基本不等式及其应用
1．基本不等式
若a>0,，b>0，则a ＋b
2≥ab ，当且仅当 时取“＝”．
这一定理叙述为：两个正数的算术平均数 它们的几何平均数． 注：运用均值不等式求最值时，必须注意以下三点： (1)各项或各因式均正；（一正） (2)和或积为定值；（二定）
(3)等号成立的条件存在：含变数的各项均相等，取得最值．（三相等） 2．常用不等式
(1)a 2＋b 2≥ab 2(a ，b ∈R )．
(2)2
a b
+()0,>b a 注：不等式a 2＋b 2≥2ab 和
2
b
a +≥a
b 它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数.其等价变形：ab≤（2
b a +）2
.
(3)ab ≤2
2⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a (a ，b ∈R )．
(4)b a ＋a
b ≥2(a ，b 同号且不为0)．
(5)22⎪⎭
⎫ ⎝⎛+b a ≤a 2＋b 2
2(a ，b ∈R ). （6）
b
a a
b b a b a 112
2222+≥≥+≥+()0,>b a (7)abc ≤a 3＋b 3＋c 3
3
;(),,0a b c >
(8)a＋b＋c
3≥
3
abc；()
,,0
a b c>
3．利用基本不等式求最大、最小值问题
(1)求最小值：a>0，b>0，当ab为定值时，a＋b，a2＋b2有，即a ＋b≥，a2＋b2≥.
(2)求最大值：a＞0，b＞0，当a＋b为定值时，ab有最大值，即；或a2＋b2为定值时，ab有最大值(a＞0，b＞0)，即.
设a，b∈R，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是()
A.6
B.42
C.2 2
D.2 6
解：因为2a＞0，2b＞0，由基本不等式得2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b＝42，
当且仅当a＝b＝3
2时取等号，故选B.
若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为()
A.1
2 B.1 C.2 D.4
解：∵a＞0，b＞0，a＋2b＝2，∴a＋2b＝2≥22ab，即ab≤1
2.当且仅当a
＝1，b＝1
2时等号成立.故选A.
小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a＜b)，其全程的平均时速为v，则()
A.a＜v＜ab
B.v＝ab
C.ab＜v＜a＋b
2 D.v＝
a＋b
2
解：设甲、乙两地之间的距离为s.
∵a＜b，∴v＝
2s
s
a＋
s
b
＝
2ab
a＋b
＜
2ab
2ab
＝ab.
又v－a＝2ab
a＋b
－a＝
ab－a2
a＋b
＞
a2－a2
a＋b
＝0，∴v＞a.故选A.
(2014·上海)若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为________. 解：由xy ＝1得x 2＋2y 2＝x 2＋2x 2≥22，当且仅当x ＝±4
2时等号成立.故填22.
点(m ，n )在直线x ＋y ＝1位于第一象限内的图象上运动，则log 2m ＋log 2n 的最大值是________.
解：由条件知，m ＞0，n ＞0，m ＋n ＝1， 所以mn ≤⎝
⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝1
4， 当且仅当m ＝n ＝1
2时取等号，
∴log 2m ＋log 2n ＝log 2mn ≤log 21
4＝－2，故填－2.
类型一 利用基本不等式求最值
(1)求函数y ＝（x ＋5）（x ＋2）
x ＋1(x ＞－1)的值域.
解：∵x ＞－1，∴x ＋1＞0，令m ＝x ＋1，则m ＞0，且y ＝（m ＋4）（m ＋1）
m
＝m ＋4
m ＋5≥2
m ·4
m ＋5＝9，当且仅当m ＝2时取等号，故y min ＝9.
又当m →＋∞或m →0时，y →＋∞，故原函数的值域是[9，＋∞). (2)下列不等式一定成立的是( )
A.lg ⎝ ⎛
⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0) B.sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )
C.x 2＋1≥2||x (x ∈R )
D.
1
x 2＋1
>1(x ∈R ) 解：A 中，x 2＋14≥x (x ＞0)，当x ＝12时，x 2＋1
4＝x. B 中，sin x ＋1
sin x ≥2(sin x ∈(0，1])；
sin x＋
1
sin x≤－2(sin x∈[－1，0)).
C中，x2－2|x|＋1＝(|x|－1)2≥0(x∈R).
D中，
1
x2＋1
∈(0，1](x∈R).故C一定成立，故选C.
点拨：
这里(1)是形如f(x)＝ax2＋bx＋c
x＋d
的最值问题，只要分母x＋d＞0，都可以将
f(x)转化为f(x)＝a(x＋d)＋
e
x＋d
＋h(这里ae＞0；若ae＜0，可以直接利用单调性
等方法求最值)，再利用基本不等式求其最值.
(2)牢记基本不等式使用条件——一正、二定、三相等，特别注意等号成立条件要存在.
(1)已知t＞0，则函数f(t)＝t2－4t＋1
t的最小值为.
解：∵t＞0，∴f(t)＝t2－4t＋1
t＝t＋
1
t－4≥－2，
当且仅当t＝1时，f(t)min＝－2，故填－2. (2)已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：(Ⅰ)xy的最小值；
(Ⅱ)x＋y的最小值.
解：(Ⅰ)由2x＋8y－xy＝0，得8
x＋
2
y＝1，又x＞0，y＞0，
则1＝8
x＋
2
y≥2
8
x·
2
y＝
8
xy
，得xy≥64，
当且仅当x＝4y，即x＝16，y＝4时等号成立.
(Ⅱ)解法一：由2x＋8y－xy＝0，得x＝
8y
y－2
，∵x＞0，∴y＞2，
则x＋y＝y＋
8y
y－2
＝(y－2)＋
16
y－2
＋10≥18，
