3．5 两角和与差的正弦、余弦与正切公式
[知识梳理]
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)C (α∓β)：cos(α∓β)＝cos αcos β±sin αsin β. (2)S (α±β)：sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.
(3)T (α±β)：tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β⎝ ⎛
⎭⎪⎫α，β，α±β≠π2＋k π，k ∈Z . 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S 2α：sin2α＝2sin αcos α.
(2)C 2α：cos2α＝cos 2
α－sin 2
α＝2cos 2
α－1＝1－2sin 2
α. (3)T 2α：tan2α＝2tan α
1－tan 2
α
⎝ ⎛⎭
⎪⎫α≠±π4＋k π，且α≠k π＋π2，k ∈Z . 3．公式的常用变形
(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)． (2)cos 2α＝1＋cos2α2，sin 2α＝1－cos2α2.
(3)1±sin2α＝(sin α±cos α)2
， sin α±cos α＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α±π4.
(4)a sin α＋b cos α＝a 2
＋b 2
sin(α＋φ)，其中cos φ＝a a 2＋b
2
，sin φ＝b a 2＋b 2
，
tan φ＝b
a
(a ≠0)．
特别提醒：(1)角：转化三角函数式中往往出现较多的差异角，注意观察角与角之间的和、差、倍、互补、互余等关系，运用角的变换，化多角为单角或减少未知角的数目，连接条件角与待求角，使问题顺利获解．对角变换时：①可以通过诱导公式、两角和与差的三角公式等；②注意倍角的相对性；③注意拆角、拼角技巧，例如，2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，β＝α＋β2－α－β
2
＝(α＋2β)－(α＋β)，α－β
＝(α－γ)＋(γ－β)，15°＝45°－30°，π4＋α＝π2－⎝ ⎛⎭
⎪⎫π
4
－α
等．
(2)将三角变换与代数变换密切结合：三角变换主要是灵活应用相应的三角公式，对于代数变换主要有因式分解、通分、提取公因式、利用相应的代数公式等，例如，sin 4
x ＋cos 4
x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2x cos 2
x ＝1－12
sin 22x .
[诊断自测] 1．概念思辨
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．( ) (2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( ) (3)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小关系不确定．( ) (4)公式tan(α＋β)＝
tan α＋tan β
1－tan αtan β
可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－
tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( )
答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)× 2．教材衍化
(1)(必修A4P 131T 5)sin20°cos10°－cos160°sin10°＝( ) A ．－
32 B.32 C ．－12 D.12
答案 D
解析 原式＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin(20°＋10°)＝sin30°＝12，故
选D.
(2)(必修A4P 146A 组T 3)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝12，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π6＝13，则tan(α＋β)＝________.
答案 1
解析 ∵α＋β＝⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π6＋⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π6，
∴tan(α＋β)＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋tan ⎝
⎛⎭⎪⎫β－π61－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π6＝12＋131－16＝1.
3．小题热身
(1)sin7°＋cos15°sin8°
cos7－sin15°sin8°的值为( )
A ．2＋ 3
B ．2－ 3
C ．2 D.1
2
答案 B
解析 原式＝sin (15°－8°)＋cos15°sin8°
cos (15°－8°)－sin15°sin8°
＝
sin15°cos8°cos15°cos8°＝tan15°＝tan(45°－30°)＝tan45°－tan30°
1＋tan45°tan30°
＝1－
3
31＋
33
＝3－13＋1
＝2－ 3.故选B.
(2)若sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝45，且α是第二象限角，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α等于( )
A ．7
B ．－7 C.17 D ．－1
7
答案 C
解析 ∵sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝4
5，
∴cos α＝－4
5
.
又α是第二象限角，∴sin α＝35，则tan α＝－3
4.
∴tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋α＝tan π4＋tan α1－tan π4tan α＝1－
3
41＋
34
＝17.故选C.
题型1 求值问题
典例 已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝35
，若17π12 4，求sin2x ＋2sin 2 x 1－tan x 的值． 本题采用“函数转化法”． 解 由17π12 4<2π. 又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝－45， 所以cos x ＝cos ⎣⎢⎡⎦ ⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos π4＋sin ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫π4＋x sin π4＝3 5×22－45×22＝－210， 从而sin x ＝－7210，tan x ＝7. 则sin2x ＋2sin 2 x 1－tan x ＝2sin x cos x ＋2sin 2 x 1－tan x
