2020江苏高考数学模拟卷含答案

2020年扬州市、徐州市、南通市、泰州市、淮安市、连云港市、宿迁市高考数学三模试卷一、填空题（共14小题）.1．已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{0，2}，则A∪B＝．2．设复数z满足（3﹣i）z＝，其中i为虚数单位，则z的模是．3．如图是一个算法流程图，则输出的k的值是．4．某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：4：3，为了解学生对防震减灾知识的掌握情况，现采用分层抽样的方法抽取n名学生进行问卷检测．若高一年级抽取了20名学生，则n的值是．5．今年我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没．“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必净注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宜肺败毒方，若某医生从“三药三方”中随机选出2种，则恰好选出1药1方的概率是．6．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝4x的准线是双曲线＝1（a＞0）的左准线，则实数a的值是．7．已知cos（α+β）＝，sinβ＝，α，β均为锐角，则sinα的值是．8．公园里设置了一些石凳供游客休息，这些石凳是经过正方体各棱的中点截去8个一样的四面体得到的（如图所示）．设石凳的体积为V1，正方体的体积为V2，则的值是．9．已知x＞1，y＞1，xy＝10，则的最小值是．10．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若4S2，S4，﹣2S3成等差数列，且a2+a3＝2，则a6的值是．11．海伦（Heron，约公元1世纪）是古希腊亚历山大时期的数学家，以他的名字命名的“海伦公式”是几何学中的著名公式，它给出了利用三角形的三边长a，b，c计算其面积的公式S△ABC＝，其中p＝，若a＝5，b＝6，c＝7，则借助“海伦公式”可求得△ABC的内切圆的半径r的值是．12．如图，△ABC为等边三角形，分别延长BA，CB，AC到点D，E，F，使得AD＝BE ＝CF．若，且DE＝，则的值是．13．已知函数f（x）＝，若函数g（x）＝f（﹣x）+f（x）有且仅有四个不同的零点，则实数k的取值范围是．14．在平面直角坐标系xOy中，过点P（2，﹣6）作直线交圆O：x2+y2＝16于A，B两点，C（x0，y0）为弦AB的中点，则的取值范围是．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若．（1）求cos C的值；（2）若A＝C，求sin B的值．16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⏊BC，D，E分别是A1B1，BC的中点．求证：（1）平面ACD⊥平面BCC1B1；（2）B1E∥平面ACD．17．某单位科技活动纪念章的结构如图所示，O是半径分别为1cm，2cm的两个同心圆的圆心，等腰△ABC的顶点A在外圆上，底边BC的两个端点都在内圆上，点O，A在直线BC的同侧．若线段BC与劣弧所围成的弓形面积为S1，△OAB与△OAC的面积之和为S2，设∠BOC＝2θ．（1）当θ＝时，求S2﹣S1的值；（2）经研究发现当S2﹣S1的值最大时，纪念章最美观，求当纪念章最美观时，cosθ的值．（求导参考公式：（sin2x）'＝2cos2x，（cos2x）'＝﹣2sin2x）18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线交椭圆于M，N两点．已知椭圆的短轴长为2，离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）当直线MN的斜率为时，求F1M+F1N的值；（3）若以MN为直径的圆与x轴相交的右交点为P（t，0），求实数t的取值范围．19．（16分）已知{a n}是各项均为正数的无穷数列，数列{b n}满足b n＝a n•a n+k（n∈N*），其中常数k为正整数．（1）设数列{a n}前n项的积，当k＝2时，求数列{b n}的通项公式；（2）若{a n}是首项为1，公差d为整数的等差数列，且b2﹣b1＝4，求数列的前2020项的和；（3）若{b n}是等比数列，且对任意的n∈N*，a n•a n+2k＝a n+k2，其中k≥2，试问：{a n}是等比数列吗？请证明你的结论．20．（16分）已知函数f（x）＝，g（x）＝，其中e是自然对数的底数．（1）若函数f（x）的极大值为，求实数a的值；（2）当a＝e时，若曲线y＝f（x）与y＝g（x）在x＝x0处的切线互相垂直，求x0的值；（3）设函数h（x）＝g（x）﹣f（x），若h（x）＞0对任意的x∈（0，1）恒成立，求实数a的取值范围．【选做题】本题包括21，22，23三小题，请选定其中两题作答，每小题10分,共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]21．已知m∈R，＝是矩阵M＝的一个特征向量，求M的逆矩阵M﹣1．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，圆C的方程为ρ＝2r sinθ（r＞0）．以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）．若直线l与圆C恒有公共点，求r的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知x＞1，y＞1，且x+y＝4，求证：≥8．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．24．某“芝麻开门”娱乐活动中，共有5扇门，游戏者根据规则开门，并根据打开门的数量获取相应奖励．已知开每扇门相互独立，且规则相同，开每扇门的规则是：从给定的6把钥匙（其中有且只有1把钥匙能打开门）中，随机地逐把抽取钥匙进行试开，钥匙使用后不放回．若门被打开，则转为开下一扇门；若连续4次未能打开，则放弃这扇门，转为开下一扇门；直至5扇门都进行了试开，活动结束．（1）设随机变量X为试开第一扇门所用的钥匙数，求X的分布列及数学期望E（X）；（2）求恰好成功打开4扇门的概率．25．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线与x 轴的交点为E．过点F的直线与抛物线相交于A，B两点，EA，EB分别与y轴相交于M，N两点，当AB⊥x轴时，EA＝2．（1）求抛物线的方程；（2）设△EAB的面积为S1，△EMN面积为S2，求的取值范围．参考答案一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）1．已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{0，2}，则A∪B＝{﹣1，0，1，2}．【分析】进行并集的运算即可．解：∵A＝{﹣1，0，1}，B＝{0，2}，∴A∪B＝{﹣1，0，1，2}．故答案为：{﹣1，0，1，2}．2．设复数z满足（3﹣i）z＝，其中i为虚数单位，则z的模是1．【分析】把已知等式变形，再由商的模等于模的商求解．解：由（3﹣i）z＝，得z＝，∴|z|＝||＝．故答案为：1．3．如图是一个算法流程图，则输出的k的值是5．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量k的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：模拟程序的运行，可得k＝1不满足条件k2﹣4k＞0，执行循环体，k＝2不满足条件k2﹣4k＞0，执行循环体，k＝3不满足条件k2﹣4k＞0，执行循环体，k＝4不满足条件k2﹣4k＞0，执行循环体，k＝5此时，满足条件k2﹣4k＞0，退出循环，输出k的值为5．故答案为：5．4．某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：4：3，为了解学生对防震减灾知识的掌握情况，现采用分层抽样的方法抽取n名学生进行问卷检测．若高一年级抽取了20名学生，则n的值是55．【分析】先求出高一年级学生占的比例，再根据比例即可求解结论．解：高一年级学生占的比例为＝，故应满足：＝⇒n＝55人，故答案为：55．5．今年我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没．“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必净注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宜肺败毒方，若某医生从“三药三方”中随机选出2种，则恰好选出1药1方的概率是．【分析】某医生从“三药三方”中随机选出2种，基本事件总数n＝＝15，恰好选出1药1方包含的基本事件个数m＝＝9．由此能求出恰好选出1药1方的概率．解：“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没．“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必净注射液，“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宜肺败毒方，若某医生从“三药三方”中随机选出2种，基本事件总数n＝＝15，恰好选出1药1方包含的基本事件个数m＝＝9．∴恰好选出1药1方的概率是p＝＝＝．故答案为：．6．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝4x的准线是双曲线＝1（a＞0）的左准线，则实数a的值是．【分析】求出抛物线的准线方程，求出双曲线的左准线方程，得到关系式，求解即可．解：抛物线y2＝4x的准线是双曲线＝1（a＞0）的左准线，可得：﹣1＝﹣＝﹣，解得a＝．故答案为：．7．已知cos（α+β）＝，sinβ＝，α，β均为锐角，则sinα的值是．【分析】由α，β的范围得出α+β的范围，然后利用同角三角函数间的基本关系，由cos （α+β）和sinβ的值，求出sin（α+β）和cosβ的值，然后由α＝（α+β）﹣β，把所求的式子利用两角差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值．解：解：由cos（α+β）＝，sinβ＝，根据α，β∈（0，），得到α+β∈（0，π），所以sin（α+β）＝＝，cosβ＝＝，则sinα＝sin[（α+β）﹣β]＝sin（α+β）cosβ﹣cos（α+β）sinβ＝×﹣×＝．故答案为：．8．公园里设置了一些石凳供游客休息，这些石凳是经过正方体各棱的中点截去8个一样的四面体得到的（如图所示）．设石凳的体积为V1，正方体的体积为V2，则的值是．【分析】设正方体的棱长为2a，求出正方体的体积，再由正方体的体积减去8个三棱锥的体积得石凳的体积，则答案可求．解：设正方体的棱长为2a，则正方体的体积．由题意可得，石凳的体积为V1＝8a3﹣＝．∴＝．故答案为：．9．已知x＞1，y＞1，xy＝10，则的最小值是9．【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．解：因为x＞1，y＞1，xy＝10，所以lgx+lgy＝1，则＝（）（lgx+lgy）＝5+＝9，当且仅当时即lgy＝2lgx且xy＝10即x＝，y＝时取等号，故答案为：9．10．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若4S2，S4，﹣2S3成等差数列，且a2+a3＝2，则a6的值是﹣32．【分析】等比数列{a n}的公比设为q，运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，进而得到所求值．解：等比数列{a n}的公比设为q，前n项和为S n，若4S2，S4，﹣2S3成等差数列，则2S4＝4S2﹣2S3，可得2（a1+a1q+a1q2+a1q3）＝4（a1+a1q）﹣2（a1+a1q+a1q2），化为2+q＝0，可得q＝﹣2，由a2+a3＝2，可得﹣2a1+4a1＝2，解得a1＝1，则a6＝1•（﹣2）5＝﹣32，故答案为：﹣32．11．海伦（Heron，约公元1世纪）是古希腊亚历山大时期的数学家，以他的名字命名的“海伦公式”是几何学中的著名公式，它给出了利用三角形的三边长a，b，c计算其面积的公式S△ABC＝，其中p＝，若a＝5，b＝6，c＝7，则借助“海伦公式”可求得△ABC的内切圆的半径r的值是．【分析】利用S△ABC＝＝pr，代入即可得出．解：∵a＝5，b＝6，c＝7，∴p＝＝＝9．则S△ABC＝＝r×（5+6+7），可得：r＝．故答案为：．12．如图，△ABC为等边三角形，分别延长BA，CB，AC到点D，E，F，使得AD＝BE ＝CF．若，且DE＝，则的值是．【分析】设AD＝BE＝CF＝x，由于，所以BA＝2AD＝2x＝AC＝BC，BD＝3x．在△BDE中，由余弦定理知，，代入数据可解得x＝1，从而有AF＝3，CE＝3，然后结合平面向量数量积的运算即可得解．解：设AD＝BE＝CF＝x，∵，∴BA＝2AD＝2x＝AC＝BC，∴BD＝BA+AD＝3x，在△BDE中，由余弦定理知，，即，解得x＝1．∴AF＝3，CE＝3，∴＝．故答案为：．13．已知函数f（x）＝，若函数g（x）＝f（﹣x）+f（x）有且仅有四个不同的零点，则实数k的取值范围是（27，+∞）．【分析】表示出函数g（x），分k＝0，k＜0及k＝0讨论，易知当k＝0及k＜0时均不合题意，而观察解析式可知，问题可化为有且仅有两个不同的零点，故利用导数研究函数g（x）在（0，+∞）上的最小值小于0即可．解：依题意，，当k＝0时，原函数有且只有一个零点，不合题意，故k≠0；观察解析式，易知函数g（x）为偶函数，则函数g（x）有且仅有四个不同的零点，可转化为有且仅有两个不同的零点，当k＜0时，函数g（x）在（0，+∞）上递增，最多一个零点，不合题意；当k＞0时，，令g′（x）＞0，解得，令g′（x）＜0，解得，故函数g（x）在上递减，在上递增，要使g（x）在（0，+∞）上有且仅有两个不同的零点，则，解得k＞27．故答案为：（27，+∞）．14．在平面直角坐标系xOy中，过点P（2，﹣6）作直线交圆O：x2+y2＝16于A，B两点，C（x0，y0）为弦AB的中点，则的取值范围是[，）．【分析】作出图象，根据条件可求得点C的运动轨迹为x2+y2﹣2x+6y＝0，的取值范围可转化为求点C与点Q（﹣1，3）的距离范围，数形结合即可解：如图所示，由圆的性质知：PC⊥OC，∴•＝0，又∵＝（x0﹣2，y0+6），＝（x0，y0），则•＝x0（x0﹣2）+y0（y0+6）＝x02+y02﹣2x0+6y0＝0∴点C的轨迹方程为圆：x2+y2﹣2x+6y＝0即（x﹣1）2+（y+3）2＝10，圆心（1，﹣3），半径r＝则的取值范围可转化为求点C与点Q（﹣1，3）的距离范围如图所示，因为点C在圆O内，故只需求出OQ和QM或QN的长度即可，易得OQ＝＝，联立，整理得2x﹣6y﹣16＝0即直线MN方程为x﹣3y﹣8＝0，再联立，解得，，即M（，），N（，），故QM＝＝QN＝＝，因为C取不到M或N点，故的取值范围是[，）．故答案为：[，）．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若．（1）求cos C的值；（2）若A＝C，求sin B的值．【分析】（1）利用正弦定理转化条件，利用余弦定理求得cos C的值；（2）利用三角函数的内角和定理与三角恒等变换，即可求出sin B的值．解：（1）△ABC中，，由正弦定理得＝，整理得5（a2+b2﹣c2）＝8ab，由余弦定理得cos C＝＝＝；（2）由（1）知cos C＝，C是△ABC的内角，所以sin C＝＝；又A＝C，所以sin B＝sin（π﹣A﹣C）＝sin（A+C）＝sin2C＝2sin C cos C＝2××＝．16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⏊BC，D，E分别是A1B1，BC的中点．求证：（1）平面ACD⊥平面BCC1B1；（2）B1E∥平面ACD．【分析】（1）推导出AC⊥CC1，AC⊥平面BCC1B1，由此能证明平面ACD⊥平面BCC1B1．（2）取AC中点F，连结EF，DF，推导出四边形B1DFE为平行四边形，从而B1E∥DF，由此能证明B1E∥平面ACD．【解答】证明：（1）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，又AC⊂底面ABC，∴AC⊥CC1，∵AC⊥BC1，CC1∩BC＝C，∴AC⊥平面BCC1B1，∵AC⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面BCC1B1．（2）取AC中点F，连结EF，DF，∵E，F分别为BC，AC中点，∴EF∥AB，EF＝，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB A1B1，∵D为A1B1中点，∴B1D∥AB，B1D＝，∴EF B1D，∴四边形B1DFE为平行四边形，∴B1E∥DF，∵DF⊂平面ACD，B1E⊄平面ACD，∴B1E∥平面ACD．17．某单位科技活动纪念章的结构如图所示，O是半径分别为1cm，2cm的两个同心圆的圆心，等腰△ABC的顶点A在外圆上，底边BC的两个端点都在内圆上，点O，A在直线BC的同侧．若线段BC与劣弧所围成的弓形面积为S1，△OAB与△OAC的面积之和为S2，设∠BOC＝2θ．（1）当θ＝时，求S2﹣S1的值；（2）经研究发现当S2﹣S1的值最大时，纪念章最美观，求当纪念章最美观时，cosθ的值．（求导参考公式：（sin2x）'＝2cos2x，（cos2x）'＝﹣2sin2x）【分析】（1）结合弓形面积公式及三角形的面积公式分别求出S2，S1，然后结合三角函数的性质即可求解；（2）结合（1）的面积表示，结合导数与单调性的关系可求．解：（1）由题意可知，∠BOC＝2θ∈（0，π），故，S1＝＝θ﹣sinθcosθ＝，S2＝﹣sin2θ＝﹣sin2θ＝2sinθ，当时，S1＝，S2＝，故S2﹣S1＝（cm2），（2）S2﹣S1＝2sinθ+sin2θ﹣θ，，令f（θ）＝2sinθ+sin2θ﹣θ，，则f′（θ）＝2cosθ+cos2θ﹣1＝2cos2θ+2cosθ﹣2，令f′（θ）＝0可得，cosθ＝（舍负），记cosθ0＝，，当θ∈（0，θ0）时，f′（θ）＞0，函数单调递增，当时，f′（θ）＜0，函数单调递减，故当θ＝θ0时，即cosθ＝时，f（θ）取得最大值，即S2﹣S1取得最大值．18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线交椭圆于M，N两点．已知椭圆的短轴长为2，离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）当直线MN的斜率为时，求F1M+F1N的值；（3）若以MN为直径的圆与x轴相交的右交点为P（t，0），求实数t的取值范围．【分析】（1）设焦距为2c，运用离心率公式，可得a，b，c的方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）由（1）可得c＝2，即F1（﹣2，0），F2（2，0），联立直线方程和椭圆方程，求得M，N，即可得到所求和；（3）方法一、讨论直线MN的斜率不存在，求得|MN|，可得t的值；MN的斜率存在时，设MN：y＝k（x﹣2），M（x1，y1），N（x2，y2），联立椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，弦长公式，结合圆的方程和换元，运用函数的单调性可得所求范围；方法二、运用直径所对的圆周角为直角，结合向量的数量积的性质和坐标表示，化简整理，可得t的不等式组，解得t的范围．解：（1）设焦距为2c，则2b＝2，b2＝a2﹣c2，e＝＝，解得a＝，b＝，则椭圆的方程为+＝1；（2）由（1）可得c＝2，即F1（﹣2，0），F2（2，0），由可得或，即M（，），N（，﹣）或N（，），M（，﹣），因此|F1M|+|F1N|＝+＝；（3）方法一、①MN的斜率不存在时，MN：x＝2，|MN|＝，以MN为直径的圆的方程为（x﹣2）2+y2＝，其与x轴相交的右交点为P（2+，0），即t＝2+；②MN的斜率存在时，设MN：y＝k（x﹣2），M（x1，y1），N（x2，y2），由，可得（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6＝0，△＝（12k2）2﹣4（1+3k2）（12k2﹣6）＝24（k2+1）＞0恒成立，x1+x2＝，x1x2＝，|x1﹣x2|＝＝＝，y1+y2＝k（x1+x2）﹣4k＝k•﹣4k＝﹣，则MN的中点为（，﹣），|MN|＝•|x1﹣x2|＝•＝，故以MN为直径的圆的方程为（x﹣）2+（y+）2＝，令y＝0，可得x＝，由题意可得t＝，可令1+3k2＝m（m≥1），则k2＝，t＝2﹣+，可令x＝，x∈（0，2]，可得t＝2﹣x+，可令f（x）＝2﹣x+，x∈（0，2），由于（x+）2＜x2+x+，则f′（x）＝＜0，故f（x）在（0，2）递减，f（0）＝2+，f（2）＝，因此f（x）∈[，2+），综上可得t∈[，2+]．方法二、x1x2＝，则y1y2＝k2（x1﹣2）（x2﹣2）＝k2[x1x2﹣2（x1+x2）+4]＝k2[﹣2•+4]＝﹣，P在以MN为直径的圆上，则•＝0，（x1﹣t）（x2﹣t）+y1y2＝0，x1x2﹣t（x1+x2）+t2+y1y2＝0，即﹣+t2﹣＝0，化为（3t2﹣12t+10）k2＝6﹣t2，由于P为右交点，故t＞2，因此，解得t∈[，2+]．19．（16分）已知{a n}是各项均为正数的无穷数列，数列{b n}满足b n＝a n•a n+k（n∈N*），其中常数k为正整数．（1）设数列{a n}前n项的积，当k＝2时，求数列{b n}的通项公式；（2）若{a n}是首项为1，公差d为整数的等差数列，且b2﹣b1＝4，求数列的前2020项的和；（3）若{b n}是等比数列，且对任意的n∈N*，a n•a n+2k＝a n+k2，其中k≥2，试问：{a n}是等比数列吗？请证明你的结论．【分析】（1）直接利用关系式的变换的应用求出数列通项公式．（2）首先求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法在数列求和中的应用求出结果．（3）利用等比数列的的定义的应用求出结果．解：（1）因为，所以（n≥2），两式相除得：＝2n﹣1（n≥2），当n＝1时，，符号上式，∴（n∈N*），当k＝2时，b n＝a n•a n+2＝2n﹣1•2n+1＝4n；（2）由于b n＝a n a n+1，且a1＝1，所以b1＝a1a k+1＝a k+1，b2＝a2a k+2＝（d+1）（a k+1+d）．所以＝4，由于d和k都为正整数，所以d≥1，所以a k+1≥a2＝1+d≥2，所以d2+d（a k+1+1）＝4≥d2+3d．解得d≤1，所以d＝1，即a n＝n．所以d2+d（a k+1+1）＝4＝a k+1+2，即a k+1＝2，解得k＝1．所以b n＝a n+1a n＝n（n+1），所以．则：，所以．（3）{b n}是等比数列，公比为，且对任意的n∈N*，所以＝q2k．a n•a n+2k＝a n+k2，所以，所以，所以＝，则，所以．故数列{a n}是等比数列．20．（16分）已知函数f（x）＝，g（x）＝，其中e是自然对数的底数．（1）若函数f（x）的极大值为，求实数a的值；（2）当a＝e时，若曲线y＝f（x）与y＝g（x）在x＝x0处的切线互相垂直，求x0的值；（3）设函数h（x）＝g（x）﹣f（x），若h（x）＞0对任意的x∈（0，1）恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）由题意可知a＞0，先对f（x）求导，分析单调性，得到极大值，让其等于，即可解得a的值．（2）分别求出f（x），g（x）在x＝x0处切线的斜率，让它们乘积等于1，即可解得x0的值．（3）问题可以转化为，对任意x∈（0，1）恒成立，设H（x）＝，由（1）可知，H（x）在（0，1）上单调递增，且当x∈（1，+∞）时，H（x）＞0，当x∈（0，1）时，H（x）＜0，可得ae x＞x，也就是ae x＞x对任意x∈（0，1）恒成立，即，设G（x）＝（x∈（0，1）），只要G（x）max≤a，即可得出答案．解：（1）因为f（x）＝，则f′（x）＝＝，因为g（x）＝，所以a＞0，则当x∈（0，e）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，所以当x＝e时，f（x）的极大值f（e）＝＝，解得a＝1．（2）当a＝e时，f（x）＝，g（x）＝，则f′（x）＝，g′（x）＝，由题意可知，f′（x0）g′（x0）＝•＝﹣1，整理得x0e+elnx0＝e，设φ（x）＝xe x+elnx，则φ′（x）＝（x+1）e x+＞0，所以φ（x）单调递增，因为φ（1）＝e，所以x0＝1．（3）由题意可知，＞0，对任意x∈（0，1）恒成立，整理得，对任意x∈（0，1）恒成立，设H（x）＝，由（1）可知，H（x）在（0，1）上单调递增，且当x∈（1，+∞）时，H（x）＞0，当x∈（0，1）时，H（x）＜0，若ae x≥1＞x，则H（ae x）≥0＞H（x），若0＜ae x＜1，则H（ae x）＞H（x），且H（x）在（0，1）上单调递增，所以ae x＞x，综上可知，ae x＞x对任意x∈（0，1）恒成立，即，设G（x）＝（x∈（0，1）），则G′（x）＝＞0，所以G（x）单调递增，所以G（x）＜G（1）＝≤a，即a的取值范围为[，+∞）．【选做题】本题包括21，22，23三小题，请选定其中两题作答，每小题10分,共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]21．已知m∈R，＝是矩阵M＝的一个特征向量，求M的逆矩阵M﹣1．【分析】由＝是属于特征值n的一个特征向量，得M＝n，然后求出m，得到矩阵M，再设矩阵的逆矩阵M﹣1＝，由MM﹣1＝，求出M的逆矩阵M﹣1．解：由＝是属于特征值n的一个特征向量，得M＝n，∵M＝＝，＝n＝，∴1+m＝3＝n，解得m＝2，∴矩阵M＝，设矩阵的逆矩阵M﹣1＝，则MM﹣1＝＝＝，∴，解得a＝﹣，b＝，c＝，d＝﹣，解得M﹣1＝．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，圆C的方程为ρ＝2r sinθ（r＞0）．以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）．若直线l与圆C恒有公共点，求r的取值范围．【分析】求出圆的直角坐标方程，把直线的参数方程化为普通方程，利用点到直线的距离与半径列出不等式求解即可．解：由ρ＝2r sinθ得ρ2＝2rρsinθ，∴圆C的方程为x2+y2﹣2ry＝0，把参数方程为（t为参数），消去参数t，可得：普通方程：x﹣y﹣2＝0，直线与圆有公共点，可得：d＝≤r，解得r≥2．∴实数r的取值范围为[2，+∞）．[选修4-5：不等式选讲]23．已知x＞1，y＞1，且x+y＝4，求证：≥8．【分析】设x﹣1＝m，y﹣1＝n，则m＞0，n＞0，且m+n＝2，再利用基本不等式即可得证．【解答】证明：设x﹣1＝m，y﹣1＝n，又x＞1，y＞1，则m＞0，n＞0，且m+n＝x+y ﹣2＝2，∴＝，当且仅当m＝n＝1，即x＝y＝2时，等号成立，故原命题得证．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．24．某“芝麻开门”娱乐活动中，共有5扇门，游戏者根据规则开门，并根据打开门的数量获取相应奖励．已知开每扇门相互独立，且规则相同，开每扇门的规则是：从给定的6把钥匙（其中有且只有1把钥匙能打开门）中，随机地逐把抽取钥匙进行试开，钥匙使用后不放回．若门被打开，则转为开下一扇门；若连续4次未能打开，则放弃这扇门，转为开下一扇门；直至5扇门都进行了试开，活动结束．（1）设随机变量X为试开第一扇门所用的钥匙数，求X的分布列及数学期望E（X）；（2）求恰好成功打开4扇门的概率．【分析】（1）根据互斥事件概率公式计算X的可能取值对应的概率，得出分布列和数学期望；（2）根据二项分布的概率公式计算概率．解：（1）X的可能取值为1，2，3，4，P（X＝1）＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，P（X＝4）＝＝，∴X的分布列是：X1234PE（X）＝1×+2×+3×+4×＝3．（2）每扇门被打开的概率为＝，设被打开的门的数量为ξ，则ξ～B（5，），∴恰好成功打开4扇门的概率为：P（ξ＝4）＝•（）4•＝．25．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线与x 轴的交点为E．过点F的直线与抛物线相交于A，B两点，EA，EB分别与y轴相交于M，N两点，当AB⊥x轴时，EA＝2．（1）求抛物线的方程；（2）设△EAB的面积为S1，△EMN面积为S2，求的取值范围．【分析】（1）求得抛物线的焦点坐标，以及E的坐标，运用两点间的距离公式，解得p，进而得到抛物线的方程；（2）设AB：x＝my+，A（x1，y1），B（x2，y2），联立抛物线的方程，运用韦达定理，以及直线方程，求得M，N的坐标，化简整理，运用三角形的面积公式，化简整理，结合韦达定理，即可得到所求范围..解：（1）抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F（，0），准线与x轴的交点为E（﹣，0），当AB⊥x轴时，A的横坐标为，所以y A2＝2px A＝P2，所以|EA|＝＝＝2，解得p＝，所以抛物线的方程为y2＝2x；（2）设AB：x＝my+，A（x1，y1），B（x2，y2），联立抛物线的方程y2＝2x，消去x，可得y2﹣2my﹣2＝0，则y1+y2＝2m，y1y2＝﹣2，直线AE的斜率为k AE＝，则AE的方程为y＝（x+），令x＝0，可得y＝•，即M（0，•），同理可得N（0，•），＝＝＝2（x1+）（x2+）＝2[x1x2+（x1+x2）+]＝2x1x2+（x1+x2）+1＝+（+）+1＝1+[（y1+y2）2﹣2y1y2]+1＝（y1+y2）2+4＝4m2+4≥4．（当m＝0时，取得等号）．即的取值范围为[4，+∞）．。

2020年高考江苏（专用）全真模拟试题数 学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．测试范围：高中全部内容。

一、填空题：本题共14个小题，每题5分，满分70分.1．定义一种集合运算(){|AB x x A B =∈⋃，且()}x A B ∉⋂}，设{}|22M x x =-<<，{}|13N x x =<<，则MN 所表示的集合是________.2．已知复数z 满足(1)13i z i +=+，则z =________.3．已知数列{}n a 为等差数列，若159a a a π++=，则28sin()a a +=________ 4．函数()f x =的定义域为_______. 5．已知sin cos 11cos 2ααα=-，1tan()3αβ-=，则tan β=________.6．如图，在ABC V 中，若AB a =u u u v v ，AC b =u u u v v，线段AP 的中点为Q ，BQ 的中点为R ，CR 的中点为P ，若AP ma nb =+u u u v v v，则m n +=_____．7．在5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5,然后将它们混合,再任意排列成一行,则得到的数能被2或5整除的概率是___________.8．设样本数据x 1，x 2，…，x 2 017的方差是4，若y i ＝x i －1(i ＝1，2，…，2 017)，则y 1，y 2，…，y 2 017的方差为______．9．在长方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，若其外接球的表面积为16π，则异面直线1BD 与1CC 所成的角的余弦值为__________．10．曲线()x f x xe =在点(1,(1))f 处的切线在y 轴上的截距是_______. 11．定义在R 上的奇函数()f x ，若()1f x +为偶函数，且()12f -=，则()()1213f f +的值等于______.12．根据如图所示算法流程图，则输出S 的值是__．13．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左焦点为F ，圆222:O x y a +=与双曲线的渐近线在第二象限相交于点M （O 为坐标原点），若直线MF 的斜率为ba，则双曲线C 的离心率为______. 14．已知偶函数满足，若在区间内，函数有4个零点，则实数的取值范围_________．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos sin 0b A a B -=. （1）求角A 的大小； （2）已知b =ABC ∆的面积为1，求边a .16．如图，已知PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是矩形，1PA AB ==，AD =，F 是PB 中点，点E在BC 边上．()f x []2(2)(),1,0()f x f x x f x x -=∈-=且当时，[]13-，()()()log 2a g x f x x =-+a（1）求三棱锥E PAD -的体积； （2）求证：AF PE ⊥；（3）若//EF 平面PAC ，试确定E 点的位置．17．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，右焦点为F ，以原点O 为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切.（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，过定点(2,0)P 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，连接AF 并延长交C 于M ，求证：PFM PFB ∠=∠.18．已知函数()2ln 1f x x x kx =+--.（I ）讨论函数()f x 的单调性；（II ）若()f x 存在两个极值点()1212,x x x x <，求证：()()210f x f x <<. 19．已知数列{}n a 中，11a =, 且()21232,1n n n na a n n n N n -*-=+≥∈-g . （1）求23,a a 的值及数列{}n a 的通项公式；（2）令()13n n nb n N a -*=∈, 数列{}n b 的前n 项和为n S , 试比较2nS 与n 的大小；（3）令()11n n a c n N n *+=∈+, 数列()221n n c c ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n T , 求证: 对任意n N *∈, 都有2n T <. 20．如图所示，某镇有一块空地OAB ∆，其中3OA km =，OB =，AOB 90∠=o 。

绝密★启用前江苏省普通高中2020届高三下学期高考全真模拟卷(八)(南通密卷)数学试题(解析版)注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1.本试卷共2页，均为非选择题（第1题~第20题，共20题）.本卷满分为160分，考试时间为120分钟考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米色水的签字笔填写在答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘點的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符.4.作答试题必须用0.5毫米色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.5.如需作图，须用2B 铅笔绘、写楚，线条、符号等须加黑、加粗.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1. 已知集合{}1A x x =>-，{}2,1,0,1,2,3B =--，则A B =________.【答案】{}0,1,2,3【解析】【分析】根据交集的定义可求得集合A B . 【详解】{}1A x x =>-,{}2,1,0,1,2,3B =--,因此,{}0,1,2,3A B =.故答案为：{}0,1,2,3.【点睛】本题考查交集的计算,考查计算能力,属于基础题.2. 已知复数2z ai =+的模为5,其中0a >,i 为虚数单位,则实数a 的值是________.【答案】1【解析】【分析】根据复数的模长公式结合实数a 的取值范围可求得实数a 的值.【详解】2z ai =+,则2225z a =+=,解得1a =±,0a >,因此,1a =. 故答案为：1.【点睛】本题考查利用复数的模长公式求参数,考查计算能力,属于基础题.3. 执行如图所示的伪代码,则输出的n 的值为________.【答案】6 【解析】 【分析】。

2020年江苏省高考数学模拟试卷一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．1．已知U=R，集合A={x|﹣1＜x＜1}，B={x|x2﹣2x＜0}，则A∩（∁U B）=．2．已知复数，则z的共轭复数的模为．3．分别从集合A={1，2，3，4}和集合B={5，6，7，8}中各取一个数，则这两数之积为偶数的概率是．4．运行如图所示的伪代码，其结果为．5．在平面直角坐标系xOy中，与双曲线有相同渐近线，且一条准线方程为的双曲线的标准方程为．6．已知存在实数a，使得关于x的不等式恒成立，则a的最大值为．7．若函数是偶函数，则实数a的值为．8．已知正五棱锥底面边长为2，底面正五边形中心到侧面斜高距离为3，斜高长为4，则此正五棱锥体积为．9．已知函数，则不等式f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4）的解集是．10．在△ABC中，AB=3，AC=4，N是AB的中点，边AC（含端点）上存在点M，使得BM⊥CN，则cosA的取值范围为．11．设不等式组表示的平面区域为D，若指数函数y=a x（a＞0，a≠1）的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是．12．已知函数f（x）=x2+2x+alnx在区间（0，1）内无极值点，则a的取值范围是．13．若函数同时满足以下两个条件：①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；②∃x∈（﹣1，1），f（x）g（x）＜0．则实数a的取值范围为．14．若b m为数列{2n}中不超过Am3（m∈N*）的项数，2b2=b1+b5且b3=10，则正整数A的值为．二、解答题：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．15．已知角α终边逆时针旋转与单位圆交于点，且．（1）求的值，（2）求的值．16．在四棱锥P﹣ABCD中，平面四边形ABCD中AD∥BC，∠BAD为二面角B﹣PA﹣D 一个平面角．（1）若四边形ABCD是菱形，求证：BD⊥平面PAC；（2）若四边形ABCD是梯形，且平面PAB∩平面PCD=l，问：直线l能否与平面ABCD平行？请说明理由．17．在平面直角坐标系xOy中，已知P点到两定点D（﹣2，0），E（2，0）连线斜率之积为．（1）求证：动点P恒在一个定椭圆C上运动；（2）过的直线交椭圆C于A，B两点，过O的直线交椭圆C于M，N两点，若直线AB与直线MN斜率之和为零，求证：直线AM与直线BN斜率之和为定值．18．将一个半径为3分米，圆心角为α（α∈（0，2π））的扇形铁皮焊接成一个容积为V立方分米的圆锥形无盖容器（忽略损耗）．（1）求V关于α的函数关系式；（2）当α为何值时，V取得最大值；（3）容积最大的圆锥形容器能否完全盖住桌面上一个半径为0.5分米的球？请说明理由．19．设首项为1的正项数列{a n}的前n项和为S n，且S n+1﹣3S n=1．（1）求证：数列{a n}为等比数列；（2）数列{a n}是否存在一项a k，使得a k恰好可以表示为该数列中连续r（r∈N*，r≥2）项的和？请说明理由；（3）设，试问是否存在正整数p，q（1＜p＜q）使b1，b p，b q成等差数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；若不存在，说明理由．20．（1）若ax＞lnx恒成立，求实数a的取值范围；（2）证明：∀a＞0，∃x0∈R，使得当x＞x0时，ax＞lnx恒成立．三.数学Ⅱ附加题部分【理科】[选做题]（本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）A[选修4-1几何证明选讲]（本小题满分10分）21．如图，AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交BA的延长线于点C，若DB=DC，求证：CA=AO．B[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）22．已知矩阵A=，B=，求矩阵A﹣1B．C[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．在极坐标系中，设直线l过点，且直线l与曲线C：ρ=asinθ（a＞0）有且只有一个公共点，求实数a的值．D[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．求函数的最大值．四.[必做题]（第25题、第26题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）25．在四棱锥P﹣ABCD中，直线AP，AB，AD两两相互垂直，且AD∥BC，AP=AB=AD=2BC．（1）求异面直线PC与BD所成角的余弦值；（2）求钝二面角B﹣PC﹣D的大小．26．设数列{a n}按三角形进行排列，如图，第一层一个数a1，第二层两个数a2和a3，第三层三个数a4，a5和a6，以此类推，且每个数字等于下一层的左右两个数字之和，如a1=a2+a3，a2=a4+a5，a3=a5+a6，…．（1）若第四层四个数为0或1，a1为奇数，则第四层四个数共有多少种不同取法？（2）若第十一层十一个数为0或1，a1为5的倍数，则第十一层十一个数共有多少种不同取法？2020年江苏省高考数学模拟试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．1．已知U=R，集合A={x|﹣1＜x＜1}，B={x|x2﹣2x＜0}，则A∩（∁U B）=（﹣1，0] ．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合B中的一元二次不等式的解集，确定出集合B，由全集R，求出集合B的补集，求出集合A与集合B的补集的交集即可【解答】解：由A={x|﹣1＜x＜1}=（﹣1，1），B={x|x2﹣2x＜0}=（0，2），∴C u B=（﹣∞，0]∪[2，+∞），∴A∩∁U B=（﹣1，0]，故答案为：（﹣1，0]．2．已知复数，则z的共轭复数的模为．【考点】复数求模．【分析】根据复数与它的共轭复数的模相等，即可求出结果．【解答】解：复数，则z的共轭复数的模为||=|z|====．故答案为：．3．分别从集合A={1，2，3，4}和集合B={5，6，7，8}中各取一个数，则这两数之积为偶数的概率是．【考点】等可能事件的概率．【分析】求出所有基本事件，两数之积为偶数的基本事件，即可求两数之积为偶数的概率．【解答】解：从集合A={1，2，3，4}和集合B={5，6，7，8}中各取一个数，基本事件共有4×4=16个，∵两数之积为偶数，∴两数中至少有一个是偶数，A中取偶数，B中有4种取法；A中取奇数，B中必须取偶数，故基本事件共有2×4+2×2=12个，∴两数之积为偶数的概率是=．故答案为：．4．运行如图所示的伪代码，其结果为．【考点】伪代码．【分析】根据伪代码所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是累加并输出S=++…+的值，用裂项法即可求值得解．【解答】解：根据伪代码所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是累加并输出S=++…+的值，所以S=S=++…+=×（1﹣+﹣…+﹣）=（1﹣）=．故答案为：．5．在平面直角坐标系xOy中，与双曲线有相同渐近线，且一条准线方程为的双曲线的标准方程为﹣=1．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得已知双曲线的渐近线方程，设出所求双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），求出渐近线方程和准线方程，由题意可得=，=，结合a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程．【解答】解：双曲线的渐近线为y=±x，设所求双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），渐近线方程为y=±x，准线方程为y=±，由题意可得=，=，又a2+b2=c2，解得a=2，b=，即有所求双曲线的方程为﹣=1．故答案为：﹣=1．6．已知存在实数a，使得关于x的不等式恒成立，则a的最大值为﹣2．【考点】函数恒成立问题．【分析】由题意可得a≤f（x）的最小值，运用单调性，可得f（0）取得最小值，即可得到a的范围，进而得到a的最大值．【解答】解：由，可得0≤x≤4，由f（x）=﹣，其中y=在[0，4]递增，y=﹣在[0，4]递增，可得f（x）在[0，4]递增，可得f（0）取得最小值﹣2，可得a≤﹣2，即a的最大值为﹣2．故答案为：﹣2．7．若函数是偶函数，则实数a的值为﹣．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】由题意可得，f（﹣）=f（），从而可求得实数a的值．【解答】解：∵f（x）=asin（x+）+sin（x﹣）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴f（﹣）=f（），即﹣=a，∴a=﹣．故答案为：﹣．8．已知正五棱锥底面边长为2，底面正五边形中心到侧面斜高距离为3，斜高长为4，则此正五棱锥体积为20．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】求出底面中心到边的距离，棱锥的高，然后求解棱锥的体积．【解答】解：设正五棱锥高为h，底面正五边形的角为108°，底面正五边形中心到边距离为：tan54°，h=，则此正五棱锥体积为：×=20．故答案为：20．9．已知函数，则不等式f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4）的解集是（1，3）．【考点】分段函数的应用．【分析】判断f（x）在R上递增，由f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4），可得或，解不等式即可得到所求解集．【解答】解：当x＜3时，f（x）=﹣x2+6x=﹣（x﹣3）2+9，即有f（x）递增；故f（x）在R上单调递增．由f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4），可得或，解得或，即为1＜x≤或＜x＜3，即1＜x＜3．即有解集为（1，3）．故答案为：（1，3）．10．在△ABC中，AB=3，AC=4，N是AB的中点，边AC（含端点）上存在点M，使得BM⊥CN，则cosA的取值范围为[，1）．【考点】余弦定理．【分析】设=t（0≤t≤1），=﹣=t﹣，=﹣=﹣．由于⊥，可得•=0．化为：﹣16t+12（+1）cos∠BAC﹣=0，整理可得：cos∠BAC==（32﹣）=f（t），（0≤t≤1）．利用函数的单调性即可得出．【解答】解：设=t（0≤t≤1），=﹣=t﹣，=﹣=﹣．∴•=（t﹣）•（﹣）=﹣t2+（+1）•﹣2．∵⊥，∴•=﹣t2+（+1）•﹣2=0．化为：﹣16t+12（+1）cos∠BAC﹣=0，整理可得：cos∠BAC==（32﹣）=f（t），（0≤t≤1）．由于f（t）是[0，1]是的单调递增函数，∴f（0）≤f（t）≤f（1），即：≤f（t）≤，即：≤cosA≤，∵A∈（0，π），∴cosA＜1，∴cosA的取值范围是：[，1）．故答案为：[，1）．11．设不等式组表示的平面区域为D，若指数函数y=a x（a＞0，a≠1）的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是（0，1）∪[3，+∞）．【考点】简单线性规划的应用．【分析】由题意作平面区域，从而结合图象可知y=a x的图象过点（3，1）时为临界值a=3，从而解得．【解答】解：由题意作平面区域如下，，结合图象可知，y=a x的图象过点（3，1）时为临界值a=3，且当0＜a＜1时，一定成立；故答案为：（0，1）∪[3，+∞）．12．已知函数f（x）=x2+2x+alnx在区间（0，1）内无极值点，则a的取值范围是{a|a≤﹣4或a≥0} ．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】函数f（x）=x2+2x+alnx在区间（0，1）内无极值点⇔函数f（x）在（0，1）内单调⇔函数f′（x）≥0或f′（x）≤0a∈R）在（01，）内恒成立．再利用导数的运算法则、分离参数法、函数的单调性即可得出．【解答】解：函数f（x）=x2+2x+alnx在区间（0，1）内无极值⇔函数f（x）=x2+2x+alnx 在区间（0，1）内单调⇔函数f′（x）≥0或f′（x）≤0a∈R）在（0，1）内恒成立．由f′（x）=2x+2≥0在（0，1）内恒成立⇔a≥（﹣2x﹣2x2）max，x∈（0，1）．即a≥0，由f′（x）=2x+2≤0在（0，1）内恒成立⇔a≤（﹣2x﹣2x2）min，x∈（0，1）．即a≤﹣4，故答案为：a≤﹣4或a≥0．故答案为：{a|a≤﹣4或a≥0}．13．若函数同时满足以下两个条件：①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；②∃x∈（﹣1，1），f（x）g（x）＜0．则实数a的取值范围为（2，4）．【考点】全称命题；特称命题．【分析】由①可得当x≤﹣1时，g（x）＜0，根据②可得g（1）=a（1﹣a+3）＞0，由此解得实数a的取值范围．【解答】解：∵已知函数，根据①∀x∈R，f（x）＜0，或g（x）＜0，即函数f（x）和函数g（x）不能同时取非负值．由f（x）≥0，求得x≤﹣1，即当x≤﹣1时，g（x）＜0恒成立，故，解得：a＞2；根据②∃x∈（﹣1，1），使f（x）•g（x）＜0成立，∴g（1）=a（1﹣a+3）＞0，解得：0＜a＜4，综上可得：a∈（2，4），故答案为：（2，4）14．若b m为数列{2n}中不超过Am3（m∈N*）的项数，2b2=b1+b5且b3=10，则正整数A的值为64或65．【考点】数列递推式．【分析】由题意可得：，f（1）=A，f（2）=8A，f（5）=125A，设b1=t，即数列{a n}中，不超过A的项恰有t项，则2t≤A＜2t+1，同理：2t+d≤8A＜2t+d+1，2t+2d≤125A＜2t+2d+1，可得d＜4，d为正整数，得出d=1，2，3，分类讨论后求得满足条件的正整数A的值．【解答】解：依题意：，f（1）=A，f（2）=8A，f（5）=125A，设b1=t，即数列{a n}中，不超过A的项恰有t项，∴2t≤A＜2t+1，同理：2t+d≤8A＜2t+d+1，2t+2d≤125A＜2t+2d+1，可得：2t≤A＜2t+1，2t+d﹣3≤A＜2t+d﹣2，，故max{}≤A＜min{}，由以下关系：2t+d﹣3＜2t+1，，得d＜4，∵d为正整数，∴d=1，2，3．当d=1时，max{}=max{}=2t，min{}=min{}=＜2t，不合题意，舍去；当d=2时，max{}=max{}=2t，min{}=min{}=＜2t，不合题意，舍去；当d=3时，max{}=max{}=2t，min{}=min{}=＞2t，适合题意．此时2t≤A＜，b1=t，b2=t+3，b5=t+6，∴t+3≤b3≤t+6．∵b3=10，∴4≤t≤7，∵t为整数，∴t=4，t=5，t=6或t=7．∵f（3）=27A，b3=10，∴210≤27A＜211，∴≤A＜．当t=4时，24≤A＜，∴无解．当t=5时，25≤A＜，∴无解．当t=6时，26≤A＜，∴64≤A＜．当t=7时，27≤A＜，∴无解．则26≤A＜．∵A∈N*，∴A=64或A=65．综上：A=64或65．故答案为：64或65．二、解答题：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．15．已知角α终边逆时针旋转与单位圆交于点，且．（1）求的值，（2）求的值．【考点】三角函数的化简求值；任意角的三角函数的定义．【分析】（1）利用已知条件求出sin（）与cos（），然后利用二倍角公式以及两角和的正弦函数化简求解即可．（2）求出正切函数的二倍角的值，利用两角和的正切函数化简求解即可．【解答】解：（1）角α终边逆时针旋转与单位圆交于点，可得sin（）=，cos（）=，sin（2）=2sin（）cos（）==，cos（2）=2×=．=sin（2﹣）=sin（2）cos﹣sin cos（2）==．（2）∵，∴tan（2α+2β）===．sin（2）=，cos（2）=．tan（2）=．tan（2α+2β）=tan[（）+（2）]==，解得=．16．在四棱锥P﹣ABCD中，平面四边形ABCD中AD∥BC，∠BAD为二面角B﹣PA﹣D 一个平面角．（1）若四边形ABCD是菱形，求证：BD⊥平面PAC；（2）若四边形ABCD是梯形，且平面PAB∩平面PCD=l，问：直线l能否与平面ABCD平行？请说明理由．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）由已知得PA⊥AB，PA⊥AD，从而BD⊥PA，由四边形ABCD是菱形，得AC ⊥BD，由此能证明BD⊥平面PAC．（2）由四边形ABCD是梯形，且平面PAB∩平面PCD=l，得CD与AB有交点P，从而直线l∩平面ABCD=P，由此得到直线l不能与平面ABCD平行．【解答】证明：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，平面四边形ABCD中AD∥BC，∠BAD为二面角B﹣PA﹣D一个平面角，∴PA⊥AB，PA⊥AD，又AB∩AD=A，∴PA⊥平面ABCD，∵BD⊥PA，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC．解：（2）直线l不能与平面ABCD平行．理由如下：∵四边形ABCD是梯形，且平面PAB∩平面PCD=l，∴CD与AB有交点P，∴P∈l，∴直线l∩平面ABCD=P，∴直线l不能与平面ABCD平行．17．在平面直角坐标系xOy中，已知P点到两定点D（﹣2，0），E（2，0）连线斜率之积为．（1）求证：动点P恒在一个定椭圆C上运动；（2）过的直线交椭圆C于A，B两点，过O的直线交椭圆C于M，N两点，若直线AB与直线MN斜率之和为零，求证：直线AM与直线BN斜率之和为定值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）设P（x，y），由题意可得k PD•k PE=﹣，运用直线的斜率公式，化简即可得到所求轨迹方程；（2）设过F的直线为x=my+，代入椭圆方程x2+2y2=4，设A（x1，y1），B（x2，y2），运用韦达定理，点满足直线方程，再由过O的直线x=﹣my交椭圆C于M，N两点，求得M，N的坐标，运用直线的斜率公式，化简整理，即可得到直线AM与直线BN斜率之和为定值0．【解答】解：（1）设P（x，y），由题意可得k PD•k PE=﹣，即有•=﹣，化为+=1；（2）设过F的直线为x=my+，代入椭圆方程x2+2y2=4，可得（2+m2）y2+2my﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），即有y1+y2=﹣，y1y2=﹣，x1=my1+，x2=my2+，由题意可得，过O的直线x=﹣my交椭圆C于M，N两点，解得M（﹣，），N（，﹣），可得k AM+k BN=+，通分后的分子=x2y1﹣x2﹣y1+x1y2+x1+y2+=2my1y2+（y1+y2）+（x1﹣x2）+（y2﹣y1）+=﹣﹣+（y1﹣y2）+（y2﹣y1）+=0．即有直线AM与直线BN斜率之和为定值0．18．将一个半径为3分米，圆心角为α（α∈（0，2π））的扇形铁皮焊接成一个容积为V立方分米的圆锥形无盖容器（忽略损耗）．（1）求V关于α的函数关系式；（2）当α为何值时，V取得最大值；（3）容积最大的圆锥形容器能否完全盖住桌面上一个半径为0.5分米的球？请说明理由．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（1）根据面积得出圆锥的底面半径，利用勾股定理求出圆锥的高，代入体积公式即可；（2）利用基本不等式得出体积的最值及取得最值得条件；（3）求出圆锥内切球的半径，与0.5比较大小．【解答】解：（1）由题意知圆锥的母线l=3，设圆锥的底面半径为r，则2πr=3α，∴r=，∴圆锥的高h===．∴V==．（2）V==≤=2．当且仅当4π2﹣α2=即α=时，取等号．∴当α=时，体积V取得最大值．（3）当圆锥体积最大时，圆锥的底面半径r=．设圆锥轴截面△ABC的内切圆⊙O半径为R，如图所示，则OD=R，CD=CE=，AC=3，∴AE=，AD=3﹣．由△AOD∽△ACE得，∴，解得R=3≈0.8．∵0.8＞0.5，∴容积最大的圆锥形容器能完全盖住桌面上一个半径为0.5分米的球．19．设首项为1的正项数列{a n}的前n项和为S n，且S n+1﹣3S n=1．（1）求证：数列{a n}为等比数列；（2）数列{a n}是否存在一项a k，使得a k恰好可以表示为该数列中连续r（r∈N*，r≥2）项的和？请说明理由；（3）设，试问是否存在正整数p，q（1＜p＜q）使b1，b p，b q成等差数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；若不存在，说明理由．【考点】数列的求和；等比关系的确定．=1作差可知a n+1=3a n（n≥2），进而可知数列{a n}【分析】（1）通过S n+1﹣3S n=1与S n﹣3S n﹣1是首项为1、公比为3的等比数列；（2）通过（1）可知a n=3n﹣1、S n=（3n﹣1），假设存在满足题意的项a k，则3k﹣1=S r+t﹣S t，进而化简可知不存在r满足3r﹣x﹣=2，进而可得结论；（3）通过（1）可知b n=，假设存在正整数p，q（1＜p＜q）使b1，b p，b q成等差数列，通过化简可知q=3q﹣p（2p﹣3p﹣1），利用当p≥3时2p﹣3p﹣1＜0可知当p≥3时不满足题意，进而验证当p=2时是否满足题意即可．【解答】（1）证明：∵S n+1﹣3S n=1，=1，∴当n≥2时，S n﹣3S n﹣1两式相减得：a n+1=3a n，又∵S n+1﹣3S n=1，a1=1，∴a2=S2﹣S1=2a1+1=3满足上式，∴数列{a n}是首项为1、公比为3的等比数列；（2）解：结论：不存在满足题意的项a k；理由如下：由（1）可知a n=3n﹣1，S n==（3n﹣1），假设数列{a n}中存在一项a k，使得a k恰好可以表示为该数列中连续r（r∈N*，r≥2）项的和，则3k﹣1=S r+t﹣S t=（3r+t﹣1）﹣（3t﹣1）=（3r+t﹣3t）=•3t（3r﹣1），于是（3r﹣1）=3x（其中x为大于1的自然数），整理得：3r﹣x﹣=2，显然r无解，故假设不成立，于是不存在满足题意的项a k；（3）解：结论：存在唯一的数组（p，q）=（2，3）满足题意；理由如下：由（1）可知b n=，假设存在正整数p，q（1＜p＜q）使b1，b p，b q成等差数列，则2b p=b1+b q，即2=+，整理得：2p•3q﹣p=3q﹣1+q，∴q=2p•3q﹣p﹣3q﹣1=3q﹣p（2p﹣3p﹣1），∵当p≥3时2p﹣3p﹣1＜0，∴当p≥3时不满足题意，当p=2时，2=+即为：=+，整理得：=，解得：q=3，综上所述，存在唯一的数组（p，q）=（2，3）满足题意．20．（1）若ax＞lnx恒成立，求实数a的取值范围；（2）证明：∀a＞0，∃x0∈R，使得当x＞x0时，ax＞lnx恒成立．【考点】函数恒成立问题．【分析】（1）首先求出函数的导数，然后根据导数与单调区间的关系确定函数的单调区间，（2）先求出当直线和y=lnx相切时a的取值，然后进行讨论求解即可．【解答】解：（1）若ax＞lnx恒成立，则a＞，在x＞0时恒成立，设h（x）=，则h′（x）==，由h′（x）＞0得1﹣lnx＞0，即lnx＜1，得0＜x＜e，由h′（x）＜0得1﹣lnx＜0，即lnx＞1，得x＞e，即当x=e时，函数h（x）取得极大值同时也是最大值h（e）==．即a＞．（2）设f（x）=lnx，g（x）=ax，（x＞0），则f′（x）=，当g（x）与f（x）相切时，设切点为（m，lnm），则切线斜率k=，则过原点且与f（x）相切的切线方程为y﹣lnm=（x﹣m）=x﹣1，即y=x﹣1+lnm，∵g（x）=ax，∴，得m=e，a=．即当a＞时，ax＞lnx恒成立．当a=时，当x0≥时，要使ax＞lnx恒成立．得当x＞x0时，ax＞lnx恒成立．当0＜a＜时，f（x）与g（x）有两个不同的交点，不妨设较大的根为x1，当x0≥x1时，当x＞x0时，ax＞lnx恒成立．∴∀a＞0，∃x0∈R，使得当x＞x0时，ax＞lnx恒成立．三.数学Ⅱ附加题部分【理科】[选做题]（本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）A[选修4-1几何证明选讲]（本小题满分10分）21．如图，AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交BA的延长线于点C，若DB=DC，求证：CA=AO．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】连结OD、AD，证出△ADB≌△ODC，得到AB=CO，从而证出结论．【解答】证明：如图示：，连结OD、AD，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°，AB=2AO，∵DC是⊙O的切线，∴∠CDO=90°，∵DB=DC，∴∠B=∠C，∴△ADB≌△ODC，∴AB=CO，即2OA=OA+CA，∴CA=AO．B[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）22．已知矩阵A=，B=，求矩阵A﹣1B．【考点】几种特殊的矩阵变换．【分析】设矩阵A﹣1=，通过AA﹣1为单位矩阵可得A﹣1，进而可得结论．【解答】解：设矩阵A的逆矩阵为，则=，即=，故a=﹣1，b=0，c=0，d=，从而A﹣1=，∴A﹣1B==．C[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．在极坐标系中，设直线l过点，且直线l与曲线C：ρ=asinθ（a＞0）有且只有一个公共点，求实数a的值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】求出点A，B的直角坐标，利用点斜式方程得出直线l的直角坐标方程，再求出曲线C的普通方程，求出圆心和半径，利用d=r构建出a的方程，解出a的值．【解答】解：由直线l过点，可得A，B的直角坐标为A（，），B（0，3），直线AB的斜率k==，即有直线l的方程为：y﹣3=x，即y=x+3，由曲线C：ρ=asinθ（a＞0），可得曲线C的普通方程为x2+y2﹣ay=0，即有圆心C（0，），r==，直线l与曲线C：ρ=asinθ（a＞0）有且只有一个公共点即直线和圆相切，可得，解得a=2或﹣6，由a＞0，可得a=2．D[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．求函数的最大值．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】根据条件利用平方关系结合一元二次函数的性质进行求解即可．【解答】解：由得，即5≤x≤7，由平方得y2=x﹣5+7﹣x+2=2+2，∵5≤x≤7，∴当x=6时，函数y2=2+2取得最大值为y2=2+2=4，当x=5或7时，函数y2=2+2取得最小值为y2=2，即2≤y2≤4，则≤y≤2，即函数的最大值为2．四.[必做题]（第25题、第26题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）25．在四棱锥P﹣ABCD中，直线AP，AB，AD两两相互垂直，且AD∥BC，AP=AB=AD=2BC．（1）求异面直线PC与BD所成角的余弦值；（2）求钝二面角B﹣PC﹣D的大小．【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角．【分析】（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PC与BD所成角的余弦值．（2）求出平面PBC的法向量和平面PCD的法向量，利用向量法能求出钝二面角B﹣PC﹣D的大小．【解答】解：（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，设AP=AB=AD=2BC=2，则P（0，0，2），C（2，1，0），B（2，0，0），D（0，2，0），=（2，1，﹣2），=（﹣2，2，0），设异面直线PC与BD所成角为θ，则cosθ===．∴异面直线PC与BD所成角的余弦值为．（2）=（2，0，﹣2），=（2，1，﹣2），=（0，2，﹣2），设平面PBC的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，0，1），设平面PCD的法向量=（a，b，c），则，取b=1，得=（1，2，2），设钝二面角B﹣PC﹣D的平面角为θ，cosθ=﹣|cos＜＞|=﹣||=﹣，∴θ=135°，∴钝二面角B﹣PC﹣D的大小为135°．26．设数列{a n}按三角形进行排列，如图，第一层一个数a1，第二层两个数a2和a3，第三层三个数a4，a5和a6，以此类推，且每个数字等于下一层的左右两个数字之和，如a1=a2+a3，a2=a4+a5，a3=a5+a6，…．（1）若第四层四个数为0或1，a1为奇数，则第四层四个数共有多少种不同取法？（2）若第十一层十一个数为0或1，a1为5的倍数，则第十一层十一个数共有多少种不同取法？【考点】归纳推理．【分析】（1）若第四层四个数为0或1，则a1=a7+2a8+2a9+a10，由a1为奇数，可得a7，a10中一个为1，一个为0，进而得到答案；（2）若第十一层十一个数为0或1，a1为5的倍数，则a56，a66中一个为1，一个为0，且a57+a58+…+a65=2，或a57+a58+…+a65=7，进而得到答案．【解答】解：（1）若第二层的两个数为0或1，则a1=a2+a3，由a1为奇数，可得第二层的两个数有2种不同的取法；若第三层的三个数为0或1，则a1=a4+2a5+a6，由a1为奇数，可得第三层的三个数有4种不同的取法；若第四层四个数为0或1，则a1=a7+2a8+2a9+a10，由a1为奇数，可得第四层的四个数有8种不同的取法；（2）根据（1）中结论，若第十一层十一个数为0或1，则a1=a56+2（a57+a58+…+a65）+a66，若a1为5的倍数，则a56，a66中一个为1，一个为0，a57+a58+…+a65=2，或a57+a58+…+a65=7，即a57，a58，…，a65中有2个1或2个0，则第十一层十一个数共有=144种不同取法．2020年8月12日。

2020江苏模拟数学试题及答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 若函数f(x) = 2x^2 - 4x + 3，求f(1)的值。

A. 1B. 3C. 5D. 72. 已知向量a = (3, -1)，向量b = (1, 2)，求向量a与向量b的数量积。

A. 4B. 5C. 6D. 73. 已知集合A = {x | x^2 - 5x + 6 = 0}，求集合A中元素的个数。

A. 1B. 2C. 3D. 44. 若函数g(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求g'(x)的表达式。

A. 3x^2 - 6xB. 3x^2 - 6x + 2C. x^3 - 3x^2D. x^3 - 3x^2 + 25. 已知双曲线方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其中a > 0，b > 0，求双曲线的渐近线方程。

A. y = ±(b/a)xB. y = ±(a/b)xC. y = ±xD. y = ±√2x6. 已知等差数列{an}的首项a1 = 2，公差d = 3，求第10项a10的值。

A. 29B. 30C. 31D. 327. 已知函数h(x) = sin(x) + cos(x)，求h(π/4)的值。

A. √2B. 1C. 0D. -18. 已知抛物线方程为y = ax^2 + bx + c，且抛物线经过点(1, 2)和(2, 3)，求a的值。

A. 1/2B. 1C. 2D. 3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

9. 已知等比数列{bn}的首项b1 = 4，公比q = 2，求第5项b5的值。

______10. 已知直线l的方程为y = 2x + 1，求直线l与x轴的交点坐标。

______11. 已知函数k(x) = ln(x)，求k'(x)的表达式。

2020年江苏高考数学全真模拟试卷(八)数学Ⅰ试题一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上 1.已知集合A ={x ｜x ＞－1},B ={－2,－1,0,1,2,3},则A ∩B ＝ ▲ ． 2.已知复数z =2+ai 的模为 5 ,其中a ﹥0,i 为虚数单位,则实数a 的值是 ▲ ． 3.执行如图所示的伪代码,则输出的n 的值为▲ ．4.如图,这是某班8位学生参加歌唱比赛所得成绩的茎叶图,那么这8位学生成绩的平均分为 ▲ ．5.某小组有男生3名,女生2名,任选2名同学值日,则选出的2名同学中至少有1名男生的概 是 ▲ ．6.函数y ＝log 3(x ＋2) －3的定义域是 ▲ ．7.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线x 2m －y 2m ＋4＝1(m >0)的离心率为3,则实数m 的值是▲ ．（第4题图）7 6 8 98 0 4 6 9 3 6（第3题图）8.已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若a 2 =1,S 7=－7,则a 8的值是 ▲． 9. 《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的四面体称为鱉臑.如图, 四面体P -ABC 为鱉臑,P A ⊥平面ABC ,∠ABC 为直角,且P A =AB =BC =2, 则P -ABC 的体积为 ▲ ．10.已知实数x ,y 满足x ＋y =1,若不等式4x ＋4y ≥k (2 x +2 y )恒成立,则实 数k 的取值范围是 ▲ ．11.已知3cos(α+β)＋2 cos α=0,则tan(α+β)tan β12.如图在△ABC 中,已知∠BAC ＝π3 ,AB ＝2,AC ＝3,BC → ＝3边AC 上的中线BE 交AD 于点F ,则BF → ・CF →的值是 ▲ ．13.在平画直角坐标系xOy 中,直线l :mx －y －2m －2=0(m ∈R)交圆C1:x 2＋y 2=8所得弦的中 点为M ,N 为圆C 2:(x －4) 2＋(y －3) 2=1上任意一点,则MN 长的取值范围是 ▲ ．14.已知函数f (x ) = ⎩⎪⎨⎪⎧k 2x 2＋kx ＋1， x ≥0，x 3－（k 2－k ＋1）x 2＋5x －2，x ＜0， (k ≠0),在函数f (x )的图象上,对任意一点A (x 1,y 1), 均存在唯一的点B (x 2,y 2) (x 1≠x 2且x 1, x 2均不为0),使得A ,B 两点处的切线斜率相等, 则实数k 的取值构成的集合是 ▲ ．二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分14分)在△ABC 中, 角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c sin2B ＝b sinC . （1）若b ＝2 3 ，a ＝2求c ; （2）若cos A ＝1313,求tan C 的值.（第12题）（第9题）ACPB如图,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中, AB =AC , D 为BC 的中点. （1）求证:A 1B ∥平面ADC 1; （2）求证:平面ADC 1⊥平面BCC 1B 117.(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中, 已知椭圆C : x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左顶点为A (－2,0), 右焦点为F ( 2 ,0), 过原点O 的直线 (与坐标轴不重合) 与椭圆C 交于点M ,N ,直线AM ,AN 分别与y 轴交于点P , Q.（1）若AP =3AM ,求点M 的横坐标;（2）设直线PF ,QF 的斜率分别为k 1,k 2,求k 1・k 2的值.18.(本小题满分16分)如图1,某十字路口的花圃中央有一个底面半径为2 m 的圆柱形花柱, 四周斑马线的内侧连线构成边长为20 m 的正方形. 因工程需要, 测量员将使用仪器沿斑马线的内侧进行测量, 其中仪器P 的移动速度为1.5 m/s, 仪器Q 的移动速度为1 m/s. 若仪器P 与仪器Q 的对视光线被花柱阻挡, 则称仪器Q 在仪器P 的“盲区”中.（1）如图2, 斑马线的内侧连线构成正方形ABCD ,仪器P 在点A 处,仪器Q 在BC 上距离点 C4 m 处,试判断仪器Q 是否在仪器P 的“盲区”中,并说明理由;（2）如图3,斑马线的内侧连线构成正方形ABCD ,仪器P 从点A 出发向点D 移动,同时仪器 Q 从点C 出发向点B 移动,在这个移动过程中,仪器Q 在仪器P 的“盲区”中的时长为 多少?（第16题）CADBC 1A 1B 1（第18题）（图2）・ A D BC QP AD BC Q（图3）（图1）已知函数f (x ) ＝1+ In xx. （1）求函数f (x )的图象在x =e (e 为自然对数的底数) 处的切线方程.（2）若对任意的x ∈D ,均有m (x )≤m (x ),则称m (x )为n (x )在区间D 上的下界函数,n (x )为m (x )在区间D 上的上界函数.①若g (x )＝e xx ＋1 ,求证:g (x )为f (x )在(0,+∞)上的上界函数;②若g (x )＝kx ＋1, g (x )为f (x )在[1,+∞)上的下界函数,求实数k 的取值范围.20.(本小题满分16分)已知数列{a n }的前项和为S n , 满足4S n ＝(2n ＋1)a n ＋λ (λ≠0). （1）求证数列{a n }等差数列. （2）当λ＝1时,记b n ＝10a n ＋1 2・3n,是否存在正整数p,q (1<p < q ),使得b 1,b q ,b q 成等比数列?若存在, 求出所有满足条件的数对(p,q );若不存在,请说明理由.（3）若数列a k 1, a k 2, a k 3,…,a k n ,… (k 1=1)是公比为3的等比数列,求最小正整数m ,使得当n ≥m 时,k n ＞ n 32 .数学Ⅱ(附加题)21【选做題】本题包括A 、B 、C 三小题,请选定其中两小题．．．．．．．．,并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，．若多做,按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步聚 A.[选修4－2:矩阵与变换] (本小题满分10分) 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 0a 1 ,A 的逆矩阵A -1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 130-23 b , （1）求a , b 的值;（2）若点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到点P ′(3,1),求点P 的坐标.B.[选修4－4:坐标系与参数方程] (本小题满分10分)在极坐标系中,圆C 1的极坐标方程为ρ＝4 2 cos(θ+π4).以极点为坐标原点,极轴为x 轴的正半轴, 建立平面直角坐标系, 圆C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋r cos θy ＝－1＋r sin θ (θ是参数).若圆C 1与圆C 2相切,求正数r 的值.C.[选修4－5:不等式选讲] (本小题满分10分)已知正数a ,b ,c ,d 满足a +b =cd =1,求证:(ac +bd )(ad +bc )≥1.【必做题】第22题、第23题,每小题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图,在四棱锥P -ABCD 中,AP ,AB ,AD 两两垂直,AD =AP =4,AB =BC =2, AD ∥BC ,M 为线段PC 上一点(端点除外).（1）若异面直线BM ,AP 所成角的余弦值为 6 3 ,求PM 的长;（2）求二面角B -PC -D 的平面角的余弦值.23.(本小题满分10分)已知函数f (x )=(1+x )n +2(1+x ) n +1+…+m (1+x ) n +m -1,其中m ,n ∈N ※,m <n , （1）求函数f (x )中含x n 项的系数;（2）求证: C n n ＋2C n n +1＋3 C n n +2＋…＋m C nn +m -1＝mn ＋m ＋1n ＋2C n +1n +m .（第22题）PDM。

2020届江苏高三数学模拟试题以及答案1.已知集合U={-1.0.1.2.3.23}，A={2.3}，则U-A={-1.0.1.4.5.23}。

2.已知复数z=a+bi是纯虚数，则a=0.3.若输出y的值为4，则输入x的值为-1.4.该组数据的方差为 9.5.2只球都是白球的概率为 3/10.6.不等式f(x)>f(-x)的解集为x2.7.S3的值为 61/8.8.该双曲线的离心率为 sqrt(3)/2.9.该几何体的体积为27π/2.10.sin2α的值为 1/2.11.λ+μ的值为 1/2.12.离墙距离为 3.5m时，视角θ最大。

13.实数a的值为 2.14.CD的最小值为 3/2.15.在△ABC中，已知$a$，$b$，$c$分别为角$A$，$B$，$C$所对边的长度，且$a(\sin A-\sin B)=(c-b)(\sin B+\sin C)$。

1）求角$C$的值；2）若$a=4b$，求$\sin B$的值。

16.如图，在四棱锥$P-ABCD$中，底面$ABCD$是平行四边形，平面$BPC$⊥平面$DPC$，$BP=BC$，$E$，$F$分别是$PC$，$AD$的中点。

证明：（1）$BE\perp CD$；（2）$EF\parallel$平面$PAB$。

17.如图，在平面直角坐标系$xOy$中，已知椭圆$C$：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，经过点$M(0,1)$。

1）求椭圆$C$的方程；2）过点$M$作直线$l_1$交椭圆$C$于$P$，$Q$两点，过点$M$作直线$l_1$的垂线$l_2$交圆$N(x_0,0)$于另一点$N$。

若$\triangle PQN$的面积为$3$，求直线$l_1$的斜率。

18.南通风筝是江苏传统手工艺品之一。

现用一张长$2$米，宽$1.5$米的长方形牛皮纸$ABCD$裁剪风筝面，裁剪方法如下：分别在边$AB$，$AD$上取点$E$，$F$，将三角形$AEF$沿直线$EF$翻折到$A'EF$处，点$A'$落在牛皮纸上，沿$A'E$，$A'F$裁剪并展开，得到风筝面$AEA'F$，如图$1$。

2020 年江苏高考数学全真模拟试卷二数学Ⅰ试题注意事项考生在答题前请仔细阅读本注意事项及各题答题要求:1.本试卷共 4 页，均为非选择题(第 1 题 ~第 20 题 ,共 20 题 ).本卷满分为160 分 , 考试时间为 120 分钟考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前，请您务势必自己的姓名、准考据号用0.5 毫米色水的署名笔填写在答题卡的规定地点.A．必做题部分3.请仔细查对监考员在答题卡上所粘點的条形码上的姓名、准考据号与您自己能否符合.4.作答试题一定用0.5 毫米色墨水的署名笔在答题卡的指定地点作答，在其余地点作答律无效 .5.如需作图，须用2B 铅笔绘、写楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、填空题 :本大题共14 小题 ,每题 5 分 ,合计 70 分 .请把答案填写在答题卡相应地点上1.已知会合 U={ x｜ x＞ 1}, A ={ x ｜ x ＞ 2}, 则 ?U A =▲．2.已知复数 z知足 (1+ i ) z= i 2020 (i 为虚数单位 ),则 z在复平面内对应的点位于第▲象限.3.已知一组数据 4,6,5,8,7,6, 那么这组数据的方差为▲．i ← 14.已知向量 a=(1,2), b=(2, － 1) 则 a? (a－ b)的值为▲．S ← 25.履行如下图的伪代码 ,则输出的 S 的值为▲．While S＜ 20 S ← S＋ i6.在一个不透明的口袋中装有形状、大小都同样的红球和黄球共 5 个 , i ← i＋ 22 End While 从中随机拿出 1 个球 ,该球是红球的概率是5 . 现从中一次随机拿出 2 Print S个球 ,则这 2 个球的颜色同样的概率为▲．（第 3 题图）x＋ y≥2，7.已知 x, y 知足拘束条件y≥x -2，,则 z= y -3的最大值为▲．xy≤1，π8.将函数 f ( x) = sinωx(ω>0)的图象向右平移6个单位长度 ,获得函数 y=g(x)的图像，若 y=g( x)是偶函数 ,则ω的最小值为▲．9. 已知一个圆柱的高为3cm, 体积为12π cm3 , 则该圆柱的外接球的表面积为▲cm 2．10.已知函数f( x) = 2x 1 ｜x - 2 ｜．若对随意 x1∈[1, + ∞ )，都存在 x2∈ [1, + ∞ )，2 , g(x) = ( ) + ax + 4 2使得 f(x 1 ) = g( x2 ), 则实数 a 的取值范围是▲ ．11.在平面直角坐标系xOy 中, 双曲线C:x2 y2a 2－b 2 =1 ( a>0，b>0)的左焦点F作倾斜角为30°的直线 ,与圆 C′ : x2 +y 2 =b 2交于点 A,B.若∠ AOB=60 °,则双曲线 C 的离心率为▲．12.设数列 { a n} 的前 n 项和为 S n ,若 1, a n , S n成等差数列 ,则 a 1 + a 2 + + a n的值为▲．13.如图 ,在等腰三角形ABC 中 ,AB =2, AC =BC = 5 .若 D是△ABC所→→→→→ C Dμ的最大值在平面内一点 ,且DB ? DC =0.设AD =λAB +μAC ,则λ+为▲．－x3＋ 3x2＋ t， x≤0，14.已知函数 f( x) = 若函数 y = f( f( x)) 恰3 x－ 1 ， x﹥ 0 ， A（第 13 B好有 4 个不一样的零点，则实数t 的取值范围是▲．题）二、解答题 :本大题共 6 小题 ,合计明、证明过程或演算步骤.90 分 .请在答题卡指定地区内作答,解答时应写出文字说15.(本小题满分14 分 )如图 ,在四棱锥P-ABCD 中,BA ⊥ AD ,CD ⊥ AD ,E 是棱 PD 上一点 ,AE ⊥ PD ,AE ⊥ AB .(1) 求证 : AB ∥平面 PCD ;P(2) 求证 : 平面 ADP⊥平面 PCD.EDCAB（第 15 题）在△ ABC 中 ,角 A ,B, C 的对边分别为 a,b,c 若 cos2 A +1=2 sin2A2.(1) 求角 A 的大小;π(2) 若 b =4, c=5, 求 sin(B+3 )的值.17.(本小题满分 14 分 )某企业准备设计一个精巧的心形巧克力盒子 ,它是由半圆 O 1、半圆 O 2 和正方形 ABCD 组成的 ,且 AB =8cm. 设计人员想在心形盒子表面上设计一个矩形的标签EFGH , 标签的此中两个极点 E ,F 在 AM 上 ,此外两个极点 G ,H 在 CN 上(M,N 分别是 AB ,CB 的中点 )设 EF 的中点 为 P , ∠ FO 1 P = θ,矩形 EFGH 的面积为 Scm 2.M BNF · ·(1) 写出 S 对于 θ的函数关系式 S(θ);GP··(2) 当 θ为什么值时 ,矩形 EFGH 的面积最大 ?O 1O 2E AHCD（第 17 题）18.(本小题满分 16 分 )如图 ,在平面直角坐标系xOy 中 ,已知椭圆 E: x 2 y2 2,离心率为 2a 2 +b 2 =1 ( a> b>0) 的短轴长为2.(1) 求椭圆 E 的标准方程 ;(2) 若直线 l 与椭圆 E 相切于点 P (点 P 在第一象限内 ), 与圆 x 2 + y 2=12 订交于点 A ,B, → →y且 AP =2 PB ,求直线 l 的方程 .APOxB（第 17 题）已知各项均为正数的两个数列 { a nna n+ 1+1a nn2 n2 n +1+ 1},{ b } 知足 a n +2 =a n + 1 － 1 ,2a =logb + log b且 a 1 = b 1 =1 .(1) 求证 : 数列 { a n } 为等差数列 ;(2) 求数列 { b n } 的通项公式 ;(3) 设数列 { a },{ b } 的前 n 项和分别为S ,T , 求使得等式 2S m + a m -36=T i 建立的有序nnnn数对 ( m,i )( m,i ∈ N ※) .20.(本小题满分 16 分 )已知函数 f( x)=( x -1)e x,g ( x)= a +ln x ,此中 e 是自然对数的底数 .(1) 若曲线 y= f( x )在 x=1 处的切线与曲线 y= g (x )也相切 . ①务实数 a 的值 ;②求函数 φ( x)= f( x )+e | g( x) | 的单一区间 ;1(2) 设 h( x)= bf ( x) － g( x )+ a, 求证 : 当 0< b< e 时 ,h( x) 恰巧有2个零点.数学Ⅱ附带题注意事项考生在答题前请仔细阅读本注意事项及各题答题要求:1.本试卷共 4 页,均为非选择题(第 21 题 ~第 23 题 ).本卷满分为考试结束后 ,请将本试卷和答题卡一并交回40 分,考试时间为30 分钟,2.答题前 ,请您务势必自己的姓名、准考据号用0.5 毫米黑色墨水的署名笔填写在答题卡的规定地点A．必做题部分3.请仔细查对监考员在答题卡上所枯贴的条形码上的姓名、准考据号与您自己能否符合4.作答试题一定用0.5 毫米黑色墨水的署名笔在答题卡的指定地点作答,在其余地点作答一律无效5.如需作图 ,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.21【选做題】此题包含 A 、 B 、C 三小题 ,请选定此中两小题,并在相应的答题地区内作答，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做 ,按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步聚A. [ 选修 4-2:矩阵与变换 ] (本小题满分10 分)x x′ a x, 试写出变换 T 对应的矩阵 A,并求出其逆矩阵A-1. 已知变换 T:→=2x +2yy y′B.[ 选修 4:坐标系与参数方程 ] (本小题满分 10 分 )在平面直角坐标系 xOy 中 ,已知直线 l 的参数方程x=1+ t(t 为参数 ), 曲线 C 的参数方程y=3t为x=2 m2(m 为参数 ). 若直线 l 与曲线 C 订交于点 A ,B , 求△ OAB 的面积 . y=2 mC.[ 选修 45:不等式选讲 ] (本小题满分10 分 )已知 a、 b、 c∈ R，且 a+ b+ c =3, a 2 + b2 +2 c 2 =6, 务实数 a 的取值范围 .【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分 ,合计 20 分 .请在答题卡指定地区内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10 分）如图 ,在直三校柱ABC－ A1B1C1中 , △ABC 是等直角三角形 ,∠ ACB=90 °,AB=4 2 ,M是 AB 的中点 ,且 A1M⊥ B1C．(1)求 A1A的长;(2)已知点 N 在棱 CC1上,若平面 B1AN 与平面 BCC1B1所成锐二面角的平面角的余弦值为10 ，试确立点 N 的地点．1C110 AB1NA CM（第 22 B 题）23.(本小题满分 10 分 )已知正整数 n ≥ 2, 会合 P ={ x|1 ≤ x≤ n, x∈ N }, A ,B , C 是会合 P 的 3 个非空子集，记a n , 为全部知足 A B, AU BU C=P 的有序会合对 (A ,B,C) 的个数 .(1) 2求 a ；(2) 求 a n。

2020年江苏高考仿真模拟卷数学 2020.4满分：150分 考试时间：120分钟一、填空题1．（5分）已知集合M ＝{x |x ＞2}，集合N ＝{x |x ≤1}，则M ∪N ＝__________． 2．（5分）已知复数z 满足z +2z =6+i ，则z 的实部为__________．3．（5分）已知一组数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6，则该组数据的方差是__________． 4．（5分）函数f （x ）＝lg （4x ﹣2x +1）的定义域为__________．5．（5分）将100粒大小一样的豆子随机撒入图中长3cm ，宽2cm 的长方形内，恰有30粒豆子落在阴影区域内，则阴影区域的面积约为__________cm 26．（5分）如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为__________．7．（5分）已知双曲线x 23−y 2b =1的两条渐近线与直线x =√3围成正三角形，则双曲线的离心率为__________．8．（5分）公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3是a 2与a 6的等比中项，S 3＝3，则S 9的值为__________．9．（5分）下面四个命题：其中所有正确命题的序号是__________． ①函数y ＝sin|x |的最小正周期为π；②在△ABC 中，若AB →⋅BC →＞0，则△ABC 一定是钝角三角形； ③函数y ＝2+log a （x ﹣2）（a ＞0且a ≠1）的图象必经过点（3，2）；④若命题“∃x ∈R ，x 2+x +a ＜0”是假命题，则实数a 的取值范围为[14，+∞)；⑤y ＝cos x ﹣sin x 的图象向左平移π4个单位，所得图象关于y 轴对称．10．（5分）四棱锥S ﹣ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面SAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，若∠SAB ∈[π3，2π3]，则四棱锥S ﹣ABCD 的体积的取值范围为__________．11．（5分）若直线y ＝ax +b 与曲线y ＝lnx +1相切，则ab 的最大值为__________． 12．（5分）设关于x 的不等式ax +b ＞0的解集为{x |x ＜2}，则关于x 的不等式ax+bx −5x−6≥0的解集为__________．13．（5分）如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝3，D ，E 与M ，N 分别是AB ，AC 的三等分点，且DN →•ME →=−1，则cos A ＝__________．14．（5分）函数y ＝f （x ）的定义域为[﹣2.1，2]，其图象如图所示，且f （﹣2.1）＝﹣0.96． （1）若函数y ＝f （x ）﹣k 恰有两个不同的零点，则k ＝__________．（2）已知函数g （x ）={2x +1，x ≤0x 3+2x −16，x ＞0，y ＝g [f （x ）]有__________个不同的零点．二、解答题15．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面P AD⊥平面ABCD，P A⊥PD，P A＝PD，E，F分别是AD，PB的中点．（1）求证：PE⊥CD；（2）求证：EF∥平面PCD；（3）求证：平面P AB⊥平面PCD．16．（14分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且S2＝2a2﹣2，a3＝a4﹣2a2．（1）求等比数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}为递增数列，数列{b n}是等差数列，且b2＝2，b4＝4；数列{a n b n}的前n项和为T n，求T n．17．（14分）随着现代社会的发展，我国对于环境保护越来越重视，企业的环保意识也越来越强．现某大型企业为此建立了5套环境监测系统，并制定如下方案：每年企业的环境监测费用预算定为1200万元，日常全天候开启3套环境监测系统，若至少有2套系统监测出排放超标，则立即检查污染源处理系统；若有且只有1套系统监测出排放超标，则立即同时启动另外2套系统进行1小时的监测，且后启动的这2套监测系统中只要有1套系统监测出排放超标，也立即检查污染源处理系统．设每个时间段（以1小时为计量单位）被每套系统监测出排放超标的概率均为p（0＜p ＜1），且各个时间段每套系统监测出排放超标情况相互独立．（Ⅰ）当p=12时，求某个时间段需要检查污染源处理系统的概率；（Ⅱ）若每套环境监测系统运行成本为300元/小时（不启动则不产生运行费用），除运行费用外，所有的环境监测系统每年的维修和保养费用需要100万元．现以此方案实施，问该企业的环境监测费用是否会超过预算（全年按9000小时计算）？并说明理由．18．（16分）已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左右焦点分别为F 1、F 2，左右顶点分别为A 、B ，上顶点为T ，且△TF 1F 2为等边三角形． （1）求此椭圆的离心率e ；（2）若直线y ＝kx +m （k ＞0）与椭圆交与C 、D 两点（点D 在x 轴上方），且与线段F 1F 2及椭圆短轴分别交于点M 、N （其中M 、N 不重合），且|CM |＝|DN |． ①求k 的值；②设AD 、BC 的斜率分别为k 1，k 2，求k 1k 2的取值范围．19．（16分）定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ）=12•f '（1）•e 2x ﹣2f （0）•x +x 2，g （x ）＝e x ﹣a （x ﹣1）．（1）求函数f （x ）的解析式； （2）求函数g （x ）的单调区间；（3）给出定义：若s ，t ，r 满足|s ﹣r |＜|t ﹣r |，则称s 比t 更接近于r ，当x ≥1时，试比较ex和e x﹣1+3哪个更接近Inx ，并说明理由．20．（16分）设数列{a n }，{b n }，{c n }的前n 项和分别为A n ，B n ，∁n ，且对任意的都有A n ＝B n +∁n ，已知A n =n2（a n +1）（n ∈N *），数列{b n }和{c n }是公差不为0的等差数列，且各项均为非负整数． （1）求证：数列{a n }是等差数列；（2）若数列{a n }的前4项删去1项后按原来顺序成等比数列，求所有满足条件的数列{a n }； （3）若a 2＝4，且B n ＞∁n ，n ∈N *，求数列{b n }，{c n }的通项公式．21．（10分）已知a ，b ∈R ，向量α→=[−12]是矩阵A =[a 1−1b ]的属于特征值﹣1的一个特征向量．（1）求a ，b 的值；（2）若曲线C 1：x ﹣2y +3＝0在矩阵A 对应变换作用下得到另一曲线C 2，求C 2的方程．22．（10分）在平面直角坐标系x 0y 中，直线l 1的参数方程为{x =t −√3y =kt （t 为参数），直线l 2的参数方程为{x =√3−my =m3k（m 为参数）．设直线l 1与l 2的交点为P ．当k 变化时点P 的轨迹为曲线C 1．（Ⅰ）求出曲线C 1的普通方程；（Ⅱ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√2，点Q 为曲线C 1上的动点，求点Q 到直线C 2的距离的最大值．23．（选做题）已知a ，b ，c ∈（0，+∞），且1a+2b+3c=2，求a +2b +3c 的最小值及取得最小值时a ，b ，c 的值．24．（10分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AD =12AB ＝1，点E 、M 分别在线段AB 、PC 上，且AE AB=PM PC=λ，其中0＜λ＜1，连接CE ，延长CE 与DA 的延长线交于点F ，连接PE ，PF ，ME ． （Ⅰ）求证：ME ∥平面PFD ；（Ⅱ）若λ=12时，求二面角A ﹣PE ﹣F 的正弦值；（Ⅲ）若直线PE 与平面PBC 所成角的正弦值为√55时，求λ值．25．（10分）一种掷骰子走跳棋的游戏：棋盘山标有第0站、第1站、第2站、…、第100站，共101站，设棋子跳到第n站的概率为P n，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次，若掷出奇数点，则棋子向前跳动一站；若掷出偶数点，则向前跳动两站，直到棋子跳到第99站（获胜）或100站（失败）时，游戏结束（骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的玩具，它的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6）．（1）求P0，P1，P2，并根据棋子跳到第n站的情况，试用P n﹣2和P n﹣1表示P n；（2）求证：{P n﹣P n﹣1}（n＝1，2…，100）是等比数列；（3）求玩该游戏获胜的概率．2020年江苏高考仿真模拟卷数学2020.4满分：150分考试时间：120分钟一、填空题1．（5分）已知集合M＝{x|x＞2}，集合N＝{x|x≤1}，则M∪N＝__________．【解析】∵M＝{x|x＞2}，N＝{x|x≤1}，∴M∪N＝{x|x≤1或x＞2}．故答案为：{x|x≤1或x＞2}．2．（5分）已知复数z满足z+2z=6+i，则z的实部为__________．【解析】设z＝a+bi，（a，b∈R）．∵复数z满足z+2z=6+i，∴3a﹣bi＝6+i，可得：3a＝6，﹣b＝1，解得a＝2，b＝1．则z的实部为2．故答案为：2．3．（5分）已知一组数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6，则该组数据的方差是__________．【解析】数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6的平均数为：x=15×（4.8+4.9+5.2+5.5+5.6）＝5.2，∴该组数据的方差为：S2=15×[（4.8﹣5.2）2+（4.9﹣5.2）2+（5.2﹣5.2）2+（5.5﹣5.2）2+（5.6﹣5.2）2]＝0.1．故答案为：0.1．4．（5分）函数f（x）＝lg（4x﹣2x+1）的定义域为__________．【解析】函数f（x）＝lg（4x﹣2x+1），令4x﹣2x+1＞0，即（2x）2﹣2•2x＞0，解得2x＞2，即x＞1，所以f（x）的定义域为（1，+∞）．故答案为：（1，+∞）．5．（5分）将100粒大小一样的豆子随机撒入图中长3cm，宽2cm的长方形内，恰有30粒豆子落在阴影区域内，则阴影区域的面积约为__________cm2【解析】设阴影部分的面积为x，由概率的几何概型知，30100=x2×3，解得x＝1.8．故答案为：1.8．6．（5分）如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为__________．【解析】模拟执行伪代码，可得：S ＝0+11×2+12×3+⋯+110×11=（1−12）+（12−13）+…+（110−111）＝1−111=1011．故答案为：1011．7．（5分）已知双曲线x 23−y 2b =1的两条渐近线与直线x =√3围成正三角形，则双曲线的离心率为__________． 【解析】双曲线x 23−y 2b =1的两条渐近线与直线x =√3围成正三角形，所以双曲线的渐近线的倾斜角为30°和150°，所以√3=√33，所以b ＝1，所以双曲线的离心率为：e =ca =3=2√33． 故答案为：2√33． 8．（5分）公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3是a 2与a 6的等比中项，S 3＝3，则S 9的值为__________．【解析】公差d 不为零的等差数列{a n }，若a 3是a 2与a 6的等比中项， 可得a 2a 6＝a 32，即（a 1+d ）（a 1+5d ）＝（a 1+2d ）2，化为d ＝﹣2a 1，又S 3＝3，可得3a 1+3d ＝3，解得a 1＝﹣1，d ＝2，则S 9＝9a 1+36d ＝﹣9+72＝63， 故答案为：63．9．（5分）下面四个命题：其中所有正确命题的序号是__________． ①函数y ＝sin|x |的最小正周期为π；②在△ABC 中，若AB →⋅BC →＞0，则△ABC 一定是钝角三角形； ③函数y ＝2+log a （x ﹣2）（a ＞0且a ≠1）的图象必经过点（3，2）；④若命题“∃x ∈R ，x 2+x +a ＜0”是假命题，则实数a 的取值范围为[14，+∞)； ⑤y ＝cos x ﹣sin x 的图象向左平移π4个单位，所得图象关于y 轴对称．【解析】对于①，函数y ＝sin|x |={sinx ，x ≥0−sinx ，x ＜0，该函数不是周期函数，①错误；对于②，△ABC 中，若AB →⋅BC →＞0，则∠ABC 的外角是锐角， 所以∠ABC 是钝角，△ABC 是钝角三角形，②正确； 对于③，令x ﹣2＝1，解得x ＝3，此时y ＝2+log a 1＝2；所以函数y ＝2+log a （x ﹣2）（a ＞0且a ≠1）的图象必过点（3，2），③正确； 对于④，命题“∃x ∈R ，x 2+x +a ＜0”是假命题时，它的否命题“∀x ∈R ，x 2+x +a ≥0”是真命题，所以△＝1﹣4a ≤0，解得a ≥14， 所以实数a 的取值范围是[14，+∞），④正确；对于⑤，y ＝cos x ﹣sin x =√2cos （x +π4），y 的图象向左平移π4个单位，得y =√2cos （x +π2）=−√2sin x 的图象，所得图象不关于y 轴对称，⑤错误． 综上知，正确的命题序号是②③④． 故答案为：②③④．10．（5分）四棱锥S ﹣ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面SAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，若∠SAB ∈[π3，2π3]，则四棱锥S ﹣ABCD 的体积的取值范围为__________．【解析】如图，分别取AD 与BC 的中点M 、N ，连接MS ，MN ． 由题意知AD ⊥平面SMN ，作SO ⊥MN ，垂足为O ．则SO ⊥AD ． 由AD ∩MN ＝M ，∴SO ⊥平面ABCD ，即四棱锥S ﹣ABCD 的高为SO ，过O 作OE ∥AD 交AB 于点E ，连接SE ．由题意知∠SEA ＝90°，其中SA =√2． 当∠SAB ∈[π3，2π3]时，sin ∠SAB ∈[√32，1]，SE ＝SA ，sin ∠SAB ∈[√62，√2]，EO ＝1． ∴SO =√SE 2−1∈[√22，1]，∴V S ﹣ABCD =13×4×SO∈[2√23，43]．故答案为：[2√23，43]．11．（5分）若直线y ＝ax +b 与曲线y ＝lnx +1相切，则ab 的最大值为__________．【解析】设切点为（x 0，lnx 0+1），则切线为y =1x 0(x −x 0)+lnx 0+1=1x 0x +lnx 0，所以1x 0=a ，lnx 0＝b ，则ab =lnx 0x 0，令g （x ）=lnx x ，所以g ′（x ）=1−lnxx 2， 所以g （x ）在（0，e ）上单调递增，在（e ，+∞）上单调递减， 则g(x)max =g(e)=1e ，即ab 的最大值为1e，故答案为：1e．12．（5分）设关于x 的不等式ax +b ＞0的解集为{x |x ＜2}，则关于x 的不等式ax+bx 2−5x−6≥0的解集为__________．【解析】∵不等式ax +b ＞0的解集为{x |x ＜2}，∴2是方程ax +b ＝0的解，且a ＜0， ∴2a +b ＝0（a ＜0），ax+b x 2−5x−6≥0⇒ax−2ax 2−5x−6≥0⇒a （x ﹣2）（x ﹣6）（x +1）≥0且x ≠6，x ≠﹣1由标根法得x ＜﹣1或2≤x ＜6．∴原不等式的解集为：{x |x ＜﹣1或2≤x ＜6}． 故答案为：{x |x ＜﹣1或2≤x ＜6}．13．（5分）如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝3，D ，E 与M ，N 分别是AB ，AC 的三等分点，且DN →•ME →=−1，则cos A ＝__________．【解析】以边BC 所在直线为x 轴，以边BC 的中垂线为y 轴，建立如图所示平面直角坐标系， 设A （0，b ），B （﹣a ，0），C （a ，0），且D ，E 与M ，N 分别是AB ，AC 的三等分点， ∴D(−a 3，2b 3)，E(−2a 3，b 3)，M(a 3，2b 3)，N(2a 3，b3)，∴DN →=(a ，−b 3)，ME →=(−a ，−b3)，且DN →⋅ME →=−1， ∴−a 2+b29=−1①，又AC ＝3，∴a 2+b 2＝9②，联立①②得，a 2=95，在△ABC 中，由余弦定理得，cosA =9+9−4a 22×3×3=18−36518=35．故答案为：35．14．（5分）函数y ＝f （x ）的定义域为[﹣2.1，2]，其图象如图所示，且f （﹣2.1）＝﹣0.96． （1）若函数y ＝f （x ）﹣k 恰有两个不同的零点，则k ＝__________．（2）已知函数g （x ）={2x +1，x ≤0x 3+2x −16，x ＞0，y ＝g [f （x ）]有__________个不同的零点．【解析】（1）∵y ＝f （x ）﹣k 恰有两个不同的零点，∴y ＝f （x ）和y ＝k 图象有两个不同的交点． y ＝f （x ）的图象如图：∴k ＝4或k ＝0． （2）∵g （x ）={2x +1，x ≤0x 3+2x −16，x ＞0，当x ≤0时，2x +1＝0，得x =−12；此时f （x ）=−12，由图可知有一个解；当x ＞0时，g （x ）＝x 3+2x ﹣16单调递增， ∵g （2）＝﹣4，g （3）＝17，∴g （x ）在（2，3）有一个零点x 0，即f （x ）＝x 0∈（2，3） 由图可知有三个解，∴共有四个解． 故答案为4或0；4．二．解答题15．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面P AD⊥平面ABCD，P A⊥PD，P A＝PD，E，F分别是AD，PB的中点．（1）求证：PE⊥CD；（2）求证：EF∥平面PCD；（3）求证：平面P AB⊥平面PCD．【解析】（1）∵P A＝PD，E是AD的中点，∴PE⊥AD，∵平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，∴PE⊥平面ABCD，∵CD⊂平面ABCD，∴PE⊥CD．（2）取BC中点G，连结EG，FG，∵E，F分别是AD，PB的中点，∴FG∥PC，EF∥DC，∵FG∩EG＝G，∴平面EFG∥平面PCD，∵EF⊂平面EFG，∴EF∥平面PCD．（3）∵底面ABCD为矩形，∴CD⊥AD，由（1）得CD⊥PE，又AD∩PE＝E，∴CD⊥平面P AD，∵AP⊂平面P AD，∴CD⊥AP，∵P A⊥PD，PD∩CD＝D，∴P A⊥平面PCD，∵P A⊂平面P AB，∴平面P AB⊥平面PCD．16．（14分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且S2＝2a2﹣2，a3＝a4﹣2a2．（1）求等比数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}为递增数列，数列{b n}是等差数列，且b2＝2，b4＝4；数列{a n b n}的前n项和为T n，求T n．【解析】（1）等比数列{a n}中有a3＝a4﹣2a2，则q2﹣q﹣2＝0，所以q＝2或﹣1，因为S2＝2a2﹣2，所以a1+a2＝2a2﹣2，所以a1＝a1q﹣2，当q＝2时，a1＝2，此时a n=2n；当q＝﹣1时，a1＝﹣1，此时a n=(−1)n；（2）因为数列{a n}为递增数列，所以a n=2n，数列{b n}是等差数列，且b2＝2，b4＝4，公差设为d，则有b4﹣b2＝2d＝4﹣2＝2，所以d＝1，所以b n＝b2+（n﹣2）d＝2+（n﹣2）×1＝n，即b n＝n，所以a n b n=n⋅2n，所以T n=1×2+2×22+3×23+⋯+n×2n，2T n=1×22+2×23+3×24+⋯+n×2n+1，两式相减得−T n=2+22+23+⋯+2n−n⋅2n+1，−T n=2−2n+11−2−n⋅2n+1=(1−n)⋅2n+1−2，即T n=(n−1)⋅2n+1+2．17．（14分）随着现代社会的发展，我国对于环境保护越来越重视，企业的环保意识也越来越强．现某大型企业为此建立了5套环境监测系统，并制定如下方案：每年企业的环境监测费用预算定为1200万元，日常全天候开启3套环境监测系统，若至少有2套系统监测出排放超标，则立即检查污染源处理系统；若有且只有1套系统监测出排放超标，则立即同时启动另外2套系统进行1小时的监测，且后启动的这2套监测系统中只要有1套系统监测出排放超标，也立即检查污染源处理系统．设每个时间段（以1小时为计量单位）被每套系统监测出排放超标的概率均为p（0＜p ＜1），且各个时间段每套系统监测出排放超标情况相互独立．（Ⅰ）当p=12时，求某个时间段需要检查污染源处理系统的概率；（Ⅱ）若每套环境监测系统运行成本为300元/小时（不启动则不产生运行费用），除运行费用外，所有的环境监测系统每年的维修和保养费用需要100万元．现以此方案实施，问该企业的环境监测费用是否会超过预算（全年按9000小时计算）？并说明理由．【解析】（Ⅰ）∵某个时间段在开启3套系统就被确定需要检查污染源处理系统的概率为C 32(12)3+C 33(12)3=12，某个时间段在需要开启另外2套系统才能确定需要检查污染源处理系统的概率为C 31(12)3[1−(12)2]=932，∴某个时间段需要检查污染源处理系统的概率为12+932=2532；（Ⅱ）设某个时间段环境监测系统的运行费用为X 元，则X 的可能取值为900，1500，∵P(X =1500)=C 31p(1−p)2，P(X =900)=1−C 31p(1−p)2，∴E(X)=900×[1−C 31p(1−p)2]+1500×C 31p(1−p)2=900+1800p （1﹣p ）2，令g （p ）＝p （1﹣p ）2，p ∈（0，1），则g '（p ）＝（1﹣p ）2﹣2p （1﹣p ）＝（3p ﹣1）（p ﹣1）， 当p ∈(0，13)时，g '（p ）＞0，g （p ）在(0，13)上单调递增； 当p ∈(13，1)时，g '（p ）＜0，g （p ）在上(13，1)单调递减， ∴g （p ）的最大值为g(13)=427，∴实施此方案，最高费用为100+9000×(900+1800×427)×10−4=1150（万元）， ∵1150＜1200，故不会超过预算． 18．（16分）已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左右焦点分别为F 1、F 2，左右顶点分别为A 、B ，上顶点为T ，且△TF 1F 2为等边三角形． （1）求此椭圆的离心率e ；（2）若直线y ＝kx +m （k ＞0）与椭圆交与C 、D 两点（点D 在x 轴上方），且与线段F 1F 2及椭圆短轴分别交于点M 、N （其中M 、N 不重合），且|CM |＝|DN |． ①求k 的值；②设AD 、BC 的斜率分别为k 1，k 2，求k 1k 2的取值范围．【解析】（1）设x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的半焦距为c ，由△TF 1F 2为等边三角形．得a ＝2c ，即椭圆的离心率e =ca =12；（2）①设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），由y ＝kx +m ，可知M(−mk ，0)，N （0，m ）， 联立y ＝kx +m 与x 2a 2+y 2b 2=1，整理得（a 2k 2+b 2）x 2+2kma 2x +a 2m 2﹣a 2b 2＝0，其中△＝4a 2b 2（a 2k 2+b 2﹣m 2）＞0， 易值，x 1+x 2＝x M +x N ，即−2kma 2a 2k 2+b2=−mk，解得k 2=b 2a2=1−e 2=34，因为，k ＞0，所以k =√32，②由M 在线段F 1F 2，且M ，N 不重合， 可知，x M =−m k =−amb ∈[−c ，0)∪(0，c]， 从而m ∈[−bc a ，0)∪(0，bca ]， 即k 1=y 2x 2+a ，k 1=y1x 1−a，并结合在曲线上，则有， 所以k 12k 22=y 22y 12⋅(x 1−a)2(x 2+a)2=a 2−x 22a−x 12⋅(x 1−a)2(x 2+a)2=(x 1−a )(x 2−a )(x 1+a )(x 2+a )=x 1x 2−a (x 1+x 2)+a 2x 1x 2+a (x 1+x 2)+a 2=(m+b)2(m−b)2，从而可得，k 1k 2=−m+b m−b =−1−2b m−b∈[a−c a+c ，1)∪(1，a+ca−c]， 所以k 1k 2的取值范围为[13，1)∪(1，3]．19．（16分）定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ）=12e2•f '（1）•e 2x ﹣2f （0）•x +x 2，g （x ）＝e x ﹣a （x ﹣1）．（1）求函数f （x ）的解析式； （2）求函数g （x ）的单调区间；（3）给出定义：若s ，t ，r 满足|s ﹣r |＜|t ﹣r |，则称s 比t 更接近于r ，当x ≥1时，试比较ex和e x﹣1+3哪个更接近Inx ，并说明理由．【解析】（1）∵f （x ）=12e2•f '（1）•e 2x ﹣2f （0）•x +x 2， ∴f ′（x ）＝f '（1）•e 2x ﹣2﹣2f （0）+2x ，令x ＝1可得，f ′（1）＝f '（1）﹣2f （0）+2，可得f （0）＝1， 由f （x ）=12e 2•f '（1）•e 2x ﹣2f （0）•x +x 2，可得f （0）=12e 2•f '（1）＝1， ∴f ′（1）＝2e 2，∴f （x ）＝e 2x ﹣2x +x 2，（2）∵g （x ）＝e x ﹣a （x ﹣1）．∴g ′（x ）＝e x ﹣a ，①当a≤0时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，②当a＞0时，当x＞lna，g′（x）＞0，g（x）单调递增，x＜lna，g′（x）＜0，g（x）单调递减，（3）设p（x）=ex−lnx，q（x）＝e x﹣1﹣lnx+3，易得p（x）在[1，+∞）上单调递减，故当e≥x≥1时，p（x）≥p（e）＝0，当x＞e时，p（x）＜0，而q′（x）=e x−1−1 x，q′′（x）=e x−1+12＞0，故q′（x）在[1，+∞）单调递增，q′（x）≥q′（1）＝0，则q（x）在[1，+∞）上单调递增，q（x）≥q（1）＝4＞0，①1≤x≤e时，|p（x）|﹣|q（x）|＝p（x）﹣q（x）=e x−e x−1−3=m（x），∴m′（x）=−ex2−e x−1＜0，故m（x）单调递减，m（x）≤m（1）＝e﹣4＜0，∴|p（x）|＜|q（x）|即ex比e x﹣1+3更接近lnx，②x＞e时，|p（x）|﹣|q（x）|＝﹣p（x）﹣q（x）=−e x−e x−1−3+2lnx＜﹣e x﹣1+2lnx﹣3＝n（x），∴n′（x）＝﹣e x﹣1+2x，n′′（x）＝﹣e x﹣1−2x2＜0，∴n′（x）单调递减，n′（x）＜n′（e）＜0，故n（x）单调递减，n（x）＜n（e）＜0，∴|p（x）|＜|q（x）|，即ex比e x﹣1+3更接近lnx，综上可得，当x≥1时，ex比e x﹣1+3更接近lnx，20．（16分）设数列{a n}，{b n}，{c n}的前n项和分别为A n，B n，∁n，且对任意的都有A n＝B n+∁n，已知A n=n2（a n+1）（n∈N*），数列{b n}和{c n}是公差不为0的等差数列，且各项均为非负整数．（1）求证：数列{a n}是等差数列；（2）若数列{a n}的前4项删去1项后按原来顺序成等比数列，求所有满足条件的数列{a n}；（3）若a2＝4，且B n＞∁n，n∈N*，求数列{b n}，{c n}的通项公式．【解析】（1）∵A n=n2（a n+1），①∴A n+1=n+12(a n+1+1)，②②﹣①得：2a n+1＝（n+1）a n+1﹣na n+1，即（n﹣1）a n+1＝na n﹣1，③na n+2＝（n+1）a n+1﹣1，④④﹣③得：2na n+1＝na n+2+na n，即2a n+1＝a n+2+a n，∵n∈N*，∴数列{a n }是等差数列；（2）解：在A n =n 2（a n +1）中，令n ＝1，得a 1＝1， 设数列{a n }的公差为d ，则a n ＝1+（n ﹣1）d ，∵数列{a n }的前4项删去1项后按原来顺序成等比数列，∴有：①若删去a 1或a 4，剩下的三项连续，若成等比数列，则d ＝0，则数列的通项公式为a n ＝1；②若删去a 2，即a 1，a 3，a 4成等比数列，则（1+2d ）2＝1×（1+3d ），解得d ＝0或d =−14， 则数列{a n }的通项公式为a n ＝1或a n =5−n4； ③若删去a 3，即a 1，a 2，a 4成等比数列，则（1+d ）2＝1×（1+3d ），解得d ＝0或d ＝1． 则数列{a n }的通项公式为a n ＝1或a n ＝n ． 综上所述，满足条件的数列{a n }有a n ＝1或a n =5−n4或a n ＝n ； （3）解：A 2=a 1+a 2=a 1+4=22×(4+1)，则a 1＝1，a n ＝3n ﹣2， ∵对任意n ∈N *，都有A n ＝B n +∁n ，∴对任意n ∈N *，都有a n ＝b n +c n ， 设数列{b n }，{c n }的公差分别为d 1，d 2，则 b 1+（n ﹣1）d 1+c 1+（n ﹣1）d 2＝3n ﹣2，n ∈N *， ∴{d 1+d 2=3b 1+c 1−d 1−d 2=−2，即{d 1+d 2=3b 1+c 1=1，① ∵对任意n ∈N *，都有B n ＞∁n ，∴nb 1+n(n−1)2d 1＞nc 1+n(n−1)2d 2， 整理得：d 1−d 22n 2+(b 1−c 1−d 1−d 22)n ＞0，n ∈N *，∴d 1−d 22≥0，且由n ＝1可得b 1﹣c 1＞0，②由数列{b n }和{c n }的各项均为非负整数， ∴由②得d 1≥d 2＞0，b 1＞c 1≥0，③ 由①③得{b 1=1c 1=0且{d 1=2d 2=1．∴b n ＝2n ﹣1，c n ＝n ﹣1．21．（10分）已知a ，b ∈R ，向量α→=[−12]是矩阵A =[a 1−1b ]的属于特征值﹣1的一个特征向量．（1）求a ，b 的值；（2）若曲线C 1：x ﹣2y +3＝0在矩阵A 对应变换作用下得到另一曲线C 2，求C 2的方程．【解析】（1）由向量α→=[−12]是矩阵A =[a 1−1b ]的属于特征值﹣1的一个特征向量，得[a 1−1b ] [−12]=−1×[−12]，所以﹣a +2＝1，1+2b ＝﹣2，解得a ＝1，b =−32； （2）由（1）得A =[11−1−32]， 设点P （x ，y ）为曲线C 1的任意一点，点P 在矩阵A 的变换下得到点P ′（x 0，y 0）， 则[11−1−32] [x y ]=[x +y −x −32y ]=[x 0y 0]，所以x ＝3x 0+2y 0，y ＝﹣2x 0﹣2y 0，代入C 1得7x 0+6y 0+3＝0， 即有C 2：7x +6y +3＝022．（10分）在平面直角坐标系x 0y 中，直线l 1的参数方程为{x =t −√3y =kt （t 为参数），直线l 2的参数方程为{x =√3−my =m3k（m 为参数）．设直线l 1与l 2的交点为P ．当k 变化时点P 的轨迹为曲线C 1．（Ⅰ）求出曲线C 1的普通方程；（Ⅱ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√2，点Q 为曲线C 1上的动点，求点Q 到直线C 2的距离的最大值． 【解析】（Ⅰ）直线l 1的参数方程为{x =t −√3y =kt （t 为参数），转换为直角坐标方程为y =k(x +√3)①．直线l 2的参数方程为{x =√3−m y =m3k（m 为参数）．转换为直角坐标方程为y =13k (√3−x)②． 所以①×②得到x 23+y 2=1（y ≠0）．（Ⅱ）直线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√2，转换为直角坐标方程为x +y ﹣6＝0． 设曲线C 1的上的点Q （√3cosθ，sinθ）到直线x +y ﹣8＝0的距离d =|√3cosθ+sinθ−6|2=|2sin(θ+π3)−6|√2，当sin(θ+π3)=−1时，d max =82=4√2． 23．（选做题）已知a ，b ，c ∈（0，+∞），且1a+2b +3c=2，求a +2b +3c 的最小值及取得最小值时a ，b ，c 的值．【解析】由于(1a +2b +3c )(a +2b +3c )=[(√1a)2+(√2b)2+(√3c)2][(√a)2+(√2b)2+(√3c)2]≥(√1a √a +√2b √2b +√3c √3c)2=36（5分） 又1a +2b +3c=2，∴a +2b +3c ≥18，当且仅当a ＝b ＝c ＝3时等号成立当a ＝b ＝c ＝3时，a +2b +3c 取得最小值18 （10分）24．（10分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AD =12AB ＝1，点E 、M 分别在线段AB 、PC 上，且AEAB=PM PC=λ，其中0＜λ＜1，连接CE ，延长CE 与DA 的延长线交于点F ，连接PE ，PF ，ME ． （Ⅰ）求证：ME ∥平面PFD ；（Ⅱ）若λ=12时，求二面角A ﹣PE ﹣F 的正弦值； （Ⅲ）若直线PE 与平面PBC 所成角的正弦值为√55时，求λ值．【解析】（Ⅰ）在线段PD 上取一点N ，使得PN PD=λ，∵PN PD=λ=PM PC，∴MN ∥DC 且MN =1λDC ，∵AEAB=λ，∴AE =1λAB ，AB ∥DC 且AB ＝DC ，∴且AE ＝MN ，∴四边形为平行四边形，∴ME ∥AN ， 又∵AN ⊂平面PFD ，ME ⊄平面PFD ，∴ME ∥平面PFD ．（Ⅱ）以A 为坐标原点，分别以AF ，AB ，AP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A （0，0，0），P （0，0，1），B （0，2，0），C （﹣1，2，0），D （﹣1，0，0）， ∵λ=12，∴E （0，1，0），F （1，0，0）设平面PEA 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)， PE →=(0，1，−1)，AP →=(0，0，1)，{n →⋅PE →=y −z =0n →⋅AP →=z =0，令z ＝1，∴y ＝1，∴m →=(0，1，1)， 设平面PEF 的一个法向量为m →=(x ，y ，z)，PE →=(0，1，−1)，PF →=(1，0，−1)，{m →⋅PE →=y −z =0m →⋅PF →=x −z =0， 令z ＝1，∴x ＝1，y ＝1，∴m →=(1，1，1)，∴cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →|⋅|n →|=2⋅3=√33，sin ＜m →，n →＞=√1−cos 2＜m →，n →＞=√63，二面角A ﹣PE ﹣F 的正弦值为√63．（ III ）令E （0，h ，0），0≤h ≤2，PE →=(0，ℎ，−1)，设平面PEA 的一个法向量为n 1→=(x ，y ，z)，PB →=(0，2，−1)，BC →=(−1，0，0)，{n 1→⋅PB →=2y −z =0n 1→⋅PB →=−x =0，令y ＝1，∴z ＝1，∴n 1→=(0，1，2)由题意可得：|cos ＜PE →，n 1→＞|=|PE →⋅n 1→||PE →|⋅|n 1→|=|ℎ−2|√ℎ+1⋅√5=√55，∴ℎ=34，∴AE =34，λ=AE AB =38．25．（10分）一种掷骰子走跳棋的游戏：棋盘山标有第0站、第1站、第2站、…、第100站，共101站，设棋子跳到第n 站的概率为P n ，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次，若掷出奇数点，则棋子向前跳动一站；若掷出偶数点，则向前跳动两站，直到棋子跳到第99站（获胜）或100站（失败）时，游戏结束（骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的玩具，它的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6）．（1）求P0，P1，P2，并根据棋子跳到第n站的情况，试用P n﹣2和P n﹣1表示P n；（2）求证：{P n﹣P n﹣1}（n＝1，2…，100）是等比数列；（3）求玩该游戏获胜的概率．【解析】（1）根据题意，棋子跳到第n站的概率为p n，则p0即棋子跳到第0站的概率，则p0＝1，p1即棋子跳到第1站的概率，则p1=1 2，p2即棋子跳到第2站的概率，有两种情况，即抛出2次奇数或1次偶数，则p2=12p0+12p1=34；故跳到第n站p n有两种情况，①在第n﹣2站抛出偶数，②在第n﹣1站抛出奇数；所以p n=12p n−1+12p n−2；（2）证明：∵p n=12p n−1+12p n−2，∴p n−p n−1=−12(p n−1−p n−2)，又∵p1−p0=−1 2；∴数列{P n﹣P n﹣1}（n＝1，2…，100）是以−12为首项，−−12为公比的等比数列．（3）玩游戏获胜即跳到第99站，由（2）可得p n−p n−1=(−12)n（1≤n≤100），∴p1−p0=−1 2，p2−p1=14，p3−p2=−18，p99−p98=(−12)99，∴p99−p0=(−12)×[1−(−12)99]1−(−12)，∴p99=23[1−(12)100]．。

2020年江苏省苏州市高考数学模拟试卷（3月份）答案解析一．填空题（共14题，共70分）1．已知A＝{1，3，4}，B＝{3，4，5}，则A∩B＝{3，4}．【解答】解：∵A＝{1，3，4}，B＝{3，4，5}，∴A∩B＝{3，4}．故答案为：{3，4}2．若复数z满足（1+2i）z＝﹣3+4i（i是虚数单位），则|z|＝．【解答】解：因为复数z满足（1+2i）z＝﹣3+4i（i是虚数单位），∴z＝＝＝1+2i；∴|z|＝＝；故答案为：．3．执行如图所示的算法流程图，输出的S的值是7．【解答】解：n＝1时，S＝2×0+1＝1n＝2时，S＝2×1+1＝3n＝1时，S＝2×3+1＝7因为n≤3时停止循环．故S＝7．故答案为：74．若数据2，x，2，2的方差为0，则x＝2．【解答】解：因为数据2，x，2，2的方差为0，由其平均数为，得到＝0，解得x＝2；故答案为：2．5．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是．【解答】解：由题意知，本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从中随机取出2个小球，共有C52＝10种结果，满足条件的事件是取出的小球标注的数字之和为3或6，可以列举出所有的事件：1，2；1，5；2，4，共有3种结果，根据古典概型概率公式得到P＝，故答案为：6．先把一个半径为5，弧长为6π的扇形卷成一个体积为最大的空心圆锥，再把一个实心的铁球融化为铁水倒入此圆锥内（假设圆锥的侧面不渗漏，且不计损耗），正好把此空心的圆锥浇铸成了一个体积最大的实心圆锥，则此球的半径为．【解答】解：由题意可知，圆锥的底面周长6π＝2π•OA，OA＝5，所以OA＝3，PO＝＝4，所以圆锥的体积V＝＝12π，设球的半径r，则＝12π，所以r＝．故答案为：7．若双曲线的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p的值为6．【解答】解：由双曲线，得a2＝5，b2＝4，则，则双曲线的左焦点为（﹣3，0），抛物线y2＝2px的准线方程为x＝﹣，则，p＝6．故答案为：6．8．在△ABC所在的平面上有一点P，满足，则＝．【解答】解：由可得，则．＝||||cos∠APB，＝||||cos（π﹣∠APB）＝﹣2||||cos∠APB 则＝﹣．故答案为：﹣．9．已知直线y＝kx﹣2与曲线y＝xlnx相切，则实数k的值为1+ln2．【解答】解：设切点为（x0，x0lnx0），对y＝xlnx求导数，得y′＝lnx+1，∴切线的斜率k＝lnx0+1，故切线方程为y﹣x0lnx0＝（lnx0+1）（x﹣x0），整理得y＝（lnx0+1）x﹣x0，与直线y＝kx﹣2比较，得：，故k＝1+ln2，故答案为：1+ln2．10．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0），直线y＝b与椭圆C交于A，B两点，若OA ⊥OB，则椭圆离心率的值等于．【解答】解：联立方程组可得＝，所以x＝a，所以A（﹣a，），B（，），因为OA⊥OB，所以＝0，所以﹣a a+（）2＝0，可得a2＝2b2，所以离心率e＝＝＝故答案为：11．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，a12＝2，且当n≥2时，为S n和S n﹣1的等差中项，则S32的值为8【解答】解：正项数列{a n}的前n项和为S n，a12＝2，且当n≥2时，为S n和S n﹣1的等差中项，可得S n+S n﹣1＝＝，即为S n2﹣S n﹣12＝2，可得{S n2}是首项、公差均为2的等差数列，即有S n2＝2n，由题意可得S n＝，n∈N*，则S32＝＝8，故答案为：8．12．设α，θ为锐角，tanθ＝a tanα（a＞1），若θ﹣α的最大值为，则实数a的值为．【解答】解：tan（θ﹣α）＝＝＝＝，因为α，为锐角，所以（当且仅当时，取等号），因为a＞1，所以≤，所以tan（θ﹣α）最大值为，又因为θ﹣α的最大值为，所以tan＝，即2＝a﹣1，解得a＝3+2，故答案为：3+2．13．在平面直角坐标系xOy中，已知A，B为圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2＝4上两个动点，且AB＝2．若直线l：y＝﹣x上存在点P，使得+＝，则实数a的取值范围为．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点M（，），圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2＝4的圆心C（a，2），半径r＝2，圆心C（a，2）到AB的距离|CM|＝，直线l：y＝﹣x上存在点P，使得+＝，设P（x，﹣x），则（x1﹣x，y1+x）+（x2﹣x，y2+x）＝（a，2），∴，得，即M（x+，﹣x+1），∴|CM|＝，整理，得2x2+（2﹣a）x+，∵直线l：y＝﹣x上存在点P，使得+＝，∴△＝≥0，解得．故答案为：．14．已知函数f（x）＝e x，若函数g（x）＝（x﹣2）2f（x）﹣+2a|x﹣2|有6个零点，则实数a的取值范围为．【解答】解：对于g（x）＝0，令t＝|x﹣2|e x，∴t2+2at﹣a＝0①有两个正根t1，t2．做出t＝|x﹣2|e x的图象如右图：（∵，∴，∴x≥2时，t′＞0；1＜x＜2时，t′＜0；x＜1时，t′＞0．∴该函数在（﹣∞，1）递增，在（1，2）上递减，在（2，+∞）递增，且t＞0恒成立．且当y＝t i与t＝|x﹣2|e x各有三个交点时，满足题意，据图可知方程①在（0，e）上有两个不等实根时即可，令h（t）＝t2+2at﹣a，∴，解得．故答案为：．二、解答题（共6题，共计90分）15.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin（A﹣B）+sin C＝1．（1）求sin A cos B的值；（2）若a＝2b，求sin A的值．【解答】解：（1）△ABC中，A+B+C＝π，∴sin（A﹣B）+sin C＝sin（A﹣B）+sin（A+B）＝（sin A cos B﹣cos A sin B）+（sin A cos B+cos A sin B）＝2sin A cos B＝1，∴sin A cos B＝；（2）△ABC中，a＝2b，∴sin A＝2sin B，∴sin A cos B＝2sin B cos B＝sin2B＝，∴2B＝或2B＝，∴B＝或B＝；∴sin B＝或sin B＝，∴sin A＝2sin B＝或sin A＝2sin B＝（不合题意，舍去）．综上，sin A＝．16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝AA1，M，N分别是AC，B1C1的中点．求证：（1）MN∥平面ABB1A1；（2）AN⊥A1B．【解答】证明：（1）取AB的中点P，连结PM、PB1，因为M、P分别是AB，AC的中点，所以PM∥BC且PM＝BC，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC∥B1C1，BC＝B1C1，又因为N是B1C1的中点，所以PM∥B1N，且PM＝B1N．…（2分）所以四边形PMNB1是平行四边形，所以MN∥PB1，…（4分）而MN⊄平面ABB1A1，PB1⊂平面ABB1A1，所以MN∥平面ABB1A1．…（6分）（2）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，所以BB1⊥面A1B1C1，又因为BB1⊂面ABB1A1，所以面ABB1A1⊥面A1B1C1，…（8分）又因为∠ABC＝90°，所以B1C1⊥B1A1，面ABB1A1∩面A1B1C1＝B1A1，B1C1⊂平面A1B1C1，所以B1C1⊥面ABB1A1，…（10分）又因为A1B⊂面ABB1A1，所以B1C1⊥A1B，即NB1⊥A1B，连结AB1，因为在平行四边形ABB1A1中，AB＝AA1，所以AB1⊥A1B，又因为NB1∩AB1＝B1，且AB1，NB1⊂面AB1N，所以A1B⊥面AB1N，…（12分）而AN⊂面AB1N，所以A1B⊥AN．…（14分）17．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的右焦点为F （1，0），并且点在椭圆上．（1）求椭圆C的方程；（2）设斜率为k（k为常数）的直线l与椭圆交于A，B两点，交x轴于点P（m，0），Q 为直线x＝2上的任意一点，记QA，QB，QP的斜率分别为k1，k2，k0．若k1+k2＝2k0，求m的值．【解答】解：（1）因为椭圆C的两个焦点为F1（﹣1，0）和F2（1，0），点在此椭圆上．所以，所以，所以椭圆方程为；（2）由已知直线l：y＝k（x﹣m），设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（2，y0），由得（1+2k2）x2﹣4mk2x+2k2m2﹣2＝0．所以．因为且k1+k2＝2k0，所以，整理得，因为点Q（2，y0）不在直线l上，所以2k﹣km﹣y0≠0，所以，整理得2x1x2﹣（2+m）（x1+x2）+4m＝0，将，代入上式解得m＝1，所以m＝1．18．如图，PQ为某公园的一条道路，一半径为20米的圆形观赏鱼塘与PQ相切，记其圆心为O，切点为G．为参观方便，现新修建两条道路CA、CB，分别与圆O相切于D、E 两点，同时与PQ分别交于A、B两点，其中C、O、G三点共线且满足CA＝CB，记道路CA、CB长之和为L．（1）①设∠ACO＝θ，求出L关于θ的函数关系式L（θ）；②设AB＝2x米，求出L关于x的函数关系式L（x）．（2）若新建道路每米造价一定，请选择（1）中的一个函数关系式，研究并确定如何设计使得新建道路造价最少．【解答】解：（1）①在Rt△CDO中，∠ACO＝θ，所以CO＝，所以CG＝+20，在Rt△AGC中，AC＝＝＝，所以L（θ）＝2AC＝，其中θ∈（0，），②设AC＝y，则在Rt△AGC中，CG＝，由Rt△AGC和Rt△CDO相似可得＝，即＝，即x﹣20x ＝20y，即x＝20（x+y）即x＝20，即x2（y﹣x）＝400（x+y），化简可得AC＝y＝，L（x）＝．其中x∈（20，+∞）；（2）选择（1）中的第一个函数关系式，以L（θ）＝2AC＝，其中θ∈（0，），在L′（θ）＝[cos2θsinθ﹣（1+sinθ）（cos2θ﹣sin2θ）]，＝（1+sinθ）[（1﹣sinθ）sinθ﹣（cos2θ﹣sin2θ）]，＝（1+sinθ）（sin2θ+sinθ﹣1），令L′（θ）＝0，解得sinθ＝，令sinθ0＝，当θ（0，θ0）时，L′（θ）＜0，函数L（θ）单调递减，当θ（θ0，）时，L′（θ）＞0，函数L（θ）单调递增，∴当sinθ＝时，L（θ）取得最小值，新建道路造价最少19．设f（x）＝ae x﹣a，g（x）＝ax﹣x2（a为与自变量x无关的正实数）．（1）证明：函数f（x）与g（x）的图象存在一个公共的定点，且在公共定点处有一条公切线；（2）是否存在实数k，使得对任意的恒成立，若存在，求出k的取值范围，否则说明理由．【解答】解：（1）证明：因为f（0）＝ae0﹣a＝0，g（0）＝0，所以f（x）＝ae x﹣a，g （x）＝ax﹣x2的图象存在一个公共的定点O（0，0）．因为f'（x）＝ae x，g'（x）＝a﹣2x，所以f'（0）＝a，g'（0）＝a，所以在定点O（0，0）处有一条公切线，为直线y＝ax．（2）假设存在实数k，使得对任意的恒成立，即存在实数k使得k＜e x﹣xlnx﹣x对任意的恒成立．令，则，令，则，因为x＞0，e x＞0，且y＝x，y＝e x在上单调递增，所以y＝xe x在上单调递增，因为，所以存在唯一实数，使得，即m'（x0）＝0，且，所以h'（x）在x0处取得最小值＝，所以h（x）＝e x﹣xlnx﹣x在上单调递增，所以，因为k＜e x﹣xlnx﹣x对任意的恒成立，所以，所以存在使得对任意的恒成立．20．定义：对于一个项数为m（m≥2，m∈N*）的数列{a n}，若存在k∈N*且k＜m，使得数列{a n}的前k项和与剩下项的和相等（若仅为1项，则和为该项本身），我们称该数列是“等和数列”．例如：因为3＝2+1，所以数列3，2，1是“等和数列”．请解答以下问题：（1）判断数列2，﹣4，6，﹣8是否是“等和数列”，请说明理由；（2）已知等差数列{a n}共有r项（r≥3，且r为奇数），a1＝1，{a n}的前n项和S n满足nS n+1＝（n+1）S n+n（n+1）（n≤r﹣1）．判断{a n}是不是“等和数列”，并证明你的结论．（3）{b n}是公比为q项数为m（m∈N*，m≥3）的等比数列{b n}，其中q≥2．判断{b n}是不是“等和数列”，并证明你的结论．【解答】解：（1）∵2+（﹣4）＝6+（﹣8），∴数列2，﹣4，6，﹣8是“等和数列”．（2）由，两边除以n（n+1），得，即，所以，数列为等差数列且，，所以，，假设存在k使得数列{a n}的前k项和与剩下项的和相等，即S k＝S r﹣S k，所以2S k＝S r∴2k2＝r2*在*中，因为r为奇数，所以等式的右边一定是奇数；而等式的左边2k2一定是偶数，所以*不可能有解，从而假设错误，{a n}不是“等和数列”．（3）设B n为{b n}的前n项和，假设{b n}是“等和数列”，则存在k∈N*且k＜m，使得B k＝B m﹣B k成立，即2B k＝B m于是成立，即2q k﹣1＝q m因为q≥2，所以2q k﹣1＜2q k≤q k+1，又m＞k，即m≥k+1，所以q k+1≤q m，所以2q k﹣1＜q m，与2q k﹣1＝q m产生矛盾．所以假设不成立，即{b n}不是“等和数列”．二．【选做题】（3选2，每题10分）21．在平面直角坐标系xOy中，直线x+y﹣2＝0在矩阵A＝对应的变换作用下得到的直线仍为x+y﹣2＝0，求矩阵A．【解答】解：设P（x，y）是直线x+y﹣2＝0上任意一点，其在矩阵A＝对应的变换下得到，对应的点为（x+ay，bx+2y）仍在直线上，所以得x+ay+bx+2y﹣2＝0，与x+y﹣2＝0比较得，解得，故A＝．22．在极坐标系中，直线l的极坐标方程为．以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程为（α为参数）．求直线l与曲线C交点P的直角坐标．【解答】解：直线l的极坐标方程为（ρ∈R），转换为直角坐标方程为．曲线C的参数方程为（α为参数），整理得，转换为直角坐标方程为x2＝2y．所以，整理得，解得x＝0或2，①当x＝0时，y＝0，②当x＝2时，y＝6，（舍去）所以直线与曲线的交点的坐标为P（0，0）．23．已知x，y，z均为正数，且，求证：x+4y+9z≥10．【解答】证明：因为x，y，z均为正数，所以x+1，y+1，z+1均为正数，由柯西不等式得，当且仅当（x+1）2＝4（y+1）2＝9（z+1）2时，等式成立．因为，所以，所以x+4y+9z≥10．【必做题】（每题10分）24．如图，在三棱锥D﹣ABC中，DA⊥平面ABC，∠CAB＝90°，且AC＝AD＝1，AB＝2，E为BD的中点．（1）求异面直线AE与BC所成角的余弦值；（2）求二面角A﹣CE﹣B的余弦值．【解答】解：如图，以A为坐标原点，分别以AC，AB，AD所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，∵AC＝AD＝1，AB＝2，E为BD的中点，∴A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，0，0），E（0，1，），（1），，∵cos＜＞＝＝，∴异面直线AE与BC所成角的余弦值为；（2），．设平面AEC与平面BEC的一个法向量分别为，．由，取z1＝﹣2，可得；由，取z2＝﹣2，可得．∴cos＜＞＝＝．由图可知，二面角A﹣CE﹣B为钝二面角，∴二面角A﹣CE﹣B的余弦值为﹣．25．在自然数列1，2，3，…，n中，任取k个元素位置保持不动，将其余n﹣k个元素变动位置，得到不同的新数列．由此产生的不同新数列的个数记为P n（k）．（1）求P3（1）（2）求P4（k）；（3）证明kP n（k）＝n P n﹣1（k），并求出kP n（k）的值．【解答】（1）解：∵数列1，2，3中保持其中1个元素位置不动的排列只有1，3，2或3，2，1或2，1，3，∴P3（1）＝3；（2）解：＝；（3）证明：把数列1，2，…，n中任取其中k个元素位置不动，则有种；其余n﹣k 个元素重新排列，并且使其余n﹣k个元素都要改变位置，则有，故，又∵，∴．令，则a n＝na n﹣1，且a1＝1．于是a2a3a4…a n﹣1a n＝2a1×3a2×4a3×…×na n﹣1，左右同除以a2a3a4…a n﹣1，得a n＝2×3×4×…×n＝n!∴．。

2020届江苏省南通市如皋中学高三（创新班）下学期6月高考模拟数学试题一、填空题1．某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8.若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是________. 【答案】6【解析】将原问题转化为Venn 图的问题，然后结合题意确定这三天都开车上班的职工人数至多几人即可. 【详解】如图所示，（a +b +c +x ）表示周一开车上班的人数，（b +d +e +x ）表示周二开车上班人数，（c +e +f +x ）表示周三开车上班人数，x 表示三天都开车上班的人数，则有：1410820a b c x b d e x c e f x a b c d e f x +++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪++++++=⎩， 即22233220a b c d e f x a b c d e f x ++++++=⎧⎨++++++=⎩，即212b c e x +++=，当0b c e ===时，x 的最大值为6， 即三天都开车上班的职工人数至多是6. 故答案为：6 【点睛】本题主要考查Venn 图的应用，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．已知F 1，F 2分别是双曲线3x 2－y 2＝3a 2(a ＞0)的左、右焦点，P 是抛物线y 2＝8ax 与双曲线的一个交点，若|PF 1|＋|PF 2|＝12，则抛物线的准线方程为________． 【答案】2x =-【解析】将双曲线方程化为标准方程得222213x y a a-=，抛物线的准线为2x a =-，联立22222138x y a ay ax⎧-=⎪⎨⎪=⎩，解得3x a =，即点P 的横坐标为3a ，而由1212122PF PF PF PF a ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得26PF a =-，∴2326PF a a a =+=-，解得1a =，∴抛物线的准线方程为2x =-，故答案为2x =-.3．已知实数a ，b 满足22182a b+=θθ+取最大值时，tan θ=________.【答案】1【解析】根据辅助角公式可得：()θθθϕ=+≤=2，进而可求得答案 【详解】由22182a b +=得2284a b +=，利用辅助角公式可得：()θθθϕ=+≤=2，其中tan ϕ=0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.所以最大值为2，当且仅当22a b ==，()sin 1θϕ+=时成立， 此时tan 1ϕ=，故4πϕ=，所以sin 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则24k πθπ=+，k Z ∈，则tan 1θ=，故答案为：1. 【点睛】本题考查三角函数的恒等变形，关键是利用辅助角公式化简，利用基本不等式求最值，属于中档题目.4．已知等差数列{}n a 满足：22158a a +=，则12a a +的最大值为________.【答案】5【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据22158a a +=，利用平方关系，设15,a a θθ==，则()12cos 5sin 22a a θθθϕ=+=++，再利用三角函数的性质求解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为22158a a +=，由22cos sin 1αα+=，设15,a a θθ==，则()211511cos 422a a d a a a θθ=+=+-=+，所以()12cos 5sin ,tan 722a a θθθϕϕ=+=+=+， 当2,2k k Z πθϕπ+=+∈时，12a a +的最大值为5.故答案为：5. 【点睛】本题主要考查数列的通项公式，三角换元法的应用以及三角恒等变换，三角函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 5．已知函数()()212xxa f x x e e ax =--+只有一个极值点，则实数a 的取值范围为________.【答案】0a ≤或12a ≥【解析】首先对函数求导，观察得到'(0)0f =，并且将函数只有一个极值点转化为导数等于零只有一个根，结合图象得到结果.【详解】2()x x f x x e ae a '-=⋅+，函数()()212xxa f x x e e ax =--+只有一个极值点， 即2()0x xf x x e ae a ='-⋅+=只有1个实根，且在根的两侧异号，可以求得'(0)0f =，令'()0f x =，得2(0)1xx x e a x e ⋅=≠-，则设2()(0)1xx x e a g x x e ⋅==≠-，求导2222222(1)(1)2[(1)(1)]()(1)(1)x x x x x x x x x e e e xe e x e x g x e e +--⋅--+==-'-，设2()(1)(1)xh x x ex =--+，222'()2(1)1(12)1x x x h x e x e x e =-+--=--，设()()u x h x ='，222()2(24)4xx x u x e x e xe '=-+-=-，可知当0x <时，'()0u x >，0x >时，'()0u x <，所以)'(h x 在(,0)-∞上单调增，在(0,)+∞上单调减，且'(0)0h =， 所以'()0h x ≤恒成立，所以()h x 为减函数，且(0)0h =， 所以当0x <时，'()0g x >，当0x >时，)'(0g x <， 所以()g x 在(,0)-∞上单调增，在(0,)+∞上单调减， 当0x >时，21,()0xeg x >>，当0x <时，21,()0x e g x <>画出()y g x =图象如图所示：可以确定22000(1)1lim ()lim lim 122x x x x x x x xe x e g x e e →→→+===-， 因为函数()()212xxa f x x e e ax =--+只有一个极值点，且'(0)0f =，所以要求2(0)1xx x e a x e ⋅=≠-无解，所以0a ≤或12a ≥， 故答案为：0a ≤或12a ≥. 【点睛】该题考查的是有关利用导数研究函数的性质，涉及到的知识点有利用导数研究参数的取值范围，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．其中将函数有一个极值点转化为方程只有一个根，结合图象得到结果，属于较难题目. 6．已知直线，若对任意，直线与一定圆相切，则该定圆方程为 ． 【答案】【解析】试题分析：取特殊值，三条直线分别为，这三条直线只与圆都相切，经验证，对任意，直线都与这个圆相切.【考点】圆的切线.7．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>左焦点为F ，直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l 与双曲线的左支交于不同两点AB ，若2AF FB =u u u r u u u r，则该双曲线的离心率为________. 10【解析】由渐近线斜率设出直线l 方程，与双曲线方程联立消去x 得关于y 的二次方程，设1122(,),(,)A x y B x y ，由2AF FB =u u u r u u u r 得122y y =-，由韦达定理得12y y +，12y y ，由此可得,,a b c 的齐次等式，从而求得离心率． 【详解】不妨设直线l 与渐近线b y x a=-垂直，即直线l 方程为()ay x c b =+，由2222()1a y x cb x y a b ⎧=+⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，得2222222222()b y bcy b c a y a b a a -+-=， 即2222324()20c b a y ab cy a b --+=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则3122222()ab c y y c b a +=-①，2412222()a b y y c b a =-②， 又2AF FB =u u u r u u u r，(,0)F c -，所以122y y =-③，③代入①得32222()ab y c a b =-，所以31224()ab y c a b =--，12,y y 代入②得 262422222228()()a b a b c a b c b a -=--，整理得22910c a =，所以c e a ==．． 【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是设出直线l 方程，与双曲线方程联立消元后得一元二次方程，注意这里消去x 得y 的二次方程对解题有帮助，原因是由2AF FB =u u u r u u u r易得122y y =-，结合韦达定理可得关于,,a b c 的齐次式，从而求得离心率．8．用I M 表示函数sin y x =在区间I 上的最大值，若正数a 满足[][]0,,22a a a M M ≥，则a 的取值范围为________.【答案】513,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】根据正弦定理在[0,)+∞上的单调性求解． 【详解】因为sin y x =在[0,]2π上单调递增，所以[0,]2a π∈，若2a π<，则存在0δ>，使得[,2]a a a δ+∈，且[0,]sin()a a M δ+>，不合题意，所以[0,]1a M =，所以由[][]0,,22a a a M M ≥得[,2]12a a M ≤，所以561326a a ππ⎧≥⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得513612a ππ≤≤． 故答案为：513,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 【点睛】本题考查新定义，考查正弦函数的单调性与最值，掌握正弦函数性质是解题基础，正确理解新定义是关键．9．四棱锥P ABCD -中，2PA BC CD ===，PB PC PD AB AD =====，则四棱锥P ABCD -的体积为________. 【答案】3【解析】连接,AC BD 交于点E ，通过证明平面PCD ⊥平面ABCD ，过P 作PO ⊥平面ABCD ，则O 在AC 上，连接,BO DO ，利用180AOD COD ∠+∠=︒，应用余弦定理求得各线段长，由P ABCD D PAC B PAC V V V ---=+可得体积． 【详解】连接,AC BD 交于点E ，由,AB AD CB CD ==知AC BD ⊥，E 是BD 中点，又PB PD =，所以PE BD ⊥，又PE AC E =I ，所以BD ⊥平面PAC ，BD ⊂平面ABCD ，所以平面PCD ⊥平面ABCD ， 过P 作PO ⊥平面ABCD ，则O 在AC 上，连接,BO DO ，则BO DO CO ===AO =设CO a =，则AO =222242cos 12a a COD a a+-∠==-， 222cos AOD ∠==因为cos cos AOD COD ∠=-∠2221a =-，由0a >，解得2a =，所以1AO =，2BO CO DO ===，PO =，11322PAC S AC PO =⨯=⨯=V ，DE BE = 1133P ABCD D PAC B PAC PAC PACV V V DE S BE S ---=+=⨯⨯+⨯⨯V V11333==． 故答案为：3．【点睛】本题考查求四棱锥的体积，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．10．已知向量a r ，b r满足1a =r ，3b =r ，若存在不同的实数1λ，()2120λλλ≠，使得3i i i c a b λλ=+u r r r且()()()01,2i i c a c b i -⋅-==u r r u r r ，则12c c -u r u u r 的取值范围是________.【答案】(2,2222,23⎡⋃⎣【解析】设a b k ⋅=r r，()()0iic a c b -⋅-=u r r u r r 变形（数量积的运算）得12,λλ是方程26(3)4(3)0k x k x k +-++=的两根，利用韦达定理求得12λλ-，则12123c c a b λλ-=-+u r u u r r r可表示为k 的函数，由k 的范围可得结论，在题中注意k 的范围的确定． 【详解】111(1)3c a a b λλ-=-+u r r r r ，111(31)c b a b λλ-=+-u r r r r ，设a b k ⋅=r r（33k -≤≤），由()()110c a c b -⋅-=u r r u r r得211()0c a b c a b -+⋅+⋅=u r r r u r r r ，整理得2116(3)4(3)0k k k λλ+-++=，同理2226(3)4(3)0k k k λλ+-++=，所以12,λλ是方程26(3)4(3)0k x k x k +-++=的两根，由120λλ≠得0k ≠，3k =-方程无解，故0k ≠且3k ≠-，8(3)(6)0k k ∆=+->，1223λλ+=，126(3)kk λλ=+，所以12λλ-===，3a b +===r r所以1212123c c a b λλλ-=-+=-=u r u u r r r33k -<≤且0k ≠得12c c -u r u u r的范围是[2,U ．故答案为：[2,U ． 【点睛】本题考查平面向量的数量积，解题关键是设a b k ⋅=r r后通过数量积的运算把12,λλ是方程26(3)4(3)0k x k x k +-++=的两根，这样可用韦达定理求得12λλ-，从而求得目标12c c -u r u u r关于k 的函数．11．已知P 是椭圆2214x y +=上一动点，()2,1A -，()2,1B ，则cos APB ∠的最大值为________.【答案】4【解析】画出椭圆图形，设()00,P x y ，过P 作PH AB ⊥交AB 于H ，由正切和角公式用00,x y 表示出tan APB ∠，结合椭圆的方程化为0y 的表达式，利用换元法令01t y =-，将tan APB ∠转化为关于t 的函数式，讨论0t =与(]0,2t ∈两种情况，结合基本不等式即可求得tan APB ∠的最小值，再根据同角三角函数关系式即可求得cos APB ∠的最大值.【详解】根据题意，画出椭圆的图形如下图所示：设()00,P x y ，过P 作PH AB ⊥交AB 于H ， 则002tan 1x AH APH PH y +∠==-，02tan 1x BH BPH PH y -∠==-， 由正切和角公式可知()tan tan APB APH BPH ∠=∠+∠tan tan 1tan tan APH BPHAPH BPH∠+∠=-∠⨯∠()()()00000220000002241112214111x x y y y x x y x y y +-+---==+-----⨯--而()00,P x y 在2214x y +=上，所以220014x y +=，则220044x y =-， 代入上式可得()()()()()00222200004141tan 1414y y APB y x y y --∠==-----由椭圆性质可知，[]01,1y ∈-， 令[]01,0,2t y t =-∈， 则()22244tan 38441t t APB t t t t ∠==-+---，[]0,2t ∈，当0t =时，tan 0APB ∠=，此时,cos 1APB APB π∠=∠=-，当(]0,2t ∈时，由基本不等式可知4tan 23443838APB t t ∠=≥=⎛⎫-+-++ ⎪⎝⎭， 当且仅当43t t =，即233t =时取等号，此时cos APB ∠的值最大，因而22sin 23cos sin cos 1APBAPB APB APB ∠⎧=+⎪∠⎨⎪∠+∠=⎩，化简可得223cos 4APB -∠=，所以62cos APB -∠=， 综上所述，可知cos APB ∠的最大值为624-， 故答案为：624-. 【点睛】本题考查了椭圆标准方程和几何性质的综合应用，由正切和角公式及同角三角函数关系式的应用，由基本不等式确定最值，综合性强，属于难题.12．已知21a e b e -=-=r r r r ，1e =r ，则向量a b ⋅r r的最小值为________.【答案】14-【解析】1e =r ，不失一般性，设(1,0)e =r ，由21a e b e -=-=r r r r 知a b r r，的终点在两个圆上运动，设(2cos ,sin )(1+cos ,sin )a b a a b b =+=r r ，，化简(2cos )(1+cos )sin sin a b r r αβαβ++⋅=放缩后得到21114(cos )2444β--≥-得解.【详解】1e r Q =，不妨设(1,0)e =r(.)(.)a m n b c d ==r r ，，21a e r rQ -=，22(2)1m n \-+= 所以(,)A m n 在圆22(2)1x y -+=上运动 1b e r rQ -=，22(1)1c d \-+=所以(,)B c d 在圆22(1)1x y -+=上运动再令(2cos ,sin )A a a +，(1+cos ,sin )B b b(2cos ,sin )(1+cos ,sin )a b a a b b \=+=r r，， (2cos )(1+cos )sin sin a b r rαβαβ∴⋅+=+2cos +2cos +cos cos sin sin αβαβαβ+=+2cos +2cos +cos()αβαβ+=-2+2cos +2cos()cos 22βββα+-=224cos 2cos()cos4cos cos22222βββββα=+-≥-21114(cos)2444β=--≥- 故答案为：14- 【点睛】本题考查平面向量数量积最值问题.平面向量与几何综合问题的求解坐标法：把问题转化为几何图形的研究，再把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．13．三角形ABC 面积为S ，若2221054c a b +=，则2220156Sa b +的最大值是________.【答案】16【解析】由2221054c a b +=求出226cos 8a c B ac +=-，将22220156S a b ⎛⎫ ⎪+⎝⎭用a 和c 表示，并化简，再令22c t a =，得到关于t 的式子，构造函数，并利用导数求出22220156S a b ⎛⎫ ⎪+⎝⎭的最大值，进而得解. 【详解】由2221054c a b +=，得()22211054b c a =+， 2222222221(105)64cos 228a c c a a c b a c B ac ac ac+-++-+===-，()2222222240020156311sin 251052ac B S a b a c a ⎛⎫⨯⎪⎛⎫⎝⎭= ⎪+⎝⎭⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()2222221001cos 45152a c a c B -=⎛⎫+ ⎪⎝⎭()222222226464932a c a c a c ⎡⎤+⎢⎥-⎢⎥⎣⎦=⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 2222222261464932a c a c a c ⎡⎤⎛⎫+⎢⎥⎪⎢⎥⎝⎭-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 令22c t a =，则0t >，2222222(16)464203652181156916927342t t S t t a b t t t ⎡⎤+-⎢⎥-+-⎛⎫⎣⎦== ⎪+⎛⎫⎝⎭⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令()223652181169274t t f t t t -+-=⎛⎫++ ⎪⎝⎭，则222314404()16927814t t f t t t ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭=⎛⎫++ ⎪⎝⎭'，令()0f 't =，解得32t =-（舍）或12t =，所以，当102t <≤时，'()0f t >，()f t 在10,2⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增； 当12t >时，()0f t <'，()f t 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减， 所以，当12t =时，()f t 取得最大值，11365211142118123616927424f -⨯+⨯-⎛⎫== ⎪⎛⎫⎝⎭⨯⨯+⨯+ ⎪⎝⎭，即22220156S a b ⎛⎫ ⎪+⎝⎭的最大值为136，所以，2220156Sa b +的最大值是16. 故答案为：16.【点睛】本题考查余弦定理的应用、三角形的面积公式及利用导数研究函数的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想以及运算求解能力和逻辑推理能力，构造函数并掌握求极值的方法是求解本题的关键，难度较大.构造函数是求解导数问题的常用方法.14．已知数列{}n b 为首项为2正项等比数列，数列{}n c 为公差为3等差数列，数列{}n a 满足2n n n b a a +=-，12n n n c a a +=+，若11a =，则数列{}n a 前50项的和为________. 【答案】1275【解析】先根据等差与等比性质列方程组解得{}n b 与{}n c 通项公式，进而可求数列{}n a 通项公式，最后根据等差数列求和公式得结果.【详解】11a =Q 21,,2n n n b a a b +=-=, 13133,213b a a a a ∴=-=-∴=112112,3223n n n n n n n n n c a a c c a a a a +++++=+-=∴+--=Q 2123n n n a a a ++∴--= 3212232a a a a ∴--=∴= 4324234a a a a ∴--=∴=因此2422,b a a =-=数列{}n b 公比为211,2n b b b == 1212553(1)32n c a a c n n =+=∴=+-=+Q因此1232n n a a n ++=+212123542610n n n n a a n a a n ++++∴+=+∴+=+从而2438,n n a a n +-=+22n n n a a b +-==Q10050(150),12752n a n S +∴=== 故答案为：1275 【点睛】本题考查等差数列与等比数列通项公式以及等比数列求和公式，考查基本分析求解能力，属中档题.二、解答题15．如图，在△ABC 中，a b c ，，为A B C ，，所对的边，CD ⊥AB 于D ，且12BD AD c -=．（1）求证：sin 2sin()C A B =-； （2）若3cos 5A =，求tan C 的值．【答案】（1）见解析（2）4811-【解析】（1）由题意可得1cos cos 2a Bb Ac -=，由正弦定理，得1sin cos sin cos sin 2A B B A C -=，即可作出证明；（2）由（1）得3cos sin sin cos A B A B =，得到4sin 5A =，所以4tan 3A =，4tan 9B =，即可求解tan C 的值.【详解】（1）证明：因为12BD AD c -=， 所以1cos cos 2a Bb Ac -=，由正弦定理，得1sin cos sin cos sin 2A B B A C -=，所以()sin 2sin C A B =-．（2）解：由（1）得，()()sin 2sin A B A B +=-， 所以()sin cos cos sin 2sin cos cos sin A B A B A B A B +=-， 化简，得3cos sin sin cos A B A B =．又3cos 5A =，所以4sin 5A=，所以4tan 3A =，4tan 9B =， 所以()44tan tan 4839tan tan 441tan tan 11139A B C A B A B ++=-+=-=-=---⋅． 【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.16．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12A A AC =，D ，E ，F 分别为线段AC ，1A A ，1C B 的中点.（1）证明：//EF 平面ABC ； （2）证明：1C E ⊥平面BDE .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析； 【解析】（1）取BC 的中点G ，连结AG ，FG ，可证四边形AEFG 是平行四边形，得EF ∥AG ，即可证明结论；（2）根据已知可得22211EB C E C B +=，得出1C E BE ⊥，再由已知得BD AC ⊥，结合正三棱柱的垂直关系，可证BD ⊥平面11A ACC ，进而有1BD C E ⊥，即可证明结论.【详解】（1）如图，取BC 的中点G ，连结AG ，FG . 因为F 为1C B 的中点，所以FG ∥111,2C C FG C C =. 在三棱柱111ABC A B C -中，1A A ∥111,C C A A C C =， 且E 为1A A 的中点，所以FG ∥,EA FG EA =. 所以四边形AEFG 是平行四边形.所以EF ∥AG . 因为EF ⊄平面ABC ，AG ⊂平面ABC ， 所以EF ∥平面ABC .（2）因为在正三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以1A A BD ⊥.因为D 为AC 的中点，BA BC =，所以BD AC ⊥.因为1A A AC A =I ，1A A ⊂平面11A ACC ，AC ⊂平面11A ACC ， 所以BD ⊥平面11A ACC .因为1C E ⊂平面11A ACC ，所以1BD C E ⊥. 根据题意，可得16EB C E AB ==，13C B AB =， 所以22211EB C E C B +=.从而190C EB ∠=︒，即1C E EB ⊥.因为BD EB B =I ，BD ⊂平面BDE ，EB ⊂平面BDE ， 所以1C E ⊥平面BDE .【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明直线与平面平行以及直线与平面垂直，注意空间垂直关系的相互转化，属于中档题.17．动圆P 过定点(2,0)A ，且在y 轴上截得的弦GH 的长为4. （1）若动圆圆心P 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程；（2）在曲线C 的对称轴上是否存在点Q ，使过点Q 的直线l '与曲线C 的交点S T 、满足2211||||QS QT +为定值？若存在，求出点Q 的坐标及定值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）24y x =.（2）存在点(2,0)Q ，定值为14. 【解析】（1）设(,)P x y ，由题意知：PA PG =，利用距离公式及弦长公式可得方程，化简可得P 的轨迹方程；（2）假设存在(,0)Q a ，设()11,S x y ､()22,T x y ，由题意知直线l '的斜率必不为0，设直线l '的方程，与抛物线联立，利用根与系数关系可求得()212222121121t a QS QT a t ++=+，当2a =时，上式221114QS QT +=，与1t 无关，为定值. 【详解】（1）设(,)P x y ，由题意知：PA PG =.当P 点不在y 轴上时，过P 做PB GH ⊥，交GH 于点B ，则B 为GH 的中点，122GB GH ∴==，PG ∴=又PA =Q ，=24(0)y x x =≠；当P 点在y 轴上时，易知P 点与O 点重合.(0,0)P 也满足24y x =，∴曲线C 的方程为24y x =.（2）假设存在(,0)Q a ，满足题意.设()11,S x y ､()22,T x y .由题意知直线l '的斜率必不为0， 设直线l '的方程为()110x t y a t =+≠. 由124x t y a y x=+⎧⎨=⎩得21440y t y a --=.1214y y t ∴+=，124y y a ⋅=-. ()2121121242x x t y y a t a ∴+=++=+，2221212116x x y y a ⋅=⋅=.()()2222221111114(42)QS x a y x a x x a x a =-+=-+=+-+Q ，()()2222222222224(42)QT x a y x a x x a x a =-+=-+=+-+，()222221212(42)2QS QT x x a x x a ∴+=++-++()()22121212(42)22x x a x x x x a =++-+-+()()21212124222x x x x a x x a =+++--+ ()()22114244t a t =++， ()222221161QS QT a t ⋅=+.()()()()2222211122222222211424411221161t a t QS QT t a QS QT QS QT a t a t ++++∴+===⋅++， 当2a =时，上式221114QS QT +=，与1t 无关，为定值. ∴存在点(2,0)Q ，使过点Q 的直线l '与曲线C 的交点S T 、满足2211QS QT +为定值14. 【点睛】本题考查轨迹方程、定值问题的求解，求轨迹方程，一般是求谁设谁的坐标然后根据题目等式直接求解即可，存在性与定值问题一般设存在，代入，结合韦达定理等知识消去参数求解，属于较难题型.18．某景区平面图如图1所示，A B C E D 、、、、为边界上的点．已知边界CED 是一段抛物线，其余边界均为线段，且,,3,8AD AB BC AB AD BC AB ⊥⊥===，抛物线顶点E 到AB 的距离7OE =．以AB 所在直线为x 轴，OE 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系．（1）求边界CED 所在抛物线的解析式；（2）如图2，该景区管理处欲在区域ABCED 内围成一个矩形MNPQ 场地，使得点M N 、在边界AB 上，点P Q 、在边界CED 上，试确定点P 的位置，使得矩形MNPQ 的周长最大，并求出最大周长． 【答案】（1）217(44)4y x x =-+-≤≤；（2）点P 与点C 重合．最大值为22， 【解析】（1）根据题意，设二次函数解析式为2(44)y ax c x =+-≤≤，代入点C 、E 坐标，即可求解参数；（2）根据题意结合（1）中抛物线解析式，设P 点坐标为21,74m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，利用坐标表达矩形的周长，根据二次函数性质，可求最值问题. 【详解】（1）根据对称性可知，1184,3,722OA OB AB BC OE ===⨯===， (4,3),(0,7)C E ∴，设边界CED 所在抛物线的解析式为2(44)y ax c x =+-≤≤，Q 抛物线的图象经过C ，E 两点，1637a c c +=⎧⎨=⎩，解得147a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴边界CED 所在抛物线的解析式为217(44)4y x x =-+-≤≤； （2）设P 点坐标为21,74m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， Q 四边形MNPQ 是矩形，2ON OM m ∴==，2174PN QM m ==-+， 24MN QP ON m ∴===，∴矩形MNPQ 的周长为： 222112()227414421(4)222MN PN m m m m m ⎛⎫+=-+=-++ ⎪⎝⎭=--+ 102-<Q ，开口向下， ∴当4m =时，矩形MNPQ 的周长有最大值，最大值为22，此时P 点坐标为(4,3)，即点P 与点C 重合．【点睛】本题考查待定系数法确定函数关系式，考查计算能力，考查运用二次函数模型解决实际问题，属于中等题型.19．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11(1)(,,0,1)1n n a q S a q R a q q-=∈≠≠- （1）求证：数列{}n a 是等比数列；（2）若*q N ∈，是否存在q 的某些取值，使数列{}n a 中某一项能表示为另外三项之和？若能求出q 的全部取值集合，若不能说明理由．（3）若q ∈R ，是否存在[3,)q ∈+∞，使数列{}n a 中，某一项可以表示为另外三项之和？若存在指出q 的一个取值，若不存在，说明理由．【答案】解：（1）见详解；（2）不存在；（3）不存在【解析】（1）由前n 项和公式，结合1n n n a S S -=-求出n a ，进而可得出结论成立；（2）根据4321n n n n a a a a =++得3421n n n n q q q q =++，不妨设4321n n n n >>>，两边同除以1nq ，再结合条件，即可得出结论；（3）同(2)，先设4321n n n n >>>，当3q ≥，结合条件验证不成立即可.【详解】（1）n=1时，11a S a ==， 2n ≥时，()1111n n n n n n a a S S q q aq q ---=-=-=-（n=1也符合） ()1n n a aq n N -+∴=∈，1n na q a +∴=，即数列{}n a 是等比数列． （2）若4321n n n n a a a a =++则()3421,2n n n n q q q q q N q =++∈≥可设4321n n n n >>>，两边同除以1n q 得：3141211n n n n n n q q q -----=因为左边能被q 整除，右边不能被q 整除，因此满足条件的q 不存在．（3）若4321n n n n a a a a =++则()3421,2n n n n q q q q q N q =++∈≥可设4321n n n n >>>，3q ≥Q ，334442111·33n n n n n n n q q q q q q q q --=≥≥>++，∴ 4321n n n n a a a a =++不成立．【点睛】本题主要考查等比数列，熟记等比数数列的性质和公式即可，属于常考题型.20．已知函数()()ln 0f x a x a =≠与212y x e =的图象在它们的交点(),P s t 处具有相同的切线.（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()()21g x x mf x =-+有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求()21g x x 的取值范围.【答案】（1）()ln f x x =；（2）1,0e ⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭【解析】（1）求得两个函数的导数，由公切线的斜率相同可得,a s 的方程；将切点代入两个函数，可得,a s 的方程；联立两个方程即可求得a 的值，进而得()f x 的解析式； （2）将()f x 的解析式代入并求得()g x '，由极值点定义可知1x ，2x 是方程2220x x m -+=的两个不等实根，由韦达定理表示出1212,x x x x +，结合12x x <可得121012x x <<<<.代入()21g x x 中化简，分离参数并构造函数()12ln h t t t t =-+，求得()h t '并令()0h t '=求得极值点，由极值点两侧符号判断单调性，并求得最小值，代入端点值求得最大值，即可求得()21g x x 的取值范围. 【详解】（1）根据题意，函数()()ln 0f x a x a =≠与212y x e =可知()a f x x '=，1y x e'=， 两图象在点(),P s t 处有相同的切线， 所以两个函数切线的斜率相等，即1a s e s⨯=，化简得s = 将(),P s t 代入两个函数可得2ln 2es a s =， 综合上述两式可解得1a =，所以()ln f x x =.（2）函数()()()()2211ln g x x mf x x m x =-+=-+，定义域为()0,∞+， ()()22221m x x m x x g x x-+=-='+， 因为1x ，2x 为函数()g x 的两个极值点，所以1x ，2x 是方程2220x x m -+=的两个不等实根，由根与系数的关系知121x x =+，122m x x =，()* 又已知12x x <，所以121012x x <<<<， ()()2222111ln g x x m x x x -+=， 将()*式代入得()()2221221112ln g x x x x x x x -+=()()222222222121ln 12ln 1x x x x x x x x =-+-=-+-， 令()12ln h t t t t =-+，1,12t ⎛⎫∈⎪⎝⎭， ()2ln 1h t t '=+，令()0h t '=，解得t =当12t ⎛∈ ⎝时，()0h t '<，()h t在12⎛ ⎝单调递减；当t ⎫∈⎪⎭时，()0h t '>，()h t在⎫⎪⎭单调递增； 所以()min 11h t h ===， ()()1max ,12h t h h ⎧⎫⎛⎫<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭， ()11ln 20122h h ⎛⎫=-<= ⎪⎝⎭， 即()21g x x的取值范围是1,0e ⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭. 【点睛】本题考查了导数的计算及几何意义，根据公切线求参数值，由导数研究函数的极值点、单调性与最值，构造函数法的综合应用，属于难题.。

2020年高考数学一模试卷一、选择题1．已知集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|﹣1＜x＜1}，则A∪B＝．2．已知复数z满足z2＝﹣4，且z的虚部小于0，则z＝．3．若一组数据7，x，6，8，8的平均数为7，则该组数据的方差是．4．执行如图所示的伪代码，则输出的结果为．5．函数的定义域为．6．某学校高三年级有A，B两个自习教室，甲、乙、丙3名学生各自随机选择其中一个教室自习，则甲、乙两人不在同一教室上自习的概率为．7．若关于x的不等式x2﹣mx+3＜0的解集是（1，3），则实数m的值为．8．在平面直角坐标系xOy中，双曲线的右准线与渐近线的交点在抛物线y2＝2px 上，则实数p的值为．9．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a2+a9＝8，S5＝﹣5，则S15的值为．10．已知函数的图象与函数y＝cos2x的图象相邻的三个交点分别是A，B，C，则△ABC的面积为．11．在平面直角坐标系xOy中，已知圆M：x2+y2﹣4x﹣8y+12＝0，圆N与圆M外切于点（0，m），且过点（0，﹣2），则圆N的标准方程为．12．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x＝1对称，当x∈（0，1]时，f（x）＝﹣e ax（其中e是自然对数的底数），若f（2020﹣ln2）＝8，则实数a的值为．13．如图，在△ABC中，D，E是BC上的两个三等分点，，则cos∠ADE 的最小值为．14．设函数f（x）＝|x3﹣ax﹣b|，x∈[﹣1，1]，其中a，b∈R．若f（x）≤M恒成立，则当M取得最小值时，a+b的值为．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，在三棱锥P﹣ABC中，AP＝AB，M，N分别为棱PB，PC的中点，平面PAB⊥平面PBC．（1）求证：BC∥平面AMN；（2）求证：平面AMN⊥平面PBC．16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）若a＝5，，求b的值；（2）若，求tan2C的值．17．如图，在圆锥SO中，底面半径R为3，母线长l为5．用一个平行于底面的平面去截圆锥，截面圆的圆心为O1，半径为r．现要以截面圆为底面，圆锥底面圆心O为顶点挖去一个倒立的小圆锥，记小圆锥的体积为V．（1）将V表示成r的函数；（2）求小圆锥的体积V的最大值．18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的右顶点为A，过点A作直线l与圆O：x2+y2＝b2相切，与椭圆C交于另一点P，与右准线交于点Q．设直线l的斜率为k．（1）用k表示椭圆C的离心率；（2）若，求椭圆C的离心率．19．（16分）已知函数（a∈R）．（1）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+y﹣1＝0，求a的值；（2）若f（x）的导函数f'（x）存在两个不相等的零点，求实数a的取值范围；（3）当a＝2时，是否存在整数λ，使得关于x的不等式f（x）≥λ恒成立？若存在，求出λ的最大值；若不存在，说明理由．20．（16分）已知数列{a n}的首项a1＝3，对任意的n∈N*，都有a n+1＝ka n﹣1（k≠0），数列{a n﹣1}是公比不为1的等比数列．（1）求实数k的值；（2）设数列{b n}的前n项和为S n，求所有正整数m的值，使得恰好为数列{b n}中的项．数学Ⅱ（附加题）【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]21．已知矩阵M＝的一个特征值为4，求矩阵M的逆矩阵M﹣1．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）＝12，曲线C的参数方程为（θ为参数，θ∈R），在曲线C上求点M，使点M到l的距离最小，并求出最小值．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知正数x，y，z满足x+y+z＝1，求++的最小值．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1B1B为正方形，BB1C1C为菱形，∠BB1C1＝60°，平面AA1B1B⊥平面BB1C1C．（1）求直线AC1与平面AA1B1B所成角的正弦值；（2）求二面角B﹣AC1﹣C的余弦值．25．已知n为给定的正整数，设，x∈R．（1）若n＝4，求a0，a1的值；（2）若，求的值．参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．已知集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|﹣1＜x＜1}，则A∪B＝（﹣1，2）．【分析】进行并集的运算即可．解：∵A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|﹣1＜x＜1}，∴A∪B＝{x|﹣1＜x＜2}＝（﹣1，2）．故答案为：（﹣1，2）．2．已知复数z满足z2＝﹣4，且z的虚部小于0，则z＝﹣2i．【分析】利用复数的运算法则、复数相等即可得出a，b．解：设z＝a+bi，（a，b∈R）．复数z满足z2＝﹣4，∴a2﹣b2+2abi＝﹣4，∴a2﹣b2＝﹣4，2ab＝0，且z的虚部小于0，∴a＝0，b＝﹣2．则z＝﹣2i．故答案为：﹣2i．3．若一组数据7，x，6，8，8的平均数为7，则该组数据的方差是．【分析】由平均数的定义列方程求出n的值，再计算这组数据的方差．解：由题意知，×（7+x+6+8+8）＝7，解得x＝6，计算该组数据的方差为S2＝×[（7﹣7）2+（6﹣7）2+（6﹣7）2+（8﹣7）2+（8﹣7）2]＝．故答案为：．4．执行如图所示的伪代码，则输出的结果为20 ．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．解：模拟程序的运行，可得S＝0，I＝1满足条件I＜6，执行循环体，I＝2，S＝2满足条件I＜6，执行循环体，I＝3，S＝5满足条件I＜6，执行循环体，I＝4，S＝9满足条件I＜6，执行循环体，I＝5，S＝14满足条件I＜6，执行循环体，I＝6，S＝20此时，不满足条件I＜6，退出循环，输出S的值为20．故答案为：20．5．函数的定义域为[4，+∞）．．【分析】函数f（x）＝有意义，只需log2x﹣2≥0，且x＞0，解不等式即可得到所求定义域．解：函数f（x）＝有意义，只需log2x﹣2≥0，且x＞0，解得x≥4．则定义域为[4，+∞）．故答案为：[4，+∞）．6．某学校高三年级有A，B两个自习教室，甲、乙、丙3名学生各自随机选择其中一个教室自习，则甲、乙两人不在同一教室上自习的概率为．【分析】基本事件总数n＝23＝8，甲、乙两人不在同一教室上自习包含的基本事件个数m＝＝4，由此能求出甲、乙两人不在同一教室上自习的概率．解：某学校高三年级有A，B两个自习教室，甲、乙、丙3名学生各自随机选择其中一个教室自习，基本事件总数n＝23＝8，甲、乙两人不在同一教室上自习包含的基本事件个数m＝＝4，∴甲、乙两人不在同一教室上自习的概率为p＝＝＝．故答案为：．7．若关于x的不等式x2﹣mx+3＜0的解集是（1，3），则实数m的值为 4 ．【分析】利用不等式与对应方程的关系，和根与系数的关系，即可求得m的值．解：不等式x2﹣mx+3＜0的解集是（1，3），所以方程x2﹣mx+3＝0的解1和3，由根与系数的关系知，m＝1+3＝4．．故答案为：4．8．在平面直角坐标系xOy中，双曲线的右准线与渐近线的交点在抛物线y2＝2px 上，则实数p的值为．【分析】求出双曲线的渐近线方程，右准线方程，得到交点坐标代入抛物线方程求解即可．解：双曲线的右准线x＝，渐近线y＝x，双曲线的右准线与渐近线的交点（，），交点在抛物线y2＝2px上，可得：＝3p，解得p＝．故答案为：．9．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a2+a9＝8，S5＝﹣5，则S15的值为135 ．【分析】根据等差数列的通项公式和求和公式解答．解：由于a2+a9＝8，S5＝﹣5，所以．则．所以S15＝15×（﹣5）+×15×14×2＝135．故答案是：135．10．已知函数的图象与函数y＝cos2x的图象相邻的三个交点分别是A，B，C，则△ABC的面积为．【分析】根据函数相等，建立方程关系求出x的值，求出点的坐标，结合三角形的面积公式进行计算即可．解：由＝cos2x得tan2x＝，则2x＝kπ+，得x＝+，k∈Z，取相邻的三个k，k＝﹣1时，x＝﹣，2x＝﹣，此时y＝cos2x＝﹣，即A（﹣，﹣），k＝0时，x＝，2x＝，此时y＝cos2x＝，即B（，），k＝1时，x＝，2x＝，此时y＝cos2x＝﹣，即C（，﹣），则|AC|＝﹣（﹣）＝π，B到线段AC的距离h＝﹣（﹣）＝，则△ABC的面积S＝π×＝π，故答案为：π11．在平面直角坐标系xOy中，已知圆M：x2+y2﹣4x﹣8y+12＝0，圆N与圆M外切于点（0，m），且过点（0，﹣2），则圆N的标准方程为（x+2）2+y2＝8 ．【分析】直接利用圆与圆的位置关系式的应用和相关的运算的应用求出圆的方程．解：已知圆M：x2+y2﹣4x﹣8y+12＝0，整理得：（x﹣2）2+（y﹣4）2＝8，令y＝0，圆的方程转换为：y2﹣8y+12＝0，解得y＝2或6．由于圆N与圆M相切于（0，m）且过点（0，﹣2）．所以m＝2．即圆N经过点A（0，2），B（0，﹣2）．所以圆心在这两点连线的中垂线x轴上，x轴与MA的交点为圆心N．所以MA：y＝x+2．令y＝0，则x＝﹣2．即N（﹣2，0），R＝|NA＝2．所以圆N的标准方程为：（x+2）2+y2＝8．故答案为：（x+2）2+y2＝812．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x＝1对称，当x∈（0，1]时，f（x）＝﹣e ax（其中e是自然对数的底数），若f（2020﹣ln2）＝8，则实数a的值为 3 ．【分析】根据题意，分析可得f（x）是周期为4的周期函数，进而结合函数的奇偶性与周期性可得f（2020﹣ln2）＝f（﹣ln2）＝﹣f（ln2）＝﹣（﹣e x•ln2）＝8，计算可得答案．解：根据题意，f（x）的图象关于x＝1对称，所以f（1+x）＝f（1﹣x）又由f（x）是R上的奇函数，所以f（x+1）＝﹣f（x﹣1），则有f（x+2）＝﹣f（x），f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x）．则f（x）是周期为4的函数，故f（2020﹣ln2）＝f（﹣ln2）＝﹣f（ln2）＝﹣（﹣e x•ln2）＝8，变形可得：2x＝8，解可得x＝3；故答案为：313．如图，在△ABC中，D，E是BC上的两个三等分点，，则cos∠ADE 的最小值为．【分析】由D，E为三等分点可得相等的向量，，分别写出，，，用与∠ADE的边有关系的向量表示，再由均值不等式求出最小值．解：由D，E是BC上的两个三等分点可得，由图形可得＝＝﹣，＝＝2﹣，又因为即（﹣）＝2（2），整理可得：7＝，即7||•cos∠ADE＝||2+4||2，由基本不等式可得cos∠ADE＝≥＝，故cos∠ADE的最小值为：．故答案为：．14．设函数f（x）＝|x3﹣ax﹣b|，x∈[﹣1，1]，其中a，b∈R．若f（x）≤M恒成立，则当M取得最小值时，a+b的值为．【分析】构造函数g（x）＝x3﹣ax﹣b，可知该函数关于点（0，﹣b）对称，然后分a≤0、a≥3、0＜a＜3三种情况讨论，分析函数y＝g（x）在区间[﹣1，1]上的单调性，得出函数f（x）＝|g（x）|在区间[﹣1，1]上最值的可能取值，利用绝对值三角不等式可求出当M取得最小值时a+b的值．解：构造函数g（x）＝x3﹣ax﹣b，则f（x）＝|g（x）|，由于g（x）+g（﹣x）＝（x3﹣ax﹣b）+（﹣x3+ax﹣b）＝﹣2b，∴，函数y＝g（x）的图象关于点（0，﹣b）对称，且g'（x）＝3x2﹣a．①当a≤0时，g'（x）≥0，函数y＝g（x）在区间[﹣1，1]上单调递增，则，∴，此时，当a＝0，﹣1≤b≤1时，M取最小值1；②当a≥3时，对任意的x∈[﹣1，1]，g'（x）≤0，函数y＝g（x）在区间[﹣1，1]上单调递减，则，∴，此时，当a＝3，﹣2≤b≤2时，M取最小值2；③当0＜a＜3时，令g'（x）＝0，得，令，列表如下：x[﹣1，﹣t）﹣t（﹣t，t）t（t，1] g'（x）+ 0 ﹣0 +g（x）↗极大值↘极小值↗不妨设g（0）＝﹣b≥0，则b≤0，则，∴M≥max{f（1），f（t），f（﹣t），f（﹣1）}，∵g（﹣t）+g（t）＝2g（0）≥0，且g（t）＜g（﹣t），∴g（﹣t）≥|g（t）|＝f（t），∵g（﹣1）+g（1）＝2g（0）≥0，若g（﹣1）≥g（1），则g（﹣1）≥|g（1）|＝f（1），若g（﹣1）＜g（1），则g（1）＞0，但g（﹣t）＞g（﹣1），∵g（﹣t）﹣g（1）＝（2t3﹣b）﹣（1﹣a﹣b）＝2t3+a﹣1＝2t3+3t2﹣1＝（2t﹣1）（t+1）2，∴．当时，，当且仅当b＝0，时，即当，b＝0时，M取得最小值；当时，M≥g（﹣t）＝2t3﹣b≥2t3＞2．综上所述，当，b＝0时，M取得最小值，此时．故答案为：．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，在三棱锥P﹣ABC中，AP＝AB，M，N分别为棱PB，PC的中点，平面PAB⊥平面PBC．（1）求证：BC∥平面AMN；（2）求证：平面AMN⊥平面PBC．【分析】（1）线面平行的定理的应用，注意一定要有面内，面外的说明；（2）面面垂直定理的性质定理及判定定理的应用．【解答】证明：如图所示：（1）M，N分别为棱PB，PC的中点，∴MN∥BC，MN⊂AMN，BC⊄AMN，所以BC∥面AMN；（2）PA＝AB，点M为棱PB的中点，∴AM⊥PB，又平面PAB⊥平面PBC，平面PAB∩平面PBC＝PB，AM⊂PAB，AM⊥面PBC，又AM⊂AMN，∴平面AMN⊥平面PBC．16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）若a＝5，，求b的值；（2）若，求tan2C的值．【分析】（1）结合已知，可利用余弦定理求出b；（2）由已知结合同角平方关系可求sin A，然后结合诱导公式及和差角公式可求cos C，sin C，再利用同角基本关系及二倍角正切公式可求．解：（1）在△ABC中，由余弦定理b2+c2﹣2bc cos A＝a2，得，即b2﹣4b﹣5＝0，解得b＝5或b＝﹣1（舍），所以b＝5．（2）由及0＜A＜π得，，所以，又因为0＜C＜π，所以，从而，所以．17．如图，在圆锥SO中，底面半径R为3，母线长l为5．用一个平行于底面的平面去截圆锥，截面圆的圆心为O1，半径为r．现要以截面圆为底面，圆锥底面圆心O为顶点挖去一个倒立的小圆锥，记小圆锥的体积为V．（1）将V表示成r的函数；（2）求小圆锥的体积V的最大值．【分析】（1）在△SAO中，，由△SNO1∽△SAO可知，，从而，，由此能将V表示成r的函数．（2）由，得，令V'（r）＝0，得r＝2，由此能求出小圆锥的体积V的最大值．解：（1）在△SAO中，，由△SNO1∽△SAO可知，，所以，所以，所以．（2）由（1）得，所以，令V'（r）＝0，得r＝2，当r∈（0，2）时，V'（r）＞0，所以V（r）在（0，2）上单调递增；当r∈（2，3）时，V'（r）＜0，所以V（r）在（2，3）上单调递减．所以当r＝2时，V（r）取得最大值．答：小圆锥的体积V的最大值为．18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的右顶点为A，过点A作直线l与圆O：x2+y2＝b2相切，与椭圆C交于另一点P，与右准线交于点Q．设直线l的斜率为k．（1）用k表示椭圆C的离心率；（2）若，求椭圆C的离心率．【分析】（1）写出直线l的方程，由圆心到直线的距离等于半径可得．由此求得椭圆的离心率；（2）设椭圆C的焦距为2c，则右准线方程为，分别联立直线方程、直线与椭圆方程求得Q与P的坐标，结合，得a（a2k2﹣b2）＝2b2k2（a﹣c），由（1）知，，由此列等式求解椭圆C的离心率．解：（1）直线l的方程为y＝k（x﹣a），即kx﹣y﹣ak＝0，∵直线l与圆O：x2+y2＝b2相切，∴，故．∴椭圆C的离心率；（2）设椭圆C的焦距为2c，则右准线方程为，由，得，∴，由，得（b2+a2k2）x2﹣2a3k2x+a4k2﹣a2b2＝0，解得，则，∴，∵，∴，即a（a2k2﹣b2）＝2b2k2（a﹣c），由（1）知，，∴，整理得a＝2a﹣2c，即a＝2c，∴，故椭圆C的离心率为．19．（16分）已知函数（a∈R）．（1）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+y﹣1＝0，求a的值；（2）若f（x）的导函数f'（x）存在两个不相等的零点，求实数a的取值范围；（3）当a＝2时，是否存在整数λ，使得关于x的不等式f（x）≥λ恒成立？若存在，求出λ的最大值；若不存在，说明理由．【分析】（1）求导，利用导数的几何意义即可求解；（2）因为存在两个不相等的零点，所以g（x）＝ax﹣1+lnx存在两个不相等的零点，则，再对a分情况讨论求出a的取值范围；（3）当a＝2时，，，设g （x）＝2x﹣1+lnx，则．所以g（x）单调递增，且，g（1）＝1＞0，所以存在使得g（x0）＝0，所以x＝x0时，f（x）取得极小值，也是最小值，此时，因为，所以f（x0）∈（﹣1，0），因为f（x）≥λ，且λ为整数，所以λ≤﹣1，即λ的最大值为﹣1．解：（1），因为曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+y﹣1＝0，所以f'（1）＝a﹣1＝﹣1，得a＝0；（2）因为存在两个不相等的零点，所以g（x）＝ax﹣1+lnx存在两个不相等的零点，则，①当a≥0时，g'（x）＞0，所以g（x）单调递增，至多有一个零点，②当a＜0时，因为当时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，当时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，所以时，，因为g（x）存在两个零点，所以，解得﹣e﹣2＜a＜0，因为﹣e﹣2＜a＜0，所以，因为g（1）＝a﹣1＜0，所以g（x）在上存在一个零点，因为﹣e﹣2＜a＜0，所以，因为，设，则y＝2lnt﹣t﹣1（t＞e2），因为，所以y＝2lnt﹣t﹣1（t＞e2）单调递减，所以y＜2ln（e2）﹣e2﹣1＝3﹣e2＜0，所以，所以g（x）在上存在一个零点，综上可知，实数a的取值范围为（﹣e﹣2，0）；（3）当a＝2时，，，设g（x）＝2x﹣1+lnx，则．所以g（x）单调递增，且，g（1）＝1＞0，所以存在使得g（x0）＝0，因为当x∈（0，x0）时，g（x）＜0，即f'（x）＜0，所以f（x）单调递减；当x∈（x0，+∞）时，g（x）＞0，即f'（x）＞0，所以f（x）单调递增，所以x＝x0时，f（x）取得极小值，也是最小值，此时，因为，所以f（x0）∈（﹣1，0），因为f（x）≥λ，且λ为整数，所以λ≤﹣1，即λ的最大值为﹣1．20．（16分）已知数列{a n}的首项a1＝3，对任意的n∈N*，都有a n+1＝ka n﹣1（k≠0），数列{a n﹣1}是公比不为1的等比数列．（1）求实数k的值；（2）设数列{b n}的前n项和为S n，求所有正整数m的值，使得恰好为数列{b n}中的项．【分析】（1）利用递推关系a n+1＝ka n﹣1，取特殊值n＝1，2，3，从而得到a1＝3，a2＝3k﹣1，．因为数列{a n﹣1}是等比数列，利用等比中项公式，可得，进而算出k＝2或，然后检验即可得解；（2）由（1）可得，结合分组求和法算得S2m，S2m﹣1，并得知S2m＞0，S2m＞0．于是假设，则t＝1，3或t为偶数，然后分类﹣1讨论每种情形是否符合题意即可得解．解：（1）由a n+1＝ka n﹣1，a1＝3，可知a2＝3k﹣1，，∵{a n﹣1}为等比数列，∴，即（3k﹣2）2＝2×（3k2﹣k﹣2），整理，得3k2﹣10k+8＝0，解得k＝2或．①当时，，此时a n＝3，则a n﹣1＝2，∴数列{a n﹣1}的公比为1，不符合题意；②当k＝2时，a n+1﹣1＝2（a n﹣1），所以数列{a n﹣1}的公比，综上所述，实数k的值为2．（2）由（1）知，，∴．则＝（4﹣1）+（4﹣3）+...+[4﹣（2m﹣1）]+4+42+ (4)＝，．∵，∴，∵b2+b3＝5＞0，b1＝3＞0，∴S2m﹣1＞0，S2m＞0．设，则t＝1，3或t为偶数，因为S2m≠S2m﹣1，所以t＝3（即b3＝1）不可能，所以t＝1或t为偶数，①当时，，化简得6m2﹣24m+8＝﹣4m≤﹣4，即m2﹣4m+2≤0，所以m可取值为1，2，3，验证得，当m＝2时，成立．②当t为偶数时，，设，则，由①知m＞3，当m＝4时，；当m＞4时，c m+1﹣c m＞0，所以c4＞c5＜c6＜…，所以c m的最小值为，所以，令，则，即﹣3m2+12m﹣4＝0，而此方程无整数解．综上，正整数m的值为2．数学Ⅱ（附加题）【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]21．已知矩阵M＝的一个特征值为4，求矩阵M的逆矩阵M﹣1．【分析】写出矩阵M的特征多项式f（λ），根据题意知f（4）＝0求出t的值，写出矩阵M，再求它的逆矩阵．解：矩阵M的特征多项式为f（λ）＝＝（λ﹣2）（λ﹣1）﹣3t；因为矩阵M的一个特征值为4，所以方程f（λ）＝0有一根为4；即f（4）＝2×3﹣3t＝0，解得t＝2；所以M＝，设M﹣1＝，则MM﹣1＝＝，由，解得；由，解得；所以M﹣1＝．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）＝12，曲线C的参数方程为（θ为参数，θ∈R），在曲线C上求点M，使点M到l的距离最小，并求出最小值．【分析】首先把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用点到直线的距离公式的应用求出结果．解：直线l的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）＝12，转换为直角坐标方程x+y﹣12＝0．曲线C的参数方程为（θ为参数，θ∈R），设点P（），所以点P（）到直线x+y﹣12＝0的距离d＝＝，当时，即M（3，1）到直线的距离的最小值为4．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知正数x，y，z满足x+y+z＝1，求++的最小值．【分析】根据题意，分析可得（x+2y）+（y+2x）+（z+2x）＝3（x+y）＝3，结合柯西不等式分析可得答案．解：根据题意，x+y+z＝1，则（x+2y）+（y+2x）+（z+2x）＝3（x+y）＝3；则有[（x+2y）+（y+2x）+（z+2x）]（++）≥[（×）+（×）+（×）]2＝9；当且仅当x＝y＝z＝时等号成立；变形可得：++≥3，即++的最小值为3．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1B1B为正方形，BB1C1C为菱形，∠BB1C1＝60°，平面AA1B1B⊥平面BB1C1C．（1）求直线AC1与平面AA1B1B所成角的正弦值；（2）求二面角B﹣AC1﹣C的余弦值．【分析】（1）在平面BB1C1C内过点B作Bz⊥BB1，以点B为坐标原点，分别以BA，BB1所在的直线为x，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系B﹣xyz，用向量法求出即可；（2）求出平面BAC1的一个法向量和平面ACC1的一个法向量，利用向量的夹角公式求出即可．解：（1）在正方形ABB1A1中，AB⊥BB1，因为平面AA1B1B⊥平面BB1C1C，平面AA1B1B∩平面BB1C1C＝BB1，AB⊂平面ABB1A1，所以AB⊥平面BB1C1C，在平面BB1C1C内过点B作Bz⊥BB1，以点B为坐标原点，分别以BA，BB1所在的直线为x，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系B﹣xyz，设A（2，0，0），则B1（0，2，0）．在菱形BB1C1C中，∠BB1C1＝60°，C（0，﹣1，），C1（0，1，），，平面AA1B1B的一个法向量为，则由cos＝＝＝，故线AC1与平面AA1B1B所成角的正弦值为；（2）设平面BAC1的一个法向量为，，由，得，故，设平面ACC1的一个法向量，，，由，得，故，由cos＝，故二面角B﹣AC1﹣C的余弦值为．25．已知n为给定的正整数，设，x∈R．（1）若n＝4，求a0，a1的值；（2）若，求的值．【分析】（1）利用二项式展开式公式计算n＝4时a0和a1的值；（2）由x＝写出a k x k，利用k＝n，讨论n＝1和n≥2时，计算（n﹣k）•a k•x k的值即可．解：（1）因为n＝4，所以a0＝•＝，a1＝•＝；（2）当x＝时，a k x k＝••，又因为k＝k•＝n•＝n，当n＝1时，（n﹣k）a k x k＝•＝；当n≥2时，（n﹣k）•a k•x k＝（n﹣k）•••＝n﹣k＝n﹣n＝n﹣n＝n﹣n＝n，当n＝1时，也符合．所以（n﹣k）a k x k的值为n．。