§11-2研究点的运动的自然坐标法

υ=
ds = 2t − 4 dt
t=3=2×3-4=2（cm/s）
在第3s时 υ|
点的切向加速度为
dυ aτ = = 2(cm / s 2 ) dt
切向加速度为常数，即第3s时切向加速度为2cm/s² 第3s时点的法向加速度为
22 2 an = = = 0.8(cm / s ) R 5
υ2
aτ = lim ∆υ τ ∆t r = lim
当∆t→0时 ∆t→
r
r
r
r
υ1 − υ
∆t
r
r = lim
∆υ dv = ∆t dt
(11-9)
它的方向为∆t→0时∆Vτ的方向即为M点的切线方向aτ方向又叫切向加速度。 当aτ和υ同号时，动点的运动方向和加速方向一致，动点作加速运动。当aτ和υ异 号时，动点的运动方向和加速方向相反，动点作减速运动。
§11-2 用自然法研究点的平面曲线运动 11一、自然法 1、轨迹：动点运动时，所经过的路线称为动点的轨迹。 动点作如图11-4所示曲线运动。在轨迹AB上任取一点O作为自然法的坐标原点， 并在两侧规定出正负方向。动点M的位置，由弧长OM来表示。OM是一个代数量。图 示OM为正。弧长OM称为动点的弧坐标或自然坐标。弧坐标的大小能唯一确定动点所 在的位置。这种确定动点位置的方法称为自然法。弧长S显然是时间的函数。即 S=f(t) 这就是自然法所表达的运动方程。 已知运动方程，就能确定动点在任意时 刻所在的位置。 二、位移和路程 1、位移：起始时刻和结束时刻动点所在位 置之间的距离。 2、路程：是指动点在某一时间间隔内所经 过的轨迹的长度。 例如，如图11-4所示，在某一时间间隔内动 点M从原点起，先沿负向运动到A点，（OA=S1）再从A移动到B点（OB=S）动点的 始末位置是O、B，则点的位移为，而路程是弧长（）。
r ∆υ υ1 − υ a* = = ∆t ∆t
r ∆v a = lim ∆t
r
r
r
当∆t→0时，平均加速度a*的极限值即为在t时改变量和速度方向的变化情况将∆V分解成两个 分量：如图11-6所示
r ∆υτ + ∆υ n ∆υ n ∆υ a = lim = lim = lim = aτ + an ∆t ∆t ∆t
υ t = υ 0 + aτ t
1 2 s = s 0 + υ 0 t + aτ t 2 2 υ t2 − υ 0 = 2aτ ( s − s 0 )
(9-11)
(9-12)
(9-13)
【例1】点沿半径R=5cm的圆周运动，其运动s=t²=4t+4（运动式中s单位为cm，t的 点沿半径R=5cm的圆周运动，其运动s=t²=4t+4（运动式中s单位为cm， 单位为s），求t=3s时点的速度、加速度。 单位为s），求t=3s时点的速度、加速度。 解：点的速度方程为
υ = lim
r
M
∆t → 0
∆t
M1
∆t→0时∣MM1∣≈∆S，瞬时速度的大小为
υ = lim =
∆t → 0
M
M1
∆t
∆S ds = lim = ∆t dt
即瞬时速度的大小等于弧坐标对时间的一阶导数。 当∆t→0时矢量的方向即为M点的切线方向。即动点速度的方向为该瞬时动点所在位置 的切线方向。当υ>0时，动点沿轨迹正向运动。速度方向指向正向。当υ<0时，动点 沿轨迹负向运动。速度方向指向负向。
2、加速度
加速度是描述速度变化的一个物理量。当动点作曲线运动时，速度矢量除了有大 小的变化外，还有方向的变化。 如图11-6所示，在t时刻动 点在M的位置，其速度为V， 在经过∆t和时间间隔后， 达到M1所在的位置，其速 度为V1 。速度矢量的变化为。 我们定义在∆t这个时间间 隔内∆和∆t的比值为平均 加速度a*，即
a n = lim
∆υ n ∆t
r
υ an = υ ⋅ ⋅υ = ρ ρ
1
an又称为法向加速度。
2
(11-10)
综上所述，点作曲线运动时，加速度为切向加速度和法向加速度的矢量和。 切向加速度是速度大小的改变量，其大小为速度对时间的一阶导数，见式（11切向加速度是速度大小的改变量，其大小为速度对时间的一阶导数，见式（119），方向为该点的切线方向，aτ为正时，指向坐标的正向；aτ为负时，指向坐 ），方向为该点的切线方向，a 为正时，指向坐标的正向；a 标负向。法向加速度为速度方向小改变量。其大小为速度的平方除以曲率半径见 式（11-10），方向为该点的法线方向，并指向曲率中心 式（11-10），方向为该点的法线方向，并指向曲率中心 当动点作圆周运动时，曲率中心为圆心，曲率半径即为圆的半径。 当aτ=常数时，即速度大小的改变量为常数，这种运动称为匀变速曲线运动。
1、速度 动点M沿平面曲线运动，如图11-5所示。在t时刻，弧坐标为S。经过短暂的时间间 三、自然法求速度、加速度 隔∆t，达到M1，弧坐标的增量为∆S。动点的位移为MM1。我们定义MM1和∆t的比值 为这段时间间隔内动点的平均速度，即
M M1 υ*= ∆t
当∆t→0时，平均速度的极限值，即为t时 刻动点的瞬时速度。即