =f(t)f(s)≥f(t)①由k =4t ，1≤t <3知，k ∈(43, 4]，当且仅当t =1时，k =4； 再由k =(s −3)2，0<s ≤1知，k ∈[4, 9)，当且仅当s =1时，k =4由于s ≠t ，故不存在满足要求的k 值． ②由s =1k f(t)=t4f(t)=[t(3−t)2]2，及0<s ≤1可解得2≤t <3，所以k =4t ，2≤t <3知，k ∈(43, 2]；即当k ∈(43, 2]时，存在t =4k ∈[2, 3), s =1k f(t)=t4f(t)=[t(3−t)2]2∈(0, 1]，且f(s)≥4s =4k f(t)>f(t)，满足要求．(2)若函数f(x)在区间[s, t]单调递增，则0<s <t ≤1或3<s <t ， 且{f(s)=ks f(t)=kt，故s ，t 是方程x 2−6x +9=k 的两根， 由于此方程两根之和为3，故[s, t]不可能同在一个单调增区间； (3)若函数f(x)在区间[s, t]单调递减，则1<s <t <3，{f(s)=ksf(t)=kt，两式相除并整理得s 2(s −3)2=t 2(t −3)2，由1<s <t <3知s(s −3)=t(t −3)，即s +t =3，再将两式相减并除以s −t 得，−k =(s 2+st +t 2)−6(s +t)+9=(s +t)2−6(s +t)+9−st =−st ，即k =st ，所以s ，t 是方程x 2−3x +k =0的两根，令g(x)=x 2−3x +k ， 则{△=9−4k >0g(1)>0g(3)>0，解得2<k <94，即存在s =3−√9−4k 2，s =3+√9−4k2满足要求． 综上可得，当43<k <94时，存在两个不等正数s ，t(s <t)，使x ∈[s, t]时，函数f(x)=x 3−6x 2+9x 的值域恰好是[ks, kt]． 21. 解：∵ PA 是圆O 的切线，PDB 是圆O 的割线， ∴ PA 2=PD ⋅PB ，又PD =1，BD =8， ∴ PA =3，又PE =PA ，∴ PE =3．∵ PA 是圆O 的切线，∴ ∠PAE =∠ABC =60o ， 又PE =PA ，∴ △PAE 是等边三角形，∴ PE =3． ∴ DE =PE −PD =2，∴ BE =BD −DE =6． 由相交弦定理，得AE ⋅CE =BE ⋅DE ，∴ CE =4． 22. 甲获得这次比赛胜利的概率为1627． （2）随机变量X 的所有可能取值为3，4，5， 随机变量的分布列为 P(X =3)=(13)2=19，P(X =4)=827+C 21×13×23×13=49，P(X =5)=3×(23)2×13×23+3×(23)2×13×13=49． ∴ 随机变量X 的数学期望为E(X)=3×19+4×49+5×49=133．23. 证明：（1）∵ A n k =n!(n−k)!=n ⋅(n−1)![(n−1)−(k−1)]!=nA n−1k−1(2≤k ≤n)，所以当n ≥2时，an n =1n (A n 1+A n 2+...+A n n)=1n [n +(nA n−11++nA n−1n−1)]=1+(A n−11+...+A n−1n−1)=1+a n−1．∴ a n−1+1=a n n．（2）由（1）得a n−1+1a n−1=a nna n−1，即1+1a n−1=a nna n−1，∴ (1+1a1)⋅(1+1a2)⋅(1+1a3)⋅⋅(1+1a n)=a22a1⋅a33a2⋅a44a3...a n+1(n+1)a n=a n+1(n+1)!=1(n+1)!(A n+11+An+12+...+An+1n+1)=1n!+1(n−1)!+...+12!+11!+1≤1n(n−1)+1(n−1)(n−2)+...+11×2+2=(1n−1−1n)+(1n−1+1n−2)+...+(1−12)+2=3−1n．∴ 原不等式成立．。

图3江苏省东台市2010届高三上学期期末调研考试(数学)试卷参考公式：（1）样本数据n x x x ,,,21 的标准差（3）锥体体积公式[]22221)()()(1x x x x x x ns n -++-+-=13V Sh =其中x 为样本平均数其中S 为底面面积、h 为高（2）柱体体积公式 （4）球的表面积、体积公式V Sh =24πS R =，34π3V R =其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径一、填空题（本大题满分70分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1．)23(log 221+-=x x y 的定义域是_______ ．2．集合{}{}3,2,,aA B a b ==，若{}2A B ⋂=，则A B ⋃= ．3．如果复数2()(1)m i mi ++是实数，则实数m =_____ ．4．已知一辆轿车在公路上作加速直线运动，设ts 时的速度为3)(2+=t t v )/(s m ，则s t 3=时轿车的瞬时加速度为______________________．5．设21==|，且a 、b 夹角120，则=+a 2____ __．6．若直线10ax y -+=经过抛物线24y x =的焦点，则实数a = ．7．阅读图3的程序框图，若输入4m =，6n =，则输出a = ，i = （注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“:=”）8．一中学有学生3000人，其中高三学生600人．为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从学生中抽取一个300人的样本．则样本中高三学生的人数为 ． 9．函数x x x f ln )(-=的单调减区间为____________________．10．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a ，b ，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5．若要使该总体的方差最小，则a 、b 的取值分别是 ．11．在平面直角坐标系中，点A B C ，，的坐标分别为(01)(42)(26)，，，，，． 如果()P x y ，是ABC △围成的区域（含边界）上的点，那么当w xy =取到最大值时， 点P 的坐标是 ．12．如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角6πθ=,现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内概率是___ ．13.已知正四棱锥P —ABCD 的高为4，侧棱长与底面所成的角为060， 则该正四棱锥的侧面积是 ．14.对于任意实数x ，符号[x ]表示x 的整数部分，即[x ]是不超过x 的最大整数”。

盐城市高三数学试卷 第页(共6页)盐城市2010～2011学年度高三年级第一次调研考试数 学(满分160分，考试时间120分钟)2011．01一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合P ＝{－4，－2,0,2,4}，Q ＝{x |－1＜x ＜3}，则P ∩Q ＝__________.2. 若复数z 1＝3＋4i ，z 2＝1＋2i(i 是虚数单位)，则z 1－z 2＝__________.3. 命题：∀x ∈R ，sin x ＜2的否定是________________．4. 某单位有职工100人，其中不到35岁的有45人，35岁到49岁的有25人，50岁及以上的有30人．现在用分层抽样的方法抽取20人进行问卷调查，则35岁到49岁的应抽取________人．5. 从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是____________．6. 运行如图所示的程序框图，则输出的结果S＝__________.(第6题)7. 函数y ＝cos(2x －3π4)－22sin 2x 的最小正周期为__________．8. 观察下列几个三角恒等式： ① tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°＝1； ② tan5°tan100°＋tan100°tan(－15°)＋tan(－15°)tan5°＝1； ③ tan13°tan35°＋tan35°tan42°＋tan42°tan13°＝1.一般地，若tan α、tan β、tan γ都有意义，你从这三个恒等式中猜想得到的一个结论为______________________________．9. 已知点P (a ，b )关于直线l 的对称点为P ′(b ＋1，a －1)，则圆C ：x 2＋y 2－6x －2y ＝0关于直线l 对称的圆C ′的方程为____________．10. 设x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋1，y ≥2x －1，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝abx ＋y (a ＞0，b ＞0)的最大值为35，则a ＋b 的最小值为____________．11. 已知平面α、β、γ，直线l 、m 满足：α⊥γ，γ∩α＝m ，γ∩β＝l ，l ⊥m ，那么① m ⊥β；② l ⊥α；③ β⊥γ；④ α⊥β.由上述条件可推出的结论有__________(请将你认为正确的结论的序号都填上)．12. 在△ABC 中，∠ACB ＝60°，sin A ∶sin B ＝8∶5，则以A 、B 为焦点且过点C的椭圆的离心率为______________．13. 已知{a n }是公差不为0的等差数列，{b n }是等比数列，其中a 1＝2，b 1＝1，a 2＝b 2,2a 4＝b 3，且存在常数α、β，使得a n ＝log αb n ＋β对每一个正整数n 都成立，则αβ＝____________.14. 已知函数f (x )＝1＋x －x 22＋x 33－x 44＋…＋x 2 0112 011，g (x )＝1－x ＋x 22－x 33＋x 44－…－x 2 0112 011，设F (x )＝f (x ＋3)·g (x －3)，且函数F (x )的零点均在区间[a ，b ](a ＜b ，a 、b ∈Z )内，则b －a 的最小值为____________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图，O 为坐标原点，点A 、B 、C 均在⊙O 上，点A (35，45)，点B 在第二象限，点C (1,0)．(1) 设∠COA ＝θ，求sin2θ的值；(2) 若△AOB 为等边三角形，求点B 的坐标．(本小题满分14分)在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，E 、F 分别为A 1C 1、B 1C 1的中点，D 为棱CC 1上任一点．求证：(1) 直线EF ∥平面ABD ； (2) 平面ABD ⊥平面BCC 1B 1.已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的准线为l ，焦点为F .⊙M 的圆心在x 轴的正半轴上，且与y 轴相切．过原点O 作倾斜角为π3的直线n ，交l 于点A ，交⊙M 于另一点B ，且AO ＝OB ＝2.(1) 求⊙M 和抛物线C 的方程；(2) 若P 为抛线物C 上的动点，求PM →·PF →的最小值；(3) 过l 上的动点Q 向⊙M 作切线，切点为S 、T ，求证：直线ST 恒过一个定点，并求该定点的坐标．因发生意外交通事故，一辆货车上的某种液体泄漏到一渔塘中．为了治污，根据环保部门的建议，现决定在渔塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂．已知每投放a (1≤a ≤4，且a ∈R )个单位的药剂，它在水中释放的浓度y (克/升)随着时间x (天)变化的函数关系式近似为y ＝a ·f (x )，其中f (x )＝⎩⎨⎧168－x－1(0≤x ≤4)，5－12x (4＜x ≤10).若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中药剂的浓度不低于4(克/升)时，它才能起到有效治污的作用．(1) 若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？ (2) 若第一次只能投放2个单位的药剂，6天后可再投放a 个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试求a 的最小值．(精确到0.1，参考数据：2取1.4)已知数列{a n }满足a 1＝2，前n 项和为S n ，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧pa n ＋n －1(n 为奇数)，－a n －2n (n 为偶数).(1) 若数列{b n }满足b n ＝a 2n ＋a 2n ＋1，试求数列{b n }前n 项和T n ；(2) 若数列{c n }满足c n ＝a 2n ，试判断{c n }是否为等比数列，并说明理由；(3) 当p ＝12时，问是否存在n ∈N *，使得(S 2n ＋1－10)c 2n ＝1，若存在，求出所有的n 的值；若不存在，请说明理由．已知函数f (x )＝x 2＋a |ln x －1|，g (x )＝x |x －a |＋2－2ln2，a ＞0. (1) 当a ＝1时，求函数f (x )在区间[1，e]上的最大值；(2) 若f (x )≥32a ，x ∈[1，＋∞)恒成立，求a 的取值范围；(3) 对任意x 1∈[1，＋∞)，总存在惟一的x 2∈[2，＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，求a 的取值范围.盐城市高三数学附加题试卷 第页(共2页)盐城市2010～2011学年度高三年级第一次调研考试数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 4小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. 选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的直径，C 、F 是⊙O 上的两点，OC ⊥AB ，过点F 作⊙O 的切线FD 交AB 的延长线于点D .连结CF 交AB 于点E .求证：DE 2＝DB ·DA .B. 选修4-2：矩阵与变换求矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 11 2的特征值及对应的特征向量．C. 选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝2sin θ，直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝－35t ＋2，y ＝45t(t 为参数)．(1) 将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2) 设直线l 与x 轴的交点是M ，N 是曲线C 上一动点，求MN 的最大值．D. 选修4-5：不等式选讲已知m ＞0，a 、b ∈R ，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋mb 1＋m 2≤a 2＋mb 21＋m .【必做题】 第22题、第23题，每题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. 设m 、n ∈N ，f (x )＝(1＋2x )m ＋(1＋x )n . (1) 当m ＝n ＝2 011时，记f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 011x 2 011，求a 0－a 1＋a 2－…－a 2 011；(2) 若f (x )展开式中x 的系数是20，则当m 、n 变化时，试求x 2系数的最小值．23. 有一种闯三关游戏规则规定如下：用抛掷正四面体型骰子(各面上分别有1,2,3,4点数的质地均匀的正四面体)决定是否过关，在闯第n (n ＝1,2,3)关时，需要抛掷n 次骰子，当n 次骰子面朝下的点数之和大于n 2时，则算闯此关成功，并且继续闯关，否则停止闯关．每次抛掷骰子相互独立．(1) 求仅闯过第一关的概率；(2) 记成功闯过的关数为ξ，求ξ的分布列和期望．盐城市高三数学参考答案 第页(共3页)盐城市2010～2011学年度高三年级第一次调研考试数学参考答案及评分标准一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. {0,2}2. 2＋2i3. ∃x ∈R ，sin x ≥24. 55. 346. 617. π8. 当α＋β＋γ＝90°时，tan αtan β＋tan βtan γ＋tan γtan α＝1 9. (x －2)2＋(y －2)2＝1010. 8 11. ②④ 12. 71313. 4 14. 9二、 解答题：本大题共6小题，共90分．15. 解：(1) 因为cos θ＝35，sin θ＝45，所以sin2θ＝2sin θcos θ＝2425.(6分)(2) 因为△AOB 为等边三角形，所以∠AOC ＝60°，所以cos ∠BOC ＝cos(∠AOC ＋60°)＝3－4310.(10分)同理，sin ∠BOC ＝4＋3310，故点A 的坐标为(3－4310，4＋3310)．(14分)16. 证明：(1) 因为E 、F 分别为A 1C 1、B 1C 1的中点，所以EF ∥A 1B 1∥AB .(4分) 而EF ⊄面ABD ，AB ⊂面ABD ，所以直线EF ∥平面ABD .(7分)(2) 因为三棱柱ABC —A 1B 1C 1为直三棱柱，所以AB ⊥BB 1.又AB ⊥BC ，而BB 1⊂面BCC 1B 1，BC ⊂面BCC 1B 1，且BB 1∩BC ＝B ，所以AB ⊥面BCC 1B 1.(11分) 又AB ⊂面ABD ，所以平面ABD ⊥平面BCC 1B 1.(14分)17. (1) 解：因为p 2＝OA ·cos60°＝2×12＝1，即p ＝2，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2分)设⊙M 的半径为r ，则r ＝OB 2·1cos60°＝2，所以⊙M 的方程为(x －2)2＋y 2＝4.(5分)(2) 解：设P (x ，y )(x ≥0)，则 PM →·PF →＝(2－x ，－y )(1－x ，－y )＝x 2－3x ＋2＋y 2＝x 2＋x ＋2，(8分)所以当x ＝0时，PM →·PF →有最小值为2.(10分)(3) 证明：以点Q 为圆心，QS 为半径作⊙Q ，则线段ST 即为⊙Q 与⊙M 的公共弦．(11分)设点Q (－1，t )，则QS 2＝QM 2－4＝t 2＋5，所以⊙Q 的方程为(x ＋1)2＋(y －t )2＝t 2＋5.(13分) 从而直线ST 的方程为3x －ty －2＝0.(*)(14分)因为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23y ＝0一定是方程(*)的解，所以直线ST 恒过一个定点，且该定点坐标为(23，0)．(16分)18. 解：(1) 因为a ＝4，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧648－x －4(0≤x ≤4)，20－2x (4＜x ≤10).(1分)则当0≤x ≤4时，由648－x－4≥4，解得x ≥0，所以此时0≤x ≤4.(3分)当4＜x ≤10时，由20－2x ≥4，解得x ≤8，所以此时4＜x ≤8.(5分)综合，得0≤x ≤8，若一次投放4个单位的制剂，则有效治污时间可达8天．(6分)(2) 当6≤x ≤10时，y ＝2×(5－12x )＋a ⎣⎡⎦⎤168－(x －6)－1(9分)＝10－x ＋16a 14－x －a ＝(14－x )＋16a14－x－a －4，因为14－x ∈[4,8]，而1≤a ≤4，所以4a ∈[4,8]，故当且仅当14－x ＝4a 时，y 有最小值为8a －a －4.(12分)令8a －a －4≥4，解得24－162≤a ≤4，所以a 的最小值为24－162≈1.6.(14分) 19. 解：(1) 据题意得b n ＝a 2n ＋a 2n ＋1＝－4n ，所以{b n }成等差数列，故T n ＝－2n 2－2n .(4分)(2) 当p ＝12时，数列{c n }成等比数列；当p ≠12时，数列{c n }不成等比数列．(5分)理由如下：因为c n ＋1＝a 2n ＋2＝pa 2n ＋1＋2n ＝p (－a 2n －4n )＋2n ＝－pc n －4pn ＋2n ，所以c n ＋1c n ＝－p ＋2n (1－2p )c n ，故当p ＝12时，数列{c n }是首项为1，公比为－12等比数列；当p ≠12时，数列{c n }不成等比数列．(9分)(3) 当p ＝12时，由(2)知c n ＝(－12)n －1，所以c 2n ＝(－12)2n －1＝－(12)2n －1.(10分)又S 2n ＋1＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 2n ＋a 2n ＋1) ＝a 1＋b 1＋b 2＋…＋b n ＝－2n 2－2n ＋2，(12分)则由(S 2n ＋1－10)c 2n ＝1，得4n 2＋4n ＋16＝4n ，记f (x )＝4x －4x 2－4x －16(x ≥2)，则g (x )＝f ′(x )＝4x ln4－8x －4，∴ g ′(x )＝(ln4)24x －8＞0(x ≥2)，所以g (x )在[2，＋∞)上单调递增，所以g (x )≥g (2)＝f ′(2)＞0，即f ′(x )＞0，∴ f (x )在[2，＋∞)上递增．又f (3)＝0且f (1)≠0，∴ 仅存在惟一的n ＝3，使得(S 2n ＋1－10)c 2n ＝1成立．(16分)20. 解：(1) 当a ＝1，x ∈[1，e]时f (x )＝x 2－ln x ＋1，f ′(x )＝2x －1x≥f ′(1)＝1，所以f (x )在[1，e]上递增，所以f (x )max ＝f (e)＝e 2.(4分)(2) ① 当x ≥e 时，f (x )＝x 2＋a ln x －a ，f ′(x )＝2x ＋ax，∵ a ＞0，∴ f (x )＞0恒成立，∴ f (x )在[e ，＋∞)上递增，故当x ＝e 时，y min ＝f (e)＝e 2；(5分)② 当1≤x ＜e 时，f (x )＝x 2－a ln x ＋a ，f ′(x )＝2x －a x ＝2x (x ＋a 2)(x －a2)．(ⅰ) 当a2≤1，即0＜a ≤2时，f ′(x )>0，∴ f (x )在区间[1，e)上为增函数，故当x ＝1时，y min ＝1＋a ，且此时f (1)＜f (e)＝e 2；(7分)(ⅱ) 当1＜a 2＜e ，即2＜a ＜2e 2时，∵ x ∈(1，a 2)时，f ′(x )＜0；x ∈(a2，e)时，f ′(x )＞0，∴ f (x )在[1，a 2)上递减，在(a 2，e]上递增，故当x ＝a 2时，y min ＝3a 2－a 2ln a2，且此时f (a2)＜f (e)＝e 2；(8分)(ⅲ) 当a2≥e ，即a ≥2e 2时，f ′(x )＜0，∴ f (x )在[1，e)上为减函数，∴ y ＞f (e)＝e 2.(9分)综上所述，函数y ＝f (x )的最小值为y min＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ，0＜a ≤2，3a 2－a 2ln a2，2＜a ＜2e 2，e 2，a ≥2e 2.(10分)则由y min ≥3a2，解得所求a 的取值范围是0＜a ≤2.(11分) (3) 题意等价于：当“存在区间I ⊆[2，＋∞)，使得函数g (x )在区间I 上单调，且此时函数f (x )在区间[1，＋∞)上的值域恰好是函数g (x )在区间I 上的值域的子集”时，求a 的取值范围．① 当0＜a ≤2时，g (x )在[2，＋∞)单调递增，由题意知g (2)≤f min (x )，得6－2a －2ln2≤1＋a ，解得53－23ln2≤a ≤2.(12分) ② 当1＜a 2＜2，即2＜a ＜4时，g (x )在[2，＋∞)上先减后增，由题意知，g (2)＜f min (x )， 得2a －2－2ln2＜3a 2－a 2ln a 2，即a 2＋a 2ln a 2－2－2ln2＜0， 设h (t )＝t ＋t ln t －2－2ln2(t ＝a 2)，h ′(t )＝2＋ln t ＞0(1＜t ＜2)， 所以h (t )单调递增且h (2)＝0，所以h (t )＜0恒成立，得2＜a ＜4.(14分)③ 当2≤a 2＜e 2，即4≤a ＜2e 2时，g (x )在[2，a 2]上递增，在[a 2，a ]上递减，在[a ，＋∞)上递增(如图所示)，所以由题意知g (a 2)＜f min (x )， 即a 24－3a 2＋a 2ln a 2＋2－2ln2＜0，设m (t )＝t 2－3t ＋t ln t ＋2－2ln2， 则m ′(t )＝2t －2＋ln t ＞0(t ∈(2，e 2))，所以m (t )递增，且m (2)＝0，所以m (t )＞0恒成立，此时无解．④ 当a ≥2e 2时，g (x )在[2，a 2]上递增，在[a 2，a ]上递减，在[a ，＋∞)上递增(如图所示)，所以由题意知g (a 2)＜f min (x )，即a 24＋2－2ln2＜e 2，此时也无解． 综上，所求a 的取值范围是a ∈[53－23ln2,4)．(16分)盐城市高三数学附加题参考答案 第页(共1页)盐城市2010～2011学年度高三年级第一次调研考试数学附加题参考答案及评分标准21. A. 证明：连结OF ，因为DF 切⊙O 于F ，所以∠OFD ＝90°，所以∠OFC ＋∠CFD ＝90°.因为OC ＝OF ，所以∠OCF ＝∠OFC .又因为CO ⊥AB 于O ，所以∠OCF ＋∠CEO ＝90°， 所以∠CFD ＝∠CEO ＝∠DEF ，所以DF ＝DE .(6分)又因为DF 是⊙O 的切线，所以DF 2＝DB ·DA ，所以DE 2＝DB ·DA .(10分)B. 解：特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －1－1 λ－2＝(λ－2)2－1＝λ2－4λ＋3.(3分) 由f (λ)＝0，解得λ1＝1，λ2＝3.(5分)将λ1＝1代入特征方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧ －x －y ＝0，－x －y ＝0⇒x ＋y ＝0，可取⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1为属于特征值λ1＝1的一个特征向量；(8分)同理，当λ2＝3时，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，－x ＋y ＝0⇒x －y ＝0，所以可取⎣⎢⎡⎦⎥⎤11为属于特征值λ2＝3的一个特征向量．综上所述，该矩阵的特征值为λ1＝1，λ2＝3；对应的一个特征向量分别为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1与⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.(10分)C. 解：(1) 曲线C 的极坐标方程可化为ρ2＝2ρsin θ，又x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0.(5分)(2) 令y ＝0，得点M 的坐标为(2,0)．(7分)又曲线C 为圆，圆C 的圆心坐标为(1,0)，半径r ＝1，则|MC |＝5，所以|MN |≤|MC |＋r ＝5＋1.(10分)D. 证明：因为1＋m ＞0，所以要证⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋mb 1＋m 2≤a 2＋mb 21＋m ，只要证(a ＋mb )2≤(1＋m )(a 2＋mb 2)，(5分) 即证m (a 2－2ab ＋b 2)≥0，即证(a －b )2≥0，显然成立，故⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋mb 1＋m 2≤a 2＋mb 21＋m .(10分) 22. 解：(1) 令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 2 011＝(1－2)2 011＋(1－1)2 0 11＝－1.(4分)(2) 因为2C 1m ＋C 1n ＝2m ＋n ＝20，所以n ＝20－2m ，则x 2的系数为22C 2m ＋C 2n ＝4×m (m －1)2＋n (n －1)2＝2m 2－2m ＋12(20－2m )(19－2m )＝4m 2－41m ＋190，(7分)所以当m ＝5，n ＝10时，f (x )展开式中x 2的系数最小，最小值为85.(10分)23. 解：(1) 记“仅闯过第一关的概率”这一事件为A ，则P (A )＝34·616＝932.(4分) (2) 由题意得，ξ的取值有0,1,2,3，且P (ξ＝0)＝14，P (ξ＝1)＝932，P (ξ＝2)＝34·1016·5464＝4051 024，P (ξ＝3)＝34·1016·1064＝751 024，即随机变量ξ的概率分布列为 ξ 0 1 2 3P 14 932 4051 024 751 024(8分)14＋1×932＋2×4051 024＋3×751 024＝1 3231 024.(10分)所以Eξ＝0×。

曹甸高级中学2010届高三数学自检试题正卷命题人：李兆江时间：120分钟 满分：160 分一．填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的．．．．．．位置上．．．．） 1．若函数()06sin >⎪⎭⎫⎝⎛+=ωπωx y 的最小正周期是51，则=ω ▲ ． 2. 已知复数122,(3)z a i z a a i =+=++，且120z z >，则实数a 的值为 ▲ ． 3．先后投掷大小相同的两颗骰子，所得点数之和不小于6的概率为 ▲ ．4．若变量x y ，满足24025000x y x y x y ⎧+⎪+⎪⎨⎪⎪⎩，，，，≤≤≥≥则32z x y =+的最大值是 ▲ ．5. 在等比数列}{n a 中，如果3a 和5a 是一元二次方程0452=+-x x 的两个根， 那么642a a a 的值为 ▲ ．6．已知集合{}{}1,,12,1,0+--=-a a a a ，则实数a 的值为 ▲ ． 7．曲线21xy xe x =++在点（0,1）处的切线斜率为 ▲ ． 8．函数)23(log 221+-=x x y 的增区间是 ▲ ．9． 设奇函数()f x 满足：对x R ∀∈有(1)()0f x f x ++=，则(5)f = ▲ ． 10．设γβα,,为两两不重合的平面，n m l ,,为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若γβγα⊥⊥,，则βα//；②若ββαα//,//,,n m n m ⊂⊂，则βα//； ③若βα//，α⊂l ，则β//l ；④若γαγγββα//,,,l n m l === ，则n m //。

其中正确命题的个数有 ▲ 个．11．在ABC ∆中,角A,B,C 所对的边分别是,,a b c ，若22b c+2a =,且ab= 则∠C= ▲ ．12. 已知命题p ：不等式m x x >++1的解集为R ，命题q ：()()x x f m 13log --=是增函数，若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，则m 的取值范围是 ▲ ．13．从一块短轴长为2b 的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是22[3,4]b b ，则该椭圆离心率e 的取值范围是 ▲ ． 14．若函数3||()2x f x kx x =-+有三个不同的零点，则实数k 的取值范围是 ▲ ．二．解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程和演算步骤．．．．．．．．．．．．．．．）15．（本小题满分14分）已知矩形ABCD 中，AB ＝2AD ＝4，E 为 CD 的中点，沿AE 将∆AED 折起，使DB ＝O 、H 分别为AE 、AB 的中点． （1）求证：直线OH//面BDE ； （2）求证：面ADE ⊥面ABCE ．16．（本小题满分14分）如图，A 是单位圆与x 轴正半轴的交点，点P 在单位圆上，),0(πθθ<<=∠AOP +=,四边形OAQP 的面积为.S（1）求S OQ OA +⋅的最大值及此时θ的值0θ； （2）设点B 的坐标为)54,53(-，α=∠AOB ，在（1）的条件下求).cos(0θα+17．（本小题满分15分）在等差数列{}n a 中，151,9,a a ==在数列{}n b 中，12b =，且121n n b b -=-，()2≥n （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设312123...,1111n n n a a a aT b b b b =++++---- 证明对*N n ∈∀，6<n T 都成立．18．（本小题满分15分）在O 为坐标原点的直角坐标系中，点)3,4(-A 为OAB ∆的直角顶点．已知||2||OA AB =且点B 的纵坐标大于零．（1）求圆02622=++-y y x x 关于直线OB 对称的圆的方程；（2）设直线l 平行于直线AB 且过点),0(a ，问是否存在实数a ，使得椭圆11622=+y x 上有两个不同的点关于直线l 对称，若不存在，请说明理由；若存在，请求出实数a 的取值范围．19．（本小题满分16分）某隧道长2150m ，通过隧道的车速不能超过20m/s ．一列有55辆车身长都为10m 的同一车型的车队（这种型号的车能行驶的最高速为40m/s ）匀速通过该隧道，设车队的速度为xm/s ，根据安全和车流的需要，当100≤<x 时，相邻两车之间保持20m 的距离；当0210≤<x 时，相邻两车之间保持)31612x x +（m 的距离．自第1辆车车头进入隧道至第55辆车尾离开隧道所用的时间为)(s y ． （1）将y 表示为x 的函数；（2）求车队通过隧道时间y 的最小值及此时车队的速度．)1.73≈20.（本小题满分16分）已知函数()a a x a x x f 33)(22-+-+=（a 为常数）．（1）如果对任意[]()2,2,1a x f x >∈恒成立，求实数a 的取值范围；（2）设实数,,p q r 满足：,,p q r 中的某一个数恰好等于a ，且另两个恰为方程()0=x f 的两实根，判断①p q r ++，②222p q r ++，③333p q r ++是否为定值？若是定值请求出：若不是定值，请把不是定值的表示为函数()g a ，并求()g a 的最小值； （3）对于（2）中的()g a ，设1()[()27]6H a ga =--，数列{}n a 满足1()n n a H a += *()n N ∈，且1(0,1)a ∈，试判断1n a +与n a 的大小，并证明之．。