数列的概念与简单表示法1

数列的概念及简单表示法一、数列的概念1.数列定义：按照一定次序排列起来的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项2.数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N＋(或它的有限子集)为定义域的函数a n＝f(n).当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值3.数列有三种表示法：是列表法、图象法和通项公式法二、数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列a n＋1＞a n其中n∈N＋递减数列a n＋1＜a n常数列a n＋1＝a n按其他标准分类有界数列存在正数M，使|a n|≤M摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列三、数列的两种常用的表示方法1.通项公式：如果数列{a n}的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个函数式a n＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式2.递推公式：如果已知数列{a n}的第1 项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a n 与它的前一项a n－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式四、通项公式的求法：1.观察法：仔细观察数列的项和项数之间的关系，可分离出随项数变化的部分和不变的部分，从而找到规律.如数列2 , -1,10 , -17 , 26 , -37 ，，先将数列变为 2 , -5 , 10 , -17 , 26 , -37 ，，显然3 7 9 11 13 3 5 7 9 11 13S ⎪ ⎪ ⎨ - S 分母为2n +1，分子为n 2 +1，奇数项正偶数项负，乘以(-1)n +1即可.故n +1n 2 +1 a n = (-1)2n +1 .又如数列 7，77，777， ，可写成 7 ⨯ 9, 7 ⨯ 99, 7⨯999, 999，而 9，99，999，依次又可写成10 -1,102-1,103-1， ，因此，这个数列的通项公式为a = 7 (10n -1)2. 公式法：（1） 已知数列{a n }的前 n 项和S n ，则 a n= ⎧⎪S 1⎪⎩ nn -1 n9(n = 1) (n ≥ 2) （2） 对于等差数列和等比数列，把已知条件代入其通项公式、前 n 项和公式列出方程（组）求解3.累加法：形如a n +1 = a n + f (n )，当 f (1) + f (2) + + f (n ) 的值可求时用此法 ⎧an - a n -1 = f (n -1) ⎪a - a = f (n - 2) ⎪ n -1⎨n -2 ⇒ a n = f (n -1) + f (n - 2) +... f (2) + f (1) + a 1, (n ≥ 2) ⎪... ⎪⎩a 2 - a 1 = f (1)（1） 若 f (n ) 是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和（2） 若 f (n ) 是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和（3） 若 f (n ) 是关于n 的二次函数，累加后可分组求和（4） 若 f (n ) 是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和4. 累乘法：形如a = f (n )a ⎛或 a n +1 = f (n ) ⎫，当 f (1) f (2)f (n ) 可求时，用此法.⎧ a n⎪ a= f (n -1) n +1n⎪⎝a n⎭⎪ n -1 ⎪ a n -1⎪ a f (n - 2) ⎨ n -2 ⎪... ⎪ a 2 = af (1) ⎩ 1 将上述n -1个式子两边分别相乘，可得： a n = f (n -1) ⋅ f (n - 2) ⋅...⋅ f (2) f (1)a 1, (n ≥ 2)=⎩5. 构造法：当已知非常数数列的首项（或前几项）及递推公式时用此法 （1）对于一阶递推公式： a n +1 = pa n + q ， ( p 为常数，p ≠ 1) 给出的数列，两边各加q 得， a+ q = p (a +q ) ，这样就构造出一个等比数列⎧a +q ⎫ ，其公比 p -1 n +1 p -1 n p -1 ⎨ n p -1⎬⎩ ⎭为 p ，首项是a +q ，∴ a + q= (a + q ) p n -1 ，即a = (a + q ) p n -1 - q 1p -1 n p -1 1 p -1 n 1p -1 p -1（2）对于二阶递推公式： a n +1 = pa n + qa n -1 （p , q 为常数） 给出的数列，设 a + xa =y (a + xa ) (*)，显然⎧ y - x = p.把方程组的解代入(*)便可构成一个等 n +1 n n n -1 ⎨xy = q比数列，继而可以求出通项公式（3）以 a = ma n 给出的数列（p , q , m 均为非零整数），当m = q 时，可以构造一个 n +1pa n + q等差数列；当m ≠ q 时，可以构造一个一阶递推公式6. 周期数列举例：通过计算前有限项发现周期，继而求出某些项或 S n1n n 等 差 数 列 及 其 前 n 项 和一、等差数列的概念1. 定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示 2. 数学语言表达式： a n +1 - a n = d ( n ∈N ＋，d 为常数)，或a n - a n -1 = d ( n ≥2，d 为常数)3. 等差中项：如果三个数x ，A ，y 组成等差数列，那么 A 叫做 x 和 y 的等差中项，且有 A =x + y 2二、等差数列的通项公式与前n 项和公式1. 若等差数列{a n }的首项是a ，公差是d ，则其通项公式为a = a + (n -1)d = dn + a - d (n ∈ N *)n11通项公式的推广： a = a + (n - m )d ( m ， n ∈N) ⇒ d =a n - a mnm＋n - m2. 等差数列的前n 项和公式S= na + n (n -1) d = n (a 1 + a n ) = d n 2 + (a - 1 d )n n 12 22 1 2 (其中n ∈N ＋， a 1 为首项，d 为公差， a n 为第n 项)数列{a }是等差数列⇔ S = An 2+ Bn(A , B 为常数)三、等差数列的性质1. 非零常数列既是等差数列又是等比数列2. 数列{ a n }为等差数列⇔ a n = pn + q （p,q 是常数）3. 数列{λa n + b }（ λ, b 为常数）仍为等差数列4. 若m + n = p + q (m , n , p , q ∈ N + )，则a m + a n = a p + a q5. 等差数列{a n }中，若项数成等差数列，则对应的项也成等差数列6. 等差数列{a n }中，隔相同的项抽出一项所得到的数列仍为等差数列p +nq 2k 2k n n 7. 若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d8. 若{a n }、{b n }是等差数列，则{ka n } 、{ka n + pb n }{a }( p , q ∈ N *)…也成等差数列 9.单调性：{a n }的公差为d ，则： （1） d > 0 ⇔ {a n }为递增数列 （2） d < 0 ⇔ {a n }为递减数列 （3） d = 0 ⇔ {a n }为常数列( k 、 p 是非零常数)、10. 若等差数列{a n }的前n 项和S n ，则S k 、S 2k - S k 、S 3k - S … 是等差数列 11. 等差数列{a n }的单调性：当d ＞0 时， {a n }是递增数列；当d ＜0 时， {a n }是递减数列；当d ＝0 时， {a n }是常数列12. 若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k 、a k + m 、a k +2m …(k ，m ∈N ＋)是公差为md的等差数列13. 若数列{a}是等差数列，前n 项和为S ，则⎧S n ⎫也是等差数列，其首项和{a}的首 nn⎨ n ⎬ n项相同，公差是{a n⎩ ⎭}公差的 1214. 若三个数成等差数列，则通常可设这三个数分别为 x - d , x , x + d ；若四个数成等差数列，则通常可设这四个数分别为 x - 3d , x - d , x + d , x + 3d 四、等差数列前n 项的性质1. 若等差数列{a n }的前n 项和S n ，则S k 、S 2k - S k 、S 3k- S … 是等差数列2. 若数列{a } {b } 都是等差数列，其前 n 项和分别为S T ，则a n= 2n -1n,nn ,nbTn 2n -13. 若数列{a }的前n 项和S = An 2+ Bn +C (A , B 为常数,C ≠ 0) ，则数列{a n }从第二项起是等差数列sn⎨ 2n偶奇 中 偶 奇 偶偶4. 若数列{a n }是等差数列的充要条件是前n 项和公式S n = f (n ) ，是n 的二次函数或一次函数且不含常数项，即 S = An 2 + Bn (A , B 为常数,A 2 +B 2 ≠ 0)5. 等差数列{a n }中，若a < 0,d > 0 （ a ≤ 0 的n 的最大值为k ）则S 有最小值S ，前n 项绝对值的和T n 1 = ⎧⎪-s n nn ≤ k；若a > 0,d< 0，（ n a n ≥ k0 的n 的最大 ⎪⎩s n - 2s k n ≥ k + 1值为k ）则S 有最大值S ，前n 项绝对值的和T = ⎧⎪s nn ≤ kn k n⎨ ⎪⎩2s k - s n n ≥ k + 16. 等差数列{a n }中，若项数为奇数2n - 1，则中间项为a ， S =(2n-1)a ，S - S = n - 1 d s n + a ， 奇 = 奇 偶 2 1S n - 1 若n 为偶数，则S = nd2若n 为奇数，则S - S =a (中间项)7. 等差数列{a n }中，若项数n 为奇数，设奇数项的和和偶数项的和分别为S 、S ，则sn + 1 s a n奇=；若项数n 为偶数， 奇= 2S n - 1S a n + 12五、等差数列的前 n 项和的最值等差数列{a n }中1. 若a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值2. 若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值六、等差数列的四种判断方法1. 定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列2. 等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)⇔{a n }是等差数列3. 通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列4. 前 n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)⇔{a n }是等差数列1- S 偶 偶 奇mb n 等 比 数 列 及 其 前 n 项 和一、等比数列的概念1. 定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用q ( q ≠0)表示 2.数学语言表达式： a n= q ( n≥2， q 为非零常数)，或 an +1 = q ( n ∈N ， q 为非零常数)＋a n -1 a n3. 等比中项：如果三个数x ，G ，y 组成等比数列，那么G 叫做 x 与 y 的等比中项，其中G = ±二、等比数列的通项公式及前n 项和公式1. 若等比数列{a }的首项为a ，公比是q ，则其通项公式为a = a q n -1n通项公式的推广： a n 1= a q n - mn 1a (1- q n )a - a q 2. 等比数列的前n 项和公式：当q ＝1 时， S n = na 1 ;当q ≠1 时， S n =11- q= 1 n1- q三、等比数列的性质 1. q = 1 ⇒{a n }为常数列2. q < 0 ⇒{a n } 为摆动数列3. 若正项数列{a n }为等比数列，则数列{log a a n }为等差数列4. 若{a }是等比数列，则{λa }（λ 为不等于零的常数），{a 2}⎧ 1 ⎫ {a r }(r ∈ Z ) 是等n n n⎨ a ⎬ n ⎩ n ⎭比数列，公比依次是q ，q 2 1 q r ，若数列{a } ，{b }都是等比数列且项数相同，则⎧ a n ⎫是等比数列， ， n nq ⎨ ⎬ ⎩n ⎭ 5. 若数列{a }为等差数列，则数列{ba n}为等比数列6. 若 m + n = p + q (m , n , p , q ∈ N + ) ，则 a⋅ a = a ⋅ a ，当 p = q 时， a ⋅ a = a 2 即a p 是a m 和a n 的等比中项mnpqm n p7. 相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k 、a k + m 、a k +2m …仍是等比数列，公比为xy1 1 1 1 2n ⎩ n ⎩ q m （即若项数成等差数列，则对应的项也等比数列）8. 任意两数a , b 都存在等差中项为a + b，但不一定都存在等比中项，当且仅当a , b 同号时 2才存在等比中项为9. 任意常数列都是等差数列，但不一定都是等比数列，当且仅当非零的常数列即是等差数列又是等比数列10. 等比数列{a n }的单调性：（1） 当q ＞1， a ＞0 或 0＜ q ＜1， a ＜0 时，数列{a n }是递增数列 （2） 当q ＞1， a ＜0 或 0＜ q ＜1， a ＞0 时，数列{a n }是递减数列 （3） 当q ＝1 时，数列{a n }是常数列11. 当q ≠－1，或q ＝－1 且 n 为奇数时，S n 、S 2n - S n 、S 3n - S 仍成等比数列，其公比为q n12. 等比差数列{a n }: a n +1 = qa n + d , a 1 = b (q ≠ 0) 的通项公式为⎧b + (n -1)d q = 1⎪ a n = ⎨bq n+ (d - b )q n -1 - d ；⎪q -1 q ≠ 1 ⎧nb + n (n -1)d(q = 1)其前 n 项和公式为 s n ⎪ ⎨(b - d ) 1- q + d n(q ≠ 1)⎪1- q q -1 1- q（四）判断给定的数列{a n }是等比数列的方法（1）定义法： an +1 = q （不为 0 的常数）⇔数列{a a n}为等比数列（2）中项法： a ⋅ a= a2⇔数列{a }为等比数列mn +2n +1n（3）前n 项和法：数列{a n }的前n 项和S n = A - Aq n （A 是常数， A ≠ 0, q ≠ 0, q ≠ 1 ）⇔数列{a n }为等比数列= nS 1 1 ⎨ - S 数 列 求 和一、公式法1. 等差数列的前n 项和公式： S n2. 等比数列的前n 项和公式 （1） 当q ＝1 时， S n = na 1= na 1+n (n -1) d = n (a 1 + a n)2 2a (1- q n )a - a q（2） 当q ≠1 时， S n = 11- q = 1 n1- q3. 已知数列{a n }的前 n 项和S n ，则 a n= ⎧⎪S 1⎪⎩ nn -1 (n = 1) (n ≥ 2) 4. 差比数列求和：通项为a n b n 型，其中{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，称为差比数列.求和方法为（设 d ， q 分别是{a n }，{b n }的公差、公比）：令S n = a 1b 1 + a 2b 2 + + a n b n …①，两边同乘以q 得qS n = a 1b 1q + a 2b 2q + + a n b n q ， ∴qS n = a 1b 2 + a 2b 3 + + a n b n +1 …②，①-②得 (1- q )S n = a 1b 1 + (a 2 - a 1)b 2 + + (a n - a n -1)b n - a n b n +1 = a 1b 1 + d b 2 + d b 3 + + d b n -1 + d b n - a n b n +1 = a 1b 1 + d (b 2 + b 3 + + b n -1 + b n ) - a n b n +1= a 1b 1 + d ⨯b (1- qn) 1- q-a nb n +1，∴当q ≠ 1时， Sn = a 1b 1 - a n b n +1 + d ⨯ 1- q b (1- q n) (1- q )2二、观察法：仔细观察数列的项和项数之间的关系，可分离出随项数变化的部分和不变的部分，从而找到规律.1.数列 2 , -1,10 , - 17 , 26 , - 37 ， ，先将数列变为 2 , - 5 , 10 , - 17 , 26 , - 37， ，分母379 111335 79 11 13n +1n 2 +1 为2n +1，分子为n 2 +1，奇数项正偶数项负，乘以(-1)n +1即可.故a = (-1)2n +1 .2.又如数列 7，77，777， ，可写成 7 ⨯ 9, 7 ⨯ 99, 7 ⨯999,9 9 9，而 9，99，999，依次又可写成10 -1,102-1,103 -1， ，因此，这个数列的通项公式为a = 7 (10n -1)n9n⎪ ⎪ 3. 周期数列举例：通过计算前有限项发现周期，继而求出某些项或 S n三、累加法：形如a n +1 = a n + f (n )，当 f (1) + f (2) + + f (n ) 的值可求时用此法⎧an - a n -1 = f (n -1) ⎪a - a = f (n - 2) ⎪ n -1⎨n -2 ⇒ a n = f (n -1) + f (n - 2) +... f (2) + f (1) + a 1, (n ≥ 2) ⎪... ⎪⎩a 2 - a 1 = f (1)（1） 若 f (n ) 是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和（2） 若 f (n ) 是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和（3） 若 f (n ) 是关于n 的二次函数，累加后可分组求和（4） 若 f (n ) 是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和四、累乘法：形如a= f (n )a ⎛或 a n +1 = f (n ) ⎫，当 f (1) f (2)f (n ) 可求时用此法.⎧ a n⎪ a= f (n -1) n +1n⎪⎝a n⎭⎪ n -1 ⎪ a n -1⎪ a f (n - 2) ⎨ n -2 ⎪... ⎪ a 2 = af (1) ⎩ 1 将上述n -1个式子两边分别相乘，可得： a n = f (n -1) ⋅ f (n - 2) ⋅...⋅ f (2) f (1)a 1, (n ≥ 2)五、构造法：当已知非常数数列的首项（或前几项）及递推公式时用此法1. 对于一阶递推公式： a n +1 = pa n + q ， ( p 为常数，p ≠ 1) 给出的数列，两边各加qp -1得， a +q = p (a +q) ，这样就构造出一个等比数列⎧a + q ⎫ ，其公比为 n +1p -1 np -1 ⎨ n p -1⎬⎩ ⎭p ，首项是a +q ，∴ a + q= (a + q ) p n -1 ，即a = (a + q ) p n -1 - q 1p -1 n p -1 1 p -1 n 1p -1 p -12. 对于二阶递推公式： a n +1 = pa n + qa n -1 （p , q 为常数） 给出的数列， =⎩设 a + xa =y (a + xa ) (*)，显然⎧y - x = p.把方程组的解代入(*)便可构成一个等n +1n n n -1⎨xy = q比数列，继而可以求出通项公式3. 以 a= ma n 给出的数列（ p , q , m 均为非零整数），当m = q 时，可以构造一个等n +1pa n + q差数列；当m ≠ q 时，可以构造一个一阶递推公式 4. 形如a n +1 = pa n + q （其中 p , q 均为常数且 p ≠ 0 ）型的递推式：（1） 若 p = 1时，数列{ a n }为等差数列 （2） 若q = 0 时，数列{ a n }为等比数列（3） 若 p ≠ 1 且q ≠ 0 时，数列{ a n }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法有如下两种：法一：设a n +1 + λ = p (a n + λ) ,展开移项整理得a n +1 = pa n + ( p -1)λ ,与题设a = pa + q 比较系数（待定系数法）得λ =q, ( p ≠ 0) ⇒ a + q = p (a + q)n +1np -1 n +1p -1n p -1⇒ a + q= p (a + q ) ,即⎧a + q ⎫构成以a + q为首项，以 p 为公比的等比 np -1 n -1 p -1 ⎨ n p -1⎬ 1 p -1⎩ ⎭数列.再利用等比数列的通项公式求出⎧a + q ⎫的通项整理可得a . ⎨ n p -1⎬ n法二：由a= pa ⎩ ⎭ + q 得a = pa + q (n ≥ 2) 两式相减并整理得a n +1 - a n= p , 即 n +1 n n n -1 a - an n -1{a n +1 - a n }构成以a 2 - a 1 为首项，以 p 为公比的等比数列.求出{a n +1 - a n }的通项再转化为累加法便可求出a n .5. 形如a n +1 = pa n + f (n ) ( p ≠ 1) 型的递推式： （1） 当 f (n ) 为一次函数类型（即等差数列）时：法一：设a n + An + B = p [a n -1 + A (n -1) + B ] ，通过待定系数法确定 A 、B 的值，转化成以a 1 + A + B 为首项，以 p 为公比的等比数列{a n + An + B } ，再利用等比数列的通项公式求出{a n + An + B } 的通项整理可得a n .法二：当 f (n ) 的公差为d 时，由递推式得： a n +1 = pa n + f (n ) ， a n = pa n -1 + f (n -1)两式相减得： a n +1 - a n = p (a n - a n -1 ) + d ，令b n = a n +1 - a n 得： b n = pb n -1 + d 转化为“4”求出 b n ，再用累加法便可求出a n .（2） 当 f (n ) 为指数函数类型（即等比数列）时：法一：设a n + λ f (n ) = p [a n -1 + λ f (n -1)]，通过待定系数法确定λ 的值，转化成以 a 1 + λ f (1) 为首项，以 p 为公比的等比数列{a n + λ f (n )} ，再利用等比数列的通项公式求出{a n + λ f (n )} 的通项整理可得a n .法二：当 f (n ) 的公比为q 时，由递推式得： a n +1 = pa n + f (n ) ——①，a n = pa n -1 + f (n -1) ，两边同时乘以q 得a n q = pqa n -1 + qf (n -1) ——②，由①②两式相减得a - a q = p (a - qa ) ，即 a n +1 - qa n= p ，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出a . n +1 n n n -1 a - qa nn n -1法三：递推公式为an +1 = pa n + q n （其中p ，q 均为常数）或a = pa n + rq n （其中p ，q, r 均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以q n +1 ，得：a n +1 = p • a n + 1 ，引入辅助数列{b }（其中b = a n ），得： b = p b + 1 再应用类型 q n +1 q q n qn n q nn +1 q n q“4”的方法解决。

第1节数列的概念及简单表示法最新考纲 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)；2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．知识梳理1．数列的概念(1)数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．(2)数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集)为定义域的函数a n＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．(3)数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法．2．数列的分类3.数列的通项公式(1)通项公式：如果数列{a n }的第n 项a n 与序号n 之间的关系可以用一个式子a n ＝f (n )来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．(2)递推公式：如果已知数列{a n }的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．4．已知数列{a n }的前n 项和S n ，则a n ＝⎩⎨⎧S 1 （n ＝1），S n －S n －1 （n ≥2）.[常用结论与微点提醒] 1．一些常见数列的通项公式(1)数列1，2，3，4，…的通项公式为a n ＝n ； (2)数列2，4，6，8，…的通项公式为a n ＝2n ； (3)数列1，2，4，8，…的通项公式为a n ＝2n －1； (4)数列1，4，9，16，…的通项公式为a n ＝n 2； (5)数列1，12，13，14，…的通项公式为a n ＝1n . 2．已知递推关系求通项一般有两种常见思路： (1)算出前几项，再归纳、猜想； (2)利用累加或累乘法求数列的通项公式．诊 断 自 测1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．( ) (2)一个数列中的数是不可以重复的．( ) (3)所有数列的第n 项都能使用公式表达．( )(4)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个．( ) 解析 (1)数列：1，2，3和数列：3，2，1是不同的数列． (2)数列中的数是可以重复的． (3)不是所有的数列都有通项公式． 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( )A ．15B ．16C ．49D ．64解析 当n ＝8时，a 8＝S 8－S 7＝82－72＝15. 答案 A3．已知数列的前4项为2，0，2，0，则依此归纳该数列的通项不可能是( ) A ．a n ＝(－1)n －1＋1B ．a n ＝⎩⎨⎧2，n 为奇数，0，n 为偶数C ．a n ＝2sin n π2D ．a n ＝cos(n －1)π＋1解析 对n ＝1，2，3，4进行验证，a n ＝2sin n π2不合题意，故选C.答案 C4．已知a n ＝n 2＋λn ，且对于任意的n ∈N *，数列{a n }是递增数列，则实数λ的取值范围是________．解析 因为{a n }是递增数列，所以对任意的n ∈N *，都有a n ＋1＞a n ，即(n ＋1)2＋λ(n ＋1)＞n 2＋λn ，整理，得2n ＋1＋λ＞0，即λ＞－(2n ＋1)．(*)因为n ≥1，所以－(2n ＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ＞－3. 答案 (－3，＋∞)5．(2018·台州月考)在数列{x n }中，x 1＝10，x n ＝log 2(x n －1－2)，则数列{x n }的第2项是________，所有项和T ＝________． 解析 ∵x 1＝10，x n ＝log 2(x n －1－2)，∴x 2＝log 2(x 1－2)＝log 28＝3，x 3＝log 2(x 2－2)＝log 21＝0. 数列{x n }所有项的和为10＋3＋0＝13. 答案 3 136．(必修5P33A5改编)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a n ＝________．解析 a 1＝1，a 2＝6＝1＋5＝1＋5×(2－1)，a 3＝11＝1＋5×2＝1＋5×(3－1)， a 4＝16＝1＋5×3＝1＋5×(4－1)， ∴a n ＝1＋5×(n －1)＝5n －4. 答案 5n －4考点一 由数列的前几项求数列的通项【例1】 根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1)－1，7，－13，19，…； (2)23，415，635，863，1099，…； (3)12，2，92，8，252，…； (4)5，55，555，5 555，….解 (1)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式(－1)n ，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为a n ＝(－1)n (6n －5)．(2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3，3×5，5×7，7×9，9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积，分子依次为2，4，6，…，相邻的偶数，故所求数列的一个通项公式为a n ＝2n（2n －1）（2n ＋1）.(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察．即12，42，92，162，252，…，分子为项数的平方，从而可得数列的一个通项公式为a n ＝n 22.(4)将原数列改写为59×9，59×99，59×999，…，易知数列9，99，999，…的通项为10n －1，故所求的数列的一个通项公式为a n ＝59(10n －1)．规律方法 根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：(1)分式中分子、分母的各自特征； (2)相邻项的联系特征； (3)拆项后的各部分特征；(4)符号特征．应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想． 【训练1】 (1)数列0，23，45，67，…的一个通项公式为( ) A ．a n ＝n －1n ＋2(n ∈N *)B ．a n ＝n －12n ＋1(n ∈N *)C ．a n ＝2（n －1）2n －1(n ∈N *)D ．a n ＝2n2n ＋1(n ∈N *) (2)数列－11×2，12×3，－13×4，14×5，…的一个通项公式a n ＝________．解析 (1)注意到分子0，2，4，6都是偶数，对照选项排除即可．(2)这个数列前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为a n ＝(－1)n 1n （n ＋1）.答案 (1)C (2)(－1)n1n （n ＋1）考点二 由S n 与a n 的关系求a n (易错警示)【例2】 (1)(2017·温州市十校联考)在数列{a n }中，S n 是其前n 项和，且S n ＝2a n ＋1，则数列的通项公式a n ＝________．(2)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋1，则数列的通项公式a n ＝________． 解析 (1)依题意得S n ＋1＝2a n ＋1＋1，S n ＝2a n ＋1，两式相减得S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－2a n ，即a n ＋1＝2a n ，又S 1＝2a 1＋1＝a 1，因此a 1＝－1，所以数列{a n }是以a 1＝－1为首项、2为公比的等比数列，a n ＝－2n －1. (2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋1＝4，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋1－3n －1－1＝2·3n －1. 显然当n ＝1时，不满足上式． ∴a n ＝⎩⎨⎧4，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.答案 (1)－2n －1(2)⎩⎨⎧4，n ＝1，2·3n －1，n ≥2规律方法 数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系是a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.①当n ＝1时，a 1若适合S n －S n －1，则n ＝1的情况可并入n ≥2时的通项a n ；②当n ＝1时，a 1若不适合S n －S n －1，则用分段函数的形式表示．易错警示 在利用数列的前n 项和求通项时，往往容易忽略先求出a 1，而是直接把数列的通项公式写成a n ＝S n －S n －1的形式，但它只适用于n ≥2的情形． 【训练2】 (1)若数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________．(2)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式a n ＝________． 解析 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式．故数列的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2.(2)由S n ＝23a n ＋13，得当n ≥2时，S n －1＝23a n －1＋13， 两式相减，得a n ＝23a n －23a n －1，∴当n ≥2时，a n ＝－2a n －1，即a na n －1＝－2.又n ＝1时，S 1＝a 1＝23a 1＋13，a 1＝1， ∴a n ＝(－2)n －1.答案 (1)⎩⎨⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2 (2)(－2)n －1考点三 由数列的递推关系求通项公式【例3】 (1)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝4，a n ＋2＋2a n ＝3a n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________．(2)(2018·衢州质检)在数列{a n }中，a 1＝1，(n 2＋2n )(a n ＋1－a n )＝1(n ∈N *)，则通项公式a n ＝________．解析 (1)由a n ＋2＋2a n －3a n ＋1＝0， 得a n ＋2－a n ＋1＝2(a n ＋1－a n )，∴数列{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝3为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＋1－a n ＝3×2n－1，∴n ≥2时，a n －a n －1＝3×2n －2，…，a 3－a 2＝3×2，a 2－a 1＝3， 将以上各式累加得a n －a 1＝3×2n －2＋…＋3×2＋3＝3(2n －1－1)， ∴a n ＝3×2n －1－2(当n ＝1时，也满足)．(2)由(n 2＋2n )(a n ＋1－a n )＝1得a n ＋1－a n ＝1n 2＋2n ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，所以a 2－a 1＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫11－13，a 3－a 2＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14，…，a n －1－a n －2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －2－1n ，a n －a n －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1，所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋1＝74－2n ＋12n （n ＋1）.答案 (1)3×2n －1－2 (2)74－2n ＋12n （n ＋1）规律方法 (1)形如a n ＋1＝a n ＋f (n )的递推关系式利用累加法求通项公式，特别注意能消去多少项，保留多少项．(2)形如a n ＋1＝a n ·f (n )的递推关系式可化为a n ＋1a n ＝f (n )的形式，可用累乘法，也可用a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1代入求出通项．(3)形如a n ＋1＝pa n ＋q 的递推关系式可以化为(a n ＋1＋x )＝p (a n ＋x )的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x 是关键． 【训练3】 在数列{a n }中，(1)若a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则通项公式a n ＝________．(2)(一题多解)若a 1＝1，a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)，则通项公式a n ＝________． (3)若a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3，则通项公式a n ＝________．解析 (1)由题意得，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋(2＋3＋…＋n )＝2＋（n －1）（2＋n ）2＝n （n ＋1）2＋1.又a 1＝2＝1×（1＋1）2＋1，符合上式，因此a n ＝n （n ＋1）2＋1.(2)法一 因为a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)，所以a n －1＝n －2n －1·a n －2，…，a 2＝12a 1，以上(n－1)个式子的等号两端分别相乘得a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n . 法二 因为a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝n －1n ·n －2n －1·n －1n －2·…·1＝1n . (3)设递推公式a n ＋1＝2a n ＋3可以转化为a n ＋1＋t ＝2(a n ＋t )，即a n ＋1＝2a n ＋t ，解得t ＝3.故a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)．令b n ＝a n ＋3，则b 1＝a 1＋3＝4，且b n ＋1b n ＝a n ＋1＋3a n ＋3＝2.所以{b n }是以4为首项，2为公比的等比数列． ∴b n ＝4·2n －1＝2n ＋1，∴a n ＝2n ＋1－3. 答案 (1)n （n ＋1）2＋1 (2)1n(3)2n ＋1－3基础巩固题组一、选择题1．数列23，－45，67，－89，…的第10项是( )A ．－1617B ．－1819C ．－2021D ．－2223解析 所给数列呈现分数形式，且正负相间，求通项公式时，我们可以把每一部分进行分解：符号、分母、分子．很容易归纳出数列{a n }的通项公式a n ＝(－1)n＋1·2n 2n ＋1，故a 10＝－2021. 答案 C2．数列0，1，0，－1，0，1，0，－1，…的一个通项公式a n 等于( ) A.（－1）n ＋12B ．cos n π2C ．cosn ＋12πD ．cos n ＋22π解析 令n ＝1，2，3，…，逐一验证四个选项，易得D 正确． 答案 D3．(一题多解)在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，则其通项公式a n ＝( ) A ．2n －1B ．2n －1＋1C ．2n －1D ．2(n －1)解析 法一 由a n ＋1＝2a n ＋1，可求a 2＝3，a 3＝7，a 4＝15，…，验证可知a n ＝2n －1.法二 由题意知a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，∴数列{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＋1＝2n ，∴a n ＝2n －1. 答案 A4．数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝2n －3，若a 1＝2，则a 8－a 4＝( ) A ．7B ．6C ．5D ．4解析 依题意得(a n ＋2＋a n ＋1)－(a n ＋1＋a n )＝[2(n ＋1)－3]－(2n －3)，即a n ＋2－a n ＝2，所以a 8－a 4＝(a 8－a 6)＋(a 6－a 4)＝2＋2＝4. 答案 D5．数列{a n }的前n 项积为n 2，那么当n ≥2时，a n 等于( ) A ．2n －1B ．n 2C.（n ＋1）2n 2D.n 2（n －1）2解析 设数列{a n }的前n 项积为T n ，则T n ＝n 2， 当n ≥2时，a n ＝T n T n －1＝n 2（n －1）2.答案 D6．(2018·宁波镇海中学调研)已知数列{a n }的首项a 1＝a ，其前n 项和为S n ，且满足S n ＋S n －1＝4n 2(n ≥2，n ∈N *)，若对任意n ∈N *，a n ＜a n ＋1恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．(3，5)B ．(4，6)C ．[3，5)D ．[4，6)解析 由S n ＋S n －1＝4n 2(n ≥2，n ∈N *)，得S n ＋1＋S n ＝4(n ＋1)2.两式相减得，a n ＋1＋a n ＝8n ＋4(n ≥2)，则a n ＋2＋a n ＋1＝8n ＋12.两式相减得，a n ＋2－a n ＝8(n ≥2)．又由a 1＝a ，a 1＋a 2＋a 1＝16得a 2＝16－2a ，又由a 1＋a 2＋a 3＋a 1＋a 2＝4×32得a 3＝4＋2a ，所以a 2n ＝a 2＋8(n －1)＝8n ＋8－2a ，a 2n ＋1＝a 3＋8(n －1)＝8n －4＋2a .因为对任意n ∈N *，a n ＜a n ＋1恒成立，所以⎝ ⎛a ＜16－2a ，8n ＋8－2a ＜8n －4＋2a ，8n －4＋2a ＜8（n ＋1）＋8－2a ，解得3＜a ＜5. 答案 A二、填空题7．若数列{a n }满足关系a n ＋1＝1＋1a n，a 8＝3421，则a 5＝________．解析 借助递推关系，则a 8递推依次得到a 7＝2113，a 6＝138，a 5＝85. 答案 858．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ≠0(n ∈N *)，又a n a n ＋1＝S n ，则a 3－a 1＝________．解析 因为a n a n ＋1＝S n ，所以令n ＝1得a 1a 2＝S 1＝a 1，由于a 1≠0，则a 2＝1，令n ＝2，得a 2a 3＝S 2＝a 1＋a 2，即a 3＝1＋a 1，所以a 3－a 1＝1. 答案 19．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1(n ∈N *)，则a 1＝________；a n ＝________．解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝4≠2×1＋1，因此a n ＝⎩⎨⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥2.答案 4 ⎩⎨⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥210．(2018·绍兴一中适应性考试)数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋n ＋1，b n ＝ (－1)n ·(a n －2)(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为________，数列{b n }的前50项和为________．解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n ＋1－[(n －1)2＋(n －1)＋1]＝2n ，当n ＝1时不满足上式，则其通项公式为a n ＝⎩⎨⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2.当n ＝1时，b 1＝－1；当n ≥2时，b n ＝(－1)n ·(a n －2)＝(－1)n ·2(n －1)，则数列{b n }的前50项和为－1＋2×1－2×2＋2×3－…＋2×49＝－1＋2×(1－2＋3－…＋49)＝－1＋2×25＝49.答案 a n ＝⎩⎨⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2 49三、解答题11．数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－7n ＋6.(1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？(3)该数列从第几项开始各项都是正数？解 (1)当n ＝4时，a 4＝42－4×7＋6＝－6.(2)令a n ＝150，即n 2－7n ＋6＝150，解得n ＝16或n ＝－9(舍去)，即150是这个数列的第16项．(3)令a n ＝n 2－7n ＋6＞0，解得n ＞6或n ＜1(舍)．∴从第7项起各项都是正数．12．已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n .(1)求a 2，a 3；(2)求{a n }的通项公式．解 (1)由S 2＝43a 2得3(a 1＋a 2)＝4a 2，解得a 2＝3a 1＝3.由S 3＝53a 3得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6.(2)由题设知a 1＝1.当n ≥2时，有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，整理得a n ＝n ＋1n －1a n －1. 于是a 1＝1，a 2＝31a 1，a 3＝42a 2，……a n －1＝n n －2a n －2，a n ＝n ＋1n －1a n －1. 将以上n 个等式两端分别相乘，整理得a n ＝n （n ＋1）2. 显然，当n ＝1时也满足上式．综上可知，{a n }的通项公式a n ＝n （n ＋1）2. 能力提升题组13．设a n ＝－3n 2＋15n －18，则数列{a n }中的最大项的值是( ) A.163 B.133 C ．4 D ．0解析 ∵a n ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522＋34，由二次函数性质，得当n ＝2或3时，a n 最大，最大为0.答案 D14．(2018·杭州调考)已知数列{a n }满足a n ＋2＝a n ＋1－a n ，且a 1＝2，a 2＝3，则a 2 019的值为________．解析 由题意得，a 3＝a 2－a 1＝1，a 4＝a 3－a 2＝－2，a 5＝a 4－a 3＝－3，a 6＝a 5－a 4＝－1，a 7＝a 6－a 5＝2，∴数列{a n }是周期为6的周期数列，而2 019＝6×336＋3，∴a 2 019＝a 3＝1.答案 115．(2017·金丽衢十二校联考)对于各项均为整数的数列{a n }，如果a i ＋i (i ＝1，2，3，…)为完全平方数，则称数列{a n }具有“P 性质”．不论数列{a n }是否具有“P 性质”，如果存在与{a n }不是同一数列的{b n }，且{b n }同时满足下面两个条件： ①b 1，b 2，b 3，…，b n 是a 1，a 2，a 3，…，a n 的一个排列；②数列{b n }具有“P 性质”，则称数列{a n }具有“变换P 性质”． 下面三个数列：①数列{a n }的前n 项和S n ＝n 3(n 2－1)；②数列1，2，3，4，5；③1，2，3， (11)具有“P 性质”的为________；具有“变换P 性质”的为________． 解析 对于①，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－n ，∵a 1＝0，∴a n ＝n 2－n ，∴a i ＋i ＝i 2(i ＝1，2，3，…)为完全平方数，∴数列{a n }具有“P 性质”；对于②，数列1，2，3，4，5，具有“变换P 性质”，数列{b n }为3，2，1，5，4，具有“P 性质”，∴数列{a n }具有“变换P 性质”；对于③，因为11，4都只有与5的和才能构成完全平方数，所以1，2，3，…，11，不具有“变换P 性质”． 答案 ① ②16．(2018·台州测试)已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋2（n －1）(n ∈N *，a ∈R 且a ≠0)．(1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值；(2)若对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围．解 (1)∵a n ＝1＋1a ＋2（n －1）(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)， 又a ＝－7，∴a n ＝1＋12n －9(n ∈N *)． 结合函数f (x )＝1＋12x －9的单调性，可知1>a 1>a 2>a 3>a 4， a 5>a 6>a 7>…＞a n >1(n ∈N *)．∴数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0.(2)a n ＝1＋1a ＋2（n －1）＝1＋12n －2－a 2， 已知对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，结合函数f (x )＝1＋12x －2－a 2的单调性， 可知5<2－a 2<6，即－10<a <－8.即a 的取值范围是(－10，－8)．17．(一题多解)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋2n ，数列{b n }的前n 项和T n ＝2－b n .(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)设c n ＝a 2n ·b n ，证明：当且仅当n ≥3时，c n ＋1＜c n .(1)解 当n ＝1时，a 1＝S 1＝4.对于n ≥2，有a n ＝S n －S n －1＝2n (n ＋1)－2(n －1)n ＝4n . 又当n ＝1时，a 1＝4适合上式，故{a n }的通项公式a n ＝4n . 将n ＝1代入T n ＝2－b n ，得b 1＝2－b 1，故T 1＝b 1＝1. (求b n 法一)对于n ≥2，由T n －1＝2－b n －1，T n ＝2－b n ，得b n ＝T n －T n －1＝－(b n －b n －1)，b n ＝12b n －1，所以数列{b n }是以1为首项，公比为12的等比数列，故b n ＝21－n . (求b n 法二)对于n ≥2，由T n ＝2－b n ，得T n ＝2－(T n －T n －1)，2T n ＝2＋T n －1，T n －2＝12(T n －1－2)，T n －2＝21－n (T 1－2)＝－21－n ，T n ＝2－21－n ，b n ＝T n －T n －1＝(2－21－n )－(2－22－n )＝21－n . 又n ＝1时，b 1＝1适合上式，故{b n }的通项公式b n ＝21－n .(2)证明 (法一)由c n ＝a 2n ·b n ＝n 225－n ， 得c n ＋1c n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n 2. 当且仅当n ≥3时，1＋1n ≤43＜2，即c n ＋1＜c n .(法二)由c n ＝a 2n ·b n ＝n 225－n ，得c n ＋1－c n ＝24－n [(n ＋1)2－2n 2]＝24－n [－(n －1)2＋2]． 当且仅当n ≥3时，c n ＋1－c n ＜0，即c n ＋1＜c n .。

§2.1数列的概念与简单表示法学习目标 1.理解数列及其有关概念(难点)；2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项(重点)；3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式.4、理解数列的几种表示方法，能从函数的观点研究数列；5.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项(重、难点).知识点一数列的概念1.数列与数列的项按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项，……，排在第n位的数称为这个数列的第n项.2.数列的表示方式数列的一般形式可以写成a1，a2，…，a n，…，简记为{a n}.3.数列中的项的性质：(1)确定性；(2)可重复性；(3)有序性.知识点二数列的分类1.按项的个数分类2.按项的变化趋势分类知识点三数列的函数性质1.数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})为定义域的函数an＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.2.在数列{an}中，若an＋1>an，则{an}是递增数列；若an＋1<an，则{an}为递减数列；若an＋1＝an，则{an}为常数列.知识点四数列的表示方法1、如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.2.数列的递推公式：如果数列{an}的第1项或前几项已知，并且数列{an}的任一项an与它的前一项an －1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式.3.数列的通项公式与递推公式有什么区别？题型一 数列的概念与分类规律方法 处理数列分类问题的技巧 (1)有穷数列与无穷数列.判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需观察数列是有限项还是无限项.若数列含有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列. (2)数列的单调性若满足a n ＜a n ＋1(n ∈N *)则是递增数列；若满足a n ＞a n ＋1(n ∈N *)则是递减数列；若满足a n ＝a n ＋1(n ∈N *)则是常数列；若a n 与a n ＋1(n ∈N *)的大小不确定时，则是摆动数列.【例1】 (1)下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( ) A.1，12，13，14，… B.sin π7，sin 2π7，sin 3π7，…C.－1，－12，－14，－18，… D.1，2，3，…，21(2)设函数f (x )＝⎩⎨⎧（3－a ）x －3，x ≤7，a x －6，x >7，数列{a n }满足a n ＝f (n )，n ∈N *，且数列{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫94，3 B.[94，3) C.(1，3) D.(2，3) 答案 (1)C (2)D【训练】 下列形式中哪些是数列？若是数列，哪些是有穷数列，哪些是无穷数列？ (1){0，1，2，3，4}；(2)0，1，2，3，4； (3)0，1，2，3，4，…；(4)1，－1，1，－1，1，－1，…； (5)6，6，6，6，6.解 (1)是集合，不是数列；(2)(3)(4)(5)是数列.其中(3)(4)是无穷数列，(2)(5)是有穷数列.题型二 数列的通项公式规律方法 1.根据数列的前几项求通项公式的思路 (1)统一项的结构，如都化成分数，根式等；(2)分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数关系式； (3)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)n 处理符号；(4)对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等.2.利用数列的通项公式求某项的方法数列的通项公式给出了第n项a n与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项.3.判断某数值是否为该数列的项的方法先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程.若方程解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项.方向1 根据通项公式写数列的项【例2－1】根据下面数列{a n}的通项公式，写出它的前5项：(1)a n＝nn＋1； (2)a n＝(－1)n n.方向2 观察法求数列的通项公式【例2－2】根据数列的前几项，写出下面各数列的一个通项公式.(1)－3，0，3，6，9，…；(2)3，5，9，17，33，…；(3)2，0，2，0，2，0，…；(4)12，14，－58，1316，－2932，6164，….解(1) a n＝－3＋(n－1)×3＝3n－6(n∈N*).(2)a n＝2n＋1(n∈N*).(3)a n＝1＋(－1)n－1(n∈N*).(4)a n＝(－1)n 2n－32n(n∈N*).方向3 数列的通项公式的简单应用【例2－3】已知数列{a n}的通项公式为a n＝1n（n＋2）(n∈N*)，则(1)计算a3＋a4的值；(2)1120是不是该数列中的项？若是，应为第几项？若不是，说明理由.解(1)∴a3＋a4＝115＋124＝13120.(2)若1120为数列{a n}中的项，则1n（n＋2）＝1120，∴n(n＋2)＝120，∴n2＋2n－120＝0，∴n＝10或n＝－12(舍)，即1120是数列{a n}的第10项.题型三 数列的函数特性1.已知数列{a n }的通项公式是a n ＝(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n，试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由.解 法一 a n ＋1－a n ＝(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＋1－(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＝（9－n ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n11，当n ＜9时，a n ＋1－a n ＞0，即a n ＋1＞a n ；当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n ＞9时，a n ＋1－a n ＜0，即a n ＋1＜a n . 则a 1＜a 2＜a 3＜…＜a 9＝a 10＞a 11＞a 12＞…，故数列{a n }有最大项，为第9项和第10项，且a 9＝a 10＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫10119.法二 根据题意，令⎩⎨⎧a n －1≤a na n ≥a n ＋1，即⎩⎨⎧n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n －1≤（n ＋1）⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n （n ＋1）⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ≥（n ＋2）⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＋1，解得9≤n ≤10.又n ∈N *，则n ＝9或n ＝10.故数列{a n }有最大项，为第9项和第10项，且a 9＝a 10＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫10119.规律方法 1.由于数列是特殊的函数，所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等，此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1，2，…，n }这一条件.2.可以利用不等式组⎩⎨⎧a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1，找到数列的最大项；利用不等式组⎩⎨⎧a n －1≥a n ，a n ≤a n ＋1，找到数列的最小项.【训练】 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝nn 2＋9(n ∈N *)，写出其前5项，并判断数列{a n }的单调性.解 当n ＝1，2，3，4，5时，a n 依次为110，213，16，425，534， a n ＋1－a n ＝n ＋1（n ＋1）2＋9－nn 2＋9＝－n 2－n ＋9[（n ＋1）2＋9][n 2＋9].∵函数f (x )＝－x 2－x ＋9＝－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋122＋374在[1，＋∞)上单调递减，又f (1)＝7>0，f (2)＝3>0，f (3)<0，∴当n ＝1，2时，a n ＋1>a n ，当n ≥3，n ∈N *时，a n ＋1<a n ， 即a 1<a 2<a 3>a 4>a 5>….∴数列{a n}的前3项是递增的，从第3项往后是递减的.题型四数列的递推数列规律方法 1.由递推公式写出通项公式的步骤(1)先根据递推公式写出数列的前几项(至少是前3项).(2)根据写出的前几项，观察归纳其特点，并把每一项统一形式.(3)写出一个通项公式并证明.2.递推公式的常见类型及通项公式的求法(1)求形如a n＋1＝a n＋f(n)的通项公式.将原来的递推公式转化为a n＋1－a n＝f(n)，再用累加法(逐差相加法)求解，即a n＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a n－a n－1)＝a1＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(n－1).(2)求形如a n＋1＝f(n)a n的通项公式.将原递推公式转化为an＋1an＝f(n)，再利用累乘法(逐商相乘法)求解，即由a2a1＝f(1)，a3a2＝f(2)，…，an a n－1＝f(n－1)，累乘可得ana1＝f(1)f(2)…f(n－1).方向1 由递推公式写出数列的项1、已知数列{a n}的第一项a1＝1，以后的各项由递推公式a n＋1＝2a nan＋2给出，试写出这个数列的前5项.解∵a1＝1，a n＋1＝2a nan＋2，∴a2＝2a1a1＋2＝23，a3＝2a2a2＋2＝2×2323＋2＝12，a4＝2a3a3＋2＝2×1212＋2＝25，a 5＝2a4a4＋2＝2×2525＋2＝13.故该数列的前5项为1，23，12，25，13.方向2 由数列的递推公式求通项公式2、已知数列{a n}满足a1＝1，a n＝a n－1＋1n（n－1）(n≥2)，写出该数列前5项，并归纳出它的一个通项公式.解∵a1＝1，a n＝a n－1＋1n（n－1）(n≥2)，∴a2＝a1＋12×1＝1＋12＝32，a3＝a2＋13×2＝32＋16＝53，a 4＝a3＋14×3＝53＋112＝74，a5＝a4＋15×4＝74＋120＝95.故数列的前5项分别为1，32，53，74，95.由于1＝2×1－11，32＝2×2－12，53＝2×3－13，74＝2×4－14，95＝2×5－15，故数列{a n }的一个通项公式为a n ＝2n －1n＝2－1n.方向3 构造数列法求通项公式3、设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0(n ∈N *)，则它的通项公式a n ＝________.法一 (累乘法)：把(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0分解因式，得[(n ＋1)a n ＋1－na n ](a n ＋1＋a n )＝0. ∵a n ＞0，∴a n ＋1＋a n ＞0，∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0，∴a n ＋1a n ＝n n ＋1，∴a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a na n －1＝12×23×34×…×n －1n ，∴a n a 1＝1n .又∵a 1＝1，∴a n ＝1n a 1＝1n . 法二 (迭代法)：同法一，得a n ＋1a n ＝n n ＋1，∴a n ＋1＝n n ＋1a n ，∴a n ＝n －1n ·a n －1＝n －1n ·n －2n －1·a n －2＝n －1n ·n －2n －1·n －3n －2·a n －3…＝n －1n ·n －2n －1·n －3n －2·…·12a 1＝1n a 1.又∵a 1＝1，∴a n ＝1n .法三 (构造特殊数列法)：同法一，得a n ＋1a n ＝nn ＋1， ∴(n ＋1)a n ＋1＝na n ，∴数列{na n }是常数列，∴na n ＝1·a 1＝1，∴a n ＝1n.练习1.下列叙述正确的是( D )A.数列1，3，5，7与7，5，3，1是相同的数列B.数列0，1，2，3，…可以表示为{n }C.数列0，1，0，1，…是常数列 D.数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫n n ＋1是递增数列 2.数列2，3，4，5，…的一个通项公式为( B )A.a n ＝nB.a n ＝n ＋1C.a n ＝n ＋2D.a n ＝2n 解析 这个数列的前4项都比序号大1，所以，它的一个通项公式为a n ＝n ＋1. 3.数列－1，85，－157，249，…的一个通项公式是(D )A.a n ＝(－1)n·n 2＋n 2n ＋1 B.a n ＝(－1)n·n 2＋32n －1C.a n ＝(－1)n·（n ＋1）2－12n －1 D.a n ＝(－1)n ·n （n ＋2）2n ＋14.已知数列{a n }的通项公式a n ＝（－1）n －1·n2n －1，则a 1＝________；a n ＋1＝________.a 1＝（－1）1－1×12×1－1＝1，a n＋1＝（－1）n＋1－1（n＋1）2（n＋1）－1＝（－1）n（n＋1）2n＋1.答案 1（－1）n（n＋1）2n＋15.已知数列{a n}的通项公式为a n＝－n2＋n＋110.(1)20是不是{a n}中的一项？(2)当n取何值时，a n＝0.解(1)令a n＝－n2＋n＋110＝20，即n2－n－90＝0，∴(n＋9)(n－10)＝0，∴n＝10或－9(舍). ∴20是数列{a n}中的一项，且为数列{a n}中的第10项.(2)令a n＝－n2＋n＋110＝0，即n2－n－110＝0，∴(n－11)(n＋10)＝0，∴n＝11或n＝－10(舍)，∴当n＝11时，a n＝0.6.下列四个命题：①如果已知一个数列的递推公式及其首项，那么可以写出这个数列的任何一项；②数列23，34，45，56，…的通项公式是a n＝nn＋1；③数列的图象是一群孤立的点；④数列1，－1，1，－1，…与数列－1，1，－1，1，…是同一数列.其中真命题的个数是()A.1B.2C.3D.4解析只有③正确.①中，如已知a n＋2＝a n＋1＋a n，a1＝1，无法写出除首项外的其他项.②中a n＝n＋1n＋2，④中－1和1排列的顺序不同，即二者不是同一数列.7.数列2，4，6，8，10，…的递推公式是( c )A.a n＝a n－1＋2(n≥2)B.a n＝2a n－1(n≥2)C.a1＝2，a n＝a n－1＋2(n≥2)D.a1＝2，a n＝2a n－1(n≥2)解析A，B中没有说明某一项，无法递推，D中a1＝2，a2＝4，a3＝8，不合题意.8.数列{x n}中，若x1＝1，x n＋1＝1xn＋1－1，则x2 017等于( D )A.－1B.－12C.12D.1解析∵x1＝1，∴x2＝－12，∴x3＝1，∴数列{x n}的周期为2，∴x2 017＝x1＝1.9.已知数列{a n}，对于任意的p，q∈N*，都有a p＋a q＝a p＋q，若a1＝19，则a36＝________.由已知得a1＋a1＝a1＋1＝a2，∴a2＝29，同理a4＝49，a8＝89，∴a9＝a8＋1＝a8＋a1＝89＋19＝1，∴a36＝2a18＝4a9＝4.10.求数列{－2n2＋29n＋3}中的最大项.a n ＝－2n2＋29n＋3＝－2⎝⎛⎭⎪⎫n－2942＋10818.由于n∈N*，故当n取距离294最近的正整数7时，a n取得最大值108，∴数列{－2n2＋29n＋3}中的最大项为a7＝108.。

数列的概念与简单表示法要点一、数列的概念数列概念：按照一定顺序排列着的一列数称为数列. 要点诠释：（1）数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们是不同的数列；（2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. 数列的项：数列中的每一个数叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，…；排在第n 位的数称为这个数列的第n 项.其中数列的第1项也叫作首项；项在数列中的位置序号称为项数.要点诠释：数列的项与项数是两个不同的概念。

数列的项是指数列中的某一个确定的数，而项数是指这个数在数列中的位置序号.类比集合中元素的三要素，数列中的项也有相应的三个性质： （1）确定性：一个数是否数列中的项是确定的； （2）可重复性：数列中的数可以重复；（3）有序性：数列中的数的排列是有次序的.数列的一般形式可以写成：1a ，2a ，3a ，…，n a ，…，或简记为{}n a .其中n a 是数列的第n 项.要点诠释：{}n a 与n a 的含义完全不同，{}n a 表示一个数列，n a 表示数列的第n 项. 要点二、数列的分类 根据数列项数的多少分： 有穷数列：项数有限的数列. 无穷数列：项数无限的数列. 根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列。

递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列。

常数数列：各项相等的数列。

摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列. 要点三、数列的通项公式与前n 项和数列的通项公式表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.如数列：0，1，23，…的通项公式为1n a n =-（*n N ∈）；1，1，1，1，…的通项公式为1n a =（*n N ∈）；1，12，13，14，…的通项公式为1n a n=（*n N ∈）；要点诠释：（1）并不是所有数列都能写出其通项公式； （2）一个数列的通项公式有时是不唯一的。

课时同步练4.1 数列的概念与简单表示法（1）一、单选题1．已知数列{}n a 中，2n+5，则3a =（ ） A ．13 B ．12 C ．11 D ．10【答案】C【解析】由已知得2×3+5=11． 故选C ．2．有下面四个结论：①数列的通项公式是唯一的；②每个数列都有通项公式；③数列可以看作一个定义在正整数集上的函数；④数列的图象是坐标平面上有限或无限个离散的点.其中真命题的个数为（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 【答案】B【解析】对①，数列1,1,1,1,--其通项公式1(1)n n a +=-，也可以是3(1)n n a +=-，故①错误； 对②，数列的项与n 具备一定的规律性，才可求出数列的通项公式，所以有的数列是无通项公式的，故②错误；对③，数列可以看作一个定义在正整数集上或正整数集的子集上的函数，故③错误； 对④，由数列的定义知命题正确.故选B.3．已知数列-1，0，19，18，…，22n n -，…中，则572是其（ ） A ．第14项 B ．第12项 C ．第10项 D ．第8项【答案】B 【解析】令22n n-=572，化为：5n 2﹣72n +144=0， 解得n =12，或n =125（舍去）． 故选B ．4．数列{}n a 的通项公式()*2n a n n =∈N不满足下列递推公式的是（ ） A ．()122n n a a n -=+ B ．()1223n n n a a a n --=-C ．()()()11222n n n n a a a a n ---=-D ．()122n n a a n -= 【答案】D【解析】将2n a n =代入四个选项得：A. 22(1)2n n =-+ 成立；B. 222(1)2(2)n n n =⨯--- 成立；C. ()2222(1)2(1)][2n n n n -=--- 成立；D. 222n n =⨯ 不恒成立。

数列的概念与简单表示法1．数列的有关概念2．数列的表示方法3．a n 与S n 的关系若数列{a n }的前n 项和为S n ， 则a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.4．数列的分类(1)与函数的关系：数列是一种特殊的函数，定义域为N*或其有限子集数列的图象是一群孤立的点．(2)周期性：若a n＋k＝a n(n∈N*，k为非零正整数)，则{a n}为周期数列，k为{a n}的一个周期．[四基自测]1．(教材改编)已知数列{a n}的通项公式为a n＝9＋12n，则在下列各数中，不是{a n}的项的是()A．21B．33C．152 D．153答案：C2．在数列{a n}中，a1＝1，a n＝1＋1a n－1(n≥2)，则a4＝()A．32B．53C．74D．85答案：B3．把1，3，6，10，15，21，…这些数叫做三角形数，这是因为以这些数目的点可以排成一个正三角形(如图)．则第7个三角形数是( )A ．27B ．28C ．29D ．30答案：B4．(2018·高考全国卷Ⅰ改编)记S n 为{a n }的前n 项和，若3S n ＝S n －1＋S n ＋1(n ≥2)，a 1＝2，a 2＝－1，则a 5为________． 答案：35．数列1，23，35，47，59，…的一个通项公式a n ＝________． 答案：n2n －1考点一 已知数列的前几项写通项公式◄考基础——练透[例1] (1)下列公式可作为数列{a n }：1，2，1，2，1，2，…，的通项公式的是( ) A ．a n ＝1 B ．a n ＝（－1）n ＋12C ．a n ＝2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin n π2D ．a n ＝（－1）n －1＋32(2)根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： ①－1，7，－13，19，…； ②0.8，0.88，0.888，…；③12，14，－58，1316，－2932，6164，…； ④32，1，710，917，…； ⑤0，1，0，1，….解析：(1)由a n ＝2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin n π2可得a 1＝1，a 2＝2，a 3＝1，a 4＝2，….故选C ．(2)①符号问题可通过(－1)n 或(－1)n ＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为a n ＝(－1)n (6n －5)． ②将数列变形为89(1－0.1)，89(1－0.01)，89(1－0.001)，…， ∴a n ＝89⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110n .③各项的分母分别为21，22，23，24，…，易看出第2，3，4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－2－32，原数列可化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，∴a n ＝(－1)n·2n －32n .④将数列统一为32，55，710，917，…，对于分子3，5，7，9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为b n ＝2n ＋1，对于分母2，5，10，17，…，联想到数列1，4，9，16，…，即数列{n 2}，可得分母的通项公式为c n ＝n 2＋1，因此可得它的一个通项公式为a n ＝2n ＋1n 2＋1.⑤a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，（n 为奇数），1，（n 为偶数）.答案：(1)C (2)见解析由前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．(2)具体策略：①分式中分子、分母的特征； ②相邻项的变化特征；③各项的符号特征和绝对值特征；④对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系； ⑤对于正负号交替出现的情况，可用(－1)k 或(－1)k ＋1，k ∈N *处理．写出下列各数列的一个通项公式： (1)3，5，7，9，…； (2)12，34，78，1516，3132，…； (3)－1，32，－13，34，－15，36，…；(4)3，33，333，3 333，…. 解析：(1)各项减去1后为正偶数， 所以a n ＝2n ＋1，n ∈N *. (2)每一项的分子比分母少1， 而分母组成数列21，22，23，24，…， 所以a n ＝2n －12n ，n ∈N *.(3)奇数项为负，偶数项为正，故第n 项的符号为(－1)n ；各项绝对值的分母组成数列1，2，3，4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以a n ＝(－1)n ·2＋（－1）nn，也可写为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1n ，n 为正奇数，3n ，n 为正偶数.(4)将数列各项改写为：93，993，9993，9 9993，…，分母都是3，而分子分别是10－1，102－1，103－1，104－1，…. 所以a n ＝13(10n－1)，n ∈N *.考点二 已知递推关系求通项公式◄考能力——知法[例2] 根据下列已知条件，求数列{a n }的通项公式： 累加法：(1)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ；累乘法：(2)a 1＝12，a n ＝n －1n ＋1a n －1(n ≥2)；构造法：(3)a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3； 构造法：(4)a 1＝56，a n ＋1＝13a n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1；取倒数：(5)a 1＝1，a n ＝a n －13a n －1＋1；取对数：(6)a 1＝3，a n ＋1＝a 2n . 解析：(1)∵a n ＋1＝a n ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ，∴a n ＋1－a n ＝ln n ＋1n (n ≥1)， ∴a n －a n －1＝ln nn －1(n ≥2)，∴a n －1－a n －2＝ln n －1n －2，…，a 2－a 1＝ln 21(n ≥2)，∴a n －a 1＝ln nn －1＋ln n －1n －2＋…＋ln 21＝ln n (n ≥2)，∴a n ＝ln n ＋a 1(n ≥2)，又a 1＝2，∴a n ＝ln n ＋2. (2)因为a n ＝n －1n ＋1a n －1(n ≥2)， 所以当n ≥2时，a na n －1＝n －1n ＋1，所以a na n －1＝n －1n ＋1，…，a 3a 2＝24，a 2a 1＝13，以上n －1个式子相乘得a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 3a 2·a 2a 1＝n －1n ＋1·n －2n ·…·24·13，即a n a 1＝1n ＋1·1n ×2×1，所以a n＝1n （n ＋1）. 当n ＝1时，a 1＝11×2＝12，也与已知a 1＝12相符，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝1n （n ＋1）.(3)设递推公式a n ＋1＝2a n ＋3可以转化为a n ＋1－t ＝2(a n －t )，即a n ＋1＝2a n －t ，解得t ＝－3，故递推公式为a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)． 令b n ＝a n ＋3，则b 1＝a 1＋3＝4，且b n ＋1b n ＝a n ＋1＋3a n ＋3＝2.所以{b n }是以b 1＝4为首项，2为公比的等比数列． 所以b n ＝4×2n －1＝2n ＋1，即a n ＝2n ＋1－3.(4)在a n ＋1＝13a n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1两边分别乘以2n ＋1，得2n ＋1·a n ＋1＝23(2n ·a n )＋1.令b n ＝2n ·a n ，则b n ＋1＝23b n ＋1，根据待定系数法，得b n ＋1－3＝23(b n －3)．所以数列{b n －3}是首项为b 1－3＝2×56－3＝－43，公比为23的等比数列． 所以b n －3＝－43·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1，即b n ＝3－2⎝ ⎛⎭⎪⎫23n . 于是，a n ＝b n 2n ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2⎝ ⎛⎭⎪⎫13n.(5)取倒数，得1a n ＝3a n －1＋1a n －1＝3＋1a n －1.∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，1a n ＝1a 1＋3(n －1)＝1＋3(n －1)⇒a n ＝13n －2.(6)由题意知a n >0，将a n ＋1＝a 2n 两边取常用对数得到lg a n ＋1＝2lg a n ，即lg a n ＋1lg a n＝2，所以数列{lg a n }是以lg a 1＝lg 3为首项，2为公比的等比数列．所以lg a n ＝(lg 3)·2n －1，所以a n ＝32n －1.由递推公式求通项的方法1．将本例(1)改为：在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋3n ＋2，则a n ＝________． 解析：因为a n ＋1－a n ＝3n ＋2，所以a n －a n －1＝3n －1(n ≥2)，所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝n （3n ＋1）2(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝2＝12×(3×1＋1)，符合上式，所以a n ＝32n 2＋n2.答案：32n 2＋n 22．将本例(2)改为已知数列{a n }中，a 1＝1，(n ＋1)a n ＝na n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________．解析：由(n ＋1)a n ＝na n ＋1，可得a n ＋1a n＝n ＋1n .∴当n ≥2时，a na n －1＝nn －1，a n －1a n －2＝n －1n －2，…，a 3a 2＝32，a 2a 1＝2.将以上各式累乘求得a na 1＝n ，∴a n ＝n ，而n ＝1也适合．∴数列的通项公式为a n ＝n . 答案：n3．将本例(3)改为在数列{a n }中a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2.求a n . 解析：因为a n ＋1＝3a n ＋2， 所以a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)， 所以a n ＋1＋1a n ＋1＝3，所以数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3. 又a 1＋1＝2， 所以a n ＋1＝2·3n －1， 所以a n ＝2·3n －1－1.考点三 S n 与a n 的关系的应用◄考素养——懂理[例3] (1)(2018·菏泽模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则其通项公式为________．解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝3－2＋1＝2， 当n ≥2时，S n －1＝3(n －1)2－2(n －1)＋1，∴a n ＝S n －S n －1＝(3n 2－2n ＋1)－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5， ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝16n －5，n ≥2.答案：a n ＝⎩⎨⎧2，n ＝16n －5，n ≥2(2)(2019·广东化州第二次模拟)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且log 2(S n ＋1)＝n ＋1，则数列{a n }的通项公式为________． 解析：由log 2(S n ＋1)＝n ＋1，得S n ＋1＝2n ＋1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2.答案：a n ＝⎩⎨⎧3，n ＝12n ，n ≥21．已知S n 求a n 的三个步骤 (1)先利用a 1＝S 1求出a 1.(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式．(3)注意检验n ＝1时的表达式是否可以与n ≥2的表达式合并． 2．S n 与a n 关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化． (1)利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)转化为只含S n ，S n －1的关系式，再求解． (2)利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为只含a n ，a n －1的关系式，再求解．1．(2019·广东江门模拟)记数列{a n }的前n 项和为S n ，若∀n ∈N *，2S n ＝a n ＋1，则a 2 018＝________． 解析：∵2S n ＝a n ＋1， ∴2S n －1＝a n －1＋1(n ≥2)，∴2S n －2S n －1＝2a n ＝a n －a n －1(n ≥2)，即a n ＝－a n －1(n ≥2)，又2S 1＝2a 1＝a 1＋1， ∴a 1＝1，∴a 2 018＝a 2＝－a 1＝－1. 答案：－12．已知数列{a n }满足2S n ＝4a n －1，当n ∈N *时，{(log 2a n )2＋λlog 2a n }是递增数列，则实数λ的取值范围是________．解析：∵2S n ＝4a n －1，2S n －1＝4a n －1－1(n ≥2)，两式相减可得2a n ＝4a n －4a n－1(n ≥2)，∴a n ＝2a n －1(n ≥2)，又2a 1＝4a 1－1，∴a 1＝12，∴数列{a n }是公比为2的等比数列，∴a n ＝2n －2，设b n ＝(log 2a n )2＋λlog 2a n ＝(n －2)2＋λ(n －2)，∵{(log 2a n )2＋λlog 2a n }是递增数列，∴b n ＋1－b n ＝2n －3＋λ＞0恒成立，∴λ＞3－2n 恒成立，∵(3－2n )max ＝1，∴λ＞1，故实数λ的取值范围是(1，＋∞)． 答案：(1，＋∞)逻辑推理——数列的定义与通项公式中的学科素养求数列的通项公式，无论是已知前n 项归纳猜想出通项公式，还是根据递推关系式求通项公式，其主要工作就是逻辑推理，从特殊到一般或从一般到特殊． [例] 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2a n (n ≥2)，且a 1＝1，通过计算a 2，a 3，猜想a n 等于( ) A ．2（n ＋1）2B ．2n （n ＋1）C ．12n －1D ．12n －1解析：因为S n ＝n 2a n ，所以a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝(n ＋1)2a n ＋1－n 2a n ， 故a n ＋1＝nn ＋2a n ，当n ＝2时，a 1＋a 2＝4a 2，a 1＝1，所以a 2＝13.所以a 1＝1＝21×2，a 2＝13＝22×3，a 3＝22＋2a 2＝12×13＝16＝23×4，a 4＝33＋2a 3＝35×16＝110＝24×5，a 5＝44＋2a 4＝23×110＝115＝25×6，由此可猜想a n ＝2n （n ＋1）.答案：B课时规范练A 组 基础对点练1．已知数列{a n }的前4项为2，0，2，0，则归纳该数列的通项不可能是( ) A ．a n ＝(－1)n －1＋1 B ．a n ＝⎩⎨⎧2，n 为奇数0，n 为偶数C ．a n ＝2sin n π2D ．a n ＝cos(n －1)π＋1解析：对于C ，当n ＝3时，sin 3π2＝－1，则a 3＝－2，与题意不符． 答案：C2．已知数列2，5，22，11，…，则25是这个数列的( ) A ．第6项 B ．第7项 C ．第19项D ．第11项解析：数列即：2，5，8，11，…，据此可得数列的通项公式为：a n ＝3n －1，由3n －1＝25，解得：n ＝7，即25是这个数列的第7项．3．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n ，则a 4的值为( ) A ．4 B ．6 C ．8D ．10解析：a 4＝S 4－S 3＝20－12＝8. 答案：C4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( ) A ．2n －1B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1D ．12n －1解析：由已知S n ＝2a n ＋1得S n ＝2(S n ＋1－S n )，即2S n ＋1＝3S n ，S n ＋1S n＝32，而S 1＝a 1＝1，所以S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1，故选B ．答案：B5．设数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝3，且2na n ＝(n －1)a n －1＋(n ＋1)a n ＋1，则a 20的值是( ) A ．415 B ．425 C ．435D ．445解析：由题知：a n ＋1＝2na n －（n －1）a n －1n ＋1，a 3＝2×2×3－13＝113，a 4＝2×3×113－2×34＝4，a 5＝2×4×4－3×1135＝215，a 6＝2×5×215－4×46＝266，故a n ＝5n －4n ，所以a 20＝5×20－420＝245＝445.6．(2019·北京模拟)数列{a n }满足a n ＋1(a n －1－a n )＝a n －1(a n －a n ＋1)，若a 1＝2，a 2＝1，则a 20＝( ) A ．1210B ．129C ．110D ．15解析：数列{a n }满足a n ＋1(a n －1－a n ) ＝a n －1(a n －a n ＋1)， 展开化为1a n －1＋1a n ＋1＝2a n.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，公差为1a 2－1a 1＝12，首项为12.所以1a 20＝12＋12×19＝10，解得a 20＝110.答案：C7．(2019·唐山模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝a 1（4n －1）3，若a 4＝32，则a 1＝__________．解析：∵S n ＝a 1（4n －1）3，a 4＝32，∴255a 13－63a 13＝32，∴a 1＝12.答案：128．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ，则a 3＋a 4＝________． 解析：当n ≥2时，a n ＝2n －2n －1＝2n －1，所以a 3＋a 4＝22＋23＝12. 答案：129．(2019·长沙模拟)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝(－1)n (a n ＋1)，记S n 为{a n }的前n 项和，则S 2 018＝________．解析：因为数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝(－1)n (a n ＋1)， 所以a 2＝－(1＋1)＝－2，a 3＝－2＋1＝－1，a 4＝－(－1＋1)＝0，a 5＝0＋1＝1，a 6＝－(1＋1)＝－2，a 7＝－2＋1＝－1，…，所以{a n }是以4为周期的周期数列，因为2 018＝504×4＋2，所以S 2 018＝504×(1－2－1＋0)＋1－2＝－1 009. 答案：－1 00910．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1，3，6，10，…记为数列{a n }，则数列{a n }的通项公式为_______． 解析：由题干图可知，a n ＋1－a n ＝n ＋1，a 1＝1，由累加法可得a n ＝n （n ＋1）2.答案：a n ＝n （n ＋1）2B 组 能力提升练11．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2a n －4，n ∈N *，则a n ＝( ) A ．2n ＋1 B ．2n C ．2n －1D ．2n －2解析：∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－4－(2a n －4)，∴a n ＋1＝2a n ，∵a 1＝2a 1－4，∴a 1＝4，∴数列{a n }是以4为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＝4·2n －1＝2n＋1，故选A ．答案：A12．在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n (n ≥2，n ∈N *)，则a 3a 5的值是( )A ．1516B ．158C ．34D ．38解析：由已知得a 2＝1＋(－1)2＝2，∴2a 3＝2＋(－1)3，a 3＝12，∴12a 4＝12＋(－1)4，a 4＝3，∴3a 5＝3＋(－1)5，∴a 5＝23，∴a 3a 5＝12×32＝34.答案：C13．已知数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2.若a k ·a k ＋1<0，则正整数k ＝( ) A ．21 B ．22 C ．23D ．24解析：由3a n ＋1＝3a n －2得a n ＋1＝a n －23，则{a n }是等差数列，又a 1＝15，∴a n ＝473－23n .∵a k ·a k ＋1<0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫473－23k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫453－23k <0，∴452<k <472，∴k ＝23.故选C ． 答案：C14．如果数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1，且a n －1－a n a n －1＝a n －a n ＋1a n ＋1(n ≥2)，则这个数列的第10项等于( ) A ．1210 B ．129 C ．15D ．110解析：∵a n －1－a n a n －1＝a n －a n ＋1a n ＋1，∴1－a n a n －1＝a n a n ＋1－1，即a n a n －1＋a n a n ＋1＝2，∴1a n －1＋1a n ＋1＝2a n ，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列．又∵d ＝1a 2－1a 1＝12，∴1a 10＝12＋9×12＝5，故a 10＝15. 答案：C15．(2019·黄冈模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－2n ＋2，则数列{a n }的通项公式为________．解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －3，由于n ＝1时a 1的值不适合n ≥2的解析式，故通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －3，n ≥2.答案：a n ＝⎩⎨⎧1，n ＝1，2n －3，n ≥216．(2019·郑州模拟)意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…，即F(1)＝F(2)＝1，F(n)＝F(n－1)＋F(n－2)(n≥3，n∈N*)，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，若此数列被3整除后的余数构成一个新数列{b n}，则b2 018＝________．解析：由题意得，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….此数列被3整除后的余数构成一个新数列为1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，1，0，…构成以8为周期的周期数列，所以b2 018＝b2＝1.答案：1第二节等差数列及其前n项和[基础梳理]1．等差数列的有关概念(1)定义：①文字语言：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数．②符号语言：a n＋1－a n＝d(n∈N*，d为常数)．(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝a＋b2，其中A叫做a，b的等差中项．2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ．(2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n （a 1＋a n ）2．3．等差数列的性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n ． (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．(4)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列．1．两个重要技巧(1)若奇数个数成等差数列，可设中间三项为a －d ，a ，a ＋D ．(2)若偶数个数成等差数列，可设中间两项为a －d ，a ＋d ，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元． 2．三个必备结论(1)若等差数列{a n }的项数为偶数2n ，则①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)；②S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a na n ＋1.(2)若等差数列{a n }的项数为奇数2n ＋1，则①S 2n ＋1＝(2n ＋1)a n ＋1；②S 奇S 偶＝n ＋1n .(3)在等差数列{a n }中，若a 1＞0，d ＜0，则满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值S m ；若a 1＜0，d ＞0，则满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值S m .3．两个函数等差数列{a n }，当d ≠0时，a n ＝dn ＋(a 1－d )，是关于n 的一次函数； S n ＝d 2n 2＋(a 1－d2)n 是无常数项的二次函数．[四基自测]1．(教材改编)已知数列{a n }中，a n ＝3n ＋4，若a n ＝13，则n 等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6答案：A2．已知等差数列{a n }满足：a 3＝13，a 13＝33，则数列{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案：B3．(教材改编)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＝18－a 5，则S 8＝( ) A ．18 B ．36 C ．54 D ．72 答案：D4．在100以内的正整数中有________个能被6整除的数． 答案：165．已知等差数列5，427，347，…，则前n 项和S n ＝________． 答案：514(15n －n 2)考点一 等差数列的性质及基本量的运算◄考基础——练透角度1 用等差数列的基本量a 1和d 进行计算[例1] (1)(2018·高考全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( ) A ．－12 B ．－10 C ．10D ．12解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由3S 3＝S 2＋S 4，得3⎣⎢⎡⎦⎥⎤3a 1＋3×（3－1）2×d ＝2a 1＋2×（2－1）2×d ＋4a 1＋4×（4－1）2×d ，将a 1＝2代入上式，解得d ＝－3， 故a 5＝a 1＋(5－1)d ＝2＋4×(－3)＝－10. 故选B ． 答案：B(2)已知等差数列{a n }的各项都为整数，且a 1＝－5，a 3a 4＝－1，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝( ) A ．70 B ．58 C ．51D ．40解析：设等差数列{a n }的公差为d ， 由各项都为整数得d ∈Z ，因为a 1＝－5，所以a 3a 4＝(－5＋2d )(－5＋3d )＝－1，化简得6d 2－25d ＋26＝0，解得d ＝2或d ＝136(舍去)，所以a n ＝2n －7，所以|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝5＋3＋1＋1＋3＋…＋13＝9＋7×（1＋13）2＝58.故选B ． 答案：B角度2 用等差数列性质进行计算[例2] (1)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 3＋a 10＝9，则S 9＝( ) A ．3 B ．9 C ．18D ．27解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为D ．∵a 2＋a 3＋a 10＝9，∴3a 1＋12d ＝9，即a 1＋4d ＝3，∴a 5＝3，∴S 9＝9×（a 1＋a 9）2＝9×2a 52＝27.故选D ． 答案：D(2)(2019·河北唐山第二次模拟)设{a n }是任意等差数列，它的前n 项和、前2n 项和与前4n 项和分别为X ，Y ，Z ，则下列等式中恒成立的是( ) A ．2X ＋Z ＝3Y B ．4X ＋Z ＝4Y C ．2X ＋3Z ＝7YD ．8X ＋Z ＝6Y解析：设数列{a n }的前3n 项的和为R ，则由等差数列的性质得X ，Y －X ，R －Y ，Z －R 成等差数列，所以2(Y －X )＝X ＋R －Y ，解之得R ＝3Y －3X ，又因为2(R －Y )＝Y －X ＋Z －R ，把R ＝3Y －3X 代入得8X ＋Z ＝6Y ，故选D ． 答案：D等差数列的计算技巧1．已知等差数列{a n }中，a 2＝1，前5项和S 5＝－15，则数列{a n }的公差为( ) A ．－3 B ．－52 C ．－2D ．－4解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，因为⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，S 5＝－15，所以⎩⎨⎧a 1＋d ＝1，5a 1＋5×42d ＝－15，解得d ＝－4，故选D ． 答案：D2．在等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝8，a 4＝7，则a 5＝( ) A ．11 B ．10 C ．7D ．3解析：∵a 1＋a 5＝2a 3＝8，∴a 3＝4， 又∵a 3＋a 5＝2a 4， ∴a 5＝2a 4－a 3＝14－4＝10. 故选B ． 答案：B3．等差数列{a n }中，3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，则该数列的前13项和为( ) A ．13 B ．26 C ．52D ．156解析：3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，∴6a 4＋6a 10＝24，∴a 4＋a 10＝4，∴S 13＝13（a 1＋a 13）2＝13（a 4＋a 10）2＝13×42＝26，故选B ．答案：B考点二 等差数列的判定与证明◄考能力——知法角度1 用等差数列定义证明[例3] (2019·南京模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n 且满足a n ＋2S n ·S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列．(2)求a n 的表达式．解析：(1)证明：因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，又a n ＝－2S n ·S n －1，所以S n －1－S n ＝2S n ·S n －1，S n ≠0.因此1S n －1S n －1＝2(n ≥2)．故由等差数列的定义知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1S 1＝1a 1＝2为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)知1S n＝1S 1＋(n －1)d ＝2＋(n －1)×2＝2n ，即S n ＝12n . 由于当n ≥2时，有a n ＝－2S n ·S n －1＝－12n （n －1），又因为a 1＝12，不适合上式． 所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧12（n ＝1），－12n （n －1）（n ≥2）.角度2 用等差中项法证明[例4] 已知等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n .(1)若S 3，S 9，S 6成等差数列，求证：a 2，a 8，a 5成等差数列；(2)若a m ＋2是a m ＋1和a m 的等差中项，则S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列吗？ 解析：(1)证明：由S 3，S 9，S 6成等差数列，得S 3＋S 6＝2S 9.若q ＝1，则3a 1＋6a 1＝18a 1，解得a 1＝0，这与{a n }是等比数列矛盾，所以q ≠1， 于是有a 1（1－q 3）1－q ＋a 1（1－q 6）1－q ＝2a 1（1－q 9）1－q ，整理得q 3＋q 6＝2q 9.因为q ≠0且q ≠1，所以q 3＝－12，a 8＝a 2q 6＝14a 2，a 5＝a 2q 3＝－12a 2， 所以2a 8＝a 2＋a 5，即a 8－a 2＝a 5－a 8，故a 2，a 8，a 5成等差数列．(2)依题意，得2a m ＋2＝a m ＋1＋a m ，则2a 1q m ＋1＝a 1q m ＋a 1q m －1.在等比数列{a n }中，a 1≠0，q ≠0，所以2q 2＝q ＋1，解得q ＝1或q ＝－12.当q ＝1时，S m ＋S m ＋1＝ma 1＋(m ＋1)a 1＝(2m ＋1)a 1，S m ＋2＝(m ＋2)a 1. 因为a 1≠0，所以2S m ＋2≠S m ＋S m ＋1，此时S m ，S m ＋2，S m ＋1不成等差数列． 当q ＝－12时，S m ＋2＝a 1[1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12m ＋2]1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2a 13[1－(－12)m ＋2]＝2a 13 [1－14×(－12)m ]， S m ＋S m ＋1＝a 1[1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12m ]1－（－12）＋a 1[1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12m ＋1]1－（－12）＝2a 13[1－(－12)m ＋1－(－12)m ＋1] ＝2a 13[2－12×(－12)m ]， 所以2S m ＋2＝S m ＋S m ＋1.故当q ＝1时，S m ，S m ＋2，S m ＋1不成等差数列；当q ＝－12时，S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列．判定数列{a n}是等差数列的常用方法(1)定义法：对任意n∈N*，a n＋1－a n是同一个常数．(证明用)(2)等差中项法：对任意n≥2，n∈N*，满足2a n＝a n＋1＋a n－1.(证明用)(3)通项公式法：数列的通项公式a n是n的一次函数．(4)前n项和公式法：数列的前n项和公式S n是n的二次函数，且常数项为0. 提醒：判断是否为等差数列，最终一般都要转化为定义法判断．将本例1条件变为“数列{a n}的前n项和为S n(n∈N*)，2S n－na n＝n，”求证：{a n}为等差数列．证明：因为2S n－na n＝n，①所以当n≥2时，2S n－1－(n－1)a n－1＝n－1，②所以①－②得：(2－n)a n＋(n－1)a n－1＝1，(1－n)a n＋1＋na n＝1，所以2a n＝a n－1＋a n＋1(n≥2)，所以数列{a n}为等差数列．考点三等差数列前n项和及综合问题◄考素养——懂理[例5](1)(2018·高考全国卷Ⅱ)记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.①求{a n}的通项公式；②求S n，并求S n的最小值．解析：①设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1＋3d ＝－15. 由a 1＝－7得d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －9. ②由①得S n ＝a 1＋a n2·n ＝n 2－8n ＝(n －4)2－16. 所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16.(2)已知数列{a n }满足a 1＝2，n (a n ＋1－n －1)＝(n ＋1)(a n ＋n )(n ∈N *)．①求证数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，并求其通项公式；②设b n ＝2a n －15，求数列{|b n |}的前n 项和T n . 解析：①∵n (a n ＋1－n －1)＝(n ＋1)(a n ＋n )(n ∈N *)， ∴na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n (n ＋1)，∴a n ＋1n ＋1－a nn ＝2，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，其公差为2，首项为2，∴a nn ＝2＋2(n －1)＝2n .②由①知a n ＝2n 2，∴b n ＝2a n －15＝2n －15，则数列{b n }的前n 项和S n ＝n （－13＋2n －15）2＝n 2－14n .令b n ＝2n －15≤0，解得n ≤7.∴n ≤7时，数列{|b n |}的前n 项和T n ＝－b 1－b 2－…－b n ＝－S n ＝－n 2＋14n . n ≥8时，数列{|b n |}的前n 项和T n ＝－b 1－b 2－…－b 7＋b 8＋…＋b n ＝－2S 7＋S n ＝－2×(72－14×7)＋n 2－14n ＝n 2－14n ＋98.∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧14n －n 2，n ≤7，n 2－14n ＋98，n ≥8.关于等差数列前n 项和问题，主要是求和方法及性质的应用，其关键点为： (1)定性质，根据已知条件判断出数列具有哪些特性．(2)定方法，根据已知条件或具有的性质，确定解决问题的方法． ①求和：用哪个公式，需要哪些量． ②求S n 最值：(ⅰ)借助S n 的二次函数法； (ⅱ)借用通项的邻项变号法a 1>0，d <0，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≥0a m ＋1≤0S n 取得最大值S m ；a 1<0，d >0，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0a m ＋1≥0，S n 取得最小值S m .1．在等差数列{a n }中，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使S n 达到最大值的n 是( ) A ．21 B ．20 C ．19D ．18解析：由a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝105，∴a 3＝35. a 2＋a 4＋a 6＝3a 4＝99，∴a 4＝33，∴d ＝a 4－a 3＝－2. ∴a n ＝a 4＋(n －4)×d ＝33＋(n －4)×(－2)＝－2n ＋41. ∴a 20＞0，a 21＜0，∴当n ＝20时，S 20最大，故选B ． 答案：B2．已知数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，且a 3＝10，S 6＝72，若b n ＝12a n －30，设数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n 的最小值．解析：∵2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，∴a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1， 故数列{a n }为等差数列．设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由a 3＝10，S 6＝72得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝10，6a 1＋15d ＝72，解得a 1＝2，d ＝4.故a n ＝4n －2，则b n ＝12a n －30＝2n －31， 令⎩⎪⎨⎪⎧b n ≤0，b n ＋1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧2n －31≤0，2（n ＋1）－31≥0， 解得292≤n ≤312， ∵n ∈N *，∴n ＝15，即数列{b n }的前15项均为负值，∴T 15最小． ∵数列{b n }的首项是－29，公差为2， ∴T 15＝15×（－29＋2×15－31）2＝－225，∴数列{b n }的前n 项和T n 的最小值为－225.数学建模——传统文化中的数列的学科素养在传统文化中，涉及很多等差数列的模型，经过转化用等差数列的知识求解，体现了数学建模，数学运算的素养．[例1] 《张丘建算经》卷上第22题——“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同．已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加( ) A ．47尺 B ．1629尺 C ．815尺D ．1631尺解析：设该女子织布每天增加d 尺，由题意知S 30＝30×5＋30×292d ＝390，解得d ＝1629.故该女子织布每天增加1629尺．故选B ． 答案：B[例2] 中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是( ) A ．174斤 B ．184斤 C ．191斤D ．201斤解析：用a 1，a 2，…，a 8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵数，由题意得数列a 1，a 2，…，a 8是公差为17的等差数列，且这8项的和为996，∴8a 1＋8×72×17＝996，解得a 1＝65.∴a 8＝65＋7×17＝184，即第8个儿子分到的绵是184斤，故选B ． 答案：B课时规范练A 组 基础对点练1．在单调递增的等差数列{a n }中，若a 3＝1，a 2a 4＝34，则a 1＝( ) A ．－1 B ．0 C ．14D ．12解析：由题知，a 2＋a 4＝2a 3＝2，又∵a 2a 4＝34，数列{a n }单调递增，∴a 2＝12，a 4＝32.∴公差d ＝a 4－a 22＝12.∴a 1＝a 2－d ＝0. 答案：B2．等差数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝100(n ≥3)．若{a n }的公差为某一自然数，则n 的所有可能取值为( ) A ．3，7，9，15，100 B ．4，10，12，34，100 C ．5，11，16，30，100D ．4，10，13，43，100解析：由等差数列的通项公式得，公差d ＝a n －a 1n －1＝99n －1.又因为d ∈N ，n ≥3，所以n －1可能为3，9，11，33，99，n 的所有可能取值为4，10，12，34，100，故选B ． 答案：B3．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝( ) A ．5 B ．7 C ．9D ．11解析：因为{a n }是等差数列，∴a 1＋a 5＝2a 3，即a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝3，∴a 3＝1， ∴S 5＝5（a 1＋a 5）2＝5a 3＝5，故选A ．答案：A4．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 8－S 4＝36，a 6＝2a 4，则a 1＝( ) A ．－2 B ．0 C ．2D ．4解析：设等差数列{a n }的公差为d ，∵S 8－S 4＝36，a 6＝2a 4， ∴⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫8a 1＋8×72d －⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 1＋4×32d ＝36，a 1＋5d ＝2a 1＋6d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝2.故选A ．答案：A5．若等差数列{a n }的前5项之和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7＝( )A ．12B ．13C ．14D ．15解析：由S 5＝（a 2＋a 4）·52，得25＝（3＋a 4）·52，解得a 4＝7，所以7＝3＋2d ，即d ＝2，所以a 7＝a 4＋3d ＝7＋3×2＝13. 答案：B6．已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( ) A ．100 B ．99 C ．98D ．97解析：由题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝3，a 1＋9d ＝8，解得a 1＝－1，d ＝1， 所以a 100＝－1＋99×1＝98. 答案：C7．已知等差数列{a n }中，a n ≠0，若n ≥2且a n －1＋a n ＋1－a 2n ＝0，S 2n －1＝38，则n 等于__________．解析：∵{a n }是等差数列，∴2a n ＝a n －1＋a n ＋1，又∵a n －1＋a n ＋1－a 2n ＝0，∴2a n －a 2n ＝0，即a n (2－a n )＝0.∵a n ≠0，∴a n ＝2.∴S 2n －1＝(2n －1)a n ＝2(2n －1)＝38，解得n ＝10. 答案：108．中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为________．解析：设数列首项为a 1，则a 1＋2 0152＝1 010，故a 1＝5.答案：59．已知等差数列的前三项依次为a ，4，3a ，前n 项和为S n ，且S k ＝110. (1)求a 及k 的值．(2)已知数列{b n }满足b n ＝S nn ，证明数列{b n }是等差数列，并求其前n 项和T n . 解析：(1)设该等差数列为{a n }，则a 1＝a ，a 2＝4，a 3＝3a ，由已知有a ＋3a ＝8，得a 1＝a ＝2，公差d ＝4－2＝2，所以S k ＝ka 1＋k （k －1）2·d ＝2k ＋k （k －1）2×2＝k 2＋k .由S k ＝110，得k 2＋k －110＝0，解得k ＝10或k ＝－11(舍去)，故a ＝2，k ＝10. (2)由(1)得S n ＝n （2＋2n ）2＝n (n ＋1)，则b n ＝S nn ＝n ＋1，故b n ＋1－b n ＝(n ＋2)－(n ＋1)＝1，即数列{b n }是首项为2，公差为1的等差数列， 所以T n ＝n （2＋n ＋1）2＝n （n ＋3）2.10．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －12a n －1＋1(n ∈N *，n ≥2)，数列{b n }满足关系式b n ＝1a n(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }为等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．解析：(1)证明：∵b n ＝1a n ，且a n ＝a n －12a n －1＋1，∴b n ＋1＝1a n ＋1＝1a n 2a n ＋1＝2a n ＋1a n ， ∴b n ＋1－b n ＝2a n ＋1a n－1a n＝2.又∵b1＝1a1＝1，∴数列{b n}是以1为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)知数列{b n}的通项公式为b n＝1＋(n－1)×2＝2n－1，又b n＝1a n，∴a n＝1b n＝12n－1.∴数列{a n}的通项公式为a n＝12n－1.B组能力提升练11．(2019·唐山统考)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S11＝22，则a3＋a7＋a8＝()A．18 B．12C．9 D．6解析：设等差数列{a n}的公差为d，由题意得S11＝11（a1＋a11）2＝11（2a1＋10d）2＝22，即a1＋5d＝2，所以a3＋a7＋a8＝a1＋2d＋a1＋6d＋a1＋7d＝3(a1＋5d)＝6，故选D．答案：D12．已知数列{a n}是等差数列，数列{b n}是等比数列，公比为q，数列{c n}中，c n＝a n b n，S n是数列{c n}的前n项和．若S m＝11，S2m＝7，S3m＝－201(m为正偶数)，则S4m的值为()A．－1 601 B．－1 801C．－2 001 D．－2 201解析：令A＝S m＝11，B＝S2m－S m＝－4，C＝S3m－S2m＝－208，则q m·A＝(a1b1＋a2b2＋…＋a m b m)q m＝a1b m＋1＋…＋a m b2m.故B－q m·A＝(a m＋1－a1)b m＋1＋…＋(a2m－a m)b2m＝md(b m＋1＋…＋b2m)，其中，d是数列{a n}的公差，q是数列{b n}的公比．同理C－q m·B＝md(b2m＋1＋…＋b3m)＝md(b m＋1＋…＋b2m)·q m，故C－q m·B＝q m(B－q m·A)．代入已知条件，可得11(q m)2＋8q m－208＝0，解得q m ＝4或q m ＝－5211(因m 为正偶数，舍去)．又S 4m －S 3m ＝(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a m b m )q 3m ＋3md (b m ＋1＋…＋b 2m )q 2m ＝11×43＋3(B －q m ·A )×42＝11×43－3×12×43＝－1 600. 故S 4m ＝S 3m －1 600＝－1 801. 答案：B13．(2019·长春质检)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1>0且a 6a 5＝911，则当S n取最大值时，n 的值为( ) A ．9 B ．10 C ．11D ．12解析：由题意，不妨设a 6＝9t ，a 5＝11t ，则公差d ＝－2t ，其中t >0，因此a 10＝t ，a 11＝－t ，即当n ＝10时，S n 取得最大值，故选B ． 答案：B14．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意正整数n 都有S n T n＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为________． 解析：因为{a n }，{b n }为等差数列， 所以a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝a 92b 6＋a 32b 6＝a 9＋a 32b 6＝a 6b 6，因为S 11T 11＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝2a 62b 6＝2×11－34×11－3＝1941.所以a 6b 6＝1941.答案：194115．(2019·银川模拟)在等差数列{a n }中，已知a 3＝7，a 6＝16，依次将等差数列的各项排成如图所示的三角形数阵，则此数阵中，第10行从左到右的第5个数是________．解析：由题知公差d ＝a 6－a 36－3＝16－73＝3，所以a n ＝7＋(n －3)d ＝3n －2，第10行从左到右的第5个数是原等差数列中第1＋2＋…＋9＋5＝50项，即为a 50＝3×50－2＝148. 答案：14816．(2019·太原模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＜0，S 2 015＝0. (1)求S n 的最小值及此时n 的值． (2)求n 的取值集合，使其满足a n ≥S n .解析：(1)设公差为d ，则由S 2 015＝0⇒2 015a 1＋2 015×2 0142d ＝0⇒a 1＋1 007d＝0，d ＝－11 007a 1，a 1＋a n ＝2 015－n 1 007a 1， 所以S n ＝n 2(a 1＋a n )＝n 2·20 15－n1 007a 1 ＝a 12 014(2 015n －n 2)． 因为a 1＜0，n ∈N *，所以当n ＝1 007或1 008时，S n 取最小值504a 1. (2)a n ＝1 008－n1 007a 1，S n ≤a n ⇔a 12 014(2 015n －n 2)≤1 008－n 1 007a 1. 因为a 1＜0，所以n 2－2 017n ＋2 016≤0， 即(n －1)(n －2 016)≤0，解得1≤n≤2 016.故所求n的取值集合为{n|1≤n≤2 016，n∈N*}．第三节等比数列及其前n项和[基础梳理]1．等比数列的有关概念(1)定义：①文字语言：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数．②符号语言：a n＋1a n＝q(n∈N*，q为非零常数)．(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇔G2＝ab(a、G、b不为零)．2．等比数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝a 1q n －1． (2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎨⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.3．等比数列的性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m (m ，n ∈N *)．(2)对任意的正整数m ，n ，p ，q ，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ．特别地，若m ＋n ＝2p ，则a m ·a n ＝a 2p ．(3)若等比数列前n 项和为S n ，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 仍成等比数列，即(S 2m －S m )2＝S m (S 3m －S 2m )(m ∈N *，公比q ≠－1)．(4)数列{a n }是等比数列，则数列{pa n }(p ≠0，p 是常数)也是等比数列． (5)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k ．1．(1)在等比数列求和时，要注意q ＝1和q ≠1的讨论． (2)当{a n }是等比数列且q ≠1时，S n ＝a 11－q －a 11－q ·q n ＝A －A ·q n .2．当项数是偶数时，S 偶＝S 奇·q ； 当项数是奇数时，S 奇＝a 1＋S 偶·q .[四基自测]1．等比数列{a n }中，a 4＝4，则a 2·a 6等于( ) A ．4 B ．8 C ．16 D ．32答案：C2．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }前7项的和为( )A ．63B ．64C ．127D ．128答案：C3．在3与192中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________． 答案：12，484．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝12，则S 9S 3＝________．答案：345．记S n 为数列{a n }的前n 项和，若S n ＝2a n ＋1，则a n ＝________． 答案：－2n －1考点一 等比数列的基本运算及性质◄考基础——练透角度1 利用基本量进行计算[例1] (1)(2018·高考全国卷Ⅰ)记S n 为数列{a n }的前n 项和．若S n ＝2a n ＋1，则S 6＝________．解析：∵S n ＝2a n ＋1，当n ≥2时，S n －1＝2a n －1＋1， ∴a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1， 即a n ＝2a n －1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1＋1，得a 1＝－1.∴数列{a n }是首项a 1为－1，公比q 为2的等比数列， ∴S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝－1（1－2n ）1－2＝1－2n ，∴S 6＝1－26＝－63.答案：－63(2)(2018·高考全国卷Ⅲ)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3. ①求{a n }的通项公式；②记S n 为{a n }的前n 项和．若S m ＝63，求m . 解析：①设{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝q n －1. 由已知得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)，q ＝－2或q ＝2. 故a n ＝(－2)n －1或a n ＝2n －1.②若a n ＝(－2)n －1，则S n ＝1－（－2）n3.由S m ＝63得(－2)m ＝－188，此方程没有正整数解． 若a n ＝2n －1，则S n ＝2n －1. 由S m ＝63得2m ＝64，解得m ＝6. 综上，m ＝6.角度2 利用性质进行计算[例2] (1)在等比数列{a n }中，已知a 3，a 7是方程x 2－6x ＋1＝0的两根，则a 5＝( ) A ．1 B ．－1 C ．±1D ．3解析：在等比数列{a n }中，因为a 3，a 7是方程x 2－6x ＋1＝0的两个根，所以a 3＋a 7＝6＞0，a 3·a 7＝1＞0，所以a 3＞0，a 7＞0，a 5＞0，因为a 3·a 7＝a 25＝1，所以a 5＝1. 答案：A(2)已知数列1，a 1，a 2，9是等差数列，数列1，b 1，b 2，b 3，9是等比数列，则b 2a 1＋a 2＝________．解析：因为数列1，a 1，a 2，9是等差数列，所以a 1＋a 2＝1＋9＝10；因为数列1，b 1，b 2，b 3，9是等比数列，所以b 22＝1×9＝9，又b 2＝1×q 2＞0(q 为等比数列的公比)，所以b 2＝3，则b 2a 1＋a 2＝310.答案：310解决等比数列的基本运算常用方法1．已知等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则该数列的通项公式a n ＝________．解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝a 1q 2＝3，①a 10＝a 1q 9＝384，②②÷①，得q 7＝128，即q ＝2，把q ＝2代入①，得a 1＝34，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1q n －1＝34×2n －1＝3×2n －3.答案：3×2n －32．等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项的和为S n ，已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________．解析：当q ＝1时，显然不符合题意；当q ≠1时，⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1－q 3）1－q＝74a 1（1－q 6）1－q ＝634，解得⎩⎨⎧a 1＝14，q ＝2，则a 8＝14×27＝32.答案：323．(2019·哈尔滨模拟)等比数列{a n }的各项为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝( ) A ．12 B ．10 C ．8D ．2＋log 3a 5解析：由题a 5a 6＋a 4a 7＝18，所以a 5a 6＝9，log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1a 2…a 10)＝log 3(a 5a 6)5＝5log 39＝10. 答案：B4．在等比数列{a n }中，如果a 1＋a 2＝40，a 3＋a 4＝60，那么a 7＋a 8＝( ) A ．135 B ．100 C ．95D ．80解析：由等比数列前n 项和的性质知，a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，a 7＋a 8成等比数列，其首项为40，公比为6040＝32.所以a 7＋a 8＝40×(32)3＝135. 答案：A考点二 等比数列的判定与证明◄考能力——知法[例3] (1)对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列 D ．a 3，a 6，a 9成等比数列解析：设等比数列的公比为q ，则a 3＝a 1q 2，a 6＝a 1q 5，a 9＝a 1q 8，满足(a 1q 5)2＝a 1q 2·a 1q 8，即a 26＝a 3·a 9.答案：D(2)(2018·高考全国卷Ⅰ)已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n .设b n ＝a n n . ①求b 1，b 2，b 3；②判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由； ③求{a n }的通项公式．解析：①由条件可得a n ＋1＝2（n ＋1）n a n .将n ＝1代入得，a 2＝4a 1，而a 1＝1，所以a 2＝4. 将n ＝2代入得，a 3＝3a 2，所以a 3＝12. 从而b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4.②{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． 由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a nn ，即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． ③由②可得a nn ＝2n －1， 所以a n ＝n ·2n －1.等比数列的判断与证明的常用方法。

第1讲 数列的概念与简单表示法1．数列的定义按照□01一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的□02项．2．数列的分类3．数列的表示法数列有三种常见表示法，它们分别是□07列表法、□08图象法和□09解析法． 4．数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与□10序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．1．若数列{a n }的前n 项和为S n ，通项公式为a n ， 则a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.2．在数列{a n }中，若a n 最大，则⎩⎨⎧ a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1.若a n 最小，则⎩⎨⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1. 3．数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．1．在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n (n ≥2，n ∈N *)，则a 3a 5的值是( ) A.1516 B.158 C.34 D.382．(2019·湖南三市联考)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝a 1(4n －1)3，若a 4＝32，则a 1的值为( )A.12B.14C.18D.1163．在数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N 都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝( )A.6116B.259C.2516D.31154．在数列{a n }中，若a 1＝2，a n ＝11－a n －1(n ≥2，n ∈N *)，则a 8＝( )A ．－1B ．1 C.12 D ．25．已知数列32，54，76，9m －n ，m ＋n 10，…，根据前3项给出的规律，实数对(m ，n )为________．6．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋1n (n ＋1)，则数列a n ＝________.核心考向突破考向一 利用a n 与S n 的关系求通项公式例1 (1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋1，则a n ＝________.(2)(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为数列{a n }的前n 项和，若S n ＝2a n ＋1，则S 6＝________.触类旁通S n 与a n 关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化． ①利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)转化为只含S n ，S n －1的关系式，再求解． ②利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为只含a n ，a n －1的关系式，再求解．即时训练 1.(2019·宁夏模拟)设S n是数列{a n}的前n项和，且a1＝－1，a n＋1＝S n S n＋1，则S n＝________.2．(2018·石家庄质检)设数列{a n}的前n项和为S n，若S2＝4，a n＋1＝2S n＋1，n∈N*，则a1＝________，S5＝________.考向二由递推关系求数列的通项公式例2分别求出满足下列条件的数列的通项公式．(1)a1＝0，a n＋1＝a n＋(2n－1) (n∈N*)；(2)a1＝1，a n＝nn－1a n－1 (n≥2，n∈N*)；(3)a1＝－2，a n＋1＝3a n＋6 (n∈N*)．(4)a1＝－2，a n＋1＝3a n＋6n(n∈N*)．触类旁通由递推关系式求通项公式的常用方法(1)已知a1且a n－a n－1＝f(n)，可用“累加法”求a n.(2)已知a1且a na n－1＝f(n)，可用“累乘法”求a n.(3)已知a1且a n＋1＝qa n＋b，则a n＋1＋k＝q(a n＋k)(其中k可由待定系数法确定)，可转化为等比数列{a n＋k}．(4)形如a n＋1＝Aa nBa n＋C(A，B，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解.即时训练 3.在数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝2a na n＋2(n∈N*)，则14是这个数列的()A．第6项B．第7项C．第8项D．第9项4．若数列{a n}满足：a1＝1，a n＋1＝a n＋2n，则数列a n＝________.5．在数列{a n}中，a1＝4，na n＋1＝(n＋2)a n，则数列a n＝________.考向三 数列的性质 角度1 数列的单调性例3 (2019·吉林模拟)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－2λn (n ∈N *)，若数列{a n }为递增数列，则λ取值范围为________.角度2 数列的周期性例4 在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＝－1a n ＋1，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2018＝( )A ．20152B ．－20152C ．20172D ．－20172 角度3 数列的最值例5 (1)若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－10n (n ∈N *)，则数列{na n }中数值最小的项是( )A ．第2项B ．第3项C ．第4项D ．第5项 (2)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫78n ，则当a n 取得最大值时，n ＝________.即时训练 6.已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n(n ∈N *)，则a 1·a 2·a 3·…·a 2019＝( )A ．－6B ．6C ．－3D ．37．已知数列{a n }满足a n ＝⎩⎨⎧(1－3a )·n ＋10a ，n ≤6，a n －7，n >6(n ∈N *)，若对任意的n∈N *，均有a n >a n ＋1，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1B.⎝ ⎛⎦⎥⎤13，58C.⎝ ⎛⎦⎥⎤13，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，58。

第1讲数列的概念及简单表示法一、知识梳理1．数列的有关概念(1)数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项．(2)数列的分类(3)数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析式法．2．数列的通项公式(1)数列的通项公式如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表达，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．(2)已知数列{a n }的前n 项和S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.常用结论1．数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在正整数集或其子集{1，2，3，…，n }上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值．2．在数列{a n }中，若a n 最大，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1，若a n 最小，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1.二、教材衍化1．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋（－1）na n －1(n ≥2)，则a 5等于( )A.32 B.53 C.85D ．23解析：选D.a 2＝1＋（－1）2a 1＝2，a 3＝1＋（－1）3a 2＝12，a 4＝1＋（－1）4a 3＝3，a 5＝1＋（－1）5a 4＝23. 2．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a n ＝ ．答案：5n －4一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．( ) (2)所有数列的第n 项都能使用通项公式表示．( ) (3)数列{a n }和集合{a 1，a 2，a 3，…，a n }是一回事．( ) (4)若数列用图象表示，则从图象上看都是一群孤立的点．( ) (5)一个确定的数列，它的通项公式只有一个．( )(6)若数列{a n }的前n 项和为S n ，则对∀n ∈N ＋，都有a n ＝S n －S n －1.( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)× (6)× 二、易错纠偏常见误区(1)忽视数列是特殊的函数，其自变量为正整数集N ＋或其子集{1，2，…，n }； (2)根据S n 求a n 时忽视对n ＝1的验证．1．在数列－1，0，19，18，…，n －2n 2中，0.08是它的第 项．解析：依题意得n －2n 2＝225，解得n ＝10或n ＝52(舍)．答案：102．已知S n ＝2n ＋3，则a n ＝ ．解析：因为S n ＝2n ＋3，那么当n ＝1时，a 1＝S 1＝21＋3＝5；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n＋3－(2n －1＋3)＝2n －1(*)．由于a 1＝5不满足(*)式，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5，n ＝1，2n －1，n ≥2.答案：⎩⎪⎨⎪⎧5，n ＝1，2n －1，n ≥2由数列的前几项求数列的通项公式(师生共研)(1)数列1，3，6，10，15，…的一个通项公式是( )A ．a n ＝n 2－(n －1)B ．a n ＝n 2－1C ．a n ＝n （n ＋1）2D ．a n ＝n （n －1）2(2)已知数列{a n }为12，14，－58，1316，－2932，6164，…，则数列{a n }的一个通项公式是 ．【解析】 (1)设此数列为{a n }，则由题意可得a 1＝1，a 2＝3，a 3＝6，a 4＝10，a 5＝15，…仔细观察数列1，3，6，10，15，…可以发现：1＝1，3＝1＋2，6＝1＋2＋3，10＝1＋2＋3＋4.…所以第n 项为1＋2＋3＋4＋5＋…＋n ＝n （n ＋1）2，所以数列1，3，6，10，15，…的通项公式a n ＝n （n ＋1）2.(2)各项的分母分别为21，22，23，24，…，易看出从第2项起，每一项的分子数比分母少3，且第1项可变为－2－32，故原数列可变为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…故其通项公式可以为a n ＝(－1)n·2n －32n .【答案】 (1)C (2)a n ＝(－1)n·2n －32n解决此类问题，需抓住下面的特征：(1)各项的符号特征，通过(－1)n或(－1)n＋1来调节正负项．(2)考虑对分子、分母各个击破或寻找分子、分母之间的关系．(3)相邻项(或其绝对值)的变化特征．(4)拆项、添项后的特征．(5)通过通分等方法变化后，观察是否有规律．[注意]根据数列的前几项求其通项公式其实是利用了不完全归纳法，蕴含着“从特殊到一般”的数学思想，由不完全归纳法得出的结果不一定是准确的！1．数列{a n }的前4项是32，1，710，917，则这个数列的一个通项公式是a n ＝ ．解析：数列{a n }的前4项可变形为2×1＋112＋1，2×2＋122＋1，2×3＋132＋1，2×4＋142＋1，故a n ＝2n ＋1n 2＋1.答案：2n ＋1n 2＋12．数列3，7，11，15，…的一个通项公式是 ．解析：因为7－3＝11－7＝15－11＝4，即a 2n －a 2n －1＝4，所以a 2n ＝3＋(n －1)×4＝4n －1，所以a n ＝4n －1.答案：a n ＝4n －1由a n 与S n 的关系求通项公式a n (师生共研)(1)(2020·河南三市联考)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝a 1（4n －1）3，若a 4＝32，则a 1的值为( )A.12B.14C.18D ．116(2)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，则a 1＝ ，{a n }的通项公式为 ．【解析】 (1)因为S n ＝a 1（4n －1）3，a 4＝32，所以S 4－S 3＝255a 13－63a 13＝32，所以a 1＝12，故选A.(2)数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ， 当n ≥2时，a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1＝2(n －1)， 所以(2n －1)a n ＝2，所以a n ＝22n －1. 当n ＝1时，a 1＝2，上式也成立． 所以a n ＝22n －1.【答案】 (1)A (2)2 a n ＝22n －1(1)已知S n 求a n 的三个步骤 ①先利用a 1＝S 1求出a 1；②用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系式，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式；③注意检验n ＝1时的表达式是否可以与n ≥2的表达式合并． (2)S n 与a n 关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化． ①利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)转化为只含S n ，S n －1的关系式，再求解； ②利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为只含a n ，a n －1的关系式，再求解．1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1(n ∈N ＋)，则a n ＝ ．解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1；当n ＝1时，a 1＝S 1＝4≠2×1＋1.所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥2. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥22．若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式a n ＝ ．解析：由S n ＝23a n ＋13，得当n ≥2时，S n －1＝23a n －1＋13，两式相减，整理得a n ＝－2a n －1，又当n ＝1时，S 1＝a 1＝23a 1＋13，所以a 1＝1，所以{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，故a n ＝(－2)n －1.答案：(－2)n－1由递推关系求数列的通项公式(师生共研)分别求出满足下列条件的数列的通项公式．(1)a1＝0，a n＋1＝a n＋(2n－1)(n∈N＋)；(2)a1＝1，a n＋1＝2n a n(n∈N＋)；(3)a1＝1，a n＋1＝3a n＋2(n∈N＋)．【解】(1)a n＝a1＋(a2－a1)＋…＋(a n－a n－1)＝0＋1＋3＋…＋(2n－5)＋(2n－3)＝(n－1)2，所以数列的通项公式为a n＝(n－1)2.(2)由于a n ＋1a n ＝2n ，故a 2a 1＝21，a 3a 2＝22，…，a na n －1＝2n －1，将这n －1个等式叠乘， 得a n a 1＝21＋2＋…＋(n －1)＝2n （n －1）2，故a n ＝2n （n －1）2，所以数列的通项公式为a n ＝2n （n －1）2.(3)因为a n ＋1＝3a n ＋2，所以a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，所以a n ＋1＋1a n ＋1＝3，所以数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3，又a 1＋1＝2，所以a n ＋1＝2·3n －1，所以该数列的通项公式为a n ＝2·3n－1－1.由递推关系求数列的通项公式的常用方法1．在数列{a n}中，若a1＝2，a n＋1＝a n＋2n－1，则a n＝．解析：a1＝2，a n＋1＝a n＋2n－1⇒a n＋1－a n＝2n－1⇒a n＝(a n－a n－1)＋(a n－1－a n－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1，则a n＝2n－2＋2n－3＋…＋2＋1＋a1＝1－2n－11－2＋2＝2n－1＋1.答案：2n－1＋12．若a1＝1，na n－1＝(n＋1)a n(n≥2)，则数列{a n}的通项公式a n＝．解析：由na n－1＝(n＋1)a n(n≥2)，得a na n－1＝nn＋1(n≥2)．所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝n n ＋1·n －1n ·n －2n －1·…·34×23×1＝2n ＋1，(*) 又a 1也满足(*)式，所以a n ＝2n ＋1. 答案：2n ＋1数列的函数特征(多维探究) 角度一 数列的单调性已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n ＋k2n，若数列{a n }为递减数列，则实数k 的取值范围为( )A ．(3，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞)【解析】 因为a n ＋1－a n ＝3n ＋3＋k 2n ＋1－3n ＋k 2n ＝3－3n －k2n ＋1，由数列{a n }为递减数列知，对任意n ∈N ＋，a n ＋1－a n ＝3－3n －k2n ＋1＜0，所以k ＞3－3n 对任意n ∈N ＋恒成立，所以k ∈(0，＋∞)．故选D.【答案】 D(1)解决数列单调性问题的三种方法①用作差比较法，根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列还是常数列； ②用作商比较法，根据a n ＋1a n (a n >0或a n <0)与1的大小关系进行判断；③结合相应函数的图象直观判断． (2)求数列最大项或最小项的方法①可以利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1(n ≥2)找到数列的最大项；②利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≥a n ，a n ≤a n ＋1(n ≥2)找到数列的最小项．角度二 数列的周期性等差数列{a n}的公差d＜0，且a21＝a211，则数列{a n}的前n项和S n取得最大值时的项数n的值为()A．5 B．6C．5或6 D．6或7【解析】由a21＝a211，可得(a1＋a11)(a1－a11)＝0，因为d＜0，所以a1－a11≠0，所以a1＋a11＝0，又2a6＝a1＋a11，所以a6＝0.因为d＜0，所以{a n}是递减数列，所以a1＞a2＞…＞a5＞a6＝0＞a7＞a8＞…，显然前5项和或前6项和最大，故选C.【答案】 C解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．已知数列{a n}满足a n＝(n－λ)2n(n∈N ＋)，若{a n}是递增数列，则实数λ的取值范围是．解析：因为数列{a n}是递增数列，所以a n＋1＞a n，所以(n＋1－λ)2n＋1＞(n－λ)2n，化为λ＜n＋2，对任意的n∈N＋都成立．所以λ＜3.答案：(－∞，3)核心素养系列13 逻辑推理——数列的通项公式逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程．主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比推理；一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎推理．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2a n (n ≥2)，且a 1＝1，通过计算a 2，a 3，猜想a n 等于( )A.2（n ＋1）2B.2n （n ＋1）C.12n －1D ．12n －1【解析】 法一(归纳推理)：因为S n ＝n 2a n ，所以a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝(n ＋1)2a n ＋1－n 2a n ， 故a n ＋1＝nn ＋2a n ，当n ＝2时，a 1＋a 2＝4a 2，a 1＝1， 所以a 2＝13.所以a 1＝1＝21×2，a 2＝13＝22×3，a 3＝22＋2a 2＝12×13＝16＝23×4，a 4＝33＋2a 3＝35×16＝110＝24×5，a 5＝44＋2a 4＝23×110＝115＝25×6，由此可猜想a n ＝2n （n ＋1）.法二(演绎推理)：因为a 1＝1，S n ＝n 2a n ，所以n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2a n －(n －1)2a n－1，即(n ＋1)(n －1)a n ＝(n －1)2a n －1，所以a na n －1＝n －1n ＋1，所以a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1＝n －1n ＋1×n －2n ×n －3n －1·…·24×13，即a n a 1＝2n （n ＋1），所以a n ＝2n （n ＋1）. 【答案】 B本题是从特殊到一般的归纳，是不完全归纳，解答此类问题的具体策略：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征；(4)各项的符号特征和绝对值特征；(5)化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；(6)对于符号交替出现的情况，可用(－1)k 或(－1)k ＋1，k ∈N ＋处理．1．在数列1，2，7，10，13，…中219是这个数列的第项．解析：数列1，2，7，10，13，…，即数列1，3×1＋1，3×2＋1，3×3＋1，3×4＋1，…，所以该数列的通项公式为a n＝3（n－1）＋1＝3n－2，所以3n－2＝219＝76，所以n＝26，故219是这个数列的第26项．答案：262．已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝a2n－2a n＋1(n∈N＋)，则a2 020等于．解析：因为a1＝1，所以a2＝(a1－1)2＝0，a3＝(a2－1)2＝1，a4＝(a3－1)2＝0，…，可知数列{a n}是以2为周期的周期数列，所以a2 020＝a2＝0.答案：0[基础题组练]1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－8n ＋15，则( ) A ．3不是数列{a n }的项 B ．3只是数列{a n }的第2项 C ．3只是数列{a n }的第6项 D ．3是数列{a n }的第2项和第6项解析：选D.令a n ＝3，即n 2－8n ＋15＝3.整理，得n 2－8n ＋12＝0，解得n ＝2或n ＝6.故选D.2．已知数列{a n }满足：任意m ，n ∈N ＋，都有a n ·a m ＝a n ＋m ，且a 1＝12，则a 5＝( )A.132B.116C.14D ．12解析：选A.由题意，得a 2＝a 1a 1＝14，a 3＝a 1·a 2＝18，所以a 5＝a 3·a 2＝132.3．在数列{a n }中，“|a n ＋1|>a n ”是“数列{a n }为递增数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.“|a n ＋1|>a n ”⇔a n ＋1>a n 或－a n ＋1>a n ，充分性不成立，数列{a n }为递增数列⇔|a n ＋1|≥a n ＋1>a n 成立，必要性成立，所以“|a n ＋1|>a n ”是“数列{a n }为递增数列”的必要不充分条件．故选B.4．已知数列{a n }满足a n ＋1＝1－1a n (n ∈N *)，且a 1＝2，则( )A ．a 3＝－1B ．a 2 019＝12C ．S 3＝3D ．S 2 019＝2 019解析：选A.数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1－1a n (n ∈N *)，可得a 2＝12，a 3＝－1，a 4＝2，a 5＝12，…所以a n －3＝a n ，数列的周期为3.a 2 019＝a 672×3＋3＝a 3＝－1.S 6＝3，S 2 019＝2 0192.5．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，{S n ＋na n }为常数列，则a n ＝( ) A.13n －1 B.2n （n ＋1） C.6（n ＋1）（n ＋2）D ．5－2n 3解析：选B.由题意知，S n ＋na n ＝2， 当n ≥2时，S n －1＋(n －1)a n －1＝2， 所以(n ＋1)a n ＝(n －1)a n －1， 从而a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝13·24·…·n －1n ＋1，则a n ＝2n （n ＋1），当n ＝1时上式成立，所以a n ＝2n （n ＋1）.6．数列1，23，35，47，59，…的一个通项公式a n ＝ ．解析：由已知得，数列可写成11，23，35，…，故通项公式可以为n2n －1.答案：n2n －17．若数列{a n }满足a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2＋3n ＋2，则数列{a n }的通项公式为 ． 解析：a 1·a 2·a 3·…·a n ＝(n ＋1)(n ＋2)， 当n ＝1时，a 1＝6；当n ≥2时，⎩⎪⎨⎪⎧a 1·a 2·a 3·…·a n －1·a n ＝（n ＋1）（n ＋2），a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝n （n ＋1），故当n ≥2时，a n ＝n ＋2n，所以a n＝⎩⎨⎧6，n ＝1，n ＋2n ，n ≥2，n ∈N *.答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，n ＋2n ，n ≥2，n ∈N*8．(2020·重庆(区县)调研测试)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，2S n ＝(n ＋1)a n ，则a n ＝ ．解析：由2S n ＝(n ＋1)a n 知，当n ≥2时，2S n －1＝na n －1，所以2a n ＝2S n －2S n －1＝(n ＋1)a n－na n －1，所以(n －1)a n ＝na n －1，所以当n ≥2时，a n n ＝a n －1n －1，所以a n n ＝a 11＝1，所以a n ＝n .答案：n9．已知数列{a n }的前n 项和为S n . (1)若S n ＝(－1)n ＋1·n ，求a 5＋a 6及a n ； (2)若S n ＝3n ＋2n ＋1，求a n .解：(1)因为a 5＋a 6＝S 6－S 4＝(－6)－(－4)＝－2， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝(－1)n ＋1·n －(－1)n ·(n －1)＝ (－1)n ＋1·[n ＋(n －1)]＝(－1)n ＋1·(2n －1)， 又a 1也适合此式，所以a n ＝(－1)n ＋1·(2n －1)． (2)因为当n ＝1时，a 1＝S 1＝6；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋2n ＋1)－[3n －1＋2(n －1)＋1]＝2×3n －1＋2，由于a 1不适合此式，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，2×3n －1＋2，n ≥2.10．(2020·安徽合肥四校联考)已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝4a n ＋3. (1)写出该数列的前4项，并归纳出数列{a n }的通项公式；(2)证明：a n ＋1＋1a n ＋1＝4.解：(1)a 1＝3，a 2＝15，a 3＝63，a 4＝255.因为a 1＝41－1，a 2＝42－1，a 3＝43－1，a 4＝44－1，…，所以归纳得a n ＝4n －1.(2)证明：因为a n ＋1＝4a n ＋3，所以a n ＋1＋1a n ＋1＝4a n ＋3＋1a n ＋1＝4（a n ＋1）a n ＋1＝4.[综合题组练]1．(2020·河南焦作第四次模拟)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ，记数列{a n b n }的前n 项和为S n ，若S n －22n ＋1＋1＝n ，则数列{b n }的通项公式为b n ＝ ．解析：因为S n －22n ＋1＋1＝n ，所以S n ＝(n －1)·2n ＋1＋2.所以当n ≥2时，S n －1＝(n －2)2n ＋2，两式相减，得a n b n ＝n ·2n ，所以b n ＝n ；当n ＝1时，a 1b 1＝2，所以b 1＝1.综上所述，b n ＝n ，n ∈N *.故答案为n .答案：n2．(2020·新疆一诊)数列{a n }满足a 1＝3，a n －a n a n ＋1＝1，A n 表示{a n }的前n 项之积，则A 2 019＝ ．解析：由a n －a n a n ＋1＝1，得a n ＋1＝1－1a n，又a 1＝3，则a 2＝1－1a 1＝23，a 3＝1－1a 2＝1－32＝－12，a 4＝1－1a 3＝1－(－2)＝3，则数列{a n }是周期为3的周期数列，且a 1a 2a 3＝3×⎝⎛⎭⎫23×⎝⎛⎭⎫－12＝－1，则A 2 019＝(a 1a 2a 3)·(a 4a 5a 6)·…·(a 2017a 2 018a 2 019)＝(－1)673＝－1.答案：－13．已知S n 为正项数列{a n }的前n 项和，且满足S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N ＋)． (1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)由S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N ＋)，可得a 1＝12a 21＋12a 1，解得a 1＝1； S 2＝a 1＋a 2＝12a 22＋12a 2，解得a 2＝2；同理a 3＝3，a 4＝4. (2)S n ＝12a 2n ＋12a n ，① 当n ≥2时，S n －1＝12a 2n －1＋12a n －1，② ①－②得(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1)＝0. 由于a n ＋a n －1≠0， 所以a n －a n －1＝1， 又由(1)知a 1＝1，故数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列，故a n ＝n .4．设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝a (a ≠3)，a n ＋1＝S n ＋3n ，n ∈N ＋. (1)设b n ＝S n －3n ，求数列{b n }的通项公式； (2)若a n ＋1≥a n ，n ∈N ＋，求a 的取值范围． 解：(1)依题意得S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝S n ＋3n ， 即S n ＋1＝2S n ＋3n ，由此得S n ＋1－3n ＋1＝2(S n －3n )，即b n ＋1＝2b n ， 又b 1＝S 1－3＝a －3，因此，所求通项公式为b n ＝(a －3)2n －1，n ∈N ＋. (2)由(1)可知S n ＝3n ＋(a －3)2n －1，n ∈N ＋，于是，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋(a －3)2n －1－3n －1－(a －3)2n －2＝2×3n －1＋(a －3)2n－2，a n ＋1－a n ＝4×3n －1＋(a －3)2n －2 ＝2n －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12·⎝⎛⎭⎫32n －2＋a －3，所以，当n ≥2时， a n ＋1≥a n ⇒12⎝⎛⎭⎫32n －2＋a －3≥0⇒a ≥－9，又a2＝a1＋3＞a1，a≠3.所以，所求的a的取值范围是[－9，3)∪(3，＋∞)．。

第二章 数 列§2.1 数列的概念与简单表示法(一) 课时目标1．理解数列及其有关概念；2．理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；3．对于比较简单的数列，会根据其前n 项写出它的通项公式．1．按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项，…，排在第n 位的数称为这个数列的第n 项．2．数列的一般形式可以写成a 1，a 2，…，a n ，…，简记为{a n }．3．项数有限的数列称有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．4．如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．一、选择题1．数列2,3,4,5，…的一个通项公式为( )A ．a n ＝nB ．a n ＝n ＋1C ．a n ＝n ＋2D ．a n ＝2n答案 B2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋(－1)n ＋12，则该数列的前4项依次为( ) A ．1,0,1,0 B ．0,1,0,1C.12，0，12，0 D ．2,0,2,0 答案 A3．若数列的前4项为1,0,1,0，则这个数列的通项公式不可能是( )A ．a n ＝12[1＋(－1)n －1] B ．a n ＝12[1－cos(n ·180°)] C ．a n ＝sin 2(n ·90°)D ．a n ＝(n －1)(n －2)＋12[1＋(－1)n －1] 答案 D解析 令n ＝1,2,3,4代入验证即可．4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－n －50，则－8是该数列的( )A ．第5项B ．第6项C ．第7项D ．非任何一项答案 C解析 n 2－n －50＝－8，得n ＝7或n ＝－6(舍去)．5．数列1,3,6,10，…的一个通项公式是( )A ．a n ＝n 2－n ＋1B ．a n ＝n (n －1)2C ．a n ＝n (n ＋1)2D ．a n ＝n 2＋1 答案 C解析 令n ＝1,2,3,4，代入A 、B 、C 、D 检验即可．排除A 、B 、D ，从而选C.6．设a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n (n ∈N *)，那么a n ＋1－a n 等于( ) A.12n ＋1 B.12n ＋2C.12n ＋1＋12n ＋2D.12n ＋1－12n ＋2答案 D解析 ∵a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ∴a n ＋1＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋12n ＋1＋12n ＋2， ∴a n ＋1－a n ＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2. 二、填空题7．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1(n 为正奇数)4n －1(n 为正偶数) .则它的前4项依次为____________．答案 4,7,10,158．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n (n ＋2)(n ∈N *)，那么1120是这个数列的第______项． 答案 10解析 ∵1n (n ＋2)＝1120， ∴n (n ＋2)＝10×12，∴n ＝10.9．用火柴棒按下图的方法搭三角形： 按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数a n 与所搭三角形的个数n 之间的关系式可以是______________．答案 a n ＝2n ＋1解析 a 1＝3，a 2＝3＋2＝5，a 3＝3＋2＋2＝7，a 4＝3＋2＋2＋2＝9，…，∴a n ＝2n ＋1.10．传说古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras ，约公元前570年—公元前500年)学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．比如，他们将石子摆成如图所示的三角形状，就将其所对应石子个数称为三角形数，则第10个三角形数是______．答案 55解析 三角形数依次为：1,3,6,10,15，…，第10个三角形数为：1＋2＋3＋4＋…＋10＝55.三、解答题11．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)－1,7，－13,19，…(2)0.8,0.88,0.888，…(3)12，14，－58，1316，－2932，6164，…(4)32，1，710，917，… (5)0,1,0,1，…解 (1)符号问题可通过(－1)n 或(－1)n ＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为a n ＝(－1)n (6n －5)(n ∈N *)．(2)数列变形为89(1－0.1)，89(1－0.01)， 89(1－0.001)，…，∴a n ＝89⎝⎛⎭⎫1－110n (n ∈N *)． (3)各项的分母分别为21,22,23,24，…易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－2－32，因此原数列可化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…， ∴a n ＝(－1)n ·2n －32n (n ∈N *)． (4)将数列统一为32，55，710，917，…对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为b n ＝2n ＋1，对于分母2,5,10,17，…联想到数列1,4,9,16…即数列{n 2}，可得分母的通项公式为c n ＝n 2＋1，∴可得它的一个通项公式为a n ＝2n ＋1n 2＋1(n ∈N *)． (5)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0 (n 为奇数)1 (n 为偶数)或a n ＝1＋(－1)n 2(n ∈N *) 或a n ＝1＋cos n π2(n ∈N *)． 12．已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9n 2－9n ＋29n 2－1； (1)求这个数列的第10项；(2)98101是不是该数列中的项，为什么？ (3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；(4)在区间⎝⎛⎭⎫13，23内有、无数列中的项？若有，有几项？若没有，说明理由．(1)解 设f (n )＝9n 2－9n ＋29n 2－1＝(3n －1)(3n －2)(3n －1)(3n ＋1)＝3n －23n ＋1. 令n ＝10，得第10项a 10＝f (10)＝2831. (2)解 令3n －23n ＋1＝98101，得9n ＝300. 此方程无正整数解，所以98101不是该数列中的项． (3)证明 ∵a n ＝3n －23n ＋1＝3n ＋1－33n ＋1＝1－33n ＋1， 又n ∈N *，∴0<33n ＋1<1，∴0<a n <1. ∴数列中的各项都在区间(0,1)内．(4)解 令13<a n ＝3n －23n ＋1<23，则⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1<9n －69n －6<6n ＋2，即⎩⎨⎧ n >76n <83.∴76<n <83. 又∵n ∈N *，∴当且仅当n ＝2时，上式成立，故区间⎝⎛⎭⎫13，23上有数列中的项，且只有一项为a 2＝47. 能力提升13．数列a ，b ，a ，b ，…的一个通项公式是______________________．答案 a n ＝a ＋b 2＋(－1)n ＋1⎝⎛⎭⎫a －b 2解析 a ＝a ＋b 2＋a －b 2，b ＝a ＋b 2－a －b 2， 故a n ＝a ＋b 2＋(－1)n ＋1⎝⎛⎭⎫a －b 2.14．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有多少个点．解 图(1)只有1个点，无分支；图(2)除中间1个点外，有两个分支，每个分支有1个点；图(3)除中间1个点外，有三个分支，每个分支有2个点；图(4)除中间1个点外，有四个分支，每个分支有3个点；…；猜测第n 个图中除中间一个点外，有n 个分支，每个分支有(n －1)个点，故第n 个图中点的个数为1＋n (n －1)＝n 2－n ＋1.1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质：(1)确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的．(2)可重复性：数列中的数可以重复．(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序也有关．2．并非所有的数列都能写出它的通项公式．例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3,3.1,3.14,3.141，…，它没有通项公式．3．如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式．例如：数列－1,1，－1,1，－1,1，…的通项公式可写成a n ＝(－1)n ，也可以写成a n ＝(－1)n ＋2，还可以写成a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1 (n ＝2k －1)，1 (n ＝2k )，其中k ∈N *.。