专题六 第二讲 推理证明、算法初步、复数

《推理与证明、数系的扩充与复数》zdj18()()()⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩1归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，合情 或者由个别事实概括出一般结论的推理，即归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理； 2类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也推理 具有这些特征的推理，即类比推理是由特殊到特殊的推理；1定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下演绎推理推理与证明()()()⎧⎪⎧⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎪⎩⎩ 的结论，即演绎推理是由一般到特殊的推理；大前提：已知的一般原理；2三段论模式小前提：所研究的特殊情况；结论：根据一般原理，对特殊情况作出判断；1综合法：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最 后推导出所要证明的结论成立；2分析法：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明 证明方法()()()()()()000,1n n n n N n k k n k N n k ++⊗∈⊗=≥∈=+ 的结论归结为判定一个明显成立的条件已知条件、定理、定义、公理等为止；3反证法：一般地，假设原命题不成立即在原命题的条件下，结论不成立，经过正确的推理， 最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立；应用范围：证明一个与正整数有关的命题；归纳奠基：证明当取第一个值时命题成立；数学步4归纳推理：假设时命题成立，证明当归纳法骤()()02112n n i i ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⊗⎩⎩⎪⎪⎪⎩⎪⊕⎪⎪⎪⎩=-时命题也成立；总结：完成以上两步，就可断定命题对从开始的所有正整数都成立；由合情推理所获得的结论仅仅是一种猜想，未必可靠；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确 的前提下，得出的结论一定正确；；虚数单位的性质实数可以与之进行四则运算，进复数()(,)(,),0a bi a b R z a bi a b R a b a bi b z a bi b ⎧⎪⎨⎪⎩+∈=+∈+⎫⎧⎫⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎛⎫⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪=⎩⎨⎬⎭⎝⎭⎪⎪⎫⎧⎪⎪⎨⎬=+⎪⎪⎩⎭⎩⎭行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立；复数的概念：形如的数叫复数，记作，其中分别叫复数的实部与虚部；循环小数正有理数有理数零整数、有限小数、负有理数无限循环小数实数小数复数正无理数复数的分类：无理数无限不循环小数负无理数虚数()()()()()()()()()()()()00000(,,,)(,),()()a b a b a bi c di a b c d R a c b d z a bi a b R a b a bi c di a c b d i a bi c di ac bd bc ad i a b a bi c di ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧=≠⎪≠⎪⎨≠≠⎪⎪⎩⎩+=+∈⇔===+∈←−−−−→+±+=±+±++=-++++÷+=一一对应纯虚数且非纯虚数且复数相等的条件：且；复数的几何意义：复数复平面内的点Z ；加减法：；复数乘 法：；运算法则除 法：()()()()()()()()()441424322330111310111,256n n n n i c di c di i i ii i i i x x z z z R ωωωωωωωωω+++⎧⎪⎪⎨⎪+≠⎪+⎩⎧===-=-⎪⎪=-++====⎪⎨⎪=⇔∈⎪⎪⎩；1任意两个虚数不能比较大小； 2的周期性：；；；；结的性质：若=； ；； 4若，则或； 论； 在复数集中，实系数一元二次方程都有解；7共轭复数：两个复数的实部相等、虚部互为相反数；1题型()⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎩确定复数何时为纯虚数或实数问题：利用复数分类处理；2复数范围内方程根的问题：利用复数相等的条件处理；。

第二讲算法、复数、推理与证明考点一复数的概念与运算1．复数的乘法复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类项，不含i的看作另一类项，分别合并同类项即可．2．复数的除法除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题时要注意把i的幂写成最简形式．复数的除法类似初中所学化简分数常用的“分母有理化”，其实质就是“分母实数化”．3．复数运算中常见的结论(1)(1±i)2＝±2i，1＋i1－i＝i，1－i1＋i＝－i；(2)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i；(3)i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0.[对点训练]1．(2018·全国卷Ⅰ)设z＝1－i1＋i＋2i，则|z|＝()A．0 B.12C．1 D. 2[解析]∵z＝(1－i)2(1＋i)(1－i)＋2i＝1－2i－12＋2i＝i，∴|z|＝1，故选C.[答案] C2．(2018·安徽安庆二模)已知复数z满足：(2＋i)z＝1－i，其中i是虚数单位，则z的共轭复数为()A.15－35i B.15＋35iC.13－iD.13＋i[解析] 由(2＋i)z ＝1－i ，得z ＝1－i 2＋i ＝(1－i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝15－35i ，∴z －＝15＋35i ，故选B.[答案] B3．(2018·安徽马鞍山二模)已知复数z 满足z i ＝3＋4i ，则复数z 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析] 由z i ＝3＋4i ，得z ＝3＋4i i ＝(3＋4i )(－i )－i 2＝4－3i ，∴复数z 在复平面内对应的点的坐标为(4，－3)，该点位于第四象限，故选D.[答案] D4．(2018·江西师大附中、临川一中联考)若复数z ＝1＋i 1－i，z －为z 的共轭复数，则(z －)2017＝( )A ．iB ．－iC ．－22017iD ．22017i[解析] 由题意知z ＝1＋i 1－i ＝(1＋i )2(1－i )(1＋i )＝i ，可得z －＝－i ，则(z －)2017＝[(－i)4]504·(－i)＝－i ，故选B.[答案] B[快速审题] (1)看到题目的虚数单位i ，想到i 运算的周期性；看到z ·z －，想到公式z ·z －＝|z |2＝|z －|2.(2)看到复数的除法，想到把分母实数化处理，即分子、分母同时乘以分母的共轭复数，再利用乘法法则化简．复数问题的解题思路以复数的基本概念、几何意义、相等的条件为基础，结合四则运算，利用复数的代数形式列方程或方程组解决问题．考点二程序框图1．当需要对研究的对象进行逻辑判断时，要使用条件结构，它是根据指定条件选择执行不同指令的控制结构．2．注意直到型循环和当型循环的本质区别：直到型循环是先执行再判断，直到满足条件才结束循环；当型循环是先判断再执行，若满足条件，则进入循环体，否则结束循环．3．循环结构主要用在一些有规律的重复计算的算法中，如累加求和、累乘求积等．[对点训练]1．执行如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的结果是4，则常数a的值为()A．4 B．2 C.12D．－1[解析]S和n依次循环的结果如下：S＝11－a，n＝2；S＝1－1a，n＝4.所以1－1a ＝2，a ＝－1，故选D.[答案] D2．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的i 的值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7[解析] 根据程序框图，程序执行中的数据变化如下：n ＝12，i ＝1；n ＝6，i ＝2；6≠5；n ＝3，i ＝3；3≠5；n ＝10，i ＝4；10≠5；n ＝5，i ＝5；5＝5成立，程序结束，输出i ＝5，故选B.[答案] B3．(2018·全国卷Ⅱ)为计算S ＝1－12＋13－14＋…＋199－1100，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入( )A ．i ＝i ＋1B ．i ＝i ＋2C ．i ＝i ＋3D ．i ＝i ＋4[解析] S ＝1－12＋13－14＋…＋199－1100＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＋15＋ (199)⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＋…＋1100，当不满足判断框内的条件时，S ＝N －T ，所以N ＝1＋13＋15＋…＋199，T ＝12＋14＋…＋1100，所以空白框中应填入i ＝i ＋2，故选B.[答案] B4．执行如图所示的程序框图，输出的S 的值是________．[解析] 由程序框图可知，n ＝1，S ＝0；S ＝cos π4，n ＝2；S ＝cos π4＋cos 2π4，n ＝3；…；S ＝cos π4＋cos 2π4＋cos 3π4＋…＋cos 2014π4＝251⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4＋cos 2π4＋…＋cos 8π4＋cos π4＋cos 2π4＋…＋cos 6π4＝251×0＋22＋0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＋(－1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＋0＝－1－22，n ＝2015，输出S .[答案] －1－22[快速审题] (1)看到循环结构，想到循环体的结构；看到判断框，想到程序什么时候开始和终止．(2)看到根据程序框图判断程序执行的功能，想到依次执行n 次循环体，根据结果判断．(3)看到求输入的值，想到利用程序框图得出其算法功能，找出输出值与输入值之间的关系，逆推得输入值．求解程序框图2类常考问题的解题技巧(1)程序框图的运行结果问题先要找出控制循环的变量及其初值、终值．然后看循环体，若循环次数较少，可依次列出即可得到答案；若循环次数较多，可先循环几次，找出规律．要特别注意最后输出的是什么，不要出现多一次或少一次循环的错误，尤其对于以累和为限定条件的问题，需要逐次求出每次迭代的结果，并逐次判断是否满足终止条件．(2)程序框图的填充问题最常见的是要求补充循环结构的判断条件，解决此类问题的方法是创造参数的判断条件为“i >n ？”或“i <n ？”，然后找出运算结果与条件的关系，反解出条件即可．考点三推理与证明1．归纳推理的思维过程实验、观察―→概括、推广―→猜测一般性结论2．类比推理的思维过程实验、观察―→联想、类推―→猜测新的结论[对点训练]1．(2017·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则()A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩[解析]由题意可知，“甲看乙、丙的成绩，不知道自己的成绩”说明乙、丙两人是一个优秀一个良好，则乙看了丙的成绩，可以知道自己的成绩；丁看了甲的成绩，也可以知道自己的成绩，故选D.[答案] D2．(2018·山西孝义期末)我们知道：在平面内，点(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2，通过类比的方法，可求得：在空间中，点(2,4,1)到直线x＋2y＋2z＋3＝0的距离为()A．3 B．5 C.5217D．3 5[解析]类比平面内点到直线的距离公式，可得空间中，点(x0，y0，z0)到直线Ax＋By＋Cz＋D＝0的距离公式为d＝|Ax0＋By0＋Cz0＋D|A2＋B2＋C2，则所求距离d＝|2＋2×4＋2×1＋3|12＋22＋22＝5，故选B.[答案] B3．(2018·安徽合肥模拟)《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：223＝223，338＝338，4415＝4415，5524＝5524，…，则按照以上规律，若99n＝99n具有“穿墙术”，则n＝()A．25 B．48 C．63 D．80[解析]由2 23＝223，338＝338，4415＝4415，5524＝55 24，…，可得若9 9n＝99n具有“穿墙术”，则n＝92－1＝80，故选D.[答案] D[快速审题]看到由特殊到一般，想到归纳推理；看到由特殊到特殊，想到类比推理．(1)破解归纳推理题的思维3步骤①发现共性：通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)；②归纳推理：把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题(猜想)；③检验，得结论：对所得的一般性命题进行检验，一般地，“求同存异”“逐步细化”“先粗后精”是求解由特殊结论推广到一般结论型创新题的基本技巧．(2)破解类比推理题的3个关键①会定类，即找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；②会推测，即用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的猜想；③会检验，即检验猜想的正确性．要将类比推理运用于简单推理之中，在不断的推理中提高自己的观察、归纳、类比能力．1．(2018·全国卷Ⅱ)1＋2i1－2i＝()A．－45－35i B．－45＋35iC．－35－45i D．－35＋45i[解析]1＋2i1－2i＝(1＋2i)2(1－2i)(1＋2i)＝－3＋4i5＝－35＋45i，故选D.[答案] D2．(2018·浙江卷)复数21－i(i为虚数单位)的共轭复数是()A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i[解析]∵21－i ＝2(1＋i)(1－i)(1＋i)＝1＋i，∴21－i的共轭复数为1－i，故选B.[答案] B3．(2018·北京卷)执行如图所示的程序框图，输出的s值为()A.12 B.56 C.76 D.712[解析]k＝1，s＝1；s＝1＋(－1)1×11＋1＝1－12＝12，k＝2,2<3；s＝12＋(－1)2×11＋2＝12＋13＝56，k＝3，此时跳出循环，∴输出56，故选B.[答案] B4．(2018·天津卷)阅读下边的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为()A．1 B．2 C．3 D．4[解析]第一次循环T＝1，i＝3；第二次循环T＝1，i＝4；第三次循环T＝2，i＝5，满足条件i≥5，结束循环，故选B.[答案] B5．(2016·全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2.”乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1.”丙说：“我的卡片上的数字之和不是5.”则甲的卡片上的数字是________．[解析]由丙说的话可知丙的卡片上的数字一定不是2和3.若丙的卡片上的数字是1和2，则乙的卡片上的数字是2和3，甲的卡片上的数字是1和3，满足题意；若丙的卡片上的数字是1和3，则乙的卡片上的数字是2和3，此时，甲的卡片上的数字只能是1和2，不满足题意．故甲的卡片上的数字是1和3.[答案]1和31.高考对复数的考查重点是其代数形式的四则运算(特别是乘、除法)，也涉及复数的概念及几何意义等知识，题目多出现在第1～3题的位置，难度较低，纯属送分题目．2．高考对算法的考查，每年平均有一道小题，一般出现在第6～9题的位置上，难度中等偏下，均考查程序框图，热点是循环结构和条件结构，有时综合性较强，其背景涉及数列、函数、数学文化等知识．3．在全国课标卷中很少直接考查“推理与证明”，特别是合情推理，而演绎推理，则主要体现在对问题的证明上．热点课题2间接证明的应用[感悟体验]等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1＋2，S3＝9＋3 2.(1)求数列{a n}的通项a n与前n项和S n；(2)设b n ＝S nn (n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．[解] (1)由已知得⎩⎨⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，所以d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)，n ∈N *. (2)证明：由(1)得b n ＝S nn ＝n ＋2，n ∈N *.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p <q <r ，p ，q ，r ∈N *)成等比数列，则b 2q ＝b p b r .即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)． ∴(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0.∵p ，q ，r ∈N *，∴⎩⎨⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，∵⎝⎛⎭⎪⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0，∴p ＝r 与p <r 矛盾． 所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．专题跟踪训练(八)一、选择题1．已知z ＝1＋2i ，则复数2iz －2的虚部是( ) A.25 B ．－25 C.25i D ．－25i [解析] 2i z －2＝2i －1＋2i ＝2i (－1－2i )(－1＋2i )(－1－2i )＝45－25i ，该复数的虚部为－25，故选B.[答案] B2．若复数z ＝1＋2i ，则4iz z －－1等于( ) A ．1 B ．－1 C ．i D ．－i[解析]4i z z －－1＝4i(1＋2i )(1－2i )－1＝i ，故选C. [答案] C3．已知z (3＋i)＝－3i(i 是虚数单位)，那么复数z 对应的点位于复平面内的( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析] z ＝－3i 3＋i ＝－3i (3－i )(3＋i )(3－i )＝－3－3i 4＝－34－3i4，z 对应的点⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，－34位于复平面内的第三象限，故选C.[答案] C4．(2018·大连模拟)下列推理是演绎推理的是( )A ．由于f (x )＝c cos x 满足f (－x )＝－f (x )对任意的x ∈R 都成立，推断f (x )＝c cos x 为奇函数B ．由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜出数列{a n }的前n 项和的表达式C ．由圆x 2＋y 2＝1的面积S ＝πr 2，推断：椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的面积S ＝πabD ．由平面三角形的性质推测空间四面体的性质[解析] 由特殊到一般的推理过程，符合归纳推理的定义；由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程，符合类比推理的定义；由一般到特殊的推理符合演绎推理的定义．A 是演绎推理，B 是归纳推理，C 和D 为类比推理，故选A.[答案] A5．(2018·江西南昌三模)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图，执行该程序框图，若输入的x ＝3，n ＝2，依次输入的a 为2,2,5，则输出的s ＝( )A．8 B．17 C．29 D．83[解析]根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值．模拟程序的运行过程：输入的x＝3，n＝2，当输入的a为2时，s＝2，k＝1，不满足退出循环的条件；当再次输入的a为2时，s＝8，k＝2，不满足退出循环的条件；当输入的a为5时，s＝29，k＝3，满足退出循环的条件．故输出的s的值为29，故选C.[答案] C6．用反证法证明命题：“已知a，b是自然数，若a＋b≥3，则a，b中至少有一个不小于2”．提出的假设应该是()A．a，b至少有两个不小于2B．a，b至少有一个不小于2C．a，b都小于2D．a，b至少有一个小于2[解析]根据反证法可知提出的假设为“a，b都小于2”，故选C.[答案] C7．(2018·广东汕头一模)执行如图所示的程序框图，输出的结果是()A．56 B．54 C．36 D．64[解析]模拟程序的运行，可得：第1次循环，c＝2，S＝4，c<20，a＝1，b＝2；第2次循环，c＝3，S＝7，c<20，a＝2，b＝3；第3次循环，c＝5，S＝12，c<20，a＝3，b＝5；第4次循环，c＝8，S＝20，c<20，a＝5，b＝8；第5次循环，c＝13，S＝33，c<20，a＝8，b＝13；第6次循环，c＝21，S＝54，c>20，退出循环，输出S的值为54，故选B.[答案] B8．(2018·广东茂名一模)执行如图所示的程序框图，那么输出的S值是()A.12B．－1 C．2008 D．2[解析]模拟程序的运行，可知S＝2，k＝0；S＝－1，k＝1；S＝12，k＝2；S＝2，k＝3；…，可见S的值每3个一循环，易知k＝2008对应的S值是第2009个，又2009＝3×669＋2，∴输出的S值是－1，故选B.[答案] B9．(2018·湖南长沙模拟)如图，给出的是计算1＋14＋17＋…＋1100的值的一个程序框图，则图中判断框内(1)处和执行框中的(2)处应填的语句是()A．i>100，n＝n＋1 B．i<34，n＝n＋3C．i>34，n＝n＋3 D．i≥34，n＝n＋3[解析]算法的功能是计算1＋14＋17＋…＋1100的值，易知1,4,7， (100)等差数列，公差为3，所以执行框中(2)处应为n＝n＋3，令1＋(i－1)×3＝100，解得i＝34，∴终止程序运行的i值为35，∴判断框内(1)处应为i>34，故选C.[答案] C10．(2018·武汉调研)一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是()A．甲B．乙C．丙D．丁[解析]由题可知，乙、丁两人的观点一致，即同真同假，假设乙、丁说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说的是真话，推出丙是罪犯，由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯，显然两个结论相互矛盾，所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙供述可得，乙是罪犯，故选B.[答案] B11．(2018·昆明七校调研)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出S的值为1，则判断框内为()A．i>6? B．i>5? C．i≥3? D．i≥4?[解析]依题意，执行程序框图，进行第一次循环时，S＝1×(3－1)＋1＝3，i＝1＋1＝2；进行第二次循环时，S＝3×(3－2)＋1＝4，i＝2＋1＝3；进行第三次循环时，S＝4×(3－3)＋1＝1，i＝4，因此当输出的S的值为1时，判断框内为“i≥4？”，故选D.[答案] D12．(2018·吉林一模)祖暅是南北朝时代的伟大数学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等．现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体，图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为()A ．①②B ．①③C ．②④D ．①④[解析] 设截面与底面的距离为h ，则①中截面内圆的半径为h ，则截面圆环的面积为π(R 2－h 2)；②中截面圆的半径为R －h ，则截面圆的面积为π(R －h )2；③中截面圆的半径为R －h 2，则截面圆的面积为π(R －h 2)2；④中截面圆的半径为R 2－h 2，则截面圆的面积为π(R 2－h 2)．所以①④中截面的面积相等，故其体积相等，故选D.[答案] D 二、填空题13．i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________． [解析] ∵(1－2i)(a ＋i)＝2＋a ＋(1－2a )i 为纯虚数，∴⎩⎨⎧1－2a ≠0，2＋a ＝0，解得a＝－2.[答案] －214．如图是一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第16行从左到右的第2个数为________． [解析] 前15行共有15(15＋1)2＝120(个)数，故所求的数为a 122＝12×122－1＝1243. [答案] 124315．(2018·河南三市联考)执行如图所示的程序框图，如果输入m ＝30，n ＝18，则输出的m 的值为________．[解析] 如果输入m ＝30，n ＝18，第一次执行循环体后，r ＝12，m ＝18，n ＝12，不满足输出条件；第二次执行循环体后，r ＝6，m ＝12，n ＝6，不满足输出条件；第三次执行循环体后，r ＝0，m ＝6，n ＝0，满足输出条件，故输出的m 值为6.[答案] 616．“求方程⎝ ⎛⎭⎪⎫513x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1213x ＝1的解”，有如下解题思路：设f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫513x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1213x，则f (x )在R 上单调递减，且f (2)＝1，所以原方程有唯一解x ＝2，类比上述解题思路，可得不等式x 6－(x ＋2)>(x ＋2)3－x 2的解集是________．[解析] 因为x 6－(x ＋2)>(x ＋2)3－x 2，所以x 6＋x 2>(x ＋2)3＋(x ＋2)，所以(x 2)3＋x 2>(x ＋2)3＋(x ＋2)．令f (x )＝x 3＋x ，所以不等式可转化为f (x 2)>f (x ＋2)．因为f (x )在R 上单调递增，所以x 2>x ＋2，解得x <－1或x >2.故原不等式的解集为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．[答案] (－∞，－1)∪(2，＋∞)。

推理与证明复数框图介绍“推理与证明、复数、框图”简介人民教育出版社宋莉莉推理与证明“推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式．推理一般指合情推理和演绎推理，证明通常包括数学中的演绎证明和实验、实践的证明．“标准”将“推理与证明”专设一章，这在我国高中数学课程中还是首次．通过本章的教学，不仅可以帮助学生进一步把握以前学过的证明方法，也可以让他们了解猜测的一般方法．在本套教科书中，“推理与证明”分别是《选修1-2》和《选修2-2》中的一章，二者在内容和要求上基本相似，但不尽相同．相似之处是都将通过生活实例和数学实例，介绍合情推理和演绎推理的涵义，以及如何利用合情推理去猜测和发现一些新结论，探索和提供解决一些问题的思路和方向，利用演绎推理去进行一些简单的推理，证明一些数学结论，等等．本章还将介绍证明的两类基本方法——直接证明和间接证明，通过数学实例说明它们的思考过程和特点等．不同之处是《选修2-2》设置的例题、练习和习题的难度要求较高，而且在《选修2-2》中，学生还将了解数学归纳法的原理和简单应用．一、内容与要求1. 合情推理与演绎推理⑴结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用．⑵结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单推理．⑶通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．2. 直接证明与间接证明⑴结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．⑵结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点．3. 了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题（仅对理科学生）．4. 通过对实例的介绍（如欧几里得《几何原本》、马克思《资本论》、杰弗逊《独立宣言》、牛顿三定律），体会公理化思想．二、内容安排及说明1. 在《选修1-2》中，全章共有2个小节，教学时间约需10课时，具体内容和课时分配如下（仅供参考）：1.1 合情推理与演绎推理约5课时1.2 直接证明与间接证明约4课时小结约1课时在《选修2-2》中，全章共有3个小节，教学时间约需8课时，具体内容和课时分配如下（仅供参考）：1.1 合情推理与演绎推理约3课时1.2 直接证明与间接证明约3课时1.3 数学归纳法约2课时证明直接证明 间接证明综合分析法反证数学归纳法（理科） 推 理 合情推理 演绎推理 归纳 类比 小结2．知识结构框图3．对内容安排的说明⑴ 本章将介绍推理中的合情推理和演绎推理．数学发现的过程往往包含合情推理的成分，在人类发明、创造活动中，合情推理也扮演了重要角色．因此，分析合情推理的过程，对于了解数学发现或其他发现的过程是非常重要的．合情推理常用的思维方法是归纳和类比．归纳是由部分到整体、特殊到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理．与合情推理一样，演绎推理也是学生在学习和生活中经常使用的一种推理形式．特别地，数学证明主要通过演绎推理来进行．演绎推理的一般模式是“三段论”．⑵数学内部规律的正确性必须通过逻辑推理的方式证明，这正是数学区别于其他学科的显著特点．本章学习两类基本的数学证明方法：直接证明与间接证明．这部分的内容实际上是对学生已学过的基本证明方法的总结，因此学生并不陌生．本章介绍了直接证明的两种基本方法：综合法和分析法，间接证明的一种基本方法：反证法．⑶数学归纳法是理科学生学习的内容，它也是一种直接证明的方法．与以往教科书不同的是，本章设置了相应的内容以帮助学生了解数学归纳法的原理．三、编写时考虑的几个问题1.以变分散为集中，变隐性为显性的方式讲推理和证明．总体说来，本章的内容属于数学思维方法的范畴．教科书的编写意图是把过去渗透在具体数学内容中的推理和证明的思维方法，以集中的、显性的形式呈现出来，使学生更加明确这些方法，并能在今后的学习中有意识地使用它们．因此教科书尽量结合学生已学过的数学实例和生活实例，从中挖掘、提炼出推理和证明的含义，给出了一般性的定义，并画出流程图描绘推理和证明的过程，同时纠正可能犯的典型错误，为学生正确运用推理和证明解决问题做出示范．2．紧密结合已学过的数学实例，避免空泛地讲数学思想方法．这样的编写意图贯穿本章内容始终，具体体现在以下几个方面：⑴以具体的例子为载体，讲推理的含义、方法，纠正典型错误等．例如，教科书以数学史上著名的哥德巴赫猜想为背景引入归纳推理．哥德巴赫猜想的提出过程是一个典型的运用归纳推理的过程，教科书详细分析了猜想的提出过程，同时分析了其中的思维方法（即通过对有限的资料进行观察、分析、归纳整理，提出带有规律性的结论（猜想）），并从中提炼出了归纳推理的含义．又如，为了说明运用类比推理发现数学结论的一般步骤，教科书设置了类比平面内直角三角形的勾股定理，猜想空间中四面体性质的例题．为了让学生充分感受和体验这一类比过程，教科书对推理的过程进行了详细的、有条理的分析．首先，分析勾股定理和直角三角形的特征及其之间的关系，以明确直角三角形和3个面两两垂直的四面体的相似特征，并画出表格将其列举出来；然后，类比勾股定理的结构，猜想对3个面两两垂直的四面体成立的等式S2＝S21＋S22＋S23．⑵回忆遇到过的证明过程，挖掘出证明方法的一般定义和特点．例如，教科书先回顾了《数学5》中证明基本不等式的过程，然后总结了这类证明方法的特点，即从要证的结论出发，反推回去，寻求保证结论成立的条件，直到找到一个明显成立的条件为止，在此基础上，给出了分析法的定义和描述分析法证明过程的框图．⑶例题是以前所学的内容，通过挖掘、提炼、明确其中的推理方法或证明方法，详细分析推理的思路，体验证明方法的思考过程和特点．例如，“证明函数f(x)=－x2＋2x 在(－∞，1]上是增函数”是学生熟悉的证明问题，教科书的编写意图是挖掘其中所包含的推理思路，使学生明确演绎推理的基本过程，突出演绎推理中的“大前提”“小前提”和“结论”．应当说，许多学生能写证明过程但不一定非常清楚证明的逻辑规则，因此他们在表述证明过程时，往往显得随心所欲、杂乱无章．教科书试图通过这样的例题使这种状况得到改善．3. 通过剖析生活实例中蕴涵的思维过程揭示数学思想方法．推理与证明是人们在现实生活中必不可少的思维活动，因此除了数学实例外，教科书也列举了人们在生活中的某些思维过程并加以剖析，来帮助学生的理解．例如，数学归纳法的原理对于学生来说较为抽象，教科书就从“多米诺骨牌”讲起，借助这个游戏的设计理念揭示数学归纳法依据的两个条件及它们之间的关系．四、对教学的几个建议1. 推理教学的重点在于通过具体实例理解合情推理和演绎推理，而不追求对概念的抽象表述．2. 证明的教学应引导学生认识各种证明方法的特点，体会证明的必要性，对证明的技巧性不宜作过高的要求．3. 讲清楚数学归纳法的原理，但只需用数学归纳法证明一些简单的数学命题．4. 注意文理差异．数系的扩充与复数的引入数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程，同时体现了数学发生、发展的客观需求，复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充．在本章中，学生将在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数的一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用．一、内容与要求1. 在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系．2.理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件．3. 了解复数的代数表示法及其几何意义．4. 能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．二、内容安排及说明1. 本章教学时间约需4课时，具体分配如下（仅供参考）：3.1 数系的扩充和复数的概念约2课时3.2 复数代数形式的四则运算约2课时小结2．知识结构框图数系复数的复数代3．对内容安排的说明⑴与以往教科书不同的是，本章在引入复数之前，首先在具体问题情境（即方程x2＋1＝0在实数集中无解，如何通过数系的扩充使该方程有解）中，展现了实数系的扩充过程，然后引入了复数的相关概念，并类比实数的几何意义说明了复数的几何意义．⑵本章还研究了复数系中的运算问题，分别规定了加减乘除运算的运算法则，考察了加法和乘法的交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．对复数代数形式的加减运算，讨论了其几何意义；对复数代数形式的除法运算，说明了一般的运算过程．三、编写时考虑的几个问题1.充分展现了从实数系到复数系的扩充过程．复数系是在实数系的基础上扩充而得到的，数系扩充过程体现了实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）对数学发展的推动作用，同时也体现了人类理性思维的作用．为了自然、充分地展现这个过程，教科书以一个具体问题“方程x2＋1＝0在实数集中无解．联系从自然数系到实数系的扩充过程，你能设想一种方法，使这个方程有解吗”引发学生的思考，同时将方程求根与数系的扩充联系起来，然后在回顾了从自然数系到实数系的扩充过程之后，类比这个过程完成了从实数系到复数系的扩充过程．2.从多元联系的角度认识复数．考虑到学生初学复数，对这个新的数系会感到不习惯，教科书设置了“探究”“思考”栏目，引导学生将复数系与实数系联系起来，将复数的几何意义与实数的几何意义做类比，将复数及其代数形式的加减运算与平面向量及其加减运算联系起来，从而加深学生对复数系的认识．四、对教学的几个建议1.加强复数引入过程的教学，体现实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理论）在数系扩充过程中的作用．2.加强复数与实数、有理数、平面向量及其加减运算、多项式及其加减运算之间的联系．3.削减传统内容（复数的三角形式、乘法的几何意义），避免繁琐的计算与技巧的训练．框图框图是表示一个系统各部分和各环节之间关系的图示，它的作用在于能够清晰地表达比较复杂的系统各部分之间的关系．框图已经广泛应用于算法、计算机程序设计、工序流程的表述、设计方案的比较等方面，也是表示数学计算与证明过程中主要逻辑步骤的工具，并将成为日常生活和各门学科中进行交流的一种常用表达方式．本章的教学目标可以分为两个方面．一方面在知识内容上，让学生理解流程图和结构图的特征，掌握框图的用法；另一方面在思想方法上，帮助学生体验用框图表示数学问题解决过程以及事物发生、发展过程的优越性，提高抽象概括能力和逻辑思维能力，以及清晰地表达和交流的能力．一、内容与要求1. 通过具体实例，进一步认识程序框图，了解工序流程图．2. 能绘制简单实际问题的流程图，体会流程图在解决实际问题中的作用．3. 通过实例，了解结构图；运用结构图梳理已学过的知识、整理收集到的资料信息．4. 结合作出的结构图与他人进行交流，体会结构图在揭示事物联系中的作用．二、内容安排及说明1. 本章教学时间约需6课时，具体分配如下（仅供参考）：4.1 流程图约3课时4.2 结构图约2课时小结约1课时2．知识结构框图 3．对内容安排的说明⑴ 本章介绍的框图包括两类——流程图和结构图．流程图是一种动态图示，通常用来描述一种过程性的活动．《数学3（必修）》“算法初步”一章介绍的程序框图就是流程图的一种．教科书在回顾和进一步认识程序框图，以及介绍生活中其他形式的流程图（如图书借阅流程图、诊框图流程图 结构图流程图程序框图其他流程图 生活中的流程图数学中的流程图 画流程图读流程图 描述数学计算或证明过程 流程图的一般形式、特征和作用 结构图知识结构图 组织结构图 其他结构图读知识结构图 画知识结构图 整理资病流程图）的基础上，描述了流程图的一般形式、特征和作用；然后结合生活、生产中的具体例子，说明了画流程图和读流程图的一般方法；最后，教科书说明了流程图在表示数学计算或证明过程中的主要思路与步骤中的应用．⑵结构图是一种静态图示，通常用来描述一个系统各部分和各环节之间的关系．例如，本套教科书各章之后的知识结构图就是结构图的一种．教科书首先通过对知识结构图的回顾和进一步认识，说明了结构图的一般形式，以及读知识结构图和画知识结构图的一般方法和需要注意的问题（即在梳理知识内容的基础上，正确描述要素间的“从属关系”和“逻辑先后关系”）；接着通过具体实例介绍了组织结构图的特征和作用；最后，教科书说明了结构图在梳理已学过的知识方面的应用．三、需要说明的问题1.本章对程序框图的进一步认识主要体现在，将绘制程序框图表达算法的过程看成对算法步骤的细化过程，并用具体例子详细说明了这个过程，同时对程序框图描述的算法和自然语言描述的算法步骤进行了比较，说明了框图的优越性．2.本章所介绍的框图不仅包括“算法初步”中的程序框图，还包括日常生活和各门学科中的框图．与程序框图不同的是，这些框图没有一定的规范和标准，而是根据实际情况绘制，不必拘泥于一定的形式，可以使用不同的色彩，也可以添加一些生动的图形元素．。

一、选择题1．(2011·广州模拟)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)的虚部记作Im(z )＝b ，则Im(12＋i)＝( ) A.13 B.25 C ．－13D ．－15解析：∵12＋i ＝2－i (2＋i )(2－i )＝25－15i ，∴Im(12＋i )＝－15.答案：D2．(2011·南昌模拟)右图是计算函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ln (－x )，x ≤－20，－2＜x ≤32x ，x ＞3的值的程序框图，在①、②、③处应分别填入的是( )A ．y ＝ln(－x )，y ＝0，y ＝2xB ．y ＝ln(－x )，y ＝2x ，y ＝0C ．y ＝0，y ＝2x ，y ＝ln(－x )D ．y ＝0，y ＝ln(－x )，y ＝2x解析：依题意得，当x ≤－2时，y ＝ln(－x )，因此①处应填y ＝ln(－x )；当－2＜x ≤3时，y ＝0，因此③处应填y ＝0；当x >3时，y ＝2x ，因此②处应填y ＝2x .答案：B3．(2011·新课标卷)复数5i1－2i＝( ) A ．2－iB ．1－2iC ．－2＋iD ．－1＋2i解析：5i 1－2i ＝5i (1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝－2＋i. 答案：C4．如果执行右边的程序框图，输入x ＝－12，那么其输出的结果是( )A ．9B ．3C. 3D.19解析：依题意得，执行完第1次循环后，x ＝－12＋3＝－9≤0；执行完第2次循环后，x ＝－9＋3＝－6≤0；执行完第3次循环后，x ＝－6＋3＝－3≤0；执行完第4次循环后，x ＝－3＋3＝0≤0；执行完第5次循环后，x ＝0＋3＝3>0.结合题中的程序框图可知，最后输出的结果是 3.答案：C 二、填空题5．(2011·陕西高考)观察下列等式1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49……照此规律，第n 个等式为________．解析：每行最左侧数分别为1、2、3、…，所以第n 行最左侧的数为n ；每行数的个数分别为1、3、5、…，则第n 行的个数为2n －1.所以第n 行数依次是n 、n ＋1、n ＋2、…、3n －2.其和为n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2.答案：n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)26．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．解析：由类比推理得，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为1∶8.下面计算验证．假设两个正四面体的棱长分别为1和2，如图，正四面体ABCD 的棱长为1，取BC 的中点E ，作AO ⊥ED 于O ，则OD ＝23ED＝23×32＝33， 又在Rt △AOD 中， AO ＝1－OD 2＝1－(33)2＝63， 则V 正四面体ABCD ＝13S △BCD ·AO ＝13×34×63＝212；同理可算得棱长为2的正四面体的体积V 正四面体A ′B ′C ′D ′＝223. ∴V 正四面体ABCD ∶V 正四面体A ′B ′C ′D ′＝212223＝18.答案：1∶87．(2011·皖南八校联考)如图，是一程序框图，则输出结果为________．解析：结合题中的程序框图可知，该程序框图实际是计算数列{1n (n ＋1)}的前10项和，注意到1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，因此数列{1n (n ＋1)}的前10项和等于(1－12)＋(12－13)＋(13－14)＋…＋(110－111)＝1－111＝1011，即输出结果是1011. 答案：1011三、解答题8．已知复数z 1＝i(1－i)3. (1)设复数ω＝z 1－i ，求||ω；(2)当复数z 满足||z ＝1时，求||z －z 1的最大值． 解：(1)z 1＝i(－2i)(1－i)＝2－2i ， ∵ω＝z 1－i ＝2＋i ，∴||ω＝ 5.(2)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，∵||z ＝1，∴a 2＋b 2＝1.||z －z 1＝(a －2)2＋(b ＋2)2＝－4a ＋4b ＋9，令a ＝cos θ，b ＝sin θ， 上式＝－4cos θ＋4sin θ＋9＝9＋42sin (θ－π4)，∴||z －z 1max ＝9＋42＝22＋1.9.已知a 为如图所示的程序框图中输出的结果，设z ＝a ＋i ，求zz.解：记f (x )＝11－x ，则有f (2)＝11－2＝－1， f [f (2)]＝f (－1)＝12，f (12)＝11－12＝2，依题意得题中所给的程序框图中输出的结果是数列2，－1，12，2，－1，12，…(注：该数列的项以3为周期重复出现)的第2 011项，由于2011＝3×670＋1，因此a ＝2，∴z ＝2＋i ，z ＝2－i ， 则z z ＝2＋i2－i ＝(2＋i)2(2－i)(2＋i)＝4＋4i －15＝35＋45i.10．对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次，得到如下表所示的数据.在上述统计数据的分析中，一部分计算见如图所示的程序框图(其中a 是这8个数据的平均数)，求输出的S 的值．解：根据题中数据可得a ＝44，由程序框图得S ＝42＋32＋12＋12＋02＋22＋32＋428＝7.。

算法、证明、推理、复数知识点汇总知识点一算法初步（一）、算法的定义算法是指按照一定规则解决某一类问题的明确的和有限的步骤．（二）、程序框图1．程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形．2．程序框图通常由程序框和流程线组成．3．基本的程序框有终端框(起止框)、输入、输出框、处理框(执行框)、判断框．知识点二推理与证明（一）、归纳推理1．根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个都有这种属性．我们将这种推理方式称为归纳推理．简言之，归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理．归纳推理的基本模式：a，b，c∈M且a，b，c具有某属性，结论：任意d∈M，d也具有某属性．（二）、类比推理1．由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．类比推理的基本模式：A：具有属性a，b，c，d；B：具有属性：a′，b′，c′；结论：B具有属性d′.(a，b，c，d与a′，b′，c′，d′相似或相同)（三）、归纳推理和类比推理是最常见的合情推理，合情推理的结果不一定正确．（四）、演绎推理1．定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理.简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.2．“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断.（五）、直接证明间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法．1．反证法的定义：在假定命题结论反面成立的前提下，经过推理，若推出的结果与定义、公理、定理矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题结论成立的方法叫反证法．2．用反证法证明的一般步骤：①反设——假设命题的结论不成立；②归谬——根据假设进行推理，直到推出矛盾为止；③结论——断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立．知识点三 复数（一）、复数的有关概念（二）、复数的几何意义复数集C 和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C 与复平面内所有以原点O 为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即 1．复数z ＝a ＋b i复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R ).2．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) 平面向量OZ →.（三）、复数的运算设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则 ①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝（a ＋b i ）（c －d i ）（c ＋d i ）（c －d i ）＝ac ＋bd ＋（bc －ad ）ic 2＋d 2(c ＋d i ≠0).。

如何利用复数解决数学推理问题在数学中，解决推理问题是一个关键的技能。

其中，利用复数进行推理是一种常见且有效的方法。

复数是由实数和虚数构成的数，可以表示为a+bi的形式，其中a和b都是实数，i是虚数单位。

在本文中，我们将探讨如何利用复数解决数学推理问题。

一、复数的基本概念在开始讨论如何利用复数解决数学推理问题之前，我们首先需要了解复数的基本概念。

复数由实部和虚部构成，实部表示实数部分，虚部表示虚数部分。

例如，复数3+2i中，3是实部，2i是虚部。

虚数单位i有一个特殊的属性，即i^2=-1。

二、复数的运算规则了解了复数的基本概念后，我们需要掌握复数的运算规则。

复数的加法和减法遵循实部和虚部分别相加减的原则。

例如，(3+2i)+(1+4i)=4+6i。

复数的乘法按照分配律进行计算，例如，(3+2i)(1+4i)=3+12i+2i+8i^2=3+14i-8= -5+14i。

复数的除法可以通过有理化的方法进行计算，具体步骤略过。

三、复数在解决数学推理问题中的应用1. 解决代数方程复数可以帮助我们解决无理数根的代数方程。

例如，对于方程x^2+1=0，它没有实数根，但我们可以使用复数单位i来解决它。

令x=i或者x=-i，代入方程可以得到(-i)^2+1=-1+1=0，满足原方程的解。

2. 解决几何问题在几何问题中，复数可以用于表示平面上的点或向量。

通过对复数进行运算，我们可以得到点或向量的相对位置关系。

例如，在解决三角形的垂直问题时，我们可以将三个点表示为复数z1, z2, z3，若z1-z2与z2-z3的乘积为零，则可以判断z1, z2, z3构成的三角形是否垂直。

3. 解决统计问题在统计问题中，复数可以用于表示随机变量的概率分布。

通过分析复数的实部和虚部，我们可以得到随机变量的均值和方差等统计指标。

例如，在解决多元高斯分布问题时，我们可以利用复数的性质来简化计算，从而得到更精确的结果。

四、利用复数解决数学推理问题的优势1. 扩展问题解空间复数可以表示复杂的数值关系，通过引入虚数的概念，我们可以解决更多类型的数学推理问题。

431．数系扩充的历史：N ⊆Z ⊆Q ⊆R ⊆C ．2．复数的概念：形如i a b +的数叫做复数，其中,a b ∈R ，i 满足2i 1=-．其中a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部．当且仅当0b =时，它是实数；当0b ≠时，它是虚数；当0a =且0b ≠时，它是纯虚数．3．复平面内x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴；x 轴的单位是1，y 轴的单位是i ． 4．1i z a b =+，2i z c d =+（,,,a b c d ∈R ）， 则12z z =⇔a cb d=⎧⎨=⎩；1z =i a b -；221z a b =+．12z z ±=()()i a c b d +±+；12z z =()()i ac bd ad bc -++；12z z =2222i ac bd bc ad c d c d +-+++． <教师备案>本讲分成三小节，第一节复习复数，有两道例题，涉及复数的四则运算与几何意义，总体难度不大，要注意复数与实数运算上的区别．高考对复数要求不高，最多涉及一道题，且会出在选择或填空的前两道题的位置上，对复数的知识点不必深究．尖子班学案1【铺1】 ⑴ （2010朝阳一模文1）复数22(1i)i+等于（ ）A ．2B ．2-C ．2i -D ．2i⑵ 若(2i)i i a b -=+，其中,a b ∈R ，i 为虚数单位，则a b += ．【解析】 ⑴ C⑵ 3【例1】 ⑴（2010崇文一模文10）知识结构图经典精讲13.1复数知识梳理第13讲 复数、算法、推理与证明44如果复数()()2i 1i m m ++（其中i 是虚数单位）是实数，则实数m =______．⑵ 如果1i1ia z a -=+为纯虚数，则实数a 等于（ ） A ．0 B ．1- C ．1 D ．1-或1⑶ 若复数z 满足(1i)1i z a -=+，且复数z 在复平面上对应的点位于第二象限，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a > B ．11a -<< C ．1a <- D ．11a a <->或⑷（2010全国文3）已知复数23i(13i)z +=-，则z =（ ）A ．14B ．12C ．1D ．2【解析】 ⑴ 1-⑵ D ⑶ A ⑷ B【例2】 ⑴ 若i 是虚数单位，则238i 2i 3i 8i +++⋅⋅⋅+= ．⑵ 计算下列各式的值：42011(1i)i+，4(13i)．⑶ 对于复数a b c d ，，，，若集合{}S a b c d =，，，具有性质“对任意x y S ∈，，必有xy S ∈”，则当2211a b c b=⎧⎪=⎨⎪=⎩时，b c d ++等于（ ）A ．1B ．1-C ．0D ．i⑷ 若a b ，为非零实数，则下列四个命题都成立： ①10a a+≠ ②222()2a b a ab b +=++③若a b =，则a b =± ④若2a ab =，则a b =对于任意非零复数a b ，，上述命题仍然成立的序号是___________． 【解析】 ⑴ 44i -⑵ 42011(1i)4i i+=-；4(13i)883i =-+．事实上，31312⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，31312⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭，31312⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，如果了解了复数的三角形式，这些结论是很明显的，也是要掌握的，现在复数要求不高，可以根据学生的程度选择介绍． ⑶ B⑷ ②④．目标班学案1【拓2】 对任意复数()i z x y x y =+∈R ，，i 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）A ．2z z y -=B ．222z x y =+C ．2z z x -≥D ．z x y +≤45【解析】 D【备选】 （2010四川理16）设S 为复数集C 的非空子集，若对任意x ，y S ∈，都有x y +，x y -，xy S ∈，则称S 为封闭集．下列命题：①集合{i |S a b =+a ，b 为整数，i 为虚数单位}为封闭集； ②若S 为封闭集，则一定有0S ∈； ③封闭集一定是无限集；④若S 为封闭集，则满足S T ⊆⊆C 的任意集合T 也是封闭集． 其中真命题是______________（写出所有真命题的序号）【解析】 ①②【备选】 （2009上海文19）已知复数i z a b =+（a 、b +∈R ）（i 是虚数单位）是方程2450x x -+=的根．复数3i w u =+()u ∈R 满足25w z -<，求u 的取值范围． 【解析】(2,6)-已知复数2(1)(1)i z a a =-++，若z 是纯虚数，则实数a 等于（ ）A ．2B ．1C ．1±D ．1-【解析】 B知识结构图13.2算法46<教师备案>本小节复习算法与程序框图，算法是新课标新增的考点，可能会在小题中出现，属于简单题．本小节不涉及算法语句与算法案例的内容，共两道例题．难点在循环结构上，有时会与其它知识点结合考查，主要是统计与数列的知识．尖子班学案2【铺1】 ⑴（2010丰台一模文3）在下面的程序框图中，若5x =，则输出i 的值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 ⑵ （2010崇文一模文12）某程序框图如图所示，该程序运行后输出,M N 的值分别为___、 ．x > 109i = i + 1NY 输出i结束x = 3x -2i = 0输入x开始⑴ ⑵【解析】 ⑴ C⑵ 89,144考点：程序框图【例3】 ⑴（2010东城一模文5）按如图所示的程序框图运算，若输入6x =，则输出k 的值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6⑵（2010西城一模文6）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ ）A ．1321B ．2113C ．813D ．138⑶（2010辽宁卷文5）如果执行下面的程序框图，输入6n =，4m =，那么输出的p 等于（ ） A ．720 B ．360 C ．240 D ．120经典精讲47第⑴题 第⑵题 第⑶题【解析】 ⑴ B ；⑵ D ；⑶ B ．考点：程序框图与其它内容结合【例4】 ⑴在数列{}n a 中，11a =，1n n a a n -=+，2n ≥．为计算这个数列前10项的和，现给出该问题算法的程序框图（如图所示），则图中判断框（1）处合适的语句是（ ） A ．8i ≥ B ．9i ≥ C ．10i ≥ D ．11i ≥⑵ 已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是（ ）A ．1-B ．1C ．2D ．12⑶ 如果执行下面的程序框图，输入2x =-，0.5h =，那么输出的各个数的和等于（ ） A ．3 B ．3.5 C ． 4 D ．4.5是否结束输出s s =s +aa =a +i i =i +1( 1 )i =0，a =0，s =0开始第⑴题 第⑵题 第⑶题【解析】 ⑴ C⑵ A48⑶ B目标班学案2【拓2】 某店一个月的收入和支出总共记录了N 个数据1a ，2a ，…，N a ，其中收入记为正数，支出记为负数．该店用下边的程序框图计算月总收入S 和月净盈利V ，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的（ ）A ．0A V S T >=-，B ．0A V S T <=-，C ．0A V S T >=+，D ．0A V S T <=+， 【解析】 C（2010石景山一模文6）已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是（ ）A ．求数列1n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和()n *∈NB ．求数列12n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和()n *∈NC ．求数列1n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前11项和()n *∈ND ．求数列12n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前11项和()n *∈N【解析】 B1．合情推理包括归纳推理（从特殊到一般）和类比推理（特殊到特殊）．2．演绎推理是由概念的定义或一些真命题，依照一定的逻辑规则得到正确结论的过程．演绎推理的主知识结构图知识梳理13.3推理与证明否否是是k = k +1结束输出S ，V k < NS=S+AT=T+AA =a kk =1, S =0, T =0输入N , a 1 , a 2 , ... , a N开始49要形式是三段论，包括大前提、小前提、结论．演绎推理中，当前提为真时，结论必然为真． 3．直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性．常用的直接证明方法有综合法和分析法．4．反证法不是直接证明结论，而是否定这个命题的结论，在此基础上，运用演绎推理，导出矛盾，从而肯定结论的正确性．其中的矛盾主要指：与假设或已知矛盾；与数学的公理、定理、定义等矛盾或与公认的简单事实矛盾．<教师备案>本小节复习推理与证明，共两道例题．例5主要复习合情推理中的归纳推理与类比推理，涉及到一点演绎推理中的三段论，了解即可．例6主要讲反证法（分析法和综合法在第6讲不等式与数列中已经讲过，这里就不在讲了，仅在例6后的备选放了一道题供老师选用），学案中的铺垫是关于反证法的正确否定结论的．本节总体比较简单，知识点比较零碎，但是没有太多需要复习记忆的结论或知识点，所以例题数量安排较多，个别题难度比高考要求的大，如例5的⑹，可以根据课堂情况选择讲解．注意文科的推理与证明不涉及数学归纳法．考点：合情推理与演绎推理【例5】 ⑴ 已知等差数列{}n a 中，有11122012301030a a a a a a ++++++=，则在等比数列{}n b 中，会 有类似结论________________．⑵ 已知0x >，则不等式1122x x x x +⋅=≥，3222444332222x x x x x x x x+=++⋅⋅=≥，……，启发我们可以得到推广结论：1n ax n x++≥（n *∈N ），则a =___________．⑶ 在平面内，如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形按图1所标边长，由勾股定理有：222.c a b =+设想正方形换成正方体，把截线换成如图2所示的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O LMN -，如果用123S S S ，，表示三个侧面面积，4S 表示截面面积，那么你类比得到的结论是 ．图 2图 1OLNMcb a⑷ 下列是关于复数的类比推理：①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则； ②由实数绝对值的性质22x x =类比得到复数z 的性质22z z =；③已知a ，b ∈R ，若0a b ->，则a b >类比得已知1z ，2z ∈C ，若120z z ->，则12z z >； ④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义． 其中推理结论正确的序号是 ．⑸ 有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数()f x ，如果()00f x '=，那么0x x =是函数()f x 的极值点，因为函数()3f x x =在0x =处的导数值()00f '=，所以，0x =是函数()3f x x =的极值点．以上推理中（ ）A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．结论正确 ⑹（2010福建文16）观察下列等式： ① 2cos 22cos 1αα=-；② 42cos 48cos 8cos 1ααα=-+；③ 642cos632cos 48cos 18cos 1αααα=-+-；经典精讲50④ 8642cos8128cos 256cos 160cos 32cos 1ααααα=-+-+；⑤ 108642cos10cos 1280cos 1120cos cos cos 1m n p αααααα=-+++-． 可以推测，m n p -+= ．【解析】 ⑴30201230b b b b ⋅⋅=⋅⋅⋅⑵ n n⑶ 22224123S S S S =++； ⑷ ①④ ⑸ A ⑹ 962【备选】 （2009崇文一模文14）对于集合{}123N n =，，，，的每一个非空子集，定义一个“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大数开始交替地减、加后继的数，例如集合{}12469，，，，的交替和是964216-+-+=，集合{}5的交替和为5．当集合N 中的2n =时，集合{}12N =，的所有非空子集为{}1，{}2，{}12，，则它的“交替和”的总和212(21)4S =++-=，则当3n =时，3S =_________________；根据2S 、3S 、4S ，猜想集合{}123N n =，，，，的每一个非空子集的“交替和”的总和n S =____________．【解析】 12；12n n -⋅【备选】 中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等．如果集合A 中元素之间的一个关系“”满足以下三个条件：⑴ 自反性：对于任意a A ∈，都有a a ；⑵ 对称性：对于a b A ∈，，若a b ，则有b a ； ⑶ 传递性：对于a b c A ∈，，，若a b b c ，，则有a c ． 则称“”是集合A 的一个等价关系．例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系（自反性不成立）．请你再列出两个等价关系：________________．【解析】 图形的全等、图形的相似、非零向量的共线、命题的充要条件等等．尖子班学案3【铺1】 ⑴ 用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（ ）A ．假设三内角都不大于60度B ．假设三内角都大于60度C ．假设三内角至多有一个大于60度D ．假设三内角至多有两个大于60度 ⑵ 命题“关于x 的方程0(0)ax a =≠的解是唯一的”的结论的否定是（ ）A ．无解B ．两解C ．至少两解D ．无解或至少两解【解析】 ⑴ B⑵ D目标班学案351【铺2】 已知21112(3)01()31n n n n x x x x x n x *++>≠=∈+N ，，．试证：数列{}n x 或者对任意2n n *∈N ，≥都满足1n n x x -<，或者对任意正整数n 都满足1n n x x +<．当此题用反证法证明时，假设应为（ ） A ．假设对任意正整数n ，有1n n x x += B ．假设存在正整数n ，使1n n x x +=C ．假设存在正整数n ，使1n n x x -≥且1n n x x +≥D ．假设存在正整数n ，使11()()0n n n n x x x x -+--≥【解析】 D ．考点：证明【例6】 ⑴ 设,,a b c 都是正数，则1a b +，1b c+，1c a +三个数（ ）． A ．都大于2 B ．都小于2 C ．至少有一个不大于2 D ．至少有一个不小于2⑵ 若a b c ，，均为实数，且222πππ222236a x yb y zc z x =-+=-+=-+，，．求证：a b c ，， 中至少有一个大于0．【解析】 ⑴ D⑵（用反证法）假设a b c ，，都不大于0，即000a b c ≤，≤，≤，则有0a b c ++≤， 而222πππ222236a b c x y y z z x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=-++-++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭222πππ(1)(1)(1)3236x y z ⎛⎫=-+-+-+++- ⎪⎝⎭222(1)(1)(1)π3x y z =-+-+-+-∵222(1)(1)(1)x y z ---，，均大于或等于0，π30->， ∴0a b c ++>，这与假设0a b c ++≤矛盾，故a b c ，，中至少有一个大于0．【备选】 已知a b c ∈R ，，，0a b c ++>，0ab bc ac ++>，0abc >． 利用反证法证明：000a b c >>>，，． 【解析】 若结论不成立，即a b c ，，不同时为正数．则由0abc >知a b c ，，必为两负一正． 不妨设000a b c <<>，，． 于是0c a b >-->，0a b +<，22223()()()024b ab bc ac ab c a b ab a b a b a ab b a b ⎛⎫++=++<+--+=---=-+-< ⎪⎝⎭，与已知矛盾，故结论成立．【备选】ABC △的三个内角A 、B 、C 成等差数列，它们所对的边分别记为a b c ，，， 求证：113a b b c a b c+=++++．52【解析】 要证113a b b c a b c +=++++，即需证3a b c a b ca b b c +++++=++．即证1c a a b b c+=++．又需证()()()()c b c a a b a b b c +++=++，需证222c a ac b +=+ ∵△ABC 三个内角A 、B 、C 成等差数列．∴60B =︒．由余弦定理，有2222cos60b c a ca =+-︒，即222b c a ac =+-． ∴222c a ac b +=+成立，命题得证．平面上有n 个圆，其中每两个都相交于两点，每三个都无公共点，它们将平面分成()f n 块区域，有()12f =，()24f =，()38f =，则()f n 的表达式为（ ） A ．2n B ．2nC ．22n n -+D ．()()()2123n n n n ----【解析】 C归纳推理不一定能得到正确结论，对于不了解中间过程的归纳推理，最好能多写几项，否则归纳得到的一般情况不一定正确，如果能了解递推过程，那么归纳的准确率就高很多了． 考虑(4)f ，第4个圆与前面3个圆都相交，共多出6个交点，每2个相邻的交点将平面多分成一部分，故共多出6个部分，从而(4)8614f =+=，故只有C 正确．如果不用归纳推理，可以考虑()f n 与(1)f n -的关系．第n 个圆会与前面1n -个圆分别相交，共多出2(1)n -个交点，故多将平面划分2(1)n -个部分，即()(1)2(1)f n f n n --=-．运用叠加法得[]()(1)212(1)(1)f n f n n n -=+++-=-，故2()2f n n n =-+．（2011北京文2）复数i 212i-=+( ) A ．i B ．i - C ．43i 55-- D ．43i 55-+【解析】 A（2011北京文6）执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输出的P 值为( ) A ．2 B ．3C ．4D ．5 【解析】C真题再现P1P =P +1结束输出P S =S +否是S ≤AP =1,S =1输入A开始53【演练1】在复平面内，复数1i i z =-（i 是虚数单位）对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【解析】 C【演练2】i 是虚数单位，若12i i(,)1ia b a b +=+∈+R ，则a b +的值是（ ） A ．12- B ．2- C ．2 D ．12【解析】 C【演练3】（2010湖南文12） 如图是求实数x 的绝对值的算法程序框图，则判断框①中可填 ． 【解析】0x >或0?x >或0x ≥或0?x ≥【演练4】如图是一个算法的程序框图，若该程序输出的结果为45，则判断框中应填入的条件是（ ） A ．4?T > B ．4?T <C ．3?T >D ．3?T <【解析】 B【演练5】⑴观察下列等式：33212(12)+=+， 3332123(123)++=++，333321234(1234)+++=+++，…，根据上述规律，第四个等式．．．．．为___________________________________． ⑵在平面上，若两个正三角形的边长比为1:2，则它们的面积比为1:4．类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1:2，则它们的体积比为_______．【解析】 ⑴ 33333212345(12345)++++=++++（或215）⑵ 1:8实战演练输出-x 1否是结束输出x 输入x 开始S = S +1T ⋅ i T =T +1i =i+1S =0T =0i =1输出S 否是结束开始54 【演练6】已知1a b c ++=，求证：22213a b c ++≥． 【解析】 法一（综合法）1a b c ++=2()1a b c ⇒++=，即2222221a b c ab ac bc +++++=．又222222222ab a b bc b c ac a c +++≤，≤，≤，故22221()333a b c a b c =++++≤，从而22213a b c ++≥，命题得证． 法二（反证法）若结论不成立，即22213a b c ++<， 则由222222222a b ab b c bc a c ac +++≥，≥，≥知， 222222222a b c ab bc ac ++++≥，从而2222222()2()3()1a b c a b c ab bc ac a b c ++=+++++++<≤，与已知矛盾，故22213a b c ++≥．（2005上海交通大学保送生测试）若31z =，且z ∈C ，则322220z z z +++=________． 【解析】25或19 321(1)(1)0z z z z -=-++=，故1z =或210z z ++=． 若1z =，则3222201222025z z z +++=+++=； 若1z ≠，则210z z ++=，322222012(1)1819z z z z z +++=++++=． 故32222025z z z +++=或19．大千世界。