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函数的概念与表示 (学案)一、知识梳理：（阅读教材必修1第15页—第26页） 1、 函数 （1）、函数的定义： （2）、构成函数的三要素：函数的定义含有三个要素，即定义域A ，值域C ，对应法则f ，当定义域A ，对应法则f 相同时，两个函数表示是同一个函数，解决一切函数问题必须认真确定函数的定义域，函数的定义域包含四种形式： 自然型；限制型；实际型；抽象型；（3）函数的表示方法：解析式法，图象法，列表法 2、 映射映射的定义： 函数与映射的关系：函数是特殊的映射 3、分段函数分段函数的理解：函数在它的定义域中对于自变量x 的不同取值上的对应关系不同，则可以用向个不同的解析式表法该函数，这种形式的函数叫分段函数，分段函数是一个函数而不是多个函数。
4、函数解析式求法求函数解析式的题型有：（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；（2）已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x ：换元法、配凑法； （3）已知函数图像，求函数解析式；（4）()f x 满足某个等式，这个等式除()f x 外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；（5） 应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等．二、题型探究探究一：求函数的定义域1.(郑州模拟)函数0( )A.{x|x<0}B.{x|x>0}C.{x|x<0且x ≠-1}D.{x|x ≠0且x ≠-1,x ∈R}2、若函数f(x+1)的定义域是[1,2],则函数)的定义域为________.3、函数y=253x x --的值域是{y|y ≤0或y ≥4},则此函数的定义域为________.探究二：求函数的解析式 例2．（1）已知3311()f x x xx +=+，求()f x ； （2）已知2(1)lg f x x+=，求()f x ；（3）已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x ；（4）已知()f x 满足12()()3f x f x x+=，求()f x ．三、方法提升1、判断一个对应是否为映射关键在于是否“取值任意性，成象唯一性；判断是否为函数“一看是否为映射，二看A ，B 是否为非空的数集”2、函数是中学最重要的概念之一，学习函数的概念首先要掌握函数的三要素基本内容与方法，由给定的函数的解析式求其定义域是这类问题的代表，实际上是求使函数有意义的x 有取值范围；求函数定义域一般有三类问题：（1）给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；（2）实际问题：函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义；（3）已知()f x 的定义域求[()]f g x 的定义域或已知[()]f g x 的定义域求()f x 的定义域：①掌握基本初等函数（尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数）的定义域； ②若已知()f x 的定义域[],a b ，其复合函数[]()f g x 的定义域应由()a g x b ≤≤解出．求函数解析式的题型有：（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；（2）已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x ：换元法、配凑法； （3）已知函数图像，求函数解析式；（4）()f x 满足某个等式，这个等式除()f x 外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等．四、 反思感悟五、课时作业课时训练 函数的解析式与定义域【说明】 本试卷满分100分，考试时间90分钟. 一、选择题（每小题6分，共42分） 1.（2010江苏南京一模，2）函数y=322--x x +log 2(x+2)的定义域为（ ）A.（-∞,-1）∪(3,+∞)B.(-∞,-1]∪［3,+∞）C.(-2,-1]D.(-2,-1］∪［3,+∞) 2.若f(x+1)=21f(x),则下列函数中f(x)为（ ） A.2x B.x+21C.2-xD.21log x 3.g(x)=1-2x,f ［g(x)］=221x x -(x ≠0),则f(21)等于（ ）A.1B.3C.15D.30 4.设函数f(x)=lgx,g(x)=4x -2x+1-3,则函数f ［g(x)］的定义域是（ ） A.（-∞,2） B.(2,+∞) C.(log 23,+∞) D.(-∞,log 23)A.S=1+2t-3B.S=23log 2t C.S=21(t 2-1) D.S=-2t+5.5 6.已知函数y=f(x)的图象如下图,那么f(x)等于（ ）A.122+-x x B.1||22+-x x C.|x 2-1|D.x 2-2|x|+17.（2010全国大联，8）已知函数y=f(2x )的定义域是［-1，1］，则函数y=f(log 2x)的定义域是（ ）A.（0,+∞）B.(0,1)C.［1，2］D.［2，4］ 二、填空题（每小题5分，共15分） 8.函数f(x)=xx -++211的定义域为_______________. 9.已知f(x+1)的定义域是［1，2］，那么函数f(x )的定义域为___________________. 10.设函数f(x)=log a x(a>0且a ≠1),函数g(x)=-x 2+bx+c 且f(2+2)-f(2+1)=21,g(x)的图象过点A （4，-5）及B （-2，-5），则a=____________;函数f ［g(x)］的定义域为_______________.三、解答题（11—13题每小题10分，14题13分，共43分） 11.已知函数f(x+a)=|x-2|-|x+2|,且f ［f(a)］=3,求a 的值.12.已知函数f(x)=34723++-ax ax x 的定义域为R ,求a 的取值范围.13.如下图，用长为l 的木条围成上部分是半圆下部分是矩形的窗框，中间有2根横档，要使透光效果最好，应如何设计?.14.已知函数f(x)=lg(x+1),g(x)=2lg(2x+t)(t 为参数). （1）写出函数f(x)的定义域和值域；（2）当x ∈［0，1］时，求函数g(x)解析式中参数t 的取值范围; （3）当x ∈［0，1］时，如果f(x)≤g(x),求参数t 的取值范围. 附加题：1．已知2()f x 的定义域为[1,1]-，则(2)xf 的定义域为2．函数1sin 21sin 2xy x +=-的定义域为3、我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采取价格调控等手段来达到节约用水的目的，某地用水收费的方法是：水费＝基本费＋超额费＋损耗费．若每月用水量不超过最低限量a 3m 时，只付基本费8元和每月每户的定额损耗费c 元；若用水量超过a3m 时，除了付同上的基本费和定额损耗费外，超过部分每3m 付b 元的超额费．已知每户每月的定额损耗费不超过5元．4．（2010山东理）(11)函数y =2x-的图像大致是 （ ）5．山东卷理)函数的图像大致为 ( ).2x x x x xe e ye e--+=-D。
北大附属中学2010届高三数学教案：第一讲——集合一、知识清单：1.元素与集合的关系:用∈或∉表示；2.集合中元素具有确定性、无序性、互异性.3.集合的分类：①按元素个数分：有限集，无限集；②按元素特征分；数集，点集。
如数集{y |y =x 2},表示非负实数集，点集{(x ，y )|y =x 2}表示开口向上，以y 轴为对称轴的抛物线；4.集合的表示法：①列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N +={0，1，2，3，…}； ②描述法③字母表示法:常用数集的符号：自然数集N ；正整数集*N N +或；整数集Z ；有理数集Q 、实数集R;5．集合与集合的关系:用⊆，≠⊂，=表示;A 是B 的子集记为A ⊆B ；A 是B 的真子集记为A ≠⊂B 。
①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ⊆；②空集是任何集合的子集，记为A ⊆φ；空集是任何非空集合的真子集；③如果B A ⊆，同时A B ⊆，那么A = B ；如果A B ⊆，B C ⊆，A C ⊆那么.④n 个元素的子集有2n 个；n 个元素的真子集有2n －1个；n 个元素的非空真子集有2n －2个.6．交集A∩B={x |x ∈A 且x ∈B};并集A ∪B={x |x ∈A ，或x ∈B};补集C U A=｛x |x ∈U ，且x ∉A ｝，集合U 表示全集.7.集合运算中常用结论:①;A B A B A ⊆⇔=I A B A B B ⊆⇔=U②()()();U U U A B A B =U I 痧?()()()U U U A B A B =I U 痧? ③()()card A B card A =+U ()()card B card A B -I二、课前预习1．下列关系式中正确的是（ ）(A){}Φ⊆Φ (B){}0∈Φ (C)0{}Φ= (D)0{}⊆Φ2． 3231x y x y +=⎧⎨-=⎩解集为______. 3．设{}{}24,21,,9,5,1A a a B a a =--=--,已知{}9A B =I ,求实数a 的值.4．设{}220,M x x x x R =++=∈，a =lg(lg10)，则{a }与M 的关系是( )(A){a }=M (B)M Ü{a } (C){a }ÝM (D)M ⊇{a }5．集合A={x |x =3k -2，k ∈Z}，B={y |y=3n +1，n ∈Z}，S={y |y =6m +1，m ∈Z}之间的关系是( )(A)S ÜB ÜA (B)S=B ÜA (C)S ÜB=A (D)S ÝB=A6．用适当的符号()∈∉、、=、、茌填空： ①π___Q ; ②{3.14}____Q ;③-R ∪R +_____R; ④{x |x =2k +1, k ∈Z}___{x |x =2k －1, k ∈Z}。
高中数学教案函数的基本概念和性质高中数学教案：函数的基本概念和性质函数是数学中非常重要的一个概念，它在各个学科和实际生活中都有着广泛的应用。
本教案将介绍函数的基本概念和性质，帮助学生全面理解和掌握函数的本质和运用。
一、函数的引入和定义函数最早是由数学家高斯引入的，它描述了两个数集之间的一种特殊关系。
通常情况下，我们将函数表示为y=f(x)，其中x是自变量，y是因变量。
x的取值范围称为定义域，而y的取值范围称为值域。
函数可以用图像、映射、表格或公式等形式来表示。
二、函数的图像和性质函数的图像是将函数的各个取值与对应的值域点在坐标系中标出所得到的图形。
根据函数图像的不同形态，可以得出函数的性质。
其中，常见的函数类型有线性函数，二次函数，指数函数和对数函数等。
不同的函数类型有其独特的特点和变化规律，对于理解和应用函数非常重要。
三、函数的基本性质1. 定义域和值域：函数的定义域和值域反映了函数的取值范围。
对于函数来说，每一个自变量都有且只有一个对应的因变量。
2. 奇偶性：函数的奇偶性是指函数在布尔对称轴上是否对称。
其中，奇函数满足f(-x) = -f(x)，而偶函数则有f(-x) = f(x)。
3. 单调性：函数的单调性揭示了函数随自变量变化时的增减规律。
函数可以是增函数、减函数或常函数。
4. 极值：函数的极值指的是函数在其定义域内达到的最大值或最小值。
极大值对应局部最大值，极小值对应局部最小值。
5. 零点：函数的零点是指函数取值为0的自变量值。
寻找函数的零点对于解方程和求解实际问题具有重要意义。
四、函数的应用函数在实际生活中具有广泛的应用价值，例如在经济学、物理学、生物学等领域中。
通过函数，我们可以分析和描述事物之间的数学关系，进而解决实际问题。
函数的应用包括但不限于以下几个方面：1. 函数建模：将实际问题抽象成函数，利用函数的性质进行问题建模和求解。
2. 函数图像分析：通过观察函数的图像，分析函数的特点、极值、零点等，并进行数据的预测与实际意义的探讨。
2.1 函数概念-北师大版高中数学必修第一册（2019版）教案一、教学目标1.了解函数的概念及其表示方法；2.掌握函数的定义、函数的符号表示及其实例；3.认识函数的性质，特别是函数的单调性和奇偶性；4.掌握常见函数的图像和性质，如一次函数、二次函数、绝对值函数等。
二、教学重点1.函数的符号表示及其实例；2.函数的单调性和奇偶性；3.一次函数、二次函数、绝对值函数的图像和性质。
三、教学难点1.如何理解函数的概念及其表示方法；2.如何掌握函数的定义及其符号表示；3.如何理解并掌握函数的单调性和奇偶性。
四、教学过程1. 导入（5分钟）教师引入本节课的主体——函数，从自然数到实数，再到函数观点的演变，让学生从认识到理解，从而为学生接下来的学习打下基础。
2. 讲授（25分钟）教师讲解函数的概念、定义、符号表示及其实例。
如函数的概念就是把自变量的每一值都对应唯一的一个因变量的数的规律性描述。
同时，教师将重点解析函数在数学中的应用以及函数的性质，特别是函数的单调性和奇偶性。
3. 练习（30分钟）教师设计了一系列与函数相关的练习，让学生通过练习巩固所学知识。
通过练习，教师让学生更加深入地理解函数相关的定义、符号、实例及性质，提高学生解决实际问题的能力。
4. 总结（10分钟）教师对本节课的重点知识再次进行总结，并对学生在练习中出现的错误进行纠正，让学生更加深入地理解函数相关的概念、性质及其应用。
5. 作业（5分钟）教师布置一定量的作业，以帮助学生总结本节课内容，并提高学生的应用能力。
五、教学反思本节课通过导入、讲授、练习、总结和作业等环节，全面切实地实现了教学目标，成功地让学生明白了函数的概念，掌握了函数的定义和符号表示，理解并掌握了函数的性质，特别是函数的单调性和奇偶性，学习并掌握了一次函数、二次函数、绝对值函数的图像和性质。
但是，在教学过程中还有一些不足之处，如教师讲解的时候有时不够清晰，也没有针对学生的具体疑难问题进行更好的解答。
北师大函数教案教案标题：北师大函数教案教案概述：本教案旨在帮助学生理解和掌握函数的基本概念、性质以及函数的应用。
通过引导学生进行实际问题的建模和解决，培养学生的数学思维和解决问题的能力。
教案适用于北师大的函数教学，适用年级为高中数学课程。
教学目标：1. 理解函数的定义及其相关概念，如定义域、值域、图像、反函数等。
2. 掌握函数的性质，如奇偶性、单调性、周期性等。
3. 能够应用函数解决实际问题，如函数建模、函数关系的分析等。
4. 培养学生的数学思维和解决问题的能力。
教学重点：1. 函数的定义及其相关概念。
2. 函数的性质和特点。
教学难点：1. 函数的应用，如函数建模和实际问题的解决。
2. 函数性质的证明和推理。
教学准备：1. 教师准备：a. 熟悉函数的定义、性质和应用。
b. 准备相关教学资源，如教材、课件、实例题等。
c. 确定教学方法和教学步骤。
2. 学生准备：a. 复习前置知识，如数集、坐标系等。
b. 准备教材和学习工具。
教学过程：Step 1: 引入函数的概念 (10分钟)a. 通过提问和讨论引导学生思考函数的定义和基本概念。
b. 介绍函数的定义，包括定义域、值域、图像等。
Step 2: 函数的性质和特点 (20分钟)a. 介绍函数的奇偶性、单调性、周期性等性质，通过图像和实例进行说明。
b. 引导学生观察、总结函数的性质和特点。
Step 3: 函数的应用 (30分钟)a. 通过实际问题引导学生进行函数的建模和分析。
b. 分组讨论和展示各自的解决方案。
c. 教师进行点评和总结。
Step 4: 练习与巩固 (20分钟)a. 提供一些练习题，让学生巩固所学的函数概念和性质。
b. 鼓励学生独立思考和解决问题。
Step 5: 总结与反思 (10分钟)a. 教师对本节课的内容进行总结和归纳。
b. 学生对所学内容进行反思和提问。
教学延伸：1. 鼓励学生进行更多的实际问题建模和解决，提高应用能力。
2. 引导学生进行函数性质的证明和推理，培养逻辑思维和数学推理能力。
"北京市房山区房山中学高中数学 2.1.1 函数（三）教学提纲北师大版必修1 "、一、知识要点1、了解映射，一一映射，象和原象的概念，2、理解映射的定义.二、探索研究1．初中已经遇到过的对应：（1）对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点P和它对应；（2）对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对(x,y)和它对应；（3）对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；（4）某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应；阅读第34页例4、例5、例6，尝试解决以下问题映射的定义2、函数是映射吗？映射是函数吗？函数的定义课堂练习：(1)P36练习A(2) 对于从集合A到集合B的映射，下面说法错误的是( )A．A中的每一个元素在B中都有象B．A中的两个不同元素在B中的象必不相同C．B中的元素在A中可以没有原象D．B中的某一元素在A中的原象可能不止一个三、小结：2.1.2函数的表示方法（一）一、简要提示：本小节主要介绍函数的三种常用的表示方法，即列表法、图象法、解析法. 二、探索研究1、复习函数的概念2、请阅读课本第38—39页，回答下列问题：（1）列表法（2）图象法（3）解析法：三、应用举例：例1、作函数y=的图象.总结作函数图象的基本步骤：例2、已知函数()y f n =，满足(0)1f =，且()(1)f n nf n =-，n N +∈. 求(1),(2),(3),(4),(5).f f f f f四、课堂练习P42练习A ：五、小结六、作业P42练习A ，练习B.。
第5讲函数的概念[玩前必备]1.函数(1)函数的定义：设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数.记作y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域.(3)函数的值域：所有函数值构成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域.2.区间设a，b∈R，且a＜b.3.在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数.[玩转典例]题型一 函数的概念和判断例1 下列图形中，不可能是函数y ＝f (x )的图象的是( )题型二 同一函数的判断例2 下列各组函数中，表示同一个函数的是( ) A.y ＝x －1和y ＝x 2－1x ＋1 B.y ＝x 0和y ＝1C.f (x )＝x 2和g (x )＝(x ＋1)2D.f (x )＝(x )2x 和g (x )＝x(x )2[玩转跟踪]1.下列函数完全相同的是( )A.f (x )＝|x |，g (x )＝(x )2B.f (x )＝|x |，g (x )＝x 2C.f (x )＝|x |，g (x )＝x 2x D.f (x )＝x 2－9x －3，g (x )＝x ＋3题型三 函数的定义域例3 (1)函数f (x )＝xx －1＋12x 的定义域为( )A ．[0，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．[0,1)D ．[0,1)∪(1，＋∞)(2)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1,1) B ．(－1，－12)C ．(－1,0)D ．(12，1)[玩转跟踪]1. 已知函数(2)f x +的定义域为[－2，2]，则(1)(1)f x f x -++的定义域为( ) A ．[－1，1] B ．[－2，2] C ．[1，3]D ．[－1，5]2.(1)已知函数f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (x ＋12)＋f (x －12)的定义域是________．题型四 求函数的解析式例4 (1)已知f (2x＋1)＝x ，则f (x )＝________.(2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，则f (x )＝________. (3)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f (1x )－1，则f (x )＝________.[玩转跟踪]1.(1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝________. (2)已知f (x )满足2f (x )＋f (1x )＝3x ，则f (x )＝________.题型五 分段函数例5 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤－2，x 2＋2x ，－2＜x ＜2，2x －1，x ≥2.若f (a )＝3，求实数a 的值.[玩转练习]1.函数y ＝1－x ＋x 的定义域是( ) A.{x |x ≤1}B.{x |x ≥0}C.{x |x ≥1，或x ≤0}D.{x |0≤x ≤1}2.已知函数f (x )＝2x －1，则f (x ＋1)等于( ) A.2x －1 B.x ＋1 C.2x ＋1D.13.设函数f (x )＝41－x ，若f (a )＝2，则实数a ＝________.4.已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出(1)f [g (1)]＝______；(2)若g [f (x )5. 如果f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x1－x ，则当x ≠0,1时，f (x )等于( ) A.1x B.1x －1 C.11－x D.1x－16.已知二次函数f (x )满足f (0)＝0，且对任意x ∈R 总有f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x ).7.求下列函数的解析式：(1)已知f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x 2＋1x2＋1，求f (x )； (2)已知f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x ，求f (x )的解析式.第6讲函数的单调性[玩前必备]1．函数的单调性(1)单调函数的定义自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值[玩转典例]题型一 函数单调性的判断和证明例1 判断并证明函数y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上的单调性．例2. 函数的单调递增区间为 .[玩转跟踪]1.已知函数f (x )＝2－xx ＋1，证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为减函数.2.定义在R 上的函数f (x )对任意两个不相等的实数a ，b ，总有f (a )－f (b )a －b >0，则必有( )A.函数f (x )先增后减B.f (x )是R 上的增函数C.函数f (x )先减后增D.函数f (x )是R 上的减函数3.画出函数y ＝－x 2＋2|x |＋1的图象并写出函数的单调区间.题型二 函数单调性的应用223y x x =--角度一：利用函数的单调性求最值例4 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________．角度二：利用函数的单调性求解不等式例5 1.(1)已知y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，且f (1－a )<f (2a －1)，则实数a 的取值范围为________.(2) 已知函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则实数a 的取值范围为________．角度三：利用函数的单调性求参数例6 (1)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－14，＋∞B.⎣⎡⎭⎫－14，＋∞ C.⎣⎡⎭⎫－14，0 D.⎣⎡⎦⎤－14，0 (2).已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3a －1)x ＋4a ，x ＜1，－x ＋1，x ≥1是定义在R 上的减函数，那么a 的取值范围是________.题型三 分类讨论二次函数单调性和最值例7 求函数12)(2--=ax x x f 在闭区间]2,0[上的单调性和最小值．【玩转跟踪】1．已知函数2()22f x x ax =++，求()f x 在[]5,5-上的最大值与最小值．2．已知函数32)(2+-=x x x f ，当t x [∈，]1+t 时，求)(x f 的最大值与最小值．题型四 抽象函数单调性和最值例8 已知函数)(x f 对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x ＞0时，f (x )＜0，f (1)＝－23.（1）求证：)(x f 在R 上是减函数； （2）求)(x f 在[－3,3]上的最大值和最小值．【玩转跟踪】1.已知函数)(x f 的定义域为0(，)∞+，且当1>x 时，0)(>x f 且)()()(y f x f y x f +=⋅． （1）求)1(f 的值；（2）证明)(x f 在定义域上的增函数；（3）解不等式0)]21([<-x x f ．[玩转练习]1.下列说法中，正确的有( )①若任意x 1，x 2∈I ，当x 1＜x 2时，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0，则y ＝f (x )在I 上是增函数；②函数y ＝x 2在R 上是增函数； ③函数y ＝－1x在定义域上是增函数；④函数y ＝1x 的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).A.0个B.1个C.2个D.3个2.若函数f (x )＝4x 2－kx －8在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是( ) A.(－∞，40)B.[40,64]C.(－∞，40]∪[64，＋∞)D.[64，＋∞)3.若f (x )为R 上的增函数，kf (x )为R 上的减函数，则实数k 的取值范围是( ) A.k 为任意实数 B.k ＞0 C.k ＜0D.k ≤04.函数y ＝x |x －1|的单调递增区间是________.5. 函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[2，＋∞)时是增函数，当x ∈(－∞，2]时是减函数，则f (1)＝________.6.如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( ) A.a ＞－14B.a ≥－14C.－14≤a ＜0D.－14≤a ≤07.已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象的对称轴为直线x ＝1，则( ) A.f (－1)<f (1)<f (2) B.f (1)<f (2)<f (－1) C.f (2)<f (－1)<f (1) D.f (1)<f (－1)<f (2)8.讨论函数y ＝x 2－2(2a ＋1)x ＋3在[－2,2]上的单调性.第7讲 函数的奇偶性[玩前必备]1.函数奇偶性的定义(1)奇函数：设函数y ＝f (x )的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有－x ∈D ，且f (－x )＝－f (x )，则这个函数叫做奇函数.(2)设函数y ＝g (x )的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有－x ∈D ，且g (－x )＝g (x )，则这个函数叫做偶函数. 2.奇、偶函数图象的对称性(1)奇函数的图象关于原点成中心对称图形，反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.(2)偶函数的图象是以y 轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y 轴对称，则这个函数是偶函数. 3.判断奇偶性的步骤.4.奇偶性的有关结论(1)若奇函数在0x =处有意义，则有(0)0f =. (2)奇函数在定义域内的对称区间上单调性相同; 偶函数在定义域内的对称区间上单调性相反。
北师大版《函数的概念》说课教案第一篇：北师大版《函数的概念》说课教案北师大版《函数的概念》说课教案教材分析一、本课时在教材中的地位及作用教材采用北师大版（数学）必修1，函数作为初等数学的核心内容，贯穿于整个初等数学体系之中。
本章节9个课时，函数这一章在高中数学中，起着承上启下的作用，它是对初中函数概念的承接与深化。
在初中，只停留在具体的几个简单类型的函数上，把函数看成变量之间的依赖关系，而高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，更是从“变量说”到“对应说”，这是对函数本质特征的进一步认识，也是学生认识上的一次飞跃。
这一章内容渗透了函数的思想，集合的思想以及数学建模的思想等内容，这些内容的学习，无疑对学生今后的学习起着深刻的影响。
本节课《函数的概念》是函数这一章的起始课。
概念是数学的基础，只有对概念做到深刻理解，才能正确灵活地加以应用。
本课从集合间的对应来描绘函数概念，起到了上承集合，下引函数的作用。
也为进一步学习函数这一章的其它内容提供了方法和依据二、教学目标理解函数的概念，会用函数的定义判断函数，会求一些最基本的函数的定义域、值域。
通过对实际问题分析、抽象与概括，培养学生抽象、概括、归纳知识以及逻辑思维、建模等方面的能力。
通过对函数概念形成的探究过程，培养学生发现问题，探索问题，不断超越的创新品质。
三、重难点分析确定根据上述对教材的分析及新课程标准的要求，确定函数的概念既是本节课的重点，也应该是本章的难点。
四、教学基本思路及过程本节课《函数的概念》是函数这一章的起始课。
概念是数学的基础，只有对概念做到深刻理解，才能正确灵活地加以应用。
本课（借助小黑板）从集合间的对应来描绘函数概念，起到了上承集合，下引函数的作用，也为进一步学习函数这一章的其它内容提供了方法和依据。
⑴ 学情分析一方面学生在初中已经学习了变量观点下的函数定义，并具体研究了几类最简单的函数，对函数已经有了一定的感性认识；另一方面在本书第一章学生已经学习了集合的概念，这为学习函数的现代定义打下了基础。
函数的概念【教材分析】函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想．【教学目标】1．通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；2．会求一些简单函数的定义域和值域；3．能够正确表示某些函数的定义域；【核心素养】1．数学抽象：借助集合语言，抽象的概述函数的概念2．逻辑推理：根据初中的函数概念，掌握函数变量之间的基本特性，从而引导学生用高中集合的语言对函数的概念重新定义。
3．数学运算：求函数的定义域；会判断两个函数是否为同一函数；求函数值4．直观想象：对于函数的定义域，可以直观理解为是满足函数有意义的所有自变量组成的集合。
5．数学建模:通过对函数的重新定义，让学生了解到如何借助集合的语言可以抽象的概述出函数的定义，这样不仅让学生学会建立数学知识间的关联，也可以将这种数学思想运用于实践中。
【教学重点】理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数【教学难点】符号“()y f x =”的含义，函数定义域和值域的区间表示【课前准备】y kx b =+2y ax bx c =++k y x=0,0k a ≠≠{()|}f x x ∈Α()y f x =()y g x =()y f x =()f x x()f x =2()g x =2()f x x =2()(1)g x x =+21()1x f x x -=+()1g x x =-1()f x x x =+1()g t t t=+()f x ()g x [0,)+∞()f x {|1}x x ≠-()g x ()f x ()g t 1231y x x =++-1y x=y =1231y x x =++-{|1}x x ≠{300x x +≥≠1y x ={|30}x x x ≥-≠且{3030x x +≥--≥y ={|3}{3}x x =-=到集合N 的对应关系中，其中是的函数的是（ ）A ．{}|M x x ∈Z ＝，{}|N y y ∈Z ＝，对应关系:f x y →，其中2x y =B ．{|}0M x x x ∈R ＝＞，，{}|N y y ∈R ＝，对应关系:f x y →，其中2y x =±C ．{}|M x x ∈R ＝，{}|N y y ∈R ＝，对应关系:f x y →，其中2y x =D ．{}|M x x ∈R ＝，{}|N y y ∈R ＝，对应关系:f x y →，其中2y x =【解析】解：A ．M 中的一些元素，在N 中没有元素对应，比如，3x =时，32y =∉N ，∴y 不是x 的函数；B ．M 中的任意元素x ，在N 中有两个元素2x ±与之对应，不满足对应的唯一性，∴y 不是x 的函数；C ．满足在M 中的任意元素x ，在集合M 中都有唯一元素2与之对应，∴y 是x 的函数；D ．M 中的元素0，通过2y x=在N 中没有元素对应，∴y 不是x 的函数．故选：C ．题型二：判断函数是否为同一函数2．下列各组函数是同一函数的是（ ） ①2()1()1x f x x g x x =-==-②()()g f x x x =③0()()1f x x g x ===④()221f x x x =--与2()21g t t t =--A ．①B ．②C ．③D ．④【解析】解：①中函数的定义域不相同，故不是同一函数，②函数的值域不相同，不是同一函数，③函数的定义域不相同，故不是同一函数④是同一函数，故选：D ．题型三：求函数定义域3．函数1()f x x=+的定义域为（ ）A ．]1∞（-，B ．0∞（-，）C ．0]01∞⋃（-，）（，D ．01]（，【解析】解：要使函数有意义，则100x x -≥⎧⎨≠⎩，得10x x ≤⎧⎨≠⎩，即1x ≤且0x ≠，即函数的定义域为0]01∞⋃（-，）（，，故选：C ．4．已知函数()21f x -的定义域为(0,1)，则函数(1-3 )f x 的定义域是（）A ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．10,3⎛⎫⎪⎝⎭C ．(1,1)-D ．20,3⎛⎫⎪⎝⎭【解析】解：∵()21f x -的定义域为01（，），∴01x ＜＜，∴1211x -＜-＜，∴f x （）的定义域为11-（，），∴13f x -（）需满足1131x --＜＜，解得203x ＜＜，∴13f x -（）的定义域为20,3⎛⎫⎪⎝⎭．故选：D ．题型四：关于函数值的问题5．已知函数2241f x x -=+（），则2f （）的值为（ ）A ．5B ．8C ．10D ．16【解析】解：∵函数2241f x x -=+（），∴222343110f f =⨯-=+=（）（）． 故选：C ．6．已知函数2()1x f x x +=-，记23410f f f f m +++⋯+=（）（）（）（），111123410f f f f n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则m n +=（ ） A ．9-B ．9C ．10D ．10-【解析】解：∵函数2()1x f x x +=-， ∴1212()1111x x f x f x x x++⎛⎫+=+=- ⎪-⎝⎭-， ∵23410f f f f m +++⋯+=（）（）（）（），111123410f f f f n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴919m n +=⨯-=-（）． 故选：A ．【教学反思】从具体实例引入了函数的的概念，用集合与对应的语言描述了函数的定义及其相关概念，介绍了求函数定义域和判断同一函数的典型题目，引入了区间的概念来表示集合。
北师大版函数教案教案标题：北师大版函数教案教案目标：1. 理解函数的定义和基本概念；2. 掌握函数的图像、性质及其在实际问题中的应用；3. 培养学生的数学思维和问题解决能力。
教学内容：1. 函数的定义和基本概念a. 函数的定义及其表示方法；b. 定义域、值域和对应关系；c. 函数的分类和特性。
2. 函数的图像和性质a. 函数的图像和坐标系；b. 函数的奇偶性和周期性；c. 函数的单调性和极值。
3. 函数的应用a. 函数在实际问题中的应用；b. 函数的模型建立和解决实际问题。
教学步骤：第一步：引入1. 利用生活中的例子引入函数的概念，如温度随时间的变化、销售额随销售量的变化等，让学生感受到函数的实际应用。
第二步：函数的定义和基本概念1. 通过示例和图像，引导学生理解函数的定义和表示方法；2. 引导学生理解定义域、值域和对应关系的概念；3. 分类介绍常见的函数类型，如线性函数、二次函数等，并讨论其特性。
第三步：函数的图像和性质1. 通过绘制函数的图像，让学生直观地了解函数的图像和坐标系；2. 引导学生探究函数的奇偶性和周期性，并解释其图像特点；3. 介绍函数的单调性和极值的概念，通过图像和实例进行说明。
第四步：函数的应用1. 介绍函数在实际问题中的应用，如距离、速度、面积等问题；2. 引导学生通过观察实际问题，建立函数模型，并利用函数解决问题；3. 给予学生一些实际问题的练习，培养他们的问题解决能力。
第五步：总结和拓展1. 对本节课的内容进行总结，强调函数的重要性和应用；2. 提供一些拓展问题，让学生进一步巩固和扩展所学内容；3. 鼓励学生在日常生活中发现更多函数的应用，并进行分享。
教学资源：1. 教材：北师大版函数教材；2. 板书：函数的定义、表示方法、分类、特性等；3. 图表、实例等教具。
教学评估：1. 课堂练习：通过课堂练习，检查学生对函数的理解和应用能力；2. 作业：布置相关的作业，巩固学生对函数的掌握程度；3. 口头提问：随堂进行口头提问，检查学生对函数概念的理解程度。
北大附属中学2010届高三数学教案：第三讲——函数概念一、 知识清单1．映射：设非空数集A ，B ，若对集合A 中任一元素a ，在集合B 中有唯一元素b 与之对应，则称从A 到B 的对应为映射，记为f ：A →B ，f 表示对应法则，b=f(a)。
若A 中不同元素的象也不同，且B 中每一个元素都有原象与之对应,则称从A 到B 的映射为一一映射。
2．函数定义：函数就是定义在非空数集A ，B 上的映射，此时称数集A 为定义域，象集C={f (x )|x ∈A}为值域。
3．函数的三要素：定义域，值域，对应法则. 从逻辑上讲，定义域，对应法则决定了值域，是两个最基本的因素。
4．函数定义域的求法：列出使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为：①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义等.注:求函数定义域是通过解关于自变量的不等式（组）来实现的。
函数定义域是研究函数性质的基础和前提。
函数对应法则通常表现为表格，解析式和图象。
5．函数值域的求法：①配方法(二次或四次)；②判别式法；③反函数法（反解法）；④换元法（代数换元法）；⑤不等式法；⑥单调函数法.注:⑴求函数值域是函数中常见问题，在初等数学范围内，直接法的途径有单调性，基本不等式及几何意义，间接法的途径为函数与方程的思想，表现为△法，反函数法等，在高等数学范围内，用导数法求某些函数最值（极值）更加方便. ⑵常用函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。
① 函数),0(R x k b kx y ∈≠+=的值域为R; ② 二次函数),0(2R x a c bx ax y ∈≠++=当0>a 时值域是24[,)4ac b a-+∞,当0<a 时值域是(,-∞ab ac 442-]；③ 反比例函数)0,0(≠≠=x k xk y 的值域为}0|{≠y y ； ④ 指数函数),1,0(R x a a a y x ∈≠>=且的值域为+R ； ⑤ 对数函数x y a log =)0,1,0(>≠>x a a 且的值域为R ； ⑥ 函数sin ,cos ()y x y x x R ==∈的值域为[-1，1]； ⑦ 函数 2k x ,tan ππ+≠=x y ,cot x y =),(Z k k x ∈≠π的值域为R ；二、 课前练习1.若}4,3,2,1{=A ，},,{c b a B =,则A 到B 的映射有 个，B 到A 的映射有 个；若}3,2,1{=A ，},,{c b a B =, 则A 到B 的一一映射有 个。
2. 设集合A 和集合B 都是自然数集合N ，映射B A f →:把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素n n +2，则在映射f 下，象20的原象是 ( )（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）53.已知扇形的周长为20，半径为r ，扇形面积为S ，则==)(r f S ；定义域为 。
4. 求函数2143)(2-+--=x x x x f 的定义域.5. 若函数)(x f y =的定义域为[-1,1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域。
6.已知[]221()12,()x g x x f g x x-=-= (x ≠0), 求1()2f .7. 求函数2y x =+. 8. 下列函数中值域为)∞+，0的是( )(A) xy -=215 (B) x y -⎪⎭⎫⎝⎛=131 (C) 121-⎪⎭⎫ ⎝⎛=xy (D) x y 21-=三、 典型例题EG1、A =｛1，2，3，4，5｝，B =｛6，7，8｝从集合A 到B 的映射中满足f （1）≤f （2）≤f （3）≤f （4）≤f （5）的映射有 个。
变式1、若f :y =3x +1是从集合A ={1，2，3，k }到集合B ={4，7，a 4，a 2+3a }的一个映射，求自然数a 、k 的值及集合A 、B.变式2、集合M ={a ，b ，c }，N ={－1，0，1}，映射f :M →N 满足f （a ）+f （b ）+f （c ）=0，那么映射f :M →N 的个数是多少？EG2、设函数()f x =()g x =，求函数()()f x g x 的定义域. 变式1： 函数)13lg(13)(2++-=x xx x f 的定义域是A.),31(+∞-B. )1,31(-C. )31,31(-D. )31,(--∞变式2：设()x x x f -+=22lg，则⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为 A. ()()4,00,4 - B. ()()4,11,4 -- C. ()()2,11,2 -- D. ()()4,22,4 -- 函数值域求函数值域是函数中的重要问题之一，在后续课程的学习中也有许多应用，求函数的值域要涉及多种数学思想方法和函数、方程、不等式等到相关知识，求函数值域是函数学习的一个难点，为此本文介绍几种常见的求法． 一、用非负数的性质例１ 求下列函数的值域：y=-3x 2+2; 变式：y=5+21+x (x ≥-1).二． 分离常数法对某些分式函数，可通过分离常数法，化成部分分式来求值域．例２ 求下列函数的值域：y=12++x x 变式2、y=1122+-x x .三、利用函数单调性已知函数在某区间上具有单调性，那么利用单调性求值域是一种简单的方法． 例３ 求函数y=3x-x 21-的值域.四、利用判别式特殊地，对于可以化为关于x 的二次方程a(y)x 2+b(y)x+c(y)=0的函数y=f(x)，可利用0()0,a y y x ∆≥≠且求出的最值后,要检验这个最值在定义域是否具有相应的值．例4 求函数y =432+x x的最值． 变式：22221x x y x x -+=++；五、利用数形结合数形结合是解数学问题的重要思想方法之一，求函数值域时其运用也不例外．例5 若（x+21y -）(y-21x -)=0,求x-y 的最大、最小值．变式：函数y =的值域 .六、利用换元法求值域有时直接求函数值域有困难，我们可通过换元法转化为容易求值域的问题考虑． 例6 求函数y=2x-5+x 415-的值域． 变式：求函数x x y -+=142的值域七、利用反函数求值域因函数y=f(x)的值域就是反函数y=f -1(x)的定义域，故某些时候可用此法求反函数的值域．例7 求函数y=2xx e e -+(x ＞0)的值域．变式：函数 y ＝xx e -1e 2+的值域是 由e x＝1y 2-y +＞0，得值域为(-∞，-1)∪(2，+∞)；八、利用已知函数的有界性． 例8 求函数y=34252+-x x 的值域.变式：求下列函数的值域（1）66522-++-=x x x x y（2）2211()212x x y x x -+=>-； 函数解析式 一、定义法：例1：设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f .变式1：设21)]([++=x x x f f ，求)(x f . 变式2：设33221)1(,1)1(xx x x g x x x x f +=++=+，求)]([x g f .变式3：设)(sin ,17cos )(cos x f x x f 求=. 二、待定系数法：例2：已知1392)2(2+-=-x x x f ，求)(x f .变式1、已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x ；三、换元（或代换）法：例3：已知,11)1(22x xx x x f ++=+求)(x f . 变式1：设x x f 2cos )1(cos =-，求)(x f .变式2：若x xx f x f +=-+1)1()( 求)(x f . 变式3：设)0,,()1()()(b a ，c b a cx xbf x af x f ±≠=+且均不为其中满足，求)(x f 。
四、微积分法：例4：设2)1(,cos )(sin 22=='f x x f ，求)(x f .四、 实战训练1、(07安徽文7)图中的图象所表示的函数的解析式为(A)|1|23-=x y (0≤x ≤2)(B) |1|2323--=x y (0≤x ≤2)(C) |1|23--=x y (0≤x ≤2)(D) |1|1--=x y (0≤x ≤2)2、（07陕西文2）函数21lg )(x x f -=的定义域为（A ）［0，1］ （B ）（-1，1） （C ）［-1，1］ （D ）（-∞，-1）∪（1，+∞）3、（07山东文13）设函数1()f x =112223()(),x f x x f x x -==，，则123(((2007)))f f f = ． 4、（07北京文14）已知函数，()g x 分别由下表给出的值为 ；当[g．5、（07北京理14）已知函数()f x ，()g x 分别由下表给出的值为；满足[()]f g x 的值是．6、（07上海理1）函数()()lg 43x f x x -=-的定义域为_____7、（07湖北文理15）为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比； 药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为116t ay -⎛⎫= ⎪⎝⎭（a 为常数），据图中提供的信息，回答下列问题：（I ）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y 之间的函数关系式为 ；（II ）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25可进教室，那么， 药物释放开始，至少需要经过小时后，学生才能回到教室． 8、(07浙江文11)函数()221xy xR x =∈+的值域9．（08北京模拟）若函数42212+-=x x y 的定义域、值域都是闭区间[2，2b ]，则b 的为 。
10 （08北京模拟）对于任意实数a ，b ，定义, ,min{,}, .a a b a b b a b ≤⎧=⎨>⎩设函数2()3, ()log f x x g x x =-+=，则函数()min{(),()}h x f x g x =的最大值是__________ .11．（08北京模拟）已知函数12||4)(-+=x x f 的定义域是[]b a ,(,)a b ∈Z ，值域是[]1,0，那么满足条件的整数数对),(b a 共有 （ ）（A ）2个 （B ）3个 （C ） 5个 （D ）无数个12.（08全国）函数y 的定义域为（ ） A ．{}|0x x ≥B ．}|1x x ≥C ．{}{}|10x x ≥D ．{}|01x x ≤≤13.（08四川）设定义在R 上的函数()f x 满足()()213f x f x ⋅+=，若()12f =，则()99f =( )（Ａ）13 （Ｂ）2 （Ｃ）132 （Ｄ）21314.（08江西）若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数1()()()F x f x f x =+的值域是A ．1[,3]2B ．10[2,]3C ．510[,]23D ．10[3,]315.（08湖北）函数1()f x x=的定义域为A. (,4][2,)-∞-+∞B. (4,0)(0.1)-C. [-4,0)(0,1]D. [4,0)(0,1)-16.（08陕西）定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y xy +=++（x y ∈R ，），(1)2f =，则(3)f -等于（ ）A ．2B ．3C ．6D ．917.（08重庆)已知函数y=M ,最小值为m ,则mM的值为(A)14 (B)1218.（08安徽）函数2()f x =的定义域为 ．19.（08湖南卷14）已知函数()(1).1f x a a =≠-若a ＞0,则()f x 的定义域是 ;20．（07陕西）设函数f (x )=,22aax x c ++其中a 为实数. (Ⅰ)若f (x )的定义域为R ,求a 的取值范围; (Ⅱ)当f (x )的定义域为R 时，求f (x )的单减区间.21．（07北京）如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为2r ，短半轴长为r ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上，记2CD x =，梯形面积为S ．（I ）求面积S 以x 为自变量的函数式，并写出其定义域；A（II）求面积S的最大值．。
