2018版高中数学第三章数系的扩充与复数的引入课时作业18数系的扩充和复数的概念新人教A版选修2_2

第3讲 数系的扩充与复数的引入一、 基础知识梳理：1．复数的有关概念：(1)复数①定义：形如a ＋b i 的数叫作复数，其中a ，b ∈R，i 叫作 ，a 叫作复数的 ，b 叫作复数的 ．②表示方法：复数通常用字母 表示，即 (a ，b ∈R)．(2)复数集①定义： 组成的集合叫作复数集．②表示：通常用大写字母C 表示．2．复数的分类及包含关系(1)分类：复数(a ＋b i ，a ，b ∈R)⎩⎨⎧ 实数b ＝0虚数b ≠0⎩⎪⎨⎪⎧ 纯虚数a ＝0非纯虚数a ≠0(2)集合表示： .3．两个复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i 当且仅当 .4．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)Z (a ，b ) 复平面内的点 ；(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R) OZ →＝(a ，b )平面向量 ．5．复数的模：复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)对应的向量为OZ →，则OZ →的模叫作复数z 的模或绝对值，记作|z |，且|z |＝ .二．问题探究探究点一：复数的概念例1 请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数还是纯虚数．①2＋3i ；②－3＋12i ；③2＋i ；④π；⑤－3i ；⑥0.跟踪训练1：符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例子；若不存在，请说明理由．(1)实部为－2的虚数；(2)虚部为－2的虚数；(3)虚部为－2的纯虚数；(4)实部为－2的纯虚数．探究点二：复数的分类例2：当实数m 为何值时，复数z ＝m 2＋m －6m＋(m 2－2m )i 为 (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．跟踪训练2：实数m 为何值时，复数z ＝m (m ＋2)m －1＋(m 2＋2m －3)i 是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．探究点三：两复数相等例3：已知x ，y 均是实数，且满足(2x －1)＋i ＝－y －(3－y )i ，求x 与y .跟踪训练3：已知x 2－x －6x ＋1＝(x 2－2x －3)i(x ∈R)，求x 的值．探究点四：复数的几何意义例4：在复平面内，若复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 对应点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y ＝x 上，分别求实数m 的取值范围．跟踪训练4： 已知复数z 的虚部为3，在复平面内复数z 对应的向量的模为2，求复数z .三.方法小结：1.复数a ＋b i 中，实数a 和b 分别叫作复数的实部和虚部．特别注意，b 为复数的虚部而不是虚部的系数，b 连同它的符号叫作复数的虚部．2.两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数．3.按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值四.练一练1．指出下列复数哪些是实数、虚数、纯虚数，是虚数的找出其实部与虚部。

《数系的扩充与复数的概念》教学设计【教学目标】1．了解数系的扩充过程，理解复数的有关概念以及符号表示；2．掌握复数的代数形式和几何表示法，理解复平面、实轴、虚轴等概念的意义掌握复数集C与复平面内所有点成一一对应；【教学重点】复数的有关概念,复数的代数形式和复数的向量表示【教学难点】复数相等的条件,复数向量表示．【教学方法】点拨教学与小组合作【教学过程】一、创设情景问题 1 从你认识自然数到现在，数系都在哪几个阶段经历了哪几次扩充？2 为什么要进行数系的扩充？设计意图：学生已经学习过一些数集，在此基础之上，帮助学生重新建构数集的扩充过程，不仅通过对前几次数系扩充进行了的梳理，也为数系的为何要再一次扩充打下了基础，让学生感受到数系扩充的合理性，并能自我总结出数系扩充的一般原则。

二探究新知（一）数系的扩充问题如何在实数范围内解x2 +1=0这样的方程？设计意图由于有了前面问题的铺垫，这个问题的解决，使新数的引入变得自然了，由教师引导同学们回答1 引入新数i数学家欧拉引入一个新数i，i叫做虚数单位，并规定：（1）i2= -1 ；（2）实数可以与它加法和乘法运算，原有的加、乘运算律仍然成立．这样出现了很多新数，如2+i,-3+4i,2i等，由于满足乘法交换律及加法交换律，从而这些结果可以写成a+bi ，a ,b∈R2形成新数集所有i实数实数形式的都应该在新的数集里面，并+⨯且新的数集里面的数都可以写成这种形式，我们不妨把这种形式写成,,+∈∈，这就是我们把实数集进行扩充后得到的数所具有a bi a Rb R的一般形式。

（二）复数的概念1 复数概念形如的数，我们把它们叫做复数．注意（1）复数的代数形式z=a+bi、(a ,b∈R,)a叫实部、b叫虚部.（2）全体复数所形成的集合{}=+∈∈叫做复数集，C a bi a R b R|,一般用字母C表示2 概念运用判断正误（1）z=1-ai (a ∈R)是一个复数（2）z=-2i+0.1实部为-2，虚部为0.1（3）10-2i2＞0（4）z=a+3i其中a为实部设计意图这几个题目采取学生口答形式，通过分析题目，使学生对复数概念的认识达到及时巩固的效果（三）复数分类探究（1） z=a+bi(a ,b∈R)中a,b在什么条件下为实数？（2）复数集C和实数集R之间有什么关系?设计意图采用学生先独立思考在小组讨论方式解决，这样由问题1到2的过渡，让学生对复数集C和实数集R关系的理解能较为容易些。

习题课（二）数系的扩充与复数的引入1．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若a ＋i ＝2－b i ，则 (a ＋b i)2＝( ) A ．3－4i B ．3＋4i C ．4－3i D ．4＋3i解析：选A 由a ＋i ＝2－b i 可得a ＝2，b ＝－1，则(a ＋b i)2＝(2－i)2＝3－4i. 2．复数z 满足(－1＋i)z ＝(1＋i)2，其中i 为虚数单位，则在复平面上复数z 对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D z ＝(1＋i )2－1＋i ＝2i (－1－i )(－1＋i )(－1－i )＝2i (－1－i )2＝1－i ，故z 在复平面内对应的点的坐标为(1，－1)，位于第四象限．3．如果复数z ＝2－1＋i ，则( )A ．|z |＝2B ．z 的实部为1C ．z 的虚部为－1D ．z 的共轭复数为1＋i解析：选C 因为z ＝2－1＋i ＝2(－1－i )2＝－1－i ，所以|z |＝2，z 的实部为－1，虚部为－1，共轭复数为－1＋i ，因此选C.4．在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA →对应的复数为( )A ．1－2iB ．－1＋2iC ．3＋4iD ．－3－4i解析：选D ∵AB →对应复数2＋i ，BC →对应复数1＋3i ， ∴AC →对应复数(2＋i)＋(1＋3i)＝3＋4i ， ∴CA →对应的复数是－3－4i.5．已知i 为虚数单位，若复数z ＝1－a i1＋i (a ∈R )的实部为－3，则|z |＝( )A.10B ．2 3 C.13D ．5解析：选D ∵z ＝1－a i 1＋i ＝(1－a i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝1－a －(a ＋1)i 2的实部为－3，∴1－a2＝－3，解得a ＝7.∴z ＝－3－4i ，则|z |＝5.故选D.6．设z 是复数，则下列命题中的假命题是( ) A ．若z 2≥0，则z 是实数 B ．若z 2<0，则z 是虚数 C ．若z 是虚数，则z 2≥0 D ．若z 是纯虚数，则z 2<0解析：选C 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，选项A ，z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i≥0，则⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝0，a 2≥b 2，故b ＝0或a ，b 都为0，即z 为实数，正确．选项B ，z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i<0，则⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝0，a 2<b 2，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ≠0，故z 一定为虚数，正确．选项C ，若z 为虚数，则b ≠0，z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ，由于a 的值不确定，故z 2无法与0比较大小，错误．选项D ，若z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ≠0，则z 2＝－b 2<0，正确．7．复数z ＝3＋i1＋2i的共轭复数是________．解析：依题意得z ＝(3＋i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝5－5i5＝1－i ，因此z 的共轭复数是1＋i.答案：1＋i8．i 为虚数单位，设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于原点对称，若z 1＝2－3i ，则z 2＝________.解析：∵(2，－3)关于原点的对称点是(－2,3)， ∴z 2＝－2＋3i. 答案：－2＋3i9．已知z ，ω为复数，(1＋3i)z 为纯虚数，ω＝z2＋i ，且|ω|＝52，则ω＝________.解析：由题意设(1＋3i)z ＝k i(k ≠0且k ∈R )，则ω＝k i(2＋i )(1＋3i ).∵|ω|＝52，∴k ＝±50，故ω＝±(7－i)． 答案：±(7－i)10．已知复数z ＝(1－i)2＋1＋3i.(1)求|z |；(2)若z 2＋az ＋b ＝z ，某某数a ，b 的值． 解：z ＝(1－i)2＋1＋3i ＝－2i ＋1＋3i ＝1＋i. (1)|z |＝12＋12＝ 2.(2)z 2＋az ＋b ＝(1＋i)2＋a (1＋i)＋b ＝2i ＋a ＋a i ＋b ＝a ＋b ＋(a ＋2)i ， ∵z ＝1－i ，∴a ＋b ＋(a ＋2)i ＝1－i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，a ＋2＝－1，∴a ＝－3，b ＝4.11．已知z ＝x －i 1－i (x >0)，且复数ω＝z (z ＋i)的实部减去它的虚部所得的差等于－32，求ω·ω.解：ω＝z (z ＋i)＝x －i 1－i ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －i 1－i ＋i ＝x －i 1－i ·x ＋11－i ＝x ＋12＋x 2＋x2i.根据题意x ＋12－x 2＋x2＝－32，得x 2－1＝3. ∵x >0，∴x ＝2，∴ω＝32＋3i.∴ω·ω＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋3i ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－3i ＝454.12．已知等腰梯形OABC 的顶点A ，B 在复平面上对应的复数分别为1＋2i ，－2＋6i ，OA ∥BC .求顶点C 所对应的复数z .解：设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ，如图，因为OA ∥BC ，|OC |＝|BA |， 所以k OA ＝k BC ，|z C |＝|z B －z A |， 即⎩⎪⎨⎪⎧21＝y －6x ＋2，x 2＋y 2＝32＋42，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝4.因为|OA |≠|BC |，所以x ＝－3，y ＝4(舍去)，故z＝－5.。

3.1.1数系的扩充和复数的概念学习目标 1.了解引进复数的必要性，理解并掌握虚数单位i.2.理解复数的基本概念及复数相等的充要条件(重点).知识点一复数的引入在实数范围内，方程x2＋1＝0无解.为了解决x2＋1＝0这样的方程在实数系中无解的问题，我们设想引入一个新数i，使i是方程x2＋1＝0的根，即使i·i＝－1.把这个新数i添加到实数集中去，得到一个新数集.把实数a与实数b和i相乘的结果相加，结果记作a＋b i(a，b∈R)，这些数都应在新数集中.再注意到实数a和数i，也可以看作是a＋b i(a，b∈R)这样的数的特殊形式，所以实数系经过扩充后得到的新数集应该是C＝{a＋b i|a，b∈R}，称i为虚数单位.【预习评价】分别在有理数集、实数集、复数集中分解因式x4－25.提示在有理数集中：x4－25＝(x2＋5)(x2－5).在实数集中：x4－25＝(x2＋5)(x2－5)＝(x2＋5)(x＋5)(x－5).在复数集中：x4－25＝(x2＋5)(x2－5)＝(x2＋5)(x＋5)(x－5)＝(x＋5i)(x－5i)(x＋5)(x－5).知识点二复数的概念、分类1.复数的有关概念(1)复数的概念：形如a＋b i的数叫做复数，其中a，b∈R，i叫做虚数单位.a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部.(2)复数的表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋b i.(3)复数集定义：全体复数所构成的集合叫做复数集.通常用大写字母C表示. 2.复数的分类及包含关系(1)复数(a ＋b i ，a ，b ∈R )⎩⎨⎧实数（b ＝0）虚数（b ≠0）⎩⎨⎧纯虚数（a ＝0）非纯虚数（a ≠0）(2)集合表示：【预习评价】 (正确的打√，错误的打×) 1.3＋2i 比3＋i 大.(×)提示 复数中，只有两个复数是实数时，才能比较大小. 2.复数a ＋b i 的实部是a ，虚部是b .(×)提示 不一定，对于z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，实部才是a ，虚部才是b . 知识点三 复数相等 复数相等的充要条件设a ，b ，c ，d 都是实数，那么a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d .即它们的实部与虚部分别对应相等. 【预习评价】1.若复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z ＝0，则a ＋b 的值为多少？ 提示 由复数相等，a ＝0，b ＝0，则a ＋b ＝0.2.若复数z 1，z 2为z 1＝3＋a i(a ∈R )，z 2＝b ＋i(b ∈R )，且z 1＝z 2，则a ＋b 的值为多少？提示 由复数相等得，a ＝1，b ＝3，则a ＋b ＝4.题型一 复数的概念【例1】写出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数.①2＋3i；②－3＋12i；③2＋i；④π；⑤－3i；⑥0.解①的实部为2，虚部为3，是虚数；②的实部为－3，虚部为12，是虚数；③的实部为2，虚部为1，是虚数；④的实部为π，虚部为0，是实数；⑤的实部为0，虚部为－3，是纯虚数；⑥的实部为0，虚部为0，是实数.规律方法复数a＋b i(a，b∈R)中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部.特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部. 【训练1】下列命题中，正确命题的个数是()①若x，y∈C，则x＋y i＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；②若a，b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i；③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0.A.0B.1C.2D.3解析①由于x，y∈C，所以x＋y i不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，所以①是假命题.②由于两个虚数不能比较大小，所以②是假命题.③当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0成立，所以③是假命题.故选A.答案 A题型二复数的分类【例2】设z＝log12(m－1)＋ilog2(5－m)(m∈R).(1)若z是虚数，求m的取值范围；(2)若z是纯虚数，求m的值.解(1)因为z是虚数，故其虚部log2(5－m)≠0，m 应满足的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ m －1＞0，5－m ＞0，5－m ≠1，解得1＜m ＜5，且m ≠4.故m 的取值范围为(1，4)∪(4，5).(2)因为z 是纯虚数，故其实部log 12(m －1)＝0，虚部log 2(5－m )≠0，m 应满足的条件是⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝1，5－m ＞0，5－m ≠1，解得m ＝2.规律方法 根据复数的概念求参数的一般步骤：第一步，判定复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，实部与虚部分别为什么； 第二步，依据复数的有关概念将复数问题转化为实数问题； 第三步，解相应的方程(组)或不等式(组)； 第四步，明确结论.【训练2】 实数k 为何值时，复数z ＝(1＋i)k 2－(3＋5i)k －2(2＋3i)分别是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零？解 由z ＝(1＋i)k 2－(3＋5i)k －2(2＋3i)＝(k 2－3k －4)＋(k 2－5k －6)i. (1)当k 2－5k －6＝0时，z ∈R ，即k ＝6或k ＝－1. (2)当k 2－5k －6≠0时，z 是虚数，即k ≠6且k ≠－1.(3)当⎩⎪⎨⎪⎧k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6≠0时，z 是纯虚数，解得k ＝4.(4)当⎩⎪⎨⎪⎧k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6＝0时，z ＝0，解得k ＝－1.题型三 两个复数相等【例3】 已知x 2－y 2＋2xy i ＝2i ，求实数x ，y 的值.解 (1)∵x 2－y 2＋2xy i ＝2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝0，2xy ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.规律方法 求解复数相等问题复数问题实数化是解决复数相等问题最基本的也是最重要的思想方法.转化过程主要依据复数相等的充要条件.基本思路是： 1.等式两边整理为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式；2.由复数相等的充要条件可以得到由两个实数等式所组成的方程组；3.解方程组，求出相应的参数.【训练3】 关于x 的方程3x －a2－1＝(10－x )i 有实根，求实数a 的值. 解 设方程的实数根为x ＝m ，则原方程可变为 3m －a2－1＝(10－m )i ，∴⎩⎨⎧3m －a2－1＝0，10－m ＝0，解得a ＝58.课堂达标1.若集合A ＝{i ，i 2，i 3，i 4}(i 是虚数单位)，B ＝{1，－1}，则A ∩B 等于( ) A.{－1}B.{1}C.{1，－1}D.∅解析 因为i 2＝－1，i 3＝－i ，i 4＝1，所以A ＝{i ，－1，－i ，1}，又B ＝{1， －1}，故A ∩B ＝{1，－1}. 答案 C2.已知复数z ＝a 2－(2－b )i 的实部和虚部分别是2和3，则实数a ，b 的值分别是( ) A.2，1 B.2，5 C.±2，5D.±2，1解析 令⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，－2＋b ＝3，得a ＝±2，b ＝5.答案 C3.下列复数中，满足方程x 2＋2＝0的是( ) A.±1 B.±i C.±2iD.±2i答案 C4.已知M ＝{1，(m ＋3)i}，N ＝{1，2，3i}，若M ∩N ＝M ，则实数m 的值为________.解析 由M ∩N ＝M ，得M ⊆N ，所以(m ＋3)i ＝3i ， 即m ＋3＝3，m ＝0. 答案 05.设i 为虚数单位，若关于x 的方程x 2－(2＋i)x ＋1＋m i ＝0(m ∈R )有一实根为n ，则m ＝________.解析 关于x 的方程x 2－(2＋i)x ＋1＋m i ＝0(m ∈R )有一实根为n ，可得n 2－(2＋i)n ＋1＋m i ＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧n 2－2n ＋1＝0，m －n ＝0.所以m ＝n ＝1.答案 1课堂小结1.复数的代数形式z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )是解决问题的基础，明确其实部、虚部.2.根据复数为实数、虚数、纯虚数，复数相等的充要条件，可将问题实数化.基础过关1.设复数z 满足i z ＝1，其中i 为虚数单位，则z 等于( ) A.－iB.iC.－1D.1解析 ∵i 2＝－1，∴－i 2＝i·(－i)＝1，∴z ＝－i. 答案 A2.设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a －b i 为纯虚数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 若复数a －b i 为纯虚数，则a ＝0且b ≠0，故ab ＝0.而由ab ＝0不一定能得到复数a －b i 是纯虚数，故“ab ＝0”是“复数a －b i 为纯虚数”的必要不充分条件. 答案 B3.以－5＋2i 的虚部为实部，以5i ＋2i 2的实部为虚部的新复数是( ) A.2－2i B.－5＋5i C.2＋iD.5＋5i解析 设所求新复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由题意知：复数－5＋2i 的虚部为2；复数5i ＋2i 2＝5i ＋2×(－1)＝－2＋5i 的实部为－2，则所求的z ＝2－2i.故选A. 答案 A4.若实数x ，y 满足(1＋i)x ＋(1－i)y ＝2，则xy 的值是________.解析 因为实数x ，y 满足(1＋i)x ＋(1－i)y ＝2，所以x ＋x i ＋y －y i ＝2，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝0，所以x ＝y ＝1，所以xy ＝1. 答案 15.若复数m －3＋(m 2－9)i ≥0，则实数m 的值为________.解析 依题意知⎩⎪⎨⎪⎧m －3≥0，m 2－9＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥3，m ＝－3或3，即m ＝3. 答案 36.当实数m 为何值时，复数z ＝(m 2＋m －6)i ＋m 2－7m ＋12m ＋3是：(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？解(1)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －6＝0，m 2－7m ＋12≠0，m ＋3≠0，得m ＝2.∴当m ＝2时，z 是实数.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －6≠0，m ＋3≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2且m ≠－3，m ≠－3，即m ≠2且m ≠－3.∴当m ≠2且m ≠－3时，z 是虚数.(3)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －6≠0，m ＋3≠0，m 2－7m ＋12＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2且m ≠－3，m ≠－3，m ＝3或m ＝4，即m ＝3或m ＝4.∴当m ＝3或m ＝4时，z 是纯虚数.7.已知M ＝{1，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i}，P ＝{－1，1，4i}，若M ∪P ＝P ，求实数m 的值.解 ∵M ∪P ＝P ，∴M ⊆P ，∴(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1或(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i. 由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝－1，m 2＋m －2＝0，解得m ＝1；由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i 得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m 2＋m －2＝4，解得m ＝2. 综上可知m ＝1或m ＝2.能力提升8.如果z ＝m (m ＋1)＋(m 2－1)i 为纯虚数，则实数m 的值为( ) A.1 B.0 C.－1D.－1或1解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m （m ＋1）＝0，m 2－1≠0，∴m ＝0.答案 B9.若sin 2θ－1＋i(2cos θ＋1)是纯虚数，则θ的值为( ) A.2k π－π4(k ∈Z ) B.2k π＋π4(k ∈Z ) C.2k π±π4(k ∈Z )D.k 2π＋π4(k ∈Z )解析由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧sin 2θ－1＝0，2cos θ＋1≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧θ＝k π＋π4θ≠2k π±3π4(k ∈Z )，∴θ＝2k π＋π4，k ∈Z . 答案 B10.已知z 1＝－4a ＋1＋(2a 2＋3a )i ，z 2＝2a ＋(a 2＋a )i ，其中a ∈R ，若z 1＞z 2，则a 的取值集合为________.解析由z 1＞z 2，得⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋3a ＝0，a 2＋a ＝0，－4a ＋1＞2a ，解得a ＝0，故a 的取值集合为{0}.答案 {0}11.在给出的下列几个命题中，正确命题的个数为________. ①若x 是实数，则x 可能不是复数； ②若z 是虚数，则z 不是实数；③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零； ④－1没有平方根.解析 因实数是复数，故①错；②正确；因复数为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，故③错；因－1的平方根为±i ，故④错. 答案 112.已知复数z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i ，λ，m ∈R ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，z 1＝z 2，求λ的取值范围.解 由z 1＝z 2，λ，m ∈R ，可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ.整理，得λ＝4sin 2θ－3sin θ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－382－916.∵θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴sin θ∈[0，1]，∴λ∈[－916，1].13.(选做题)已知关于m 的一元二次方程m 2＋m ＋2m i －12xy ＋(x ＋y )i ＝0(x ，y ∈R ).当方程有实根时，试确定点(x ，y )所形成的轨迹. 解 不妨设方程的实根为m ， 则m 2＋m ＋2m i ＝12xy －(x ＋y )i.∵x ，y ，m ∈R ，∴⎩⎨⎧m 2＋m ＝12xy ， ①2m ＝－（x ＋y ）. ②由②，得m ＝－x ＋y2.代入①，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22－x ＋y 2＝12xy ， ∴(x －1)2＋(y －1)2＝2，∴点(x ，y )的轨迹方程是(x －1)2＋(y －1)2＝2，其轨迹是以(1，1)为圆心，2为半径的圆.。

高中数学《数系的扩充和复数的概念》教案一、教学目标1. 让学生理解实数和虚数的概念，了解复数的基本形式。

2. 让学生掌握复数的运算规则，包括加、减、乘、除以及共轭复数的概念。

3. 培养学生运用复数解决实际问题的能力。

二、教学内容1. 实数和虚数的概念：介绍实数和虚数的定义，举例说明实数和虚数的区别。

2. 复数的基本形式：介绍复数的一般形式，解释实部和虚部的意义。

3. 复数的运算规则：讲解复数的加、减、乘、除运算方法，并通过例题演示。

4. 共轭复数的概念：介绍共轭复数的定义，讲解共轭复数的性质和运用。

三、教学重点与难点1. 教学重点：实数和虚数的概念，复数的基本形式，复数的运算规则，共轭复数的概念。

2. 教学难点：复数的运算规则，共轭复数的性质和运用。

四、教学方法1. 采用讲授法，讲解实数、虚数和复数的概念，复数的运算规则，共轭复数的性质和运用。

2. 利用例题演示，让学生直观地理解复数的运算方法。

3. 设计练习题，让学生巩固所学知识。

五、教学步骤1. 引入实数和虚数的概念，举例说明实数和虚数的区别。

2. 讲解复数的一般形式，解释实部和虚部的意义。

3. 讲解复数的加、减、乘、除运算方法，并通过例题演示。

4. 介绍共轭复数的定义，讲解共轭复数的性质和运用。

5. 设计练习题，让学生运用所学知识解决问题。

教案仅供参考，具体教学过程中请根据学生的实际情况进行调整。

六、教学评价1. 通过课堂讲解、例题分析和练习题，评价学生对实数、虚数和复数的概念的理解程度。

2. 通过复数运算的练习题，评价学生对复数运算规则的掌握情况。

3. 通过共轭复数相关练习题，评价学生对共轭复数性质和运用的理解程度。

七、教学拓展1. 介绍复数在工程、物理等领域的应用，激发学生学习复数的兴趣。

2. 引导学生思考复数运算的规律，培养学生的逻辑思维能力。

八、教学资源1. PPT课件：实数、虚数和复数的概念，复数的运算规则，共轭复数的性质和运用。

高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2 复数代数形式的四则运算3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义教案2 新人教A版选修1-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2 复数代数形式的四则运算3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义教案2 新人教A版选修1-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义教学过程一、推进新课1.复数的加法探究新知我们规定，复数的加法法则如下：设bi a z +=1,di c z +=2是任意两个复数，那么()()()()i d b c a di c bi a +++=+++提出问题问题1：两个复数的和是个什么数，值唯一确定吗?问题2：当b=0,d=0时，与实数加法法则一致吗？问题3：它的实质是什么?类似于实数的哪种运算方法？活动设计:学生独立思考，口答。

活动成果：1．仍然是个复数，且是一个确定的复数。

2．一致。

3．实质是实部与实部相加，虚部与虚部相加，类比于实数运算中的合并同类项。

设计意图：加深对复数加法法则的理解,且与实数类比，了解规定的合理性。

提出问题:实数加法有交换律、结合律，复数满足吗?并试着证明。

活动设计：学生先独立思考，然后小组交流.活动成果：满足,对任意的,,,321C z z z ∈有交换律:1221z z z z +=+结合律：()()321321z z z z z z ++=++证明:设bi a z +=1，di c z +=2,()()i d b c a z z +++=+21x O y()b a Z ,1 ()d c Z ,2 Z ()()i b d a c z z +++=+12显然，1221z z z z +=+同理可得，()()321321z z z z z z ++=++设计意图:引导学生根据实数加法满足的运算律，大胆尝试推导复数加法的运算律，提高学生的建构能力及主动发现问题,探究问题的能力。

第三章数系的扩充与复数的引入习题课——复数运算的综合问题课后篇巩固提升1.若复数z 满足|z-1+i |=3,则复数z 对应的点的轨迹围成图形的面积等于() A.3 B.9 C.6π D.9π,复数z 对应的点的轨迹是以(1,-1)为圆心,以3为半径的圆,其面积等于π×32=9π.2.已知a ,b ∈R ,且2+a i,b+3i 是一个实系数一元二次方程的两个根,则a ,b 的值分别是() A .a=-3,b=2 B .a=3,b=-2 C .a=-3,b=-2 D .a=3,b=2,这两个复数一定是互为共轭复数,故a=-3,b=2.3.设x ,y ∈R ,i 为虚数单位,(x+i)x=4+2y i,则|x +4x i 1+i|=() A.√10B.√5C.2D.√2(x+i)x=4+2y i,x ,y ∈R ,∴x 2+x i =4+2y i,可得x 2=4,x=2y ,解得x=2,y=1,或x=-2,y=-1,则|x+4y i |=|2+4i |=√22+42=2√5,或|x+4y i |=|-2-4i |=√(-2)2+(-4)2=2√5.又|1+i |=√2,∴|x +4x i 1+i|=|x +4x i||1+i|=√5√2=√10,故选A .4.关于x 的方程3x 2-x2x-1=(10-x-2x 2)i 有实根,则实数a 的值等于.x=m ,则原方程可变为3m 2-x2m-1=(10-m-2m 2)i,所以{3x 2-x 2x -1=0,10-x -2x 2=0,解得a=11或a=-715.或-7155.关于复数z 的方程|z|+2z=13+6i 的解是.z=x+y i(x ,y ∈R ),则有√x 2+x 2+2x+2y i =13+6i,于是{√x 2+x 2+2x =13,2x =6,解得{x =4,x =3或{x =403,x =3.因为13-2x=√x 2+x 2≥0,所以x ≤132,故x=403舍去,故z=4+3i .4+3i6.已知z ∈C ,且|z+1|=|z-i |,则|z+i |的最小值等于.|z+1|=|z-i |表示以(-1,0),(0,1)为端点的线段的垂直平分线,而|z+i |=|z-(-i)|表示直线上的点到(0,-1)的距离,数形结合知其最小值为√22.7.已知复数z=3+i2-i ,z 1=2+m i . (1)若|z+z 1|=5,某某数m 的值;(2)若复数az+2i 在复平面上对应的点在第二象限,某某数a 的取值X 围.z=3+i 2-i=(3+i)(2+i)(2-i)(2+i)=5+5i 5=1+i .因为|z+z 1|=|1+i +2+m i |=|3+(m+1)i |=√32+(x +1)2=5,所以9+(m+1)2=25. 解得m=-5或m=3.(2)az+2i =a (1+i)+2i =a+(a+2)i,在复平面上对应的点在第二象限,所以{x <0,x +2>0,解得-2<a<0.8.已知关于x 的方程x 2-(6+i)x+9+a i =0(a ∈R )有实数根b. (1)某某数a ,b 的值.(2)若复数z 满足|x -a-b i |-2|z|=0,当z 为何值时,|z|有最小值?并求出|z|的最小值.因为b 是方程x 2-(6+i)x+9+a i =0(a ∈R )的实根,所以(b 2-6b+9)+(a-b )i =0,故{x 2-6x +9=0,x =x ,解得a=b=3. (2)设z=m+n i(m ,n ∈R ),由|x -3-3i |=2|z|,得(m-3)2+(n+3)2=4(m 2+n 2), 即(m+1)2+(n-1)2=8,所以Z 点的轨迹是以O 1(-1,1)为圆心,以2√2为半径的圆.如图,当Z 点在直线OO 1上时,|z|有最大值或最小值. 因为|OO 1|=√2,半径r=2√2,所以当z=1-i 时,|z|有最小值,且|z|min =√2.。

高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.1 数系的扩充和复数的概念课时提升作业1 新人教A版选修1-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.1 数系的扩充和复数的概念课时提升作业1 新人教A版选修1-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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数系的扩充和复数的概念一、选择题(每小题5分，共25分）1。

(2016·泉州高二检测）如果复数z=a2+a-2+（a2—3a+2)i为纯虚数，那么实数a的值为（）A.—2 B.1C。

2 D.1或-2【解析】选A.因为复数z=a2+a-2+(a2-3a+2)i为纯虚数,所以a2+a-2=0且a2—3a+2≠0,所以a=—2。

2。

（2016·全国卷Ⅰ)设(1+2i）(a+i）的实部与虚部相等,其中a为实数,则a=（）A.—3 B.—2 C。

2 D。

3【解析】选A.因为(1+2i）（a+i)=a—2+（1+2a)i，其实部与虚部相等，即a—2=1+2a，解得a=-3.【补偿训练】已知复数z1=1+3i的实部与复数z2=-1-ai的虚部相等，则实数a等于( ）A。

-3 B.3 C.-1 D。

1【解析】选C.已知1+3i的实部为1,-1-ai的虚部为—a，则a=-1。

【拓展延伸】复数相等的充要条件的应用1。

必须是复数的代数形式,才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组。

2。

利用这一结论，可以把“复数相等"这一条件转化为两个实数等式，为应用方程思想提供了条件,同时这也是复数问题实数化思想的体现,这一思想在解决复数问题中非常重要。

目标定位：数的概念的发展与数系扩充是数学发展的一条重要线索．数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程，也体现了数学发生、发展的客观需要．复数作为数系扩充的结果引入，体现了实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用，以及数系扩充过程中数系结构与运算性质的变化．《标准》在选修1-2与选修2-2中设计了数系的扩充与复数的引入的内容，突出数系的扩充过程，实现了基础教育数学课程中数系从实数到复数的又一次扩充．《标准》强调复数的代数表示法及代数形式的加减运算的几何意义，淡化烦琐的计算和技巧性训练，从而体会数学体系的建构过程、数形结合思想以及人类理性思维在数学发展中的作用，有助于发展学生的创新意识．引进虚数，把实数集扩充到复数集，这是中学课程里数的概念的最后一次扩充．虚数的引入，虽然最先是由于数学本身的需要，但也只有当复数表示平面上的点这一几何解释出现之后，在解决实际问题中才得到广泛的应用，复数才被人们承认并且巩固了下来．复数与平面向量有着密切的联系．复数的向量形式是它的几何意义之一；借助向量，我们可以得到复数的加法法则，并赋予其几何意义；复数减法的几何意义与向量减法也是一致的．这种数形结合的思想丰富了我们研究问题和解决问题的范围和手段．同时，复数作为一种新的“数学语言”也为我们今后用代数方法解决几何问题提供了可能．数系的扩充与复数的引入与2002年颁布的《全日制普通高级中学数学教学大纲》相比，删去了复数的三角形式以及复数三角形式的乘法、除法、乘方、开方等内容，突出了数系的扩充过程、复数的代数表示法、代数形式的四则运算以及加减运算的几何意义．教材解读：复数的内容是高中数学课程中的传统内容．对于复数，《标准》要求在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系；理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件；了解复数的代数表示法及其几何意义；能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．注重提高学生的数学思维能力是高中数学课程的基本理念之一，也是高中数学教育的基本目标之一．人们在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程．它们是数学思维能力的具体体现．数系的扩充与复数的引入具体地综合体现了上述数学思维过程．这些使得学生可以在以往具体经历各种数学思维方式的基础上，在更高层次上加以理解．本章教学内容虽然不多，但中学阶段重要的数学思想方法都有所体现．时，常用到待定系数法建立相应的方程组来解决．这充分体现了转化化归思想和方程思想．复数包括实数和虚数两部分，虚数还分纯虚数和非纯虚数．解决与复数概念有关的问题时，对虚部b的讨论十分关键．要合理地加以分类讨论，要注意不重复且不遗漏．复数的四则运算可类比实数运算来学习，但它不是实数运算合情推理的结果，而是一种“规定”，是新的定义．复数的四则运算本身也是一个建构的过程，其前提是对虚数单位i的两个规定，从而形成了一个具有公理化结构特点的小系统．公理化思想的有机渗透，对学生体会数学精神，感悟数学本质很有教育价值．对本章的教学提出以下建议：1．数的概念的发展与数系扩充是数学发展的一条重要线索．数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程，也体现了数学发生、发展的客观需求．教学中，应突出数系的扩充过程，让学生通过回忆以往的学习历程，了解数集的每一次扩充，既是客观实际的需要，又是数学内部发展的需要．从数的运算和解方程的角度感悟“实数不够用了”，从而理解引入虚数的必要性．2．复数的运算是一种新的规定，它是数学体系建构过程中的重要组成部分．学生通过类比归纳、运算求解，进一步体会在新的数集中，原有的运算及其性质仍然适用，同时解决了某些运算在原来数集中不是总可以实施的矛盾，有利于形成对数学较为完整的认识．3．在复数运算的教学中，可以类比多项式的运算法则来理解和记忆．应注意避免烦琐的计算与技巧训练．对于有兴趣的学生，可以安排一些引申的内容，如求x3＝1的根，介绍代数学基本定理等．4．复数的几何意义和复数加减法的几何意义，可结合平面解析几何和平面向量中的有关知识来学习，这种数形结合的思想丰富了我们研究问题和解决问题的范围和手段．。

3．2 复数的四则运算(二)1.了解复数乘方的运算性质和复数除法的分母实数化方法．2.理解i 幂性质，能熟练进行复数的乘方和除法运算． 3．掌握综合运用复数概念、共轭复数及复数的四则运算解决问题．1．复数的乘方在复数范围内，实数范围内的正整数指数幂的运算律仍然成立，即对任意的复数z ，z 1，z 2和正整数m ，n 有z m z n ＝z m ＋n ，(z m )n ＝z mn ＝(z n )m ，(z 1z 2)n ＝z n 1z n2．2．i 幂性质一般地，如果n ∈N *，我们有①i 4n＝1；②i 4n ＋1＝i ；③i4n ＋2＝－1；④i4n ＋3＝－i ．3．复数的除法法则(1)我们把满足(c ＋d i)(x ＋y i)＝a ＋b i(c ＋d i ≠0)的复数x ＋y i(x ，y ∈R )叫做复数a ＋b i 除以复数c ＋d i 的商，记作a ＋b ic ＋d i或(a ＋b i )÷(c ＋d i)． (2)一般地，我们有a ＋b ic ＋d i ＝(a ＋b i)(c －d i)(c ＋d i)(c －d i)＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i. (3)两个复数的商仍是一个复数．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个复数的积与商一定是虚数．( ) (2)两个共轭复数的和与积是实数．( )(3)复数加减乘除的混合运算法则是先乘除，后加减．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ 2.1＋3i1－i＝( ) A ．1＋2i B ．－1＋2i C ．1－2i D ．－1－2i答案：B3．复数3＋ii2(i 为虚数单位)的实部等于________．答案：－34．已知z 是纯虚数，z ＋21－i是实数，那么z 等于________．解析：因为z 为纯虚数，所以设z ＝b i(b ∈R 且b ≠0)，则z ＋21－i ＝b i ＋21－i ＝(b i ＋2)(1＋i)(1－i)(1＋i)＝b i ＋b i 2＋2＋2i 1－i2＝－b ＋2＋(b ＋2)i 2＝－b ＋22＋12(b ＋2)i ，又z ＋21－i 为实数，所以12(b ＋2)＝0，即b ＝－2.所以z ＝－2i.答案：－2i复数的乘方运算(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 017等于________．(2)化简i ＋2i 2＋3i 3＋…＋100i 100.【解】 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 017＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋i)(1＋i)(1－i)(1＋i)2 017＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2i 2 2 017＝i 2 017＝(i 4)504·i ＝1504·i ＝i.故填i.(2)设S ＝i ＋2i 2＋3i 3＋…＋100i 100，① 所以i S ＝i 2＋2i 3＋…＋99i 100＋100i 101，② ①－②得(1－i)S ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 100－100i 101＝i(1－i 100)1－i－100i 101＝0－100i ＝－100i.所以S ＝－100i 1－i ＝－100i(1＋i)(1－i)(1＋i)＝－100(－1＋i)2＝50－50i.所以i ＋2i 2＋3i 3＋…＋100i 100＝50－50i.(1)等差、等比数列的求和公式在复数集C 中仍适用，i 的周期性要记熟，即i n＋i n ＋1＋in ＋2＋in ＋3＝0(n ∈N *)．(2)记住以下结果，可提高运算速度． ①(1＋i)2＝2i ，(1－i)2＝－2i.②1－i 1＋i ＝－i ，1＋i1－i＝i. ③1i＝－i. 1.计算：(1)2＋2i (1－i)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 016； (2)i ＋i 2＋…＋i2 017.解：(1)原式＝2(1＋i)－2i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22i 1 008＝i(1＋i)＋(－i)1 008＝i ＋i 2＋(－1)1 008·i 1 008＝i －1＋i4×252＝i －1＋1 ＝i.(2)法一：原式＝i(1－i 2 017)1－i ＝i －i2 0181－i＝i －(i 4)504·i 21－i ＝i ＋11－i ＝(1＋i)(1＋i)(1－i)(1＋i)＝2i2＝i.法二：因为i n＋in ＋1＋in ＋2＋in ＋3＝i n (1＋i ＋i 2＋i 3)＝0(n ∈N *)，所以原式＝(i ＋i 2＋i 3＋i 4)＋(i 5＋i 6＋i 7＋i 8)＋…＋(i 2 013＋i2 014＋i2 015＋i2 016)＋i2 017＝i2 017＝(i 4)504·i ＝1504·i ＝i.复数的除法运算计算下列各题． (1)3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i； (2)1i (2＋2i)5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋i 4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 7； (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－12i 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋2i 1－3i 8. 【解】 (1)3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i＝(3＋2i)(2＋3i)－(3－2i)(2－3i)(2－3i)(2＋3i)＝13i ＋13i13＝2i.(2)原式＝－i ·(2)5·[(1＋i)2]2·(1＋i)＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤1(1＋i)22＋i 7＝162(－1＋i)－14－i ＝－⎝⎛⎭⎪⎫162＋14＋(162－1)i. (3)原式＝(－i)12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－12i 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋i 12－32i 8 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 12＋[(1＋i)2]4·⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32i ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32i 33＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 34＋(－8＋83i)＝1－8＋83i ＝－7＋83i.(1)复数的除法运算中，要牢记“分母实数化”(类比实数运算的分母有理化)，即分子、分母同乘以分母的共轭复数，不必死记除法法则．(2)复数的运算顺序与实数运算顺序相同，都是先进行高级运算(乘方、开方)，再进行次级运算(乘、除)，最后进行低级运算(加、减)．如i 的幂运算，先利用i 的幂的周期性，将其次数降低，然后再进行四则运算．(3)要记住下列结果，使运算起点高． ①1i ＝－i ；②1＋i 1－i ＝i ；③1－i 1＋i ＝－i ； ④⎝ ⎛⎭⎪⎫－12±32i 3＝1；⑤⎝ ⎛⎭⎪⎫12±32i 3＝－1. 2.计算下列各题：(1)－1＋3i 1＋i ；(2)3－4i 4＋3i ＋1＋i 1－i ；(3)(2＋2i)4(1－3i)5. 解：(1)原式＝(－1＋3i)(1－i)(1＋i)(1－i)＝－1＋3＋(1＋3)i 2＝3－12＋3＋12i.(2)原式＝(3－4i)(4－3i)(4＋3i)(4－3i)＋(1＋i)2(1－i)(1＋i)＝(12－12)－(16＋9)i 25＋2i2＝－i ＋i ＝0.(3)(2＋2i)4(1－3i)5＝24(1＋i)4(1－3i)5＝24·(2i)2(1－3i)5＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32i 5 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 5＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 6⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 5＝－1＋3i.复数范围内解方程、因式分解问题在复数范围内解方程： (1)x 2－2x ＋3＝0； (2)x 3－1＝0.【解】 (1)法一：因为x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2 ＝(x －1)2－(2i)2＝(x －1－2i)(x －1＋2i)＝0， 所以x ＝1＋2i 或x ＝1－2i.所以方程x 2－2x ＋3＝0的两根为1＋2i 和1－2i. 法二：设x ＝a ＋b i(a ，b ∈R )为方程x 2－2x ＋3＝0的根， 则(a ＋b i)2－2(a ＋b i)＋3＝0， 整理得a 2－b 2－2a ＋3＋2b (a －1)i ＝0.由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2－2a ＋3＝0，2b (a －1)＝0.解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2，或⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－ 2.所以方程x 2－2x ＋3＝0的两根为1＋2i 和1－2i. 法三：因为x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2， 又因为x 2－2x ＋3＝0，所以(x －1)2＋2＝0. 所以(x －1)2＝－2.所以x －1＝2i 或x －1＝－2i ， 即x ＝1＋2i 或x ＝1－2i.所以方程x 2－2x ＋3＝0的两根为1＋2i 和1－2i. (2)因为x 3－1＝(x －1)(x 2＋x ＋1)＝(x －1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34＝(x －1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－⎝ ⎛⎭⎪⎫32i 2＝(x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12－32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋32i ＝0，所以x ＝1或x ＝－12＋32i 或x ＝－12－32i.复数范围内解方程的一般思路：一是因式分解，二是对次数较低的方程依据题意设出方程的根，代入方程，利用复数相等的充要条件求解．对于一元二次方程，也可以利用求根公式求解，要注意在复数范围内负数是能开方的，此外，根与系数的关系也是成立的．注意求方程中参数的取值时，不能利用判别式求解．3.在复数范围内分解因式：(1)x 2＋x ＋1；(2)x 2－x ＋1；(3)x 6－1.解：(1)x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－34i 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－⎝ ⎛⎭⎪⎫32i 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12－32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋32i . (2)x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－34i 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－⎝ ⎛⎭⎪⎫32i 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12－32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋32i . (3)x 6－1＝(x 3＋1)(x 3－1)＝(x ＋1)(x 2－x ＋1)(x －1)(x 2＋x ＋1)＝(x ＋1)(x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12－32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋32i ·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12－32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋32i .1．复数除法的认识复数除法的法则形式复杂，难于记忆．所以有关复数的除法运算，只要记住利用分母的共轭复数对分母进行“实数化”，然后结果再写成一个复数a ＋b i(a ，b ∈R )的形式即可．2．复数范围内因式分解由于实数范围内的乘法公式在复数范围内仍然成立，因此可以据此在复数范围内进行因式分解，而原来在实数范围内不能进行的因式分解，在复数范围内则可以进行，比如a 2＋b 2＝a 2－(b i)2＝(a ＋b i)(a －b i)．3．1的三次虚根ω的性质由方程x 3－1＝0得x 1＝1，x 2＝－1＋3i 2，x 3＝－1－3i 2.若取ω1＝－1＋3i 2，ω2＝－1－3i2，有如下性质： (1)ω31＝ω32＝1； (2)1＋ω1＋ω2＝0； (3)ω21＝ω2； (4)ω1·ω2＝1，ω1＝1ω2，ω2＝1ω1；(5)ω1＝ω2；(6)1＋ω1＋ω21＝0，1＋ω2＋ω22＝0.下列命题中错误的序号是________． ①若z ∈C ，则z 2≥0；②若z 1，z 2∈C ，且z 1－z 2＞0，则z 1＞z 2. 【解析】 ①错，反例设z ＝i 则z 2＝i 2＝－1＜0.②错，反例设z 1＝2＋i ，z 2＝1＋i ，满足z 1－z 2＝1＞0，但z 1、z 2不能比较大小． 【答案】 ①②(1)认为任何一个实数的平方大于零可推广到复数中，易误认为命题①正确． (2)认为两实数之差大于零等价于前一个大于后一个实数，也可推到复数中来．认为两复数差为实数则这两个复数也为实数．而误认为命题②是正确的．(3)把不等式性质错误的推广到复数中，忽略不等式是在实数中成立的前提条件．1．复数z ＝1－i 1＋i ，则ω＝z 2＋z 4＋z 6＋z 8＋z 10的值为( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i解析：选B ．z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝－1，所以ω＝－1＋1－1＋1－1＝－1. 2.i －21＋2i＝________． 解析：法一：原式＝(－2＋i)(1－2i)(1＋2i)(1－2i)＝(－2＋2)＋(1＋4)i5＝i.法二：原式＝i ＋2i 21＋2i ＝i(1＋2i)1＋2i ＝i.答案：i3．若z 是复数，且(3＋z )i ＝1(i 为虚数单位)，则z 为________． 解析：由(3＋z )i ＝1，得3＋z ＝1i ＝－i ，所以z ＝－3－i.答案：－3－i[A 基础达标]1．设复数z ＝3＋2i2－3i ，则z 的共轭复数为( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i解析：选D ．z ＝3＋2i 2－3i ＝2－3i2－3i ·i ＝i ，于是z 的共轭复数为－i.2．若a 为实数，且2＋a i1＋i ＝3＋i ，则a ＝( )A ．－4B ．－3C ．3D ．4解析：选D ．因为2＋a i1＋i ＝3＋i ，所以2＋a i ＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i ，又a ∈R ，所以a＝4.3．已知复数z ＝1－i ，则z 2－2zz －1＝( )A ．2iB ．－2iC ．2D ．－2解析：选B ．法一：因为z ＝1－i ，所以z 2－2z z －1＝(1－i)2－2(1－i)1－i －1＝－2－i＝－2i.法二：由已知得z －1＝－i ，从而z 2－2z z －1＝(z －1)2－1z －1＝(－i)2－1－i ＝2i＝－2i.4．若复数z 满足z－1－i ＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( )A ．1－iB ．1＋iC ．－1－iD ．－1＋i解析：选A ．由题意z －＝i(1－i)＝1＋i ，所以z ＝1－i ，故选A ． 5．若ω＝－12＋32i ，则ω＋1ω＝________．解析：ω＋1ω＝－12＋32i ＋1－12＋32i ＝－12＋32i －12－32i ＝－1.答案：－16．设a ，b ∈R ，a ＋b i ＝11－7i1－2i (i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为________．解析：因为11－7i 1－2i ＝(11－7i)(1＋2i)(1－2i)(1＋2i)＝15(25＋15i)＝5＋3i ，所以a ＝5，b ＝3. 所以a ＋b ＝5＋3＝8. 答案：87．已知复数z ＝1＋a i(a ∈R ，i 是虚数单位)，z －z ＝－35＋45i ，则a ＝________．解析：由题意可知1－a i 1＋a i ＝(1－a i)2(1＋a i)(1－a i)＝1－a 21＋a 2－2a 1＋a 2i ＝－35＋45i ， 因此1－a 21＋a 2＝－35. 化简得5a 2－5＝3a 2＋3，所以a 2＝4，则a ＝±2. 由－2a 1＋a 2＝45可知a <0，所以a ＝－2.答案：－28．若复数z ＝1＋2i ，其中i 是虚数单位，则⎝⎛⎭⎪⎫z ＋1z －·z －＝________．解析：因为z ＝1＋2i ，所以z －＝1－2i.所以⎝⎛⎭⎪⎫z ＋1z －·z －＝z ·z －＋1＝5＋1＝6.答案：69．计算：－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 018＋(4－8i)2－(－4＋8i)24＋3i . 解：原式＝i(23i ＋1)1＋23i＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22i 1 009＋(4－8i)2－(4－8i)24＋3i＝i ＋(－i)1 009＋04＋3i＝i －i ＋0＝0. 10．已知复数z 1＝a ＋2i(a ∈R )，z 2＝3－4i ，且z 1z 2为纯虚数，求复数z 1.解：z 1z 2＝a ＋2i 3－4i ＝(a ＋2i)(3＋4i)25＝(3a －8)＋(6＋4a )i25，因为z 1z 2为纯虚数，所以3a －8＝0，a ＝83，z 1＝83＋2i.[B 能力提升]1．若一个复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”．已知z ＝a1－2i ＋b i(a ，b ∈R )为“理想复数”，则( )A ．a －5b ＝0B ．3a －5b ＝0C ．a ＋5b ＝0D ．3a ＋5b ＝0解析：选D ．因为z ＝a 1－2i ＋b i ＝a (1＋2i)(1－2i)(1＋2i)＋b i ＝a 5＋(2a 5＋b )i.由题意知，a 5＝－2a 5－b ，则3a ＋5b ＝0. 2．对任意复数ω1，ω2，定义ω1*ω2＝ω1ω2，其中ω2是ω2的共轭复数，对任意复数z 1，z 2，z 3，有如下四个命题：①(z 1＋z 2)*z 3＝(z 1*z 3)＋(z 2*z 3)；②z 1*(z 2＋z 3)＝(z 1*z 2)＋(z 1*z 3)；③(z 1*z 2)*z 3＝z 1*(z 2*z 3)；④z 1*z 2＝z 2*z 1.则真命题的个数是________．解析：由于ω1*ω2＝ω1ω2—，对于①，(z 1＋z 2)*z 3＝(z 1＋z 2)z －3＝z 1z －3＋z 2z －3＝(z 1*z 3)＋(z 2*z 3)，显然成立；对于②，z 1*(z 2＋z 3)＝z 1(z 2＋z 3)＝z 1z －2＋z 1z －3＝(z 1*z 2)＋(z 1*z 3)，显然成立；对于③，(z 1*z 2)*z 3＝(z 1z －2)z －3＝z 1z －2z －3，而z 1*(z 2*z 3)＝z 1*(z 2z －3)＝z 1z －2z 3，显然不成立；对于④，由于z 1*z 2＝z 1z －2，而z 2*z 1＝z 2z －1，显然不一定成立．答案：23．已知x 是实数，y 是纯虚数，且满足(2x －1)＋i ＝y －(3－y )i ，求x 与y 的值． 解：根据已知条件x 是实数，y 是纯虚数，可设y ＝b i(b ∈R ，b ≠0)，代入关系式(2x －1)＋i ＝y －(3－y )i ，整理得：(2x －1)＋i ＝－b ＋(b －3)i ，根据复数相等的充要条件，可得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝－b ，1＝b －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32，b ＝4，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32，y ＝4i.4．(选做题)求同时满足下列两个条件的所有复数：(1)z ＋10z 是实数且1＜z ＋10z≤6； (2)z 的实部和虚部都是整数．解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈Z )，则z ＋10z ＝x ＋y i ＋10x ＋y i ＝x ＋y i ＋10(x －y i)x 2＋y 2∈R ，得y －10y x 2＋y 2＝0， 所以y ＝0或x 2＋y 2＝10.若y ＝0，1＜x ＋10x≤6无解，所以x 2＋y 2＝10. 从而z ＋10z＝2x ∈(1，6]．又x ，y ∈Z ，所以x ＝1或x ＝3. 若x ＝1，则y ＝±3；若x ＝3，则y ＝±1.所以z ＝1±3i 或z ＝3±i.。

课时作业18 数系的扩充和复数的概念
⎩⎪⎨⎪⎧x －＋i －－y ，①x ＋ay －x －y ＋b ＝9解析：对①，根据复数相等的充要条件，得 ＝－－y ，
14．已知集合N M，
解析：
或8＝
由①，得
经检验，
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高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义课时提升作业2 新人教A版选修1-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义课时提升作业2 新人教A版选修1-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义课时提升作业2 新人教A版选修1-2的全部内容。

复数代数形式的加减运算及其几何意义（25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1。

(2015·长沙高二检测)复数z=(3+2i）-7i，其中i是虚数单位，则复数z的虚部是（）A.3 B。

2 C。

-5 D。

—7【解析】选C。

z=(3+2i)—7i=3-5i,虚部是—5.2。

（2015·长春高二检测)设z1=3-4i,z2=-2+3i，则z1+z2在复平面内对应的点位于（) A.第一象限B。

第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选D.因为z1+z2=3—4i+（—2+3i）=（3—2)+(-4+3）i=1—i，所以复数z1+z2对应的点坐标是（1，—1）,故其对应点在第四象限。

【补偿训练】设z1=3-4i，z2=—2+3i，则z1-z2在复平面内对应的点位于（)A。

第一象限B。

第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选D.由已知，得z1—z2=3-4i—(—2+3i）=5—7i,则z1—z2在复平面内对应的点为(5,-7),应选D.3。

若复数z满足z+（2—3i）=—1+2i，则z+2-5i等于( ）A.-1 B。

课时作业（二十）数系的扩充和复数的概念 A 组基础巩固 1•以3i —，” 2的虚部为实部，以 3i 2+ 2i 的实部为虚部的复数是（ ） A. 3 — 3i “ " C.— 2+ .. 2i D. 解析：3i — 答案：A 2 •若复数， B . 3 + i 羽+W ,2的虚部为3,3i 2+ . 2i =— 3+ ；2i 的实部为一3,故选A. cos 0 + isin B. 0和sin 0 + icos 0相等，则 0值为（ ） n . 5 或：n 4 4 n C. 2k n +f k € Z) D . nk n + 才(k € Z) 解析：由复数相等定义得 cos 0 =sin 0 , sin 0 =cos 0 , n tan 0 = 1 ,二 0 = k n +— ( k € Z)，故 4 选D. 答案：D 3. 下列命题中：①若 x , ② 纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集； 2 2 y € C , 则x + y i = 1 + i 的充要条件是x = y = 1； ③ 若（Z 1 — Z 2） + （ Z 2— Z 3） = 0,贝U Z 1= Z 2= Z 3； ④ 若实数a 与a i 对应，则实数集与复数集一一对应. 正确的命题的个数是（ A. 0 B . 1C. 2 D . 3 解析：①取x = i , y =— i 于④，a = 0时，a i = 0,④错， 答案：A2 2 4. 4 — 3a — a i = a + 4a i , A. 1 B . 1 或一4 C.— 4 D . 0 或—4 4 — 3a = a ,2 解得a = — 4. —a = 4a , 解析：由题意知 答案：C5.已知集合 的值为（ ） A. 4 B ，则x + y i = 1 + i ，但不满足x = y = 1,故①错；②③错；对 故选A. 则实数a 的值为（ ） 悴{1 ,(吊一3叶 1) + (用一5m r 6)i} , N = {1,3} , MA N= {1,3}，则实数 m C. 4 或—1 D . 1 或 6解析: 由题意知 厂2m — 3 m-1 = 3, 2 ••• rm=— 1. m — 5 m- 6= 0, 答案: 6.若 解析: B log 2( x 2— 3x — 2) + ilog 2( x 2+ 2x + 1) > 1,则实数 x 的取值范围是 2 2 • log 2( x — 3x — 2) + ilog 2( x + 2x + 1) > 1, x 2— 3x — 2 > 1, 2 二 x =— 2. x + 2x + = 0, log 2 答案：{ — 2} 2 27.乙=—3 — 4i , Z 2= (n — 3m-1) + (n — m — 6)i ，且乙=Z 2,则实数 m = n =271 cos 2 + 0 =— Sin 0 = 0,若z 为纯虚数，则有 sinx= 1 -花,y =— 1 — 2.10. 若 x 、y € R ,且(x — 1) + y i > 2x ,求 x , y 的取值范围. 解析：■/ (x — 1) + y i >2x ,「. y = 0且 x — 1 >2x ,••• xv— 1,x , y 的取值范围分别为 x v — 1, y = 0.B 组能力提升2 a 2 11. 关于x 的方程3x — — 1 = (10 — x — 2x )i 有实根，求实数解析：设方程的实数根为 x = m ,2 a 2则原方程可化为 3m — 1= (10 — m- 2m )i ,3n i — am- 1 = 0, • / 2 2[10 — m- 2m = 0,71故实数a 的值为11或—"7. 512. 求满足条件2W|z | v 3的复数z 在复平面上表示的图形.解析：如图，图形是以原点 O 为圆心，半径分别为2个单位长和 夹的圆环，但不包括大圆圆周.值为 解析：由复数相等的充要条件有n 2 - 3 m — 1 = - 3,n 2— m- 6=— 4, 答案：2 ±2&复数 z = cos -2+ n =± 2.isin j-2 + 0 0 J;若z 为纯虚数，则0的值为，且& € — j ,卡，若z 是实数，则0的 解析：若z 为实数，则sin =cos 0 = 0, ? 0 = 0.答案: 9.已知 ± 2 0x 2 + y 2— 6 + (x — y — 2)i = 0,求实数 x , y 的值.x 2 + y 2— 6 = 0,x — y — 2 = 0,由复数相等的概念，得 a 的值.71解得a =11或a =-713个单位长的两个圆所3。

【优化方案】2014-2015学年高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入（第4课时）课时作业 新人教A 版选修2-2[学业水平训练]1．(2013·高考课标全国Ⅱ)设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( )A ．－1＋iB ．－1－iC ．1＋iD ．1－i解析：选A.由题意得z ＝2i 1－i ＝2i·1＋i 2＝－1＋i. 2．(2014·杭州高二检测)若复数z ＝2i ＋21＋i，其中i 是虚数单位，则复数z 的模为( ) A.22 B. 2C ． 3D ．2解析：选B.由题意，得z ＝2i ＋21＋i ＝2i ＋21－i 1＋i 1－i＝1＋i ，复数z 的模|z|＝12＋12＝ 2.3．复数z ＝1＋2i 21－i对应的点在复平面的第( )象限． A ．四 B ．三C ．二D ．一解析：选C ．z ＝1＋2i 21－i ＝－3＋4i 1－i ＝－3＋4i1＋i 1－i 1＋i＝－7＋i 2＝－72＋12i ，故z 对应的点在复平面的第二象限．4．(2014·高考天津卷)i 是虚数单位，复数7＋i 3＋4i＝( ) A ．1－i B ．－1＋iC ．1725＋3125iD ．－177＋257i解析：选A.7＋i 3＋4i ＝7＋i 3－4i 3＋4i 3－4i＝25－25i 25＝1－i ，故选A. 5．(2014·咸阳高二检测)下面是关于复数z ＝2－1＋i的四个命题，其中真命题为( ) p1：|z|＝2；p2：z2＝2i ；p3：z 的共轭复数为1＋i ；p4：z 的虚部为－1.A ．p2，p3B ．p1，p2C ．p2，p4D ．p3，p4解析：选C ．z ＝2－1＋i ＝2－1－i －1＋i －1－i＝－2－2i 2＝－1－i ， 所以|z|＝2，z 的虚部为－1，所以p1错误，p4正确． z2＝(－1－i)2＝(1＋i)2＝2i ，所以p2正确．z 的共轭复数为z ＝－1＋i ，所以p3错误．所以选C ．6．i 是虚数单位，－5＋10i 3＋4i＝________(用a ＋bi 的形式表示，其中a ，b ∈R)． 解析：－5＋10i 3＋4i ＝－5＋10i 3－4i 3＋4i3－4i ＝－15＋20i ＋30i ＋409＋16＝1＋2i. 答案：1＋2i7．(2014·上海高二检测)已知复数2－ai i ＝1－bi ，其中a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则|a ＋bi|＝________.解析：由2－ai i ＝1－bi ，得2－ai ＝i(1－bi)＝i －bi2＝b ＋i ，所以b ＝2，－a ＝1，即a ＝－1，b ＝2，所以|a ＋bi|＝|－1＋2i|＝ 5.答案： 58．设z1＝a ＋2i ，z2＝3－4i ，且z1z2为纯虚数，则实数a 的值为________．解析：设z1z2＝bi(b ∈R 且b≠0)，所以z1＝bi·z2，即a ＋2i ＝bi(3－4i)＝4b ＋3bi.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ，2＝3b ，所以a ＝83. 答案：839．计算：(1)(1－i)(－12＋32i)(1＋i)；(2)2＋3i 3－2i ；(3)(2－i)2.解：(1)法一：(1－i)(－12＋32i)(1＋i) ＝(－12＋32i ＋12i －32i2)(1＋i)＝(3－12＋3＋12i)(1＋i)＝3－12＋3＋12i ＋3－12i ＋3＋12i2＝－1＋3i.法二：原式＝(1－i)(1＋i)(－12＋32i)＝(1－i2)(－12＋32i)＝2(－12＋32i)＝－1＋3i.(2)2＋3i 3－2i ＝2＋3i 3＋2i3－2i 3＋2i＝2＋3i 3＋2i32＋22＝6＋2i ＋3i －65＝5i5＝i.(3)(2－i)2＝(2－i)(2－i)＝4－4i ＋i2＝3－4i.10．已知复数z ＝3＋bi(b ∈R)，且(1＋3i)·z 为纯虚数．(1)求复数z.(2)若w ＝z2＋i ，求复数w 的模|w|.解：(1)(1＋3i)·(3＋bi)＝(3－3b)＋(9＋b)i.因为(1＋3i)·z 为纯虚数，所以3－3b ＝0，且9＋b≠0，所以b ＝1，所以z ＝3＋i.(2)w ＝3＋i 2＋i ＝3＋i ·2－i2＋i ·2－i ＝7－i 5＝75－15i ，所以|w|＝ 752＋－15 2＝ 2.[高考水平训练]1．已知复数z ＝1－i ，则z2－2zz －1＝( )A ．2iB ．－2iC ．2D ．－2解析：选B.法一：因为z ＝1－i ， 所以z2－2z z －1＝1－i 2－21－i 1－i －1＝－2－i ＝－2i. 法二：由已知得z －1＝－i ，从而z2－2z z －1＝z －12－1z －1＝－i 2－1－i＝2i ＝－2i. 2．若复数z1＝－1＋ai ，z2＝b －3i ，a ，b ∈R ，且z1＋z2与z1·z2均为实数，则z1z2＝________.解析：因为z1＝－1＋ai ，z2＝b －3i ，所以z1＋z2＝b －1＋(a －3)i ，z1·z2＝3a －b ＋(3＋ab)i.因为z1＋z2与z1·z2均为实数，所以⎩⎨⎧ a －3＝0，3＋ab ＝0，解得⎩⎨⎧ a ＝3，b ＝－1. 所以z1＝－1＋3i ，z2＝－1－3i ，所以z1z2＝－1＋3i －1－3i ＝－1＋3i 2－1－3i －1＋3i＝－12－32i.答案：－12－32i3．已知z －1z ＋1为纯虚数，且(z ＋1)(z ＋1)＝|z|2，求复数z. 解：由(z ＋1)(z ＋1)＝|z|2⇒z ＋z ＝－1.①由z －1z ＋1为纯虚数， 得z －1z ＋1＋z －1z ＋1＝0⇒z·z －1＝0.② 设z ＝a ＋bi ，代入①②，得a ＝－12，a2＋b2＝1.∴a ＝－12，b ＝±32.∴z ＝－12±32i.4．已知1＋i 是方程x2＋bx ＋c ＝0的一个根(b ，c 为实数)．(1)求b ，c 的值；(2)试判断1－i 是否为方程的根．解：(1)∵1＋i 是方程x2＋bx ＋c ＝0的根，∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c ＝0，即(b ＋c)＋(2＋b)i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋c ＝0，2＋b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2，c ＝2. (2)由(1)知方程为x2－2x ＋2＝0，把1－i 代入方程左边得x2－2x ＋2＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立．∴1－i 也是方程的一个根．。

§3.1 数系的扩充和复数的概念3.1.1 数系的扩充和复数的概念1．若(m 2－3m －4)＋(m 2－5m －6)i 是纯虚数，则实数m 的值为( )A ．－1B ．4C ．－1或4D ．不存在 答案 B解析 由条件知，⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －4＝0，m 2－5m －6≠0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1或m ＝4，m ≠－1且m ≠6，∴m ＝4. 2．以3i －2的虚部为实部，以3i 2＋2i 的实部为虚部的复数是( )A ．3－3iB ．3＋iC ．－2＋2i D.2＋2i 答案 A解析 3i －2的虚部为3,3i 2＋2i ＝－3＋2i 的实部为－3，故为3－3i.3．若复数4－3a －a 2i 与复数a 2＋4a i 相等，则实数a 的值为( )A ．1B ．1或－4C ．－4D ．0或－4 答案 C解析 由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧4－3a ＝a 2，－a 2＝4a ， 解得a ＝－4.4．若(x ＋y )i ＝x －1(x ，y ∈R )，则2x ＋y 的值为( )A.12B ．2C ．0D ．1 答案 D解析 由复数相等的充要条件知，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝0，x －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1， ∴x ＋y ＝0.∴2x ＋y ＝20＝1.5．下列命题中错误的个数是( )①纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集；②若(z 1－z 2)2＋(z 2－z 3)2＝0，则z 1＝z 2＝z 3；③若实数a 与a i 对应，则实数集与复数集一一对应．A ．1B ．2C ．3D ．0答案 C6．已知x 2－y 2＋2xy i ＝2i(其中x >0)，则实数x ＝________，y ＝________.答案 1 1解析 依题意⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝0，2xy ＝2， ∴x ＝y ＝1.7．若复数z ＝log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x －3)为实数，则实数x 的值为________．答案 4解析 ∵复数z ＝log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x －3)为实数，∴log 2(x －3)＝0，即x －3＝1，∴x ＝4，代入x 2－3x －2，得42－3×4－2＝2>0，满足题意．8．如果(m 2－1)＋(m 2－2m )i>1，那么实数m 的值为__________．答案 2解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m 2－1>1，解得m ＝2. 9．求当实数m 为何值时，z ＝m 2－m －6m ＋3＋(m 2＋5m ＋6)i 分别是：(1)虚数；(2)纯虚数． 解 (1)复数z 是虚数的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6≠0，m ＋3≠0⇔m ≠－3且m ≠－2. ∴当m ≠－3且m ≠－2时，复数z 是虚数．(2)复数z 是纯虚数的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－m －6m ＋3＝0，m 2＋5m ＋6≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2或m ＝3，m ≠－3且m ≠－2⇔m ＝3. ∴当m ＝3时，复数z 是纯虚数．10．若x ∈R ，则实数a 为何值时，等式3x 2－a 2x －1＝(10－x －2x 2)i 成立？ 解 由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧ 3x 2－a 2x －1＝0， ①10－x －2x 2＝0. ②由②得x ＝2或x ＝－52，分别代入①， 得a ＝11或a ＝－715.11．复数z ＝a 2－b 2＋(a ＋|a |)i(a ，b ∈R )为实数的充要条件是( )A ．|a |＝|b |B ．a <0且a ＝－bC ．a >0且a ≠bD ．a ≤0 答案 D解析 由a ＋|a |＝0可得a ≤0，∴复数z 为实数的充要条件是a ≤0.12．已知集合M ＝{1,2，(m 2－3m －1)＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{－1,3}，且M ∩N ＝{3}，则实数m 的值为( )A ．4B ．－1C ．－1或4D ．－1或6 答案 B解析 由于M ∩N ＝{3}，故3∈M ，必有m 2－3m －1＋(m 2－5m －6)i ＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －1＝3，m 2－5m －6＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4或－1，m ＝6或－1，得m ＝－1. 13．若复数z ＝⎝⎛⎭⎫cos θ－45＋⎝⎛⎭⎫sin θ－35i 是纯虚数(i 为虚数单位)，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4的值为( ) A ．7B ．－17C ．－7D ．－7或－17答案 C解析 ∵复数z ＝⎝⎛⎭⎫cos θ－45＋⎝⎛⎭⎫sin θ－35i 是纯虚数， ∴cos θ－45＝0，sin θ－35≠0， ∴sin θ＝－35，∴tan θ＝－34， 则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝tan θ－11＋tan θ＝－34－11－34＝－7. 14．设z 1＝m 2＋1＋(m 2＋m －2)i ，z 2＝4m ＋2＋(m 2－5m ＋4)i ，且m ∈R ，若z 1<z 2，则m ＝____. 答案 1解析 由于z 1<z 2，m ∈R ，所以z 1∈R 且z 2∈R .当z 1∈R 时，m 2＋m －2＝0，解得m ＝1或m ＝－2；当z 2∈R 时，m 2－5m ＋4＝0，解得m ＝1或m ＝4.综上可知m ＝1，此时z 1＝2，z 2＝6，满足z 1<z 2.15．已知复数z ＝cos α＋icos 2α(0<α<2π)的实部与虚部互为相反数，则α的取值集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫π，2π3，4π3B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫π3，5π3 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫π，π6，11π6 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫π3，π，5π3 答案 D解析 由题意知，cos α＋cos 2α＝0，∴2cos 2α＋cos α－1＝0，∴cos α＝－1或cos α＝12. ∵0<α<2π，∴α＝π或π3或5π3. 16．已知关于x 的方程x 2－(2i －1)x ＋3m －i ＝0有实数根，求实数m 的值．解 设方程的实数根为x 0，则x 20－(2i －1)x 0＋3m －i ＝0，因为x 0，m ∈R ，所以方程变形为(x 20＋x 0＋3m )－(2x 0＋1)i ＝0，由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋x 0＋3m ＝0，2x 0＋1＝0，解得⎩⎨⎧ x 0＝－12，m ＝112.。