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求常系数非齐次线性微分方程的特解的一般方法和特殊技巧1、求常系数非齐次线性微分方程的特解的一般方法下面两个公式是求特解的重要公式： A 、 p 为单根时()t f p D -1对应的特解为()dt t f eeX ptpt⎰-=,即 ()()t f eDet f pD ptpt-=-11； （21）B 、p 为s 重根时()t f p D s)(1-对应的特解为()()sptsptsdt t f e eX-⎰⎰⎰=,即()()t f eDet f p D ptspts-=-1)(1。
（22）注：公式（21）也可以作为公式（22）在1=s 时的特例。
由通解公式知，求常系数非齐次线性微分方程的通解问题，就是求其对应齐次方程通解(这主要是求代数方程根的问题)和求原方程的一个特解。
我们下面只讨论如何用（21）和（22）求非齐次方程的特解。
例1：求下列非齐次微分方程的特解： 1)()tt ee x D D226-+=--； 2）()t x Dsin 12=+；3) ()221t x D D+=+； 4) ()teex D D=+-232。
解：设特解为X 1) 解1：()()()tttttteeD e eD eeD D 22222151315161---++-+-=+--()()dteeee dte eeetttttttt⎰⎰----+-+=2222335151tttttttete e te e ee 2222251516151151251101-------=----=取tttee X 25161---= 。
（注意，te 2251--将被合并在方程的通解之中）解2：()()()()()dteeeeD eeD DeeD D tttttttt⎰----++=+-+=+--23322221312161()tt t ttttttttee dt ee eedteeeeD 22222335161512121-------=⎪⎭⎫⎝⎛+-=++=⎰⎰tttee X 25161---= 。
关于非齐次线性常系数微分方程特解的微分算子解法的若干示例一、表示符号把某函数对于自变量x 的导数写成D ，即D=dxd 。
例如，函数y 对x 的一阶导数为y dxdy '=，可以表示成Dy ，同理，y ''可以写成2D y ，三阶、四阶….以此类推D1则代表着求积分，如D1x ，就是⎰xdx ，参看复习指导二、 微分方程的表示如果非齐次方程按降阶写成：)x (f y a y a ya y a n 1n )1n (1)n (0=+'+++-- (1)当然，你也可以写成：)x (f y p y p y p y n 1n )1n (1)n (=+'+++-- ，本质都一样，这种形式相当于（1）方程两边同时除以a 0（0≠）。
这里我们以（1）式为准。
用微分子形式表示方程（1）：)x (f y a Dy a y D a y D a n 1n 1n 1n 0=++++-- 方程左边把公因子y 提出来：f(x))y a D a D a D (a n 1n 1n 1n 0=++++--上式中，把)a D a Da D (a n 1n 1n 1n0++++-- 看作关于D 的一个函数表达式，表示成F （D ）即F （D ）=)a D a Da D (a n 1n 1n 1n 0++++--则方程（1）最终可以写成：F （D ）y=f （x ）三、 相关结论 F （D ）kxe=kxe·F （k ）甲也可以写成：)F(k ee )D (F 1kxkx=，（分母不为零时），若分母为零，参见指导书表格内的公式证明：F （D ）kxe =kxn 1n 1n 1n0)ea D a Da D (a ++++--=)(ea )(ea )(ea )(ea kxn kx1n )1n (kx1)n (kx0+'+++--=kxn kx1n kx1-n 1kxn 0ea kea eka e k a ++++-kxn 1n 1-n 1n0-kx=F （k ）kxe甲注意此处方程左右两端的写法，表达的意义是不一样的，左边F （D ）是求导，具体来说左边是kxn 1n 1n 1n0)ea D a D a D (a ++++-- ，即)(ea )(e a )(ea )(ea kxn kx1n )1n (kx1)n (kx0+'+++-- ，而方程右边则是)(ekx乘于多项式F （k ）其中，左边的带下划线的部分的函数形式与F （D ）一样，因此写成F （k ）形式，只是字母 是常数k ，而不是求导了，意义也就不同了，它只是个关于k 的多项式了。
常系数非齐次微分方程的特解怎么设常系数非齐次微分方程的特解怎么设一、引言在微积分学中，微分方程是研究变量之间关系的重要工具。
其中，常系数非齐次微分方程是一类特殊且常见的微分方程，其解法具有一定的规律性。
本文将对常系数非齐次微分方程的特解设定进行探讨，并分析其中的原理和应用。
二、常系数非齐次微分方程的定义和特点常系数非齐次微分方程是指微分方程中的系数都是常数，且方程右端有非零的常数项。
其一般形式可以表示为：```a_n*y^(n) + a_(n-1)*y^(n-1) + ... + a_1*y' + a_0*y = f(x)```其中，n为微分方程的阶数，`a_n, a_(n-1), ..., a_1, a_0`为常数，`y^(n)`表示y的n次导数，f(x)为非零的常数项。
常系数非齐次微分方程的求解主要有两个步骤：先求解对应的齐次线性微分方程，再求解非齐次线性微分方程。
其中，对于齐次线性微分方程，我们可以利用特征方程的方法求解得到其通解。
而对于非齐次线性微分方程，则需要设定特解，并将特解与齐次方程的通解相加。
三、设定特解的方法设定特解的方法主要有待定系数法和常数变易法两种。
1. 待定系数法待定系数法是常用的一种设定特解的方法，其基本思想是通过设定未知函数的形式，将特解代入微分方程，进而确定未知函数的系数。
常见的设定特解的函数形式有多项式、幂函数、指数函数、三角函数等。
以常见的一阶非齐次线性微分方程为例，形式如下：```a_1*y' + a_0*y = f(x)```我们可以设定特解的函数形式为`y_p = C`，其中C为待定常数。
将特解代入方程，得到：```a_1*0 + a_0*C = f(x)```从上式可以解得待定常数C的值，进而求得此时的特解。
对于高阶非齐次线性微分方程，设定特解的方法类似。
不同的是，在设定特解的函数形式时，需要根据方程右端的f(x)的形式选择相应的函数。
常系数非齐次微分方程的特解引言微分方程是数学中一类重要的方程，它描述了变量之间的关系以及其随时间变化的规律。
常系数非齐次微分方程是一种经典的微分方程类型，它在物理、工程等领域中具有广泛的应用。
本文将介绍常系数非齐次微分方程的特解求解方法。
常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程可以写成如下形式：d n dt n y(t)+a n−1d n−1dt n−1y(t)+⋯+a1dydt+a0y(t)=F(t)其中a n−1,…,a1,a0是常数，F(t)是已知函数。
我们希望找到一个特解y p(t)，使得上述方程成立。
特解求解方法1. 线性常数法（适用于F(t)为多项式函数）当F(t)为多项式函数时，我们可以使用线性常数法来求解特解。
假设特解为y p(t)=c m t m+c m−1t m−1+⋯+c1t+c0，其中c m,…,c1,c0是待定常数。
将特解代入原方程，得到：d n dt n y p(t)+a n−1d n−1dt n−1y p(t)+⋯+a1dy pdt+a0y p(t)=F(t)然后对上式两边进行求导运算，并整理得到：m(m−1)…(m−n+1)c m t m−n+(m−1)(m−2)…(m−n)c m−1t m−n+1+⋯+m(m−1)…(m−n+2)c n−2t2+m(m−1)…(m−n+1)c n−1t=F(t)比较上式中t的各次幂系数与F(t)的各次幂系数，可以得到一组关于待定常数的线性方程组。
解这个线性方程组即可求得特解。
2. 试探法（适用于F(t)为指数函数、正弦函数、余弦函数等）当F(t)为指数函数、正弦函数、余弦函数等特殊函数时，我们可以使用试探法来求解特解。
假设特解为y p(t)=R(t)cos(ωt+ϕ)，其中R(t)是待定函数，ω是特征方程根的虚部，ϕ是相位角。
将特解代入原方程，得到：d n dt n y p(t)+a n−1d n−1dt n−1y p(t)+⋯+a1dy pdt+a0y p(t)=F(t)然后对上式两边进行求导运算，并整理得到：−ω2R(t)cos(ωt+ϕ)+a n−1(−ω2R(t)cos(ωt+ϕ))′+⋯+a0R(t)cos(ωt+ϕ)=F(t)比较上式中cos(ωt+ϕ)的系数与F(t)的系数，可以得到关于待定函数R(t)的微分方程。
高阶常系数线性非齐次微分方程特解几种非常规解法
高阶常系数线性非齐次微分方程的解法比一般的非齐次微分方程复杂的多，而采用正规的分步法或积分复原法来求解，效率低下易出现错误，所以需要采用非常规的解法来加快求解的效率，提高解的准确性。
经过一系列的研究，目前已经形成了三种主要的非常规解法：
一是拉格朗日多元展开法。
该法是将微分方程展开成多元多项式求解，计算结果精确，但计算比较复杂，不适合大规模计算。
二是Kowalewsky-Trunov展开法。
该法是通过对称性质对“元胞”或者“子空间”进行展开，以求解非齐次线性微分方程，这一方法有很强的鲁棒性，同时可以有效避免数值计算错误。
三是Padé拆分法。
该法将线性常系数微分方程根据代数特性进行拆解和重新组合，从而达到快速精确求解的目的。
这三种非常规解法都具有自身独特的优点，以及不同的应用场景，有效的提高了求解高阶常系数线性非齐次微分方程的效率，也为科学研究提供了更好的解决方案。
【常系数非齐次微分方程的特解怎么设】一、引言在数学的学习中，微分方程是一个重要的分支，在工程、物理等领域有着广泛的应用。
其中，常系数非齐次微分方程的特解是一个颇具挑战性的问题。
本文将围绕这一主题展开讨论，深入探究如何设定常系数非齐次微分方程的特解，以帮助读者更全面地理解这一内容。
二、常系数非齐次微分方程的基本形式我们需要了解常系数非齐次线性微分方程的基本形式。
一般地，常系数非齐次线性微分方程可以表示为：\[ a_n y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)} + \cdots + a_1 y' + a_0 y = F(x) \]其中，\[ y^{(n)} \] 表示 y 的 n 阶导数，\[ a_n, a_{n-1}, \cdots, a_1, a_0 \] 为常数，\[ F(x) \] 为非齐次项。
三、常系数非齐次微分方程特解的设定接下来，我们将探讨如何设定常系数非齐次微分方程的特解。
一种常用的方法是根据非齐次项的形式来设定特解的形式。
具体来说，如果非齐次项为多项式形式，我们可以设定特解为与非齐次项形式相同的多项式；如果非齐次项为指数形式，我们可以设定特解为与非齐次项形式相同的指数函数；如果非齐次项为三角函数形式，我们可以设定特解为与非齐次项形式相同的三角函数等等。
四、具体案例分析为了更好地理解常系数非齐次微分方程特解的设定方法，我们以具体的案例来进行分析。
考虑如下的微分方程：\[ y'' - 3y' + 2y = 4e^x \]我们可以根据非齐次项的形式来设定特解的形式，因为非齐次项为指数形式，所以我们设定特解为与非齐次项形式相同的指数函数，即\( y_p = Ae^x \)。
将 \( y_p \) 代入原方程，得到：\[ (Ae^x)'' - 3(Ae^x)' + 2Ae^x = 4e^x \]整理化简后，得到 \( A = 2 \)，因此特解为 \( y_p = 2e^x \)。
常系数非齐次线性微分方程的特解简单解法
经常系数非齐次线性微分方程（Nonhomogeneous Linear Equation with Constant Coefficient，简称NLCC）是数学分析中一类数学模型，应用广泛，有
着丰富的实际应用价值。
其特解的简单解法尤为重要，为解决NLCC特解提供了一
种有效的方法。
特解是NLCC的一种解法思想，即采用分析相应特征根以确定其特解解析式，
同时应用解析法去求解。
首先，根据模型特征系数确定特征方程，而特征方程常可先用单根定理求得特征根；其次，将特征函数形式成一系列有联系的特征方程；最后根据求出的特征根，用解析法求解特征函数的线性组合，即可解出特解。
NLCC的解决思路，在解析类型或者数值类型上均可有效应用，可以存在多种
解决方案和思路。
特解的简单解法是其中的一种，使用概率化的手段，可以有效地减少 NLCC的解法过程、加快实际解答。
特解的简单解法在求解特征方程是，重点
考虑特征根的具体内容，从复数空间分布和解析特征方程开始，可以为求解NLCC
提供有益的支持。
特解的简单解法不仅能够快速准确地求出特解，而且同时避免了NLCC解法过
程中不必要的工作，从而大大加快了解题速度，同时也可以减少解题复杂程度。
其思想由古老，但仍将在当下的数学应用中发挥有效的支撑作用，是值得积极发展的一门技术。
回顾至今，特解的简单解法甚至成为处理NLCC方程的重要组成部分，为后世
学者提供了有用的解决框架。
未来，将有更多的研究面向进一步发展特解简单解法，使其在快速精准地求解NLCC特解方面拥有更强的能力。
第37卷第12期2007年6月数学的实践与认识M A TH EM A T I CS I N PRA CT I CE AND TH EO R Y
V o l 137 N o 112
June,2007 求高阶常系数非齐次线性微分方程特解的新方法
王建锋
(河海大学理学院,南京 210098)
摘要: 求高阶常系数非齐次线性微分方程:y (n )+P 1y (n -1)+…+P n y =f (x )(P 1,P 2,…,P n 是实数)的特解的一种新方法.首先将该方程降为n 个一阶非齐次线性微分方程组:
y ′1-w 1y 1=f (x )
y ′2-w 2y 2=y 1
y ′n -w n y n =y n -1
其中w 1,w 2,…,w n 是对应的齐次方程的特征方程:t n +P 1t n -1+…+P n =0的n 个根.然后得出了求原方程一个特解的迭代公式.
关键词: 微分方程;降阶;特解
1 引 言
收稿日期:2005207219
对于高阶常系数非齐次线性微分方程:
y (n )+P 1y (n -1)+…+P n y =f (x )(1.1)
其中P 1,P 2,…,P n 是实数,它的求特解的方法有常数变易法、待定系数法、微分算子法、
L ap lace 变换法等等
.这些方法有一个共同点:必须先求出方程(1.1)对应的齐次方程的特征方程:t n +P 1t n -1+…+P n =0的n 个根w 1,w 2,…,w n ,然后再进行复杂的计算,甚至要用到复变函数理论.本文将提出一种新的方法解方程(1.1),并且在求特解时直接利用特征根w 1,w 2,…,w n 进行简单的计算即可.
2 主要结果
定理1 方程(1.1)可降阶为:
y ′1-w 1y 1=f (x )(2.1
)y (n -1)-Q 1y (n -2)-Q 2y (n -3)-…-Q n -1y =y 1(2.2)
其中w 1是方程(1.1)对应的齐次方程的特征方程:t n +P 1t n -1+…+P n =0的根,Q 1,Q 2,…,Q n -1是常数且满足:
491数 学 的 实 践 与 认 识37卷
-Q1-w1=P1 (1)
-Q2+w1Q1=P2 (2)
-Q k+w1Q k-1=P k…(k)
-Q n-1+w1Q n-2=P n-1…(n-1)
w1Q n-1=P n…(n)
定理2 假设方程(1.1)对应的齐次方程的特征多项式为R1(t)=t n+P1t n-1+…P n-1t +P n,方程(2.2)对应的齐次方程的特征多项式为R2(t)=t n-1-Q1t n-2-Q2t n-3-…Q n-2t -Q n-1,则有:R1(t)=R2(t) (t-w1)
定理3 方程(1.1)可降阶为n个一阶非齐次线性微分方程组:
y′1-w1y1=f(x)
y′2-w2y2=y1
(3)
y′i-w i y i=y i-1
y′n-w n y n=y n-1
其中w1,w2,…,w n是方程(1.1)对应的齐次方程的特征方程的n个根,y=y n是方程(1.1)的解.
3 定理的证明
定理1之证明 将式(2.2)代入式(2.1)再与方程(1.1)进行比较后得到:
-Q1-w1=P1 (1)
-Q2+w1Q1=P2 (2)
-Q k+w1Q k-1=P k…(k)
-Q n-1+w1Q n-2=P n-1…(n-1)
w1Q n-1=P n…(n)
用w n-k
1+
1+P2w n-2 1乘以式(k)的两端后再将n个式子全部加起来,得到:-w n1=P1w n-1
…+P n-1w+P n,即,w n1+P1w n-1
1+…+P n=0,所以w1是方程(1.1)对应齐次方程的特征方程的根.w1解出以后,可依次由式(1)到式(n-1)解出Q1,Q2,…,Q n-1.
定理2之证明 因为R2(t) (t-w1)=t n+(-Q1-w1)t n-1+…(-Q k+ w1Q k-1)t n-k+…+(-Q n-1+w1Q n-2)t+w1Q n-1,所以由定理1知,R2(t) (t-w1)= R1(t).
定理3之证明 使用数学归纳法.
1.当n =1时,定理显然成立;
2.假设n =k 时,该定理成立;
3.当n =k +1时,由定理1知:
y (k +1)+P 1y (k )+…+P k +1y =f (x )…(3.1)
可以降阶为:y ′1-w 1y 1=f (x )
(3.2)y (k )-Q 1y (k -1)-Q 2y (k -2)-…-Q k y =y 1(3.3
)
再由归纳假设,方程(3.3)可以降阶为k 个一阶非齐次线性微分方程组:y ′2-w 2y 2=y 1
y ′3-w 3y 3=y 2
y ′k +1-w k +1y k +1=y k
其中w 2,w 3,…,w k +1是方程(3.3)对应的齐次方程的特征方程:t k -Q 1t k -1-Q 2t k -2-…-Q k =0的k 个根,y =y k +1是方程(3.3)的解也就是方程(3.1)的解.再结合定理2可知:
∏k +1
i =2
(t -
w i )=t k -Q 1t k -1-Q 2t k -2-…-Q k (t k -Q 1t k -1-Q 2t k -2-…-Q k )(t -w 1)=t k +1+P 1t k +…P k +1
于是:∏k +1i =1t -
w i )=t k +1+P 1t k +…+P k +1,即w 1,…,w k +1是方程(3.1)对应的齐次方程
的特征方程:t k +1+P 1t k +…+P k +1=0的k +1个根.
所以当n =k +1时,该定理成立.根据归纳原理知该定理对一切正整数n 成立.由定理3可知,只要求出了方程(1.1)对应的齐次方程的特征方程的n 个特征根:w 1,w 2,…,w n ,即可按如下迭代公式求得方程(1.1)的特解y n 1:
y i 1=e w i x ∫y i -1,1e -w i x d x ,y 01=f (x ),
这里假定不定积分只表示某一个原函数,不包括独立常数.
本文介绍的解法是否比常数变易法,待定系数法,微分算子法,拉氏变换法来得简单?相信读者自有定论.笔者认为:当微分方程(1.1)的阶数较高时,在实际应用中,本文介绍的解法将更具有优越性.
参考文献:
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[3] 叶彦谦.常微分方程讲义[M ].人民教育出版社,1978.
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[5] 任永泰,史希福.常微分方程[M ].辽宁人民出版社,1984.
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9112期王建锋:求高阶常系数非齐次线性微分方程特解的新方法
691数 学 的 实 践 与 认 识37卷
New M ethod for the Spec i al An swer of H igh order Nonhom ogeous L i near D ifferen ti al
Equation w ith Con stan t Coeff ic ien ts
W AN G J ian2feng
(Co llege of Science,Hohai U niversity,N anjing210098,Ch ina)
Abstract: T h is paper puts fo r w ard a new m ethod fo r the special ans w er of h igh o rder nonhomogeous linear differential equati on w ith constant coefficients:y(n)+P1y(n-1)+…P n y=
f(x),P1,P2,…,P n∈R.F irst reduces it into n one o rder nonhomogeous linear differential equati ons:
y′1-w1y1=f(x)
y′2-w2y2=y1
y′n-w n y n=y n-1,
w1,w2,…,w n are roo ts of the charcteristic equati on:t n+P1t n-1+…+P n=0;then gets
a fo r m ula fo r one special ans w er of th is equati on.
Keywords: differential equati on;reduce o rder;special ans w er。
