人教版2018中考数学复习压轴题突破重难点突破1阅读理解题

2018年中考数学阅读理解专题复习题(人教版含答案)
阅读理解专题
吴健
阅读理解型问题一般字叙述较长，信息量较大，各种关系错综复杂，往往是先给一个材料，或介绍一个新的知识点，或给出针对某一种题目的解法，然后再给合条出题解决这类题的关键是要认真仔细地阅读给定的材料，弄清材料中隐含的数学知识、结论，或揭示的数学规律，或暗示的解题方法，然后展开联想，如何从题目给定的材料获得新信息、新知识、新方法进行迁移，建模应用，解决题目中提出的问题
一、新定义型
例1 对于实数a，b，定义运算“*”a*b＝
例如4*2，因为4＞2，所以4*2＝42－4×2＝8．若x1，x2是一元二次方程x2－5x＋6＝0的两个根，则x1*x2＝_________________．分析用式法或因式分解法求出方程的两个根，然后利用新定义解之
解可以用式法求出方程x2－5x＋6＝0的两个根是2和3，可能是x1=2，x2=3，也可能是x1=3，x2=2，根据所给定义运算可知原题有两个答案3或－3．
本题容易忽视讨论思想，会少一种情况
评注本题需要学生先通过阅读掌握新定义式，再利用类似方法解决问题．考查了学生观察问题，分析问题，解决问题的能力．跟踪训练
1若定义f(a,b)=(-a,b)，g(m,n)=(m,-n)，例如，，则等于（）
A．（2，-3） B．（-2，3） C．（2，3） D．（-2，-3）
2．对于实数x,我们规定【x】表示不大于x的最大整数，例如，，，若，则x的值可以是（）
A．40 B．45 C．51 D．56。

第一部分函数图象中点的存在性问题§1．1 因动点产生的相似三角形问题例1 2014年市中考第28题例2 2014年市中考第21题例3 2015年湘西州中考第26题例4 2015年市中考第25题例5 2016年市中考第26题例6 2016年市中考第24题例7 2016年市崇明县中考模拟第25题例8 2016年市黄浦区中考模拟第26题§1．2 因动点产生的等腰三角形问题例9 2014年市中考第26题例10 2014年市第25题例11 2014年市中考第26题例12 2014年市中考第27题例13 2015年市中考第22题例14 2015年市中考第26题例15 2016年市中考第26题例16 2016年市长宁区金山区中考模拟第25题例17 2016年省中考第23题§1．3 因动点产生的直角三角形问题例19 2015年市中考第21题例20 2015年市中考第26题例21 2016年市中考第26题例22 2016年市松江区中考模拟第25题例23 2016年义乌市市中考第24题§1．4 因动点产生的平行四边形问题例24 2014年市中考第24题例25 2014年市中考第20题例26 2014年市中考第25题例27 2015年市中考第25题例28 2015年黄冈市中考第24题例29 2016年市中考第26题例30 2016年市嘉定区宝山区中考模拟中考第24题例31 2016年市徐汇区中考模拟第24题§1．5 因动点产生的面积问题例32 2014年市中考第25题例33 2014年永州市中考第25题例35 2015年市中考第26题例36 2015年株洲市中考第23题例37 2015年市中考第28题例38 2016年市中考第22题例39 2016年永州市中考第26题例40 2016年市中考第26题例41 2016年省中考第25题§1．6 因动点产生的相切问题例42 2014年市中考第27题例43 2014年株洲市中考第23题例44 2015年市中考第25题例45 2015年湘西州中考第25题例46 2016年市中考第25题例47 2016年市中考第26题例48 2016年市闵行区中考模拟第24题例49 2016年市普陀区中考模拟中考第25题§1．7 因动点产生的线段和差问题例50 2014年市中考第26题例51 2014年湘西州中考第25题例53 2015年市中考第28题例54 2015年市中考第25题例55 2016年市中考第26题例56 2016年市中考第24题例57 2016年市中考第21题第二部分图形运动中的函数关系问题§2．1 由比例线段产生的函数关系问题例1 2014年市中考第26题例2 2014年市中考第25题例3 2014年市中考第25题例4 2015年市中考第25题例5 2015年市中考第26题例6 2015年市中考第25题例7 2015年市中考第26题例8 2016年市中考第25题例9 2016年湘西州中考第26题例10 2016年市静安区青浦区中考模拟第25题例11 2016年市中考第27题第三部分图形运动中的计算说理问题§3．1 代数计算及通过代数计算进行说理问题例1 2014年市中考第25题例2 2014年市中考第23题例3 2014年市中考第26题例4 2014年株洲市中考第24题例5 2015年市中考第27题例6 2015年市中考第25题例7 2015年永州市中考第26题例8 2015年市中考第25题例9 2015年株洲市中考第24题例10 2016年市中考第22题例11 2016年市中考第25题例12 2016年株洲市中考第26题例13 2016年市中考第25题例14 2016年市中考第26题§3．2 几何证明及通过几何计算进行说理问题例15 2014年市中考第26题例16 2014年市中考第26题例17 2014年市中考第23题例18 2015年市中考第26题例19 2015年市中考第20题例20 2015年永州市中考第27题例21 2015年市中考第23题例22 2016年市中考第25题例23 2016年市中考第25题例24 2016年永州市中考第27题例25 2016年市中考第23题例26 2016年株洲市中考第25题例27 2016年市中考第25题第四部分图形的平移、翻折与旋转§4．1 图形的平移例1 2015年市中考第15题例2 2015年市中考第14题例3 2015年株洲市中考第14题例4 2016年市虹口区中考模拟第18题§4．2 图形的翻折例5 2016年市奉贤区中考模拟第18题例6 2016年市静安区青浦区中考模拟第18题例7 2016年市闵行区中考模拟第18题例8 2016年市浦东新区中考模拟第18题例8 2016年市普陀区中考模拟第18题例10 2016年市中考第15题例11 2016年市中考第14题例12 2016年市中考第18题例13 2016年市中考第15题例14 2016年市中考第12题§4．3 图形的旋转例15 2016年昂立教育中学生三模联考第18题例16 2016年市崇明县中考模拟第18题例17 2016年市黄浦区中考模拟第18题例18 2016年市嘉定区宝山区中考模拟第18题例19 2016年市闸北区中考模拟第18题例20 2016年市中考第13题例21 2016年株洲市中考第4题§4．4 三角形例22 2016年省中考第10题例23 2016年市中考第10题例24 2016年省中考第16题例25 2016年市中考第10题例27 2016年市中考第10题例28 2016年省中考第14题例29 2016年江市中考第11题例30 2016年市中考第18题§4．5 四边形例31 2016年湘西州中考第11题例32 2016年市中考第4题例33 2016年市中考第6题例34 2016年市中考第16题例35 2016年市中考第14题例36 2016年市中考第13题例37 2016年市中考第18题例38 2016年市中考第17题例39 2016年市中考第15题§4．6 圆例40 2016年滨州市中考第16题例41 2016年市中考第17题例42 2016年市中考第16题例43 2016年市中考第17题例45 2016年市中考第18题例46 2016年市中考第9题例47 2016年宿迁市中考第16题例48 2016年市中考第17题例49 2016年市中考第18题例50 2016年湘西州中考第18题例51 2016年永州市中考第20题§4．7 函数的图象及性质例52 2015年荆州市中考第9题例53 2015年市中考第12题例54 2015年市中考第12题例55 2015年市中考第10题例56 2015年市中考第10题例57 2015年呼和浩特市中考第10题例58 2016年市中考第18题例59 2016年市中考第19题例60 2016年市中考第15题例61 2016年株洲市中考第9题例62 2016年永州市中考第19题例63 2016年市中考第8题例64 2016年市中考第16题例65 2016年市中考第14题例66 2016年株洲市中考第10题例67 2016年株洲市中考第17题例68 2016年东营市中考第15题例69 2016年市中考第13题例70 2016年市中考第16题例71 2016年宿迁市中考第15题例72 2016年市中考第14题例73 2016年义乌市市中考第9题例74 2016年市中考第12题例75 2016年市中考第16题§1．1 因动点产生的相似三角形问题课前导学相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验．如果已知∠A ＝∠D ，探求△ABC 与△DEF 相似，只要把夹∠A 和∠D 的两边表示出来，按照对应边成比例，分AB DE AC DF =和AB DF AC DE=两种情况列方程． 应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等． 应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．还有一种情况，讨论两个直角三角形相似，如果一组锐角相等，其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题．求线段的长，要用到两点间的距离公式，而这个公式容易记错．理解记忆比较好． 如图1，如果已知A 、B 两点的坐标，怎样求A 、B 两点间的距离呢？我们以AB 为斜边构造直角三角形，直角边与坐标轴平行，这样用勾股定理就可以求斜边AB 的长了．水平距离BC 的长就是A 、B 两点间的水平距离，等于A 、B 两点的横坐标相减；竖直距离AC 就是A 、B 两点间的竖直距离，等于A 、B 两点的纵坐标相减．图1例 1 2014年省市中考第28题二次函数y ＝a x 2＋b x ＋c （a ≠0）的图象与x 轴交于A (－3, 0)、B (1, 0)两点，与y 轴交于点C (0,－3m )（m ＞0），顶点为D ．（1）求该二次函数的解析式（系数用含m 的代数式表示）；（2）如图1，当m ＝2时，点P 为第三象限抛物线上的一个动点，设△APC 的面积为S ，试求出S 与点P 的横坐标x 之间的函数关系式及S 的最大值；（3）如图2，当m 取何值时，以A 、D 、C 三点为顶点的三角形与△OBC 相似？图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“1428”，拖动点P 运动，可以体验到，当点P 运动到AC 的中点的正下方时，△APC 的面积最大．拖动y 轴上表示实数m 的点运动，抛物线的形状会改变，可以体验到，∠ACD 和∠ADC 都可以成为直角．思路点拨1．用交点式求抛物线的解析式比较简便．2．连结OP ，△APC 可以割补为：△AOP 与△COP 的和，再减去△AOC ．3．讨论△ACD 与△OBC 相似，先确定△ACD 是直角三角形，再验证两个直角三角形是否相似．4．直角三角形ACD 存在两种情况．图文解析（1）因为抛物线与x 轴交于A (－3, 0)、B (1, 0)两点，设y ＝a (x ＋3)(x －1)．代入点C (0,－3m )，得－3m ＝－3a ．解得a ＝m ．所以该二次函数的解析式为y ＝m (x ＋3)(x －1)＝mx 2＋2mx －3m ．（2）如图3，连结OP ．当m ＝2时，C (0,－6)，y ＝2x 2＋4x －6，那么P (x , 2x 2＋4x －6)．由于S △AOP ＝1()2P OA y ⨯-＝32-(2x 2＋4x －6)＝－3x 2－6x ＋9， S △COP ＝1()2P OC x ⨯-＝－3x ，S △AOC ＝9， 所以S ＝S △APC ＝S △AOP ＋S △COP －S △AOC ＝－3x 2－9x ＝23273()24x -++． 所以当32x =-时，S 取得最大值，最大值为274．图3 图4 图5（3）如图4，过点D 作y 轴的垂线，垂足为E ．过点A 作x 轴的垂线交DE 于F ． 由y ＝m (x ＋3)(x －1)＝m (x ＋1)2－4m ，得D (－1,－4m )．在Rt △OBC 中，OB ∶OC ＝1∶3m ．如果△ADC 与△OBC 相似，那么△ADC 是直角三角形，而且两条直角边的比为1∶3m ．①如图4，当∠ACD ＝90°时，OA OC EC ED =．所以331m m =．解得m ＝1． 此时3CA OC CD ED ==，3OC OB =．所以CA OC CD OB =．所以△CDA ∽△OBC ． ②如图5，当∠ADC ＝90°时，FA FD ED EC =．所以421m m=．解得2m =． 此时222DA FD DC EC m===，而3232OC m OB ==．因此△DCA 与△OBC 不相似． 综上所述，当m ＝1时，△CDA ∽△OBC ．考点伸展第（2）题还可以这样割补：如图6，过点P 作x 轴的垂线与AC 交于点H ．由直线AC ：y ＝－2x －6，可得H (x ,－2x －6)．又因为P (x , 2x 2＋4x －6)，所以HP ＝－2x 2－6x ．因为△PAH 与△PCH 有公共底边HP ，高的和为A 、C 两点间的水平距离3，所以S ＝S △APC ＝S △APH ＋S △CPH＝32(－2x 2－6x ) ＝23273()24x -++． 图6例2 2014年省市中考第21题如图1，在直角梯形ABCD中，AB//CD，AD⊥AB，∠B＝60°，AB＝10，BC＝4，点P沿线段AB从点A向点B运动，设AP＝x．2·1·c·n·j·y（1）求AD的长；（2）点P在运动过程中，是否存在以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由；（3）设△ADP与△PCB的外接圆的面积分别为S1、S2，若S＝S1＋S2，求S的最小值.动感体验图1请打开几何画板文件名“1421”，拖动点P在AB上运动，可以体验到，圆心O的运动轨迹是线段BC的垂直平分线上的一条线段．观察S随点P运动的图象，可以看到，S有最小值，此时点P看上去象是AB的中点，其实离得很近而已．思路点拨1．第（2）题先确定△PCB是直角三角形，再验证两个三角形是否相似．2．第（3）题理解△PCB的外接圆的圆心O很关键，圆心O在确定的BC的垂直平分线上，同时又在不确定的BP的垂直平分线上．而BP与AP是相关的，这样就可以以AP 为自变量，求S的函数关系式．图文解析（1）如图2，作CH⊥AB于H，那么AD＝CH．在Rt△BCH中，∠B＝60°，BC＝4，所以BH＝2，CH＝23．所以AD＝23．（2）因为△APD是直角三角形，如果△APD与△PCB相似，那么△PCB一定是直角三角形．①如图3，当∠CPB＝90°时，AP＝10－2＝8．所以APAD ＝23＝43，而PCPB＝3．此时△APD与△PCB不相似．图2 图3 图4 ②如图4，当∠BCP＝90°时，BP＝2BC＝8．所以AP＝2．所以AP AD ＝23＝3．所以∠APD ＝60°．此时△APD ∽△CBP ． 综上所述，当x ＝2时，△APD ∽△CBP ．（3）如图5，设△ADP 的外接圆的圆心为G ，那么点G 是斜边DP 的中点．设△PCB 的外接圆的圆心为O ，那么点O 在BC 边的垂直平分线上，设这条直线与BC 交于点E ，与AB 交于点F ．设AP ＝2m ．作OM ⊥BP 于M ，那么BM ＝PM ＝5－m ．在Rt △BEF 中，BE ＝2，∠B ＝60°，所以BF ＝4．在Rt △OFM 中，FM ＝BF －BM ＝4－(5－m )＝m －1，∠OFM ＝30°，所以OM ＝3(1)m -． 所以OB 2＝BM 2＋OM 2＝221(5)(1)3m m -+-． 在Rt △ADP 中，DP 2＝AD 2＋AP 2＝12＋4m 2．所以GP 2＝3＋m 2．于是S ＝S 1＋S 2＝π(GP 2＋OB 2)＝22213(5)(1)3m m m π⎡⎤++-+-⎢⎥⎣⎦＝2(73285)3m m π-+． 所以当167m =时，S 取得最小值，最小值为1137π．图5 图6考点伸展关于第（3）题，我们再讨论个问题．问题1，为什么设AP ＝2m 呢？这是因为线段AB ＝AP ＋PM ＋BM ＝AP ＋2BM ＝10． 这样BM ＝5－m ，后续可以减少一些分数运算．这不影响求S 的最小值．问题2，如果圆心O 在线段EF 的延长线上，S 关于m 的解析式是什么？如图6，圆心O 在线段EF 的延长线上时，不同的是FM ＝BM －BF ＝(5－m )－4＝1－m ．此时OB 2＝BM 2＋OM 2＝221(5)(1)3m m -+-．这并不影响S 关于m 的解析式．例 3 2015年省湘西市中考第26题如图1，已知直线y ＝－x ＋3与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过A 、B 两点，点P 在线段OA 上，从点O 出发，向点A 以每秒1个单位的速度匀速运动；同时，点Q 在线段AB 上，从点A 出发，向点B 以每秒2个单位的速度匀速运动，连结PQ ，设运动时间为t 秒．（1）求抛物线的解析式；（2）问：当t 为何值时，△APQ 为直角三角形；（3）过点P 作PE //y 轴，交AB 于点E ，过点Q 作QF //y 轴，交抛物线于点F ，连结EF ，当EF //PQ 时，求点F 的坐标；（4）设抛物线顶点为M ，连结BP 、BM 、MQ ，问：是否存在t 的值，使以B 、Q 、M 为顶点的三角形与以O 、B 、P 为顶点的三角形相似？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由． 图1动感体验请打开几何画板文件名“15湘西26”，拖动点P 在OA 上运动，可以体验到，△APQ 有两个时刻可以成为直角三角形，四边形EPQF 有一个时刻可以成为平行四边形，△MBQ 与△BOP 有一次机会相似．思路点拨1．在△APQ 中，∠A ＝45°，夹∠A 的两条边AP 、AQ 都可以用t 表示，分两种情况讨论直角三角形APQ ．2．先用含t 的式子表示点P 、Q 的坐标，进而表示点E 、F 的坐标，根据PE ＝QF 列方程就好了．3．△MBQ 与△BOP 都是直角三角形，根据直角边对应成比例分两种情况讨论． 图文解析（1）由y ＝－x ＋3，得A (3, 0)，B (0, 3)．将A (3, 0)、B (0, 3)分别代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，得930,3.b c c -++=⎧⎨=⎩ 解得2,3.b c =⎧⎨=⎩ 所以抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3．（2）在△APQ 中，∠PAQ ＝45°，AP ＝3－t ，AQ ＝2t ．分两种情况讨论直角三角形APQ ：①当∠PQA ＝90°时，AP ＝2AQ ．解方程3－t ＝2t ，得t ＝1（如图2）．②当∠QPA ＝90°时，AQ ＝2AP ．解方程2t ＝2(3－t )，得t ＝1.5（如图3）．图2 图3（3）如图4，因为PE //QF ，当EF //PQ 时，四边形EPQF 是平行四边形．所以EP ＝FQ ．所以y E －y P ＝y F －y Q ．因为x P ＝t ，x Q ＝3－t ，所以y E ＝3－t ，y Q ＝t ，y F ＝－(3－t )2＋2(3－t )＋3＝－t 2＋4t ． 因为y E －y P ＝y F －y Q ，解方程3－t ＝(－t 2＋4t )－t ，得t ＝1，或t ＝3（舍去）．所以点F 的坐标为(2, 3)．图4 图5（4）由y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，得M (1, 4)．由A (3, 0)、B (0, 3)，可知A 、B 两点间的水平距离、竖直距离相等，AB ＝2． 由B (0, 3)、M (1, 4)，可知B 、M 两点间的水平距离、竖直距离相等，BM 2 所以∠MBQ ＝∠BOP ＝90°．因此△MBQ 与△BOP 相似存在两种可能： ①当BM OB BQ OP =23322t t=-．解得94t =（如图5）． ②当BM OP BQ OB =23322t t =-．整理，得t 2－3t ＋3＝0．此方程无实根． 考点伸展第（3）题也可以用坐标平移的方法：由P (t , 0)，E (t , 3－t )，Q(3－t , t )，按照P →E 方向，将点Q 向上平移，得F (3－t , 3)．再将F (3－t , 3)代入y ＝－x 2＋2x ＋3，得t ＝1，或t ＝3．§1．2 因动点产生的等腰三角形问题课前导学我们先回顾两个画图问题：1．已知线段AB ＝5厘米，以线段AB 为腰的等腰三角形ABC 有多少个？顶点C 的轨迹是什么？2．已知线段AB ＝6厘米，以线段AB 为底边的等腰三角形ABC 有多少个？顶点C 的轨迹是什么？已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，圆上除了两个点以外，都是顶点C ．已知底边画等腰三角形，顶角的顶点在底边的垂直平分线上，垂足要除外．在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类．如果△ABC 是等腰三角形，那么存在①AB ＝AC ，②BA ＝BC ，③CA ＝CB 三种情况． 解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？如果△ABC 的∠A （的余弦值）是确定的，夹∠A 的两边AB 和AC 可以用含x 的式子表示出来，那么就用几何法．①如图1，如果AB ＝AC ，直接列方程；②如图2，如果BA ＝BC ，那么1cos 2AC AB A =∠；③如图3，如果CA ＝CB ，那么1cos 2AB AC A =∠． 代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x 的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来．图1 图2 图3例 9 2014年市中考第26题如图1，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）的对称轴为y 轴，且经过(0,0)和1(,)16a 两点，点P 在该抛物线上运动，以点P 为圆心的⊙P 总经过定点A (0, 2)． （1）求a 、b 、c 的值；（2）求证：在点P 运动的过程中，⊙P 始终与x 轴相交；（3）设⊙P 与x 轴相交于M (x 1, 0)、N (x 2, 0)两点，当△AMN 为等腰三角形时，求圆心P 的纵坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“1426”，拖动圆心P 在抛物线上运动，可以体验到，圆与x 轴总是相交的，等腰三角形AMN 存在五种情况．思路点拨1．不算不知道，一算真奇妙，原来⊙P 在x 轴上截得的弦长MN ＝4是定值．2．等腰三角形AMN 存在五种情况，点P 的纵坐标有三个值，根据对称性，MA ＝MN 和NA ＝NM 时，点P 的纵坐标是相等的．图文解析（1）已知抛物线的顶点为(0,0)，所以y ＝ax 2．所以b ＝0，c ＝0．将1(,)16a 代入y ＝ax 2，得2116a =．解得14a =（舍去了负值）． （2）抛物线的解析式为214y x =，设点P 的坐标为21(,)4x x ． 已知A (0, 2)，所以222411(2)4416PA x x x =+-+＞214x ． 而圆心P 到x 轴的距离为214x ，所以半径PA ＞圆心P 到x 轴的距离． 所以在点P 运动的过程中，⊙P 始终与x 轴相交．（3）如图2，设MN 的中点为H ，那么PH 垂直平分MN ．在Rt △PMH 中，2241416PM PA x ==+，22411()416PH x x ==，所以MH 2＝4． 所以MH ＝2．因此MN ＝4，为定值．等腰△AMN 存在三种情况：①如图3，当AM ＝AN 时，点P 为原点O 重合，此时点P 的纵坐标为0．图2 图3 ②如图4，当MA ＝MN 时，在Rt △AOM 中，OA ＝2，AM ＝4，所以OM ＝23．此时x ＝OH ＝232+．所以点P 的纵坐标为22211(232)(31)42344x =+=+=+． 如图5，当NA ＝NM 时，根据对称性，点P 的纵坐标为也为423+．图4 图5③如图6，当NA ＝NM ＝4时，在Rt △AON 中，OA ＝2，AN ＝4，所以ON ＝23．此时x ＝OH ＝232-．所以点P 的纵坐标为22211(232)(31)42344x =-=-=-． 如图7，当MN ＝MA ＝4时，根据对称性，点P 的纵坐标也为423-．图6 图7考点伸展如果点P 在抛物线214y x =上运动，以点P 为圆心的⊙P 总经过定点B (0, 1)，那么在点P 运动的过程中，⊙P 始终与直线y ＝－1相切．这是因为：设点P 的坐标为21(,)4x x ．已知B (0, 1)，所以2114PB x ==+． 而圆心P 到直线y ＝－1的距离也为2114x +，所以半径PB ＝圆心P 到直线y ＝－1的距离．所以在点P 运动的过程中，⊙P 始终与直线y ＝－1相切．例 10 2014年省市中考第25题如图1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）过O 、B 、C 三点，B 、C 坐标分别为(10, 0)和1824(,)55-，以OB 为直径的⊙A 经过C 点，直线l 垂直x 轴于B 点．（1）求直线BC 的解析式；（2）求抛物线解析式及顶点坐标；（3）点M 是⊙A 上一动点（不同于O 、B ），过点M 作⊙A 的切线，交y 轴于点E ，交直线l 于点F ，设线段ME 长为m ，MF 长为n ，请猜想mn 的值，并证明你的结论；（4）若点P 从O 出发，以每秒1个单位的速度向点B 作直线运动，点Q 同时从B 出发，以相同速度向点C 作直线运动，经过t （0＜t ≤8）秒时恰好使△BPQ 为等腰三角形，请求出满足条件的t 值． 图图1 动感体验请打开几何画板文件名“1425”，拖动点M 在圆上运动，可以体验到，△EAF 保持直角三角形的形状，AM 是斜边上的高．拖动点Q 在BC 上运动，可以体验到，△BPQ 有三个时刻可以成为等腰三角形．思路点拨1．从直线BC 的解析式可以得到∠OBC 的三角比，为讨论等腰三角形BPQ 作铺垫．2．设交点式求抛物线的解析式比较简便．3．第（3）题连结AE 、AF 容易看到AM 是直角三角形EAF 斜边上的高．4．第（4）题的△PBQ 中，∠B 是确定的，夹∠B 的两条边可以用含t 的式子表示．分三种情况讨论等腰三角形．图文解析（1）直线BC 的解析式为31542y x =-． （2）因为抛物线与x 轴交于O 、B (10, 0)两点，设y ＝ax (x －10)． 代入点C 1824(,)55-，得241832()555a -=⨯⨯-．解得524a =． 所以2255255125(10)(5)2424122424y x x x x x =-=-=--． 抛物线的顶点为125(5,)24-． （3）如图2，因为EF 切⊙A 于M ，所以AM ⊥EF ． 由AE ＝AE ，AO ＝AM ，可得Rt △AOE ≌Rt △AME ．所以∠1＝∠2．同理∠3＝∠4．于是可得∠EAF ＝90°．所以∠5＝∠1．由tan ∠5＝tan ∠1，得MA ME MF MA=． 所以ME ·MF ＝MA 2，即mn ＝25．图2（4）在△BPQ 中，cos ∠B ＝45，BP ＝10－t ，BQ ＝t ． 分三种情况讨论等腰三角形BPQ ： ①如图3，当BP ＝BQ 时，10－t ＝t ．解得t ＝5．②如图4，当PB ＝PQ 时，1cos 2BQ BP B =∠．解方程14(10)25t t =-，得8013t =． ③如图5，当QB ＝QP 时，1cos 2BP BQ B =∠．解方程14(10)25t t -=，得5013t =．图3 图4 图5考点伸展在第（3）题条件下，以EF 为直径的⊙G 与x 轴相切于点A ．如图6，这是因为AG 既是直角三角形EAF 斜边上的中线，也是直角梯形EOBF 的中位线，因此圆心G 到x 轴的距离等于圆的半径，所以⊙G 与x 轴相切于点A ．图6例11 2014年省市中考第26题在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－(m＋n)x＋mn（m＞n）与x轴相交于A、B两点（点A位于点B的右侧），与y轴相交于点C．（1）若m＝2，n＝1，求A、B两点的坐标；（2）若A、B两点分别位于y轴的两侧，C点坐标是(0,－1)，求∠ACB的大小；（3）若m＝2，△ABC是等腰三角形，求n的值．动感体验请打开几何画板文件名“1426”，点击屏幕左下方的按钮（2），拖动点A在x轴正半轴上运动，可以体验到，△ABC保持直角三角形的形状．点击屏幕左下方的按钮（3），拖动点B在x轴上运动，观察△ABC的顶点能否落在对边的垂直平分线上，可以体验到，等腰三角形ABC有4种情况．思路点拨1．抛物线的解析式可以化为交点式，用m，n表示点A、B、C的坐标．2．第（2）题判定直角三角形ABC，可以用勾股定理的逆定理，也可以用锐角的三角比．3．第（3）题讨论等腰三角形ABC，先把三边长（的平方）罗列出来，再分类解方程．图文解析（1）由y＝x2－(m＋n)x＋mn＝(x－m)(x－n)，且m＞n，点A位于点B的右侧，可知A(m, 0)，B(n, 0)．若m＝2，n＝1，那么A(2, 0)，B(1, 0)．．（2）如图1，由于C(0, mn)，当点C的坐标是(0,－1)，mn＝－1，OC＝1．若A、B两点分别位于y轴的两侧，那么OA·OB＝m(－n)＝－mn＝1．所以OC2＝OA·OB．所以OC OB．OA OC所以tan ∠1＝tan ∠2．所以∠1＝∠2．又因为∠1与∠3互余，所以∠2与∠3互余．所以∠ACB ＝90°．图1 图2 图3（3）在△ABC 中，已知A (2, 0)，B (n , 0)，C (0, 2n )．讨论等腰三角形ABC ，用代数法解比较方便：由两点间的距离公式，得AB 2＝(n －2)2，BC 2＝5n 2，AC 2＝4＋4n 2．①当AB ＝AC 时，解方程(n －2)2＝4＋4n 2，得43n =-（如图2）． ②当CA ＝CB 时，解方程4＋4n 2＝5n 2，得n ＝－2（如图3），或n ＝2（A 、B 重合，舍去）．③当BA ＝BC 时，解方程(n －2)2＝5n 2，得51n +=-（如图4），或51n -=（如图5）．图4 图5考点伸展第（2）题常用的方法还有勾股定理的逆定理．由于C (0, mn )，当点C 的坐标是(0,－1)，mn ＝－1．由A (m , 0)，B (n , 0)，C (0,－1)，得AB 2＝(m －n )2＝m 2－2mn ＋n 2＝m 2＋n 2＋2， BC 2＝n 2＋1，AC 2＝m 2＋1．所以AB 2＝BC 2＋AC 2．于是得到Rt △ABC ，∠ACB ＝90°．第（3）题在讨论等腰三角形ABC 时，对于CA ＝CB 的情况，此时A 、B 两点关于y轴对称，可以直接写出B (－2, 0)，n ＝－2．例 12 2014年省市中考第27题如图1，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4cm ，BC ＝3cm ．如果点P 由点B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，同时点Q 由点A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，它们的速度均为1cm/s ．连结PQ ，设运动时间为t （s ）（0＜t ＜4），解答下列问题：（1）设△APQ 的面积为S ，当t 为何值时，S 取得最大值？S 的最大值是多少？（2）如图2，连结PC ，将△PQC 沿QC 翻折，得到四边形PQP ′C ，当四边形PQP ′C 为菱形时，求t 的值；（3）当t 为何值时，△APQ 是等腰三角形？图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“1427”，拖动点Q 在AC 上运动，可以体验到，当点P 运动到AB 的中点时，△APQ 的面积最大，等腰三角形APQ 存在三种情况．还可以体验到，当QC ＝2HC 时，四边形PQP ′C 是菱形．思路点拨1．在△APQ 中，∠A 是确定的，夹∠A 的两条边可以用含t 的式子表示．2．四边形PQP ′C 的对角线保持垂直，当对角线互相平分时，它是菱形，．图文解析（1）在Rt △ABC 中，AC ＝4，BC ＝3，所以AB ＝5，sin A ＝35，cos A ＝45． 作QD ⊥AB 于D ，那么QD ＝AQ sin A ＝35t ． 所以S ＝S △APQ ＝12AP QD ⋅＝13(5)25t t -⨯＝23(5)10t t --＝23515()+1028t --． 当52t =时，S 取得最大值，最大值为158．（2）设PP ′与AC 交于点H ，那么PP ′⊥QC ，AH ＝AP cos A ＝4(5)5t -．如果四边形PQP ′C 为菱形，那么PQ ＝PC ．所以QC ＝2HC ． 解方程4424(5)5t t ⎡⎤-=⨯--⎢⎥⎣⎦，得2013t =．图3 图4（3）等腰三角形APQ 存在三种情况：①如图5，当AP ＝AQ 时，5－t ＝t ．解得52t =． ②如图6，当PA ＝PQ 时，1cos 2AQ AP A =．解方程14(5)25t t =-，得4013t =． ③如图7，当QA ＝QP 时，1cos 2AP AQ A =．解方程14(5)25t t -=，得2513t =．图5 图6 图7考点伸展在本题情境下，如果点Q 是△PP ′C 的重心，求t 的值．如图8，如果点Q 是△PP ′C 的重心，那么QC ＝23HC ． 解方程2444(5)35t t ⎡⎤-=⨯--⎢⎥⎣⎦，得6023t =．图8例 13 2015年省市中考第22题如图1，已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，点P 以每秒1个单位的速度从A 向C 运动，同时点Q 以每秒2个单位的速度从A →B →C 方向运动，它们到C 点后都停止运动，设点P 、Q 运动的时间为t 秒．（1）在运动过程中，求P 、Q 两点间距离的最大值；（2）经过t 秒的运动，求△ABC 被直线PQ 扫过的面积S 与时间t 的函数关系式；（3）P ，Q 两点在运动过程中，是否存在时间t ，使得△PQC 为等腰三角形．若存在，求出此时的t 值，若不存在，请说明理由．（24.25≈，结果保留一位小数）图1动感体验请打开几何画板文件名“1522”，拖动点P 在AC 上运动，可以体验到，PQ 与BD 保持平行，等腰三角形PQC 存在三种情况．思路点拨1．过点B 作QP 的平行线交AC 于D ，那么BD 的长就是PQ 的最大值．2．线段PQ 扫过的面积S 要分两种情况讨论，点Q 分别在AB 、BC 上．3．等腰三角形PQC 分三种情况讨论，先罗列三边长．图文解析（1）在Rt △ABC 中，AC ＝8，BC ＝6，所以AB ＝10．如图2，当点Q 在AB 上时，作BD //PQ 交AC 于点D ，那么22AB AQ t AD AP t===． 所以AD ＝5．所以CD ＝3． 如图3，当点Q 在BC 上时，16228CQ t CP t-==-． 又因为623CB CD ==，所以CQ CB CP CD =．因此PQ //BD ．所以PQ 的最大值就是BD ． 在Rt △BCD 中，BC ＝6，CD ＝3，所以BD ＝35．所以PQ 的最大值是35．图2 图3 图4（2）①如图2，当点Q 在AB 上时，0＜t ≤5，S △ABD ＝15．由△AQP ∽△ABD ，得2()AQPABDS AP S AD =△△．所以S ＝S △AQP ＝215()5t ⨯＝235t ． ②如图3，当点Q 在BC 上时，5＜t ≤8，S △ABC ＝24． 因为S △CQP ＝12CQ CP ⋅＝1(162)(8)2t t --＝2(8)t -，所以S ＝S △ABC －S △CQP ＝24－(t －8)2＝－t 2＋16t －40．（3）如图3，当点Q 在BC 上时，CQ ＝2CP ，∠C ＝90°，所以△PQC 不可能成为等腰三角形．当点Q 在AB 上时，我们先用t 表示△PQC 的三边长：易知CP ＝8－t ．如图2，由QP //BD ，得QP AP BD AD =，即535t =．所以35QP t =． 如图4，作QH ⊥AC 于H ．在Rt △AQH 中，QH ＝AQ sin ∠A ＝65t ，AH ＝85t ． 在Rt △CQH 中，由勾股定理，得CQ ＝22QH CH +＝2268()(8)55t t +-． 分三种情况讨论等腰三角形PQC ：（1）①当PC ＝PQ 时，解方程358t t -=，得6510t =-≈3.4（如图5所示）． ②当QC ＝QP 时，226835()(8)55t t t +-=．整理，得2111283200t t -+=． 所以(11t －40)(t －8)＝0．解得4011t =≈3.6（如图6所示），或t ＝8（舍去）． ③当CP ＝CQ 时，22688()(8)55t t t -=+-．整理，得25160t t -=．解得165t =＝3.2（如图7所示），或t ＝0（舍去）． 综上所述，当t 的值约为3.4，3.6，或等于3.2时，△PQC 是等腰三角形．图5 图6 图7考点伸展第（1）题求P 、Q 两点间距离的最大值，可以用代数计算说理的方法：①如图8，当点Q 在AB 上时，PQ ＝22QH PH +＝2268()()55t t t +-＝35t ． 当Q 与B 重合时，PQ 最大，此时t ＝5，PQ 的最大值为35．②如图9，当点Q 在BC 上时，PQ ＝22CQ CP +＝22(2)CP CP +＝5(8)t -． 当Q 与B 重合时，PQ 最大，此时t ＝5，PQ 的最大值为35．综上所述，PQ 的最大值为35．图8 图9§1．3 因动点产生的直角三角形问题课前导学我们先看三个问题：1．已知线段AB ，以线段AB 为直角边的直角三角形ABC 有多少个？顶点C 的轨迹是什么？2．已知线段AB ，以线段AB 为斜边的直角三角形ABC 有多少个？顶点C 的轨迹是什么？3．已知点A (4,0)，如果△OAB 是等腰直角三角形，求符合条件的点B 的坐标．图1 图2 图3如图1，点C 在垂线上，垂足除外．如图2，点C 在以AB 为直径的圆上，A 、B 两点除外．如图3，以OA为边画两个正方形，除了O、A两点以外的顶点和正方形对角线的交点，都是符合题意的点B，共6个．解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根．一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程．有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便．解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起．如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便．如图4，已知A(3, 0)，B(1,－4)，如果直角三角形ABC的顶点C在y轴上，求点C的坐标．我们可以用几何的方法，作AB为直径的圆，快速找到两个符合条件的点C．如果作BD⊥y轴于D，那么△AOC∽△CDB．设OC＝m，那么341mm-=．这个方程有两个解，分别对应图中圆与y轴的两个交点．图4例19 2015年省市中考第21题如图1，已知抛物线E1：y＝x2经过点A(1,m)，以原点为顶点的抛物线E2经过点B(2,2)，点A、B关于y轴的对称点分别为点A′、B′．（1）求m的值及抛物线E2所表示的二次函数的表达式；（2）如图1，在第一象限，抛物线E1上是否存在点Q，使得以点Q、B、B′为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，P为第一象限的抛物线E1上与点A不重合的一点，连结OP并延长与抛物线E2相交于点P′，求△PAA′与△P′BB′的面积之比．。

2018年中考数学挑战压轴题（含答案）（大全五篇）第一篇：2018年中考数学挑战压轴题(含答案)2017 挑战压轴题中考数学精讲解读篇因动点产生的相似三角形问题1．如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=x2的对称轴绕着点P（0，2）顺时针旋转45°后与该抛物线交于A、B两点，点Q是该抛物线上一点．（1）求直线AB的函数表达式；（2）如图①，若点Q在直线AB的下方，求点Q到直线AB的距离的最大值；（3）如图②，若点Q在y轴左侧，且点T（0，t）（t ＜2）是射线PO上一点，当以P、B、Q为顶点的三角形与△PAT相似时，求所有满足条件的t的值．2．如图，已知BC是半圆O的直径，BC=8，过线段BO上一动点D，作AD⊥BC交半圆O于点A，联结AO，过点B作BH⊥AO，垂足为点H，BH的延长线交半圆O于点F．（1）求证：AH=BD；（2）设BD=x，BE•BF=y，求y关于x的函数关系式；（3）如图2，若联结FA并延长交CB的延长线于点G，当△FAE 与△FBG相似时，求BD的长度．第1页（共169页）3．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB过点A（3，0）、B（0，m）（m＞0），tan∠BAO=2．（1）求直线AB的表达式；（2）反比例函数y=的图象与直线AB 交于第一象限内的C、D两点（BD＜BC），当AD=2DB时，求k1的值；（3）设线段AB的中点为E，过点E作x轴的垂线，垂足为点M，交反比例函数y=的图象于点F，分别联结OE、OF，当△OEF∽△OBE 时，请直接写出满足条件的所有k2的值．4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=7，点D是边CA延长线的一点，AE⊥BD，垂足为点E，AE的延长线交CA的平行线BF于点F，连结CE交AB于点G．（1）当点E是BD的中点时，求tan∠AFB的值；（2）CE•AF的值是否随线段AD长度的改变而变化？如果不变，求出CE•AF的值；如果变化，请说明理由；（3）当△BGE和△BAF相似时，求线段AF的长．第2页（共169页）5．如图，平面直角坐标系xOy中，已知B（﹣1，0），一次函数y=﹣x+5的图象与x轴、y轴分别交于点A、C两点，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过点A、点B．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点P是该二次函数图象的顶点，求△APC的面积；（3）如果点Q在线段AC上，且△ABC与△AOQ相似，求点Q的坐标．6．已知：半圆O的直径AB=6，点C在半圆O上，且tan∠ABC=2AC上一点，联结DC（如图）（1）求BC的长；，点D 为弧（2）若射线DC交射线AB于点M，且△MBC与△MOC相似，求CD的长；（3）联结OD，当OD∥BC时，作∠DOB的平分线交线段DC于点N，求ON的长．第3页（共169页）7．如图，已知二次函数y=x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（3，﹣1），点C（0，﹣4），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴与点D，交该二次函数图象于点B，连结BC．（1）求该二次函数的解析式及点M的坐标；（2）若将该二次函数图象向上平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包含△ABC的边界），求m的取值范围；（3）点P时直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与△BCD相似，请直接写出所有点P的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）．因动点产生的等腰三角形问题8．如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，点E是∠BAC角平分线上一点，过点E作AE的垂线，过点A作AB的垂线，两垂线交于点D，连接DB，点F是BD的中点，DH⊥AC，垂足为H，连接EF，HF．（1）如图1，若点H是AC的中点，AC=2（2）如图1，求证：HF=EF；（3）如图2，连接CF，CE．猜想：△CEF是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，说明理由．，求AB，BD的长；第4页（共169页）9．已知，一条抛物线的顶点为E（﹣1，4），且过点A（﹣3，0），与y轴交于点C，点D是这条抛物线上一点，它的横坐标为m，且﹣3＜m＜﹣1，过点D作DK⊥x轴，垂足为K，DK分别交线段AE、AC于点G、H．（1）求这条抛物线的解析式；（2）求证：GH=HK；（3）当△CGH是等腰三角形时，求m的值．10．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，sinA=，点P是边BC上的一点，PE⊥AB，垂足为E，以点P为圆心，PC为半径的圆与射线PE相交于点Q，线段CQ与边AB交于点D．（1）求AD 的长；（2）设CP=x，△PCQ的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）过点C作CF⊥AB，垂足为F，联结PF、QF，如果△PQF是以PF为腰的等腰三角形，求CP的长．第5页（共169页）11．如图（1），直线y=﹣x+n交x轴于点A，交y轴于点C（0，4），抛物线y=x2+bx+c经过点A，交y轴于点B（0，﹣2）．点P 为抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线PD，过点B作BD⊥PD于点D，连接PB，设点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）当△BDP为等腰直角三角形时，求线段PD的长；（3）如图（2），将△BDP绕点B逆时针旋转，得到△BD′P′，当旋转角∠PBP′=∠OAC，且点P的对应点P′落在坐标轴上时，请直接写出点P的坐标．12．综合与探究如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D 的坐标分别为（﹣2，0），（6，﹣8）．（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标；（2）试探究抛物线上是否存在点F，使△FOE≌△FCE？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q，试探究：当m为何值时，△OPQ是等腰三角形．第6页（共169页）因动点产生的直角三角形问题13．已知，如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，BC=11，CD=6，tan∠ABC=2，点E在AD边上，且AE=3ED，EF∥AB交BC于点F，点M、N分别在射线FE和线段CD上．（1）求线段CF的长；（2）如图2，当点M在线段FE上，且AM⊥MN，设FM•cos∠EFC=x，CN=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如果△AMN为等腰直角三角形，求线段FM的长．14．如图，在矩形ABCD中，点O为坐标原点，点B的坐标为（4，3），点A、C在坐标轴上，点P在BC边上，直线l1：y=2x+3，直线l2：y=2x﹣3．（1）分别求直线l1与x轴，直线l2与AB的交点坐标；（2）已知点M在第一象限，且是直线l2上的点，若△APM是等腰直角三角形，求点M的坐标；（3）我们把直线l1和直线l2上的点所组成的图形为图形F．已知矩形ANPQ的顶点N在图形F上，Q是坐标平面内的点，且N点的横坐标为x，请直接写出x的取值范围（不用说明理由）．第7页（共169页）因动点产生的平行四边形问题15．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a （a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的一点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；（3）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．16．如图，在矩形OABC中，OA=5，AB=4，点D为边AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠，使点B恰好落在OA边上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系．（1）求点E坐标及经过O，D，C三点的抛物线的解析式；（2）一动点P从点C出发，沿CB以每秒2 个单位长的速度向点B运动，同时动点Q从E点出发，沿EC以每秒1个单位长的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，DP=DQ；（3）若点N在（2）中的抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使得以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．第8页（共169页）17．如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A 在点B的左边），与y轴交于点C，点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴交于点E．（1）求直线AD的解析式；（2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH周长的最大值；（3）点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是以AM为边的矩形．若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标．18．如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作Rt△ABQ，使∠BAQ=90°，AQ：AB=3：4，作△ABQ的外接圆O．点C在点P右侧，PC=4，过点C作直线m⊥l，过点O作OD⊥m于点D，交AB右侧的圆弧于点E．在射线CD上取点F，使DF=CD，以DE，DF为邻边作矩形DEGF．设AQ=3x．（1）用关于x的代数式表示BQ，DF．（2）当点P在点A右侧时，若矩形DEGF的面积等于90，求AP 的长．（3）在点P的整个运动过程中，第9页（共169页）①当AP为何值时，矩形DEGF是正方形？②作直线BG交⊙O于点N，若BN的弦心距为1，求AP的长（直接写出答案）．19．在平面直角坐标系xOy（如图）中，经过点A（﹣1，0）的抛物线y=﹣x2+bx+3与y轴交于点C，点B与点A、点D与点C分别关于该抛物线的对称轴对称．（1）求b的值以及直线AD与x轴正方向的夹角；（2）如果点E是抛物线上一动点，过E作EF平行于x轴交直线AD于点F，且F在E的右边，过点E作EG⊥AD与点G，设E的横坐标为m，△EFG的周长为l，试用m表示l；（3）点M是该抛物线的顶点，点P是y轴上一点，Q是坐标平面内一点，如果以点A、M、P、Q为顶点的四边形是矩形，求该矩形的顶点Q的坐标．20．如图，直线y=mx+4与反比例函数y=（k＞0）的图象交于点A、B，与x轴、y轴分别交于D、C，tan∠CDO=2，AC：CD=1：2．（1）求反比例函数解析式；（2）联结BO，求∠DBO的正切值；（3）点M在直线x=﹣1上，点N在反比例函数图象上，如果以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标．第10页（共169页）21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（2，9），与y轴交于点A（0，5），与x轴交于点E、B．（1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作PD平行于y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积；（3）若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A、E、N、M为顶点的四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M、N的坐标．因动点产生的梯形问题22．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=+bx+c的图象与y轴交于点A，与双曲线y=有一个公共点B，它的横坐标为4，过点B作直线l∥x轴，第11页（共169页）与该二次函数图象交于另一个点C，直线AC在y轴上的截距是﹣6．（1）求二次函数的解析式；（2）求直线AC的表达式；（3）平面内是否存在点D，使A、B、C、D为顶点的四边形是等腰梯形？如果存在，求出点D坐标；如果不存在，说明理由．23．如图，矩形OMPN的顶点O在原点，M、N分别在x轴和y轴的正半轴上，OM=6，ON=3，反比例函数y=的图象与PN交于C，与PM交于D，过点C作CA⊥x轴于点A，过点D作DB⊥y轴于点B，AC与BD交于点G．（1）求证：AB∥CD；（2）在直角坐标平面内是否若存在点E，使以B、C、D、E为顶点，BC为腰的梯形是等腰梯形？若存在，求点E的坐标；若不存在请说明理由．因动点产生的面积问题24．如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C 为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A，C间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F，点D、E的坐标分别为（0，6），（﹣4，0），连接PD、PE、DE．（1）请直接写出抛物线的解析式；第12页（共169页）（2）小明探究点P的位置发现：当P与点A或点C重合时，PD 与PF的差为定值，进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值，请你判断该猜想是否正确，并说明理由；（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE周长最小时“好点”的坐标．25．如图，四边形OABC是边长为4的正方形，点P为OA边上任意一点（与点O、A不重合），连接CP，过点P作PM⊥CP交AB 于点D，且PM=CP，过点M作MN∥OA，交BO于点N，连接ND、BM，设OP=t．（1）求点M的坐标（用含t的代数式表示）．（2）试判断线段MN的长度是否随点P的位置的变化而改变？并说明理由．（3）当t为何值时，四边形BNDM的面积最小．26．在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD与边长为2的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上．（1）小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由．（2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE的长．（3）如图3，小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转，线段DG与线段BE第13页（共169页）将相交，交点为H，写出△GHE与△BHD面积之和的最大值，并简要说明理由．27．在平面直角坐标系中，O为原点，直线y=﹣2x﹣1与y轴交于点A，与直线y=﹣x交于点B，点B关于原点的对称点为点C．（1）求过A，B，C三点的抛物线的解析式；（2）P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为Q．①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标；②若点P的横坐标为t（﹣1＜t＜1），当t为何值时，四边形PBQC面积最大？并说明理由．28．如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆，B为半圆上一点，连接AB并延长至C，使BC=AB，过C作CD⊥x轴于点D，交线段OB于点E，已知CD=8，抛物线经过O、E、A三点．（1）∠OBA=°．（2）求抛物线的函数表达式．（3）若P为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以P、O、A、E为顶点的四边形面积记作S，则S取何值时，相应的点P有且只有3个？第14页（共169页）29．如图1，关于x的二次函数y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，0），点C（0，3），点D为二次函数的顶点，DE为二次函数的对称轴，E在x轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）DE上是否存在点P到AD的距离与到x轴的距离相等？若存在求出点P，若不存在请说明理由；（3）如图2，DE的左侧抛物线上是否存在点F，使2S△FBC=3S△EBC？若存在求出点F的坐标，若不存在请说明理由．30．已知抛物线y=mx2+（1﹣2m）x+1﹣3m与x轴相交于不同的两点A、B（1）求m的取值范围；（2）证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P，并求出点P的坐标；（3）当＜m≤8时，由（2）求出的点P和点A，B构成的△ABP 的面积是否有最值？若有，求出该最值及相对应的m值． 31．问题提出（1）如图①，已知△ABC，请画出△ABC关于直线AC对称的三角形．问题探究第15页（共169页）（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，AE=4，AF=2，是否在边BC、CD上分别存在点G、H，使得四边形EFGH的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由．问题解决（3）如图③，有一矩形板材ABCD，AB=3米，AD=6米，现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件，使∠EFG=90°，EF=FG=米，∠EHG=45°，经研究，只有当点E、F、G分别在边AD、AB、BC上，且AF＜BF，并满足点H在矩形ABCD内部或边上时，才有可能裁出符合要求的部件，试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件？若能，求出裁得的四边形EFGH部件的面积；若不能，请说明理由．32．如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的顶点C和E分别在y轴的正半轴和x轴的正半轴上，OC=8，OE=17，抛物线y= x2﹣3x+m与y轴相交于点A，抛物线的对称轴与x轴相交于点B，与CD交于点K．（1）将矩形OCDE沿AB折叠，点O恰好落在边CD上的点F 处．①点B的坐标为（、），BK的长是，CK的长是；②求点F的坐标；③请直接写出抛物线的函数表达式；（2）将矩形OCDE沿着经过点E的直线折叠，点O恰好落在边CD上的点G处，连接OG，折痕与OG相交于点H，点M是线段EH 上的一个动点（不与点H重合），连接MG，MO，过点G作GP⊥OM于点P，交EH于点N，连接ON，点M从点E开始沿线段EH向点H运动，至与点N重合时停止，△MOG和△NOG的面积分别表示为S1和S2，在点M的运动过程中，S1•S2（即S1与S2的积）的值是否发生变化？若变化，请直接写出变化范围；若不变，请直接写出这个值．温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答．第16页（共169页）33．如图，已知▱ABCD的三个顶点A（n，0）、B（m，0）、D（0，2n）（m＞n＞0），作▱ABCD关于直线AD的对称图形AB1C1D（1）若m=3，试求四边形CC1B1B面积S的最大值；（2）若点B1恰好落在y轴上，试求的值．因动点产生的相切问题34．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+2x+c 与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），抛物线的对称轴为直线l．（1）求这条抛物线的关系式，并写出其对称轴和顶点M的坐标；（2）如果直线y=kx+b经过C、M两点，且与x轴交于点D，点C关于直线l的对称点为N，试证明四边形CDAN是平行四边形；（3）点P在直线l上，且以点P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，求点P的坐标．第17页（共169页）35．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=14，tanA=，点D是边AC上一点，AD=8，点E是边AB上一点，以点E为圆心，EA为半径作圆，经过点D，点F是边AC上一动点（点F不与A、C重合），作FG⊥EF，交射线BC于点G．（1）用直尺圆规作出圆心E，并求圆E的半径长（保留作图痕迹）；（2）当点G的边BC上时，设AF=x，CG=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）联结EG，当△EFG与△FCG相似时，推理判断以点G为圆心、CG为半径的圆G与圆E可能产生的各种位置关系．36．如图，线段PA=1，点D是线段PA延长线上的点，AD=a （a＞1），点O是线段AP延长线上的点，OA2=OP•OD，以O为圆心，OA为半径作扇形OAB，∠BOA=90°．点C是弧AB上的点，联结PC、DC．（1）联结BD交弧AB于E，当a=2时，求BE的长；（2）当以PC为半径的⊙P和以CD为半径的⊙C相切时，求a的值；（3）当直线DC经过点B，且满足PC•OA=BC•OP时，求扇形OAB的半径长．第18页（共169页）37．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，点P从点B 出发，沿对角线BD向点D匀速运动，速度为4cm/s，过点P作PQ⊥BD交BC于点Q，以PQ为一边作正方形PQMN，使得点N落在射线PD上，点O从点D出发，沿DC向点C匀速运动，速度为3cm/s，以O为圆心，0.8cm为半径作⊙O，点P与点O同时出发，设它们的运动时间为t（单位：s）（0＜t＜）．（1）如图1，连接DQ平分∠BDC时，t的值为；（2）如图2，连接CM，若△CMQ是以CQ为底的等腰三角形，求t的值；（3）请你继续进行探究，并解答下列问题：①证明：在运动过程中，点O始终在QM所在直线的左侧；②如图3，在运动过程中，当QM与⊙O相切时，求t的值；并判断此时PM与⊙O是否也相切？说明理由．38．如图，抛物线y=﹣x2+mx+n的图象经过点A（2，3），对称轴为直线x=1，一次函数y=kx+b的图象经过点A，交x轴于点P，交抛物线于另一点B，点A、B位于点P的同侧．（1）求抛物线的解析式；（2）若PA：PB=3：1，求一次函数的解析式；（3）在（2）的条件下，当k＞0时，抛物线的对称轴上是否存在点C，使得⊙C同时与x轴和直线AP都相切，如果存在，请求出点C 的坐标，如果不存在，请说明理由．第19页（共169页）因动点产生的线段和差问题39．如图，抛物线y=x2﹣4x与x轴交于O，A两点，P为抛物线上一点，过点P的直线y=x+m与对称轴交于点Q．（1）这条抛物线的对称轴是，直线PQ与x轴所夹锐角的度数是；（2）若两个三角形面积满足S△POQ=S△PAQ，求m的值；（3）当点P在x轴下方的抛物线上时，过点C（2，2）的直线AC与直线PQ交于点D，求：①PD+DQ的最大值；②PD•DQ的最大值．40．抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）过点A（1，﹣1），B（5，﹣1），与y轴交于点C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，连接CB，以CB为边作▱CBPQ，若点P在直线BC 上方的抛物线上，Q为坐标平面内的一点，且▱CBPQ的面积为30，求点P的坐标；（3）如图2，⊙O1过点A、B、C三点，AE为直径，点M为上的一动点（不与点A，E重合），∠MBN为直角，边BN与ME 的延长线交于N，求线段BN长第20页（共169页）度的最大值．41．如图，在每一个四边形ABCD中，均有AD∥BC，CD⊥BC，∠ABC=60°，AD=8，BC=12．（1）如图①，点M是四边形ABCD边AD上的一点，则△BMC 的面积为；（2）如图②，点N是四边形ABCD边AD上的任意一点，请你求出△BNC周长的最小值；（3）如图③，在四边形ABCD的边AD上，是否存在一点P，使得cos∠BPC的值最小？若存在，求出此时cos∠BPC的值；若不存在，请说明理由．42．如图，把△EFP按图示方式放置在菱形ABCD中，使得顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上，已知EP=FP=4，EF=4（1）求∠EPF的大小；（2）若AP=6，求AE+AF的值；（3）若△EFP的三个顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上运动，请直接写出AP长的最大值和最小值．，∠BAD=60°，且AB＞4．43．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2﹣x+2与x 轴交于B、C两点第21页（共169页）（点B在点C的左侧），与y轴交于点A，抛物线的顶点为D．（1）填空：点A的坐标为（，），点B的坐标为（，），点C的坐标为（，），点D的坐标为（，）；（2）点P是线段BC上的动点（点P不与点B、C重合）①过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，若PE=PC，求点E的坐标；②在①的条件下，点F是坐标轴上的点，且点F到EA和ED的距离相等，请直接写出线段EF的长；③若点Q是线段AB上的动点（点Q不与点A、B重合），点R 是线段AC上的动点（点R不与点A、C重合），请直接写出△PQR周长的最小值．44．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM．（1）当AN平分∠MAB时，求DM的长；（2）连接BN，当DM=1时，求△ABN的面积；（3）当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值．45．如图，半圆O的直径AB=4，以长为2的弦PQ为直径，向点O方向作半圆M，其中P点在发现：的长与上且不与A点重合，但Q点可与B点重合．的长之和为定值l，求l：思考：点M与AB的最大距离为，此时点P，A间的距离为；点M与AB的最小距离为，此时半圆M的弧与AB所围成的封闭图形面积为；第22页（共169页）探究：当半圆M与AB相切时，求（注：结果保留π，cos35°=的长．），cos55°=46．（1）发现：如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b．填空：当点A位于时，线段AC的长取得最大值，且最大值为（用含a，b的式子表示）（2）应用：点A为线段BC外一动点，且BC=3，AB=1，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE．①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE长的最大值．（3）拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°，请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．47．如图，直线l：y=﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；（3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点M′．①写出点M′的坐标；第23页（共169页）②将直线l绕点A按顺时针方向旋转得到直线l′，当直线l′与直线AM′重合时停止旋转，在旋转过程中，直线l′与线段BM′交于点C，设点B、M′到直线l′的距离分别为d1、d2，当d1+d2最大时，求直线l′旋转的角度（即∠BAC的度数）．48．如图，在平面直角坐标系xOy中，将二次函数y=x2﹣1的图象M沿x轴翻折，把所得到的图象向右平移2个单位长度后再向上平移8个单位长度，得到二次函数图象N．（1）求N的函数表达式；（2）设点P（m，n）是以点C（1，4）为圆心、1为半径的圆上一动点，二次函数的图象M与x轴相交于两点A、B，求PA2+PB2的最大值；（3）若一个点的横坐标与纵坐标均为整数，则该点称为整点．求M与N所围成封闭图形内（包括边界）整点的个数．49．如图，顶点为A（，1）的抛物线经过坐标原点O，与x轴交于点B．（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；（2）过B作OA的平行线交y轴于点C，交抛物线于点D，求证：△OCD≌△OAB；（3）在x轴上找一点P，使得△PCD的周长最小，求出P点的坐标．第24页（共169页）第25页（共169页）2017 挑战压轴题中考数学精讲解读篇参考答案与试题解析一．解答题（共36小题）1．如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=x2的对称轴绕着点P（0，2）顺时针旋转45°后与该抛物线交于A、B两点，点Q是该抛物线上一点．（1）求直线AB的函数表达式；（2）如图①，若点Q在直线AB的下方，求点Q到直线AB的距离的最大值；（3）如图②，若点Q在y轴左侧，且点T（0，t）（t ＜2）是射线PO上一点，当以P、B、Q为顶点的三角形与△PAT相似时，求所有满足条件的t的值．【分析】（1）根据题意易得点M、P的坐标，利用待定系数法来求直线AB的解析式；（2）如图①，过点Q作x轴的垂线QC，交AB于点C，再过点Q作直线AB的垂线，垂足为D，构建等腰直角△QDC，利用二次函数图象上点的坐标特征和二次函数最值的求法进行解答；（3）根据相似三角形的对应角相等推知：△PBQ中必有一个内角为45°；需要分类讨论：∠PBQ=45°和∠PQB=45°；然后对这两种情况下的△PAT是否是直角三角形分别进行解答．另外，以P、B、Q为顶点的三角形与△PAT相似也有两种情况：△Q″PB∽△PAT、△Q″BP∽△PAT．【解答】解：（1）如图①，设直线AB与x轴的交点为M．第26页（共169页）∵∠OPA=45°，∴OM=OP=2，即M（﹣2，0）．设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），将M（﹣2，0），P （0，2）两点坐标代入，得，解得．故直线AB的解析式为y=x+2；（2）如图①，过点Q作x轴的垂线QC，交AB于点C，再过点Q作直线AB的垂线，垂足为D，根据条件可知△QDC为等腰直角三角形，则QD=设Q（m，m2），则C（m，m+2）．∴QC=m+2﹣m2=﹣（m﹣）2+，QD=QC=[﹣（m﹣）2+]．；QC．故当m=时，点Q到直线AB的距离最大，最大值为（3）∵∠APT=45°，∴△PBQ中必有一个内角为45°，由图知，∠BPQ=45°不合题意．①如图②，若∠PBQ=45°，过点B作x轴的平行线，与抛物线和y 轴分别交于点Q′、F．此时满足∠PBQ′=45°．∵Q′（﹣2，4），F（0，4），∴此时△BPQ′是等腰直角三角形，由题意知△PAT也是等腰直角三角形．（i）当∠PTA=90°时，得到：PT=AT=1，此时t=1；（ii）当∠PAT=90°时，得到：PT=2，此时t=0．②如图③，若∠PQB=45°，①中是情况之一，答案同上；先以点F为圆心，FB为半径作圆，则P、B、Q′都在圆F上，设圆F与y轴左侧的抛物线交于另一点Q″．则∠PQ″B=∠PQ′B=45°（同弧所对的圆周角相等），即这里的交点Q″也是符合要第27页（共169页）求．设Q″（n，n2）（﹣2＜n＜0），由FQ″=2，得n2+（4﹣n2）2=22，即n4﹣7n2+12=0．解得n2=3或n2=4，而﹣2＜n＜0，故n=﹣可证△PFQ″为等边三角形，所以∠PFQ″=60°，又PQ″=PQ″，所以∠PBQ″=∠PFQ″=30°．则在△PQ″B中，∠PQ″B=45°，∠PBQ″=30°．（i）若△Q″PB∽△PAT，则过点A作y轴的垂线，垂足为E．则ET=所以OT=解得t=1﹣AE=，OE=1，即Q″（﹣，3）．﹣1，；（ii）若△Q″BP∽△PAT，则过点T作直线AB垂线，垂足为G．设TG=a，则PG=TG=a，AG=∴a+a=，a=﹣1，TG=a，AP=，解得PT=∴OT=OP﹣PT=3﹣∴t=3﹣．综上所述，所求的t的值为t=1或t=0或t=1﹣或t=3﹣．第28页（共169页）2．如图，已知BC是半圆O的直径，BC=8，过线段BO上一动点D，作AD⊥BC交半圆O于点A，联结AO，过点B作BH⊥AO，垂足为点H，BH的延长线交半圆O于点F．（1）求证：AH=BD；（2）设BD=x，BE•BF=y，求y关于x的函数关系式；（3）如图2，若联结FA并延长交CB的延长线于点G，当△FAE 与△FBG相似时，求BD的长度．【分析】（1）由AD⊥BC，BH⊥AO，利用垂直的定义得到一对直角相等，再由一对公共角，且半径相等，利用AAS得到三角形ADO 与三角形BHO全等，利用全等三角形对应边相等得到OH=OD，利用等式的性质化简即可得证；（2）连接AB，AF，如图1所示，利用HL得到直角三角形ADB 与直角三角形BHA第29页（共169页）全等，利用全等三角形对应角相等得到一对角相等，再由公共角相等得到三角形ABE与三角形AFB相似，由相似得比例即可确定出y 与x的函数解析式；（3）连接OF，如图2所示，利用两对角相等的三角形相似得到三角形AFO与三角形FOG相似，由相似得比例求出BD的长即可．【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，BH⊥AO，∴∠ADO=∠BHO=90°，在△ADO与△BHO中，∴△ADO≌△BHO （AAS），∴OH=OD，又∵OA=OB，∴AH=BD；。

2018 年数学中考压轴题1·因为受甲型H1N1流感(开初叫猪流感)的影响.4月初某地猪肉价钱大幅度下调.下调后每斤猪肉价钱是原价钱的 . 本来用 60 元买到的猪肉下调后可多买 2 斤．(1) 求 4 月初猪肉价钱下调后每斤多少元？(2)4月中旬.经专家研究证明. 猪流感不是由猪传染. 很快更名为甲型H1N1流感．所以 . 猪肉价钱 4 月底开始上升 . 经过两个月后. 猪肉价钱上浮为每斤14.4 元．求 5、 6 月份猪肉价钱的月均匀增加率分析 (1)【思路剖析】设 4 月初猪肉价钱下调后每斤x 元 . 由“下调后每斤猪肉价钱是原价钱的”可得原价钱为每斤x 元．依据“本来用60 元买到的猪肉下调后能够多买 2 斤”列方程解答．解：设 4 月初猪肉价钱下调后每斤x 元 . 则原价钱为每斤x 元． (1 分 )依据题意得：－＝ 2.(3分)解得： x＝ 10.经查验 .x ＝ 10 是原方程的解．(4 分 )答： 4 月初猪肉价钱下调后每斤10 元． (5 分)(2) 【思路剖析】由 (1) 题可知 . 猪肉的原价钱是 10 元 . 设月均匀增加率为 y. 则第一个月上浮后的价钱为10(1 ＋ y). 第二个月上浮后的价钱为 10(1 ＋ y) 2. 依据题意可列方程．解：设 5、 6 月份猪肉价钱的月均匀增加率为y.依据题意得 .10(1 ＋ y) 2＝ 14.4.(6分)解得： y1＝ 0.2 ＝20%.y2＝－ 2.2( 不合题意舍去).答： 5、 6 月份猪肉价钱的月均匀增加率为20%.(8 分)2·如图① . 抛物线 y＝ ax2＋ bx＋4(a ≠ 0) 的图象过 A(－ 1.0).B(4.0) 两点 . 与 y 轴交于点 C.作直线 BC. 动点 P 从点 C 出发 . 以每秒个单位长度的速度沿 CB向点 B 运动 . 运动时间为 t 秒. 当点 P 与点 B 重合时停止运动．(1)求抛物线的分析式；(2)如图② . 当 t ＝ 1 时 . 求△ ACP的面积；(3)如图③ . 过点 P 向 x 轴作垂线分别交 x 轴、抛物线于 E、 F 两点．①求 PF的长度对于t 的函数分析式 . 并求出 PF 的长度的最大值；②连结 CF.将△ PCF沿 CF折叠获得△ P′CF . 当 t 为什么值时 . 四边形 PFP′C是菱形？分析(1) 【思路剖析】将A、 B 两点的坐标代入抛物线分析式中. 即可获得对于a、 b 的二元一次方程组 . 解方程组即可．y＝ ax2＋ bx ＋4(a ≠ 0) 的图象过 A( － 1.0).B(4.0)解：∵抛物线两点 .∴. 解得： .y＝－ x2＋ 3x＋ 4 或 y＝－ (x ＋1)(x － 4) ．(3 分 )∴抛物线的分析式为：(2) 【思路剖析】要求△ACP的面积 . 可用△ ACB的面积减去△ APB的面积．此题重点是怎样求解△APB 的面积．过点 P 作 PQ⊥ AB于点 Q.则 PQ是△ APB的高．在△ APB中依据 PB的长度及∠ PBA的度数 . 利用三角函数求出 PQ.该题即可获得解决．第 2 题解图①解：当 t ＝ 1 时 .CP＝ .∵抛物线y＝－ (x ＋ 1)(x － 4) 的图象与 y 轴交于点 C.∴C(0.4) ．∴CO＝4.(4 分 )∵∠ COB＝90° .CO＝ OB＝ 4.∴∠ CBO＝45° .∴CB＝＝＝ 4.BP＝ CB－ CP＝ 3.(5 分 )过点 P作 PQ⊥ AB于点 Q.如解图① .PQ＝PB·sin∠ CBA＝ 3×＝ 3.(6分)S△ACP＝S△ACB－ S△ABP＝AB·OC－AB·PQ＝× 5× 4－× 5× 3＝.(8 分)(3)【思路剖析】①求出直线 BC的分析式 . 依据∠ CBA的度数以及 CP的长度与 t 的关系式 . 可获得 OE 的长度与t 的关系式 . 设出点P、 F 的坐标 . 由点 F 的纵坐标减去点P 的纵坐标即可得出PF 的长度对于t 的函数表达式. 联合二次函数的性质即可求出最值；②由翻转特征可知PC＝P′C.PF ＝P′F. 若四边形PFP′C是菱形 . 则有 PC＝ PF. 由此得出对于t 的一元二次方程. 解方程确立t 值．解：①设直线BC的分析式为y＝kx ＋ m(k≠0).∵直线 BC过 B(4.0).C(0.4)两点.∴. 解得： .∴直线 BC分析式为y＝－ x＋ 4.(9 分 )∵ CP＝t. ∠ CBA＝45° .∴ OE＝t.∵点 P在直线 BC上 . 点 F 在抛物线上 .∴设 P(t. － t ＋4).F(t.－t2＋3t＋4).(0≤ t≤4)PF＝－ t 2＋ 3t ＋ 4－ ( － t ＋4) ＝－ t 2＋4t.(0≤t≤ 4)当 t ＝－＝ 2 时 .PF 最大＝4.(10分)第 2 题解图②②∵△ PCF沿 CF折叠获得△ P′CF . 如解图② .∴PC＝P′C.PF＝P′F.当四边形PFP′C是菱形时 . 只要 PC＝ PF.∴ t ＝－ t 2＋ 4t. 解得： t 1＝0( 舍去 ).t2＝4－.∴当 t ＝ 4－时. 四边形 PFP′C是菱形． (12 分 )3·商场为了促销某件商品. 设置了如图的一个转盘. 它被分红了 3 个同样的扇形 . 各扇形分别标有数字 2、3、 4. 指针的地点固定. 该商品的价钱由顾客自由转动此转盘两次来获得. 每次转动后让其自由停止. 记下指针所指的数字( 指针指向两个扇形的交线时. 看作右侧的扇形). 先记的数字作为价钱的十位数字. 后记的数字作为价钱的个位数字．(1)请用列表或树状图的方法 ( 只选此中一种 ). 表示出两次所得数字可能出现的全部结果；(2) 求出顾客购置商品的价钱不超出30 元的概率．第3题图分析解： (1) 列表以下：第一次结果第二次 2 3 42 22 32 423 23 33 434 24 34 44(4 分)或画树状图如解图：第3题解图(4 分)∴共有 9 种等可能的结果．(2)如 (1) 的列表法或树状图法所示 . 在一共 9 种等可能的事件中 . 此中两次指针指向的两个数字构成的价钱不超出 30 元的有 3 种状况．∴顾客购置商品的价钱不超出30 元的概率为： P＝＝ .(7 分 )4·如图 . 在平面直角坐标系中. O 为极点 . 平行四边形的边在轴上 . D 点在y 轴上 . C 点坐标ABCD BC x为 (2.0). BC＝ 6. ∠BCD＝60° . 点E是AB边上一点 . AE＝ 3EB. ⊙P过D、O、C三点 . 抛物线y＝ax2＋bx ＋c过点 D、 B、 C三点．(1)求抛物线的分析式；(2)求证： ED是⊙ P 的切线；(3) 若将△ADE绕点D逆时针旋转 90° . E点的对应点E′会落在抛物线y＝ax2＋bx＋c上吗？请说明原因；(4)若点 M为此抛物线的极点.平面上能否存在点 N.使得以点 B、 D、 M、N 为极点的四边形为平行四边形？若存在 . 请直接写出点N的坐标 . 若不存在 . 请说明原因．第 4题图分析(1)【思路剖析】依据题意先确立D、 B、C 三点的坐标 . 而后用待定系数法可得抛物线的分析式．解：由题意得 D、 B、 C三点的坐标分别是(0.2) 、 ( － 4.0) 、 (2.0). 分别代入 y＝ ax 2＋bx＋ c 中得 ..解得.y＝－ x 2－ x＋ 2.(2所以抛物线的分析式为分 )(2) 【思路剖析】延伸DE 交 x 轴于点 F. 结构△ BFE∽△ ADE.利用相像三角形的性质求得BF 的长；在Rt△DOF中.利用锐角三角函数获得∠FDO的度数 . 从而求出∠ CDE＝90°.解：延伸DE交 x 轴于点 F. 如解图①所示.∵AD∥BC.∴△ ADE∽△ BFE.第 4 题解图①∴＝.即＝.∴BF＝2.∵B( －4.0). ∴ OB＝ 4.∴ OF＝6.(3 分 )∵D(0.2).∴OD＝2.在 Rt△DOF中.∵ tan ∠FDO＝＝＝.∴∠ FDO＝60°.(4 分 )∵∠ BCD＝60° . ∴∠ CDO＝30° .∴∠ CDE＝90° . ∴ CD⊥ DE.∴ ED是⊙ P 的切线． (5 分 )(3)【思路剖析】依据旋转的性质求得 E′点的坐标 . 代入抛物线的分析式考证即可．解：点 E′不会落在抛物线 y＝－ x 2－x＋ 2 上．原因以下：第 4 题解图②将△ ADE绕点 D逆时针旋转90° .E 点的对应点是E′.A 点的对应点是A′ . 如解图②所示.则 DA′＝ DA＝ 6.∵AD∥BC.∠ EDO＝60° .∴∠ ADE＝30° . A′E′＝ AE＝AD＝ 3.∵∠ A＝∠ BCD＝60° .∴∠ DEA＝ 90° .(6 分 )过点 E′作 E′G ⊥ y 轴于点 G.则∠ A′E′G＝30° .∴A′G＝ . ∴ OG＝ 6－－ 2＝－ 2.在 Rt△A′E′G中. E′G＝＝＝.∴E′(. －＋ 2).(7 分 )当 x＝时 .y ＝－× () 2－×＋ 2.＝－≠－＋ 2.所以点 E′不会落在抛物线分 )y＝－ x 2－x＋ 2 上． (8(4) 【思路剖析】先求得M 点的坐标 . 而后分别以MB、 DM、BD 为平行四边形的对角线. 经过平移的性质确立 N 点的坐标．解：存在点 N.使得以点 B、 D、 M、 N为极点的四边形为平行四边形. 原因以下：∵y＝－ x2－ x＋ 2＝－ (x ＋1) 2＋ .∴ M(－1.). 且 B(－ 4.0).D(0.2).如解图③所示：第 4 题解图③①当 BM为平行四边形BDNM的对角线时 . 点 D 向左平移 4 个单位 . 再向下平移 2 个单位获得点 B. 则点M(－ 1.) 向左平移 4 个单位 . 再向下平移 2 个单位获得点N1( － 5.); (9分)②当 DM为平行四边形BNDM的对角线时 . 点 B 向右平移 3 个单位 . 再向上平移个单位获得点M.则点D(0.2) 向右平移 3 个单位 . 再向上平移个单位获得点N2(3.) ； (10 分 )③当 BD 为平行四边形BDMN的对角线时 . 点M 向左平移 3 个单位 . 再向下平移个单位获得点 B. 则点D(0.2) 向左平移 3 个单位 . 再向下平移个单位获得点N3( － 3. － ).(11 分 )综上所述 . 点 N的坐标为 ( － 5.) 、 (3.) 、( －3. －) ．(12 分 )5·如图 . 在△中 . ＝ . 是的中点 .BE 均分∠交于点. 点是上一点 .⊙O过、ABC AB BCD AC ABD AC E O AB B E两点.交 BD于点 G.交 AB于点 F.(1)判断直线 AC与⊙ O的地点关系.并说明原因；(2)当 BD＝6. AB＝10时.求⊙ O的半径．第5题图分析(1)【思路剖析】连结 OE.如解图 . 由 BE均分∠ ABD和 OE＝ OB.可得 OE∥ BD.由等腰三角形的性质得BD⊥ AC.所以 OE⊥ AC.依据切线的判断定理可得AC与⊙ O相切．解：连结OE.如解图 .(1分)第 5题解图∵BE均分∠ ABD.∴∠ OBE＝∠ DBE.(2 分 )∵OE＝OB.∴∠ OBE＝∠ OEB.∴∠ OEB＝∠ DBE.∴OE∥BD.(3 分)∵AB＝BC.D 是 AC中点 .∴BD⊥AC.∴OE⊥AC.∴AC与⊙ O相切； (4 分 )(2) 【思路剖析】设⊙O 半径为r. 易证△ AOE∽△ ABD.利用相像三角形对应边成比率. 成立对于r 的方程 . 而后解方程求出r.解：设⊙ O半径为 r. 则 AO＝ 10－r.(5分)由 (1) 知 .OE∥ BD.∴△ AOE∽△ ABD.∴＝ . 即＝ .(6分)∴ r ＝ .即⊙ O半径为 .(8分)6·如图 . 直线l：y＝ 3x＋ 3 与x轴交于点A. 与y轴交于点B. 把△AOB沿y轴翻折 . 使得点A落到点C. 抛物线过点 B、 C和 D(3.0)．(1)求直线 BD和抛物线的分析式；(2)若 BD 与抛物线的对称轴交于点 M.点 N在座标轴上.以点 N、 B、 D 为极点的三角形与△ MCD相像.求全部知足条件的点 N的坐标；(3)在抛物线上能否存在点 P.使 S△PBD＝6？若存在.求出点 P 的坐标；若不存在.说明原因．第6题图分析(1)【思路剖析】由待定系数法求出直线BD和抛物线的分析式．解：∵直线l ：y＝ 3x ＋ 3 与 x 轴交于点 A. 与 y 轴交于点 B.∴ A( －1.0).B(0.3)；∵把△ AOB沿 y 轴翻折 . 使点 A 落到点 C.∴C(1.0) ．设直线 BD的分析式为：y＝ kx ＋ b.∵点 B(0.3).D(3.0)在直线BD上.∴.解得 k＝－ 1.b ＝ 3；∴直线 BD的分析式为：y＝－ x＋ 3.(1 分 )因为点 D(3.0).点C(1.0)均在抛物线上.故可设抛物线的分析式为：y＝ a(x －1)(x － 3).∵点 B(0.3) 也在抛物线上 .∴3＝ a× ( － 1) × ( － 3).解得： a＝ 1.∴抛物线的分析式为：y＝ (x － 1)(x － 3) ＝x2－4x＋ 3.(3分)(2)【思路剖析】解题重点第一确立△MCD为等腰直角三角形 . 因为△ BND与△ MCD相像 . 所以△ BND也是等腰直角三角形．如解图①所示. 切合条件的点N有 3个．解：抛物线的分析式为：y＝ x2－ 4x＋ 3＝ (x －2) 2－ 1.∴抛物线的对称轴为直线x＝ 2. 极点坐标为 (2. －1)．第 6 题解图①∵直线 y＝－ x＋ 3 与抛物线的对称轴交于点M.∴M(2.1) ．设对称轴与x 轴交点为点 F. 则 CF＝ FD＝ MF＝ 1.∴△ MCD为等腰直角三角形．∵以点 N、 B、 D为极点的三角形与△MCD相像 .∴△ BND为等腰直角三角形．如解图①所示：( Ⅰ ) 若 BD为斜边 . 则易知此时直角极点为原点O.∴N1(0.0) ； (5 分 )( Ⅱ ) 若 BD为直角边 .B 为直角极点 . 则点 N 在 x 轴负半轴上 .∵OB＝OD＝ ON2＝3.∴ N2( －3.0) ； (6 分 )( Ⅲ ) 若 BD为直角边 .D 为直角极点 . 则点 N 在 y 轴负半轴上 .∵OB＝OD＝ ON3＝3.∴N3(0. －3) ．(7 分)∴知足条件的点N 坐标为： (0.0).(－ 3.0)或(0.－3)．(8分)(3)【思路剖析】解题重点是求出△PBD 面积的表达式 . 而后依据 S△PBD＝6 的已知条件 . 列出方程求解即可．第 6 题解图②解：假定存在点 P. 使 S△PBD＝ 6. 设点 P 坐标为(m.n) ． ( Ⅰ ) 当点 P 位于直线 BD上方时 . 如解图②所示：过点 P作 PE⊥ x 轴于点 E. 连结 PD、 PB.则 PE＝ n.DE＝ m－ 3.S△PBD＝S 梯形PEOB－ S△BOD－S△PDE＝ (3 ＋n) ·m－× 3× 3－· (m－3) · n＝ 6.化简得： m＋ n＝7 ① .∵P(m.n) 在抛物线上 .2∴n＝ m－ 4m＋ 3.代入①式整理得： m2－ 3m－4＝ 0.解得： m1＝ 4.m2＝－ 1.∴n1＝ 3.n 2＝ 8.∴ P (4.3).P ( －1.8) ；(10 分)1 2第 6 题解图③( Ⅱ ) 当点 P 位于直线 BD下方时 . 如解图③所示：过点 P作 PE⊥ y 轴于点 E. 连结 PD、 PB.则 PE＝ m.OE＝－ n.BE＝3－ n.S△PBD＝S 梯形PEOD＋ S△BOD－S△PBE＝· (3 ＋m)·( － n) ＋× 3× 3－· (3 －n) ·m＝ 6.化简得： m＋ n＝－ 1 ② .2∵ P(m.n) 在抛物线上 . ∴ n＝ m－ 4m＋3.2代入②式整理得：m－ 3m＋4＝ 0.＝－7＜0.此方程无解．综上所述 . 在抛物线上存在点P. 使 S△PBD＝ 6. 且点 P 的坐标为 (4.3) 或 ( － 1.8) ． (12 分 )第 6 题解图④一题多解：假定存在点P. 使 S△PBD＝ 6.如解图④所示. 过点 P 作直线 l ′平行 BD.l ′与 BD的距离为 d. l ′与 y 轴交点为B′ .∵BD＝＝ 3.∴S△PBD＝ BD× d＝6.∴d＝ 2.∵BD与 y 轴夹角为 45° .∴BB′＝ 4.∴将 BD上移或下移 4 个单位 .①上移 4 个单位 . l ′分析式为： y＝－ x＋ 7.联立 l ′分析式与抛物线分析式得：x2－ 3x－4＝ 0.∴x1＝ 4.x 2＝－ 1.∴此时点 P′坐标为 (4.3) 或 ( － 1.8) ；②下移 4 个单位 . l ′分析式为 y＝－ x－ 1.联立 l ′分析式与抛物线分析式可得：x 2－ 3x＋ 4＝ 0.∵Δ＜ 0. ∴此方程无解 . ∴此时点 P 不存在．综上所述. 点 P的坐标为 (4.3) 或 ( － 1.8) ．7·如图① . 在△ ABC和△ ADE中 .AB＝ AC.AD＝ AE. ∠ BAC＝∠ DAE＝90°.(1)求证： BD＝ CE.BD⊥ CE；(2)将图①中的△ ADE绕点 A 顺时针旋转α角(0 °<α<90°). 如图② .(1) 的结论还成立吗？请说明理由．第7题图分析(1)【思路剖析】要证 BD＝ CE.可先证 BD、CE所在的两个三角形即△ ABD、△ ACE全等 . 依据题意可用SAS证全等；要证BD⊥CE.可先延伸BD.交CE于点F.证∠BFE(或∠BFC)为90°即可；而要证∠BFE＝90° . 可先证∠ ABD＋∠ BEF＝90° . 由△ ABD≌△ ACE可得∠ ABD＝∠ ACE.而∠ ACE＋∠ BEF＝90° . 问题就获得解决了．第 7 题解图①解：延伸BD交 CE于点 F. 如解图① .(1分)在△ ABD和△ ACE中 .∵.∴△ ABD≌△ ACE(SAS).∴BD＝CE.∠ ABD＝∠ ACE.(3 分 )在 Rt△AEC中.∠ACE＋∠BEF＝90°.∴∠ ABD＋∠ BEF＝90° .∴∠ BFE＝180°－ 90°＝ 90° .∴BD⊥CE.(4 分)(2) 【思路剖析】结论仍旧成立 . 要证 BD＝ CE.仍是先证△ ABD≌△ ACE；要证三角形全等 . 可先证∠ BAD ＝∠ EAC.而后仍用SAS证全等；要证 BD⊥CE.可先延伸 BD交 CE于点 F. 证∠ BFC＝90°；而要证∠ BFC＝90°只要证出∠ CBF＋∠ BCF＝90°即可．第 7 题解图②解： (1) 的结论仍成立．延伸 BD交 CE于点 F. 如解图② .(5 分)∵∠ BAD＋∠ CAD＝90° .∠EAC＋∠ CAD＝90° .∴∠ BAD＝∠ CAE.(6 分 )在△ DAB和△ EAC中 .. ∴△ DAB≌△ EAC(SAS).∴BD＝CE.∠ ABD＝∠ ACE.(8分 ) ∵∠ ABC＋∠ ACB＝90° .∴∠ CBF＋∠ BCF＝∠ ABC－∠ ABD＋∠ ACB＋∠ ACE＝90° .∴∠ BFC＝180°－∠ CBF－∠ BCF＝180°－ 90°＝ 90° .∴EC⊥BD.(9 分)8·如图.已知抛物线与x 轴交于 A( －1.0).B两点.与y轴交于点C(0.3).点D为抛物线的极点且对称轴为x＝ 1.(1)求抛物线的分析式；(2)直线 CD与 x 轴交于点 E. 过线段 OB的中点 N 作 NF⊥ x 轴 . 交直线(3)在第 (2) 问的条件下 . 直线 NF上能否存在点 M.使得以点 M为圆心若存在 . 求出点 M的坐标；若不存在 . 请说明原因．CD于点 F. 求 EF 的长；.OM 为半径的圆与直线CD相切？第8题图分析(1)【思路剖析】设抛物线分析式为y＝ ax2＋bx＋ c(a ≠0). 把点 A( － 1.0). 点 C(0.3) 分别代入式中 .再由对称轴公式x＝－＝ 1. 列出三元一次方程组求解．解：设抛物线分析式为y＝ ax 2＋ bx＋c. 由题意可得：. 解得 .(2分)∴抛物线的分析式为y＝－ x2＋ 2x ＋3.(3分)(2) 【思路剖析】要求EF 的长 . 可放到Rt△ENF中.用勾股定理求解. 这就需要知道EN、 FN 的长；而要求 EN、 FN的长 . 需知道点E、 F 的坐标 . 这就需要先求出直线CD的分析式；设直线CD分析式为y＝ kx ＋b. 将 C、 D两点代入 . 用待定系数法求出直线CD的分析式．解：∵点 D 为抛物线的极点. ∴ D(1.4).设 CD的分析式为y＝ kx＋ b. 把 C(0.3).D(1.4)代入.得 .解得 k＝ 1.b ＝ 3.∴直线 CD分析式为y＝ x＋ 3.(4分)∴E( －3.0).∴OE＝OC＝ 3. ∴∠ AEC＝45° .令抛物线 y＝－ x2＋ 2x＋ 3 中 y＝ 0.解得 x1＝－ 1.x 2＝ 3.∴OB＝3.(5 分 )∵点 N是 OB的中点 .∴ON＝.NE＝ .(6 分 )∵ FN⊥x 轴 . ∴∠ AEC＝∠ EFN＝45° .∴EN＝FN＝ .∴EF＝EN＝ .(7 分 )(3)【思路剖析】假定存在切合条件的点M.设 M(.y). 过点 M作 MQ⊥ CD于点 Q.依据题意得 MQ＝MO.再证出 Rt△FQM∽ Rt△FNE.依据相像三角形对应边成比率列出对于y 的方程求解．解：直线NF上存在点M.过点 M作 MQ⊥ CD于点 Q. 如解图 .(8分)第 8题解图∵⊙ M与 CD相切 . ∴ MQ＝OM.设 M(.y).2 2 2∴ MQ＝OM＝＋ y .(9分 )∵∠ MFQ＝∠ NFE.∠FQM＝∠ FNE＝90° .∴△ FQM∽△ FNE.∴＝.∴＝.即＝ .整理得： 4y2＋ 36y－ 63＝ 0. 解得： y1＝ .y 2＝－ .(11 分 )∴点 M的坐标为： M1(.)、M2(.－)．(12分)9·如图① . 边长为 4 的正方形 ABCD的边 AD∥ y 轴. 点 P(0. － 1) 是 CD的中点 . 以 P 为极点的抛物线经过点 B. 连结 BD.(1)求抛物线和直线 BD的分析式；(2) 如图② . 若点 M是抛物线上一动点 ( 点 M不与点 A、B 重合 ). 过点 M作 y 轴的平行线 FM与直线 AB 交于点F. 与直线 BD交于点 E. 当线段 ME＝ 2EF 时 . 求点 M的坐标；(3) 如图③ . 平移抛物线 . 使平移后的抛物线极点N 在直线 PB 上. 抛物线与直线PB 的另一个交点为Q. 点 H 在 y 轴正半轴上 . 当以 H、 N、 Q 三点为极点的三角形为等腰直角三角形时. 求出全部切合条件的H 点的坐标．第9题图分析(1) 【思路剖析】由点P(0. － 1) 是抛物线的极点 . 可设抛物线的分析式为y＝ ax2－ 1. 抛物线经过点 B. 故可求出 a 值 . 从而得抛物线的分析式；设直线BD分析式为： y＝kx ＋ b. 用待定系数法即可求出直线分析式．解：由正方形 ABCD边长为 4 及点 P(0. － 1) 可得 .B(2.3) 、 D(－ 2. － 1).y＝ax2－ 1.设抛物线的分析式为把 B(2.3) 代入得 .3＝ 4a－ 1. 解得 a＝ 1,y＝x2－ 1； (2 分 )∴抛物线的分析式为设直线 BD的分析式为y＝ kx ＋ b.把 B(2.3) 、 D(－ 2. － 1) 代入得 ..解得 k＝ 1.b ＝ 1.(3 分 )2018年数学中考压轴题∴直线 BD的分析式为y＝ x＋ 1.(4 分 )(2) 【思路剖析】设点M(x.x 2－ 1). 从而表示出 E.F 点坐标 . 再依据ME＝ 2EF 列方程 . 即可求出M 点坐标．解：设点M(x.x 2－1).则 E(x.x ＋ 1).F(x.3).∴ ME＝x＋ 1－ (x 2－ 1) ＝－ x2＋ x＋ 2.EF＝ 3－ (x ＋ 1) ＝ 2－ x.(5分)当 ME＝ 2EF 时 . 可列方程－ x2＋ x＋ 2＝ 2(2 － x).(6 分 )解得 x＝ 2 或 x＝ 1.(7 分 )∵点 M不与点 A、 B 重合 .∴ x＝ 1.∴ M(1.0) ． (8 分 )(3) 【思路剖析】由平移性质可知：NQ＝ PB.设 PB 与 y 轴的夹角为α .由正方形可得sin α；以点H、 N、 Q 为极点的三角形假如是等腰直角三角形. 可分三种状况解答. 即∠ HQN＝90°、∠ HNQ＝90°或∠ NHQ＝90°三种状况．解：由平移性质可知.NQ＝ PB＝＝＝ 2. 设 PB与 y 轴的夹角为α.由正方形可得sin α＝＝.①当∠ HQN＝90°时 . 如解图① .HQ＝NQ＝ 2.在 Rt△PHQ中. sin α＝＝.解得HP＝10.∴ H(0.9) ． (9 分 )第 9 题解图①第 9 题解图②②当∠ HNQ＝90°时 . 如解图② .HN＝NQ＝ 2.在 Rt△PHN中. sin α＝＝.解得HP＝10.∴H(0.9) ． (10 分 )③当∠ NHQ＝90°时 . 如解图③ .NQ＝2. 过点 H 作 HG⊥ PB 于点 G.由等腰三角形三线合一的性质及直角三角形性质可得 .HG＝ NQ＝ .在 Rt△PHG中. sin α＝＝.解得HP＝5.∴H(0.4) ． (11 分 )综上 . 全部切合条件的H点的坐标为：(0.9) 和 (0.4) ． (12 分 )第 9 题解图③..11 / 1111 / 11。

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2017 挑战压轴题中考数学精讲解读篇因动点产生的相似三角形问题1．如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=x2的对称轴绕着点P（0，2)顺时针旋转45°后与该抛物线交于A、B两点，点Q是该抛物线上一点．(1)求直线AB的函数表达式;(2）如图①，若点Q在直线AB的下方,求点Q到直线AB的距离的最大值；（3)如图②,若点Q在y轴左侧,且点T(0，t）(t＜2)是射线PO上一点,当以P、B、Q为顶点的三角形与△PAT相似时，求所有满足条件的t的值．2．如图，已知BC是半圆O的直径，BC=8,过线段BO上一动点D，作AD⊥BC交半圆O于点A，联结AO,过点B作BH⊥AO,垂足为点H,BH的延长线交半圆O于点F．(1）求证：AH=BD；（2）设BD=x，BE•BF=y，求y关于x的函数关系式;（3）如图2,若联结FA并延长交CB的延长线于点G，当△FAE与△FBG相似时，求BD的长度．3．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB过点A(3,0）、B（0，m）（m＞0），tan ∠BAO=2．（1）求直线AB的表达式；（2）反比例函数y=的图象与直线AB交于第一象限内的C、D两点（BD＜BC)，当AD=2DB时，求k1的值；(3）设线段AB的中点为E，过点E作x轴的垂线，垂足为点M，交反比例函数y=的图象于点F，分别联结OE、OF，当△OEF∽△OBE时，请直接写出满足条件的所有k2的值．4．如图,在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=1，BC=7，点D是边CA延长线的一点，AE ⊥BD，垂足为点E，AE的延长线交CA的平行线BF于点F，连结CE交AB于点G．（1)当点E是BD的中点时,求tan∠AFB的值；(2）CE•AF的值是否随线段AD长度的改变而变化？如果不变，求出CE•AF的值;如果变化，请说明理由；（3)当△BGE和△BAF相似时，求线段AF的长．5．如图,平面直角坐标系xOy中，已知B(﹣1，0），一次函数y=﹣x+5的图象与x轴、y轴分别交于点A、C两点，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过点A、点B．（1）求这个二次函数的解析式;（2）点P是该二次函数图象的顶点,求△APC的面积；(3）如果点Q在线段AC上，且△ABC与△AOQ相似，求点Q的坐标．6．已知：半圆O的直径AB=6，点C在半圆O上，且tan∠ABC=2，点D为弧AC上一点，联结DC（如图）（1）求BC的长；（2）若射线DC交射线AB于点M，且△MBC与△MOC相似，求CD的长；（3）联结OD,当OD∥BC时,作∠DOB的平分线交线段DC于点N，求ON的长．7．如图,已知二次函数y=x2+bx+c（b,c为常数）的图象经过点A（3，﹣1）,点C（0,﹣4），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴与点D，交该二次函数图象于点B，连结BC．（1）求该二次函数的解析式及点M的坐标；（2）若将该二次函数图象向上平移m(m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包含△ABC的边界），求m的取值范围；（3)点P时直线AC上的动点，若点P，点C,点M所构成的三角形与△BCD相似，请直接写出所有点P的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）．因动点产生的等腰三角形问题8．如图1,在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，点E是∠BAC角平分线上一点，过点E作AE的垂线，过点A作AB的垂线，两垂线交于点D，连接DB,点F是BD的中点，DH⊥AC，垂足为H，连接EF，HF．（1）如图1,若点H是AC的中点，AC=2，求AB，BD的长;（2）如图1，求证:HF=EF；(3）如图2，连接CF，CE．猜想：△CEF是否是等边三角形?若是，请证明;若不是，说明理由．9．已知，一条抛物线的顶点为E(﹣1，4），且过点A(﹣3,0)，与y轴交于点C，点D是这条抛物线上一点，它的横坐标为m，且﹣3＜m＜﹣1，过点D作DK⊥x轴，垂足为K，DK分别交线段AE、AC于点G、H．(1)求这条抛物线的解析式；（2)求证：GH=HK；（3）当△CGH是等腰三角形时，求m的值．10．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5,sinA=，点P是边BC上的一点,PE ⊥AB，垂足为E,以点P为圆心，PC为半径的圆与射线PE相交于点Q，线段CQ与边AB交于点D．（1）求AD的长；（2）设CP=x，△PCQ的面积为y，求y关于x的函数解析式,并写出定义域;（3）过点C作CF⊥AB，垂足为F，联结PF、QF，如果△PQF是以PF为腰的等腰三角形，求CP的长．11．如图（1），直线y=﹣x+n交x轴于点A,交y轴于点C(0，4)，抛物线y=x2+bx+c 经过点A，交y轴于点B（0，﹣2)．点P为抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线PD，过点B作BD⊥PD于点D，连接PB，设点P的横坐标为m．（1)求抛物线的解析式；(2）当△BDP为等腰直角三角形时，求线段PD的长；(3)如图（2）,将△BDP绕点B逆时针旋转，得到△BD′P′，当旋转角∠PBP′=∠OAC，且点P的对应点P′落在坐标轴上时，请直接写出点P的坐标．12．综合与探究如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣8与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A,D的坐标分别为（﹣2，0），（6,﹣8）．（1)求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标;（2）试探究抛物线上是否存在点F，使△FOE≌△FCE？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为(0，m）,直线PB与直线l交于点Q，试探究：当m为何值时，△OPQ是等腰三角形．因动点产生的直角三角形问题13．已知，如图1,在梯形ABCD中，AD∥BC,∠BCD=90°，BC=11，CD=6，tan∠ABC=2，点E在AD边上,且AE=3ED,EF∥AB交BC于点F，点M、N分别在射线FE和线段CD上．（1)求线段CF的长；（2）如图2,当点M在线段FE上，且AM⊥MN,设FM•cos∠EFC=x,CN=y,求y关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如果△AMN为等腰直角三角形,求线段FM的长．14．如图，在矩形ABCD中，点O为坐标原点，点B的坐标为（4，3），点A、C在坐标轴上,点P在BC边上,直线l1：y=2x+3，直线l2：y=2x﹣3．(1）分别求直线l1与x轴，直线l2与AB的交点坐标；（2）已知点M在第一象限，且是直线l2上的点,若△APM是等腰直角三角形，求点M 的坐标；（3）我们把直线l1和直线l2上的点所组成的图形为图形F．已知矩形ANPQ的顶点N 在图形F上,Q是坐标平面内的点，且N点的横坐标为x，请直接写出x的取值范围(不用说明理由）．因动点产生的平行四边形问题15．如图，在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a(a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧)，经过点A的直线l:y=kx+b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D,且CD=4AC．（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式(其中k，b用含a的式子表示）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的一点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；（3）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能,求出点P的坐标；若不能，请说明理由．16．如图，在矩形OABC中，OA=5，AB=4，点D为边AB上一点,将△BCD沿直线CD折叠,使点B恰好落在OA边上的点E处,分别以OC，OA所在的直线为x轴,y轴建立平面直角坐标系．（1）求点E坐标及经过O，D，C三点的抛物线的解析式;（2）一动点P从点C出发，沿CB以每秒2 个单位长的速度向点B运动,同时动点Q 从E点出发，沿EC以每秒1个单位长的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，DP=DQ;（3）若点N在（2）中的抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M 与点N,使得以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．17．如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D和点C关于抛物线的对称轴对称,直线AD与y轴交于点E．（1）求直线AD的解析式;（2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F,过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH周长的最大值；（3）点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A,M，P，Q为顶点的四边形是以AM为边的矩形．若点T和点Q关于AM所在直线对称,求点T 的坐标．18．如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作Rt △ABQ，使∠BAQ=90°,AQ:AB=3：4，作△ABQ的外接圆O．点C在点P右侧,PC=4,过点C作直线m⊥l,过点O作OD⊥m于点D，交AB右侧的圆弧于点E．在射线CD上取点F，使DF=CD,以DE，DF为邻边作矩形DEGF．设AQ=3x．（1)用关于x的代数式表示BQ，DF．(2）当点P在点A右侧时，若矩形DEGF的面积等于90，求AP的长．（3）在点P的整个运动过程中，①当AP为何值时,矩形DEGF是正方形？②作直线BG交⊙O于点N，若BN的弦心距为1，求AP的长（直接写出答案）．19．在平面直角坐标系xOy（如图）中，经过点A(﹣1,0）的抛物线y=﹣x2+bx+3与y轴交于点C,点B与点A、点D与点C分别关于该抛物线的对称轴对称．（1)求b的值以及直线AD与x轴正方向的夹角；（2）如果点E是抛物线上一动点，过E作EF平行于x轴交直线AD于点F,且F在E 的右边，过点E作EG⊥AD与点G，设E的横坐标为m，△EFG的周长为l，试用m表示l；（3）点M是该抛物线的顶点，点P是y轴上一点,Q是坐标平面内一点，如果以点A、M、P、Q为顶点的四边形是矩形，求该矩形的顶点Q的坐标．20．如图，直线y=mx+4与反比例函数y=（k＞0）的图象交于点A、B,与x轴、y 轴分别交于D、C，tan∠CDO=2，AC:CD=1：2．（1)求反比例函数解析式；（2)联结BO,求∠DBO的正切值；（3）点M在直线x=﹣1上，点N在反比例函数图象上，如果以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标．21．如图，在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(2，9）,与y轴交于点A(0，5），与x轴交于点E、B．（1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；(2)过点A作AC平行于x轴,交抛物线于点C,点P为抛物线上的一点（点P在AC上方),作PD平行于y轴交AB于点D,问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积;（3)若点M在抛物线上，点N在其对称轴上,使得以A、E、N、M为顶点的四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M、N的坐标．因动点产生的梯形问题22．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=+bx+c的图象与y轴交于点A，与双曲线y=有一个公共点B，它的横坐标为4,过点B作直线l∥x轴，与该二次函数图象交于另一个点C，直线AC在y轴上的截距是﹣6．(1）求二次函数的解析式；（2）求直线AC的表达式;（3）平面内是否存在点D，使A、B、C、D为顶点的四边形是等腰梯形？如果存在，求出点D坐标；如果不存在，说明理由．23．如图，矩形OMPN的顶点O在原点，M、N分别在x轴和y轴的正半轴上,OM=6，ON=3,反比例函数y=的图象与PN交于C，与PM交于D,过点C作CA⊥x轴于点A，过点D作DB⊥y轴于点B,AC与BD交于点G．(1）求证：AB∥CD；（2）在直角坐标平面内是否若存在点E，使以B、C、D、E为顶点,BC为腰的梯形是等腰梯形？若存在，求点E的坐标；若不存在请说明理由．因动点产生的面积问题24．如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A，C间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F，点D、E的坐标分别为（0，6）,（﹣4，0），连接PD、PE、DE．（1）请直接写出抛物线的解析式；（2）小明探究点P的位置发现：当P与点A或点C重合时,PD与PF的差为定值,进而猜想：对于任意一点P,PD与PF的差为定值，请你判断该猜想是否正确，并说明理由;（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE的面积为整数"的点P记作“好点”,则存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE周长最小时“好点”的坐标．25．如图，四边形OABC是边长为4的正方形,点P为OA边上任意一点（与点O、A 不重合）,连接CP,过点P作PM⊥CP交AB于点D,且PM=CP，过点M作MN∥OA，交BO于点N，连接ND、BM，设OP=t．（1）求点M的坐标（用含t的代数式表示）．（2）试判断线段MN的长度是否随点P的位置的变化而改变？并说明理由．（3）当t为何值时，四边形BNDM的面积最小．26．在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD与边长为2的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上．（1)小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由．(2）如图2,小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE的长．（3)如图3，小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转，线段DG与线段BE将相交，交点为H，写出△GHE与△BHD面积之和的最大值，并简要说明理由．27．在平面直角坐标系中，O为原点，直线y=﹣2x﹣1与y轴交于点A，与直线y=﹣x交于点B,点B关于原点的对称点为点C．(1）求过A，B,C三点的抛物线的解析式；（2)P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为Q．①当四边形PBQC为菱形时,求点P的坐标；②若点P的横坐标为t（﹣1＜t＜1），当t为何值时，四边形PBQC面积最大？并说明理由．28．如图，在平面直角坐标系中,点A（10,0），以OA为直径在第一象限内作半圆,B 为半圆上一点，连接AB并延长至C,使BC=AB,过C作CD⊥x轴于点D，交线段OB于点E，已知CD=8，抛物线经过O、E、A三点．(1）∠OBA= °．（2）求抛物线的函数表达式．（3)若P为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以P、O、A、E为顶点的四边形面积记作S，则S取何值时，相应的点P有且只有3个？29．如图1,关于x的二次函数y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣3,0），点C（0,3)，点D为二次函数的顶点,DE为二次函数的对称轴，E在x轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）DE上是否存在点P到AD的距离与到x轴的距离相等？若存在求出点P，若不存在请说明理由；（3）如图2,DE的左侧抛物线上是否存在点F，使2S△FBC=3S△EBC？若存在求出点F的坐标，若不存在请说明理由．30．已知抛物线y=mx2+（1﹣2m）x+1﹣3m与x轴相交于不同的两点A、B（1）求m的取值范围；(2）证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P,并求出点P的坐标；（3）当＜m≤8时，由（2）求出的点P和点A，B构成的△ABP的面积是否有最值？若有,求出该最值及相对应的m值．31．问题提出(1)如图①,已知△ABC,请画出△ABC关于直线AC对称的三角形．问题探究（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=4,AD=6，AE=4，AF=2,是否在边BC、CD上分别存在点G、H，使得四边形EFGH的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在,请说明理由．问题解决（3）如图③,有一矩形板材ABCD,AB=3米，AD=6米，现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件，使∠EFG=90°，EF=FG=米,∠EHG=45°，经研究,只有当点E、F、G分别在边AD、AB、BC上，且AF＜BF，并满足点H在矩形ABCD内部或边上时，才有可能裁出符合要求的部件，试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件?若能，求出裁得的四边形EFGH部件的面积;若不能，请说明理由．32．如图,在平面直角坐标系中，矩形OCDE的顶点C和E分别在y轴的正半轴和x 轴的正半轴上,OC=8，OE=17，抛物线y=x2﹣3x+m与y轴相交于点A，抛物线的对称轴与x轴相交于点B，与CD交于点K．(1）将矩形OCDE沿AB折叠,点O恰好落在边CD上的点F处．①点B的坐标为（、），BK的长是，CK的长是；②求点F的坐标；③请直接写出抛物线的函数表达式；（2)将矩形OCDE沿着经过点E的直线折叠,点O恰好落在边CD上的点G处，连接OG，折痕与OG相交于点H，点M是线段EH上的一个动点（不与点H重合),连接MG，MO，过点G作GP⊥OM于点P,交EH于点N,连接ON，点M从点E开始沿线段EH向点H运动，至与点N重合时停止,△MOG和△NOG的面积分别表示为S1和S2,在点M的运动过程中，S1•S2(即S1与S2的积）的值是否发生变化？若变化，请直接写出变化范围;若不变，请直接写出这个值．温馨提示:考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答．33．如图，已知▱ABCD的三个顶点A（n，0)、B（m,0）、D（0，2n）（m＞n＞0），作▱ABCD关于直线AD的对称图形AB1C1D(1)若m=3,试求四边形CC1B1B面积S的最大值；(2）若点B1恰好落在y轴上，试求的值．因动点产生的相切问题34．如图，已知在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于点A（﹣1,0）和点B，与y轴相交于点C(0，3），抛物线的对称轴为直线l．（1）求这条抛物线的关系式，并写出其对称轴和顶点M的坐标；(2)如果直线y=kx+b经过C、M两点,且与x轴交于点D，点C关于直线l的对称点为N,试证明四边形CDAN是平行四边形；(3）点P在直线l上，且以点P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，求点P的坐标．35．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=14，tanA=，点D是边AC上一点，AD=8，点E是边AB上一点，以点E为圆心，EA为半径作圆，经过点D，点F是边AC上一动点（点F不与A、C重合)，作FG⊥EF，交射线BC于点G．（1)用直尺圆规作出圆心E,并求圆E的半径长（保留作图痕迹）；(2)当点G的边BC上时,设AF=x，CG=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）联结EG，当△EFG与△FCG相似时，推理判断以点G为圆心、CG为半径的圆G 与圆E可能产生的各种位置关系．36．如图,线段PA=1,点D是线段PA延长线上的点，AD=a(a＞1)，点O是线段AP延长线上的点，OA2=OP•OD,以O为圆心,OA为半径作扇形OAB,∠BOA=90°．点C是弧AB上的点，联结PC、DC．（1）联结BD交弧AB于E，当a=2时，求BE的长；（2)当以PC为半径的⊙P和以CD为半径的⊙C相切时,求a的值；（3）当直线DC经过点B,且满足PC•OA=BC•OP时，求扇形OAB的半径长．37．如图，在矩形ABCD中,AB=6cm，AD=8cm，点P从点B出发,沿对角线BD向点D 匀速运动,速度为4cm/s,过点P作PQ⊥BD交BC于点Q，以PQ为一边作正方形PQMN，使得点N落在射线PD上，点O从点D出发,沿DC向点C匀速运动,速度为3cm/s，以O为圆心，0.8cm为半径作⊙O，点P与点O同时出发，设它们的运动时间为t（单位：s）(0＜t＜）．（1)如图1,连接DQ平分∠BDC时,t的值为；(2）如图2，连接CM,若△CMQ是以CQ为底的等腰三角形，求t的值；（3）请你继续进行探究，并解答下列问题：①证明：在运动过程中，点O始终在QM所在直线的左侧；②如图3，在运动过程中，当QM与⊙O相切时,求t的值；并判断此时PM与⊙O是否也相切？说明理由．38．如图，抛物线y=﹣x2+mx+n的图象经过点A（2,3），对称轴为直线x=1，一次函数y=kx+b的图象经过点A，交x轴于点P,交抛物线于另一点B，点A、B位于点P的同侧．（1）求抛物线的解析式；（2)若PA：PB=3：1，求一次函数的解析式；（3）在(2）的条件下，当k＞0时,抛物线的对称轴上是否存在点C，使得⊙C同时与x轴和直线AP都相切，如果存在，请求出点C的坐标，如果不存在，请说明理由．因动点产生的线段和差问题39．如图，抛物线y=x2﹣4x与x轴交于O，A两点,P为抛物线上一点，过点P的直线y=x+m与对称轴交于点Q．（1)这条抛物线的对称轴是，直线PQ与x轴所夹锐角的度数是；（2)若两个三角形面积满足S△POQ=S△PAQ，求m的值;（3）当点P在x轴下方的抛物线上时，过点C（2，2)的直线AC与直线PQ交于点D，求：①PD+DQ的最大值；②PD•DQ的最大值．40．抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）过点A（1，﹣1），B（5，﹣1），与y轴交于点C．(1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，连接CB，以CB为边作▱CBPQ，若点P在直线BC上方的抛物线上,Q为坐标平面内的一点，且▱CBPQ的面积为30，求点P的坐标；(3)如图2，⊙O1过点A、B、C三点,AE为直径，点M为上的一动点（不与点A，E 重合），∠MBN为直角，边BN与ME的延长线交于N，求线段BN长度的最大值．41．如图,在每一个四边形ABCD中，均有AD∥BC，CD⊥BC，∠ABC=60°,AD=8，BC=12．（1）如图①，点M是四边形ABCD边AD上的一点，则△BMC的面积为；(2)如图②，点N是四边形ABCD边AD上的任意一点，请你求出△BNC周长的最小值；（3）如图③，在四边形ABCD的边AD上,是否存在一点P，使得cos∠BPC的值最小？若存在，求出此时cos∠BPC的值;若不存在，请说明理由．42．如图，把△EFP按图示方式放置在菱形ABCD中,使得顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上，已知EP=FP=4，EF=4，∠BAD=60°，且AB＞4．（1）求∠EPF的大小；（2）若AP=6，求AE+AF的值；（3）若△EFP的三个顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上运动，请直接写出AP 长的最大值和最小值．43．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧)，与y轴交于点A，抛物线的顶点为D．（1）填空：点A的坐标为（，）,点B的坐标为( ，),点C的坐标为( ，)，点D的坐标为( , ）；(2）点P是线段BC上的动点（点P不与点B、C重合)①过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，若PE=PC，求点E的坐标；②在①的条件下,点F是坐标轴上的点，且点F到EA和ED的距离相等,请直接写出线段EF的长；③若点Q是线段AB上的动点（点Q不与点A、B重合）,点R是线段AC上的动点（点R不与点A、C重合),请直接写出△PQR周长的最小值．44．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM．(1）当AN平分∠MAB时，求DM的长；(2）连接BN，当DM=1时，求△ABN的面积；（3）当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值．45．如图,半圆O的直径AB=4，以长为2的弦PQ为直径,向点O方向作半圆M，其中P点在上且不与A点重合，但Q点可与B点重合．发现:的长与的长之和为定值l，求l：思考：点M与AB的最大距离为,此时点P，A间的距离为；点M与AB的最小距离为，此时半圆M的弧与AB所围成的封闭图形面积为；探究：当半圆M与AB相切时,求的长．（注：结果保留π，cos35°=,cos55°=）46．（1）发现:如图1,点A为线段BC外一动点,且BC=a,AB=b．填空：当点A位于时，线段AC的长取得最大值，且最大值为(用含a，b的式子表示)（2）应用:点A为线段BC外一动点,且BC=3，AB=1，如图2所示，分别以AB,AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE．①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由;②直接写出线段BE长的最大值．（3）拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5,0），点P为线段AB外一动点，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°，请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．47．如图，直线l：y=﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax2﹣2ax+a+4（a＜0)经过点B．（1）求该抛物线的函数表达式;（2)已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM,设点M 的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；(3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点M′．①写出点M′的坐标；②将直线l绕点A按顺时针方向旋转得到直线l′，当直线l′与直线AM′重合时停止旋转，在旋转过程中，直线l′与线段BM′交于点C,设点B、M′到直线l′的距离分别为d1、d2，当d1+d2最大时，求直线l′旋转的角度（即∠BAC的度数）．48．如图，在平面直角坐标系xOy中，将二次函数y=x2﹣1的图象M沿x轴翻折，把所得到的图象向右平移2个单位长度后再向上平移8个单位长度，得到二次函数图象N．(1)求N的函数表达式；(2）设点P(m，n）是以点C（1，4）为圆心、1为半径的圆上一动点，二次函数的图象M与x轴相交于两点A、B，求PA2+PB2的最大值；（3）若一个点的横坐标与纵坐标均为整数，则该点称为整点．求M与N所围成封闭图形内（包括边界）整点的个数．49．如图，顶点为A(，1）的抛物线经过坐标原点O，与x轴交于点B．（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；（2）过B作OA的平行线交y轴于点C,交抛物线于点D，求证：△OCD≌△OAB；（3）在x轴上找一点P，使得△PCD的周长最小，求出P点的坐标．2017 挑战压轴题中考数学精讲解读篇参考答案与试题解析一．解答题（共36小题）1．如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=x2的对称轴绕着点P（0，2）顺时针旋转45°后与该抛物线交于A、B两点，点Q是该抛物线上一点．（1）求直线AB的函数表达式；（2）如图①，若点Q在直线AB的下方,求点Q到直线AB的距离的最大值;（3）如图②，若点Q在y轴左侧，且点T（0，t）（t＜2）是射线PO上一点，当以P、B、Q为顶点的三角形与△PAT相似时,求所有满足条件的t的值．【分析】（1)根据题意易得点M、P的坐标，利用待定系数法来求直线AB的解析式；(2）如图①,过点Q作x轴的垂线QC，交AB于点C，再过点Q作直线AB的垂线，垂足为D,构建等腰直角△QDC，利用二次函数图象上点的坐标特征和二次函数最值的求法进行解答；（3)根据相似三角形的对应角相等推知：△PBQ中必有一个内角为45°;需要分类讨论：∠PBQ=45°和∠PQB=45°；然后对这两种情况下的△PAT是否是直角三角形分别进行解答．另外，以P、B、Q为顶点的三角形与△PAT相似也有两种情况:△Q″PB ∽△PAT、△Q″BP∽△PAT．【解答】解:（1）如图①，设直线AB与x轴的交点为M．∵∠OPA=45°，∴OM=OP=2，即M（﹣2，0）．设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0）,将M(﹣2，0），P（0，2)两点坐标代入，得,解得．故直线AB的解析式为y=x+2；(2）如图①，过点Q作x轴的垂线QC，交AB于点C，再过点Q作直线AB的垂线，垂足为D，根据条件可知△QDC为等腰直角三角形，则QD=QC．设Q(m，m2)，则C(m，m+2）．∴QC=m+2﹣m2=﹣（m﹣）2+，QD=QC=［﹣(m﹣）2+]．故当m=时，点Q到直线AB的距离最大，最大值为；（3）∵∠APT=45°，∴△PBQ中必有一个内角为45°，由图知，∠BPQ=45°不合题意．①如图②，若∠PBQ=45°,过点B作x轴的平行线,与抛物线和y轴分别交于点Q′、F．此时满足∠PBQ′=45°．∵Q′（﹣2，4）,F(0，4）,∴此时△BPQ′是等腰直角三角形,由题意知△PAT也是等腰直角三角形．（i）当∠PTA=90°时,得到：PT=AT=1,此时t=1；(ii)当∠PAT=90°时，得到：PT=2，此时t=0．②如图③，若∠PQB=45°，①中是情况之一，答案同上;先以点F为圆心，FB为半径作圆，则P、B、Q′都在圆F上，设圆F与y轴左侧的抛物线交于另一点Q″．则∠PQ″B=∠PQ′B=45°（同弧所对的圆周角相等），即这里的交点Q″也是符合要求．设Q″（n,n2）(﹣2＜n＜0）,由FQ″=2，得n2+（4﹣n2）2=22，即n4﹣7n2+12=0．解得n2=3或n2=4，而﹣2＜n＜0，故n=﹣，即Q″(﹣,3）．可证△PFQ″为等边三角形，所以∠PFQ″=60°,又PQ″=PQ″，所以∠PBQ″=∠PFQ″=30°．则在△PQ″B中，∠PQ″B=45°,∠PBQ″=30°．（i）若△Q″PB∽△PAT，则过点A作y轴的垂线,垂足为E．则ET=AE=，OE=1，所以OT=﹣1，解得t=1﹣；（ii)若△Q″BP∽△PAT，则过点T作直线AB垂线,垂足为G．设TG=a，则PG=TG=a,AG=TG=a，AP=，∴a+a=，解得PT=a=﹣1，∴OT=OP﹣PT=3﹣，∴t=3﹣．综上所述，所求的t的值为t=1或t=0或t=1﹣或t=3﹣．2．如图,已知BC是半圆O的直径，BC=8，过线段BO上一动点D，作AD⊥BC交半圆O于点A，联结AO,过点B作BH⊥AO,垂足为点H,BH的延长线交半圆O于点F．(1)求证:AH=BD；（2）设BD=x，BE•BF=y，求y关于x的函数关系式；（3）如图2，若联结FA并延长交CB的延长线于点G,当△FAE与△FBG相似时,求BD。