当前位置：文档之家 › §11-2研究点的运动的自然坐标法

§11-2研究点的运动的自然坐标法

  • 格式：ppt
  • 大小：161.00 KB
  • 文档页数：6

下载文档原格式

  / 6

合集下载

§11-1研究点的运动的直角坐标法

§11-1研究点的运动的直角坐标法

（11-9）
此式表明：点的速度在直角坐标轴上的投影，分别等于对应的位置坐标对时 间的一阶导数。 利用上式求出速度在直角坐标轴上的投影后，可以很容易求出点的速度。 （三）、点的加速度在直角坐标轴上的投影
x a x = dt dt 2 d vy d y a y = dt = dt d vz d 2 z a z = dt = dt d vx =d
式（11-4）~式（11-7）是匀变速直线运动计算的基本公式。
【例1】点沿直线运动，其运动方程为x=t³-12t+2（式中x的单位为m，t和单位为s）,试 求第3s时刻时： (1)、点所在的位置； (2)、此时的速度和加速度； (3)、判定此时作加速运动还是减速运动。 解：(1)、将t=3s代入运动方程 x=t³-12t+2=3³-12×3+2=-7（m） 点在原点负侧7m处。 (2)、求速度和加速度
动点在t时刻的速度为1在经过时间间隔t后速度变为2则军事计划t这段时间间隔内动点的平均加速度为a其计算式为当当tt00时平均加速度的极限值为动点在时平均加速度的极限值为动点在tt时刻的瞬时加速度时刻的瞬时加速度aa其计算式为其计算式为113瞬时加速度等于速度对时间的一阶导数也等于坐标或运动方程对时间的二阶导数
υ=
dx = 3t 2 − 12 dt
d 2 x dυ a= 2 = = 6t dt dt
将t=3s分别代入上式 υ=3×3²-12=15（m/s） a=6×3=18(m/s²) (3)、判定运动状态。 在t=3s时，υ和a均为正，所以点在第3s时作加速运动。
二、用直角坐标法表示点的速度和加速度 （一）、点的直角坐标运动方程 当点运动时，其空间的位置坐标x、y、 z都是时间t的函数关系，即

点的运动及刚体的简单运动

点的运动及刚体的简单运动

4.3.3曲率
因为 d d d d 1 ds d ds ds
方向同 n
所以 n d
ds
4.3.4点的速度
v dr dr ds ds v
dt ds dt dt
4.3.5点的加速度 a dv dv v d
dt dt dt
代入
d d ds v n
dt ds dt
则
a
l2 a2 2al cos 2t
cos(v, j) vy (l a) cost v l2 a2 2al cos 2t
已知：OC AC BC l , MC a , t。
求：运动方程、轨迹、速度和加速度。
加速度
ax vx x l a 2 cost ay vy y l a2 sin t
加速度
dv d2 r
a
v r
dt dt 2
单位 m/s2
矢端曲线
速度 矢径矢端曲线切线
加速度 速度矢端曲线切线
4.2 用直角坐标法研究点的运动
4.2.1 运动方程
x x(t) y y(t) z z(t)
直角坐标与矢径坐标之间的关系
r (t) x t i y(t) j z(t)k
4.2.2 点的速度
① 啮合条件
R11 vA vB R22
② 传动比
i12
1 2
R2 R1
z2 z1
4.5.2 带轮传动
r11 vA vA vB vB r22
i12
1 2
r2 r1
4.6 以矢量表示角速度和角加速度 以矢积表示点的速度和加速度
4.6.1角速度矢量和角加速度矢量
角速度矢量
大小 作用线 沿轴线
4.1.2 点的速度

点的运动自然法

点的运动自然法

法面：通过P点与切线T垂直的平面
(副法线)
法线 —— 法面内的
法
面 (主法线)
s+
直线
(无数条)
P－空间曲线上的动点
从
切
面
s-
b
n
t
密切面 P
(切线)
主法线N —— 法面 与密切面的交线
副法线B —— 法面内 与主法线垂直的法线
自然轴系 坐标原点为P点的直角坐标系
t n b —— 构成了自然坐标系的单位矢量
rr(1(1yy'2'2))22
dd22yy
ddddx2x2y2y2 8L8Lh2h2
an L=32m
h x
ddxx22
at 特dd别vtdd；a提yx醒1a4L：0anh22L(a82L1vr=02f2a；L2n28x法)0h.向78加0m.dd7速yx8/ x度sm2L。会//2s2产。0r生a“r81Lr离1r0f2r2心(L1828L8力d8dLLf22hyx2f2ft”2'y22)，(230从曲;.7而线8 减m平dd2少/坦t2ys轮2)。子8L2f ;
运动方程的建立：
杆AB绕A轴以 = 5t（ 以rad计、t以s计）的规律转动，其
上一小环M将杆AB和半径为R（以m计）的固定大圆环套在一 起。若以直角坐标Oxy为参考系，则小环M的运动方程为
___x_=__R_c_o_s_(_1_0_t )____y_=__R_s_i_n_(1_0_t_)_____。
的方法
称为 自然法
自然轴系
密切面
当P´点无限接近于 P 点时，过这两点的切 线所组成的平面，称为 P 点的密切面。
lim α α
PP

自然坐标圆周运动相对运动

自然坐标圆周运动相对运动
《关于两门新科学的对话和数学证明对话集》 一书，总结了他的科学思想以及在物理学和天文学 方面的研究成果。
伽利略所取得的巨大成就，开创了近代物理学 的新纪元。
自然坐标、圆周运动、角量描述、相对运动
3、绝对运动、牵连运动、相对运动
（1）位矢的关系
r
r'
质点P在相对作匀速直线运动
的两个坐标系中的移动 y y' u
自然坐标、圆周运动、角量描述、相对运动
2、相对运动
物体运动的轨迹依赖于观察者所处的参考系
自然坐标、圆周运动、角量描述、相对运动
伽利略（Galileo Galilei，1564—1642）
伽利略杰出的意大利物理学家和 天文学家，实验物理学的先驱者。
他提出著名的相对性原理、惯性 原理、抛体的运动定律、摆振动的等 时性等。
2
1 x2g
y 2
v02
y
an
a
g
自然坐标、圆周运动、角量描述、相对运动
(2)
o v0
x
vx v0, vy gt
an
a
y
v
vx2 vy2
v02 g 2t 2
tan 1
gt v0
a
dv dt
g2t v02 g2t2
an g2 a 2
g
v0 g v02 g2t 2
与速度同向
与切向加速度垂直
总结：自然坐标
v v
a a an a ann
a
a
an
切向加速度
法向加速度
反映速度大小变 化的快慢
反映速度方向变 化的快慢程度
dv a dt
an
v2
aa
a 2 an 2

自然坐标法求行动轨迹

自然坐标法求行动轨迹

对于自然坐标系，我个人的理解是在对于某些曲线运动，可能我们并不太关注这个运动的位置矢量，亦或者说我们对于这个曲线的轨迹已经非常清楚了。

但是我们更关注于这个质点运动的速度和加速度。

那么利用自然坐标系就可以很大程度上简化对曲线运动的分析。

我们在高中学习圆周运动时，在对其列牛顿运动学方程时，其实已经在使用自然坐标系。

对于某个时刻，我们在物体上建立坐标系，x轴沿速度方向，y轴指向圆心方向，横平竖直列出两个方向的牛顿定律方程。

如图所示。

只是我们现在把x轴和y轴方向的名字稍微改一下，x 轴称为切线方向，其单位矢量为τ，y轴称为法线方向,其单位矢量为n。

显然，这种坐标轴的原点建立在这个圆周运动轨迹上，或者就在这个质点身上，第一坐标轴X建立在速度方向（轨迹的切线方向），这样这个质点速度、加速度的表达可以简单很多。

对于一般的曲线运动，我们也可以这么去建立这种坐标系，这种由法向和切向构成的正交坐标系就可以称为自然坐标系，也可以叫内禀坐标系。

1、自然坐标系下质点的速度某个质点在作曲线运动，从A点运动到B点。

其中O为笛卡尔坐标系的原点。

A，B的位置矢量分别为r t与r t+Δt ,位移为Δr ,AB段的弧长为Δs。

由速度的定义v=limΔt→0ΔrΔt=drdt=drdsdsdt显然，当AB非常接近的时候dr=ds，则drds=τ。

其中τ为与AB弧相切的方向。

得v=dsdtτ=s˙τ=vtτ可得，曲线运动的速度为弧长随时间的变化率，方向沿切线方向。

现在我们以速度方向为第一坐标轴，建立正交坐标系，沿速度方向为切线方向，单位矢量为τ。

垂直于切线方向并指向凹陷的方向为法线方向，单位矢量为n。

显然这个坐标系是跟随质点运动的，所以两个坐标轴的单位矢量会随时间改变方向。

2、自然坐标系下质点的加速度我们现在以新建立的坐标系去看加速度。

直接求导：a=dvdt=d(vτ)dt=v˙τ+vdτdt其中，dτdt=dτdsdsdt其中，dsdt=v。

工程力学之点的运动学

工程力学之点的运动学
6
点的运动
0 引言 1 描述点的运动的两种方法 2 直角坐标法和自然法的应用
6.0
引言
问题： 曲柄滑块机构，AB匀速转动，求滑块的 加速度？
6.0
引言
解决方法：
（1）点的运动会形成曲线。 （2）如果知道点在任意时刻的位置，则位置变 化的快慢就是速度，速度的变化快慢就是加速度 。 （3）关键是得到点在任意时刻的位置。
6.2
解：
直角坐标法和自然法的应用
（1）建立直角坐标系如图
（2）B点的运动方程
xB l cos(t )
yB l sin(t )
（3）B点的速度
vBx xB l sin(t )
vBy yB l cos(t )
6.2
解：
直角坐标法和自然法的应用
（4） B点的加速度
ax x, ay y, az z
加速度
6.1
描述点的运动的两种方法 小结
两种描述方法的用途
直角坐标法： 最常用，点的轨迹曲线任意 自然法： 点的曲线为圆或者圆弧
6.2
直角坐标法和自然法的应用
例1 曲柄滑块机构如图。已知曲柄从水平位置开始，匀 速逆时针转动，求图示瞬时B点的速度和加速度。
运动方程
速度
加速度
an
v26.1源自描述点的运动的两种方法2 直角坐标法
(1) 点的轨迹
(2) 取直角坐标系
(3) 得到点的直角 坐标
6.1
描述点的运动的两种方法
2 直角坐标法
直角坐标
x, y , z
x x(t ), y y(t ), z z(t )
运动方程
速度
vx x, vy y, vz z

理论力学-自然坐标描述


= 1
— 曲线上P点的曲率 ρ
∆θ
∆s
τ
∆τ
P´
τ′
∆τ = 2sin ∆θ 2
P
s = s (t )
r
τ′
o
r′
s=0
返回
dτ / ds 的方向
第1章
点 的 运 动 学
dτ 与 τ 垂直，其单位矢量用n表示。 ds
τ
P
n
P´
τ′
τ′
∆τ
b
密切面：由轨迹 密切面： 上无限接近的两 点的两条切线所 确定的极限平面。
第3 节
自然坐标描述法
2002年9月10日
自然坐标描述法 第1章
点 的 运 动 学
如果点沿着已知的轨迹运动，则点的运动方 程可用点在已知轨迹上所走过的弧长随时间 变化的规律描述。
运动方程： s 动 学
dr dr ds v (t ) = = dt ds dt dr ∆r = lim d s ∆s → 0 ∆ s
dr =1 ds dr =τ ds
∆s
τ
P
s = s (t )
P´
∆r
r
o
v (t ) = sτ ( s )
r′
s=0
r = r ( s ( t ))
加速度 第1章
点 的 运 动 学
v (t ) = s τ ( s )
τ = dτ ds ds dt
大小？ dτ = ? ds 方向？ = 1 n ρ
y
A
v
M
q
r
O
x
例2 第1章
l = −r ⋅ τ
q = r + lτ
解
q = −r ⋅ n

刚体基本运动

2 2
即：转动刚体内任一点的法向加速度(又称向心加速度)的大小， 等于刚体角速度的平方与该点到轴线的垂直距离的乘积，它的 at 方向与速度垂直并指向轴线。
w
a
M
r a n
j
s
M0
O
2.3 转动刚体内各点的速度和加速度
点的全加速度为：
a

at
j
a at 2 an2 R a 2 w 4 at a tan 2 an w
2.1 刚体的平行移动
如果在物体内任取一直线段，在运动过程 中这条直线段始终与它的最初位置平行，这种 运动称为平行移动，简称平动。
此处有影片播放
2.1刚体的平行移动
C
D
A
摆式输送机的料槽 筛分机构
B
直线行驶的列车车厢
2.1刚体的平行移动
在刚体上任取两点，令A的矢径为rA, B的矢径为rB,两条 矢端曲线是两点的轨迹。
动点的速度矢等于它的矢径对时间的一阶导数。
r dr v lim dt t 0 t
动点的速度矢沿着矢径的矢端曲线的切线，即沿 动点运动轨迹的切线，并与此点运动的方向一致。
1.1 矢量法
3. 加速度 点的速度矢对时间的变化率称为加速度。点的加 速度也是矢量，它表征了速度大小和方向的变化。 点
1.3 自然法
全加速度为at和an的矢量和
a a t an
全加速度的大小和方向由下列二式决定：
v
大小：
at
a a t an
2
2
M

方向：
| at | tan an
an
a
例2：下图为料斗提升机示意图。料斗通过钢丝绳由绕水平轴O 转动的卷筒提升。已知：卷筒的半径为R＝16cm，料斗沿铅垂提 升的运动方程为y＝2t2，y以cm记，t 以s计。求卷筒边缘一点M在 t＝4s时的速度和加速度。

自然坐标系


B
（1）角位置
质点所在位置的矢径与x轴 的夹角θ。
A
R
O
X
（2）角位移
t时刻：
A点，角位置为 t
t t时刻：B点，角位置为 t t
在t时间内，矢径转过角度 ，称为质点
对O点的角位移。
t t t
大小：dθ 方向规定： 逆时针方向 dθ＞0；
顺时针方向 dθ＜0。
单位：弧度rad
（3）角速度
a
dv dt
an
dv n dt
a 由于速度大小变化产生的加速度；
an 由于速度方向变化产生的加速度。
切向加速度、法向加速度/二、2 r
r 为运动轨迹的曲率半径。
大小
a
a 2
a
2 n
dv
2
v 2
2
dt r
对于平面曲线运动 a dv dv dt dt
vn 为速度增量在法线方向的分量； 0 切线方向的单位矢量；
n0 法线方向的单位矢量。
切向加速度、法向加速度/二、a、an
将（1）式两边同除 t 后取极限，
lim v
Δt 0 t
lim
Δ t 0
v t
0
Δlitm0
vn t
n0
有
dv dt
dv dt
0
dv n dt
n0
即 a a0 ann0
其中：
切向加速度、法向加速度/二、a、an
例：一质点作半径为R的圆周运动，其速
率满足 v kRt， k为常数，求：切向加 速度、法向加速度和加速度的大小。
解： 切向加速度
a
dv dt
kR
法向加速度
an

第二讲 点运动的自然坐标法、极坐标法

第一章 点的运动学
图难于其易， 为大于其细。天下难事必作于易，天 下大事必作于细 。 ——老子
（1）矢量描述法（基本） （2）直角坐标法 （3）自然坐标法（难点） （4）极坐标法 （5）联合应用例题
1-3 描述点运动的自然坐标法
运动轨迹的参数方程 r = r(s)
自然坐标 s 具有坐标性质：
r(s)
• 自然轴系 切线PT, 单位矢τ 主法线PN, 在α内, PN ⊥ PT,单位矢 n 副法线PB, 单位矢b = τ × n
作业: 李俊峰、张雄主编《理论力学》,清华-Springer出版
习题 1-10，1-12，1-13, 1-14
密切面
例题 1.4 单摆的自然坐标描述。
单摆的运动规律为 ϕ =ϕ0 sinωt ，ω为常数， OA = l。求摆锤A的速度v和加速度a。
aτ
ap
an
ϕ (t )
x
o
a = &s&τ +(s&2 / ρ)n = Rϕ&&τ + Rϕ&2n
aτ
an
圆的曲率半径就是其半径 ρ = R 。
刚体定轴转动及其上点的运动
若刚体上的两点始终保持不动，则刚体上通过这两点直线 上的点也保持不动。 这种刚体运动称为定轴转动
定轴转动刚体上任一点 P 作圆周运动。
主法线单位矢： n = d τ dϕ
曲率半径：
ρ
=
ds dϕ
切向加速度 aτ = &s&
法向加速度 an = s&2 / ρ = v2 / ρ
1
讨论
点沿着一螺旋线自 外向内运动。点所走过的 弧长与时间的一次方成正 比 s = αt + β 。请判断点的运 动性质：
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

υ=
ds = 2t − 4 dt
t=3=2×3-4=2（cm/s）
在第3s时 υ|
点的切向加速度为
dυ aτ = = 2(cm / s 2 ) dt
切向加速度为常数，即第3s时切向加速度为2cm/s² 第3s时点的法向加速度为
22 2 an = = = 0.8(cm / s ) R 5
υ2
aτ = lim ∆υ τ ∆t r = lim
当∆t→0时 ∆t→
r
r
r
r
υ1 − υ
∆t
r
r = lim
∆υ dv = ∆t dt
(11-9)
它的方向为∆t→0时∆Vτ的方向即为M点的切线方向aτ方向又叫切向加速度。 当aτ和υ同号时，动点的运动方向和加速方向一致，动点作加速运动。当aτ和υ异 号时，动点的运动方向和加速方向相反，动点作减速运动。
§11-2 用自然法研究点的平面曲线运动 11一、自然法 1、轨迹：动点运动时，所经过的路线称为动点的轨迹。 动点作如图11-4所示曲线运动。在轨迹AB上任取一点O作为自然法的坐标原点， 并在两侧规定出正负方向。动点M的位置，由弧长OM来表示。OM是一个代数量。图 示OM为正。弧长OM称为动点的弧坐标或自然坐标。弧坐标的大小能唯一确定动点所 在的位置。这种确定动点位置的方法称为自然法。弧长S显然是时间的函数。即 S=f(t) 这就是自然法所表达的运动方程。 已知运动方程，就能确定动点在任意时 刻所在的位置。 二、位移和路程 1、位移：起始时刻和结束时刻动点所在位 置之间的距离。 2、路程：是指动点在某一时间间隔内所经 过的轨迹的长度。 例如，如图11-4所示，在某一时间间隔内动 点M从原点起，先沿负向运动到A点，（OA=S1）再从A移动到B点（OB=S）动点的 始末位置是O、B，则点的位移为，而路程是弧长（）。
r ∆υ υ1 − υ a* = = ∆t ∆t
r ∆v a = lim ∆t
r
r
r
当∆t→0时，平均加速度a*的极限值即为在t时改变量和速度方向的变化情况将∆V分解成两个 分量：如图11-6所示
r ∆υτ + ∆υ n ∆υ n ∆υ a = lim = lim = lim = aτ + an ∆t ∆t ∆t
υ t = υ 0 + aτ t
1 2 s = s 0 + υ 0 t + aτ t 2 2 υ t2 − υ 0 = 2aτ ( s − s 0 )
(9-11)
(9-12)
(9-13)
【例1】点沿半径R=5cm的圆周运动，其运动s=t²=4t+4（运动式中s单位为cm，t的 点沿半径R=5cm的圆周运动，其运动s=t²=4t+4（运动式中s单位为cm， 单位为s），求t=3s时点的速度、加速度。 单位为s），求t=3s时点的速度、加速度。 解：点的速度方程为
υ = lim
r
M
∆t → 0
∆t
M1
∆t→0时∣MM1∣≈∆S，瞬时速度的大小为
υ = lim =
∆t → 0
M
M1
∆t
∆S ds = lim = ∆t dt
即瞬时速度的大小等于弧坐标对时间的一阶导数。 当∆t→0时矢量的方向即为M点的切线方向。即动点速度的方向为该瞬时动点所在位置 的切线方向。当υ>0时，动点沿轨迹正向运动。速度方向指向正向。当υ<0时，动点 沿轨迹负向运动。速度方向指向负向。
2、加速度
加速度是描述速度变化的一个物理量。当动点作曲线运动时，速度矢量除了有大 小的变化外，还有方向的变化。 如图11-6所示，在t时刻动 点在M的位置，其速度为V， 在经过∆t和时间间隔后， 达到M1所在的位置，其速 度为V1 。速度矢量的变化为。 我们定义在∆t这个时间间 隔内∆和∆t的比值为平均 加速度a*，即
a n = lim
∆υ n ∆t
r
υ an = υ ⋅ ⋅υ = ρ ρ
1
an又称为法向加速度。
2
(11-10)
综上所述，点作曲线运动时，加速度为切向加速度和法向加速度的矢量和。 切向加速度是速度大小的改变量，其大小为速度对时间的一阶导数，见式（11切向加速度是速度大小的改变量，其大小为速度对时间的一阶导数，见式（119），方向为该点的切线方向，aτ为正时，指向坐标的正向；aτ为负时，指向坐 ），方向为该点的切线方向，a 为正时，指向坐标的正向；a 标负向。法向加速度为速度方向小改变量。其大小为速度的平方除以曲率半径见 式（11-10），方向为该点的法线方向，并指向曲率中心 式（11-10），方向为该点的法线方向，并指向曲率中心 当动点作圆周运动时，曲率中心为圆心，曲率半径即为圆的半径。 当aτ=常数时，即速度大小的改变量为常数，这种运动称为匀变速曲线运动。
1、速度 动点M沿平面曲线运动，如图11-5所示。在t时刻，弧坐标为S。经过短暂的时间间 三、自然法求速度、加速度 隔∆t，达到M1，弧坐标的增量为∆S。动点的位移为MM1。我们定义MM1和∆t的比值 为这段时间间隔内动点的平均速度，即
M M1 υ*= ∆t
当∆t→0时，平均速度的极限值，即为t时 刻动点的瞬时速度。即