1 ∴S△COD＝ CD· OE<S△ACD 2 1 ＝ CD· AE. 2
同理可得S△ABD>S△BOD，S△ABC>S△BOC， ∴S△ACD＋S△ABC＋S△ABD>S△BCD.故④对.
如图，点 E、F、G、H、M、N 为各边中点，
本 讲 栏 目 开
这样可得到▱EFGH 和▱ENGM 它们的对角线 EG 和 FH 互相平分，EG 和 MN 也互相平分.
解析 B、C、D 选项是公理.
2.(2013· 广东)设 m，n 是两条不同的直线，α，β 是两个不同的 平面，下列命题中正确的是 A.若 α⊥β， m⊂α， n⊂β，则 m⊥n
本 讲 栏 目 开
( D )
B.若 α∥β， m⊂α， n⊂β，则 m∥ n C.若 m⊥ n，m⊂ α，n⊂ β，则 α⊥β D.若 m⊥ α，m∥ n，n∥ β，则 α⊥β
解析 A 中，m 与 n 可垂直、可异面、可平行；
B 中 m 与 n 可平行、可异面；
C 中若 α∥β，仍然满足 m⊥n，m⊂α，n⊂β，故 C 错误；故 D 正确.
3.(2013· 课标全国Ⅱ )已知 m，n 为异面直线，m⊥平面 α，n⊥ 平面 β.直线 l 满足 l⊥ m， l⊥n， l⊄ α，l⊄ β，则 A.α∥β 且 l∥α
本 讲 栏 目 开
4.(2012· 安徽 )设平面 α 与平面 β 相交于直线 m，直线 a 在平面 α 内， 直线 b 在平面 β 内， 且 b⊥ m， 则“ α⊥ β”是“ a⊥ b” 的 A.充分不必要条件
本 讲 栏 目 开
( A ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
C.充分必要条件
直的性质定理知，b⊥α.
第二讲 空间点、直线、平面的位置关系
本 讲 栏 目 开
1.点、线、面的位置关系 (1)公理 1 ∵A∈ α，B∈α，∴ AB⊂α. (2)公理 2 ∵A，B， C 三点不共线，∴ A，B，C 确定一个 平面. (3)公理 3 ∵P∈α，且 P∈ β，∴ α∩ β＝l，且 P∈ l. 三个推论：①过两条相交直线有且只有一个平面. ②过两条平行直线有且只有一个平面. ③过一条直线和直线外一点有且只有一个平面.
3.直线、平面垂直的判定及其性质
本 讲 栏 目 开
(1)线面垂直的判定定理 ∵m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m， l⊥n，∴l⊥α. (2)线面垂直的性质定理 ∵a⊥α，b⊥α，∴a∥b. (3)面面垂直的判定定理 ∵a⊂β，a⊥α，∴α⊥β. (4)面面垂直的性质定理 ∵α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l， ∴a⊥β.
因此，三条线段 EG，FH，MN 交于一点，故⑤对.
答案 ①④⑤
反思归纳
本 讲 栏 目 开
准确画出相应的几何体， 结合该几何体来研究各命
题的真假.若判定一个命题为假，只需举一反例(特殊状态、特 殊位置、特殊图形)即可.有时用反证法来判断也可以.
变式训练 1 (1)给出下列关于互不相同的直线 m，n，l 和平面 α、β 的四个命题： ①m⊂ α， l∩α＝A，A∉ m，则 l 与 m 不共面； ②l、m 是异面直线，l∥α，m∥α，且 n⊥l，n⊥m，则 n⊥α；
(4)公理 4 ∵ a∥ c， b∥ c，∴ a∥ b. (5)等角定理
本 讲 栏 目 开
∵ OA∥ O1A1， OB∥ O1B1，
∴∠ AOB＝∠ A1O1B1 或∠ AOB＋∠ A1O1B1＝ 180° . 2.直线、平面平行的判定及其性质 (1)线面平行的判定定理 (2)线面平行的性质定理 (3)面面平行的判定定理 b∥ α，∴ α∥ β. (4)面面平行的性质定理 ∵ α∥ β， α∩ γ＝ a， β∩ γ＝ b， ∴ a∥ b. ∵ a⊄ α， b⊂ α， a∥ b，∴ a∥ α. ∵ a∥ α， a⊂ β，α∩ β＝ b，∴ a∥ b. ∵ a⊂ β， b⊂ β， a∩ b＝ P， a∥ α，
本 讲 栏 目 开
( D )
B.α⊥β 且 l⊥β C.α 与 β 相交，且交线垂直于 l D.α 与 β 相交，且交线平行于 l
解析 假设 α∥β，由 m⊥平面 α，n⊥平面 β，
则 m∥n， 这与已知 m， n 为异面直线矛盾， 那么 α 与 β 相交， 设交线为 l1，则 l1⊥m，l1⊥n，在直线 m 上任取一点作 n1 平 行于 n，那么 l1 和 l 都垂直于直线 m 与 n1 所确定的平面，所 以 l1∥l.
审题破题 可以画出四面体 ABCD 的直观图，根据图形分 析点、线、面的位置关系.
解析
若 AB 与 CD 共面，ABCD 就成了平面图形，故①对；
若垂足为△BCD 高线的交点，必推出对棱垂直，故②错；
只有当以 AB 为底的三角形是等腰三角形时，垂足才能重合， 故③错；
本 讲 栏 目 开
设垂足为 O，过 O 作 OE⊥CD 于 E，连接 AE，则 OE<AE.
1.(2013· 安徽)在下列命题中，不是公理的是
本 讲 栏 目 开
( A )
A.平行于同一个平面的两个平面相互平行 B.过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 C.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上 所有的点都在此平面内 D.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只 有一条过该点的公共直线
解析 当 α⊥β 时，由于 α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，由面面垂
又∵a⊂α，∴b⊥a.∴“α⊥β”是“a⊥b”的充分条件.
而当 a⊂α 且 a∥m 时，∵b⊥m，∴b⊥a.
而此时平面 α 与平面 β 不一定垂直， ∴“α⊥β”不是“a⊥b”的必要条件，故选 A.
题型一 例1
本 讲 栏 目 开
空间点、线、面的位置关系
对于四面体 ABCD，下列命题正确的是 _____(写出所有
正确命题的编号 ). ①相对棱 AB 与 CD 所在的直线是异面直线； ②由顶点 A 作 四面体的高，其垂足是△ BCD 三条高线的交点；③若分别 作△ ABC 和△ ABD 的边 AB 上的高，则这两条高的垂足重 合；④任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积；⑤分 别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点 .
