求高阶常系数非齐次线性微分方程特解的新方法

求常系数非齐次线性微分方程的特解的一般方法和特殊技巧1、求常系数非齐次线性微分方程的特解的一般方法下面两个公式是求特解的重要公式： A 、 p 为单根时()t f p D -1对应的特解为()dt t f eeX ptpt⎰-=,即 ()()t f eDet f pD ptpt-=-11； （21）B 、p 为s 重根时()t f p D s)(1-对应的特解为()()sptsptsdt t f e eX-⎰⎰⎰=,即()()t f eDet f p D ptspts-=-1)(1。

（22）注：公式（21）也可以作为公式（22）在1=s 时的特例。

由通解公式知，求常系数非齐次线性微分方程的通解问题，就是求其对应齐次方程通解(这主要是求代数方程根的问题)和求原方程的一个特解。

我们下面只讨论如何用（21）和（22）求非齐次方程的特解。

例1：求下列非齐次微分方程的特解： 1)()tt ee x D D226-+=--； 2）()t x Dsin 12=+；3) ()221t x D D+=+； 4) ()teex D D=+-232。

解：设特解为X 1) 解1：()()()tttttteeD e eD eeD D 22222151315161---++-+-=+--()()dteeee dte eeetttttttt⎰⎰----+-+=2222335151tttttttete e te e ee 2222251516151151251101-------=----=取tttee X 25161---= 。

（注意，te 2251--将被合并在方程的通解之中）解2：()()()()()dteeeeD eeD DeeD D tttttttt⎰----++=+-+=+--23322221312161()tt t ttttttttee dt ee eedteeeeD 22222335161512121-------=⎪⎭⎫⎝⎛+-=++=⎰⎰tttee X 25161---= 。

关于非齐次线性常系数微分方程特解的微分算子解法的若干示例一、表示符号把某函数对于自变量x 的导数写成D ，即D=dxd 。

例如，函数y 对x 的一阶导数为y dxdy '=，可以表示成Dy ，同理，y ''可以写成2D y ，三阶、四阶….以此类推D1则代表着求积分，如D1x ，就是⎰xdx ，参看复习指导二、 微分方程的表示如果非齐次方程按降阶写成：)x (f y a y a ya y a n 1n )1n (1)n (0=+'+++-- (1)当然，你也可以写成：)x (f y p y p y p y n 1n )1n (1)n (=+'+++-- ，本质都一样，这种形式相当于（1）方程两边同时除以a 0（0≠）。

这里我们以（1）式为准。

用微分子形式表示方程（1）：)x (f y a Dy a y D a y D a n 1n 1n 1n 0=++++-- 方程左边把公因子y 提出来：f(x))y a D a D a D (a n 1n 1n 1n 0=++++--上式中，把)a D a Da D (a n 1n 1n 1n0++++-- 看作关于D 的一个函数表达式，表示成F （D ）即F （D ）=)a D a Da D (a n 1n 1n 1n 0++++--则方程（1）最终可以写成：F （D ）y=f （x ）三、 相关结论 F （D ）kxe=kxe·F （k ）甲也可以写成：)F(k ee )D (F 1kxkx=，（分母不为零时），若分母为零，参见指导书表格内的公式证明：F （D ）kxe =kxn 1n 1n 1n0)ea D a Da D (a ++++--=)(ea )(ea )(ea )(ea kxn kx1n )1n (kx1)n (kx0+'+++--=kxn kx1n kx1-n 1kxn 0ea kea eka e k a ++++-kxn 1n 1-n 1n0-kx=F （k ）kxe甲注意此处方程左右两端的写法，表达的意义是不一样的，左边F （D ）是求导，具体来说左边是kxn 1n 1n 1n0)ea D a D a D (a ++++-- ，即)(ea )(e a )(ea )(ea kxn kx1n )1n (kx1)n (kx0+'+++-- ，而方程右边则是)(ekx乘于多项式F （k ）其中，左边的带下划线的部分的函数形式与F （D ）一样，因此写成F （k ）形式，只是字母 是常数k ，而不是求导了，意义也就不同了，它只是个关于k 的多项式了。

常系数非齐次微分方程的特解怎么设常系数非齐次微分方程的特解怎么设一、引言在微积分学中，微分方程是研究变量之间关系的重要工具。

其中，常系数非齐次微分方程是一类特殊且常见的微分方程，其解法具有一定的规律性。

本文将对常系数非齐次微分方程的特解设定进行探讨，并分析其中的原理和应用。

二、常系数非齐次微分方程的定义和特点常系数非齐次微分方程是指微分方程中的系数都是常数，且方程右端有非零的常数项。

其一般形式可以表示为：```a_n*y^(n) + a_(n-1)*y^(n-1) + ... + a_1*y' + a_0*y = f(x)```其中，n为微分方程的阶数，`a_n, a_(n-1), ..., a_1, a_0`为常数，`y^(n)`表示y的n次导数，f(x)为非零的常数项。

常系数非齐次微分方程的求解主要有两个步骤：先求解对应的齐次线性微分方程，再求解非齐次线性微分方程。

其中，对于齐次线性微分方程，我们可以利用特征方程的方法求解得到其通解。

而对于非齐次线性微分方程，则需要设定特解，并将特解与齐次方程的通解相加。

三、设定特解的方法设定特解的方法主要有待定系数法和常数变易法两种。

1. 待定系数法待定系数法是常用的一种设定特解的方法，其基本思想是通过设定未知函数的形式，将特解代入微分方程，进而确定未知函数的系数。

常见的设定特解的函数形式有多项式、幂函数、指数函数、三角函数等。

以常见的一阶非齐次线性微分方程为例，形式如下：```a_1*y' + a_0*y = f(x)```我们可以设定特解的函数形式为`y_p = C`，其中C为待定常数。

将特解代入方程，得到：```a_1*0 + a_0*C = f(x)```从上式可以解得待定常数C的值，进而求得此时的特解。

对于高阶非齐次线性微分方程，设定特解的方法类似。

不同的是，在设定特解的函数形式时，需要根据方程右端的f(x)的形式选择相应的函数。

常系数非齐次微分方程的特解引言微分方程是数学中一类重要的方程，它描述了变量之间的关系以及其随时间变化的规律。

常系数非齐次微分方程是一种经典的微分方程类型，它在物理、工程等领域中具有广泛的应用。

本文将介绍常系数非齐次微分方程的特解求解方法。

常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程可以写成如下形式：d n dt n y(t)+a n−1d n−1dt n−1y(t)+⋯+a1dydt+a0y(t)=F(t)其中a n−1,…,a1,a0是常数，F(t)是已知函数。

我们希望找到一个特解y p(t)，使得上述方程成立。

特解求解方法1. 线性常数法（适用于F(t)为多项式函数）当F(t)为多项式函数时，我们可以使用线性常数法来求解特解。

假设特解为y p(t)=c m t m+c m−1t m−1+⋯+c1t+c0，其中c m,…,c1,c0是待定常数。

将特解代入原方程，得到：d n dt n y p(t)+a n−1d n−1dt n−1y p(t)+⋯+a1dy pdt+a0y p(t)=F(t)然后对上式两边进行求导运算，并整理得到：m(m−1)…(m−n+1)c m t m−n+(m−1)(m−2)…(m−n)c m−1t m−n+1+⋯+m(m−1)…(m−n+2)c n−2t2+m(m−1)…(m−n+1)c n−1t=F(t)比较上式中t的各次幂系数与F(t)的各次幂系数，可以得到一组关于待定常数的线性方程组。

解这个线性方程组即可求得特解。

2. 试探法（适用于F(t)为指数函数、正弦函数、余弦函数等）当F(t)为指数函数、正弦函数、余弦函数等特殊函数时，我们可以使用试探法来求解特解。

假设特解为y p(t)=R(t)cos(ωt+ϕ)，其中R(t)是待定函数，ω是特征方程根的虚部，ϕ是相位角。

将特解代入原方程，得到：d n dt n y p(t)+a n−1d n−1dt n−1y p(t)+⋯+a1dy pdt+a0y p(t)=F(t)然后对上式两边进行求导运算，并整理得到：−ω2R(t)cos(ωt+ϕ)+a n−1(−ω2R(t)cos(ωt+ϕ))′+⋯+a0R(t)cos(ωt+ϕ)=F(t)比较上式中cos(ωt+ϕ)的系数与F(t)的系数，可以得到关于待定函数R(t)的微分方程。

高阶常系数线性非齐次微分方程特解几种非常规解法
高阶常系数线性非齐次微分方程的解法比一般的非齐次微分方程复杂的多，而采用正规的分步法或积分复原法来求解，效率低下易出现错误，所以需要采用非常规的解法来加快求解的效率，提高解的准确性。

经过一系列的研究，目前已经形成了三种主要的非常规解法：
一是拉格朗日多元展开法。

该法是将微分方程展开成多元多项式求解，计算结果精确，但计算比较复杂，不适合大规模计算。

二是Kowalewsky-Trunov展开法。

该法是通过对称性质对“元胞”或者“子空间”进行展开，以求解非齐次线性微分方程，这一方法有很强的鲁棒性，同时可以有效避免数值计算错误。

三是Padé拆分法。

该法将线性常系数微分方程根据代数特性进行拆解和重新组合，从而达到快速精确求解的目的。

这三种非常规解法都具有自身独特的优点，以及不同的应用场景，有效的提高了求解高阶常系数线性非齐次微分方程的效率，也为科学研究提供了更好的解决方案。

【常系数非齐次微分方程的特解怎么设】一、引言在数学的学习中，微分方程是一个重要的分支，在工程、物理等领域有着广泛的应用。

其中，常系数非齐次微分方程的特解是一个颇具挑战性的问题。

本文将围绕这一主题展开讨论，深入探究如何设定常系数非齐次微分方程的特解，以帮助读者更全面地理解这一内容。

二、常系数非齐次微分方程的基本形式我们需要了解常系数非齐次线性微分方程的基本形式。

一般地，常系数非齐次线性微分方程可以表示为：\[ a_n y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)} + \cdots + a_1 y' + a_0 y = F(x) \]其中，\[ y^{(n)} \] 表示 y 的 n 阶导数，\[ a_n, a_{n-1}, \cdots, a_1, a_0 \] 为常数，\[ F(x) \] 为非齐次项。

三、常系数非齐次微分方程特解的设定接下来，我们将探讨如何设定常系数非齐次微分方程的特解。

一种常用的方法是根据非齐次项的形式来设定特解的形式。

具体来说，如果非齐次项为多项式形式，我们可以设定特解为与非齐次项形式相同的多项式；如果非齐次项为指数形式，我们可以设定特解为与非齐次项形式相同的指数函数；如果非齐次项为三角函数形式，我们可以设定特解为与非齐次项形式相同的三角函数等等。

四、具体案例分析为了更好地理解常系数非齐次微分方程特解的设定方法，我们以具体的案例来进行分析。

考虑如下的微分方程：\[ y'' - 3y' + 2y = 4e^x \]我们可以根据非齐次项的形式来设定特解的形式，因为非齐次项为指数形式，所以我们设定特解为与非齐次项形式相同的指数函数，即\( y_p = Ae^x \)。

将 \( y_p \) 代入原方程，得到：\[ (Ae^x)'' - 3(Ae^x)' + 2Ae^x = 4e^x \]整理化简后，得到 \( A = 2 \)，因此特解为 \( y_p = 2e^x \)。

常系数非齐次线性微分方程的特解简单解法
经常系数非齐次线性微分方程（Nonhomogeneous Linear Equation with Constant Coefficient，简称NLCC）是数学分析中一类数学模型，应用广泛，有
着丰富的实际应用价值。

其特解的简单解法尤为重要，为解决NLCC特解提供了一
种有效的方法。

特解是NLCC的一种解法思想，即采用分析相应特征根以确定其特解解析式，
同时应用解析法去求解。

首先，根据模型特征系数确定特征方程，而特征方程常可先用单根定理求得特征根；其次，将特征函数形式成一系列有联系的特征方程；最后根据求出的特征根，用解析法求解特征函数的线性组合，即可解出特解。

NLCC的解决思路，在解析类型或者数值类型上均可有效应用，可以存在多种
解决方案和思路。

特解的简单解法是其中的一种，使用概率化的手段，可以有效地减少 NLCC的解法过程、加快实际解答。

特解的简单解法在求解特征方程是，重点
考虑特征根的具体内容，从复数空间分布和解析特征方程开始，可以为求解NLCC
提供有益的支持。

特解的简单解法不仅能够快速准确地求出特解，而且同时避免了NLCC解法过
程中不必要的工作，从而大大加快了解题速度，同时也可以减少解题复杂程度。

其思想由古老，但仍将在当下的数学应用中发挥有效的支撑作用，是值得积极发展的一门技术。

回顾至今，特解的简单解法甚至成为处理NLCC方程的重要组成部分，为后世
学者提供了有用的解决框架。

未来，将有更多的研究面向进一步发展特解简单解法，使其在快速精准地求解NLCC特解方面拥有更强的能力。

高阶常系数非齐次微分方程特解的求法1 微分方程概述微分方程是表示具有时间和空间性质的模型系统的改变过程的数学方程。

它是建立在微分学基础上的一种数学描述，用来描述函数的时间变化的过程的数学工具，表达了可变量之间有关性的数学隐喻。

2 高阶常系数非齐次微分方程高阶常系数非齐次微分方程是在数学领域中一般称之为线性微分方程，其中微分阶次大于一，而系数都是常数。

高阶常系数非齐次线性微分方程是指右端为0，且其系数常数都不等于0的非齐次线性微分方程。

它与一阶常系数非齐次线性微分方程最大的不同是，一阶线性微分方程只含有一阶导数，而高阶常系数非齐次线性微分方程含有多个阶导数。

3 高阶常系数非齐次微分方程具体求法高阶常系数非齐次微分方程的求法是由一般解来确定特解。

通常可以采用欧拉法，即将微分方程化为一组常微分方程，再给出一组解析解，最后对解析解合成得到一般解，因而求得特解。

例如，考虑非齐次微分方程：y''（t）+cosx（t）y'（t）+sinx （t）＝te（t）将此方程化为一组常微分方程：y'（t）＝v（t）v'（t）＝-cosx（t）v（t）-sinx（t）+te（t）解得解析解：y（t）＝M1·te（t）+M2·tsinx（t）+M3·tcosx（t）+M4·sin²x（t）+M5·sinxcosx（t）+M6·cos²x（t）其中，M1，M2，M3，M4，M5，M6均为常数，合成出一般解，最后得到特解：y（t）＝te（t）+A·tsinx（t）+B·tcosx（t）+C·sin²x（t）+D·sinxcosx（t）+E·cos²x（t）以上就是求高阶常系数非齐次微分方程特解的求法。

它是比较常用的一种求法，可以用来求解高阶常系数非齐次微分方程。

n 阶常系数非齐次线性微分方程特解的几种求解方法1引言对形如()()()()()t f x t a dtdxt a dt x d t a dt x d t a n n n n n n =++⋅⋅⋅++−−−01111（1）的n 阶非齐次线性方程，称()()()()001111=++⋅⋅⋅++−−−x t a dtdxt a dt x d t a dt x d t a n n n n n n （2）为其相关的齐次线性方程。

任给一个满足(1)且不带任何参数的函数x ~称为方程(1)的特解，已有下述求解定理：定理1若x ~为n 阶非齐次线性方程()()()()()t f x t a dtdxt a dt x d t a dt x d t a n n n n n n =++⋅⋅⋅++−−−01111（1）在区间I 上的任一个特解，设()()()t x t x t x n ,,,21⋅⋅⋅是其相关齐次线性方程()()()()001111=++⋅⋅⋅++−−−x t a dtdxt a dt x d t a dt x d t a n n n n n n （2）的一个基本解组，则在区间I 上方程（1）的通解为：()()()x t x c t x c t x c x n n ~2211++⋅⋅⋅++=，其中()n i c i,,2,1⋅⋅⋅=为任意常数。

由定理1知，非齐次线性方程的通解由两个函数的和组成：()()()x x x t x c t x c t x c x cn n ~~2211+=++⋅⋅⋅++=，其中线性组合()()()t x c t x c t x c x n n +⋅⋅⋅++=2211称为方程（1）余函数。

定理2k x x x ~,,~,~21⋅⋅⋅为n 阶非齐次线性方程（1）在区间I 上对应于k 个不同函数()()()t f t f t f k ,,,21⋅⋅⋅的k 个特解，也就是设i x ~表示对应于方程()()()()()t f x t a dtdxt a dt x d t a dt x d t a i n n n n n n =++⋅⋅⋅++−−−01111的特解，则kx x x x ~~~~21+⋅⋅⋅++=为()()()()()()()t f t f t f x t a dtdxt a dt x d t a dt x d t a k n n n n n n +⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++−−−2101111的特解。

常微分方程的特解与通解常微分方程是数学中重要的一类方程，广泛用于物理、工程、经济等领域中。

解常微分方程的过程中，我们常常会遇到两个概念：特解和通解。

在本文中，将详细介绍常微分方程的特解与通解的概念，以及它们的求解方法和应用。

一、常微分方程的特解特解是指常微分方程的一个满足特定条件的解。

对于常微分方程的初值问题，特解满足给定的初始条件。

特解的存在性和唯一性可以通过一些数学定理来判断。

求解常微分方程的特解的方法包括常系数线性齐次方程的特解、常系数非齐次方程的特解和变系数线性齐次方程的特解等。

对于常系数线性齐次方程的特解，可以使用特征根法求解。

具体而言，对于形如$ay''+by'+cy=0$的二阶常系数线性齐次方程，可以先求出它的特征方程$r^2+pr+q=0$的根$r_1$和$r_2$，然后根据根的不同情况得到相应的特解。

对于常系数非齐次方程的特解，可以将其转化为对应的齐次方程和非齐次方程的和。

具体而言，对于形如$ay''+by'+cy=g(x)$的二阶常系数非齐次方程，可以先求出对应的齐次方程的通解$y_c(x)$，然后再求非齐次方程的一个特解$y_p(x)$，最后将它们相加得到原方程的通解$y(x)=y_c(x)+y_p(x)$。

对于变系数线性齐次方程的特解，可以使用变量分离法、变换变量法等方法求解。

二、常微分方程的通解通解是指常微分方程的所有解的集合，它包含了方程的特解和齐次方程的通解。

通解可以通过求解常系数线性齐次方程的通解，并将其与对应的常系数非齐次方程的特解相加得到。

对于形如$ay''+by'+cy=0$的二阶常系数线性齐次方程，其通解可以表示为$y_c(x)=c_1y_1(x)+c_2y_2(x)$，其中$c_1$和$c_2$是任意常数，$y_1(x)$和$y_2(x)$是对应的线性无关的特解。

通过求解常系数非齐次方程的特解和常系数线性齐次方程的通解，并将它们相加得到方程的通解。

微分方程中的通解和特解微分方程是数学中的一个重要概念，广泛应用于物理、经济、生物等领域的建模和分析中。

在微分方程中，我们常常需要求解通解和特解，以得到方程的所有解或特定解。

本文将围绕微分方程的通解和特解展开讨论。

一、什么是微分方程的通解？微分方程的通解指的是该方程的所有解的集合。

具体来说，对于一个n阶微分方程，它的通解是包含n个独立常数的一般解。

这些常数的取值可以任意选取，从而得到该方程所有的解。

通解可以用公式表达，也可以用一般形式描述。

通解的求解方法通常基于微分方程的性质和特点，包括分离变量法、齐次线性微分方程法、常系数线性齐次微分方程法等。

二、微分方程的特解是什么意思？与通解相对应，特解是微分方程的一个特定解。

特解是通过给定的初始条件或边界条件来确定的，它与通解的区别在于特解是具体的解，而通解是方程的所有解的集合。

特解的求解方法通常基于给定的条件和方程的特点，可以使用变量分离法、常系数非齐次线性微分方程法等。

三、如何求解微分方程的通解和特解？求解微分方程的通解和特解的方法有很多，下面介绍常用的几种方法：1. 分离变量法：对于可分离变量的微分方程，可以将方程中的变量分离，然后进行积分求解。

这种方法适用于一阶微分方程。

2. 齐次线性微分方程法：对于形如dy/dx=f(x,y)的一阶线性微分方程，如果f(x,y)是关于x和y的齐次函数，则可使用变换y=vx，将其转化为可分离变量的方程。

3. 常系数线性齐次微分方程法：对于形如dy/dx+ay=0的一阶线性齐次微分方程，可以通过特征方程的求解得到通解。

4. 常系数非齐次线性微分方程法：对于形如dy/dx+ay=b的一阶线性非齐次微分方程，可以先求解对应的齐次方程的通解，然后再求特解。

以上是求解微分方程的一些常用方法，具体选择哪种方法取决于方程的形式和特点。

四、应用举例微分方程的应用非常广泛，下面举一个简单的例子来说明。

假设有一个弹簧振子，其运动满足二阶线性常系数微分方程mx''+kx=0，其中m为质量，k为弹簧系数。

n阶常系数非齐次线性微分方程特解的统一求法
以《n阶常系数非齐次线性微分方程特解的统一求法》为标题，本文旨在介绍n阶常系数非齐次线性微分方程特解的统一求法。

微分方程是数学分析中最重要的一个分支，其中，n阶常系数非齐次线性微分方程特别重要，其数学表示为：
begin{align}
y^{(n)} + a_{1}(t)y^{(n-1)} + cdots + a_{n-1}(t)y +
a_{n}(t)y = f(t)
end{align}
n阶常系数非齐次线性微分方程特解的统一求法一般可以分为三步走，首先，我们需要使用解析法将此方程分解为n个递归子问题，紧接着，我们可以使用适当的技巧，如解析法、数值方法和近似解析法，来求解这n个递归子问题中的每一个，最后，将求解出来的n个解合并在一起，使用一种称为“线性组合”的技巧，可以得到最终的特解。

除了上述的统一求法外，现有还有一种简单的求解n阶常系数非齐次线性微分方程特解的方法，叫做特征方程法，它可以直接从给定微分方程中求解出特征方程，解特征方程可以得到特解的集合，由此可以得到最终的特解。

然而，当n取大值时，使用特征方程法来求解n阶常系数非齐次线性微分方程特解就变得困难，此时，使用统一求法就十分有用。

在求解n阶常系数非齐次线性微分方程时，统一求法和特征方程
法都有其特点，在实际使用时，需要根据具体情况，综合考虑两种方法的优点，以实现最佳的结果。

综上所述，本文介绍了n阶常系数非齐次线性微分方程的特解的统一求法，并对依据不同情况，使用统一求法和特征方程法来求解特解时的考虑进行了探讨。

高阶常系数非齐次线性微分方程在工程、物理、金融等领域都有广泛应用。

它是一个非齐次方程，其中存在一个常系数，其次数为高阶的微分方程，求解这个微分方程是理解和应用这些领域的重要基础。

一、概述在微积分的学习过程中，学生们常常会遇到求解常系数非齐次线性微分方程的问题。

它也被称为高阶非齐次微分方程。

其中的“常系数”指的是微分方程中所有的系数都是常数，而“非齐次”则表示方程中存在非零项。

假设我们有一个高阶常系数非齐次微分方程：$$\frac{d^ny}{dx^n}+a_{n-1}\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}+...+a_1\frac{dy}{dx}+a_0y=f(x)$$其中 $a_0,a_1,...,a_{n-1}$ 是常数，$f(x)$ 是一个已知函数。

为了解决该微分方程，我们需要找到一个解 $y(x)$。

二、齐次微分方程的求解首先，我们需要解决由齐次微分方程所得到的通解。

齐次微分方程是指 $f(x)$ 的项为 $0$，即$$\frac{d^ny}{dx^n}+a_{n-1}\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}+...+a_1\frac{dy}{dx}+a_0y=0$$这个微分方程可以通过假设 $y(x)=e^{\lambda x}$ 为通解进行求解，得到特征值方程：$$\lambda ^n+a_{n-1}\lambda ^{n-1}+...+a_1\lambda+a_0=0$$特征值方程的解称为特征根$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n$，它们也称为系统的固有值。

特征根决定了系统的动态性质。

找到特征根后，我们可以得到齐次微分方程的通解：$$y(x)=c_1e^{\lambda_1 x}+c_2e^{\lambda_2x}+...+c_ne^{\lambda_n x}$$其中 $c_1, c_2,...,c_n$ 是常数。

三、非齐次微分方程的求解在解决了齐次微分方程的通解后，我们可以将非齐次微分方程转化为齐次微分方程。

㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２１ ４高阶常系数非齐次线性微分方程的算子法高阶常系数非齐次线性微分方程的算子法Һ朱美玲㊀（太原城市职业技术学院，山西㊀太原㊀０３００２７）㊀㊀ʌ摘要ɔ微分算子法是求解常系数微分方程的一种方法，本文利用算子性质推导出求高阶常系数非齐次线性微分方程特解的一种方法，并给出三种常见类型的常系数非齐次线性微分方程的具体解法．ʌ关键词ɔ比较系数法；常微分方程；算子；特解常微分方程在当代数学中是极其重要的一个分支，实用价值很高．微分方程在运动学㊁动力学㊁电子技术等学科中具有十分广泛的应用，比如电子装置的设计㊁自动控制系统的开发㊁弹道轨迹的计算及飞机㊁导弹等飞行稳定性的研究等．这些问题通过建立数学模型都可以转化为常微分方程的解，或者研究其解的性质问题．虽然常微分方程的应用已经取得了很大进展，但还有许多方面有待进一步研究，其中常微分方程的解法就是其中的一个方面．单从数学教学方面来讲，常微分方程的求解是高等数学中的难点和重点之一，其中求解常系数非齐次线性微分方程的特解又是线性微分方程理论的重要组成部分．高等数学教学中求高阶常系数非齐次线性微分方程的特解的常用方法是比较系数法，即先设出原方程的特解，然后再代入原方程，最后通过比较方程两端同类项的系数，从而求得特解．因为求解过程中涉及求导计算和解方程组的运算，所以求解过程比较复杂，计算比较繁琐，容易出错．但用拉普拉斯变换或傅立叶变换求特解需要大量的复变函数的知识，对于初学者来说又有一定的难度．因此本文从微分算子的概念出发，结合微分算子的性质，给出了用微分算子法求几类微分方程的特解的方法，通过将微分算子法与比较系数法对比可知，微分算子法没有繁琐的求导解方程的过程，计算比较简洁，易于学生掌握．一㊁微分算子高阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式：ａ０ｙ（ｎ）＋ａ１ｙ（ｎ－１）＋ ＋ａｎｙ＝ｆ（ｘ），其中ａｉ（ｉ＝０，１，２， ，ｎ）均为常数（也可以为复数）．微分算子：Ｄ＝ｄｄｘ，Ｄ２＝ｄ２ｄｘ２， ，Ｄｎ＝ｄｎｄｘｎ．算子多项式：Ｑ（Ｄ）＝ａ０ｄｎｄｘｎ＋ａ１ｄｎ－１ｄｘｎ－１＋ ＋ａｎ－１ｄｄｘ＋ａｎ＝ａ０Ｄｎ＋ａ１Ｄｎ－１＋ ＋ａｎ－１Ｄ＋ａｎ．微分算子性质：Ｑ（Ｄ）ｅλｘｙ()＝ｅλｘＱ（Ｄ＋λ）ｙ．逆算子：１Ｑ（Ｄ）被称为Ｑ（Ｄ）的逆算子，并具有性质：Ｑ（Ｄ）１Ｑ（Ｄ）ｆ（ｘ）[]＝ｆ（ｘ）．若Ｑ（Ｄ）＝Ｑ１（Ｄ）Ｑ２（Ｄ），则１Ｑ（Ｄ）ｆ（ｘ）＝１Ｑ１（Ｄ）㊃１Ｑ２（Ｄ）ｆ（ｘ）[]＝１Ｑ２（Ｄ）１Ｑ１（Ｄ）ｆ（ｘ）[]．二㊁高阶常系数线性微分方程的微分算子法（ⅰ）微分算子定理：Ｄｎｅλｘｙ＝ｅλｘ（Ｄ＋λ）ｎｙ（ｎ＝１，２， ）．证明㊀当ｎ＝１时，Ｄｅλｘｙ()＝λｅλｘｙ＋ｅλｘｄｙｄｘ＝ｅλｘλｙ＋ｄｙｄｘ()＝ｅλｘλｙ＋Ｄｙ()＝ｅλｘ（λ＋Ｄ）ｙ．假设当ｎ＝ｋ时，Ｄｋｅλｘｙ＝ｅλｘ（Ｄ＋λ）ｋｙ成立．当ｎ＝ｋ＋１时，Ｄｋ＋１ｅλｘｙ＝Ｄ（Ｄｋｅλｘｙ）＝ＤｅλｘＤ＋λ()ｋｙ[]＝λｅλｘＤ＋λ()ｋｙ＋ｅλｘＤ＋λ()ｋｄｙｄｘ＝λｅλｘＤ＋λ()ｋｙ＋ｅλｘ（Ｄ＋λ）ｋＤｙ＝ｅλｘλ（Ｄ＋λ）ｋ＋（Ｄ＋λ）ｋＤ[]ｙ＝ｅλｘ（Ｄ＋λ）ｋ＋１ｙ．由数学归纳法可知Ｄｎｅλｘｙ＝ｅλｘ（Ｄ＋λ）ｎｙ（ｎ＝１，２， ）成立．（ⅱ）微分算子定理：方程ａ０ｙ（ｎ）＋ａ１ｙ（ｎ－１）＋ ＋ａｎｙ＝ｂ０ｘｍ＋ｂ１ｘｍ－１＋ ＋ｂｍ（ｎȡｍ）（１）有特解ｙ＝Ｐ（ｘ）＋Ｔ（Ｄ）Ｐ（ｘ）＋Ｔ２（Ｄ）Ｐ（ｘ）＋ ＋Ｔｍ（Ｄ）Ｐ（ｘ）（２），其中Ｐ（ｘ）为ｍ次多项式．证明㊀ａ０ｙ（ｎ）＋ａ１ｙ（ｎ－１）＋ ＋ａｎｙ＝ｂ０ｘｍ＋ｂ１ｘｍ－１＋ ＋ｂｍ，ａｎｙ＝（ｂ０ｘｍ＋ｂ１ｘｍ－１＋ ＋ｂｍ）＋［－（ａ０ｙ（ｎ）＋ａ１ｙ（ｎ－１）＋ ＋ａｎ－１ｙᶄ）］，ｙ＝１ａｎ（ｂ０ｘｍ＋ｂ１ｘｍ－１＋ ＋ｂｍ）＋１ａｎ［－（ａ０ｙ（ｎ）＋ａ１ｙ（ｎ－１）＋ ＋ａｎ－１ｙᶄ）］＝Ｐ（ｘ）＋Ｔ（Ｄ）ｙ（３），Ｐ（ｘ）＝１ａｎ（ｂ０ｘｍ＋ｂ１ｘｍ－１＋ ＋ｂｍ），Ｔ（Ｄ）＝－１ａｎａ０ｄｎｄｘｎ＋ａ１ｄｎ－１ｄｘｎ－１＋ ＋ａｎ－１ｄｄｘæèçöø÷．将特解（２）代入方程（３）中，方程右端＝Ｐ（ｘ）＋Ｔ（Ｄ）［Ｐ（ｘ）＋Ｔ（Ｄ）Ｐ（ｘ）＋Ｔ２（Ｄ）㊃Ｐ（ｘ）＋ ＋Ｔｍ（Ｄ）Ｐ（ｘ）］＝Ｐ（ｘ）＋Ｔ（Ｄ）Ｐ（ｘ）＋Ｔ２（Ｄ）Ｐ（ｘ）＋ ＋Ｔｍ＋１（Ｄ）Ｐ（ｘ）＝ｙ＝方程左端．因为Ｐ（ｘ）为ｍ次多项式，所以Ｔｍ＋１（Ｄ）Ｐ（ｘ）＝０．故得证．（ｉｉｉ）微分算子定理：１Ｑ（Ｄ）ｅλｘＰ（ｘ）＝ｅλｘ１Ｑ（Ｄ＋λ）Ｐ（ｘ）．当Ｑ（λ）ʂ０时，１Ｑ（Ｄ）ｅλｘ＝ｅλｘＱ（λ）．当Ｑ（λ）＝０且λ为Ｑ（λ）＝０的ｓ重根（ｓ＝１，２）时，１Ｑ（Ｄ）ｅλｘ＝λｓ１Ｑ（ｓ）（Ｄ）ｅλｘ＝λｓｅλｘＱ（ｓ）（λ）．证明㊀１Ｑ（Ｄ）ｅλｘ＝１（Ｄ－λ）ＳＰ（Ｄ）ｅλｘ＝ｅλｘ１ＤＳ㊃１Ｐ（Ｄ＋λ）＝ｅλｘ１ＤＳＰ（ｋ）＝ｅλｘλｓｓ！Ｐ（λ）＝λｓｅλｘＱ（ｓ）（λ）．（ｉｖ）微分算子定理：当Ｑ－ω２()ʂ０时，１Ｑ（Ｄ２）ｓｉｎωｘ＝. All Rights Reserved.㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２１ ４ｓｉｎωｘＱ－ω２()，１Ｑ（Ｄ２）ｃｏｓωｘ＝ｃｏｓωｘＱ（－ω２）；当Ｑ（－ω２）＝０时，１ＱＤ２()ｓｉｎωｘ＝ｘ㊃１Ｑᶄ（Ｄ２）ｓｉｎωｘ，１Ｑ（Ｄ２）ｃｏｓωｘ＝ｘ㊃１Ｑᶄ（Ｄ２）ｃｏｓωｘ１Ｑ（Ｄ）ｓｉｎωｘ＝ＩｍｅｉωｘＱ（ｉｗ）[]，１Ｑ（Ｄ）ｃｏｓωｘ＝ＲｅｅｉωｘＱ（ｉｗ）[]（Ｑ（ｉｗ）ʂ０）．（由算子性质和复数相关性质易证）证明㊀当Ｑ（－ω２）ʂ０时，易得１Ｑ（Ｄ２）ｓｉｎωｘ＝ｓｉｎωｘＱ（－ω２），１Ｑ（Ｄ２）ｃｏｓωｘ＝ｃｏｓωｘＱ（－ω２）．当Ｑ（－ω２）＝０时，设Ｑ（Ｄ２）＝Ｄ２＋ω２．１Ｑ（Ｄ２）ｓｉｎωｘ＝Ｉｍ１ＱＤ２()ｅｉωｘéëêùûú＝Ｉｍ１Ｄ２＋ω２ｅｉωｘéëêùûú＝Ｉｍ１Ｄ＋ωｉ㊃１Ｄ－ωｉｅｉωｘ[]＝Ｉｍ１２ωｉ㊃１Ｄ－ωｉｅｉωｘ[]＝Ｉｍｅｉωｘ２ωｉ㊃１Ｄ[]＝Ｉｍｘｅｉωｘ２ωｉ[]＝Ｉｍ１２ωｘｓｉｎωｘ－１２ωｉｘｃｏｓωｘ[]＝－１２ωｃｏｓωｘ．而ｘ㊃１ＱᶄＤ２()ｓｉｎωｘ＝ｘ㊃１２Ｄｓｉｎωｘ＝－１２ωｘｃｏｓωｘ，所以１ＱＤ２()ｓｉｎωｘ＝ｘ㊃１ＱᶄＤ２()ｓｉｎωｘ．三㊁微分算子法的应用（ⅰ）ｆ（ｘ）＝Ｐｍ（ｘ）型例１㊀求二阶常微分方程ｙᵡ－３ｙᶄ＋２ｙ＝ｘ２－３ｘ＋２的特解．解㊀２ｙ＝（ｘ２－３ｘ＋２）＋（３ｙᶄ－３ｙᵡ），ｙ＝１２ｘ２－３２ｘ＋１()＋３２ｙᶄ－３２ｙᵡ()，３２１２ｘ２－３２ｘ＋１()ᶄ－１２１２ｘ２－３２ｘ＋１()ᵡ＝３２ｘ－１１４，３２３２ｘ－１１４()ᶄ－１２３２ｘ－１１４()ᵡ＝９４，ʑｙ＝１２ｘ２－３２ｘ＋１＋３２ｘ－１１４＋９４＝１２ｘ２＋１２．（ⅱ）ｆ（ｘ）＝Ｐｍ（ｘ）ｅλｘ型例２㊀求二阶常微分方程ｙᵡ－３ｙᶄ＋２ｙ＝（ｘ２＋３ｘ）ｅ２ｘ的特解．解㊀（Ｄ２－３Ｄ＋２）ｙ＝（ｘ２＋３ｘ）ｅ２ｘ．令ｙ＝ｅ２ｘδ并代入上式，由微分算子性质可得：ｅ２ｘ［（Ｄ＋２）２－３（Ｄ＋２）］δ＝（ｘ２＋３ｘ）ｅ２ｘ，（Ｄ２＋Ｄ）δ＝ｘ２＋３ｘ，即δᵡ＋δᶄ＝ｘ２＋３ｘ，亦即（δᶄ）ᶄ＋δᶄ＝ｘ２＋３ｘ，δᶄ＝（ｘ２＋３ｘ）＋（－δᶄ）ᶄ＝ｘ２＋３ｘ－（２ｘ＋３）＋２＝ｘ２＋ｘ－１，δ＝１３ｘ３＋１２ｘ２－ｘ，ʑｙ＝ｘ３＋１２ｘ２－ｘ()ｅ２ｘ．（ⅲ）ｆ（ｘ）＝Ｐｍ（ｘ）ｃｏｓωｘ型例３㊀求二阶常微分方程ｙᵡ＋３ｙᶄ＋ｙ＝ｓｉｎ２ｘ的特解．解㊀Ｑ（Ｄ）＝Ｄ２＋３Ｄ＋１，Ｑ－ω２()＝５ʂ０，ʑｙ＝１Ｑ（Ｄ）ｓｉｎ２ｘ＝１Ｄ２＋３Ｄ＋１ｓｉｎ２ｘ＝１－２２＋３Ｄ＋１ｓｉｎ２ｘ＝１３Ｄ－１ｓｉｎ２ｘ＝３Ｄ－１９Ｄ２－１ｓｉｎ２ｘ＝－１３７（３Ｄｓｉｎ２ｘ－ｓｉｎ２ｘ）＝－１３７（６ｃｏｓ２ｘ－ｓｉｎ２ｘ）．例４㊀求二阶常微分方程ｙᵡ＋ｙ＝ｃｏｓｘ的特解．解㊀Ｑ（Ｄ）＝Ｄ２＋１，Ｑ（－ω２）＝０，ʑｙ＝ｘ㊃１ＱᶄＤ２()ｃｏｓωｘ＝ｘ㊃１（Ｄ２＋１）ᶄｃｏｓｘ＝ｘ㊃１２Ｄｃｏｓｘ＝ｘ２ｃｏｓｘ．例５㊀求二阶常微分方程ｙᵡ＋ｙ＝ｘｃｏｓ２ｘ的特解．解㊀引入方程ｕᵡ＋ｕ＝ｘｓｉｎ２ｘ，两端同乘ｉ再与原方程相乘得ｙᵡ＋ｉｕᵡ＋ｙ＋ｉｕ＝ｘ（ｃｏｓ２ｘ＋ｉｓｉｎ２ｘ）记为ｖᵡ＋ｖ＝ｘｅ２ｉｘ．令ｖ＝ｅ２ｉｘδ并代入上式，由微分算子性质可得：ｅ２ｉｘ［（Ｄ＋２ｉ）２＋１］δ＝ｘｅ２ｉｘ，（Ｄ２＋４Ｄｉ－３）δ＝ｘ，δ＝－１３ｘ()＋－１３δᵡ－４ｉ３δᶄ()＝－１３ｘ－４９ｉ，ｖ＝ｅ２ｉｘδ＝（ｃｏｓ２ｘ＋ｉｓｉｎ２ｘ）－１３ｘ－４９ｉ()＝－１３ｘｃｏｓ２ｘ＋４９ｓｉｎ２ｘ()＋ｉ－４９ｃｏｓ２ｘ－１３ｘｓｉｎ２ｘ()，ʑｙ＝－１３ｘｃｏｓ２ｘ＋４９ｓｉｎ２ｘ．例６㊀求三阶常微分方程ｙ‴－２ｙᵡ＋３ｙᶄ－４ｙ＝３ｓｉｎｘ的特解．解㊀Ｑ（Ｄ）＝Ｄ３－２Ｄ２＋３Ｄ－４，ʑｙ＝１Ｑ（Ｄ）３ｓｉｎｘ＝３㊃１Ｑ（Ｄ）［Ｉｍ（ｅｉｘ）］＝３Ｉｍ１Ｑ（Ｄ）ｅｉｘ[]＝３Ｉｍ１Ｑ（ｉ）ｅｉｘ[]＝３Ｉｍ（ｃｏｓｘ＋ｉｓｉｎｘ）（－２－２ｉ）８[]＝－３４（ｃｏｓｘ＋ｓｉｎｘ）．四㊁总结常微分方程在许多领域都具有广泛的应用，对常微分方程解法的学习及研究对教学和实际应用都有很大的价值．本文从微分算子概念出发，结合微分算子的性质，给出了用微分算子法求几类微分方程的特解，与比较系数法相比，微分算子法没有繁琐的求导解方程的过程，计算比较简洁，相对于拉普拉斯变换，微分算子法易于理解和掌握，对于高职高专一些应用性较强的专业的学生来说，这种方法既简便又实用，当然它也有一定的适用范围，对于其他解法还需要更深一步的研究．ʌ参考文献ɔ［１］同济大学数学系．高等数学［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００１．［２］宋燕．高阶常系数非齐次线性微分方程的解法［Ｊ］．高等数学研究，２０１２，１５（３０）：２２－２３．［３］孙法国．任丽娜．四阶线性微分方程的算子解法［Ｊ］．西安工程大学学报，２００９，２３（０６）：１４２－１４６．［４］林庆泽．算子法在处理线性微分方程中的应用［Ｊ］．兰州文理学院学报（自然科学版），２０１６，３０（１０）：１３－１６，４６．. All Rights Reserved.。