福建省闽侯县第三中学2017届高三上学期期中考试文数试题 Word版含解析

2016-2017学年福建省福州市闽侯二中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在复平面内，复数对应的向量的模是（）A．B．1 C．2 D．22．设a，b∈R，集合{1，a}={0，a+b}，则b﹣a=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣23．已知函数f（x）=2ln（3x）+8x+1，则的值为（）A．10 B．﹣10 C．﹣20 D．204．下列命题中不正确命题的个数是（）①过空间任意一点有且仅有一个平面与已知平面垂直②过空间任意一条直线有且仅有一个平面与已知平面垂直③过空间任意一点有且仅有一个平面与已知的两条异面直线平行④过空间任意一点有且仅有一条直线与已知平面垂直．A．1 B．2 C．3 D．45．已知双曲线=1右支上一点P到左、右焦点的距离之差为6，P到左准线的距离为，则P到右焦点的距离为（）A．B．C．D．6．已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆，若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（）A．1 B．C．D．27．已知实数a、b、c成公差不为零的等差数列，那么下列不等式不成立的是（）A．B．a3b+b3c+c3a≥a4+b4+c4C．b2≥ac D．|b|﹣|a|≤|c|﹣|b|8．已知||=1，||=，•=0，点P在∠AOB内，且∠AOP=，设=m+n，则等于（）A．B．C．D．29．北京2008年第29届奥运会开幕式上举行升旗仪式，在坡度15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，看台上第一排和最后一排的距离米（如图所示），旗杆底部与第一排在一个水平面上，已知国歌长度约为50秒，升旗手匀速升旗的速度为（）A．（米/秒）B．（米/秒）C．（米/秒）D．（米/秒）10．三名篮球运动员甲、乙、丙进行传球训练，由丙开始传，经过5次传递后，球又被传回给丙，则不同的传球方式共有（）A．4种B．10种C．12种D．22种11．已知双曲线的方程为x2﹣=1，直线m的方程为x=，过双曲线的右焦点F（2，0）的直线l与双曲线右支相交于P，Q，以PQ为直径的圆与直线m相交于M，N，记劣弧MN的长度为n，则的值为（）A．B．C．D．与直线l的位置有关12．已知函数f（x）=．对于下列命题：①函数f（x）是周期函数；②函数f（x）有最大值；③函数f（x）的定义域是R，且其图象有对称轴；④方程f（x）=0在区间[﹣100，100]上的根的个数是201个；其中不正确的命题个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分13．设命题p：|4x﹣3|≤1；命题q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0．若￢p是￢q的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是．14．若函数f（x）=，则其最大值为．15．设m为实数，若，则m的取值范围为．16．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，M是A1B1的中点，则下列四个命题：①直线BC与平面ABC1D1所成的角等于45°；②四面体ABCD1在正方体六个面内的投影图形面积的最小值为；③点M到平面ABC1D1的距离是；④BM与CD1所成的角为其中真命题的序号是．三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知函数，其中a是大于0的常数．（1）求函数f（x）的定义域；（2）当a∈（1，4）时，求函数f（x）在[2，+∞）上的最小值．18．3名志愿者在10月1号至10月5号期间参加社区服务工作．（Ⅰ）若每名志愿者在这5天中任选一天参加社区服务工作，且各志愿者的选择互不影响，求3名志愿者恰好连续3天参加社区服务工作的概率；（Ⅱ）若每名志愿者在这5天中任选两天参加社区服务工作，且各志愿者的选择互不影响，记ξ表示这3名志愿者在10月1号参加社区服务工作的人数，求随机变量ξ的分布列．19．已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=1，BC=2，又PB⊥平面ABCD，且PB=1，点E在棱PD上，且DE=2PE．（Ⅰ）求异面直线PA与CD所成的角的大小；（Ⅱ）求证：BE⊥平面PCD；（Ⅲ）求二面角A﹣PD﹣B的大小．20．已知数列{a n}满足a1=1，a n2=（2a n+1）a n（n∈N*）．+1（1）求a2、a3的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）求证：＜7．21．已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，短轴两个端点为A、B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形．（1）求椭圆的方程；（2）若C、D分别是椭圆长的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P．证明：为定值．（3）在（2）的条件下，试问x轴上是否存异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．22．已知函数，（1）若函数f（x）在[1，+∞）上是增函数，求正实数a的取值范围；（2）a=1时，求f（x）在上的最大值和最小值；（3）a=1时，求证：对大于1的正整数n，．2016-2017学年福建省福州市闽侯二中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在复平面内，复数对应的向量的模是（）A．B．1 C．2 D．2【考点】复数求模．【分析】化简可得复数=1﹣i，由模长公式可得．【解答】解：化简可得===1﹣i，∴对应向量的模为=故选：A2．设a，b∈R，集合{1，a}={0，a+b}，则b﹣a=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【考点】集合的相等．【分析】根据集合的相等求出a，b的值，从而求出b﹣a即可．【解答】解：∵集合{1，a}={0，a+b}，∴a=0，a+b=1，故a=0，b=1，b﹣a=1，故选：A．3．已知函数f（x）=2ln（3x）+8x+1，则的值为（）A．10 B．﹣10 C．﹣20 D．20【考点】极限及其运算．【分析】=﹣2×=﹣2f′（1），再利用导数的运算法则即可得出．【解答】解：f（x）=2ln（3x）+8x+1，∴f′（x）=+8=+8．∴f′（1）=10．则=﹣2×=﹣2f′（1）=﹣2×10=﹣20．故选：C．4．下列命题中不正确命题的个数是（）①过空间任意一点有且仅有一个平面与已知平面垂直②过空间任意一条直线有且仅有一个平面与已知平面垂直③过空间任意一点有且仅有一个平面与已知的两条异面直线平行④过空间任意一点有且仅有一条直线与已知平面垂直．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】以正方体为载体，考查互相垂直的线和平面，能求出结果．【解答】解：考察正方体中互相垂直的线和平面．对于①：过空间任意一点不是有且仅有一个平面与已知平面垂直，如图中平面A1D和平面A1B与平面AC垂直；故①错；对于②：过空间任意一条直线有且仅有一个平面与已知平面垂直，这是正确的．如图中，已知平面A1D和平面A1B与平面AC垂直；故②正确；对于③：过空间任意一点不是有且仅有一个平面与已知的两条异面直线平行，如图中：过C1的与A1B1与AD都平行的平面就不存在；故③错；对于④：过空间任意一点有且仅有一条直线与已知平面垂直是正确的，故④正确．故选：B．5．已知双曲线=1右支上一点P到左、右焦点的距离之差为6，P到左准线的距离为，则P到右焦点的距离为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可知：丨PF1丨﹣丨PF2丨=6，则a=3，由c==5，求得双曲线的准线方程为x=±=±，点P到右准线的距离为﹣×2=，根据双曲线的第二定义，点P到右焦点的距离为d=e，即可求得P到右焦点的距离．【解答】解：由题意可知：双曲线=1焦点在x轴上，焦点为F1，F2，则丨PF1丨﹣丨PF2丨=6，即2a=6，则a=3，由c==5，双曲线的准线方程为x=±=±，点P到右准线的距离为﹣×2=，由双曲线的第二定义，点P到右焦点的距离为d=e=×=，故P到右焦点的距离，故选：B．6．已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆，若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（）A．1 B．C．D．2【考点】球的体积和表面积．【分析】求解本题，可以从三个圆心上找关系，构建矩形利用对角线相等即可求解出答案．【解答】解：设两圆的圆心分别为O1、O2，球心为O，公共弦为AB，其中点为E，则OO1EO2为矩形，于是对角线O1O2=OE，而OE==，∴O1O2=故选C．7．已知实数a、b、c成公差不为零的等差数列，那么下列不等式不成立的是（）A．B．a3b+b3c+c3a≥a4+b4+c4C．b2≥ac D．|b|﹣|a|≤|c|﹣|b|【考点】不等式的基本性质．【分析】本题是选择题，可以采用特值法与排除法结合，不妨取a，b，c分别为1，2，3，不难选出答案B．【解答】解：对于选择题，可以用特值法与排除法设a=1，b=2，c=3∴ab+bc+ca=11 a2+b2+c2=14所以B不成立，故选B．对于其他三个选项证明如下：设等差数列的公差为d≠0∴b﹣a=c﹣b=d∴|b﹣a+|=|d+|≥2，故A正确，∵a，b，c成等差数列∴2b=a+c≥2，∴b2≥ac，故C正确，又|2b|=|a+c|≤|a|+|c|∴|b|﹣|a|≤|c|﹣|b|，故D正确，故选：B．8．已知||=1，||=，•=0，点P在∠AOB内，且∠AOP=，设=m+n，则等于（）A．B．C．D．2【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】通过建立直角坐标系，利用向量的坐标运算和数量积运算及其夹角公式即可得出．【解答】解：由题意：•=0，则OA⊥OB，建立直角坐标系：A（1，0），B（0，），P（x，y）．∵=m+n，∴（x，y）=m（1，0）+n（0，）=（m，n），∴x=m，y=n．∵∠AOP=45°，∴cos45°===，解得：m2=2n2∴=，故选B．9．北京2008年第29届奥运会开幕式上举行升旗仪式，在坡度15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，看台上第一排和最后一排的距离米（如图所示），旗杆底部与第一排在一个水平面上，已知国歌长度约为50秒，升旗手匀速升旗的速度为（）A．（米/秒）B．（米/秒）C．（米/秒）D．（米/秒）【考点】解三角形的实际应用．【分析】先根据题意可知∠DAB，∠ABD和∠ADB，AB，然后在△ABD利用正弦定理求得BD，进而在Rt△BCD求得CD，最后利用路程除以时间求得旗手升旗的速度．【解答】解：由条件得△ABD中，∠DAB=45°，∠ABD=105°，∠ADB=30°，AB=10，由正弦定理得BD=•AB=20则在Rt△BCD中，CD=20×sin60°=30所以速度V==米/秒故选A．10．三名篮球运动员甲、乙、丙进行传球训练，由丙开始传，经过5次传递后，球又被传回给丙，则不同的传球方式共有（）A．4种B．10种C．12种D．22种【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】根据题意，做出树状图，分析查找可得答案．【解答】解：根据题意，做出树状图，注意第四次时球不能在甲的手中．分析可得，共有10种不同的传球方式；故选B．11．已知双曲线的方程为x2﹣=1，直线m的方程为x=，过双曲线的右焦点F（2，0）的直线l与双曲线右支相交于P，Q，以PQ为直径的圆与直线m相交于M，N，记劣弧MN的长度为n，则的值为（）A．B．C．D．与直线l的位置有关【考点】双曲线的简单性质．【分析】由直角梯形的中位线性质可得：d=，再利用双曲线的第二定义可得r=d1+d2，即可得到∠MEN=，即可根据弧长公式得到弧长，进而得到答案．【解答】解：双曲线的方程为x2﹣=1，则a=1，b=，c=2，∴双曲线的离心率e==2．直线m的方程为x=，即为右准线方程．设P、Q到右准线的距离分别等于d1、d2，PQ的中点为E，E到右准线的距离等于d，并且圆的半径等于r=，由直角梯形的中位线性质可得：d=，再根据双曲线的第二定义可得：=e=2，=e=2，∴|PF|+|QF|=2（d1+d2）=2r，∴r=d1+d2，即可得到r=2d，∴∠MEN=，则有劣弧MN的长度为n=，∴=．故选B．12．已知函数f（x）=．对于下列命题：①函数f（x）是周期函数；②函数f（x）有最大值；③函数f（x）的定义域是R，且其图象有对称轴；④方程f（x）=0在区间[﹣100，100]上的根的个数是201个；其中不正确的命题个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】函数的图象；函数的最值及其几何意义．【分析】①根据周期的定义即可判断．②根据二次函数的最值和不等式的基本性质，可以求出x2+1≥1；x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1≥1，注意等号成立的条件，从而求得＜1的范围，根据正弦函数的有界性，从而求得结论正确，③根据轴对称图形的定义，在函数f（x）图象上任取点P（x，y），求出点P关于直线x=的对称点是P′（1﹣x，y），验证点P′在函数的图象上即可；④方程f（x）=0在区间[﹣100，100]上的根，即为sinπx=0在区间[﹣100，100]上的根．【解答】解：①函数f（x）是周期函数不正确，因为分母随着自变量的远离原点，趋向于正穷大，所以函数图象无限靠近于X轴，故不是周期函数，故①错误；②∵x2+1≥1，当x=0时等号成立；x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1≥1，当x=1时等号成立，∴（x2+1）[（x﹣1）2+1]＞1，∴0＜＜1，而|sinπx|≤1，∴≤1，即|f（x）|≤1；故②正确；③在函数f（x）图象上任取点P（x，y），则点P关于直线x=的对称点是P′（1﹣x，y）而f（1﹣x）==．∴直线x=是函数f（x）图象的对称轴；故③正确，④方程f（x）=0，即sinπx=0，即πx=kπ，k∈Z，解得x=k，k∈Z，由于x∈[﹣100，100]，∴方程f（x）=0在区间[﹣100，100]上的根的个数是201个，故④正确，故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分13．设命题p：|4x﹣3|≤1；命题q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0．若￢p是￢q的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是[0，] ．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法；绝对值不等式的解法．【分析】因为┐p是┐q的必要而不充分条件，其逆否命题（等价命题）是：q是p的必要不充分条件，命题p中变量的范围是命题q中变量的取值范围的真子集，画出数轴，考查区间端点的位置关系，可得答案．【解答】解：解|4x﹣3|≤1，得≤x≤1．解x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0．得a≤x≤a+1．因为┐p是┐q的必要而不充分条件，所以，q是p的必要不充分条件，即由命题p成立能推出命题q成立，但由命题q成立不推出命p成立．∴[，1]⊊[a，a+1]．∴a≤且a+1≥1，两个等号不能同时成立，解得0≤a≤．∴实数a的取值范围是：[0，]．14．若函数f（x）=，则其最大值为1024．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】求出函数的导数f′（x）=10（1+sinx）9cosx﹣10（1﹣sinx）9cosx，利用函数单调性及奇偶性可求解．【解答】解：f′（x）=10（1+sinx）9cosx﹣10（1﹣sinx）9cosx，令f′（x）=0⇒（1+sinx=1﹣sinx或cosx=0⇒x=0或x=±，当x时，f′（x）＞0，函数f（x）为增函数，则其最大值f（）=210=1024，又因为函数f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，所以函数f（x）最大值1024．故答案为：102415．设m为实数，若，则m的取值范围为（0，1] ．【考点】集合的表示法．【分析】利用不等式表示的平面区域得出区域与圆形区域的关系，把握好两个集合的包含关系是解决本题的关键，通过图形找准字母之间的不等关系是解决本题的突破口．【解答】解：由题意知，可行域应在圆内，x=4代入（x﹣2）2+（y﹣2）2=8，可得y=0或4，（4，4）代入mx﹣y=0，可得m=1，∵{，∴0＜m≤1，故答案为：（0，1]．16．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，M是A1B1的中点，则下列四个命题：①直线BC与平面ABC1D1所成的角等于45°；②四面体ABCD1在正方体六个面内的投影图形面积的最小值为；③点M到平面ABC1D1的距离是；④BM与CD1所成的角为其中真命题的序号是①②④．【考点】棱柱的结构特征．【分析】利用正方体的特征，依次考查和证明每一个选项：M到面ABC1D1的距离等于B1到面ABC1D1的距离B1C，BC与面ABC1D1所成的角即为∠CBC1=45°，在四个面上的投影或为正方形或为三角形．最小为三角形；BE与CD1所成的角即为BE与BA1所成的角．【解答】解：正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，M是A1B1的中点，对于①：BC与面ABC1D1所成的角即为∠CBC1=45°，∴正确．对于②：在四个面上的投影或为正方形或为三角形．最小为三角形，面积为，∴正确．对于③：M∈A1B1，A1B1∥面ABC1D1，∴M到面ABC1D1的距离等于B1到面ABC1D1的距离B1C=，∴不对．对于④：BM与CD1所成的角即为BM与BA1所成的角，即∠A1BM，A1M=，A1B=2，BM=，由余弦定理可得cos∠A1BE=，∴sin∠A1BM=，BM与CD1所成的角为，∴正确．故答案为：①②④．三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知函数，其中a是大于0的常数．（1）求函数f（x）的定义域；（2）当a∈（1，4）时，求函数f（x）在[2，+∞）上的最小值．【考点】对数函数的定义域；复合函数的单调性．【分析】（1）求函数f（x）的定义域，就是求x+﹣2＞0的解集，可以通过对a分类讨论解解不等式求解；（2）可以构造函数g（x）=x+﹣2，当a∈（1，4）时通过导数法研究g（x）在[2，+∞）上的单调性，再利用复合函数的性质可以求得f（x）在[2，+∞）上的最小值．【解答】解：（1）由x+﹣2＞0得，＞0即＞0∵（x﹣1）2≥0∴a＞1时，定义域为（0，+∞）a=1时，定义域为{x|x＞0且x≠1}，0＜a＜1时，定义域为{x|0＜x＜1﹣或x＞1+}（2）设g（x）=x+﹣2，当a∈（1，4），x∈[2，+∞）时，g'（x）=1﹣=＞0恒成立，∴g（x）=x+﹣2在[2，+∞）上是增函数，∴f（x）=lg（x+﹣2）在[2，+∞）上是增函数，∴f（x）=lg（x+﹣2）在[2，+∞）上的最小值为f（2）=lg18．3名志愿者在10月1号至10月5号期间参加社区服务工作．（Ⅰ）若每名志愿者在这5天中任选一天参加社区服务工作，且各志愿者的选择互不影响，求3名志愿者恰好连续3天参加社区服务工作的概率；（Ⅱ）若每名志愿者在这5天中任选两天参加社区服务工作，且各志愿者的选择互不影响，记ξ表示这3名志愿者在10月1号参加社区服务工作的人数，求随机变量ξ的分布列．【考点】离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）由题意知3名志愿者每人任选一天参加社区服务，共有53种不同的结果，这些结果出现的可能性都相等．满足条件的事件是3名志愿者恰好连续3天参加社区服务工作共包括3A33不同的结果．根据概率公式做出概率．（II）ξ表示这3名志愿者在10月1号参加社区服务工作的人数，随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，类似于第一问的做法，写出变量的分布列，或者不同可以先判断变量服从二项分布，利用二项分布的公式，得到要求的结果．【解答】解：（Ⅰ）3名志愿者每人任选一天参加社区服务，共有53种不同的结果，这些结果出现的可能性都相等．设“3名志愿者恰好连续3天参加社区服务工作”为事件A则该事件共包括3A33不同的结果．所以．即3名志愿者恰好连续3天参加社区服务工作的概率为．（Ⅱ）解法1：随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3．，．解法2：日参加社区服务的概率均为．则三名志愿者在10月1日参加社区服务的人数．，i=0，1，2，319．已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=1，BC=2，又PB⊥平面ABCD，且PB=1，点E在棱PD上，且DE=2PE．（Ⅰ）求异面直线PA与CD所成的角的大小；（Ⅱ）求证：BE⊥平面PCD；（Ⅲ）求二面角A﹣PD﹣B的大小．【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．【分析】（1）由于直线PA与CD不在同一平面内，要把两条异面直线移到同一平面内，做AF∥CD，异面直线PA与CD所成的角与AF与PA所成的角相等．（2）由三角形中等比例关系可得BE⊥PD，由于CD=BD=得，BC=2，可知三角形BCD为直角三角形，即CD⊥DB．同时利用勾股定理也可得CD⊥PD，即可得CD⊥平面PDB．即CD⊥BE，即可得证．（3）连接AF，交BD于点O，则AO⊥BD．过点O作OH⊥PD于点H，连接AH，则AH⊥PD，则∠AHO为二面角A﹣PD﹣B的平面角．【解答】解：（Ⅰ）取BC中点F，连接AF，则CF=AD，且CF∥AD，∴四边形ADCF是平行四边形，∴AF∥CD，∴∠PAF（或其补角）为异面直线PA与CD所成的角∵PB⊥平面ABCD，∴PB⊥BA，PB⊥BF．∵PB=AB=BF=1，∴AB⊥BC，∴PA=PF=AF=．∴△PAF是正三角形，∠PAF=60°即异面直线PA与CD所成的角等于60°．（Ⅱ）在Rt△PBD中，PB=1，BD=，∴PD=∵DE=2PE，∴PE=则，∴△PBE∽△PDB，∴BE⊥PD、由（Ⅰ）知，CF=BF=DF，∴∠CDB=90°．∴CD⊥BD、又PB⊥平面PBD，∴PB⊥CD、∵PB∩BD=B，∴CD⊥平面PBD，∴CD⊥BE∵CD∩PD=D，∴BE⊥平面PCD、（Ⅲ）连接AF，交BD于点O，则AO⊥BD、∵PB⊥平面ABCD，∴平面PBD⊥平面ABD，∴AO⊥平面PBD、过点O作OH⊥PD于点H，连接AH，则AH⊥PD、∴∠AHO为二面角A﹣PD﹣B的平面角．在Rt△ABD中，AO=．在Rt△PAD中，AH=．在Rt△AOH中，sin∠AHO=．∴∠AHO=60°．即二面角A﹣PD﹣B的大小为60°．20．已知数列{a n}满足a1=1，a n2=（2a n+1）a n（n∈N*）．+1（1）求a2、a3的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）求证：＜7．【考点】数列递推式．【分析】（1）利用递推关系，取n=1，2即可得出．（n∈N*），两边取倒数可得：=，取对数利用等比（2）a n2=（2a n+1）a n+1数列的通项公式即可得出．（3）由（2）得，利用二项式定理进行放缩，再利用函数的单调性与数列的单调性即可得出．【解答】（1）解：由已知得，．（2）解：由已知得a n＞0，∴==﹣1，∴=，取对数可得：，数列是首项为，公比为2的等比数列，因此．（3）证明：由（2）得，因此，由于，当n≥4时，，当n≥4时，，=，所以．不难验证当n=1，2，3时，不等式也成立，综上所述，．21．已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，短轴两个端点为A、B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形．（1）求椭圆的方程；（2）若C、D分别是椭圆长的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P．证明：为定值．（3）在（2）的条件下，试问x轴上是否存异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）由题意知a=2，b=c，b2=2，由此可知椭圆方程为．（2）设M（2，y0），P（x1，y1），，直线CM：，代入椭圆方程x2+2y2=4，得，然后利用根与系数的关系能够推导出为定值．（3）设存在Q（m，0）满足条件，则MQ⊥DP．，再由，由此可知存在Q（0，0）满足条件．【解答】解：（1）a=2，b=c，a2=b2+c2，∴b2=2；∴椭圆方程为（2）C（﹣2，0），D（2，0），设M（2，y0），P（x1，y1），直线CM：，代入椭圆方程x2+2y2=4，得∵x1=﹣，∴，∴，∴∴（定值）（3）设存在Q（m，0）满足条件，则MQ⊥DP则由，从而得m=0∴存在Q（0，0）满足条件22．已知函数，（1）若函数f（x）在[1，+∞）上是增函数，求正实数a的取值范围；（2）a=1时，求f（x）在上的最大值和最小值；（3）a=1时，求证：对大于1的正整数n，．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）若函数f（x）在[1，+∞）上是增函数，则[1，+∞）是函数增区间的子区间，求函数的导数，令导数大于0，求出函数的单调增区间，再让[1，+∞）的区间端点与函数增区间的区间端点比较即可．（2）a=1时，求f（x）的导数，再令导数等于0，得到的x的值为函数的极值点，在借助函数在的单调性，判断函数当x为何值时有最大值，何时有最小值．（3）借助（2）中判断的函数在的单调性，把证明转化为比较函数值大小的问题．【解答】解：（1）由已知：，依题意：对x∈[1，+∞）成立，∴ax﹣1≥0，对x∈[1，+∞）恒成立，即，对x∈[1，+∞）恒成立，∴，即a≥1．（2）当a=1时，，若，则f'（x）＜0，若x∈（1，2]，则f'（x）＞0，故x=1是函数f（x）在区间上唯一的极小值点，也就是最小值点，故f（x）min=f（1）=0．又，∵e3＞2.73=19.683＞16，∴，∴，∴f（x）在上最大值是=1﹣ln2，∴f（x）在最大1﹣ln2，最小0．（3）当a=1时，由（1）知，在[1，+∞）是增函数．当n＞1时，令，则x＞1，∴f（x）＞f（1）=0，即，即．2016年12月15日。

闽侯二中五校教学联合体2016—2017学年第一学期高三年段数学（文科）学科半期考联考试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题只有一项是符合题目要求的．）1.若，则=（）A. 1B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先求,再计算.【详解】由题得.故答案为：C【点睛】(1)本题主要考查共轭复数和复数的模，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的计算能力.(2) 复数的共轭复数,复数的模.2.设集合，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先化简集合M,N，再求M∪N.【详解】由题得.故答案为：B【点睛】(1)本题主要考查集合的化简与并集运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)在化简集合N时，不要漏了x>0,函数的问题一定要注意定义域优先的原则，否则容易出错.3.已知函数则的值为（）A. B. C. D. 1【答案】A【解析】【分析】先求f(-1),再求f(f(-1)).【详解】由题得f(-1)=.故答案为：A【点睛】(1)本题主要考查分段函数求值，意在考查学生对该知识的掌握水平和计算能力.(2)计算类似的函数值时，一般从里往外，逐层计算.4.在等差数列中,,,则的前项和（）A. B.C. D.【答案】D【解析】试题分析：由，即，解得，所以的前项和，故选D.考点：等差数列的前项和.5.已知平面向量, , 且, 则 ( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据得到m的值，再求.【详解】因为，所以m+4=0,所以m=-4,所以.故答案为：D【点睛】(1)本题主要考查共线向量的坐标表示，考查向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算能力.(2)设=则.6.把函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若的图象关于对称，则( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据图像的变换得到函数的解析式，再根据的图象关于对称得到的值，再求f(0)的值.【详解】把函数的图象向左平移个单位，得到函数,因为的图象关于对称，所以.因为，所以.所以.故答案为：B【点睛】(1)本题主要考查正弦函数的图像变换，考查正弦函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 把函数向左平移个单位，得到函数的图像,把函数向右平移个单位，得到函数的图像.7.已知为等比数列,,,则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：，由等比数列性质可知考点：等比数列性质【此处有视频，请去附件查看】8.已知满足约束条件若的最大值为6，则（）A. -1B. -7C. 1D. 7【答案】C【解析】【分析】先作出不等式组对应的可行域，再数形结合的最大值为6分析得到a的值.【详解】不等式组对应的可行域如图所示的△ABC，因为z=2x+y,所以y=-2x+z,直线的纵截距为z,当直线y=-2x+z经过点A时，直线的纵截距最大，z最大，解方程组得A(a,a+3),所以2a+a+3=6,所以a=1.故答案为：C【点睛】(1)本题主要考查含参的线性规划问题，意在考查学生对该知识的掌握水平和数形结合分析推理的能力.(2) 解答线性规划时，要加强理解，不是纵截距最小，就最小，要看函数的解析式，如：,直线的纵截距为,所以纵截距最小时，最大.9.下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的a，b分别为4，10，则输出的a为A. 6B. 4C. 2D. 0【答案】C【解析】【分析】由循环结构的特点，先判断再执行，分别计算出当前a,b的值，即得解.【详解】由a=4,b=10,a＜b,则b变为10-4=6,由a＜b,则b变为6-4=2,由a＞b,则a变为4-2=2，由a=b=2,则输出的a=2,故答案为：C【点睛】本题主要考查程序框图，考查循环结构和赋值语句的运用，意在考查学生对这些知识的掌握水平.10.已知下列四个命题：：函数的零点所在的区间为；：设，则是成立的充分不必要条件；：已知等腰三角形的底边的长为，则8；：设数列的前n项和，则的值为15．其中真命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】利用对应的知识逐一判断每一个命题的真假得解.【详解】对于命题：，所以函数f(x)在（1,2）单调递增，因为，所以函数的零点不在区间内,所以该命题是假命题；对于命题：由于x＜0是的非充分非必要条件，所以该命题是假命题；对于命题：,所以该命题是真命题；对于命题：,所以该命题是真命题.故答案为：B【点睛】本题主要考查零点问题，考查充要条件的判断，考查数量积的计算和项和公式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.11.函数的定义域为实数集,,对于任意的都有,若在区间函数恰有三个不同的零点, 则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出f（x）的周期，问题转化为f（x）和y=m（x﹣1）在[﹣5，3]上有3个不同的交点，画出f（x）的图象，结合图象求出m的范围即可．【详解】∵f（x+2）=f（x﹣2），∴f（x）=f（x+4），f（x）是以4为周期的函数，若在区间[﹣5，3]上函数g（x）=f（x）﹣mx+m恰有三个不同的零点，则f（x）和y=m（x﹣1）在[﹣5，3]上有3个不同的交点，画出函数函数f（x）在[﹣5，3]上的图象，如图示：，由K AC=﹣，K BC=﹣，结合图象得：m∈，故答案为：【点睛】(1)本题主要考查了函数的零点问题，考查了函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理转化的能力.(2)解答本题有三个关键，其一是准确画出函数f（x）在[﹣5，3]上的图象，其二是转化为f（x）和y=m（x﹣1）在[﹣5，3]上有3个不同的交点，其三是数形结合分析两个图像得到m的取值范围.12.已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，若，，，则的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先构造函数g(x)=xf(x)求函数的单调性和奇偶性，再利用函数的图像和性质比较a,b,c的大小.【详解】设因为当时，所以当x＞0时，所以函数g(x)在（0，+∞）上是增函数.,所以函数g(x)是偶函数，所以a=因为.故答案为：C【点睛】(1)本题主要考查导数研究函数的单调性，考查函数的奇偶性和单调性，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理转化的能力.(2)解答本题的关键有二，其一是构造函数g(x)=xf(x),其二是研究函数g(x)的奇偶性和单调性.二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在相应横线上)．13.已知为第二象限角，，则________【答案】【解析】【分析】先化简得到，再求得，最后求.【详解】因为,所以,因为是第二象限的角,所以,所以.故答案为：【点睛】(1)本题主要考查三角化简求值，考查诱导公式和同角的平方关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)利用求值时，一定要注意“±”的取舍，要注意角的范围.14.若正数x，y满足2x＋3y＝1，则的最小值为__________【答案】【解析】【分析】先把变成的形式，再利用基本不等式求其最小值.【详解】由题得.当且仅当即时取到最小值.故答案为：【点睛】(1)本题主要考查基本不等式，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理转化的能力.(2)解答本题的关键是把变成的形式，这叫常量代换.15.函数，为的一个极值点，且满足，则__【答案】【解析】【分析】先根据得到，得到，再求得，最后结合可求出的值.【详解】由题得，由题意知的一个解为，，所以，因为，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查导数与函数极值的关系，考查同角基本关系及三角化简求值，解题的关键是求出，属于中档题.16.在中，，，是边上的一点，，的面积为1，则边的长为________.【答案】2【解析】【分析】△BDC中，通过三角形的面积，求出cos∠DCB，由余弦定理求出cos∠BDC，即可求解∠DCB，然后在△ADC中，由正弦定理可求AC．【详解】∵BC=，CD=，△CBD的面积为1，sin∠DCB=1，sin∠DCB=．cos∠DCB=BD2=CB2+CD2﹣2CD•CBcos∠DCB=4，BD=2，△BDC中，由余弦定理可得cos∠BDC=，∴∠BDC=135°，∠ADC=45°∵△ADC中，∠ADC=45°，A=30°，DC=由正弦定理可得.故答案为:2【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤，并填在答题卡对应的位置上）17.已知为等差数列的前项和，且，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据，得到的方程组，解方程组即得数列的通项公式.(2)利用裂项相消求数列的前项和.【详解】（1）设等差数列的公差为，则由已知，得，解得,故；（2）由已知可得，．【点睛】(1)本题主要考查等差数列的通项求法，考查裂项相消求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 类似（其中是各项不为零的等差数列，为常数）的数列、部分无理数列等.用裂项相消法求和.18.已知函数；（1）求函数的单调递增区间；（2）当时，求函数的值域．【答案】（1）()；（2）【解析】【分析】（1）先利用三角恒等变换化简得,根据最小正周期求出的值，再求函数的单调递增区间.(2)利用三角函数的图像和性质逐层求出函数的值域.【详解】(1)可得函数的递增区间为(k∈Z)．(2)当时，，∴，即函数的值域为．【点睛】（1）本题主要考查三角函数的化简和单调区间的求法，考查三角函数在区间上的值域，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 对于复合函数的问题自然是利用复合函数的性质解答，求复合函数的最值，一般从复合函数的定义域入手，结合三角函数的图像一步一步地推出函数的最值.19.已知曲线在点处的切线是.（1）求实数的值;（2）若恒成立, 求实数的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)根据已知得到a,b的方程组，解方程组即得a,b的值.(2)先转化为恒成立，再构造函数利用导数求其最小值即得k的最大值.【详解】（1）,（2）由题恒成立, 即恒成立.令,在上单调递减, 在上单调递增,故的最大值为.【点睛】(1)本题主要考查导数的几何意义和曲线的切线方程，考查利用导数处理恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答第2问的关键有两点，其一是转化为恒成立，其二是构造函数利用导数求其最小值即得k的最大值.20.已知中，角所对的边分别为且（1）求角的大小；（2）若，求面积的最大值。

“上杭、武平、漳平、长汀、永安一中”五校联考2016—2017学年第一学期半期考高三数学（文）试题（考试时间：120分钟 总分：150分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。

每小题只有一个选项符合题意，请将正确答案填入答题卷中。

)1.设集合A ={x |﹣2＜x ＜4}，B ={﹣2，1，2，4}，则A ∩B =（ ） A ．{1，2} B ．{﹣1，4} C ．{﹣1，2} D ．{2，4}2.“1sin 2α=”是“30α=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3.复数)2,0(),sin(23cos πθθπθπ∈++⎪⎭⎫⎝⎛-=i z 的对应点在 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4.将函数()sin 2f x x =的图象向右平移12π个单位，得到函数()y g x =的图象，则它的一个对称中心是（ ） A ．)0,24(πB ．(,0)6π-C ．(,0)6πD ．)0,12(π5.已知数列{}n a 是等比数列前n 项和是n s ，若232,4a a ==-，则5S 等于（ ） A ．8B ．-8C ．11D ．-116.函数()y f x =在[]31，上单调递减，且函数()3+x f 是偶函数，则下列结论成立的是（ ）A ．()()()52f f f <<πB ．()()()52f f f <<πC ． ()()()πf f <<52fD ．()()()25f f f <<π7.若实数x ，y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x 则2x ＋4y 的最小值是( )A ．6B ．-6C ．4D ．28.已知向量a 与b 的夹角为60,2,6a b ==，则2a b -在a 方向上的投影为（ ） A ．1 B ．2 C ．3D ．49.如果一个几何体的三视图如图所示，主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，（单位：cm ），则此几何体的表面积是（ ） A ．82cm B ．432cmC ．122cmD ． 443+2cm10.已知()f x 为偶函数，且f (x +2)=-f (x )，当20x -≤≤时，()2xf x =；若()*,n n N a f n ∈=，则2017a 等于（ ）A ．2017B ．-8C ．14D ．21 11.已知函数()3cos(2)3f x x π=-，则下列结论正确的是（ ）A ．导函数为'()3sin(2)3f x x π=--B ．函数)(x f 的图象关于直线23x π=对称C ．函数)(x f 在区间)125,12(ππ-上是增函数D ．函数)(x f 的图象可由函数3s 2y co x =的图象向右平移3π个单位长度得到 12.已知函数()m +-=mx xe x f x，若()0<x f 的解集为（a ,b ）,其中b <0;不等式在（a ,b ）中有且只有一个整数解，则实数m 的取值范围是（ ） A ．)21,322ee （B ．)1,322ee （C ．)21,32[2ee D ．)1,32[2ee 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填入答题卷中。

福建省闽侯县第三中学2017-2018学年高三上学期期中考文科综合地理试题第Ⅰ卷本卷共35个小题，每小题4分，共140分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。

东亚海陆热力差指数是指东亚季风区的陆表温度与副热带西北太平洋的海表温度之差，强指数年夏季风偏强，弱指数年反之。

左图为东亚1960-1999年陆表和海表温度的距平变化，右图为东亚1960-1999年夏季海陆热力差指数，完成4～5题。

1．1960-1999年间，东亚地区A．季风环流越来越显著B．陆表温度年际变化总体比海表温度大C．1999年陆表温度比海表温度高D．1985年以来陆表与海表温度持续上升2．根据图示信息推断，1966年和1980年我国东部季风区的旱涝情况是A．1966年北旱南涝、1980年北涝南旱B．两个年份南北皆涝C．1966年北涝南旱、1980年北旱南涝D．两个年份南北皆旱当地时间（西三区区时）2014年6月22日19时，巴西世界杯葡萄牙和美国队的比赛，在马瑙斯亚马孙竞技场进行。

当比赛进行至39分钟时，裁判暂停了比赛，双方球员下场喝水，世界杯上首次出现“喝水时间”。

下列示意马瑙斯和巴西利亚城市。

读图，完成3～5题。

3、石家庄球迷通过电视观看该场比赛直接的开始时间为A．6月22日6时B．6月22日7时C．6月23日6时D．6月23日7时4、巴西世界杯上首次出现“喝水时间”的原因是A．比赛竞争激烈B．天气闷热潮湿C．增加休息时间D．球员受伤治疗5、马瑙斯和马西利亚气候差异显著，其主要影响因素是A．纬度B．海拔C．植被D．降水下图是某区域产业模式示意图。

读图，完成6～8题。

6、该区域可能位于A．吉林B．甘肃C．山西D．广西7、甲、乙代表的产业分别是A．化学工业和棉花生产B．造纸工业和粮食生产C．造纸工业和棉花生产D．化学工业和粮食生产8、图中箭头代表物资运输，其中适合长途水运的是A．①②B．②③C．③④D．①④下图为我国北方部分地区1月等温线图，根据图中提供的信息回答9～11题。

2016-2017学年福建省师大附中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．集合A={y|y=，B={x|x2﹣x﹣2≤0}，则A∩B=（）A．[2，+∞）B．[0，1]C．[1，2]D．[0，2]2．设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知复数z满足zi=2i+x（x∈R），若z的虚部为2，则|z|=（）A．2 B．2C．D．4．要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象（）A．向左平移单位B．向右平移单位C．向左平移单位D．向右平移单位5．等比数列{a n}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a2a4=（）A．6 B．9 C．36 D．816．已知命题p：∀x∈R，2x＜3x；命题q：∃x∈R，x3=1﹣x2，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q7．若2cos2α=sin（﹣α），且α∈（，π），则sin2α的值为（）A．﹣B．﹣C．1 D．8．设函数f（x）=ln（1+x）+ln（1﹣x），则f（x）是（）A．奇函数，且在（0，1）上是增函数B．奇函数，且在（0，1）上是减函数C．偶函数，且在（0，1）上是增函数D．偶函数，且在（0，1）上是减函数9．若x，y满足约束条件则（x+2）2+（y+3）2的最小值为（）A．B．C．5 D．910．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，，且，则向量在向量方向上的投影为（）A．B．C． D．11．函数f（x）=（1﹣cosx）sinx在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．12．数列{a n}满足a n+（﹣1）n a n=2n﹣1，则{a n}的前44项和为（）+1A．990 B．870 C．640 D．615二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知向量=（1，），=（，1），则与夹角的大小为．14．若函数f（x）=|2x﹣2|﹣b有两个零点，则实数b的取值范围是．15．若等差数列{a n}满足a6+a7+a8＞0，a6+a9＜0，则当n=时，{a n}的前n项和最大．16．已知A是函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜2π）图象上的一个最高点，B，C是f（x）图象上相邻的两个对称中心，且△ABC的面积为，若存在常数M（M＞0），使得f（x+M）=Mf（﹣x），则该函数的解析式是f（x）=．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知数列{a n}的前n项和S n满足．（I）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和．18．已知函数f（x）=（sinωx+cosϖx）cosωx﹣（x∈R，ω＞0）．若f（x）的最小正周期为4π．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求函数f （A）的取值范围．19．已知数列{a n}是等比数列，a2=4，a3+2是a2和a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=2log2a n﹣1，求数列{a n b n}的前n项和T n．20．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=2，求△ABC面积的最大值．21．已知函数f（x）=xe x﹣alnx，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）证明：b≤e时，f（x）≥b（x2﹣2x+2）．选修4-4：坐标系与参数方程22．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2，以极点为原点，以极轴为x轴的正半轴，取相同的单位长度，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设曲线C经过伸缩变换得到曲线C′，曲线C′上任一点为M（x0，y0），求+的取值范围．选修4-5：不等式选讲23．已知f（x）=|3x+|+3|x﹣a|．（Ⅰ）若a=1，求f（x）≥8的解集；（Ⅱ）对任意a∈（0，+∞），任意x∈R，f（x）≥m恒成立，求实数m的最大值．2016-2017学年福建省师大附中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．集合A={y|y=，B={x|x2﹣x﹣2≤0}，则A∩B=（）A．[2，+∞）B．[0，1]C．[1，2]D．[0，2]【考点】交集及其运算．【分析】求出A中y的范围确定出A，求出B中不等式的解集确定出B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中y=≥0，得到A=[0，+∞），由B中不等式变形得：（x﹣2）（x+1）≤0，解得：﹣1≤x≤2，即B=[﹣1，2]，则A∩B=[0，2]，故选：D．2．设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充要条件的定义，逐一分析“x＞y”⇒x＞|y|”和“x＞|y|”⇒“x＞y”的真假，可得答案．【解答】解：当x=1，y=﹣2时，“x＞y”成立，但“x＞|y|”不成立，故“x＞y”是“x＞|y|”的不充分条件，当“x＞|y|”时，若y≤0，“x＞y”显然成立，若y＞0，则“x＞|y|=y”，即“x＞y”成立，故“x＞y”是“x＞|y|”的必要条件，故“x＞y”是“x＞|y|”的必要不充分条件，故选：B．3．已知复数z满足zi=2i+x（x∈R），若z的虚部为2，则|z|=（）A．2 B．2C．D．【考点】复数求模．【分析】利用复数的代数形式混合运算化简复数，然后求解复数的模．【解答】解：复数z满足zi=2i+x（x∈R），可得z==2﹣xi．若z的虚部为2，可得x=﹣2．z=2﹣2i．∴|z|=2故选：B．4．要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象（）A．向左平移单位B．向右平移单位C．向左平移单位D．向右平移单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】直接利用三角函数的平移原则推出结果即可．【解答】解：因为函数y=sin（4x﹣）=sin[4（x﹣）]，要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象向右平移单位．故选：B．5．等比数列{a n}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a2a4=（）A．6 B．9 C．36 D．81【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a1=3，a1+a3+a5=21，∴3（1+q2+q4）=21，化为：q4+q2﹣6=0，解得q2=2．则a2a4==32×22=36．故选：C．6．已知命题p：∀x∈R，2x＜3x；命题q：∃x∈R，x3=1﹣x2，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q【考点】复合命题的真假．【分析】举反例说明命题p为假命题，则￢p为真命题．引入辅助函数f（x）=x3+x2﹣1，由函数零点的存在性定理得到该函数有零点，从而得到命题q为真命题，由复合命题的真假得到答案．【解答】解：因为x=﹣1时，2﹣1＞3﹣1，所以命题p：∀x∈R，2x＜3x为假命题，则￢p为真命题．令f（x）=x3+x2﹣1，因为f（0）=﹣1＜0，f（1）=1＞0．所以函数f（x）=x3+x2﹣1在（0，1）上存在零点，即命题q：∃x∈R，x3=1﹣x2为真命题．则￢p∧q为真命题．故选B．7．若2cos2α=sin（﹣α），且α∈（，π），则sin2α的值为（）A．﹣B．﹣C．1 D．【考点】三角函数的化简求值．【分析】由条件利用两角和的正弦公式、二倍角公式求得，cosα﹣sinα，或cosα+sinα的值，由此求得sin2α的值．【解答】解：∵α∈（，π），且2cos2α=sin（﹣α），∴2（cos2α﹣sin2α）=（sinα﹣cosα），∴cosα+sinα=﹣，或cosα﹣sinα=0（根据角的取值范围，此等式不成立排除）．∵cosα+sinα=﹣，则有1+sin2α=，sin2α=．故选：A．8．设函数f（x）=ln（1+x）+ln（1﹣x），则f（x）是（）A．奇函数，且在（0，1）上是增函数B．奇函数，且在（0，1）上是减函数C．偶函数，且在（0，1）上是增函数D．偶函数，且在（0，1）上是减函数【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【分析】求出函数f（x）的定义域，判断f（x）的奇偶性，再根据复合函数的单调性判断f （x）在（0，1）上的单调性．【解答】解：∵函数f（x）=ln（1+x）+ln（1﹣x）=ln[（1+x）（1﹣x）]，x∈（﹣1，1）；∴f（﹣x）=ln[（1﹣x）（1+x）]=f（x），∴f（x）是（﹣1，1）上的偶函数；又f（x）=ln[（1+x）（1﹣x）]=ln（1﹣x2），当x∈（0，1）时，二次函数t=1﹣x2是减函数，所以函数f（x）=ln（1﹣x2）也是减函数．故选：D．9．若x，y满足约束条件则（x+2）2+（y+3）2的最小值为（）A．B．C．5 D．9【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用两点间的距离公式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，（x+2）2+（y+3）2的几何意义是区域内的点到点D（﹣2，﹣3）的距离的平方，则由图象知D到直线BC：x+y+2=的距离最小，此时最小值d=，则（x +2）2+（y +3）2的最小值为d 2=（）2=，故选：B ．10．△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，，且，则向量在向量方向上的投影为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】平面向量数量积的含义与物理意义．【分析】利用向量的运算法则将已知等式化简得到，对三角形的形状进行探究，得到BC 为直径；将用表示，利用运算法则展开求出投影，选出正确选项．【解答】解：∵∴∴，∴∴O ，B ，C 共线为直径 ∴AB ⊥AC∵∴=1，可得|BC |=2∴==1∴向量在向量方向上的投影为故选D ．11．函数f （x ）=（1﹣cosx ）sinx 在[﹣π，π]的图象大致为（ ）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】由函数的奇偶性可排除B，再由x∈（0，π）时，f（x）＞0，可排除A，求导数可得f′（0）=0，可排除D，进而可得答案．【解答】解：由题意可知：f（﹣x）=（1﹣cosx）sin（﹣x）=﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，故可排除B，又因为当x∈（0，π）时，1﹣cosx＞0，sinx＞0，故f（x）＞0，可排除A，又f′（x）=（1﹣cosx）′sinx+（1﹣cosx）（sinx）′=sin2x+cosx﹣cos2x=cosx﹣cos2x，故可得f′（0）=0，可排除D，故选C12．数列{a n}满足a n+（﹣1）n a n=2n﹣1，则{a n}的前44项和为（）+1A．990 B．870 C．640 D．615【考点】数列的求和．【分析】令a1=a，由递推式，算出前几项，得到相邻奇数项的和为2，偶数项中，每隔一项构成公差为8的等差数列，由等差数列的求和公式计算即可得到所求值．【解答】解：令a1=a，由，可得a2=1+a，a3=2﹣a，a4=7﹣a，a5=a，a6=9+a，a7=2﹣a，a8=15﹣a，a9=a，a10=17+a，a11=2﹣a，a12=24﹣a，…可得（a1+a3）+（a5+a7）+（a9+a11）+…+（a41+a43）=2+2++2+…+2=2×11=22；a2+a6+a10+…+a42=（1+a）+（9+a）+…+（81+a）=11（1+a）+×11×10×8=451+11a；a4+a8+a12+…+a44=（7﹣a）+（15﹣a）+…+（87﹣a）=11（7﹣a）+×11×10×8=517﹣11a；即有前44项和为22+451+11a+517﹣11a=990．故选A．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知向量=（1，），=（，1），则与夹角的大小为．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】根据已知中向量的坐标，代入向量夹角公式，可得答案．【解答】解：∵向量=（1，），=（，1），∴与夹角θ满足：cosθ===，又∵θ∈[0，π]，∴θ=，故答案为：．14．若函数f（x）=|2x﹣2|﹣b有两个零点，则实数b的取值范围是0＜b＜2．【考点】函数的零点．【分析】由函数f（x）=|2x﹣2|﹣b有两个零点，可得|2x﹣2|=b有两个零点，从而可得函数y=|2x﹣2|函数y=b的图象有两个交点，结合函数的图象可求b的范围【解答】解：由函数f（x）=|2x﹣2|﹣b有两个零点，可得|2x﹣2|=b有两个零点，从而可得函数y=|2x﹣2|函数y=b的图象有两个交点，结合函数的图象可得，0＜b＜2时符合条件，故答案为：0＜b＜215．若等差数列{a n}满足a6+a7+a8＞0，a6+a9＜0，则当n=7时，{a n}的前n项和最大．【考点】等差数列的性质；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．【分析】等差数列{a n}满足a6+a7+a8＞0，a6+a9＜0，可得3a7＞0，a7+a8＜0，可得a8＜0，即可得出．【解答】解：∵等差数列{a n}满足a6+a7+a8＞0，a6+a9＜0，∴3a7＞0，a7+a8＜0，可得a8＜0，因此等差数列{a n}是单调递减数列，∴，{a n}的前7项和最大．故答案为：7．16．已知A 是函数f （x ）=sin （ωx +φ）（ω＞0，0＜φ＜2π）图象上的一个最高点，B ，C 是f（x ）图象上相邻的两个对称中心，且△ABC 的面积为，若存在常数M （M ＞0），使得f （x +M ）=Mf （﹣x ），则该函数的解析式是f （x ）= ﹣sin πx ． 【考点】正弦函数的图象．【分析】由题意可得A 的纵坐标为1，再根据△ABC 的面积为，求得ω=π，再根据存在常数M （M ＞0），使得f （x +M ）=Mf （﹣x ），求得φ，可得函数的解析式．【解答】解：由题意可得A 的纵坐标为1，BC=•=，△ABC 的面积为••1=，∴ω=π，f （x ）=sin （πx +φ）． ∵存在常数M （M ＞0），使得f （x +M ）=Mf （﹣x ），即sin （πx +M π+φ）=Msin （﹣πx +φ）， ∴M=1，φ=π，∴f （x ）=sin （πx +π）=﹣sin πx ， 故答案为：﹣sin πx ．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足．（I ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n 项和．【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（ I ）当n=1时，a 1=S 1，当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1，计算即可得到{a n }的通项公式；（ II ）由（I ）知，运用裂项相消求和，化简即可得到所求和． 【解答】解：（ I ）当n=1时，a 1=S 1=1；当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=﹣﹣+=2﹣n ，故{a n }的通项公式为a n =2﹣n ；（ II ）由（I ）知，则数列S n =．18．已知函数f （x ）=（sin ωx +cos ϖx ）cos ωx ﹣（x ∈R ，ω＞0）．若f （x ）的最小正周期为4π．（1）求f （x ）的单调递增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求函数f （A）的取值范围．【考点】两角和与差的正弦函数；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）通过两角和公式把f（x）化简成f（x）=sin（2ωx+），通过已知的最小正周期求出ω，得到f（x）的解析式．再通过正弦函数的单调性求出答案．（2）根据正弦定理及（2a﹣c）cosB=bcosC，求出cosB，进而求出B．得到A的范围．把A 代入f（x）根据正弦函数的单调性，求出函数f（A）的取值范围．【解答】解：（1），∵，∴，∴，∴f（x）的单调递增区间为；（2）∵（2a﹣c）cosB=bcosC∴2sinAcosB﹣sinCcosB=sinBcosC，2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，∴，∴∵，，∴∴．19．已知数列{a n}是等比数列，a2=4，a3+2是a2和a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=2log2a n﹣1，求数列{a n b n}的前n项和T n．【考点】数列递推式；等差数列与等比数列的综合．【分析】（Ⅰ）等比数列{a n}中，a2=4，a3+2是a2和a4的等差中项，有等比数列的首项和公比分别表示出已知条件，解方程组即可求得首项和公比，代入等比数列的通项公式即可求得结果；（Ⅱ）把（1）中求得的结果代入b n=2log2a n﹣1，求出b n，利用错位相减法求出T n．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，因为a2=4，所以a3=4q，．）因为a3+2是a2和a4的等差中项，所以2（a3+2）=a2+a4．即2（4q+2）=4+4q2，化简得q2﹣2q=0．因为公比q≠0，所以q=2．所以（n∈N*）．（Ⅱ）因为，所以b n=2log2a n﹣1=2n﹣1．所以．则，①，，②，①﹣②得，．=，所以．20．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=2，求△ABC面积的最大值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由正弦定理化简已知等式，利用三角形内角和定理及三角函数恒等变换的应用化简可得sin（A﹣30°）=，结合A的范围，利用正弦函数的性质即可求A的值．（Ⅱ）利用余弦定理及基本不等式可得4=b2+c2﹣bc≥bc，根据三角形面积公式即可得解．【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理得：（Ⅱ）∵a2=b2+c2﹣2bccosA，∴4=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc=bc，∴，当且仅当b=c时，等号取到．21．已知函数f（x）=xe x﹣alnx，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）证明：b≤e时，f（x）≥b（x2﹣2x+2）．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求得f（x）的导数，由题意可得f′（1）=0，解方程可得a，由导数的单调性，结合f′（1）=0，可得f（x）的单调区间；（Ⅱ）讨论①当b≤0时，求得f（x）的最小值，可得结论成立；②当0＜b≤e时，设g（x）=xe x﹣2elnx﹣b（x2﹣2x+2），求出导数，构造函数h（x）=（x+1）e x﹣﹣2b（x﹣1），x＞0，求得导数，判断单调性，可得g（x）最小值，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=xe x﹣alnx的导数为f′（x）=（x+1）e x﹣，x＞0，依题意得f′（1）=0，即2e﹣a=0，解得a=2e．所以f′（x）=（x+1）e x﹣，显然f′（x）在（0，+∞）单调递增且f′（1）=0，故当x∈（0，1）时，f′（x）＜0；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0．所以f（x）的递减区间为（0，1），递增区间为（1，+∞）．（Ⅱ）证明：①当b≤0时，由（Ⅰ）知，当x=1时，f（x）取得最小值为e．又b（x2﹣2x+2）的最大值为b，故f（x）≥b（x2﹣2x+2）；②当0＜b≤e时，设g（x）=xe x﹣2elnx﹣b（x2﹣2x+2），所以g′（x）=（x+1）e x﹣﹣2b（x﹣1），令h（x）=（x+1）e x﹣﹣2b（x﹣1），x＞0，则h′（x）=（x+2）e x+﹣2b，当x∈（0，1）时，﹣2b≥0，（x+2）e x＞0，所以h′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，（x+2）e x﹣2b＞0，＞0，所以h′（x）＞0．所以当x∈（0，+∞）时，h′（x）＞0．，故h（x）在（0，+∞）上单调递增，又h（1）=0，所以当x∈（0，1）时，g′（x）＜0；当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0．所以g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以当x=1时，g（x）取得最小值g（1）=e﹣b≥0，所以g（x）≥0，即f（x）≥b（x2﹣2x+2）．综上，当b≤e时，f（x）≥b（x2﹣2x+2）．选修4-4：坐标系与参数方程22．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2，以极点为原点，以极轴为x轴的正半轴，取相同的单位长度，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设曲线C经过伸缩变换得到曲线C′，曲线C′上任一点为M（x0，y0），求+的取值范围．【考点】平面直角坐标轴中的伸缩变换；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）由（t为参数）消去参数可得直线l的普通方程，由ρ=2，两端平方可得曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设曲线C经过伸缩变换得到曲线C′的方程为x2+=4，化为参数方程，则（θ为参数）代入+即可求得取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由（t为参数）消去参数可得直线l的普通方程为：x+y﹣2﹣1=0由ρ=2，两端平方可得：曲线C的直角坐标方程为x2+y2=4…（Ⅱ）曲线C经过伸缩变换得到曲线C′的方程为x2+=4，即+=1 又点M在曲线C′上，则（θ为参数）代入x0+y0得：x0+y0得=•2cosθ+•4sinθ=22osθ+2sinθ=4sin（θ+），所以x0+y0的取值范围是[﹣4，4]…选修4-5：不等式选讲23．已知f（x）=|3x+|+3|x﹣a|．（Ⅰ）若a=1，求f（x）≥8的解集；（Ⅱ）对任意a∈（0，+∞），任意x∈R，f（x）≥m恒成立，求实数m的最大值．【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的解析式，对x讨论，当x≥1时，当﹣＜x＜1时，当x≤﹣时，化简f（x），再解不等式，最后求并集即可；（Ⅱ）运用绝对值不等式的性质，结合基本不等式，可得f（x）的最小值为2，再由不等式恒成立思想，可令m不大于最小值，即可得到m的最大值．【解答】解：（Ⅰ）若a=1，则f（x）=|3x+1|+|3x﹣3|，则当x≥1时，f（x）=3x+1+3x﹣3=6x﹣2≥8，解得x≥，则为x≥；当﹣＜x＜1时，f（x）=3x+1+3﹣3x=4≥8，无解，则x∈∅；当x≤﹣时，f（x）=﹣3x﹣1+3﹣3x=2﹣6x≥8，解得x≤﹣1，则为x≤﹣1．综上可得x≤﹣1或x≥．则解集为（﹣∞，﹣1]∪[，+∞）；（Ⅱ）f（x）=|3x+|+3|x﹣a|≥|（3x+）+（3a﹣3x）|=|+3a|=3a+≥2=2，当且仅当3a=即a=时，取得最小值2．由于任意x∈R，f（x）≥m恒成立，则m≤2，即有m的最大值为2．2016年12月15日。

2017-2018学年福建省福州市闽侯三中高三（上）第一次月卷数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1．已知A={x|x+1≥0}，B={y|y2﹣4＞0}，全集I=R，则A∩（∁I B）为（）A．{x|x≥2或x≤﹣2}B．{x|x≥﹣1或x≤2}C．{x|﹣1≤x≤2}D．{x|﹣2≤x ≤﹣1}2．已知cosα=﹣，α为第二象限角，则﹣=（）A．﹣B．C．﹣D．3．某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件．那么此样本的容量n=（）A．60 B．70 C．80 D．904．函数y=cos（4x+）的图象的相邻两个对称中心间的距离为（）A．B．C．D．π5．已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于（）A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣106．关于x的不等式|x+cos2θ|≤sin2θ的解是（）A．cos2θ≤x≤1 B．﹣1≤x≤﹣cos2θC．﹣cos2θ≤x≤1 D．﹣1≤x≤cos2θ7．设直线m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是（）A．m∥α，n∥β，m∥n B．m∥α，n⊥β，m∥n C．m⊥α，n∥β，m⊥n D．m⊥α，n⊥β，m∥n8．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱AA1，BB1，A1B1的中点，则点G到平面EFD1的距离为（）A．B．C．D．9．从5名男公务员和4名女公务员中选出3人，分别派到西部的三个不同地区，要求3人中既有男公务员又有女公务员，则不同的选派方法种数是（）A．70 B．140 C．420 D．84010．F1、F2是双曲线=1的焦点，点P在双曲线上，若|PF1|=9，则|PF2|=（）A．1 B．17 C．1或17 D．911．已知二次函数f（x）=2ax2﹣ax+1（a＜0），若x1＜x2，x1+x2=0，则f（x1）与f（x2）的大小关系为（）A．f（x1）=f（x2）B．f（x1）＞f（x2）C．f（x1）＜f（x2）D．与a值有关12．已知O是平面上一定点，A﹑B﹑C是平面上不共线的三个点，动点P满足=+λ（+）λ∈[0，+∞），则点P的轨迹一定通过△ABC的（）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．二项式（﹣）6展开式中常数项为．14．经过点P（2，﹣3）作圆x2+2x+y2=24的弦AB，使得点P平分弦AB，则弦AB所在直线的方程为．15．若实数x，y满足条件，则z=2x+y的最大值是．3bx2cx d）的定义域为．三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c且=（sinA，sinB），=（cosB，cosA），•=﹣sin2C．（1）求角C的大小；（2）若c=2，求△ABC的面积的最大值．18．中国海关规定，某类产品的每批产品在出口前要依次进行五项检验，如果有两项指标不合格，则这批产品不能出口，后面的几项指标不再检验，已知每项指标抽检不合格的概率都是0.2，现有一批产品准备出口而进行检验．（1）求这批产品不能出口的概率；（2）求必须要五项指标全部检验完毕，才能确定该批产品能否出口的概率．（精确到两位数）参考数据：0.83=0.512，0.84=0.4096，0.85=0.32768．19．如图：在三棱锥P﹣ABC中，PB⊥面ABC，△ABC是直角三角形，∠B=90°，AB=BC=2，∠PAB=45°，点D、E、F分别为AC、AB、BC的中点．（Ⅰ）求证：EF⊥PD；（Ⅱ）求直线PF与平面PBD所成的角的大小；（Ⅲ）求二面角E﹣PF﹣B的正切值．20．已知数列{a n}的前n项和S n满足：S1=1，3S n=（n+2）a n．（1）求a2，a3的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）求的和．21．已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R都满足f（a•b）=af （b）+bf（a）．（1）求f（0），f（1）的值；（2）判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（3）若f（）=﹣，令b n=，S n表示数列{b n}的前n项和，试问：是否存在关于n=（S n﹣1）•g（n）对于一切不小于2的自然数n恒成立？的整式g（n），使得S1+S2+S3+…+S n﹣1若存在，写出g（n）的解析式，并加以证明；若不存在，试什么理由．22．已知两定点，，满足条件的点P的轨迹是曲线E，直线y=kx﹣1与曲线E交于A、B两点．（Ⅰ）求k的取值范围；（Ⅱ）如果且曲线E上存在点C，使求m的值和△ABC的面积S．2016-2017学年福建省福州市闽侯三中高三（上）第一次月卷数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1．已知A={x|x+1≥0}，B={y|y2﹣4＞0}，全集I=R，则A∩（∁I B）为（）A．{x|x≥2或x≤﹣2}B．{x|x≥﹣1或x≤2}C．{x|﹣1≤x≤2}D．{x|﹣2≤x ≤﹣1}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先化简集合A，B，B补集与A的交集确定．【解答】解：∵A={x|x+1≥0}={x|x≥﹣1}，B={y|y2﹣4＞0}={y|y＞2或y＜﹣2}，∴∁I B={y|﹣2≤y≤2}，∴A∩（∁I B）={x|﹣1≤x≤2}故选：C．2．已知cosα=﹣，α为第二象限角，则﹣=（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用同角三角函数的基本关系求得sinα的值，再利用诱导公式，求得要求式子的值．【解答】解：∵cosα=﹣，α为第二象限角，∴sinα==，则﹣==﹣2sinα=﹣，故选：A．3．某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件．那么此样本的容量n=（）A．60 B．70 C．80 D．90【考点】分层抽样方法．【分析】先求出总体中中A种型号产品所占的比例，是样本中A种型号产品所占的比例，再由条件求出样本容量．【解答】解：由题意知，总体中中A种型号产品所占的比例是=，因样本中A种型号产品有16件，则×n=16，解得n=80．故选C．4．函数y=cos（4x+）的图象的相邻两个对称中心间的距离为（）A．B．C．D．π【考点】余弦函数的图象；余弦函数的对称性．【分析】先根据函数的表达式求出函数的最小正周期，然后根据两向量对称轴间的距离等于半个周期可得答案．【解答】解：对于，T=∴两条相邻对称轴间的距离为=故选B．5．已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于（）A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣10【考点】等差数列的性质．【分析】利用等差数列{a n}的公差为2，a1，a3，a4成等比数列，求出a1，即可求出a2．【解答】解：∵等差数列{a n}的公差为2，a1，a3，a4成等比数列，∴（a1+4）2=a1（a1+6），∴a1=﹣8，∴a2=﹣6．故选：B．6．关于x的不等式|x+cos2θ|≤sin2θ的解是（）A．cos2θ≤x≤1 B．﹣1≤x≤﹣cos2θC．﹣cos2θ≤x≤1 D．﹣1≤x≤cos2θ【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】利用绝对值不等式展开，再由同角三角函数的基本关系式与倍角公式化简得答案．【解答】解：由|x+cos2θ|≤sin2θ，得﹣sin2θ≤x+cos2θ≤sin2θ，即﹣（sin2θ+cos2θ）≤x≤﹣（cos2θ﹣sin2θ），∴﹣1≤x≤﹣cos2θ．故选：B．7．设直线m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是（）A．m∥α，n∥β，m∥n B．m∥α，n⊥β，m∥n C．m⊥α，n∥β，m⊥n D．m⊥α，n⊥β，m∥n【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】正确命题加以论证，不正确命题举出反例，即可得出结论．【解答】解：A：若m∥α，n∥β，m∥n，则α，β平行或相交，故A不正确．B：m∥α，n⊥β，m∥n可得α⊥β，所以B不正确．C：若m⊥α，n∥β，m⊥n可得α，β相交，所以C不正确．D：若m⊥α，m∥n，可得n⊥α，由于n⊥β可得α∥β，所以D正确．故选：D．8．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱AA1，BB1，A1B1的中点，则点G到平面EFD1的距离为（）A．B．C．D．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】根据A1B1∥EF得出点G到平面D1EF的距离是A1到平面D1EF的距离，由三角形面积可得所求距离．【解答】解：因为A1B1∥EF，G在A1B1上，所以G到平面D1EF的距离即是A1到面D1EF的距离，即是A1到D1E的距离，D1E==，由三角形面积可得所求距离为=．故选：D．9．从5名男公务员和4名女公务员中选出3人，分别派到西部的三个不同地区，要求3人中既有男公务员又有女公务员，则不同的选派方法种数是（）A．70 B．140 C．420 D．840【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】从5名男公务员和4名女公务员中选出3人，有C93种选法，再排除其中只选派3名男公务员的方案数为C53=10，只有女公务员的方案为C43种，最后分别派到西部的三个不同地区，问题得以解决．【解答】解：由题意，从5名男公务员和4名女公务员中选出3人，有C93种选法，再排除其中只选派3名男公务员的方案数为C53=10，只有女公务员的方案为C43种，利用间接法可得有C93﹣C53﹣C43种方法，分别派到西部的三个不同地区共有A33（C93﹣C53﹣C43）=420．故选：C．10．F1、F2是双曲线=1的焦点，点P在双曲线上，若|PF1|=9，则|PF2|=（）A．1 B．17 C．1或17 D．9【考点】双曲线的简单性质．【分析】首先根据双曲线的标准方程求得a的值然后根据定义|PF1|﹣|PF2|=±2a求解．【解答】解：F1、F2是双曲线=1的焦点，2a=8，点P在双曲线上（1）当P点在左支上时，|PF1|﹣|PF2|=﹣2a，|PF1|=9，解得：|PF2|=17（2）当P点在右支上时，|PF1|﹣|PF2|=2a，|PF1|=9，解得：|PF2|=1故选：C11．已知二次函数f（x）=2ax2﹣ax+1（a＜0），若x1＜x2，x1+x2=0，则f（x1）与f（x2）的大小关系为（）A．f（x1）=f（x2）B．f（x1）＞f（x2）C．f（x1）＜f（x2）D．与a值有关【考点】二次函数的图象；二次函数的性质．【分析】由题意可得，对称轴x=，开口向下，x1＜0＜x2，且x2=﹣x1，根据开口向下的二次函数，距对称轴越远，函数值越小的性质可判断函数值的大小【解答】解：∵f（x）=2ax2﹣ax+1（a＜0）的对称轴x=，开口向下又∵x1＜x2，x1+x2=0，∴x1＜0＜x2，且x2=﹣x1则x1距离对称轴x=较远根据开口向下的二次函数，距对称轴越远，函数值越小的性质可知，f（x1）＜f（x2）故选C12．已知O是平面上一定点，A﹑B﹑C是平面上不共线的三个点，动点P满足=+λ（+）λ∈[0，+∞），则点P的轨迹一定通过△ABC的（）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【考点】空间向量的加减法．【分析】将=提取出来，转化成λt（+），而λt（+）表示与共线的向量，点D是BC的中点，故P的轨迹一定通过三角形的重心．【解答】解：∵=设它们等于t，∴=+λ（+）而+=2λ（+）表示与共线的向量而点D是BC的中点，所以即P的轨迹一定通过三角形的重心．故选C二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．二项式（﹣）6展开式中常数项为60．【考点】二项式定理的应用．【分析】先求得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得常数项的值．=•（﹣2）r•，【解答】解：二项式（﹣）6的展开式的通项公式为T r+1令=0，求得r=2，故展开式中常数项为•22=60，故答案为：60．14．经过点P（2，﹣3）作圆x2+2x+y2=24的弦AB，使得点P平分弦AB，则弦AB所在直线的方程为x﹣y﹣5=0．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】将圆的方程化为标准方程，确定圆心坐标以及半径．因为点P在圆内，则过点P且被点P平分的弦AB所在的直线与点P与圆心的连线垂直．根据两直线垂直的性质确定此直线的斜率．从而确定直线方程．【解答】解；将圆x2+2x+y2=24化为标准方程，得（x+1）2+y2=25∴圆心坐标O（﹣1，0），半径r=5∵（2+1）2+（﹣3）2=18＜25∴点P在圆内又∵点P平分弦AB∴OP⊥AB∵∴弦AB所在直线的斜率k=1又直线过点P（2，﹣3）∴直线方程为：y﹣（﹣3）=x﹣2即x﹣y﹣5=015．若实数x，y满足条件，则z=2x+y的最大值是15．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，设z=x+2y，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大，由，解得，即A（5，5），此时z max=2×5+5=15．故答案为：1532）的定义域为（﹣，）∪（，+）．【考点】函数的定义域及其求法；函数的图象．【分析】函数y=lgf（x），而f（x）=ax3+bx2+cx+d，可知y是一个复合函数，y=lgf（x）是对数型复合函数，所以f（x）＞0，由表中的数据可知f（x）单调性【解答】解：函数y=lgf（x）是对数型复合函数，∴f（x）＞0，由表中的数据可知f（x）单调性：当x＞2时，f（x）＞0；当﹣1＜x＜1时，f（x）＞0；当x＜﹣1时，f（x）＜0；所以：函数y=lgf（x）的定义域为（﹣1，1）∪（2，+∞），故答案为：（﹣1，1）∪（2，+∞）三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c且=（sinA，sinB），=（cosB，cosA），•=﹣sin2C．（1）求角C的大小；（2）若c=2，求△ABC的面积的最大值．【考点】平面向量数量积的运算；余弦定理．【分析】（1）进行数量积的坐标运算便可得出sin（A+B）=﹣sin2C，进而可求出cosC=，从而得出C=；（2）根据余弦定理及不等式a2+b2≥2ab即可得出3ab≤12，进而得到ab≤4，这样根据三角形面积公式即可求出△ABC面积的最大值．【解答】解：（1）=sin（A+B）=sinC=﹣sin2C；即sinC=﹣2sinCcosC，且sinC＞0；∴；∵0＜C＜π；∴；（2）根据余弦定理，c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2+ab≥2ab+ab；∴3ab≤12；∴ab≤4，当且仅当a=b=2时取等号；∴；∴△ABC的面积的最大值是．18．中国海关规定，某类产品的每批产品在出口前要依次进行五项检验，如果有两项指标不合格，则这批产品不能出口，后面的几项指标不再检验，已知每项指标抽检不合格的概率都是0.2，现有一批产品准备出口而进行检验．（1）求这批产品不能出口的概率；（2）求必须要五项指标全部检验完毕，才能确定该批产品能否出口的概率．（精确到两位数）参考数据：0.83=0.512，0.84=0.4096，0.85=0.32768．【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【分析】（1）先求出这批产品能出口的概率，再用1减去此概率，即为所求．（2）根据相互独立事件的概率乘法公式及n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式，求得要求得必须要五项指标全部检验完毕，才能确定该批产品能否出口的概率．【解答】解：（1）由题意可得，每项指标合格的概率为0.8，则这批产品能出口的概率为0.85+•0.2•0.84=0.74，∴这批产品不能出口的概率为1﹣0.74=0.26．（2）必须要五项指标全部检验完毕，才能确定该批产品能否出口，说明前4项指标中只有1项不合格，故它的概率为•0.2•0.83≈0.41．19．如图：在三棱锥P﹣ABC中，PB⊥面ABC，△ABC是直角三角形，∠B=90°，AB=BC=2，∠PAB=45°，点D、E、F分别为AC、AB、BC的中点．（Ⅰ）求证：EF⊥PD；（Ⅱ）求直线PF与平面PBD所成的角的大小；（Ⅲ）求二面角E﹣PF﹣B的正切值．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面所成的角．【分析】解法一：（Ⅰ）因为EF∥AC，故只要证PD⊥AC，由三垂线定理可证；（Ⅱ）因为面PBD⊥面ABC，故只需过电F作BD的垂线，因为EF⊥BD，交点为O，则∴∠FPO为直线PF与平面PBD所成的角，求解即可．（Ⅲ）由EB⊥面PBC，故可有三垂线定理法作出二面角的平面角．过点B作BM⊥PF于点M，连接EM，则∠EMB为二面角E﹣PF﹣B的平面角再在△EBM中求解即可．解法二：（向量法）因为BA、BC、BP两两垂直，故可建立空间直角坐标系，利用空间向量求解．（Ⅰ）只要证即可（Ⅱ）求出平面PBD的法向量，法向量和夹角的余弦的绝对值即为直线PF与平面PBD所成的角的正弦值．（Ⅲ）分别求出两个面的法向量，再由夹角公式求二面角的余弦值，再求正切．【解答】解：法一（Ⅰ）连接BD、在△ABC中，∠B=90°．∵AB=BC，点D为AC的中点，∴BD⊥AC．又∵PB⊥面ABC，即BD为PD在平面ABC内的射影，∴PD⊥AC．∵E、F分别为AB、BC的中点，∴EF∥AC，∴EF⊥PD．（Ⅱ）∵PB⊥平面ABC，∴PB⊥EF．连接BD交EF于点O，∵EF⊥PB，EF⊥PD，∴EF⊥平面PBD，∴∠FPO为直线PF与平面PBD所成的角，EF⊥PO．．∵PB⊥面ABC，∴PB⊥AB，PB⊥BC，又∵∠PAB=45°，∴PB=AB=2．∵，∴，∴在Rt△FPO中，，∴．（Ⅲ）过点B作BM⊥PF于点M，连接EM，∵AB⊥PB，AB⊥BC，∴AB⊥平面PBC，即BM为EM在平面PBC内的射影，∴EM⊥PF，∴∠EMB为二面角E﹣PF﹣B的平面角．∵Rt△PBF中，，∴．法二：建立空间直角坐标系B﹣xyz，如图，则B（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），D（1，1，0），E（1，0，0），F（0，1，0），P（0，0，2）．（Ⅰ）∵，，∴∴EF⊥PD．（Ⅱ）由已知可得，为平面PBD的法向量，，∴，∴直线PF与面PBD所成角的正弦值为．∴直线PF与面PBD所成的角为．（Ⅲ）设平面PEF的一个法向量为a=（x，y，z），∵，∴a，a，令z=1，∴a=（2，2，1）由已知可得，向量为平面PBF的一个法向量，∴cos＜a，∴tan＜a．∴二面角E﹣PF﹣B的正切值为．20．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 1=1，3S n =（n +2）a n ． （1）求a 2，a 3的值；（2）求数列{a n }的通项公式；（3）求的和．【考点】数列递推式；数列的求和． 【分析】（1）利用递推式分别令n=2，3即可得出；（2）当n ≥2时，由3Sn=（n +2）a n ，3S n ﹣1=（n +1）a n ﹣1，两式相减得．再利用“累乘求积”…•即可得出；（3）利用“裂项求和”即可得出． 【解答】解：（1）当n=2时，3S 2=4a 2，∴3（a 1+a 2）=4a 2，化为a 2=3a 1=3．当n=3时，得3S 3=5a 3，∴3（a 1+a 2+a 3）=5a 3，代入得3（1+3+a 3）=5a 3，解得a 3=6．（2）当n ≥2时，由3Sn=（n +2）a n ，3S n ﹣1=（n +1）a n ﹣1，两式相减得3a n =（n +2）a n ﹣（n +1）a n ﹣1，化为．∴…•=…•=．（3）由（2）可得： =．∴=…+=．21．已知f （x ）是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的a ，b ∈R 都满足f （a •b ）=af （b ）+bf （a ）． （1）求f （0），f （1）的值；（2）判断f （x ）的奇偶性，并证明你的结论；（3）若f （）=﹣，令b n =，S n 表示数列{b n }的前n 项和，试问：是否存在关于n的整式g （n ），使得S 1+S 2+S 3+…+S n ﹣1=（S n ﹣1）•g （n ）对于一切不小于2的自然数n 恒成立？若存在，写出g （n ）的解析式，并加以证明；若不存在，试什么理由．【考点】数列与函数的综合；函数奇偶性的判断；函数恒成立问题；数列的函数特性；数列的求和． 【分析】（1）令a=b=0，得f （0）=0•f （0）+0•f （0）=0，令a=b=1，得f （1）=1•f （1）+1•f （1），故可解；（2）令a=b=﹣1，可得f （﹣1）=0；令a=﹣1，b=x ，可得f （﹣x ）=﹣f （x ），故可得f （x ）是奇函数；（3）先可得，即nS n ﹣（n ﹣1）S n ﹣1=S n ﹣1+1，从而（n ﹣1）S n ﹣1﹣（n﹣2）S n ﹣2=S n ﹣2+1，…，S 2﹣S 1=S 1+1由此可得S 1+S 2+…S n ﹣1=nS n ﹣n=（S n ﹣1）•n （n ≥2），故可解．【解答】解：（1）令a=b=0，得f （0）=0•f （0）+0•f （0）=0． 令a=b=1，得f （1）=1•f （1）+1•f （1），∴f （1）=0．（2）令a=b=﹣1，得f （1）=f [（﹣1）•（﹣1）]=﹣f （﹣1）﹣f （﹣1）=﹣2f （﹣1），∴f （﹣1）=0．令a=﹣1，b=x ，得f （﹣x ）=f （﹣1•x ）=﹣1•f （x ）+x •f （﹣1）=﹣f （x ）+0=﹣f （x ）．∴f （x ）是奇函数．（3）当．令，∴g （a n ）=ng （a ）．∴f （a n ）=a n •g （a n ）=n •a n •g （a ）=n •a n ﹣1•f （a ）．∵∴f （2）=2，∴∴，∴即nS n ﹣（n ﹣1）S n ﹣1=S n ﹣1+1，∴（n ﹣1）S n ﹣1﹣（n ﹣2）S n ﹣2=S n ﹣2+1，…，2S 2﹣S 1=S 1+1， ∴nS n ﹣S 1=S 1+S 2+…+S n ﹣1+n ﹣1，∴S 1+S 2+…S n ﹣1=nS n ﹣n=（S n ﹣1）•n （n ≥2） ∴g （n ）=n ．故存在关于n 的整式g （n ）=n ，使等式对于一切不小于2的自然数n 恒成立22．已知两定点，，满足条件的点P的轨迹是曲线E，直线y=kx﹣1与曲线E交于A、B两点．（Ⅰ）求k的取值范围；（Ⅱ）如果且曲线E上存在点C，使求m的值和△ABC的面积S．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的简单性质．【分析】（Ⅰ）首先根据曲线的定义判断出曲线E是双曲线的左支，a和c已知，则可求得b，曲线E的方程可得．设出A，B的坐标，把直线方程与双曲线方程联立消去y，进而根据直线与双曲线左支交于两点A，B，联立不等式求得k的范围．（Ⅱ）根据弦长公式求得|AB|的表达式，根据结果为6求得k，则直线AB的方程可得，设C（x0，y0），根据，可得；根据x1+x2和y1+y2的值求得C点的坐标，代入双曲线方程求得m的值，进而求得点C到直线AB的距离，最后利用三角形面积公式求得三角形ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）由双曲线的定义可知，曲线E是以为焦点的双曲线的左支，且，易知b=1故曲线E的方程为x2﹣y2=1（x＜0）设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意建立方程组消去y，得（1﹣k2）x2+2kx﹣2=0又已知直线与双曲线左支交于两点A，B，有解得．（Ⅱ）∵===依题意得整理后得28k4﹣55k2+25=0∴或但∴故直线AB的方程为设C（x0，y0），由已知，得（x1，y1）+（x2，y2）=（mx0，my0）∴，（m≠0）又，∴点C将点C的坐标代入曲线E的方程，得得m=±4，但当m=﹣4时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意∴m=4，点C的坐标为C到AB的距离为∴△ABC的面积2016年11月25日。

2017-2018学年福建省福州市闽侯三中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U=R，集合A={x|y=lgx}，B={﹣1，1}，则下列结论正确的是（）A．A∩B={﹣1}B．（∁R A）∪B=（﹣∞，0）C．A∪B=（0，+∞）D．（∁R A）∩B={﹣1}2．复数﹣的实部与虚部的和为（）A．﹣ B．1 C．D．3．下列函数中，在其定义域内是增函数而且又是奇函数的是（）A．y=2x B．y=2|x|C．y=2x﹣2﹣x D．y=2x+2﹣x4．已知两个非零向量，满足•（﹣）=0，且2||=||，则＜，＞=（）A．30°B．60°C．120°D．150°5．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其主视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是（）A． B．C．D．6．设等差数列{a n}满足a2=7，a4=3，S n是数列{a n}的前n项和，则使得S n＞0最大的自然数n是（）A．9 B．10 C．11 D．127．某函数部分图象如图所示，它的函数解析式可能是（）A．B．C．D．8．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是（）A．﹣B．0 C．D．9．实数x，y满足，则z=|x﹣y|的最大值是（）A．2 B．4 C．6 D．810．已知P是双曲线﹣y2=1上任意一点，过点P分别作曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A、B，则•的值是（）A．﹣ B．C．﹣D．不能确定11．将3本相同的小说，2本相同的诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本，则不同的分法有（）A．24种B．28种C．32种D．36种12．已知函数y=x2的图象在点（x0，x02）处的切线为l，若l也与函数y=lnx，x∈（0，1）的图象相切，则x0必满足（）A．0＜x0＜B．＜x0＜1 C．＜x0＜ D．＜x0二、填空题13．已知sinα﹣cosα=﹣，则sin2α=．14．已知抛物线x2=4y的集点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过P作PA⊥l于点A，当∠AFO=30°（O为坐标原点）时，|PF|=．15．设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，a n+1=2S n+3，则S4=．16．定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是．三、解答题17．（12分）已知数列{a n}满足a1=0，a n=a n+2+1+1（1）求证数列{}是等差数列，并求出a n的通项公式；（2）若b n=，求数列{b}的前n项的和T n．18．（12分）已知长方体AC1中，AD=AB=2，AA1=1，E为D1C1的中点，如图所示．（Ⅰ）在所给图中画出平面ABD1与平面B1EC的交线（不必说明理由）；（Ⅱ）证明：BD1∥平面B1EC；（Ⅲ）求平面ABD1与平面B1EC所成锐二面角的大小．19．（12分）某中学根据2002﹣2014年期间学生的兴趣爱好，分别创建了“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团，据资料统计新生通过考核远拔进入这三个社团成功与否相互独立，2015年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团的概率依次为m，，n，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且m＞n．（1）求m与n的值；（2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入“摄影”社的同学增加校本选修字分1分，对进入“棋类”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“国学”社的同学增加校本选修学分3分．求该新同学在社团方面获得校本选修课字分分数的分布列及期望．20．（12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y=x2的焦点，离心率等于．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若=λ1，=λ2，求证：λ1+λ2为定值．21．（12分）已知函数f（x）=xlnx﹣x2﹣x+a（a∈R）在其定义域内有两个不同的极值点．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）记两个极值点分别为x1，x2，且x1＜x2．已知λ＞0，若不等式e1+λ＜x1•x2λ恒成立，求λ的范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，AB是的⊙O直径，CB与⊙O相切于B，E为线段CB上一点，连接AC、AE分别交⊙O于D、G两点，连接DG交CB于点F．（Ⅰ）求证：C、D、G、E四点共圆．（Ⅱ）若F为EB的三等分点且靠近E，EG=1，GA=3，求线段CE的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）设M是直线l上任意一点，过M做圆C切线，切点为A、B，求四边形AMBC面积的最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|2x﹣|+|2x+m|（m≠0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若当m=2时，关于实数x的不等式f（x）≥t2﹣t恒成立，求实数t的取值范围．2016-2017学年福建省福州市闽侯三中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2016•沈阳一模）设全集U=R，集合A={x|y=lgx}，B={﹣1，1}，则下列结论正确的是（）A．A∩B={﹣1}B．（∁R A）∪B=（﹣∞，0）C．A∪B=（0，+∞）D．（∁R A）∩B={﹣1}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合思想；综合法；集合．【分析】先求出集合A，根据补集和交集以及并集的运算性质分别判断即可．【解答】解：根据对数函数的定义，得x＞0，∴集合A={x|x＞0}，∴A∩B={x|x＞0}∩{﹣1，1}={1}，A错误；（∁R A）∪B={x|x≤0}∪{﹣1，1}={x|x≤0或x=1}，B错误；A∪B={x|x＞0}∪{﹣1，1}={x|x＞0或x=﹣1}，C错误；（∁R A）∩B={x|x≤0}∩{﹣1，1}={﹣1}，D正确；故选：D．【点评】本题考察了集合的运算性质，考察对数函数的定义域，是一道基础题．2．（2016•大庆二模）复数﹣的实部与虚部的和为（）A．﹣ B．1 C．D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；数系的扩充和复数．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求得实部和虚部，然后作和得答案．【解答】解：由﹣=，得复数﹣的实部与虚部分别为，1，∴数﹣的实部与虚部的和为．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．（2016•沈阳一模）下列函数中，在其定义域内是增函数而且又是奇函数的是（）A．y=2x B．y=2|x|C．y=2x﹣2﹣x D．y=2x+2﹣x【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性和单调性的定义和性质进行判断．【解答】解：A虽增却非奇非偶，B、D是偶函数，C由奇偶函数定义可知是奇函数，由复合函数单调性可知在其定义域内是增函数（或y'=2x ln2+2﹣x ln2＞0），故选C．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质．4．（2016•蚌埠三模）已知两个非零向量，满足•（﹣）=0，且2||=||，则＜，＞=（）A．30°B．60°C．120°D．150°【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】根据题意，•（﹣）=0，则•=•，即||2=•，结合2||=||，将其代入cos＜，＞=中可得cos＜，＞的值，进而可得＜，＞的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，•（﹣）=0，则•=•，即||2=•，又由2||=||，则cos＜，＞===；即＜，＞=60°；故选：B．【点评】本题考查向量的数量积的运算，关键是5．（2016•泉州校级模拟）“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其主视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是（）A． B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【专题】应用题；数形结合；定义法；空间位置关系与距离．【分析】相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．根据三视图看到方向，可以确定三个识图的形状，判断答案．【解答】解：∵相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．∴其正视图和侧视图是一个圆，∵俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上∴俯视图是有2条对角线且为实线的正方形，故选：B【点评】本题考查了几何体的三视图，属于基础题．6．（2016•沈阳一模）设等差数列{a n}满足a2=7，a4=3，S n是数列{a n}的前n项和，则使得S n＞0最大的自然数n是（）A．9 B．10 C．11 D．12【考点】等差数列的前n项和．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列的通项公式可得：a n=﹣2n+11，可见{a n}是减数列，且a5＞0＞a6，a5+a6=0，再利用前n项和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}公差为d，∵a2=7，a4=3，∴，解得d=﹣2，a1=9．∴a n=9﹣2（n﹣1）=﹣2n+11，∴数列{a n}是减数列，且a5＞0＞a6，a5+a6=0，于是，，，故选：A．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．（2016•江西模拟）某函数部分图象如图所示，它的函数解析式可能是（）A．B．C．D．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】根据已知函数的图象，可分析出函数的最值，确定A的值，分析出函数的周期，确定ω的值，将（，0）代入解析式，可求出φ值，进而求出函数的解析式．【解答】解：不妨令该函数解析式为y=Asin（ωx+ϕ），由图知A=1，=，于是，即，因是函数减时经过的零点，于是，k∈Z，所以ϕ可以是，故选：C．【点评】本题考查的知识点是正弦型函数解析式的求法，其中关键是要根据图象分析出函数的最值，周期等，进而求出A，ω和φ值，属于基本知识的考查．8．（2016•沈阳一模）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是（）A．﹣B．0 C．D．【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；转化思想；分析法；算法和程序框图．【分析】根据题中的流程图，模拟运行，依次根据条件计算s和n的值，直到n＞2016运行结束，输出此时的s的值即为答案．【解答】解：由框图知输出的结果为：，因为函数的周期是6，所以=336×0=0．故选：B．【点评】本题考查了程序框图．根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，要按照流程图中的运行顺序进行求解是关键．属于基础题．9．（2016•沈阳一模）实数x，y满足，则z=|x﹣y|的最大值是（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】简单线性规划．【专题】对应思想；数形结合法；不等式．【分析】根据题意，作出不等式组的可行域，令m=y﹣x，分析可得m的取值范围，而z=|x﹣y|=|m|，分析可得z的最大值，即可得答案．【解答】解：依题画出可行域如图，可见△ABC及内部区域为可行域，令m=y﹣x，则m为直线l：y=x+m在y轴上的截距，由图知在点A（2，6）处m取最大值是4，在C（2，0）处最小值是﹣2，所以m∈[﹣2，4]，而z=|x﹣y|=|m|，所以z的最大值是4，故选：B．【点评】本题考查线性规划求不等式的最值问题，关键是正确作出不等式的可行域．10．（2016•郑州三模）已知P是双曲线﹣y2=1上任意一点，过点P分别作曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A、B，则•的值是（）A．﹣ B．C．﹣D．不能确定【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线与圆锥曲线的关系．【专题】计算题；函数思想；方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设P（m，n），则﹣n2=1，即m2﹣3n2=3，求出渐近线方程，求得交点A，B，再求向量PA，PB的坐标，由向量的数量积的坐标表示，计算即可得到．【解答】解：设P（m，n），则﹣n2=1，即m2﹣3n2=3，由双曲线﹣y2=1的渐近线方程为y=±x，则由解得交点A（，）；由解得交点B（，）．=（，），=（，），则•=+=﹣=﹣=﹣．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，考查联立方程组求交点的方法，考查向量的数量积的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．11．（2016•沈阳一模）将3本相同的小说，2本相同的诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本，则不同的分法有（）A．24种B．28种C．32种D．36种【考点】排列、组合的实际应用．【专题】计算题；分类讨论；转化法；排列组合．【分析】分三类，有一个人分到一本小说和一本诗集，有一个人分到两本诗集，有一个人分到两本小说，根据分类计数原理可得．【解答】解：第一类：有一个人分到一本小说和一本诗集，这中情况下的分法有：先将一本小说和一本诗集分到一个人手上，有4种分法，将剩余的2本小说，1本诗集分给剩余3个同学，有3种分法，那共有3×4=12种第二类，有一个人分到两本诗集，这种情况下的分法有：先将两本诗集分到一个人手上，有4种情况，将剩余的3本小说分给剩余3个人，只有一种分法．那共有：4×1=4种，第三类，有一个人分到两本小说，这种情况的分法有：先将两本小说分到一个人手上，有4种情况，再将剩余的两本诗集和一本小说分给剩余的3个人，有3种分法．那共有：4×3=12种，综上所述：总共有：12+4+12=28种分法，故选：B．【点评】本题考查了分类和分步计数原理，关键是分类，属于中档题．12．（2016•江西模拟）已知函数y=x2的图象在点（x0，x02）处的切线为l，若l也与函数y=lnx，x∈（0，1）的图象相切，则x0必满足（）A．0＜x0＜B．＜x0＜1 C．＜x0＜ D．＜x0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】方程思想；分析法；导数的概念及应用．【分析】求出函数y=x2的导数，y=lnx的导数，求出切线的斜率，切线的方程，可得2x0=，lnm﹣1=﹣x02，再由零点存在定理，即可得到所求范围．【解答】解：函数y=x2的导数为y′=2x，在点（x0，x02）处的切线的斜率为k=2x0，切线方程为y﹣x02=2x0（x﹣x0），设切线与y=lnx相切的切点为（m，lnm），0＜m＜1，即有y=lnx的导数为y′=，可得2x0=，切线方程为y﹣lnm=（x﹣m），令x=0，可得y=lnm﹣1=﹣x02，由0＜m＜1，可得x0＞，且x02＞1，解得x0＞1，由m=，可得x02﹣ln（2x0）﹣1=0，令f（x）=x2﹣ln（2x）﹣1，x＞1，f′（x）=2x﹣＞0，f（x）在x＞1递增，且f（）=2﹣ln2﹣1＜0，f（）=3﹣ln2﹣1＞0，则有x02﹣ln（2x0）﹣1=0的根x0∈（，）．故选：D．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间，考查函数方程的转化思想，以及函数零点存在定理的运用，属于中档题．二、填空题13．（2016•沈阳一模）已知sinα﹣cosα=﹣，则sin2α=．【考点】二倍角的正弦．【专题】三角函数的求值．【分析】由sinα﹣cosα=﹣，两边平方，再利用同角三角函数基本关系式、倍角公式即可得出．【解答】解：由sinα﹣cosα=﹣，两边平方可得：sin2α+cos2α﹣2sinαcosα=，化为1﹣sin2α=，则sin2α=．故答案为：．【点评】本题考查了同角三角函数基本关系式、倍角公式，属于基础题．14．（2016•沈阳一模）已知抛物线x2=4y的集点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过P作PA⊥l于点A，当∠AFO=30°（O为坐标原点）时，|PF|=．【考点】抛物线的简单性质．【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由抛物线x2=4y，可得焦点F（0，1），准线l的方程为：y=﹣1．由∠AFO=30°，可得x A=．由于PA⊥l，可得x P=，y P=，再利用|PF|=|PA|=y P+1即可得出．【解答】解：由抛物线x2=4y，可得焦点F（0，1），准线l的方程为：y=﹣1．∵∠AFO=30°，∴x A=．∵PA⊥l，∴x P=，y P=，∴|PF|=|PA|=y P+1=．故答案为：．【点评】本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立，属于中档题．15．（2016•沈阳一模）设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，a n+1=2S n+3，则S4=66．【考点】数列递推式．【专题】转化思想；等差数列与等比数列．【分析】利用递推关系与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：∵a n+1=2S n+3，∴a n=2S n﹣1+3（n≥2），可得a n+1﹣a n=2a n，即a n+1=3a n，n≥2，∴数列{a n}从第二项起是公比为3的等比数列，a2=5，∴=66．故答案为：66．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．（2016•桂林模拟）定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f （1），且当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是（0，）．【考点】抽象函数及其应用；函数的零点．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】令x=﹣1，求出f（1），可得函数f（x）的周期为2，当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，画出图形，根据函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，利用数形结合的方法进行求解．【解答】解：∵f（x+2）=f（x）﹣f（1），且f（x）是定义域为R的偶函数，令x=﹣1可得f（﹣1+2）=f（﹣1）﹣f（1），又f（﹣1）=f（1），∴f（1）=0 则有f（x+2）=f（x），∴f（x）是最小正周期为2的偶函数．当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18=﹣2（x﹣3）2，函数的图象为开口向下、顶点为（3，0）的抛物线．∵函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，令g（x）=log a（|x|+1），则f（x）的图象和g（x）的图象至少有3个交点．∵f（x）≤0，∴g（x）≤0，可得0＜a＜1，要使函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则有g（2）＞f（2），可得log a（2+1）＞f（2）=﹣2，即log a3＞﹣2，∴3＜，解得＜a＜，又0＜a＜1，∴0＜a＜，故答案为：（0，）．【点评】此题主要考查函数奇偶性、周期性及其应用，解题的过程中用到了数形结合的方法，同时考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，正确赋值是迅速解题的关键．三、解答题=a n+2+1 17．（12分）（2016秋•闽侯县校级期中）已知数列{a n}满足a1=0，a n+1（1）求证数列{}是等差数列，并求出a n的通项公式；（2）若b n=，求数列{b}的前n项的和T n．【考点】数列递推式；数列的求和．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】（1）变形利用等差数列的定义与通项公式即可得出．（2）利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．=a n+2+1=﹣1，【解答】（1）证明：由a n+1∴﹣=1，故数列{}是等差数列，首项为1，公差为1的等差数列．∴=1+（n﹣1）=n，∴a n=n2﹣1．（2）解：b n==（n+1）•2n，∴数列{b}的前n项的和T n=2×2+3×22+4×23+…+（n+1）•2n，2T n=2×22+3×23+…+n•2n+（n+1）•2n+1，∴﹣T n=4+22+23+…+2n﹣（n+1）•2n+1=2+﹣（n+1）•2n+1，可得T n=n•2n+1．【点评】本题考查了“错位相减法”与等比数列的求和公式、等差数列的定义与通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）（2016•沈阳一模）已知长方体AC1中，AD=AB=2，AA1=1，E为D1C1的中点，如图所示．（Ⅰ）在所给图中画出平面ABD1与平面B1EC的交线（不必说明理由）；（Ⅱ）证明：BD1∥平面B1EC；（Ⅲ）求平面ABD1与平面B1EC所成锐二面角的大小．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【专题】数形结合；向量法；空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）连接BC1交B1C于M即可得到平面ABD1与平面B1EC的交线；（Ⅱ）根据线面平行的判定定理即可证明：BD1∥平面B1EC；（Ⅲ）方法1，根据几何法作出二面角的平面角即可求平面ABD1与平面B1EC所成锐二面角的大小．方法2，建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法进行求解．【解答】解：（Ⅰ）连接BC1交B1C于M，则直线ME即为平面ABD1与平面B1EC的交线，如图所示；…（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）因为在长方体AC1中，所以M为BC1的中点，又E为D1C1的中点所以在△D1C1B中EM是中位线，所以EM∥BD1，…（6分）又EM⊂平面B1EC，BD1⊄平面B1EC，所以BD1∥平面B1EC；…（8分）（Ⅲ）因为在长方体AC1中，所以AD1∥BC1，平面ABD1即是平面ABC1D1，过平面B1EC上点B1作BC1的垂线于F，如平面图①，因为在长方体AC1中，AB⊥平面B1BCC1，B1F⊂平面B1BCC1，所以B1F⊥AB，BC1∩AB=B，所以B1F⊥平面ABD1于F．过点F作直线EM的垂线于N，如平面图②，连接B1N，由三垂线定理可知，B1N⊥EM．由二面角的平面角定义可知，在Rt△B1FN中，∠B1NF即是平面ABD1与平面B1EC所成锐二面角的平面角．因长方体AC1中，AD=AB=2，AA1=1，在平面图①中，，…（10分），，C1E=1，在平面图②中，由△EMC1相似△FMN1可知==，所以tan∠B1NF==，所以平面ABD1与平面B1EC所成锐二面角的大小为arctan2．…（12分）空间向量解法：（Ⅰ）见上述．…（4分）（Ⅱ）因为在长方体AC1中，所以DA，DC，DD1两两垂直，于是以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，因为AD=AB=2，AA1=1，所以D（0，0，0），D1（0，0，1），B（2，2，0），B1（2，2，1），C（0，2，0），E（0，1，1）．所以，，，…（6分）令平面B1EC的一个法向量为所以，，从而有，，即，不妨令x=﹣1，得到平面B1EC的一个法向量为，而，所以，又因为BD1⊄平面B1EC，所以BD1∥平面B1EC．…（8分）（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，令平面ABD1的一个法向量为，所以，，从而有，，即，不妨令x=1，得到平面ABD1的一个法向量为，…（10分）因为=．…（11分）所以平面ABD1与平面B1EC所成锐二面角的大小为．…（12分）【点评】本题主要考查线面平行的判定以及二面角的求解，利用几何法以及建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解决空间二面角的常用方法，综合性较强，运算量较大．19．（12分）（2016•沈阳一模）某中学根据2002﹣2014年期间学生的兴趣爱好，分别创建了“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团，据资料统计新生通过考核远拔进入这三个社团成功与否相互独立，2015年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团的概率依次为m，，n，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且m＞n．（1）求m与n的值；（2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入“摄影”社的同学增加校本选修字分1分，对进入“棋类”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“国学”社的同学增加校本选修学分3分．求该新同学在社团方面获得校本选修课字分分数的分布列及期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【专题】应用题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】（1）根据假设他通过考核选拔进入该校的“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团的概率依次为m，，n，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且m＞n，建立方程组，即可求m与n的值；（2）确定学分X的可能取值，求出相应的概率，可得X的分布列与数学期望【解答】解：（1）由题意，，m＞n∴m=，n=；（2）学分X的取值分别为0，1，2，3，4，5，6，则P（X=0）=，P（X=1）=×=，P（X=2）=×=，P（X=3）=+×=，P（X=4）=×=，P（X=5）==，P（X=6）=．期望EX=0×+1×+2×+3×+4×+5×+6×=．【点评】本题考查概率的求解，考查离散型随机变量的分布列与数学期望，确定变量的取值，求出相应的概率是关键．20．（12分）（2013•南开区一模）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y=x2的焦点，离心率等于．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若=λ1，=λ2，求证：λ1+λ2为定值．【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】综合题；压轴题．【分析】（1）根据椭圆C的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率等于．易求出a，b的值，得到椭圆C的方程．（2）设A、B、M点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），设直线l的斜率为k，则直线l的方程是y=k（x﹣2），然后采用“联立方程”+“设而不求”+“韦达定理”，结合已知中，，求出λ1+λ2值，即可得到结论．【解答】解：（1）设椭圆C的方程为，则由题意知b=1．…（2分）∴．∴a2=5．…（4分）∴椭圆C的方程为．…（2）设A、B、M点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），M（0，y0）．又易知F点的坐标为（2，0）．…（6分）显然直线l存在的斜率，设直线l的斜率为k，则直线l的方程是y=k（x﹣2）．…（7分）将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得（1+5k2）x2﹣20k2x+20k2﹣5=0．…（8分）∴．…（9分）又∵．（11分）∴．…（12分）【点评】本题考查的知识点是椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题，其中根据已知条件计算出椭圆的标准方程是解答本题的关键．21．（12分）（2016•宁城县一模）已知函数f（x）=xlnx﹣x2﹣x+a（a∈R）在其定义域内有两个不同的极值点．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）记两个极值点分别为x1，x2，且x1＜x2．已知λ＞0，若不等式e1+λ＜x1•x2λ恒成立，求λ的范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题；作图题；数形结合；分类讨论；转化思想；数形结合法；导数的概念及应用．【分析】（Ⅰ）由导数与极值的关系知可转化为方程f′（x）=lnx﹣ax=0在（0，+∞）有两个不同根；再转化为函数y=lnx与函数y=ax的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，或转化为函数与函数y=a的图象在（0，+∞）上有两个不同交点；或转化为g（x）=lnx ﹣ax有两个不同零点，从而讨论求解；（Ⅱ）可化为1+λ＜lnx1+λlnx2，结合方程的根知1+λ＜ax1+λax2=a（x1+λx2），从而可得；而，从而化简可得，从而可得恒成立；再令，t∈（0，1），从而可得不等式在t∈（0，1）上恒成立，再令，从而利用导数化恒成立问题为最值问题即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），方程f′（x）=0在（0，+∞）有两个不同根；即方程lnx﹣ax=0在（0，+∞）有两个不同根；（解法一）转化为函数y=lnx与函数y=ax的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，如右图．可见，若令过原点且切于函数y=lnx图象的直线斜率为k，只须0＜a＜k．令切点A（x0，lnx0），故，又，故，解得，x0=e，故，故．（解法二）转化为函数与函数y=a的图象在（0，+∞）上有两个不同交点．又，即0＜x＜e时，g′（x）＞0，x＞e时，g′（x）＜0，故g（x）在（0，e）上单调增，在（e，+∞）上单调减．=g（e）=；故g（x）极大又g（x）有且只有一个零点是1，且在x→0时，g（x）→﹣∞，在在x→+∞时，g（x）→0，故g（x）的草图如右图，可见，要想函数与函数y=a的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，只须．（解法三）令g（x）=lnx﹣ax，从而转化为函数g（x）有两个不同零点，而（x＞0），若a≤0，可见g′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，所以g（x）在（0，+∞）单调增，此时g（x）不可能有两个不同零点．若a＞0，在时，g′（x）＞0，在时，g′（x）＜0，所以g（x）在上单调增，在上单调减，从而=，又因为在x→0时，g（x）→﹣∞，在在x→+∞时，g（x）→﹣∞，＞0，即，所以．于是只须：g（x）极大综上所述，．（Ⅱ）因为等价于1+λ＜lnx1+λlnx2．由（Ⅰ）可知x1，x2分别是方程lnx﹣ax=0的两个根，即lnx1=ax1，lnx2=ax2所以原式等价于1+λ＜ax1+λax2=a（x1+λx2），因为λ＞0，0＜x1＜x2，所以原式等价于．又由lnx1=ax1，lnx2=ax2作差得，，即．所以原式等价于，因为0＜x1＜x2，原式恒成立，即恒成立．令，t∈（0，1），则不等式在t∈（0，1）上恒成立．令，又=，当λ2≥1时，可见t∈（0，1）时，h′（t）＞0，所以h（t）在t∈（0，1）上单调增，又h（1）=0，h（t）＜0在t∈（0，1）恒成立，符合题意．当λ2＜1时，可见t∈（0，λ2）时，h′（t）＞0，t∈（λ2，1）时h′（t）＜0，所以h（t）在t∈（0，λ2）时单调增，在t∈（λ2，1）时单调减，又h（1）=0，所以h（t）在t∈（0，1）上不能恒小于0，不符合题意，舍去．综上所述，若不等式恒成立，只须λ2≥1，又λ＞0，所以λ≥1．【点评】本题考查了导数的综合应用及分类讨论，转化思想，数形结合的思想方法的应用，属于中档题．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2016•衡水校级二模）如图，AB是的⊙O直径，CB与⊙O相切于B，E为线段CB上一点，连接AC、AE分别交⊙O于D、G两点，连接DG交CB于点F．（Ⅰ）求证：C、D、G、E四点共圆．（Ⅱ）若F为EB的三等分点且靠近E，EG=1，GA=3，求线段CE的长．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】直线与圆．【分析】（Ⅰ）连接BD，由题设条件结合圆的性质能求出∠C=∠AGD，从而得到∠C+∠DGE=180°，由此能证明C，E，G，D四点共圆．（Ⅱ）由切割线定理推导出EB=2，由此能求出CE的长．【解答】（Ⅰ）证明：连接BD，则∠AGD=∠ABD，∵∠ABD+∠DAB=90°，∠C+∠CAB=90°∴∠C=∠AGD，∴∠C+∠DGE=180°，∴C，E，G，D四点共圆．…..（Ⅱ）解：∵EG•EA=EB2，EG=1，GA=3，∴EB=2，又∵F为EB的三等分点且靠近E，∴，，又∵FG•FD=FE•FC=FB2，∴，CE=2．…．（10分）【点评】本题考查四点共圆的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要注意圆的性质的灵活运用．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016•汉中二模）已知在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）设M是直线l上任意一点，过M做圆C切线，切点为A、B，求四边形AMBC面积的最小值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【专题】转化思想；转化法；坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）根据参数方程和极坐标方程与普通方程的关系进行转化求解即可．（Ⅱ）求出圆心坐标以及圆心到直线的距离，结合四边形的面积公式进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）圆C的参数方程为（θ为参数），所以圆C的普通方程为（x﹣3）2+（y+4）2=4．…（2分）由得ρcosθ+ρsinθ=2，∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，∴直线l的直角坐标方程x+y﹣2=0…（4分）（Ⅱ）圆心C（3，﹣4）到直线l：x+y﹣2=0的距离为d==…（6分）由于M是直线l上任意一点，则|MC|≥d=，∴四边形AMBC面积S=2×AC•MA=AC=2≥2∴四边形AMBC面积的最小值为…（10分）【点评】本题主要考查参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，考查学生的运算和转化能力．[选修4-5：不等式选讲]24．（2016•汉中二模）设函数f（x）=|2x﹣|+|2x+m|（m≠0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若当m=2时，关于实数x的不等式f（x）≥t2﹣t恒成立，求实数t的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【专题】选作题；转化思想；综合法；不等式．【分析】（Ⅰ）利用绝对值三角不等式，结合基本不等式证明：f（x）≥2；。

福建省闽侯县第三中学2017-2018学年高三上学期期中考文科综合历史试题24、古代某思想家认为：“释法术而任心治，尧不能正一国。

去规矩而妄意度，奚仲不能成一轮。

”与该思想家主张吻合的是A．术以知奸，以刑止刑B．天行有常，不为尧存，不为桀亡C．八佾舞于庭，是可忍，孰不可忍也D．无罪而攻之，不可谓仁；知而不争，不可谓忠25、明朝中后期，王阳明学说在中国士大夫中流行。

朝鲜来华使者对此不理解，认为“阳明敢肆己意，谤辱朱子，实斯文之罪人也”。

结合所学判断，下列选项正确的有①朝鲜使者以程朱理学为正宗；②王阳明心学超越了理学范畴；③王阳明与朱熹观点明显不同；④王阳明心学是对儒学的叛逆A．①②B．②③C．①③D．②④26、相对于现代民主制而言，雅典民主制的真正缺陷是A．把外邦人、奴隶等排除在外B．过于泛滥的直接民主运作C．小国寡民，狭隘的城邦体制D．仅维护奴隶主贵族的利益27、2000年美国总统大选，共和党候选人布什和民主党候选人戈尔在决定命运的几百张选票上发生争议，最后把官司打到了联邦最高法院。

后者一锤定音，解决了长达36天的总统难产危机。

这段材料A.体现了三权分立的原则B.表明司法权实际上高于行政权C.显示最高法院掌握立法权D.说明总统人选与选民意愿无关28、根据张履祥《补农书》中所载资料，明朝末期江南地区农村家庭的投资结构如下图所示:这反映出此时江南的农业A．经营更趋市场化B．减少犁耕依赖C．生产日趋专业化D．注重精耕细作29、太平天国提倡“剪辫蓄发”，认为当时人的发饰“坏先人之服冕，是使中国之人忘其根本也”。

辛亥革命期间，革命党人认为“欲除满清之藩篱，必先去满清之形状”，提倡“剪辫易服”。

二者均希望通过变革发饰（）A．与西方文明相对接B．号召推翻清朝统治C．提倡民主自由思想D．表明各自宗教信仰30、．1701年，英国议会通过《王位继承法》，其中第二条规定：今后王位一律由信奉新教者继承，坚持同罗马教会交往者，均无资格按前举法令宣誓加冕。

闽侯二中五校教学联合体2016—2017学年第一学期高三年段数学（文科）学科半期考联考试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题只有一项是符合题目要求的．）1. 若，则=（）A. 1B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先求,再计算.【详解】由题得.故答案为：C【点睛】(1)本题主要考查共轭复数和复数的模，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的计算能力.(2) 复数的共轭复数,复数的模.2. 设集合，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先化简集合M,N，再求M∪N.【详解】由题得.故答案为：B【点睛】(1)本题主要考查集合的化简与并集运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)在化简集合N 时，不要漏了x>0,函数的问题一定要注意定义域优先的原则，否则容易出错.3. 已知函数则的值为（）A. B. C. D. 1【答案】A【解析】【分析】先求f(-1),再求f(f(-1)).【详解】由题得f(-1)=.故答案为：A【点睛】(1)本题主要考查分段函数求值，意在考查学生对该知识的掌握水平和计算能力.(2)计算类似的函数值时，一般从里往外，逐层计算.4. 在等差数列中,,,则的前项和（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由，即，解得，所以的前项和，故选D.考点：等差数列的前项和.5. 已知平面向量, , 且, 则 ( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据得到m的值，再求.【详解】因为，所以m+4=0,所以m=-4,所以.故答案为：D【点睛】(1)本题主要考查共线向量的坐标表示，考查向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算能力.(2)设=则.6. 把函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若的图象关于对称，则( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据图像的变换得到函数的解析式，再根据的图象关于对称得到的值，再求f(0)的值.【详解】把函数的图象向左平移个单位，得到函数,因为的图象关于对称，所以.因为，所以.所以.故答案为：B【点睛】(1)本题主要考查正弦函数的图像变换，考查正弦函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)把函数向左平移个单位，得到函数的图像,把函数向右平移个单位，得到函数的图像.7. 已知为等比数列,,则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先由题得，再根据已知得到的值，再求，再求的值.【详解】由题得,因为，所以=.故答案为：A【点睛】（1）本题主要考查等比数列的基本量的计算，考查等比数列的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算能力.(2)等比数列中，如果,则,特殊地，时，则，是的等比中项.8. 已知满足约束条件若的最大值为6，则（）A. -1B. -7C. 1D. 7【答案】C【解析】【分析】先作出不等式组对应的可行域，再数形结合的最大值为6分析得到a的值.【详解】不等式组对应的可行域如图所示的△ABC，因为z=2x+y,所以y=-2x+z,直线的纵截距为z,当直线y=-2x+z经过点A时，直线的纵截距最大，z最大，解方程组得A(a,a+3),所以2a+a+3=6,所以a=1.故答案为：C【点睛】(1)本题主要考查含参的线性规划问题，意在考查学生对该知识的掌握水平和数形结合分析推理的能力.(2) 解答线性规划时，要加强理解，不是纵截距最小，就最小，要看函数的解析式，如：,直线的纵截距为,所以纵截距最小时，最大.9. 下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的a，b分别为4，10，则输出的a为A. 6B. 4C. 2D. 0【答案】C【解析】【分析】由循环结构的特点，先判断再执行，分别计算出当前a,b的值，即得解.【详解】由a=4,b=10,a＜b,则b变为10-4=6,由a＜b,则b变为6-4=2,由a＞b,则a变为4-2=2，由a=b=2,则输出的a=2,故答案为：C【点睛】本题主要考查程序框图，考查循环结构和赋值语句的运用，意在考查学生对这些知识的掌握水平.10. 已知下列四个命题：：函数的零点所在的区间为；：设，则是成立的充分不必要条件；：已知等腰三角形的底边的长为，则8；：设数列的前n项和，则的值为15．其中真命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】利用对应的知识逐一判断每一个命题的真假得解.【详解】对于命题：，所以函数f(x)在（1,2）单调递增，因为，所以函数的零点不在区间内,所以该命题是假命题；对于命题：由于x＜0是的非充分非必要条件，所以该命题是假命题；对于命题：,所以该命题是真命题；对于命题：,所以该命题是真命题.故答案为：B【点睛】本题主要考查零点问题，考查充要条件的判断，考查数量积的计算和项和公式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.11. 函数的定义域为实数集,,对于任意的都有,若在区间函数恰有三个不同的零点, 则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出f（x）的周期，问题转化为f（x）和y=m（x﹣1）在[﹣5，3]上有3个不同的交点，画出f（x）的图象，结合图象求出m的范围即可．【详解】∵f（x+2）=f（x﹣2），∴f（x）=f（x+4），f（x）是以4为周期的函数，若在区间[﹣5，3]上函数g（x）=f（x）﹣mx+m恰有三个不同的零点，则f（x）和y=m（x﹣1）在[﹣5，3]上有3个不同的交点，画出函数函数f（x）在[﹣5，3]上的图象，如图示：，由K AC=﹣，K BC=﹣，结合图象得：m∈，故答案为：【点睛】(1)本题主要考查了函数的零点问题，考查了函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理转化的能力.(2)解答本题有三个关键，其一是准确画出函数f（x）在[﹣5，3]上的图象，其二是转化为f（x）和y=m（x﹣1）在[﹣5，3]上有3个不同的交点，其三是数形结合分析两个图像得到m的取值范围.12. 已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，若，，，则的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先构造函数g(x)=xf(x)求函数的单调性和奇偶性，再利用函数的图像和性质比较a,b,c的大小.【详解】设因为当时，所以当x＞0时，所以函数g(x)在（0，+∞）上是增函数.,所以函数g(x)是偶函数，所以a=因为.故答案为：C【点睛】(1)本题主要考查导数研究函数的单调性，考查函数的奇偶性和单调性，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理转化的能力.(2)解答本题的关键有二，其一是构造函数g(x)=xf(x),其二是研究函数g(x)的奇偶性和单调性.二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在相应横线上)．13. 已知为第二象限角，，则________【答案】【解析】【分析】先化简得到，再求得，最后求.【详解】因为,所以,因为是第二象限的角,所以,所以.故答案为：【点睛】(1)本题主要考查三角化简求值，考查诱导公式和同角的平方关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)利用求值时，一定要注意“±”的取舍，要注意角的范围.14. 若正数x，y满足2x＋3y＝1，则的最小值为__________【答案】【解析】【分析】先把变成的形式，再利用基本不等式求其最小值.【详解】由题得.当且仅当即时取到最小值.故答案为：【点睛】(1)本题主要考查基本不等式，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理转化的能力.(2)解答本题的关键是把变成的形式，这叫常量代换.15. 函数，为的一个极值点，且满足，则__【答案】【解析】【分析】先根据得到，得到，再求得，最后结合求出的值.【详解】由题得，令，所以，因为，所以.故答案为：【点睛】(1)本题主要考查导数求极值，考查三角化简求值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理转化能力.(2)本题解题的关键是求出.16. 在中，，，是边上的一点，，的面积为1，则边的长为________.【答案】2【解析】【分析】△BDC中，通过三角形的面积，求出cos∠DCB，由余弦定理求出cos∠BDC，即可求解∠DCB，然后在△ADC中，由正弦定理可求AC．【详解】∵BC=，CD=，△CBD的面积为1，sin∠DCB=1，sin∠DCB=．cos∠DCB=BD2=CB2+CD2﹣2CD•CBcos∠DCB=4，BD=2，△BDC中，由余弦定理可得cos∠BDC=，∴∠BDC=135°，∠ADC=45°∵△ADC中，∠ADC=45°，A=30°，DC=由正弦定理可得.故答案为:2【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤，并填在答题卡对应的位置上）17. 已知为等差数列的前项和，且，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据，得到的方程组，解方程组即得数列的通项公式.(2)利用裂项相消求数列的前项和.【详解】（1）设等差数列的公差为，则由已知，得，解得,故；（2）由已知可得，．【点睛】(1)本题主要考查等差数列的通项求法，考查裂项相消求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)类似（其中是各项不为零的等差数列，为常数）的数列、部分无理数列等.用裂项相消法求和.18. 已知函数；（1）求函数的单调递增区间；（2）当时，求函数的值域．【答案】（1）()；（2）【解析】【分析】（1）先利用三角恒等变换化简得,根据最小正周期求出的值，再求函数的单调递增区间.(2)利用三角函数的图像和性质逐层求出函数的值域.【详解】(1)可得函数的递增区间为(k∈Z)．(2)当时，，∴，即函数的值域为．【点睛】（1）本题主要考查三角函数的化简和单调区间的求法，考查三角函数在区间上的值域，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)对于复合函数的问题自然是利用复合函数的性质解答，求复合函数的最值，一般从复合函数的定义域入手，结合三角函数的图像一步一步地推出函数的最值.19. 已知曲线在点处的切线是.（1）求实数的值;（2）若恒成立, 求实数的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)根据已知得到a,b的方程组，解方程组即得a,b的值.(2)先转化为恒成立，再构造函数利用导数求其最小值即得k的最大值.【详解】（1）,（2）由题恒成立, 即恒成立.令,在上单调递减, 在上单调递增,故的最大值为.【点睛】(1)本题主要考查导数的几何意义和曲线的切线方程，考查利用导数处理恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答第2问的关键有两点，其一是转化为恒成立，其二是构造函数利用导数求其最小值即得k的最大值.20. 已知中，角所对的边分别为且（1）求角的大小；（2）若，求面积的最大值。

福建省闽侯县第三中学高三上学期期中考理科综合试卷理综命题组时限：150分钟满分：300分可能用到的相对原子质量：H 1 C 12O 16 S 32 Ga70 As75第Ⅰ卷(选择题共126分)一、选择题：本题共13小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1．下列关于化合物的元素组成正确的是A．叶绿素的元素组成中一定含有镁和氮B．脂肪的元素组成中一定含有氮和磷C．蛋白质的元素组成中一定含有氮和硫D．磷脂的元素组成中一定含有硫和磷2．下列有关细胞结构和功能的叙述，正确的是（）A.在植物细胞有丝分裂末期高尔基体参与细胞壁形成B.在动物细胞有丝分裂间期能观察到纺锤体和中心体C.分泌蛋白合成后在内质网和细胞质基质中加工D.核糖体和线粒体是既有核酸又有外膜的细胞结构3．对下列相关数学模型的叙述正确的是（）A．图1中b、d段用x射线照射可诱发基因突变，a、c段用秋水仙素能抑制纺锤体的形成B．图2中的温度在b时酶分子结构没有改变、活性较低C．图3中bc段和de段的变化都会引起C3含量下降D．图4中造成cd段下降的原因在有丝分裂和减数分裂中是相同的.4．下图表示绿色植物体内某些代谢过程中物质的变化，a、b、c为代谢过程。

以下表述正确的是（）A．a中产生的O2，参与c中第二阶段的反应B．b在叶绿体囊状结构上进行C．水参与c中第二阶段的反应D．X代表的物质从叶绿体的基质移向叶绿体的基粒5．某种昆虫长翅(A)对残翅(a)、直翅(B)对弯翅(b)、有刺刚毛(D)对无刺刚毛(d)显性，控制这三对性状的基因位于常染色体上。

右图表示某一个体的基因组成，以下判断正确的是（）A．控制长翅和残翅、直翅和弯翅的基因遗传时遵循自由组合定律B．该个体的一个初级精母细胞所产生的精细胞基因型有四种C．该个体的细胞有丝分裂后期，移向细胞同一极的基因为AbD或abdD．该个体与另一个体测交，后代基因型比例为l：1：1：16．下图a～d表示不同生态系统或同一生态系统内的不同成分。

福建省闽侯县第三中学高三上学期期中考理科综合试卷理综命题组时限：150分钟满分：300分可能用到的相对原子质量：H 1 C 12O 16 S 32 Ga70 As75第Ⅰ卷(选择题共126分)一、选择题：本题共13小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

7．化学与环境、生活、材料密切相关。

下列说法正确的是( )A．安装煤炭燃烧过程的“固硫”装置，主要是为了提高煤的利用率B．二氧化氯和三氯化铁都常用于自来水的处理，二者的作用原理是不相同的。

C．煤经气化和液化两个物理变化过程，可变为清洁能源D．乙醇、糖类和蛋白质都是人体必需的营养物质8．关于过氧化物的叙述正确的是(NA表示阿伏伽德罗常数)()A．7.8g过氧化钠含有的共用电子对数为0.2N A1 1 1B．2H2O2(l)=2H2O(l)+O2(g) ÄH=−98.2kJ·mol−，ÄS=70.5J·mol−·K−，该反应在任何温度下都能自发进行C．过氧化氢使高锰酸钾溶液褪色，1mol过氧化氢得到2N A电子+ 2+ ——D．在含有NH4Ba、Cl 、NO3 离子的溶液加入少量过氧化钠以上各离子量几乎不减少9．下列仪器和装置，用橡胶管经过简单连接，可制备收集多种不同的气体(暂不考虑尾气吸收)。

关于这些装置的连接，下列说法正确的是（）A. 加热浓硫酸和乙醇的混合物至170℃制备收集C2H4：连接a→d→fB．制备收集NO2：连接a→c→fC．制备收集Cl2：连接a→d→eD．制备收集NH3：连接b→d→e10.生物材料衍生物2,5-呋喃二甲酸（）可以替代化石燃料衍生物对苯二甲酸，与乙二醇合成材料聚2,5-呋喃二甲酸乙二醇酯（PEF）。

下列说法正确的是A. 合成PEF的反应为加聚反应B.PEF不能与氢气发生加成反应C.聚对苯二甲酸乙二醇酯的结构简式为D.通过红外光谱法测定PEF的平均相对分子质量，可得其聚合度11.实验：①0.005 mol·L-1FeCl3溶液和0.015 mol·L-1KSCN溶液各1 mL混合得到红色溶液a，均分溶液a置于b、c两支试管中；②向b中滴加3滴饱和FeCl3溶液，溶液颜色加深；③再向上述b溶液中滴加3滴1 mol·L-1NaOH溶液，溶液颜色变浅且出现浑浊；④向c中逐渐滴加1mol·L-1KSCN溶液2 mL，溶液颜色先变深后变浅。

2016-2017学年福建省福州市闽侯三中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题35，满分58分）1．定义A﹣B={x|x∈A且x∉B}，若M={1，2，3，4，5}，N={2，3，6}，则N﹣M=（）A．M B．N C．{1，4，5}D．{6}2．函数f（x）=3x（0＜x≤2）的反函数的定义域为（）A．（0，+∞）B．（1，9]C．（0，1）D．[9，+∞）3．已知M（﹣2，0），N（2，0），|PM|﹣|PN|=3，则动点P的轨迹是（）A．双曲线B．双曲线左边一支C．双曲线右边一支D．一条射线4．已知球的表面积为4π，则球的内接正方体的边长的长为（）A．B．C．1 D．25．设{a n}是正项等比数列，且a5a6=10，则lga1+lga2+…+lga9+lga10=（）A．5 B．1+lg5 C．2 D．106．已知|=2，||=1，，则与的夹角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°7．给出下列四个命题：①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直；②过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直；③如果平面外一条直线a与平面α内一条直线b平行，那么a∥α；④一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角相等；其中真命题的为（）A．①③B．②④C．②③D．③④8．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+4y的最大值是（）A．11 B．12 C．13 D．149．6名志愿者选4人去“”鸟巢”和“水立方”实地培训，每处2人，其中乙不能去“水立方”，则选派方法有（）A．60 B．70 C．80 D．9010．在△ABC中，“”，是“△ABC为锐角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件11．已知函数f（x）=2sinxcos|x|（x∈R），则下列叙述错误的是（）A．f（x）的最大值是1B．f（x）是奇函数C．f（x）在[0，1]上是增函数D．f（x）是以π为最小正周期的函数12．设f（x）=x3+bx2+cx+d，又k是一个常数，已知k＜0或k＞4时，f（x）﹣k=0只有一个实根，当0＜k＜4时，f（x）﹣k=0有三个相异实根，给出下列命题：①f（x）﹣4=0和f'（x）=0有一个相同的实根；②f（x）=0和f'（x）=0有一个相同的实根；③f（x）+3=0的任一实根大于f（x）﹣1=0的任一实根；④f（x）+5=0的任一实根小于于f（x）﹣2=0的任一实根；其中正确命题的个数为（）A．3 B．2 C．1 D．0二、填空题13．为了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm）．根据所得数据画出样本的频率分布直方图（如右），那么在这100株树木中，底部周长小于110cm的株数是．14．（2x+1）8展开式中的中间项系数为．15．过点P（3，0）的直线l交圆C：x2+y2﹣4x=0于A，B两点，C为圆心，则的最小值为．16．定义：若平面点集A中的任一个点（x0，y0），总存在正实数r，使得集合（x，y）|⊆A，则称A为一个开集．给出下列集合：①{（x，y）|x2+y2=1}；②{（x，y）|x+y+2＞0}；③{（x，y）||x+y|≤6}；④．其中不是开集的是．（请写出所有符合条件的序号）三、解答题17．已知f（x）=sin2x．（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）求函数f（x）的图象在y轴右边的第一个对称中心的坐标．18．某车间某两天内，每天都生产n件产品，其中第一天生产了1件次品，第二天生产了2件次品，质检部每天要从生产的产品中随意抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过．已知第一天通过检查的概率为．（1）求n的值；（2）求两天都通过检查的概率；（3）求两天中至少有一天通过检查的概率．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD是正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，O为棱AD的中点．（1）求证：PO⊥平面ABCD；（2）求二面角A﹣PD﹣B的大小；（3）求C点到平面PDB的距离．20．已知数列{a n}满足a n=2a n+2n﹣1（n∈N*，n≥2）且a1=5．﹣1（1）求a2，a3的值；（2）若数列为等差数列，请求出实数λ；（3）求数列{a n}的通项公式及前n项和为S n．21．设函数y=f（x）的定义域D，若对任意x1，x2∈D，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤1，则称函数y=f（x）为“storm”函数．已知函数f（x）=x3+bx2+cx+1的图象为曲线C，直线y=kx﹣1与曲线C相切于（1，﹣10）．（1）求f（x）的解析式；（2）设0＜m≤2，若对x∈[m﹣2，m]，函数g（x）=为“storm”函数，求实数m的最小值．22．已知点是离心率为的椭圆C：上的一点．斜率为的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点不重合．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）△ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？（Ⅲ）求证：直线AB、AD的斜率之和为定值．2016-2017学年福建省福州市闽侯三中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题35，满分58分）1．定义A﹣B={x|x∈A且x∉B}，若M={1，2，3，4，5}，N={2，3，6}，则N﹣M=（）A．M B．N C．{1，4，5}D．{6}【考点】集合的含义．【分析】利用新定义，欲求集合N﹣M，即找属于N但不属于M的元素组成的集合，由已知集合M，N可得．【解答】解；∵A﹣B={x|x∈A且x∉B}，∴N﹣M={x|x∈N且x∉M}，又∵M={1，2，3，4，5}，N={2，3，6}，∴N﹣M={6）故选D2．函数f（x）=3x（0＜x≤2）的反函数的定义域为（）A．（0，+∞）B．（1，9]C．（0，1）D．[9，+∞）【考点】反函数．【分析】利用反函数的定义域就是原函数的值域，转化为求原函数的值域，再利用单调性求出原函数的值域．【解答】解：函数f（x）=3x（0＜x≤2）的反函数的定义域就是函数f（x）=3x（0＜x≤2）的值域，由函数f（x）在其定义域内是单调增函数得1＜f（x）≤9，故选B．3．已知M（﹣2，0），N（2，0），|PM|﹣|PN|=3，则动点P的轨迹是（）A．双曲线B．双曲线左边一支C．双曲线右边一支D．一条射线【考点】轨迹方程．【分析】根据题意可得PM|﹣|PN|＜|MN|，利用双曲线的定义，即可得到动点P的轨迹为以M，N 为焦点的双曲线的右支．【解答】解：∵M（﹣2，0），N（2，0），|PM|﹣|PN|=3∴|PM|﹣|PN|＜|MN|∴动点P的轨迹为以M，N 为焦点的双曲线的右支．故选：C．4．已知球的表面积为4π，则球的内接正方体的边长的长为（）A．B．C．1 D．2【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】设正方体的棱长为x，利用球的内接正方体的对角线即为球的直径、球的表面积计算公式即可得出．【解答】解：设正方体的棱长为x，则π=4π，解得x=，故选：A．5．设{a n}是正项等比数列，且a5a6=10，则lga1+lga2+…+lga9+lga10=（）A．5 B．1+lg5 C．2 D．10【考点】数列的求和．【分析】利用等比数列以及对数运算法则化简求解即可．【解答】解：{a n}是正项等比数列，且a5a6=10，则lga1+lga2+…+lga9+lga10=lg（a1•a2•…•a9•a10）=lg（a5a6）5=5．故选：A．6．已知|=2，||=1，，则与的夹角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】根据平面向量的数量积与夹角公式，即可求出答案．【解答】解：|=2，||=1，，∴•﹣=0，即2×1×cosθ﹣12=0，解得cosθ=，又θ∈[0°，180°]，∴与的夹角为60°．故选：C．7．给出下列四个命题：①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直；②过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直；③如果平面外一条直线a与平面α内一条直线b平行，那么a∥α；④一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角相等；其中真命题的为（）A．①③B．②④C．②③D．③④【考点】命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【分析】对于①，如果一条直线垂直于一个平面内的任意直线，那么这条直线与这个平面垂直，故错；对于②，因为垂直同一平面的两直线平行，所以过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直，故正确；对于③，根据线面平行的判定定理，如果平面外一条直线a与平面α内一条直线b平行，那么a∥α，故正确；对于④，一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角相等或互补，故错；【解答】解：对于①，如果一条直线垂直于一个平面内的任意直线，那么这条直线与这个平面垂直，故错误；对于②，因为垂直同一平面的两直线平行，所以过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直，故正确；对于③，根据线面平行的判定定理，如果平面外一条直线a与平面α内一条直线b平行，那么a∥α，故正确；对于④，一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角相等或互补，故错误；故选：C．8．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+4y的最大值是（）A．11 B．12 C．13 D．14【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+4y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，由图象可知当直线y=﹣x+经过点A时，直线y=﹣x+的截距最大，此时z最大，由，解得，即A（），此时z=2×=5+6=11，故选：A．9．6名志愿者选4人去“”鸟巢”和“水立方”实地培训，每处2人，其中乙不能去“水立方”，则选派方法有（）A．60 B．70 C．80 D．90【考点】排列、组合的实际应用．【分析】根据题意可考虑利用分类计数原理分为：①乙没选中，②乙被选中2类考虑进行求解．【解答】解：若乙没选中，则此时的安排方法有C52C32种，若乙被选中，则此时的安排方法有C51C42种，则所有安排方法有方法有C52C32+C51C42=60故选A．10．在△ABC中，“”，是“△ABC为锐角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】平面向量数量积的运算；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】在△ABC中，“”⇔C为锐角，根据充要条件的定义，可得答案．【解答】解：在△ABC中，∵“”⇔⇔cosC＞0⇔C为锐角，故，“”，是“△ABC为锐角三角形”的必要不充分条件，故选：B．11．已知函数f（x）=2sinxcos|x|（x∈R），则下列叙述错误的是（）A．f（x）的最大值是1B．f（x）是奇函数C．f（x）在[0，1]上是增函数D．f（x）是以π为最小正周期的函数【考点】三角函数的最值．【分析】由三角函数的倍角公式及诱导公式化简已知函数，再由y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质逐一核对四个选项得答案．【解答】解：f（x）=2sinxcos|x|=2sinxcosx=sin2x，∴f（x）max=1，故A正确；f（x）的定义域为R，且f（﹣x）=sin（﹣2x）=﹣sin2x=﹣f（x），函数为减函数，故B正确；当0≤x≤1时，0≤2x≤2，f（x）先增后减，故C错误；由周期公式可得T=，故D正确．故选：C．12．设f（x）=x3+bx2+cx+d，又k是一个常数，已知k＜0或k＞4时，f（x）﹣k=0只有一个实根，当0＜k＜4时，f（x）﹣k=0有三个相异实根，给出下列命题：①f（x）﹣4=0和f'（x）=0有一个相同的实根；②f（x）=0和f'（x）=0有一个相同的实根；③f（x）+3=0的任一实根大于f（x）﹣1=0的任一实根；④f（x）+5=0的任一实根小于于f（x）﹣2=0的任一实根；其中正确命题的个数为（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】命题的真假判断与应用；函数的零点与方程根的关系．【分析】由已知中f（x）=x3+bx2+cx+d，当k＜0或k＞4时，f（x）﹣k=0只有一个实根；当0＜k＜4时，f（x）﹣k=0有三个相异实根，故函数即为极大值，又有极小值，且极大值为4，极小值为0，分析出函数简单的图象和性质后，逐一分析四个结论的正误，即可得到答案．【解答】解：∵f（x）=x3+bx2+cx+d，当k＜0或k＞4时，f（x）﹣k=0只有一个实根；当0＜k＜4时，f（x）﹣k=0有三个相异实根，故函数即有极大值，又有极小值，且极大值为4，极小值为0故f（x）﹣4=0与f'（x）=0有一个相同的实根，即极大值点，故（1）正确；f（x）=0与f'（x）=0有一个相同的实根，即极小值点，故（2）正确；f（x）+3=0有一实根且小于函数最小的零点，f（x）﹣1=0有三个实根均大于函数最小的零点，故（3）错误；f（x）+5=0有一实根且小于函数最小的零点，f（x）﹣2=0有三个实根均大于函数最小的零点，故（4）正确；故选：A．二、填空题13．为了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm）．根据所得数据画出样本的频率分布直方图（如右），那么在这100株树木中，底部周长小于110cm的株数是70．【考点】频率分布直方图．【分析】在频率分布表中，频数的和等于样本容量，频率的和等于1，每一小组的频率等于这一组的频数除以样本容量．频率分布直方图中，小矩形的面积等于这一组的频率．底部周长小于110cm的矩形的面积求和乘以样本容量即可．【解答】解：70由图可知：底部周长小于110cm的株树为：100×（0.01×10+0.02×10+0.04×10）=70，故答案为70．14．（2x+1）8展开式中的中间项系数为1120．【考点】二项式定理的应用．【分析】由题意可得它的中间为第5项，再利用二项展开式的通项公式，求得中间项系数．【解答】解：（2x+1）8展开式中共有9项，故它的中间为第5项，即T5=•（2x）4，故中间项系数为=1120，故答案为：1120．15．过点P（3，0）的直线l交圆C：x2+y2﹣4x=0于A，B两点，C为圆心，则的最小值为﹣4．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】设∠ACB=θ，则由数量积的定义可得=||||cosθ=4cosθ，故而当θ=180°时取得最小值．【解答】解：圆C的标准方程为（x﹣2）2+y2=4，∴圆C的半径为2，即||=||=2，设∠ACB=θ，则=2×2×cosθ=4cosθ，∴当θ=180°时，取得最小值﹣4．故答案为﹣4．16．定义：若平面点集A中的任一个点（x0，y0），总存在正实数r，使得集合（x，y）|⊆A，则称A为一个开集．给出下列集合：①{（x，y）|x2+y2=1}；②{（x，y）|x+y+2＞0}；③{（x，y）||x+y|≤6}；④．其中不是开集的是①③．（请写出所有符合条件的序号）【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】根据新定义进行计算后判断，弄清开集的定义是解决本题的关键．即所选的集合需要满足存在以该集合内任意点为圆心，任意正实数为半径的圆内部分均在该集合内．初步确定该集合不含边界【解答】解：对于①：A={（x，y）|x2+y2=1}表示以原点为圆心，1为半径的圆，则在该圆上任意取点（x0，y0），以任意正实数r为半径的圆面，均不满足B={（x，y）|＜r}⊆A，故①不是开集．对于②：A={（x，y）|x+y+2＞0}平面点集A中的任一点（x0，y0），则该点到直线的距离为d，取r=d，则满足B={（x，y）|＜r}⊆A，故②是开集；对于③：A={（x，y）||x+y|≤6}，在曲线|x+y|=6任意取点（x0，y0），以任意正实数r为半径的圆面，均不满足B={（x，y）|＜r}⊆A，故该集合不是开集；对于④：A=表示以点（0，）为圆心，1为半径除去圆心和圆周的圆面，在该平面点集A中的任一点（x0，y0），则该点到圆周上的点的最短距离为d，取r=d，则满足B={（x，y）|＜r}⊆A，故该集合是开集；故答案为：①③．三、解答题17．已知f（x）=sin2x．（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）求函数f（x）的图象在y轴右边的第一个对称中心的坐标．【考点】正弦函数的单调性；正弦函数的奇偶性．【分析】（1）将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，然后内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；（2）根据正弦函数的图象及性质，令，求解对称坐标方程，根据k的取值，可得y轴右边的第一个对称中心的坐标．【解答】解：函数f（x）=sin2x．化简可得：==sin（2x）∵2x∈[，]是单调增区间，即，可得：，解得：，∴函数的单调增区间为．（2）由（1）可得f（x）=sin（2x），∵，k∈Z，化简得，k∈Z，故得：，k∈Z，当k=1时，，∴函数在y轴右边的第一个对称中心的坐标为．18．某车间某两天内，每天都生产n件产品，其中第一天生产了1件次品，第二天生产了2件次品，质检部每天要从生产的产品中随意抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过．已知第一天通过检查的概率为．（1）求n的值；（2）求两天都通过检查的概率；（3）求两天中至少有一天通过检查的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）依题意得：，由此能求出n的值．（2）记事件A为：两天通过检查，事件A1为第一天通过检查，事件A2为第二天通过检查，A=A1A2，由此利用相互独立事件概率乘法公式能求出两天都通过检查的概率．（3）利用对立事件概率计算公式能求出两天中至少有一天通过检查的概率．【解答】解：（1）依题意得：，解得n=10．（2）记事件A为：两天通过检查，事件A1为第一天通过检查，事件A2为第二天通过检查，第二天通过检查的概率，记事件A为：两天通过检查，事件A1为第一天通过检查，事件A2为第二天通过检查，∴两天都通过检查的概率．（3）两天中至少有一天通过检查的概率为：．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD是正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，O为棱AD的中点．（1）求证：PO⊥平面ABCD；（2）求二面角A﹣PD﹣B的大小；（3）求C点到平面PDB的距离．【考点】二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算．【分析】（1）推导出PO⊥AD，由此能证明PO⊥平面ABCD．（2）以O为原点，OA为x轴，过O作AB的平行线为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣PD﹣B的大小．（3）求出C（﹣1，2，0），=（﹣1，2，﹣），利用向量法能求出C点到平面PDB的距离．【解答】证明：（1）∵侧面PAD是正三角形，O为棱AD的中点，∴PO⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PO⊥平面ABCD．解：（2）∵PO⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD是正三角形，∴以O为原点，OA为x轴，过O作AB的平行线为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），P（0，0，），B（1，2，0），D（﹣1，0，0），=（1，0，﹣），=（1，2，﹣），=（﹣1，0，﹣），设平面PAB的法向量=（x，y，z），则，取z=，得=（3，0，），设平面PBD的法向量=（a，b，c），则，取c=，得=（﹣3，3，），设二面角A﹣PD﹣B的平面角为θ，则cosθ===．∴．∴二面角A﹣PD﹣B的大小为arccos．（3）C（﹣1，2，0），=（﹣1，2，﹣），∴C点到平面PDB的距离d===．20．已知数列{a n}满足a n=2a n﹣1+2n﹣1（n∈N*，n≥2）且a1=5．（1）求a2，a3的值；（2）若数列为等差数列，请求出实数λ；（3）求数列{a n}的通项公式及前n项和为S n．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（1）直接由数列递推式结合数列首项求得a2，a3的值；（2）由数列为等差数列可得，求解可得λ；（3）由（2）求得数列的通项公式，进一步可得数列{a n}的通项公式，再由错位相减法求和．【解答】解：（1）∵，∴a1=5，，得a2=13，，得a3=33；（2）∵为等差数列，∴，即，得λ=32﹣33=﹣1；（3）由（2）得，∴d=1，则，∴，令，，∴，∴，∴．21．设函数y=f（x）的定义域D，若对任意x1，x2∈D，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤1，则称函数y=f（x）为“storm”函数．已知函数f（x）=x3+bx2+cx+1的图象为曲线C，直线y=kx﹣1与曲线C相切于（1，﹣10）．（1）求f（x）的解析式；（2）设0＜m≤2，若对x∈[m﹣2，m]，函数g（x）=为“storm”函数，求实数m的最小值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，求出k的值，得到关于b，c的方程，求出函数的解析式即可；（2）问题等价于f（x）max﹣f（x）min≤16m，根据函数的单调性分别求出f（x）的最大值和f（x）的最小值，从而得到关于m的不等式，解出即可．【解答】解：（1）f'（x）=3x2+2bx+c，又∵（1，﹣10）在直线y=kx﹣1上，∴k=﹣9，∴，∴，∴f（x）=x3﹣12x2+1，（2）已知条件等价于在[m﹣2，m]上，f（x）max﹣f（x）min≤16m．∵f（x）在[﹣2，2]上为减函数，且0＜m≤2，∴[m﹣2，m]⊂[﹣2，2]，∴f（x）在[m﹣2，m]上为减函数，∴，，∴，得m≤﹣2或，又0＜m≤2，∴．22．已知点是离心率为的椭圆C：上的一点．斜率为的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点不重合．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）△ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？（Ⅲ）求证：直线AB、AD的斜率之和为定值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）由，，能导出椭圆C的方程．（Ⅱ）设直线BD的方程为，，△=﹣8b2+64＞0，设d为点A到直线BD：的距离，由，故，由此知当b=±2时，△ABD的面积最大，最大值为．（Ⅲ）设D（x1，y1），B（x2，y2），直线AB、AD的斜率分别为：k AB、k AD，则k AD+k AB==，由此能导出即k AD+k AB=0．【解答】解：（Ⅰ）∵，，a2=b2+c2∴a=2，，，∴．（Ⅱ）设直线BD的方程为，∴，∴△=﹣8b2+64＞0，①，②∵，设d为点A到直线BD：的距离，∴，∴，当且仅当b=±2时取等号．因为±2，所以当b=±2时，△ABD的面积最大，最大值为（Ⅲ）设D（x1，y1），B（x2，y2），直线AB、AD的斜率分别为：k AB、k AD，则k AD+k AB==，*将（Ⅱ）中①、②式代入*式整理得=0，即k AD+k AB=02016年12月16日。

2019-2020学年福建省闽侯第三中学高三语文上学期期中试卷及答案解析一、现代文阅读（36分）(一)现代文阅读I(9分)阅读下面的文字，完成下面小题。

材料一：中国传统史学演进的过程中，按照史书的体裁和内容，可将史书分为通史和断代史两类。

通史是按历史演进线索叙述历史的史书体裁，而断代史是指其叙事限定在某一朝代的史书体裁。

作为一种著史旨趣和价值追求，通史成为中国传统史学的优良传统。

从司马迁开始，通史之作连续不断，与此同时，对通史理论的阐释也精见迭出。

到了清代，章学诚在其理论著作《文史通义》中把中国史学上重“通”的现象归纳为“通史家风”，对“通古今之变”这一传统进行了精彩概括。

揆诸中国古代史学的实际，通史之通，有“纵通”“会通”和“横通”之义。

“纵通”，即贯通古今，把历史当作一个因革变通的连续不断的过程，呈现历史自始至终的联系和演化。

“会通”是南宋郑樵极力提倡的作史方法，即在“通古今之变”的基础上“总《诗》《书》《礼》《乐》而会于一手，然后能同天下之文”。

“横通”则是在“通古今之变”的基础上增加了对史著所载社会历史内容的考量。

在“通史家风”丰富的内涵中，蕴涵着一种通史精神，这种精神告诉我们，通史不仅是“时历古今”的时间上的连续不断，更是在贯彻了“通古今之变”的意旨后对历史所作出的反思。

围绕这一主题，古代史家提出了盛衰、治乱、得失、损益等一系列概念，形成了系统的有关通史之“通”的理论认识。

这些理论认识概括起来，就是强调以通识的眼光和整体联系的观点看待社会历史的变化，进而探求蕴涵在历史变化背后的事理法则，把“通”“变”“理”当作一个完整的体系看待。

“通”是为了看到历史的“变”，即在历史的长时段考察人类社会古今之变的轨迹。

考察历史之“变”的最终目的是求“理”，也就是找出历史兴亡成败的一般法则和社会新陈代谢的内在机制。

“通古今之变”离不开别识心裁，章学诚在讨论“通史家风”时，特别强调这一点。

在他看来，思想层面的“别识心裁”和“成一家之言”是通史撰述的宗旨。

福建省闽侯县第三中学2017届高三上学期期中考试理数试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1。

设全集R U =,集合}lg |{x y x A ==,}1,1{-=B ，则下列结论正确的是（ ) A ．}1{-=B A B ．)0,()(-∞=B A C UC ．),0(+∞=B AD ．}1{)(-=B A CU【答案】D考点：1、集合的表示方法；2、集合的基本运算。

2.复数ii i 211-+的实部与虚部的和为（ ） A ．21- B ．1 C ．21D ．23【答案】D 【解析】试题分析：因为()()()111111211211222i i i i i i i i i i i i i i i -+++-=-=-==+++-+-，所以实部与虚部的和为13122+=，故选D.考点：1、复数的基本概念；2、复数的运算.3.下列函数中,在其定义域内是增函数而且又是奇函数的是( ） A ．x y x+=2 B ．||2x y = C ．x xy --=22D ．x x y -+=22【答案】C 【解析】试题分析：对于A ，虽是增函数不是奇函数,B ，D 是偶函数，对于C ，()()()2222x x x x f x f x ---=-=--=-，由奇偶函数定义可知x x y --=22是奇函数，由复合函数单调性可知其定义域内是增函数，故选C 。

考点:1、函数的单调性；2、函数的奇偶性.4。

已知两个非零向量b a ,满足0)(=-⋅b a a ,且||||2b a =,则>=<b a ,（ ）A ．30 B ．60 C ．120 D ．150【答案】B考点:1、平面向量数量积公式；2、向量的模与夹角.5。

“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞(方盖).其直观图如左图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线。

文科数学试题 第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{}3 1 2 4A =--，，，，{}28x B x =∈<R ，则A B =（ ）A ．{}3-B ．{}1 2-，C ．{}3 1 2--，，D ．{}3 1 2 4--，，， 2.已知复数z 满足()23z i i i -=+，则z =（ ）A ． C ．10 D ．18 3.若函数()21f x ax x=+，则下列结论正确的是（ ） A ．a ∀∈R ，函数()f x 是奇函数 B ．a ∃∈R ，函数()f x 是偶函数C ．a ∀∈R ，函数()f x 在()0 +∞，上是增函数 D ．a ∃∈R ，函数()f x 在()0 +∞，上是减函数4.已知sin 2αα+=，则tan α=（ ）A D 5.在如图所示的程序框图中，若12116a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，4log 2b =，23log 3log 2c =⋅，则输出的x 等于（ ）A ．0.25B ．0.5 C.1 D ．26.已知A 、B 分别为双曲线()2222:10 0x y C a b a b -=>>，的左、右顶点，P 是C 上一点，且直线AP ，BP 的斜率之积为2，则C 的离心率为（ ） AD7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．223π-B ．423π- C.53πD ．22π- 8.已知ABC △的三个顶点的坐标分别为()()()1 1 1 3 2 2A B C ，，，，，，对于ABC △（含边界）内的任意一点() x y ，，z ax y =+的最小值为2-，则a =（ ） A ．2- B ．3- C.4- D ．5-9.某商场销售A 型商品，已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如下表所示：请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，此商品的定价（单位：元/件）应为（ ）A ．4B ．5.5 C.8.5 D.1010.已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在半径为2的球面上，且PA ABC ⊥平面，若2AB =，AC ，2BAC π∠=，则棱PA 的长为（ ）A ．32B ．9 11.已知函数()()sin 0 2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，，其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，且函数12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数，下列判断正确的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．函数()f x 的图象关于点7 012π⎛⎫⎪⎝⎭，对称C.函数()f x 的图象关于直线712x π=-对称D.函数()f x 在3 4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增12.已知函数()321132f x ax bx cx d =+++，其图象在点()()1 1f ，处的切线斜率为0，若a b c <<，且函数()f x 的单调递增区间为() m n ，，则n m -的取值范围是（ ） A ．31 2⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．3 32⎛⎫⎪⎝⎭， C.()1 3， D ．()2 3， 第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知两点()()1 1 5 4A B ，，，，若向量() 4x =a ，与AB 垂直，则实数x = ． 14.已知函数()()2 1ln 1 1x a x f x x x -≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，，有两个零点，则实数a 的取值范围是 ．15.已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，P 为抛物线C 上的动点，点()0 1Q -，，则PF PQ的最小值为 ．16.已知数列{}n a 满足111 cos3n n n a a a π+=-=，，则2016a = ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）在ABC △中， A B C ，，的对边分别是 a b c ，，，且2cos 2a B c b =-. （Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）若 2 4a b c =+=，，求ABC △的面积. 18.（本小题满分12分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2 4 a =，530S =，数列{}n b 满足122n n b b nb a +++=…. （Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）设1n n n c b b +=⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T . 19.（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C =中，平面11AA B B ABC ⊥平面，D 是AC 的中点.（Ⅰ）求证：11B C A BD ∥平面；（Ⅱ）若160A AB ACB ∠=∠=︒，1 2 AB BB AC ==，，1BC =，求三棱錐1A ABD -的体积. 20.（本小题满分12分）已知过点()0 2A ，的直线l 与椭圆22:13x C y +=交于P ，Q 两点. （Ⅰ）若直线l 的斜率为k ，求k 的取值范围；（Ⅱ）若以PQ 为直径的圆经过点()1 0E ，，求直线l 的方程. 21.（本小题满分12分）已知函数()212x f x e x x =--，0x ≥.（Ⅰ）求()f x 的最小值；（Ⅱ）若()1f x ax ≥+，求实数a 的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图， A B C D ，，，是半径为1的O 上的点，1BD DC ==，O 在点B 处的切线交AD 的延长线于点E .（Ⅰ）求证：EBD CAD ∠=∠；（Ⅱ）若AD 为O 的直径，求BE 的长.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩（其中α为参数），曲线()222:11C x y -+=，以坐标原点O 为极点，x 轴的在半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的极坐标方程； （Ⅱ）若射线6πθ=()0ρ>与曲线12 C C ，分别交于A ，B 两点，求AB .24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数() f x x a a =-∈R ，. （Ⅰ）当1a =时，求()11f x x ≥++的解集；（Ⅱ）若不等式()30f x x +≤的解集包含{}1x x ≤-，求a 的取值范围.2016年福建省普通高中毕业班单科质量检查文科数学试题答案及评分参考一、选择题1-5:CADDC 6-10:BAACC 11、12：DB 二、填空题13.3- 14.[2 )+∞， 15.216.0 三、解答题17.本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及两角和与差的三角函数公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想等，满分12分. 解法一：（Ⅰ）因为2cos 2a B c b =-，由余弦定理得，222222a c b a c b ac +-⋅=-，…………………………2分即222b c a bc +-=，…………………………………………3分根据余弦定理，有2221cos 222b c a bc A bc bc +-===.………………5分又0A π<<，故3A π=.………………………………6分（Ⅱ）因为 2 3a A π==，，由余弦定理得，224b c bc +-=，…………………………8分由正弦定理得，2sin cos 2sin sin A B C B =-，………………2分 因为A B C π++=，所以()2sin cos 2sin sin A B A B B =+-，……………………3分 所以2cos sin sin A B B =，……………………………………4分因为sin 0B ≠，所以1cos 2A =.………………………………5分又0A π<<，故3A π=.……………………………………6分（Ⅱ）同解法一.18.本小题主要考查等差数列的通项公式、前n 项和公式及数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想等，满分12分.解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由24a =，530S =得 114545302a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩………………………………………………4分 解得12a =，2d =，……………………………………5分 所以()2122n a n n =+-⨯=，*n N ∈.…………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得，1222n b b nb n +++=…，①所以2n ≥时，()()1212121n b b n b n -+++-=-…，③………………8分 -①②得，2n nb =，()2*n b n=⋅，………………………………9分 又112b a ==也符合（*）式，所以2n b n=，*n N ∈.……………………10分 所以()1411411n n n c b b n n n n +⎛⎫=⋅==- ⎪++⎝⎭，…………………………11分所以11111144141223111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭….………………12分 19.本小题主要考查几何体的体积及直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等，满分12分.解法一：（Ⅰ）连结1AB 交1A B 于点O ，则O 为1AB 的中点，∵D 是AC 的中点，∴1OD B C ∥.…………………………………………2分 又1OD A BD ⊂平面，11B C A BD ⊄平面，……………………4分∴11B C A BD ∥平面.……………………………………5分 （Ⅱ）∵2AC =，1BC =，60ACB ∠=︒， ∴2222cos 3AB AC BC AC BC ACB =+-⋅⋅∠=，∴AB =.……………………………………6分 取AB 中点M ，连结1A M ， ∵11AB BB AA ==，160A AB ∠=︒， ∴1ABA △为等边三角形， ∴1A M AB ⊥，且132A M =， 又∵平面11AA B B ABC ⊥平面，平面11AA B B ABC AB =平面，111A M AA B B ⊂平面，∴1A M ABC ⊥平面，……………………………………8分∵12ABD ABC S S =△△分∴1113A ABD ABD S S A M -=⋅=△.…………………………12分解法二：（Ⅰ）取11A C 中点1D ，连结11B D ，1CD ，1DD ，∵111112A D AC =，12CD AC =，11A C AC ∥， ∴11A D CD ∥，∴四边形11A DCD 为平行四边形， ∴11CD A D ∥，又11A D A BD ⊂平面，11CD A BD ⊄平面，∴11CD A BD ∥平面.…………………………………………2分 ∵111BB AA DD ∥∥，∴四边形11D DBB 为平行四边形， ∴11B D BD ∥，又1BD A BD ⊂平面，111B D A BD ⊄平面，∴111B D A BD ∥平面.……………………………………4分 又1111CD B D D =，∴平面111B CD A BD ∥平面. 又1B C ⊂平面11B CD ，∴1B C ∥平面1A BD .………………………………5分 （Ⅱ）∵ 2 1 60AC BC ACB ==∠=︒，，， ∴2222cos 3AB AC BC AC BC ACB =+-⋅⋅∠=，∴AB =.…………………………………………6分 ∴222AC AB BC =+，∴BC AB ⊥.…………………………………………7分 又∵平面11AA B B ⊥平面ABC ，平面11AA B B平面ABC AB =.∴11BC AA B B ⊥平面.…………………………………………9分 ∵11160 A AB AB BB AA ∠=︒==，，∴1AA =∴1111sin 2A AB S AB AA A AB =⋅⋅∠=△分 ∵D 是AC 中点，∴1111111223A ABD D A AB C A AB A AB V V V S BC ---===⨯⋅=△分20.本小题主要考查直线与圆锥曲线、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，分类与整合思想等，满分12分.解：（Ⅰ）依题意，直线l 的方程为2y kx =+，…………………………1分 由2213x y ⎧+=⎨⎩，消去y 得()22311290k x kx +++=，……………………3分 令()()221236310k k ∆=-+>，……………………………………4分 解得1k >或1k <-， 所以k 的取值范围是()() -1 1 +-∞∞，，.………………………………5分 （Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为0x =，则()()0 1 0 1P Q -，，，，此时以PQ 为直径的圆过点()1 0E ，，满足题意.…………………………………………6分 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()()11222 y kx P x y Q x y =+，，，，，又()1 0E ，， 所以()()11221 1 EP x y EQ x y =-=-，，，.…………………………7分 由（Ⅰ）知，1212221293131k x x x x k k +=-=++，，…………………………8分 所以()()121211EP EQ x x y y ⋅=--+ ()()()121212122x x x x kx kx =-+++++()()()212121215k x x k x x =++-++()()22291122153131k k k k k +⎛⎫=+--+ ⎪++⎝⎭2121431k k +=+.……………………………………………………………………10分因为以PQ 为直径的圆过点()1 0E ，，所以0EP EQ ⋅=，即21214031k k +=+，解得76k =-，满足0∆>.故直线l 的方程为726y x =-+.……………………………………11分综上，所求直线l 的方程为0x =或726y x =-+.……………………12分21.本小题主要考查函数的最值、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，创新意识等，考查函数与方程思想，化归与转化思想，分类与整合思想、数形结合思想等，满分12分.解法一：（Ⅰ）因为()212x f x e x x =--， 所以()'1x f x e x =--.………………………………2分令()1x g x e x =--，则()'1x g x e =-，所以当0x >时，()'0g x >，故()g x 在[0 )+∞，上单调递增.……………………3分所以当0x >时，()g x ()00g >=，即()'0f x >，所以()f x 在[0 )+∞，上单调递增，故当0x =时，()f x 取得最小值1.……………………4分（Ⅱ）（1）当0a ≤时，对于任意的0x ≥，恒有11ax +≤，又由（Ⅰ）得()1f x ≥，故()1f x ax ≥+恒成立，………………7分（2）当0a >时，令()2112x h x e x x ax =----， 则()'1x h x e x a =---，………………………………8分由（Ⅰ）知()1x g x e x a =---在[0 )+∞，上单调递增，所以()'1x h x e x a =---在[0 )+∞，上单调递增，………………9分又()'00h a =-<，…………………………………………10分取x =，由（Ⅰ）得(2112e ≥+，((21'11102h e a a a =--≥+--=>，所以函数()'h x 存在唯一的零点(00 x ∈，，当()00 x x ∈，时，()'0h x <，()h x 在0[0 )x ，上单调递减， 所以当()00 x x ∈，时，()()00h x h <=，即()1f x ax <+，不符合题意. 综上，a 的取值范围为( 0]-∞，.………………………………12分解法二：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）令()2112x h x e x x ax =----，则()'1x h x e x a =---.…………5分由（Ⅰ）知，0x >时，10x e x -->，（1）当0a ≤时，()'10x h x e x a =--->，………………………………6分此时()h x 在[0 )+∞，上单调递增，所以当0x ≥时，()()00h x h ≥=，即2112x e x x ax --≥+. 即0a ≤时，()1f x ax ≥+恒成立.……………………………………8分（2）当0a >时，由（Ⅰ）知()1x g x e x =--在[0 )+∞，上单调递增，所以()'1x h x e x a =---在[0 )+∞，上单调递增，所以()h x '在[0 )+∞，至多存在一个零点.…………………………9分如果()'h x 在[0 )+∞，存在零点0x ，因为()'00h a =-<，则00x >，且()0'0h x =，故当()00 x x ∈，时，()()0''0h x h x <=， 所以()h x 在0[0 )x ，上单调递减，所以当()00 x x ∈，时，()()00h x h <=，即()1f x ax <+，不符合题意.…………10分 如果()'h x 在[0 )+∞，不存在零点，因为()'00h a =-<，则当()0 x ∈+∞，时，恒有()'0h x <， 所以()h x 在[0 )+∞，上单调递减，则当()0 x ∈+∞，时，()h x ()00h <=，即()1f x ax <+，不符合题意. 综上，a 的取值范围为( 0]-∞，. ………………………………12分请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.22.选修4—1：几何证明选讲本小题主要考查圆的性质等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力等，考查化归与转化思想等.满分10分解法一：（Ⅰ）因为BE 是O 的切线，所以EBD BAD ∠=∠，…………………………2分 因为BD DC =，所以BD DC =，………………………………………………3分所以BAD CAD ∠=∠，……………………………………4分所以EBD CAD ∠=∠.……………………………………5分（Ⅱ）若AD 为O 的直径（如图），连结OB ，则OB BE ⊥，……………………………………7分由1OB OD BD ===，可得60BOE ∠=︒，……………………8分在Rt OBE △中，因为tan BE BOE OB∠=，所以tan 60BE =︒分解法二：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）因为AD 为O 的直径，所以90ABD ∠=︒.………………………………6分又1BD =，2AD =，所以30BAD ∠=︒，60ADB ∠=︒，…………………………7分 由（Ⅰ）得EBD BAD ∠=∠，所以30EBD ∠=︒，所以30E ADB EBD ∠=∠-∠=︒，所以1DE DB ==.……………………………………………………9分又2BE DE EA =⋅，所以213BE =⨯，即BE =.……………………10分23.选修4-4：坐标系与参数方程本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等，满分10分.解：（Ⅰ）由2x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩得2x y αα⎧=⎪⎨-=⎪⎩，所以曲线1C 的普通方程为()2227x y +-=.…………………………………………3分把cos x ρθ=，sin y ρθ=，代入()2211x y -+=，得()()22cos 1sin 1ρθρθ-+=，化简得，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=.………………………………5分 （Ⅱ）依题意可设12 66A B ππρρ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，. 因为曲线1C 的极坐标方程为24sin 30ρρθ--=，………………………………6分 将()06πθρ=>代入曲线1C 的极坐标方程得2230ρρ--=，解得13ρ=.……………………………………………………7分同理将()06πθρ=>代入曲线2C 的极坐标方程得2ρ=分所以123AB ρρ=-=-分24.选修4-5：不等式选讲本小题主要考查绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，分类与整合思想等，满分10分.解法一：（Ⅰ）1a =时，原不等式可化为111x x --+≥，……………………1分 当1x <-时，原不等式可化为()()111x x -++≥，即21≥，此时， 不等式的解集为{}1x x <-.…………………………………………2分当11x -≤<时，原不等式化为()()111x x ---+≥，即12x ≤-. 此时，不等式的解集为112x x ⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭.……………………………………3分 当1x ≥时，原不等式化为()()111x x --+≥，即21-≥，此时，不等式的解集为∅.……………………………………4分 综上，原不等式的解集为12x x ⎧⎫≤-⎨⎬⎩⎭.…………………………5分 （Ⅱ）不等式()30f x x +≤的解集包含{}1x x ≤-， 等价于30x a x -+≤对( 1]x ∈-∞-，恒成立，即3x a x -≤-对( 1]x ∈-∞-，恒成立，…………………………7分 所以33x x a x ≤-≤-，即42x a x ≤≤-对( 1]x ∈-∞-，恒成立，……8分故a 的取值范围为[]4 2-，.………………………………………………10分 解法二：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）因为()f x x a =-，所以不等式()30f x x +≤可化为30x a x -+≤， 当x a ≥时，不等式化为30x a x -+≤，解得4a x ≤；……………………6分 当x a <时，不等式化为30a x x -+≤，解得2a x ≤-.………………7分 故当0a ≥时，原不等式的解集为2a x x ⎧⎫≤-⎨⎬⎩⎭， 由于不等式30x a x -+≤的解集包含{}1x x ≤-， 所以12a -≥-，解得02a ≤≤.………………………………8分 当0a <时，原不等式的解集为4a x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭， 由于不等式30x a x -+≤的解集包含{}1x x ≤-， 所以14a ≥-，解得40a -≤<.………………………………9分 综上，a 的取值范围为[]4 2-，.…………………………10分。