2014年高考数学压轴题(理科)

2014高考数学压轴题一1．（12分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点()1,2M ，它们在x 轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点.（Ⅰ）求这三条曲线的方程；（Ⅱ）已知动直线l 过点()3,0P ，交抛物线于,A B 两点，是否存在垂直于x 轴的直线l '被以AP 为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l '的方程；若不存在，说明理由.解：（Ⅰ）设抛物线方程为()220y px p =>，将()1,2M 代入方程得2p =24y x ∴= 抛物线方程为: ………………………………………………（1分）由题意知椭圆、双曲线的焦点为()()211,0,1,0,F F -∴ c=1…………………（2分） 对于椭圆，()()222122112114222a MF MF =+=+++-+=+()222222212123222221322222a ab ac x y ∴=+∴=+=+∴=-=+∴+=++ 椭圆方程为：………………………………（4分）对于双曲线，122222a MF MF '=-=-222222213222221322222a abc a x y '∴=-'∴=-'''∴=-=-∴-=-- 双曲线方程为：………………………………（6分）（Ⅱ）设AP 的中点为C ，l '的方程为：x a =，以AP 为直径的圆交l '于,D E 两点，DE 中点为H令()11113,,,22x y A x y +⎛⎫∴ ⎪⎝⎭ C ………………………………………………（7分） ()()22111111322312322DC AP x y x CH a x a ∴==-++=-=-+()()()2222221112121132344-2324622222DH DC CH x y x a a x a aa DH DE DH l x ⎡⎤⎡⎤∴=-=-+--+⎣⎦⎣⎦=-+==-+=∴=='= 当时,为定值; 为定值此时的方程为： …………（12分）2．（14分）已知正项数列{}n a 中，16a =，点()1,n n n A a a +在抛物线21yx =+上；数列{}n b 中，点(),n n B n b 在过点()0,1，以方向向量为()1,2的直线上.（Ⅰ）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（Ⅱ）若()()()n na f nb ⎧⎪=⎨⎪⎩, n 为奇数, n 为偶数，问是否存在k N ∈，使()()274f k f k +=成立，若存在，求出k 值；若不存在，说明理由； （Ⅲ）对任意正整数n ，不等式11202111111n n nn a a n a b b b +-≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立，求正数a 的取值范围.解：（Ⅰ）将点()1,n n n A a a +代入21y x =+中得()11111115:21,21n n n n n n a a a a d a a n n l y x b n ++=+∴-==∴=+-⋅=+=+∴=+ 直线 …………………………………………（4分）（Ⅱ）()()()521n f n n ⎧+⎪=⎨+⎪⎩, n 为奇数, n 为偶数………………………………（5分）()()()()()()27274275421,42735227145,24k k f k f k k k k k k k k k k ++=∴++=+∴=+∴++=+∴==当为偶数时，为奇数， 当为奇数时，为偶数，舍去综上，存在唯一的符合条件。

河北衡水中学2014年高考压轴卷（理数详解）1、解析：A2110211ln(21)050505x x x x x x -><-<⎧⎧-<⇒⎨⎨-<->-⎩⎩或解得(1,5)A =，B 集合元素相当于如图所示区域中的点与原点连线斜率的倒数，根据所示区域可知(2,12)B =，(1,12)A B ⋃=，第一小题就综合考察了解不等式，对数的性质与简单的线性规划问题2、解析：C 22(1)11(1)(1)i z i i i i +===----+，1z i =-+（注意分母有理化的本质，不一定乘共轭复数）3、解析：D 注意命题的否定（只否定结论，具体到全称命题与特称命题的否定是将全称量词或者存在量词先否定，再对结论加以否定，A 命题的否定22,320x x x ∃≥-+<）与否命题的区别（条件结论同时否定，B 命题的否命题是21,1x x ≠≠），系统抽样是等距的，根据题意知间距为11，且分5组，因此最多为59人，抽取时剔除部分），D 选项根据正态分布关于X=1对称，因此(02)2(01)0.8P x P x ≤≤=≤≤=4、解析：C 注意循环条件的判断，将运算结果写出第一次2,1,S x ==-第二次1,4S x ==-第三次3,7S x =-=-第四次3,7,10,10S x S x =-=-=-=-第五次20,S =-(此时满足条件，退出循环)5、解析：A 考察等差数列基本运算110181544,294(0),722d a a a d d a a d ++=+=>=+=> 6、解析：A 根据三视图判断直三棱锥的底面是一个等腰直角形，因此球心为O 点，根据球心到球上各点距离相等，可知O 为三棱锥高所在三角形的重心（根据重心到顶点距离与对应重点距离之比2:1），得半径26443S R ππ==7、解析：C 主要考察对数性质及分类讨论10,ln e x x <<则0<lgx<1<，因此有先分两类（同底数比较）ln(ln )ln(lg ),lg(ln )lg(lg )x x x x >>，同时结合图像可知，ln ,lg y x y x ==当x>1时，有ln(ln )lg(ln )x x >同时当x<1时有，lg(lg )ln(lg )x x >，综合得：ln(ln )lg(ln )lg(lg )ln(lg ),x x x x >>>即有a d b c >>>8、解析：D ()(),sin()sin(2),sin sin ,sin 02f f πππϕπϕϕϕϕ<+<+-<>，又()()6f x f π≤则有()sin()1,,63326f k k πππππϕϕπϕπ=+=±+=+=+当k 为偶数时，sin 0ϕ>满足条件，因此(21,)6k k n n N πϕπ=+=+∈，()f x 非奇非偶，且11()sin 2012f ππ==，同有722()sin(),()sin()01056556f f πππππππ=++=+>则 22sin()sin()5656ππππ-+<+9、解析：C 设1(0,)F c -，渐近线方程ay x b=，则2F 及对称点所在直线方程为0bx ay ac +-=因此有1F,2cc a== 10、解析：C 由于两端不排，因此剩下7个柜台，三个展品相当于在四个柜台插空35A ，其中相隔超过两个柜台的插空有33212A =则满足条件的排法有3353248A A -=11、解析：D注意数形结合设动点(,0)(0,),B a C b BC ==因此动圆方程外围轨迹（BC为直径）为222x y +=结合图像知，当动点P 到O 点距离最短时，切线也最短，对应的四边形面积也最小，min 4,OP PM ====8S PM OM ==12、解析：A 通过观察两个式子，有22222211()()()m m mm m mf m m f m m e f m m e e e e --+----==因此构造函数()()x g x e f x =，'()()'()(()'())0x x x g x e f x e f x e f x f x =+=+<即函数()g x 单调递减，又有21m m -<（根据二次函数性质2()1f m m m =--恒小于0成立），因此有222221()()(1)()(1)(1)m m m m f m m g m m g ef m m ef f e--+-->->⇒>即13、解析：考察三角形面积公式sin ,24sin 3S a b a b π=<>=⨯⨯=14、解析：考察的等差数列的相关公式及分类讨论155285155()552,32a a S a a a a a +=+⇒=⋅=，1532a a a +=，352a a =因此532aq a ==即24b =或者3251,12a qb a === 15、解析：主要结合抛物线性质(2,0),4,2,4F AF A -=-则（），A 关于准线2x =的对称点为'(6,4)A 因此'PA PO OA +==解析：考察分类讨论及余弦函数的运算及数列求和，1(21)(1,2...)(41)cos 1(2)n n k a k k k n k π=-⎧==⎨-+=⎩当当424(83)cos 1(87)cos016k k a a k k π-+=+++++=因此60135924685860...()()..()301615120S a a a a a a a a a =++++++++++=⨯+⨯=。

14年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解1．（本小题满分14分）如图，设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P 作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.（1）求△APB的重心G的轨迹方程.（2）证明∠PFA=∠PFB.解：（1）设切点A、B坐标分别为，∴切线AP的方程为：切线BP的方程为：解得P点的坐标为：所以△APB的重心G的坐标为，所以，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：（2）方法1：因为由于P点在抛物线外，则∴同理有∴∠AFP=∠PFB.方法2：①当所以P点坐标为，则P点到直线AF的距离为：即所以P点到直线BF的距离为：所以d1=d2，即得∠AFP=∠PFB.②当时，直线AF的方程：直线BF的方程：所以P点到直线AF的距离为：，同理可得到P点到直线BF的距离，因此由d1=d2，可得到∠AFP=∠PFB. 2．（本小题满分12分）设A、B是椭圆上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.（Ⅰ）确定的取值范围，并求直线AB的方程；（Ⅱ）试判断是否存在这样的，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由.（此题不要求在答题卡上画图）本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识以及推理运算能力和综合解决问题的能力.（Ⅰ）解法1：依题意，可设直线AB的方程为，整理得①设是方程①的两个不同的根，∴②且由N（1，3）是线段AB的中点，得解得k=－1，代入②得，的取值范围是（12，+∞）.于是，直线AB的方程为解法2：设则有依题意，∵N（1，3）是AB的中点，∴又由N（1，3）在椭圆内，∴∴的取值范围是（12，+∞）.直线AB的方程为y－3=－（x－1），即x+y－4=0.（Ⅱ）解法1：∵CD垂直平分AB，∴直线CD的方程为y－3=x－1，即x－y+2=0，代入椭圆方程，整理得又设CD的中点为是方程③的两根，∴于是由弦长公式可得④将直线AB的方程x+y－4=0，代入椭圆方程得⑤同理可得⑥∵当时，假设存在>12，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心.点M到直线AB的距离为⑦于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得故当>12时，A、B、C、D四点匀在以M为圆心，为半径的圆上.（注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：）A、B、C、D共圆△ACD为直角三角形，A为直角|AN|2=|CN|·|DN|，即⑧由⑥式知，⑧式左边由④和⑦知，⑧式右边∴⑧式成立，即A、B、C、D四点共圆.解法2：由（Ⅱ）解法1及λ>12,∵CD垂直平分AB，∴直线CD方程为，代入椭圆方程，整理得③将直线AB的方程x+y－4=0，代入椭圆方程，整理得⑤解③和⑤式可得不妨设∴计算可得，∴A在以CD为直径的圆上.又B为A关于CD的对称点，∴A、B、C、D四点共圆.（注：也可用勾股定理证明AC⊥AD）3．（本小题满分14分）已知不等式为大于2的整数，表示不超过的最大整数. 设数列的各项为正，且满足（Ⅰ）证明（Ⅱ）猜测数列是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；（Ⅲ）试确定一个正整数N，使得当时，对任意b>0，都有本小题主要考查数列、极限及不等式的综合应用以及归纳递推的思想.（Ⅰ）证法1：∵当即于是有所有不等式两边相加可得由已知不等式知，当n≥3时有，∵证法2：设，首先利用数学归纳法证不等式（i）当n=3时，由知不等式成立.（ii）假设当n=k（k≥3）时，不等式成立，即则即当n=k+1时，不等式也成立.由（i）、（ii）知，又由已知不等式得（Ⅱ）有极限，且（Ⅲ）∵则有故取N=1024，可使当n>N时，都有4．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F1，F2在x轴上，长轴A1A2的长为4，左准线l与x轴的交点为M，|MA1|∶|A1F1|＝2∶1．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)若点P为l上的动点，求∠F1PF2最大值．本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆方程、两条直线的夹角等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.满分14分.解：(Ⅰ)设椭圆方程为，半焦距为，则(Ⅱ)5．已知函数和的图象关于原点对称，且．(Ⅰ)求函数的解析式；(Ⅱ)解不等式；(Ⅲ)若在上是增函数，求实数的取值范围．本题主要考查函数图象的对称、二次函数的基本性质与不等式的应用等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力.满分14分.解：(Ⅰ)设函数的图象上任意一点关于原点的对称点为，则∵点在函数的图象上∴(Ⅱ)由当时，，此时不等式无解.当时，，解得.因此，原不等式的解集为.（Ⅲ）①②ⅰ）ⅱ）6．(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分6分, 第3小题满分6分.对定义域分别是D f、D g的函数y=f(x) 、y=g(x),(1) 若函数f(x)=,g(x)=x2,x∈R,写出函数h(x)的解析式;(2) 求问题(1)中函数h(x)的值域;(3)若g(x)=f(x+α), 其中α是常数,且α∈[0,π],请设计一个定义域为R的函数y=f(x),及一个α的值,使得h(x)=cos4x,并予以证明.[解] (1)h(x)= x∈(-∞,1)∪(1,+∞)1 x=1(2) 当x≠1时, h(x)= =x-1++2,若x>1时, 则h(x)≥4,其中等号当x=2时成立若x<1时, 则h(x)≤ 0,其中等号当x=0时成立∴函数h(x)的值域是(-∞,0] {1}∪[4,+∞)(3)令f(x)=sin2x+cos2x,α=则g(x)=f(x+α)= sin2(x+)+cos2(x+)=cos2x-sin2x,于是h(x)= f(x)·f(x+α)= (sin2x+co2sx)( cos2x-sin2x)=cos4x.另解令f(x)=1+sin2x, α=,g(x)=f(x+α)= 1+sin2(x+π)=1-sin2x,于是h(x)= f(x)·f(x+α)= (1+sin2x)( 1-sin2x)=cos4x.7．(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分8分, 第3小题满分6分.在直角坐标平面中,已知点P1(1,2),P2(2,22),┄,P n(n,2n),其中n是正整数.对平面上任一点A0,记A1为A0关于点P1的对称点, A2为A1关于点P2的对称点, ┄, A N为A N-1关于点P N的对称点.(1)求向量的坐标;(2)当点A0在曲线C上移动时, 点A2的轨迹是函数y=f(x)的图象,其中f(x)是以3为周期的周期函数,且当x∈(0,3]时,f(x)=lgx.求以曲线C为图象的函数在(1,4]上的解析式;(3)对任意偶数n,用n表示向量的坐标.[解](1)设点A0(x,y), A0为P1关于点的对称点A0的坐标为(2-x,4-y),A1为P2关于点的对称点A2的坐标为(2+x,4+y),∴={2,4}.(2) ∵={2,4},∴f(x)的图象由曲线C向右平移2个单位,再向上平移4个单位得到.因此, 曲线C是函数y=g(x)的图象,其中g(x)是以3为周期的周期函数,且当x∈(-2,1]时,g(x)=lg(x+2)-4.于是,当x∈(1,4]时,g(x)=lg(x-1)-4.另解设点A0(x,y), A2(x2,y2),于是x2-x=2,y2-y=4,若3< x2≤6,则0< x2-3≤3,于是f(x2)=f(x2-3)=lg(x2-3).当1< x≤4时, 则3< x2≤6,y+4=lg(x-1).∴当x∈(1,4]时,g(x)=lg(x-1)-4.(3) =,由于,得=2()=2({1,2}+{1,23}+┄+{1,2n-1})=2{,}={n,}。

2014四川省高考压轴卷 数 学〔理工类〕本试卷分第1卷〔选择题〕和第2卷〔非选择题〕。

第1卷1至2页，第2卷3至4页。

考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。

总分为150分。

考试时间120分钟，考试完毕后，将本试题卷和答题卡一并收回。

第1卷〔选择题 共50分〕须知事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案的标号涂黑。

一、选择题：本大题共10小题，每一小题5分，共50分。

在每一小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

1.集合M={|ln(1)x y x =-}，集合N={|,xy y e x R =∈}，(e 为自然对数的底数) 如此M N =〔 〕A ．{|1x x <}B ．{|1x x >}C ．{|01x x <<}D ．∅ 2．复数131iZ i-=+的实部是 〔 〕 A ． 2 B ． 1C ．1- D ．4-3. 函数 y=log 2(x 2＋2x －3)的单调递减区间为 〔 〕A ．〔－∞，－3〕B ．〔－∞，－1〕C ．(1，+∞)D ．(－3，－1)4.在等差数列{}n a 中，1315310a a a ++=，如此5a 的值为〔〕 A ．2 B ．3 C ．4 D ．55.函数x x y sin =在[]ππ,-上的图象是〔 〕6. 运行右图所示框图的相应程序,假设输入,a b 的值分别为2log 3和3log 2,如此输出M 的值是〔 〕A.0B.1C. 2D. －17.不重合的直线m 、l 和平面αβ、，且m α⊥，l β⊂．给出如下命题： ①假设//αβ，如此m l ⊥；②假设αβ⊥，如此//m l ；③假设m l ⊥，如此//αβ；④假设//m l ，如此αβ⊥， 其中正确命题的个数是〔 〕 A ．1 B ．2 C ．3 D ．48.双曲线1C 的中心在原点，焦点在x 轴上，假设1C 的一个焦点与抛物线2C ：212y x =的焦点重合，且抛物线2C 的准线交双曲线1C 所得的弦长为43，如此双曲线1C 的实轴长为〔 〕A ．6B ．26C ．3D ．239.我国第一艘航母“辽宁舰〞在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼一15飞机准备着舰，如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法种数为〔 〕A. 12 B ．18 C ．24 D.4810.定义域为R 的函数()f x 满足(2)2()f x f x +=，当[0,2)x ∈时，23||2,[0,1),()1(),[1,2),2x x x x f x x -⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩假设当[4,2)x ∈--时，函数21()42t f x t ≥-+恒成立，如此实数t 的取值范围为( )(A)23t ≤≤(B)13t ≤≤ (C)14t ≤≤(D)24t ≤≤ 第2卷 〔非选择题 共100分〕须知事项：必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目指示的答题区域内作答。

2014年天津市高考数学压轴试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合A ＝{x|x >1}，B ＝{x|x <m}，且A ∪B ＝R ，那么m 的值可以是（ ）A −1B 0C 1D 22. 设集合A ={x|2x ≤4}，集合B 为函数y =lg(x −1)的定义域，则A ∩B =( )A (1, 2)B [1, 2]C [1, 2)D (1, 2]3. 函数y =sin(2x +φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为( )A 3π4B π4C 0D −π4 4. 函数f(x)=log 2(1+x)，g(x)=log 2(1−x)，则f(x)−g(x)是（ ）A 奇函数B 偶函数C 既不是奇函数又不是偶函数D 既是奇函数又是偶函数5. （江西师大附中期末考试）设曲线y =sinx 上任一点(x, y)处切线斜率为g(x)，则函数y =x 2g(x)的部分图象可以为（ ）A B C D6. 设z =2x +y ，其中变量x ，y 满足条件{x −4y ≤−33x +5y ≤25x ≥m，若z 的最小值为3，则m 的值为（ ）A 1B 2C 3D 47. 已知点P(x, y)在直线x +2y =3上移动，当2x +4y 取最小值时，过P 点(x, y)引圆C ：(x −12)2+(y +54)2=1的切线，则此切线长等于（ ） A 1 B √2 C √3 D 28. 已知函数f(x)=ln(e x −1)(x >0)( )A 若f(a)+2a =f(b)+3b ，则a >bB 若f(a)+2a =f(b)+3b ，则a <bC 若f(a)−2a =f(b)−3b ，则a >bD 若f(a)−2a =f(b)−3b ，则a <b二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡的相应位置．9. 设常数a ∈R ，若(x 2+a x )5的二项展开式中x 4项的系数为20，则a =________．10. 已知tanα=13，tanβ=−17，且0<α<π2，π2<β<π，则2α−β的值________． 11. 记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2+a 4=6，S 4=10．则a 10=________．12. 棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是________．13. 已知圆的方程为x 2+y 2−6x −8y =0，设该圆过点(3, 5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为________．14. 等腰Rt △ACB ，AB =2，∠ACB =π2．以直线AC 为轴旋转一周得到一个圆锥，D 为圆锥底面一点，BD ⊥CD ，CH ⊥AD 于点H ，M 为AB 中点，则当三棱锥C −HAM 的体积最大时，CD 的长为________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．15. 袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是黑球的概率为27，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，取球后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止所需要的取球次数．（1）求随机变量ξ的分布列及数学期望；（2）求乙取到白球的概率．16. 在△ABC 中，BC =a ，AC =b ，a 、b 是方程x 2−2√3x +2=0的两个根，且A +B =120∘，求△ABC 的面积及AB 的长．17. 如图，在棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点E 是棱AB 上的动点．（1）求证：DA 1⊥ED 1；（2）若直线DA 1与平面CED 1成角为45∘，求AEAB 的值；（3）写出点E 到直线D 1C 距离的最大值及此时点E 的位置（结论不要求证明）．18. 数列{a n }是递增的等差数列，且a 1+a 6=−6，a 3⋅a 4=8．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）求数列{a n }的前n 项和S n 的最小值；（3）求数列{|a n |}的前n 项和T n ．19. 已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F(1, 0)，且点(−1, √22)在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知动直线l 过点F ，且与椭圆C 交于A ，B 两点，试问x 轴上是否存在定点Q ，使得QA →⋅QB →=−716恒成立？若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．20. 已知f(x)=lnx ，g(x)=af(x)+f′(x)，（1）求g(x)的单调区间；（2）当a =1时，①比较g(x)与g(1x )的大小； ②是否存在x 0>0，使得|g(x)−g(x 0)|<1x 对任意x >0成立？若存在，求出x 0的取值范围；若不存在，请说明理由．2014年天津市高考数学压轴试卷（理科）答案1. D2. D3. B4. A5. C6. A7. D8. A9. ±√210. −3π411. 1012. 413. 20√614. √6315. 乙取到白球的概率为1335．…16. 解：∵ A +B =120∘，∴ C =60∘．∵ a 、b 是方程x 2−2√3x +2=0的两个根，∴ a +b =2√3，ab =2，∴ S △ABC =12absinC =12×2×sin60∘=√32，AB =c =√a 2+b 2−2abcosC =√(a +b)2−3ab =√(2√3)2−6=√6． 17.解：以D 为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则D(0, 0, 0)，A(1, 0, 0)，B(1, 1, 0)，C(0, 1, 0)，D 1(0, 0, 1)，A 1(1, 0, 1)，设E(1, m, 0)(0≤m ≤1)(I)证明：DA 1→=(1, 0, 1)，ED 1→=(−1, −m, 1)∴ DA 1→⋅ED 1→=0∴ DA 1⊥ED 1；（2）解：设平面CED 1的一个法向量为v →=(x, y, z)，则∵ CD 1→=(0, −1, 1)，CE →=(1, m −1, 0)∴ {−y +z =0x +(m −1)y =0． 取z =1，得y =1，x =1−m ，得v →=(1−m, 1, 1)．∵ 直线DA 1与平面CED 1成角为45∘，∴ sin45∘=|cos <DA 1→，v →>|=√22， ∴ |2−m|⋅=√22，解得m =12．-----（3）解：点E 到直线D 1C 距离的最大值为√62，此时点E 在A 点处．------18. 解：（1）由{a 1+a 6=−6⋅得：{a 3+a 4=−6⋅， ∴ a 3、a 4是方程x 2+6x +8=0的二个根，∴ x 1=−2，x 2=−4；∵ 等差数列{a n }是递增数列，∴ a 3=−4，a 4=−2，∴ 公差d =2，a 1=−8．∴ a n =2n −10；（2）∵ S n =n(a 1+a n )2=n 2−9n =(n −92)2−814，∴ (S n )min =S 4=S 5=−20；（3）由a n ≥0得2n −10≥0，解得n ≥5，此数列前四项为负的，第五项为0，从第六项开始为正的．当1≤n ≤5且n ∈N ∗时，T n =|a 1|+|a 2|+...+|a n |=−(a 1+a 2+...+a n )=−S n=−n 2+9n ；当n ≥6且n ∈N ∗时，T n =|a 1|+|a 2|+...+|a 5|+|a 6|+...+|a n |=−(a 1+a 2+...+a 5)+(a 6+...+a n )=S n −2S 5=n 2−9n −2(25−45)=n 2−9n +40．∴ T n ={9n −n 2，1≤n ≤5，n ∈N ∗n 2−9n +40，n ≥6，n ∈N ∗．19. 由题意，c ＝1∵ 点(−1, √22)在椭圆C 上，∴ 根据椭圆的定义可得：2a =(√22)+√22，∴ a =√2∴ b 2＝a 2−c 2＝1，∴ 椭圆C 的标准方程为x 22+y 2=1；假设x 轴上存在点Q(m, 0)，使得QA →⋅QB →=−716恒成立 当直线l 的斜率为0时，A(√2, 0)，B(−√2, 0)，则(√2−m,0)⋅(−√2−m,0)=−716，∴ m 2=2516，∴ m =±54① 当直线l 的斜率不存在时，A(1,√22)，B(1,−√22)，则(1−m,√22)⋅(1−m,−√22)=−716， ∴ (1−m)2=116∴ m =54或m =34②由①②可得m =54． 下面证明m =54时，QA →⋅QB →=−716恒成立 当直线l 的斜率为0时，结论成立；当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为x ＝ty +1，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2) 直线方程代入椭圆方程，整理可得(t 2+2)y 2+2ty −1＝0，∴ y 1+y 2=−2tt 2+2，y 1y 2=−1t 2+2∴ QA →⋅QB →=(x 1−54, y 1)⋅(x 2−54, y 2)＝(ty 1−14)(ty 2−14)+y 1y 2＝(t 2+1)y 1y 2−1 4t(y1+y2)+116=−2t2−2+t22(t2+2)+116=−716综上，x轴上存在点Q(54, 0)，使得QA→⋅QB→=−716恒成立．20. 解：（1）∵ f′(x)=1x ，g(x)=alnx+1x，g(x)的定义域为(0, +∞)．g′(x)=ax−1x2=ax−1x2①当a≤0时，g′(x)<0，(0, +∞)是g(x)的单调区间；②当a>0时，由g′(x)>0，得x>1a ；由g′(x)<0，得0<x<1a，即增区间是(1a ，+∞)，减区间是(0,1a)．（2）g(x)=lnx+1x ，g(1x)=ln1x+x=−lnx+x∴ g(x)−g(1x )=2lnx+1x−x=μ(x)μ′(x)=2x−1x2−1=−x2+2x−1x2=−(x−1)2x2①当x=1时，μ(x)=0，此时g(x)=g(1x)②当0<x<1时，μ′(x)<0，∴ μ(x)>μ(1)=0．∴ g(x)>g(1x)③当x>1时，μ′(x)<0，∴ μ(x)<μ(1)=0．∴ g(x)<g(1x)．(3)|g(x)−g(x0)|<1x⇔−1x<g(x0)−g(x)<1x⇔lnx<g(x0)<lnx+2 x∵ lnx∈(−∞, +∞)，∴ g(x0)>lnx不能恒成立．故x0不存在．。

2014辽宁省高考压轴卷数学试卷（理）第I 卷（选择题 共60分）一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.全集U =R ，集合{10}A x x =+<，{30}B x x =-<，那么集合()U C A B =（ ）A {13}x x -≤<B {13}x x -<<C {1}x x <-D {3}x x >2．已知复数20141i z i=+，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．“4a <-”是“函数()3f x ax =+在区间[-1，1]上存在零点”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．某大学生在22门考试中，所得分数如下茎叶图所示，则此学生考试分数的极差与中位数之和为A ．117B ．118C ．118．5D ．119．55．在ABC ∆中，90C =，且3CA CB ==，点M 满足2,BM MA CM CB =⋅则等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．66. 把函数)6sin(π+=x y 图象上各点的横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），再将图象向右平移3π个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为 ( ) A ．2π-=x B ．4π-=x C ．8π=x D ．4π=x7. 已知,a b 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，且a α⊥，b β⊥，则下列命题中的假命题是A ．若a ∥b ，则α∥βB ．若αβ⊥，则a b ⊥C ．若,a b 相交，则,αβ相交D ．若,αβ相交，则,a b 相交8．阅读右边的程序框图，输出的结果s 的值为A ．0 BCD．-9．实数y x ,满足条件2,4,20,x x y x y c ≥⎧⎪+≤⎨⎪-++≥⎩目标函数3z x y =+的最小值为5，则该目标函数y x z +=3的最大值为( )A. 10B. 12C. 14D. 1510. 如图，直角坐标系xOy 所在的平面为α，在锐二面角βα--y 的 β面上的曲线1C 在α上的正射影为曲线2C .2C 在xOy 系下的方程 为：()10122≤≤=+x y x ，平面α上的直线1:-=x y l 与平面β所成角的正弦值为46，曲线1C 的离心率为e ，则 A ．1=e B ．1>e C ．23=e D ．21=e11．设函数11,(,2)()1(2),[2,)2x x f x f x x ⎧--∈-∞⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，则函数()()1F x xf x =-的零点的个数为A ．4B ．5C ．6D ．712．设等差数列{}n a 满足：22222233363645sin cos cos cos sin sin 1sin()a a a a a a a a -+-=+，公差(1,0)d ∈-．若当且仅当9n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，则首项1a 的取值范围是( ) A ．74,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．43,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．74,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．43,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦第II 卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题－24题为选考题，考生根据要求作答二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

陕西省2014年高考临考压轴数学（理科）试题第一部分 （选择题 共50分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.本大题共10小题，每小题5分，共50分．1、已知集合{M y =，{}2log (2)N x y x ==-，则()R C MN =【 】A ．[1,2)B ．(,1)[2,)-∞+∞C ．[0,1]D ．(,0)[2,)-∞+∞2、已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z ＝(1－2i)(a ＋i)在复平面内对应的点为M ，则“a >12”是“点M 在第四 象限”的【 】A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3、近日，韩剧风靡全国，受到广大青少年的喜爱和推崇。

某学校高一、高二、高三各年级学生数分别为600,450,300，为了调查该校学生对电视剧《来自星星的你》的关注度，先用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中高一年级的人数为12，则样本容量为【 】A. 18B. 19C. 28D.56 4、执行如图所示的算法框图，则输出的λ是 【 】 A ．－4 B ．－2C ．0D ．－2或05、若圆O ：x 2+y 2=4与圆：x 2+y 2+4x -4y +4=0关于直线l 对称，则直线的方程 是 【 】 A. x +y =0 B. x-y =0 C. x-y -2=0 D. x+y +2=06、如图是函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)的图像的一部分，A ，B 是图像上的一个最高点和一个最低点，O 为坐标原点，则OA ·OB 的值为 【 】A.12πB.19π2＋1C.19π2－1D.13π2－17、甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人每射击一次击中目标得2分，未击中目标得0分.若甲、乙两人射击的命中率分别为35和P ，且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为920.假设甲、乙两人射击互不影响，则P 的值为（ ） A ．35B ．45C ．34D ．148、已知函数210()0x x f x a x ⎧+>⎪=≤ 在点（1,2）处的切线与()f x 的图像有三个公共点，则a 的取 值范围是（ ）A．[8,4--+ B．(44---+ C．(48]-+ D．(48]--- 9、美不胜收的“双勾函数” 1y x x=+是一个对称轴不在坐标轴上的双曲线，它的 渐近线分别是y 轴和直线y x =，其离心率e= A ．2 B ．21+ C ． 3 D ． 224-10、红星小学建立了一个以5米为半径的圆形操场，操场边有一根高为10米的旗杆（如图所示），小明从操场的A 点出发，按逆时针方向绕着操场跑一周，设 小明与旗杆的顶部C 点的距离为y ，小明所跑过的路程为x ，则下列图中表示距离y 关于路程x 的函数图像的是（ ）第10题图A. B.BC. D.第二部分 （非选择题 共100分）二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本题5小题，每小题5分，共25分）11、设实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≤+011y x y x y ,则1+y x 的取值范围是__________.12、一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积 是 .13、.13S =++=，210S =++++=，321S =++++++=，那么S 5 .14、已知二项式5展开式中的常数项为p ,且函数210()3,0110x f x px x -≤≤=⎨-<≤⎪⎩,则11()f x dx -=⎰______.15、选做题（考生注意：请在下列A 、B 、C 三题中选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）A 、（不等式选做题）若实y x ,数满足,62322≤+y x 则y x +2的最大值为_____________B 、（几何证明选做题）如图,AB 是圆O 的直径,CD 、是圆O 上的点,0060,45,,CBA ABD CDxOA yBC ∠=∠==+060,45,CBA ABD CD xOA yBC ∠=∠==+则x y +的值为 . C 、（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的参数方程为,,x t y t ⎧⎪⎨⎪⎩（t为参数），C 在点(1,1)处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为 极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为 .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分） 16.（本小题满分12分）已知函数21()2cos ,()2f x x x x R =--∈ （Ⅰ）当5[,]1212x ππ∈-时，求函数()f x 的最小值和最大值；（Ⅱ）设ABC ∆的内角,,A B C 的对应边分别为,,a b c ，且()0c f C ==，若向量(1,sin )m A =与向量(2,sin )n B =共线，求,a b 的值。

2014新课标II 高考压轴卷理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={0，1，2}，B={x|x=2a ，a ∈A}，则A ∩B 中元素的个数为（ ）2. 已知复数z 满足z •i=2﹣i ，i 为虚数单位，则z 的共轭复数为（ ）3. 由y=f （x ）的图象向左平移个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到y=2sin 的图象，则 f （x ）为（ ） 2sin2sin2sin2sin4.已知函数，则的值是（ ）D5. 设随机变量~X N (3，1)，若(4)P X p >=，，则P(2<X<4)= ( A)12p + ( B)l —p (C)l-2p (D)12p -6. 6．运行右面框图输出的S 是254，则①应为 (A) n ≤5 (B) n ≤6 (C)n ≤7 (D) n ≤87. 若曲线在点（a ，f （a ））处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积为18，则a=（ ）8.已知A 、B 是圆22:1O x y +=上的两个点，P 是AB 线段上的动点，当AOB ∆的面积最大时，则AO AP ⋅-2AP 的最大值是（ ）A.1-B.0C.81D.21 9.一个四面体的四个顶点在空间直角坐标系xyz O -中的坐标分别是（0，0，0），（1，2，0），（0，2，2），（3，0，1），则该四面体中以yOz 平面为投影面的正视图的面积为 A ．3 B ．25 C ．2 D ．2710. .已知函数2()cos()f n n n π=，且()(1)n a f n f n =++，则123100a a a a ++++=A ． 0B ．100-C ．100D ．1020011．设x ，y 满足约束条件，若目标函数z=ax+by （a ＞0，b ＞0）的最大值为12，则+的最小值为（ ）12．设双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于A 、B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若=λ+μ（λ，μ∈R ），λμ=，则该双曲线的离心率为（ ）D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13.某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5，40]中，其频率分布直方图如图所示．从抽样的100根棉花纤维中任意抽取一根，则其棉花纤维的长度小于20mm 的概率为 ．14.已知1cos21sin cos ααα-=，1tan()3βα-=-，则tan(2)βα-的值为 ．15.函数43y x x =++(3)x >-的最小值是 ． 16.已知函数f(x)＝x 3＋x ，对任意的m ∈[－2,2]，f(mx －2)＋f(x)<0恒成立，则x 的取值范围为________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．17.已知函数3cos 32cos sin 2)(2-+=x x x x f ，R ∈x ．（Ⅰ）求函数(3)1y f x =-+的最小正周期和单调递减区间；（Ⅱ）已知ABC ∆中的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若锐角A 满足()26A f π-=7a =，sin sin B C +=，求ABC ∆的面积． 18.随机询问某大学40名不同性别的大学生在购买食物时是否读营养说明，得到如下列联表： 性别与读营养说明列联表⑴根据以上列联表进行独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为性别与是否读营养说明之间有关系？⑵从被询问的16名不读营养说明的大学生中，随机抽取2名学生，求抽到男生人数ξ的分布列及其均值（即数学期望）．（注：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，其中d c b a n +++=为样本容量．）19.已知正四棱柱1111-ABCD A B C D 中，12,4==AB AA . （Ⅰ）求证：1BD A C ⊥；（Ⅱ）求二面角11--A A C D 的余弦值；（Ⅲ）在线段1CC 上是否存在点P ，使得平面11A CD ⊥平面PBD ，若存在，求出1CPPC 的值；若不存在，请说明理由.20.已知动圆P 与圆221:(3)81F x y ++=相切，且与圆222:(3)1F x y -+=相内切，记圆心P的轨迹为曲线C ；设Q 为曲线C 上的一个不在x 轴上的动点，O 为坐标原点，过点2F 作OQ 的平行线交曲线C 于,M N 两个不同的点. （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）试探究||MN 和2||OQ 的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数，若不能，请说明理由；（Ⅲ）记2QF M ∆的面积为1S ，2OF N ∆的面积为2S ，令12S S S =+，求S 的最大值. 21.已知0t >，函数()3x tf x x t-=+. (1)1t =时，写出()f x 的增区间；(2)记()f x 在区间[0,6]上的最大值为()g t ，求()g t 的表达式；(3)是否存在t ，使函数()y f x 在区间(0,6)内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求t 的取值范围；若不存在，请说明理由．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.22.选修4﹣1：几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，直线CE 和⊙O 切于点C ，AD 丄CE ，垂足为D ． （I ） 求证：AC 平分∠BAD ；（II ） 若AB=4AD ，求∠BAD 的大小．23.选修4﹣4：坐标系与参数方程将圆x 2+y 2=4上各点的纵坐标压缩至原来的，所得曲线记作C ；将直线3x ﹣2y ﹣8=0绕原点逆时针旋转90°所得直线记作l ． （I ）求直线l 与曲线C 的方程；（II ）求C 上的点到直线l 的最大距离．24. 选修4﹣5：不等式选讲 设函数，f （x ）=|x ﹣1|+|x ﹣2|． （I ）求证f （x ）≥1； （II ）若f （x ）=成立，求x 的取值范围．KS5U2014新课标II 高考压轴卷理科数学参考答案1. 【KS5U 答案】A.【KS5U 解析】由A={0，1，2}，B={x|x=2a ，a ∈A}={0，2，4}， 所以A ∩B={0，1，2}∩{0，2，4}={0，2}． 所以A ∩B 中元素的个数为2． 故选C ．2. 【KS5U 答案】A.【KS5U 解析】由z •i=2﹣i ，得，∴．故选：A ．3. 【KS5U 答案】B.【KS5U 解析】由题意可得y=2sin 的图象上各个点的横坐标变为原来的，可得函数y=2sin （6x ﹣）的图象．再把函数y=2sin （6x ﹣）的图象向右平移个单位，即可得到f （x ）=2sin[6（x ﹣）﹣）]=2sin （6x ﹣2π﹣）=2sin的图象，故选B ．4. 【KS5U 答案】C. 【KS5U 解析】=f （log 2）=f （log 22﹣2）=f （﹣2）=3﹣2=，故选C ．5. 【KS5U 答案】C.【KS5U 解析】因为(4)(2)P X P X p >=<=，所以P(2<X<4)= 1(4)(2)12P X P X p ->-<=-，选C. 6. 【KS5U 答案】C.【KS5U 解析】本程序计算的是212(12)2222212n nn S +-=+++==--，由122254n +-=，得12256n +=，解得7n =。

2014广东省高考压轴卷理科数学一、 选择题（每小题5分，共30分，把正确答案填写在答卷相应地方上）1、复数12i -+的虚部是（ ） A ．15- B ．15i - C ．15 D ．15i2、已知集合A ＝{x |x >1}，B ＝{x | | x | <2 }，则A ∩B 等于A ．{x |－1<x <2}B ．{x |x >－1}C ．{x |－1<x <1}D ．{x |1<x <2}3、下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞上单调递增的是（ ） A. 3y x = B. cos y x = C.x y tan = D. ln y x =4、在ABC ∆中，a=15,b=10,A=60°，则cos2B =（ ） A．3 B．3C ．31D ．13-5、一空间几何体的三视图如上图所示，则该几何体的体积为. （ ） A.2 B.32 C 4 D. 346、执行如图1所示的程序框图后，输出的值为5，则P 的取值范围（ ） A.161587≤<P B. 1615>P C. 161587<≤P D. 8743≤<P 7、由直线1y x =+上的一点向圆22(3)1x y -+=引切线，则切线长的最小值为（ ） A ．1B．CD ．38、称d （,→a )→b =→→-b a 为两个向量,→a →b 间距离，若,→a →b 满足①1b =→②≠→a →b ③ 对任意实数t ，恒有d （,→a t )→b ≥d （,→a )→b ,则（ ）A ．（+→a →b ）⊥（-→a →b ） B .→b ⊥（-→a →b ） C . →a ⊥→b D .→a ⊥（-→a →b ） 二、填空题：（每小题5分，共30分，把正确答案填写在答卷相应地方上） （一）必做题(9～13题)图19、函数f(x)=12x -2++x 的定义域是10、由三条直线x ＝0，x ＝2，y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的图形的面积为11、已知等比数列{}n a 的第5项是二项式613x ⎫⎪⎭展开式的常数项，则37a a = ．12、定义R 上的奇函数f （x ）满足f （x+3）=f （x ），当0＜x≤1时，f （x ）=2x，则f （2015）=13、若关于x ，y 的不等式组 ⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥≥010x y kx x y 表示的平面区域是一个锐角三角形，则k 的取值范围是______(二)选做题(14～15题,考生只能从中选做一题)14、已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧+=-=121t y t x （t 为参数），曲线C 2的极坐标方程为ρ=2sinθ，设曲线C 1，C 2相交于A 、B 两点，则|AB|的值为15、如图所示，过⊙O 外一点A 作一条直线与⊙O 交于C ，D 两点，AB 切⊙O 于B ，弦MN 过CD 的中点P ．已知AC=4，AB=6，则MP ·NP= ．三、解答题16、（本小题满分12分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边, 面积C S cos ab 23= (1) 求角C 的大小； (2)设函数2cos 2cos 2sin 3)(2xx x x f +=，求)(B f 的最大值,及取得最大值时角B 的值17、（本小题满分12分）某校高一年级60名学生参加数学竞赛，成绩全部在40分至100分之间，现将成绩分成以下6段：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，据此绘制了如图所示的频率分布直方图． （1）求成绩在区间[80，90）的频率；（2）从成绩大于等于80分的学生中随机选3名学生，其中成绩在[90，100]内的学生人数为ξ，求ξ的分布列与均值．B18、（本小题共14分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD//BC ，∠ADC=90°，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，PA=PD=2，BC=12AD=1，（1）若点M 是棱PC 的中点，求证：PA // 平面BMQ ； （2）求证：平面PQB ⊥平面PAD ；（3）若二面角M-BQ-C 为30°，设PM=tMC ，试确定t 的值 19、（本小题满分14分）已知函数22()(0)2x a f x a x +=>,数列{n a }满足13a a =,1()n n a f a +=,设)(+∈+-=N n aa a ab n n n ,数列{n b }的前n 项和为n T . (1)求12,b b 的值;(2)求数列{n b }的通项公式; (3)求证:87<T n20、（本小题满分14分）已知焦点为F ,准线为l 的抛物线Γ：22(0)x py p =>经过点(-，其中,A B 是抛物线上两个动点，O 为坐标原点。

福建省2014届高三高考压轴理科数学试卷（带解析）1．已知全集R,U =集合{}1,2,3,4,5A =,{|2}B x x =∈≥R ，下图中阴影部分所表示的集合为( )A.{1}B.y=5C.1y =-D.40,πω⎡⎤⎢⎥⎦⎣【答案】A 【解析】试题分析：由图可以得到阴影部分表示的集合为()A C A B ⋂，A B ⋂={2，3，4，5}，则()A C A B ⋂={1} 选A考点：1.集合的运算.2.集合概念. 2．下列命题正确的是( ) A ．存在x 0∈R ，使得00x e≤的否定是：不存在x 0∈R ，使得00x e >；B ．存在x 0∈R ，使得2010x -<的否定是：任意x ∈R ，均有2010x ->C ．若x=3，则x 2-2x-3=0的否命题是：若x≠3，则x 2-2x-3≠0.D ．若p q ∨为假命题，则命题p 与q 必一真一假【答案】C 【解析】试题分析：命题的否定和否命题的区别:对命题的否定只是否定命题的结论，而否命题，既否定假设，又否定结论.A 选项对命题的否定是：存在0x R ∈,使得0xe ≤0；B 选项对命题的否定是 ：存在0x R ∈，均有2o x -1 ≤0； D 选项则命题p 与q 也可能都是假命题。

故选C考点：1.命题的否定.2.否命题.3．已知平面,αβ和直线 m ，给出条件：①//m α；②m α⊥；③m α⊂；④αβ⊥；⑤//αβ．为使m β⊥，应选择下面四个选项中的（ ） A ．③⑤ B ．①⑤ C ．①④ D ．②⑤ 【答案】D 【解析】试题分析：由m α⊥,//αβ可得m β⊥.故选D. 考点：1.线面关系.2.面面关系. 4．直线y=5与1y =-在区间40,πω⎡⎤⎢⎥⎦⎣上截曲线sin (0, 0)2y m x n m n ω=+>>所得的弦长相等且不为零，则下列描述正确的是（ ）（A ）35,n=22m ≤ （B ）3,2m n ≤= （C ）35,n=22m > （D ）3,2m n >=【答案】D【解析】 试题分析：由2ωω=2T πω=得4T πω=所以40,πω⎡⎤⎢⎥⎦⎣刚好为一个周期区间，由函数的周期性可设直线y=5在点1x ， 1x πω+截曲线的弦长与直线y=-1在点12x πω+，13x πω+截曲线的弦长相等可得到方程11sin 522sin ()12m x n m x n ωωπω⎧+=⎪⎪⎨⎪++=-⎪⎩解得n=2.又直线y=5截曲线的弦长与直线y=-1截曲线的弦长相等且不为0，则可得m>3.故选D考点：1.三角函数的图象.2.函数的周期性.3.三角函数的性质.5．如图，在△ABC 中，AB=3，AC=5，若O 为△ABC 的外心，则AO BC ⋅的值是(（ ）A ．B. 8C.6a ∈R D ．6 【答案】B 【解析】 试题分析：由于O 为△ABC 的外心，所以,0DO BC DO BC ⊥∴⋅=.AO AD DO =+1()2AB AC DO =++..所以AO BC ⋅22111()()()()8222AB AC BC AB AC AC AB AC AB =+⋅=+⋅-=-=.故选B.考点：1.向量的加法.2.向量的数量积.3.平面向量的基本定理. 6．执行下面的框图，若输入的N 是6，则输出p 的值是（ ）A ．120B ．720C ．1440D ．5040【答案】B 【解析】试题分析：执行完程序框图得到的数是1234⨯⨯⨯⋅⋅⋅.最终结果是6120720P =⨯=.故选B 考点：1.程序框图.2.递推的思想. 7．如图，设圆弧222 c o s i s i n ,z αα=+与两坐标轴正半轴围成的扇形区域为333cos i sin z αα=+，过圆弧上一点123,,R ααα∈做该圆的切线与两坐标轴正半轴围成的三角形区域为12121c o s ()i s i n (+)z z αααα⋅=++.现随机在区域232323cos()i sin(+)z z αααα⋅=++内投一点B ，若设点B 落在区域M 内的概率为P ，则P 的最大值为（ ） A ．14 B ．8π C ．12 D ．4π【答案】D 【解析】试题分析：由图像和三角形相关知识得到当所围三角形为等腰直角三角形，当切点A 为等腰直角三角形斜边中点时概率P 最大.，N 面积为1 ; M 面积为4π,P=4π.故选D.考点：1.几何概型.2.最值问题.8．为调查某校学生喜欢数学课的人数比例，采用如下调查方法： （1）在该校中随机抽取100名学生，并编号为1,2,3， ,100；（2）在箱内放置两个白球和三个红球，让抽取的100名学生分别从箱中随机摸出一球，记住其颜色并放回；（3）请下列两类学生举手：（ⅰ）摸到白球且号数为偶数的学生；（ⅱ）摸到红球且不喜欢数学课的学生.如果总共有26名学生举手，那么用概率与统计的知识估计，该校学生中喜欢数学课的人数比例大约是( )A.88%B.90%C.92%D.94% 【答案】B 【解析】试题分析：设该校学生中喜欢数学课的人数比例大约是p .依题意摸到白球且号数为偶数的学生的人数为211002052⨯⨯=人.所以摸到红球且不喜欢数学课的学生共26-20=6人.即3(1)1006,0.95p p ⨯-⨯=∴=.故选B. 考点：1.概率问题.2.分类思想.9．已知()f x 与()g x 都是定义在R 上的函数， //()0,()()()()g x f x g x f x g x ≠<，且()()x f x a g x =⋅(0a >，且43π，在有穷数列()(1,2,10)()f n n g n ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭中，任意取前k 项相加，则前k 项和大于1516的概率是（ ）B.45C.25D.15【答案】A 【解析】试题分析：()()x f x a g x = 可知()f x , ()g x 同号由()()x f x a g x = 得()()x f x a g x = 又(1)(1)5(1)(1)2f fg g -+=- 得152a a +=解得a=12或a=2 ①a=12时，()()n f n a g n == 12n⎛⎫⎪⎝⎭可知()()f n g n 是以首项为12，公比为12的等比数列，则前k 项和为k S =11(1())22112k --=11()2k - 令11()2k ->1516 解得K=5 所以前五项相加和才大于1516 ②a=2时，()()n f n a g n ==2n 可知()()f ng n 是以首项为2公比为2 的等比数列则前k 项和 k S =2(12)12k --= 122k +- 显然k=1 时2>1516. 联立①②得概率为15631010105+== .故选A 考点：1函数的导数.2.数列的知识.3.概率问题.10．设常数a ∈R .若52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中7x 项的系数为-15,则a =_______.【答案】-3【解析】试题分析：二项式展开式第r 项为2515()()r r rr aT C x x-+= 含x 的项为103r x - 令10-3r=7 则r=1 所以1515C a ⨯=- 解得3a =-考点：1.二项式定理.2.二项式展开公式.11．已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体，其三视图如右图所示，若图中圆的半径为1，则该几何体的体积是 ．【答案】43π 【解析】试题分析：由三视图可得原图形是由三菱锥和半球组成的几何体，由题可得半球的体积为31421233ππ⨯⨯= 三菱锥的体积为2121233ππ⨯⨯= 所以该几何体的体积为 23π+23π=43π考点：1.三视图.2.几何体的体积.12．小明在做一道数学题目时发现：若复数111cos i sin ,z αα=+222 cos i sin ,z αα=+，333cos i sin z αα=+(其中123,,R ααα∈), 则121212cos()i sin(+)z z αααα⋅=++，232323cos()i sin(+)z z αααα⋅=++ ，根据上面的结论，可以提出猜想:z 1·z 2·z 3= ．【答案】()()123123cos sin i αααααα+++++ 【解析】试题分析：运用推理 ()()123123cos sin i αααααα+++++ 考点：1.归纳推理.2.复数的运算.13．若函数()ln exf x e x =-，则201412015k ke f =⎛⎫⎪⎝⎭∑=_______________。

2014年广西高考数学压轴试卷（理科）一．选择题：（每小题5分，共60分）1. 若i(x +yi)=3+4i(x,y ∈R,i 为虚数单位)，则复数x +yi 的模是( ) A 2 B 3 C 4 D 52. 若A ={2, 3, 4}，B ={x|x =mn, m 、n ∈A 且m ≠n}，则集合B 有（ ）个非空真子集．A 3B 6C 7D 83. 已知命题p ：“若直线ax +y +1=0与直线ax −y +2=0垂直，则a =1”；命题q ：“a 12>b 12是a >b”的充要条件，则（ ）A p 真q 假B p 且q 真C p 或q 真D p 或q 假4. 函数y =2+log a (x +1)(x >−1)的反函数为（ ）A y =a x−2−1(x >2)B y =a x−2−1(x ∈R)C y =a x+2−1(x >2)D y =a x+2−1(x ∈R)5. 若直线y =|a →|x +1与直线y =|b →|x 平行，a →，b →为非零向量，则必有（ ） A a →⊥b →B a → // b →C (a →+b →)⊥(a →−b →) D (a →+b →) // (a →−b →) 6. 已知数列{a n }为等差数列，且a 3+a 9=4π3，sina 6cosa 6的值为（ ）A −√34 B √34 C ±√36 D −√367. 现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求取出的这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为( ) A 232 B 252 C 472 D 4848. 将抛物线x +4=a(y −3)2(a ≠0)按n →=(4, −3)平移后所得的抛物线的焦点坐标为（ ） A (14a, 0) B (−14a, 0) C (1a, 0) D (−1a, 0)9. 已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组{0≤x ≤40≤y ≤54y ≥x 给出，若M(x, y)为D 上的动点，点A(2, −1)，则z =|OM →−OA →|的最小值为（ ） A √5 B6√1717 C √36D 2√2 10. 如图，在等腰梯形ABCD 中，AB =2DC =2，∠DAB =60∘，E 为AB 的中点，将△ADE与△BEC 分别沿ED ，EC 向上折起，使A ，B 重合于点P ，则P −DCE 三棱锥的外接球的体积为( )A4√3π27 B √6π2 C √6π8 D √6π2411. 设抛物线C 的方程y 2=4x ，O 为坐标原点，P 为抛物线的准线与其对称轴的交点，过焦点F 且垂直于x 轴的直线交抛物线于M ，N 两点，若直线PM 与ON 相交于点Q ，则cos∠MQN =( ) A √55B −√55 C √1010 D −√101012. 已知f(x)是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的a 、b ∈R ，满足f(ab)＝af(b)+bf(a)，f(2)＝2，a n =f(2n )n(n ∈N ∗)，b n =f(2n )2n(n ∈N ∗)．考查下列结论：①f(0)＝f(1)；②f(x)为偶函数；③数列{a n }为等比数列；④{b n }为等差数列．其中正确的是（ ）A ①②③B ①③④C ③④D ①③二．填空题：（每小题5分，共20分）13. (1+x 2)(1−2x)5的展开式中，x 4的系数为________． 14. 若cos(π3−α)=14，则cos(π3+2α)=________． 15. 椭圆x 24+y 23=1的左焦点为F ，直线x =m 与椭圆相交于点A ，B ，当△FAB 的周长最大时，△FAB 的面积是( ) A √3 B 6 C 3 D 3216. 已知i →，j →是夹角为60∘的单位向量，关于实数x 的方程i →x 2+j →x +n →=0有解，则i →⋅n →的取值范围是________．三．解答题：（共70分）17. 设△ABC 是锐角三角形，a 、b 、c 分别是内角A 、B 、C 所对边长，并且(sinA +sinB)(sinA −sinB)=sin(π3+B)⋅sin(π3−B)． （1）求角A 的值；（2）若△ABC 的面积等于6√3，a =2√7，求b 、c （其中b <c ）．18. 如图，已知四棱锥P −ABCD 的底面是正方形，PA ⊥面ABCD ，且PA =AD =2，点M ，N 分别在PD ，PC 上，PN →=12NC →，PM =MD ．(1)求证：PC ⊥面AMN ；(2)求二面角B −AN −M 的余弦值．19. 甲．乙两个围棋队各派出三名选手A ．B ．C 和a ．b ．c 并按A ．B ．C 和a ．b ．c 的出场顺序进行擂台赛（擂台赛规则是：败者被打下擂台，胜者留在台上与对方下一位进行比赛，直到一方选手全部被打下擂台比赛结束），已知A 胜a 的概率为35，而B ．C 和a ．b ．c 五名选手的实力相当，假设各盘比赛结果相互独立． （1）求到比赛结束时共比赛三盘的概率；（2）用ξ表示到比赛结束时选手A 所胜的盘数，求ξ的分布列和数学期望E ξ． 20. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1=43，(4n −1)a n =3⋅4n−1S n ．（1）求数列{S n }的通项公式；（2）设b n =n 3a n ，若T n 为数列{b n }的前n 项和，求limn →∞T n的值．21. 已知定点A(−3, 0)，MN 分别为x 轴、y 轴上的动点（M 、N 不重合），且AN ⊥MN ，点P 在直线MN 上，NP →=32MP →．（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）设点Q 是曲线x 2+y 2−8x +15=0上任一点，试探究在轨迹C 上是否存在点T ？使得点T 到点Q 的距离最小，若存在，求出该最小距离和点T 的坐标，若不存在，说明理由． 22. 已知函数f(x)=ln(1+x 2)+ax 2(a ≤1)． （1）讨论f(x)的单调性；（2）证明：ln(n +1)<1+12+13+...+1n<2ln(n +1)(n ∈N ∗)2014年广西高考数学压轴试卷（理科）答案1. D2. B3. D4. B5. C6. A7. C8. A9. B 10. C 11. D12. B 13. 120 14. 7815. C 16. (−∞,116]17. 解：（1）∵ (sinA +sinB)(sinA −sinB)=sin(π3+B)⋅sin(π3−B)，∴ sin 2A −sin 2B =(√32cosB +12sinB)⋅(√32cosB −12sinB)，即sin 2A −sin 2B =34cos 2B −14sin 2B ，∴ sin 2A =34． 又△ABC 是锐角三角形，∴ sinA =√32，从而A =π3．…（2）由（1）及已知，得△ABC 的面积12bcsinA =√34bc =6√3，∴ bc =24①．由余弦定理知，a 2=b 2+c 2−2bccosA =5，将a =2√7及bc =24代入，得b 2+c 2=52②由①、②可得b +c =10．因此b ，c 是一元二次方程t 2−10t +24=0的两个根，解此方程并由b <c 知，b =4，c =6．…18. (1)证明：∵ 四棱锥P −ABCD 的底面是正方形，PA ⊥平面ABCD ，分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系．∵ PA =AD =2，∴ P(0, 0, 2)，D(0, 2, 0)，B(2, 0, 0)，M(0, 1, 1)，C(2, 2, 0)， ∴ PC →=(2,2,−2)，AM →=(0,1,1). ∵ PC →⋅AM →=0+2−2=0， ∴ PC ⊥AM .∵ PN →=12NC →，求得N(23,23,43)，∴ PC →⋅AN →=43+43−83=0， ∴ AN ⊥PC ．又PC ⊥AM ，且AM ∩AN =A ， ∴ PC ⊥面AMN ．(2)解：设平面BAN 的法向量为n →=(x,y,z).∵ {n →⋅AB →=0,n →⋅AN →=0,即{2x =0,23x +23y +43z =0,令y =2得，n →=(0,2,−1)．∵ PC →=(2,2,−2)是平面AMN 的法向量， ∴ cos <n →,PC →>=n →⋅PC→|n →|⋅|PC →|=√155， ∴ 二面角B −AN −M 的余弦值为−√155． 19. 解：（1）设到比赛结束时共比赛三盘为事件M ，再设在这比赛过程中，A 胜出为事件A ，a 胜出为事件a 则P(M)=P(A +a)=P(A)+P(a)=35×35×35+25×12×12=79250， （2）由题意知ξ可能的取值为0，1，2，3， 则P(ξ=0)=25，P(ξ=1)=35×25=625， P(ξ=2)=(35)2×25=18125，P(ξ=3)=(35)3=27125，∴ ξ的分布列如下：ξ的数学期望E ξ=0×25+1×625+2×18125+3×27125=147125．20. 解：（1）当n ≥2时，a n =S n −S n−1，∴ n ≥2时，3⋅4n−1S n =(4n −1)(S n −S n−1)，整理得(4n−1−1)S n =(4n −1)S n−1，∴ S n 4n −1=Sn−14n−1−1， ∴ 数列{Sn 4n −1}是公比为1的等比数列， ∴S n 4n −1=S 13=49，∴ S n =49(4n −1)．(n ∈N +)（2）将S n =49(4n −1)代入(4n −1)a n =3⋅4n−1S n ． 得a n =4n3，b n =n 3a n=n4n ，T n =14+242+343+⋯+n 4n，14T n =142+243+344+⋯+n 4n+1，两式相减得，34T n =14+142+143+⋯+14n −n4n+1 =14(1−14n )1−14−n 4n+1=13−13⋅4n −n4n+1，∴ T n =49−3n+49⋅4n ，limn →∞T n =49． 21. 解：（1）设点M 、N 的坐标分别为(a, 0)，(0, b)，(a ≠0, b ≠0)，点P 的坐标为(x, y)，则AN →=(3,b)，NM →=(a,−b)，MP →=(x −a,y)，NP →=(x,y −b)，由AN ⊥MN 得3a −b 2=0，−−−−−−−−−−−−(※)−−−−−−−−−− 由NP →=32MP →得x =32(x −a)，y −b =32y −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−∴ a =13x ，b =−12y 代入(※)得y 2=4x −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−∵ a ≠0，b ≠0∴ x ≠0，y ≠0∴ 动点P 的轨迹C 的方程为y 2=4x(x ≠0)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−（2）曲线x 2+y 2−8x +15=0，即(x −4)2+y 2=1，是以B(4, 0)为圆心，以1为半径的圆，设 T 为轨迹C 上任意一点，连接TB ，则|TQ|+|QB|≥|TB|⇒|TQ|≥|TB|−1−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−∴ 当|TB|最小时，|TQ|最小．--------------------------------------------------- ∵ 点T 在轨迹C 上，设点T(m 24，m)(m ≠0)∴ |TB|=√(m 24−4)2+m 2=√116(m 2−8)2+12−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−当m 2=8，即m =±2√2时，|TB|有最小值，|TB|min =2√3−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 当m 2=8时，m 24=2∴ 在轨迹C 上是存在点T ，其坐标为(2,±2√2)，使得|TQ|最小，|TQ|min =2√3−1．-- 22. 解：（1）令t =x 2，g(t)=ln(1+t)+at(t ≥0, a <1)， ∵ g′(t)=11+t +a①当0≤a ≤1时，对任意t ∈[0, +∞)都有g′(t)>0⇒g(t)是[0, +∞)上的增函数，由于当x ∈[0, +∞)时, t =x 2是增函数, 当x ∈(−∞, 0]时，t =x 2是减函数，由复合函数的单调性知，f(x)=ln(1+x 2)+ax 2在(−∞, 0]单调递减，在[0, +∞)单调递增； ②当a ≤−1，对任意t ∈(0, +∞)都有g′(t)<0⇒g(t)是[0, +∞)上的减函数， 从而f(x)=ln(1+x 2)+ax 2在(−∞, 0]单调递增，在[0, +∞)单调递减； ③当−1<a <0时，则g′(t)=11+t +a >0⇔0≤t <−a+1a，g′(t)=11+t +a ≤0⇔t ≥−a+1a，则g(t)=ln(1+t)+at 在[0,−a+1a]递增，在[−a+1a ，+∞)递减从而f(x)=ln(1+x 2)+ax 2在区间(−∞,−√−a+1a]和[0,√−a+1a]单调递增，在区间[√−a+1a，+∞)和[−√−a+1a，0]单调递减；综上所述，①当a ≤−1时，f(x)在(−∞, 0]单调递增，在[0, +∞)单调递减； ②当−1<a <0时，从而f(x)在区间(−∞,−√−a+1a]和[0,√−a+1a]单调递增，在区间[√−a+1a，+∞)和[−√−a+1a，0]单调递减；③当0≤a <1时，f(x)在(−∞, 0]单调递减，在[0, +∞)单调递增；（2） 证明：①当a =−1时，由（1）知，g(x)=ln(1+x)−x 在[0, +∞)单调递减， 令x =1n ，有g(1n )<g(0)，即ln(1+1n )−1n <0⇔1n >ln(n +1)−lnn(n ∈N ∗)累加得1+12+13+⋯+1n >ln(n +1)，②当a =−12时，由（1）知，g(x)=ln(1+x)−12x 在[0, 1]单调递增，令x =1n ，有g(1n )>g(0)，即ln(1+1n )−12n >0⇔12n <ln(n +1)−lnn(n ∈N ∗)累加得1+12+13+⋯+1n<2ln(n +1)，从而ln(n +1)<1+12+13+⋯+1n<2ln(n +1)对任意n ∈N ∗都成立．。

KS5U2014山东省高考压轴卷理科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={0，1，2}，B={x|x=2a ，a ∈A}，则A ∩B 中元素的个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 2. 复数21i z ()i=-，则复数1z +在复平面上对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．已知直线l ⊥平面α，直线m ∥平面β，则“//αβ”是“l m ⊥”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既非充分也非必要条件4. 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1=1，a 3=5，S k+2﹣S k =36，则k 的值为（ ）5．如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积为（ ）6.一个算法的程序框图如图所示，如果输入的x 的值为2014，则输出的i 的结果为（ ）7.函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的部分图象如图所示，其中A，B两点之间的距离为5，则f（x）的递增区间是（）A.[6K-1，6K+2](K∈Z)B. [6k-4,6k-1] (K∈Z)C.[3k-1,3k+2] (K∈Z)D.[3k-4,3k-1] (K∈Z)8. ．在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好落在正方形与曲线围成的区域内（阴影部分）的概率为（）B9．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点F 与双曲22145x y -=的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且AK =，则A 点的横坐标为(A)10.已知函数f （x ）对任意x ∈R 都有f （x+6）+f （x ）=2f （3），y=f （x ﹣1）的图象关于点（1，0）对称，则f （2013）=（ ）A.10B.-5C.5D.0二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置． 11.（3x+）6的展开式中常数项为 （用数字作答）．12. 若等边△ABC 的边长为1，平面内一点M 满足，则= ．13. 设x ，y 满足约束条件，若目标函数z=ax+by （a ＞0，b ＞0）的最大值为12，则+的最小值为（ ）14.设f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f （x ）=x 2，若对任意x ∈[a ，a+2]，不等式f （x+a ）≥f （3x+1）恒成立，则实数a 的取值范围是 ________ ．15. 已知集合A={f （x ）|f 2（x ）﹣f 2（y ）=f （x+y ）•f （x ﹣y ），x 、y ∈R}，有下列命题： ①若f （x ）=，则f （x ）∈A ； ②若f （x ）=kx ，则f （x ）∈A ；③若f （x ）∈A ，则y=f （x ）可为奇函数； ④若f （x ）∈A ，则对任意不等实数x 1，x 2，总有成立．其中所有正确命题的序号是 ______ ．（填上所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．16．在△ABC 中，已知A=4π，cos B =． (I)求cosC 的值；(Ⅱ)若D 为AB 的中点，求CD 的长．17.如图，已知PA ⊥平面ABC ，等腰直角三角形ABC 中，AB=BC=2，AB ⊥BC ，AD ⊥PB 于D ，AE ⊥PC 于E ． （Ⅰ）求证：PC ⊥DE ；（Ⅱ）若直线AB 与平面ADE 所成角的正弦值为，求PA 的值．18. 在一个盒子中，放有大小相同的红、白、黄三个小球，现从中任意摸出一球，若是红球记1分，白球记2分，黄球记3分．现从这个盒子中，有放回地先后摸出两球，所得分数分别记为x 、y ，设O 为坐标原点，点P 的坐标为(2,)x x y --，记2OP ξ=． （I ）求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列和数学期望． 19. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)n n a S 在直线312y x =-上. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成公差为n d 的等差数列， 求数列1n d ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩的前n 项和n T ，并求使-184055327n n n T +≤⨯成立的正整数n 的最大值. 20. 给定椭圆C ：，称圆心在坐标原点O ，半径为的圆是椭圆C 的“伴随圆”，已知椭圆C 的两个焦点分别是．（1）若椭圆C 上一动点M 1满足||+||=4，求椭圆C 及其“伴随圆”的方程；（2）在（1）的条件下，过点P （0，t ）（t ＜0）作直线l 与椭圆C 只有一个交点，且截椭圆C 的“伴随圆”所得弦长为2，求P 点的坐标；（3）已知m+n=﹣（0，π）），是否存在a ，b ，使椭圆C 的“伴随圆”上的点到过两点（m ，m 2），（n ，n 2）的直线的最短距离．若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由． 21.已知函数f （x ）=ax 2﹣（2a+1）x+2lnx （a ＞0）． （Ⅰ） 若a ≠，求函数f （x ）的单调区间；（Ⅱ）当＜a ＜1时，判断函数f （x ）在区间[1，2]上有无零点？写出推理过程．KS5U2014山东省高考压轴卷理科数学参考答案1.【KS5U 答案】C【KS5U 解析】：由A={0，1，2}，B={x|x=2a ，a ∈A}={0，2，4}， 所以A ∩B={0，1，2}∩{0，2，4}={0，2}． 所以A ∩B 中元素的个数为2． 故选C ．2. 【KS5U 答案】D【KS5U 解析】因为22211()1(1)22i i z ii i i -====----，所以1112z i +=-，所以复数1z +在复平面上对应的点位于第四象限. 3. 【KS5U 答案】A.【KS5U 解析】当//αβ时，由l ⊥平面α得，l β⊥，又直线m ∥平面β，所以l m ⊥。

2014年上海市高考数学压轴试卷（理科）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 函数f(x)=√log (3−x)的定义域为________．2. 已知F 是抛物线y 2=4x 的焦点，A ，B 在抛物线上，M(3, 2)为线段AB 的中点，则△OAB 的面积为________．3. 已知f(x)是定义在R 上的奇函数．当x >0时，f(x)=2x 3−9x 2+12x ，则不等式|f(x)|≥f(1)的解集是________．4. 已知数列{a n }其前n 项和为S n ，且S n =n 2+2n +2(n ∈N ∗)，则数列{a n }的通项公式为________．5. 非零向量a →，b →满足|a →|=2，|b →|=2，且|a →−2b →|∈(2, 2√3)，则a →，b →夹角的取值范围是________．6. 在(√x +a x )7的展开式中含有−7x 2，则a 2=________．7. 已知复数z 1=a −2i ，z 2=b +i ，z 1¯是z 1的共轭复数．若z 1¯⋅z 2≥−4，则b 的取值范围是________． 8. 已知cos2α=−45，sin2α>0，且tan(2α+θ)=1，则sinθ−cosθ=________．9. 红、黄、蓝三色灯泡分别有3、2、2支，把它们挂成一排，要求红色灯泡不能全部相邻，则看到的不同效果有________个．10. 已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)（其中x ∈R ，ω>0，−π<φ<π）的部分图象如图所示．如果对函数g(x)的图象进行如下变化：横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，也可得到f(x)函数的图象，则函数g(x)的解析式是________． 11. 在△ABC 中，点D 在边BC 上，且DC =2BD ，AB:AD:AC =3:k:1，则实数k 的取值范围为________．12. 设a n 是(3−√x)n(n ∈N ∗且n ≥2)的展开式中x 的系数，则lim n →∞(32a 2+33a 3+⋯+3n a n)=________．13. 若点P(x, y)在曲线{x =1+√5sinθy =4+√5cosθ(θ为参数，θ∈R)上，则x+2y 的取值范围是________．14. 已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点P 与点F 2关于直线y =ba x 对称，则该双曲线的离心率为________．二、选择题（本大题共有4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15. “a<b<0”是“1a >1b”的（）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件16. 若函数y=f(x)的导函数在区间(a, b)上的图象关于直线x=a+b2对称，则函数y=f(x)在区间[a, b]上的图象可能是（）A ①B ②C ③D ③④17. 已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是（）A α⊥β，且m⊂αB m // n，且n⊥βC α⊥β，且m // αD m⊥n，且n // β18. 若数列{a n}满足1a n+1−1a n=d(n∈N∗，d为常数)，则称数列{a n}为“调和数列”．已知正项数列{1b n}为“调和数列”，且b1+b2+...+b9=90，则b4⋅b6的最大值是()A 10B 100C 200D 400三、解答题（本大题共有5下题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19. 如图，平面ABB1A1为圆柱OO1的轴截面，点C为AB̂上的点，点M为BC 中点．（1）求证：B1M // 平面O1AC；（2）若AB=AA1，∠CAB=30∘，求二面角C−AO1−B的余弦值．20. 已知函数f(x)=x2−(a+2)x+alnx+2a+2，其中a≤2．（1）求函数f(x)的单调区间；（2）若函数f(x)在(0, 2]上有且只有一个零点，求实数a的取值范围．21. 在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点是坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边与单位圆O 交于点A(x 1, y 1)，α∈(π4, π2)．将角α终边绕原点按逆时针方向旋转π4，交单位圆于点B(x 2, y 2)． （1）若x 1=35，求x 2；（2）过A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，记△AOC 及△BOD 的面积分别为S 1，S 2，且S 1=43S 2，求tanα的值．22. 在数列{a n }，{b n }中，a 1=2，b 1=4，且a n ，b n ，a n+1成等差数列，b n ，a n+1，b n+1成等比数列．（1）求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测{a n }，{b n }的通项公式，并证明你的结论； （2）证明：1a1+b 1+1a2+b 2+⋯+1an +b n<512．23. 在平面直角坐标系xOy 中，已知M(0, √3)，N(0, −√3)，平面上一动点P 满足|PM|+|PN|=4，记点P 的轨迹为P ． （1）求轨迹P 的方程；（2）设过点E(0, 1)且不垂直于坐标轴的直线l 1:y =kx +b 1与轨迹P 相交于A ，B 两点，若y 轴上存在一点Q ，使得直线QA ，QB 关于y 轴对称，求出点Q 的坐标；（3）是否存在不过点E(0, 1)，且不垂直坐标轴的直线l ，它与轨迹P 及圆E:x 2+(y −1)2=9从左到右依次交于C ，D ，F ，G 四点，且满足ED ¯−EC ¯=EG ¯−EF ¯？若存在，求出当△OCG 的面积S 取得最小值时k 2的值；若不存在，请说明理由．2014年上海市高考数学压轴试卷（理科）答案1. (2, 3)2. 2√23. {x|x ≤−52, 或x ≥52, 或x =±1}4. a n ={5,n =12n +1,n ≥25. (0, π3) 6. 17. [−1, 1] 8. ±3√259. 18010. g(x)=2sin(4x+2π3)11. (53, 7 3 )12. 1813. [211, 2]14. √515. A16. D17. B18. B19. （1）证明：连结OB1，OM，∵ O1B1 // AB，且O1B1=12AB=OA，∴ 四边形AOB1O1为平行四边形，∴ OB1 // AO1，由 OB1 // AO1 OM // ACAO1∩AC=A}⇒平面OMB1 // 平面O1AC，又∵ B1A⊂平面OMB1，∴ B1M // 平面O1AC．（2）过点C作CD⊥AB，垂足为D，过点D作DE⊥O1A，垂足为E，连结CE，∵ BB1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，∴ BB1⊥CD，∵ AB∩BB1=B，∴ CD⊥平面ABB1A1，∴ CD⊥AO1，∴ CE⊥AO1，∴ ∠CED为二面角C−AO1−B的平面角，令AB=2a，在Rt△CDE中，CD=√32a，DE=3√55a，∴ cos∠CED=2√5117．20. 解：（1）函数定义域为x>0，且f′(x)=2x−(a+2)+ax =(2x−a)(x−1)x…①当a≤0，即a2≤0时，令f′(x)<0，得0<x<1，函数f(x)的单调递减区间为(0, 1)，令f′(x)>0，得x>1，函数f(x)的单调递增区间为(1, +∞)．②当0<a 2<1，即0<a <2时，令f ′(x)>0，得0<x <a2或x >1，函数f(x)的单调递增区间为(0,a2)，(1, +∞)．令f ′(x)<0，得a2<x <1，函数f(x)的单调递减区间为(a2，1)．③当a2=1，即a =2时，f ′(x)≥0恒成立，函数f(x)的单调递增区间为(0, +∞)．…（2）①当a ≤0时，由（1）可知，函数f(x)的单调递减区间为(0, 1)，f(x)在(1, 2]单调递增．所以f(x)在(0, 2]上的最小值为f(1)=a +1， 由于f(1e 2)=1e 4−2e 2−a e 2+2=(1e 2−1)2−a e 2+1>0，要使f(x)在(0, 2]上有且只有一个零点，需满足f(1)=0或{f(1)<0f(2)<0解得a =−1或a <−2ln2．②当0<a ≤2时，由（1）可知，（1）当a =2时，函数f(x)在(0, 2]上单调递增；且f(e −4)=1e 8−4e 4−2<0，f(2)=2+2ln2>0，所以f(x)在(0, 2]上有且只有一个零点． （2）当0<a <2时，函数f(x)在(a2，1)上单调递减，在(1, 2]上单调递增； 又因为f(1)=a +1>0，所以当x ∈(a2，2]时，总有f(x)>0． 因为e−2a+2a<1<a +2， 所以f(e−2a+2a)=e−2a+2a[e−2a+2a−(a +2)]+(alne−2a+2a+2a +2)<0．所以在区间(0, a2)内必有零点．又因为f(x)在(0, a2)内单调递增， 从而当0<a ≤2时，f(x)在(0, 2]上有且只有一个零点． 综上所述，0<a ≤2或a <−2ln2或a =−1时，f(x)在(0, 2]上有且只有一个零点．…21. 解：（1）∵ x 1=35，y 1>0，∴ y 1=√1−x 12=√1−(35)2=45，∴ sinα=45，cosα=35．则x 2=cos(α+π4)=cosαcos π4−sinαsin π4=35×√22−45×√22=−√210；（2）S 1=12sinαcosα=14sin2α． ∵ α∈(π4, π2)，∴ α+π4∈(π2,3π4)，∴ S 2=−12sin(α+π4)cos(α+π4)=−14sin(2α+π2)=−14cos2α． ∵ S 1=43S 2，∴ sin2α=−43cos2α，即tan2α=−43．∴ 2tanα1−tan 2α=−43，解得：tanα=2或tanα=−12． ∵ α∈(π4, π2)，∴ tanα=2．22. 解：（1）由条件得2b n =a n +a n+1，a n+12=b n b n+1由此可得a 2=6，b 2=9，a 3=12，b 3=16，a 4=20，b 4=25． 猜测a n =n(n +1)，b n =(n +1)2． 用数学归纳法证明：①当n =1时，由上可得结论成立．②假设当n =k 时，结论成立，即a k =k(k +1)，b k =(k +1)2，那么当n =k +1时，a k+1=2b k −a k =2(k +1)2−k(k +1)=(k +1)(k +2)，b k+1=a k+12b k=(k +2)2．所以当n =k +1时，结论也成立．由①②，可知a n =n(n +1)，b n =(n +1)2对一切正整数都成立． （2）证明：1a1+b 1=16<512．n ≥2时，由（1）知a n +b n =(n +1)(2n +1)>2(n +1)n ． 故1a1+b 1+1a2+b 2+⋯+1an +b n<16+12(12×3+13×4+⋯+1n(n+1))=16+12(12−13+13−14+⋯+1n −1n+1)=16+12(12−1n+1)<16+14=512综上，原不等式成立．23. 解：（1）∵ |PM|+|PN|=4>2√3， ∴ 点P 的轨迹是以M ，N 为焦点， 长轴长为4，焦距为2√3的椭圆，即a =2，c =√3，∴ b 2=a 2−c 2=1， ∴ 轨迹P 的方程为y 24+x 2=1．（2）设点Q(0, t)，∵ 过点E(0, 1)且不垂直于坐标轴的直线l 1:y =kx +b 1与轨迹P 相交于A ，B 两点， ∴ b 1=1，∴ 直线l 1:y =k 1x +1，由{y 24+x 2=1y =k 1x +1，消去y ，得(k 12+4)x 2+2k 1x −3=0，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则{△=4k 12+12(k 12+4)>0x 1+x 2=−2k 1k 12+4x 1x 2=−3k 12+4， ∴ A(x 1, k 1x 1+1)，B(x 2, k 1x 2+1)，∴ k AQ =k 1x 1+1−tx 1，k BQ =k 1x 2+1−tx 2，∵ 直线QA ，QB 关于y 轴对称，∴ k AQ +k BQ =k 1x 1+1−tx 1+k 1x 2+1−tx 2=0，∴ 2k 1x 1x 2+(1−t)(x 1+x 2)=0，∴ 2k 1(−3)+(1−t)(−2k 1)=2k 1t −8k 1=2(t −4)k 1=0， 解得t =4，∴ Q 点坐标(0, 4)．（3）假设存在符合题意的直线l ，设其方程为y =kx +b ，且k ≠0， 设线段DF 的中点为H ， ∵ ED →−EC →=EG →−EF →， ∴ ED →+EF →=EC →+EG →=2EH →，由{y =kx +b y 2+4x 2=4，消去y ，得(k 2+4)x 2+2kbx +b 2−4=0， 设D(x 3, y 3)，F(x 4, y 4)， 则{ △=16(k 2−b 2+4)>0x 3+x 4=−2kbk 2+4x 3x 4=b 2−4k 2+4， ∴ H(−kb k 2+4, 4bk 2+4)， 由k EH =4bk 2+4−1−kbk 2+4−0=−1k ，解得k 2+4=3b ，∴ H(−k 3,43)，代入判别式，得0<k 2<5， ∴ 存在这样的直线l 符合题意， |EH|=√(−k3−0)2+(43−1)2=√19+k 29，由垂径定理，得|CG|=2√9−|EH|2=23√80−k 2，坐标原点O 到直线l 的距离d =√k 2+1=23√k 2+1，∴ S =12|CG|⋅d =12×23√80−k 2×k 2+43√k 2+1=19(k 2+4)√80−k 2√k 2+1，∴ S 2=181(k 2+4)2⋅80−k 2k 2+1，令k 2+1=r ，r ∈(1, 6)， 构造函数F(r)=181(r +3)2(81−r)r，r ∈(1, 6)，F ′(r)=181(r +3)(−2r 2+81r−243)r 2，r ∈(1, 6)，令G(r)=−2r 2+81r −243，r ∈(1, 6)， G(r)=−2r +81r −243=0， ∴ r 1=81−9√574，或r 2=81+9√574（舍）又∵ 7<√57<8，∴ 94<r 1=81−9√574<92，又当r ∈(r 1, 6)时，G(r)>0，∴ F′(r)>0，∴ F(r)在(r 1, 6)上单调递增， ∴ 当k 2+1=81−9√574，即k 2=77−9√574时，△OCG 的面积S 取得最小值．。

2014年浙江省高考数学压轴试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知全集U ＝R ，集合M ＝{x|x 2−2x −3≤0}，N ＝{y|y ＝3x 2+1}，则M ∩(∁U N)＝（ ）A {x|−1≤x <1}B {x|−1≤x ≤1}C {x|1≤x ≤3}D {x|1<x ≤3}2. 已知i 为虚数单位，则复数z =−5i 2+3i 在复平面内表示的点位于（ ）A 第四象限B 第三象限C 第二象限D 第一象限3. 已知函数f(x)={2x ，x ≥0√−x ，x <0，则“f(a)=4”是“a =2”的（ ） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件4. 已知e 1→，e 2→为互相垂直的单位向量，若向量λe 1→+e 2→与e 1→+λe 2→的夹角等于30∘，则实数λ等于( )A ±2√3B ±√3C ±√33D √3或√33 5. 执行如图所示的程序框图，若输出的值S =16，则输入自然数n 的最小值应等于（ ）A 7B 8C 9D 106. 若x ，y 满足约束条件{x +y −1≥0y ≥2x −2y ≤2，且z =kx +y 取得最小值是的点有无数个，则k =( )A −1B 2C −1或2D 1或−27. 已知函数f(x)={|lgx|,0<x ≤10−12x +6，x >10，若函数y =f 2(x)−2bf(x)+b −29有6个零点，则b 的取值范围是（ ）A [23, 79)∪(29, 13]B (23, +∞)∪(−∞, 13)C (0, 13)∪(23, 1)D (29, 79) 8. 设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题不正确的是（ ）A m // α，n ⊥β，m // n ⇒α⊥βB m ⊥α，m // n ⇒n ⊥αC m ⊥n ，n ⊂α，m ⊂β⇒α⊥βD m // β，m ⊂α，α∩β=n ⇒m // n9. 设双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，如图，过F2与双曲线一条渐近线平行的直线交另一条渐近线于点P，若∠F1PF2为钝角，则该双曲线离心率的取值范围是（）A (2, +∞)B (3, +∞)C (1, √2)D (1, 2)10. 设数字1，2，3，4，5，6的一个排列为a1，a2，a3，a4，a5，a6，若对任意的a i(i＝2, 3, 4, 5, 6)总有a k(k<i, k＝1, 2, 3, 4, 5)满足|a i−a k|＝1，则这样的排列共有（）A 36 B 32 C 28 D 20二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分11. 若α∈(π2, π)，且3cos2α=sin(π4−α)，则sin2α=________．12. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．13. 若a0+a1(2x−1)+a2(2x−1)2+a3(2x−1)3+a4(2x−1)4=x4，则a2=________．14. 若正数x，y满足x+3y=5xy，则x+y的最小值为________．15. 已知数列{a n}满足：a n+1+a n−1a n+1−a n+1=n(n∈N∗)，且a4=28，则{a n}的通项公式为a n=________．16. 圆锥的轴截面HAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，AB是底面的一条直径，M 为OH的中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周）．若AM⊥MP，则点P形成的轨迹的长度为________．17. 设[x]表示不超过x的最大整数，例如，[−3.5]=−4，[2.1]=2．设集合A={(x, y)|x2+y2≤1}，集合B={(x, y)|[x]2+[y]2>1}，则A∩B表示的平面区域的面积为________．二、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.18. 已知数列{a n}的前n项和S n，满足：a1=1，S n−2S n−1=1，n∈N∗，且n≥2．（1）求证：数列{a n}是等比数列；（2）已知c n=na n(n∈N∗)，数列{c n}的前n项和T n，若存在正整数M，m，使m≤T n<M对任意正整数n 恒成立，求M ，m 的值．19. 一个盒子中装有5张卡片，上面分别记着数字1，1，2，2，2，每张卡片从外观上看毫无差异，现从盒子中有放回的任意取2张卡片，记下上面数字分别为X 和Y ，两次所得数字之和记为M ，即M =X +Y（1）求随机变量M 的分布列和数学期望（2）若规定所得数字之和为3即可获得奖品，先甲乙两人各自玩了一次上面的游戏，试求两人之中至少有一人获得奖品的概率．20. 如图，已知菱形ABCD 的边长为6，∠BAD =60∘，AC ∩BD =O ，将菱形ABCD 沿对角线AC 折起，使BD =3√2，得到三棱锥B −ACD（1）若CM =2MB ，求证：直线OM 与平面ABD 不平行；（2）求二面角A −BD −O 的余弦值；（3）设点N 是线段BD 上一个动点，试确定N 点的位置，使得CN =4√2，并证明你的结论．21. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)经过点M(1,32)，其离心率为12． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l ：y =kx +m(|k|≤12)与椭圆C 相交于A 、B 两点，以线段OA ，OB 为邻边作平行四边形OAPB ，其中顶点P 在椭圆C 上，O 为坐标原点．求|OP|的取值范围．22. 已知函数f(x)=x −a x (a >0)，g(x)=2lnx ．（1）若对[1, +∞)内任意的x ，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求a 的取值范围；（2）当a =1时，(I)．求最大正整数k ，使得任意k 个实数x 1，x 2，…，x k ∈[e, 3]，都有f(x 1)+f(x 2)+...+f(x k−1)≤16g(x k )成立（e =2.71828…是自然对数的底数）；(II)．求证：∑4i 4i 2−1n i=1>ln(2n +1)(i, n ∈N ∗)．2014年浙江省高考数学压轴试卷（理科）答案1. A2. B3. B4. D5. C6. D7. A8. C9. D10. B11. −1718 12. 5√3313. 3814. 4+2√3515. 2n 2−n16. 为17. π4 18. 解：（1）当n ≥2时，由{S n −2S n−1=1S n+1−2S n =1两式相减得a n+1−2a n =0， 又当n =2时，a 2=2，所以a n+1a n =2(n ∈N ∗)，所以{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列．（2）由（1）得a n =2n−1，∴ c n =n ×(12)n−1， ∴ T n =1×(12)0+2×(12)1+3×(12)2+⋯+(n −1)×(12)n−2+n ×(12)n−1 ∴ 12T n =1×(12)1+2×(12)2+3×(12)3+⋯+(n −1)×(12)n−1+n ×(12)n 两式相减得12T n =(12)0+(12)1+(12)2+⋯+(12)n−1−n ×(12)n =2−(n +2)×(12)n ∴ T n =4−(n +2)×(12)n−1<4，所以M 可以取大于等于4的任意整数，又∵ T n+1−T n =(n +1)×(12)n >0∴ T n ≥T 1=1，综上，存在正整数M ，m ，使得m ≤T n <M 对任意正整数n 恒成立，其中m =1，M ≥4且M ∈N ．19. 解：（1）由题意：M 的取值可以是2，3，4，P(M =2)=C 21×C 215×5=425， P(M =3)=C 21×C 31×A 225×5=1225， P(M =3)=C 31×C 315×5=925，∴ M 的分布列为：∴ M 的期望为：E(M)=2×425+3×1225+4×925=165 （2）设“从5张卡片中有放回地抽取2次，所得数字之和为3”为事件A ， 则P(A)=1225，则“甲乙二人中至少一人能获奖”相当于2次独立重复试验中事件A 至少发生一次，其概率为1−C 20(1−1225)2=456625． 20. （1）证明：因为点O 是菱形ABCD 的对角线的交点，所以O 是AC 的中点，若M 是棱BC 的中点，所以OM 是△ABC 的中位线，OM // AB ，因为OM ⊄平面ABD ，AB ⊂平面ABD ，所以OM // 平面ABD ．而CM =2MB ，∴ 直线OM 与平面ABD 不平行；（2）解：由题意，OB =OD =3， 因为BD =3√2，所以∠BOD =90∘，OB ⊥OD ，又因为菱形ABCD ，所以OB ⊥AC ，OD ⊥AC ，建立空间直角坐标系O −xyz ，如图所示，A(3√3, 0, 0)，D(0, 3, 0)，B(0, 0, 3)，所以AB →=(−3√3, 0, 3)，AD →=(−3√3, 3, 0)，设平面ABD 的法向量为n →=(x, y, z)，则有{AD →⋅n →=0˙即：{−3√3x +3z =0−3√3x +3y =0， 令x =1，则y =√3，z =√3，所以n →=(1, √3, √3)，因为AC ⊥OB ，AC ⊥OD ，所以AC ⊥平面BOD ，平面BOD 的法向量与AC 平行，所以平面BOD 的法向量为n 0→=(1, 0, 0)，cos <n 0→，n →>=n 0⋅→n →|n 0→||n →|=11×√7=√77， 因为二面角A −BD −O 是锐角，所以二面角A −BD −O 的余弦值为√77．（3）解：因为N 是线段BD 上一个动点，设N(x 1, y 1, z 1)，BN →=λBD →， 则(x 1, y 1, z 1−3)=λ(0, 3, −3)，所以x 1=0，y 1=3λ，z 1=3−3λ，则N(0, 3λ, 3−3λ)，CN →=(3√3, 3λ, 3−3λ)，由CN =4√2，得√27+9λ2+(3−3λ)2=4√2，即9λ2−9λ+2=0， 解得λ=13或λ=23，所以N 点的坐标为(0, 2, 1)或(0, 1, 2)．21. 解：（1）由已知可得e 2=a 2−b 2a 2=14，所以3a 2=4b 2① 又点M(1,32)在椭圆C 上，所以1a 2+94b 2=1②由①②解之，得a 2=4，b 2=3．故椭圆C 的方程为x 24+y 23=1．（2）当k =0时，P(0, 2m)在椭圆C 上，解得m =±√32， 所以|OP|=√3．当k ≠0时，则由{y =kx +m x 24+y 23=1. 消y 化简整理得：(3+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−12=0，△=64k 2m 2−4(3+4k 2)(4m 2−12)=48(3+4k 2−m 2)>0③ 设A ，B ，P 点的坐标分别为(x 1, y 1)、(x 2, y 2)、(x 0, y 0)， 则x 0=x 1+x 2=−8km 3+4k 2，y 0=y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2m =6m 3+4k 2． 由于点P 在椭圆C 上，所以x 024+y 023=1． 从而16k 2m 2(3+4k 2)2+12m 2(3+4k 2)2=1，化简得4m 2=3+4k 2，经检验满足③式．又|OP|=√x 02+y 02=√64k 2m 2(3+4k 2)2+36m 2(3+4k 2)2=√4m 2(16k 2+9)(3+4k 2)2=√16k 2+94k 2+3=√4−34k 2+3．因为0<|k|≤12，得3<4k 2+3≤4，有34≤34k 2+3<1， 故√3<|OP|≤√132．综上，所求|OP|的取值范围是[√3，√132]． 22. 解：（1）由f(x)≥g(x)整理得a x ≤x −2lnx ．∵ x ≥1，∴ 要使不等式f(x)≥g(x)恒成立，必须a ≤x 2−2xlnx 恒成立．设ℎ(x)=x 2−2xlnx ，ℎ′(x)=2x −2(lnx +x ⋅1x )=2x −2lnx −2， 设p(x)=ℎ′(x)，p ′(x)=2−2x ，∵ p ′(x)=2−2x ，∴ 当x ≥1时，p ′(x)=2−2x >0，则ℎ′(x)是增函数． ∴ ℎ′(x)≥ℎ′(1)=0，ℎ(x)是增函数，ℎ(x)≥ℎ(1)=1， 则a ≤1．∵ a >0，∴ 实数a 的取值范围是(0, 1]．（2）ⅰ当a =1时，f(x)=x −1x ，∵ f ′(x)=1+1x 2>0，∴ f(x)在[e, 3]上是增函数，f(x)在[e, 3]上的最大值为f(3)=83． 要对[e, 3]内的任意k 个实数x 1，x 2，…，x k 都有f(x 1)+f(x 2)+...+f(x k−1)≤16g(x k )成立， 必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值． ∵ 当x 1=x 2=...=x k−1=3时不等式左边取得最大值，x k =e 时不等式右边取得最小值． ∴ (k −1)×83≤16×2，解得k ≤13，因此k 的最大值为13．ⅱ当a =1时，根据（1）的推导有x ∈(1, +∞)时，f(x)>g(x)， 即lnx <12(x −1x )． 令x =2k+12k−1，得ln 2k+12k−1<12(2k+12k−1−2k−12k+1)，化简得ln(2k +1)−ln(2k −1)<4k4k 2−1，ln(2n +1)=∑[n i=1ln(2i +1)−ln(2i −1)]<∑4i 4i 2−1n i=1．。

2014年安徽省高考数学压轴试卷（理科）一、选择题（本大题包括10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设i 是虚数单位，a ∈R ，若2a−i 1+i是一个实数，则该实数是（ ）A −12B −1C 12D 12. 平面区域{y ≥xy ≥−√3x x 2+y 2≤2 的面积是（ ）A 5π12B 5π6C 7π12D 7π63. 如果执行如图的程序框图，那么输出的S =20132014，那么判断框内是（ ）A k ≤2013？B k ≤2014？C k ≥2013？D k ≥2014？ 4. 为得到函数y =cos 2x 的图象，只需将函数y =sin2x 2的图象按照向量a →平移，则a →可以为（ ）A (−π4, 12) B (−π2, 12) C (−π2, 1) D (π4, 12)5. 向量a →=(cosα, sinα)，b →=(cosx, sinx)，若函数f(x)=a →⋅b →是奇函数，则α可以是（ ）A 0B π4 C π3 D π26. 若双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的右顶点与右焦点到双曲线渐近线的距离的和为3b2，则双曲线的离心率为（ ） A 32 B 53 C 2 D 37. 直线x −y +1=0被圆x 2+y 2+2my =0所截得的弦长等于圆的半径，则实数m =( )A √6−2B √6+2C 1D √68. 使函数f(x)={(3a −1)x +4a,x ≤1log a x ，x >1在(−∞, +∞)上是减函数的一个充分不必要条件是（ ）A 17≤a <13 B 0<a <13 C 17<a <13 D 0<a <179. 已知向量a →，b →满足|b →|=2|a →|，b →−a →与2a →+b →的夹角为π3，则a →，b →的夹角是（ ） A π6 B π3 C 2π3 D 5π610. 若P 、Q 分别是直线y =1−x 和曲线y =−e x 上的点，则|PQ|的最小值是（ ） A √2 B 2 C 2√2 D 2√3二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上） 11. 在(5x −4)(3−2x 2)9的展开式中，次数最高的项的系数是________．（用数字作答） 12. 从0至4五个自然数中任意取出不同三个，分别作为关于x 的方程ax 2+bx +c =0的系数，则所得方程有实数解的取法有________．13. 数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n =2a n −1，则数列{S n }的前6项和是________． 14. 已知点A(1, 0)，点P 是抛物线y 2=x 上任意一点，则|AP|的最小值是________．15.在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是BC ，A 1B 1的中点，则异面直线AD 1与EF 所成角的余弦值是________．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，tanB =43，sinA =513．（1）求cosC ；（2）若△ABC 的面积是1，求AB →⋅AC →． 17. 设f(x)=ae x +blnx ．（1）若曲线y =f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程为y =x +1，求a ，b 的值； （2）当a =e ，b =1时，求f(x)的单调区间与极值．18. 在数学趣味知识培训活动中，甲、乙两名学生的5次培训成绩如茎叶图所示：（1）从甲、乙两人中选择1人参加数学趣味知识竞赛，你会选哪位？请运用统计学的知识说明理由；（2） 从乙的5次培训成绩中随机选择2个，记被抽到的分数超过110分的个数为ξ，试求ξ的分布列和数学期望．19. 如图，四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠BAD =45∘，AD =1，AB =√2，△PAD 是正三角形，平面PAD ⊥平面PBD ． （1）求证：PA ⊥BD ；（2）设二面角P −BD −A 的大小为α，直线PA 与平面PBC 所成角的大小为β，求cos(α+β)的值．20. 已知数列{a n }满足奇数项a 1，a 3，a 5，…成等差数列{a 2n−1}(n ∈N +)，而偶数项a 2，a 4，a 6，…成等比数列{a 2n }(n ∈N +)，且a 1=1，a 2=2，a 2，a 3，a 4，a 5成等差数列，数列{a n }的前n 项和为S n ． （1）求S n ； （2）设b n =S 2n 2n，试比较b n+1与b n 的大小．21. 已知椭圆x 22+y 2=1，O 为坐标原点，椭圆的右准线与x 轴的交点是A ． （1）点P 在已知椭圆上，动点Q 满足OQ →=OA →+OP →，求动点Q 的轨迹方程； （2）过椭圆右焦点F 的直线与椭圆交于点M ，N ，求△AMN 的面积的最大值．2014年安徽省高考数学压轴试卷（理科）答案1. B2. A3. A4. A5. D6. C7. B8. C9. B 10. A11. −2560 12. 30 13. 120 14. √32 15. √3616. 解：（1）由tanB =43，0<B <π，可得sinB =45，cosB =35；…sinA =513<sinB =45，由正弦定理，a <b ，则A <B ，故0<A <π2，cosA =1213．… 由A +B +C =π，cosC =−cos(A +B)=sinAsinB −cosAcosB =513×45−1213×35=−1656．…（2）由△ABC 的面积是1，可得12bcsinA =526bc =1，得bc =265．…AB →⋅AC →=bccosA =1213×265=245．…17. 解：（1）对f(x)求导，得f′(x)=bx −ae x ； 由f′(1)=b −ae =1，f(1)=ae =1+1=2， 解得a =2e ，b =3；（2）∵ 函数f(x)的定义域是(0, +∞)，当a =e ，b =1时，f(x)=ee x +lnx ，f′(x)=1x −ee x =e x −ex xe x；令g(x)=e x −ex ，求导得g ′(x)=e x −e ；当x ∈(0, 1)时，g ′(x)<0，则f ′(x)<0，f(x)是减函数； 当x ∈(1, +∞)时，g ′(x)>0，则f ′(x)>0，f(x)是增函数； ∴ f(x)的单调增区间是(1, +∞)，减区间是(0, 1)； ∴ 当x =1时，f(x)有极小值f(1)=1．18. 解：（1）甲、乙两人的平均成绩分别是x 甲¯=15(98+106+109+118+119)=110， x 乙¯=15(102+102+111+114+121)=110，．…甲、乙两人成绩的方差分别是s 甲2=15[(98−110)2+(106−110)2+(109−110)2+(118−110)2+(119−110)2]=3065，s 乙2=15[(102−110)2+(102−110)2+(111−110)2+(114−110)2+(121−110)2]=2665．由x 甲¯=x 乙¯，s 甲2>s 乙2，可知甲和乙成绩的平均水平一样，乙的方差小，乙发挥比甲稳定，故选择乙．…（2）ξ可以取0，1，2．… P(ξ=0)=C 22C 52=110；…P(ξ=1)=C 21C 31C 52=610=35；…P(ξ=2)=C 32C 52=310．…ξ的分布列为期望Eξ=0×110+1×35+2×310=65．…19.（1）证明：∵ ∠BAD =45∘，AD =1，AB =√2，∴ 由余弦定理，得：BD =√1+2−2×1×√2×cos45∘=1，…∴ AD 2+BD 2=AB 2，∴ AD ⊥BD ，又∵ 平面PAD ⊥平面PBD ，∴ BD ⊥平面PAD ， 又PA ⊂平面PAD ，∴ PA ⊥BD ．… （2）解：由（1）知BD ⊥平面PAD ， ∴ ∠PDA 为二面角P −BD −A 的平面角， 在正△PAD 中，∠PDA =α=60∘．又BD ⊂平面ABCD ，∴ 平面PAD ⊥平面ABCD ．取AD 的中点E ，连结PE ，∵ △PAD 是正三角形，∴ PE ⊥AD ． ∴ PE ⊥平面ABCD ，如图建立空间直角坐标系．由题意知A(12，0，0)，P(0,0,√32)， ∴ PA →=(12,0,−√32)．B(12，1，0)，PB →=(12,1,−√32)， ∵ 底面ABCD 为平行四边形，∴ CB →=DA →=(1,0,0)， 设平面PBC 的法向量为n →=(x,y,z)， 则n →⋅PB →=12x +y −√32z =0，n →⋅CB →=x =0， 令z =1，得y =√32，∴ n →=(0,√32,1)． ∴ sinβ=||n →|⋅|PA →|˙|=√217，cosβ=√1−sin 2β=2√77．∴ cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ=−√714．…20. 解：（1）设等差数列{a 2n−1}(n ∈N +)的公差为d ，等比数列{a 2n }(n ∈N +)的公比为q ，则2(1+d)=2+2q ，4q =(1+d)+(1+2d)，解得q =d =2．…于是a 2n−1=2n −1，a 2n =2n，即数列的通项a n ={n ，n 为奇数2n 2，n 为偶数.…于是当n 为偶数时，数列奇数项的和为[1+(2×n2−1)2]×n2=n 24，偶数项的和为2(1−2n2)1−2=2n2+1−2， 故S n =n 24+2n2+1−2．…当n 为奇数时，S n =S n−1+a n =(n−1)24+2n+12−2+n =2n+12+n 2+2n−74．于是S n ={2n+12+n 2+2n−74，n 为奇数n 24+2n2+1−2，n 为偶数.… （2）由（1）得b n =S 2n 2n=n 2+2n+1−22n，b n+1−b n =(n+1)2+2n+2−22n+1−n 2+2n+1−22n=4−(n−1)22n+1．…当n ≤3时，b n+1≥b n ；当n >3时，b n+1<b n ．… 21. 解：（1）由椭圆x 22+y 2=1可得点A(2, 0)．设Q(x, y)，P(x 1, y 1)，则OP →=OA →−OQ →=(2−x,−y)=(x 1,y 1)， 又因为点P 在已知椭圆上，故(x−2)22+y 2=1为动点Q 的轨迹方程．…（2）椭圆的右焦点F(1, 0)，设直线MN 的方程是x =my +1，与x 22+y 2=1联立，可得(m 2+2)y 2+2my −1=0，设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，则x 1=my 1+1，x 2=my 2+1，于是|MN|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=√(m 2+1)|y 1−y 2|=2√2(m 2+1)m 2+2．… 点A(2, 0)到直线MN 的距离d =√m 2+1，于是△AMN 的面积S =12|MN|d =√2(m 2+1)m 2+2．…S =√2(m 2+1)m 2+2=√2(m 2+1)+1m 2+1+2≤√2√(m 2+1)1m 2+1+2=√22，当且仅当m 2+1=1m 2+1，即m =0时取到等号．故△AMN 的面积的最大值是√22．…。