高数练习题

大学高数练习题一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列函数中，哪一个是周期函数？A. y = x^2B. y = sin(x)C. y = e^xD. y = ln(x)2. 函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 5的极值点是：A. x = 1B. x = 2C. x = 3D. x = 53. 曲线y = x^2 - 4x + 3在点(2,1)处的切线斜率是：A. 0B. 1C. -1D. 44. 以下哪个积分是正确的：A. ∫x^2 dx = (1/3)x^3 + CB. ∫sin(x) dx = -cos(x) + CC. ∫e^x dx = e^x + CD. 所有选项都正确5. 函数y = sin(x) + cos(x)的最小正周期是：A. πB. 2πC. π/2D. 4二、填空题（每题2分，共10分）6. 若函数f(x) = 3x - 5，则f'(2) = ____________。

7. 函数y = x^3 - 2x^2 + x - 3在x = 1处的导数是 ____________。

8. 曲线y = x^3在点(1,1)处的切线方程是 y - 1 = __________(x - 1)。

9. 定积分∫[0,1] x^2 dx的值是 ____________。

10. 若f(x) = 2x + 3，g(x) = x^2 - 1，则(f ∘ g)(x) =__________。

三、解答题（每题15分，共30分）11. 求函数f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1的极值点，并说明其性质。

12. 已知函数y = x^3 - 6x^2 + 9x + 5，求其在区间[0,3]上的单调区间及凹凸性。

四、证明题（每题15分，共30分）13. 证明：对于任意实数x，有e^x ≥ x + 1。

14. 证明：若函数f(x)在区间[a,b]上连续且单调递增，则其在该区间上可导几乎处处。

练习题一、计算题1、根据差商与导数的关系，对于函数f (x )=x 7−x 4+3x +1，求：(1)f [20,21]（2）f [x ,20,21,…,26]（3）f [x ,20,21,…,27]。

01(1)(2)4119[2,2]115,121f f f --===--解：显然，f (7)(x )=7!,f (8)(x )=0,由性质得(7)016()[,2,2,,2]1,7!f f x ξ== (8)017()[,2,2,,2]0.8!f f x η== 2、给定四个插值点(−2,17),(0,1),(1,2),(2,19),计算N 2(0.9),N 3(0.9)。

解x 0=−2，x 1=0，x 2=1，x 3=2，通过计算可得，f [x 0,x 1]=−8，f [x 0,x 1,x 2]=3，f [x 0,x 1,x 2,x 3]=5/4，2000101012()()()[,]()()[,,]N x f x x x f x x x x x x f x x x =+-+-- 178(2)3(2).x x x =-+++320120123()()()()()[,,,]N x N x x x x x x x f x x x x =+--- 5178(2)3(2)(2)(1).4x x x x x x =-+++++-　3、解矛盾方程组：1212122+3+24+5x x x x x x =⎧⎪=⎨⎪=⎩解：矛盾方程组AX=b 的法方程为：A T AX=A T b ，即为12213211211124121121115x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得1265155616x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解方程组得12=0.909091=1.90909x x ，4、用对分法求()3.152.197.723-+-=x x x x f 在区间[1,2]之间的根。

→∞高数练习题一、填空题1. 设 f (x ) 的定义域是[0,1] ，则 f (2x - 3) 的定义域为 .1 2. lim(1+ 2x )sin x = .x →0 3. 当 x → 0 时，α(x ) = kx 2 与β(x ) = (n +1)x是等价无穷小，则 k = .4. 设 f (x ) = lim n →∞ nx 2 + 42x ，则 f (x ) 的间断点 x = . 5. 极限lim x s in x →∞x 2 +1 = .⎧ 1- e tan x⎪x ,x > 06. 设函数 f (x ) = ⎨arcsin ⎪ 在 x = 0 处连续，则 a = .⎩⎪ae 2 x , x ≤ 0二、选择题1. lim x n 存在是数列{x n } 有界的（ ）.nA. 必要而非充分条件 C. 充要条件B. 充分而非必要条件 D. 既非充分又非必要2. f (x ) = x cos x e sin x 是（ ）.A. 偶函数 C. 单调函数B. 周期函数 D. 无界函数3. 当 x → 0 时，下列函数哪一个是 x 的三阶无穷小（ ）.A. x 3 (e x -1) C. sin x - tan xB. 1- cos x D. ln(1 + x )4. 设函数 f (x ) = sin( x -1) x (x -1)，则（ ）.A. x = 0, x = 1 都是 f (x ) 的第一间断点B. x = 0, x = 1 都是 f (x ) 的第二间断点C. x = 0 是 f (x ) 的第一间断点， x = 1 是 f (x ) 的第二间断点D. x = 0 是 f (x ) 的第二间断点， x = 1 是 f (x ) 的第一间断点3⎪⎪ x⎣ ⎦ n ⎨ 5 . 当 x → 0 时，变量1 sin 1 是（ ）. x2 xA. 无穷小C. 有界的，但不是无穷小量 B. 无穷大D. 无界的，但不是无穷大量6.设对任意的 x ，总有ϕ( x ) ≤ f (x ) ≤ g(x ) ，且lim[g(x ) -ϕ(x )] = 0 ，则lim f (x ) （ ）.A. 存在且一定等于零B. 存在且不一定等于零C. 一定不存在D. 不一定存在三、解答题1. 求下列极限x →∞ x →∞ (1) lim x→0 ln(1+ x ); (3) x →-∞ (2) lim x⎡ 2 ⎤ ，（ [x ] 表示 x 的取整函数） x →0 ⎢⎣ x ⎥⎦⎛ x 2 -1 ⎫2. 设lim x →∞⎝3. 设函数x -1 - ax + b ⎪ = -5 ，求常数 a ， b 的值. ⎭⎧ sin ax f (x ) = b , ⎪1 ⎡ln x - ln(x 2 + x )⎤ , ⎩ 问a ， b 何值时， f ( x ) 在 x = 0 处连续.四、证明题x < 0 x = 0， x > 0 1. 若0 < x 1< 3 ， x n +1 = ， n = 1,2,3, , 证明数列{x n }的极限存在，并求极限lim x . x →∞2. 设lim f (x ) 存在，且 f (x ) = x 2 + 2x lim f (x ) ，求lim f (x ) 和 f (x ) .x →1 x →1 x →1 x n (3 - x n )。

高数练习题一、极限与连续1. 计算下列极限：(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x}$(3) $\lim_{x \to 1} \frac{1}{\ln x}$2. 讨论函数$f(x) = \frac{x^2 1}{x 1}$在$x = 1$处的连续性。

3. 若$\lim_{x \to 0} f(x) = a$，$\lim_{x \to 0} g(x) = b$，求$\lim_{x \to 0} [f(x) + g(x)]$。

二、导数与微分1. 求下列函数的导数：(1) $y = x^3 3x^2 + 2x$(2) $y = \sqrt{1 + x^2}$(3) $y = \ln(\sin x)$2. 设$f(x) = e^{2x} \sin x$，求$f'(x)$。

3. 求函数$y = \arctan \frac{1}{x}$在$x = 1$处的微分。

三、中值定理与导数的应用1. 验证函数$f(x) = x^3 3x$在区间$[1, 1]$上满足罗尔定理。

2. 设$f(x) = x^4 4x^2 + 4$，求证：存在$x_0 \in (0, 1)$，使得$f'(x_0) = \frac{f(1) f(0)}{1 0}$。

3. 求函数$y = x^3 3x^2 9x + 5$的单调区间。

四、不定积分与定积分1. 计算下列不定积分：(1) $\int (3x^2 2x + 1)dx$(2) $\int e^x \sin x dx$(3) $\int \frac{1}{x^2}dx$2. 计算定积分：(1) $\int_{0}^{1} (x^2 + 2x)dx$(2) $\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx$(3) $\int_{1}^{e} \ln x dx$3. 求曲线$y = x^3$与直线$y = x$所围成的图形的面积。

专升本高数练习题湖南一、选择题（每题2分，共20分）1. 函数f(x)=x^2+3x-2的导数为：A. 2x+3B. 2x-3C. 3x+2D. 3x-22. 曲线y=x^3-6x^2+9x在x=1处的切线斜率为：A. 0B. 6C. -6D. 123. 定积分∫(0,1) x^2 dx的值为：A. 1/3B. 1/4C. 1/6D. 1/24. 函数y=sin(x)在区间[0, π/2]上的原函数是：A. -cos(x) + CB. cos(x) + CC. sin(x) + CD. -sin(x) + C5. 级数∑(n=1 to ∞) (1/n^2)是：A. 收敛的B. 发散的C. 条件收敛的D. 无界6. 函数f(x)=e^x在x=0处的泰勒展开式为：A. 1 + xB. 1 + x + x^2/2C. 1 + x + x^2/2 + x^3/6D. 1 + x + x^27. 曲线y=x^2与直线y=4x在第一象限的交点坐标为：A. (2, 8)B. (1, 4)C. (0, 0)D. (4, 16)8. 函数f(x)=ln(x)的不定积分为：A. x - ln(x) + CB. x + ln(x) + CC. x ln(x) + CD. x^2/2 - ln(x) + C9. 微分方程dy/dx + 2y = 6x的解为：A. y = 3x^2 + CB. y = 3x + CC. y = x^2 + CD. y = x^3 + C10. 函数f(x)=x^3-3x^2+2x在x=1处的极小值是：A. 1B. -1C. 0D. 2二、填空题（每题2分，共20分）11. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的二阶导数为______。

12. 若f(x)=x^2-2x+3，则f'(1)=______。

13. 曲线y=x^2在点(1,1)处的切线方程为______。

14. 定积分∫(1,2) e^x dx的值为______。

一。

微分方程 1. 一阶微分方程(2)．求微分方程ln ln 0y xdx x ydy -=的通解。

(3) 求微分方程()3sin 1cos 0x x e ydx e ydy +-=的通解 (4) 计算满足下述方程的可导函数()y y x =，()sin 5.dy y x dx x x+=. 求微分方程的通解 (6) 求微分方程212y x y'=-的通解 (7)、 求微分方程()20x y x e dx xdy -+-=的通解.(8) 设x y e =是微分方程()xy p x y x '+=的一个解，求此微分方程的通(9)求微分方程 ()()2223360.64x xy dx x y y dy ++=+的通解2. 高阶微分方程 (10)* 21.2y y y'''+-求微分方程=0的通解 (11)* 求如下初值问题的解()()()2111,10yy y y y ⎧'''=+⎪⎨'==⎪⎩ 14). 微分方程430y y y '''-+=的通解为:312x x y C e C e =+(16). 求解初值问题()()2001y y xy y ''⎧+=⎪⎨'==⎪⎩(17). 用待定系数法求微分方程232y y y x '''++=的一个特解时，应设特解的形式y =（ ）A 、2axB 、2ax bx c ++C 、()2x ax bx c ++D 、()22x ax bx c ++二。

空间解析几何与向量代数(1)．设有向量{}1,2,2a =- ，{}2,1,2b =-，则数量积()()a b a b -⋅+= 0。

(2)．过点()3,0,1-且与平面375120x y z -+-=平行的平面方程是: 。

(3)．已知三点()1,1,1,(2,2,1),(2,1,2)A B C ，则向量AB与AC 的夹角θ是A ．4πB ．3πC ．6πD ．2π(4)* 曲线cos :sin x a t y a t z ct =⎧⎪Γ=⎨⎪=⎩在点(),0,0a 的切线方程为(5)*. 在曲面22122z x y =+上求出切平面，使所得的切平面与平面42210x y z ---=平行。

转本高数练习题一、选择题（每题2分，共10分）1. 函数f(x)=x^2-4x+3在区间[0,5]上的最大值是：A. 2B. 3C. 4D. 52. 曲线y=x^3-3x^2+2x在点(1,0)处的切线斜率是：A. 0B. 1C. -1D. 23. 根据题目所给的级数∑(1/n^2)，其和S满足：A. S < 2B. S = 2C. S > 2D. S = π^2/64. 已知函数f(x)=ln(x)，求f'(1)的值是：A. 0B. 1C. -1D. 1/e5. 若f(x)=e^x，g(x)=ln(x)，求[f(g(x))]的值是：A. e^(ln(x))B. ln(e^x)C. xD. 1二、填空题（每题3分，共15分）6. 函数f(x)=x^3-6x^2+9x+2的二阶导数f''(x)是_________。

7. 若函数f(x)=sin(x)+cos(x)，则f'(x)=_________。

8. 已知函数f(x)=x^2+2x+1，求其在x=-1处的切线方程是_________。

9. 函数f(x)=1/x在区间(0,1)上是__________函数（填“增”或“减”）。

10. 若级数∑(1/n)发散，则该级数的和为__________。

三、计算题（每题10分，共30分）11. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点，并判断其单调性。

12. 求曲线y=x^2-4x+3在x=2处的切线方程。

13. 判断级数∑(1/n^3)的收敛性，并求其和。

四、解答题（每题15分，共30分）14. 已知函数f(x)=x^3-9x，求其在区间[-2,3]上的单调区间和极值。

15. 求函数f(x)=x^2-4x+4在区间[0,5]上的最大值和最小值。

五、证明题（每题15分，共15分）16. 证明函数f(x)=x^2+2x+3在R上是增函数。

答案：1. C2. D3. D4. B5. A6. f''(x)=6x-127. f'(x)=cos(x)-sin(x)8. y=-x+19. 增10. 无穷11. 极小值点x=2，极大值点x=3，函数在(-∞,2)和(3,+∞)上单调递增，在(2,3)上单调递减。

高数考试试题及答案一、选择题1. 在三角形ABC中，边长AB=3，AC=4，∠BAC=60°，则三角形ABC的面积为：A) 1.5B) 2C) 2.5D) 3答案：B) 22. 设函数 f(x) = x^2 - 3x + 2，则 f(-1) 的值为：A) -1B) 1C) 2D) 3答案：C) 23. 若 loga x = 2，loga y = 3，则 loga (x^2y) 的值为：A) 2B) 3C) 4D) 5答案：D) 5二、计算题1. 求函数 f(x) = 2x^2 - 5x + 3 在 x = 2 处的导数。

解答：f'(x) = 4x - 5f'(2) = 4(2) - 5 = 32. 求函数 g(x) = e^x 的不定积分。

解答：∫g(x) dx = ∫e^x dx = e^x + C三、应用题1. 在一个圆形花坛周围修建一条宽3米的小道，小道的面积占整个花坛面积的1/4，求花坛的半径。

解答：设花坛的半径为 r，则整个花坛的面积为πr^2小道的宽度为3米，即内圆的半径为 r - 3小道的面积为π(r^2 - (r - 3)^2)根据题意，小道的面积占整个花坛面积的1/4，因此有：π(r^2 - (r - 3)^2) = 1/4 * πr^2化简得：9r - 36 = 0解得：r = 4因此，花坛的半径为4米。

2. 一枚硬币重2克，真币和假币放在一起共有20枚，其中假币的重量比真币轻0.5克。

用天平称重，最少称几次一定能找到假币？解答：将硬币分成两堆，每堆各取出一个硬币称重。

若两堆硬币重量相等，则假币在剩下的18枚硬币中，重量比真币轻，用天平称重一次即可找到假币。

若两堆硬币重量不等，则假币必然在较轻的一堆中。

将较轻的一堆硬币分成两堆，用天平称重一次即可找到假币。

因此，最少需要称重 2 次就能找到假币。

总结：本文介绍了高数考试中可能出现的选择题、计算题和应用题，并提供了相应的答案和解答过程。

大一下高数练习题一、选择题（每题3分，共15分）1. 函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1的导数是：A. 6x - 2B. 6x^2 - 2xC. 6x^2 - 2D. 3x^2 - 2x + 12. 曲线y = x^3 - 2x^2 + 3x在点(1,2)处的切线斜率是：A. 0B. 1C. 2D. 33. 函数f(x) = ln(x)的原函数是：A. x^2B. x^3C. e^xD. xln(x) - x4. 若f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求f'(2)的值：A. -2B. 0C. 2D. 45. 函数f(x) = sin(x) + cos(x)的二阶导数是：A. -sin(x) - cos(x)B. -sin(x) + cos(x)C. sin(x) - cos(x)D. sin(x) + cos(x)二、填空题（每题2分，共10分）6. 若f(x) = x^4 - 5x^3 + 6x^2 - 7x + 8，则f'(x) =____________。

7. 曲线y = 2x^2 + 3x - 1在x = -1处的切线斜率是___________。

8. 若f(x) = √x，则f'(x) = ____________。

9. 曲线y = x^3 - 4x + 5在x = 1处的切线方程是___________。

10. 函数f(x) = e^x的原函数F(x) = ____________。

三、计算题（每题10分，共20分）11. 求函数f(x) = x^3 - 4x + 2的一阶导数和二阶导数，并求在x = 2时的导数值。

12. 求曲线y = x^2 - 3x + 4在x = 1处的切线方程，并求该点的曲率。

四、证明题（每题15分，共30分）13. 证明：若函数f(x)在区间(a, b)上连续且可导，且f'(x) > 0，则f(x)在(a, b)上是严格递增的。

高数练习题一、计算题（共65分）1.（10分）已知男人中有5%是色盲，女人中有0.25%是色盲. 今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？2、（15分）设有10件产品，其中有2件次品，从中任取3件（不放回），设取到的次品数为X ，求①X 的分布律、分布函数)(x F ； ②)5.1(≤X P 、)21(≤≤X P ；③122+=X Y 的分布律3、（15分）设随机变量X 的概率密度⎩⎨⎧<<+=其它，，010)(x b ax x f ，又)31()31(>=<X P X P ，求 ①常数a ，b ；②X 分布函数)(x F③82+=X Y 的概率密度4、（15分）设二维随机变量Y X ,具有联合概率分布为求①X 和Y 边缘分布律；②在0=X 的条件下，Y 的条件分布律； ③在1=X 的条件下，Y 的条件分布律；5、（10分）设二维随机变量Y X ,的概率密度为⎩⎨⎧≤≤=其它，，01),(22y x y cx y x f ，求 ①常数c ；②求边缘概率密度。

二、计算题（共65分）1、（10分）某商店收进甲厂生产的产品30箱，乙厂生产的同种产品20箱，甲厂每箱装100个，废品率为0.06, 乙厂每箱装120个, 废品率为0.05, 求任取一箱，从中任取一个为废品的概率；2、（15分）设二维随机变量Y X ,具有联合分布律求①X 和Y 边缘分布律；②在0=X 的条件下，Y 的条件分布律； ③在1=X 的条件下，Y 的条件分布律； 3、（15分） 设随机变量X 具有概率密度⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-<≤=.,0,43,22,30,)(其它x x x kx x f(1)确定常数k ；(2) 分布函数)(x F ；(3)求)271(≤≤X P4、（10分）设)4,1(~N X , 求 .}2|1{|},6.10{),5(≤-≤<X P X P F 其中：8413.0)1(=Φ，6179.0)3.0(=Φ，6915.0)5.0(=Φ，9772.0)2(=Φ5、（15分）设),(Y X 的概率密度是⎩⎨⎧≤≤≤≤-=其它,00,10),2(),(xy x x cy y x f 求 (1) c 的值; (2) 两个边缘密度.三、计算题（共65分）1、（10分）设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=其它,040,8/)(x x x f X ,求82+=X Y 的概率密度.2、（10分）设随机变量X 具有以下的分布律, 试求2)1(-=X Y 的分布律.4.01.03.02.02101ip X-3、（10分） 设某批产品中, 甲, 乙, 丙三厂生产的产品分别占45%, 35%, 20%, 各厂的产品的次品率分别为4%, 2%, 5%, 现从中任取一件, (1) 求取到的是次品的概率; (2) 已知从这批产品中随机地取出一件产品是次品, 求该产品是甲厂生产的概率.4、（10分） 设随机变量X 和Y 具有联合概率密度⎩⎨⎧≤≤=其它,0,6),(2xy x y x f求边缘概率密度),(x f X )(y f Y .5、（15分）设X 与Y 的联合概率分布为(1) 求0=Y 时, X 的条件概率分布以及0=X 时, Y 的条件概率分布;(2)判断X 与Y 是否相互独立?6、（10分）已知随机变量X 的分布函数 ⎪⎩⎪⎨⎧>≤<≤=4,140,4/0,0)(x x x x x F , 求).(X E四、计算题（共65分）1、（15分） 设某产品主要由三个厂家供货，甲、乙、丙三个厂家的产品分别占总数的15% ，80% ，5% ，其次品率分别0.02 ，0.01 ，0.03 ，试计算(1) 从这批产品中任取一件是不合格品的概率；(2) 已知从这批产品中随机地取出的一件是不合格品，问这件产品由哪个厂家生产的可能性大？2、 （10分）设二维随机变量),(Y X 的分布函数为+∞<<∞-+∞<<∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=y x y C x B A y x F ,,3arctan 2arctan ),((1) 试确定常数.,,C B A(2) 求),(Y X 的联合概率密度函数),(y x f3、（15分） 设),(Y X 的概率分布由下表给出，求}0,0{},0,0{≠==≠Y X P Y X P , |}.||{|},0{Y X P XY P ==4、（15分） 设随机变量X 的期望为,127)(=X E 且概率密度函数为 ⎩⎨⎧≤≤+=其它,010,)(x b ax x f求a 与b 的值, 并求分布函数)(x F .5、(10分 ) 设二维离散型随机变量),(Y X 的联合概率分布表为:求).(),(),(XY E Y E X E五、计算题（共65分）1、（10分） 8支步枪中有5支已校准过, 3支未校准. 一名射手用校准过的枪射击时, 中靶的概率为 0.8; 用未校准的枪射击时, 中靶的概率为0.3.现从8支枪中任取一支用于射击, 结果中靶, 求所用的枪是校准过的概率.2、（15分）设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧<<-=其它,010),1()(x x Ax x f 。

《高等数学》练习题第八章练习题1.设),2,1,3(--=a),1,2,1(-=b 求，b a ⨯.b a ∙ 2.设),2,1,2(--=a),1,2,1(-=b 求，b a +2.b a ∙3．求过点M （0,0，1）且垂直于平面0532=-+-z y x 的直线的方程.4.求旋转抛物面122-+=y x z 在点（2，1，4）处的切平面及法线方程.5.已知曲面方程34222=++z y x(1)试求其在第一卦限内的点),,(c b a 处的切平面方程； (2)求该切平面与三坐标面所围立体的体积),,(c b a V ； (3)求),,(c b a V 的最小值.第九章练习题1.设),2sin(y x z -=求dz yz x z ,,∂∂∂∂.2.设)32sin(y x z +=，求xy z ,.dz 3.设2(,)yz f x y x=，其中f 具有连续二阶偏导数，求xy z .4.已知22ln y x z +=，证明：02222=∂∂+∂∂yzx z5.求)2sin(y x z -=在点（0，0）处的梯度及沿梯度方向的方向导数6．求32z xy u =在点M （1，1，1）沿从M 到N （2，3，-1）的方向的方向导数.7.欲制造一个体积为V 的无盖长方体形水池，试设计水池的尺寸，使其表面积最小.第十章练习题1.设D: ,0,222>≤+a a y x 求⎰⎰+Ddxdy y x 222.计算二重积分σd x xD⎰⎰sin ，其中D 为1,,0===x x y y 所围区域.3.设有平面区域10,10:≤≤≤≤y x D ，计算二重积分σd y x yx D)(22-⎰⎰；4.计算三重积分,)(222dV z y x ++⎰⎰⎰Ω其中Ω为球体2222a z y x ≤++.5.求dV e y x z ]1)[(++⎰⎰⎰Ω.其中1:22≤≤+Ωz y x6.求由222y x z +=和2=z 所围立体的体积和表面积． 7、证明：⎰⎰⎰----=-ban xan bady y f y b n dy y f y x dx )()(11)()(128.已知)(x f 在],[b a 上连续，证明：⎰⎰⎰-=baxabadx x b x f dy y f dx ))(()(.第十一章练习题1.计算对弧长的曲线积分,12ds xy L⎰+其中L 为曲线x y ln =从1=x 到e x =的一段弧.2.计算dy my y e dx mx y e x Lx )cos ()sin (-++⎰，其中 L为曲线2x ax y -=从0=x 到)0(>=a a x 的一段弧.3、计算对坐标的曲面积分,)3()2()(432dxdy x z dzdx z y dydz y x +++-++⎰⎰∑其中∑为圆柱体10,122≤≤≤+z y x 的外侧表面.4.计算对坐标的曲面积分,zdxdy ydzdx dydz x ++⎰⎰∑其中∑为圆柱体30,922≤≤≤+z y x 的外侧表面.5.计算对坐标的曲线积分dy y x dx x xy L)()2(22++-⎰,其中L 是由抛物线2x y =和2y x =所围区域的正向边界. 6.证明曲线积分dymy y e dx mx y e x Lx )cos ()sin (-++⎰在全平面上与路径无关7.设函数),(y x f 在D 上连续，试给出一个),(y x f 所满足的一般条件，使得),(=⎰⎰σd y x f D.第十二章练习题1. 判别正项级数（1）∑∞=1!3n n n （2）∑∞=++1)2)(1(1n n n n （3）∑∞=1!3n n n n n （4）∑∞=+111n na（)0>a ）的收敛性. 2.已知幂级数∑∞=--11)1(n nn x n .试求其收敛区间.3. 将函数x y arctan =展开成x 的幂级数；4. 求级数∑∞=+-012)1(n nn 的和.5.已知幂级数∑∞=-11n n nx.1.求其收敛域；2、利用逐项积分法，求其和函数).(x s 6、已知函数)(x f 以π2为周期，且ππ<≤-=x x x f ,)(，其傅里叶级数∑∞=++10sin cos 2n n n nx b nx a a 的和函数记为),(x s 试利用定积分表示其傅里叶系数，并给出)0(),(s s π的值. 7、 已知函数)(x f 以π2为周期，且πππ<≤-+=x x x x f ,)(2，其傅里叶级数的和函数记为),(x s 计算).2(),(ππs s8、 已知函数ππ<≤-=x x x f ,)(的为傅里叶级数∑∞=---12)12()12cos(42n n x n ππ，求级数∑∞=-12)12(1n n 的和.。

高数极限基础练习题一、数列极限1. 计算下列数列的极限：(1) $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}$(2) $\lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2n+3}$(3) $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 1}{n^2 + 1}$(4) $\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n^2 + n}}{n + 1}$ 2. 判断下列数列极限是否存在，若存在，求出其极限值：(1) $\lim_{n \to \infty} (1)^n$(2) $\lim_{n \to \infty} \sin(n\pi)$(3) $\lim_{n \to \infty} \frac{n!}{n^n}$二、函数极限1. 计算下列函数的极限：(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$(2) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 1}{x 1}$(3) $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}$(4) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x 1}{x}$2. 判断下列函数极限是否存在，若存在，求出其极限值：(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x}$(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x}$(3) $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x$三、无穷小与无穷大1. 判断下列表达式是否为无穷小：(1) $\frac{1}{x^2}$ 当 $x \to \infty$(2) $\sin \frac{1}{x}$ 当 $x \to \infty$(3) $e^{x}$ 当 $x \to \infty$2. 判断下列表达式是否为无穷大：(1) $x^3$ 当 $x \to \infty$(2) $\ln x$ 当 $x \to \infty$(3) $\frac{1}{\sqrt{x}}$ 当 $x \to 0^+$四、极限运算法则1. 利用极限运算法则计算下列极限：(1) $\lim_{x \to 0} (3x^2 + 2x 1)$(2) $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 3x^2 + 2x}{x^2 2x + 1}$(3) $\lim_{x \to \infty} (x^3 2x^2 + 3)$2. 利用极限的性质，计算下列极限：(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot\frac{1}{\cos x}$(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x + 1}$(3) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x e^{x}}{2x}$五、复合函数极限1. 计算下列复合函数的极限：(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\sqrt{x^2 + 1})}{x}$(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x^2 + 1)}{x}$(3) $\lim_{x \to 0} \frac{e^{x^2} 1}{x^2}$2. 判断下列复合函数极限是否存在，若存在，求出其极限值：(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\tan x)}{x}$(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(e^x + 1)}{x}$(3) $\lim_{x \to 0} \frac{1 \cos(\sqrt{x})}{x}$六、极限的应用1. 计算下列极限问题：(1) 设 $f(x)2. 已知函数 $f(x) = \frac{x^2 1}{x 1}$，求 $\lim_{x \to 1} f(x)$。

高数基础练习题选择题及答案高等数学基础模拟练题一、单项选择题1.设函数f(x)的定义域为(-∞,+∞)，则函数f(x)+f(-x)的图形关于（）对称．A)y=xB)x轴C)y轴D)坐标原点2.当x→0时，变量（）是无穷小量．A)1/xB)sinx/xC)2xD)ln(x+1)3.下列等式中正确的是（）．A)d(arctanx)=1/(1+x^2)dxB)d(1/x)=-1/x^2dxC)d(2xln2)=2dxD)d(tanx)=sec^2xdx4.下列等式成立的是（）．A)d/dx∫f(x)dx=f(x)B)∫f'(x)dx=f(x)C)d∫f(x)dx=f(x)D)∫df(x)=f(x)5.下列无穷限积分收敛的是（）．A)∫1/x dx from 1 to +∞B)∫1/x dx from 1 to 0C)∫1/3x^4 dx from 1 to +∞D)∫sinx dx from 0 to +∞二、填空题1.函数f(x)=(x^2-4)/(x-2)的定义域是(-∞,2)∪(2,+∞)．2.函数y=(x+2)/(x+1)的间断点是x=-1．3.曲线f(x)=1/x在(1,1)处的切线斜率是-1．4.函数y=ln(1+x^2)的单调增加区间是(0,+∞)．5.d∫e^-x^2 dx=-2xe^-x^2+C．三、计算题（每小题9分，共54分）1.计算极限lim(x^2-6x+8)/(x^2-5x+4) as x→4，结果为-2．2.设y=ln(cosx)+x^2lnx，求dy=-(sinx/x)+2xlnx+dx/(xln10)．3.计算不定积分∫(1/x+e^x)dx=ln|x|+e^x+C．4.计算定积分∫cosx/x dx，结果为Ci(x)+C，其中Ci(x)为余积分函数．5.计算定积分∫e^(1/x)lnx dx，结果为-γ-2ln2，其中γ为欧拉常数．四、应用题1.求曲线y=x上的点，使其到点A(3,0)的距离最短．解：设点P(x,y)在曲线y=x上，则P到A的距离为d=sqrt((x-3)^2+y^2)．将y=x代入得d=sqrt((x-3)^2+x^2)=sqrt(2x^2-6x+9)．对d求导得d'=(4x-6)/sqrt(2x^2-6x+9)，令d'=0得x=3/2．再求d''(3/2)<0，故点P(3/2,3/2)到A的距离最短．。

自考高数综合练习题一、单项选择题1．下列集合运算结果为空集的是（B）A.{0,1,2,}∩{0,3,4}B.{1,2,3}∩{4,5,6}C.{0,2,3,5}∩{0,5,6}D.{1,2,3}∩{1,5,6}2．若f(sinx)=3-cos2x，则f(cosx)=(D)A.3-sin2xB.3+sin2xC.3-cos2xD.3+cos2x3．已知函数f(x)的定义域为[0,1]，则f(x+a)的定义域是（D）A.[0,a]B.[-a,0]C.[a,1+a]D.[-a,1-a]4．(E)5．设函数f(x)在(-∞,+∞)内有定义，下列函数中必为奇函数的是（D）A.y=|f(x)|B.y=-|f(x)|C.y=cD.y=xf(x2)6．arcsinx+arccosx=(B)7.（C）8．（D）A.∞B. 1C. 1/2D. 09．若x→a 时，有0≤f(x)≤g(x)，则是f(x)在x→a 过程中为无穷小量的（D）A.必要条件B.充分条件C.充要条件D.无关条件10．当n→∞时，与等价的无穷小量是（C）11．设f(x)=|x|，则（D）A．-1 B．0 C．1 D．不存在12．“当x →x0时，f(x)-A 是一个无穷小量”是“函数f(x)在点x=x0 处以A 为极限”的（B）A．必要而不充分的条件B．充分而不必要的条件C．充分必要条件D．无关条件13．（C）A．-1 B．0 C．1/2 D．∞14．处的二阶导数的定义是（C）15．设收益函数R(x)=150x-0.01(元)，当产量x=100 时其边际收益是（B）A．149 元B．148 元C．150 元D．148 百元16． ( D )A．0 B．1 C．2 D．-217．设某商品在200 元的价格水平下的需求价格弹性η=-0.12，它说明价格在200 元的基础上上调1%时，需求量将下降（）A．0.12 B．0.12% C．1.2% D．12%18．（B）19． ( A )A．递增B．递减C．不增不减D．有增有减20． (B)21． ( B ) A．必要条件B．充分条件C．充要条件D．无关条件22．下列函数对应的曲线在定义域上凹的是（B）23．函数在闭区间[0，1]上满足拉格朗日中值定理的条件，其中的ξ=（A）24．函数y=sin(x+π/2)在x∈[-π,π]上的极大值点x0=（D）A．π B．-π C．π/2 D．025．下列函数中，在区间[-1，1] 上满足罗尔定理条件的是（B）26．（A）A．sin(1-2x) B．-2cos(1-2x) C．sin(1-2x)+c D．-2cos(1-2x)+c27．（B）28． (C)29．（D）A．1 B．0 C．1/2 D．1/330．（B）A．∞ B．1 C．1/3 D．-131．点M1（1，-4，-1），M2（1，0，3），则M1M2 的中点坐标是（B）A．（0，2，-2） B．（1，-2，1） C．（0，4，-4） D．（2，4，2）32．设由方程确定的隐函数z=z(x,y)，则（）33．（）34．（）A．0 B．1/4 C．1/2 D．135．（）A．2 B．1/3 C．1/2 D．336．在下列级数中，条件收敛的级数是（D）37．在下列函数中，能够是微分方程的解的函数是（C）A．y=1 B．y=x C．y=sinx D．38．微分方程的一个特解是（C）39．（B）40．（A）二、计算题（每小题4 分，共12 分）求k 的值使f (x) 在其定义域内连续。

浙江专升本高数练习题一、函数、极限与连续1. 判断下列函数的单调性：(1) y = 3x 5(2) y = 2x^2 + 4x + 12. 求下列极限：(1) lim(x→0) (sinx x) / x^3(2) lim(x→1) (1 x^2) / (1 x)3. 讨论函数f(x) = |x 1|在x = 1处的连续性。

4. 求函数f(x) = e^x / (1 + x)的间断点。

二、一元函数微分学1. 求下列函数的导数：(1) y = x^3 3x^2 + 2(2) y = (3x + 1)^52. 求下列函数的微分：(1) y = sin(2x + 1)(2) y = ln(x^2 + 1)3. 设函数f(x) = x^2 + 2x，求f'(x)在x = 1处的切线方程。

4. 求函数f(x) = x^3 3x在区间[1, 2]上的最大值和最小值。

三、一元函数积分学1. 计算不定积分：(1) ∫(3x^2 2x + 1)dx(2) ∫(e^x cosx)dx2. 计算定积分：(1) ∫(从0到π) sinx dx(2) ∫(从1到e) 1/x dx3. 设函数f(x) = x^2，计算曲线y = f(x)与直线x = 1，x = 3及x轴所围成的平面图形的面积。

四、多元函数微分学1. 求二元函数f(x, y) = x^2 + y^2 2x 4y + 6的极值。

2. 设函数z = f(x, y) = x^2 + y^2，求∂z/∂x和∂z/∂y。

3. 求函数f(x, y) = x^3 + y^3 3xy在点(1, 1)处的切平面方程。

五、多元函数积分学1. 计算二重积分：(1) ∬D (x^2 + y^2) dxdy，其中D为圆x^2 + y^2 ≤ 1所围成的区域。

(2) ∬D e^(x+y) dxdy，其中D为矩形区域0 ≤ x ≤ 1，0 ≤ y ≤ 2。

2. 计算三重积分：(1) ∭E (x^2 + y^2 + z^2) dV，其中E为球体x^2 + y^2 + z^2 ≤ 4所围成的区域。

函数、极限与连续 第一节 函数一、单项选择题3.若2sin 2cos 2θθ+=-，则cos θ=（ ） A.1B.12C.12-D.1-4.函数ln 1x y +=） A.()1,-+∞B.()1,+∞C.[)1,-+∞D.[)1,+∞5.函数21x y e -的定义域是（ ）A.()3,+∞B.(],2-∞-C.[]3,4-D.(][),23,-∞-⋃+∞6.函数()121arccos13x y x --=+-的定义域是（ ） A.[)(]1,11,2-⋃ B.()()1,11,2-⋃ C.[]1,2-D.()1,2-7.函数()23,401,03x x f x x x --≤≤⎧=⎨+<≤⎩的定义域是（ ）A.43x -≤≤B.40x -≤≤C.03x <≤D.43x -<< 二、填空题3.函数2log x y -=_______.4.函数()3sin1xf x x=+的定义域是__________. 5.设()f x 的定义域为(]0,1，则函数()sin f x 的定义域为_________. 6.设函数()2y f x =的定义域为[]0,2，则()f x 的定义域是_______.第二节 极限一、单项选择题4.设1f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()lim x f x →∞=（ ） A.-1B.0C.1D.不存在5.03sin lim2x xx→=（ ）A.23B.1C.32D.36.下列各式中正确的是（ ） A.()23sin lim1x x x →=B.()21limcos 10x x →-=C.1lim sin1x x x→∞= D.01sinlim1x x x→=7.下列各式中正确的是（ ）A.31lim 13xx e x →∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭B.()1lim 1x x x e →∞+= C.()10lim 12xx x e →+=D.()130lim 1xx x e +→+=8.函数()223,1,0,1,1,1,x x f x x x x ⎧+<⎪==⎨⎪->⎩，则()1lim x f x →=（ ） A.0 B.2 C.5 D.不存在9.()21sin 1lim1x x x →-=-（ ）A.1B.0C.2D.1210.)lim x x →+∞=（ ）A.0B.1C.2D.∞11.22lim sin 1x xx x →∞=+（ ） A.12B.0C.∞D.212.下列极限不能用洛必达法则的是（ ）A.201lim tan xx e x→-B.2121lim 1x x x x→---C.11lim 1x x x →-- D.()lim 0xm x e m x→+∞> 13.极限limx xx e e x-→+∞-=（ ） A.0B.1C.2D.+∞14.若0a >，则极限()ln ln lim ex x x x →+∞=（ ）A.+∞B.2C.1D.022.设函数()1sin ,0,1,0,x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，则当0x →时，()f x 是（ ） A.无穷小B.无穷大C.既不是无穷大，也不是无穷小D.极限存在但不是023.当0x →时，下列四个无穷小中，比其他三个更高阶的无穷小是（ ） A.2xB.1cos x -1D.tan x x -24.当0x +→）A.1-B.1D.1-二、填空题1.设()lim 2x f x →∞=，()()lim5x f x g x →∞=，则()lim x g x →∞=________2.2112lim 11x x x →⎛⎫-=⎪--⎝⎭_________.3.20lim2x x x→=+__________.4.极限12lim 1x x x +→∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________.5.()10lim 1sin 2xx x →-=__________. 6.21lim arctan x x x+→=__________. 7.011lim sinsin x x x x x →⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________. 8.()222sin 4lim6x x x x →-=+-__________.9.cos x x →=___________.10.()()2013sin coslim1cos ln 1x x x x x x →+=++ __________. 11.22limtan2x x nππ→∞= __________. 12.221limxx x e →+∞-= __________.一元函数微分学 第一节 导数的概念一、单项选择题1.设()f x 在点x a =处可导，则()()2limh f a h f a h→--=（ ）A.()f a 'B.()2f a 'C.()2f a '-D.()f a '-2.设()f x 在点0x =处可导，则()()3lim2h f h f h h→--=（ ）A.()302f ' B.()203f 'C.()20f 'D.()0f '3.设()11f '=，则()()211lim1x f x f x →-=-（ ）A.-1B.0C.12D.14.设函数()()()()12f x x x x x n =---，其中n 为正整数，则()1f '=（ ）A.()()111!n n --- B.()()11!nn --C.()11!n n --D.()1!nn -5.若()f x 在x a =处可导，则下列选项不一定正确的是（ ） A.()()lim x af x f a →=B.()()lim x af x f a →''=C.()()limh f a h f a h h→--+D.()()limx af a f x x a→--6.设函数()f x 在0x =处可导，且()00f =，()00f '≠，则下列极限存在且为零的是（ ）A.()01limln 1h f h h →-⎡⎤⎣⎦ B.)201lim1h f h → C.()201lim tan h f h h→D.()()01lim 2h f f h f h h→-⎡⎤⎣⎦ 7.设函数()()21f x x x ϕ=-，其中()x ϕ在点1x =处连续，则()10ϕ=是()f x 在点1x =处可导的（ ）A.充分必要条件B.充分但非必要条件C.必要但非充分条件D.既非充分又非必要条件8.设()f x 在0x 处有定义，但()0lim x x f x →不存在，则（ ） A.()0f x '必存在B.()0f x '必不存在C.()f x 必连续D.()()00lim x x f x f x →=9.设()y f x =在点1x =处可导，且()1lim 2x f x →=，则()1f =（ ）A.2B.1C.12D.010.下列函数中，在点0x =处可导的是（ ） A.y x =B.y =C.3y x =D.ln y x =11.设()322,13,1x x f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，则()f x 在1x =处的（ ）A.左、右导数都存在B.左导数存在，但右导数不存在C.左导数不存在，但右导数存在D.左、右导数都不存在12.函数()1sin ,00,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在点0x =处（ ） A.连续且可导B.连续但不可导C.不连续D.不仅可导，导数也连续二、填空题1.设函数()()2log 0f x x x =>，则()()0limx f x x f x x∆→-∆-=∆________. 2.设()()()00001lim03x f x k x f x f x x ∆→+∆-'=≠∆，则k =_________.3.当0h →时，()()0032f x h f x h --+是h 的高阶无穷小量，则()0f x '=_______.4.设()2,1cos ,12ax b x f x x x x π⎧+≥⎪=⎨⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎩且()f x 在1x =处可导，则a =________，b =________. 5.设函数()1,010,02,01x x xx e f x x x x e ⎧<⎪⎪+⎪==⎨⎪⎪>+⎪⎩，则()0f '=________.6.设曲线()y f x =和2y x x =-在点()1,0处有相同的切线，则()f x 在该点的切线斜率为________.7.曲线32116132y x x x =+++在点()0,1处的切线与x 轴的交点坐标为________. 8.设()y f x =由方程()2cos 1x y e xy e +-=-所确定，则曲线()y f x =在点()0,1处的法线方程为________.9.曲线2223131at x t at y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩在2t =的对应点处的切线方程为________. 10.曲线sin 2t,cos t tx e y e t⎧=⎪⎨=⎪⎩在点()0,1处的法线方程为________.第二节 一元导数的求导法则一、单项选择题1.设()2f x e =()f x '=（ ）A.xe2.设函数()2x f x e -=，则()f x '=（ ） A.22x e--B.22x e-C.22x xe--D.22x xe-3.若函数()sin f x x x =，则2f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭（ ） A.12B.1C.2πD.2π4.若()211f x x -=-，则()f x '=（ ） A.22x +B.()1x x +C.()1x x -D.21x -5.设函数()f x 满足()22sin cos f x x '=，且()00f =，则()f x =（ ）A.21cos cos 2x x +B.21sin sin 2x x - C.2112x x -+ D.212x x -6.设()211xf e x =+，则()f x '=（ ） A.()222ln 1ln x x x -+ B.()222ln 1ln xx -+ C.()2221xx -+D.()2211x -+7.设()2420y x x x =-+>，则其反函数()x y ϕ=在点2y =处的导数是（ ）A.14B.14-C.12D.12-8.设函数()g x 可微，()()1g x h x e +=，()11h '=，()12g '=，则()1g =（ ） A.ln31- B.ln31--C.ln21--D.ln21-二、填空题 1.设()ln 11x y x+=+，则0x y ='=__________.2.设()24sin y x =，则dydx=___________.3.设3210.1sin 3y x x π=-+，则y '=__________.4.设()2cos 31arctan x xy x x e=-+，则y '=__________. 5.设cos2xy e =，则y '=__________.6.设ln y x =，则y '=__________.7.设()arctan y f x =，其中()f x 为可导函数，则y '=__________. 8.已知()arcsin 12y x =-，则y '=__________. 9.已知2cos 2y ex π-=，则y '=__________.10.已知(ln y x =，则y '=__________. 11.设()12xf x x e=，而()h t 满足条件()03h =，()2sin 4h t t π⎛⎫'=+⎪⎝⎭，则()0t d f h t dt==⎡⎤⎣⎦__________. 12.已知211d f dx x x⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则12f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭__________. 第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数一、单项选择题1.已知方程2290y xy -+=确定了函数()y y x =，则dydx=（ ） A.y x y- B.x x y- C.x y x -D.y y x-2.已知()y f x =由方程()cos ln 1xy y x -+=确定，则()2lim 0n n f f n →∞⎡⎤⎛⎫-=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（ ） A.2B.1C.-1D.-23.已知1xy x =，则dydx=（ ） A.21ln x x -B.()121ln xxx --C.()111ln xxx --D.()12ln 1xxx --4.已知函数()y y x =由参数方程sin cos 2x t y t=⎧⎨=⎩确定，则2t dydx π==（ ）A.-B.C.5.设()ln 111x t y t =+⎧⎪⎨=⎪+⎩，则22d y dx =（ ） A.1B.11t+ C.11t-+ D.11t-+ 二、填空题1.设函数()y y x =由方程()23ln sin x y x y x +=+所确定，则0x dy dx==________.2.设函数()y y x =由方程2cos xye y x +=所确定，则dydx=________. 3.设函数()y y x =由方程1yy xe =+所确定，则y ''=________.4.设()y y x =由()()21ty f t x f e =⎧⎪⎨=-⎪⎩所确定，其中f 可导，且()00f '≠，则0t dy dx ==________. 5.若函数()y y x =由参数方程cos sin x at t y at t =⎧⎨=⎩所确定，则2t dydx π==________. 6.若由参数方程ln cos sec x t y a t=⎧⎨=⎩所确定的函数()y y x =满足x dyy e dx -=+，则常数a =________.7.设函数()y y x =由参数方程()32ln 1x t t y t t⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩所确定，则22d y dx =________.三、计算题1.设函数()y y x =由方程()222sin 0x x y e xy ++-=所确定，求dy dx2.设函数()y f x =由方程()f y yxee =所确定，其中f 具有二阶连续导数，且1f '≠，求22d ydx3.已知方程224x xy y ++=所确定的隐函数为()y y x =，求dy dx 与22d ydx4.求幂指函数()ln xy x =的导数5.设()0,01x a x a y x x a a x a a =+++>>≠且，求dy dx6.设()1cos 1x y x =+，求y '7.已知(()214xx y x e+=+y ' 8.设()y y x =由21cos ,sin x t y t =+⎧⎨=⎩所确定，求dydx 9.设()y y x =由方程22e 13t x t y t t⎧=+⎨=-⎩所确定，求1x dydx =10.设()y y x =由()()()x f t y tf t f t '=⎧⎪⎨'=-⎪⎩所确定，()f t ''存在且()0f t ''≠，求22d y dx第五节 函数的微分一、单项选择题1.若函数()y f x =有()012f x '=，则当0x ∆→时，该函数在点0x x =处的微分dy 是（ ）A.与x ∆等价的无穷小B.与x ∆同阶非等价的无穷小C.比x ∆低阶的无穷小D.比x ∆高阶的无穷小2.设函数()y f x =在点0x 处可导，当自变量x 由0x 增加到0x x +∆，记y ∆为()f x 的增量，dy 为()f x 的微分，则0lim x y dyx∆→∆-=∆（ ）A.-1B.0C.1D.∞3.函数()f x 在点0x x =处可微是它在点0x x =处连续的_________条件 A.必要而不充分 B.充分而不必要 C.充分必要 D.无关4.已知y =4x dy ==（ ）A.24eB.24e dxC.22eD.22e dx 5.下列等式中不正确的是（ ） A.()6d x dx =B.()1cos 2sin 22xdx d x = C.()222x x xe dx d e=D.()arccos d x =6.已知()y y x =是由方程0ye xy e --=确定的函数，则dy=（ ） A.yydx e x-+B.yydx e x+ C.yydx e x-- D.yydx e x- 二、填空题1.?e dx =_________()?d e （n 为正整数）2.已知函数()f x 满足()()arcsin 2f x d x =⎡⎤⎣⎦，则()f x =_________.3.设函数()43y x =-，则dy =_________.4.已知arcsin2xy x =+dy =_________. 5.设1xe y x=+，则dy =_________.6.已知()y y x =是由方程tan y x y =+确定的函数，则dy =_________.7.设2arccos 2xy =，则dy =_________.第六节 微分中值定理三、证明题1.设()f x 在[]1,e 上可导，且()10f =，()1f e =，证明：()1f x x'=在()1,e 内至少有一个实根2.设()f x 在[],a b 上二阶可导，且恒有()0f x ''<，证明：若方程()0f x =在(),a b 内有根，则最多有两个根3.设函数()f x 在区间[]0,2上连续，在区间()0,2内可导，且()()020f f ==，()12f =，证明：至少存在一点()0,2ξ∈，使得()f ξξ'=4.设函数()f x 在区间[]0,1上连续，在区间()0,1内可导，且()1lim01x f x x →=-，证明：至少存在一点()0,1ξ∈，使得()()cos sin 0f f ξξξξ'⋅+⋅=5.若()f x 在[]0,1上有三阶导数，且()()010f f ==，设()()3F x x f x =，证明：在()0,1内至少存在一点ξ，使()0F ξ''=6.设()f x 在[],a b 上可导，且()()0f a f b ==，证明：至少存在一点(),a b ξ∈，使()()0f f ξξ'+=7.设函数()f x 在[]0,1上连续，在()0,1内可导，且()00f =，k 为正整数，证明：存在一点()0,1ξ∈，使得()()()f kff ξξξξ''+=8.设()f x 在[]0,2上连续，在()0,2内可导，且()()014f f +=，()22f =，证明：必存在一点()0,2ξ∈，使()0f ξ'=10.已知()f x 在[]1,3上连续，在()1,3内可导，且()()120f f <，()()230f f <，证明：至少存在一点()1,3ξ∈，使得()()0f fξξ'-=11.设()f x 在[]0,1上连续，在()0,1内可导，且()00f =，()11f =，证明：对任意给定的正数a 和b ，在（0，1）内必存在不相等的1x ，2x ，使()()12a ba b f x f x +=+'' 12.设01a b <<<，证明不等式arctan arctan 2b a b a ab--<13.设函数()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且()()f a f b =，证明：若()f x 不恒为常数，则至少存在一点(),a b ξ∈，有()0f ξ'>第七节 导数的应用三、计算题8.求函数()ln f x x x =-在1,e e -⎡⎤⎣⎦上的最值9.设函数2ln 5y a x bx x =++在1x =处取极值且12x =为其拐点横坐标，求常数a ，b 的值 10.设1x =±是()32f x x ax bx =++的两个极值点，求函数()f x 的拐点11.试确定曲线()3216f x ax bx cx =+++中的a 、b 、c ，使得()f x 在点2x =-处有水平切线，()1,10-为()f x 的拐点五、证明题1.设()f x 在[)0,+∞上连续，()00f =，()f x ''在()0,+∞内恒大于零，证明：()()f x g x x=在()0,+∞内单调递增2.证明：当0x >时，有不等式()()1ln 1arctan x x x ++>3.证明：当0x >时，11ln 11x x⎛⎫+> ⎪+⎝⎭4.证明：当0x >时，(1ln x x +>5.证明：当02x π<<时，sin tan 2x x x +>6.证明：方程31arctan 0x x --=在区间()0,1内有唯一实根7.证明：方程3310x x -+=有且仅有三个实根8.证明方程1ln 02x x e -+=在()0,+∞内有且仅有两个实根 9.设函数()()21ln 12f x x x x =+-+，证明：（1）当0x →时，()f x 是比x 高阶的无穷小量； （2）当0x >时，()0f x > 10.设函数()ln ln a x x af x x-=，(),x e ∈+∞（1）证明：()f x 在区间(),e +∞内单调递减； （2）设a b e >>，比较ba 与ab 的大小，并说明理由 11.已知11arctan F x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，0x >， （1）求()F x ；（2）证明当0x >时()0F x =恒成立一元函数积分学第一节 不定积分一、单项选择题2.函数sin 2x 在(),-∞+∞内的导函数与一个原函数分别是（ ）A.cos 2,sin 2x xB.12cos 2,cos 22x x C.12cos 2,cos 22x x - D .12cos 2,cos 22x x - 3.已知函数tan 2y a x =的一个原函数为()2ln cos 23x ，则a =（ ）A.23-B.43-C.32D.344.设()f x 的一个原函数为2x ，则()f x '=（ ）A.313xB.2xC.2xD.25.若()f x 的导函数是sin x ，则函数()f x 有一个原函数是（ ） A.1sin x +B.1sin x -C.1cos x +D.1cos x -16.不定积分()2x xe dx --+=⎰（ ）A.1xx e C ---++ B.1xx e C ----+C.212xx e C ----+D.313xx e C ---+ 17.不定积分32x x e dx =⎰（ ）A.3213x x e C +B.323xx e C +C.313x e C + D.33xe C +18.若()()ln 1f x dx x x C =++⎰，则()0limx f x x→=（ ） A.2B.-2C.-1D.119.不定积分=（ ）A.C -B.CC.CD.C -20.不定积分()2f x dx '=⎰（ ）A.()122f x C +B.()2f x C +C.()22f x C +D.()12f x C + 21.设()()21ln 12f x dx x C =++⎰，则()1f x dx x=⎰（ ）A.arctan x C +B.cot arc x C +C.()21ln 12x C x ++D.1C x-+ 二、填空题 4.不定积分()221x dx -=⎰____________.5.()2d df x =⎰____________.6.不定积分223x x dx =⎰____________.7.不定积分21y -=____________.8.若()()f x dx F x C =+⎰，则()ln f x dx x=⎰____________. 9.d____________dx =10.2cos 1sin xdx d x=+ ____________. 11.不定积分()5201ln x dx x+=⎰____________.12.不定积分11sin dx x =+⎰____________.13.不定积分2sec 1tan x dx x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭⎰____________.14.不定积分3x=⎰____________.15.不定积分()2xf ax b dx '+=⎰____________.()0a ≠ 三、计算题1.求不定积分327d 3x x x --⎰2.计算不定积分d x ⎰ 3.计算不定积分2x4.计算不定积分sin cos sin cos x x dx x x -+⎰ 5.计算不定积分4sin cos d 1sin x xx x+⎰ 6.计算不定积分3sin d x x ⎰7.计算不定积分6sec d x x ⎰8.计算不定积分2sec 2sec 1tdt t -⎰9.计算不定积分x ⎰10.求不定积分x e xedx +⎰11.求不定积分2100d (1)x x x -⎰ 12.设()22sin cos 2tan f x x x '=+，求()f x ，其中01x << 第二节 定积分的概念与计算 二、填空题 5.设0()xf x t dt =⎰，则()f x '=____________.6.设()223x t t x F x xe dt +=⎰，则()F x '=____________.7.极限24sin limx x tdt x →=⎰____________.8.已知当0x →时，sin 20xt dt ⎰与a x 是同阶无穷小，则常数a =____________.9.已知()230341xf t dt x =+⎰，则()12f =____________.10.函数()2x t f x e dt -=⎰的极值为____________.11.如果()f x 有一阶连续导数，()5f b =，()3f a =，则()baf x dx '=⎰____________.12.已知函数()1xf x x=+，则定积分211f dx x ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰____________. 13.定积分21x dx -=⎰____________.14.设()xf x e -=，则()21ln f x dx x'=⎰____________. 15.设()1,20,1,01,2,12x f x x x x x -≤<⎧⎪=+≤≤⎨⎪<≤⎩，则()22f x dx -=⎰____________.16.定积分21x xe dx =⎰____________.三、计算题1.计算31⎰2.计算)21x dx -⎰3.求(211x dx -⎰4.计算11ln ex dx x +⎰5.计算220sin cos x xdx π⎰6.计算1⎰7.求114⎰8.求21⎰9.求11-⎰10.求111.求112.已知()1,011,01xx xf x x e ⎧>⎪⎪+=⎨⎪≤⎪+⎩，求()11f x dx -⎰第四节 定积分的应用三、应用题1.求曲线xy e -=与直线0y =之间位于第一象限的平面图形的面积2.计算由抛物线21y x =-与27y x =-所围成的平面图形的面积3.求由曲线sin y x =，cos y x =与直线0x =，2x π=所围成的平面图形的面积4.曲线()20y ax xa =->与x 轴围成的平面图形被曲线()20y bxb =>分成面积相等的两部分，求a ，b 的值5.求曲线ln y x =在区间（2,6）内的一条切线，使得该切线与直线2x =，6x =和曲线所围成的平面图形的面积最小6.已知曲线)0y a =>与曲线y =在点()00,x y 处有公共切线，求：（1）常数a 及切点()00,x y（2）两曲线与x 轴围成的平面图形的面积S7.求由曲线()31y x =-，x 轴和直线2x =所围成的图形绕x 轴旋转所得的旋转体的体积 8.计算由抛物线2y x =和直线2y x =所围成的平面图形绕y 轴旋转一周所成的旋转体的体积9.求曲线24y x x =-和直线y x =围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得立体的体积 10.已知曲线()30y xx =≥，直线2x y +=以及y 轴围成一平面图形D ，求平面图形D 绕y轴旋转一周所得旋转体的体积11.求曲线()243y x =--与x 轴所围成的平面图形分别绕x 轴、y 轴旋转而成的立体体积x V 、y V 。

重庆专升本高数练习题一、选择题1. 函数f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1的导数为：A. 6x^2 - 10x + 3B. 6x^2 - 10x + 2C. 6x^2 - 10x + 1D. 6x^2 - 10x + 42. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值为：A. 0B. 1C. 2D. 不存在3. 设函数f(x) = x^2 + 3x - 2，当x < -4时，f(x)的值：A. 总是大于0B. 总是小于0C. 总是等于0D. 无法确定二、填空题4. 根据微分中值定理，若函数f(x)在区间[a, b]上连续，且在(a, b)内可导，且f'(x)≠0，则存在ξ∈(a, b)，使得f'(ξ) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}。

若f(x) = x^2 - 2x，a = 0，b = 3，则f'(ξ) =_______。

5. 已知函数g(x) = sin(x) + cos(x)，求g'(x) = _______。

三、计算题6. 计算定积分∫(0,1) (x^2 + 1)dx。

7. 求解微分方程dy/dx + 2y = x^2，且当x = 0时，y = 1。

四、证明题8. 证明：若函数f(x)在区间(a, b)上连续，且∫(a, b) f(x)dx = 0，则f(x)在区间(a, b)上必有零点。

五、应用题9. 某工厂生产一种产品，其成本函数为C(x) = 3x^2 + 2x + 1，其中x为产品数量。

求该工厂生产多少件产品时，平均成本最低。

10. 假设某投资项目的未来收益函数为R(t) = 100e^(-t)，其中t为时间（以年为单位），求第一年的投资回报率。

答案：一、选择题1. A2. B3. B二、填空题4. 25. cos(x) - sin(x)三、计算题6. ∫(0,1) (x^2 + 1)dx = [x^3/3 + x](0,1) = 1/3 + 1 = 4/37. 解微分方程dy/dx + 2y = x^2，得到y = (1/3)x^3 - x^2 + C，当x = 0时，y = 1，解得C = 1，所以y = (1/3)x^3 - x^2 + 1。