3.1排列与组合(3)

人教B版（2019）高中数学选择性必修第二册
课程目录与教学计划表
教材课本目录是一本书的纲领，是教与学的路线图。

不管是做教学计划、实施教学活动，还是做学习计划、复习安排、工作总结，都离不开目录。

目录是一本书的知识框架，要做到心中有书、胸有成竹，就从目录开始吧！
课程目录教学计划、进度、课时安排选择性必修第二册
第三章排列、组合与二项式定理
3.1 排列与组合
3.1.1 基本计数原理
3.1.2 排列与排列数
3.1.3 组合与组合数
本节综合与测试
3.2 数学探究活动:生日悖论的解释与模拟
3.3 二项式定理与杨辉三角
本章综合与测试
第四章概率与统计
4.1 条件概率与事件的独立性
4.1.1 条件概率
4.1.2 乘法公式与全概率公式
4.1.3 独立性与条件概率的关系.
本节综合与测试
4.2 随机变量
4.2.1 随机变量及其与事件的联系
4.2.2 离散型随机变量的分布列
4.2.3 二项分布与超几何分布
4.2.4 随机变量的数字特征
4.2.5 正态分布
本节综合与测试
4.3 统计模型
4.3.1 一元线性回归模型
4.3.2 独立性检验
本节综合与测试
4.4 数学探究活动:了解高考选考科目的确定是否与性别有关
本章综合与测试
本册综合。

【课题】3．1排列与组合（三）
【教学目标】
知识目标：
利用排列数组合数计算公式解决简单的应用问题．
能力目标：
学生的数学计算技能、计算工具使用技能和数学思维能力得到提高．
【教学重点】
排列与组合的综合应用．
【教学难点】
排列与组合的综合应用．
【教学设计】
实际应用过程中，要注意区分以下3点：（1）元素是否允许重复．元素不允许重复的是排列与组合问题；元素允许重复的是直接应用计数原理的问题．（2）元素是否有序．有序是排列问题，无序是组合问题．（3）是否需要分类或分步骤来进行研究．例7是简单的排列与组合训练题．要注意分清是排列问题还是组合问题．例8是产品检验的抽样计算问题，是组合应用的典型问题．在题目的说明中，介绍了对立事件．例9是照相排队问题，是排列应用的典型问题．要注意“先考虑特殊元素或特殊位置，再考虑一般元素或位置”这种分步骤研究方法的使用．例10是排列组合综合应用问题．“先取出元素，然后再安排”是这类问题的典型方法．例11元素可以重复，不是排列与组合问题，直接应用分步计数原理计算．【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．(90分钟)
【教学过程】
【教师教学后记】。

排列与组合综合(三)——极端原理、递推计数金题精讲题一：将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第i个数为a i(i=1，2，…，6)，若a1≠1，a3≠3，a5≠5，a1<a3<a5，则不同的排列方法种数为( )A．18 B．30 C．36 D．48题二： 6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品．已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为( )A．1或3 B．1或4 C．2或3 D．2或4题三：已知集合A={x|x=a0+a1×3+a2×32+a3×33}，其中a k∈{0，1，2}(k=0，1，2，3)，且a3≠0.则A中所有元素之和等于( )A. 3240B. 3120C. 2997D. 2889题四：有限集合P中元素的个数记作card(P).已知card(M)=10，A⊆M，B⊆M，A B=∅，且card(A)=2，card(B)=3.若集合X满足A⊆X ⊆M，则集合X的个数是_____；若集合Y满足Y ⊆M，且A⊄Y，B⊄Y，则集合Y的个数是_____. (用数字作答)题五：从集合{－1，－2，－3，－4，0，1，2，3，4，5}中，选出5个数组成子集，使得这5个数中的任何两个数之和不等于1，则这样的子集的个数为 .题六：给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色．当n≤4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：由此推断，当n=6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有__________种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有__________种. (结果用数值表示)排列与组合综合(三)——极端原理、递推计数讲义参考答案金题精讲题一：B 题二：D 题三：D 题四：256，672 题五：25题六：21，43第（1）课时课题：书法---写字基本知识课型：新授课教学目标：1、初步掌握书写的姿势，了解钢笔书写的特点。

高一数学知识点归纳总结公式数学是一门基础学科，对于高中学生来说，掌握好数学知识点和公式是非常重要的。

以下是高一数学知识点的归纳总结公式：1. 代数部分1.1 一元一次方程：ax + b = 0解的公式：x = -b/a1.2 一元二次方程：ax^2 + bx + c = 0解的公式：x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/2a1.3 因式分解公式：- 平方差公式：a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)- 二次三项式公式：x^2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)1.4 指数与对数公式：- a^m * a^n = a^(m+n)- a^m / a^n = a^(m-n)- (a^m)^n = a^(mn)- loga(m * n) = loga(m) + loga(n)2. 几何部分2.1 直线方程：- 点斜式：y - y1 = k(x - x1)- 两点式：(y - y1)/(x - x1) = (y2 - y1)/(x2 - x1) - 截距式：y = kx + b2.2 圆的方程：- 一般式：(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2- 标准式：(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^22.3 三角函数公式：- 正弦定理：a/sinA = b/sinB = c/sinC- 余弦定理：a^2 = b^2 + c^2 - 2bc * cosA- 正切定理：tanA = a/b2.4 三角函数的和差化积公式：- sin(A ± B) = sinA * cosB ± cosA * sinB- cos(A ± B) = cosA * cosB ∓ sinA * sinB- tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1∓ tanA * tanB) 3. 概率与统计部分3.1 排列与组合公式：- 排列公式：A(n, m) = n! / (n - m)!- 组合公式：C(n, m) = n! / (m! * (n - m)!)3.2 乘法原理与加法原理：- 乘法原理：若一个事件可分成k个独立的步骤，则该事件发生的总数为这k个步骤发生事件次数的乘积。

3.1.3 组合与组合数第1课时 组合与组合数、组合数的性质(教师独具内容)，理解组合的概念.2.能利用计数原理推导组合数公式. 教学重点：理解组合的概念、组合数公式及组合数的性质. 教学难点：利用公式及性质解决一些简单的实际问题.知识点一 组合的定义一般地，从n 个不同对象中取出m (m ≤n )个对象□01并成一组，称为从n 个不同对象中取出m 个对象的一个组合.知识点二 组合与组合数公式组合数定义从n 个不同对象中取出m 个对象的□01所有组合的个数，称为从n 个不同对象中取出m 个对象的组合数表示法 □02C m n组合数乘积式C mn ＝□03公式阶乘式□04性质mn＝□05C n －mn ；2.□06C m ＋1n ＋C m n ＝C m ＋1n ＋1 备注①n 和m 都是自然数，且m ≤n ； ②规定：C 0n ＝□071，C 1n ＝□08n ，C nn ＝□091组合的定义包含两个基本内容：一是“取出对象”；二是“合成一组”，表示与对象的顺序无关，排列与组合的相同点是从n 个不同对象中任取m 个对象，不同点是组合是“不管对象的顺序合成一组”，而排列是要求对象按照一定的顺序排成一列．因此区分某一问题是组合还是排列，关键是看取出的对象有无顺序．组合数的两个性质，性质1反映了组合数的对称性，在m >n2时，通常不直接计算C mn 而改为C n －m n ，对于性质2，C m ＋1n ＋C m n ＝C m ＋1n ＋1要会正用、逆用、变形用．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)从a ，b ，c 三个不同的对象中任取两个对象的一个组合是C 23.( ) (2)从1,3,5,7中任取两个数相乘可得C 24个积．( ) (3)若组合C x n ＝C mn ，则x ＝m 成立．( ) (4)C 35＝5×4×3＝60.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)从6名学生中选出3名学生参加数学竞赛的不同选法种数是________． (2)C 1820＝________. (3)C 399＋C 299＝________.答案 (1)20 (2)190 (3)161700题型一 组合的有关概念 例1 给出下列问题：(1)从a ，b ，c ，d 四名学生中选2名学生完成一件工作，有多少种不同的选法？ (2)从a ，b ，c ，d 四名学生中选2名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法？ (3)a ，b ，c ，d 四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？ (4)a ，b ，c ，d 四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果？(5)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，不同的结果有多少种？ (6)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪中恰有3枪连中，不同的结果有多少种？ 在上述问题中，哪些是组合问题？哪些是排列问题？[解] (1)2名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题． (2)2名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题．(3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题．(4)冠亚军是有顺序的，是排列问题．(5)命中的4枪均为2枪连中，为相同的对象，没有顺序，是组合问题．(6)命中的4枪中恰有3枪连中，即连中3枪和单中1枪，有顺序，是排列问题．教材判断是否为组合问题，关键是判断问题是否与顺序有关，可以结合条件理解，也可以选择一个结果，交换这个结果中两个对象的先后顺序，看是否对结果产生影响，若无新变化，则是组合问题．总之，与顺序有关是排列问题，若与顺序无关，则是组合问题．[跟踪训练1]判断下列问题是排列问题，还是组合问题：(1)从集合A＝{－1,1,10,8,6,4}中任取两个数相加，得到的和共有多少个？(2)从集合A＝{－1,1,10,8,6,4}中任取两个数相除，得到的商共有多少个？(3)从a，b，c，d这四名同学中任取两名同学去参加某一活动，共有多少种不同的选法？(4)四个人互发一个电子邮件，共写了多少个电子邮件？解(1)从集合A中取出两个数后，改变两个数的顺序，其和不变．因此，此问题只与取出的对象有关，与对象的顺序无关，故是组合问题．(2)从集合A中取出两个数相除，若改变其除数、被除数的位置，其结果就不同，因此其商的值与对象的顺序有关，是排列问题．(3)由于从4名同学中取出的两名同学参加的同一项活动，没有顺序，因此是组合问题．(4)四人互发电子邮件，由于发件人与收件人是有区别的，与顺序有关，是排列问题.题型二组合数以及组合数性质的应用例2 (1)计算：C410－C37A33；(2)已知1C m5－1C m6＝710C m7，求C m8；(3)求C38－n3n＋C3n21＋n的值；(4)证明：m C m n＝n C m－1n－1.[解] (1)原式＝C410－A37＝10×9×8×74×3×2×1－7×6×5＝210－210＝0.(2)原方程可化为＝，即＝，即，即m 2－23m ＋42＝0，解得m ＝2或m ＝21(不符合题意，舍去)． ∴C m 8＝C 28＝28.即m 2－23m ＋42＝0，解得m ＝2或m ＝21(不符合题意，舍去)． ∴C m8＝C 28＝28.(3)∵⎩⎪⎨⎪⎧38－n ≤3n ，3n ≤21＋n ，∴9.5≤n ≤10.5.∵n ∈N ，∴n ＝10， ∴C 38－n3n ＋C 3n21＋n ＝C 2830＋C 3031 ＝30！28！·2！＋31！30！·1！＝466.(4)证明：m C mn ＝m ·＝n ·＝n C m －1n －1.点睛(1)像排列数公式一样，公式C m n＝一般用于计算；而公式C mn＝及C m n＝A mnA mm一般用于证明、解方程(不等式)等．(2)在解决与组合数有关的问题时，要注意隐含条件“m ≤n 且m ，n ∈N ”的运用．如本例(3)．(3)要注意公式Am n ＝C m n A m m 的逆向运用，如本例(1)中可利用“C 37A 33＝A 37”简化计算过程． (4)本例(4)所推导的结论“m C m n ＝n C m －1n －1”以及它的变形公式是非常重要的公式，应熟练掌握．[跟踪训练2] (1)①求值：C 5－n n ＋C 9－n n ＋1；②求证：C mn ＝m ＋1n －mC m ＋1n . (2)计算：①C 58＋C 98100C 77； ②C 05＋C 15＋C 25＋C 35＋C 45＋C 55； ③C nn ＋1C n －1n .解 (1)①⎩⎪⎨⎪⎧5－n ≤n ，5－n ≥0，9－n ≤n ＋1，9－n ≥0，解得4≤n ≤5.又n ∈N ，所以n ＝4或n ＝5. 当n ＝4时，原式＝C 14＋C 55＝5， 当n ＝5时，原式＝C 05＋C 46＝16.②证明：因为C mn ＝，m ＋1n －mC m ＋1n ＝＝，所以C mn ＝m ＋1n －mC m ＋1n .(2)①原式＝C 38＋C 2100×1＝8×7×63×2×1＋100×992×1＝56＋4950＝5006.②原式＝2(C 05＋C 15＋C 25)＝2(C 16＋C 25)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋5×42×1＝32.③原式＝C 1n ＋1C 1n ＝(n ＋1)n ＝n 2＋n .题型三 简单的组合问题例3 现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名． (1)从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)从中选出2名男教师或2名女教师去外地学习，有多少种不同的选法？(3)从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？[解] (1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同对象中取出2个对象的组合数，即有C 210＝10×92×1＝45种不同的选法． (2)可把问题分两类：第1类，选出2名男教师，有C 26种方法；第2类，选出2名女教师，有C 24种方法，即共有C 26＋C 24＝21种不同的选法．(3)从6名男教师中选2名的选法有C 26种，从4名女教师中选2名的选法有C 24种，根据分步乘法计数原理，共有C 26C 24＝6×52×1×4×32×1＝90种不同的选法．点睛解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于：排列问题与取出的对象之间的顺序有关，而组合问题与取出对象的顺序无关．其次要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用，在分类与分步时，一定要注意有无重复和遗漏．[跟踪训练3] 在50件产品中，有4件次品，现从中任意抽取3件． (1)“全部是合格品”的不同抽取方法共有多少种？ (2)“恰有2件次品”的不同抽取方法共有多少种？ (3)“最多有1件次品”的不同抽取方法共有多少种？ 解 在50件产品中，有4件次品，即有46件合格品．(1)抽取的3件产品“全部是合格品”，即在46件合格品中任取3件即可，有C 346＝15180种取法．(2)在46件合格品中任取1件，在4件次品中任取2件，根据分步乘法计数原理，共有C 146C 24＝276种取法．(3)分两类：第1类，抽取的3件产品中有1件次品，2件合格品，有C 14C 246种取法；第2类，抽取的3件产品全为合格品，有C 346种取法，故共有C 14C 246＋C 346＝19320种取法．1．下列问题不是组合问题的是 ( )A ．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？B ．平面上有2020个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？C ．集合{a 1，a 2，a 3，…，a n }的含有三个元素的子集有多少个？D ．从高三(19)班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？答案 D解析 组合问题与次序无关，排列问题与次序有关，D 项中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是两个不同的选法，因此是排列问题，不是组合问题，故选D.2．若C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，则n 等于( ) A ．12 B ．13 C ．14 D ．15 答案 C解析 ∵C 7n ＋1＝C 7n ＋C 8n ＝C 8n ＋1，∴n ＋1＝7＋8，∴n ＝14，故选C. 3．把三张游园票分给10个人中的3人，分法有 ( ) A ．A 310种 B ．C 310种 C ．C 310A 310种 D ．30种 答案 B解析 三张票没区别，从10人中选3人即可，即C 310，故选B. 4．若C 4n >C 6n ，则n 的集合是________． 答案 {6,7,8,9} 解析 ∵C 4n >C 6n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧C 4n >C 6n ，n ≥6⇒⇒⎩⎪⎨⎪⎧n 2－9n －10<0，n ≥6⇒⎩⎪⎨⎪⎧－1<n <10，n ≥6.∵n ∈N ，∴n ＝6,7,8,9.∴n 的集合为{6,7,8,9}．5．现有6名内科医生和4名外科医生，要组成5人医疗小组送医下乡，依下列条件各有多少种选派方法？(1)有3名内科医生和2名外科医生； (2)既有内科医生，又有外科医生．解 (1)先选内科医生有C 36种选法，再选外科医生有C 24种选法，故有C 36C 24＝120种选派方法．(2)既有内科医生，又有外科医生，正面思考应包括四种情况，内科医生选1人，2人，3人，4人，相应地，外科医生选4人，3人，2人，1人，有C 16C 44＋C 26C 34＋C 36C 24＋C 46C 14＝246种选派方法．若从反面考虑，则有C 510－C 56＝246种选派方法．A 级：“四基”巩固训练一、选择题1．已知组合数C yx ＝6，则在平面直角坐标系内以点(x ，y )为顶点的图形是 ( ) A ．三角形 B ．平行四边形 C ．梯形 D ．矩形 答案 A解析 当x ＝6，y ＝1；x ＝6，y ＝5；x ＝4，y ＝2时，C yx ＝6，所以满足题意的点有(6,1)，(6,5)，(4,2)，共3个，可构成三角形．故选A.2．从2,3，…，8中任意取三个不同的数字，组成无重复数字的三位数，要求个位数最大，百位数最小，则这样的三位数的个数为 ( )A ．35B ．42C ．105D ．210 答案 A解析 由于取出三个数字后大小次序已确定，只需把最小的数字放在百位，最大的数字放在个位，剩下的数字放在十位，因此满足条件的三位数的个数为C 37＝7×6×53×2×1＝35.3．从6名男生和3名女生中选出4名代表，其中必须有女生，则不同的选法种数为( ) A ．168 B ．45 C ．60 D ．111 答案 D解析 选出的代表中女生有1,2,3名时，男生相应有3,2,1名，则不同的选法种数为C 13C 36＋C 23C 26＋C 33C 16＝111.4．C 03＋C 14＋C 25＋C 36＋…＋C 20192022＝( )A ．C 22020B ．C 32021 C ．C 32022D ．C 42023 答案 D解析 原式＝C 04＋C 14＋C 25＋C 36＋…＋C 20192022＝C 15＋C 25＋C 36＋…＋C 20192022＝C 26＋C 36＋…＋C 20192022＝…＝C 20182022＋C 20192022＝C 20192023＝C 42023.故选D.5．(多选)以下四个式子正确的是( ) A ．C m n＝A mn m ！B ．A m n ＝n A m －1n －1C ．C m n ÷C m ＋1n ＝m ＋1n －m D ．C m ＋1n ＋1＝n ＋1m ＋1C m n 答案 ABCD解析 对于A ，显然成立；对于B ，A m n ＝n (n －1)(n －2)·…·(n －m ＋1)，A m －1n －1＝(n －1)(n－2)…(n －m ＋1)，所以A mn ＝n A m －1n －1，故B 成立；对于C ，C mn ÷Cm ＋1n＝C mnC m ＋1n＝＝m ＋1n －m，故C 成立；对于D ，C m ＋1n ＋1＝＝＝n ＋1m ＋1C mn ，故D 成立．故选ABCD. 二、填空题6．设集合A ＝{a 1，a 2，a 3，a 4，a 5}，则集合A 的含有3个元素的子集共有________个． 答案 10解析 从5个元素中取出3个元素组成一组就是集合A 的子集，则共有C 35＝10个子集． 7．若A 3m ＝6C 4m ，则m 的值为________． 答案 7解析 由A 3m ＝6C 4m ，得＝6·，即1m －3＝14，解得m ＝7.8．7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种(用数字作答)．答案 140解析 第一步，从7名志愿者中选出3人在周六参加社区公益活动，有C 37种不同的选法；第二步，从余下的4人中选出3人在周日参加社区公益活动，有C 34种不同的选法．根据分步乘法计数原理，共有C 37C 34＝140种不同的安排方案． 三、解答题9．有两组平行线，第一组平行线有5条，第二组平行线有6条，第一组平行线与第二组平行线相交，问这两组平行线能构成多少个平行四边形？解 每一个平行四边形有两组对边平行，即两组对边平行的一个组合对应于一个平行四边形．而两组对边平行的组合数为C 25C 26＝150.因此能构成150个平行四边形．10．(1)解方程：3C x －7x －3＝5A 2x －4； (2)解不等式：2C x －2x ＋1<3C x －1x ＋1；(3)计算C 3n13＋n ＋C 3n －112＋n ＋C 3n －211＋n ＋…＋C 17－n 2n . 解 (1)由排列数和组合数公式，原方程可化为即(x －3)(x －6)＝40.∴x 2－9x －22＝0，解得x ＝11或x ＝－2.经检验知x ＝11是原方程的根，x ＝－2是原方程的增根． ∴方程的根为x ＝11.(2)∵2C x －2x ＋1<3C x －1x ＋1，∴2C 3x ＋1<3C 2x ＋1，∴x －13<32，∴x <112， ∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥3，x ＋1≥2，∴x ≥2，∴2≤x <112，又x ∈N *，∴x ＝2,3,4,5.∴不等式的解集为{2,3,4,5}．(3)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧3n ≤13＋n ，17－n ≤2n ，解得173≤n ≤132，又n ∈N *，故n ＝6.∴原式＝C 1819＋C 1718＋C 1617＋…＋C 1112＝C 119＋C 118＋C 117＋…＋C 112＝19＋18＋17＋…＋12＝124.B 级：“四能”提升训练1．(1)设x ∈N *，求C x －12x －3＋C 2x －3x ＋1的值； (2)解不等式：C x －420＜C x －220＜C x20.解 (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －3≥x －1，x ＋1≥2x －3，解得2≤x ≤4， ∵x ∈N *，∴x ＝2或x ＝3或x ＝4，当x ＝2时，原式值为4；当x ＝3时，原式值为7；当x ＝4时，原式值为11.∴所求式的值为4或7或11.(2)原不等式可化为又x ∈N *且x ≥4，∴x ＝4,5,6,7,8,9,10.∴原不等式的解集是{4,5,6,7,8,9,10}．2．某市工商局对35种商品进行抽样检查，鉴定结果有15种假货，现从35种商品中选取3种．(1)恰有2种假货在内的不同取法有多少种？(2)至少有2种假货在内的不同取法有多少种？(3)至多有2种假货在内的不同取法有多少种？解 (1)从20种真货中选取1种，从15种假货中选取2种，有C 120C 215＝2100种． 所以恰有2种假货在内的不同取法有2100种．(2)选取2种假货有C 120C 215种，选取3种假货有C 315种，共有选取方法C 120C 215＋C 315＝2555种． 所以至少有2种假货在内的不同取法有2555种．(3)选取3种商品的种数为C 335，选取3种假货的种数为C 315，所以至多有2种假货在内的不同取法有C 335－C 315＝6090种．。

《排列与组合》的说课稿引言概述：排列与组合是数学中重要的概念，它们在各个领域都有着广泛的应用。

通过排列与组合的学习，可以帮助我们解决各种实际问题，提高我们的逻辑思维能力和数学素养。

本文将从排列与组合的定义、性质、应用等方面进行详细阐述。

一、排列的概念1.1 排列的定义：排列是指从给定的元素中按照一定的顺序选取若干个元素进行排列的方式。

1.2 排列的计算公式：排列的计算公式为A(n,m)=n!/(n-m)!，其中n表示总元素个数，m表示选取的元素个数。

1.3 排列的性质：排列的个数随着元素个数和选取个数的增加而增加，排列的顺序不同则视为不同的排列。

二、组合的概念2.1 组合的定义：组合是指从给定的元素中按照一定的规则选取若干个元素进行组合的方式。

2.2 组合的计算公式：组合的计算公式为C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)，其中n表示总元素个数，m表示选取的元素个数。

2.3 组合的性质：组合的个数不受元素的排列顺序影响，组合的个数随着选取的元素个数的增加而减少。

三、排列组合的应用3.1 排列组合在概率统计中的应用：排列组合可以帮助我们计算事件发生的可能性，从而进行概率统计的分析。

3.2 排列组合在密码学中的应用：排列组合可以帮助我们设计安全的密码算法，保护信息的安全性。

3.3 排列组合在工程设计中的应用：排列组合可以帮助我们设计出更加合理的工程结构，提高工程的效率和可靠性。

四、排列组合的解题方法4.1 利用计算公式：根据排列组合的计算公式，可以直接计算出排列组合的个数。

4.2 利用递推关系：通过递推关系可以简化排列组合的计算过程，提高解题效率。

4.3 利用实际问题进行练习：通过解决实际问题，可以更好地理解排列组合的概念和应用。

五、总结排列与组合作为数学中的重要概念，具有广泛的应用价值。

通过学习排列与组合，可以提高我们的逻辑思维能力和解决问题的能力，为我们的学习和工作带来更多的帮助。

希望大家能够认真学习排列与组合的知识，不断提升自己的数学素养。

排列与组合及其综合运用班级__________姓名__________一、知识点一：两个基本原理加法原理：做一件事，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有N ＝m 1十m 2十…十m n 种不同的方法．乘法原理：做一件事，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有N ＝m 1 m 2…m n 种不同的方法．例1．书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书．（1）从中任取一本，有多少种不同的取法？（2）从中任取数学书与语文书各一本，有多少的取法？ 解：（1）从书架上任取一本书，有两类办法：第一类办法是从上层取数学书，可以从6本书中任取一本，有6种方法； 第二类办法是从下层取语文书，可以从5本书中任取一本，有5种方法． 根据加法原理，得到不同的取法的种数是6十5=11． 答：从书架上任取一本书，有11种不同的取法．（2）从书架上任取数学书与语文书各一本，可以分成两个步骤完成：第一步取一本数学书，有6种方法； 第二步取一本语文书，有5种方法．根据乘法原理，得到不同的取法的种数是N ＝6 5＝30． 答：从书架上取数学书与语文书各一本，有30种不同的方法．练习：一同学有4枚明朝不同古币和6枚清朝不同古币；（1）从中任取一枚，有多少种不同取法？（2）从中任取明清古币各一枚，有多少种不同取法？例2．（1）由数字l ，2，3，4，5可以组成多少个数字允许重复三位数？（2）由数字l ，2，3，4，5可以组成多少个数字不允许重复三位数？ （3）由数字0，l ，2，3，4，5可以组成多少个数字不允许重复三位数？ 解：要组成一个三位数可以分成三个步骤完成：第一步确定百位上的数字，从5个数字中任选一个数字，共有5种选法； 第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，这只有5种选法；第三步确定个位上的数字，同理，它也有5种选法．根据乘法原理，得到可以组成的三位数的个数是N=5⨯5⨯5=125．答：可以组成125个三位数．练习：1．从甲地到乙地有2条陆路可走，从乙地到丙地有3条陆路可走，又从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走．（1）从甲地经乙地到丙地有多少种不同的走法？（2）从甲地到丙地共有多少种不同的走法？2．一名儿童做加法游戏．在一个红口袋中装着20张分别标有数1、2、...、19、20的红卡片，从中任抽一张，把上面的数作为被加数；在另一个黄口袋中装着10张分别标有数1、2、 (9)10的黄卡片，从中任抽一张，把上面的数作为加数．这名儿童一共可以列出多少个加法式子？3．由0－9这10个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？小结1：要解决某个此类问题，首先要判断是分类，还是分步？分类时用加法，分步时用乘法；其次要注意怎样分类和分步，以后会进一步学习．练习1．在读书活动中，一个学生要从2本科技书、2本政治书、3本文艺书里任选一本，共有多少种不同的选法？2．乘积（a1+a2+a3）（b1+b2+b3+b4）（c1+c2+c3+c4+c5）展开后共有多少项？3．从甲地到乙地有2条路可通，从乙地到丙地有3条路可通；从甲地到丁地有4条路可通，从丁地到丙地有2条路可通．从甲地到丙地共有多少种不同的走法？4．一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同；（1）从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？（2）从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？二、知识点二：排列基本概念一<)个元素（这里的被取元素各不相同）按照一．什么叫排列？从n个不同元素中，任取m(m n定的顺序．．．．．．．．．排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列什么叫不同的排列？元素和顺序至少有一个不同．什么叫相同的排列？元素和顺序都相同的排列．例3．由数字1、2、3、4可以组成多少个无重复数字的三位数？练习：已知a 、b 、c 、d 四个元素；①写出每次取出3个元素的所有排列；②写出每次取出4个元素的所有排列．基本概念二定义：从n 个不同元素中，任取m (m n ≤)个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m元素的排列数，用符号mn A 表示．（人教版教材用m n P ）．排列数公式：(1)(2)(1)mn A n n n n m =---+ 或!()!m nn A n m =-．1n A =__________；2n A =__________；3n A =__________；4n A =__________；计算：25A =__________；45A =__________； 42882A A -=__________；812712A A =__________．例4．（1）7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？解：问题可以看作：7个元素的全排列——77A ＝5040（2）7位同学站成两排（前3后4），共有多少种不同的排法？ 解：根据分步计数原理：7×6×5×4×3×2×1＝7！＝5040（3）7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？解：问题可以看作：余下的6个元素的全排列即66A =720（4）7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？解：根据分步计数原理：第一步，甲、乙站在两端有22A 种；第二步，余下的5名同学进行全排列有55A 种；则共有22A 55A =240种排列方法（5）7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？解法一（直接法）：第一步，从（除去甲、乙）其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有25A 种方法；第二步，从余下的5位同学中选5位进行排列（全排列）有55A 种方法， 所以一共有25A 55A ＝2400种排列方法．解法二：（排除法）若甲站在排头有66A 种方法；若乙站在排尾有66A 种方法；若甲站在排头且乙站在排尾则有55A 种方法．所以甲不能站在排头，乙不能排在排尾的排法共有： 77A －662A ＋55A =2400种． 小结2：对于“在”与“不在”的问题，常用“直接法”或“排除法”，特殊元素可以优先考虑．例5．7位同学站成一排；（1）甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？解：先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素（同学）一起进行全排列有66A 种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有22A 种方法． 所以，这样的排法一共有：66A 22A ＝1440．（2）甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？解：方法同上，一共有55A 33A ＝720种． （3）甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？解法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能 站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有25A 种方法；将剩下的4个元素进行全排列有44A 种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有22A 种方法．所以这样的排法一共有25A 44A 22A ＝960种方法．解法二：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，若丙站在排头或排尾有255A 种方法，故丙不能站在排头和排尾的排法有652652(2)960A A A -⋅=种方法．解法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有14A 种方法，再将其余的5个元素 进行全排列共有55A 种方法，最后将甲、乙两同学“松绑”，所以这样的排法一共有 14A 55A 22A ＝960种方法．小结3：对于相邻问题，常用“捆绑法”（先捆后松）．例6：7位同学站成一排．（1）甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？解法一：（排除法）7627623600A A A -⋅=．解法二：（插空法）先将其余五个同学排好有55A 种方法，此时他们留下六个位置（就称为“空”），再将甲、乙同学分别插入这六个位置（空）有26A 种方法，所以一共有52563600A A =种方法．（2）甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？解：先将其余四个同学排好有44A 种方法，此时他们留下五个“空”，再将甲、乙和丙三个同学 分别插入这五个“空”有35A 种方法，所以一共有44A 35A ＝1440种． 小结4：对于不相邻问题，常用“插空法”（特殊元素后考虑）． 练习：1．从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单，如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二 个节目的位置上，则共有多少种不同的排法？解法一：（从特殊位置考虑）1599136080A A =．解法二：（从特殊元素考虑）若选：595A ⋅；若不选：69A ；则共有：595A ⋅＋69A ＝136080．解法三：（间接法）65109A A -=136080．2．（1）八个人排成前后两排，每排四人，其中甲、乙要排在前排，丙要排在后排，则共有多少种不同的排法？略解：甲、乙排在前排24A ；丙排在后排14A ；其余进行全排列55A ，所以一共有24A 14A 55A ＝5760种方法． （2）不同的五种商品在货架上排成一排，其中a ，b 两种商品必须排在一起，而c ，d 两种商品不排在一起，则不同的排法共有多少种？略解：（“捆绑法”和“插空法”的综合应用）a ，b 捆在一起与e 进行排列有22A ；此时留下三个空，将c ，d 两种商品排进去一共有23A ；最后将a ，b “松绑”有22A ．所以一共有22A 23A 22A ＝24种方法．（3）6张同排连号的电影票，分给3名教师与3名学生，若要求师生相间而坐，则不同的坐法有多少种？略解：（分类）若第一个为老师则有：33A 33A ；若第一个为学生则有33A 33A ，所以一共有233A 33A ＝72种方法．3．（1）由数字1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字的正整数？略解：1234555555325A A A A A ++++=（2）由数字1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字，并且比13 000大的正整数？解法一：分成两类，一类是首位为1时，十位必须大于等于3有1333A A 种方法；另一类是首位不为1，有1444A A 种方法．所以一共有1333A A 1444114A A +=个数比13 000大． 解法二：（排除法）比13 000小的正整数有33A 个，所以比13 000大的正整数有55A -33A ＝114个． 4．用1，3，6，7，8，9组成无重复数字的四位数，由小到大排列； （1）第114个数是多少？（2）3 796是第几个数？解：（1）因为千位数是1的四位数一共有3560A =个，所以第114个数的千位数应该是“3”，十位 数字是“1”即“31”开头的四位数有2412A =个；同理，以“36”、“37”、“38”开头的数 也分别有12个，所以第114个数的前两位数必然是“39”，而“3 968”排在第6个位置 上，所以“3 968”是第114个数．（2）由上可知“37”开头的数的前面有60＋12＋12＝84个，而3 796在“37”开头的四位数中排在第11个（倒数第二个），故3 796是第95个数．5．用0，1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，其中：（1）能被25整除的数有多少个？（2）十位数字比个位数字大的有多少个？解：（1）能被25整除的四位数的末两位只能为25，50两种，末尾为50的四位数有24A 个，末尾为25的有1133A A 个，所以一共有24A ＋1133A A ＝21个．注：能被25整除的四位数的末两位只能为25，50，75，00四种情况．（2）用0，1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，共有1355300A A =个．因为在这300个数中，十位数字与个位数字的大小关系是“等可能的．．．．”，故十位数字比个位大的有135511502A A =个．三、知识点三：组合基本概念一什么叫组合？一般地，从n 个不同元素中取出m （m n <）个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．注：1．不同元素；2．“只取不排”——无序性；3．相同组合：元素相同． 例如：判断下列问题哪个是排列问题哪个是组合问题：（1）从A 、B 、C 、D 四个景点选出2个进行游览；（组合）（2）从甲、乙、丙、丁四个学生中选出2个人担任班长和团支部书记．（排列） 基本概念二从n 个不同元素中取出m （m n <）个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号mn C 表示．例如：从3个同学选出2名同学的组合可以为：甲乙，甲丙，乙丙．即有233C =种组合．又如：从A 、B 、C 、D 四个景点选出2个进行游览的组合：AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ；一共6种组合，即：246C =．注意：要解决的是排列问题还是组合问题，关键是看是否与顺序有关．组合数公式：(1)(2)(1)!mmn nm m A n n n n m C m A ---+== 或!!()!m n n C m n m =-(,,)n m N m n *∈≤且． 练习：1．计算：①47C =__________；②710C =__________．2．求证：11m m n nm C C n m ++=⋅-． 3．设,x N +∈，求123231x x x x C C ---++的值．解：由题意可得：231123x x x x -≥-⎧⎨+≥-⎩，即：2≤x ≤4；∵*x N ∈，∴x =2或3或4； 检验：当x =2时原式值为7；当x =3时原式值为7；当x =2时原式值为11； ∴所求值为4或7或11．例7．6本不同的书分给甲、乙、丙3同学，每人各得2本，有多少种不同的分法？略解：22264290C C C ⋅⋅=．例8．4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人实践活动小组，问组成方法共有多少种？解法一：（直接法）小组构成有三种情形：3男，2男1女，1男2女，分别有34C ，2146C C ⋅， 1246C C ⋅，所以一共有34C +2146C C ⋅+1246c C ⋅＝100种方法．解法二：（间接法）33106100C C -=．四、知识点四：组合数的性质1．组合数 性质1：m n mn nC C -=． 理解：一般地，从n 个不同元素中取出m 个元素后，剩下n - m 个元素．因为从n 个不同元素中取出m 个元素的每一个组合，与剩下的n - m 个元素的每一个组合一一对应．．．．，所以从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，等于从这n 个元素中取出n - m 个元素的组合数，即：m n mn nC C -=．在这里，我们主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想． 注：1︒ 规定：01n C =；2︒ 等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标； 3︒ 此性质作用：当2n m >时，计算m n C 可变为计算n mn C -，能够使运算简化． 4︒ xy n n C C =x y ⇒=或x y n += 2．组合数 性质2：1m n C +＝m n C +1m n C -． 练习：①计算：34567789C C C C +++； ②求证：2n m C +＝n m C +12n m C -+2n m C -； ③解方程：1231313x x C C +-=； ④解方程：233223110x x x x x C C A --++++=； ⑤计算：0123444444C C C C C ++++和012345555555C C C C C C +++++； 推广：01212n nn n n n n n C C C C C -+++++= ．3．组合数性质的简单应用：证明下列等式成立：①11231k k k k k k n n n k k n C C C C C C +---++++++= ； ②1121k k k k k k k k k n n k C C C C C ++++++++++= ；③1230123()2n n n n n n n n n nC C C nC C C C ++++=+++ ．例9．100件产品中有合格品90件，次品10件，现从中抽取4件检查；（1）都不是次品的取法有多少种？ （2）至少有1件次品的取法有多少种？ （3）不都是次品的取法有多少种？解：（1）4902555190C =；（2）44132231410090109010901090101366035C C C C C C C C C -=+++=； （3）44132231410010901090109010903921015C C C C C C C C C -=+++=．例10．从编号为1，2，3，…，10，11的共11个球中，取出5个球，使得这5个球的编号之和为奇数，则一共有多少种不同的取法？解：分为三类：1奇4偶有1465C C ；3奇2偶有3265C C ；5奇1偶有56C ； 所以一共有1465C C +3265C C +56236C =． 例11．现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作；有4名青年能胜任德语翻译工作（其中有1名青年两项工作都能胜任），现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英 语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？解：我们可以分为三类：① 让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作，有2243C C ； ② 让两项工作都能担任的青年从事德语翻译工作，有3143C C ； ③ 让两项工作都能担任的青年不从事任何工作，有3243C C ． 所以一共有2243C C +3143C C +3243C C ＝42种方法．例12．甲、乙、丙三人值周，从周一至周六，每人值两天，但甲不值周一，乙不值周六，问可以排出多少种不同的值周表？解法一：（排除法）221211645443242C C C C C C -+=．解法二：分为两类：一类为甲不值周一，也不值周六，有1244C C ；另一类为甲不值周一，但值周六，有2243C C ．所以一共有1244C C +2243C C ＝42种方法．例13．6本不同的书全部送给5人，每人至少1本，有多少种不同的送书方法？解：第一步从6本不同的书中任取2本“捆绑”在一起看成一个元素有26C 种方法；第二步将5个“不同元素（书）”分给5个人有55A 种方法． 根据分步计数原理，一共有26C 55A ＝1800种方法．例14．6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：（1）分给甲、乙、丙三人，每人两本； （2）分为三份，每份两本；（3）分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；（4）分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本； （5）分给甲、乙、丙三人，每人至少一本．解：（1）根据分步计数原理得到：22264290C C C =种．（2）分给甲、乙、丙三人，每人两本有222642C C C 种方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有x 种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有33A 种方法．根据分步计数原理可得：22236423C C C xC=，所以2226423315C C C x A ==． 因此分为三份，每份两本一共有15种方法．注：本题是分组中的“均匀分组．．．．”问题． （3）这是“不均匀分组”问题，一共有12365360C C C =种方法．（4）在（3）的基础上在进行全排列，所以一共有12336533360C C C A =种方法．（5）可以分为三类情况：①“2、2、2型”即（1）中的分配情况，有22264290C C C =种方法；②“1、2、3型”即（4）中的分配情况，有12336533360C C C A =种方法； ③“1、1、4型”，有436390C A =种方法．所以一共有90+360+90＝540种方法．例15．身高互不相同的7名运动员站成一排，甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列且互不相邻的排法有多少种？解：（插空法）现将其余4个同学进行全排列一共有44A 种方法，再将甲、乙、丙三名同学插入5个空位置中（但无需要进行排列）有35C 种方法．根据分步计数原理，一共有44A 35C ＝240种方法．例16．（1）四个不同的小球放入四个不同的盒中，一共有多少种不同的放法？（2）四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空盒的放法有多少种？ 解：（1）根据分步计数原理：一共有44256=种方法．（2）（捆绑法）第一步从四个不同的小球中任取两个“捆绑”在一起看成一个元素有24C 种方法，第二步从四个不同的盒取其中的三个将球放入有34A 种方法； 所以一共有24C 34A ＝144种方法．例17．马路上有编号为1，2，3，…，10的十盏路灯，为节约用电又不影响照明，可以把其中3盏灯关掉，但不可以同时关掉相邻的两盏或三盏，在两端的灯都不能关掉的情况下，有多 少种不同的关灯方法？解：（插空法）本题等价于在7只亮着的路灯之间的6个空档中插入3只熄掉的灯，故所求方法总数为3620C =种方法．例18．九张卡片分别写着数字0，1，2，…，8，从中取出三张排成一排组成一个三位数，如果6可以当作9使用，问可以组成多少个三位数？解：可以分为两类情况：① 若取出6，则有211182772()A C C C +种方法；②若不取6，则有1277C A 种方法．根据分类计数原理，一共有211182772()A C C C ++1277C A ＝602种方法．。

高三数学书下册知识点1. 函数和方程1.1 一次函数- 定义：一次函数是指函数的表达式中，最高次项的次数为1 的函数。

- 求解一次函数的方法：可以使用斜率和截距，或者利用函数的性质求解。

1.2 二次函数- 定义：二次函数是指函数的表达式中，最高次项的次数为2 的函数。

- 求解二次函数的方法：可以使用二次函数的顶点、凹凸性质、图像关于 x 轴或 y 轴的对称关系等方法进行求解。

1.3 复合函数- 定义：复合函数是由两个函数组合而成的函数。

- 求解复合函数的方法：可以通过求解两个函数的值进行组合计算。

1.4 方程的解- 定义：方程是将两个表达式相等的等式。

- 求解方程的方法：可以使用代入法、消元法、配方法等方法进行求解。

2. 三角函数2.1 正弦函数- 定义：正弦函数是一个周期为2π 的函数，表示一个直角三角形中，斜边与对边的比值。

- 正弦函数的性质：周期性、奇偶性、在特定区间上的增减性。

2.2 余弦函数- 定义：余弦函数是一个周期为2π 的函数，表示一个直角三角形中，斜边与邻边的比值。

- 余弦函数的性质：周期性、偶数性、在特定区间上的增减性。

2.3 正切函数- 定义：正切函数是一个周期为π 的函数，表示一个直角三角形中，对边与邻边的比值。

- 正切函数的性质：周期性、奇偶性、在特定区间上的增减性。

2.4 三角函数的应用- 三角函数在几何、物理、工程等领域有着广泛的应用，例如测量、振动和波动等问题。

3. 排列组合与概率3.1 排列与组合- 排列的定义：从 n 个不同元素中取出 m 个元素进行有序排列的个数。

- 组合的定义：从 n 个不同元素中取出 m 个元素进行无序排列的个数。

- 排列的计算公式：P(n, m) = n! / (n - m)!- 组合的计算公式：C(n, m) = n! / (m! * (n - m)!)3.2 概率- 概率的定义：指事件发生的可能性。

- 概率的计算：根据事件发生的可能性和总体样本空间的大小进行计算。

排列与组合问题的应用与分析摘要:排列与组合问题是高考常考题型,明确分类与分步，辨别有序与无序以及元素与位置的区别，灵活应用各种方法，是正确有效解决问题的关键.关键词：排列与组合，分类与帆布，有序与无序，元素与位置，方法1. 引言与约定1.1 引言排列与组合问题是高中数学教学中的一个重要部分，也是高考常考题型。

其中，明确问题是分类还是分布，辨别其中的元素排列是有序还是无序，界定事物是元素还是位置，对于正确解答问题相当重要；而灵活运用各种思想方法，如“分类讨论思想”“等价转化思想”“捆绑法"“插空法”“插板法”,能使得问题解答得更快速便捷；直接法与间接法的正确运用，也能使疑难迎刃而解。

1.2 约定m n A =!!m n =n*（n-1)＊（n —2）*…＊(n —m+1） mn C =m m m n A A =n ＊（n-1)＊(n-2)*…＊（n —m+1）m!=n!m!（n —m)！2. 基本概念和原理两个基本原理（1） 分类基数原理 做一件事，完成它可以有n 类方法,在第一类办法中有m1种不同的方法，在二类办法种有m2种不同方法，…，在n 类办法中有nm 种不同办法,那么完成这件事共有N=n m m m+++ 21种不同的方法. （2） 分布计数原理做一件事，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有m1种不同方法，做第二有m2种不同方法，……，做第n 步有nm 种不同的方法。

3. 排列组合问题中须明确区别的几个常见问题、解题步骤及解题方法3.1 须明确区别的几个问题3.1.1 分类与分布（1）分类：“做一件事，完成它可以有n 类方法” 复杂事件A 的排列与组合问题，需要对A 在一个标准下分类讨论，把A 分解为n 类简单问事件A1,A2，A3，…,An 。

分类的原则是:A=nA A A ⋃⋃⋃ 21 Ai ⋂Aj =Φ(i ≠j ，i 。

j=1,2，…，n ）.在这样的原则下对事件A分类，能够确保使分类不重不漏，把A 分为A1、A2、…、An 的同时,对应的办法S 也随之被分为n 类办法S1,S2，…,Sn且S=S1∪S2∪…∪Sn ，Si ∩Sj ≠φ (i ≠j ，i 。

第三章排列、组合与二项式定理3.1 排列与组合3.1.1基本计数原理基础过关练题组一分类加法计数原理1.(2020陕西西安高二期末)已知完成一项工作可以有两种方法,有5个人只会用第一种方法,另外有4个人只会用第二种方法,从这9个人中选出1个人完成这项工作,则不同的选法共有 ()A.5种B.4种C.9种D.20种2.(2020重庆八中高二月考)小王有70元钱,现有面值分别为20元和30元的两种IC电话卡.若他至少买一张,则不同的买法共有()A.7种B.8种C.6种D.9种3.(2019天津宝坻高二下学期期中)用1,3,5,7中的任意一个数作分子,2,4,8,9中的任意一个数作分母,可构成真分数的个数为()A.8B.9C.10D.114.(2019辽宁大连第二十四中学高二期中)一个三层书架,分别放置各不相同的语文书12本,数学书14本,英语书11本,从中任取一本,则不同的取法有种.(用数字作答)题组二分步乘法计数原理5.(2021山东济南长清高二月考)为响应国家“节约粮食”的号召,某同学决定在学校食堂提供的2种主食、3种素菜、2种大荤、4种小荤中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食,并在用餐时积极践行“光盘行动”,则不同的选取方法有()A.48种B.36种C.24种D.12种6.(2021广东揭阳高三一模)某学校有东、南、西、北四个校门,受新冠肺炎疫情的影响,学校作出如下规定:学生只能从东门或西门进入校园,教师只能从南门或北门进入校园.现有2名教师和3名学生要进入校园(不分先后顺序),则他们进入校园的方式共有()A.6种B.12种C.24种D.32种7.如图,在由电键组A与B组成的串联电路(规定每组电键只能合上其中的一个电键)中,接通电源使灯泡发光的方法有种.8.(2019辽宁本溪高二期中)用5种不同的颜色,给图中的(1)(2)(3)(4)的各部分涂色,规定每部分只涂1种颜色,相邻部分涂不同颜色,则涂色方法共有种.题组三基本计数原理的应用9.(2019北师大附中高二期中)已知集合M={-2,3},N={-4,5,6},依次从集合M,N中各取出一个数分别作为点P的横坐标和纵坐标,则在平面直角坐标系中,位于第一、二象限内的点P的个数是 ()A.4B.5C.6D.710.芳芳同学有4件不同颜色的上衣,3件不同花样的半身裙,另有两套不同样式的连衣裙.“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出,则芳芳同学不同的选择方式的种数为()A.24B.14C.10D.911.(2020浙江杭州高考模拟)某超市内一排共有6个收费通道,每个通道处有a、b两个收费点,根据每天的人流量,超市准备周一开通其中的3处通道,要求3处通道互不相邻,且每个通道至少开通一个收费点,则周一这天超市开通收费通道的安排方式共有种. 12.现某学校共有34人自愿组成数学建模社团,其中高一年级13人,高二年级12人,高三年级9人.(1)选其中一人为负责人,共有多少种不同的选法?(2)每个年级选一名组长,有多少种不同的选法?(3)选两人作为社团发言人,这两人需要来自不同的年级,有多少种不同的选法?能力提升练题组一基本计数原理的综合应用1.(2019辽宁省实验中学高三月考,)高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参观学习,去哪个工厂可以自由选择,甲工厂必须有班级要去,则不同的参观方案有()A.16种B.18种C.37种D.48种2.(2019安徽合肥一中高考模拟,)某电商为某次活动设计了“和谐”“爱国”“敬业”三种红包,活动规定每人可以依次点击4次,每次都会获得三种红包中的一种,若集全三种即可获奖,但三种红包出现的顺序不同对应的奖次也不同.员工甲按规定依次点击了4次,直到第4次才获奖,则他获得奖次的不同情形种数为 ()A.9B.12C.18D.243.(2019上海位育中学高二期末,)已知△ABC三边a,b,c的长都是整数,且a≤b≤c,如果b=25,则符合条件的三角形的个数是( )A.124B.225C.300D.3254.(多选)(2020北京第六十六中学高二上期中,)某校实行选课走班制度,张毅同学选择的是地理、生物、政治这三科,且生物在B层,该校周一上午选课走班的课程安排如下表所示,张毅选择的三个科目的课各上一节,另外一节上自习,则下列说法正确的是() 第1节第2节第3节第4节地理1班化学A层3班地理2班化学A层4班生物A层1班化学B层2班生物B层2班历史B层1班物理A层1班生物A层3班物理A层2班生物A层4班物理B层2班生物B层1班物理B层1班物理A层4班政治1班物理A层3班政治2班政治3班A.此人有4种选课方式B.此人有5种选课方式C.自习不可能安排在第2节D.自习可安排在4节课中的任一节5.(2019安徽巢湖高二期末,)现有5种不同的颜色,给如图所示的几何体的五个顶点P,A,B,C,D涂色,要求同一条棱上的两个顶点颜色不能相同,则不同的涂色方法有()A.240种B.360种C.420种D.480种6.(2021河南洛阳一高高二期中,)假设今天是4月23日,某市未来六天的空气质量预报情况如下表所示.该市甲、乙、丙三人计划在未来六天(4月24日~4月29日)内任选一天出游,甲只选择空气质量为优的一天出游,乙不选择周一出游,丙不选择明天出游,且甲与乙不选择同一天出游,则这三人出游的不同选择种数为.周五周六周日周一周二周三4月24日4月25日4月26日4月27日4月28日4月29日优优优优良良7.(2021安徽合肥高二段考,)某玩具厂参加2020年邯郸园博园产品展出,带了四款不同类型不同价格的玩具牛,它们的价格(单位:元)分别是20,30,50,100,某礼品进货商想趁牛年之际搞一个玩具特卖会,准备买若干款不同类型的玩具样品(每款只购一只,且必须至少买一款),由于信用卡出现故障,身上现金只剩170元,请问该礼品进货商购买玩具样品的方案有种.(用数字作答)8.(2020重庆高考模拟调研,)有4个不同的奇数,5个不同的偶数,现从中依次任取3个数,分别记为a,b,c,则使ab+c为奇数的不同取法共有种.题组二计数原理的创新应用9.(2020辽宁沈阳高三期末,)中国古代十进制的算筹计数法,在数学史上是一个伟大的创造,算筹实际上是一根根同长短的小木棍.如图是利用算筹表示1~9的一种方法,则据此,3可表示为“≡”,26可表示为“=⊥”.现有6根算筹,据此表示方法,若算筹不能剩余,则可以表示的两位数的个数为()A.9B.13C.16D.1810.(2020山东潍坊高考模拟,)如果一个三位数abc同时满足a>b 且b<c,则称该三位数为“凹数”,那么所有不同的三位“凹数”的个数是.11.(2021内蒙古呼和浩特高三一模,)中国象棋中棋子“马”的走法规则是走“日”字的对角线,如图(图中楚河汉界处的“日”字没有画出),“马”从点A处走出一步,只能到达点B,C,D中的一处.则“马”从点A出发到达对方“帅”所在的P处,最少的步数是.答案全解全析基础过关练1.C 会用第一种方法的有5个人,选出1个人完成这项工作有5种选法;会用第二种方法的有4个人,选出1个人完成这项工作有4种选法.由分类加法计数原理知,共有9种不同的选法,故选C.2.A 要完成的一件事是“至少买一张IC 电话卡”,分三类完成:买1张IC 电话卡,买2张IC 电话卡,买3张IC 电话卡,而每一类都能独立完成“至少买一张IC 电话卡”这件事.买1张IC 电话卡有2种方法,即买一张20元面值的或买一张30元面值的;买2张IC 电话卡有3种方法,即买两张20元面值的或买两张30元面值的或20元面值的和30元面值的各买一张;买3张IC 电话卡有2种方法,即买两张20元面值的和一张30元面值的或买3张20元面值的.故共有2+3+2=7种不同的买法.3.D 分四种情况:(1)当分子为1时,有12,14,18,19,共4个真分数;(2)当分子为3时,有34,38,39=13,共3个真分数;(3)当分子为5时,有58,59,共2个真分数;(4)当分子为7时,有78,79,共2个真分数.由分类加法计数原理知,可构成真分数的个数为4+3+2+2=11.故选D .4.答案 37解析 一个三层书架,分别放置各不相同的语文书12本,数学书14本,英语书11本,从中任取一本,由分类加法计数原理可知,不同的取法有12+14+11=37(种),故答案为37.5.B 由题意可知,分三步完成:第一步,从2种主食中任选一种有2种选法;第二步,从3种素菜中任选一种有3种选法;第三步,从6种荤菜中任选一种有6种选法.由分步乘法计数原理可知,共有2×3×6=36种不同的选取方法,故选B.6.D因为学生只能从东门或西门进入校园,所以3名学生进入校园的方式共有23=8(种).因为教师只能从南门或北门进入校园,所以2名教师进入校园的方式共有22=4(种).所以他们进入校园的方式共有8×4=32(种).故选D.7.答案 6解析要完成的“一件事”是“使灯泡发光”,只有先合上A组中2个电键中的任意一个,再合上B组中3个电键中的任意一个时,接通电源,灯泡才能发光.因此要完成这件事,需要分步,只有各个步骤都完成才能使灯泡发光,所以接通电源使灯泡发光的方法有2×3=6(种).8.答案240解析先涂(3)有5种涂法,再涂(2)有4种涂法,然后涂(1)有3种涂法,最后涂(4)有4种涂法,所以共有5×4×3×4=240种涂色方法. 9.A要使得点P在平面直角坐标系中位于第一、二象限内,且集合M 中的元素作为点P的横坐标,N中的元素作为点P的纵坐标,则在第一象限的点共有1×2=2(个);在第二象限的点共有1×2=2(个).由分类加法计数原理可得满足题意的点P的个数为2+2=4,故选A.10.B根据题目信息可知需要分两类:第一类是穿上衣和半身裙:分两步,上衣有4种选择,半身裙有3种选择,共有4×3=12种选择方式;第二类是穿连衣裙,有2种选择方式.故共有12+2=14种选择方式.故选B.11.答案108解析将6个收费通道依次编号为1,2,3,4,5,6,从中选择3个互不相邻的通道,有135,136,146,246,共4种不同的选法.对于每个通道,至少开通一个收费点,即只开通a收费点,只开通b收费点,同时开通两个收费点,共3种不同的安排方式.由分步乘法计数原理,可得周一这天超市开通收费通道的安排方式共有4×33=108(种).12.解析(1)根据题意,选其中一人为负责人,有3种情况:若选出的是高一学生,则有13种情况;若选出的是高二学生,则有12种情况;若选出的是高三学生,则有9种情况.由分类加法计数原理可得,共有13+12+9=34种不同的选法.(2)根据题意,从高一学生中选出1人,有13种情况;从高二学生中选出1人,有12种情况;从高三学生中选出1人,有9种情况.由分步乘法计数原理可得,共有13×12×9=1 404种不同的选法. (3)根据题意,分三种情况讨论:若选出的是高一、高二学生,则有13×12=156种情况;若选出的是高一、高三学生,则有13×9=117种情况;若选出的是高二、高三学生,则有12×9=108种情况.由分类加法计数原理可得,共有156+117+108=381种不同的选法.能力提升练1.C根据题意,若不考虑限制条件,每个班级都有4种选择,共有4×4×4=64种方案,其中工厂甲没有班级去,即每个班都选择了其他三个工厂,此时每个班级都有3种选择,共有3×3×3=27种方案,则符合条件的方案有64-27=37(种),故选C.2.C根据题意,若员工甲直到第4次才获奖,则其第4次才集全“和谐”“爱国”“敬业”三种红包,则甲第4次获得的红包有3种情况,前三次获得的红包为其余的2种,有23-2=6种情况,则他获得奖次的不同情形种数为3×6=18.故选C.3.D根据题意,a可取的值为1,2,3, (25)根据三角形的三边关系,有25≤c<25+a,当a=1时,有25≤c<26,则c=25,有1种情况;当a=2时,有25≤c<27,则c=25或c=26,有2种情况;当a=3时,有25≤c<28,则c=25或c=26或c=27,有3种情况;当a=4时,有25≤c<29,则c=25或c=26或c=27或c=28,有4种情况; ……当a=25时,有25≤c<50,则c=25或c=26或c=27或c=28或……或c=49,有25种情况.综上,符合条件的三角形的个数是1+2+3+4+…+25=25(1+25)=325.故选2D.4.BD由于生物在B层,只有第2,3节有,故分两类:若生物选第2节,则地理可选第1节或第3节,有2种选法,其他两节政治、自习任意选即可,故有2×2=4种(此种情况自习可安排在第1,3,4节中的某节);若生物选第3节,则地理只能选第1节,政治只能选第4节,自习只能选第2节,故有1种.根据分类加法计数原理可得选课方式有4+1=5(种).综上,自习可安排在4节课中的任一节.5.C当顶点A,C同色时,顶点P有5种颜色可供选择,顶点A有4种颜色可供选择,顶点B有3种颜色可供选择,此时顶点C与顶点A同色,只有1种颜色可选,顶点D有3种颜色可选,不同的方法共有5×4×3×1×3=180(种);当顶点A,C不同色时,顶点P有5种颜色可供选择,顶点A有4种颜色可供选择,顶点B有3种颜色可供选择,此时顶点C与顶点A不同色,有2种颜色可选,顶点D有2种颜色可选,不同的方法共有5×4×3×2×2=240(种).综上,不同的方法共有180+240=420(种),故选C.6.答案85信息提取根据甲只选择空气质量为优的一天出游,乙不选择周一出游,丙不选择明天出游,且甲与乙不选择同一天出游,对甲的出游选择进行分类讨论.当甲选择周一出游时,乙可从除周一外的5天中任选一天,丙可从除明天(即4月24日)外的5天中任选一天;当甲不选择周一出游时,甲可从其余空气质量为优的3天中任选一天,乙可从除周一及甲出行日期以外的4天中任选一天,丙可从除明天(即4月24日)外的5天中任选一天.解析若甲选择周一出游,则三人出游的不同选择种数N1=1×5×5=25;若甲不选择周一出游,则三人出游的不同选择种数N2=3×4×5=60.故这三人出游的不同选择种数N=N1+N2=85.7.答案13解析依题意,限制条件为每款只购一只,且必须至少买一款;消费金额不能超过170元.故可分为以下几种情况:①只购买一款玩具样品:共4种方案.②购买两款玩具样品:买20和30的各一只;买20和50的各一只;买20和100的各一只;买30和50的各一只;买30和100的各一只;买50和100的各一只,共6种方案.③购买三款玩具样品:买20,30和50的各一只;买20,30和100的各一只;买20,50和100的各一只,共3种方案.所以购买玩具样品的方案共有4+6+3=13(种).8.答案260解析要使ab+c为奇数,数组(a,b,c)的奇偶性可为(偶,偶,奇)、(奇,偶,奇)、(偶,奇,奇)、(奇,奇,偶).若为(偶,偶,奇),即a为偶数,b为偶数,c为奇数,则有5×4×4=80(种);同理,若为(奇,偶,奇),则有4×5×3=60(种);若为(偶,奇,奇),则有5×4×3=60(种);若为(奇,奇,偶),则有4×3×5=60(种).综上,所有情况的种数为80+60+60+60=260.9.C根据题意,6根算筹可以表示的数字组合为1、5,1、9,2、4,2、8,3、3,3、7,4、6,6、8,7、7.数字组合1、5,1、9,2、4,2、8,3、7,4、6,6、8中,每组可以表示2个两位数,则可以表示2×7=14个两位数;数字组合3、3,7、7中,每组可以表示1个两位数,则可以表示2×1=2个两位数.综上,共可以表示14+2=16个两位数.故选C.10.答案285解析根据题意,按十位数字分类讨论:①十位数字是9时,三位“凹数”的个数为0;②十位数字是8时,只有989,此时三位“凹数”的个数为1;③十位数字是7时,百位与个位都有2种可能,所以此时三位“凹数”的个数为2×2=4;④十位数字是6时,百位与个位都有3种可能,所以此时三位“凹数”的个数为3×3=9;⑤十位数字是5时,百位与个位都有4种可能,所以此时三位“凹数”的个数为4×4=16;⑥十位数字是4时,百位与个位都有5种可能,所以此时三位“凹数”的个数为5×5=25;⑦十位数字是3时,百位与个位都有6种可能,所以此时三位“凹数”的个数为6×6=36;⑧十位数字是2时,百位与个位都有7种可能,所以此时三位“凹数”的个数为7×7=49;⑨十位数字是1时,百位与个位都有8种可能,所以此时三位“凹数”的个数为8×8=64;⑩十位数字是0时,百位与个位都有9种可能,所以此时三位“凹数”的个数为9×9=81.综上,所有不同的三位“凹数”的个数是1+4+…+81=285.11.答案 6信息提取利用棋子“马”的走法规则是走“日”字的对角线,尽量向P点靠拢.解析由题意可知,按如图中虚线所示的走法(走法不唯一)从点A出发到达对方“帅”所在的P处时步数最少,此时步数为6.。

排列组合教案第一部分基本内容一．课标要求：1．分类加法计数原理、分步乘法计数原理通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理；能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题；2．排列与组合通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题；3．二项式定理能用计数原理证明二项式定理；会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。

二．命题走向本部分内容主要包括分类计数原理、分步计数原理、排列与组合、二项式定理三部分；考查内容：（1）两个原理；（2）排列、组合的概念，排列数和组合数公式，排列和组合的应用；（3）二项式定理，二项展开式的通项公式，二项式系数及二项式系数和。

排列、组合不仅是高中数学的重点内容，而且在实际中有广泛的应用，因此新高考会有题目涉及；二项式定理是高中数学的重点内容，也是高考每年必考内容，新高考会继续考察。

考察形式：单独的考题会以选择题、填空题的形式出现，属于中低难度的题目，排列组合有时与概率结合出现在解答题中难度较小，属于高考题中的中低档题目；预测2007年高考本部分内容一定会有题目涉及，出现选择填空的可能性较大，与概率相结合的解答题出现的可能性较大。

三．要点精讲1．排列、组合、二项式知识相互关系表2．两个基本原理（1）分类计数原理中的分类；（2）分步计数原理中的分步；正确地分类与分步是学好这一章的关键。

3．排列（1）排列定义，排列数 （2）排列数公式：系mn A =)!(!m n n -=n·(n－1)…(n－m+1)；（3）全排列列：nn A =n!；（4）记住下列几个阶乘数：1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720； 4．组合（1）组合的定义，排列与组合的区别； （2）组合数公式：C n m=)!(!!m n m n -=12)1(1)m -(n 1)-n (⨯⨯⨯-⨯+ m m n ；（3）组合数的性质 ①C n m=C nn-m；②rn r n r n C C C 11+-=+；③rC n r=n·C n-1r-1；④C n 0+C n 1+…+C n n =2n；⑤C n 0-C n 1+…+(-1)nC n n=0，即 C n 0+C n 2+C n 4+…=C n 1+C n 3+…=2n-1；5．二项式定理（1）二项式展开公式：(a+b)n=C n 0a n+C n 1a n-1b+…+C n k a n-k b k+…+C n n b n； （2）通项公式：二项式展开式中第k+1项的通项公式是：T k+1=C n k a n-k b k； 6．二项式的应用（1）求某些多项式系数的和； （2）证明一些简单的组合恒等式；（3）证明整除性。

《排列与组合》的说课稿排列与组合是高中数学中非常重要的概念，它们在数学和现实生活中都有着广泛的应用。

本文将介绍排列与组合的基本概念、性质和应用，帮助大家更好地理解和应用这两个概念。

一、排列的概念1.1 排列的定义：排列是指从一组元素中按照一定顺序选择若干个元素的方式。

1.2 排列的计算方法：排列的计算方法包括全排列和部分排列两种。

1.3 排列的性质：排列的数量受到元素个数和选择个数的影响，可以用数学公式进行计算。

二、组合的概念2.1 组合的定义：组合是指从一组元素中按照一定规则选择若干个元素的方式。

2.2 组合的计算方法：组合的计算方法包括普通组合和重复组合两种。

2.3 组合的性质：组合的数量受到元素个数和选择个数的影响，可以用数学公式进行计算。

三、排列与组合的区别3.1 排列与组合的区别：排列是有序的选择，组合是无序的选择。

3.2 排列与组合的应用：排列常用于考虑顺序的情况，组合常用于不考虑顺序的情况。

3.3 排列与组合的联系：排列和组合是相互联系的概念，可以相互转化和应用。

四、排列与组合的应用4.1 排列与组合在数学中的应用：排列与组合在概率论、统计学和组合数学等领域有着广泛的应用。

4.2 排列与组合在现实生活中的应用：排列与组合在密码学、排队理论和组织管理等方面有着实际的应用价值。

4.3 排列与组合的未来发展：随着科技的发展，排列与组合的应用领域将不断扩大，为人类生活带来更多便利和创新。

五、总结5.1 排列与组合是高中数学中的重要概念，掌握排列与组合的基本原理和计算方法对于提高数学能力和解决实际问题具有重要意义。

5.2 排列与组合的应用不仅局限于数学领域，也可以在现实生活中发挥重要作用。

5.3 希望通过本文的介绍，读者能够更好地理解和应用排列与组合的知识，为自己的学习和工作带来更多的启发和帮助。

第2课时排列数的应用学习任务核心素养1．进一步理解排列的概念，掌握一些排列问题的常用解题方法．(重点)2．能应用排列知识解决简单的实际问题．(难点)1．通过排列知识解决实际问题，提升数学建模、逻辑推理的素养．2．借助排列数公式计算，提升数学运算的素养．类型1无限制条件的排列问题【例1】(1)有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？(2)有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？[思路点拨](1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；(2)给每人的书均可以从5种不同的书中任选1本，各人得到哪本书相互之间没有联系，要用分步乘法计数原理进行计算．[解](1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个不同元素中任取3个元素的一个排列，因此不同送法的种数是A35＝5×4×3＝60，所以共有60种不同的送法．(2)由于有5种不同的书，送给每个同学的每本书都有5种不同的选购方法，因此送给3名同学，每人各1本书的不同方法种数是5×5×5＝125，所以共有125种不同的送法．1．没有限制的排列问题，即对所排列的元素或所排列的位置没有特别的限制，这一类问题相对简单，分清元素和位置即可．2．对于不属于排列的计数问题，注意利用计数原理求解．[跟进训练]1．(1)将3张电影票分给10人中的3人，每人1张，则共有________种不同的分法．(2)从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，不同的选法共有________种．(1)720(2)60[(1)问题相当于从10张电影票中选出3张排列起来，这是一个排列问题．故不同分法的种数为A310＝10×9×8＝720．(2)从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，应有A35＝5×4×3＝60种选法．]类型2排队问题元素“相邻”与“不相邻”问题【例2】3名男生、4名女生按照不同的要求排队，求不同的排队方法的种数．(1)全体站成一排，男、女各站在一起；(2)全体站成一排，男生必须站在一起；(3)全体站成一排，男生不能站在一起；(4)全体站成一排，男、女各不相邻．[解](1)男生必须站在一起是男生的全排列，有A33种排法；女生必须站在一起是女生的全排列，有A44种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有A22种排法．由分步乘法计数原理知，共有A33·A44·A22＝288种排队方法．(2)三个男生全排列有A33种方法，把所有男生视为一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，有A55种排法．故有A33·A55＝720种排队方法．(3)先安排女生，共有A44种排法；男生在4个女生隔成的五个空中安排，共有A35种排法，故共有A44·A35＝1 440种排法．(4)排好男生后让女生插空，共有A33·A44＝144种排法．“相邻”与“不相邻”问题的解决方法处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则．元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列．元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素．[跟进训练]2．5人站成一排，甲、乙两人之间恰有1人的不同站法的种数为()A．18B．24C．36D．48C[5人站成一排，甲、乙两人之间恰有1人的不同站法有3A33×A22＝36(种)．]元素“在”与“不在”问题【例3】六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？(1)甲不站两端；(2)甲、乙站在两端；(3)甲不站最左端，乙不站最右端．[解](1)法一：要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个，有A14种站法，然后其余5人在另外5个位置上作全排列有A55种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法A14·A55＝480种．法二：由于甲不站两端，这两个位置只能从其余5个人中选2个人站，有A25种站法，然后其余4人有A44种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法A25·A44＝480种．法三：若对甲没有限制条件共有A66种站法，甲在两端共有2A55种站法，从总数中减去这两种情况的排列数，即得所求的站法数，共有A66－2A55＝480种．(2)首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有A22种，再让其他4人在中间位置作全排列，有A44种，根据分步乘法计数原理，共有A22·A44＝48种站法．(3)法一：甲在最左端的站法有A55种，乙在最右端的站法有A55种，且甲在最左端而乙在最右端的站法有A44种，共有A66－2A55＋A44＝504种站法．法二：以元素甲分类可分为两类：a．甲站最右端有A55种，b．甲在中间4个位置之一，而乙不在最右端有A14·A14·A44种，故共有A55＋A14·A14·A44＝504种站法．“在”与“不在”问题的解决方法[跟进训练]3．4名运动员参加4×100接力赛，根据平时队员训练的成绩，甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则不同的出场顺序有()A．12种B．14种C．16种D．24种B [用排除法，若不考虑限制条件，4名队员全排列共有A 44＝24种排法，减去甲跑第一棒有A 33＝6种排法，乙跑第四棒有A 33＝6种排法，再加上甲在第一棒且乙在第四棒有A 22＝2种排法，共有A 44－2A 33＋A 22＝14种不同的出场顺序．]定序问题【例4】 将A ，B ，C ，D ，E 这5个字母排成一列，要求A ，B ，C 在排列中的顺序为“A ，B ，C ”或“C ，B ，A ”(可以不相邻)．则有多少种不同的排列方法？[解] 5个不同元素中部分元素A ，B ，C 的排列顺序已定，这种问题有以下两种常用的解法．法一：(整体法)5个元素无约束条件的全排列有A 55种，由于字母A ，B ，C 的排列顺序为“A ，B ，C ”或“C ，B ，A ”，因此，在上述的全排列中恰好符合“A ，B ，C ”或“C ，B ，A ”排列方式的排列有A 55A 33×2＝40(种)． 法二：(插空法)若字母A ，B ，C 的排列顺序为“A ，B ，C ”，将字母D ，E 插入，这时形成的4个空中，分两类：第一类，若字母D ，E 相邻，则有A 14·A 22种排法；第二类，若字母D ，E 不相邻，则有A 24种排法．所以有A 14·A 22＋A 24＝20(种)不同的排列方法．同理，若字母A ，B ，C 的排列顺序为“C ，B ，A ”，也有20种不同的排列方法． 因此，满足条件的排列有20＋20＝40(种)．在有些排列问题中，某些元素的前后顺序是确定的(不一定相邻)，解决这类问题的基本方法有两种：1．整体法：即若有m ＋n 个元素排成一列，其中m 个元素之间的先后顺序确定不变，先将这m ＋n 个元素排成一列，有A m ＋n m ＋n 种不同的排法；然后任取一个排列，固定其他n 个元素的位置不动，把这m 个元素交换顺序，有A mm 种排法，其中只有一个排列是我们需要的，因此共有A m ＋n m ＋n A m m种满足条件的不同排法． 2．插空法：即m 个元素之间的先后顺序确定不变，因此先排这m 个元素，只有一种排法，然后把剩下的n 个元素分类或分步插入由以上m 个元素形成的空隙中．[跟进训练]4．用1,2,3,4,5,6,7组成没有重复数字的七位数，若1,3,5,7的顺序一定，则有________个七位数符合条件．210 [若1,3,5,7的顺序不定，有A 44＝24(种)排法，故1,3,5,7的顺序一定的排法数只占总排法数的124．故有124A 77＝210(个)七位数符合条件．] 类型3 数字排列问题1．偶数的个位数字有何特征？从1,2,3,4,5中任取两个不同数字能组成多少个不同的偶数？[提示] 偶数的个位数字一定能被2整除．先从2,4中任取一个数字排在个位，共2种不同的排法，再从剩余数字中任取一个数字排在十位，共4种排法，故从1,2,3,4,5中任取两个数字，能组成2×4＝8(个)不同的偶数．2．在一个三位数中，身居百位的数字x 能是0吗？如果在0～9这十个数字中任取不同的三个数字组成一个三位数，如何排才能使百位数字不为0?[提示] 在一个三位数中，百位数字不能为0，在具体排数时，从元素0的角度出发，可先将0排在十位或个位的一个位置，其余数字可排百位、个位(或十位)位置；从“位置”角度出发可先从1～9这9个数字中任取一个数字排百位，然后再从剩余9个数字中任取两个数字排十位与个位位置．【例5】 (对接教材P 12例6)用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个无重复数字的(1)六位奇数？(2)个位数字不是5的六位数？[思路点拨] 这是一道有限制条件的排列问题，每一问均应优先考虑限制条件，遵循特殊元素或特殊位置优先安排的原则．另外，还可以用间接法求解．[解] (1)法一：从特殊位置入手(直接法)分三步完成，第一步先填个位，有A 13种填法，第二步再填十万位，有A 14种填法，第三步填其他位，有A 44种填法，故共有A 13A 14A 44＝288(个)六位奇数．法二：从特殊元素入手(直接法)0不在两端有A14种排法，从1,3,5中任选一个排在个位有A13种排法，其他各位上用剩下的元素作全排列有A44种排法，故共有A14A13A44＝288(个)六位奇数．法三：排除法6个数字的全排列有A66个，0,2,4在个位上的六位数为3A55个，1,3,5在个位上，0在十万位上的六位数有3A44个，故满足条件的六位奇数共有A66－3A55－3A44＝288(个)．(2)法一：排除法0在十万位的六位数或5在个位的六位数都有A55个，0在十万位且5在个位的六位数有A44个．故符合题意的六位数共有A66－2A55＋A44＝504(个)．法二：直接法十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同，因此需分两类：第一类：当个位排0时，符合条件的六位数有A55个．第二类：当个位不排0时，符合条件的六位数有A14A14A44个．故共有符合题意的六位数A55＋A14A14A44＝504(个)．(变结论)用0,1,2,3,4,5这六个数取不同的数字组数．(1)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？(2)能组成多少个无重复数字且比1 325大的四位数？(3)若所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列{a n}，则240 135是第几项？[解](1)符合要求的五位数可分为两类：第一类，个位上的数字是0的五位数，有A45个；第二类，个位上的数字是5的五位数，有A14·A34个．故满足条件的五位数的个数共有A45＋A14·A34＝216(个)．(2)符合要求的比1 325大的四位数可分为三类：第一类，形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共A14·A35个；第二类，形如14□□，15□□，共有A12·A24个；第三类，形如134□，135□，共有A12·A13个．由分类加法计数原理知，无重复数字且比1 325大的四位数共有：A14·A35＋A12·A24＋A12·A13＝270(个)．(3)由于是六位数，首位数字不能为0，首位数字为1有A55个数，首位数字为2，万位上为0,1,3中的一个有3A44个数，∴240 135的项数是A55＋3A44＋1＝193，即240 135是数列的第193项．解数字排列问题常见的解题方法1．“两优先排法”：特殊元素优先排列，特殊位置优先填充．如“0”不排“首位”．2．“分类讨论法”：按照某一标准将排列分成几类，然后按照分类加法计数原理计算，要注意以下两点：一是分类标准必须恰当；二是分类过程要做到不重不漏．3．“排除法”：全排列数减去不符合条件的排列数．4．“位置分析法”：按位置逐步讨论，把要求数字的每个数位排好．[跟进训练]5．用1,2,3,4,5,6这六个数字组成无重复数字的六位数，则5和6在两端，1和2相邻的六位数的个数是()A．24 B．32 C．36 D．48A[先排5,6，有A22种排法；将1,2捆绑在一起有A22种排法；将1,2这个整体和3以及4全排列，有A33种排法．所以符合题意的六位数的个数为A22A22A33＝24．]1．6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为()A．36B．120C．720D．240C[由于6人排两排，没有什么特殊要求的元素，故排法种数为A66＝720．]2．某段铁路所有车站共发行132种普通车票，那么这段铁路共有的车站数是()A．8B．12C．16D．24B[设车站数为n，则A2n＝132，n(n－1)＝132，∴n＝12．]3．从0,1,3,5,7,9六个数中，任取两个做除法，可得到不同的商的个数是()A．30 B．25 C．20 D．19D[当选出的数字有一个是0时，0只能做分子，不能做分母，有1种结果为0；当选出数字没有0时，五个数字从中任选两个，共有A25种结果，而在这些结果中，有相同的数字重复出现，13和39，31和93，∴可以得到不同的商的个数是A 25－2＋1＝19．] 4．用1,2,3,4,5,6,7这7个数字排列组成一个七位数，要求在其偶数位上必须是偶数，奇数位上必须是奇数，则这样的七位数有________个．144 [先排奇数位有A 44种，再排偶数位有A 33种，故共有A 44A 33＝144个．]5．A ，B ，C ，D ，E 五人并排站成一排，如果A ，B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有________种．24 [把A ，B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，共A 44＝24种．]回顾本节内容，自我完成以下问题：1．求解排列问题的基本思路是什么？[提示] 实际问题――→化归(建模)排列问题―――――――→求数学模型的解求排列数―――――――→得实际问题的解实际问题2．求解排列问题的主要题型及方法有哪些？[提示]直接法把符合条件的排列数直接列式计算 优先法优先安排特殊元素或特殊位置 捆绑法 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法 对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中定序问题除法处理 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列间接法正难则反，等价转化的方法。