新课标数学思维同步训练四年级上册第十五单元数学广角（二）【教学目标】1.初步体会对策论方法在解决实际问题中的应用。
2.通过具体的问题情景体会到解决问题策略的多样性，学会用逆推法、分组法、对称法解决问题。
形成寻找解决问题最优方案的意识。
3.进一步提高应用意识和解决实际问题的能力。
学会从简单问题中寻找规律。
【教学重难点】重点：通过具体的问题情景体会到解决问题策略的多样性，学会用逆推法、分组法、对称法解决问题。
形成寻找解决问题最优方案的意识。
难点：根据具体情况选择最优方案解决实际问题。
【教学过程】一、故事引入1.教师讲故事：唐僧师徒4人去西天取经，走得很累，唐僧让大家原地休息。
八戒小声对孙悟空说：“猴哥，咱俩玩点什么，好吗？”孙悟空找来好多小石子，从1个一堆、2个一堆……一直到9个一堆，一共摆了9堆。
孙悟空说：“咱俩抢15吧。
”“抢15？怎么个抢法？”八戒很感兴趣。
悟空说：“很简单。
咱俩一先一后地取石子，每次只能取一堆，谁先取到15个小石子就算谁赢。
输了要被弹一下脑门儿。
”“好吧，我先拿。
”八戒心想，这还不容易，9加6就是15。
八戒伸手就抓走9个的那一堆。
悟空不敢怠慢，赶紧拿走6个的一堆。
八戒心中暗骂，这个猴头真坏，破坏了我的计谋！八戒只好又拿了5个的一堆，悟空伸手拿走只有1个的那一堆。
八戒一想：坏了，我手中已有14个石子，1个那一堆又被猴头拿走，不管我再拿哪一堆，总数都要超过15。
结果八戒输了，脑门上被重重地弹了一下。
八戒连着抢先拿了3次，结果都输了，脑门上被弹了3次，起了一个不大不小的包。
八戒捂着脑门对悟空说：“你先拿吧，先拿吃亏。
”“可以。
”悟空伸手抓起了5个的那一堆。
八戒抓起9个的一堆，悟空抓起6个的一堆。
八戒心想：我不能拿多的了，不然的话又超过15了。
他抓起1个的一堆。
悟空把4个的一堆抓到手说：“我抢到15啦！认输吧！”又连玩3次，悟空每次都先抓起5个的那一堆，每次都赢。
手摸着脑门上的包越来越大，八戒宣布不玩了。
八戒问：“猴哥，你为什么先拿5个那一堆呢？”悟空笑嘻嘻地对八戒说：“我在太上老君那儿，看到这个九宫图。
不管你是横着加、竖着加还是斜着加，3个数之和都得15。
5居中央，有4种方法可以得15，而别的数只有3种方法，所以，我先取个5。
”悟空边说边画起了九宫图。
八戒懊丧地“哼”了一下，一拍脑门，不偏不倚正好打在那个包上。
2.听了这个故事，你有什么想法？二、探索新知（一）学习例11.出示例题：从前，有一个农夫。
他带着一只狼、一只山羊和一些白菜过河，由于船太小，每次只能运一种东西，假如先把白菜运过河，剩下狼和山羊，山羊就会被狼吃掉。
假如先把狼运过河，山羊就会把白菜吃掉。
同学们，请你帮助农夫想一想该怎样过这条河呢？2．学生读题，初步理解题意。
3.与同学讨论讨论，怎样解决这个问题。
4.全班交流：这是一道古老的问题，大家经过思考一定都可以自己解答。
方法一:可以这样想：（1）带着山羊过河；（2）把山羊放在对岸空手回来；（3）再把狼带过去；（4）返回时再把山羊带回来，把狼放在对岸；（5）然后再把白菜带到对岸，把山羊留下来；（6）把白菜放在对岸，空手回来；（7）再把山羊带过去。
这样就都过了河。
方法二:（1）先把山羊送过河；（2）空手回来，再把白菜带过去，返回时把山羊带回；（3）把狼带过去；（4）再回来把山羊带过去。
（二）学习例21.出示例题：一堆火柴有20根，两个人轮流从中拿走1根、2根或3根，谁取走最后一根火柴棒，谁就获胜。
问：谁一定能获胜？2.读题，初步理解题意。
3.全班交流：方法一:本题我们可以采用“倒推法”分析获胜方在最后一次取走最后1根；往前倒推，在倒数第二次取时，必须留给对方4根，此时无论对方取1根、2根或3根，获胜方都可以取走最后1根；再往前倒推，获胜方要想留给对方4根，在倒数第三次时必须留给对方8根，……由此可知，获胜方只要每次留给对方的都是4的倍数根，则必胜。
现在这堆火柴有20根，先取的人最多取3根，又不能不取，不能留给后取者4的倍数根，而后取的人每次都能留给先取的人4的倍数根，所以后取者必胜。
方法二:本题还可以采用“分组法”游戏规则中每次最少拿1根火柴，最多拿3根火柴，把两个人每人拿一次看作一轮的话，每轮中后拿的人可以控制两个人的和为4根。
20÷4=5。
说明5轮后一定后拿的人赢。
想一想，如果总根数变成了21根，最后谁获胜呢。
很显然21÷4=5……1 说明只要先拿的拿1根，火柴根数就变成了20根，先拿1根的人就可以控制两人每一轮的和是4根，再拿5轮一定获胜。
4.教师小结：像例2这一类抢数题目，我们先要看一看每次最少拿几个，最多可拿几个。
每一轮可以控制两个人的和（最小数与最大数的和）是多少。
如果所拿数量总和是每一轮总和的倍数。
那后拿的人赢。
如果总和除以每一轮的和有余数。
余数是多少，先拿的人第一次就拿多少，然后就可以控制每一轮两个人的和，最后获胜。
（三）学习例31.出示例题：有1994个球，甲乙两人用这些球进行取球比赛。
比赛的规则是：甲乙轮流取球，每人每次取1个，2个或3个，取最后一个球的人为失败者。
(1)甲先取，甲为了取胜，他应采取怎样的策略？(2)乙先拿了3个球，甲为了必胜，应当采取怎样的策略？2.学生读题，初步理解题意。
3.在小组内讨论讨论。
4.一起交流：（1）解决第一个问题：为了叙述方便，把这1994个球编上号，分别为1～1994号。
取球时先取序号小的球，后取序号大的球，还是采用倒推法。
甲为了取胜，必须把1994号球留给对方，因此甲在最后一次取球时，必须使他自己取到球中序号最大的一个是1993（也许他取的球不止一个）。
为了保证能做到这一点，就必须使乙最后第二次所取的球的序号为1990～1992。
因此，甲在最后第二次取球时，必须使他自己所取的球中序号最大的一个是1989。
为了保证能做到这一点，就必须使乙最后第三次所取球的序号为1986～1988。
这样，甲在最后第三次取球时，必须使他自己取球中序号最大的一个是1985，……把甲每次所取的球中的最大序号倒着排列起来：1993、1989、1985、……通过转化这道题变成了一个抢1993的题目：因为：1993÷（1+3）=498 (1)由上面的分析可知，甲为了获胜，必须取到那些序号为被4除余1的球，第一次取1号球一定获胜。
（2）解决第二个问题：现在乙先拿了3个，甲就应拿5-3=2个球，以后乙取a个球，甲就取4-a个球。
答：（1）甲为了获胜，甲应先取1个球，以后乙取a个球，甲就取4-a个球。
（2）乙先拿了3个球，甲为了必胜，甲应拿2个球，以后乙取a个球，甲就取4-a个球。
（四）学习例41.出示例题：桌子上有8枚硬币，甲、乙两人轮流拿，他们规定，假如甲先拿（当然乙也可以先拿）甲可以拿任意枚但不能全拿光，接着乙拿，乙可以拿不多于甲所拿硬币的2倍，又轮到甲拿，甲可以拿不多于乙拿硬币的2倍，这样交替进行，谁最后把硬币拿光就算胜利，采取怎样的策略可以取胜呢?2.学生读题，初步理解题意。
3.在小组内讨论讨论。
4.探讨规律：先由个数少的情况考虑。
（1）当有3枚硬币时，甲无论拿走1枚还是2枚硬币，乙都可以在第二次时拿光所有硬币，甲（先拿者）必败。
（2）当有4枚硬币时，甲可以拿走1枚硬币，这时留给乙3枚硬币，乙（后拿者）必败。
（3）当有5枚硬币时，甲第一次如果拿走2（3、4）枚硬币，乙都可以在第二次时拿光所有硬币，甲（先拿者）必败；甲第一次拿走1枚硬币，乙第二次也拿走1枚硬币，此时乙又把3枚硬币留给了甲，甲（先拿者）必败。
（4）当桌子上有6（或7）枚硬币时，甲第一次可以拿走1（或2）枚硬币，把5枚硬币留给乙，这时乙（后拿者）必败。
（5）当桌子上有8枚硬币时，可以分成两堆来考虑，第一堆有3枚硬币，第二堆有5枚硬币，每一堆都是先拿者必败，无论先拿哪一堆，第一堆是先拿者失败，他又必是第二堆的先拿者，第二堆的失败者还是这个人，所以当桌子上有8枚硬币时，先拿者（甲）必败。
5.拓展知识：实际这个数字游戏与斐波那契数列有关。
( 从第三个数起，每个数都是前两个数的和)1、1、2、3、5、8、13、21、34、……8为该数列中的数，事实上是：如果甲、乙二人都熟悉这个游戏的“技巧”，那么如果硬币数是该数列中的某一项，则先拿者输，如果硬币数不是该数列的某一项，则先拿者必赢。
（五）学习例51.出示例题：左下图是国际象棋的棋盘，玛丽和老师轮流往棋盘的空格内放入“相”（“相”是国际象棋中的一种棋子，它的走法是沿斜线方向，格数不限，并且在它的行走路线上可以攻击其它棋子。
）。
一方持黑棋，一方持白棋。
当任何一方放入“相”时，要保证不受到对方已放的“相”的攻击。
无法放的人为失败者，玛丽要想取胜，它应该选择先放棋子，还是后放棋子？2.学生读题，初步理解题意。
3.猜猜玛丽要想取胜，应该先放还是后放棋子。
4.在小组内讨论讨论。
5.学习新的解题思路：这道题我们可以利用“对称”的思路来解答。
因为棋盘是“轴对称图形”，所以先放者必输。
先放者无论将棋子放在什么位置，后放者都可以将棋子放在对称的位置（以棋盘的竖直平分线为对称轴），一定不被其攻击，如右上图。
这样就能保证：（1）只要先放者能够在棋盘上放入棋子，后放者一定也可以在棋盘上放入棋子；（2）后放者放入的棋子与先放者放入的棋子在一条水平线上，所以不会受到先放者棋子的攻击。
如此摆放下去，必然是先放者最终找不到放棋子的位置。
所以玛丽要想取胜，一定要让老师先放棋子。
6.拓展知识：什么是轴对称图形呢？就是图形按某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形称为轴对称图形。
如下图：7.教师小结：利用对称的思想是解答对策问题常见的方法。
利用这种方法我们先要找到对称轴，还要找到相应的对称点，建立一一对应的思想。
（六）学习例61.出示例题：有一块大巧克力，见下图，上面有5条横线，9条竖线，这些线将这块巧克力分成了60个小格。
甲先沿一条线将巧克力掰成两块（两块不一定相等），吃掉一块，乙再沿一条线将剩下的巧克力掰成两块，吃掉一块。
这样继续下去，两人轮流掰吃这块巧克力，谁吃了最后一小格的巧克力谁就算输了。
问：甲和乙谁能采取一些策略百战百胜呢？2.学生读题，初步理解题意。
3.在小组内讨论讨论，充分发表自己的意见。
4.集体交流：同学们，这道题目所给的格子数比较多，我们可以先考虑简单一些的情形：（1）比如：如果开始时巧克力是一个长条，例如1×10的，那么，谁有必胜的策略呢？显然，这时，甲可以稳操胜券。
因为他可以将巧克力掰开，吃掉9格，留下一格。
（2）如果问题复杂一点，巧克力是2×2的，那么，先取的人就无法取胜了。
因为他掰过后剩下一块1×2的巧克力，后取的再掰一次就剩下一小格巧克力了。
